автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задач

На правах рукописи

ПЕТУХОВА Маргарита Владимировна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва - 2013 005538992

005538992

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» на кафедре прикладной математики.

Научный Лупуляк Сергей Валерьевич,

руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

кафедры "Прикладная математика" ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет».

Официальные Бернштейн Александр Владимирович,

оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий лабораторией ФГБУН Института системного анализа Российской академии наук.

Губарев Федор Васильевич,

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ФГБУН Института проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук.

Защита диссертации состоится 24 декабря 2013 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.086.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институт системного анализа Российской Академии Наук» по адресу 117312, г. Москва, проспект 60-летия Октября, д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН «Институт системного анализа Российской Академии Наук».

Автореферат разослан « /3 » ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., проф.

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Одной из актуальных проблем в области прикладной математики является создание эффективных методов решения задач механики контактных взаимодействий тел. Даже при наличии современной высокопроизводительной вычислительной техники решение практических контактных задач в общем случае требует значительных затрат как аппаратных ресурсов (процессорного времени и памяти), так и человеческих (рабочее время инженерно-технического персонала и т.п.). Поэтому создание алгоритмов, существенно сокращающих время, необходимое для получения достоверного результата, является важной и практически значимой задачей.

Диссертационная работа посвящена исследованию специального класса контактных задач, который (для удобства) мы обозначим через 15. Этот класс обладает следующими особенностями:

• Зона, в пределах которой возможно возникновение контакта между телами, известна заранее, далее будем называть ее зоной стыка. Отметим при этом, что зона контакта (то есть подмножество зоны стыка, на котором достигается контакт) заранее неизвестна и определяется в ходе решения задачи.

• В зоне стыка касательные смещения каждого из взаимодействующих тел (по отношению к поверхности этого тела) являются пренебрежимо малыми по сравнению с нормальными смещениями.

• Внешние нагрузки к взаимодействующим телам прикладываются исключительно в зоне стыка, либо могут быть перенесены в эту зону.

• Силы трения, возникающие в результате контакта, не учитываются.

• Напряжённо-деформируемое состояние каждого рассматриваемого тела описывается уравнениями линейной теории упругости.

• Ищутся установившиеся по времени решения, то есть задачи рассматриваются в стационарной постановке.

Приведённые выше особенности конкретизируют общую постановку контактной задачи, а значит, могут быть использованы при разработке специализированных математических алгоритмов ее решения.

Контактные задачи из класса ^ возникают, в частности, при моделировании процесса сборки крупногабаритных криволинейных деталей в единую конструкцию посредством заклёпочных и болтовых соединений. Например, в авиа- и ракетостроении окончательная сборка изделий включает в себя несколько достаточно трудоёмких операций: соединение между собой крупногабаритных секций фюзеляжа или корпуса ракеты, присоединение консолей крыла к центроплану, установленному внутри центральной секции фюзеляжа, и т.п. Все эти процессы являются весьма длительными и трудозатратными, поэтому поиск рациональных способов усовершенствования сборочных операций представляется одной из актуальнейших задач современного авиа- и ракетостроения, решение которой позволит увеличить производительность сборочных линий на современных предприятиях аэрокосмической промышленности. Одним из наиболее перспективных путей решения указанной задачи является математическое моделирование с целью дальнейшей оптимизации процесса сборки.

Моделирование сборочного процесса влечет необходимость проводить серии многовариантных расчётов, так как на производстве инженер-технолог имеет дело с различными конфигурациями установленных крепёжных элементов в собираемом соединении. К тому же, высокие стандарты по качеству и точности изготовления изделий аэрокосмической промышленности порождают повышенные требования к точности расчётных моделей, которые используются в данной области.

Следовательно, весьма актуальной задачей представляется разработка таких алгоритмов решения контактных задач класса которые с одной стороны обеспечивают возможность оперативно проводить многовариантные расчёты (т.е. решать серии задач с похожими исходными данными в реальном времени), а с другой стороны обеспечивать точность результатов, достаточную для проведения количественного анализа моделируемых процессов.

Цель данной диссертации состоит в разработке эффективных методов и алгоритмов для решения контактных задач класса

В работе поставлены и решены следующие задачи:

1) Разработана численная методика, позволяющая максимально эффективно использовать особенности рассматриваемых контактных задач, и обоснована ее сходимость;

2) Продемонстрирована эффективность разработанной методики на примере известной задачи, имеющей аналитическое решение, а также путем сравнения полученных результатов с данными физических экспериментов, а также с результатами расчётов, проведённых с помощью коммерческого программного комплекса ANSYS Mechanical.

3) Созданы элементы программного комплекса, реализующего разработанную методику.

Методологическая и теоретическая основа исследования. Обоснование существования и единственности решения задачи основано на методах функционального анализа и вариационного исчисления. Численное решение задачи базируется на методе конечных элементов и методах квадратичного программирования. Расчётные процедуры реализованы в виде комплекса компьютерных программ на языке программирования С++. Для верификации результатов используются экспериментальные и аналитические методы. Программный комплекс ANSYS Mechanical привлекается для выполнения расчётов.

Научная новизна исследования. В данной диссертации предлагается

метод решения контактных задач класса В частности, такие задачи возникают

при глобальном численном моделировании процесса соединения деталей

посредством клёпки. Этот метод позволяет учитывать контакт между деталями

в пределах всей возможной контактной области и вычислять соответствующие

перемещения и контактные силы реакции, в то время как большинство

исследований посвящено локальному моделированию, где контактная задача

решается лишь в небольшой окрестности одного или нескольких крепёжных

элементов (см., например, [1]). Предложенный метод составляет

вычислительное ядро программного комплекса, предоставляющего

инструментарий для анализа перемещений и напряжений, возникающих при

3

сборке, инженеру-технологу сборочной линии. Расчёты с использованием данного комплекса могут проводиться в режиме реального времени и обеспечивают возможность прогнозирования поведения деталей при сборке в масштабных соединениях (типа крыло-фюзеляж и др.). Разработанный метод успешно применен как для решения модельных задач, так и для задач, возникающих при моделировании сборочного процесса реальных деталей.

Достоверность полученных результатов подтверждается благодаря проведению сравнительного анализа с аналитическим решением, с экспериментальными данными и с результатами численного моделирования, выполненного в среде ANSYS Mechanical.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработан и верифицирован эффективный алгоритм решения контактных задач класса 1R. Работа над диссертацией велась в 2009-2012 гг. в рамках совместных проектов СПбГПУ и компании AIRBUS. Программный комплекс, в основе которого лежит разработанная методика, включён в план внедрения в компанию AIRBUS. При этом совместные исследования продолжаются и расширяются. Положения, выносимые на защиту:

1. Методика расчёта деформированного состояния тел при контактном взаимодействии.

2. Вычислительное ядро программного комплекса для решения задач класса

3. Результаты сравнения численного решения, полученного с использованием разработанного алгоритма, с аналитическим решением модельной задачи, а также с экспериментальными данными и результатами, полученными с использованием стороннего программного обеспечения, для расчета деформированного состояния деталей при их соединении крепёжными элементами.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались:

• на международной конференции SAE 2009 AeroTech Congress & Exhibition, г. Сиэтл, США;

• на международной конференции SAE 2011 AeroTech Congress & Exhibition, г. Тулуза, Франция;

• на международной конференции 17th European Conference on Mathematics for Industry 2012, г. Лунд, Швеция.

• на совещаниях с рабочей группой AIRBUS (г. Санкт-Петербург, г. Тулуза,

Франция, 2009-2012 гг.);

• на семинарах кафедры "Прикладная математика" СПбГПУ (г. Санкт-Петербург, 2009-2013 гг.).

Работа поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для аспирантов ВУЗов и академических институтов в 2010 году.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ (из них 3 работы в журналах Перечня ВАК).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 119 страниц. В тексте содержится 66 рисунков, 2 таблицы. Список литературы включает 62 наименования.

Основное содержание работы

В первой главе рассмотрены различные постановки стационарной контактной задачи без трения при условии малых деформаций и вопросы существования и единственности решения данной задачи. Сначала рассматривается взаимодействие деформируемого тела, занимающего в пространстве R''{d = 3) область П с границей Г = йП, и абсолютно жёсткого препятствия.

Пусть векторная функция и принадлежит соболевскому пространству Введем билинейную форму, выражаемую через тензор малых деформаций £ = ^(vw+(Vh)''') и тензор упругих постоянных С = {с,/П}'' к ; ],

A(u,v) = \e{u):C:c(£)dx (1)

ii

и линейный функционал, определяющий нагрузку объемных И = ^¡У.(?>■)] и поверхностных /:-{/•;};' ,,Г)]' сил:

= (2)

а г

Контактная задача формулируется в обобщенном виде - найти такую функцию ij.eS, что выполняется вариационное неравенство:

А(и,У-и)>Цу-и) (3)

где 5с[и/2'(П)}' - выпуклое множество допустимых функций.

Также используется эквивалентная вариационная постановка:

А(у,V) - (4)

Кроме того, в работе кратко описано известное (см., например, [2]) доказательство существования и единственности решения вариационной задачи (4) на основе теорем функционального анализа.

Также в первой главе постановка контактной задачи обобщается на случай взаимодействия нескольких деформируемых тел.

Во второй главе рассмотрены методы численного решения поставленной контактной задачи. В первом параграфе с помощью метода конечных элементов получен дискретный аналог вариационной задачи (4) в случае взаимодействия деформируемого тела и жёсткого препятствия:

тт[-ит-К-и-Рт-и\ (5)

)

где и - вектор перемещений конечноэлементных узлов, К - глобальная конечноэлементная матрица жёсткости системы, Р - вектор действующих нагрузок, .94 - векторная аппроксимация допустимого множества Я .

Для поставленной задачи приведены теоремы сходимости метода конечных элементов для случаев многоугольной и криволинейной границы Г [3].

Во втором параграфе дан обзор различных подходов к решению построенной дискретной задачи. Сложность контактных задач состоит в том, чтобы отследить возникновение контакта на поверхности исследуемых тел в

произвольном (непрогнозируемом) месте. Один из подходов основан на выделении двух подзадач: нахождение зоны контакта и решение задачи минимизации (5) с учётом полученной информации. В работе наиболее подробно описан метод Лагранжа, так как впоследствии он используется для верификации разработанного численного метода решения.

В третьем параграфе проанализированы особенности контактных задач класса 15, которые могут быть использованы для построения эффективного алгоритма.

Четвёртый параграф содержит описание метода сокращения размерности дискретной задачи (5). Его суть заключается в том, чтобы вычислять перемещения не во всей расчётной области, а только в зоне стыка. Конечноэлементные узлы нумеруются так, чтобы представить вектор

перемещений в виде где ис - вектор перемещений узлов в зоне

стыка, ик - вектор перемещений всех остальных узлов. Тогда вектор

приложенных нагрузок запишется как /' = | ^ |, где Рг - вектор нагрузок в

узлах зоны стыка, - вектор нагрузок, приложенных в остальных узлах. Тогда

(А' К \

можно записать матрицу К в блочном виде: К = I "' .

К К с/г

После вычисления дополнения по Шуру блока Ккк, блок КГГ преобразуется в редуцированную матрицу жесткости Кс. Эта матрица задает связь перемещений ис и нагрузок в уравнении равновесия. В тексте диссертации предложены альтернативные способы вычисления матрицы Кс. В частности, она может быть вычислена через блоки исходной матрицы К :

Кс = Ксс - Кск ■ ■ К^, (6)

Также редуцированную матрицу жесткости Кс можно найти по формуле:

Кс = Я-\ (7)

где Я = , гу - это перемещение /:го расчетного узла под действием

единичной силы, действующей в 1-м расчетном узле.

От исходной задачи (5) переходим к задаче квадратичного программирования, где в качестве вектора неизвестных переменных рассматриваются только перемещения в зоне стыка:

где N - линейный оператор, задающий нормаль к поверхности касания, С -вектор начальных зазоров в узлах зоны стыка.

Также получено соотношение, задающее связь между перемещениями IIг

и и„:

Доказана теорема об эквивалентности исходной (5) и преобразованной (8),(9) задач. Исходя из сходимости метода конечных элементов для рассматриваемой задачи, можно заключить, что разработанный метод также сходится.

При моделировании реальных соединений деталей самолёта размерность вектора иг значительно меньше, чем исходного вектора и (в десятки или даже сотни раз). Вектор ис может быть составлен только из нормальных компонент перемещений узлов, так как одной из особенностей рассматриваемых нами контактных задач является малость касательных смещений в зоне стыка. Изменение начального зазора между телами или внешней нагрузки не требует пересчёта матрицы Кс, т.е. ее можно использовать для серии расчётов. Такая организация вычислений позволяет эффективно применять алгоритм для моделирования клёпочного соединения тел, где важно решать множество задач с различными вариантами расстановок крепёжных элементов и при изменении взаимного расположения соединяемых тел.

Добавим, что задача о взаимодействии р деформируемых деталей также сводится к задаче вида (8), но при этом матрица Кс является блочно-

(В)

(9)

диагональной. Вектор неизвестных перемещений ис формируется из узловых перемещений каждого тела, независимых друг от друга:

= (Ю)

где игС1 - вектор перемещений контактных узлов ¡-го тела.

Тогда для вектора перемещений подобной структуры редуцированная матрица всей системы приобретает следующий вид:

Кп =

КГ1 0 ... 0 о К,..... 0

0 0 ... КГр

(И)

где ка - редуцированная матрица жесткости ¡-го тела.

Матрицы Л.',. вычисляются независимо друг от друга указанным выше способом.

Для решения задачи квадратичного программирования (8) выбран алгоритм Голдфарба-Иднани [4] - это двойственный метод активного набора, зарекомендовавший себя как быстрый и эффективный, а также как пригодный для адаптации под конкретную задачу. Однако стоит отметить, что матрица Кс плохо обусловлена. Поэтому предпочтительнее использовать модификацию алгоритма Гольдфарба-Иднани, разработанную Пауэллом [5] для решения плохо обусловленных задач.

Пятый параграф посвящен адаптации алгоритма Голдфарба-Иднани-Пауэлла к особенностям рассматриваемой задачи:

1) Входные данные задачи обладают следующими свойствами: редуцированная матрица жёсткости Кс имеет блочно-диагональную структуру, а матрица ограничений N является практически незаполненной (каждая строка содержит два ненулевых элемента). Хранение и использование только ненулевых элементов этих матриц позволяет сократить затраты по памяти и значительно уменьшает число операций сложения и умножения.

2) При обработке ограничений, выполненных активно, привлекается информация о приложенных нагрузках, так как сила, приложенная в узле,

означает наличие крепежного элемента в его окрестности и, следовательно, указывает на большую вероятность возникновения здесь контакта. Такая стратегия сокращает число итераций алгоритма. 3)При моделировании конкретного соединения проводятся серии расчётов с различным числом расставленных крепёжных элементов (приложенных нагрузок). Поэтому реализована технология "горячего запуска", которая позволяет использовать найденное ранее решение в качестве начального приближения. Так, например, решив задачу (8) при установленных п элементах, мы можем начинать итерации с полученного вектора решения при проведении расчётов с числом элементов т, где т> п.

Проведён сравнительный анализ производительности исходной и модифицированной версий алгоритма на нескольких тестовых примерах. Применение первых двух модификаций позволяет сократить время расчёта более чем в два раза. На рисунке 1 представлена зависимость времени работы алгоритма от числа установленных крепёжных элементов для задачи размерностью 2292 узла, для остальных тестовых задач характер полученных кривых практически не меняется.

Тестовая задача. 2292 узла

..............

1..............

ж-'

•г"

-Без модификаций

Учет блочности К

- Учет блочности К + Выбор ограничения

■ Учет блочности К + Выбор ограничения+ Учет

разреженности N

Число ненулевых значений сил

Рис. 1 Зависимость времени расчёта от числа установленных крепёжных

элементов

Из графика следует, что учёт блочной структуры матрицы Кс и

разреженности матрицы N дают заметную экономию времени расчёта.

10

При многовариантных расчётах использование технологии "горячего запуска" позволяет ускорить вычислительный процесс. В таблице 1 приведены результаты расчётов для различных начальных приближений. В алгоритме со всеми модификациями в качестве начального приближения используется точка безусловного минимума задачи (8), это мы будем называть "запуском с начала". Еще три столбца с расчётными данными получены, если в качестве начального приближения выбрано решение задачи (8) при 93, 113 и 133 установленных крепёжных элементах.

Если для двух задач векторы приложенных нагрузок отличаются незначительно, то пересчёт нового решения с решения, найденного ранее, осуществляется быстрее, чем при запуске расчётов с начала.

Таблица 1 Расчёты с использованием технологии "горячего" запуска

Время работы алгоритма (с)

Число Запуск с начала Запуск с Запуск с Запуск с

установленных решения для 93 решения для решения для

крепёжных крепежных 113 крепёжных 133 крепёжных

элементов элементов элементов элементов

153 24,22 17,06 13,47 6,75

173 25,79 22,67 17,11 10,67

193 26,38 22,34 15,56 11,55

213 28,04 25,95 19,67 16,51

В шестом параграфе обсуждается несколько способов восстановления результатов во всех конечноэлементных узлах, если мы располагаем информацией о перемещениях и силах реакции в зоне контакта.

Третья глава диссертации посвящена сравнению результатов расчётов по разработанной методике с аналитическим решением задачи Герца для двух шаров. Используются две расчётные модели, построенные на грубой и подробной конечноэлементных сетках, с тем, чтобы проследить сходимость численного решения к аналитическому при измельчении сетки.

В качестве сопоставляемых величин выбраны давление в центре

контактной области, радиус контактной области и расстояние, на которое

сблизились центры шаров после деформации. Сравнение результатов,

полученных на грубой и подробной моделях, выполнено при различных

значениях сжимающей силы. Анализируя рисунок 2, можно отметить, что

11

решение, вычисленное на подробной сетке, (отмечено треугольными маркерами) гораздо лучше приближает аналитическую кривую, чем решение на грубой сетке (отмечено прямоугольными маркерами), особенно при малых значениях сжимающей силы, т.е. показана сходимость по сетке.

Рис. 2 Зависимость давления в центре контактной области от величины

сжимающей силы

В четвёртой главе выполнено сравнение результатов, полученных с помощью разработанной методики, с экспериментальными данными и результатами, полученными при моделировании в программном комплексе ANSYS Mechanical. Эксперимент проводился в компании AIRBUS, его цель состояла в измерении деформаций соединения, состоящего из двух деталей: первая из них представляет собой часть крестообразного лонжерона, а вторая — часть верхней панели крыла самолета. На рисунке 3 изображена модель экспериментального стенда, жёлтыми точками отмечено положение измерительных датчиков, красными линиями ограничена зона стыка, жёлтым цветом выделены линии, вдоль которых выполнены численные расчёты.

Линяя

Зона стыка

Рис. 3 Модель экспериментального стенда

В комплексе ANSYS Mechanical задача решалась стандартным способом с помощью метода Лагранжа. На рисунке 4 построены графики распределения продольной компоненты тензора деформаций вдоль контрольной линии.

Линия №1 -AMSYS -Разработ анный метод

4s я Эксперимент На1 & Эксперимент Ма2 ♦ Эксперимент N»3

А ✓ 1 -X

Г S /

/ "V—

t

ч.

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 Координата на пинии, и и

Рис. 4 Сравнение результатов вдоль линии № 1 Как видно из графиков, результаты моделирования с использованием разработанной методики достаточно близки как к результатам расчётов в /\NSYS, так и к экспериментальным данным.

Кроме того, численное моделирование позволяет нам визуализировать и сравнить контактные зоны для разных полей начального зазора (см. рис. 5). Рисунки под буквой а) получены в комплексе АИБУБ, оранжевые области соответствуют контакту между деталями. Рисунки под буквой Ь) получены по разработанной методике, разноцветные точки соответствуют узлам, где возникают контактные силы реакции.

Рис. 5 Контактные зоны для постоянного начального зазора Контактные области практически совпадают для двух разных методов решения.

Процессорное время, затраченное на решение задачи в программном комплексе ANSYS Mechanical, составляет около трёх часов. При использовании разработанной методики решение задачи занимает около десяти секунд. Кроме того, необходимо учесть время вычисления редуцированной матрицы жёсткости Кс на этапе подготовки данных - два часа. Таким образом, даже при проведении одного расчёта эффективнее использовать разработанную методику, а в случае серии расчётов для разных распределений начального зазора и приложенных нагрузок выигрыш во времени становится ещё более значительным.

Заключение

- Разработана методика решения контактных задач класса 1R, возникающих при моделировании процесса сборки деталей посредством заклёпочных соединений, которая позволяет свести исходную задачу к задаче квадратичного программирования. Обоснована сходимость разработанного метода.

- Предложены и внедрены модификации алгоритма решения задачи квадратичного программирования, которые эффективно используют особенности рассматриваемой задачи.

- Проведён анализ производительности исходной и модифицированной версий алгоритма на тестовых задачах. Получено заметное сокращение времени расчётов.

- Создано вычислительное ядро программного комплекса для решения рассмотренного класса задач 1R.

- Разработанная методика верифицирована на примере задачи Герца, имеющей аналитическое решение. Результаты, полученные численно и аналитически, совпадают с высокой степенью точности. Погрешность решения, вычисленного на подробной сетке, не превышает 3%.

- Выполнена проверка адекватности разработанного метода путём сравнения с

экспериментальными данными и результатами численного моделирования в

коммерческом программном комплексе. Получено хорошее согласование

результатов, относительная погрешность находится в диапазоне 2-10%.

14

Список работ цитируемой литературы

1.Kaniowski J., Wronicz W., Jachimowicz J., Szymczyk E. Methods for FEM analysis of riveted joints of thin-walled aircraft structures within the Impeqa project // ICAF 2009, Bridging the Gap between Theory and Operational Practice. - стр. 939-967.

2. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. - М.:Мир, 1983. - 256 с.

3. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И. Решение вариационных неравенств в механике. - М.:Мир, 1986. - 270 с.

4. Goldfarb D., Idnani A. A numerically stable dual method for solving strictly quadratic programs // Mathematical programming, Vol. 27, № 1,1983. - стр. 1-33.

5. Powell M.J.D. On the quadratic programming algorithm of Goldfarb and Idnani // Mathematical programming studies, V.25, 1985. - стр 46-61.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

Статьи в журналах Перечня ВАК

1. Ковтун1 М.В. Быстрый алгоритм решения некоторых контактных задач / Ковтун М.В., Родионова О.П., Лупуляк С.В. // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование. 2009. № 1 (74). - стр. 146-151.

2. Lupuleac S. Assembly Simulation of Riveting Process / Lupuleac S., Kovtun M., Rodionova O., Marguet B. // SAE International Journal of Aerospace, vol.2, 2010. -стр. 193-198.2

3. Lupuleac S. Methodology for Solving Contact Problem during Riveting Process / Lupuleac S., Petukhova M., Shinder Y., Bretagnol, B. // SAE International Journal of Aerospace, № 4(2), 2011. - стр. 952-957.

Статьи в научных изданиях

4. Ковтун М.В. Моделирование клёпочного соединения крыла самолёта AIRBUS А320 / Ковтун М.В., Лупуляк С.В. // XXXVI Неделя Науки СПбГПУ:

1 Соискатель изменила фамилию в 2010 году.

2 Журнал SAE international Journal of Aerospace входит в систему цитирования Scopus

Материалы Всероссийской межвузовской научной конференции студентов и аспирантов. - СПб.: Издательство СПбГПУ, 2007.

5. Ковтун М.В. Моделирование клёпочного соединения крыла н фюзеляжа самолёта / Ковтун М.В. // Научный сервис в сети Интернет: решение больших задач: Труды Всероссийской научной конференции (22-27 сентября 2008 г., г. Новороссийск).- М.: Изд-во МГУ, 2008. - стр. 299-304.

6. Родионова О.П. Моделирование процесса клёпочного соединения крыла и фюзеляжа самолёта / Родионова О.П., Ковтун М.В., Лупуляк C.B. // XXXVII Неделя Науки СПбГПУ: Всероссийская межвузовская научная конференция студентов и аспирантов: Материалы лучших докладов. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2008. - стр.78-80.

7. Болдырев Ю.Я. Математическое моделирование в режиме реального времени сборки крыла и фюзеляжа самолёта / Болдырев Ю.Я., Ковтун М.В., Петухов Е.П., Родионова О.П. // Материалы научно-технического совещания «Высокопроизводительные вычислительные ресурсы России для создания наукоёмких технологий и развития инфраструктуры наноиндустрии». - Уфа: Издательство УГАТУ, 2009. - стр.62-68.

Статьи на электронных носителях

8. Kovtun M. Mathematical simulation of riveting process [Электронный ресурс] / Kovtun M. // Матер, конф. «Joint Advanced Student School» СПбГПУ, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29, 9-19 марта 2008 г. - Режим доступа:НИр:/Ду wwmavr. in formal ik. tu-miienchen.de/konfercnzen/Jass08/courses/5/'kovtun

9. Kovtun M. Modeling of contact interaction with friction [Электронный ресурс] / Kovtun M. // Матер, конф. «Joint Advanced Student School» СПбГПУ, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29, 29 марта-7 апреля 2009 г. - Режим доступа: http://wwwmayr.informatik.tu-muenchen.de/konferenzen/Jass09/courses/3/Kovtun paper.pdf

Подписано в печать 06.11.2013. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 11194Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс: (812)297-57-76

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕТУХОВА Маргарита Владимировна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА

КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

Специальность:

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата технических наук

На правах рукописи

04201454607

Научный руководитель -к.ф.-м.н., доц. Лупуляк С.В.

Санкт-Петербург 2013

Оглавление

Введение...................................................................................................................4

Глава 1. Постановка задачи и исследование ее разрешимости........................13

1.1 Задача Синьорини: основные уравнения и граничные условия.................13

1.2 Вариационная формулировка и разрешимость задачи Синьорини...........17

1.3 Контактная задача для нескольких тел.........................................................20

1.4 Вариационная постановка задачи контакта нескольких тел......................22

Глава 2. Методика решения контактных задач..................................................24

2.1 Дискретизация задачи Синьорини.................................................................24

2.2 Обзор алгоритмов решения............................................................................31

2.2.1 Алгоритмы по определению зоны контакта.......................................33

2.2.2 Алгоритмы для решения вариационных неравенств.........................37

2.3 Особенности решаемой задачи......................................................................41

2.4 Метод решения контактных задач, основанный на уменьшении размерности задачи................................................................................................................45

2.4.1 Этап подготовки данных.......................................................................45

2.4.2 Переход к задаче квадратичного программирования........................52

2.4.3 Вычисление нормальных перемещений в зоне контакта..................53

2.4.4 Задача о взаимодействии нескольких деформируемых тел..............55

2.5 Решение задачи квадратичного программирования....................................55

2.5.1 Обзор методов минимизации квадратичного функционала..............56

2.5.2 Описание двойственного алгоритма активного набора.....................64

2.5.3 Адаптация алгоритма к особенностям задачи....................................68

2.5.4 Сравнение производительности исходного и адаптированного алгоритма Г-И-П...............................................................................................................76

2.6 Восстановление информации о решении.....................................................82

Глава 3. Верификация разработанной методики на примере задачи Герца ... 84

3.1. Аналитическое решение................................................................................85

3.1.1. Постановка задачи.................................................................................85

3.1.2. Решение задачи Герца для шаров........................................................86

3.1.3. Тестовая задача......................................................................................88

3.2. Численное решение........................................................................................89

3.2.1 Подготовка расчетной модели..............................................................89

3.2.2 Особенности построения расчетной модели по разработанной методике ..........................................................................................................................92

3.3 Результаты........................................................................................................95

Глава 4. Верификация методики с помощью физического эксперимента и расчетного комплекса ANSYS Mechanical.......................................................100

4.1 Расчетная модель...........................................................................................100

4.2 Сравнение результатов.................................................................................103

Заключение..........................................................................................................110

Список основных обозначений..........................................................................113

Список литературы.............................................................................................115

Введение

Актуальность исследования

Одной из актуальных проблем в области прикладной математики является создание эффективных методов решения задач механики контактных взаимодействий тел. Даже при наличии современной высокопроизводительной вычислительной техники решение контактных задач в общем случае требует значительных затрат как аппаратных ресурсов (процессорного времени и памяти), так и человеческих (рабочее время инженерно-технического персонала и т.п.). Поэтому создание алгоритмов, существенно сокращающих время, необходимое для получения достоверного результата, является важной и практически значимой задачей.

Диссертационная работа посвящена исследованию одного класса контактных задач, который (для удобства) мы обозначим через Этот класс обладает следующими особенностями:

• Зона, в пределах которой возможно возникновение контакта между телами, известна заранее, далее будем называть ее зоной стыка. Отметим при этом, что зона контакта (то есть подмножество зоны стыка, на котором достигается контакт) заранее неизвестна и определяется в ходе решения задачи.

• В зоне стыка касательные смещения каждого из взаимодействующих тел (по отношению к поверхности этого тела) являются пренебрежимо малыми по сравнению с нормальными смещениями.

• Внешние нагрузки к взаимодействующим телам прикладываются исключительно в зоне стыка, либо могут быть перенесены в эту зону.

• Силы трения, возникающие в результате контакта, не учитываются.

• Напряжённо-деформируемое состояние каждого рассматриваемого тела описывается уравнениями линейной теории упругости.

• Ищутся установившиеся по времени решения, то есть задачи рассматриваются в стационарной постановке.

Приведённые выше особенности конкретизируют общую постановку контактной задачи, а значит, могут быть использованы при разработке специальных методов решения.

Контактные задачи из класса % возникают, в частности, при моделировании процесса сборки крупногабаритных криволинейных деталей в единую конструкцию посредством заклёпочных и болтовых соединений. Например, в авиастроении окончательная сборка планера самолёта включает в себя несколько достаточно трудоёмких операций: соединение между собой крупногабаритных секций фюзеляжа, присоединение консолей крыла к центроплану, установленному внутри центральной секции фюзеляжа, и т.п. Все эти процессы являются весьма длительными и трудозатратными, поэтому поиск рациональных способов ускорения сборочных операций представляется одной из актуальнейших задач современного авиастроения, решение которой позволит увеличить производительность сборочных линий на авиационных заводах. Одним из наиболее перспективных путей решения указанной задачи является математическое моделирование с целью дальнейшей оптимизации процесса сборки.

Моделирование сборочного процесса влечет необходимость проводить серии многовариантных расчётов, так как на производстве инженер-технолог имеет дело с различными конфигурациями установленных крепёжных элементов в собираемом соединении. К тому же, высокие стандарты по качеству и точности изготовления самолётов порождают повышенные требования к точности расчётных моделей, которые используются в данной области.

Следовательно, весьма актуальной задачей представляется разработка таких алгоритмов решения контактных задач класса которые с одной стороны обеспечивают возможность оперативно проводить многовариантные расчёты (т.е. решать серии задач с похожими исходными данными в реальном времени), а с другой стороны обеспечивать точность результатов, достаточную для проведения количественного анализа моделируемых процессов.

Степень разработанности проблемы

На сегодняшний день опубликовано множество работ, в которых рассматривается моделирование поведения деталей при сборке в окрестности одного или нескольких крепёжных элементов, — так называемое локальное моделирование. Например, в работе [1] изучается процесс заклёпочного соединения деталей с точки зрения выявления наиболее значимых параметров, влияющих на напряжения и деформации при клёпке. Проведены расчеты локальных напряжений и деформаций в окрестности крепёжного элемента при воздействии на него нагрузки от молотка. Используются осесимметричные и периодические модели (плоские и трехмерные конечноэлементные сетки). Полученные значения напряжений сравниваются с экспериментальными данными, относительная разница составляет несколько процентов.

Статья [2] посвящена локальному конечноэлементному моделированию заклёпочного соединения с целью проверки применимости метода конечных элементов к решению данного класса задач. Расчеты проводились для различных типов крепёжных элементов с отличающимися по форме головками. Результаты сравнивались с экспериментальными данными, получено хорошее согласование результатов.

В работе [3] сделана попытка привлечения глобальной модели для решения задачи о взаимодействии тел в процессе клёпки. Цель работы заключается в том, чтобы повысить усталостную долговечность заклёпочных соединений. Моделирование соединения деталей самолета выполняется тремя способами с разными уровнями детализации. Первый уровень - расчет глобальной модели крыла с тем, чтобы задать граничные условия для более точных моделей. На этом этапе крепёжные элементы не моделируются, контакт не учитывается.

Второй уровень - моделирование части крыла между двумя стрингерами. Крепёжный элемент представляет собой два плоских круга, соединенных с помощью специального соединительного элемента. Граничные условия взяты из глобальной модели, цель расчета - получить распределение напряжений вблизи

модели крепёжного элемента с тем, чтобы перенести их как граничные условия на следующий уровень.

Третий уровень — моделирование самого крепёжного элемента и его окрестности трехмерными элементами, учет возможности возникновения контакта, расчет напряжений, определение мест концентрации напряжений.

Однако все упомянутые работы не предоставляют информации об относительном расположении деталей по всей зоне стыка с учетом возможности возникновения контакта. Подобная задача глобального моделирования сборочного процесса с помощью заклепочных соединений является крайне трудоемкой из-за сильной нелинейности, привносимой учетом контакта, и требует применения специальных алгоритмов.

Цели и задачи исследования

Цель данной диссертации состоит в разработке эффективных методов и алгоритмов для решения контактных задач класса 1R.

В работе поставлены следующие задачи:

1) Разработать численный метод, позволяющий максимально эффективно использовать особенности рассматриваемых контактных задач, и обосновать его сходимость;

2) Верифицировать методику путем сравнения полученных результатов с известным аналитическим решением, данными физических экспериментов, а также с результатами расчётов, проведённых с помощью коммерческого программного комплекса ANSYS Mechanical;

3) Создать элементы программного комплекса, реализующего разработанную методику.

Методологическая и теоретическая основа исследования

Основу настоящей работы составили труды преимущественно зарубежных авторов, как в области теоретических исследований контактной механики [4], так и в области численных методов и алгоритмов решения контактных задач, например, [5] и [6]. Также затронуты вопросы конечноэлементного моделирования [7] и теория методов оптимизации [8], [9].

Обоснование существования и единственности решения задачи основано на методах функционального анализа и вариационного исчисления. Численное решение задачи базируется на методе конечных элементов и методах квадратичного программирования. Расчётные процедуры реализованы в виде комплекса компьютерных программ на языке программирования С++. Для верификации результатов используются экспериментальные и аналитические методы. Программный комплекс ANSYS Mechanical привлекается для выполнения расчётов.

Научная новизна исследования

В данной диссертации предлагается метод решения контактных задач класса JR. В частности, такие задачи возникают при глобальном численном моделировании процесса соединения деталей посредством клёпки. Этот метод позволяет учитывать контакт между деталями в пределах всей возможной контактной области и вычислять соответствующие перемещения и контактные силы реакции, в то время как большинство исследований посвящено локальному моделированию, где контактная задача решается лишь в небольшой окрестности одного или нескольких крепёжных элементов (см., например, [3]). Предложенный метод составляет вычислительное ядро программного комплекса, предоставляющего инструментарий для анализа перемещений и напряжений, возникающих при сборке, инженеру-технологу сборочной линии. Расчёты с использованием данного комплекса могут проводиться в режиме реального времени и обеспечивают возможность прогнозирования поведения деталей при сборке в масштабных соединениях (типа крыло-фюзеляж и др.).

Разработанный метод успешно применен как для решения модельных задач, так и для задач, возникающих при моделировании сборочного процесса реальных деталей.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается благодаря проведению сравнительного анализа с аналитическим решением, с

экспериментальными данными и с результатами численного моделирования, выполненного в среде ANSYS Mechanical.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработан и верифицирован эффективный алгоритм решения контактных задач класса 1R. Работа над диссертацией велась в 2009-2012 гг. в рамках совместных проектов СПбГПУ и компании AIRBUS. Программный комплекс, в основе которого лежит разработанная методика, включён в план внедрения в компанию AIRBUS. При этом совместные исследования продолжаются и расширяются.

Положения, выносимые на защиту

1. Методика расчёта перемещений и сил реакции в зоне стыка.

2. Вычислительное ядро программного комплекса, предназначенного для решения задач класса 1R.

3. Результаты сравнения численного решения, полученного с использованием разработанного алгоритма, с аналитическим решением модельной задачи, а также с экспериментальными данными и результатами, полученными с использованием стороннего программного обеспечения, при расчете деформированного состояния деталей при их соединении крепёжными элементами.

Апробация результатов исследования

Результаты работы докладывались:

• на международной конференции SAE 2009 AeroTech Congress & Exhibition, г. Сиэтл, США;

• на международной конференции SAE 2011 AeroTech Congress & Exhibition, г. Тулуза, Франция;

• на международной конференции 17th European Conference on Mathematics for Industry 2012, г. Лунд, Швеция.

• на совещаниях с рабочей группой AIRBUS (г. Санкт-Петербург, г. Тулуза, Франция, 2009-2012 гг.);

• на семинарах кафедры "Прикладная математика" СПбГПУ (г. Санкт-

Петербург, 2009-2013 гг.).

Работа поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для аспирантов ВУЗов и академических институтов в 2010 году.

По теме диссертации опубликовано девять работ, три из них в журналах, входящих в список ВАК: "Научно-технические ведомости СПбГПУ" (2009), SAE International Journal of Aerospace1 (2010, 2011).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 120 страниц. В тексте содержится 66 рисунков, 2 таблицы. Список литературы включает 62 наименования.

В первой главе рассмотрены различные постановки стационарной контактной задачи без трения при условии малых деформаций и вопросы существования и единственности решения данной задачи. Сначала рассматривается взаимодействие деформируемого тела и абсолютно жёсткого препятствия. Контактная задача формулируется в обобщенном виде как вариационное неравенство, а также приводится эквивалентная вариационная задача. В работе кратко описано известное доказательство существования и единственности решения вариационной задачи на основе теорем функционального анализа.

Также в первой главе постановка контактной задачи обобщается на случай взаимодействия нескольких деформируемых тел.

Вторая глава включает описание методов численного решения поставленной контактной задачи. В первом параграфе с помощью метода конечных элементов получен дискретный аналог вариационной задачи в случае взаимодействия деформируемого тела и жёсткого препятствия.

Для поставленной задачи приведены теоремы сходимости метода конечных элементов для случаев многоугольной и криволинейной границы рассматриваемой области.

1 Входит в систему цитирования Scopus

Во втором параграфе дан обзор различных подходов к решению построенной дискретной задачи. Сложность контактных задач состоит в том, чтобы отследить возникновение контакта на поверхности исследуемых тел в произвольном (непрогнозируемом) месте. В работе наиболее подробно описан метод Лагранжа, так как впоследствии он используется для верификации разработанного численного метода решения.

В третьем параграфе проанализированы особенности контактных задач класса которые могут быть использованы для построения э�