автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка алгоритмов обнаружения сигналов на основе детерминированной хаотической модели помех

На правах рукописи

ОД

у, и

21 азг гт

ЖИДКОВ СЕРГЕИ ВИКТОРОВИЧ

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА )СНОВЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ХАОТИЧЕСКОЙ МОДЕЛЙ ПОМЕХ

Спеш1альность: 05.13.16 - Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ижевск 2000

Работа выполнена в Ижевском государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Климов И.З.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Журавлев А.К. (ГУАП, г. Санкт-Петербург) кандидат технических наук, доцент Мурынов А. И. (УРО РАН, г. Ижевск)

Ведущая организация: Научно-технический и испытательный

центр Федеральной пограничной службы РФ (г. Москва)

Защита состоится " 1 " Ц1ААА_2000 г. в _ часов на заседании

диссертационного совета Д064.35.01 при Ижевском государственном техническом университете по адресу: 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИжГТУ

Автореферат разослан "-23 " Ад у_2000 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета,

доктор технических наук, профессор Гольдфарб В.И.

ы.о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории и технике систем радиолокации и связи одним 13 важнейших вопросов является обнаружение сигналов на фоне помех. Физическая природа помех может быть различной, однако их общей особенностью является то, что в реальных системах помехи, как правило, носят нерегулярный апериодический характер. Такой характер может объясняться воздействием ряда случайных факторов, в связи с чем для математического описания помех традиционно используют аппарат случайных процессов. В то же время исследования последних лет показывают, что нерегулярный "случайномдобный" характер могут носить процессы, сформированные с помощью простых нелинейных детерминированных систем. Такое поведение детерминированных систем принято обозначать термином "хаос|Г, а процессы соответственно "детерминированные хаотические".

После открытия явления динамического хаоса многие физические процессы, для описания которых ранее использовался аппарат случайных процессов, стали моделировать с позиций детерминированного хаоса. Такие тенденции наблюдаются, например, в биологии, медицине, механике, гидродинамике и радиотехнике.

В технике радиолокационных систем к такого рода процессам относятся помехи, вызванные отражением зондирующего сигнала от взволнованной морской поверхности (ВМП). Вопросам моделирования отражений от ВМП детерминированным хаотическим процессом и синтеза обнаружителей сигналов на фоне детерминированных хаотических помех (ДХП) посвящены работы С.Хайкина, Г.Льюинга, Дж.Палмера и ряда других зарубежных ученых (в первую очередь США, Канады и Японии). Адекватность детерминированной хаотической модели помех от ВМП подтверждается экспериментальными результатами оценки фрактальной размерности и показателей Ляпунова, полученными независимо несколькими коллективами исследователей [(С. Хайкин и С. Пафуссерипади, 1997), (Дж. Палмер и др, 1998), (Дж. Чен и др., 1994)]. Существует ряд других примеров, когда динамика помех носит детерминированный хаотический характер.

В то же время в известных работах, посвященных математическому моделированию помех с позиций детерминированного хаоса, не учитываются свойства полезных сигналов, собственные шумы и другие искажения в приемном тракте РЛС, которые при использовании метода переменных состояния обычно входят в уравнение наблюдения. Такой подход не позволяет провести строгий математический синтез алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ДХП, поэтому разработка таких алгоритмов проводится эвристическими методами [см. (Г. Льюинг, Т. Ло, 1993), (С. Хайкин и В. Ли, 1995), (Дж. Палмер и др., 1998)], а их эффективность и потенциальные возможности остаются практически неизученными. Кроме того, недостаточно рассмотрены вопросы практической реализации указанных алгоритмов; отсутствует анализ влияния собственных шумов, нелинейности приемного тракта, ограниченной разрядности АЦП и других ха-

ракгеристик тракта обработки на показатели качества алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ДХП.

В последнее время наблюдается повышенный интерес к исследованиям в данной области, что обусловлено с одной стороны постоянным ростом производительности современных вычислительных средств, с другой - практическими приложениями указанных алгоритмов. Данное обстоятельство определяет актуальность темы диссертации, связанной с разработкой и исследованием новых нетрадиционных методов обработки сигналов на фоне помех.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является разработка и анализ алгоритмов обнаружения сигналов на фоне помех, динамика которых носит детерминированный хаотический характер.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Разработка математической модели реализации на входе решающей схемы приемника с учетом хаотической динамики помех и основных характеристик тракта обработки.

2. Идентификация разработанной модели ДХП по экспериментальным данным.

3. Синтез алгоритмов обнаружения сигналов на фоне детерминированных хаотических помех при непараметрической неопределенности относительно вида динамической системы, формирующей такие помехи.

4. Оценка численных значений показателей качества синтезированных алгоритмов при воздействии ДХП, имеющих различную размерность.

5. Исследование влияния искажений приемного тракта на показатели эффективности работы синтезированных алгоритмов и выработка рекомендаций по практическому применению таких алгоритмов.

Методы исследования. При теоретических исследованиях использованы теория статистических решений, теория классификации нелинейных динамических систем, методы аппроксимации нелинейных функций, методы математического и имитационного моделирования, а также математико-эвристические подходы к синтезу устройств, работающих в условиях априорной неопределенности.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложена математическая модель реализации на входе решающей схемы приемника с учетом хаотической динамики помех, собственных шумов и искажений сигналов в приемном тракте РЛС. На основе данной модели с использованием математико-эврисгического подхода разработаны алгоритмы обнаружения сигналов на фоне ДХП.

2. Исследовано влияние нестационарного характера помехи на оценку фрактальной размерности; предложен метод формирования суррогатных данных для нестационарных временных последовательностей.

3. Методом статистического моделирования проведен сравнительный анализ эффективности алгоритмов с линейным декоррелятором помехи и синтезированных алгоритмов при воздействии ДХП разной размерности.

4. Исследовано влияние собственных шумов приемного тракта и ограниченной разрядности аналогово-цифрового преобразования на показатели качества синтезированных алгоритмов.

5. Проведено исследование устойчивости разработанных алгоритмов при изменении вида и параметров динамической системы, формирующей

дхп.

Достоверность и обоснованность результатов исследований подтверждается численным моделированием, обработкой экспериментальных записей эхо-сигналов, отраженных от морской поверхности, корректным использованием математического аппарата, апробацией работы в виде докладов на Международных и Всероссийских конференциях и публикаций в научных изданиях.

Практическая значимость работы определяется тем, что разработанные и исследованные алгоритмы могут быть использованы для построения устройств обнаружения малозаметных объектов на фоне отражений от ВМП. Проведенные исследования позволяют сформулировать требования к тракту обработки, при которых становится целесообразным переход к алгоритмам с нелинейным предсказанием. Результаты работы могут быть использованы при определении путей модернизации существующих РЛС, при создании новых образцов береговых обзорных РЛС, а также при разработке имитаторов эхо-сигналов от морской поверхности.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Структурные схемы алгоритмов обнаружения сигналов на фоне детерминированных хаотических помех.

2. Результаты статистического моделирования синтезированных алгоритмов обнаружения на фоне ДХП.

3. Требования к уровню собственных шумов приемного тракта и узлам, осуществляющим аналогово-цифровое преобразование, при которых синтезированные алгоритмы оказываются эффективнее алгоритмов с линейным декоррелятором помехи.

4. Рекомендации по практическому использованию и программно-аппаратной реализации разработанных алгоритмов.

Апробация работы, реализация и внедрение результатов исследований.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Проблемы системного обеспечения качества продукции промышленности, (Ижевск, 1997),

- XXXI и XXXII научно-техническая конференция ИжГТУ, (Ижевск, 1998, 2000),

- 4-я Международная научно-техническая конференция РАДИОЛОКАЦИЯ, НАВИГАЦИЯ, СВЯЗЬ (Воронеж, 1998),

- 3-й Международный симпозиум СИБКОНВЕРС'99 (Томск, 1999).

- Международная конференция "Информационные технологии в инновационных проектах" (Ижевск, 2000)

По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Теоретические и практические результаты работы использованы в НИР, а также внедрены в учебный процесс по специальности 20.07 "Радиотехника" при изучении дисциплины "Цифровая обработка радиолокационных сигналов", что подтверждается соответствующими актами.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения, изложена на 196 страницах, включая 93 рисунка, 5 таблиц, и список использованной литературы из 112 наименований (основной текст составляет 139 машинописных страниц).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируется цель работы, излагаются тезисы, характеризующие научную новизну и практическую значимость работы, приводится описание структуры диссертации.

В первой главе на основе данных отечественных и зарубежных источников рассмотрены математические модели помех с неизвестным небелым спектром мощности (авторегрессионная модель, авторегрессионнная модель скользящего среднего, спектральные непараметрические модели). Проведен анализ известных алгоритмов обнаружения сигналов, основанных на вышеуказанных моделях помех. Отмечается, что в случае, когда динамика помех носит детерминированный хаотический характер, подобные алгоритмы могут обладать характеристиками весьма далекими от предельно достижимых. Исходя из этого, делается вывод о необходимости разработки специальных алгоритмов обнаружения, принимающих во внимание нелинейный механизм формирования хаотических помех.

Математическая модель реализации сигнала на входе решающей схемы приемника с учетом хаотического характера помехи может быть представлена в виде двух разностных уравнений: векторного детерминированного уравнения состояния, описывающего хаотическую динамику помехи, и уравнения наблюдения, учитывающего собственные шумы приемной системы и структуру полезного сигнала:

= Л,

где £■(-) - векторный оператор эволюции системы, отвечающей за формирование помех, к(-) - скалярная функция вектора состояния х„ системы, формирующей помеху. т]„ - реализация детерминированной хаотической помехи на входе решающей схемы приемника, Е„ - шум с независимыми значениями, В5(л,„ с„) -полезный сигнал, где %п - параметр сигнала, 9=(0,1).

Для модели (1) характерно то, что в уравнении состояния отсутствует вектор порождающих случайных воздействий - предполагается, что нерегулярный характер помех обусловлен исключительно специфическими свойствами оператора эволюции Г(). Как правило, в реальных условиях вид функции £(•) заранее неизвестен. Известно лишь, что функция <■(•) имеет размерность ¿/>3 и должна быть нелинейной, так как это обязательное условие возникновения хаоса в детерминированных системах.

Анализ существующих работ показал, что синтез алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ДХП проводился эвристическими методами. В связи с этим в диссертации формулируется задача синтеза оптимальных (квазиоптимальных) алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ДХП в соответствии с традиционным для радиолокации критерием оптимальности Неймана-Пирсона. Решению поставленной задачи посвящено содержание третьей главы.

Основным инструментом анализа радиотехнических устройств, на входе которых действуют хаотические колебания, является моделирование нх работы на ЭВМ. Наиболее проблематичным при этом является формирование -временных последовательностей, имеющих не только заданные статистические свойства, но и заданные хаотические инварианты. Подавляющее большинство известных на сегодня хаотических аттракторов (таких, например, как аттрактор Лоренца, Чуа, логистическое отображение, отображение Хенона, аттрактор Ресслера и другие) имеют низкую размерность по сравнению с размерностью ДХП, присутствующих в реальных системах (например, таких как эхо-сигналы от ВМП). Поэтому результаты полученные для известных систем могут оказаться неприменимы, когда речь пойдел о реальных хаотических помехах. В диссертационной работе для формирования хаотических временных последовательностей с размерностью, близкой к размерности реальных помех, предложено комбинировать сигналы от нескольких низкоразмерных хаотических источников. Таким образом получен ряд динамических систем, генерирующих временные последовательности с корреляционной размерностью £Ь>3. Например, одна из таких динамических моделей получена с помощью двух связанных систем Лоренца, где первая система решается независимо, а при решении второй к ее х-компоненте аддитивно добавляется значение л-компоненты, полученной при решении первой. Аналогичным образом получены системы с размерностью £>2 от 3 до 8, которые использованы в третьей и четвертой главах диссертации для имитационного моделирования работы обнаружителей.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам идентификации хаотической модели помех по экспериментальным данным. Идентификация модели состоит из двух этапов. Первый этап заключается в выявлении детерминированного хаотического характера и оценке хаотических инвариантов помех по экспериментально полученным реализациям. На втором этапе проводится реконструкция модельной системы. •

Для установления факта принадлежности наблюдаемой реализации к классу детерминированных хаотических процессов обычно прибегают к вычислению так называемых хаотических инвариантов: фрактальной размерности и показателей Ляпунова. Как показал проведенный анализ, наиболее приемлемым в вы-. •'

числительном отношении является метод вычисления корреляционной размерности (Д>), предложенный Грассбергером и Прокача (П. Грассбергер, И. Про-кача, 1983). Согласно данному методу для оценки корреляционной размерности Вг строится зависимость:

где С2(е) - оценка корреляционного интеграла, полученная путем вычисления статистики:

(3)

здесь ©(•) - функция единичного скачка, х, - точки реконструированного псевдофазового пространства (реконструкция осуществляется методом задержки), N - общее количество отсчетов временной последовательности. Оценка корреляционной размерности проводится в области умеренно малых значений е, где на графиках 02(е), построенных для различных значений размерности вложения наблюдается плоский горизонтальный участок - "плато".

Оценка старшего ляпуновского показателя может быть получена путем вычисления статистики вида (Г. Кантц, 1994):

1

С

(4)

где Нг- набор точек х„, принадлежащих реконструированному аттрактору и взятых случайным образом из достаточно длинной выборки, так что они аппроксимируют действительную плотность распределения точек на аттракторе, \Щ -общее количество точек в наборе Ш, Ь'п - совокупность точек, находящихся в пределах некоторого малого радиуса е от точки х„, \Щ - общее количество точек в наборе 11„. Если расстояние между соседними точками в пределах радиуса е с ростом А/г растет экспоненциально (что является одним из критериев хаотичности), то статистика £(Дп) должна расти линейно. Угол наклона линейного участка зависимости 5(Дл) является оценкой максимального показателя Ляпунова.

В диссертационной работе по формулам (2)-(4) была проведена оценка корреляционной размерности и старшего ляпуновского показателя для двух экспериментальных записей эхо-сигналов от морской поверхности (//=50000^-60000). Анализ результатов показал, что на графиках £>2(е,с4) наблюдается короткий участок "плато", соответствующий £)2«4.1-г4.3 (при размерности вложения ¿£>6), а на графиках зависимости п) можно выделить начальный линейный участок, что свидетельствует об экспоненциальном разбегании соседних траекторий в фазовом пространстве. В то же время расчеты показали, что оценки

корреляционной размерности и старшего показателя Ляпунова, проведенные для нескольких суррогатных последовательностей эхо-сигналов не сходятся к каким-либо конкретным значениям.

Эти результаты хорошо согласуются с данными, приводимыми другими авторами [(С. Хайкин, С. Пафуссерипади, 1997), (Дж. Палмер и др., 1998)]. Тем не менее, при вычислении фрактальной размерности по реальным сигналам могут возникнуть серьезные затруднения, связанные со специфическими корреляционными свойствами, зашумленностью, ограниченным объемом и нестационарностью наблюдаемой реализации. Известно, в частности, что зашумленность данных может привести к завышенной оценке размерности, а специфические корреляционные свойства процесса могут послужить причиной низкой оценки фрактальной размерности даже в тех случаях, когда исследуемый процесс является стохастическим и имеет ¿/-»со (это относится, например, к процессам со спектральной плотностью вида 1//").

Влияние нестационарного характера последовательности на точность оценки хаотических инвариантов изучено в меньшей степени, чем влияние зашумленности и специфических корреляционных свойств процесса. В то же время эхо-сигнал от ВМП носит ярко выраженный нестационарный, а точнее двух-масштабный характер: быстрые флуктуации отраженного сигнала декоррели-руют за время -10+30 мс, а интервал корреляции медленных вариаций уровня, обусловленных крупномасштабной структурой волн, составляет «1-И0 сек. Чтобы избежать неверных оценок хаотических инвариантов, применяют метод суррогатных данных (Дж. Тейлер, 1992). Однако при традиционных способах формирования суррогатных данных для таких последовательностей, структура медленных вариаций уровня не сохраняется. Условие соответствия амплитудных распределений оригинальной и суррогатных последовательностей достигается за счет более "выбросообразного" характера последних (см., например, рис. 4 средний график), что приводит к меньшей предсказуемости суррогатов и неверным выводам относительно характера исследуемого процесса.

В диссертационной работе предложен способ формирования суррогатных данных с сохранением нестационарного характера временной последовательности, не требующий существенных вычислительных затрат. Суть способа заключается в следующем:

1. Сначала проводится оценка скользящего среднего и дисперсии временной последовательности:

«й-1!*,, Ч«))2 (5)

XV ' ' гу — | ' 4

г*гг-\ч ,у *■ I«п—ч»

где IV - ширина окна, которая достаточно велика, чтобы надежно оценить среднее и дисперсию, но в то же время, достаточно мала для того, чтобы предположить, что на данном интервале среднее и дисперсия процесса практически постоянны (например для эхо-сигнала от ВМП при частоте повторения 2000 Гц было выбрано м/=1000).

2. На следующем этапе процесс масштабируется так, что среднее и дисперсия становятся независимы от времени, а именно:

(6;

3. Затем проводится традиционная процедура формирования суррогатных данных. При этом полученная последовательность {.т '„} сначала подвергается монотонному нелинейному преобразованию таким образом, что ее плотность распределения нормализуется (на практике это осуществляется с помощью процедуры ранжирования). Затем находится ДПФ полученной последовательности; далее фазовый спектр ДПФ рандомизируется путем домножения на случайную фазу, равномерно распределенную на интервале (0,2ж), и наконец, вычисляется обратное ДПФ и вновь применяется безынерционное нелинейное преобразование процесса для того, чтобы его одномерная плотность распределения соответствовала исходной последовательности.

4. На последнем этапе полученная таким образом последовательность подвергается преобразованию, обратному (6):

*:=с(п)-*:+т{п). (7)

В итоге суррогатная последовательность {.V „} (см. нижний график рис.4) имеет такую же структуру медленных вариаций среднего и дисперсии и практически такие же корреляционные свойства и одномерную плотность распределения, что и у оригинального сигнала (см. верхний график ряс.4).

Рис. 4 Оригинальный эхо-сигнал от ВМП, обычная суррогатная последовательность и суррогатная последовательность с сохранением нестационарной структуры эхо-сигнала от

ВМП.

Как показали результаты расчетов, проведенных для двух записей эхо-сигналов от ВМП и для их суррогатов, полученных предложенным способом, существенной разницы между оценками фрактальной размерности оригинальных и суррогатных последовательностей не наблюдалось. Это означает, что низкие оценки размерности в данном случае могли быть обусловлены не детерминированным характером реализации, а ее нестационарной структурой.

Для оценки хаотических инвариантов можно попытаться "нарезать" оригинальную последовательность на сегменты, в пределах которых процесс носит квазистационарный характер. Однако для эхо-сигнала от ВМП при частоте повторения зондирующих импульсов ^=1000-г2000 Гц интервалы квазистационарности содержат всего 1000н-2000 отсчетов, чего явно недостаточно для надежной оценки В то же время, как показал анализ, по короткому квазистационарному фрагменту записи эхо-сигнала от ВМП можно восстановить модельную детерминированную динамическую систему (рис.2), которая в автономном режиме генерирует хаотические колебания. Для реконструкции модельной системы в работе использовалась аппроксимация оператора эволюции с помощью радиальных функций, количество которых совпадает с размером обучающей выборки. При этом для нахождения коэффициентов разложения применялся метод регуляризации Тихонова. По квазистационарному фрагменту экспериментальной записи, (=1000 точек), удалось получить модельную систему, с помощью которой в автономном режиме была сформирована достаточно продолжительная апериодическая временная последовательность (>100000). Спектральные и корреляционные свойства реконструированной последовательности оказались близки к свойствам фрагмента реализации, по которому проводилась реконструкция модельной системы, а корреляционная размерность последовательности, полученной в автономном режиме, составила £>2=®4-2 (см. рис.3). Возможность реконструкции модельной хаотической системы является основным свидетельством детерминированного хаотического характера эхо-сигналов, отраженных от ВМП. Такой подход может быть использован для имитации эхо-сигналов от ВМП, а также для формирования детерминированных хаотических последовательностей с заданными характеристиками.

Восстановление г«ггора состоял«

Рис. 2

Рис. 3

В третьей главе проводится разработка алгоритмов обнаружения сигналов на основе модели (1). Предложено проводить синтез алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ДХП с использованием математико-эвристического подхода. В рамках данного подхода общая структура обнаружителя синтезируется на основе выражения для отношения правдоподобия (с учетом принятых дощтцений о слабости полезного сигнала), а структура блока оценки помехи выбирается преимущественно на основе эвристических соображений и экспериментальных результатов. Показано, что решающая статистика в этом случае формируется по правилу:

У

^ = (8) м

где гк - отсчеты принятой реализации, ^ - отсчеты полезного сигнала, % - предсказанное значение помехи на выходе одношагового нелинейного предсказателя, а характеристика нелинейного преобразования ср(-) определяется статистическими свойствами ошибки предсказания.

Разработанные алгоритмы обнаружения относятся к классу оценочно-компенсационных алгоритмов. Здесь передаточная характеристика безынерционного нелинейного преобразователя (БНП) иеих=(р(иех) определяется как

где р(х) - плотность распределения ошибки предсказания отсчетов помехи.

Дальнейшее содержание главы посвящено разработке одношагового нелинейного предсказателя хаотической помехи. Рассмотрены известные методы предсказания хаотических процессов, в частности, разложение оператора эволюции по полиномиальному базису, радиальным функциям, использование дробных полиномов и аппарата нейронных сетей.

На основе сравнительного анализа показано, что одним из наиболее удачных методов предсказания хаотических процессов является разложение по радиальным функциям. Такой подход сочетает в себе достаточную гибкость аппроксимации и умеренные вычислительные затраты на обучение предсказателя, -так как модель в этом случае является линейной по параметрам. Предсказание с помощью разложения оператора эволюции по радиальным базисным функциям (РБФ) может быть представлено в виде:

*Лх*) = 2>,ф(|** - с,|), (10)

■и

где м>1 - весовые коэффициенты, а функции ф(^) симметричны относительно центров с,. Чаще всего в качестве базисных функций выбирают гауссовы функции вида:

(

4 -4

- ехр

2а2

(И)

V

де а - стандартное отклонение (ширина) радиальных гауссовых функций. Все >езультаты, представленные далее, относятся к случаю гауссовых функций.

Для того, чтобы выяснить, как зависит качество РБФ-предсказания от объе-юв обучающей выборки, размерности и вида формирующей системы, был фоведен численный эксперимент. В качестве тестовых сигналов использова-щсь хаотические последовательности, полученные с помощью логистического »тображения и отображения Энона, систем Чуа, Лоренца, двух связанных сис-■ем Лоренца и т.д. Кроме того, использовались стохастические последователь-гости (нормальный и релеевский коррелированный шум), а также экспериментальные записи эхо-сигналов от ВМП. Качество нелинейного РБФ-[редсказателя оценивалось с помощью дисперсии ошибки предсказания, нор-шрованной относительно дисперсии ошибки линейного авторегрессионного [редсказателя, порядок которого соответствовал размерности вложения. Как юказали результаты численных экспериментов, выигрыш нелинейного пред-казателя быстро уменьшается с ростом размерности сигналов и при размерно-ти /32~4^6 не превышает 2^4 Дб. Кроме того, существует некоторое «крити-[еское» значение объема обучающей выборки, ниже которого нелинейная ап-[роксимация является неэффективной. Например, для сигналов, имеющих раз-1ерность1>2=4-е-6, это значение лежит в интервале 500ч-1000.

Полная структура обнаружителя известного сигнала на фоне аддитивной (ХП при использовании в качестве нелинейного предсказателя разложения по адиальным функциям показана на рис.4. Для оценки эффективности получен-¡ых алгоритмов было проведено статистическое моделирование на ЭВМ для азличных имитационных моделей помех. Одновременно проводилось модели-ование аналогичных алгоритмов, использующих линейные авторегрессионные ;екорреляторы помех. Как показали результаты моделирования, эффективность азработанных алгоритмов определяется в основном качеством предсказания начений помехи. Энергетический выигрыш в пороговом отношении сигал/помеха в первом приближении может быть оценен отношением дисперсий шибок линейного и нелинейного предсказателей.

В качестве сигналов, имитирующих помеху, использовались не только хао-ические последовательности, но и стохастические, полученные из гауссовых с омощью немонотонного нелинейного преобразования, в частности, релеев-кий процесс с зависимыми значениями. Как показали результаты моделирова-ия, использование разработанных алгоритмов может дать ощутимый выигрыш 5н-6 Дб) и в этом случае, чго существенно расширяет область применения ука-анных алгоритмов.

В заключение третьей главы проведена оценка программно-аппаратных за-рат [.а реализацию разработанных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ¡ХП. Показано, что вычислительные затраты на реализацию таких алгоритмов

существенно (в типичном случае «200-г1000 раз) превышают вычислительные затраты на реализацию алгоритмов, основанных на линейной авторегрессионной модели помех.

Рис. 4. Структура обнаружителя известного сигнала на фоне аддитивной детерминированной хаотической помехи

В четвертой главе конкретизирована структура отдельных блоков обнаружителя, в частности блока БНП. Для этого детально изучены статистические свойства ошибки предсказания хаотической помехи для нелинейного предсказателя, основанного на РБФ-разложении. Как показал анализ результатов численных экспериментов, практически во всех случаях статистика ошибки предсказания носит одинаковый характер: большая часть значений сосредоточена вблизи нуля, но имеется некоторое количество "всплесков", т.е. отсчетов, значения которых существенно превышают средний уровень ошибки предсказания. Такая ситуация приводит к увеличению "хвостов" распределений и существенному отклонению статистики от нормального закона.

С использованием критерия согласия Мизеса экспериментально установлено, что распределение ошибки предсказания хорошо аппроксимируется плотностью вида

' (12)

с параметром V в диапазоне (0.5, 1.1). При таком распределении ошибки предсказания оптимальная передаточная характеристика блока БНП (см. рис.4) будет иметь вид

!десь ¿о - произвольный постоянный коэффициент. В частном случае при у=1 штимальный безынерционный преобразователь представляет собой идеальный юусторонний ограничитель. При этом схема обнаружителя после компенсатора ;овпадает со схемой знакового обнаружителя, отличительной особенностью ко-орого является инвариантность по вероятности ложной тревоги к плотности «определения ошибки предсказания. Постоянство ложной тревоги в обнару-кителе со знаковым БНП обеспечивается при условии статистической незави-;имости отсчетов ошибки предсказания. Строго говоря, это требование не вы-[олняется. Хотя отсчеты ошибки предсказания являются дельта-:оррелированными, однако между ними существует статистическая связь, ко-орая определяется динамикой системы, формирующей помехи, и свойствами [редсказателя. Более того, в случае отсутствия независимых аддитивных шу-юв эта связь является детерминированной. Поэтому, все теоретические резуль-аты, полученные с учетом предположения о статистической независимости начений ошибки предсказания, проверялись путем численного эксперимента.

Как показали результаты эксперимента, алгоритмы со знаковым БНП обла-(ают удовлетворительной устойчивостью к изменению помеховой обстановки т.е. изменению вида и параметров системы формирующей помехи). Результаты годелирования показали, что в диапазоне а=10"1-г10^1 реализуемая вероятность южной тревоги может отличаться от расчетной не более, чем в 2+4 раза, при-:ем как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. Кроме удовлетво-ттельной устойчивости к изменению помеховой обстановки алгоритм со зна-овым БНП является оптимальным при лапласовском распределении ошибки [редсказания (т.е. при у=1). Однако знаковым алгоритмам присущи и недостат-:и, например, они оказываются неработоспособными при обнаружении сигнала !ез постоянной составляющей. В этой ситуации могут быть использованы ран-овые алгоритмы, которые, как известно, также являются асимптотически более ффективными, чем линейный накопитель при лапласовской помехе. Для реа-изаипи такой схемы потребуется несколько (от«10+20) опорных каналов, не аяятых полезным сигналом; в радиолокационных системах это могут быть, (апример, соседние каналы разрешения по дальности.

Для сравнения эффективности алгоритмов с различными передаточными арактеристиками БНП были получены коэффициенты асимптотической отно-ителыюй эффективности (АОЭ) при распределении ошибки предсказания вида 12) для алгоритмов с оптимальным, знаковым и ранговым БНП:

, у>0.5,

(14)

P ugn

^2Г(3/У) r3(l/v) '

(15)

_ 3v2 Г(3/у)

РгаЛ ~ 22/v r3(l/v)'

(16)

где V - параметр распределения (12). Отметим, что при у=0.5+1.1 все три алгоритма оказываются эффективнее алгоритма без БНП (т.е. с линейным накоплением значений ошибки предсказания). Свойствами, близкими к оптимальным, обладает алгоритм со знаковым БНП. Так, при у=0.7+1.1 проигрыш алгоритма со знаковым БНП по отношению к алгоритму с оптимальной передаточной характеристикой БНП не превышает рар!<\ .5.

Далее рассмотрена методика примерного расчета рабочих характеристик алгоритмов: с линейным накоплением ошибок предсказания, с оптимальным и знаковым БНП в предположении асимптотической нормальности решающих статистик указанных алгоритмов. Анализ показал, что при длительности полезного сигнала «>20+30 теоретический расчет удовлетворительно согласуется с результатами численного моделирования.

Анализ влияния искажений сигналов в приемном тракте РЛС (таких, как собственные шумы приемной системы и шумы квантования) на качественные показатели работы алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ДХП показал, что рассматриваемые алгоритмы весьма чувствительны к уровню аддитивного независимого шума присутствующего в наблюдаемой реализации. Так, при моделировании некоторое ухудшение рабочих характеристик рассматриваемых алгоритмов наблюдалось, когда уровень аддитивного шума становился дш>-80 Дб. При уровне шума </ш>-20 Дб рабочие характеристики практически не отличались от характеристик алгоритмов с линейным авторегрессионым декорреля-тором помехи.

Исходя из основного уравнения мощности, излучаемой РЛС, было получено аналитическое выражение, связывающее относительный среднеквадратический уровень шумов приемника в принятой реализации с параметрами РЛС и характеристиками морского волнения:

Яш -

41.75 •kT0{k„+ta-l)Qa,QlR

P^ÀVctX.

i

3V2

R<R.

R > R

(17)

где сг - удельная ЭПР морской поверхности, к - постоянная Больцмана, кш - коэффициент шума приемника, га - шумовая температура антенны, То - темпера-

тура приемной системы, X - длина волны РЛС, с - скорость света, т - длительность зондирующего импульса, 0а, %у:л - ширина ДН антенны по азимуту и углу места, соответственно, Я - дальность до облучаемого участка морской поверхности, Р^м - пиковая мощность, Якр - дальность, на которой угол скольжения становится равным критическому и происходит переход от области интерференции к области плато. Согласно экспериментальным данным Якр может быть определена по эмпирической формуле (Кулемин Г.П., Луценко В.И., 1984):

/^*0.015г/"йД, (18)

здесь Л - высота антенны над уровнем моря, II - скорость ветра.

Расчеты, проведенные для использованных экспериментальных записей эхо-сигналов от ВМП, показали, что относительный уровень шума достаточно высок (порядка -30 Дб). Это в свою очередь объясняет сложности, связанные с вычислением размерности помех, и невысокую эффективность нелинейного предсказателя при работе по экспериментальным записям эхо-сигналов от морской поверхности. В целом проведенные исследования показали, что эффективное применение разработанных алгоритмов для обнаружения сигналов на фоне помех от ВМП сопряжено с жесткими требованиями, накладываемыми на основные характеристики приемного тракта РЛС.

В заключение четвертой главы, указаны возможные приложения разработанных методов и алгоритмов для решения задач, не связанных с обнаружением сигналов на фоне помех от ВМП.

В приложении приведены спецификации измерительной РЛС, с помощью которой были получены экспериментальные записи эхо-сигналов от морской поверхности, приведены тексты и алгоритмы программ, использованных при имитационном моделировании разработанных вариантов обнаружителей, представлены акты, подтверждающие использование результатов работы в НИР и учебном процессе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена математическая модель реализации на входе решающей схемы приемника РЛС с учетом детерминированного хаотического характера помех и основных характеристик тракта обработки. Рассмотрены способы формирования хаотических временных последовательностей с различной размерностью.

2. Установлено, что нестационарный характер помехи может привести к заниженной оценке фрактальной размерности и как следствие, к неверным выводам относительно детерминированного характера реализации. Предложен

способ формирования суррогатных данных для нестационарных сигналов, позволяющий избежать неверных оценок размерности.

3. Показано, что главным подтверждением детерминированного хаотического характера эхо-сигналов, отраженных от ВМП, является возможность реконструкции по короткому квазистационарному фрагменту записи (около 1 ООО точек) модельной системы, корреляционная размерность которой составляет £>2*4.2.

4. Показано, что для обнаружения полезных сигналов на фоне ДХП могут быть использованы алгоритмы оценочно-компенсационного типа, которые отличаются от известных тем, что вместо линейного блока декорреляции помехи содержат компенсатор с нелинейным предсказателем, предварительно обученным по выборке «чистой» помехи. Структура нелинейного предсказателя выбирается эвристически - один из вариантов такого устройства может быть реализован с использованием разложения по радиальным (гауссовым) функциям.

5. Установлено, что по сравнению с алгоритмами, основанными на линейной авторегрессионной модели помех, разработанные алгоритмы позволяют получить выигрыш в пороговом отношении сигнал/помеха, величина которого зависит от размерности помехи и составляет, в частности, и 10ч-15 Дб при корреляционной размерности ДХП 2.01+2.2 (системы Чуа, Лоренца и другие малоразмерные системы) и »2-=-4 Дб при 02-4.1-^4.3 (что соответствует предполагаемой размерности эхо-сигналов от ВМП).

6. Проведена оценка программно-аппаратных затрат на реализацию обнаружителя с учетом детерминированного хаотического характера помех. Сопоставлены вычислительные затраты на реализацию разработанных алгоритмов и вычислительные затраты на реализацию алгоритмов с линейным блоком декорреляции помехи.

7. Установлено, что разработанные алгоритмы чувствительны к влиянию собственных шумов приемного тракта и шумов квантования. Для того, чтобы выигрыш от использования указанных алгоритмов был близок к потенциально достижимому, необходимо обеспечить соотношение помеха/шум на уровне «(80-Г-100) Дб.

8. В целом проведенные исследования показали, что эффективное применение разработанных алгоритмов для обнаружения сигналов на фоне помех от ВМП сопряжено с повышенными вычислительными затратами на реализацию обнаружителя, и жесткими требованиями, накладываемыми на основные характеристики приемного тракта РЛС.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ, ОТРАЖАЮЩИХ ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Климов И.З., Жидков C.B., Власова Г.Л. Ранговые алгоритмы обнаружения появляющихся целей //Тезисы докладов XXXI научно-технической конференции ИжГТУ (15-17 апр. 1998 г.),Ч. П. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1998, стр.28-29

2. Жидков C.B., Власова Г.Л. Цифровой компенсатор доплеровского смещения частоты помехи //Тезисы докладов XXXI научно-технической конференции ИжГТУ (15-17 апр. 1998 г.),Ч. II. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1998, стр.25-26

3. Жидков C.B., Климов И.З. Метод формирования опорной выборки в ранговых обнаружителях //Тезисы докладов международной научно-практической конференции "Проблемы системного обеспечения качества продукции промышленности", (Ижевск, 5-10 окт. 1997 г.), - Ижевск: Центр интеллектоем-ких технологий ИжГТУ, 1997, стр.75-7б

4. Климов И.З., Жидков C.B. Помехоустойчивость параметрических 9бнаружи-телей при воздействии помех от морской поверхности //Доклады 4-й Международной научно-технической конференции РАДИОЛОКАЦИЯ, НАВИГАЦИЯ, СВЯЗЬ, (Воронеж, 26-29 мая, 1998 г.), - Воронеж, 1998, стр. 263-277

5. Климов И.З., Жидков C.B. Имитационное моделирование отражений от морской поверхности //Вестник ИжГТУ. Периодический научно технический журнал Ижевского государственного технического университета, Вып. 2, -Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1998, стр.43-45

6. Klimov I.Z, Zhidkov S.V. Algorithms signal finding in additing chaotic hindrances //Proceedings of the Third International symposium SIBCONVERS'99, v.2, pp. 377-379, ŒEE Cat. No. 99EX246, Tomsk, may 18-20, 1999

7. Жидков C.B., Жидков В.Г. Формирование суррогатных данных для нестационарных сигналов //Доклады международной конференции "Информационные технологии в инновационных проектах" (19-21 апреля, 2000 г.), Ижевск, 2000, стр. 208-211

8. Жидков C.B. Математико-эвристический синтез алгоритмов обнаружения сигналов на фоне детерминированных хаотических помех //Тезисы докладов XXXII научно-технической конференции ИжГТУ (18-21 апреля, 2000 г.), Ижевск, 2000, 2 С.

Подписано в печать 5.05.2000. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,46 . Уч.-изд. л. {,59.

Тираж 400 экз. Заказ № 420 Отпечатано на ризографе Издательства ИжГТУ Лицензия РФ Плр № 020048 от 09.06.95.

Типография Ижевского государственного технического университета. 426069, г. Ижевск, Студенческая, 7

Введение.

1. Разработка математической модели наблюдения на входе решающей схемы приемника с учетом детерминированного хаотического характера помех

1.1 Математические модели помех с неизвестным небелым спектром мощности.

1.2 Математическая модель наблюдения с учетом хаотической динамики помех.

1.3 Способы формирования хаотических временных последовательностей

1.4 Выводы по главе

2. Идентификация детерминированной хаотической модели помех по экспериментальным данным

2.1 Оценка хаотических инвариантов по экспериментальным временным последовательностям.

2.2 Анализ эффективности тестов на нелинейность при выявлении хаотического характера временной последовательности.

2.3 Влияние нестационарного характера помехи на оценку хаотических инвариантов.

2.4 Реконструкция модельной системы эхо-сигналов, отраженных от взволнованной морской поверхности.

2.5 Анализ вариантов синтеза алгоритмов обнаружения на основе методов классификации нелинейных динамических систем.

2.6 Выводы по главе 2.

3. Разработка алгоритмов обнаружения сигналов на фоне детерминированных хаотических помех

3.1 Статистический синтез алгоритмов обнаружения сигналов на фоне детерминированных хаотических помех.

3.2 Выбор и обоснование структуры и параметров нелинейного предсказателя.

3.3 Исследование показателей качества функционирования разработанных алгоритмов методом имитационного моделирования

3.4 Оценка вычислительных затрат на реализацию обнаружителя

3.5 Выводы по главе 3.

4. Обоснование требований к основным характеристикам тракта обработки при реализации синтезированных алгоритмов

4.1 Исследование статистических свойств ошибки предсказания и выбор передаточной характеристики блока безынерционного нелинейного преобразования.

4.2 Исследование асимптотических показателей эффективности алгоритмов с различной передаточной характеристикой блока безынерционного нелинейного преобразования.

4.3 Исследование влияния шумов приемного тракта и шумов квантования на показатели качества синтезированных алгоритмов

4.4 Исследование возможностей применения разработанных алгоритмов для подавления помех от взволнованной морской поверхности

4.5 Выводы по главе 4.

В теории и технике систем радиолокации и связи одним из важнейших вопросов является обнаружение сигналов на фоне помех. Физическая природа помех может быть различной, однако их общей особенностью является то, что в реальных системах помехи, как правило, носят нерегулярный апериодический характер. Такой характер может объясняться воздействием ряда случайных факторов, в связи с чем для математического описания помех традиционно используют аппарат случайных процессов. В то же время исследования последних лет показывают, что нерегулярный "случайноподоб-ный" характер могут носить процессы, сформированные с помощью простых нелинейных детерминированных систем [3,6,31,32,44,105]. Такое поведение детерминированных систем принято обозначать термином "хаос", а процессы, соответственно, "детерминированные хаотические".

После открытия явления динамического хаоса многие физические процессы, для описания которых традиционно использовался аппарат случайных процессов, стали моделировать с позиций детерминированного хаоса. Такие тенденции наблюдаются, например, в биологии, медицине, механике, гидродинамике, радиотехнике [18,47,51,54,62,63,64,74,83,88,100,104,110].

В технике радиолокационных систем к такого рода процессам относятся помехи, вызванные отражением зондирующего сигнала от взволнованной морской поверхности (ВМП) [67,69,86,88,92,93]. В технике связи детерминированные хаотические помехи могут быть обусловлены взаимным влиянием систем связи, которые используют в качестве несущего или маскирующего колебания детерминированный хаос [4,16,17,41,56,66]. Известен ряд других примеров, когда динамика помех носит детерминированный хаотический характер; в частности, такой тип колебаний может использоваться в устройствах постановки активных помех радиопротиводействия [110].

До последнего времени среди известных алгоритмов отсутствовали алгоритмы обнаружения сигналов на фоне детерминированных хаотических помех (ДХП). В то же время очевидно, что алгоритмы, учитывающие хаотический характер помех, должны быть эффективнее своих аналогов в ситуациях, когда динамика помех действительно носит детерминированный хаотический характер. В настоящее время наблюдается повышенный интерес к исследованиям в данной области, что обусловлено с одной стороны постоянным ростом производительности современных вычислительных средств, с другой - практическими приложениями указанных алгоритмов. Данное обстоятельство определяет актуальность темы диссертации, связанной с разработкой и исследованием алгоритмов обработки сигналов на фоне детерминированных хаотических помех.

Одним из наиболее ярких примеров детерминированной хаотической помехи является эхо-сигнал, отраженный от ВМП. Необходимо отметить, что работы, посвященные проблемам моделирования отражений от морской поверхности, появились еще в начале 50-х годов. Первые модели эхо-сигналов от ВМП основывались на предположении, что в формировании отраженного сигнала участвует большое количество независимых отражателей, ни один из которых не является доминирующим. Поэтому согласно центральной предельной теореме полагалось, что амплитуды квадратурных составляющих отраженного сигнала распределены по нормальному закону, а огибающая на выходе детектора описывается релеевским распределением [38]. Однако результаты многочисленных натурных экспериментов показали [15,27,28,111], что амплитудные распределения сигналов, отраженных от моря, в подавляющем большинстве случаев существенно отличаются от релеевского закона.

С целью преодоления ограничений, связанных с релеевской моделью отраженных сигналов, был развит эмпирический подход к описанию законов распределения эхо-сигналов от ВМП, основанный на аппроксимации экспериментальных функций распределения известными зависимостями. Так, в период с 60-х по 80-е годы было предложено несколько негауссовых (нереле-евских) моделей эхо-сигналов от ВМП, из которых можно отметить логарифмически-нормалыюе распределение [109], распределение Вейбулла [60] и К-распределение [75]. Среди различных нерелеевских распределений модель К-распределения [75] наиболее полно объясняет характер негауссовых (нерелеевских) отражений от морской поверхности.

Тем не менее, как показали результаты более поздних экспериментов [90, 111] с использованием высокоразрешающих (0,15-г30 м) PJ1C, а также ряда других экспериментов, модель К-распределения все же не дает адекватного описания амплитудных распределений эхо-сигналов, отраженных от ВМП при достаточно высоком разрешении и сильном волнении моря. Поэтому до сих пор продолжаются попытки отыскать более сложные зависимости, позволяющие с большей степенью точности аппроксимировать реальные данные. Примером одной из таких сложных аппроксимаций может являться составное, так называемое КА-распределение [90].

Наряду со статистическим подходом к описанию эхо-сигналов от ВМП в 90-х годах начал развиваться подход, связанный с моделированием эхо-сигналов от ВМП в виде детерминированного хаотического процесса. Впервые подобная идея была высказана в работах [88, 85]. Для выявления хаотического характера эхо-сигнала, отраженного от ВМП, авторы этих работ проводили оценку фрактальной (корреляционной) размерности методом Грасбургера-Прокача [65]. Предварительные результаты показали, что фрактальная размерность отраженного сигнала лежит в диапазоне 6-^9 [88]. В этих работах исследовались сигналы, полученные с помощью PJIC Х-диапазона при настильных углах скольжения и частоте повторения 1^2 кГц.

Результаты, подобные [88] и [85,86], были независимо получены другой группой исследователей [92]. Здесь также использовалась PJIC Х-диапазона при малых углах скольжения; частота повторения составляла 4 Гц. При использовании сигналов с вертикальной поляризацией оценка корреляционной размерности методом Грасбургера-Прокача дала значения в диапазоне 5-г8. При горизонтальной поляризации размерность оказалась более высокой, что затруднило ее точную оценку. Интересно, что в этой же работе исследовалась временная последовательность, представляющая собой горизонтальную составляющую вектора скорости ветра у поверхности воды. Как показал анализ, корреляционная размерность горизонтальной составляющей скорости ветра и размерность сигнала с вертикальной поляризацией имеют практически одинаковые значения. Это позволило авторам работы сделать вывод о том, что в основе формирования обоих процессов лежит одна и та же динамическая система [92]. Позже тот же коллектив авторов опубликовал работу [93], в которой было показано, что при поблочном усреднении на интервале 2ч-20 сек временные последовательности, полученные при горизонтальной поляризации, также имеют низкую корреляционную размерность Г>2«4+6.

На момент написания диссертационной работы наиболее полный анализ экспериментальных данных был представлен в [69]. Записи эхо-сигналов, использованные в [69], были накоплены с помощью измерительной РЛС X-диапазона в период с 1989 по 1994 годы на побережье Канады и Аргентины. РЛС, с помощью которой были получены данные, имела следующие параметры: пиковая мощность - 8 кВт, длина волны - 3 см, поляризация - вертикальная или горизонтальная, длительность импульса 20-^5000 не, частота повторения от 0 до 4 кГц, ширина диаграммы направленности антенны РЛС -1°. Так как использовалась когерентная РЛС, анализу подвергались как огибающая отраженного сигнала, так и синфазная и квадратурная составляющие по отдельности. Основные выводы, сделанные авторами работы, сводятся к следующим положениям [69]:

- сигнал, отраженный от морской поверхности, представляет собой одну из компонент странного аттрактора;

- физический механизм формирования помех от моря может быть описан системой из 5 или 6 однородных дифференциально-разностных уравнений;

- фрактальная (корреляционная) размерность мало зависит от состояния моря, времени суток, типа РЛС, дальности и других параметров и лежит в пределах 4.1-И.5;

По утверждению авторов, расхождения с раннее полученными результатами [88,85,92] объясняются чувствительностью метода Грасбургера-Прокача к зашумленности данных, что приводило к завышенным оценкам корреляционной размерности [44,51,58].

Во всех вышеупомянутых экспериментальных исследованиях анализу подвергались данные, полученные при неподвижном луче РЛС. Однако на практике подавляющее большинство судовых и береговых РЛС работают в режиме сканирования. Поэтому определенный интерес представляет работа [73], в которой показано, что сигналы, полученные с помощью медленно сканирующей РЛС (скорость вращения антенны 0.5-^8 об/мин), имеют примерно такие же хаотические инварианты, что и сигналы, полученные при неподвижном луче.

Можно отметить и еще несколько интересных публикаций, в которых рассматривается детерминированная хаотическая модель помех от моря. Например, в работах [84,86] отраженный от моря сигнал рассматривается как пространственно-временной хаотический процесс. Кроме того, существует ряд исследований, посвященных экспериментальному анализу пространственно-временной динамики взволнованной водной поверхности [18,49,59,6264,74,104], косвенно подтверждающих гипотезу о хаотическом характере радиолокационного эхо-сигнала от моря.

Очевидно, что учет детерминированного хаотического характера помех может, в принципе, дать существенное улучшение обнаружительной способности РЛС. Поэтому несколько позже те же авторы [68] предложили использовать хаотический характер отраженного сигнала для решения задачи радиолокационного обнаружения полезных целей на морской поверхности. Алгоритмы обнаружения, предложенные в [68], были основаны на аппроксимации оператора эволюции (который в случае хаотического характера отражений должен быть детерминированным) с помощью аппарата нейронных сетей. Идея применения такого подхода в общих чертах состоит в следующем. Если аппроксимация проводится по фрагменту временной последовательности, соответствующему "чистой" помехе, то при использовании полученного оператора эволюции для предсказания другого фрагмента, соответствующего отражениям только от поверхности моря, ошибка предсказания должна быть невелика. Если же принятое колебание содержит также составляющую, обусловленную отражениями от цели (в работе [68] целью являлась надводная часть айсберга), то ошибка предсказания в общем случае возрастет. Таким образом, ошибку нелинейного предсказателя можно использовать как решающую статистику, по которой принимается решение о наличии/отсутствии цели [68]. Такой алгоритм был апробирован на экспериментальных записях эхо-сигналов. Для того, чтобы осуществить сравнение с линейными методами, авторы предложили использовать вариант алгоритма, в котором в качестве предсказателя использовалась линейная авторегрессия того же порядка. По мнению авторов, более высокое отношение сигнал/помеха на выходе нелинейного предсказателя по сравнению с линейным, с одной стороны, говорит о целесообразности применения нелинейных методов обработки, а с другой - подтверждает гипотезу о детерминированном хаотическом характере отражений от морской поверхности. Аналогичные алгоритмы были использованы для обработки экспериментальных записей эхо-сигналов от ВМП авторами работ [87] и [93].

В то же время в известных работах [68,87,93], посвященных математическому моделированию помех с позиций детерминированного хаоса и разработке алгоритмов обнаружения, не учитываются свойства полезных сигналов, собственные шумы и другие искажения в приемном тракте РЛС, которые при использовании метода переменных состояния обычно входят в уравнение наблюдения. Такой подход не позволяет проводить строгий математический синтез алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ДХП, поэтому синтез таких алгоритмов проводится эвристическими методами, а их эффективность и потенциальные возможности остаются практически неизученными. Кроме того, недостаточно рассмотрены вопросы практической реализации указанных алгоритмов; отсутствует анализ влияния собственных шумов, нелинейности приемного тракта, ограниченной разрядности АЦП и других характеристик тракта обработки на показатели качества алгоритмов обнаружения сигналов на фоне ДХП.

Исходя из вышеизложенного, формулируется цель диссертационного исследования: разработка и анализ алгоритмов обнаружения сигналов на фоне помех, динамика которых носит детерминированный хаотический характер. Поставленная цель достигается решением следующих задач:

Основные выводы, которые можно сделать по результатам исследований, проведенных в четвертой главе, состоят в следующем:

1. Анализ результатов моделирования показал, что одномерная плотность распределения ошибки нелинейного предсказания не подчиняется, как это обычно полагается, нормальному закону, а носит "выбросообразный" характер. С использованием критерия согласия Мизеса установлено, что при использовании РБФ-предсказателя удовлетворительной аппроксимацией плотности ошибки предсказания является распределение вида (4.6). С учетом статистических свойств ошибки предсказания найдена оптимальная передаточная характеристика (4.6) блока безынерционного нелинейного преобразования (БНП).

2. Найдены аналитические выражения для коэффициентов асимптотической относительной эффективности (АОЭ) разработанных алгоритмов с различной передаточной характеристикой БНП - оптимальный, знаковый и ранговый БНП. Показано, что при распределении ошибки предсказания вида (4.6) с параметром у=0.5-ь1.1 все три алгоритма оказываются эффективнее алгоритма без БНП (т.е. с линейным накоплением значений ошибки предсказания). Свойствами, близкими к оптимальным, обладает алгоритм со знаковым БНП. Так, при у=0.7-н1.1 проигрыш алгоритма со знаковым БНП по отношению к алгоритму с оптимальной передаточной характеристикой БНП не превышает Рор/Р^и—1-5

3. Результаты моделирования показали, что разработанные алгоритмы обнаружения сигналов на фоне детерминированных хаотических помех критичны к воздействию аддитивных шумов приемного тракта и шумов квантования. Так, при моделировании некоторое ухудшение рабочих характеристик рассматриваемых алгоритмов наблюдалось, когда уровень аддитивного шума становился дш>-80 Дб. При уровне шума дм>-20 Дб рабочие характеристики практически не отличались от характеристик алгоритмов с линейным декоррелятором помехи.

4. Расчеты показали, что при умеренном волнении («2^3 балла) уже на дальностях порядка нескольких сот метров типовые РЛС не позволяют обеспечить уровень шума, при котором разработанные алгоритмы дают ощутимый выигрыш по сравнению с алгоритмами, использующими линейные авторегрессионые декорреляторы помех. Аналогичные расчеты, проведенные для использованных экспериментальных записей эхо-сигналов, показали, что и в этом случае уровень шума достаточно высок (порядка -30 Дб). Это, в свою очередь, объясняет сложности, связанные с вычислением размерности эхо-сигналов от ВМП, и низкую эффективность нелинейного предсказателя при работе по экспериментальным записям эхо-сигналов от морской поверхности.

Заключение

В настоящей диссертационной работе были разработаны и исследованы алгоритмы обнаружения сигналов, основанные на детерминированной хаотической модели помех. Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Предложена математическая модель наблюдения на входе решающей схемы приемника с учетом детерминированного хаотического характера помех и основных характеристик тракта обработки. Предложены способы формирования хаотических временных последовательностей с различной размерностью.

2. Установлено, что нестационарный характер помехи может привести к заниженной оценке фрактальной размерности и, как следствие, к неверным выводам относительно детерминированного характера реализации. Предложен способ формирования суррогатных данных для нестационарных сигналов, позволяющий избежать неверных оценок размерности.

3. Показано, что главным подтверждением детерминированного хаотического характера эхо-сигналов, отраженных от ВМП, является возможность реконструкции по короткому квазистационарному фрагменту записи (около 1000 точек) модельной системы, корреляционная размерность которой составляет D2~ 4.2.

4. Показано, что для обнаружения полезных сигналов на фоне ДХП могут быть использованы алгоритмы оценочно-компенсационного типа, которые отличаются от известных тем, что вместо линейного блока декорре-ляции помехи содержат компенсатор с нелинейным предсказателем, предварительно обученным по выборке «чистой» помехи. Структура нелинейного предсказателя выбирается эвристически - один из вариантов такого устройства может быть реализован с использованием разложения по радиальным (например, гауссовым) функциям.

5. Установлено, что по сравнению с алгоритмами с линейным блоком декор-реляции помехи разработанные алгоритмы позволяют получить выигрыш в пороговом отношении сигнал/помеха, величина которого зависит от размерности помехи и составляет, в частности, «10-^15 Дб при корреляционной размерности ДХП £>2«2.01-ь2.2 (системы Чуа, Лоренца и др.) и «2-^-4 Дб при £>2«4.1-ь4.3 (что соответствует предполагаемой размерности эхо-сигналов от ВМП).

6. Проведена оценка программно-аппаратных затрат на реализацию обнаружителя с учетом детерминированного хаотического характера помех. Сопоставлены вычислительные затраты на реализацию разработанных алгоритмов и вычислительные затраты на реализацию алгоритмов с линейным блоком декорреляции помехи.

7. Анализ показал, что разработанные алгоритмы чувствительны к влиянию собственных шумов приемного тракта и шумов квантования. Для того, чтобы выигрыш от использования указанных алгоритмов был близок к потенциально достижимому, необходимо обеспечить соотношение помеха/шум на уровне £/л/ш«80 Дб. При ¿/и/ш<20 Дб характеристики разработанных алгоритмов практически не отличаются от характеристик алгоритмов с линейным декоррелятором помехи.

8. В целом проведенные исследования показали, что эффективное применение разработанных алгоритмов для обнаружения сигналов на фоне помех от ВМП сопряжено с повышенными вычислительными затратами на реализацию обнаружителя и жесткими требованиями, накладываемыми на основные характеристики приемного тракта РЛС.

1. Акимов П.С., Бакут П.А., Богданович В.А. и др. Теория обнаружения сигналов /под ред. П.А.Бакута, М.:Радио и связь, 1984, 440 с.

2. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. -М.:Наука, 1977, 224 с.

3. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Динамический хаос и цветной шум //Письма в ЖТФ,, т. 16, № 7, 1990, с. 21-25.

4. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации //Журнал технической физики, т. 68, № 12, 1998, с. 1-8

5. Анищенко B.C., Постнов Д.Э., Хованов И.А., Шульгин Б.В., Использование стохастического резонанса для повышения отношения сигнал/шум в радиотехнических системах //Радиотехника и электроника, т. 39, № 12, 1994, с. 2004-2014

6. Анищенко, B.C. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М: Наука, 1990, 310 с.

7. Бирюков М.Н., Непараметрические алгоритмы обнаружения сигналов в импульсных помехах. М.: Изд-во МАИ, 1991, 60 с.

8. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М. Мир, 1974, 406 с.

9. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.:Мир 1980, 536 с.

10. Вакин С.А., Шустов Л.Н., Основы радиопротиводействия и радиотехнической разведки, М.: Сов. Радио, 1968, 444 с.

11. Ван Трис Г., Теория обнаружения, оценок и модуляции. В 3-х томах, М.: Сов. Радио, 1972

12. Васильев К.К., Комиссаров Г.Ф. Обнаружение некогерентных радиосигналов на фоне марковской помехи с неизвестными параметрами //Радиотехника, т. 35, №7, 1980, с. 57-59

13. Власова Г.Л., Жидков C.B. Цифровой компенсатор доплеровского смещения частоты помехи //Тезисы докладов XXXI научно-технической конференции ИжГТУ, Ч. II. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1998, стр.25-26

14. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев /пер. с англ. под ред. Л.Н. Болыпова, М.: Наука, 1971, 375 с.

15. Гонтарь И.Д. и др., Экспериментальные исследования радиолокационных сигналов, рассеянных морской поверхностью в диапазоне СВЧ //Успехи современной радиоэлектроники, №11,1997, с.32-50

16. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О., Динамический хаос как парадигма современных систем связи //Успехи современной радиоэлектроники, №10, 1997, с. 4-26

17. Дмитриев A.C., Старков С.О., Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации //Успехи современной радиоэлектроники, №11, 1998

18. Езерский А.Б., Рабинович М.И., Реутов В.П., Старобинец И.М. Пространственно-временной хаос при параметрическом возбуждении капиллярной ряби //ЖЭТФ, 1986, т.91, вып. 6(12) с.2070-2083

19. Жидков C.B. Математико-эвристический синтез алгоритмов обнаружения сигналов на фоне детерминированных хаотических помех //Тезисы докладов XXXII научно-технической конференции ИжГТУ (18-21 апреля, 2000 г.), Ижевск, 2000, 2 С.

20. Жидков C.B., Жидков В.Г. Формирование суррогатных данных для нестационарных сигналов //Доклады международной конференции "Информационные технологии в инновационных проектах" (19-21 апреля, 2000 г.), Ижевск, 2000, с. 208-211

21. Кипчатов A.A., Козленке» E.JI., Неограниченное возрастание размерности хаотических аттракторов при линейной фильтрации //Письма в ЖТФ, 1997, т.23, №7, с. 8-13

22. Климов И.З., Жидков C.B. Имитационное моделирование отражений от морской поверхности //Вестник ИжГТУ. Периодический научно технический журнал Ижевского государственного технического университета, Вып. 2, Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1998, стр.43-45

23. Климов И.З., Жидков C.B. Помехоустойчивость параметрических обнаружителей при воздействии помех от морской поверхности //Доклады 4-й Международной научно-технической конференции РАДИОЛОКАЦИЯ, НАВИГАЦИЯ, СВЯЗЬ, т.2, Воронеж, 1998, с. 263-276

24. Климов И.З., Жидков C.B., Власова Г.Л. Ранговые алгоритмы обнаружения появляющихся целей //Тезисы докладов XXXI научно-технической конференции ИжГТУ, Ч. II. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 1998, стр.28-29

25. Кузьмин С.З., Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Радио и связь, 1986, 352 с.

26. Кулемин Г.П., Луценко В.И. Особенности обратного рассеяния сантиметровых и миллиметровых радиоволн морской поверхностью при малых углах скольжения. Харьков: ИРЭ АН УССР, 1984, 24 с. (АН УССР, ИРЭ; Препринт №84)

27. Кулемин Г.П., Особенности обратного рассеяния радиоволн СВЧ морской поверхностью при очень малых углах скольжения //Успехи современной радиоэлектроники, № 12, 1998, с. 17-48

28. Левин Б.Р., Теоретические основы статистической радиотехники, в 3-х томах. М.: Сов. Радио, 1976

29. Методы анализа нелинейных динамических моделей /М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек: пер. с чеш. под ред. Э.Э. Шноля. М: Мир, 1991,365 с.

30. Мун Ф. Хаотические колебания: вводный курс для научных работников и инженеров /пер. с англ. под ред. Ю.А. Данилова, A.M. Шукукова. М: Мир, 1990, 311 с.

31. Нестационарные структуры и диффузионный хаос /Т.С. Ахромеева, С.П. Кудрюмов, Г.Г. Малинецкий, A.A. Самарский. М: Наука, 1992, 540 с.

32. Обнаружение радиосигналов /П.С. Акимов, Ф.Ф. Евстратов, С.И. Захаров и др.; под ред. A.A. Колосова. М.: Радио и связь, 1989, 288 с.

33. Потемкин В.Г. Система MATLAB: справочное пособие. М.: ДИАЛОГ МИФИ, 1997, 350 с.

34. Сосулин Ю.Г., Оценочно-корреляционные методы обнаружения слабых сигналов на фоне помех и математико-эвристический синтез //Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, №5, 1971

35. Сосулин Ю.Г., Паршин Ю.Н., Оценочно-корреляционно-компенсационные алгоритмы обнаружения многомерных сигналов //Радиотехника и электроника, 1981, т.26, №8, с. 1635-1643

36. Сосулин Ю.Г., Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. Радио, 1978, 320 с.

37. Справочник по радиолокации /под ред. М. Сколника, в 4-х т., М: Сов. Радио, 1976

38. Тратас Ю.Г., Применение методов статистического синтеза в задачах приема хаотических сигналов //Успехи современной радиоэлектроники, №11, 1998

39. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов Радио, 1970, 727 с.

40. Хаслер М., Передача информации с использованием хаотических сигналов. Последние достижения //Успехи современной радиоэлектроники, №11, 1998

41. Шалфеев В.Д. и др., Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление //Успехи современной радиоэлектроники, №10, 1997, с. 27-49

42. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981, 416 с.

43. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение /пер с англ.; под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М: Мир, 1988, 240 с.

44. Эйкхофф П., Основы идентификации систем управления. М.: "Мир", 1975, 683 с.

45. Янсон Н.Б., Анищенко B.C., Моделирование динамических систем по экспериментальным данным //Изв. вузов: прикладная нелинейная динамика, 1995, т. 3, № 3, с. 112-121.

46. Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Баланов А.Г., Анищенко B.C., Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме //Письма в ЖТФ, 1996. Т. 22. № 16. с. 57-63

47. Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Капитаниак Т., Анищенко B.C., Глобальная реконструкция по нестационарным данным //Письма в ЖТФ, 1999, т.25, вып. 10, стр. 74-80

48. Abarbanel Н., Katz R., Cembrola J., Application of Chaotic Signal Processing to a Signal of Interest //U.S. Navy Journal of Underwater Acoustics, Vol 44, No. 2, April 1994 pp. 447-4474

49. Abarbanel H., Kennel M. Local false nearest neighbors and dynamical dimensions from observed chaotic data//Phys. Rev. E., v. 47, pp. 3057-3068, 1993.

50. Abarbanel, H.I.D. Brown, R. Siderowich J.J., Tsimring, L.S. The analysis of observed chaotic data in physical systems //Rev. Mod. Phys., v. 65, pp. 13311392, 1993

51. Broomhead D., Lowe D., Multivariable function interpolation and adaptive networks //Complex Systems N.2, p.321, 1988

52. Brown R., Bryant P., Abarbanel H. Computing the Lyapunov exponents of a dynamical systems from observed time series //Phys. Rev. A., v. 43, pp. 27872806, 1991

53. Casdagli M., Chaos and deterministic versus stochastic nonlinear modeling //J. Roy. Stat. Soc., 54, p.303, 1991

54. Casdagli M., Nonlinear prediction of chaotic time series //Physica D, 35, p.335, 1989

55. Chen J., Lo T., Leung H., Litva O. The use of fractals for modeling EM waves scattering from rough sea surface //IEEE Trans. Geoscience and Remote Sensing, v. Wk

56. Cuomo K. M., Oppenheim A.V., Circuit Implementation of Synchronized Chaos with Applications to Communications //Phys. Rev. Lett. 71 (1), pp. 6568, 1993

57. Ding M., Grebogi C., Ott E., Sauer T., York J., Plateau Onset for Correlation Dimension: When does it Occur? //Phys. Rev. Lett. 70, pp.3 872-3 875, 1993

58. Elgar S., Mayer-Kress G., Observation of the fractal dimension of deep and shallow water ocean surface gravity waves //Physica D 37, p.104, 1989

59. Fay, F., Clarke, J., Peters, R. Weibull distribution applied to sea clutter //'Radar -77' IEE Conf. Publ., 155, 1977, pp. 101-104

60. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information //Phys. Rev. A, 33, pp. 1134-1140, Feb. 1986.

61. Frison T., Abarbanel H., Cembrola J., Chaos in Ocean Ambient Noise //Journal of The Acoustical Society of America, Vol 99, No. 3, pp. 1527-1539, 1996.

62. Frison T., Abarbanel H., Cembrola J., Katz R. Nonlinear Analysis of Environmental Distortions of Continuous Wave Signals in the Ocean //Journal of The Acoustical Society of America, Vol. 99, No. 1, pp. 139-146, 1996

63. Frison T.W., Abarbanel H.D.I, Ocean gravity waves: A nonlinear analysis of observations//J. Geoph. Res., 102, pp. 1051-1059, 1997

64. Grassberger P. and Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors //Physica D, No. 9, pp. 189-208, 1983

65. Gullicksen, J., et al, Secure Communications by Synchronization to a Chaotic Signal //Proc. First Experimental Chaos Conf., S. Vohra et al. (eds.), World Scientific, Singapore, pp. 137-144, 1992

66. Haykin S. Radar Clutter Attractor: Implications for Physics, Signal Processing, and Control //IEE Proceedings on Radar, Sonar and Navigation, Vol. 146, No. 4, pp. 177-189,

67. Haykin S., B.Li X., Detection of Signals in Chaos //Proc. IEEE, Vol. 83, No.l, pp. 94-122, 1995

68. Haykin S., Puthusserypady S., Chaotic Dynamics of Sea Clutter //Chaos 7(4) AIP, 1997, pp. 777-802

69. Haykin S., Puthusserypady S., Yee P., Dynamic reconstruction of a chaotic process using regularized RBF networks. CRL Report No. 353, McMaster University, p. 167, September, 1997

70. Hegger R., Kantz H., Olbrich E., Dimension estimates for intermittent signals //Phys. Rev. E, 56, pp. 199-203, 1997

71. Hegger R., Kantz H., Schreiber T., Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package //CHAOS No.9, p. 413, 1999

72. Hennessey G., Yip P., Chaotic sea clutter modelling using neural networks. CRL Report No. 335, McMaster University, 134 p., 1996

73. Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulence, 2nd ed., edited by H. L. Swinney and J. P. Gollub, Springer-Verlag, New York, 1985

74. Jakeman E., Pusey P. A model for non-Rayleigh sea echo //IEEE Trans. 6 (AP-24):pp. 806-814, 1976

75. Kantz H., Schreiber T., Nonlinear time series analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1997

76. Kadtke J., Classification of highly noisy signals using global dynamical models //Phys. Lett. A, v.203, pp. 196-212, 1995

77. Kay S.M. Asymptotically optimal detection in unknown colored noise via autoregressive modeling //IEEE Trans. (ASSP), v.31, no.4, 1983, pp.927-940

78. Kennel M., Brown B.R., Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction unsing a geometrical construction //Phys. Rev. A 45 pp. 3403-3411, No. 15, March 1992.

79. Klimov I.Z., Zhidkov S.V. Algorithms signal finding in additing chaotic hindrances //Proceedings of the Third International symposium SIBCONVERS'99, (Tomsk, may 18-20, IEEE Cat. No. 99EX246), v.2, pp. 377-379, 1999

80. Kropfli R.A., Clifford S.F., The coastal ocean probing experiment: Further studies of air-sea interaction with remote and in-situ sensors //Proceedings of the IGARSS'96 Conference, 1996

81. Kugiumtzis D., Lillekjendlie B., Christophersen N. Chaotic time series. Part I: Estimation of invariant properties in state space //Modeling, Identification and Control, 15, p.205-225, 1994.

82. Kugiumtzis D., Lillekjendlie B., Christophersen N. Chaotic time series. Part II: System identification and prediction //Modeling, Identification and Control, 15 pp. 225-243, 1994.

83. Leuing H. A spatial-temporal dynamical model for multipath scattering from the sea //IEEE Transactions on Geosciencs and Remote Sensing, 33(2), pp.441 448, 1995

84. Leuing H. Applying chaos to radar signal-processing over the sea //IEEE Journal of Oceanic Engineering, v. 18, pp. 287-295, 1993

85. Leuing H., Experimental modelling of electromagnetic scattering from an ocean surface using chaos theory //Chaos, Solitons and Fractals, 2, pp.25-43, 1992

86. Leuing H., Lo T., Chaotic radar signal-processing over the sea// IEEE Journal of Oceanic Engineering, 18, pp. 287-295, 1993

87. Leung H., Haykin S., Is there a radar clutter attractor? //Appl. Phys. Lett., v. 56, pp. 593-595, 1990

88. Matsumoto T. A chaotic attractor from Chua's circuit //IEEE Trans. Circuits Syst., No. 12, 1984, pp.1055-1058

89. Middleton D. New physical-statistical methods and models for clutter and reverberation: KA-distribution and related probability structures //IEEE Journal of Oceanic Engineering, v.23, No. 3, pp.261-284, 1999

90. Osborne A.R., Provenzale A., Finite correlation dimension for stochastic system with power-low spectra //Physica D (35), pp. 357-381, 1989

91. Palmer A.J, Kropfli R.A., Fairall C.W. //Signature of deterministic chaos in radar sea clutter and ocean surface winds //Chaos, No. 5, pp. 613-616, 1995

92. Palmer A.J., Fairall C.W., Kropfli R.A., Deterministic chaos at the ocean surface: applications and interpretations //Nonliear Processes in Geophysics, No. 5, pp. 13-26, 1998

93. Palmer A.J., Toward a New Turbulence Culture //Proceedings of the IEEE IGARS'98 Conference, Seattle, WA, July, 1998

94. Pecora L.M., Carroll T.L., et al., Fundamentals of synchronization in chaotic systems: concepts and applications //CHAOS, 7 (4), 1997, pp. 520-543

95. Powell M.J.D., Radial basis function for multivariable interpolation: A review //Proc. IMA Conf. Algorithms for the approximation of functions and data, RMCS, Shrivenham, 1985

96. Press W.H, Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, 2nd edn., Cambridge University Press, 1992, 994 p.

97. Schreiber T., Constrained randomization of time series data //Phys. Rev. Lett. 80, p.2105, 1998

98. Schreiber T., Detecting and analysing nonstationarity in time series using nonlinear cross predictions// Phys. Rev. Lett. 78, p.843, 1997

99. Schreiber T., Interdisciplinary application of nonlinear time series methods //Phys. Rep., No. 1, p.308, 1998

100. Schreiber T., Schmitz A. Classification of time series data with nonlinear similarity measures //Phys. Rev. Lett, v.79, p. 1475, 1997

101. Schreiber T., Schmitz A. Improved surrogate data for nonlinearity tests //Phys. Rev. Lett., v.77, p.635, 1996

102. Smirnov A. V., Zavorotny V.V., Study of Polarization Differences in Ku-Band Ocean Radar Imagery// J. Physical Oceanography, 25, pp.2215-2228, 1995

103. Sommerer J.C., Ott E., Tel T., Modeling Two-Dimensional Fluid Flows with Chaos Theory //John Hopkins APL Technical Digest, v. 18, No. 2, pp. 193203,1997

104. Takens F., Detecting strange attractors in turbulence //Lecture Notes in Mathematics, v. 898, pp. 366-381, 1981

105. Theiler J., Eubank S., Longtin A., Galdrikian B., Farmer J. Testing for non-linearity in time series: the method of surrogate data //Physica D, v.58, pp. 77-94, 1992

106. Theiler J., Some comments on the correlation dimension of 1 If noise //Phys. Lett. A (155), pp.480-492, 1991

107. Timmer J., The power of surrogate data testing with respect to non-stationarity //Phys. Rev. E 58, p. 5153, 1998

108. Trank G., George S. Detection of targets in non-Gaussian sea clutter //IEEE Trans., 1970, AES-6, pp. 620-628

109. Walkenstein J.A. et al., Experimental observation and numerical characterization of a classical wide band electronic noise source //in Proceedings of the 2nd Experimental Chaos Conference, World Scientific, Singapore, 1995, 380p.

110. Wetzel L.B., Electromagnetic scattering from the sea at low grazing angles, in Surface Waves and Fluxes, Vol. II, pp. 109-172, G.L. Geernaert and W.J. Plant Eds., Kluwer Academic Press, 1990

111. Wolf A. et al. Determining Lyapunov exponents from a time series //Physica D, v. 16, pp. 285-317, 1985