автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Равновесные и неравновесные свойства больших случайных систем



На правах рукописи

Пирогов Сергей Анатольевич

Равновесные и неравновесные свойства больших случайных систем

05.13.17 - Теоретические основы информатики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2009

003461052

Работа выполнена в Институте проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор P.A. Минлос

Диссертационного совета Д.002.077.01 при Институте проблем передачи информации им. A.A. Харкевича РАН по адресу: 101447, Москва, ГСП-4, Б. Каретный пер., 19, стр. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации РАН

Автореферат разослан "tffi " &flCc?f)<X_ 2009 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д.002.077.01

доктор физико-математических наук И.И. Цитович

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Оселедец доктор физико-математических наук, профессор В.В. Веденяпин

Ведущая организация: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится

2009 г. в 11 часов на заседании

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Системы, состоящие из большого числа взаимодействующих компонент, являются основным классом моделей, с помощью которых удается изучить поведение сколь угодно больших (бесконечных) физических или информационных систем. Такие системы проявляют коллективное поведение, в котором детали процесса динамического изменения состояния каждой из компонент становятся несущественными. Вместо этого основной характеристикой системы становится вероятностное описание доли компонент, которые обладают некоторым определенным свойством. Общая структура описания таких многокомпонентных моделей на физическом языке была разработана Больцманом и Гиббсом на рубеже 19 и 20 веков. В их работах было положено начало новой науке — статистической механике. Первоначально статистическая механика была предназначена для решения чисто физических проблем, однако разработанные новые методы ц подходы оказались настолько универсальными, что стали применяться к различным ситуациям, далеко выходящим за рамки физических задач. Основы математической статистической механики были заложены в 40-50х годах 20 века JI. Ван Ховом, JI. Онзагером, H.H. Боголюбовым и Б.И. Хацетом, М. Кацем, Т. Ли и К. Янгом, и, позднее, в б0-70е годы, были развиты в работах Р.Л. Добрушина, P.A. Минлоса, Я.Г. Синая, Ф.А. Березина, О. Лэнфорда, Д. Рюэля, Дж. Галлавотти, Р. Гриффитса, Ж. Жинибра, Д. Робинсона, Ф. Спитцера, Дж. Лебовнца, С. Миракль-Соля, в которых, в частности, па математическом уровне строгости были введены понятия термодинамического предельного перехода, гиббсовского случайного поля, построены предельные гиббсовские распределения, исследованы корреляционные функции непрерывных и решетчатых систем, построены основы теории фазовых переходов, введены неравновесные модели и изучена их связь с гиббсовскими состояниями.

Математический аппарат статистической механики в современном се понимании включает в себя разнообразные методы из различных областей математики: теории вероятностей (включая теорию случайных процессов), функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. При этом используемый математический аппарат является довольно своеобразным и не имеет аналогов в классической теории вероятностей и математической статистике. Еще большим своеобразием отличается сама постановка задач статистической механики. Это, по существу, широкий класс задач теории случайных процессов в пространствах большой (обычно — бесконечной) размерности, описывающих поведение большого числа взаимодействующих компонент (называемых иногда частицами, спинами, автоматами). Одной из основных задач статистиче-

ской механики является описание фазовых переходов. В точке фазового перехода различные термодинамические характеристики системы (такие как плотность, намагниченность, концентрация) имеют особенности как функции основных термодинамических параметров (температуры, давления, химических потенциалов, внешнего поля). В случае фазового перехода 1-го рода термодинамические характеристики меняются скачками, причем сама точка фазового перехода 1-го рода характеризуется наличием нескольких чистых термодинамических фаз с различными значениями термодинамических характеристик. Множество точек фазовых переходов 1-го рода в пространстве термодинамических параметров называется фазовой диаграммой. Обычно фазовая диаграмма состоит из компонент различных размерностей. Согласно известному эмпирическому правилу фаз Гиббса, на компоненте фазовой диаграммы, имеющей коразмерность г, существует г + 1 чистых термодинамических фаз (гиббсовских состояний). Задача описания фазовой диаграммы в общем случае все еще далека от своего решения.

К началу 70-х годов в работах P.JI. Добрушина, P.A. Минлоса, Я.Г. Синая была создана математически строгая концепция фазового перехода 1-го рода как точки неединственности соответствующего предельного распределения Гиббса. При этом чистым термодинамическим фазам соответствуют чистые (т.е. пространственно однородные, эргодические) предельные гиббсовские меры, имеющие одинаковые условные распределения, по различающиеся между собой. Однако число конкретных примеров неединственности предельного распределения Гиббса было в то время невелико. Оно ограничивалось ферромагнитной моделью Изинга (Р.Л. Добрушин, P.A. Минлос, Я.Г. Синей, Ф.А. Верезин), антиферромагнитной моделью Изинга (Р.Л. Добрушин) и еще рядом моделей, в которых неединственность гиббсовского поля сопровождалась спонтанным нарушением симметрии, отличной от ферромагнитной и от антиферромагнитной (В.М. Герцик, Р.Л. Добрушин). Не было известно ни одного случая, когда бы фазовый переход 1-го рода происходил без спонтанного нарушения симметрии, подобно кипению воды в природе (вода и пар не отличаются между собой по симметрийным свойствам). Единственным исключением была модель Ван-дер-Ваальса, изученная М. Кацем. Но в этой модели условные вероятности нелокальны, а потому она не дает нетривиального примера гиббсовского поля.

Для более детального вероятностного описания предельных распределений Гиббса ферромагнитной модели Изинга P.A. Минлос и Я.Г. Синай развили метод контурных функционалов и технику (линейных) корреляционных уравнений, которым удовлетворяют корреляционные функции соответствующих случайных полей. Эти поля, по существу, относятся к геометрической теории вероятностей, поскольку их реализации

суть наборы непересекающихся замкнутых ломаных на целочисленной решетке в размерности 2 и замкнутых поверхностей в размерности 3. Работы P.A. Минлоса и Я.Г. Синая были продолжены учениками Я.Г. Синая (Е.И. Динабург, А.Е. Мазель, С.А. Пирогов). Изучение и применение контурных моделей стало предметом исследований автора. На этой основе получила дальнейшее развитие теория фазовых переходов и к середине 70-х годов была создана теория фазовой диаграммы для широкого класса решетчатых моделей статистической механики (теория Пирогова-Синая). На протяжении последующих двух десятилетий эта теория активно развивалась прежде всего учеными нашей страны и стран Восточной Европы. В последние годы теория Пирогова-Синая развивается в многочисленных (более 160) работах отечественных и зарубежных ученых. Эти исследования ведутся во всех крупных европейских и американских математических центрах. В особенности стоит отметить полученное Э. Презутти (Римский университет) и его школой обобщение теории Пирогова Синая с решетчатых систем на непрерывные системы, т.е. на точечные случайные поля в эвклидовом пространстве.

Особый раздел математической статистической механики представляет изучение систем взаимодействующих вероятностных автоматов. Хотя зависимость состояний системы автоматов от времени и может рассматриваться как гиббсовское случайное поле на пространстве-времени, но свойства этого поля резко отличаются от свойств полей, возникающих из других задач статистической механики. Это связано, наглядно говоря, с тем, что параметр "температура", управляющий состоянием обычных термодинамических систем, невозможно непостредственно ввести в описание системы взаимодействующих автоматов. Еще более необычный класс систем представляют собой системы автоматов с отказами, введенные автором. Под системой автоматов с отказами здесь понимается такая система взаимодействующих вероятностных автоматов, для каждого элемента которой возможен переход в аварийное состояние. При этом переход одного из элементов в аварийное состояние ведет к полному разрушению всей системы. Несмотря на необычность математического описания рассматриваемой ситуации, такие процессы естественно возникают в ряде технических и биологических задач. В частности, в по-пуляционной генетике естественно описывать состояние популяции как меру на пространстве генотипов, а мутации — как случайные изменения отдельных элементов генотипов. При этом некоторые комбинации мутаций являются летальными, т.е. ведут к исчезновению соответствующего генотипа. Именно такие ситуации и рассматриваются в теории систем взаимодействующих автоматов с отказами.

Случайные блуждания химической кинетики являются марковскими процессами с непрерывным временем на целочисленном положительном

ортанте большой размерности с интенсивностями переходов (не обязательно в ближайшие точки), полиномиально зависящими от состояния системы, которое задано как целочисленный вектор с неотрицательными координатами. Говоря содержательно, компоненты этого вектора задают количество молекул каждого из потенциально возможных типов (считается, что число типов конечно). Полиномиальная зависимость интенсив-ностей переходов от вектора состояния представляет собой математическое выражение закона действующих масс классической химической кинетики. Случайные блуждания химической кинетпки представляют собой удобный полигон для изучения обратимого и необратимого поведения больших случайных систем. В частности, простейший пример такого случайного блуждания еще в начале 20-го века рассматривался с этой точки зрения в работе Т. и П. Эренфестов. Связь между поведением решений системы дифференциальных уравнений химической кинетики и поведением траекторий случайного блуждания химической кинетики может быть рассмотрена с различных точек зрения и ведет к новому классу задач теории случайных процессов. Таким образом, выполненное автором исследование асимптотического поведения случайных блужданий химической кинетики и, в частности, изучение структуры множества их инвариантных мер является решением актуальной задачи.

Цель работы. В работе рассматриваются следующие системы:

- гиббсовские поля статистической физики;

- марковские процессы с локальным взаимодействием, в том числе системы автоматов с отказами;

- случайные блуждания химической кинетики.

Основной целью работы является изучение глобальных свойств этих систем, характеризующих их устойчивость или неустойчивость (фазовые переходы 1-го рода для гиббсовских случайных полей, существование различных предельных режимов для систем автоматов с отказами, существование функции Ляпунова и описание инвариантных мер для процессов химической кинетики).

Методы исследования. В наших исследованиях использованы методы теории вероятностей и функционального анализа, в частности, метод контурных функционалов P.A. Минлоса и Я.Г. Синая, корреляционные уравнения и их нелинейные аналоги, теория сходимости операторных полугрупп Троттера-Курца.

Научная новизна. Разработан новый метод исследования классических решетчатых систем в низкотемпературном режиме, известный

теперь как метод Пирогова-Синая. Этот метод основан на построении вспомогательных контурных моделей (в смысле теории контурных функ-циопалов P.A. Миилоса и Я.Г. Синая), статистические суммы (и, тем самым, корреляционные функции) которых определенным образом связаны со статистическими суммами (и корреляционными функциями) изучаемого гцббсовского поля. Важной особенностью такого подхода является то, что для изучения фазовых переходов данное гиббсовское поле включается в подходящее конечно-параметрическое семейство и, таким образом, возникает фазовая диаграмма, состоящая из компонент различной размерности в конечномерном пространстве параметров, которая полностью описывает фазовые переходы 1-го рода в рассматриваемой системе. При реализации этого подхода существенно используется метод сжатых изображений как для решения линейных корреляционных уравнений Минлоса-Синая, так и для решения нелинейных уравнений для неизвестных контурных функционалов, описывающих вспомогательные контурные модели.

Разработан аналогичный метод построения вспомогательных контурных моделей для изучения систем автоматов с отказами.

Разработан метод исследования инвариантных мер случайных блужданий химической кинетики, основанный на алгебраических свойствах прямого уравнения Колмогорова, отвечающего такому марковскому процессу. Показано, что построение функции Ляпунова для систем обыкновенных дифференциальных уравнений химической кинетики также основано на алгебраических свойствах этой системы. Установлено, что алгебраические свойства систем уравнений химической кинетики, гарантирующие существование функции Ляпунова, связаны с алгебраическими свойствами прямого уравнения Колмогорова, обеспечивающими существование пуассоновской инвариантной меры, что заранее не было очевидно.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, В диссертации разработаны новые методы исследования, которые в сочетании с известными методами позволили получить новые результаты и доказать утверждения, существовавшие ранее в виде гипотез. В частности, для широкого класса моделей получено математическое обоснование эмпирического правила фаз Гиббса для низкотемпературной фазовой диаграммы. Обнаружена неустойчивость асимптотического поведения систем взаимодействующих автоматов с отказами. Установлена связь между принципом возрастания энтропии и существованием пуассоновских инвариантных мер для случайных блужданий химической кинетики. Результаты и методы работы могут быть использованы в статистической физике, в теории вероятностей и, кроме

того, могут иметь приложения для решения практических задач обработки информации. Исследование систем автоматов с отказами связано, кроме того, с изучением надежности систем хранения информации, а также с некоторыми задачами популяционной генетики. Анализ случайных блужданий химической кинетики открывает новые возможности для статистического моделирования химических процессов с участием небольшого количества молекул, когда стандартные методы, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях химической кинетики, теряют свою применимость.

Апробация результатов и публикации. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством Р.Л. Добругпина, Я.Г. Синая, P.A. Минлоса и В.А. Малышева (70е-80-е гг.), на научных семинарах в ИППИ РАН под руководством Р.Л. Добрушина, P.A. Минлоса и М.С. Пинскера (19902008), на спецсеминаре по математической физике в МГУ под руководством P.A. Минлоса (1990-2008), на летнем семинаре Я.Г. Синая в МГУ (2005-2007), а также на многочисленных международных конференциях.

Основные материалы диссертации изложены в 31 работе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Текст работы изложен на 198 страницах. Список литературы содержит 220 наименований.

Содержание работы

Во введении дан исторический обзор и отмечены современные тенденции исследований равновесных и неравновесных свойств больших случайных систем. Указаны некоторые возможные приложения полученных результатов.

В первой главе изложена теория фазовых переходов первого рода для решетчатых гиббсовских случайных полей. В статье Пирогова и Синая [1], содержание которой служит основой для первой главы диссертации, получено математическое обоснование правила фаз Гиббса и построена фазовая диаграмма при достаточно низких температурах для широкого класса решетчатых моделей статистической механики. Этот класс, конечно, не включает в себя все мыслимые модели. Во-первых, надо предположить, что множество основных состояний (состояний с минимальной энергией) рассматриваемой модели конечно. Во-вторых, надо предположить, что выполнено некоторое условие устойчивости основных состояний, которое мы называем условием Пайерлса (имея в виду использование этого свойства Р. Пайерлсом в его работе о ферромагнитной

модели Изинга в 1936 году). Сам по себе тот факт, что условие Пайерлса выполнено не всегда (для систем с конечным числом основных состояний), неожиданен и был установлен Е.А. Печерским. Для всех "естественных" систем статистической механики с конечным числом основных состояний условие Пайерлса выполняется. Основным технических средством построения фазовой диаграммы является система нелинейных уравнений для контурных функционалов Минлоса-Синая, которую можно вывести из определения гиббсовского поля с данным взаимодействием и заданными граничиыми условиями.

Начнем со следующей аналогии. Пусть Н(р, </) = р2/2 + [/(<?) — функция Гамильтона классической динамической системы с ограниченным конфигурационным пространством. Тогда при больших значениях ¡3 основной вклад в интеграл

вносит интегрирование по малым окрестностям тех точек, где функция Н достигает абсолютного минимума. Такие точки называются основными состояниями (o.e.) гамильтониана Н. То, что описано ниже, можно рассматривать как обобщение указанного факта на бесконечномерный случай. Конкретно говоря, рассматриваются гамильтонианы Я, отвечающие классическим решетчатым моделям статистической физики. Для рассматриваемых решетчатых систем мы определяем, что такое основное состояние гамильтониана (в классе периодических конфигураций). Далее мы вводим предположение о гамильтониане, выполняющееся для широкого класса моделей, о том, что множество основных состояний конечно. При этом предположении мы формулируем условие на гамильтониан, которое мы называем условием Пайерлса, и которое естественно рассматривать как условие "устойчивости" основных состояний. Перейдем к более точным определениям.

Пусть X — конечное множество. Конфигурацией системы мы называем функцию s(i), i 6 Zd со значениями в X, т.е. s(i) € X. Всюду в дальнейшем d > 2, поскольку, как известно, при d = 1 фазовые переходы (для случая локального взаимодействия) отсутствуют. На множестве конфигураций М = Xz" действует группа Zd пространственных сдвигов. Периодической конфигурацией мы называем конфигурацию s(i), инвариантную относительно некоторой подгруппы Z С Zd конечного индекса.

Перейдем теперь к описанию гамильтониана Н. Мы предполагаем, что для каждого i 6 Zd задана функция Ui(s(j),\j — г\ < Я) от переменных s(j), |j — г| < R, описывающая взаимодействие в окрестности

(1)

точки г € Здесь Я — фиксированное число, называемое радиусом взаимодействия. Во многих случаях можно считать, что С/; не зависит от г, т.е. взаимодействие инвариантно относительно пространственных сдвигов Мы рассматриваем чуть более общую ситуацию, когда {/, периодично, т.е. инвариантно относительно некоторой подгруппы Ъ С 2Л конечного индекса. Гамильтониан системы следовало бы написать в виде формальной суммы

я(«) = £ К(вО").Ь'-'1<Я). (2)

Но такая запись не имеет смысла. На самом деле нам нужна не функция Я(з) сама по себе, а значения разностей //(я') — Я(я") = Н(в', в") для пар конфигураций я', б", совпадающих почти всюду, т.е. всюду за исключением конечного числа мест. А такие разности уже имеют смысл. А именно,

¡¿г*

где для краткости положено

гад = и,Ш, у - г\ < Я).

Мы будем называть //(б', я") относительным гамильтонианом, а выражение типа (2) — формальным гамильтонианом. Имея гамильтониан Н — ¡¡(б', я"), можно определить понятие основного состояния.

Определение 1. Периодическая конфигурация а называется основным состоянием гамильтониана Н, если для любой конфигурации в, совпадающей с а почти всюду,

Н(з,а)> 0. (3)

Основное состояние можно определить иначе, как периодическую конфигурацию с наименьшей удельной энергией [5]. Если обозначить через вн(я) удельную энергию гамильтониана Н, то имеет место следующее утверждение.

Предложение 1. Периодическая конфигурация а является основным состоянием гамильтониана Н тогда и только тогда, когда

е* (а) < ен(з) (4)

для любой периодической конфигурации э.

Для гамильтониана Н обозначим множество его основных состояний через S{H). Теперь перейдем к формулировке требования устойчивости основных состояний.

Пусть дан гамильтониан Но с конечным множеством основных состояний S(Ho) — {si,...,sr}. Выберем подгруппу Z С Zd конечного индекса, относительно которой инвариантны все конфигурации si,...,sr. Положим N = (Zd : 2) и введем следующие обозначения. Ограничение конфигурации s на подмножество V С Zd обозначим через pr(s, V). Расстояние между двумя точками i,j 6 Zd определим как |j — i\ = maii<(i<¿|¿fc — jk\- Для данной точки i 6 Zd обозначим через Un(í) куб {j : |í-¿| < N}.

Определение 2. Куб Un(i) называется неправильным кубом данной конфигурации s, если pr(s,Uf/(Í)} ф í/¡v(i)) ни для одного q =

1,...,г. Объединение неправильных кубов конфигурации s называется границей этой конфигурации и обозначается B(s).

Определение 3. Гамильтониан Но с основными состояниями Si,-..,ST удовлетворяет условию Пайерлса, если для любого q = 1,...,г и для любой конфигурации s, совпадающей с sq почти всюду,

H0(s,sq)>p\B(s)l (5)

где р — положительная постоянная. Через \В\,В С Zdt мы обозначаем число точек г £ В.

Предметом нашего исследоваия является множество чистых термодинамических фаз (гиббсовских случайных полей) для семейства гамильтонианов Н0 + ß\Hi + ■ ■ ■ + ßr_iHr-\, где Н\,..., Яг_i — внешние поля, которые накладываются для снятия вырождения основного состояния. Для того, чтобы внешние ноля Н\,..., i снимали r-кратное вырождение основного состояния, они должны удовлетворять некоторому условию линейной независимости. Приведем соответствующее определение. Имея гамильтониан L{p) = Ц\Н\ + • • ■ + fir-iHr-1, определим (с точностью до аддитивной константы) удельные энергии ett(s¡!),q = 1,..., г. Положим

t„(sq) = e,,(s,) - mineas,), q = 1,... ,r. (6)

Набор чисел t^(sq),q = l,...,r можно рассматривать как точку границы 0Г положительного ортанта Rr+ пространства Rr, т.е. Ог = {а = (ai, ...,аг) : min,а, = 0}.

Определение 4. Набор гамильтонианов Н\1 ..., //г ] снимастп выроэю-дение основного состояния гамильтониана Я0, если отображение

<Р'-И= (ни ■ ■ ■, !-» ^ = (7)

отображает пространство параметров (//[,..., Цт-\) на всю границу положительного ортанта Ог.

Приведем эквивалентную формулировку непосредственно в терминал удельных энергий

Определение 5. Набор гамильтонианов Н\,..., Нг~\ снимает вырождение основного состояния гамильтониана Щ, если отображение

= ()" (8)

отображает пространство параметров (/¿1,... ,цг-{) на (1— 1)-мерное подпространство пространства /Г, трансверсалъиое вектору (1,..., 1)

е яг.

Это условие можно записать в матричных терминах. Если ввести квадратную матрицу е = (е,,) г-го порядка такую, что ео9 = 1, <? = 1,...,г, и = е^з,), q = 1,...,г — набор удельных энергий гамильтониана Я; на конфигурациях ? = 1,..., г, г = 1,..., г — 1, то набор гамильтонианов Н\,..., НГ-1 снимает вырождение основного состояния гамильтониана Но тогда и только тогда, когда матрица е невырождена, т.е. имеет ранг г.

Приведем наглядную формулировку теоремы о фазовой диаграмме. Пусть Но — гамильтониан с основными состояниями 81,...,зг, удовлетворяющий условию Пайерлса и пусть набор гамильтонианов #ь..., Яг_1 снимает вырождение основного состояния гамильтониана На. Рассмотрим семейство гамильтонианов

Н = Но+ ц\Н1 +----1- рг_1#г_1. (9)

Теорема 1. При всех /3 > /30(Н0, #1, • • • Д—ъ <0

1) найдется точка в пространстве параметров ц = (р.1,...,

в которой существует г чистых термодинамических фаз при обратной температуре 0;

2) найдутся г = ([) начинающихся в точке р.(0) кривых в пространстве параметров ц, на каждой из которых существует (г — 1) чистых термодинамических фаз при обратной температуре ¡3;

3) найдутся = г(г — 1)/2 ограниченных этими кривыми двумерных поверхностей в пространстве параметров р., на каждой из которых существует (г — 2) чистых термодинамических фаз при обратной температуре ¡3; и так далее, вплоть до

г) найдутся г = ограниченных (г — 2)-мерными поверхностями, построенными в п.т — 1), открытых областей в пространстве параметров, на каждой из которых существует одна чистая термодинамическая фаза при обратной температуре /?.

Уместно напомнить, что мы называем чистой термодинамической фазой предельное распределение Гиббса Р, если оно пространственно периодично (т.е. инвариантно относительно действия некоторой подгруппы 2 С Zd конечного индекса) и эргодично относительно действия группы 2 и любой ее нетривиальной подгруппы. Приведем более формальную (и более удобную) формулировку Теоремы 1.

Теорема 2. Пусть Но — гамильтониан с основными состояниями ... удовлетворяющий условию Пайерлса, и пусть набор гамильтонианов Яь ... Яг_ 1 снимает вырождение основного состояния гамильтониана Но- Тогда при любом /3 > 0о(Нц', Яг,... Нг_1,<1) определен гомеоморфизм J((l) некоторой окрестности и начала координат в пространстве параметров ¡1 = ... ,(1г-1) ма некоторую окрестность точки О = (0,..., 0) на Ог, следующим образом описывающий фазовую диаграмму. Для гамильтониана

Н = На + у. = ,) е и

и для данного /3 > /?0 существуют различные термодинамические фазы Ря при тех д, при которых а, = 0 для а = («1,...,аГ) = J(|3)^l.

Эта теорема охватывает многие полученные ранее частные результаты о фазовых диаграммах классических решетчатых систем с конечным радиусом взаимодействия1 [3,4,5,6].

Из доказательства теоремы вытекает дополнительная ииформация о структуре типичных конфигураций для каждого из построенных распределений. Именно, для распределения Рч каждая конфигурация 5 с вероятностью 1 такова, что на случайном связном множестве, плотность которого на решетке 2Л стремится к 1 при /3 —> оо, конфигурация 5 совпадает с в,, а все связные компоненты множества {г : я(г) ^ в,(г)} конечны.

'Герцнк В.М., Добруишн Р.Л. Гиббсовскне состояния в решетчатой модели с взаимодействием на два шага// Фугос. анализ и его прил. 1974. Т. 8, вып. 3. С. 12-25.

Для приложений удобно использовать следствие Теоремы 1, относящееся к случаю, когда гамильтониан Я0 обладает группой симметрии й, а некоторые из основных состояний ею не обладают. Это явление в физике называется спонтанным нарушением симметрии. Приведем относящееся к этому случаю определение.

Группа всех движений И пространства И*, переводящая целочисленную решетку 2,л в себя, естественно действует на фазовом пространстве Хг решетчатой системы. Кроме того, на нем действует группа К преобразований вида (кз)(г) = &(г)з(г), где к(г) — подстановка множества X, периодически зависящая от г. Через КО обозначим группу преобразований фазового пространства, порожденную К и И. Определим действие группы Кй на пространстве гамильтонианов формулой

(дЩз,з')=Цдз,дз'), д е КО. (10)

Пусть в — подгруппа группы КО.

Определение 6. Группа (3 называется группой симметрии гамгыиьто-ниана Н, если для любых конфигураций в, з', совпадающих почти всюду, и любой д £ (?

Н(дз,дз') = Н(з,з'). (И)

Рассмотрим гамильтониан Н0 с основными состояниями в1,..., который удовлетворяет условию Пайерлса и имеет группу симметрии С. Группа (3 отображает множество {в1,...,вг} на себя. Конфигурацию двч, д & (3, мы обозначим через в99. Определим, кроме того, действие группы б на границе ортанта Ог по формуле (за), = адя. Предположим, что множество в], ...,5Г состоит из к орбит группы (3. Обозначим через 0,(0) подмножество Ог, состоящее из неподвижных точек действия группы С. Эти точки а = (а!,...,аг) характеризуются тем свойством, что а, = адя для д = 1,..., г, # 6 б.

Пусть теперь вместо набора гамильтонианов Н\,. ■. Яг_!, снимающего вырождение основного состояния гамильтониана Но, имеется набор гамильтонианов Н1,... Нк_1 с группой симметрии О. Таким образом, любой гамильтониан Я = Но + /^Я: + • • • + имеет такую же

группу симметрии в. Поэтому внешние поля Н\,..., Нк_ 1 могут снимать только "случайное" вырождение основного состояния гамильтониана Я0, не связанное с наличием у него группы симметрии б. Именно поэтому число внешних полей мы считаем равным (к — 1), где к естественно считать кратностью "случайного" вырождения. Для того, чтобы внешние поля Н\.....Нк-\ снимали к-кратное "случайное" вырождение основного состояния, они должны удовлетворять некоторому условию линейной независимости, аналогичному Определению 4.

Для гамильтониана Ь(р.) = Н\ -1-----Н /х^Я^-ьр = (/щ,... ,¿¿«-0,

определим (с точночтыо до аддитивной константы) удельные энергии еДз,), q = 1,...,г. Ясно, что для любого д £ (3 имеем ем(<?з,) = еДя,). Поэтому набор чисел

= -тше„(вя), ? = 1,... ,г (12)

я

можно рассматривать как точку ^ € Ог(С) С От.

Определение 7. Набор гамильтонианов Н\,... Як_! с группой симметрии (3 снимает "случайное" вырождение основного состояния гамильтониана Но, если отображение

: /х = - - -, ^ = (^Ы.-'-ЛЫ) (13)

отображает пространство параметров (иг, ■ ■ •, Рк-х) на все множество Ог(С).

Снова это условие допускает формулировку в терминах невырожденности матрицы энергий порядка к.

Приведем формулировку варианта Теоремы 1, приспособленного к этой ситуации.

Теорема 3. В сделанных предположениях существует Ра = Ра{На\ ... Нк-1, й) и окрестность начала координат II в пространстве параметров р. = ... такие, что для любого 0 > Р0 определен гомеоморфизм 7(/3) окрестности и на некоторую окрестность точки О в множестве Ог(в) со следующим свойством. Для гамильтониана Я = Я0 + £ р, = (/II,..., /х*_1) 6 и, и данного (3 > Ро существуют различные чистые термодинамические фазы Ря при тех д, при которых о, = 0 для а = (а!,... ,аг) = J(P)^l■

(Поскольку теперь а, = адя, то фазы Ря и Рдя существуют или не существуют одновременно.) В том частном случае, когда "случайное" вырождение отсутствует, т.е. к = 1, Ог((?) = 0, мы получаем из Теоремы 3 известную теорему Р.Л. Добруптина и В.М. Герцика о спонтанном нарушении симметрии2.

Содержание первой главы диссертации изложено в работах [3,4,5,6,8, 9,12,16].

Вторая глава диссертации посвящена изучению систем автоматов с отказами. Характерным свойством этих систем является то обстоятельство, что повреждение любого из элементов системы ведет к разрушению всей системы.

2Герцик В.М., Добрушин Р.Л. Гиббсовские состояния в решетчатой модели с взаимодействием на два шага// Функ. анализ и его прил. 1974. Т. 8, вып. 3. С. 12-25.

Целью исследований, изложенных во второй главе, является изучение случайного процесса, описывающего поведение такой системы автоматов при условии, что в течение достаточно длительного (в пределе — стремящегося к бесконечности) интервала времени система остается неразрушенной. Оказывается, что свойства этого случайного процесса в пределе, когда число автоматов велико, мало зависит от этого числа. Поэтому естественно перейти к термодинамическому пределу, т.е. к системе из бесконечного числа автоматов. Случайный процесс, описывающий поведение бесконечной цепочки автоматов на бесконечном интервале времени, является гиббсовским полем на прямом произведении пространства на время (т.е. на пространстве-времени, если пользоваться физической терминологией). Хотя к этому гиббсовскому полю и не удается непосредственно применить методы исследования из первой главы, но, соединяя метод контурных функционалов с простыми вероятностными оценками и используя развитый Д.Г. Мартиросяном3 метод исследования устойчивости гиббсовского случайного поля с заданными граничными условиями, удается установить существование фазового перехода и для гиббсовского поля, описывающего поведение системы автоматов в пространстве-времени.

Чтобы пояснить понятие отказа, рассмотрим конечную цепь Маркова с фазовым пространством X, переходными вероятностями рху, х,у € X и начальным распределением пх, х 6 X. Предположим, что множество X представлено в виде объединения двух непересекающихся подмножеств X = У и V/, где У интерпретируется как множество рабочих состояний системы, а. — как множество аварийных состояний (отказы). Предполагается, что, попав в аварийное состояние, система выходит из строя. Если известно, что в течение N последовательных тактов времени ( = 1,..., N система находилась в рабочих состояниях, то распределение вероятностей N последовательных состояний системы, I = при этом условии задается формулой

Р(х(Ь), < = 1, . . . , ЛГ) = 7Г1(1)рх(1)1(2) • • -Рх(ЛГ-1):г(ЛГ). (14) ¿и

В (14) перемещение х(£) принимает значения только из У, а — нормирующий множитель. Аналогичное определение можно дать и для системы взаимодействующих автоматов, у каждого из которых имеется свое множество аварийных состояний. Предположим, что переход хотя бы одного из автоматов в аварийное состояние ведет к отказу всей системы. Если предположить, что цепочка автоматов, расположенных в

3Мартиросян Д.Г. Единственность предельных гиббсовских распределений для возмущений модели Изинга// Теор. и матем. физика.. 1975. Т. 22, № 3. С. 335-342.

целых точках с номерами г = —Ь +1,..., Ь — 1 в течение тактов времени < = — Т + 1,... ,Т находилась в неаварийном состоянии, то соответствующая условная мера допускает гиббсовское описание. А именно, если взаимодействие автоматов локально и задано, скажем, условными вероятностями переходов р(х(г, £ + 1) | х(г,4),х(г — 1,£)), то эта условная мера оказывается гиббсовской с потенциалом 1/ц(х) = — 1пр(х(г, £ + 1) | х(г, £), х(г — 1,4)). Здесь мы не вводим параметр /3, считая /3=1. Это связано с тем, что для системы автоматов, в отличие от термодинамических систем, нет аналога взаимодействия системы с термостатом, позволяющего поддерживать произвольную заданную температуру.

Для такого гиббсовского случайного поля на двумерной решетке (г, £), т.е. на пространстве-времени, в термодинамическом пределе Т —» оо, Ь —* оо существуют различные предельные режимы. Они достигаются за счет выбора '^правления": граничных значений х(—Ь, £) и х(Ь, £). В диссертации приведен ряд примеров, когда изменение состояний управляющих автоматов приводит к изменению предельного стационарного режима и. что более неожиданно, доказано, что для известной модели Ставской, для которой уже в отсутствии отказов существуют два различных предельных режима, введение сколь угодно малой вероятности отказа уничтожает нетривиальный стационарный режим и заставляет стационарную меру состредоточиться на детерминированной конфигурации "все единицы".

Содержание второй главы диссертации изложено в работах [11,13].

Третья глава диссертации посвящена изучению случайных блужданий химической кинетики и взаимосвязей, существующих иежду этими случайными блужданиями и дифференциальными уравнениями химической кинетики. Формально эти дифференциальные уравнения возникают из случайных блужданий в результате определенной перенормировки интенсивпостей перехода (канонический скейлинг).

Чтобы доказать сходимость по вероятности траектории случайного блуждания химической кинетики к решению соответствующей системы обыкновенных дифференциальных кравнений, используется теория сходимости операторных полугрупп Троттера-Курца. Далее изучается связь между свойствами решений системы уравнений химической кинетики и инвариантными мерами допредельного марковского процесса. Найдено условие, достаточное для того, чтоюы энтропия Больцмана, обобщенная на произвольную систему химической кинетики, была функцией Ляпунова для этой системы. (Ранее это условие выписывалось в работах В.В. Веденяпина). Неожиданно оказалось, что это условие является необходимым и достаточным для существования инвариантной пуассоновской меры у соответствующего марковского процесса. Нефор-

мальное объяснение этого обстоятельства состоит в том, что обобщенная энтропия Больцмана является функцией больших уклонений для од-нопараметрического семейства пуассоновских мер, а соответствующий марковский процесс переходит, как правило, из состояния с меньшей вероятностью в состояние с большей вероятностью. Тем самым траектория предельной динамической системы химической кинетики должна двигаться в направлении возрастания обобщенной энтропии Больцмана. Мы, однако, доказываем этот факт прямым вычислением, поскольку формулировка соответствующей теоремы для марковских процессов общего вида нам пока неизвестна. В классической химической кинетике известно еще одно, более сильное, условие, достаточное для того, чтобы обобщенная энтропия Больцмана возрастала вдоль траектории - это так называемое условие детального баланса. Мы формулируем его в общем случае и выясняем его вероятностный смысл. Оказывается, что оно означает, что пуассоновская мера не только является стационарной для рассматриваемого марковского процесса, но и что соответствующий стационарный марковский процесс обратим, т.е. инвариантен по отношению к обращению времени. Интересно, что само по себе требование обратимости случайного блуждания химической кинетики с какой-то инвариантной мерой вовсе не влечет за собой пуассоновость этой меры и, тем самым, не равносильно условию детального баланса.

Мы исследуем также интересный с прикладной точки зрения вопрос о том, каким образом обратимая (в смысле условия детального баланса) система может вести себя необратимым образом, как это обнаруживается во многих химических реакциях, в особенности типичных для живой природы. Математическое объяснение состоит в том, что для необратимого поведения обратимой системы достаточно предположить, что некоторые из координат вектора состояния меняются гораздо медленнее остальных. Если зафиксировать затем значения „медленных"переменных, то получившаяся „быстрая"система уже не будет обратимой. Вообще говоря, у нее пе будет и функции Ляпунова, а потому возможны как предельные циклы (система Лотки-Вольтерра), так и более сложное, хаотическое поведение.

Приведем основные определения теории случайных блужданий химической кинетики. Пусть фиксировано число N — число типов молекул. Состояние системы в каждый момент времени характеризуется вектором (щ,..., пц) е имеющим смысл набора чисел молекул каждого из типов. Все щ принимают неотрицательные целые значения.

Определение 8. Химической реакцией г называется переход из точки п = (щ,..., пн) в точку п' = (п[,..., п'м), где

< = п„ + (1+(и, г) -¿_(и,г),

a d+(y,r) и d-(v,r) — фиксированные неотрицательные целые числа, имеющие смысл чисел молекул типа v, образовавшихся и поглощенных в реакции г. Векторы d_(r) = (d-(v,r),v = 1 ,...,JV) и d+(r) = (d+(v,r),v = 1 ,...,N) называются входящим и выходящим векторами реакции г, а вектор jr = d+(r) — d-(r) называется скачком реакции г.

Определение 9. Случайным блужданием химической кинетики называется скачкообразных марковский процесс на фазовом пространстве Z+, у которого интенсивность скачка из состояния п, соответствующего реакции г, определена формулой

Ar(n) = kr Д п„- •• (n„ - d-(v,r) + 1), vaH

где I(r) = {к : d_(v,r) > 0}, kr — фиксированные положительные числа.

Это уравнение выражает известный из химии закон действующих масс.

Чтобы перейти от случайного блуждания химической кинетики к уравнениям химической кинетики, используется так называемый капо-нический скейлинг, а именно, считается, что

кт = М"т-(г)+Ч,

где m_(r) = Ylvd-(vtr), М большой параметр, ат числа, не зависящие от М. Сам набор реакций также считается не зависящим от М. В число реакций включается также реакция "вход" (появление частицы типа v из ничего) и реакция "выход" (исчезновение частицы типа и). По общему правилу интенсивности этих реакций выражаются формулами

К,ы(п) — kv.m = MaVtin, ^v.outi.nj — kViOUiTiv = avflut nv.

Классическая химическая кинетика (т.е. уравнения химической кинетики) получается из случайного блуждания химической кинетики в пределе М —» оо. А именно, используя технику Троттера-Курца, нетрудно доказать следующую теорему.

Теорема 4. Предположим, что в некоторый момент времени предел

,пч "ДО)

сДО) = hm ——

M-.infty М

существует для всех v. Тогда для всех v и t > 0 пределы по вероятности

Сг,(£) = lim

4 ' М—юо М

существует и удовлетворяет дифференциальным уравнениям

^ = 5>+(«,г) - А_(„,г)) аг П 4-(-г>-

Г ад£/(г)

По существу эта теорема относится к схеме серий, т.е. к семейству случайных процессов зависящих от параметра М.

В дальнейшем химическая реакция г с заданными числами </_(и,г) и ё+(у,г) (которые называются стехиометрическими коэффициентами) символически записывается в виде

V V

где буква А„ обозначает молекулу типа V. Для некоторых наборов химических реакций решения системы уравнений химической кинетики уходят на бесконечность за конечное время. Типичный пример — классическая цепная реакция 2А —» ЗА. Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

йс 1 ~г = с • <И

В таких случаях в теореме 4 предполагаем, что концентрации определены и конечны на некотором интервале времени, и сходимость п„(<)/М к с„ имеет место при принадлежащем этому интервалу.

Простейших нетривиальный пример системы реакций представляют реакции парного превращения (или, в физических терминах, рассеяния), т.е. реакции вида

т Ау 4- * Ау! + АуГ,

при которых одна пара частиц превращается в другую пару частиц. Начнем с рассмотрения таких реакций. Нормированную интенсивность реакции г в этом случае обозначим через аг = и]{и',ь[ | у, VI) (обозначение заимствовано из физики и, как принято в физике, читается справа налево), а Су через /(к). Соответствующее уравнение химической кинетики имеет такой вид:

^ = £ («>(«>,«1 I *>>;)/К)/М)-Ну'А | «.«О/М/Ы). (15)

v^Ivr,v'1

Отметим, что это уравнение совпадает со столкновительной частью уравнения Больцмана, что не удивительно, поскольку Л. Больцман вывел (неформально) свое уравнение, именно рассматривая парные столкновения частиц.

Определение 10. Мы скажем, что

1. /(у) есть неподвижная точка уравнения (15), если правая часть этого уравнения обращается в 0, т.е.

£ («,(„.«, | и',у[)ну')пь[) -ш(у',у[ | у,у1)1(у)/(у1))=0.

2- /(у) удовлетворяет условию унитарности, если

| У,У[)/(у')/(У[) - Ы(У',У[ I «,«,)/(«)/(»!)) = О

Л/ш любой пары у, VI.

3. /(г) удовлетворяет условию детального баланса, если

хо(У,Ы | ъ',у[)/(ьУ(ь[) -и,{у',у[ | У^МШМ = О

(?ЛЯ любых V, VI, у', у[.

Легко видеть, что условие 3 влечет условие 2, а условие 2 влечет условие 1, но не наоборот. Условие 2 (унитарность) означает, что марковская цепь из двух блуждающих частиц с интенсивностями переходов пары в пару равными и>(у',^1 | и,!^) имеет инвариантную меру вида /(у)/(у\). Условие 3 (детального баланса) означает, что эта марковская цепь имеет инвариантную меру такого вида и обратима по отношению к этой мере.

Определим относительную энтропию /(у) по отношению к фиксированному /о (у) по формуле

Я(Л = Я(/,/о) = £/(«) ьШ.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 5 (//-теорема Больцмана). Предположим, что существует некоторое /о (у) > 0, для которого выполняется условие унитарности. Тогда для любого начального /(у, 0) для решения уравнения (15) /(у,Ь) имеет место неравенство

Из доказательства Теоремы 5 вытекают следующие утверждения.

Теорема 6. Предположим, что для некоторой функции fo(v) > 0 выполнено условие унитарности. Тогда оно выполнено для любой неподвижной точки уравнения (15).

Теорема 7. Предположим, что для некоторой функции fo(v) > 0 выполняется условие унитарности. Тогда при t —> оо любое решение f(v, t) уравнения (15) стремится к некоторой неподвижной точке foc, которая, вообще говоря, зависит от начальных значений f(v, 0).

Теорема 8. Предположим, что для некоторой функции fo(v) > 0 выполняется условие детального баланса. Тогда оно выполняется для любой неподвижной точки уравнения (15).

Сформулированные выше теоремы допускают непосредственное обобщение на любую систему химических реакций. Приведем соответствующие определения.

Определение 11. Для системы реакций г и данного набора Ь„ > 0 выполняется условие унитарности, если для любого целочисленного вектора d £ Z+ имеет место равенство

£ аг П 6g-t"> = £ аг П (16)

r:d-(r)=d ue/(r) r:d+(r)=d vef( г)

Наглядный смысл этого условия таков: сумма скоростей реакций, рождающих группу частиц, характеризуемую вектором d, равна сумме скоростей реакций, которые уничтожают эту группу.

Для системы, в которой число частиц не сохраняется, вообще говоря, необходимо изменить определение энтропии. А именно, положим

Н(с) = H (с, b) = Y"* с„ 1п —

v

V V

(если сохраняется, то слагаемое с„ можно отбросить и мы вернемся к энтропии Больцмана).

Имеет место теорема, аналогичная Теореме 5.

Теорема 9 (ЛГ-теорема Больцмана-Веденяпина). Предположим, что существует некоторый набор Ь„ > 0, для которого выполняется условие унитарности. Тогда для любого начального набора с(v, 0) для решения уравнения (15) c(v, t) имеет место неравенство

Оказывается, что условие унитарности имеет простой вероятностный смысл. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 10. Определим пуассоновскую меру рь на по формуле

V у

где Ь„ = МЬ„. Тогда мера /¿¿, является инвариантной мерой для случайного блуждания химической кинет.ики (с тем, же яначением М) в том. и только в том случае, когда для набора и заданных нормированных скоростей реакций аТ выполняется условие унитарности.

Подобно условию унитарности, условие детального баланса также допускает более обхцую формулировку.

Определение 12. Для списка реакций г и данного набора Ь„ > 0 выполняется условие детального баланса, если для каждой реакции г определена реакция г', такая, что й-(г') = ¿+(г), ¿+(г') = (¿-(г) (обратная реакция) и

аг П = «V П 6»~("'Г') <17)

или, говоря неформально, скорость прямой реакции равна скорости обратной реакции.

Очевидно, что из условия детального баланса следует условие унитарности. Вероятностный смысл условия детального баланса объясняет следующая теорема.

Теорема 11. Пусть дана система химических реакций. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) случайное блуждание химической кинетики обратимо (как случайный процесс) по отношению к инвариантной мере рь;

2) выполняется условие детального баланса (17).

Построены простые примеры того, что случайное блуждание химической кинетики может быть обратимо по отношению к инвариантной мере, которая не является пуассоновской. При этом не выполняются ни условие детального баланса, ни более слабое условие унитарности.

Содержание третьей главы диссертации изложено в работах [18,19,31]. В заключении диссертации сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты

В диссертации исследованы равновесные и неравновесные свойства больших случайных система, а именно: гиббсовских случайных полей, систем автоматов с отказами и случайных блужданий химической кинетики. Основные результаты диссертации:

1) Разработан метод исследования гиббсовских полей с помощью нелинейных уравнений для контурных функционалов. С помощью этого метода развита теория фазовых диаграмм, описывающих структуру фазовых переходов 1-го рода для конечнопараметрических семейств гиббсовских случайных полей.

2) На основе теории фазовых диаграмм получены условия спонтанного нарушения симметрии гиббсовского поля, обощающие критерий нарушения симметрии В.М. Герцика и Р.Л. Добрушина.

3) Разработан гиббсовский подход к анализу условий, при которых существует, а также условий, при которых не существует более одного предельного стационарного режима в системах автоматов с отказами. Установлена неустойчивость поведения системы автоматов при сколь угодно малой вероятности отказа.

4) Получено условие унитарности, позволяющее исследовать широкий класс случайных блужданий химической кинетики.

5) С помощью условия унитарности установлен критерий существования инвариантной пуассоновской меры для случайных блужданий химической кинетики. Выявлена связь условия унитарности с условиями Я-теоремы Больцмана Веденяпина. Дана вероятностная интерпретация второго закона термодинамики для рассматриваемого класса случайных процессов.

Основные результаты диссертации изложены в следующих опубликованных работах.

Список литературы

1. Пирогов С.А. Состояния, связанные с двумерной моделью Изин-га// Теор. матем. физика. 1972. Т. 11, вып. 3. С. 421-426.

2. Кифер Ю.И., Пирогов С.А. О разложении квазиинвариантных мер на эргодические компоненты// Успехи мат. наук. 1972. Т. 27, вып. 5. С.239-240.

3. Пирогов С.А., Синай Я.Г. Фазовые переходы 1-го рода для малых возмущений модели Изинга// Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8, № 1. С. 25 30.

4. Пирогов С. А. Фазовые переходы 1-го рода для спиновых моделей со спином -1, 0, +1// Доклады АН СССР. 1974. Т. 214, № 6. С. 12731275.

5. Пирогов С.А. Гиббсовские случайные поля и проблема сосуществования фаз// Успехи мат. наук. 1975. Т. 30, № 2. С. 223 224.

6. Пирогов С.А. Сосуществование фаз для решетчатых моделей// Известия АН СССР, сср. матсм. 1975. Т. 39, № 6. С. 1404-1433.

7. Dobrushin R.L., Pirogov S.A. Theory of random fields// Proc. 1975 IEEE - USSR Joint Workshop on Information Theory. Moscow. 1975. P. 39-49.

8. Пирогов C.A., Синай Я.Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем, I// Теор. матем. физика. 1975. Т. 25, № 3. С. 358369.

9. Пирогов С.А., Синай Я.Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем, II// Теор. матем. физика. 1976. Т. 26, № 1. С. 6176.

10. Pirogov S.A., Sinai Ya.G. Ground states in two-dimensional boson quantum field theory// Ann. Phys. 1977. Vol. 109, N 2. P. 393-400.

11. Пирогов С.А. Марковские системы с отказами// Взаимодействующие марковские процессы в биологии. Пущино: Изд-во НЦБИ АН СССР. 1986. С. 48-57.

12. Пирогов С.А. Сосуществование фаз в решеточной жидкости с комплексными параметрами// Теор. матем. физика. 1986. Т. 66, № 2. С. 331-336.

13. Pirogov S.A. Cluster expansions, Markov systems, From discrete to continuous// Stochastic Cellular Systems: Ergodicity, Memory, Morphogenesis. Manchester Univ. Press. 1990. P. 159-168.

14. Pirogov S.A. Ball packings and moment inequalities// Markov Processes and Relat. Fields. 1998. Vol. 4, N 2. P. 199-201.

15. Dempster M.A.H., Evstigneev I.V. Pirogov S.A. Balanced states in stochastic economies with locally interacting agents// Stochastics and Stoch. Reports. 1998. Vol. 64. P. 235 253.

16. Pirogov S.A. Peierls argument for anisotropic Ising model// Amer. Math. Soc. Transl. 2000. Ser. 2. Vol. 198: On Dobrushin's Way. P. 195.

17. Karpelevich F.I., Malyshev V.A., Petrov A.I., Pirogov S.A.,Rybko A.X. Context-free evolution of words// Amer. Math. Soc. Transl. 2002. Ser. 2. Vol. 207. P. 91-114.

18. Malyshev V.A., Pirogov S.A. Rybko A.N. Random walks and chemical networks// Moscow Math. Journal. 2004. Vol. 4, N 2. P. 441-453.

19. Fayolle G., Malyshev V., Pirogov S. Stochastic chemical kinetics with energy parameters// TVends in Math.: Math, and Сотр. Science III. Birkhauser Verlag. 2004. P. 517-530.

20. Dinaburg E., Maes C., Pirogov S., Redig F., Rybko A. The Potts model built on sand// Journ. Stat. Phys. 2004. Vol. 117, N 1-2. P. 179-198.

21. Гитис В.Г., Петрова Е.Н., Пирогов С.А. Модель локального взаимодействия компонент геоэкологической структуры// Информационные процессы. 2004. Т. 4, № 1. С. 1-6.

22. Вайншток А.П., Гитис В.Г., Дерсндясв А.Б.,ЛихачеваЭ.А., Мстри-ков П.А., Петрова Е.Н., Пирогов С.А., Юрков Е.Ф. Сетевая ГИС для анализа геоэкологической обстановки урбанизированной территории// Геоэкология Москвы: методология и методы оценки состояния городской среды. М.: МедаПресс. 2006. С. 168-186.

23. Aleksenko A., Lakshtanov Е., Pirogov S. One- and two- particle bound states in the Landau-Khalatnikov Bose-liquid model// Lett. Math. Phys. 2006. Vol. 77, N 1. P. 83-98.

24. Любецкий В.А., Пирогов C.A., Рубанов Л.И., Селиверстов А.В. Модель регуляции экспрессии генов у бактерий на основе формирования вторичных структур РНК// Мол. биология. 2006. Т. 40, № 3. С. 497-511.

25. Гитис В.Г., Петрова Е.Н.. Пирогов С.А., Юрков Е.Ф. Математическое моделирование поверхностного стока и переноса загрязнений// Информационные процессы. 2006. Т. 7, № 2. С. 168-182.

26. Evstigneev I., Pirogov S. Stochastic contraction principle// Random Operators and Stoch. Equations. 2007. Vol. 15, N 1. P. 155-162.

27. Lyubetsky V., Pirogov S., Rubanov L., Selivcrstov Л. Modelling classic attenuation regulation of gene expression in bacteria// Journ. Bioin-formatics and Сотр. Biology. 2007. Vol. 5, N 1. P. 155-180.

28. Любецкий B.A., Пирогов С.А. Нестандартные представления ло-кальпо компактных групп// Мат. заметки. 2007. Т. 82, № 3. С. 383-

29. Gitis V.G., Petrova E.N., Pirogov S.A., E.F. Yurkov. Mathematical Modeling of the Pollutants Overland Flow and Transport// Automation and Control. 2007. Vol. 68, N 9. P. 1643-1653.

30. Бланк М.Л., Пирогов С.А. О квазиуспешном каплинге марковских процессов// Пробл. передачи информации. 2007. Т. 43, № 4. С. 51-

31. Малышев В.А., Пирогов С.А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике// Успехи мат. наук. 2008. Т. 63,

389.

67.

№ 1. С. 23-56.

Подписано в печать 16.01.09 Формат 60x88 1/16. Объем 1.75 пл. Тираж 120 экз. Заказ № 818 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Фазовые переходы первого рода в решетчатых системах

1.1 Построение фазовой диаграммы.

1.1.1 Определение контуров.29,

1.1.2 Внутренность контура.

1.1.3 Внешние контуры.

1.1.4 Контурные модели.

1.1.5 Свойства контурных моделей.

1.1.6 Зависимость s(F) от F и контурные модели с параметром

1.1.7 Основная лемма.

1.2 Примеры

1.2.1 Модель Изинга с притяжением

1.2.2 Малые возмущения.

1.2.3 Модель Изинга с несколькими состояниями

1.3 Слоистые модели.

1.4 Гиббсовская перестройка модели самоорганизованной критичности Бака с взаимодействием Поттса.

1.4.1 Модель Поттса "на песке".

1.4.2 Определения.

1.4.3 Результаты.

1.4.4 Случайные кластерные представления

1.4.5 Неустойчивость фазы 3.

1.4.6 Острова в море четверок.

2 Марковские системы с отказами

2.1 Основные определения

2.2 Симметричная модель Ставской с отказами

2.3 Несимметричная модель Ставской с отказами.

2.4 Классическая модель Ставской с отказами.

2.5 Контекстно-свободная эволюция слов.

2.5.1 Основные определения.

2.5.2 Основные результаты.

2.5.3 Временные пределы.

3 Случайные блуждания химической кинетики

3.1 Случайные процессы химической кинетики.

3.2 Бинарные химические реакции.

3.3 Неподвижные точки бинарных реакций.

3.4 Реакции общего вида.

3.5 Обратимость.

3.6 Необратимость.

Системы, состоящие из большого числа взаимодействующих компонент, являются основным классом моделей, с помощью которых удается изучить поведение сколь угодно больших (бесконечных) физических или информационных систем. Такие системы проявляют коллективное поведение, в котором детали процесса динамического изменения состояния каждой из компонент становятся несущественными. Вместо этого основной характеристикой системы становится вероятностное описание доли компонент, которые обладают некоторым определенным свойством. Общая структура описания таких многокомпонентных моделей на физическом языке была разработана Больцманом и Гиббсом на рубеже 19 и 20 веков. В их работах было положено начало новой науке — статистической механике. Первоначально статистическая механика была предназначена для решения чисто физических проблем, однако разработанные новые методы и подходы оказались настолько универсальными, что стали применяться к различным ситуациям, далеко выходящим за рамки физических задач. Основы математической статистической механики были заложены в 40-50х годах 20 века Л. Ван Ховом, JI. Онзагером, Н.Н. Боголюбовым и Б.И. Хацетом, М. Кацем, Т. Ли и К. Янгом, и, позднее, в 60-70е годы, были развиты в работах Р.Л. Добрушина, Р.А. Минлоса, Я.Г. Синая, Ф.А. Березина, О. Лэнфорда, Д. Рюэля, Дж. Галлавотти, Р.

Гриффитса, Ж. Жинибра, Д. Робинсона, Ф. Спитцера, Дж. Лебовица, С. Миракль-Соля, в которых, в частности, на математическом уровне строгости были введены понятия термодинамического предельного перехода, гиббсовского случайного поля, построены предельные гиббсовские распределения, исследованы корреляционные функции непрерывных и решетчатых систем, построены основы теории фазовых переходов, введены неравновесные модели и изучена их связь с гиббсовскими состояниями.

Математический аппарат статистической механики в современном ее понимании включает в себя разнообразные методы из различных областей математики: теории вероятностей (включая теорию случайных процессов), функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. При этом используемый математический аппарат является довольно своеобразным и не имеет аналогов в классической теории вероятностей и математической статистике. Еще большим своеобразием отличается сама постановка задач статистической механики. Это, по существу, широкий класс задач теории случайных процессов в пространствах большой (обычно — бесконечной) размерности, описывающих поведение большого числа взаимодействующих компонент (называемых иногда частицами, спинами, автоматами). Одной из основных задач статистической механики является описание фазовых переходов. В точке фазового перехода различные термодинамические характеристики системы (такие как плотность, намагниченность, концентрация) имеют особенности как функции основных термодинамических параметров (температуры, давления, химических потенциалов, внешнего поля). В случае фазового перехода 1-го рода термодинамические характеристики меняются скачками, причем сама точка фазового перехода 1-го рода характеризуется наличием нескольких чистых термодинамических фаз с различными значениями термодинамических характеристик. Множество точек фазовых переходов 1-го рода в пространстве термодинамических параметров называется фазовой диаграммой. Обычно фазовая диаграмма состоит из компонент различных размерностей. Согласно известному эмпирическому правилу фаз Гиббса, на компоненте фазовой диаграммы, имеющей коразмерность г, существует г + 1 чистых термодинамических фаз (гиббсовских состояний). Задача описания фазовой диаграммы в общем случае все еще далека от своего решения.

К началу 70-х годов в работах P.JI. Добрушина, Р.А. Минлоса, Я.Г. Синая была создана математически строгая концепция фазового перехода 1-го рода как точки неединственности соответствующего предельного распределения Гиббса. При этом чистым термодинамическим фазам соответствуют чистые (т.е. пространственно однородные, эргодические) предельные гиббсовские меры, имеющие одинаковые условные распределения, но различающиеся между собой. Однако число конкретных примеров неединственности предельного распределения Гиббса было в то время невелико. Оно ограничивалось ферромагнитной моделью Изинга (P.J1. Добрушин, Р.А. Минлос, Я.Г. Синай, Ф.А. Березин), антиферромагнитной моделью Изинга (Р.Л. Добрушин) и еще рядом моделей, в которых неединственность гиббсовского поля сопровождалась спонтанным нарушением симметрии, отличной от ферромагнитной и от антиферромагнитной (В.М. Герцик, Р.Л. Добрушин). Не было известно ни одного случая, когда бы фазовый переход 1-го рода происходил без спонтанного нарушения симметрии, подобно кипению воды в природе (вода и пар не отличаются между собой по симметрийным свойствам). Единственным исключением была модель Ван-дер-Ваальса, изученная М. Кацем. Но в этой модели условные вероятности нелокальны, а потому она не дает нетривиального примера гиббсовского поля.

Для более детального вероятностного описания предельных распределений Гиббса ферромагнитной модели Изинга Р.А. Минлос и Я.Г. Синай развили метод контурных функционалов и технику (линейных) корреляционных уравнений, которым удовлетворяют корреляционные функции соответствующих случайных полей. Эти поля, по существу, относятся к геометрической теории вероятностей, поскольку их реализации суть наборы непересекающихся замкнутых ломаных на целочисленной решетке в размерности 2 и замкнутых поверхностей в размерности 3. Работы Р.А. Минлоса и Я.Г. Синая были продолжены их учениками (Е.И. Ди-набург, А.Е. Мазель, А. Наср, Д.Г. Мартиросян, С.А. Пирогов). Изучение и применение контурных моделей стало предметом исследований автора. На этой основе получила дальнейшее развитие теория фазовых переходов и к середине 70-х годов была создана теория фазовой диаграммы для широкого класса решетчатых моделей статистической механики (теория Пирогова-Синая). Развитие теории Пирогова-Синая началось с работ [4-7,9,10]. Эта теория и некоторые ее обобщения изложены в первой главе диссертации. На протяжении последующих двух десятилетий эта теория активно развивалась прежде всего учеными нашей страны и стран Восточной Европы. В последние годы теория Пирогова-Синая развивается в многочисленных (более 160) работах отечественных и зарубежных ученых. Эти исследования ведутся во всех крупных европейских и американских математических центрах. В особенности стоит отметить полученное Э. Презутти (Римский университет) и его школой обобщение теории Пирогова-Синая с решетчатых систем на непрерывные системы, т.е. на точечные случайные поля в эвклидовом пространстве [200-202].

Теория Пирогова - Синая получила развитие еще в ряде направлений. Приведем (неполный) перечень основных обобщений теории. В работах Котецкий, Прейс [176], Заградник [218], Брикмон, Курода, Лебо-виц, [113,114], Грубер, Шуто [153], Галеб [50], Малышев и др. [64], Добрушин и Заградник [128] приведено обобщение теории на некоторые системы с бесконечным пространством состояний. Парк [195] обобщил ее на взаимодействия бесконечного радиуса. Динабург и Синай [127] использовали технику этой теории, чтобы проанализировать так называемую осевую модель Изинга с взаимодействием через одного соседа в размерности три. Имбри [160] получил результат типа Пирогова - Синая для моделей Р(Ф)<2 в квантовой теории поля. Отметим также, что формулировка приведенной в Главе 1 Основной теоремы может быть усилена. Заградник [218] и Прейс (неопубликовано) показали, что фазовая диаграмма в этой теореме является полной, т.е. меры Pq — единственные экстремальные периодические гиббсовские меры. Более того, Басуев [37] и Заградник [219] показали, что страты этой фазовой диаграммы вещественно аналитичны. Что же касается условия Пайерлса, отметим, что это условие заведомо выполняется для любого периодического потенциала конечного радиуса, имеющего только конечное число абсолютных основных состояний без фрустрации; см. Хольштински, Славны [156]. Как было показано Печерским [196], недостаточно только того, чтобы число всех периодических основных состояний было конечным. Между прочим, существуют некоторые модели, испытывающие фазовый переход, но не имеющие ни одного периодического основного состояния вообще; см. Микиш [191].

Следует особенно отметить работы А.Г. Басуева [37-42], в которых были исследованы системы со счетным числом основных состояний, системы в полупространстве с заданными граничными условиями на плоскости и получены более явные представления для решения уравнений Пирогова-Синая (майеровские разложения газа контуров). Кроме того, А.Г. Басуевым [43] получено обобщение теории Пирогова-Синая на случай, когда основные состояния являются взаимодействующими случайными полями (неупорядоченными фазами). Им также установлена аналитичность термодинамических и корреляционных функций в области устойчивости заданных фаз, аналитичность стратов фазовой диаграммы и сходимость кластерных разложений в низкотемпературной области. В цикле работ Д.Г. Мартиросяна [65, 67,185] доказана единственность гиббсовского состояния в той области пространства параметров, которую не задевают страты фазовой диаграммы. Другими методами полнота фазовой диаграммы была доказана в работах М. Заградника [217,218], Дж. Лебовица и А.Е. Мазеля [181] и А.Г. Басуева [37-41].

В цикле работ Н.Н. Ганиходжаева, Г.И. Ботирова, У.А. Розикова и Ч.Х. Паа ( [51] и др.) были получены обобщения теории Пирогова-Синая для случайных полей на деревьях.

В работах Д. Рюэля [204, 205] развита "эвристическая" теория фазовых переходов, которая пока не имеет точного математического обоснования, но косвенно подтверждается теорией Пирогова-Синая в области ее применимости. В работе Д.Б. Абрахама [79] для некоторых случаев получены точные параметры фазовых переходов (температура, свободная энергия, намагниченность) для рассматриваемых им систем. В работе Р. Алицкого, М. Фаннеса и др. [82] методы теории Пирогова-Синая применены для исследования надежности хранения информации в памяти квантового компьютера. В ряде исследований в рамках теории Пирогова-Синая изучалось поведение нулей статсуммы. На этом пути получен ряд обобщений классической теории Ли и Янга в работах

А.Г. Басуева, М. Бискупа, К. Боргса, С.Н. Исакова и др. [41,58,94-96]. Сверх того, С.Н. Исаков показал, что хотя страты фазовой диаграммы и являются (локально) аналитическими многообразиями, но свободная энергия и другие термодинамические величины имеют на этих стратах существенные особенности и не продолжаются аналитически [58,162]; см. также [137,199]. Физикам этот факт известен как теорема А.Ф. Андреева [36]. Более того, как установил М. Заградник [217,218], сами страты фазовой диаграммы хотя и являются (локально) аналитическими, но примыкают друг к другу не аналитически. Таким образом, фазовая диаграмма является хоть и гладкой, но не аналитической стратификацией пространства параметров. Единый подход к построению фазовой диаграммы в теории поля и статистической механике, обобщающий теорию Пирогова-Синая, был развит в работах К. Боргса и Дж. Имбри [99].

Теория Пирогова-Синая была развита и применена для построения фазовых диаграмм для многих конкретных систем: решеточных фермио-нов, испытывающих переход Мотта (К. Альбанезе, Н. Датта [81]); модели Поттса во внешнем поле (А. Бакшиш, А. Беныосеф, J1. Лаанэ [87]); модели Поттса "на песке" [22]; модели Юкавы (Т. Балабан, К. Гаведзки [88]); газа энантиомеров (Белкасри, А. Хукаби [89]); пространственно фрустрированных моделей (А. Берера, К. Даусон [91]); неупорядоченных систем (М. Бискуп, Л. Чейс, С. Кивельсон, А. Бовье [93]); бесщелевых систем (М. Бискуп, Р. Котецкий [92]); систем с дальнодействием (М. Бискуп, Л. Чейс, Й. Парк, Н. Крауфорд [97,195]); моделей Н-окрашивания (К. Борге, Дж. Чейс, Т. Дайёр [100]); модели Хаббарда (К. Борге, Я. Енджеевски, Ф. Манкрини, Р. Котецкий [106,170,186]); моделей с неограниченным спином (К. Борге, Р. Вакслер [107]); моделей спинового стекла (А. Бовье, Й. Фрелих, М. Айзенман и др. [80,109,

110]); моделей Блюма-Капеля (Ж. Брикмон, Дж. Лебовиц [112]); модели Видома-Роулинсона (Ж. Брикмон, К. Курода, Дж. Лебовиц [113]); моделей с конкуренцией между притяжением и отталкиванием (Чел-лаи, Куевас, Лаулор [116]); моделей случайных кластеров (Я. Черны, Р. Котецкий [117,118]); моделей бинарных сплавов (Д. Хржан, Л. Фа-ликов [119]). Квантовый аналог теории Пирогова-Синая был развит в работах [81,101,102,122,123,125,139,141,143,160,161,170,173,186,189,215].

Одним из существенных расширений теории Пирогова - Синая является развитие в последнее десятилетие теории фазовых переходов в континуальных системах (т.е. для точечных случайных полей в эвклидовом пространстве) в работах Э. Презутти, Дж. Лебовица, А. Мазеля и др. [113-115,121,183,184,194,200-202]. Многочисленны применения теории Пирогова - Синая к изучению фазовых переходов в модели Потт-са [87,112,149,174,178,179] и фрустрированных моделях [91,116,147,148], моделях с остаточной энтропией [212,213], неупорядоченных системах и спиновых стеклах [43,80,93,109,110,133,150].

Неожиданное применение теория Пирогова - Синая находит к исследованию алгоритмов Монте-Карло [103,104] и систем взаимодействующих автоматов [164], а также к статистическому оцениванию параметров по неполным данным [120]. Своеобразные версии теории Пирогова - Синая развиты в работах М. Заградника [108,177,217,218], Р. Котецкого и др. [105,142,168,169,171,172,175], Ж. Брикмона, Н. Славны и В. Холь-штински [111,156].

В цикле работ Е.И. Динабурга, Я.Г. Синая, А.Е. Мазеля создана теория взаимодействующих контурных моделей, которая применима к исследованию фазовых переходов в моделях ANNNI и SOS [127,129,130].

Имеется много работ, посвященных применению теории Пирогова

Синая к исследованию фазовых переходов первого рода в конкретных моделях кристаллов, жидкостей, газов, ферромагнитных и антиферромагнитных систем: [124,133,134,152,159,167,180,182,192,193,210,211,214]. Зачастую методы теории Пирогова - Синая используются в комбинации с идеями теории перколяции и корреляционными неравенствами [144-146,151,179,209].

Пока еще далека от понимания возможность обобщения теории Пирогова - Синая па квазикристаллы [190,191]. Неясна также связь между теорией Пирогова - Синая и методом отражательной положительности исследования фазовых переходов [138,140].

Особый раздел математической статистической механики представляет изучение систем взаимодействующих вероятностных автоматов. Хотя зависимость состояний системы автоматов от времени и может рассматриваться как гиббсовское случайное поле на пространстве-времени, но свойства этого поля резко отличаются от свойств полей, возникающих из других задач статистической механики. Это связано, наглядно говоря, с тем, что параметр "температура", управляющий состоянием обычных термодинамических систем, невозможно непостредственно ввести в описание системы взаимодействующих автоматов. Еще более необычный класс систем представляют собой системы автоматов с отказами, введенные автором. Под системой автоматов с отказами здесь понимается такая система взаимодействующих вероятностных автоматов, для каждого элемента которой возможен переход в аварийное состояние. При этом переход одного из элементов в аварийное состояние ведет к полному разрушению всей системы. Несмотря на необычность математического описания рассматриваемой ситуации, такие процессы естественно возникают в ряде технических и биологических задач. В частности, в популяционной генетике естественно описывать состояние популяции как меру на пространстве генотипов, а мутации — как случайные изменения отдельных элементов генотипов. При этом некоторые комбинации мутаций являются летальными, т.е. ведут к исчезновению соответствующего генотипа. Именно такие ситуации и рассматриваются в теории систем взаимодействующих автоматов с отказами, изложенной во второй главе диссертации.

Случайные блуждания химической кинетики являются марковскими 1 процессами с непрерывным временем на целочисленном положительном ортанте большой размерности с интенсивностями переходов (не обязательно в ближайшие точки), полиномиально зависящими от состояния системы, которое задано как целочисленный вектор с неотрицательными координатами. Говоря содержательно, компоненты этого вектора задают количество молекул каждого из потенциально возможных типов (считается, что число типов конечно). Полиномиальная зависимость интенсив-ностей переходов от вектора состояния представляет собой математическое выражение закона действующих масс классической химической кинетики. Случайные блуждания химической кинетики представляют собой удобный полигон для изучения обратимого и необратимого поведения больших случайных систем. В частности, простейший пример такого случайного блуждания еще в начале 20-го века рассматривался с этой точки зрения в работе Т. и П. Эренфестов. Связь между поведением решений системы дифференциальных уравнений химической кинетики и поведением траекторий случайного блуждания химической кинетики может быть рассмотрена с различных точек зрения и ведет к новому классу задач теории случайных процессов. Некоторые из этих задач, в том числе задача описания структуры множества инвариантных мер случайных блужданий химической кинетики изучены в третьей главе диссертации.

Содержание отдельных глав диссертации состоит в следующем.

В первой главе изложена теория фазовых переходов первого рода для решетчатых гиббсовских случайных полей. В статьях Пирогова и Синая [9,10], содержание которых служит основой для первой главы диссертации, получено математическое обоснование правила фаз Гиббса и построена фазовая диаграмма при достаточно низких температурах для широкого класса решетчатых моделей статистической механики. Этот класс, конечно, не включает в себя все мыслимые модели. Во-первых, надо предположить, что множество основных состояний (состояний с минимальной энергией) рассматриваемой модели конечно. Во-вторых, надо предположить, что выполнено некоторое условие устойчивости основных состояний, которое мы называем условием Пайерлса (имея в виду использование этого свойства Р. Пайерлсом в его работе [197] о ферромагнитной модели Изинга в 1936 году). Сам по себе тот факт, что условие Пайерлса выполнено не всегда (для систем с конечным числом основных состояний), неожиданен и был установлен Е.А. Печерским [196]. Для всех "естественных" систем статистической механики с конечным числом основных состояний условие Пайерлса выполняется. Основным технических средством построения фазовой диаграммы является система нелинейных уравнений для контурных функционалов Минлоса-Синая, которую можно вывести из определения гиббсовского поля с данным взаимодействием и заданными граничными условиями.

Содержание первой главы диссертации изложено в работах [4-7,9,10, 13,18,22].

Вторая глава диссертации посвящена изучению систем автоматов с отказами. Характерным свойством этих систем является то обстоятельство, что повреждение любого из элементов системы ведет к разрушению всей системы.

Целью исследований, изложенных во второй главе, является изучение случайного процесса, описывающего поведение такой системы автоматов при условии, что в течение достаточно длительного (в пределе — стремящегося к бесконечности) интервала времени система остается неразрушенной. Оказывается, что свойства этого случайного процесса в пределе, когда число автоматов велико, мало зависит от этого числа. Поэтому естественно перейти к термодинамическому пределу, т.е. к системе из бесконечного числа автоматов. Случайный процесс, описывающий поведение бесконечной цепочки автоматов на бесконечном интервале времени, является гиббсовским полем на прямом произведении пространства на время (т.е. на пространстве-времени, если пользоваться физической терминологией). Хотя к этому гиббсовскому полю и не удается непосредственно применить методы исследования из первой главы, но, соединяя метод контурных функционалов с простыми вероятностными оценками и используя развитый Д.Г. Мартиросяном [67] метод исследования устойчивости гиббсовского случайного поля с заданными граничными условиями, удается установить существование фазового перехода и для гиббсовского поля, описывающего поведение системы автоматов в пространстве-времени.

Чтобы пояснить понятие отказа, рассмотрим конечную цепь Маркова с фазовым пространством X, переходными вероятностями pjy, х, у е X и начальным распределением тгх,х € X. Предположим, что множество X представлено в виде объединения двух непересекающихся подмножеств X = Y U W, где У интерпретируется как множество рабочих состояний системы, a W — как множество аварийных состояний (отказы).

Предполагается, что, попав в аварийное состояние, система выходит из строя. Если известно, что в течение N последовательных тактов времени i = 1,., N система находилась в рабочих состояниях, то распределение вероятностей N последовательных состояний системы, x(t),t = 1,. ,N при этом условии задается формулой

P(x(t), t = 1, . . . , N) = ТГАх)рх{1)х{2) ■ ■ ■ px(N-i)T(N).

6N

Здесь переменная x(t) принимает значения из Y, a Zm — нормирующий множитель. Аналогичное определение можно дать и для системы взаимодействующих автоматов, у каждого из которых имеется свое множество аварийных состояний. Предположим, что переход хотя бы одного из автоматов в аварийное состояние ведет к отказу всей системы. Если предположить, что цепочка автоматов, расположенных в целых точках с номерами г = —L+1,., L—1 в течение тактов времени I = —Т+1,., Т находилась в неаварийном состоянии, то соответствующая условная мера допускает гиббсовское описание. А именно, если взаимодействие автоматов локально и задано, скажем, условными вероятностями переходов p{x(i,t + 1) | x(i,t),x(i — 1 ,£)), то эта условная мера оказывается гибб-совской с потенциалом

Uht(x) = - 1пр(я;(г, t + 1) | x(i, t), x{i - 1, £)).

Здесь мы не вводим параметр (3, считая [3 = 1. Это связано с тем, что для системы автоматов, в отличие от термодинамических систем, нет аналога взаимодействия системы с термостатом, позволяющего поддерживать произвольную заданную температуру.

Для такого гиббсовского случайного поля на двумерной решетке (i,t), т.е. на пространстве-времени, в термодинамическом пределе Т —> оо,

L —> oo существуют различные предельные режимы. Они достигаются за счет выбора "управления": граничных значений x(—L,L) и x(L,t). В диссертации приведен ряд примеров, когда изменение состояний управляющих автоматов приводит к изменению предельного стационарного режима и, что более неожиданно, доказано, что для известной модели Ставской, для которой уже в отсутствии отказов существуют два различных предельных режима, введение сколь угодно малой вероятности отказа уничтожает нетривиальный стационарный режим и заставляет стационарную меру состредоточиться на детерминированной конфигурации "все единицы".

Содержание второй главы диссертации изложено в работах [12,15,19].

Третья глава диссертации посвящена изучению случайных блужданий химической кинетики и взаимосвязей, существующих иежду этими случайными блужданиями и дифференциальными уравнениями химической кинетики. Формально эти дифференциальные уравнения возникают из случайных блужданий в результате определенной перенормировки ин-тенсивностей перехода (канонический скейлинг).

Чтобы доказать сходимость по вероятности траектории случайного блуждания химической кинетики к решению соответствующей системы обыкновенных дифференциальных кравнений, используется теория сходимости операторных полугрупп Троттера-Курца. Далее изучается связь между свойствами решений системы уравнений химической кинетики и инвариантными мерами допредельного марковского процесса. Найдено условие, достаточное для того, чтоюы энтропия Больцмана, обобщенная на произвольную систему химической кинетики, была функцией Ляпунова для этой системы. (Ранее это условие выписывалось в работах Я.Г. Батищевой и В.В. Веденяпина [44,48]). Неожиданно оказалось, что это условие является необходимым и достаточным для существования инвариантной пуассоновской меры у соответствующего марковского процесса. Неформальное объяснение этого обстоятельства состоит в том, что обобщенная энтропия Больцмана является функцией больших уклонений для однопараметрического семейства пуассоновских мер, а соответствующий марковский процесс переходит, как правило, из состояния с меньшей вероятностью в состояние с большей вероятностью. Тем самым траектория предельной динамической системы химической кинетики должна двигаться в направлении возрастания обобщенной энтропии Больцмана. Мы, однако, доказываем этот факт прямым вычислением, поскольку формулировка соответствующей теоремы для марковских процессов общего вида нам пока неизвестна. В классической химической кинетике известно еще одно, более сильное, условие, достаточное для того, чтобы обобщенная энтропия Больцмана возрастала вдоль траектории - это так называемое условие детального баланса. Мы формулируем его в общем случае и выясняем его вероятностный смысл. Оказывается, что оно означает, что пуассоновская мера не только является стационарной для рассматриваемого марковского процесса, но и что соответствующий стационарный марковский процесс обратим, т.е. инвариантен по отношению к обращению времени. Интересно, что само по себе требование обратимости случайного блуждания химической кинетики с какой-то инвариантной мерой вовсе не влечет за собой пуассоновость этой меры и, тем самым, не равносильно условию детального баланса.

Мы исследуем также интересный с прикладной точки зрения вопрос о том, каким образом обратимая (в смысле условия детального баланса) система может вести себя необратимым образом, как это обнаруживается во многих химических реакциях, в особенности типичных для живой природы. Математическое объяснение состоит в том, что для необратимого поведения обратимой системы достаточно предположить, что некоторые из координат вектора состояния меняются гораздо медленнее остальных. Если зафиксировать затем значения "медленных" переменных, то получившаяся "быстрая" система уже не будет обратимой. Вообще говоря, у нее не будет и функции Ляпунова, а потому возможны как периодическое (система Лотки-Вольтерра), так и более сложное, хаотическое поведение.

Содержание третьей главы диссертации основано на работах [20,21, 33].

Заключение

В диссертации исследованы равновесные и неравновесные свойства больших случайных система, а именно: гиббсовских случайных полей, систем автоматов с отказами и случайных блужданий химической кинетики. Основные результаты диссертации:

1) Разработан метод исследования гиббсовских полей с помощью нелинейных уравнений для контурных функционалов. С помощью этого метода развита теория фазовых диаграмм, описывающих структуру фазовых переходов 1-го рода для конечнопараметрических семейств гиббсовских случайных полей.

2) На основе теории фазовых диаграмм получены условия спонтанного нарушения симметрии гиббсовского поля, обощающие критерий нарушения симметрии В.М. Герцика и Р.Л. Добрушина.

3) Разработан гиббсовский подход к анализу условий, при которых существует, а также условий, при которых не существует более одного предельного стационарного режима в системах автоматов с отказами. Установлена неустойчивость поведения системы автоматов при сколь угодно малой вероятности отказа.

4) Получено условие унитарности, позволяющее исследовать широкий класс случайных блужданий химической кинетики.

5) С помощью условия унитарности установлен критерий существования инвариантной пуассоновской меры для случайных блужданий химической кинетики. Выявлена связь условия унитарности с условиями iZ-теоремы Больцмана-Веденяпина. Дана вероятностная интерпретация второго закона термодинамики для рассматриваемого класса случайных процессов.

1. Пирогов С.А. Вероятности сложных событий и линейное программирование // Теория вер. и ее прим. 1968. Т. 13, №2. С.344-348.

2. Пирогов С.А. Состояния, связанные с двумерной моделью Изинга// Теор. матем. физика. 1972. Т. 11, вып. 3. С. 421-426.

3. Кифер Ю.И., Пирогов С.А. О разложении квазиинвариантных мер на эргодические компоненты// Успехи мат. наук. 1972. Т. 27, вып. 5. С.239-240.

4. Пирогов С.А., Синай Я.Г. Фазовые переходы 1-го рода для малых возмущений модели Изинга// Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8, № 1. С. 25-30.

5. Пирогов С.А. Фазовые переходы 1-го рода для спиновых моделей со спином -1, 0, +1// Доклады АН СССР. 1974. Т. 214, № 6. С. 12731275.

6. Пирогов С.А. Гиббсовские случайные поля и проблема сосуществования фаз// Успехи мат. наук. 1975. Т. 30, № 2. С. 223-224.

7. Пирогов С.А. Сосуществование фаз для решетчатых моделей// Известия АН СССР, сер. матем. 1975. Т. 39, № 6. С. 1404-1433.

8. Dobrushin R.L., Pirogov S.A. Theory of random fields// Proc. 1975 IEEE USSR Joint Workshop on Information Theory. Moscow. 1975. P. 39-49.

9. Пирогов С.А., Синай Я.Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем, I// Теор. матем. физика. 1975. Т. 25, № 3. С. 358369.

10. Пирогов С.А., Синай Я.Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем, II// Теор. матем. физика. 1976. Т. 26, № 1. С. 61-76.

11. Pirogov S.A., Sinai Ya.G. Ground states in two-dimensional boson quantum field theory// Ann. Phys. 1977. Vol. 109, N 2. P. 393-400.

12. Пирогов С.А. Марковские системы с отказами// Взаимодействующие марковские процессы в биологии. Пущино: Изд-во НЦБИ АН СССР. 1986. С. 48-57.

13. Пирогов С.А. Сосуществование фаз в решеточной жидкости с комплексными параметрами// Теор. матем. физика. 1986. Т. 66, № 2. С. 331-336.

14. Пирогов С.А. Кластерные разложения для систем автоматов// Про-бл. передачи информации. 1986. Т. 22, № 4. С. 60-66.

15. Pirogov S.A. Cluster expansions, Markov systems, From discrete to continuous// Stochastic Cellular Systems: Ergodicity, Memory, Morphogenesis. Manchester Univ. Press. 1990. P. 159-168.

16. Pirogov S.A. Ball packings and moment inequalities// Markov Processes and Relat. Fields. 1998. Vol. 4, N 2. P. 199-201.

17. Dempster M.A.H., Evstigneev I.V. Pirogov S.A. Balanced states in stochastic economies with locally interacting agents// Stochastics and Stoch. Reports. 1998. Vol. 64. P. 235-253.

18. Pirogov S.A. Peierls argument for anisotropic Ising model// Amer. Math. Soc. Transl. 2000. Ser. 2. Vol. 198: On Dobrushin's Way. P. 195.

19. Karpelevich F.I., Malyshev V.A., Petrov A.I., Pirogov S.A.,Rybko A.N. Context-free evolution of words// Amer. Math. Soc. Transl. 2002. Ser. 2. Vol. 207. P. 91-114.

20. Malyshev V.A., Pirogov S.A. Rybko A.N. Random walks and chemical networks// Moscow Math. Journal. 2004. Vol. 4, N 2. P. 441-453.

21. Fayolle G., Malyshev V., Pirogov S. Stochastic chemical kinetics with energy parameters// Trends in Math.: Math, and Сотр. Science III. Birkhauser Verlag. 2004. P. 517-530.

22. Dinaburg E., Maes C., Pirogov S., Redig F., Rybko A. The Potts model built on sand// Journ. Stat. Phys. 2004. Vol. 117, N 1-2. P. 179-198.

23. Гитис В.Г., Петрова Е.Н., Пирогов С.А. Модель локального взаимодействия компонент геоэкологической структуры// Информационные процессы. 2004. Т. 4, № 1. С. 1-6.

24. Aleksenko A., Lakshtanov E., Pirogov S. One- and two- particle bound states in the Landau-Khalatnikov Bose-liquid model// Lett. Math. Phys. 2006. Vol. 77, N 1. P. 83-98.

25. Любецкий В.А., Пирогов С.А., Рубанов Л.И., Селиверстов А.В. Модель регуляции экспрессии генов у бактерий на основе формирования вторичных структур РНК// Мол. биология. 2006. Т. 40, № 3. С. 497-511.

26. Гитис В.Г., Петрова Е.Н., Пирогов С.А., Юрков Е.Ф. Математическое моделирование поверхностного стока и переноса загрязнений// Информационные процессы. 2006. Т. 7, № 2. С. 168-182.

27. Evstigneev I., Pirogov S. Stochastic contraction principle// Random Operators and Stoch. Equations. 2007. Vol. 15, N 1. P. 155-162.

28. Lyubetsky V., Pirogov S., Rubanov L., Seliverstov A. Modelling classic attenuation regulation of gene expression in bacteria// Journ. Bioinformatics and Сотр. Biology. 2007. Vol. 5, N 1. P. 155-180.

29. Любецкий В.А., Пирогов С.А. Нестандартные представления локально компактных групп// Мат. заметки. 2007. Т. 82, № 3. С. 383-389.

30. Gitis V.G., Petrova E.N., Pirogov S.A., E.F. Yurkov. Mathematical Modeling of the Pollutants Overland Flow and Transport// Automation and Control. 2007. Vol. 68, N 9. P. 1643-1653.

31. Бланк М.Л., Пирогов С.А. О квазиуспешном каплинге марковских процессов// Пробл. передачи информации. 2007. Т. 43, № 4. С. 5167.

32. Малышев В.А., Пирогов С.А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике// Успехи мат. наук. 2008. Т. 63, № 1. С. 23-56.

33. Kondratiev Y., Pechersky Е., Pirogov S. Markov process of muscle motors // Nonlinearity. 2008. Vol. 21, N 8. P. 1929-1936.

34. Evstigneev I.G., Pirogov S.A. Stochastic nonlinear Perron-Frobenius theorem // Positivity. 2009. DOI 10.1007/sllll7-008-0003-2.

35. Андреев А.Ф. Об особенности термодинамических величин в точке фазового перехода первого рода//ЖЭТФ. 1963. Т.45,№12. С.1064-1066.

36. Басуев А. Г. Гамильтониан границы раздела фаз и фазовые переходы первого рода. 1.//ТМФ. 1985. Т. 64,№1. С. 103-129.

37. Басуев А. Г. Полные фазовые диаграммы по внешним полям при малых температурах для моделей с взаимодействием ближайших соседей в случае конечного или счетного числа основных состоя-ний//ТМФ. 1984. Т. 58,№2. С. 261-278.

38. Басуев А. Г. Майеровские разложения газа контуров при малых температурах и произвольных внешних полях для многокомпонентной модели Изинга//ТМФ. 1984. Т.58,№1. С. 121-136.

39. Басуев А. Г. Газ "связных конфигураций" и учет потенциала "твердых сердцевин" контуров в майеровском разложении газа контуров решетчатых моделей//ТМФ. 1983. Т. 57,№3. С. 338-353.

40. Басуев А. Г. Гамильтониан границы раздела фаз и фазовые переходы первого рода. Обобщение теоремы Ли-Янга// Теоретическая и математическая физика. 2007. Т.153 , №1 . С. 98-123.

41. Басуев А. Г. Модель Изинга в полупространстве. Серия фазовых переходов при малых магнитных полях// Теоретическая и математическая физика. 2007. Т. 153, № 2 . С. 220-261.

42. Басуев А.Г. Гамильтонан границы раздела фаз и фазовые переходы первого рода.II. Простейшие неупорядоченные фазы// ТМФ.1987. Т.72,№2. С.255-268.

43. Батищева Я.Г., Веденяпин В.В. Второй закон термодинамики для химической кинетики// Математическое моделирование.2005. Т. 17, № 8. С.106-110.

44. Березин Ф.А., Синай Я.Г. Существование фазового перехода для решетчатого газа с притяжением между частица-ми//Тр.Моск.Мат.Общ. 1967. Т.17. С.197-212.

45. Васильев Н.Б. Корреляционные уравнения для стационарной меры одной марковской цепи. //Теория вероятностей и ее применения. 1970. Т.15, № 3. С. 536-540.

46. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит. 2001.

47. Веденяпин В.В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову. М.: Изд-во МГОУ. 2005.

48. Взаимодействующие марковские процессы и их применение в биологии. Пущино: Изд-во НЦБИ АН СССР. 1977/1979/1982.

49. Галеб Ф.Ф. Существование бесконечного множества фаз в некоторых моделях статистической физики//Тр.Моск.Матем.Общ. 1982. Т.44.С. 111-125.

50. Ганиходжаев Н. Н., Паа Ч. X. Фазовые диаграммы многокомпонентных решеточных моделей//ТМФ. 2006. Т.149, №2. С. 244-251.

51. Гантмахер Ф.Р. Теории матриц. М.: Наука. 1966.

52. Герцик В. М. Условия неединственности гиббсовского состояния для решетчатых моделей с финитным потенциалом взаимодействия. //УМН.1975. Т. 30, №3. С. 159-160.

53. Герцик В. М. Условия неединственности гиббсовского состояния для решетчатых моделей с финитным потенциалом взаимодействия.// Известия АН СССР. Сер. матем. 1976. Т.40, №2. С. 448462.

54. Герцик В. М., Добрушин P. JI. Гиббсовские состояния в решетчатой модели с взаимодействием на два шага// Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8, № 3. С. 12-25.

55. Добрушин P. JI. Задача единственности гиббсовского случайного поля и проблема фазовых переходов. //Функц. Анализ и его прил.1968. Т. 2, №4. 44-57.

56. Добрушин P. J1. Асимптотическое поведение гиббсовских распределений для решетчатых систем в зависимости от формы сосуда.// ТМФ.1972. Т. 12, №1. С. 115-134.

57. Исаков С.Н. Фазовые диаграммы и сингулярности в точке фазового перехода первого рода в моделях решеточного газа.// ТМФ. 1987. Т.71,№3. С.426-440.

58. Лиггетт Т.М. Марковские процессы с локальным взаимодействием. М.: Мир.1989.

59. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика, томЮ. Физическая кинетика. М.:Наука.1979.

60. Малышев В. А. Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической физики и квантовой теории поля// УМН. 1980.Т. 35, № 2. С. 3-53.

61. Малышев В.А. Случайные грамматики// УМН. 1998. Т.53,№2. С.107-134.

62. Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля. Метод кластерных разложений. М.:Наука.1985.

63. Малышев В.А., Минлос Р.А., Петрова Е.Н., Терлецкий Ю.А. Обобщенные контурные модели // Итоги науки и техники. 1982. Серия Теория вероятностей. Т.19. С.3-54.

64. Мартиросян Д. Г. Единственность гиббсовских состояний в решетчатых моделях с одним основным состоянием//ТМФ. 1985.Т. 63,№2. С. 280-290.

65. Мартиросян Д. Г. Зона действия граничных условий в модели классического изинговского ферромагнетика.//УМН. 1979. Т.34,№5. С.225-226.

66. Мартиросян Д. Г. Единственность предельных гиббсовских распределений для возмущений модели Изинга// Теор. и матем. физика. 1975. Т. 22, № 3. С. 335-342.

67. Минлос Р.А. Введение в математическую статистическую физику. М.:МЦНМ0.2002.

68. Минлос Р. А., Синай Я.Г. Явление "разделения фаз" при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа, I.// Мат. сб. 1967. Т. 73, №3. С. 375-448. II.

69. Минлос Р. А., Синай Я.Г. Явление "разделения фаз" при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа, II. //Тр. Моск. мат. общ. 1968. Т.19. С. 113-178.

70. Минлос Р. А., Синай Я. Г. Новые результаты о фазовых переходах 1-го рода в моделях решетчатого газа с притяжением между частицами. // Тр. Моск. Мат. общ. 1967. Т. 17. С. 213-242.

71. Наср А. Гиббсовские случайные поля для модели Изинга. //Тр. Моск. Мат. Общ.1975. Т.32. С. 187-209.

72. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.:Наука.1972.

73. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. М.: Мир. 1971.

74. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. Москва-Ижевск: РХД. 2001.

75. Ставская О. Н., Пятецкий-Шапиро И. И. О некоторых свойствах однородных сетей из спонтанно активных элементов// Проблемы кибернетики. 1968. Т. 20. С. 91-106.

76. Тоом А.Л. Об одном семействе сетей из формальных нейронов// ДАН СССР. 1968. Т. 183, № 1. С. 49-52.

77. Шнирман М.Г. К вопросу об эргодичности одной цепи Маркова с бесконечным множеством состояний.// Проблемы кибернетики. 1968. Т. 20. С. 115-122.

78. Abraham D. В. Surface Structures and Phase Transitions — Exact Results // Phase Transitions and Critical Phenomena.Vol. 10. London: Academic Press. 1986. P. 1-74.

79. Aizenman M., Contucci P.On the Stability of the Quenched State in Mean-Field Spin-Glass Models // Journal of Statistical Physics.1998. Vol. 92, N 5-6. P. 765-783.

80. Albanese C., Datta N. Mott Transition and Sign Problem for a Model of Lattice Fermions // Comm. Math. Phys.1995. Vol. 167, N 3. P. 571-591.

81. Alicki R., Fannes M., Horodecki M. A statistical mechanics view on Kitaev's proposal for quantum memories // J. Phys. A: Math. Theor.2007. Vol.40, N 24. P. 6451-6467.

82. Athreya K.B., Ney P.E. Branching Processes. New-York: Springer. 1972.

83. Athreya К.В., Vidyashankar A.N. Large deviation rates for supercritical and critical branching processes// IMA. 1997. Vol. 74. Classical and Modern Branching Processes. P. 3-18.

84. Bak P., Tang K. and Wiesenfeld K. Self-Organized Criticality// Phys. Rev. "A. 1988. Vol.38. P.364-374.

85. Bramson M., Lebowitz J. Spatial structure in low dimensions for diffusion limited two-particle reactions// Ann. Appl. Prob. 2001. Vol. 11, N 1. P. 121—181.

86. Bakchich A., Benyoussef A., Laanait L. Phase diagram of the Potts model in an external magnetic field // Annales de l'institut Henri Poincare (A). Physique theorique. 1989. Vol.50, N 1. P. 17-35.

87. Balaban, Т.; Gawedzki, K. A low temperature expansion for the pseu-doscalar Yukawa model of quantum fields in two space-time dimensions // Annales de l'institut Henri Poincare (A). Physique theorique. 1982. Vol. 36, N 4. P. 271-400

88. Belkasri, Huckaby A. K. Presence of racemic phases at low temperatures in a three-dimensional lattice gas of enantiomers // J. Phys. A: Math. Gen.1997. Vol. 30, N 18. P. 6205-6214.

89. Bena I., Droz M., Lipowski A. Statistical Mechanics of Equilibrium and Nonequilibrium Phase Transitions: The Yang-Lee Formalism // Int. J. Mod. Phys. B. 2005. Vol. 19, N 29. P. 4269-4330.

90. Berera A., Dawson K.A. Low-temperature expansion of a spatially frustrated isotropic lattice model // Phys. Rev. A.1990. Vol.41. P. 626-643.

91. Biskup M., Kotecky R. Forbidden Gap Argument for Phase Transitions Proved by Means of Chessboard Estimates // Comm. Math. Phys. 2006. Vol. 264, N 3. P. 531-656.

92. Biskup M., Chayes L., Kivelson S.A. Order by Disorder, without Order, in a Two-Dimensional Spin System with 0( 2) Symmetry 11 Annates Henri Poincare.2004. Vol. 5, N 6. P. 1181-1205.

93. Biskup M., Borgs C., Chayes J.T. et al. Partition Function Zeros at First-Order Phase Transitions: A General Analysis. // Comm. Math. Phys. 2004. Vol. 251, N 1. P. 79-131.

94. Biskup M., Borgs C., Chayes J.T. et al. Partition Function Zeros at First-Order Phase Transitions: Pirogov-Sinai Theory // Journal of Statistical Physics. 2004. Vol. 116, N 1-4. P. 97-155.

95. Biskup M., Borgs C., Chayes J.T. et al. General Theory of Lee-Yang Zeros in Models with First-Order Phase Transitions // Phys. Rev. Let. 2000. Vol. 84 P. 4794-4797.

96. Biskup M., Chayes L., Crawford N. Mean-Field Driven First-Order Phase Transitions in Systems with Long-Range Interactions // Journal of Statistical Physics. 2006. Vol. 122, N 6. P. 1139-1193.

97. Borgs C. Translation symmetry breaking in Tour-dimensional lattice gauge theories // Communications in Mathematical Physics. 1984. Vol. 96. P.251-284.

98. Borgs C., Imbrie J.Z. A unified approach to phase diagrams in field theory and statistical mechanics // Communications in Mathematical Physics. 1989. Vol. 123, N2. P.305-328.

99. Borgs С., Chayes J. Т., Dyer et al. On the Sampling Problem for H-Colorings on the Hypercubic Lattice. // DIMACS Ser. in Discr. Math. And Theor. Сотр. Science. 2004. Vol. 63. P. 13-28.

100. Borgs C., Kotecky R., Ueltschi D. Low temperature phase diagrams for quantum perturbations of classical spin systems // Comm. Math. Phys. 1996. Vol. 181, N 2. P. 409-446.

101. Borgs, C. Kotecky, R. Low Temperature Phase Diagrams of Fermionic Lattice Systems // Comm. Math. Phys. 2000. Vol. 208, N 3. P.575-604.

102. Borgs C., Chayes J.T., Tetali P. Tight Bounds for Mixing of the Swendsen-Wang Algorithm at the Potts Transition Point // Prob. Th. Rel. Fields. 2009(to appear).

103. Borgs C., Chayes J.T., Frieze A. et al. Torpid Mixing of Some Monte Carlo Markov Chain Algorithms in Statistical Physics// Proceedings of the 40th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. 1999. P.218-228.

104. Borgs C., Kotecky R. Surface-induced finite-size effects for first-order phase transitions // Journal of Statistical Physics.1992. Vol. 79, N 1-2. P. 43-115.

105. Borgs C., Jedrzejewski J., Kotecky R. The staggered charge-order phase of the extended Hubbard model in the atomic limit // J. Phys. A: Math. Gen.1996.Vol.29 P.733-747.

106. Borgs С., Waxier R. First order phase transitions in unbounded spin systems. I: Construction of the phase diagram // Communications in Mathematical Physics. 1989. Vol. 126, N 2. P. 291-324.

107. Bovier A., Zahradnik M. A Simple Inductive Approach to the Problem of Convergence of Cluster Expansions of Polymer Models // Journal of Statistical Physics.2000. Vol.100, N3-4. P. 765-778.

108. Bovier A. Statistical Mechanics of Disordered Systems: A Mathematical Perspective. Cambridge University Press. 2006.

109. Bovier A., Frohlich J. A heuristic theory of the spin glass phase // Journal of Statistical Physics. 1986. Vol. 44, N 3-4. P. 347-391.

110. Bricmont J., Slawny J. First order phase transitions and perturbation theory // Lecture Notes in Physics. 1986. Vol. 257. P. 10-51.

111. Bricmont J.,Lebowitz J.L. Wetting in Potts and Blume-Capel models // Journal of Statistical Physics. 1987. Vol. 46, N 5-6. P. 1015-1029.

112. Bricmont J., Kuroda K., Lebowitz J.L. The structure of Gibbs states and phase coexistence for non-symmetric continuum Widom-Rowlinson models // Probability Theory and Related Fields. 1984. Vol. 61, N 2. P. 121-138.

113. Bricmont J., Kuroda K., Lebowitz J.L. First order phase transitions in lattice and continuous systems: Extension of Pirogov-Sinai theory // Communications in Mathematical Physics. 1985. Vol. 101, N 4. P. 501-538.

114. Carlen E.A., Carvalho M.C., Esposito R. et al. Free energy minimizers for a two-species model with segregation and liquid-vapour transition // Nonlinearity. 2003. Vol. 16. P. 1075-1105.

115. Cellai, Cuevas D., Lawlor H. et al. Competition between short-ranged attraction and short-ranged repulsion in crowded configura-tional space: A lattice model description // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, N 1-2. P. 022401.

116. Cerny J., Kotecky R. Interfaces for Random Cluster Models // Journal of Statistical Physics. 2003. Vol. Ill, N 1-2. P. 73-106.

117. Cerny J. The existence of translation non-invariant measure in random-cluster model. Master's thesis. Praha: Universita Karlo-va.1998.

118. Chrzan D.C., Falicov L.M. Exactly soluble model for antiphase boundaries in binary ordering alloys // Phys. Rev. B.1989. Vol. 40. P. 81948202.

119. Comets F., Gidas B. Parameter estimation for Gibbs distributions from partially observed data // Annals of Applied Probability. 1992. Vol. 2, N 1. P. 142-170.

120. Crawford N.J. Mean Field Theories and Models of Statistical Physics. A dissertation submitted in partial satisfaction doctor of Philosophy in Mathematic. University of California.2005.

121. Datta N., Suhov Y. Data Compression Limit for an Information Source of Interacting Qubits // Quantum Information Processing. 2002. Vol. 1, N 4. P. 257-281.

122. Dalta N., Fernandez R., Frohlich J. Effective Hamiltonians and Phase Diagrams for Tight-Binding Models // Journal of Statistical Physics. 1999. Vol. 96, N 3-4. P. 545-611.

123. Datta N., Messager A., Nachtergaele B. Rigidity of Interfaces in the Falicov-Kimball Model // Journal of Statistical Physics. 2000. Vol. 99, N 1-2.P. 461-555.

124. Dhar D. The Abelian Sandpiles and Related Models// Physica A. 1999. Vol.263. P. 4-25.

125. Dinaburg E.I., Sinai Ya.G. An analysis of ANNNI model by Peierls' contour method// Communications in Mathematical Physics. 1985. Vol.98. P.119-144.

126. Dobrushin R.L., Zagradnik M. Phase diagrams for the continuous spin models: an extension of the Pirogov-Sinai theory//Math. Problems of stat. mech. and dynamics. Math.Appl. Vol.6.Ed. R.L.Dobrushin. Dordrecht: Reidel. 1986. P.l-123.

127. Dinaburg E.I., Mazel A.E. Layering transition in SOS model with external magnetic field // Journal of Statistical Physics. 1994. Vol. 74, N 3-4. P.533-563.

128. Ethier S.N., Kurtz Th.G. Markov processes. Characterization and convergence. N.Y.: Wiley. 1986.

129. Edwards R.G., Sokal A.D. Generalization of the Fortuin-Kasteleyn-Swendsen-Wang representation and Monte Carlo Algorithm//Phys. Rev. D.1988. Vol. 38. P. 2009-2012.

130. Friedli S., Pfister C.E. Non-Analyticity and the van der Waals Limit // J. Stat. Phys. 2004. Vol. 114, N 3-4. P. 665-734.

131. Frohlich J., Simon В., Spencer T. Infrared bounds, phase transitions and continuous symmetry breaking // Communications in Mathematical Physics. 1976. Vol. 50, N 1. P. 79-95.

132. Frohlich J., Rey-Bellet L., Ueltschi D. Quantum Lattice Models at Intermediate Temperature // Communications in Mathematical Physics.2001. Vol. 224, N 1. P. 33-63.

133. Frohlich J., Israel R., Lieb E.H., Simon B. Phase transitions and reflection positivity. I. General theory and long range lattice models // Communications in Mathematical Physics.1978. Vol. 62, N 1. P. 134.

134. Frbhlich J., Rey-Bellet L. Low-Temperature Phase Diagrams of Quantum Lattice Systems. III. Examples // Helv. Phys. Acta. 1996. Vol. 69, N5-6. P. 821-849.

135. Gawedzki K., Kotecky R., Kupiainen A. Coarse-graining approach to first-order phase transitions // Journal of Statistical Physics.1987. Vol. 47, N-6. P. 701-724.

136. Gawedzki K. Existence of three phases for a P{<p)-z model of quantum field // Communications in Mathematical Physics.1978. Vol. 59, N 2. P. 117-142.

137. Georgii H.O. Percolation for low energy clusters and discrete symmetry breaking in classical spin systems // Communications in Mathematical Physics. 1981. Vol. 81, N 4. 19 P. 455-473.

138. Georgii H.-O., Haggstrom O., Maes C. The random geometry of equilibrium phases// Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 18. Ed. C. Domb and J.L. Lebowitz . London: Academic Press.2001. P. 1-142.

139. Giacomin G., Lebowitz J.L., Maes C. Agreement percolation and phase coexistence in some Gibbs systems // Journal of Statistical Physics. 1992. Vol. 80, N 5-6. P. 1379-1403.

140. Giuliani A., Lebowitz J.L., Lieb E.H. Ising models with long-range antiferromagnetic and short-range ferromagnetic interactions // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 74. P. 064420.

141. Giuliani A., Lebowitz J.L., Lieb E.H. Pattern formation in systems with competing interactions //2008. arXiv:0811.3078vl.

142. Gobron Т., Merola I. First-Order Phase Transition in Potts Models with Finite-Range Interactions // Journal of Statistical Physics. 2007. Vol. 126, N 3. P.507-583.

143. Grimmett G. Percolation and disordered systems // Lectures on Probability Theory and Statistics. 1997. Vol. 1665. P. 153-300.

144. Grimmett G. The Random-Cluster Model // Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 110. 2004.

145. Gruber C., Macris N., Messager A. et al. Ground states and flux configurations of the two-dimensional Falicov-Kimball model //Journal of Statistical Physics. 1997.Vol. 86, N 1-4. P. 57-108.

146. Gruber C., Suto A. Phase diagrams of lattice systems with residual entropy. Preprint EPF. Lausanne. 1987.

147. Harris Т.Е. The theory of branching processes. Berlin: Springer. 1963.

148. Hoeffding W. Probability inequalities for sums of bounded random variables// J. Amer. Stat. Assoc. 1963. Vol. 58, P. 13-30.

149. Holsztynski W., Slawny J. Peierls condition and number of ground states // Communications in Mathematical Physics. 1978. Vol. 61, N 2. P. 177-190.

150. Hryniv O., Kotecky R. Surface Tension and the Ornstein-Zernike Behaviour for the 2D Blume-Capel Model // Journal of Statistical Physics.2002. Vol. 106, N 3-4. P. 431-476.

151. Huang M.C., Liaw T.M., Luo Y.P. et al. Finite-size scaling of partition function zeros and first-order phase transition for infinitely long Ising cylinder // Arxiv.cond-mat/0407731. 2004.

152. Imbrie J.Z. Phase diagrams and cluster expansions for low temperature P(phi)2 models // Communications in Mathematical Physics.1981. Vol. 82, N 2. P.261-304, 305-344.

153. Imbrie J.Z. Phase diagrams for low temperature quantum field models // Lecture Notes in Physics. 1982. Vol. 153. P. 79-82.

154. Isakov S.N. Nonanalytic Features of the First Order Phase Transition in the Ising Model.// CMP. 1984. Vol. 95, N4. P. 427-443.

155. Ivashkevich E.V., Priezzhev V.B. Introduction to the sandpile model// Physica A.1998. Vol. 254. P. 97-116 .

156. Kennedy Т. Majority rule at low temperatures on the square and triangular lattices // Journal of Statistical Physics. 1997. Vol. 86, N 5-6. P. 1089-1107.

157. Kesten H., Stigum B.P. A limit theorem for multidimensional Galton-Watson processes// Ann. Math.Stat.1968. Vol. 37,N 5. P.1211-1223.

158. Kesten H., Stigum B.P. Additional limit theorems for indecomposable multidimensional Galton-Watson processes// Ann. Math.Stat.1968. Vol. 37,N 6. P.1463—1481.

159. Klein D., Yang W.S. Low-temperature smoothness of the pressure for antiferromagnets and other models // Journal of mathematical physics. 1991. Vol. 32, N 8. P. 2181-2185.

160. Kotecky R. Geometric representation of lattice models and large volume asymptotics // NATO ASI Ser. C. Math, and Phys. Sci. 1994. Vol. 420. P. 153-160.

161. Kotecky R., Miracle-Sole S. Roughening transition for the Ising model on a BCC lattice. A case in the theory of ground states // Journal of Statistical Physics. 1987. Vol. 47, N 5-6. P. 773-799.

162. Kotecky R., Ueltschi D. Hubbard Model with magnetic field: antifer-romagnetism and paramagnetism // Proceedings of the Symposium "Mathematical Results in Statistical Mechanics". Marseille, July 2731, 1998. P. 223-238.

163. Kotecky R. Pirogov-Sinai Theory // Encyclopedia of Mathematical Physics. (0125126603). 2006.

164. Kotecky R. Phase transitions: on a crossroads of probability and analysis // Highlights of Mathematical Physics. P. 191-207.

165. Kotecky R., Ueltschi D. Effective Interactions due to Quantum Fluctuations // Communications in Mathematical Physics. 1999. Vol. 206, N 2.P. 289-335.

166. Kotecky R., Laanait L., Messager A. et al. The q-state Potts model in the standard Pirogov-Sinai theory: Surface tensions and Wilson loops // Journal of Statistical Physics. 1990. Vol. 58, N 1-2. P. 199-248.

167. Kotecky R. Mathematics of phase transitions // Physics and Theoretical Computer Science. Vol. 7. NATO Security through Science. Series D: Information and Communication Security. 2007.

168. Kotecky R., Preiss D. An inductive approach to the Pirogov-Sinai theory// Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo.1984. Ser.II. Vol.3. P.161-164.

169. Koukiou F., Petritis D., Zahradnik M. Extension of the Pirogov-Sinai theory to a class of quasiperiodic interactions // Communications in Mathematical Physics. 1988. Vol. 118, N 3. P. 365-383.

170. Laanait L., Messager A., Miracle-Sole S. et al. Interfaces in the Potts model I: Pirogov-Sinai theory of the Fortuin-Kasteleyn representation // Communications in Mathematical Physics. 1991. Vol. 140, N 1. P. 81-91.

171. Laanait L., Messager A., Ruiz J. Phases coexistence and surface tensions for the Potts model // Communications in Mathematical Physics. 1986. Vol. 105, N 4. P. 527-545.

172. Lebowitz J.L., Mazel A.E., Suhov Y.M. An Ising interface between two walls: Competition between two tendencies // Reviews in Mathematical Physics. 1996. Vol. 8 , N 5. P. 669-687.

173. Lebowitz J.L., Mazel A.E. On the Uniqueness of Gibbs States in the Pirogov-Sinai Theory // Communications in Mathematical Physics. 1997. Vol. 189, N 2. P. 311-321.

174. Lebowitz J.L., Phani M.K., Styer D.F. Phase diagram of Cu-Au-type alloys // Journal of Statistical Physics. 1985.Vol. 38, N 1-2. P. 413431.

175. Lebowitz J.L., Mazel A.E., Presutti E. Liquid-Vapor Phase Transitions for Systems with Finite-Range Interactions // Journal of Statistical Physics. 1999. Vol. 94, N 5-6. P.995-1025.

176. Lebowitz J.L., Mazel A.E., Nielaba P. et al. Ordering and demix-ing transitions in multicomponent Widom-Rowlinson models // Phys. Rev. E . 1995. Vol.52. P. 5985-5996.

177. Martirosian D.G. Translation invariant Gibbs states in the q-state Potts model.//CMP. 1986. Vol.105. P.281-290.

178. Mancini F., Mancini F.P. One-dimensional extended Hubbard model in the atomic limit // Phys. Rev. E. 2008. Vol.77. P. 061120.

179. Majumdar S.N., Dhar D. The Sandpiles models.I.// J.Phys. A: Math. Gen. 1991. Vol. 24. P.L357. II.// Physica A. 1992. Vol.185. P. 129.

180. Meester R., Redig F., Znamenski D. The abelian Sandpile: a mathematical introduction// Markov Proc. Rel. Fields.2002.Vol.7. P. 509523.

181. Messager A. On Quantum Phase Transition. I. Spinless Electrons Strongly Correlated with Ions //'J. Stat. Phys. 2002.Vol. 106, N 3-4. P. 723-784.

182. Miekisz J. Classical Lattice-Gas Models of Quasicrystals // J. Stat. Phys. 1999. Vol. 95, N 5-6. P. 835-850.

183. Miekisz J. Many phases in systems without periodic ground states // Communications in Mathematical Physics. 1986. Vol. 107. P. 577-586.

184. Moussa N., Amraoui Y.E., Bekhechi S. et al. Phase behavior of amphiphile-water binary mixtures// Phys. Rev. B. 2000. Vol. 61, N 5. P. 3372-3376.

185. Nardi F.R., Olivieri E„ Zahradnik M. On the Ising Model with Strongly Anisotropic External Field // Journal of Statistical Physics. 1999. Vol. 97, N1-2. P. 87-144.

186. Nielaba P., Lebowitz J.L. Phase Transitions in the Multicomponent Widom-Rowlinson Model and in Hard Cubes on the BCC-Lattice // Physica A.1997. Vol. 244, N 1-4. P. 278-284.

187. Park Y.M. Extension of Pirogov-Sinai theory of phase transitions to infinite range interactions I. Cluster expansion // Communications in Mathematical Physics.1988. Vol. 114, N 2. P. 187-218,219-241.

188. Pecherski E.A. The Peierls (or GPS) condition is not always satisfied// Sel.Math.Sov. 1983. Vol.3. P. 87-91.

189. Peierls R.E. On Ising's model of ferromagnetism.// Proc. Camb. Phyl. Soc. 1936. Vol. 32. P. 477-481.

190. Pfister C.E. On the Nature of Isotherms at First Order Phase Transitions // Lecture Notes for the Kac Seminar. 2004.

191. Pfister C.E., van der Hofstad R. On the Nature of Isotherms at First Order Phase Transitions for Classical Lattice Models // Ensaios Matematicos.2005. Vol. 9. P. 1-90.

192. Presutti E. Liquid-vapour phase transitions // Invited talk at ICMP. London. July 2000.

193. Presutti E. Phase transition in the continuum // Lectures at IHP. Paris. June-July 1998.

194. Presutti E. Phase transitions for point particle systems // Physica A. Statistical mechanics and its applications. 1999. Vol. 263, N1. P. 141-147.

195. Priezzhev V.B. Structure of Two Dimensional Sandpile. I. Height Probabilities/A Stat. Phys.1994. Vol.74, N5-6. P.955-979.

196. Ruelle D. A heuristic theory of phase transitions // Communications in Mathematical Physics. 1977. Vol. 53, N 3. P. 195-208.

197. Ruelle D. Must thermodynamic functions be piecewise analytic? // Journal of Statistical Physics. 1981. Vol. 26, N 2. P. 397- 399.

198. Seiler E. Gauge Theories as a Problem of Constructive Quantum Field Theory and Statistical Mechanics// Lecture Notes in Physics. Vol.159. Berlin: Springer. 1982.

199. Speer E. Asymmetric Abelian Sandpile Models//J. Stat. Phys. 1993. Vol.71. P. 61-74.

200. Swendsen R.H., Wang J.-S. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations// Phys. Rev. Lett. 1987. Vol.58. P.86-88.

201. Shlosman S.B. Correlation Inequalities and Their Applications // J. Sov. Math. 1980. Vol.15, N22. P. 79-101.

202. Styer D.F., Phani M.K. et al. Multiatom interactions in the fee Ising binary alloy: Low-temperature behavior and Monte Carlo simulations // Phys. Rev. B. 1986. Vol. 34. P. 3361-3370.

203. Subramanian В., Lebowitz J.L. The study of a three-body interaction Hamiltonian on a lattice // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. Vol. 32. P. 6239-6246.

204. Siito A., Gruber C., Lemberger P. Phase diagrams of lattice systems with residual entropy. II. Low temperature expansion // Journal of Statistical Physics. 1989. Vol. 56, N 3-4. P. 261-290.

205. Siito A. Phase transition for Ising frustration potentials // Journal of Statistical Physics. 1980. Vol. 23, N 2. P. 203-217.

206. Turchi P.E.A., Finel A. Ordering phenomena in Al-based alloys // Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. P. 702-722.

207. Ueltschi D. Discontinuous Phase Transitions in Quantum Lattice Systems // These EPFL.1998. N 1845.

208. Wojtkiewicz J., Lemanski R. Ground states оГ the Falicov-Kimball model with correlated hopping // Phys. Rev. B. 2001. Vol. 64. P. 233103.

209. Zahradnik M. A short course on the Pirogov-Sinai theory // Rend. Math. Ser. VII. 1998. Vol.18. P. 411-486.

210. Zahradnik M. An alternate version of Pirogov-Sinai theory // Communications in Mathematical Physics. 1984. Vol. 93, N4. P. 559-581.

211. Zahradnik M. Analyticity of low-temperature phase diagrams of lattice spin models// J. Stat. Phys.1987. Vol. 47. P. 725-755.

212. Zahradnik M. Low-temperature phase continuous spin Gibbs states on a lattice and the interfaces between them — a Pirogov-Sinai theory approach// Stat. Mech. and Field Theory: Math. Aspects. 1986. Lect.Not.Phys. Vol.257. P.53-74.