автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разностные методы решения нелинейных нестационарных задач с двойным вырождением

Р Го ОД

2 1 АлГ 1Л1

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

МАЙОРОВА Мария Евгеньевна

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ С ДВОЙНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ.

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученей степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 519.6

КАЗАНЬ - 2000

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Б. Андреев, кандидат физико-математических наук, доцент B.C. Желтухин

Ведущая организация - Институт математики НАН Беларуси

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А.Д. Ляшко, доктор физико-математических наук, доцент М.Ф. Павлова

Защита диссертации состоится " 2.3 " мльи^Я-__ 2000 г.

в /4 'часов на заседании диссертационного Совета Д 053.29.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, КГУ, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 2-2 " J/ЫХлА,__ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

MSJL, 03

BY9Z.

Федотов Е.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования во многих областях современного естествознания. Помимо традиционных сфер, таких как физика, химия, техника математическое моделирование нашло применение и в биологии, медицине, экономике и т.д.

Многие задачи современного естествознания описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения таких уравнений является конечно-разностный метод или метод сеток. Теория этого метода для линейных задач математической физики развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах A.A. Самарского,

A.A. Самарского и В.Б. Андреева, A.A. Самарского и A.B. Гулина, Г.И. Марчука, Е.Г. Дьяконова, B.C. Рябенькова и A.B. Филиппова, Р. Рихтмаейера и К. Мортона и др.

Значительно слабее изучены разностные схемы для нелинейных задач. С наибольшей полнотой разработаны и исследованы численные методы решения нелинейных задач в предположении существования гладкого решения. Здесь следует отметить работы В.Н. Абрашина,

B.Ф. Баклановской, М.М. Карчевского, A.B. Лапина, А.Д. Ляшко, Н.В. Арделяна, Е.М. Федотова и др. Достаточно подробно изучены разностные схемы для уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотоппыми пространственными операторами.

Класс же нелинейных задач, имеющих прикладной интерес, значительно шире и постоянно пополняется, поскольку для более точного математического описания различных процессов и явлений приходится вводить в рассмотрение новые нелинейные модели, часть которых не укладывается в ранее разработанные теории и не только с точки зрения численного решения, но и с точки зрения разрешимости самих задач. Примером могут служить нестационарные задачи, получившие в научной литературе название задач "с двойным вырождением". Термин "двойное вырождение" подразумевает, что рассматриваемое уравнение ( или вариационное неравенство ) содержит нелинейность и

вырождение и в пространственном операторе, и во "временных слагаемых". Такие задачи часто встречаются в приложениях, например, при математическом моделировании процессов неньютоновской фильтрации, диффузии, таянии ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации.

Цели исследований. Предмет исследования данной работы -уравнения и вариационные неравенства с двойным вырождением с монотонным по градиенту пространственным оператором.

Основное внимание в работе уделяется построению и исследованию сходимости сеточных методов решения указанных задач. При этом учитывается, что характерной особенностью задач с двойным вырождением является негладкость решения. Поэтому исследование сеточных методов проводится при. минимальных предположениях о гладкости исходных данных, обеспечивающих лишь существование обобщенного решения задачи. В этом случае исследование сходимости приближенных методов тесно взаимосвязано с вопросами о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи, поскольку из сходимости сеточного метода часто следует существование решения дифференциальной задачи, а единственность решения позволяет усилить результат о сходимости. Поэтому в диссертацию включены результаты о единственности и существовании обобщенного решения в тех случаях, когда они являются новыми.

Методика исследований. Исследование всех рассматриваемых в работе задач проведено в едином стиле. При доказательстве теоремы существования используется метод полудискретизации, метод Талер-кипа и метод штрафа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сумматорных тождеств. Исследование сходимости дискретных методой основано па получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах соболевских пространств и последующем предельном переходе. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного анализа. Для линейных уравнений математической физики аналогичная методика подробно разработана O.A. Ладыженской.

Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами:

1. Доказана единственность решения нелинейного эволюционного

уравнения с двойным вырождением.

2. Для решения уравнения с двойным вырождением предложены две разностные схемы и исследована их сходимость.

3. Доказана теорема существования обобщенного решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

4. Доказана теорема о единственности гладкого решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

5. Предложен сеточный метод решения вариационного эволюционного неравенства, доказана его сходимость.

Практическая значимость. Результаты теоретических исследований и разработанные численные методы могут быть использованы при решении конкретных задач фильтрации неньютоновскрй жидкости, диффузии, таянии ледника.

Апробация работы. Результаты диссертации и докладывались на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева ( Казань, 1994 г.), на Международной конференции "Optimization Of Finite Element Approximations" (St.-Petersburg, 1995), на Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" ( Казань, 1996 г., 1998 г.), на 8-ой Всероссийской школе-семинаре " Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 1999 г.), в Казанском университете ( семинар А.Д.Ляшко ), а также на итоговых конференциях КГУ 1994-2000 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 13 работах.

Обьем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 101 наименование. Работа изложена на 133 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулированы цели работы, приведен список литературы, дано краткое

описание содержания диссертации.

Первая глава содержит шесть параграфов и посвящена исследованию следующей краевой задачи

и(ж,0) = щ(х), и|г(х) = 0. (2)

Предполагается, что - абсолютно непрерывная, строго возрас-

тающая функция, удовлетворяющая при любом ( £ й1 следующим условиям

С

Ьо и Г -г>1 < = / Ч>'№<1Ь < ь2 иг +ь3,

о

I ¥>(0 |< ¿4 и Г"1 +ь5, №)$' > о.

где а > 1, Ь0 > 0, Ъг > 0, Ь2 > О, Ь3 > 0, Ь4 > 0, Ь5 > 0, Ь6 > 0.

о 1

Функции а*, таковы, что оператор Ь, действующий из IVр (П) в И^Т^П) (1 /р+ 1/р' — 1), определенный равенством

]-1 их]

является непрерывным, коэрцитивным, ограниченным, монотонным по градиенту. Допускается вырождение оператора Ь по V?;. В первом параграфе первой главы дана постановка задачи. Второй параграф посвящен доказательству единственности обобщенного решения задачи (1)-(2).

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 1. Пусть функции >р, а;, /с, удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того,

| <ц(х, 6) ~ а{(х, Ь) \< ¿2 | 6 - & I Чь 6 6 Я\ У* е П, ¿2 > 0. (3)

Тогда при любых

задача (1)-(2) имеет единственное обобщенное решение.

В третьем параграфе первой главы сформулированы и доказаны вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем.

В четвертом параграфе первой главы для решения задачи (1)-(2) рассматривается явная разностная схема следующего вида

4>i{y) +Ау = fhT, (4)

У(я,0) =Уо[х), у\г = 0. (5)

Здесь А - скточная аппроксимация оператора L, построенная методом сумматорных тождеств, функции ДГ) уо - разностные аппроксимации функций / и щ соответственно.

Для решения разностной схемы (4)-(5) получены априорные оценки восполнений сеточных решений, на основе которых, доказывается сходимость кусочно-постоянных восполнений решения (4)-(5) к обобщенному решению исходной задачи.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 2. Пусть функции у, aj, kj удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того,

^'(е)>чег2 при а>2, (6)

(р-ЧО)' > Ъ7 u при а <2, (7)

/ G МО.Т; W^ííl)) nLa(0,T-,W^(Ü)),

Щ £ La (П)П wp (Í2).

Тогда при г, h, удовлетворяющих соотношениям

г < са;', (R)

rXl —> 0 при г, Л -> 0, (9)

где s = max{p, a}/ min{a — 1,1}, s = тах{р, а, а'},

= hT+ñí^-a),¡ар' ССЛП

Аа = ——, если 1 < р < а, (101

h

существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (4)~(5), сходящаяся к обобщенному решению задачи (1)-(2).

Если / £ Ьг(0,Т;а функции а; удовлетворяют, условию (3),то вел последовательность кусочно-постоянных восполнений сходится к обобщенному решению задачи (1)-(2).

В пятом параграфе первой главы предлагается схема, названная регуляризованной:

<Рг{У)+Щ + Ау = Ьт, (11)

»(®,0) = у0(я;)| У|Г = 0, (12)

где А, Дт, ?/о - те же, что и в схеме (4)-(5), а а - некоторая положительная постоянная ( параметр регуляризации ). Отметим, что схема (11) -(12) по реализации близка к явной, однако при доказательстве сходимости не требуется выполнения условий (6), (7). Здесь доказана

Теорема 3. Пусть функции <р, а^, к^ удовлетворяют перечисленным выше условиям,

/ £ Ь^Т-^Щ) П12(0,Г; И^ЧП)),

шаги сетки г, Ъ. выбраны так, что параметр р, определенный соотношениями

,2 4"2/р р — тХ2 — т при 1 < р < 2,

2 рп

при р> 2, а > 2,

Р - ™2Ла ~ i 2рп

| пРи а <2 <р,

удовлетворяет соотношениям

р < 1. р —0 при г, h —»■ 0,

а параметр регуляризации а выбран так, что

1-7

<7 = £Г()р 7,

где 0 < 7 < 1 - произвольная постоянная, сто - константа, определяемая исходными данными задачи.

Тогда существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (11)~( 12), сходящаяся к обобщенному решению задачи (1)-(2).

Если / Е Ь\(0,Т;Ь^})), а функции щ удовлетворяют условию

(з), то вся последовательность кусочно-постоянных восполнений сходится к обобщенному решению задачи (1)-(2).

В последнем параграфе первой главы приведены результаты численного исследования разностных схем для задачи (1)-(2) на примере задачи о свободном растекании неньютоновской жидкости или куполовидного ледника с нулевым балансом массы.

Численные исследования проводились в одномерном случае. Анализ проведенных экспериментов позволяет сделать вывод, что явная схема дает хорошие результаты. Неявная разностная схема, реализованная методом Ньютона, не на много улучшает результаты явной разностной схемы и сохраняет зависимость между шагами т, Н, поскольку для сходимости метода Ньютона требуется высокая точность начального приближения. Регуляризованная разностная схема дает решения близкие к решениям явной разностной схемы, если итерационный параметр а выбран оптимально.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюционного вариационного неравенства с двойным вырождением вида:

+ ^ - и) дхсИ >

> Уи б К, (13)

где

о (1)

К = { V , V 6 ¿р(0, Г; 1УР (П)) П ЫО, Т; Ьа (П)), V > д почти всюду в 12 х (О,Г]},

(и),у) значение функционала и? из Гр'(0,Т; И^Г^П)) на элементе у из

о (1)

Ьр(0,Т;\¥р (П)). При определении решения вариационного неравенства полагается, что функция и такова, что

Ш- 6 М0.Г;

и(х,0) = щ(х) почти всюду в С^т- (14)

В первом параграфе дана постановка задачи, определено обобщенное решение.

Во втором параграфе доказана теорема существования обобщенного решения вариационной задачи (13)-(14). Доказательство проводится с помощью метода полудискретизации со штрафом. Под решением

О 1

полудискретной задачи понимается функция у({) &\УР П Ш £ шт, такая, что

2/(0) = щ(х) почти всюду в Г2

о I

и для любой функции ги П Ьа(0] е шг справедливо равен-

ство

+

Здесь е - параметр штрафа, /г и д полудискретные аналоги функций /и д:

^ г+г ^ г+г

/т(®,0 = - / яОМ) = - / (£(«>£)»«')<*£>

( г«

операторы /3 определены следующими равенствами

Уи) = Ь((у - д)+ + д, Чи) V«, и 6 £0(П)П у/р (П), /Зш = - | иГ |р_2 ш" Уги € Д1.

Доказана

Теорема 4. Пусть

М0,Т;1а(О)) ПЬр(0,Т^Щ), ЩТ < 0,

ЩУ)

т

о (1)

е МО,Г; МП)),

щ (П) П1„(П), ио(а;) > д(х,0) почти всюду в £1, (15)

/еМо,Т;МП)).

Тогда существует подпоследовательность восполнений решения полудискретной задачи, сходящаяся к обобщенному решению задачи (18)-(Ц).

В третьем параграфе второй главы исследуется единственность решения вариационной задачи (13)—(14). Установлено, что при выполнении условия

КМ-0^,77) |<с|£-77| 77 е Я\ г = 1,...,п, (16)

решение задачи (13)—(14) единственно в классе функций, удовлетворяющих включению

at

eL2(0,T;L2(fi)). (17)

Кроме того, здесь показано, что, если а > 2, А - монотонный оператор, / € Li(0,T; Li(Q.)) и справедливо соотношение (16), то задача (13)—(14) будет иметь решение, удовлетворяющее (17).

В четвертом параграфе для решения вариационного неравенства (13)—(14) при g — const предлагается следующая разностная схема

Vt{y)+Ay + ±P(y-g)=fhT, (18)

у{х, О)=у0{х), у|Г = 0. (19)

Здесь A, fhT - разностные аппроксимации оператора L и функции /, определенные так же, как и в первой главе.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 5. Пусть функции ip, aj, kj удовлетворяют условиям теоремы 2, ki({)t >0 V £ е i?1; / G Lp,{0,T;W^{Q)), а для щ справедливо соотношение (15).

Тп rl r> m»t л nr\ ¿Tl 1 <г Н m <- f П ) /Я) ti mnwttrr 11 тп r\

X (J CfV Uj H/jJUi tfl>I\JKJ I у t V U L J yy l/WH/UI IliUf US ijj/ U/Os | ' / 1 \ ^ J KJJ*JU) L I < К-/

тЛ1 ^ IT ^ c>

где 5 — тах{а, а',р}, Ха определена (10), существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (18)-(19), сходящаяся к обобщенному решению задачи (13)-

т

Автор благодарит Российский Фонд Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку работы в рамках грантов 95-01-00400, 98-01-00260.

Основные работы автора по теме диссертации.

1. Ляшко А.Д., Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О разрешимости одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Диф. ур. - 1996. - Т.32. - N 7. - С. 896-901.

2. Майорова М.Е. Сходимость явной разностной схемы для нелинейного параболического уравнения с двойным вырождением / Казань: КГУ, 1996. - Деп. в ВИНИТИ 31.01.96. - N 344-В96.- 20 С.

3. Майорова М.Е. Исследование разрешимости одного вариационного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении / Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань.- 1998. - С. 53-54.

4. Майорова М.Е. О разрешимости одного эволюционного вариационного неравенства с неоднородным ограничением / "Исследование по прикладной математике". - Казань: Изд.-во Казанского математического общества. - Вып. 23. - 1999. - С. 204-211.

5. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв.вузов.Математика. - 1994. - N 1. - С. 43-53.

6. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О разностных методах решений уравнений типа нестационарной фильтрации с двойным вырождением / Тез.докладов Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, Казань.-1994.-ч. 2. -С. 80-81.

7. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / Казань: КГУ, 1995. - Деп. в ВИНИТИ 28.03.95. - N 836-В95.- 30 С.

8. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О существовании решения одного вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением/ Тез. докладов Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред". Изд.-во СО РАН-1996.-С. 381-382.

9. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / "Исследования по прикладной математике". - Казань: Изд-во Казанского

математического общества. - Вып. 22. - 1997. - С. 106-130

10. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. Сходимость явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Изв.вузов.Математика, 1997. - N 7. -С. 53-65.

11. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О единственности решения в задачах с двойным вырождением / Труды 8-ой Всероссийской школы-семинара " Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо,- 1999 - С. 154-161.

12. Павлова М.Ф., Майорова М.Е. Сходимость явных разностных схем для параболического нелинейного нестационарного неравенства / Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань.-1996.-С. 87-89.

13. Pavlova M.F., Maiorova М.Е. Oil the convergence of finite element schems for nonlinear parabolic with double degeneration / Abstract of Internationale conference " Optimization of Finite Element Approximation", St.-Peterburg. -1995.-P.74-75.

Введение.

1 Исследование первой краевой задачи для уравнения с двойным вырождением.

§1.1 Постановка задачи.

§ 1.2 Единственность решения.

§ 1.3 Обозначения. Вспомогательные результаты.

§ 1.4 Явная разностная схема.

§ 1.5 Регуляризованная разностная схема.

§ 1.6 Численное исследование разностных схем.

2 Вариационные неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

§ 2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Теорема существования.

§ 2.3 Единственность гладкого решения вариационной задачи.

§ 2.4 Явная разностная схема.

Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования во многих областях современного естествознания. Помимо традиционных сфер, таких как физика, химия, техника математическое моделирование нашло применение и в биологии, медицине, экономике и т.д.

Многие задачи современного естествознания описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения таких уравнений является конечно-разностный метод или метод сеток. Теория этого метода для линейных задач математической физики развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах [21], [22], [66], [24], [18], [77], [78], [79], [80].

Значительно слабее изучены разностные схемы для нелинейных задач. С наибольшей полнотой разработаны и исследованы численные методы решения нелинейных задач в предположении существования гладкого решения ( см., например, [1]-[7], [11]-[15], [32], [43]—[46], [50], [55], [81], [84], [85] ). Достаточно подробно изучены разностные схемы для уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотонными пространственными операторами [20], [21], [36], [53], [67], [69]. Класс же нелинейных задач, имеющих прикладной интерес, значительно шире. Он постоянно пополняется, поскольку для более точного математического описания различных процессов и явлений приходится вводить новые нелинейные модели, часть которых не укладывается в ранее разработанные теории и не только с точки зрения численного решения, но и с точки зрения разрешимости самих задач. Примером могут служить нестационарные задачи, получившие в научной литературе название задач " с двойным вырождением". Термин "двойное вырождение" подразумевает, что рассматриваемое уравнение ( или вариационное неравенство ) содержит нелинейность и вырождение и в пространственном операторе, и во "временных слагаемых". Такие задачи часто встречаются в приложениях, например, при математическом моделировании процессов неньютоновской фильтрации, диффузии, таянии ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации (см. [9], [16], [31], [37], [68]).

По-видимому, первой работой, в которой был исследован вопрос существования обобщенного решения для подобного уравнения, является статья Ю. А. Дубинского [25]. Доказательство существования решения в этой работе проводится с помощью эллиптической регуляризации. Позднее Равьяр [96], используя доказанную в работе [25] теорему компактности, установил существования обобщённого решения для уравнения вида д(\и\а~2и) " д ди р-2 ди dxi

1) dt i=1 dxi

При этом существенно использовалась монотонность пространственного оператора и возникало ограничение на связь параметров а,р и п. Там же была доказана сходимость неявной разностной схемы в одномерном случае. В работах [91], [ТО] аналогичная методика применялась для исследования существование решения уравнений более общего вида. Изучению некоторых свойств решения уравнения (1) посвящена работа [89].

Существенный шаг вперед в изучении уравнений с двойным вырож-нием был сделан с появлением работы [86]. Здесь была доказана новая теорема о компактности, позволяющая исследовать задачи с непотенциальными операторами, без ограничений на параметры а,р и п и при более слабых предположениях на гладкость исходных данных. В работе [86] исследовалась система уравнений с двойным вырождением с пространственным оператором, зависящим и от градиента решения, и непосредственно от самого решения. Обозначим его L(u,Vu). В [86] предполагается, что

L{u, Vv) — L(u:Vw),v — w) > co\\v — w\\p Vu,v,w, (2) где со = const >0.

Операторы, удовлетворяющие (2)^при cq > 0 естественно называть сильно монотонными по градиенту, при cq = 0 - монотонными по градиенту.

В [86] доказана теорема существования решения для уравнений с двойным вырождением, получены некоторые результаты о гладкости решения, доказана теорема о разрешимости вариационного неравенства с двойным вырождением при достаточно сильном ограничении на пространственный оператор, близком к условию потенциальности. В [100] проведено обобщение результата [86] для уравнений на случай монотонного по градиенту непотенциального оператора.

Проблеме существования обобщенного решения для параболических уравнений с двойным вырождением посвящены также работы [8], [88], [90], [42]—[47], [92], [97], [98], [101]. В работах [26]—[30] был получен ряд результатов о регулярности обобщенного решения уравнения с двойным вырождением, получены гельдеровские оценки.

Вопрос единственности решения для уравнений с двойным вырождением долгое время оставался открытым ( см. [28] ). В литературе имелись лишь результаты частного характера о единственности гладкого решения [89] или о единственности решения, являющегося пределом гладких решений, [86], [87], [99]. Наиболее общий результат был получен в 1996 г. Ф. Отто [94]. В этой работе Ф.Отто для задачи, рассмотренной в [86] доказал единственность решения, используя оригинальную методику, основой которой послужили идеи работы С.Н. Кружкова [93].

Что касается исследования сходимости разностных схем, для уравнений с двойным вырождением, то здесь следует отметить, в первую очередь работу [96], где исследовалась в одномерном случае сходимость неявной разностной схемы, а также работы [10], [83], [84], где "временная нелинейность" не имеет особенности, и предполагается гладкость решения.

Предмет исследования данной работы - уравнения и вариационные неравенства с двойным вырождением с монотонным по градиенту пространственным оператором.

Основное внимание в работе уделяется построению и исследованию сходимости сеточных методов решения указанных задач. При этом учитывается, что характерной особенностью задач с двойным вырождением является негладкость решения. Поэтому исследование сеточных методов проводится при минимальных предположениях о гладкости исходных данных, обеспечивающих лишь существование обобщенного решения задачи. В этом случае исследование сходимости приближенных методов тесно взаимосвязано с вопросами о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи, поскольку из сходимости сеточного метода часто следует существование решения дифференциальной задачи, а единственность решения позволяет усилить результат о сходимости. Поэтому в диссертацию включены результаты о единственности и существовании обобщенного решения в тех случаях, когда они являются новыми.

Исследование всех рассматриваемых в работе задач проведено в едином стиле. При доказательстве теоремы существования используется метод полудискретизации, метод Галеркина и метод штрафа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сумматор-ных тождеств [33]—[35]. Исследование сходимости дискретных методов основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах соболевских пространств и последующем предельном переходе. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного анализа. Для линейных уравнений математической физики аналогичная методика подробно разработана O.A. Ладыженской [38]—[41].

Перейдем к более детальному изложению результатов диссертации.

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава содержит шесть параграфов и посвящена исследованию следующей краевой задачи djf^-%Ua'{u)kAWu)) = f' (3) и(х, 0) = щ(х), и\т(х) = 0. (4)

Предполагается, что ip(£) - абсолютно непрерывная, строго возрастающая функция, удовлетворяющая при любом ( 6 Д1 следующим условиям bo I £ Г -bi < ф(0 = / <p'(t)tdt <ъ21 е Г +Ьз, о межмегч&б, о, где а > 1, Ь0 > 0, bi > 0, b2 > 0, 63 > 0, 64 > 0, 65 > 0, Ь6 > 0. о 1

Функции а^, кг таковы, что оператор действующий из ]УР (П) в ЦГр1^) (1 /р+ 1 /р' = 1), определенный равенством является непрерывным, коэрцитивным, ограниченным, монотонным по градиенту. Допускается вырождение оператора Ь по \7г>. В первом параграфе первой главы дана постановка задачи. Второй параграф посвящен доказательству единственности обобщенного решения задачи (3)-(4).

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 1. Пусть функции сц, удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того,

I - |< I а - 6 I 6 е Д\ Уж е О, > о. (5)

Тогда при любых задача (3)-(4) имеет единственное обобщенное решение.

При доказательстве единственности решения используется методика, разработанная в [94].

В третьем параграфе первой главы сформированы и доказаны вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем.

В четвертом параграфе первой главы для решения задачи (3)-(4) рассматривается явная разностная схема следующего вида щ(у) + Ау = Лт, (6)

2/(®,0) = Уо(х), у\г = 0. (7)

Здесь А - сеточная аппроксимация оператора Ь, построенная методом сумматорных тождеств ( см. [33]—[35]), а функции Дт, уо являются разностными аналогами функций / и ^о соответственно.

Для решения разностной схемы (6)-(7) получены априорные оценки восполнений сеточных решений, на основе которых с помощью теорем из [54], [56], [86] доказывается сходимость кусочно-постоянных восполнений решения (6)-(7) к обобщенному решению исходной задачи.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 2. Пусть функции </?, ау, кз удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того,

8) (9)

10) (Н)

12) существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (6)-(7), сходящаяся к обобщенному решению задачи (3)-(4).

Если / £ 1а(0, Т; Ь\(П)), а функции аг удовлетворяют условию (5), то вся последовательность кусочно-постоянных восполнений сходится к обобщенному решению задачи (3)~(4)

В пятом параграфе первой главы предлагается схема, названная регуляризованной: срь(у) + оу1 + Ау - Дт, (13)

У{х,0)=у0{х), у\г = 0, (14) где А, fhT, ср, уо - те же, что и в схеме (6)-(7), а а - некоторая положительная постоянная ( параметр регуляризации ). Отметим, что схема (13)—(14) по реализации близка к явной, однако^при доказательстве сходимости не требуется выполнения условий (8), (9). Здесь доказана

0 > *>61 £ Ia"2 пРи > 2, р-Щ' >Ч£ |(2-Q)/(a-1} при а < 2, / е Zy(0,T; П La(0,T; W^T1^)), щеЬа(П) n tí^(íí). Тогда при т, h, удовлетворяющих соотношениям г < cA"s, г А* —0 тград г, /г 0, г(?е s = тах{р, a}/min{a — 1,1}, s = тах{р, а, о;'},

2фг frl+nfr-aVap' еСЛИ Р ^ »>

Аа = —-—, еслгх 1 < р < а, п.

Теорема 3. Пусть функции р, а^ kj удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того, Е Ьр,(0,Т;\¥р-1(П))ПЬ2(0,Г; ^(П)), и шаги сетки т, И выбраны так, что параметр р, определенный соотношениями о 4п2/р р = гЛ2 = т при 1 < р < 2, р = гЛ^ЛГ2 =

2рп

Ьр+п(р—2)(р-а)/ар При Р ^ 2, О; > 2, г-^- при а < 2 < р, удовлетворяет соотношениям р < 1, р —> 0 при т, Н О, а параметр регуляризации сг выбран так, что

1-7

СГ = (Т0р Г, где 0 < 7 < 1 - произвольная постоянная, - константа, определяемая исходными данными задачи, тогда существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (13)-(Ц), сходящаяся к обобщенному решению задачи (3)-(4).

Если / Е 1а(О, Т; а функции щ удовлетворяют условию

5), то вся последовательность кусочно-постоянных восполнений сходится к обобщенному решению задачи (3)-(4)

В последнем параграфе первой главы приведены результаты численного исследования разностных схем для задачи (3)-(4) на примере задачи о свободном растекании неньютоновской жидкости или куполовидного ледника с нулевым балансом массы.

Численные исследования проводились в одномерном случае. Анализ проведенных экспериментов позволяет сделать вывод, что явная схема дает хорошие результаты. Неявная разностная схема, реализованная методом Ньютона, не на много улучшает результаты явной разностной схемы и сохраняет зависимость между шагами т, /г, поскольку для сходимости метода Ньютона требуется высокая точность начального приближения. Регуляризованная разностная схема дает решения близкие к решениям явной разностной схемы, если итерационный параметр а выбран оптимально.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюционного вариационного неравенства с двойным вырождением вида: f,v-u)dt Vv£K, (15) где о (i)

К = {v, veLpiO^Wp (íí))nLoo(0,T;Le(n)), v > g почти всюду в О x (0,Т]}, (w,v) значение функционала w из 1у(0,Т; И^71(0)) на элементе v из о (i)

Lp(0,T]Wp При определении решения вариационного неравенства полагается, что функция и такова, что 6 M0,T;V(n)). и(х, 0) = щ(х) почти всюду В Qt. (16)

В первом параграфе дана постановка задачи, определено обобщенное решение.

Во втором параграфе доказана теорема существования обобщенного решения вариационной задачи (15)—(16). Доказательство проводится с помощью метода полудискретизации со штрафом. Под решением о 1 полудискретной задачи понимается функция y(t) е Wp (ÍÍ) П La(ü) Vi G ujt такая, что г/(0) — tío(ж) почти всюду в о 1 и для любой функции w £WP (fi) П La{Cl) Vi € lot справедливо равенство ^Pt((y(t) -g(t))+ + g{t))wdx + (Lg(y(t), Vy(í)),«;>+ ü

-/ (3(у(1)-д{1))и](1х = (/г(*),ю>.

Здесь е - параметр штрафа, /т и д полудискретные аналоги функций / и д :

1 1 т т ■»

7" т

4 4 операторы ¡3 определены следующими равенствами

Угх) = ¿((V - <?)+ + д, Vг/) У-и, и € £а(П)П ^ (О), /Зги = - | иГ |р~2 иГ V™ е Л1.

Доказана

Теорема 4. Пусть д € Ьоо(0,Т; 1/а(П)) П ¿р(0, Т; И^(П)), р|г < О, дЬ

О (1) о гр ПЬа(0), г4о(ж) > д(х, 0) почти всюду в О, (17)

Тогда существует подпоследовательность восполнений решения полудискретной задачи, сходящаяся к решению задачи (15)-(16).

В третьем параграфе второй главы исследуется единственность решения вариационной задачи (15)—(16). Установлено, что при выполнении условия а{(х,£)-(ц(х,г))\<с\€-г1\ г] <Е Д1, г = 1,.,п (18) решение задачи (15)—(16) единственно в классе функций, удовлетворяющих включению д<р(и) дг еХ2(0,Г;Ь2(П)). (19)

Кроме того, здесь показано, что если а > 2, А - монотонный оператор, / 6 £1(0, Т; Ь\(П)^справедливо соотношение (18), то задача (15)—(16) ^ будет иметь решение, удовлетворяющее (19).

В четвертом параграфе для решения вариационного неравенства

15)—(16) при д = const предлагается следующая разностная схема

Ш +Ау+ -д)= fhT, (20) у(х,0)=у0(х), У|г — 0. (21)

Здесь А, filT - разностные аппроксимации оператора L и функции /, определенные так же, как и в первой главе.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 5.Пусть функции (р, aj, kj удовлетворяют условиям теоремы 2, кроме того, о v-еея1 и выполнены соотношение (17).

Тогда при любых т, hue, удовлетворяющих (9), (10) и таких, что < с где s = тах{а, а',р}, \а определена (12), существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (20)-(21), сходящаяся к обобщенному решению задачи (15)

16).

Сформулируем основные результаты диссертации:

1. Доказана единственность решения нелинейных эволюционных уравнений с двойным вырождением.

2. Для решения уравнения с двойным вырождением предложены две разностные схемы, исследована их сходимость.

3. Доказана теорема существования обобщенного решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

4. Доказана теорема о единственности гладкого решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

5. Предложен сеточный метод решения вариационного эволюционного неравенства, доказана его сходимость.

- 13

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54], [56]-[65], [73], [95] и докладывались на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), на Международной конференции "Optimization Of Finite Element Approximations" (St.-Petersburg, 1995), на Всероссийском семинаре " Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996 г., 1998 г.), на 8-ой Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 1999 г.), в Казанском университе (семинар А.Д. Ляшко), а также на итоговых конференциях КГУ 1994-2000 г.

1. Абрашин В.Н. Сходимость метода сеток для многомерных квазилинейных задач теплопроводности // Докл. АН БССР. -1972. - Т.16. - N 10. - С. 877-880.

2. Абрашин В.Н. О равномерной сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений параболического типа // Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук. 1973. - N 2. - С. 23-31.

3. Абрашин В.Н. Разностные схемы для нелинейного параболического уравнения, не разрешенного относительно старших производных // Дифференц. уравнения. 1975. - Т.11 - N 4. -С. 694-707.

4. Абрашин В.Н. О разностных схемах для нестационарных задач с неограниченной нелинейностью // Докл. АН БССР. 1976. -Т.20.- N 8. С. 680-683.

5. Абрашин В.Н. О некоторых разностных схемах для задач лучистой теплопроводности // Докл. АН СССР. 1976. -Т.230- N 4. С. 753-756.

6. Абрашин В.Н. Разностные схемы для параболических уравнений с нелинейным вырождением. I // Дифференц. уравнения. 1976.- Т.12. N 8. - С. 1470-1484.

7. Абрашин В.Н., Цурко В.А. Разностные схемы для параболических уравнений с нелинейным вырождением. II // Дифференц. уравнения. 1978. - Т.14. - N 7. - С. 1215-1223.

8. Агаев Г.Н. О разрешимости задачи Коши для одного класса нелинейных операторных уравнений // Некоторые вопросы теории нелинейного анализа / Ин-т мат. и мех. АН Аз.ССР. -1990. вып.2. - С. 3-18.

9. Антонцев С.Н., Мейрманов A.M. Математические модели совместного движения поверхностных и подземных вод. -Новосибирск: изд.-во НГУ, 1979. 80 С.

10. Арделян H.B. Метод исследования сходимости нелинейных разностных схем // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 7.- С.1116-1127.

11. Баклановская В.Ф. Численное решение одномерной задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. - Т.1. - N 3. - С. 461-469.

12. Баклановская В.Ф. Численное решение второй краевой задачи для одномерного уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. - Т.1. - N 6. - С. 1129-1134.

13. Баклановская В.Ф. О некоторых нелинейных задачах нестационарной фильтрации // Прикл. матем. и мех. 1962. - Т.26. -N 1. - С. 196-200.

14. Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток решения первой краевой задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и кубатурные формулы. М.: Наука, 1964. - С.228-243.

15. Баклановская В.Ф., Гаипова А.Н. Об одной двумерной задаче нестационарной фильтрации // Численные методы решения задач математической физики. М.: Наука, 1966. - С.237-239.

16. Бернадинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 199 С.

17. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М:Наука, 1972. - 416 С.

18. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Устойчивость проекционно-разностных схем для нестационарных задач математической физики // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. - Т.35.- N 7. С. 1011-1021.

19. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -М.:Мир, 1978. 336 С.

20. Глазырина JI.JI., Павлова М.Ф. Разностная схема решения задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод // Изв.вузов. Математика. 1984. - N 9. - С. 72-75.

21. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численные исследования вариационных неравенств. М.:Мир, 1979. - 574 С.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Наука, 1973. - 400 С.

23. Григорян С.С., Красс М.С., Шумский П.А. Математическое моделирование основных типов ледников // В сб.: Механика ледников, М., 1977, с. 3-37.

24. Гулин A.B., Самарский A.A. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем. // Матем. сборник. 1976. - Т.99. - С. 299-360.

25. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сборник. 1965. - Т.67. - N 4. - С. 609-642.

26. Иванов A.B. Приграничные гельдеровские оценки для обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. -1991. N 188. - С. 45-69.

27. Иванов A.B. Классы Bmj и гельдеровские оценки для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1992. - N 197. -С. 42-70.

28. Иванов A.B. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение // Алгебра и анализ. 1992. - Т.4. -Вып.6. - С. 114-130.

29. Иванов A.B., Мкртчан П.З. Весовая оценка градиента для неотрицательных обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1990. - N 191. - С. 3-23.

30. Иванов A.B., Мкртчан П.З. О существовании непрерывных по Гельдеру неотрицательных обобщенных решений начально-краевой задачи для квазилинейных параболических уравнений с двойным вырождением // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1990. -N 182. - С. 5-28.

31. Калашников A.C. Вопросы теории вырождающихся параболических уравнений // Успехи мат. наук. 1987. - Вып. 2. - С. 135-176.

32. Карчевский М.М., Лапин A.B., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1972. - N 3. - С. 23-31.

33. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнеий ч 1 // Изв. вузов. Математика. 1972. - N 11. - С. 23-31.

34. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений ч 2 // Изв. вузов.• Математика. 1973. - N 3. - С. 44-52.

35. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики. Казань:Изд-во КГУ, 1976.- 158 с.

36. Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О разностных схемах решения нестационарных уравнений теории фильтрации с предельным градиентом // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1980. Т.Н. - N 4. - С. 104-112.

37. Костерин A.B., Березинский Д.А. Насыщенно-ненасыщенноые состояния деформируемых пористых сред // ДАН России. 1998.- Т.356. N 3. - С.343-345.

38. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.:Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 408 С.

39. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гос. изд-во тех.-теор. литературы, 1953. -280 с.

40. Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными / / УМН. 1957. - Т.12. -N 5. - С. 123-149.

41. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Квазилинейные эллиптические уравнения. М.: Наука, 1973. - 576 С.

42. Лапин A.B. Исследования одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства // Диф.ур. 1980. - Т.14. - N 7. -С. 1245-1254.

43. Лапин A.B. О двухслойных сеточных схемах для нестационарных нелинейных вариационных неравенств / / Вычисления с разреженными матрицами. Новосибирск. - 1981. -С. 88-97.

44. Лапин A.B. Исследования двухслойных сеточных схем для параболических вариационных неравенств // Изв.вузов. Математика.- 1983. N 10. - С. 37-45.

45. Лапин A.B., Ляшко А.Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1973. - N 1. - С. 71-73.

46. Лапин A.B., Ляшко А.Д. О сходимости разностных схем для квазилинейных уравнений, параболических на решении // Изв. вузов. Математика. 1975. - N 12. - С. 30-42.

47. Лапин A.B. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств.- Казань: изд.-во КГУ, 1984. 96 С.

48. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972. - 588 С.

49. Лионе Ж.- Л., Мадженес Э. Неоднородные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 С.

50. Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных разностных операторно-разностных схем // Докл. АН СССР. -1974. Т.215. - N 2. - С. 263-265.

51. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. 1975. - N 6. - С. 73-81.

52. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. Казань: изд.-во КГУ, 1985. - С. 119.

53. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной теории фильтрации // Диф.ур. 1980. - Т.16. - N 7. - С. 1255-1264.

54. Ляшко А.Д., Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О разрешимости одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Диф. ур. 1996. - Т.32. - N 7. - С. 896-901.

55. Ляшко А.Д., Федотов Е.М. О корректности двухслойных операторно-разностных схем // Дифференц. уравнения. 1981.- Т.17. N 7. - С. 1304-1316.

56. Майорова М.Е. Сходимость явной разностной схемы для нелинейного параболического уравнения с двойным вырождением / Казань: КГУ, 1996. Деп. в ВИНИТИ 31.01.96. - N 344-В96.-20 С.

57. Майорова М.Е. Исследование разрешимости одного вариационного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении / Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань.- 1998.- С. 53-55.

58. Майорова М.Е. О разрешимости одного эволюционного вариационного неравенства с неоднородным ограничением / "Исследование по прикладной математике". Казань: Изд.-во Казанского математического общества. - Вып. 23. - 1999. - С. 204-211.

59. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв.вузов.Математика. 1994. - N 1. - С. 43-53.

60. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / Казань: КГУ, 1995. Деп. в ВИНИТИ 28.03.95. - N 836-В95. -30 С.

61. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / "Исследования по прикладной математике". Казань: Изд-во Казанского математического общества. - Вып. 22. - 1997. - С.106-130

62. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. Сходимость явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Изв.вузов.Математика, 1997. N 7. - С. 53-65.

63. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О единственности решения в задачах с двойным вырождением / Труды Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо.- 1999.- С. 154 161.

64. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.:Наука, 1977. 456 С.

65. Масловская Л.В. О сходимости разностных методов для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений параболического типа // Журнал выч. матем. и матем. физ. 1972. - Т. 12. - N 6. - С. 1444-1455.

66. Мухитдинов Н. Газодинамическое исследование нелинейной фильтрации жидкости и газа. Ташкент:"Фан" Узб.ССР. - 1977. - 152 С.

67. Павлова М.Ф. Вычислительные методы и математическое обеспечение ЭВМ. Казань: КГУ, 1981. - Вып. 3. - С. 67-78.

68. Павлова М.Ф. Исследования уравнений нестационарной нелинейной фильтрации // Диф. ур. 1987. - Т.23. - N 8. - С. 1436-1446.

69. Павлова М.Ф. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-метематических наук. Казань, 1981. - 132 С.

70. Павлова М.Ф. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-метематических наук. Казань, 1998. - 238 С.

71. Павлова М.Ф., Майорова М.Е. Сходимость явных разностных схем для параболического нелинейного нестационарного неравенства / Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань.-1996.-С.87-89.

72. Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. О разрешимости одного нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Математическое моделирование. 1992. - Т.4. - N 4. - С. 74-88.

73. Саламатин А.Н. Анализ простейших математических моделей куполовидных ледников // В сб.: Исследование по прикладной математике, Казань: КГУ, 1979, вып. 7, с. 131-139.

74. Саламатин А.Н., Чугунов В.А., Мазо А.Б. Численное исследование и инвариантные решения задачи о динамике субизотермического ледника в одномерном приближении / / Задачи механики природных процессов. М.: МГУ. - 1983. - С. 82-95.

75. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 616 С.

76. Bamberger A. Etude dune equation doublement non lineáire // J.Func. Anal. 1977. - V.24. - P. 148-155.

77. Blanchard D, Fracfort G. Study of a doubly nonlinear heat equation with no growth assumption on the parabolic term // SIAM J.Math. Anal. 1988. - V.19. - P. 1032-1056./

78. Grange O., Mignot F. Sur la résolution d'une Equation et d'uneirïquation paraboliques non linéaires // J. Func. Anal. 1972. - V.ll.- P. 77-92.

79. Jingxue Y. On a class of quasilinear parabolic equations of second order with double-degeneracy //J. Partial Diff.Eq. 1990. - V.3. -P. 49-64.

80. Kruzkov S. N. First order quasilinear equations in several independent variables // Math USSR-Sb 10 (1970), p.217-243.

81. Otto F. L\- Contraction and Uniqueness for Quasilinear Elliptic-Parabolic Equations // J.Differential Equations. V.131. - N 1. -P. 20-38.

82. Pavlova M.F., Maiorova M.E. On the convergence of finite element schems for nonlinear parabolic with double degeneration / Abstract of Internationale conference " Optimization of Finite Element Approximation", St.-Peterburg. -1995.- P.74-75.

83. Raviart R.A. Sur la resolution de certaines e'quations paraboliques non line'aires // J.Func. Anal. 1970. - V.5. - N 2. - P. 299-328.

84. Tsumtsumi M. On solution of some double nonlinear degenerate parabolic equations with absorrption //J. Math. Anal Appl. 1988.- V.132. P. 187-212.

85. Xu X. Existence and convergence theorems for double nonlinear partial differential equations of elliptic-parabolic type // J. Math. Anal. Appl. 1990. - V.150. - P.-205-223.

86. Yin J. On the uniqueness and stability of BV solution for nonlinear diffusion equations // Comm. Partial Differential Equations 15, N 12.-1990.- P.1671-1683.

87. Zeman J. On existence of the weak solution for nonlinear diffusion equation // Appl. of mathematics. 1991. - V.36. - N 1. - P.9-20.- 133

88. Zhuang Qiongshan. Initial-boundary value problem for double degenerate nonlinear parabolic equation //J. Partial Diff. Eq. 1989 - V.2. - N 4. - P. 47-61.