автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Разработка геометрических моделей и компьютерных программ для задач восстановления

О МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

г [\ І ГУЧЕК Петро Йосипович

Г ч .У\

\ УДК 515.2

РОЗРОБКА ГЕОМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ТА КОМП’ЮТЕРНИХ ПРОГРАМ ДЛЯ ЗАДАЧ ВІДНОВЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка.

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

КИЇВ-1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Херсонському державному технічному університеті.

Наукові керівники: - доктор фізико-математичних наук, професор Хомченко Анатолій Никифорович ХДТУ, завідувач кафедри прикладної математики і математичного моделювання

- кандидат фізико-математичних наук, доцент Крючковський Віктор Володимирович ХДТУ, доцент кафедри прикладної математики і математичного моделювання

Офіційні опоненти:

- академік АІН України, доктор технічних наук, професор Найдиш Володимир Михайлович, ТДАТА, проректор

- кандидат технічних наук, доцент

Дорошенко Юрій Олександрович, Інститут педагогіки АПН України, старший науковий співробітник

Провідна установа:

Український державний морський технічний університет, факультет гуманітарної та природничо-наукової підготовки, м. Миколаїв.

Захист відбудеться 1998 року о 13 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 01.18.06 в Київському державному технічному університеті будівництва і архітектури за адресою: 252037. Київ-37, Повітрофлотський просп.,31, ауд.319.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського державного технічного університету будівництва і архітектури за адресою: 252037, Київ-37, Повітрофлотський просп.,31.

Автореферат розісланий <¿/24"'-9 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Плоский В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачі відновлення (заповнення) функцій ідносяться до теорії наближення функцій. Вони виникають у різних рикладних областях: метеорології, топографії, при оцінці продукти-пості родовищ нафти та газу, в екологічних дослідженнях, при ін-ерпретації різних геофізичних експериментальних даних і т.ін.

В останні роки підвищився інтерес до задач відновлення функцій іахівців з прикладної та інженерної геометрії, а також користувачів бчислювальних методів, що орієнтовані на ЕОМ. Насамперед має-ься на увазі метод скінченних елементів (МСЕ), який набув широко-

о розповсюдження у різноманітних галузях сучасної науки і техніки.

Найчастіше задачі відновлення функцій розв’язуються за допо-югою інтерполяційних методів. Проте для функцій багатьох змінних (і задачі значно складніші, ніж для функцій однієї змінної, що зумов-іено рядом принципових труднощів. По-перше, багатовимірна зада-іа не може бути розв’язана при довільній кількості вузлів інтерполя-іії. По-друге, ці вузли не можна розміщувати довільно в досліджува-іій області.

Головна увага в дисертації приділяється МСЕ, як найбільш гну-ікому та універсальному методу, хоча ключові ідеї та основні резуль-:ати легко поширюються і на інші дискретні методи.

Історично склалося так, що основним методом конструювання функцій форми (базисних функцій) скінченних елементів був алгеб->аїчний, що вимагає складання та розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Інколи труднощі, що виникають, неможливо тодолати в рамках алгебраїчного підходу. Мова йде про можливість шродження матриці СЛАР. Це стимулює пошук нових підходів, що дозволяють вийти за рамки традиційних уявлень. В дисертації розвинеться простий, зручний та наочний спосіб побудови базисних фун-<цій скінченних елементів (СЕ), що використовує геометричні компо-іиції ліній та поверхонь, які проходять через вузли СЕ.

В дисертації дістала подальшого розвитку запропонована А.Н. Хомченком методика, що поєднує геометричне моделювання з ідеями метода Монте-Карло. Значна увага приділяється елементам сиренди-гтової сім’ї, котрі, як слушно зазначив О. Зенкевич, погано піддаються формалізації. Відкриття цих СЕ вимагало певної винахідливості. Геометричні прийоми моделювання тут виявили себе з кращого боку. Вони дозволяють легко та швидко одержувати не тільки відомі моделі сирендипових СЕ, але й будувати нові. Добре відомо, що наявність

альтернативних базисів полегшує розв’язання актуальної проблемі оптимізації інтерполяційних якостей моделі.

Задачі відновлення функцій тісно пов’язані з розробкою методії інженерної графіки, тобто, розробкою методів аналітичного опис) поверхонь різних об’єктів (автомашина, літак, деталь, що виточується на верстаті і т.ін.), їх перерізів, різних проекцій і т.ін. Необхідність розв’язання подібних задач виникає, наприклад, при виконанні креслень за допомогою електронно-обчислювальних машин(ЕОМ), при виготовленні різних деталей на верстатах з числовим програмним управлінням, при автоматичному розкроюванні заготівок у взуттєвій та швейній промисловості і т.ін.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконана в рамках науково-дослідної програми кафедри прикладної математики та математичного моделювання ХДТУ.

Мета і задачі дослідження.

Розробка методики геометричного моделювання для сучасних задач відновлення функцій, зокрема, моделювання функцій форми різних типів скінченних елементів, створення алгоритмів та програм для дослідження та коригування інтерполяційних якостей дискретних моделей засобами комп’ютерної графіки.

Для реалізації вказаної мети в роботі поставлені і розв’язані такі теоретичні і практичні задачі:

- розвинуто методику геометричного моделювання на елементах сирендипової сім’ї, та гексагональних скінченних елементах;

- одержано нові геометричні моделі скінченних елементів сирендипової сім’ї з бікубічною інтерполяцією та ступеня р — 4;

- поширено геометричний підхід на гексагональні скінченні елементи та одержано альтернативні моделі;

- розроблено підсистему комп’ютерного дослідження геометричних моделей на основі методів інженерної графіки;

- проведено порівняння інтерполяційних якостей альтернативних моделей;

- запропоновано геометричний критерій якості, що дає можливість порівнювати інтерполяційні та обчислювальні властивості моделей;

- створено і запроваджено в конструкторську практику прикладні програми, що містять розроблені геометричні моделі та підсистему комп’ютерної діагностики стаціонарних полів.

з

Методика досліджень.

Розв’язання поставлених задач здійснюється на основі геометри-ю-ймовірнісного підходу в поєднанні з ідеями методу Монте-ірло, а також методів прикладного програмування та машинної >афіки.

Теоретичною базою для даних досліджень послужили роботи ювідних вчених:

- в галузі дискретних методів: Н.П. Абовського, В.Б. Андреева, шерджі, Батерфілда, Бреббіа, П.П.Ворошка, Галлагера, Г.Гальоркіна, Я.М.Григоренка, О.Зенкевича, Б.Я.Кантора, ^.С.Корнішина, Г.Крона, Р.Куранта, Мітчелла, С.Г.Міхліна, ).І.Немчінова, Одена, В.Г. Піскунова, О.О. Рассказова, Я.Г. Савули, .С. Сахарова, А.П. Філіна, А.Н.Хомченка, А.Хреннікова, та інших;

- в галузі автоматизації проектування і машинної графіки, про-

»амного забезпечення ЕОМ: Л.Н.Авдотьіна, Ю.І.Бадаєва,

.М. Кислоокого, Д.Мак-Кракена, В.Є.Михайленка, У.Ньюмена, А.Осипова, М.Пратта, Ф.Препарати, К.О.Сазонова, А.Фокса,

ж.Фолі та інших;

- в галузі геометричного моделювання поверхонь архітектурних і ¡хнічних форм: Ю. О. Дорошенка, Г.С.Іванова, С.М.Ковальова,

І.Котова, Л.М.Куценка, В.Є.Михайленка, В.М.Найдиша, .С.Обухової, В.А.Осипова, А.В.Павлова, О.Л.Підгорного, [.М.Рижова, А.А.Савелова, К.О.Сазонова, I.A.Скидана, В.І.Якуніна і їхніх учнів і послідовників.

Наукова новизна одержаних результатів:

- спосіб геометричного моделювання базисних функцій СЕ. Від-інність запропонованого підходу полягає в тому, що він дає можли-сть відмовитись від складання і розв’язання громіздких СЛАР. У іх випадках, коли матриця СЛАР є сингулярною, геометричне мо-глювання є єдиним способом побудови функцій форми СЕ;

- вперше створено каталог сирендипових СЕ з бікубічною інтер-оляцією, який містить просторові комп’ютерні зображення функцій орми, що дає можливість порівнювати інтерполяційні властивості пьтернативних моделей;

- алгоритми та програми комп’ютерної графіки для візуалізації азисних функцій сирендипових та гексагональних СЕ;

- вперше отримані комп’ютерні зображення поліноміального ба-ісу СЕ у формі правильного шестикутника (шість та дванадцять ву-іів);

- запропоновано геометричний критерій якості інтерполяційних властивостей моделей СЕ.

Практичне значення одержаних результатів.

Практичну цінність роботи складають розроблені прості і ефективні геометричні методи, алгоритми і прикладні програми для задач відновлення функцій. Запропонований підхід дозволяє досліджувати відомі моделі та створювати нові шляхом зваженого усереднення альтернативних базисів. Розроблені рекомендації щодо практичного застосування способів геометричного моделювання та прикладних програм.

Нові моделі СЕ, алгоритми та комп’ютерні програми впроваджено в системі автоматизованого проектування в ПКБ АСУ м.Кам’янець-Подільський. (Акт впровадження затверджений 26.05.1997р. директором ПКБ АСУ Кашубою В.Д.).

Створена методика комп’ютерної діагностики теплових полів в елементах радіоелектронної апаратури впроваджена в АТ “НІКОНД” м.Миколаїв. (Акт впровадження затверджений 20.10.1997р. головним інженером АТ “НІКОНД” Морозом В.Б.).

Комп’ютерні програмні модулі, що містять нові геометричні моделі, впроваджені і використовуються в українсько-російському АТ “АУРІТ”.(Акт впровадження затверджений 12.06.1997р. генеральним директором АТ “АУРІТ” Довбишем В.Ю.)

Створене математичне та програмне забезпечення підготовлено для передачі в ПКБ суднобудівних підприємств м.м.Миколаїва та Херсона.

Особистий внесок здобувача

З 14 робіт, що відображають основний зміст роботи, 12 виконані в співавторстві, де особисто автором отримані такі результати: розроблені алгоритми та комп’ютерні програми побудови функцій форми для конструювання нових моделей двовимірних сирендиповш СЕ з 12 та 16 вузлами і гексагональних СЕ з 6 та 12 вузлами; розроблено і реалізовано на базовій мові програмування ОеІрЬі 3.0 підсистему дослідження геометричних моделей та одержання нових моделей на основі вже створених шляхом зваженого усереднення альтернативних базисів; створено каталог сирендипових СЕ з бікубічною інтерполяцією; розроблені алгоритми та програмне забезпеченню комп’ютерного тестування стаціонарних фізичних полів для сиренди-пових СЕ з 12-ма та 16-ма вузлами, а також гексагональних СЕ з 6-мг

а 12-ма вузлами; запропоновано зручний і наочний геометричний ритерій якості інтерполяційних властивостей моделей СЕ.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисерта-ійної роботи доповідались та обговорювались на Всеукраїнській на-ково-практичній конференції “ Наукові дослідження та їх результа-ивність в перші роки незалежної держави” (м.Херсон, 1994), засідан-

і наукового методичного семінару кафедри вищої математики Українського морського державного технічного університету VI.Миколаїв,1995), Всеукраїнській науково-практичній конференції Проблеми пожежної безпеки” (м.Київ,1995), II, III, IV Міжнародних ауково-практичних конференціях “Сучасні проблеми геометричного юделювання” (м.Мелітополь, 1995, 1996, 1997), засіданні наукового іетодичного семінару кафедри вищої математики Українського деревного університету харчових технологій (м.Київ,1995), V,VI Між-ародних наукових конференціях імені академіка М.Кравчука и.Київ,1996, 1997), IX Міжнародній конференції “ Вдосконалення роцесів і апаратів хімічних, харчових та нафтопереробних вироб-ицтв“(м.Одеса, 1996), III Міжнародній науково-методичній конфе-енції “Математика в ВУЗІ“ ( м. Кострома, 1996), Всеукраїнському емінарі “Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосу-ання” (м.Кам’янець-Подільський, 1996), Міжнародному науковому импозіумі “Нарисна геометрія, інженерна та комп’ютерна графіка” vi.Львів.1996), VII Міжнародному симпозіумі “Методи дискретних собливостей в задачах математичної фізики” (м. Феодосія, 1997).

В цілому робота доповідалась на Всеукраїнському семінарі з маематичного моделювання під керівництвом професора Березовсько-

0 A.A. (м.Херсон, 1996), міжвузівському семінарі для аспірантів на афедрі прикладної математики та математичного моделювання ІДТУ під керівництвом професора Хомченка А.Н. (м.Херсон, 1997), ауковому семінарі факультету гуманітарної та природничо-наукової ідготовки УДМТУ під керівництвом професора Мочалова О.О. л.Миколаїв, 1997), науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, шенерної та машинної графіки КДТУБА під керівництвом профе-ора Михайленка В.Є. (м.Київ, 1997).

Публікації.

За результатами наукових досліджень опубліковано 14друкова-их праць (10 статей у збірниках наукових праць, 4 статті у матеріа-ах і тезах конференцій), з них 2 праці без співавторства.

Структура і обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається

1 вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури із 128 най-

менувань, додатків. Робота містить 132 - сторінки машинописное тексту, 65-рисунків, 3-таблиці.

У вступі розкривається сутність і стан наукової проблеми та ї значущість, обгрунтовується актуальність теми, сформульовані мета задачі дослідження, відбиті наукова новизна і практичне значенні одержаних результатів, зазначено конкретний особистий внесок здо бувача, поданий перелік основних наукових результатів, що винося ться на захист.

У першому розділі розглянуто сучасні підходи до розв’язання за дач відновлення функцій. Зроблена загальна характеристика існую чих методів, викладені конструктивні підходи до побудови інтерпо ляційних поліномів. Розглянуто основні ідеї та методи геометричногс способу побудови інтерполянта.

Традиційні методи відновлення функцій використовують мате матичний апарат матричної алгебри. Як правило при цьому необхід но будувати великі системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Однак дш функцій багатьох змінних ці задачі значно складніші, ніж для функції ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ, ЩО ВИКЛИКаНе РЯДОМ ПРИНЦИПОВИХ ТРУДНОЩІВ. По перше, задача не може бути розв’язана при довільній кількості вузлії інтерполяції. По-друге, ці вузли не можуть бути розташовані довіль но в області, що досліджується. Крім того, система може мати сингу' лярну матрицю. Тому у дисертації для відновлення функцій викорис товується метод геометричного моделювання.

Тепер розглянемо двовимірний симплекс-елемент. (Рис. 1).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Рис. 1.

Інтерполяційний поліном має вигляд

6' = !>//,

1-І

де УУ(. - функція форми елемента (базисна, координатна функція), и} - вузлове значення функції, що відновлюється.

Зізьмемо в області елемента і) - ДІ23 довільну точку М. Застосуємо визначення геометричної ймовірності. Точка М розбиває область Д123 на три підобласті Иі (і = 1,2,3)- Номер підобласті відповідає

-юмеру протилежного вузла. Величину ІУ(. визначимо як ймовірність топадання випадково обраної точки у підобласть І)(

_ теяАМ 23 _

1 те.уЛІ23

Тобто

5(д)

З

це 5”(д) - площа області £)(, £(Д)- площа АІ23 , ^ 4; = 1.

і=і

Зстання рівність випливає з теореми додавання ймовірностей повної групи подій. І геометрично вона є очевидною. О = 2), + И2 + /)3.

Ц Д

Поділивши на і), отримаємо: + ^ а®° ^ = + Л^+іУ3.

Як бачимо, ймовірності співпадають з барицентричними коорди-яатами симплекса.

Зазначимо, що формули одержані геометричним методом в точності збігаються з формулами, одержаними алгебраїчним підходом. Проте геометрично-ймовірнісна інтерпретація цих функцій значно спростила задачу їх побудови.

Особливо помітно перевага геометричного підходу проявляється три моделюванні СЕ сирендипової сім’ї.

У другому розділі викладено розвиток геометричних підходів у ?адачах відновлення функцій. Розглянуто геометричні аспекти моделювання сирендипових скінченних елементів. Побудовано альтерна-

тивні моделі з бікубічною інтерполяцією та ступеня р = 4. Викладено поширення геометричного методу відновлення функцій на гексагональні СЕ.

Розглянемо сирендипів СЕ з бікубічною інтерполяцією (Рис.2). У загальному вигляді інтерполяційний поліном можна записати так:

9? = а, + аг£, + а3 77 + а^2 + а^т] + а6т]2 +«7^3 + +

+ а9%ті2 + аі0?і3 + ап%3ті + (3)

1

Рис. 2. До геометричної побудови базису сирендипова СЕ з 12-ти вузлами.

При складанні використовуємо рівняння прямих 4-7, 7-1С та кола, що проходить крізь вузли 2-3-5-6-8-9-11-12. Після нормування отримаємо:

Аг, = зу(1-£)(!- /?)(9(^ 2 + 77 2 )- 1 °)

Взагалі, для кутових вузлів Лг,=^(1 + ^)(1 + '7,'7)(9(^ + ^)-10) і = 1,4,7,10 ^,§ = ±1 (5)

При складанні використаємо рівняння прямих 4-7, 7-10, 1-1С та 3-8. Після нормування отримаємо:

N. = ^-(1 - £2)0 - 77)(1 - 3<?) ©

Взагалі,для вузлів 2,3,8,9:

ЛГ, = зу(1-£2)(1+Я»7)(1 + 9$£) і = 2,3,8.9 ц=± 1; $ = ±у; (7)

Відповідні функції для вузлів 5,6,11,12 одержуються із (7) шля-зм перестановки і Т] .

Ця модель 12-ти вузлового СЕ добре відома. Систему функцій і) і (7) можна збудувати як алгебраїчно, так і геометрично. Недолік ігебраїчного підходу в тому, що він не дає можливості виявити іс-ування інших, альтернативних моделей. Нижче покажемо, як збуду-ати такі моделі шляхом застосування інших геометричних компо-іцій на СЕ з 12-ма вузлами.

Тепер при складанні замість композиції з колом використа-чо композицію з двома прямими, що проходять через вузли 2-12 а 3-11. Прямі 4-7 і 7-10, звичайно, збережемо (Рис. 2).

Для вузлів у вершинах матимемо

+ і = 1,4,7,10, ц^=± 1. (8)

При складанні ТУ, замість прямої 3-8 використовується пряма -9. Тепер для проміжних вузлів отримуємо

= + чф, І = 2,3,8,9, ч = ± 1; 4 = ±5 -

Відповідні функції для вузлів 5,6,11,12 одержуються із (9) шля-ом перестановки £ і Г} .

Цікаво відзначити, що ці формули містять тринадцятий пара-:етр аид21]1, який у формулі (3) відсутній. Побудова 13-араметричної інтерполяції без притягнення додаткового вузла -айкраща ілюстрація переваги геометричного підходу.

У третьому розділі викладено алгоритми та комп’ютерні про-рами, які розроблені для дослідження геометричних моделей задач ідновлення функцій, з застосуванням методів комп’ютерної графіки, 'озроблено підсистему дослідження геометричних моделей (Рис.З).

Підсистема дослідження геометричних моделей включає в себе підуючі основні модулі:

- модуль головної форми;

- модуль дочірньої форми, що використовує принцип багатодо-ументального діалогового інтерфейсу (ІУГОІ), для формування поча-кових даних та оперування з текстовими файлами;

Підсистема дослідження геометричних моделей

................. І.Т,М*

Файл коригування ВІзуаяізацІя Еежими Вік^а Опції Допомога - ІАІ

. 2<

В~1&| &1*| СІ . : .

••• ■ .. ■: / , ■, ■ ■; лі

, - ...... ■; і

- : . ' " ■ ’ 'V

"; '

: ? <

Рис. 3. Головне вікно підсистеми дослідження геометричних моделей

- модуль для завантаження збережених результатів у вигля; графічних файлів;

- модуль візуалізації базисних функцій та відновлення функцій з значеннями у вузлах;

- модуль формування бібліотеки створених геометричних мод с

лей.

Всі модулі підсистеми реалізовані на базовій мові програмуванн ОеІрЬі 3.0.

У четвертому розділі наводяться приклади застосування нови геометричних моделей та порівняння інтерполяційних якостей.

Для порівняння інтерполяційних якостей різноманітних геомет ричних моделей за допомогою розробленої підсистеми проведено те стування та візуалізацію базисних функцій відповідних СЕ(Рис.З-5} На перший погляд може здатися, що відміни незначні і вони не мо жуть істотно змінити обчислювальні властивості елементів. Однак навіть прості тести показують, що результати можуть відрізнятис. не тільки кількісно, але й якісно.

Один із поширених тестів пов’язаний з обчисленням спектра вузло вих навантажень рівномірної масової сили.

Вузлова частка навантаження визначається подвійним інтегра лом по області СО скінченного елементу від відповідної базисної фун кції, зваженої з поверхневою густиною у :

P> = ¡\rNi(^,ri)d^d?] , і =1,12; (10)

CO

Для однорідної пластинки / = 0.25.

Рис. 4. Графік функції ]Я1, Рис. 5. Графік функції Л^9, третя модель (композиція з третя модель,

еліпсом).

5озрахунки вузлових навантажень наведені в таблиці 1.

_______ Таблиця І.

Моделі Значення Р. для вузлів у вершинах квадрату і= 1,4,7,10 Значення Рі для вузлів на сторонах квадрату і=2,3,5,6,8,9,11,12

Перша -1/8 3/16

Друга 1/8 1/16

Третя 0 1/8

Четверта 2/48 5/48

П’ята 2/80 9/80

Шоста 6/32 1/32

Сьома -3/8 5/16

У вигляді іншого тесту розв’язувалась задача дослідження тем-іературного поля пластини. А також визначалися розміри від’ємних он базисних функцій за допомогою підсистеми дослідження геомет-шчних моделей. Така інформація дала можливість сформулювати іростий і наочний геометричний критерій якості моделі.

Аналогічні методи комп’ютерної візуалізації та тестування також легко розповсюджуються і на гексагональні СЕ(Рис.8).

температурного поля гексагонального СЕ

Побудова алгебраїчного полінома на елементі у вигляді правильного шестикутника дуже складна задача. Спроба розв’язати її алгебраїчно не вдалася, тому що матриця системи рівнянь виявилася сингулярною. Це ще один важливий випадок, коли геометричний підхід поза конкуренцією.

В дисертації наведені два альтернативних базиса тривимірного сирендипового елементу (32-вузли)(Рис.9). Алгебраїчний підхід вимагає складання і розв’язання СЛАР 32-го порядку. Зауважимо, що в рамках геометричного підходу можна побудувати інтерполяцію, що містить 38 параметрів. Переваги геометричного моделювання в тому, що воно включає в інтерполяцію 6 нових параметрів без залучення додаткових вузлів. Прихильники алгебраїчного підходу при побудові такої моделі розглядають гранецентрований куб і досліджують СЛАР 38 порядку.

У роботі розв’язана задача комп’ютерного аналізу температурного поля прямокутної панелі радіоелектронної апаратури з розмірами сторін 21см та 15 см. Прикладна програма включає аналітичні залежності для температурного поля панелі, що побудовані на лабо-

Рис.9. Сирендипів СЕ з трикубічною інтерполяцією, аторних експериментах АТ “НІКОНД” (м.Миколаїв). Постановка вдачі здійснена спільно з інженерами-конструкторами заводської абораторії випробувань нової техніки.

ВИСНОВКИ

1. У задачах відновлення функцій найбільшого розповсюдження істали методи матричної алгебри, які пов’язані із складанням і озв’язуванням громіздких систем лінійних алгебраїчних рівнянь ПЛАР). Використання алгебраїчного підходу вимагає подолання ві-омих обчислювальних перешкод. Існують випадки, коли доводиться ати справу з сингулярними матрицями СЛАР. Такий стан питання гимулює розробку нових підходів до розв’язування задач відновлен-я функцій. Одним з найбільш ефективних шляхів розв’язування стадних питань у задачах відновлення функцій є геометричне моде-ювання.

2. Базисні (координатні) функції будуються за допомогою ком-озицій ліній, які проходять через вузли інтерполяції. В дисертації :тановлено ймовірнісно-геометричний зміст базисних функцій, а та-зж наведено ймовірністне тлумачення інтерполяційного поліному, іпропонований підхід поєднує плідні ідеї методу Монте-Карло з ¡хнікою методу скінченних елементів.

3. Головна перевага геометричного моделювання полягає в то-у, що цей підхід дає можливість на відміну від алгебраїчного спосо-

бу будувати альтернативні моделі скінченних елементів. Наявність таких моделей спрощує проблему оптимізації інтерполяційних властивостей базисних функцій. В дисертації вперше створено каталог моделей скінченних елементів сирендипової сім’ї. За допомогою розроблених в дисертації алгоритмів і комп’ютерних програм зроблено порівняння різноманітних моделей. Геометричне моделювання успішно пройшло перевірку в практичних задачах діагностики температурних полів. Зроблено порівняння одержаних результатів з результатами використання методу скінченних різниць, яке свідчить про високу ефективність розроблених моделей. Запропоновано цілий ряд елементів з бікубічною інтерполяцією, які мають кращі якісні характеристики в порівнянні з відомими елементами.

4. Сформульована і розв’язана задача побудови базисних функцій на елементі у вигляді правильного шестикутника. В останні роки помітно посилився інтерес до таких елементів у зв’язку з задачами нейтронної дифузії та теплопровідності в ядерних реакторах. Традиційний підхід до побудови інтерполяцій на шестикутнику використовує розбиття на 6 або 4 трикутника. Така модель суттєво збільшує об’єм обчислень. Спроба побудувати інтерполяційний поліном на шестикутнику за допомогою алгебраїчного підходу була невдалою. Матриця СЛАР шостого порядку виявилася сингулярною. Геометричні моделі інших авторів привели до створення дробово-раціонального базису на шестикутнику. Така модель використовується на протязі останніх років, але розрахунки свідчать про виникнення неконтрольованих похибок при обчисленні подвійних інтегралів. Геометрична модель, що запропонована в роботі, дала можливість побудувати саме поліноміальний базис на шестикутнику з 6-ма та 12-ма вузлами.

5. Для дослідження якостей нових моделей шестикутних елементів розроблені алгоритми, складені комп’ютерні програми, які забезпечують порівняння базисних функцій дробово-раціональних з полі-номіальними. Розроблені комп’ютерні тести для перевірки нових моделей в задачах дослідження стаціонарних полів. Аналіз тривимірних зображень та розташування ліній нульового рівня дозволяє встановити недоліки моделей, причини їх виникнення, а також запропонувати способи коригування інтерполяційних властивостей моделей.

6. Встановлено, що відомий в науковій літературі елемент з бікубічною інтерполяцією дає систематичне заниження значень польової функції. Порівняння цього елементу з новими моделями, розробле-

ими автором, дозволило сформулювати зручний і наочний геомет-лчнин критерій якості моделей.

7. Геометричне моделювання дозволяє суттєво зменшити об’єм Зчислень в задачах відновлення функцій, дає можливість будувати іьтернативні моделі. За допомогою усереднення альтернативних оделен вирішується питання оптимізації якісних та кількісних пока-іиків.

8. Достовірність отриманих результатів і працездатність побудо-іних моделей грунтуються на порівнянні з відомими розв’язками те-ових задач. Для практичного використання результатів дисертації ;ладені алгоритми та розроблені комп’ютерні програми на основі «метричного моделювання фінітних функцій. Пакети прикладних зограм впроваджені в системах автоматизованого проектування в КБ АСУ м. Кам’янець-Подільський, АТ “НІКОНД” м.Миколаїв, Т “АУРІТ” м.Херсон.

9. Отримані в дисертації результати можна рекомендувати для »користання в ПКБ суднобудівних підприємств м.м. Миколаїва, ерсона. Крім того, програми побудови аналітичних залежностей ожуть бути корисними в екологічних дослідженнях, а саме, в зада-

іх діагностики забруднення території промислових об’єктів.

10. З метою узагальнення геометричного способу побудови бази-іих функцій для тривимірних задач в дисертації запропоновані мо-:лі сирендипових елементів з трикубічною інтерполяцією (32 вузли), »уважимо, що використання алгебраїчного підходу до розв’язання єї задачі вимагає аналізу СЛАР 32 порядку. В тривимірних задачах е більш виразно виявляються переваги геометричного моделювання порівнянні з алгебраїчним.

Основні положення дисертації опубліковані у таких роботах:

1. Гучек П. И. Геометрическое моделирование и компьютерная ізуализация базисов конечных элементов // Нелинейн. краев, задачи зтем. физики и их приложения. Сб. науч. тр. - К. : Ин-т математики АНУ, 1996. -С. 95 - 97.

2. Гучек П. И. Компьютерная визуализация функций формы коечных элементов//!нтегральні перетворення та їх застосування до >айових задач. 36. наук. пр.-Київ:Ін-т математики НАН України, »97.-Вип.14.-С. 79-81.

3. Гучек П. И., Крючковский В. В., Хомченко А. Н. Некоторые юбщения задачи Дж. Хзммерсли//Матеріали VI Міжнар. наук. >нф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ :КП1, 1997. - С. 129.

4. Гучек П. И., Литвиненко Е. И., Хомченко А. Н. Геометричес кое моделирование полиномиальных базисов шестиугольного эле мента // Сб. тр. III Межд. конф. “Совр. пробл. геом. моделир.” - Ме литополь: ТГАТА, 1996. - С. 43.

5. Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко Б.А. Сглаженны аппроксимации на сирендиповых элементах//Сб. тр. VII Межд. симп “Методы дискретных особенностей в задачах математической физи ки”-Феодосия,1997,- С.62-64.

6. Гучек П. И., Литвиненко Е. И., Цуркан Ф. В. Компьютерны тесты на шестиугольном конечном элементе // Математич. моделиро вание: Сб. науч. тр. - К.: Ин-т математики НАНУ, 1996.-С. 88-91.

7. Конечные элементы сирендипова семейства. Справочно методическое руководство для аспирантов/А.Н. Хомченко, Е.И. Лит виненко, П.И. Гучек. -Херсон:ХИИ, 1995.-24с.

8. Хомченко А. Н., Гучек П. И., Литвиненко Е. И. Геометричес кое моделирование полиномиальных базисов гексагональных конеч ных элементов // Математич. моделирование: Сб. науч. тр,- К. : Ин-математики НАНУ, 1996. -С. 84 - 87.

9. Хомченко А. Н., Гучек П. Й., Литвиненко О. І. Моделюванні гексагональних скінчених елементів // Тези V Міжнар. наук. конф. ім акад. М. Кравчука. - Київ :КПІ, 1996. - С. 465.

10. Хомченко А. Н., Гучек П.И., Хомченко Б. А. Геометрически модели в задачах приближения функций многочленами // Матер міжн. симп. “Нарисна геом., інженерна та комп. графіка”. - Львів: “Львівська політехніка”, 1996. - С. 60.

11. Хомченко А. Н., Гучек П.И., Хомченко Б. А. Моделировани и компьютерная диагностика конечных элементов сирендипова се мейства // Тр. Межд. конф. “Математика в вузе“ . - Санкт-Петербург АМВ, 1996.-С. 145.

12. Хомченко А. Н., Гучек П.И., Хомченко Б. А. Дискретные мо дели тепловых полей в конструктивных элементах сложной формы I Тези доп. IX Міжн. конф. - Одеса: ОДАХТ, 1996. - С. 31.

13. Хомченко А. Н., Левая Т. П., Гучек П. И. Новые модели си рендиповых элементов И Прикл. геом. и инж. графика. - К. : Будіве льник, 1996. - Вып. 60. - С. 53 - 56.

14. Хомченко А. Н., Литвиненко Е. И., Гучек П. И. Геометри; сирендиповых аппроксимаций // Прикл. геом. и инж. графика. К. Будівельник, 1996. - Вып. 59. - С. 40 - 42.

Гучек П.Й. Розробка геометричних моделей та комп’ютерних ограм для задач відновлення функцій.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних ук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна грака,- Київський державний технічний університет будівництва і архі-<тури, Київ, 1998.

Дисертація присвячена питанням розробки методики геометрич-го моделювання для сучасних задач відновлення функцій, зокрема іделювання функцій форми різних типів скінченних елементів, зорення алгоритмів та програм для дослідження та коригування ін-рполяційних якостей дискретних моделей засобами комп’ютерної афіки.

Основні результати роботи знайшли промислове впровадження :истеми автоматизованого проектування з поліпшеними обчислю-льними характеристиками.

Ключові слова: геометричне моделювання, скінченні елементи, герполяція, дискретні методи, комп’ютерна графіка.

Гучек П.И. Разработка геометрических моделей и компьютер-

ix программ для задач восстановления функций.-Рукопись.

Диссертация на соискания ученной степени кандидата техничес-

x наук по специальности: 05.01.01 - прикладная геометрия, инже-рная графика.- Киевский государственный технический универси-г строительства и архитектуры, Киев, 1998.

Диссертация посвящена вопросам разработки методики геомет-ческого моделирования для современных задач восстановления 'нкций, в частности моделирования функций формы разных типов нечных элементов, создания алгоритмов и программ для исследо-ния и корректировки интерполяционных качеств дискретных моде-й средствами компьютерной графики.

Основные результаты работы нашли промышленное применение системах автоматизированного проектирования с улучшенными [числительными характеристиками.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, конечные эле-нты, интерполяция, дискретные методы, компьютерная графика.

Guchek P.I. Development of geometrical models and computer pro grams for problems of restoration of functions. - Manuscript.

The dissertation for acquiring Scientific Degree of Candidate of Tech nical Sciences in the speciality: 05.01.01 - Applied geometry, engineerini graphics.- Kiev State Technical University of Building and Architecture Kiev, 1998.

The dissertation is devoted to the questions of development of ; technique of geometrical modeling for modern problems of restoring thi functions, in particular, modeling functions of the form of different type of finite elements, creation both algorithms and programs for research an< updating interpolation of qualities of discretic models by means of com puter graphics.

The basic results of work have found industrial application in sys tems of automated designing with improved computing characteristics.

Key words: geometrical modeling, finite elements, interpolation, dis cretic methods, computer graphics.