автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение нелинейных эрмитовых сплайнов для приближения функций

ЛШВСЬКИЯ ДШРЛАВНИЯ УН1ВБРСИГЕТ IMEHI ]. ФРАНКА

П I 3 Ю Р Ярополк Володимирович

ЗАСТОСУВАШЙ НШН1ЙНИХ ЕРШТОВЮС СПЛАЯН1В ДЛЯ НАВЛИЖЕННЯ ФУНВД1Й

CneiueuiHtcib 05.13. IS - аастосування обчислювально* твхц1ки, матвматичного моделввання i математичних метсд!В в наукових досшдявняях

Автореферат дисертацн на адоОуття паукового сгуленя ¡кандидата ф!вико- математичних наук

Р Г Б ОД

На правах рукопису

ЛЬВ1В - 1094

Диоертатею е рукопис.

Робота вкконана'в 8 ига- механ t чному 1нотитут1 1м. Г. В. Карпенка Лацюнальнок академп наук Укракни

Науковий кер1.вник: доктор ф1эико-математичних наук.

ст. наук. cniBp. ШПОВ Богдан Одександрович.

ОФШ1ЯН1 опоненти: доктор ф!вико-математичних наук,

npoítócop СКОПЕЦЬКИЙ Василь Васильович. кандидат ф18ик0-математичних наук МОНЦ1БОВМЧ Борис Романович.

Пров1дна установа: 1нститут проблем математичних машин i

систем Нацюкалыш акадешг наук Укракни, м. Ки1в.

Захиот вибудеться "J¿_" 1694 р. о год. на

аас1данн1 спещалаовано* вченог ради К 04.04.05 у Льв1вському державному ун1верситет1 1м. I. Франка ва адресок* 260602. Льв1в, вул. УШверснтетська 1, ЛДУ. ауд.

3 дисертащею можиа овнайомитись в б10лютец1 Льв1вського державного утлвзрсигету.

Автореферат розюланий "

10., 00 _ 1994 р.

Вчекий сокретар споц!ал1БОБанк вчанок ради

R А. 0СТУД1Н

Актуальн1сть пройдами. Ефективн! метода обробкн 1нформац11, як! вклшають 13! проста представления, знаходять все кирш о зысто-оуввння в р1зноман!тних областях ново! техн1ки. Ваз шя 8 юмкс-лимий наступний розвяток н1бвр:;втэтн:1Х систем, систем азгоматлзо-ваного управл!ння технолог1чкими процасами 1 схладтазд оО' актсж, систем автоматизацП наукового експершвнту. Цэ зв'давно з ввоб-х!дн1вт» н1дтворення функц!й складннх взд!в; змеккэнкя об "ему даних а метою зручност! передач!, абрабки, аСар1гЕннл 1 1нтврпро-тацН; формування нел1н1гЬшх керуючих сигналов; п1дгототла нвбли-«эних вираз!в Функц1й для отчисления на 20М або при допсмоз! спец1альних пристроив.

Наблитання функц!Я необх!дна в праитлчних розрахунках в ба-гатьох областях техн1ки 1 проаедвнн! науков:к досл!деинь. Для функц1й, як! задан! у еигляд! табллць, цэ зв'язано з отркланклм анвл1тичного виразу, оск!льки в1н б!льв лаглядякЛ, Яого лэгз*> до-сл!джувата 1 Штэрпрвтувати. Анал1тично аадаку функц1ю, я;са представлена складним виразам, часто наобх1дно аамЫити прост 1Ш!М ья-разом, так, щоб зберИгались II властивост!. Цэ потр1бно при обчл-сленнг фунхц!й на ЕОМ.

Для п1двшцешш точноет! представления функц!оналышх залак-востэй застосовують р!зп! метода наближекня: найкрац! чебииовськ! наближення, метод наймвнших нвадрат!в. нвблккэння сплайнами р1з-них вид1в та 1нш1. Метода сплайн-функц1г. нихористовумтъса досл!д-никами, як! займаються проблема?« кашяшо! грзф1ки, звтсматизацИ провктування, обробкл ексдаркментальних даних, 1донтиф1кац11 об' актЬз управл1дая, анал1зсм 1 оптималъним кодувэлнл сигнал1в в системах передач! дених.

При цьому часто нвобх1дно, щоб абоолзогна або в1дносгм похиб-ки н! в одн!й точц! не пэревиедвали наперед задано! нвлзгсжл 1 наближувана фуккц!я абер1галв неперерзнЮть разом з пох'дажи. Якщо при цьому вимагаги м!н1мальну к!льк1сть ланок, то приводимо до тюняття р!вном1рного шблкж&ння сплайшми. Р1шом1рпЕл сплаЯн-набликенням називаеда такэ наближення, при якому на кокному 1н-тарвал! (ланц!! макошальи! тахибки одинаков!. У багатьох в!до-мих випадках р1вном5рнэ наблкжешш сила.!ном в часто 1 оптималъним в тому розум!нн1, що при вибор! грекиць ланок (вузл!а) 1з умов р1р,ном1рност! наближання при задан!й к!льхост1 ланок отри-муамо м!н!мальну похкбку, а при задан И: похкбц! - м!н1малъну к1льк1сть ланок. Це наярнклад справедливо для многочлэнних ерм!-

тових ciuiaflHlB, якщо (т+1)-а пох1даа наЛликувано! функцЛ до-датня, дэ т+1 - к!льк1сть параметр1в в ланц1 сплайна.

Актуальною е задача розробки 1 досл!дження ноеих вфвктивних метод1в piEHowipHoro явбллжшшя функц1й сплайнами, бо з допомо-гою ipcc метод1в моша зменшити об'ем даних 1 зб1льшити точн1сть.

Стан ггробда.та. Розробц! теорП t мэтод1в чксельного розз'яз-ку задач впроксимвцИ, в твкоа застосуЕанням цих мэтод!в присвя-чена велика к!.пьк1сть роб1т в1тчизняних I заруб1жшх вчених. В цкх роботах перевакко розглядашться навирав; t в деякому розум1нн! наОлижання одам виразс:.-. i 1ктарполяц1Ян1 наблшкення многочлен-кшох сплайнами.

Творзтичяид питаниям сплайн-нвблшгань i методам наближэнь а допомогою сплаГн1в присвячэн! роОоти Д». Альберга, К. дв Бора, М.П.Корн1йчука, Ю.С.Зав'ялоьа, О.К.Сгечк1на, Ю.О.СуОбог1на, АЛ.Грэбонникова, А.О.Лигуна, В.А.Васшганка, Б.О.Попова, Л.ЛХ'у-мейхэра, Д.Ерзэсса, 1.Шонберга та Ингах.

Мэтоди нзЯхращого. чебишовського наблиаэння i метода сплайн-наблзжань розвиваються, в основному, незалемю. Кожан 13 них was сзоI параваги 1 надол!ки. 3 1х допомогою можна отримати наближен-ня коаарврнких функц'й а дов!льною точн!ств. В роботах Ю.С.Зав'я-лова, А.О.Лигуна, АЛ.Гребенникова, В.О.Сторчая, О.О.Щумойко роз-глядаються метода отшмання близького до р!вном1рного наближешя многочлвншюы сплайнами. НаОликуван! функцН вовинн1 мати пох1дн1 високих порядк!в.

При отбудов! р!зноман1тних техн1чнюс пристроУв 1 лрэдстав-лонн! ф!зичних лроцэс1в застосовуюгься також нелШйн! наблажон-ня (В.Б.Смолсв, В.Кобаяш!, Д.Камшр, E.G.Полете, В.Н.Малиноваь-югл та 1ш1). Таблиц! ф!зичних величин ошсуються майже вс1ми мо-иллекми енвл1тмчними залежностами (Дж.Р.Райс), а при 1х нвближэн-Ht часто важлива на т1льки точа!сть нвблигоння, в й вид 1 власта-eoctI наСлижаючо! функцП. Парзметри нел1н1йних залежностей часто кають повний ф1зичний зк!ст. В зв'язку з цим властивост! нвл1-нШшх наближэнь р!зних вид1в в нзш час 1нтенсивно вивчажться (Дк.Р.Райс, В.Н.Малоземов, А.Ф.Лвонтьев, Ч.Б.Дунхам, Г.Мейнардус • та 1ш1 ). Тому поряд з многочленними сплайнами лог!чною в поява сплаЯн1Е з ланками у вкгляд! 1нших нел1н1йних Еираз1в, таких як рац!снальн1, ахсшнвнц1альн1, тригонрметричн! та 1иа1.

Ряд техн1чних задач вимагав наблизеення не т!льки'само! функцП, а й П ПОХ1ДНМХ. Для цього доц1лыю використовувати ерм!то-

в! сплайни. Доол1джбняю многочленних ерм1тових: сплайн!» присвя-чен1 роботи В.Л.Вэл1к!на, АЛ.Гребенникова, А.О.Лигуня, В.Ф.Стор-чая, О.О.Щуиайзсо та !нпгах.

Мэта роботи та задач! досл1джония. Матов роботи а розробкэ ефактившх метод!в обробки !нформац}1 на основ! ылкориатвния р!в-ном!ркого наблюкення ерм1тагами сштЯн&ми для створення оптамаль-них за точн!стю, швидкод!пп та складнЮтю к1бернетстдах пристроХв, а такой систем для змешшння об'вму данях. Ця мэта включаа вив-чання властивостей р!вном!рного наближвння ермИовими сплайнами з нэл1н1йдами ланками; побудону обчислшальних алгоритм!з, ях! вра-ховують ц! влестнзост!; створення на 1х основ! матэматачного 1 програмного забезпечэння.

Для досягдання поставлено! мети в дпоертац1йн!Д робот! роз-в'язувались так! задач!:

- знаходавдая параметр1в наближань ерм1товими юкаЯнзмк з ланками у взгляд! в!днозэння многочлена до л1нШю! функц'!!, степе-нэвого виразу в!д многочлена, експоаенти в!д многочлена, ексяо-ненц!ально-степэневого виразу, логарифма в!д многочлена, оумк ек- " споненти 1 многочлена;

- знаходження вираз!в для похибок наближення функцП та II по-х1дних арм!тоаима сплэйналм;

- досл!дження можливост! зваденяя наближення функц!й ерм!тови-ш сплайнами а складки.*» виразами ланок до наблшкення ерм!танимн сплайнами з прост!шими ланками (обм1ни1 теорема);

- досл!дження властивостей ядер похибок наближення функц!й ер-м!товими сплайнами з нелШйними ланками;

- розробка алгоритм!в псбудови ерм!тового оплаПна !з задано» похибкою для анал!тичио задано! функц!!;

- знаходзвкня грпгадъ ланок з зиксрястаниям ядер (асимлтотично р!вном1рн9 наближатот) та побудова спротцэних алгоритмов для зпа-годогакия границь ланок при наЗлжэти з задано» похибкою 1 а за-даног к!льк!сти лзнок;

- розробка алгоритм!в нибл'иконля таблично задания функц!Я ер-м1'говими сплайнами а зпдзною похибкою 1 ааданоэ к!льк!стм ланок;

- отмр'мыл пакету лричлад'шх прогрпм для р1вном1ргазго няблл-хоння 5)утец1Л орм1тоЕИМн сплайнами з нол!я1Янпда лаяиэми;'

- знеходаоння юолжзнь фткц!й "Шпон" заданлх складними ана-л!тичпиим вирваомн г,оо у вигладГ таблиц, як! застоаовушться у 1'ьрмон1чнсму та спектральному тпл!н1.

Цэтодя доолджень. Основу методологП досл!джань складають аапропоноиан! í розроблен! в дасертацП метода знаходкання пара-матр1з лзнок' а також пэхибок наближення врм!товкми сплайнами з нол1н!пнкиг ланками. Tqkosí вякористовуюгься загальн! метода матв-мэтачного шал!зу, обчиолоювалыю^ математики, програмування í Teoplí апрокскмацП.

Теор<этичкиа анвл1з. в робот! поеднуеться з розробкоп практично пркдзт*кх алгоритм la ! побудовоя пакету прикладних програм.

Кпукоза нор.кзна. В л''С8ртац1Ян1Й робот! отриман! наступи! нов! наухон! результат:

- вирззи для параметра в нел!н!йних ланках ерм!тових сплайн!в;

- втоден! Еирази для похибок наблюквння функцИ i тох1дних ерм1тоБжта сплайнаш з нэл!н!йстли ланками, що узагальнюють в!до-м! ран!шэ зирази для многочлэнвих ерм!тових сила ¡tela;

- доведен! oOmíhh! теореми для ери!тозях сплайн1в, що дозволя-ютъ аводаг:: наближвння сплайнами з окладаими виразвми ланок до б!льш гросткх;

- досл!дооя'! Елдсггазост! ядер похибок эрм1тових сплайн!в з ш-л!н1йними ланками;

- рсзроблон! алгоритма поОудови р!вном!рного га асишготично píEHGKlpKoro наблигэнкя анал1ткчно та таблично задашсс ФункцИ эрШтокаэд сплайна ми з нвл!н1йшми ланкаш з заданою похкбкою та з заданою к!льк1стзз ланок; для асимтопшга р!вном!рного наближен-ня розроблен! опрощен! алгоритма зкаходаення гранщь ланок;

- побудований пакет прикладних програм "ПНЕО" - р!вном!рного наближэпня фушц!Я ерм!товими сплайнами з нвл!н1йнзши ланками;

- набли:вн! функцИ "bIkoh", як! застосовуюоться у гармон!чно-му та спектральному анал!з!.

Достов1рн!сть основная наукоЕих положень 1 отриманих результат^ забвзпечуеться строг!стю постановки задач! ! математичних мэтод!б, заотооовуваних при доводенн! осноаних твердкэкь; сл!впа-д!нням результатов, отриманшс числовимя 1 анал!тичними методами; одержанном результатов, як! узагальнювть ран!ше в!дом!; подготовкою на основ! пакету прикладних програм та використанням цих результат!в при розз'язку прикладних задач.

11а захист виносяться:

- побудован! алгоритм! для знаходкання парамэтр!в вираз!в в ланках ермОтових сплайнов;

- вгазеден! формула для пэхжзок наблюквння функцИ 1 пох1дних

ерм1товими сплайнами з нелШйними ланками;

- запропонован! t доведан! qômîkhI теарами, що дозволяють зво-дати наближешя ерм1товими сплайнами а складники виразами в ланках до 0!льш проста*;

- доол!дшн! властивост! ядер похибок эрм!тових сплайн!в в не-л!н№шыи ланками;

- запропоаоввн! 1 розроблэн1 алгоритма побудови р1Еном!рного та асимптотична р1вном!рнаго нвближэння аналЮТшо та таблично задание функцю ерм1товими сплайнами з задано» похийкоп та заданою к!льк!отв ланок;

- разроблений 1 рэал!зов8ний на IBM P0/AÎ "Пвкэт програм на-блшквння функц1й нел1н1йнкми ерм!товими сялайнвми" (ПНЕС);

- наближення врм!товями сшшйнвмя функций "в!кон" задаикх складними анал!гичними виразами або у вигляд! таблиць.

Практична ц!ннГсть. Оукупн!сть отримпних в дисертац!! рэ-зулътат!в дозЕоляа, ставит t розв'язувати в аденому обчислквалъ-ному процео! комплэксн! задач! змагелення об'ему даних з мэтоа б!льш ефектявно! ïx ЮТэрпрэтвц!!, передач! та збер1гання. Частика запропоноввшгх метод1в ! алгоритмов в!дноситься до паралэлыю-посл1довного типу, що забэапочуа можливЮть широкого розпарале-лювБ1шл процесу сбчкслэтш при знаходжэнн! параметров наблпжень.

Розробленэ програмна ! матвматична забэзпэчвння мокэ Еикори-стовуватись при проектувиш! 1 створаш! нових систем пэретворэн-ня i паредач! сигнал1в, прилад!в t пристроив 1нформац1йно-Енм1рв-вально! техн!ки, для адекватного представления дених, цо в1добра-кають суть нонкрепшх ф1зичних процес1в.

Ревл!зац!я ! впроввджения результатов робота. Teopewrmt t првктичн! результат, отримон! автором, вшсористовувались в нау-к0во-доол!дн1й робот! • "Розробка 1нформац!йних технолог!й та про-блемко-ор!внтоваша засаб!в обробки даних для д1вгиостики t оц!н-ки ctbhîb сврвдовища в реальному чао!" а розд!л! "Розробка 1и-формацШшх технолог!» для анал!тичного опису рэзультат!в окспа-риментальннх дасл1донь та для компактного представлении даних", виконуванШ в Ф!зкко-кохан!чному !нститут! 1м. Г.В.Корпенка НДН УкраНш, при.виконани! г/д для ШМО HAH Укрв^ш та 1н.

Разроблений автором "Пакет програм наближення функц!й нел!-н!Яними ерм!тавимц сл.пайнают" впроваджаний в 1ПТК ÎÎAH УкраКни i шшорпстоауаться для автоматизованого картування геолог!чних даних.

AnpoOaqtK робота. Окрем! результата, викладен! в дисертаЩй-н!й робот!, допов1делись на XII 1 XIII конфэренц!ях молодих вче-ratx С'!зико-мохан!чного 1нституту 1м.Г.В.Карпенка HAH УкраТни (м.Льв!в, 1985 i IS87 p.p.), на 2-й ксгаференцП молодих вчених í сп8Ц1ал1ст1в "Проблема п!двйцэння якост! матер!ал1в, прилад!в 1 оОладаання" (м.Лъз!в, 1986 р.), на Республ1канськ1й конференцН молодих вчвних i спбц!ал1ст!в "Применение информатики и вычислительной техники при решении народаохоз яйстввнних звдач" ( м. míhcbk, 1989 р.), на VII Всесоюзна школ1-сем1нар1 "Розпаралэлю-вання обробки !нформац!Г .д.Льв1в, 198Э р.), на Всесоюзна школ! Теория приближения функд.21Г (м. Лудьк, 198Э р.), на Перш1й Шя-народн!» кснфэрзнЩГ з 1нформвц!йних технолог ttt 1 систем ITIO'93 ■ (M.jibbta, 1Э93 р.), на сем!нар! "Ператворения 1 анал!з !нформац!1 у ф!зико-техн!чних системах" (м. Льв!в, 1994 р.).

По тем! дисертацИ опубл1коваво 10 poöiT.

Дисертац!йна робота складазться 1з вступу, чотирьох розд!л!в, BMCHOBKtB I гаймав 141 ,стор!нку основного тексту, сшсок л!тэрату-.ри на 14 стор. (152 наймвнувашш). Додатки займзють 12 стор!нок.

EMICT РОБОТИ

У вступ! давться характеристика актуальной! проблеми, яка складае предает досл!дкення. Поставлена мата досл1дження, сформу-лъован! основа! науков! шлшиення, як! еиносяться на захист, да-вться коротка анотац1я .дисертацИ по розд!лах.

В парсому розд!л! ошсуються запропонован! автором способи анаходжешя параматр!в а0,а1,... ,ад при побудов! ленок нел!н1й-кп ерм!тових сплайн 1в.

3 магом п{двидення точносг! наближвння функцМ сплайнами як ланки можна використовувати не т1льки многочлена, а й нел!н1йн1 за парамиграш вирвзи

F(A,x) » Ffo^a, ,... .a^ix) , (1)

так! як в1даошення многочлена до л1н!йно! функцН, степеневий ви- . раз в1д многочлена, экспонента в!д многочлена, добуток стеданево! 1 показниково! функц!I, логарифа в!д многочлена, сума акспоненги 1 многочлена. Введемо поняття ерм!тових сплайн1в з нел!н1йними ланками.

Означения 1.1. Нахай f(x), F(A,x)=F(a0,a^.... ,ат;х) е cPía.bJ. На шохин! X'ix € X: а-х0<х^<...<х -Ь) задан! значения функц»

f(x) 1 И noxiflmtx до п-го порядку включно. Нел!н1йгош ерм!тов;эд сплайном з парною к!льк1стю парамэтр!в m+1 fm«2ru1) оудемо пези-вати функц!ю

S(A,x) - | П\,х)*в((х-х^)(х^-х)) , (2)

яка задов1льняа систем! р1вяянь

- S(1?4,jck) - О, t=0~n , . . (3)

Через Q(uJ позначимо фуккц!ю Хев1саЯда: Э(и,М, якщо ti>0 1 9fu;=0 при ц<0. 1з система (3) сл!дуе, що S(A,x) е (/Va.bJ. Вираз F(A^,x) називааться ланкою ерм!тового сплайна. ПохиОка наближепня фунхцП f(x) а допомогою ерм!тового сплайна характеризуемся зва-

кеною в!ддаллю (функЩап похибки)

р(х) = f/fx; - s(A,x)W(x), ' (Д)

да вага наближення ш(х) е 01а,Ъ], w(x) г О при х е Са,Ъ1.

Означвння 1.г. Нахай f(x), i(A,x)"l'(aQ,a^,...,ал;х) (. 0"Га,Ы. На множил! Х=Сх € X: а^^х., <... <хр=Ь} задан1 значения функцН 1 II пох1дш,ас до ri-ro порядку включно, а из мнокин! X'^ixl= ffxl_1 + задан! значения фующИ /fx,). НелШйтм ер-

MiTOBHH сплайном з непарною к!льк!стп парамогр!в т+1 (ы*2п+2 ) будемо ивзивати фушщ!» виду (2), яка звдов1лькяа саот9м1 р!внянь

I f(x^) - S(A.x^) =а, . (5)

3 означень 1.1 1 1.2 випливав, що для визначення параметра А кокпо! ланки конкретного нел!н!йюго сплайна необх!дно розв'я-зати систему р!внянь (3) або (5). У нартупних параграфах першого розд!лу будуються чиседьн! алгоритми знаходжання параматр!в ланок конкратних сплайнIn: .

1) В!дношення многочлена до л!н!йно! фунхцП

= П/(х+р) т*3,4,5. (6)

2) Степеневий влраз в!д (ягагочлвна

' Ji^1"1

• ffjj^fx; = АС1 1 1 , х>0 , Ь*3,4,5. " (7)

3) Експонентв в!д многочлена

(8)

1 ,

Па (х) = Aexp(Y, Ъ.х1-) , х>0 , U3,4,5. t=1 i

4) Логарифм в!д многочлена

L,(x) " ln(% а.х1; , х>0 , 1*3,4,5.

i=0 х

б; Добуток сгегонева* 1 вкспонвнц!ально* функцИ 1с

Е Q ^

W„ - 1 "expfj: ь.х1;, хЮ, h+l*3,4,5.

А i=1 1

(10)

6; Сума многочлена 1 нвл1н!Яно1 функцН

п

Ев(х) Aexp(vx) + )Га1х-!~2, п-3,4,5. (11)

+ IV

Внаходаення параметров нвлОнШшх ерм1тових сшшйнОв а лвнквмк (Б)-(10) зводяться до розв'язку систоми л1н!йяшс рОвнянь. Параметр V лаяок сплайнов (11) шувэзться як розв'язои трансцендентного р!в-няння. Доведен! геореми про достагн! умови Оснування единого на-блшкення ерШтоЕими сплайнами а лшшами такого виду. Показано, цо ддя брм!тових сплайнов а ланками у вигляд! суш степеневого виразу 1 многочлена та дояких Онших нв 1снуе.единого наближвння .

В другому розд!л! дослОдауютьоя похиОки, як1 в вакливою ха- ■ рактерлстккою сплайн1в як апарату для нвблшкення функц!й. В пер-1ло;.'у параграф! швэдана формула для звакено! похибки р!вном!рного наблиазння нелОнОйним ермОтогим сплайном а парною к1льк!стю параметров

.ъ лпн-1

1

М--

|тifAWr; |m+1dr J [i^-btQ.;]^

3 цОе! формули випливаа вираз для к!лькост! ланок г при рОвно-мОрному нвближекн! з заданою похибкою. функцОю T)f/,i'J » т)(f(x),F) називають ядром похибки наближення функцИ /(х) ермОтовим сплайном з ланкою виду (1).

В другому параграф! виведений вираз для зважено! похибки ц нвблютення врм!товими сплайнами з непарной к!льк!стю параметр!в

1 т+1

де Jf» Jf(1-t)t)™ k+h-»/2;ilc[0 1 j. к - дефект сплайна, а також для к!лькост! лзнск г.

В третьому парагрвф1 виведен! формули для похибок наближен-ня пох!дних ерм!товими сплайнами з парною 1 непарною к!льк1стю пвраметр!в. Приведен! коеф1ц!анти в виразах для похибок при для ерм!тових Сплайн!в з к!льк1стю парамэтр!в ш!=Т7В ! до оьомо! пох!дно1 вклотпо.

В четвертому параграф! доведен! обм!нн1 теорем« для ерм!то-вих сш1айн!в, при допомоз! яких можна зводити нвближення функц1й ерм!товими сплайнами !з склвними виразами в ланках до б!льш про-стих. Сформуловмо одну !з них!

Теорема г.1. Нехай для функцП y(x)=ln\f(x)/g(x)\, (у(х), f(x), g(x) € СРш.Ъ], f(x)g(x)*0 при х € (а,Ы) icitya вдине набликвня врм!товим сплайном з пврною к!льк!отю mff параметр!в з вузлами tefc^o^k^ic+i 1 ланками виду

Рок+Х^Рцс»---'^ в Poic^W» m-2rwf. R-T7F. (12)

Год! для функцП f(x) на пром!жку Са,Ъ) з тими я вузлами 1снув едине наближення ерм!товйм сплайном з парною к!льк!стю параметр^ 1 ланквми виду

Ау£(х)ехр(х(2,а^к.....о^^ я А^(х)ехр(х(х)), (13)

А^О, й=Т7г.

Нэхвй ,г) - величина иайб!льшо1 абсолютно! похибки набли-

яэння функцП у(х) на пром!жку tx^.x^^J эрм!товим сплайном з ланкою (12), a 0kffc»T7r\) - величина найб!лыао1 в!дносно! похибки наблихення ЦункцН'/W на пром1кку /Тк,тк+17 ерм!товим сплвйном з ланкою виду (13). Тод! м!ж параметрами наближень мають м!сце сп1вв1даюшення

ek = 1-ехр(-Ьк), ft=77r .

3 допомогою «lei теореми можна авести знаходження наближення ерм!товим сплайном з лапкоп (13) да знаходження наближення врм!-товим сплайном з б!льш простою ланкою (12). Зокрема, наближення функцП f(x) ермДтовим сплайном з ланкою АехрС^^^а^) зводить-ся до наближення функцП yfxj=ln|/(zj| ерм1товим сплвйном з ланкою J^qPjX"'. При цьому парамэтри 1 похибки наближень сп!вв!дносяться-Mix собою по формул! (14).

3 допомогою !ншо1 обм!нно! теореми наближення функцП f(x) ерм!товим сплайном з ланкою зводиться до наближення

ФункцП y(x)=exp(f(x)) ерм!товим сплайном з ланкою

, Щэ одна обм1нна теорема дозволяв аввоти наближення функцП /(х) ерм1товим сплайном з ланкою до наближення

функцП у(х)=[?(х)/£(х)]а ерм!товим сплайном з ланкою В^^р^.

Аяалог!чн1 обм!нн! таореми для нел!н!йних ерм!тавих онлайн1в а непарною к!льк!стю параметров доведен! в п'ягому параграф!.

В шостому параграф! досл1дяуються аластивост! ядер похибок, як! вит1кають !з абм1нних теорем. Наведемо ц! властивост!:

1. Нахай 9(В,х)-Ф(Ъ0,Ъ,,...,Ъл;х) 1 с&(А,х)/с}х=Ф(В,х) .Тод!

тц7\Ф; - ц(г.г')-т\(Т.г)•

2. Не1ай Ф(В,х)*ф(Ъ0,Ъ^,...,Ът;х) ! {Рр(А,х)/&Р-Ф(В,х) .Тод!

3. Нахай !(х)>0 при хеГа.Ы. Тод!

г\(},ехрР) - ?(х)т)(1п?,Я).

4. Нахай 1(А,х)Х> при хега,Ъ1. Тод! тЦ/,1п.Р) - ехр(-}(х))т)(ехр;,Р).

б. Нахай в(х)/(х)*0 при хе[а,Ы, (;(х)/в(х))^^0. Тод! т\(Г,8Р) .- в(*№8.*>-'

б. Нахай 8(х)/(х)ХЭ при хИа.Ы; ((/(х)/8(х))и<х)^^0. Тод! при заданому д!йсному а

Т. Нахай !(х)*0 при хе[а,Ы , (1/Г(х))^) Тод!

В сьомому параграф! на основ! власгивостей ядер похибок ви-водяться.анал1тичн1 вирази ядер для конкретних ланок ерм!тових оплайн!в. *

В третьому розд!л1 звпропанован! алгоритми р!вном!рного на-Олижэння нел1н1йними ерм!товими сплайнами. В першому параграф! введен 1 поняття р1вном!рного наближення з заданою похибкою та р!вном!рного наближення з заданою к1льк!стю ланок.

Означения 3.1. Наближення функцП ?(х) ерм!товим сплайном з ' нелШйнями ланками Б(А,х) нь^.шааться р1вном!рним наближенням в ааданою похибкою ц , якщо

ц± - ггш\(Г(х)-Б(А,х))Л1>(х)\ - ц, иГТг=Г, цш,

да м(х)г*0 - вага наближення, похибка на 1-й ланц! х,г^Са,Ы, 1-ТГГг.

Означения 3.2. На ближе ннд функцН Т(х) ерм!товим сплайном а нэл!н1йними ланками Б(А,х) називазться р!вном1рним наблгаюнням з заданоп к1льк1сгв ланок г , якщо ц, - пах\(Г(х)-3(А.х)Уи(х)\ - ц, 1»Г7г.

Запропоновано алгоритм р!вном1рного наОлгакення ерм!товими сплайнами з задано«) пахибков ц. Алгоритм не заложить в!д виду сплайна. Нвведен! танок алгоритми, що враховують парну(непарну) к!льк!сть параметр!в ланок сплайна.

Другий параграф присвячений визначенню граничь ланок 1з ви-користанням ядер. Яри цьому умова р!вном!рност1 наближеяня ц^ц, (»?,г-1 виконуеться наблихено, оск1льки в осноеу визначення гра-ниць похладен! наОлшкэн! формули для похибок 1а розд!лу 2. Таке наближення називавться асимптотично р!таом1рним.

Означення 3.3. Набликення функцИ /(х) на пром!жну 1а,Ъ] сплайном 3(А,х) називавться асимптотично р1нном1рним наближвнням а задвною похибкою ц , якщо при г -» о ц4 = тх\(!(х)-В(А,х))тх)\ -

и-гт^т, ,ЦГ< цр+Ьг-^;].

Означения 3.4. Набликення функцИ /(х) на пром!жку 1а,Ы сплайном SfilFx^ називавться асимптотично р1вном!рним наближвнням а заданою к!льк1стю ланок г , якщо при г ■» ®

ц. - тах\(Г(х)-3(А,х))Ли(х)\ - ^иас—г)]. 1-Г7г. 1 х€[х1_1,х1]

Теорема 3.1. Нэхай наблияувана функц!я /(х) 1 вага набли-жвння ш(х) задов1льняа умовам

Х(х) е (Г*\а,Ы, г](/.Р) е сса.ы, п>(х) е 01а,Ы. /Гх) * О, * О, ь>(х) * О при х € Са.Ы,

а абсолютна похибка е^ набликення нел!н1йним ерм!товим сплайном' на ногв1й ланц! може бути преди'авлена у вигляд!

да при парному тИ I )t)m k+1ft-í/2;jQ[0j11

при непарному т+1. Тод! вуали асимптотично рОвномОршго набли-ження нелОнОйними ермОтовими сплайнами S(A,x) з задавав похибкою р. визначаютьоя ta рОвност!

ф'ПГ/.^/шПЛ тИс1г - г|\71(!,ЮМХ)\ и+1<*г , 1*Г7г~ (16) а а

В загалыюму випадку рОвняння (15) 1 (16) а трансцендантшши р!вняннями в 1 днэсно навОдомих параметров х.^. Для 1х розв'язку ви-користовувть наблиадн! метода. В даяких ышаднах ц! рОвняння роз-в'язуються точно. Це заложить в!д виду наближувано! функцИ 1 вОд ядра похибки наближення, яка визначаеться ланкою иалОнОйного ер-мОтоього оплайна. Фэрмули (15) 1 (16) дощльно викориотовувати, коли не потр1бно досягнути високо! точяостО, або як нульве набли-квшш до 1 с тинного значения границ! ланки сплайна.

В третьему праграф! пропонуютьоя спрощонО алгоритма для ви-аначакня границь лвнок. Вони йазуються на наближеному'представ-лвннО Онтеграла. Для знаходжання грашидь ланок при асимптотично рОвномОрному наОлшкенн! сплайнами з задано» похибкою застосову-ються метода розкладу в ряд Тейлора, формула прямокутнихОв, формула трапецОй, формула СОмпсона. Аналог1чнО сгосоОи використову-ютъоя 1 для наближеного знаходжання границь ланок при асимптотично рОвномОрному набликеннЦ сплайнами з задано» к0лък1атв ланок. ДеякО алгоритма знаходазння гравиць ланок передбачаьть можлив!сть розпаралелюаання.

В четвертому параграф! розглянуто способи побудови р1ыюм0р-них наближекь эрм Отоымп сплайнами таблично звдашх функц!й. Осо-ОливостО побудови вОдоовОдних алгоритмов вишшваять з того, що границ! ланок анаходяться в точках таблиц!. НаводенО алгоритма каблизйння табличных функцОй нэлШйшши ермОговши сплайнами з ааданою похибкою 1 аад&ною кОлькОстю ланок.

Четкарткй роздОл присЕЯченкй опису розробленого автором накату програм набликення функцОй нолОнОйними ермОтовими сплайнами -ПНЕС та застосуввтям його для набликеюш функцОй "нгкон", нкО вй-кориотонуиться в гврмонОчному и- спектральному аиыюзО. Ошюуеться призначеняя 1 функцОональнО можливостО пакету, структура програм-

(16)

ъ

но! 1 !нформац!йно! частияи, порядок поотвнэння пакету.

Пакет призначений для наближення функщй ! дантс ерм!товими сплайнами з нел!а!йними ланками на комп'ютерах типу IBM РО/АТ. В!й реал!зований на мое! програмузання О (веро!я Turbo 0++ 1.01) ! його працездатн1сть п!дтримувться операц!йшми системами MS ЮЗ 3.0 !

вищ9.

Пакет програм ПНЕО звбезпвчуа побудову нэл1н1йними ерм!товими сплайнами:

- р!вном!рного наближення з зйданою похибкою фуякц1й задания ана-л!тично;

- наближення ,!з ваданою похибкою таблично задвних функцШ; ■

- наближення 1з задано» х!льк!стю ланок таблично заданих функЩй.

Побудова цих наближень зд!йснюаться для ермИових сплвйн!в з многочлешпмг ланками та ланками виду (б)-(11).

Пакет програм ПНЕО складазться !з програмно! ! !нформац!Йно! частили. Програмна частина м!стить управляючу програму ! програми, як! реал!зовують функцП пакету. До програмно! чвстини належать: 1) управляяча програма;

Я) програма виводу вх!дно! ! вих!дноГ !пформацП;

3) програма побудови р!вном!ряого наближення анал!тично заданих функц!й нвл!н!йними врм!говими сплайнами з зздвною похибкою;

4) програма побудови наближення таблично задано! ФункцП не-л!н!йним ерм!товю> сплайном з заданою похибков;

б) програма побудови наближення таблично задано! функцП не-Л1н!йним ерм!товим сплайном з заданою к1льк!стю лвнок;

6) програма табулювання анал!тачно задано! функц!! I чисель-ного дифвретЦюввння даних.

1вфэрмвц!йяа частина пакету ПНЕО складаеться !з файл!в з да-ними про масиви значень аргументу, знвчень функцП, значень горшоI та друго! пох!дешх, а такок файлу з результатами наближення функцП сплайнами - границями ланок, коеф!ц!внтами сплайну, похибков наближення на иожя!Й лвнц!.

В п'ятому параграф! наведен! результата р!вном!рного наближення ерм!товими сплайнами функц!й "в!конп, як! звстосовуються при гармон!чному анал!з! складних датерм!новзних фуякЩЙ 1 спектральному анал!з! отацЮнарних вшадкових процзс!а для змэншення неба-жаних ефект!в розмивання спектральних складових. Функц!1 "в1кон" кояструюються вкходячк з певних умов оптимальност!, наприклвд, Ш-н!м!зац!1 внергП бокових пелюсток, максимуму енергИ в певн!й по-

лос! частот та 1н. Тш1 "ь1нна" описуютьоя складними анап!тични-теюи ьирааомг. або оц1нон! т!льки в окремих точках, тобто задан! у х/дгляд! тзбл-.щь. В цьаму параграф! булл нвближэн! фушсцИ "в1коня Кайзара-Бесселя I Х1лоергз-Рута ерм!товими сплайнами з р!зними лапками е задано®-похибкою 1 аадаиол к!льк!от» ланок. Найкращий результат при наОлнжони! "в1кна" Кайзэра-Бесселя дав многочлэшшй &рм1тозий сплайн, а при наблккени! "Ыкка" Х!лберга-Рута - ерм!то-в;й сп.".аЗн а бкспонбнц1алыюю ланкою (8). У вс1х випадках р!вно-м!рне наблаа:эш:я ьияаллеться б!льи ефективким н!и наближання з розСиттям Штурвалу на р!вн! проиЧзка.

У ьиспог.ках г.орораховен! соновн! результата, отриман! при ви-кснакн! дасертацМна! роооти.

В додатках наведен! документы про впронаджання 1 використвння результат 1а роооти, з такох .'.штор 1а л;:, як! характеризуют^ можливо-ст! пакету ПНЕО.

0СШБН1 РЕЗУЛЬТАТ!! РОБОТИ

1. Ззаропонаван! ерм!тов! сплайна з р!зними нел!н!йними ви-разамл в ланках, як! дозволяють п!даидкти точн!сгь наближання фуя-к:д£й разом з пох1дашми. Отриман! вирази для параметров ланок нел!-к!йних ерм1тових сплайн1а. ' '

2. Досл!дкзн.1 похжСки ньближешя фуннц!й 1 1х пох!дних ер-м!тоькми сплайнами з шл1н1Я1«?ли ланками. Формула для похибок узагалььхать в!дом1 результата при наблкжзнн! функц!й ! пох!дних |.510Г0чл1»:йь»ш ор.'Лтоьпт сплайнами.

3. декадаI обмиот! теорема, як! дозволяють зводити набли-кзння »ГункцЪй нэл!н!йнимк ерм1токаи сплайнами з с к л одами вира-еедм е' лаках до набляжоння арм!тогими сплайнами а проетими (мяо-' гочлоншгя*.) ланкаэд. Досд!джэн1 влэстиеост! ядер иох;:5ск, що вл-токаыть 1з теорем. Пзбудовая! вирази для ядер пзхибок иеб.исканнд бр«1тоьим;; сплайнами з р!знкма ланками. •

4. Ззирояоковая! злгоритки р1ыю:«1рного изближвння аналТти-чно 1 таблично задает функц!й з зздшюю тюхибко» 1 заданов к!ль-к!сты ланок. Довэдэнэ творьму про ре::м1ц91шя вузл!п зеимптотично

■ р1вном1рного наближэння фужц!й врм1товими сплгДнади.

5. Яобудован! наближання фуикц1Я "в!кон",'-яг:1 викорпстор.ують,-ся прг гарша1чному- аналЮ! с. ядиих дб.терм1ноаан::х. ф?нкц!Я- • 1 спектральному аиал!з! стацОонврних випадкоы'д процао!с, що дало

амогу спросгита Гх обчислення, вао замЮТта ц! фуккц{" анзлЮТггаш виразом у випадку 1х дискретного задвннл.

6. На основ! згпропонованих методов ! алгоритм!в створено пакет програм для наближення функц1й нвл!н!йнкми ерм!тотя«? сплпйна-ми < ПКЕО ).

Розроблен! алгоритма дашь можлив!сть вибрати вкраз ланки сплайна (is запропонованого перел!ку вкраз!а) для нйбджагам фун-кц!1 без самого проведения нвблжекня при якому

- к!льк!сть ланок буда мтгмадьно при задаШЙ похибц!;

- похибка набликення Суде мШмзльпо» при зэдан!й к!лькост! ланок.

ПО TEMI ДИОЕРТАЦИ ОПУЕЛ1КОЕАН1 РСЕ07И:

1. Пизюр Я.В. Приближение эрмктовкми сплайнами с експоненцизлыш-. ми звеньями/ Материалы XII конференции молодах учзних Физико-

механического института юл. Г.В.Каршнко АН УССР.- Львов, 1985.- 0.33-35.- Рук.ДЭП. В ВШИ 21.02.86, N 1S40-1386.

2. ПйЕюр Я.В. Приближение эрмитовыми сплайнами с нелинейным! звеньями// Отбор и передача информации.- 1587.- Е:-ш.76.~ 0.72-75.

3. Пизюр Я.В. Погрешность приближения нелинейным» эрмитовыми сплайна»,ж/ Материалы 2 конференции молодах ученых и специалистов "Проблемы повышения качества материалов, приборов и оборудования".- Львов, 19SS.- С. 64-86.- Деп. в ВЖ1ГГЛ 24.04.37,

N 2Э34-В87.

4. Пкзыр Я.В. Обманные теоремы для эрмитовых сплайнов/ Материалы 13 конфэрвнцш! молодах ученых Физико-механического института им.Г.В.Карпенко АН УССР.- Львов, 1987.- С.55-59.- Деп. а ВИНИТИ 12.07.88, N 5S12-B88.

5. Шавр Я.В. Нелинейные эрмитовке сплвйнн/ Всесоюзная икола "Теория приближения функций". Тезисы докладов.-Киев: Институт математики АН УССР, 1989.- 0. 123-124.

6« Пизюр Я.В. Приближение эрмитавнм сплайном с звеном в виде произведения степенной и экспоненциальной функции/ Применение информатики и вычислительной техники прй решении н/хоз.задач. Тезисы докладов Республиканской конференции' молодах ученых и. специалистов.- Минск, 1989.- 0. 112. 7. Пизюр Я.В., Попов Б.А. Свойства степенных эрмитовых сплайнов//

Контрольно-измерительная техника.- 1988.- Вцп.44.- 0.21-28.

8. Пизюр Я.В., Попов Б.Д. Алгоритм распараллеливания для приблюке-ния нелинейными армиювнми сплайнами/ Седьмая всесоюзная вно-ла-семинар "Распараллеливание обработки информации". Тезиса докладов и сообщений.-ЛьвовI 4Ш АН УССР, 1Э8Э.- 0.153-154.

9. Пизюр Я.В., Попов Б.А. Эрмитовые сплайны с экспоненциальными и логарифюмоскимк звеньями //Отбор и обработка информации.-

' ции.- 1989,- Вып.З.- а. 26-31.

10. П1зюр Я.В., Попов Б.О. Р1вном1рне наблшсвння врм1товими сплайнами з парной к!льк1стю парамотр1в// Контрольно- вим!рювальна Твхн1ка.- 1993.- Вш.50.- 0. 8-13.

Особистай вклад. Бс! результата, ща склздають ооновний зм!ст дасертаЩйно! роботи, отриманt автором самост!йно. В публ!кац!ях, як! написан! в сп1вавтарств!, дисертантов! належать: в роботах 17, 91 - доведения обм!шшх теорам для ерм!тових сш1айн1в, в робот! (61 - алгоритм розпврвлэлюванпя, в робот! Е101 - алгоритм р!вном!~ рного наОлиження а заданою похибкав та формула для анаходження ву-зл!в асимптотично р!вном!рного наближення брм!товими сплайнами.

Шдписано до друку СЁ .09.04.

Формат бОх 84 I/Ifi .flar/Ip офсотиий .Друк г4с.етияй.Ум.друк. арх. I,(}. Ум.фарбов1дб.1,0.Тирзд ЮО.Зпм.'" 1215

Наачвльно-виробнич1 ыайстерн1 Дьп1иськоро пол1грп<|1чного техн1куму 290004,ы.Льв1ь,вул.Винничйккп,12.