автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Расчет оптимальных режимов гашения колебаний механических систем

На-прЗвах рукописи

Асланов Сергей Жамболатович

Расчет оптимальных режимов гашения колебаний механических систем

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 3 ОНТ 2011

Москва -

2011

4856846

Работа выполнена в ГОУ ВПО «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете имени К.Э. Циолковского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Михайлов Игорь Ефимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Гурненков Анатолий Андреевич,

кандидат физико-математических наук, Махмудов Агабей Агасалим Оглы

Ведущая организация: Международный Университет природы,

общества и человека «Дубна»

Защита состоится «2 ^ииЛА^Л 2011 г. в 1А ч. на засе-

дании диссертационного совета Д 212.110.08 при «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете имени К.Э. Циолковского, расположенном по адресу: 121552, Москва, ул. Оршанская, д. 3, ауд. 612а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ» - Российского государственного технологического университета имени К.Э. Циолковского. *

Автореферат разослан «Ж» с^уилЛуидХ 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.110.08 кандидат физико-математических наук

Спыну М.В.

Общая характеристика работы

Колебания струн описываются гиперболическим уравнением

^f = a2^ + g{t,x), 0 <t, О <х<1, а = const. (1)

Начальные данные, в нашем случае начальные отклонение и скорость:

= hi(x), а; €(0,0, (2)

ду

y\t=o = h0{x), —

t=о

будем рассматривать как начальные возмущения. На границах Г струн могут быть наложены различные граничные условия, в частности, условия закрепления

у|аг=о = у\х=1 = 0 (3)

Энергия колеблющейся струны в момент времени I задается интегралом

I

ЕЮ=[(У1(1,х) + У^,Х))<1Х (4)

о

В работе рассматривается проблема демпфирования (гашения) колебаний, т.е. следующая задача демпфирования (задача Б): найти управляющую функцию д(Ь,х) (из некоторого класса), позволяющую полностью погасить начальные возмущения (2) за конечное время Т > 0:

Е{Т) = 0; (5)

Следуя Ж.-Л. Лионсу будем называть такую ситуацию строгой управляемостью.

Актуальность темы. Задачи гашения колебаний, и, в частности, колебаний тонких длинных и тонких круглых элементов, актуальны в силу многочисленных технических приложений. При создании новых космических комплексов в мировой практике все более широкое применение находят космические платформы (КП), на которых размещаются различного вида полезные нагрузки. Сами КП имеют каркасную конструкцию, кроме того, в большинстве проектов КП имеются выносные конструкции, такие, например, как антенные устройства или панели солнечных батарей. На борту КП размещаются приборы и агрегаты технологических систем, которые могут быть источниками механических возмущений, способствующих возникновению вынужденных упругих колебаний составных частей КП. Кроме того, эти колебания могут возникать после соударения стыковочных механизмов. Это вызывает влияние на пространственную устойчивость КП

и отрицательно влияет на работу установленных на ней приборов. Поэтому гашение таких колебаний представляет собой важную прикладную задачу.

Другим примером может служить случай с двухкилометровы мостом в Волгограде, на котором 20 мая 2010 года по неизвестным причинам возникли колебания аплитудой до 1 метра, угрожавшие разрушением моста и остановившие движение транспорта на несколько дней.

Цель и задачи исследования. Основной целью данной работы является разработка методов демпфирования колебаний тонкой струны и тонкой круглой мембраны с помощью точечного движущегося демпфера, а также неподвижного демпфера конечной ширины. Последний случай является более приближенным к практической реализации. В качестве граничных условий для струны рассматривается случай, когда оба конца струны закреплены, и случай, когда правый конец не закреплен. Для мембраны также рассматриваются варианты с закрепленной и незакрепленной внешней границей. В центре круглой мембраны всегда действует условие симметрии.

Также целью данной работы является выбор наилучшего численного метода, позволяющего найти оптимальное управление, сводящее энергию колеблющейся струны и мембраны к нулю за конечное время Т. При этом необходимым является нахождение оптимальных параметров сходимости численного метода решения.

Одной из задач работы является создание комплекса программ, реализующего численный метод и позволяющего находить оптимальное управление в интерактивном режиме для заданных параметров.

В целом все результаты, выносимые на защиту являются новыми и оригинальными.

Научная новизна. Ранее строгая управляемость колебаниями была рассмотрена в работах Д. Лагнесса, Д. Рассела, А.Г. Бутковского , Л.А. Муравья, А.З. Ишмухаметова в классе функций {д(Ь,х) е £г((0 < t < Т) х (а < х < Р)), д{1,х) = 0, х ф [а,/?]}, {д{Ь,х) = и(0/(®), «(¿) € ¿2(0,Г)} и {д(Ь,х) = и(£)5(х — хо), и(Ь) е 1/2(0, Т)} соответственно. В последнем случае 6(х) - дельта-функция Дирака, хо - некоторая фиксированная точка интервала (0,/). Этот случай соответствует ситуации, когда управление осуществляется только в одной точке интервала.

В работе Лагнесса было показано, что колебания можно погасить с помощью бесконечного числа управляющих функций щ^), ..., ..., если д{Ь, х) представима в виде бесконечного ряда ХХа икЬ)/к(х). Отметим, что данное ограничение сильно затрудняет использование результатов работы в практических приложениях.

В работе Рассела получены условия на функцию /(х), которые позволяют решить задачу О с помощью одной управляющей функции и(Ь). Однако эта функция /(х) распределена на всем интервале (зирр/(х) = (0,1)), поэтому для решения задачи О управление должно осуществляться вдоль

всей длины струны, что не позволяет использовать результаты работы в практических приложениях при достаточно длинной струне.

В работах Бутковского рассматривался точечный стационарный демпфер, помещенный в точку х0. Им было показано, что существует всюду плотное на {0,1} множество точек {х0} таких, что помещенный в них демпфер не позволяет решить задачу D, например, на множестве решений уравнения sin ^f1 = 0, к = 1,2,..., являющихся узлами стоячих волн решений Zk(t,x) = (Ak cos Lükt + Bk sin ujkt) sin^f2, к = 1, 2, ... однородного уравнения (1); здесь oJt = ^ в случае колебаний струны. Поэтому при способе управления задача либо неразрешима, либо неустойчива.

В последнее время было опубликовано большое количество работ по данной тематике, в частности В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым.

Для приближенного нахождения оптимального решения такого рода задач используются различные методы оптимизации (см., например, работы Ф.П. Васильева, A.A. Махмудова, JI.A. Муравья). В частности, в работе A.A. Махмудова, J1.A. Муравья использовался метод наискорейшего спуска. В настоящей работе мы используем новый подход к нахождению численного решения задачи на основе численного метода характеристик и метода сопряженных градиентов.

Методы исследования. В ходе исследования применяются следующие математические методы. Для понижения порядка волнового уравнения, используется метод сведения уравнения второго порядка к системе двух уравнений первого порядка. Для численного решения системы уравнений первого порядка используется численный метод характеристик, в котором все производные аппроксимируются центральными разностями. В качестве метода оптимизации для нахождения оптимального управления используется метод сопряженных градиентов. Интегралы вычисляются численным методом трапеций.

Программный комплекс, реализующий разработанный численный метод, создан с использованием свободных технологий. В качестве языка программирования использовался Java. Построение графиков осуществлялось с помощью Gnuplot.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут послужить отправной точкой для дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных подходов. Разработанные методы можно использовать для решения задач демпфирования колебаний при использовании других типов управлений и других граничных условий. Принципы и подходы данной работы могут быть использованы для построения модели демпфирования колебаний в трехмерном случае.

Разработанный программный комплекс может быть использован как будущая основа для програмного обеспечения систем управления демпфирующими устройствами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• II Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Анапа, 1-5 октября 2005 г.

• IV научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов «Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности», Москва, 24-26 октября 2007 г.

• VIII Международный авиационно-космический салон «МАКС-2007», Жуковский, 21-26 августа 2007 г.

• IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Анапа, 1-4 октября 2007 г.

В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследователь-ной работы по проектам российского фонда фундаментальных исследований:

• 07-01-00682 - математические модели управления нелинейными колебаниями;

• 07-01-00380 - математическое моделирование и оптимизация нелинейных процессов в механике и гидродинамике.

Публикация основных результатов. По теме диссертации опубликовано 4 работы ([1-4]), в том числе 2 работы в изданиях, входящих в перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Представленная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе рассматривается задача гашения колебаний струны.

В §1 ставится задача гашения колебаний струны (задача О). Основная идея работы состоит в использовании движущегося точечного демпфера для решения этой задачи

д(Ь,х) = и(Ь) 6(х — хо —

у(т) с!т),

(6)

где и(£) и у(Ь) - две управляющие функции. Мы будем предполагать, что и(£) е ¿2(0,Т), а у(Ь) е Ут функция с ограниченной вариацией, или, другими словами, для любого конечного разбиения ¿о < ¿1 < ... < £р = Т отрезка

[О, Г] удовлетворяет неравенству

р

Мы также будем полагать

а < хо +

}{т) с1т < /3, 0 < I < Т,

/3-а I

« 1.

(7)

Класс управляющих функций у(1), удовлетворяющих этому ограничению, мы будем обозначать УтВ §2 приведено аналитическое решение задачи гашения колебаний струны для случая, когда демпфер двигается с постоянной скоростью. В параграфе рассматриваются различные оптимальные траектории движения демпфера. В дальнейшем эти траектории использовались для тестирования предлагаемого метода гашения колебаний струны.

В §3 разбирается численное решение задачи гашения колебаний струны с закрепленными концами и управляющей функцией, моделирующей поведение движущегося точечного демпфера:

д(Ь,х) = и^)5(х — хо -

ь{т) с!т).

Рассмотрим функционал энергии колеблющейся струны

I

Е(и,у) =

(8)

в котором функция у(Ь,х) является решением задачи (1)-(3). Хорошо известно, что если уравнение (1) имеет нулевую правую часть, то выполняется закон сохранения энергии: функционал Е(и,у) не зависит от и

Е\1=0 = (Ь1(х) 4- Н\(х)) йх > 0. С учетом функционала (8) задачу О можно переформулировать следующим образом: требуется определить время Т и управление 6 Ьг(0, Т) такие, что движущийся со скоростью г>о(£) демпфер с учетом ограничений (7) погасит колебания струны, то есть функционал при £ = Т достигнет минимума, равного нулю

E{ua,v0)\t=T = 0,

(9)

Если мы зададим оптимальную траекторию Ьо, то наша задача сводится к определению функции ио(£) е Ьг(0, Т) такой, что функционал

F(u) = £(u,«o)|t=r = I {y2x(T,x) + y2t(T,x)) dx (10)

о

достигает минимума, равного нулю

F(u0) = 0. (11)

Введя новую искомую функцию z{t,x), уравнение (1) можно свести к системе двух уравнений первого порядка

I Ш = агх,

= аух + Лг,х),

Находим /(¿,х), сравнивая исходное уравнение (1) с (12):

где _ функция Хевисайда.

Начально-краевые условия (2), (3) перейдут в:

1

у(0,х) = h0(x), z(0,x) = -

hiiQdi,

{y{t,Q)=y{t,l) = Q Условия затухания колебаний (5) перейдут в условия

I

(у1+а2г2х) dx = 0

(12)

(13)

(14)

(15)

Используя метод характеристик получаем уравнения:

dx dh

d{y + z)

dti

= — a => x + at = const = f(t,x)

где производные ^ берутся вдоль линий x + at

const.

= а

dx

Ж

d{y - г)

х + at = const

= -f(t,x)

где производные берутся вдоль линий х — at = const.

{m, n + 1} ®

© {m +1, n}

Уравнения (16) и (17) решаются с помощью численного метода характеристик. Зададим натуральные числа M и N я разобьем рассматриваемую область {0 < t < Т, 0 < х < 1} на равные прямоугольные ячейки параллельными прямыми xm — mh, m = О,...,M, tn = пт, n = О,...,N, где h = l/М и г = h/a. Отметим, что для так введенной сетки характеристики будут проходить через узловые точки. Аппроксимируем функции u(t) и s(t) кусочно-постоянными функциями так, чтобы на каждом промежутке [tn, tn+{\ u(t) = un, s(t) = Knh, где Kn - целые числа. Зафиксируем точку хо так, чтобы она совпала с одним из узлов сетки на прямой t = 0, и зададим Т = Nt.

Расписывая разностную схему для (16) и (17) согласно точкам на рис. 1, мы получаем формулы для вычисления значений у^1 и на (п+1)-м слое для m = 1,M — 1:

Рис.

, П I _П I ,.п _ 7п „ п+1 Ут+l ~ 1 т Ут—1 ¿т-1 ,

Ут ~ -g--

T1!

+ + 1 - Kn)h) - х([т - 1 - Kn]h)}

,.п I уп _ ,.п I гп

п+1 _ Ут+1 ~ 1 Ут-1 ~ ¿m-1 .

2

ТИ

+ Ы[т + 1 - Kn]h) + х([т - 1 - I<n}h)} +

+ ^{x([m-Kn+l}h)},

(18)

Для m = 0 имеем:

%п+1 = о

Для т — М имеем: [ Ум'1 = 0

— гм-1 ~ Ум-г +

тип+г

ТН

х([М - Кп+1Щ + - 1 - Кп]Ь)

(20)

на первом слое используются начальные

Для нахождения у® условия (14):

И

Л,0(тЛ)

1 1 Е

•С = - > к\(Ш)Н

(21)

г—0

Соотношения (18)-(21) позволяют найти значения тп = 0,..., М,

которые зависят от числа N. постоянных щ,..., ии целых чисел К0,..., К^-ь

Будем искать эти числа, минимизируя с помощью метода сопряженных градиентов функцию

Ф

А/-1

£

т=1

Vм - Vм Утп+1 Утп~ 1

2Н

4- а

уН

т+1

гт-1

2Л

(22)

которая является разностным аналогом условий (15). При минимизации (22) учитываются ограничения (7). Расчет заканчивается, когда выполняется условие Ф < е, где е - заданная точность.

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §4 разбирается численное решение задачи гашения колебаний струны, когда левый конец закреплен, а правый свободен, то есть действуют условия:

УМ) = о, ух(г,1) = о. (23)

Начальные условия принимаются такими же, как в случае с условием закрепления. Граничное условие для г(Ь,х) для свободной границы при х = I будет следующим:

г(М) = -

(24)

Как и в случае с закрепленным концом, задача решается численным методом характеристик. Разностная схема не меняется и вычисления у и на (п+1)-м слое производится по формулам (18) для тп = 1,..., М—1, и по формулам (19) на левой границе при т = 0.

На правой границе при т = М уи вычисляются по формулам:

гп+1

гм

п+1 т

Г цг-1 + Щ 1

а^ 2 а

г=1

= Ум-г - + ^ - - ^п+1]/1)-

(25)

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §5 разбирается численное решение задачи струны, когда в качестве управляющей функции выбрана функция, моделирующая поведение неподвижного демпфера конечной ширины:

О, х < г>1

д(Ь, х) = и{1) ^ 1, < х < &2 О, Ь2 < х,

(26)

где и(Ь) - управляющая функция, а и &2 - точки на струне, ограничивающие воздействие демпфера на струну, причем 62 > 61 и 62 - "С Функция /(¿,х) будет выглядеть следующим образом:

О, X < &1 ж — 61 &1 < ж < 62 62 — 61 Ъ2< X

Для решения используется разностная схема из §2. Дня начальных условий (2) и граничных условий закрепления (3) используются уравнения (18)-(21).

Для решения в случае свободной правой границы (23) используются уравнения (18), (19), (21) и (25).

В конце параграфа приводятся три примера, демонстрирующие решение с использованием такой управляющей функции как в случае с закрепленными концами, так и в случае со свободным правым концом.

Пример. В качестве примера рассмотрена задача £) для движущегося точечного демпфера в случае, когда правая граница не закреплена и действуют граничные условия (23). В расчете принималось а = 1, М = 40, I = 1, начальное положение демпфера хо = 0.9. Начальные возмущения представлены на рис. 2.

0.25 0.2 0.15 0Л

— 0.05 #

•0.05 • ■0.1 -•0.15 " •0.2 • -0.25 ц

0.25 г 0.2 -0.15 -0.1 • _ 0.05

5 0 ^

* -0.05 -•0.1 ;• •0.15 -•0.2 •0.25

Рис. 2. ко{х) и кх{х) Рис. 3. и(4)

На рис. 4 показан вид функции в случае отсутствия на нее

управляющего воздействия, т.е. когда д(Ь, х) = 0. Видно, что струна совершает бесконечные колебания. Оптимальное управление и{Ь), позволяющее погасить начальные колебания за время Т = 2 показано на рис. 3, при этом в (4) не изменялась и равнялась 0. На рис 5 изображен вид функции у(Ь,х) для найденного оптимального управления. За время Т = 2 просходит практически полное гашение колебаний.

Рис. 4. Исходная функция Рис. 5. Полученная функция у{Ь,х)

Во второй главе рассматривается задача гашения тонкой круглой мембраны с помощью кольцевого движущегося демпфера.

В §1 ставится задача гашения колебаний мембраны и предлагается использование движущегося точечного демпфера. Колебания тонких круглых упругих мембран с замкнутой границей Г описываются уравнением

Здесь а - const, t > 0, 0 < г < R, g(t,r) - управляющая функция.

Начальные данные: отклонение и скорость считаются известными

y\t=0 = h0(r), yt\t=0 = h1(r). (28)

На границе мембраны выполняется условие закрепления

у\г = 0, (29)

или условие свободной границы

f)n

= О (30)

ду дг

г

Энергия колеблющейся мембраны в момент времени Ь задается интегралом

т =

R

(y2T(t,r) + y*(t,r))rdr (31)

Рассмотрим следующую задачу гашения колебаний тонкой круглой мембраны радиуса R: найти управляющую функцию g{t,r), позволяющую погасить начальные возмущения (28) за конечное время Т > 0:

Е(Т) = 0. (32)

Возьмем управляющую функцию вида

g(t,r) = u(t)S(r-r0-s(t)), (33)

где u(t) и s(t) - две управляющие функции, 5(х) - дельта-функция Дирака, а го - радиус окружности, в точках которой помещается кольцевой демпфер в начальный момент времени.

Начальные условия перепишем в виде

у(0,г) = ho(r), yt(0,r) = ft!(г), 0 <r < R. (34)

В качестве краевых условий для закрепленной границы (29), а также учитывая условия симметрии в центре мембраны, берутся условия

yr(t,0)= 0, y(t,R) = Q. (35)

Задача гашения колебаний рассматриваемой мембраны сводится к нахождению таких функций u(t), s(t) и времени Т, при которых

Е(Т) = 0.

В §2 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мембраны с закрепленной внешней границей и управляющей функцией, моделирующей поведение движущегося точечного демпфера:

g{t, г) = u{t)S(r - r0 - s{t)),

Введем новую искомую функцию z(t,r). Уравнение (27) можно представить в виде системы двух уравнений первого порядка

( а

IIt = ~Zr

\ г (36)

[ Zt = a(ryr) + f{t,r),

Найдем f{t,r):

f(t, г) = -—х{г - го - s{t)), (37)

а

где x(i) - функция Хевисайда.

Найдем начально-краевые условия для z(t,r):

y{0,r) = ho(r), z(0,r) ~ ~

rh\{r)dr

о

(38)

¡/(¿,Л) = 0, ¿(¿,0) = 0 Условие затухания колебаний (32) будет иметь вид

Г 2

(уг2(Г,г) + ^г2(Г,г))гс1г = 0. (39)

о

Далее задача решается аналогично задаче гашения колебаний струны в §3 1-й главы, с использованием метода характеристик и разбиением области на прямоугольные ячейки.

Для заданного разбиения вычисляется по формуле

ип(К0 + Кп)Н . -г V \ -/ж = ——--—Х(т -К0- Кп)

Получаем формулы для вычисления значений и на (п -I- 1)-м слое для т = 1,..., М — 1:

_ Л(т + 1)УЙи-1 + Цт - 1)у»_х , Ут 2Нт

т(Ут-1 ~ Ут+\) ~ (2т-1 ~ 2т+1) + Т 2 "

2/1Ш (40)

= + 1)^+1 - - 1)^-1 + ^+ 2/т-1) +

+ + С-!) + ¿(/¿-1 + 2/Г1 + гт+1) - ^уГ1

На левой границе при т = 0:

г£+1 = О

На правой границе т = М:

гП+1 _ гМ —

„п+1 _ I

П.СЛ/Г л. аТ\,,п ,/м1 +

{,Н{М - 1) + у )Ум-1 - гм-1 - т-2-

(42)

На первом слое и ^ задаются из начальных условий (38):

ко (тН)

у1

ткк\{тК) с!?-

(43)

Соотношения (40)-(43) позволяют найти значения = 0,..., М,

которые зависят от числа N, постоянных и0,..., и^-1 и целых чисел К0,..., К Будем искать эти числа, минимизируя с помощью метода сопряженных градиентов функцию

Ф

М-1 //,,лг _,.ЛГ \2

= Е Кг^ +

7П=1

(тпЛ)2

71Я - 2'

лг -

'т—1

2/г

(44)

которая является разностным аналогом условий (39). Расчет заканчивается, когда выполняется условие Ф < е, где е - заданная точность.

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §3 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мембраны в случае, когда внешняя граница не закреплена и действуют условия:

уг(£,0) = 0, уг(*,Д) = 0. (45)

На свободной внешней границе граничное условие для г{Ь,г) будет выглядеть следующим образом:

/(4, Я) М + -

гЛх(г) с!г

(46)

Как и в случае с закрепленным концом, задача решается численным методом характеристик. Разностная схема не меняется и вычисления

и гЦ+1 на (п+1)-м слое производится по формулам (40) для т = 1, ...,М—1, и по формулам (41) на левой границе при т = 0.

Вычислим уи -г™+1 на правой границе при т = М. Согласно (46)

,«+1 _ ¿м —

ип+1

Ум

гк\(г) с!г

(47)

(Л(М - 1) + ^- - ■

гп+1

гМ

В конце параграфа приводятся два примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §4 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мембраны, когда в качестве управляющей функции используется функция, моделирующая поведение неподвижного демпфера конечной ширины:

0, г <Ь! д{иг)=и{г){ 1, Ъг<г<Ь2 0, Ь2<г,

(48)

где и{€} - управляющая функция, а Ь\ и Ь2 - радиусы двух окружностей, ограничивающих воздействие демпфера на мембрану, причем Ь2 > Ь\ и <1.

ь2-ь к

Вычисляем /(£,

Ж Г)

Для решения используется разностная схема из §2. Дня начальных условий (28) и граничных условий закрепления (29) используются уравнения (40)-(43).

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода с закрепленной и свободной внешней границей.

Пример. В качестве примера рассмотрена задача И для движущегося точечного демпфера в случае, когда правая граница не закреплена, т.е. действуют граничные условия (45). В расчете принималось а — 1, М = 40, Я = 1, начальное положение демпфера го = 0.9. Начальные возмущения представлены на рис. 6.

u(t)

-0.05 •0.1 -•0.1S

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2 0.4 0.6 0.1

Рис. 6. h0{r) и hi(r)

Рис. 7. u(t)

На рис. 8 показан вид функции y{t,r) в случае отсутствия на нее управляющего воздействия, т.е. когда g(t,r) = 0. Видно, что мембрана совершает бесконечные колебания. Оптимальное управление u(t), позволяющее погасить начальные колебания за время Т = 2 показано на рис. 7, при этом s{t) не изменялась и равнялась 0. На рис 9 изображен вид функции y(t,r) для найденного оптимального управления. За время Т = 2 просходит практически полное гашение колебаний.

о ю

зо «о 50

Рис. 8. Исходная функция y{t,r)

Рис. 9. Полученная функция y(t,r)

В заключении приводятся основные результаты данной работы.

Основные результаты работы

В диссертационной работе была рассмотрена задача гашения колебаний струны и мембраны с использованием точечного движущегося демпфера и неподвижного демпфера конечной ширины. Основные результаты работы следущие:

1. Предложен метод гашения колебаний тонкой струны и тонкой круглой мембраны с использованием точечного движущегося демпфера и неподвижного демпфера конечной ширины. В качестве начальных условий рассмотрены условия закрепления и условия свободной границы.

2. Разработан численный алгоритм решения задачи гашения колебаний струны и мембраны с использованием численного метода характеристик и метода сопряженных градиентов для нахождения оптимального управления. Подобраны оптимальные параметры сходимости численного метода решения.

3. Разработан комплекс программ, реализующий численный метод и демонстрирующий все основные результаты данной работы в интерактивном режиме для заданных параметров. Данный комплекс может служить основой для программного обеспечения систем управления демпфирующими устройствами.

В целом все результаты, выносимые на защиту являются новыми и оригинальными.

Список публикаций

1. Муравей Л. А., Асланов С. Ж. Аналитические и численные аспекты решения задачи гашения колебаний // Труды II всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. 2005. С. 123-126.

2. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. Аналитические и численные методы в задаче гашения колебаний струны точечным демпфером // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 7. С. 28-35.

3. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. О гашении колебаний круглой мембраны с помощью кольцевого демпфера // Труды ИСА РАН. 2007. Т. 29(1), № И. С. 54-59.

4. Асланов С. Ж. О гашении колебаний тонкой круглой пластины с помощью кольцевого демпфера // Труды IV всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. 2007. С. 103-104.

Заказ №279-1/09/2011 Подписано в печать 19.09.2011 Тираж 100 экз. Усл. пл. 0,8

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-таИ: info@cfr.ru

Введение

Глава 1. Гашение колебаний струны.

1.1. Постановка задачи

1.2. Аналитическое решение задачи гашения колебаний в случае постоянной скорости демпфера.

1.3. Численное гашение колебаний струны с помощью движущегося точечного дэмпфера.

1.4. Численное гашение колебаний струны при незакрепленной правой границе

1.5. Численное гашение колебаний струны с помощью неподвижного демпфера конечной ширины.

Глава 2. Гашение колебаний тонкой круглой мембраны с помощью кольцевого демпфера.

2.1. Постановка задачи

2.2. Численное гашение колебаний мембраны с помощью движущегося точечного демпфера

2.3. Численное гашение колебаний мембраны при незакрепленной внешней границе.

2.4. Численное гашение колебаний мембраны с помощью неподвижного демпфера конечной ширины.

Колебания струн описываются гиперболическим уравнением а? + Х® < 0 < а; < Z, а = const. (1)

Начальные данные, в нашем случае начальные отклонение и скорость: y\t=о = h0(x), ^ hi(x), х 6 (0,0, (2) i=О будем рассматривать как начальные возмущения. На границах Г струн могут быть наложены различные граничные условия, в частности, условия закрепления у\х=о = У\х=1 = 0 (3)

Энергия колеблющейся струны в момент времени £ задается интегралом

E(t) = I yl(t,x)+y^t,x))dx (4) о

В работе рассматривается проблема демпфирования (гашения) колебаний, т.е. следующая задача демпфирования (задача Б): найти управляющую функцию д(Ь,х) (из некоторого класса), позволяющую полностью погасить начальные возмущения (2) за конечное время Т > 0:

Е(Т) = 0; (5)

Следуя Ж.-Л. Лионсу [1] будем называть такую ситуацию строгой управляемостью.

Актуальность темы. Задачи гашения колебаний, и, в частности, колебаний тонких длинных и тонких круглых элементов, актуальны в силу многочисленных технических приложений. При создании новых космических комплексов в мировой практике все более широкое применение находят космические платформы (КП), на которых размещаются различного вида полезные нагрузки. Сами КП имеют каркасную конструкцию, кроме того, в большинстве проектов КП имеются выносные конструкции, такие, например, как антенные устройства или панели солнечных батарей. На борту КП размещаются приборы и агрегаты технологических систем, которые могут быть источниками механических возмущений, способствующих возникновению вынужденных упругих колебаний составных частей КП [2]. Кроме того, эти колебания могут возникать после соударения стыковочных механизмов. Это вызывает влияние на пространственную устойчивость КП и отрицательно влияет на работу установленных на ней приборов. Поэтому гашение таких колебаний представляет собой важную прикладную задачу.

Другим примером может служить случай с двухкилометровы мостом в Волгограде, на котором 20 мая 2010 года по неизвестным причинам возникли колебания аплитудой до 1 метра, угрожавшие разрушением моста и остановившие движение транспорта на несколько дней.

Цель и задачи исследования: Основной целью данной работы является разработка методов демпфирования колебаний тонкой струны и тонкой круглой мембраны с помощью точечного движущегося демпфера, а также неподвижного демпфера конечной ширины. Последний случай является более приближенным к практической реализации. В качестве граничных условий для струны рассматривается случай, когда оба конца струны закреплены, и случай, когда правый конец не закреплен. Для мембраны также рассматриваются варианты с закрепленной и незакрепленной внешней границей. В центре круглой мембраны всегда действует условие симметрии.

Также целью данной работы является выбор наилучшего численного метода, позволяющего найти оптимальное управление, сводящее энергию колеблющейся струны и мембраны к нулю за конечное время Т. При этом необходимым является нахождение оптимальных параметров сходимости численного метода решения.

Одной из задач работы является создание комплекса программ, реализующего численный метод и позволяющего находить оптимальное управление в интерактивном режиме для заданных параметров.

В целом все результаты, выносимые на защиту являются новыми и оригинальными.

Научная новизна. Ранее строгая управляемость колебаниями была рассмотрена во многих работах [3-33], например в работах Д. Лагнес-са [3], Д. Рассела [4], А.Г. Бутковского [6], JI.A. Муравья, А.З. Ишму-хаметова в классе функций {g(t,x) G L2((0 <t<T)x (а <х< (5)), g(t,x) ее 0, я i [а, (3}}, {g(t,x) = u(t) f(x), u(t) G L2(0,T)} и {g(t,x) = u(t)5(x — xo), u(t) G L2(0,T)} соответственно. В последнем случае 5(х) -дельта-функция Дирака, xq - некоторая фиксированная точка интервала (0,1). Этот случай соответствует ситуации, когда управление осуществляется только в одной точке интервала.

В работе Лагнесса [3] было показано, что колебания можно погасить с помощью бесконечного числа управляющих функций ui(t), u2(t), ., Uk(t), ., если g(t, х) представима в виде бесконечного ряда fk(%)- Отметим, что данное ограничение сильно затрудняет использование результатов работы [3] в практических приложениях.

В работе Рассела [4] получены условия на функцию f(x), которые позволяют решить задачу D с помощью одной управляющей функции u(t). Однако эта функция /(х) распределена на всем интервале (suppf(x) = (0,1)), поэтому для решения задачи D управление должно осуществляться вдоль всей длины струны, что не позволяет использовать результаты работы [4] в практических приложениях при достаточно длинной струне.

В работах Бутковского [6, 7] рассматривался точечный стационарный демпфер, помещенный в точку xq. Им было показано, что существует всюду плотное на {0,/} множество точек {жо} таких, что помещенный в них демпфер не позволяет решить задачу D, например, на множестве решений уравнения sin = 0, к = 1,2,., являющихся узлами стоячих волн решений

Jcttcc

Zk{t, х) = (Af¡ cos Lükt + Bk sin íükt) sin ——, к = 1,2,. I однородного уравнения (1); здесь = ^j2 в случае колебаний струны. Поэтому при способе управления, рассмотренном в работе [6], задача либо неразрешима, либо неустойчива.

Таким образом, используя метод разделения переменных можно получить соответствующее представление для нашей начально-краевой задачи в виде проблемы моментов. А именно, удовлетворив условия полного гашения колебаний струны за время Т, мы можем получить бесконечную систему интегральных уравнений первого рода: т

Uk(t) sin ujktdt — —akUk

T k = 1,2,. 2 2 7 в подходе Лагнесса < I

Uk(t) cos сükt dt = fik 2 7

Uk(t) sin ujktdt fk в подходе Рассела < k= 1,2,. 2 7 щ (t) cos сükt dt = h fk в подходе Бутковского < 2 7 2 1 т u(t) sm ujkt at — — о т smknxo к = 1,2,. u{t) cos Сükt dt = ^^тгхп sm ¿ где fk, ctk, ßk - коэффициенты Фурье функции f(x) и начальных условий ho(x) и h\(x) соответственно. Вопросы разрешимости соответствующей системы носят название проблемы моментов. Все отмеченные работы используют условие Левинсона [34] на время гашения колебаний Т, при котором система {sin Ukt} cosUkt} является базисом Рисса в L2(0,T), Щ = lim к->оо К откуда для струны Т = j.

В последнее время было опубликовано большое количество работ по данной тематике [35-97], в частности В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [35-82].

Для приближенного нахождения оптимального решения такого рода задач используются различные методы оптимизации (см., например, работы Ф.П. Васильева, A.A. Махмудова, Л.А. Муравья). В частности, в работе-A.A. Махмудова, Л.А. Муравья [14] использовался метод наискорейшего спуска. В настоящей работе мы используем новый подход к нахождению численного решения задачи на основе численного метода характеристик и метода сопряженных градиентов.

Методы исследования. В ходе исследования применяются следующие математические методы. Для понижения порядка волнового уравнения, используется метод сведения уравнения второго порядка к системе двух уравнений первого порядка [98]. Для численного решения системы уравнений первого порядка используется численный метод характеристик [98], в котором все производные аппроксимируются центральными разностями [99]. В качестве метода оптимизации для нахождения оптимального управления используется метод сопряженных градиентов [99]. Интегралы вычисляются численным методом трапеций.

Программный комплекс, реализующий разработанный численный метод, создан с использованием свободных технологий. В качестве языка программирования использовался Java. Построение графиков осуществлялось с помощью Gnuplot.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут послужить отправной точкой для дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных подходов. Разработанные методы можно использовать для решения задач демпфирования колебаний при использовании других типов управлений и других граничных условий. Принципы и подходы данной работы могут быть использованы для построения модели демпфирования колебаний в трехмерном случае.

Разработанный программный комплекс может быть использован как будущая основа для програмного обеспечения систем управления демпфирующими устройствами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• II Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Анапа, 1-5 октября 2005 г.

• IV научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов «Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности», Москва, 24-26 октября 2007 г.

• VIII Международный авиационно-космический салон «МАКС-2007», Жуковский, 21-26 августа 2007 г.

• IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Анапа, 1-4 октября 2007 г.

В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследователь-ной работы по проектам российского фонда фундаментальных исследований:

• 07-01-00682 - математические модели управления нелинейными колебаниями;

• 07-01-00380 - математическое моделирование и оптимизация нелинейных процессов в механике и гидродинамике.

Публикация основных результатов. По теме диссертации опубликовано 4 работы ([100-103]), в том числе 2 работы в изданиях, входящих в перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук. Структура работы

Представленная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.

В Главе 1 рассматривается задача гашения колебаний струны. В §1.1 ставится задача гашения колебаний струны и предлагается использование движущегося точечного демпфера.

В §1.2 получено аналитическое решение задачи гашения колебаний струны в случае постоянной скорости демпфера.

В §1.3 разбирается численное решение задачи гашения колебаний струны с закрепленными концами и управляющей функцией, моделирующей поведение движущегося точечного демпфера: х) = и{1)5(х — гсо и(т) йт).

Задача решается на основе численного метода характеристик. В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §1.4 разбирается численное решение задачи гашения колебаний струны, когда левый конец закреплен, а правый свободен, то есть действуют условия ?/(£, 0) = 0, I) — 0. В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §1.5 разбирается численное решение задачи струны, когда в качестве управляющей функции выбрана функция, моделирующая поведение неподвижного демпфера конечной ширины: х) = и{€) <

0, х < &1

1, &1 < х < &2 0, Ь2 < х,

В конце параграфа приводятся три примера, демонстрирующие решение с использованием такой управляющей функции как в случае с закрепленными концами, так и в случае со свободным правым концом.

В Главе 2 рассматривается задача гашения тонкой круглой мембраны с помощью кольцевого движущегося демпфера.

В §2.1 ставится задача гашения колебаний мембраны и предлагается использование движущегося точечного демпфера.

В §2.2 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мембраны с закрепленной внешней границей и управляющей функцией, моделирующей поведение движущегося точечного демпфера: г) = и(Ь)6(г - г0 - $(£)),

Задача решается с помощью численного метода характеристик. В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §2.3 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мембраны в случае, когда внешняя граница не закреплена и действуют условия 2/г(£, 0) = 0, уг{р,К) — 0. В конце параграфа приводятся два примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §2.4 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мембраны, когда в качестве управляющей функции используется функция, моделирующая поведение неподвижного демпфера конечной ширины:

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода с закрепленной и свободной внешней границей.

Автор выражает благодарность Леониду Андреевичу Муравью за помощь в аналитической части работы, и научному руководителю Игорю Ефимовичу Михайлову, который мягко, но настойчиво довел автора до защиты.

0, г < 61 =и(*) < 1, Ь\ <г <Ь 0, Ъ2 < г, 2

Заключение

В диссертационной работе была рассмотрена задача гашения колебаний струны и мембраны с использованием точечного движущегося демпфера и неподвижного демпфера конечной ширины. Основные результаты работы следущие:

1. Предложен метод гашения колебаний тонкой струны и тонкой круглой мембраны с использованием точечного движущегося демпфера и неподвижного демпфера конечной ширины. В качестве начальных условий рассмотрены условия закрепления и условия свободной границы.

2. Разработан численный алгоритм решения задачи гашения колебаний струны и мембраны с использованием численного метода характеристик и метода сопряженных градиентов для нахождения оптимального управления. Подобраны оптимальные параметры сходимости численного метода решения.

3. Разработан комплекс программ, реализующий численный метод и демонстрирующий все основные результаты данной работы в интерактивном режиме для заданных параметров. Данный комплекс может служить основой для программного обеспечения систем управления демпфирующими устройствами.

В целом все результаты, выносимые на защиту являются новыми и оригинальными.

1. Lions J. L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed system // S1.AM Review. 1988. Vol. 30, no. 1. Pp. 1-68.

2. Марченко В. M. Температурные поля и напряжения в конструкциях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1965.

3. Lagness J. Control of wave process with distributed controls supported on a subregion // SIAM Journ. Control and Optim. 1983. Vol. 1, no. 1. Pp. 68-85.

4. Russel D. L. Controllability and stabilization theory for linear partial differential equations // SIAM Review. 1978. Vol. 20, no. 5. Pp. 639-739.

5. Russel D. L. Boundary value control of higher dimensional wave equation. Part 1 // SIAM J. of Control. 1971. no. 9. Pp. 29-42.

6. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 366 с.

7. Бутковский А. Г. Приложение некоторых результатов теории чисел к проблеме финитного управления и управляемости в распределенных системах // ДАН СССР. 1976. Т. 227, № 2. С. 309-311.

8. Бутковский А. Г. Управление системами с распределенными параметрами // Автоматика и телемех. 1979. № 11. С. 16-65.

9. Бутковский А. Г., Пустыльников Л. М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1988. 384 с.

10. Бутковский А. Г., Самойленко Ю. И. Управление квантово-механиче-скими процессами. Москва: Наука, 1984. 256 с.

11. Muravey L. A. On the suppression on membrane oscillations // Summaries of IUTAM Symposium "Dynamical problems of rigid-elastic system". 1990. Pp. 50-51.

12. Muravey L. A. Mathematical problems on the damp of vibration // Preprint of IFAC Conference "Identification and system parameter estimations". 1991. Vol. 1. Pp. 746-747.

13. Билалов Б. Т., Муравей JI. А. О гашении колебаний больших механических систем // Труды международного симпозиума Intels-90. 1996. Т. II. С. 246-254.

14. Makmudov A., Muravey L. The problem of string vibrations damping // Proceedings of the First International Conference on Nonlinear Analysis and Nonlinear Modeling. 2001. Pp. 174-182.

15. Арман Ж.-Л. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. М.: Мир, 1977. 142 с.

16. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 568 с.

17. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: ИЛ, 1954. 487 с.

18. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975. 160 с.

19. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

20. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. 424 с.

21. Ишмухаметов А. 3. Синтез оптимального управления для систем, описываемых гиперболическими уравнениями // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 4. С. 597-605.

22. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Потапов М. М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1989. 144 с.

23. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. М.: Машиностроение, 1987. 596 с.

24. Васильев Ф. П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 11. С. 1893-1900.

25. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1985.

26. Егоров А. И. Управление упругими колебаниями // Докл. АН УССР. Сер. А. 1986. № 5. С. 60-63.

27. Егоров А. И., Шакиров В. Н. Оптимальное управление колебаниями проводника с током в магнитном поле // Математические методы в механике. 1980. С. 34-38.

28. Егоров А. И., Шакиров В. Н. Оптимальное управление колебаниямипроводника с током // Оптимизация и устойчивость систем с распределенными параметрами. 1980. С. 59-75.

29. Егоров А. И., Фоменко А. В. Об оптимальной стабилизации упругих систем // Динамика управляемых систем. 1979. С. 111-120.

30. Egorov А. I., Rachimov M. About the Problem of Synthesis of Optimum Control by Ellastic Oscilllations // Lecture Notes in Computer Sciense. 1975. P. 27.

31. Васницкий Jl. И., Милосердова И, В. Оптимальный гаситель продольных колебаний стержня // Прикл. матем. и мех. 1997. Т. 61, № 3. С. 537-540.

32. Акуленко А. Д. Управление движением мембраны посредством силовых граничных воздействий // Прикл. матем. и мех. 1995. Т. 59, № 5. С. 731-741.

33. Шенфельд Г. Б. Синтез оптимального управления движением упругой конструкции // Оптимизация процессов в системах с распределенными параметрами. 1975. С. 23-26.

34. Levinson N. Gap and density theorem // Amer. Math. Soc. Colog. Publ. 1940. Vol. 26.

35. Ильин В. A. Граничное управление процессом колебаний на двух концах // Доклады Академии наук. 1999. Т. 369, № 5. С. 592-596.

36. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце // Доклады Академии наук. 1999. Т. 369, № 6. С. 732-735.

37. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 11. С. 1517-1534.

38. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 12. С. 1640-1659.

39. Ильин В. А., Тихомиров В. В. Волновое уравнение с краевым управлением // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 1. С. 137-138.

40. Ильин В. А., Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 5. С. 692-704.

41. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 11. С. 1513-1528.

42. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 12. С. 1670-1686.

43. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии // Доклады Академии наук. 2001. Т. 376, № 3. С. 295-299.

44. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном конце при закрепленном втором конце и при условии существования конечной энергии // Доклады Академии наук. 2001. Т. 378,6. С. 743-747. *

45. Ильин В. А. О граничном управлении процессом, описываемым уравнением к(х)к(х)их(х^).х — ии(х^) = 0 // Доклады Академии наук. 2002. Т. 386, № 2. С. 156-159.

46. Ильин В. А. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым уравнением к(х)к(х)их(х^).х — ии(х^) = 0 // Тр. сем, им. И.Г. Петровского. 2002. № 22. С. 121-141.

47. Ильин В. А., Моисеев Е. И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Доклады Академии наук. 2002. Т. 387, № 5. С. 600-603.

48. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Доклады Академии наук. 2004. Т. 399, № 6. С. 727-731.

49. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 1. С. 105-115.

50. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управленийколебаниями струны // Успехи математических наук. 2005. Т. 60, № 6. 89 с.

51. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце // Доклады Академии наук. 2005. Т. 402, № 1. С. 20-24.

52. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничного управления упругой силой на двух концах струны // Доклады Академии наук. 2005. Т. 402, № 2. С. 163-169.

53. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Доклады Академии наук. 2005. Т. 400, № 1. С. 16-20.

54. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Доклады Академии наук. 2005. Т. 400, № 5. С. 587-591.

55. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация комбинированного граничного управления колебаниями струны упругой силой на одном конце и смещением на другом конце // Доклады Академии наук. 2005. Т. 402, № 5. С. 590-595.

56. Ильин В. А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Доклады Академии наук. 2005. Т. 400, № 6. С. 731-735.

57. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 12. С. 1699-1712.

58. Il'in V. A., Moiseev Е. I. Boundary control of string vibrations that minimizes the integral of power p > 1 of the module of control or its derivative // Autom. Remote Control. 2007. Vol. 68, no. 2. P. 313-319.4

59. Ильин В. А., Моисеев E. И. Оптимизация граничного управления смещением на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени // Доклады Академии наук. 2007. Т. 417, № 1. С. 12-17.

60. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управлений смещением на двух концах струны за произвольный достаточно большой промежуток времени // Доклады Академии наук. 2007. Т. 417, № 2. С. 160-166.

61. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени £ управления упругой граничной силой на одном конце струны при свободном втором ее конце // Доклады Академии наук. 2007. Т. 417, № 3. С. 308-312.

62. Ильин В. А., Моисеев5Е. И. Оптимизация,за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С. 1528-1544.

63. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 12. С. 1655-1663.

64. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничного управления смещением или упругой силой на одном конце струны за произвольное достаточно большое время // Автомат, и телемех. 2008. № 3. С. 7-16.

65. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промежуток времени // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 1. С. 89-110.

66. Ильин В. А. О независимости оптимальных граничных управлений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 3. С. 383-389.

67. Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление смещением в \Ур струной со свободным концом // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 5. С. 709-711.

68. Ильин В. А. Единственность обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 5. С. 672-680.

69. Ильин В. А. Граничное управление смещением на одном конце струны при наличии нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1487-1498.

70. Ильин В. А. Теоремы о единственности обобщенных решений четырех смешанных задач для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // Доклады Академии наук. 2008. Т. 420, № 2. С. 162-165.

71. Ильин В. А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце струны с модельным нелокальнымграничным условием одного из четырех типов // Доклады Академии наук. 2008. Т. 420, № 3. С. 309-313.

72. Ильин В. А., Луференко П. В. Смешанные задачи, описывающие продольные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы // Доклады Академии наук. 2009. Т. 428, № 1. С. 12-15.

73. Ильин В. А., Луференко П. В. Обобщенные решения смешанных задач для разрывного волнового уравнения при условии равенства им-педансов // Доклады Академии наук. 2009. Т. 429, № 3. С. 317-321.

74. Моисеев Е. И., Холомеева А. А. Оптимизация граничного управления смещением на одном конце струны при закрепленном втором конце в классе И^2 // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 7. С. 941-946.

75. Моисеев Е. И., Холомеева А. А. Оптимизация граничного управления в классе колебаниями струны задачи возбуждения с закрепленным концом // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 5. С. 741-745.

76. Ильин В. А. О приведении в произвольно заданное состояние колебаний первоначально покоящегося стержня, состоящего из двух разнородных участков // Доклады Академии наук. 2010. Т. 435, № 6. С. 732-735.

77. Моисеев Е. И., Холомеева А. А. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием нечетности первого рода // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1623-1630.

78. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с.

79. Потапов M. М. Аппроксимация задачи Дирихле-управления и двойственной задачи с нерегулярными Нейман-наблюдениями для волнового уравнения // Доклады Академии наук. 2006. Т. 408, № 5. С. 596-600.

80. Потапов M. М. Наблюдаемость нерегулярных решений задачи Неймана для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады Академии наук. 2007. Т. 412, № 6. С. 748-752.

81. Потапов M. М. Разностная аппроксимация задач дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, № 8. С. 1323-1339.

82. Popov A. Y. Integral minimization of the second derivative module of the boundary control of string vibrations with the fixed end // Autom. Remote Control. 2007. Vol. 68, no. 2. P. 327-336.

83. Никитин А. А., Кулешов А. А. Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 5. С. 681-690.

84. Волович И. В., Грошев О. В., Гусев Н. А., Курьянович Э. А. О решениях волнового уравнения на неглобально гиперболическом многообразии // Избранные вопросы математической физики и р-адического анализа, Сборник статей, Тр. МИАН. 2009. № 265. С. 273-287.

85. Hasanov К. К., Gasumov Т. М. Minimal energy control for the wave equation with non-classical boundary condition // Appl. Comput. Math. 2010. Vol. 9, no. 1. Pp. 47-56.

86. Гурман В. И., Знаменская JT. Н. Управление колебаниями при ограниченном ресурсе управления // Изв. РАН. Теор. и сист. управления. 2002. № 1. С. 41-49.

87. Знаменская Л. Н. Управляемость колебаниями струны с одним закрепленным концом при ограничениях на управление // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 3. С. 377-382.

88. Знаменская Л. Н. Управление упругими колебаниями. Москва: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. 176 с.

89. Рево П. А., Чабакаури-Г. Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 6. С. 806-815.

90. Чабакаури Г. Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 1655-1663.

91. Чабакаури Г. Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в случае ограниченной энергии // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 2. С. 277-284.

92. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

93. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

94. Муравей JI. А., Асланов С. Ж. Аналитические и численные аспекты решения задачи гашения колебаний // Труды II всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. 2005. С. 123-126.

95. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. Аналитические и численные методы в задаче гашения колебаний струны точечным демпфером // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 7. С. 28-35.

96. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей JI. А. О гашении колебаний круглой мембраны с помощью кольцевого демпфера // Труды ИСА РАН. 2007. Т. 29(1), № 11. С. 54-59.

97. Асланов С. Ж. О гашении колебаний тонкой круглой пластины с помощью кольцевого демпфера // Труды IV всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. 2007. С. 103-104.

98. Тимошенко Н. В. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972. 508 с.

99. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. 256 с.

100. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

101. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука,