автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Равновесие в арбитражных процедурах

ииз1БЭ127 На правах рукописи

/

Токарева Юлия Сергеевна

РАВНОВЕСИЕ В АРБИТРАЖНЫХ ПРОЦЕДУРАХ

Специальность 05.13.18 — математичесхое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 Ш 2008

Петрозаводск - 2008 г.

003169127

Работа выполнена в Забайкальском государственном гуманитарно-педагогическом университете им Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Мазалов Владимир Викторович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Захаров Виктор Васильевич, заведующий кафедрой математического моделирования

энергетических систем Санкт-Петербургского государственного университета

кандидат физико-математических наук Реттиева Анна Николаевна, н.с лаборатории математической кибернетики Института прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН.Ведущая организация

Южный федеральный университет (г Ростов-на-Дону)

Защита состоится " " .. 200 ? г в I^ часов на заседании

диссертационного совета Д 212 190 03 в Петрозаводском государственном университете по адресу. 185910, г Петрозаводск, пр Ленина, 33

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета '

Д 212 190 03

В В Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Моделирование переговоров является актуальной задачей теории игр. Арбитражные процедуры являются типичным примером моделей переговоров, которые имеют большое практическое значение Арбитраж становится все более часто используемым способом решения спора как в личных, так и в общественных секторах жизни людей В России система арбитражных судов появилась в 1992 г Решения арбитражного суда окончательны, являются обязательными для каждой из сторон и не подлежат обжалованию

Рассмотрим спор между двумя лицами. Наиболее распространены ситуации, которые встречаются в экономике (работник и работодатель, рассматривающие вопрос о размере предполагаемой заработной платы), в моделях рынка (покупатель, желающий купить некоторый товар по более низкой цене, и продавец, целью которого является продажа этого товара по более выгодной цене) и моделях юриспруденции (истец, который пострадал и ожидает некоторой компенсации от ответчика, истец хочет получить как можно больше, ответчик - заплатить как можно меньше)

Данные ситуации можно рассматривать, используя теоретико-игровой подход. Обозначим предложение одного игрока (работника, продавца, истца) через х, а предложение другого игрока (работодателя, покупателя, ответчика) через у В случае, когда игроки не могут достигнуть соглашения самостоятельно, они представляют свой конфликт иа рассмотрение некоторому постороннему лицу - арбитру Считается, что арбитр справедлив к обоим игрокам и действует согласно своим этическим принципам В работе рассматриваются модели, в которых выбор арбитра является случайной величиной г (дискретно или непрерывно

распределенной) Задача игры - найти оптимальное поведение сторон

Наиболее распространены следующие арбитражные схемы с участием одного арбитра согласительный арбитраж, арбитраж по последнему предложению, арбитраж по последнему предложению с бонусом, арбитражная процедура с наказанием, а-арбитраж по последнему предложению, смешанный арбитраж, двойной арбитраж.

Данные виды арбитражных процедур подробно исследованы в работах следующих авторов: К. Chatterjee, Н. Färber, S J. Brams и S Merill, W.F Samuelson, D -Z Zeng.

Цель диссертационной работы заключается в построении математических моделей задач, использующих арбитражные схемы для разрешения конфликта между двумя сторонами, и их исследовании

В работе рассматриваются следующие задачи

1 переговорная задача с арбитражем по последнему предложению,

2. переговорная задача с комбинированными схемами арбитража,

3 многомерная переговорная задача,

4. переговорная задача с использованием арбитражного комитета

Научная новизна работы. Для задачи с арбитражем по последнему предложению найдено равновесие в модели с дискретным распределением мнения арбитра в трех точках. Сделано обобщение на случай распределения мнения арбитра в нечетном

числе точек. Для модели с арбитражем по последнему предложению с поощрением получен вид оптимального решения в смешанных стратегиях

Помимо классических схем арбитража рассмотрены комбинации известных видов арбитража Найдены выигрыш и оптимальные стратегии для двух случаев комбинированного арбитража

- арбитража по последнему предложению в комбинации с арбитражной процедурой с наказанием;

- арбитража по последнему предложению в комбинации с согласительным арбитражем и арбитражной процедурой с наказанием

Построена и исследована математическая модель переговоров двух конкурирующих фирм на строительном рынке, которая является случаем арбитража на плоскости.

Для задачи с арбитражным комитетом, построен общий вид функции выигрыша и найдено равновесие в чистых стратегиях

Практическую ценность работы представляют разработанные в диссертации модели переговоров и найденные оптимальные стратегии поведения

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения.

1. Найдено равновесие в смешанных стратегиях в арбитражной схеме по последнему предложению с участием арбитра, предложения которого имеют дискретное распределение в нечетном числе точек

2 Получено решение в арбитражной процедуре с различным поощрением для каждого из игроков

3. Найдены оптимальные стратегии в комбинированных схемах арбитража

4 Построена и исследована арбитражная модель переговоров на плоскости

5. Найдены выигрыш и оптимальное поведение игроков в случае обращения конфликтующих сторон к арбитражному комитету.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1 Всероссийская научно-практическая конференция „Проблемы прикладной математики", г Чита, ЗабГПУ, 17-19 мая 2004г

2 Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых „Молодежь и наука - третье тысячелетие", г.Красноярск, 16 декабря 2004г

3. VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г Сочи, 1-7 октября 2005г.

4 V Московская международная конференция по исследованию операций, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н Н Моисеева, г Москва, 10-14 апреля 2007г

5. Научный семинар Финляндской школы по системному анализу, принятию решений и рискованному управлению, Финляндия-Швеция, г Хельсинки-г.Стокгольм, 5-7 декабря 2007г

Публикация результатов. Материалы исследований опубликованы в 11 работах, из них - 7 статей [1-7] и тезисы 4 докладов [8-11]

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 55 наименований. Общий объем диссертации составляет 107 страниц, включая 10 таблиц и 23 рисунка.

Содержание работы

Во введении отражена актуальность работы, поставлена цель исследования, обоснована новизна работы, дан краткий исторический обзор проблематики, сформулированы положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации

В первой главе рассматривается задача переговоров с участием арбитра, использующего схему арбитража по последнему предложению Вначале игровая модель исследуется для случая, когда мнение арбитра имеет дискретное распределение в трех точках. Для данной модели находится аналитический вид равновесного решения и выигрыши игроков Затем сделано обобщение на случай распределения мнения арбитра в (2п 4- 1) точке Предложена и решена задача арбитражной процедуры по последнему предложению в виде игры с поощрением победителя для случая распределения мнения арбитра в двух точках

В разделе 11. исследуется переговорная задача с участием одного арбитра, использующего арбитражную процедуру по последнему предложению. Рассматривается следующая модель два игрока -работник (игрок Ь) и работодатель (игрок М) - ведут переговоры об установлении заработной платы работнику. Игрок Ь делает предложение х, а игрок М - предложение у

Арбитр руководствуется схемой арбитража по последнему предложению, в которой функция выигрыша имеет вид Н(х,у) =

ЕНг(х,у), где

' g+y 2 '

если а; <

Hz(x,y) = <

х, еатх> у,\х - z\<\y — z\, у, если а; > у, |х - z\ > \у - z|, z, если х > у,\х — z\ = \у — z\.

(1.1)

Если х < у, то конфликта нет и игроки соглашаются на выплату жалования, равного (х + у)/2 Если же х > у, стороны обращаются к арбитру (А). Обозначим решение арбитра через г Тогда решением конфликта будет являться то из предложений х и у, которое ближе к точке л Предполагаем, что z - дискретная случайная величина, принимающая одно из трех значений (—1, 0, 1) с равными вероятностями р = 1/3 Обозначим игру Гз(Р)

Пусть /(х) и д(у) - смешанные стратегии игроков Ь и М, соответственно Предполагаем, что

Тк задача имеет симметричный вид {f{x) = д{—у)), то достаточно найти оптимальную стратегию для одного из игроков.

Функция выигрыша игрока М при использовании игроком L смешанной стратегии f(x) имеет вид

а

О

О

у€(-а, 0], д(у)> 0, J g{y)dy = 1.

—о

а

-У

а

HU{x),y) = \\f yS{x)dx+ ( /xf(x)dx+ f yf(x)d:

Ix +

0

0

-y

а

+ I х/(х)сЬ

(12)

о

Используя методы теории непрерывных игр, доказана следующая теорема

Теорема 1.1. Оптимальная стратегия игрока Ь в игре Гз(.Р) имеет вид

для а е (§,+оо)

В разделе 1 2 сделано обобщение вышеописанной задачи на случай распределения мнения арбитра в (2п+1) точке Данная игра обозначена как Г(2п+1)(^)

Оптимальные стратегии игроков найдены в следующей теореме.

Теорема 1.2. Оптимальная стратегия игрока Ь в игре Г(2п+1)(^) имеет вид

(1 3)

(1 4)

(15)

О,

/(*) = ] 3

п(п+1) 1

/ . """ ■ ' О 1

^2(2п-Ы) -Ух5' —

В разделе 13 рассмотрена игра с поощрением с функцией выигрыша вида Н(х, у) = ЕНг(х, у), где

Здесь а и /3 - параметры, характеризующие размер поощрения игроков Ь и М, соответственно (а > 0, (3 > 0)

Полагаем, что выбор арбитра - дискретная случайная величина г, принимающая с одинаковыми вероятностями р = | только два значения —1 и 1

Решение данной задачи содержится в следующем утверждении Теорема 1.3. Оптимальная стратегия игрока Ь в игре Г2(^,а,/3) при < л/5 - 2 имеет вид.

если х < у,

Нг{х,у) = -

х + а, если х > у, - г\ < |у - г\, у-0, если х > у, |® - г\ > |у - г|, г, если х > у, |х — г\ = \у — г\

(1 7)

0,

0 < х < с,

с < х < с + 2,

(1 8)

ч

с + 2<х<с + 4. с + 4 < х < +оо,

где с = у/5 - 2 -

Ожидаемый выигрыш при использовании игроками оптимальных стратегий равен Н(/($),у) =

В разделе 14 представлены результаты численного моделирования арбитражной процедуры по последнему предложению с распределением мнения арбитра в трех точках и арбитражной схемы с поощрением Моделировалась следующая ситуация игрок Ь действует оптимально, а игрок М использует в качестве стратегии нормальное или равномерное распределение Для различных параметров данных распределений получен средний выигрыш игрока Ь (в 10 ООО партиях) Результаты согласовываются с полученными аналитическими результатами и показывают, что игрок, не использующий оптимальную стратегию, получает меньший выигрыш, чем при использовании оптимальной смешанной стратегии

Во второй главе исследуются комбинированные схемы арбитража для двух случаев дискретного и непрерывного распределения выбора арбитра

В разделе 21 исследован случай, когда выбор арбитра является дискретной случайной величиной, принимающей только два значения —1 и 1 Арбитр с вероятностью р руководствуется арбитражем по последнему предложению (1.1) и с вероятностью (1 — р) использует арбитраж с наказанием с функцией выигрыша вида Н(х,у) = ЕНг(х,у), где

' Х+У 2 >

если х < у,

Нг(х,у) = <

2г - у, если х > у, \х - г\ < \у — 2г — х, если х > у,\х - г\> \у — г\, г, если х > у, \х - г\ = |у -

(2 1)

Обозначим данную игру Гбг (-Р, р) ■ Доказана следующая теорема

Теорема 2.1 .Прире оптимальная стратегия игрока

£ в игре имеет вид.

/(х) = '

О,

если 0 < а; < с, если с < х < с + 2,

если с + 2<х<с + 4.

(2 2)

0.

если с + 4 < х < +оо,

где с = >/4(2р - I)2 + 1 - 2

В разделе 2 2 рассмотрен случай с непрерывным распределением мнения арбитра на отрезке С вероятностью р арбитр использует арбитражную процедуру по последнему предложению (11), с вероятностью ц - согласительный арбитраж с функцией выигрыша вида Н(х,у) = ЕНг(х,у), где

и с вероятностью (1 — р — д) руководствуется арбитражем с наказанием (2 1)

Функция выигрыша в данной игре ГСС(Е,р,д) определяется следующим образом:

Нх{х,у) =

если х < у, х, если х > у,

(2 3)

а

а

+(1 -р-д) I (2г - хУ(г)<1г + / (2г - у)/(г)<1г (2 4)

а

Оптимальное решение задачи найдено в чистых стратегиях Теорема 2.2. В игре Гд) ситуация

образует равновесие по Нэшу

В разделе 3.3 представлены результаты численного моделирования комбинированной арбитражной процедуры Игрок Ь играет оптимально Игрок М в качестве своей стратегии использует равномерное или нормальное распределения с различными параметрами Получен средний выигрыш игрока Ь (за 10 000 партий), проведено сравнение полученных результатов с результатами численного моделирования задач первой главы.

Третья глава посвящена исследованию многомерных моделей задач переговоров

В разделе 3 1 построена и исследована арбитражная модель переговоров на плоскости Пусть имеются две различные фирмы (I игрок и II игрок), предлагающие свои услуги по строительству некоторого объекта В городскую администрацию поступил заказ на строительство здания. Первая фирма может построить здание по цене XI за время у\, а вторая - по цене яг за время у2.

Полагаем, что выбор арбитра есть двумерная случайная величина г, распределенная на единичном круге в полярных координатах с плотностью вероятности /(г, в) Цель игроков -получить заказ. На плоскости предложению игрока I ставим в

(2 5)

соответствие точку (х\,у\), предложению игрока II - точку (2:2,г/г); а выбору арбитра - точку А Заказ получает та фирма, точка которой оказывается ближе к точке А, чем соответствующая точка конкурирующей фирмы.

Тогда выигрыши фирм I и II могут быть представлены функциями.

Я2 (гьвь га, 02) = Л2 (га, 02) • /х (тг - ЯО = Ь2 (га, 92) (1 - /х (50),

(3 1)

где д(5,) = //(г,в)(1г(1в - мера множества 5„ г, - радиус-«

вектор точки (хг,у,), в1 - угол между осью ОХ и радиус-вектром г,, Л, (г1,в1) - выигрыш, который получит г-ая фирма, если ее предложение окажется ближе к мнению арбитра. Найдем равновесные точки из равенства

,№) + 2£йи<г.Л>-0 (32)

Рассмотрим различные случаи распределения выбора арбитра Первый случай, когда плотность распределения случайной величины г - выбора арбитра - в полярной системе координат имеет вид

/М) = Н1(3 3)

7Г

Полагаем, что первая фирма максимизирует х, а вторая -у

Тогда выигрыши игроков будут определяться следующим образом-

Я1=Х1(1-/х(52) = Г1(1-М(52),

Я2 = = г2/хО&) (3 4)

Решение данной задачи дает г, = Следовательно,

оптимальные стратегии

XI = 2/1 = 0, (при 01 = 0),

= 0, т = (при е2 = -) (3 5)

При этом, ожидаемый выигрыш равен Н — Во втором случае плотность распределения выбора арбитра подчинена следующему закону

/(г, в) = а + | (я-"1 - в) г, (3 6)

где а - произвольное действительное число Пусть первая фирма максимизирует (у — я), а вторая - (х — у) Тогда выигрыши игроков определяются следующим образом

Я1 = (у1-Х1)(1-р(52)), Я2 = (®а - ЫМй) (3 7)

В данной модели условие оптимальности дает

2тг 1 + 7га

(3 8)

1Г "

откуда

^2тг У2тг Зтг.

= 'и«12/1 = ттт: (при = Т")'

1 + тга 1 + 7г<2 4

. 7Г

«2 = 7~-, У2 = -Т-- (при 02 = -7)

1 + тга 1+тта 4

При этом, ожидаемый выигрыш фирмы равен Н = ■ В силу условия г > 0 на а накладывается ограничение а > -

В разделе 3 2 рассматривается ситуация, когда игроки - истец (игрок Ь) и ответчик (игрок М) - обращаются для разрешения конфликта к арбитражному комитету, состоящему из п членов

Мнение каждого г-го члена комитета представляет собой случайную величину г1 с непрерывным распределением Г, (г = 1,п). Предположим, что при выборе игрока-победителя комитет использует правила арбитражной процедуры по последнему предложению Каждый член комитета, заслушав предложения игроков, решает, какое из предложений оказывается ближе к его мнению. Выигрывает тот игрок, предложение которого оказалось ближе к мнениям большинства членов комитета

Если комитет состоит из трех членов (п = 3), мнения которых есть случайные величины г\, 22, гз с функциями распределения -Рг, Рз, соответственно, то функция выигрыша имеет вид

н(х, у) = у + (1 - ад + Я (1 - Г3+

(1 - + х [(1 - Я) (1 - Р2) (1 - Я,) +

(1 - Я) (1 - Я) + (1-Ъ)Ъ(1- Гз) +

+ (1-^)(1-Р2)Г3] (3 9)

Полагаем, что медианы всех распределений Р, равны тп Тогда оптимальные чистые стратегии игроков вычисляются по формуле.

х* = т +

(3 10)

у* =т- -5-1—,

=1

где /, - плотности распределения функции

Если комитет состоит из п членов, где п - нечетно, то игрок-победитель определяется большинством голосов Если число членов комитета четное, то в ситуации, когда мнения членов комитета разделились поровну, будем полагать в качестве решения {х+у)/2. В остальных случаях руководствуемся правилом большинства голосов, как и с нечетным количеством членов арбитражного комитета

Если медианы всех распределений (г = 1,п) равны т, то оптимальные стратегии игроков имеют вид:

Iх* - 771 + 4С'„1(т)

I у* = т - ,

(311)

где

С'п(т) =

п-1 П

Сп1х ^г 2 /»(т), если п - нечетное число,

г=1 п

си ■ ¡¡г £ /((т), если п - четное число. 1=1

(3 12)

В частности, если мнение каждого г-го члена комитета распределено по нормальному закону ^ (г = 1,п) с математическим ожиданием тп и средним квадратическим отклонением ст, (г = 1,тг), то (3 12) приобретает вид

=

т.-1 П

Сп"37 £ если п - нечетное число

г=1 '

- "

Сп-1 ■ Т^Г Е если п - четное число

1=1

В разделе 3 3 исследована модель арбитражного комитета с неизвестными параметрами распределения

Предполагаем, что игрокам известно, что мнения арбитров имеют нормальное распределение с известным математическим ожиданием

т и неизвестным средним квадратическим отклонением <т, (г = 1, и).

В свою очередь, <т, - независимые одинаково распределенные случайные величины Тогда оценим интервал, определяемый оптимальными стратегиями

п

Е-

(314)

где

Сп =

Г п~1

I • , если п - нечетное число,

2Сп-\ , если п - четное число.

Для ст,, равномерно распределенных на интервале [0,1], математическое ожидание равно

Е[х--у'} = ±1 Пе-^сА ей.

(3 15)

В разделе 3 4. приведены результаты, полученные в ходе численного моделирования арбитража на плоскости и задачи с арбитражным комитетом Один из игроков использует оптимальную стратегию, а второй в качестве стратегии - нормальное или равномерное распределения Полученные данные показывают, что средний выигрыш игрока (для 10 ООО партий), не использующего оптимальную стратегию, меньше оптимального выигрыша При моделировании задачи с арбитражным комитетом использовалась схема с тремя арбитрами, мнения которых распределены по нормальному закону с математическим ожиданием ш = 0 и различными ст, (г = 1,3). В предположении, что <т, равномерно

распределены на отрезке [0,1], вычислен средний выигрыш игрока L, который использовал оптимальную стретегию Показано, что если второй игрок использует в качестве стратегии не оптимальное распределение (нормальное или равномерное), то выигрыш игрока L возрастает

Список опубликованных работ по теме диссертации

Статьи

[1] Токарева Ю.С. Решение игры переговоров в условиях арбитража // Молодая наука Забайкалья: аспирантский сборник Ч 2. - Чита Изд-во ЗабГПУ, 2005 - С. 125-128

[2] Токарева ЮС О дискретной арбитражной схеме с двумя предложениями // Математический анализ и его приложения сборник статей. - Чита- Изд-во ЗабГГПУ, 2006 -Вып 6 - С 44-49

[3] Менчер А Э , Токарева ЮС О дискретной арбитражной процедуре в четырех точках / / Вестник Бурятского государственного университета - 2007 - № 6 - С 37-40, (вклад диссертанта 50%)

[4] Менчер А.Э., Токарева Ю.С. Об одной дискретной арбитражной схеме / / Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14, Вып. 3. - С. 417-420, (вклад диссертанта 50%).

[5] Mazalov V.V , Mentcher А Е , Tokareva J S On a Discrete Arbitration Procedure in Three Points // Game Theory and Applications -

New-York Nova Science Publishers, 2005 - Vol 11 - P. 87-91, (вклад диссертанта 30%)

[6] Mazalov V.V , Mentcher A E , Tokareva J S. On A Discrete Arbitration Procedure // Scientiae Mathematica Japomca - 2006 - № 3 - P 325-330, (вклад диссертанта 30%).

[7] Mazalov V.V , Tokareva J S. Equilibrium m Combined Arbitration Procedure // Proceedings of The Second International Conference on Game Theory and Applications (China, Qmgdao, 17-19 September, 2007) - World Academic Union, 2007 -P 186-188, (вклад диссертанта 50%)

Тезисы докладов

[8] Менчер А Э , Токарева ЮС Об одной игре переговоров в условиях арбитража // Тезисы докладов всероссийской научно-практической конференции "Проблемы прикладной математики" (г Чита, 17-19 мая 2004г). - Чита Изд-во ЗабГПУ, 2004 - С. 40-42, (вклад диссертанта 50%)

[9] Токарева Ю С Игра "наемник-работодатель"// Сборник материалов всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука - третье тысячелетие"(г.Красноярск, 16 декабря 2004г) - Красноярск, 2004 -С 328-330

[10] Мазалов В В , Менчер А Э , Токарева Ю.С Об одной дискретной арбитражной процедуре // Обозрение прикладной и промышленной математики (Тезисы докладов VI Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике) - М Редакция журнала "ОПиПМ", 2005 - Т. 12, Вып. 3 - С 749-750,

(вклад диссертанта 30%)

[11] Мазалов В В , Токарева Ю С Комбинированная схема арбитражной процедуры // Труды V Московской международной конференции по исследованию операций, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Моисеева (г.Москва, 10-14 апреля 2007г). - М. МАКС Пресс, 2007 - С 284-285, (вклад диссертанта 50%)

Формат 60x84 V16 Бумага офсетная Гарнитура «Times» Уч-изд л 1,0 Уел печ л 1,3 Подписано в печать 15 04 08 Тираж 100 экз Изд №68 Заказ №722

Карельский научный центр РАН Редакционно-издательский отдел 185003, Петрозаводск, пр А Невского, 50

Введение

1. Арбитражная процедура по последнему предложению

1.1. Дискретная схема в трех точках.

1.2. Дискретная схема в (2п + 1) точке.

1.3. Арбитражная процедура с поощрением.

1.4. Имитационные модели дискретных арбитражных процедур

2. Комбинированные арбитражные схемы

2.1. Арбитражная схема с дискретным распределением.

2.2. Арбитражная схема с непрерывным распределением

2.3. Сравнение различных арбитражных схем.

3. Многомерные арбитражные процедуры

3.1. Арбитражная процедура на плоскости.

3.2. Арбитражная процедура с использованием комитета из нескольких членов

3.3. Оценивание параметров арбитражной процедуры с неполной информацией

3.4. Численные модели арбитражных процедур.

Актуальность темы.

Моделирование переговоров является актуальной задачей теории игр. Эта проблема имеет как теоретический, так и практический интерес. Задача переговоров впервые была сформулирована Эджвортом [35]. Существуют несколько основных моделей переговоров, а именно:

- арбитражная схема Нэша и Калаи-Смородински [48,51,52];

- многошаговые схемы переговоров Рубинштейна [50];

- переговоры с последовательностью случайных предложений [44,53];

- голосование в переговорном процессе [37,45].

Арбитраж становится все более часто используемым способом решения спора как в личных, так и в общественных секторах жизни людей. Система арбитражных судов в России появилась в 1992 г. Решения арбитражного суда окончательны, являются обязательными для каждой из сторон и не подлежат обжалованию.

Рассмотрим спор между двумя лицами. Наиболее распространены следующие ситуации:

- работник и работодатель, рассматривающие вопрос о выплате предполагаемой заработной платы;

- покупатель, желающий купить некоторый товар по более низкой цене, и продавец, целью которого является продажа этого товара по более выгодной цене;

- истец, который пострадал и ожидает некоторой компенсации от ответчика. Истец хочет получить как можно больше, ответчик заплатить как можно меньше.

Данные ситуации можно рассматривать, используя теоретико-игровой подход. Обозначим предложение одного игрока (работника, продавца, истца) через х, а предложение другого игрока (работодателя, покупателя, ответчика) через у. В случае, когда игроки не могут достигнуть соглашения самостоятельно, они представляют свой конфликт на рассмотрение некоторому постороннему лицу - арбитру. Считается, что арбитр "справедлив" к обоим игрокам и действует согласно своим этическим принципам. Пусть выбор арбитра является случайной величиной (дискретно или непрерывно распределенной) - z. Задача игры - найти оптимальное поведение сторон. Как доказано на практике, личные ораторские способности и "умение подобрать наиболее убедительную для суда аргументацию" любой из конфликтных сторон влияют на решение суда. Поэтому встает проблема возможности рекомендовать конфликтным сторонам поведение, достаточно близкое к оптимальному, чтобы свести к минимуму "роль индивидуального искусства стороны" [5,6].

Согласно [15], арбитражная функция должна удовлетворять некоторым требованиям.

Вот некоторые из них:

- каждый из игроков должен получить столько же, сколько он мог бы получить, не обращаясь к арбитру, и "оба игрока не должны предпочитать арбитражному решению никакой другой возможный платеж";

- арбитражная схема не должна зависеть от личностей участников конфликта;

- близкие по ситуации игры должны иметь похожие арбитражные решения.

Рассмотрим некоторые из существующих арбитражных схем с участием одного арбитра.

Согласительный арбитраж - это наиболее традиционная процедура разрешения спора. Основываясь на предложениях спорящих сторон, третий участник - арбитр - навязывает игрокам окончательное решение, которое считает справедливым со своей точки зрения. В этой игре функция выигрыша имеет вид Н(х,у) = EHz(x,y), где

Hzfay) = < если x < у, если х > у, i) а Е - математическое ожидание по распределению случайной величины г.

Арбитраж по последнему предложению был предложен Стивен-сом в 1966 году. К этой процедуре в основном обращаются для решения вопроса об установлении заработной платы наемным работникам или о размере контрактов профессиональных спортсменов. По данной схеме принимается то предложение, которое оказывается ближе к выбору арбитра. В этом случае функция выигрыша имеет вид Н{х, у) = EHz(x, у), где

Hz{x,y) = < г^, если х < у, х, если х > у, \х — z\ < \у — z|, если х > у,\х — z\ > \у — z|, п) z, если х > у, \х — z\ = \у — z|. Арбитраж по последнему предложению с бонусом. Отличие от вышеописанной процедуры здесь в том, что победитель получает бонус, который платится проигравшим игроком и который равен разнице между предложениями соперников. В этом случае выигрыш есть математическое ожидание от функции х+У 2 ' если х < у.

Hz(x,y) - < х + \х — у\, если х > у,\х — z\ < \у — z\ у — \х — у\, если х > у,\х — z\ > \у — z\ in) z, если х > у, \х — z\ = \у — z\.

Арбитражная процедура с наказанием была представлена Зенгом в 2002 г. [55]. По данной схеме для определения решения спора используется предложение, которое оказывается дальше от предложения арбитра. Функ-ция выигрыша имеет вид Н(х,у) = EHz{x, у), где если х < у,

Н2(х,у) = <

2z — у, если х > у,\х — z\ < \у — z|, 2z — ж, если х > у, \х — z\ > \у — z|,

IV) г, если х > у, \х — zj = \у — z|.

Таким образом, проигравший, как дающий более крайнее предложение, наказывается. а-арбитраж по последнему предложению также был предложен и исследован Зенгом [55]. Согласно данной процедуре, окончательное решение есть математическое ожидание от функции

Х+У 2 ' если х < ?/,

1 + — да/, если ж > у, \х — z\ < \у — z

Hz(x,y,a) = <

СУ)

1 + — аж, если х > у, \х — z\ > \у — z если х > у,\х — z\ = \у — z\ где а > 0. Если а < 1, наказание смягчается, а если а > 1 - ужесточается. Наказание исчезает, если а = 0 и мы приходим к случаю согласительного арбитража.

Модель согласительного арбитража и арбитража по последнему предложению наиболее широко исследованы в работах следующих авторов: К. Chatterjee [34], Н. Farber [36], S.J. Brams и S. Merill [31, 32, 33], W.F. Samuelson [54].

Смешанный арбитраж был представлен в 1986 г. для улучшения арбитража по последнему предложению [33]. Правила его следующие: если решение арбитра лежит между предложениями соперников, то решением игры является предложение, близкое к z, как и в арбитраже по последнему предложению; если г не лежит между предложениями, то применяется согласительный арбитраж.

В двойном арбитраже каждый игрок делает два предложения. (iM) Ум) -первичное и вторичное предложения игрока М, (xl, уь) ~ предложения игрока L. Если для первичных предложений справедливо (xl < хм), то в качестве решения принимается их полусумма XM+XL} если нет, но xl > хм и уь < Ум, то арбитр проводит решение Ум+Уь. В случае, когда ни одно из вышеперечисленных условий не выполняется, арбитр оценивает предложения, используя критериальную функцию для г-го игрока (г = L, М): С{ = A \yi — Xi\ + (1 — X)(yi — z) и выбирает игрока с наименьшим Q как победителя. Здесь A G (0,1) - это константа, определенная арбитром и объявленная заранее.

Данная схема была рассмотрена в 1995г. в работе следующих авторов: D.-Z. Zeng, S. Nakamura, Т. Ibaraki [55]. Двойные предложения объяснялись так: первичное предложение обозначает требование игрока по данному вопросу, а вторичное предложение выражает его мнение о справедливом решении.

Если хотя бы одна из конфликтующих сторон не уверена в независимости решения одного арбитра, то для разрешения спора можно использовать арбитражный комитет. В России, согласно федеральному закону, его состав утвержден в количестве 12 человек. В США и других странах его состав может варьироваться в зависимости от характера обвинения и строгости возможного приговора [12].

Цель диссертационной работы заключается в построении математических моделей задач, использующих арбитражные схемы для разрешения конфликта между двумя сторонами, и нахождении оптимального поведения этих сторон. В работе рассматриваются следующие задачи:

1. переговорная задача с арбитражем по последнему предложению;

2. переговорная задача с комбинированными схемами арбитража;

3. многомерная переговорная задача;

4. переговорная задача с использованием арбитражного комитета. Научная новизна работы.

Для задачи с арбитражем по последнему предложению найдено равновесие в модели с дискретным распределением мнения арбитра в трех точках. Сделано обобщение на случай распределения выбора арбитра в (2п + 1) точке. Для модели с арбитражем по последнему предложению с поощрением получен вид оптимального решения в смешанных стратегиях.

Помимо классических схем арбитража рассмотрены комбинации известных видов арбитража. Найдены выигрыш и оптимальные стратегии для двух случаев комбинированного арбитража:

- арбитража по последнему предложению в комбинации с арбитражной процедурой с наказанием;

- арбитража по последнему предложению в комбинации с согласительным арбитражем и арбитражной процедурой с наказанием.

Построена и исследована математическая модель переговоров двух конкурирующих фирм на строительном рынке, которая является случаем арбитража на плоскости.

Для случая применения арбитражного комитета с п членами построен общий вид функции выигрыша, найдено равновесие в чистых стратегиях.

Практическую ценность работы представляют разработанные в диссертации модели переговоров и найденные оптимальные стратегии поведения.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:

1. Найдено равновесие в смешанных стратегиях в арбитражной схеме по последнему предложению с участием арбитра, предложения которого имеют дискретное распределение в (2п + 1) точке.

2. Получено решение в арбитражной процедуре с различным поощрением для каждого из игроков.

3. Найдены оптимальные стратегии в комбинированных схемах арбитра

Ж8).

4. Построена и исследована арбитражная модель переговоров на плоскости.

5. Найдены выигрыш и оптимальное поведение игроков в случае обращения конфликтующих сторон к арбитражному комитету, состоящему из п членов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Всероссийская научно-практическая конференция „Проблемы прикладной математики", г.Чита, ЗабГПУ, 17-19 мая 2004г.

2. Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых „Молодежь и наука - третье тысячелетие", г. Красноярск, 16 декабря 2004г.

3. VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Сочи, 1-7 октября 2005г.

4. V Московская международная конференция по исследованию операций, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева, г.Москва, 10-14 апреля 2007г.

5. Научный семинар Высшей школы Системного анализа, принятия решений и рискованного управления, Финляндия-Швеция, г.Хельсинки-г.Стокгольм, 5-7 декабря 2007г.

По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них - 7 статей [19,20,29,30,42,46,47] и тезисы 4 докладов [16,17,21,28].

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения,

Заключение

В работе представлены результаты исследования моделей переговоров между двумя сторонами с участием одного арбитра и арбитражного комитета. Для всех рассмотренных в диссертации задач найдены оптимальные стратегии поведения и вычислен ожидаемый выигрыш. Полученные результаты носят как теоретический, так и прикладной характер.

Получены следующие результаты:

1. Решена задача арбитража по последнему предложению в случае, когда выбор арбитра подчиняется дискретному распределению в (2п +1) точке. В данном случае оптимальные стратегии игроков смешанные.

2. Решена задача арбитража по последнему предложению с поощрением в виде некоторой суммы для каждого из игроков. В игре данного типа арбитр с одинаковой вероятностью может принимать только два значения: -1 и 1. Данная задача имеет решение в смешанных стратегиях.

3. Исследованы две модели переговоров, использующие комбинированные схемы арбитража. Найдены оптимальные стратегии в смешанном виде для случая, объединяющего арбитраж по последнему предложению и арбитраж с наказанием, и чистые оптимальные стратегии для случая с непрерывным распределением, соединяющего три вида арбитража: арбитраж по последнему предложению, согласительный арбитраж и арбитраж с наказанием.

4. Построена и исследована математическая модель переговоров двух конкурирующих фирм на строительном рынке. Отличительной особенностью модели является то, что распределение арбитра сосредоточено на плоскости в круге. Дана общая постановка задачи и ис- / следованы два частных случая с плотностями распределения арбитра.

5. Рассмотрена задача, в которой для разрешения конфликта между сторонами используется не один арбитр, а комитет из п членов. Найдено аналитическое выражение функции выигрыша и оптимальные стратегии для произвольного числа арбитров.

6. В рамках диссертационного исследования проведено численное моделирование ситуаций, рассмотренных в работе. Полученные результаты подтверждают теоретические выводы: игрок, не использующий оптимальную стратегию, получает меньший выигрыш.

1. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц / К. Берж. М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961. - 128 с.

2. Блэкуэлл Д. Теория игр и статистических решений / Д. Блэкмэлл, М.А. Гиршик. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. - 375 с.

3. Вентцель Е.С. Элементы теории игр / Е.С. Вентцель. М.: Физматгиз, 1961. - 67 с.

4. Вильяме Дж.Д. Совершенный стратег / Дж.Д. Вильяме. М.: Советское радио, 1960. - 269 с.

5. Воробьев Н.Н. Теория игр: лекции для экономистов-кибернетиков / Н.Н. Воробьев. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1974. - 160 с.

6. Воробьев Н.Н. Приложения теории игр / Н.Н. Воробьев. Вильнюс, 1971. - 118 с.

7. Горелик В.А. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколо-го-экономических системах / В.А. Горелик, А.Ф. Кононенко. М.: Радио и Связь, 1982. - 144 с.

8. Данилов В.И. Лекции по теории игр / В.И. Данилов. М.: Российская экономическая школа, 2002. - 140 с.

9. Дюбин Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 336 с.

10. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. М.: Прогресс, 1975. - 602 с.

11. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике / С. Карлин. М.: Мир, 1964. - 838 с.

12. Коломенская С. Состав и численность коллегии присяжных заседателей в США / С. Коломенская // Российская юстиция. 2007. - № 9, сентябрь. - С. 68-70.

13. Косоруков О.А. Исследование операций: учебник / О.А. Косоруков, А.В. Мищенко. М.: Экзамен, 2003. - 448 с.

14. Крушевский А.В. Теория игр / А.В. Крушевский. Киев: Вища школа, 1977. - 216 с.

15. Льюс Р.Д. Игры и решения: Введение и критический обзор / Р.Д. Льюс, X. Райфа. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. -642 с.

16. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр / Дж. Мак-Кинси. М".: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1960. - 420 с.

17. Менчер А.Э. О дискретной арбитражной процедуре в четырех точках / А.Э. Менчер, Ю.С. Токарева // Вестник Бурятского государственного университета. 2007. - № 6. - С. 37-40.

18. Менчер А.Э. Об одной дискретной арбитражной схеме / А.Э. Менчер, Ю.С. Токарева // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала "ОПиПМ", 2007. - Т. 14, Вып. 3. - С. 417420.

19. Менчер А.Э. Об одной игре переговоров в условиях арбитража /

20. А.Э. Менчер, Ю.С. Токарева // Тезисы докладов всероссийской научно-практической конференции "Проблемы прикладной математики" (г. Чита, 17-19 мая 2004г.). Чита: Изд-во ЗабГПУ, 2004. - С. 4042.

21. Муллен Э. Теория игр с примерами из математической экономики / Э. Муллен. М.: Мир, 1985. - 200 с.

22. Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. Нейман, О. Моргенштерн. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.

23. Оуэн Г. Теория игр / Г. Оуэн. М.: Мир, 1971. - 230 с.

24. Партхасаратхи Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц / Т. Партхасаратхи, Т. Рагхаван. М.: Мир, 1974. - 296 с.

25. Петросян JI.A. Теория игр: учебное пособие для студентов университетов, обучающихся по специальности „Математика" / JI.A. Петросян, Н.А. Зенкевич, Е.А. Семина. М.: Высшая школа, 1998. - 304 с.

26. Саиттараев С.С. Элементы теории игр: учебное пособие / С.С. Саит-гараев. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2001. - 76 с.

27. Токарева Ю.С. О дискретной арбитражной схеме с двумя предложениями / Ю.С. Токарева // Математический анализ и его приложения: сборник статей. Чита: Изд-во ЗабГГПУ, 2006. Вып. 6. - С. 44-49.

28. Токарева Ю.С. Решение игры переговоров в условиях арбитража / Ю.С. Токарева // Молодая наука Забайкалья. Ч. 2: аспирантский сборник. Чита: Изд-во ЗабГПУ, 2005. - С. 125-128.

29. Brams S.J. Negotiation Games: Applying Game Theory to Bargaining and Arbitration / S.J. Brams. New York: Routledge, 1990. - 280 p.

30. Brams S.J. Equilibrium Strategies for Finall-Offer Arbitration: There Is No Median Convergence /S.J. Brams , S. Merill // Management Science.- 1983. Vol. 29, № 8.

31. Brams S.J. Binding Versus Final-Offer Arbitration: A Combination Is Best /S.J. Brams, S. Merill // Management Science. 1986. - Vol. 32, № 10.

32. Chatterjee K. Comparison of arbitration procedures: Models with complete and incomplete information / K. Chatterjee // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. 1981. - Vol. 11, № 2. - P. 101-109.

33. Edgeworth F.Y. Mathematical Psychics: An Essay on the Application of

34. Mathematics to the Moral Sciences / F.Y. Edgeworth. London: Kegan Paul, 1881.

35. Farber H. An analysis of final-offer arbitration / H. Farber // Journal of conflict resolution. 1980. - Vol. 24, № 4 - P. 683-705.

36. Ferguson T. Selection by Committee / T. Ferguson // Advances in Dynamic Games. 2005. - Vol. 7. - P. 203-209.

37. Gibbons R. A Primer in Game Theory / R. Gibbons. Printice Hall, 1992.

38. Kilgour D.M. Game-theoretic properties of final-offer arbitration / D.M. Kilgour // Group Decision and Negot. 1994. - № 3. - P. 285-301.

39. Mazalov V.V. Equilibrium in an arbitration procedure / V.V. Mazalov, A.A. Zabelin // Annals of Dynamic Games. 2004. - Vol. 7. - P. 151-162.

40. Mazalov V.V. Equilibrium in an arbitration game / V.V. Mazalov, A.A. Zabelin, A.S. Karpin // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics. 2002. - P. 41-46.

41. Mazalov V. Location Game on the Plane / V. Mazalov, M. Sakaguchi // International Game theory Review. 2003. - Vol. 5, № 1. - P. 13-25.

42. Mazalov V. V. Multistage arbitration game with random offers / V. V. Mazalov, M. Sakaguchi, A.A. Zabelin // Game Theory and Applications. -N.Y.: Nova Science Publishers, 2002. P. 95-106.

43. Mazalov V.V. N-person best-choice game with voting / V.V. Mazalov, M.V. Banin // Game Theory and Applications. 2003. - Vol. 9. - P. 45-54.

44. Mazalov V.V. On A Discrete Arbitration Procedure / V.V. Mazalov, A.E. Mentcher, J.S. Tokareva // Scientiae Mathematica Japonica. 2006.- № 3. P. 325-330.

45. Mazalov V.V. On a Discrete Arbitration Procedure in Three Points / V.V. Mazalov, A.E. Mentcher, J.S. Tokareva // Game Theory and Applications. New-York: Nova Science Publishers, 2005. - Vol. 11. - P. 8791.

46. Nash J.F. The Bargaining Problem / J.F. Nash // Econometrica. 1950.- Vol. 18. P. 150-162.

47. Osborne M.J. Solution Manual For a Course in Game Theory / M.J.Osborne, A.Rubinstein. London: MIT Press, 1994. - 58 p.

48. Rubinstein A.A. Bargaining Model with Incomplete Information about

49. Preferences / A.A. Rubinstein // Econometrica. 1985. - Vol. 50.1. P. 1151-1172.

50. Sakaguchi M. A Non-Zero-Sum Repeated Game Criminal vs. Police / M. Sakaguchi // Math. Japonica. - 1998. - Vol. 48. - P. 427-436.

51. Sakaguchi M. A sequential Game of Multi-Opportunity Infiltration / M.Sacaguchi // Math. Japonica. 1994.- Vol. 3. - P. 157-166.

52. Sakaguchi M. A Time-Sequential Game Related to an Arbitration Procedure / M. Sakaguchi // Math. Japonica. 1984. - Vol. 29, № 3. -P. 491-502.

53. Samuelson W.F. Final-Offer Arbitration under Incomplete Information / W.F. Samuelson // School of Management, Boston University, preprint.

54. Zeng D.-Z. Double-offer arbitration / D.-Z. Zeng, S. Nakamura, T. Ibara-ki // Mathematical Social Sciences. 1996. - № 31. - P. 147-170.