автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение метода суммарных уравнений для расчета собственных частот цилиндрических щелевых резонаторов

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

РГб од

Котик Ульяна Владимировна _

1 5 май 2000

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СУММАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЩЕЛЕВЫХ РЕЗОНАТОРОВ

05.13.16— применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных иследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2000

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибер неики Московского государственного университета им.М.В.Ломоносов!

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.В.Шестопалов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Й.К.Лифанов

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник А.Д.Шатров

Ведущая организация: Московский институт радиотехники,

электроники и автоматики

Защита состоится " " _2000г. в '' на заседанш

Диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственно;^ университете им. М.В.Ломоносова по адресу:

119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685

С диссертацией могкно ознакомиться в библиотеке факультета вы числительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан " " ЛОХА-_2000г.

М5. ЛАСп. 0

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Научные исследования электромагнитных явлений в волноведущих структурах сложных сечений, к которым относятся рассматриваемые в работе экранированные цилиндрические щелевые резонаторы (ЦЩР), приводят к сложным электродинамическим задачам, что обусловлено сложной геометрией границ рассматриваемых структур, а также наличием неоднородного диэлектрического заполнения. Их решение с достаточной для практики точностью требует разработки новых теоретических подходов, построения новых математических моделей, использования мощных современных математических методов и применения вычислительной техники. Одной их таких задач является рассматриваемая в диссертационной работе задача определения собственных частот ЦЩР. В рамках математического моделирования эта задача заключается в решении краевой задачи на собственные значения для уравнения Гельмгольца с разрывным коэффициентом.

Экспериментальное исследование электромагнитных явлений в вол-новодных и резонансных системах сложных сечений является дорогостоящим, трудоемким, требует наличия аппаратуры для автоматизации эксперимента и значительного времени на его выполнение, поэтому наличие достаточно точных расчетных формул и алгоритмов часто является определяющим при его подготовке. Эффективная замена натурного эксперимента моделированием на ЭВМ возможна только в случае применения строгих математических моделей и методов. В этом случае адекватность модели реальному радиотехническому устройству позволяет проводить строгие исследования на качественно более высоком уровне, глубже понять природу электромагнитных явлений и обнаружить новые эффекты в рамках используемой модели.

Таким образом, вопрос о разработке методов и алгоритмов решения краевых электродинамических задач, методов моделирования и визуализации электромагнитных полей для сложных резонансных структур с диэлектрическими неоднородностями и проведение с их помощью исследований параметров перспективных радиотехнических устройств, является важным и актуальным.

Целью диссертационной работы является применение методов математического моделирования для исследования задачи о собственных колебаниях ЦЩР; разработка численно-аналитического метода, в котором приближенные аналитические формулы для собственных частот применяются в комбинации с численным методом; исследование свойств множества собственных частот ЦЩР; разработка алгоритмов и программного обеспечения для расчета собственных частот и полей цилиндрических щелевых резонаторов, сечение которых образовано пря-

моугольными областями (ПЩР); проведение комплекса расчетов собственных частот и полей ПЩР в широкой области изменения параметров и применение полученных результатов для моделирования устройств

свч.

Метод исследования. Для нахождения приближенных значений собственных частот ПЩР используется численно-аналитический метод, в котором явные аналитические формулы, полученные для узких щелей с помощью метода малого параметра, применяются в комбинации с методом сумматорных уравнений в тех областях, где эти формулы не применимы.

Научная новизна. Автором получены впервые и выносятся на защиту:

— математическая модель для определения собственных частот экранированных ЦЩР;

— доказательство дискретности множества собственных частот ЦЩР, в том числе вещественность собственных частот ПЩР и определение области их локализации;

— приближенные формулы для расчета собственных частот и полей в ПЩР с узкими щелями в виде отрезков асимптотических рядов с оценкой остаточного члена;

— метод сумматорных уравнений, алгоритмы и программы расчета собственных частот и полей ПЩР на основе этого метода;

— разультаты расчетов собственных частот и полей ЦЩР с произвольной конфигурацией прямоугольных областей и расположением щели и исследование влияния различных параметров резонаторов на их резонансные свойства.

Практическая значимость. Разработанные методы, алгоритмы и программы для ПЭВМ позволяют рассчитывать собственные частоты и поля для резонаторов, сечения которых образованы произвольными конфигурациями прямоугольных областей (Г-, L-, и Т-форм) в широком диапазоне изменения геометрических параметров и диэлектрических проницаемостей; строить линии модуля амплитуды поля внутри резонатора. Результаты численного эксперимента представлены в виде графиков и изображений распределения полей. Результаты работы, которые позволяют определять расположение областей наибольшей интенсивности поля, могут быть использованы при проектировании различных устройств СВЧ, в частности, СВЧ-печей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VIII Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики'99» (Феодосия,

июнь, 1999г.); Дальневосточной школе-семинару по математическому моделированию и численному анализу (Находка, 1999г.); на семинарах ю вычислительной электродинамике физического факультета МГУ и кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ (Москва, МГУ, 1999-2000гг.); Ломоносовских чтениях (Москва, МГУ, 2000г.).

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Материал изложен на 106 страницах текста, включая 34 рисунка и библиографию из 91 наименований.

Во введении дается обзор литературы по рассматриваемой проблеме, содержится общая характеристика направления, развиваемого в работе, излагаются основные полученные результаты.

В первой главе рассматриваются ЦЩР с кусочно-однородным заполнением, образованные цилиндрическими областями с образующими, направленными вдоль оси Охз в декартовой системе координат (х\, %i,Xz)-

В п.1.1 вводятся семейства областей, образующих сечения резонаторов плоскостью хз = 0:

- семейство BD (рис.1), состоящее из областей ft = Г21 U П2, где области П' (i — 1, 2) ограничены произвольным односвязным гладким замкнутым контуром Г1 С Са,а > 3(г = 1,2) без точек самопересечения; щель L С Г1 ПГ2 ф 0 принадлежит общей части границы;

- семейство BDr, состоящее из областей fi = Q1 U Г22, где области €1* (г = 1,2) ограничены произвольным односвязным гладким замкнутым контуром Г' С Са, а^ 1 (г = 1,2) без точек самопересечения; щель L С Г1 ПГ2 ф 0 принадлежит общей части границы и совпадает с интервалом прямой Xi — const;

- семейство BD$ С BDr\ щель L С Г1 П Г2 ф 0 совпадает с интервалом прямой XI — 0.

Диэлектрическая и магнитная проницаемости среды е(г) и /х(г), г = (0:1,2:2) зависят от пространственных координат и являются кусочно-постоянными функциями:

В п. 1.2 ставится задача определения собственных частот описанных эезонаторов для двумерных колебаний (д/дх$ = 0) Е- и Н-типа. Эта

Содержание работы

задача сводится к двум независимым скалярным задачам Е и Н на собственные значения для уравнения Гельмгольца с кусочно-постоянным коэффициентом.

Пусть у(г),и(г) — соответственно £3- и Дз-компоненты векторов Е, Н напряженностей электрического и магнитного полей. Требуется найти значения спектрального параметра А = ш2 (собственные значения), для которых существуют нетривиальные решения однородных уравнений Гельмгольца

Ду(г) + М(г)^(г)ь(г) = О, Аи(г) 4- Ае(г)д(г)и(г) =0, г € П = П1 и П2, принадлежащие функциональному .классу

М — {и, и : 1>,и е С2(П) ПС^ЦЙ* \ ^ПСЙП^П2)},

(1а) (16)

где обозначает окрестность концевых точек 5 (ребер); удовлетворяющие однородным краевым условиям на Г

ди дп

= 0,

= 0,

условиям сопряжения на Ь г,1 - у2 = О,

и1 - и2 = 0,

1 дv1 1 дv1

/х(г) дп 1 ди1

ц{г) дп 1 ди2

= 0,

= 0

е(г) дп е(г) дп и условиям на ребре (Мейкснера) на каждом компакте С Я

(М2 +\Уь\2)йг <оо,

я //

(|и|2 + |Уи|2)йг < оо.

(2а) (26)

(За) (36)

(4а) (46)

В п.1.3 приведены определения и основные свойства обобщенных потенциалов в областях П, принадлежащих семейству ВИ^.

В п.1.4 исследуются свойства функций Грина й} = 0}(г, д;А), I — 1,2, г = д = (уь'З/г) '-й краевой задачи для уравнения Гельм-

гольца в областях, принадлежащих семействам ВИ, ВБГ и -В-Од (в пРеД~ положении их существования). Доказано, что в областях ВБ, ВБТ и

ВИ^ функции Грина = (7|(г,д; Л), ¿ = 1,2 ведут себя как ядра обобщенных потенциалов соответственно двойного (I = 1) и простого слоя (I = 2), то есть имеют место следующие утверждения:

Лемма. Функции Грина в} удовлетворяют следующим требованиям.

1. С\(г,д;Х) С|(г,д;А)

у£ь

и

г,д<=ь

допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость Са как мероморфные функции А с изолированными простыми вещественными полюсами А^ (п = 0,1,..., г = 1,2).

2. Для следа функций Грина на Ь имеет место следующее представление:

«о. \\ — дт2пп.* ,л ' СЫГ,«г;А) =-----{-Ni (А;в),

А — лп

Г° = (*,0)еь, д° = (з,0)е1,

в окрестности каждого полюса А^, и ЛГ?" мероморфные функции А с теми же полюсами, что и функция Грина С\ (за исключением А^ в случае 7У?П голоморфна в окрестности и один раз непрерывно дифференцируема по переменным 6 Ь(п = 0,1,..., г = 1,2).

Таким образом, следы функций Грина на Ь для ограниченных областей из классов ВО и ВБТ являются мероморфными функциями А на всей комплексной плоскости Сд.

Указанные свойства функций Грина применяются для исследования потенциалов в областях, принадлежащих семействам ВБ и ВХ>Г.

Интегралы

и(г) = I <?2 (г, А)<р(*) А, г 6

{ (5)

гЮеН^Ь), д° = (¿,0) е Ь

и

v(r) = I SCi (г, 9°; *#(*)<&, ГСП, q° = (t, 0) € L,

^(r.g0^)^ — (?i(r,<i0;*),

называются потенциалами Грина простого и двойного слоя.

Теорема. Потенциалы Грина простого и двойного слоя, задаваемые уравнениями (5) и (6), являются соответственно обобщенными потенциалами простого и двойного слоя в областях, принадлежащих семействам BD и BDr. Функции G2 (г, ç°; к) и ôGi (г, q°k)/dy2 допускают представление в виде ядер обобщенных потенциалов простого и двойного слоя.

В п.1.5 излагаются основные понятия и положения теории оператор-функций и приводятся некоторые элементы спектральной теории интегральных оператор-функций с логарифмической особенностью ядра, используемые в дальнейшем изложении.

В п.1.6 задачи Е и H определения собственных частот сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода с логарифмическими особенностями ядер. Имеют место следующие утверждения, содержащие основные результаты первой главы:

/4P п

Теорема. Пусть область Л с BDr. Тогда при Л /- ——, где — собст-

si

венные значения оператора Лапласа в области fi', задача Е эквивалентна задаче на характеристические числа для фредгольмовой интегральной оператор-функции

КЕ( Х)ф = J %Е{ A; t, s)ip(s) ds — 0, te L,

L

■) 8

Л Г ri

i=l v

P€R\ r = (t, 0), g° = (s,0),

где KE{\) : XQ -> Xa.

Теорема. Пусть область Я С BDT. Тогда при А ф ——, где ¿¡„ -—собст-

£i

венные значения оператора Лапласа в области fi*, задача H эквивалентна задаче на характеристические числа для фредгольмовой интегральной

оператор-функции

Кн(\)ч> = J X{\-,t,s)<p{s)ds = 0, t<=L,

L

2 i~ 1

где Кц{\) : Ха -+Ya.

Теорема. Пусть область П б BDr. Тогда собственные частоты Е- и Неколебаний (собственные значения задач Е и Н) образуют на комплексной плоскости А дискретное множество без конечных точек накопления.

Теорема. Пусть область íi € BDT. Тогда существует положительное значение ао такое, что если а= diamL € (0, ад), то в окрестности каждой точки = ——, п = 0,1,..., г = 1,2, лежит, по крайней мерс, одно Si

собственное значение задачи Н.

Теорема. Пусть область П 6 BD. Тогда собственные частоты Н-колебаний (собственные значения задачи Н) образуют на комплексной плоскости А дискретное множество без конечных точек накопления.

Таким образом, если А 6 ста-, где ак есть множество характеристических чисел оператор-функции A) (ÜTíí(X)), то ш = \/А суть собственная частота рассматриваемого резонатора.

Во второй главе исследуется задача определения собственных частот Н-типа для ЦЩР, сечение которого образовано комбинацией прямоугольных областей (ПЩР).

В п.2.1 ставится задача (16) — (46) определения собственных частот ПЩР, образованного в сечении плоскостьюгз=0в декартовой системе координат (x\,XziX3) двумя прямоугольными областями (рис. 2):

П1 = {г : 0 < ii < ai; 0 < х2 < bi}, П2 = {г : 0 < xi < а2\ -Ь2 < х? < 0},

с общей частью границы

Г = 9П1 ПдО2 = {г : х2 = 0, 0 ^ ^ min(ai,a2)},

содержащей интервал

L = {г : х2 = 0; d — ш < х\ < d + w}

щель с ребрами дЬ = {51 = й- т, ¿>2 = <1 + ги}. Диэлектрическая проницаемость среды е = е(г) — ей г € Г2', % — 1,2.

Кроме того, требуется выполнение условий, определяющих поведение решения на щели

ди 8X2

€ XP(L) = L2p(L), ti(r) т = u(®b0) е WUL)

В п.2.2 результаты, полученные в первой главе применяются для исследования свойств функции Грина второй краевой задачи для уравнения Гельмгольца в прямоугольных областях Q1 и П2 . Задача Н сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода относительно неизвестной функции ip(xо) = dui(xo)/{eidx2) € XV{L):

K{X)tp = J Х(\;х,х0)фо) dxо =0, x € L, (7)

L

где

3C(A; x,Xo) = ej(?i(A;s,a;o) + e2G2(A;a;,xo).

Соотношение (7) рассматривается как задача на характеристические числа для фредгольмовой интегральной оператор-функции К(\) : XP[L) W-j (L) комплексной переменной А, где А одновременно является спектральным параметром задачи Н.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема. При А ф Anm = + задача Н определения собст-

венных частот ПЩР эквивалентна на Сд задаче на характеристические числа для фредгольмовой интегральной оператор-функции К(А), заданной уравнением (7).

. В соответствии с результатами первой главы спектр <т{К) оператор-функции -ЙТ(А) состоит из (изолированных) характеристических чисел и ст(К) — сг#, где а я — множество собственных значений задачи Н. Таким образом, свойство фредгольмовости оператор-функции К(А) влечет дискретность множества он во всей комплексной плоскости Сл> так что может существовать не более, чем конечное число (вещественных) точек <тя в каждом конечном круге {А : |А| < Д}.

В п.2.3 исследуются свойства оператор-функции .К'(А). Имеют место следующие утверждения.

1. Ядро оператор-функции jFT(A) представимо в виде: К(Х\х,х0) = coin ^ ^■■ + JV(A;ж,аг0),

где

ЛГ(Л;я,Хо) = Л^1(Д;х,г;о) + д{х,х0),

51 +е2

1=1

9о{х,х0) = Г

2 г 28т^-(е-го)

Х - Хо

17Г

2зт-—(аг + аго) 2а*

ЛГ,(А;*,*<>) = ¿Ы°(А) + Е(/3«(Л) - о)},

¡=1 ^ П=1 '

где — мероморфнан функция с теми же полюсами, что и К{Х\ х, хо). Ряд ^(А^.жо) сходится абсолютно и равномерно по х,хо 6 Ь и допускает почленное дифференцирование по этим переменным.

2. Функция N(\•,x,xo) удовлетворяет следующим условиям: N{A■,x1xo) € С\ЬхЬ),

д^^х^хо)' (&) -—-- € Ь2{[Ь х Ц,р(х),р{х0)).

3. Пусть Л = Л1 и Л2; Л* = {а{£, = 4- Точки множества Л упорядочены в соответствии с возрастающими значениями. При всех А £ Л К(А) действует из ХР(Ь) в Т^1 (X) и является фредголь-мовой и конечномероморфной оператор-функцией в Сд.

4. К(А) имеет по крайней мере одно характеристическое число на каждом интервале (А(,, А^-ц), А„ € Л, между любыми двумя соседними полюсами.

5. При Ф оператор-функция К(А) допускает выделение простого полюсного пучка в окрестности каждого фиксированного

полюса А'

(О им-

Т<р= - 11п 1-¡-(^(аго)^,

тгУ |®-г0| ь

6. Существует положительное число из о, такое, что если IV £ (0, гоо), то в окрестности каждого полюса Апт € А лежит по крайней мере одно характеристическое число оператор-функции К(А).

Эти свойства позволяют утверждать:

Теорема. Задача Н определения собственных частот ПЩР имеет на каждом интервале Л„,1/ = 0,1,... вещественное собственное значение. Эти собственные значения совпадают с характеристическими числами интегральной оператор-функции К(А).

В п.2.4 метод малого параметра применяется для получения приближенных асимптотических формул для вычисления характеристических чисел. В качестве малого параметра рассматривается относительный

диаметр щели /3 = ln ^ . Приближенные характеристические числа находятся по формулам

аф>еi+e2 о^ех+егЧ ei+^2 тг У "

где

2ef ^ e—rnbi/ai nd x¿ ]

+ — > —Г7-Г-/—Г eos----ln — sin— }.

7Г n sh {irnbi/ai) ai n ai ai j

Легко видеть, что —> Ад^ при 0 -> 0 и естественно занумеровать собственные значения в том же порядке, что и полюса

В п.2.5 рассматриваются основные свойства сумматорных операторов. Сумматорными называются операторы, действующие в гильбертовом пространстве коэффициентов Фурье и определенные своими бесконечными матрицами. Точки спектра сумматорной оператор-функции называются ее характеристическими числами.

П.2,6 посвящен выводу сумматорного уравнения задачи Н. Сумма-торное уравнение получается с помощью разложения неизвестной функции ф € W2 (—1,1) и функций, входящих в ядро интегрального уравнения, в ряды Фурье по полиномам Чебышева 1-го рода и имеет вид

K(\,v)£ = LtÍ + A(\,v)Z = 0, £=(&,&,...,f„,...)eb2, (9)

где

С 1п2, n = ¿= 0;

£=1М1й=о, ^'Н V". n=j?É0; (10)

I 0, n^j.

nj'=0> — 2

Tn(t) dtTjjs) ds

(11)

n

( 1, n = j = 0;

2, П = [-1,1] X [-1,1].

[ y/2, nj = 0, n/-j;

(

Здесь V = (^0,^1) — вектор неспектральных параметров.

Сумматорная оператор-функция К(Х,у) = Ь + А(\,у) действует в пространствах Лг /ц и является голоморфной и фредгольмовой оператор-функцией.

Теорема. Для оператор-функции К{А,«) выполняются следующие условия:

1. Для всех п,з функции а„^(А, и) голоморфны в области й = Сд \ Л;

оо оо ^

2. ^ |а„^(А,и)|2п4 ^ 1асу|2"~2~ ^ гДе равномерно ог-

п=1 j=0 1П 2

7 = 0

раничена на каждом компакте <5 € С и допускает следующую оценку

3. Резольвентное множество р(К) ф 0.

Свойства оператор-функции К(А, и) позволяют доказать существование определителя матрицы К(А,и), следовательно, спектр К(А,и) может быть определен как ст(Й') = {А : ДЙГ_1(А, и) : detií(A,u) = 0}. Таким образом, искомые характеристические числа (собственные значения задачи Н) А* = А* (и) являются корнями уравнения

При любом фиксированном v F(X,v) — мероморфная функция с

Лемма. Функция F(\,v) имеет по крайней мере один вещественный нуль (характеристическое число оператор-функции K(X,v)) на каждом

с2(А) = ^N(X]t,s)p{t)dt p(s)ds+

2

-1 -1

F(A, v) = det(if(A,«)) = det(c0L 4- Л(А,»)) = 0.

полюсами XЛ E A . Имеет место утверждение.

интервале (A„fc, Апьн) между каждой парой соседних полюсов при любых положительных w и d таких, что (d — w,d + w) С (0,min(ai, a2)).

В третьей главе рассматриваются алгоритмы, программный комплекс, построенный на основе этих алгоритмов, а также результаты расчетов и их приложения.

В п.3.1 приводятся основные элементы теории дискретной сходимости1 , которые служат обоснованием проекционного метода, применяемого для приближенного вычисления характеристических чисел сумма-торной оператор-функции задачи В.

В п.3.2 рассматриваются «усеченные* оператор-функции Kn(X,v), определяемые матрицами размера п х п:

Kn(\,v)=Ln+An(\,v) : h$-+h2.

Для конечномерных оператор-функций вводятся понятия резольвентного множества р{Кп) = {А : 3K"~l(A,u) : h" -> /1"} и спектра (т{К„) = С \ р(К„) = {А : ДК~1(А,и) : det(iin(A)) = 0}, а также естественные проекторы рп и qn:

Pn-hi-Л Pn£= 0,0,...,0,...),

qn:hi p„f - (£0,6, • - -, in, 0,0,..., 0,...),

определяющие (дискретную) сходимость Kn(X,v) К(А,и). Таки\< образом, построено семейство конечномерных сумматорных оператор-функций, аппроксимирующих оператор-функцию К{А, и).

Приближенные характеристические числа оператор-функции К (A, v находятся как корни уравнения

det(Z„ + An(\,v)) = 0. (12

где

Ln = Ап(Х, v) = iK-(A,«)IIL=i;

матричные коэффициенты определены в (10), (11). Множество кор ней этого уравнения образует спектр Кп{X,v). Для конечномерны: оператор-функций Кп(Х, v) можно установить дискретность спектр; а(Кп) и голоморфность обратного оператора K~1(X,v) на резольвент ном множестве р(Кп). Доказана

Теорема. Имеют место следующие утверждения:

1 Вайнинко Г.М., Карма О.О. О сходимости приближенных методов решения Auuei ных и нелинейных операторных уравнений // ЖВМиМФ. 1974. Т.14. №4, c.828-83'i

1. Л0 6 а {К) => 3{А„} : Ап € а(Кп), \п А0, п£ N.

2. Ап е а(Кп); Ап А0 € (?, п € И' С N => А0 б а(К).

3. Спектр <т{К) дискретен.

4. ||агп||ь Кп(\п)хп = О, хп х0, п € ЛГ' С N =>• ||®0||р = 1,

-К"(Ао)яо = + ^(А0)х0 = 0, где А„ € а(Кп), А„ А0 €

Георема устанавливает дискретную сходимость характеристических тасел оператор-функций Кп(Х,ь) (элементов о(Кп)) к характеристическим числам оператор-функции К(к, у) (элементам а(К)) и является обоснованием возможности нахождения приближенных характеристических чисел как корней уравнения (12).

В п.3.3 вычисляются коэффициенты и исследуется структура матриц «усеченных» сумматорных операторов. Коэффициенты матрицы Кп(А,и) имеют вид

кпз ~ Ьщ - Ь„](\, V) = сп, (?)) - гпз-(А,г?),

где ¿П]- — символ Кронекера, и

п

п

2а,

тгги Ь — $

- +

+ 1п 2 эт

+ 1п -И) + 2(1]

Тп(Ь) ТЦа)

а/Г^Л/Г^

Здесь Jk{x) — функция Бесселя к-го порядка;

ТП} — Еп] *

(б! + еъ) 1п 2

, 3 = 0,. .

£1 +£2

Для резонаторов Т-формы коэффициенты матриц вычисляются по тем же формулам с заменой параметра й на в, — ао, где оо — величина сдвига.

Считается, что значение Л вычислено с точностью если |Л„+^ — А„| < 10~к.

Матрица Кп(А, г?) имеет следующую структуру

/К 0 ••■ 0\ О 1 ••• О

\0 О

V

-к

Здесь через К обозначен блок коэффициенты которого \fnjl ^ Ю Блок 0 означает, что коэффициенты имеют порядок о^О-*) и в пределах заданной точности равны нулю. Единица на диагонали означает, что коэффициенты на диагонали равны 1,0(1 ±10_,с). Расчеты показывают, что порядок блока К как правило составляет 4 - 10. Значение к при этом составляет 14 - 16. При расчетах для получения результата с точностью 10~4 (в указанном смысле) достаточно рассматривать матрицы порядка 4-10.

В п.3.4 приводится описание разработанного на основе полученных результатов пакета программ. Он используется для расчетов квадратов собственных частот (КСЧ) А= ш2, и полей ПЩР.

Расчеты проводились для ПЩР Т-, Г-, Ь-форм (рис.2). В качестве входных данных были выбраны: линейные размеры резонатора (ширина прямоугольных областей а^ аг, высота прямоугольных областей Ь\, диэлектрические проницаемости среды е1( ег, расстояние до центра щели с1, параметр го, задающий половину диаметра щели, величина сдвига ао (для резонаторов Т-формы), компоненты вектора неспектральных параметров V и области их изменения.

П.3.5 содержит результаты расчетов собственных частот и полей. Представлены графики зависимостей КСЧ от геометрических параметров и диэлектрических проницаемостей и изображения линий уровня напряженности поля.

Результаты п.2.4 позволяют провести обоснованную классификацию типов колебаний. Через А«™, г = 1,2 обозначается КСЧ ПЩР, сечение которого образовано областью П1 (частичной областью сечения рассматриваемого резонатора), соответствующей собственному колеба-

лию Нпт- Колебанием типа Н%пт ПЩР называется колебание, которое переходит в собственное колебание ПЩР с сечением, образованным областью Л', г = 1,2, когда диаметр щели чи -)• 0. При этом КСЧ резонатора стремится к Хпт, г = 1,2. На рис.3 изображен график зависимости КСЧ колебания типа Н}0, от положения щели (параметра й) для различных значений диэлектрической проницаемости 52 (ег = 3.0, 5.0, 7.0, 9.0,11.0) для резонатора с линейными размерами 31 = 3.2, ¿>1 = 2.4, а2 = 4.1, &2 = 1.9,Е1 = 4.4. При стремлении положения щели к середине частичной прямоугольной области П1, КСЧ стремится к А^ = 0.218.

П.3.6 посвящен применению результатов работы для моделирования реальных радиотехнических устройств (СВЧ-печей). Область й — Я1 и Я2, моделирует сечение СВЧ-печи. Область П2 моделирует магнетрон, область П1 моделирует сечение камеры. Графики распределения полей позволяют исследовать изменение интенсивности поля в камере СВЧ-печи в зависимости от взаимного расположения и геометрических размеров магнетрона, камеры и щели (рис. 4).

Расчеты проводились для реальных размеров СВЧ-печей. На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1) наибольшая интенсивность поля наблюдается в симметричном случае с узкой щелью;

2) в симметричном случае интенсивность поля уменьшается с сохранением структуры поля при смещении щели вдоль оси ОХз от центра;

3) интенсивность поля вновь возрастает при приближении щели к стенкам магнетрона;

4) интенсивность поля падает, и его структура разрушается при увеличении диаметра щели до размеров, сравнимых с длиной волны (2ш = 1,0).

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Построена математическая модель для определения собственных частот экранированных ЦЩР.

2. Доказана дискретность множества собственных частот ЦЩР, в том числе вещественность собственных частот ЦЩР прямоугольного поперечного сечения (ПЩР) и определены области их локализации. Получены приближенные формулы для расчета собственных частот и полей в ПЩР с узкими щелями в виде отрезков асимптотических рядов с оценкой остаточного члена.

3. Разработаны метод сумматорных уравнений, алгоритмы и программы расчета собственных частот и полей ПЩР на основе этого метода.

4. Проведены расчеты собственных частот и полей ЦЩР с произвольной конфигурацией прямоугольных областей и расположением щели в широкой области изменения параметров. Полученные результаты могут применяться для моделирования устройств СВЧ.

Рис. 1:

Рис. 2:

0.24

0.23

0.22

С.Д.........

«/ у

1.0

2.0

6, =66

Ь*" 1.0 н'н

с,-3.0 £¡=1.(1 ¿ = 4.5 № =0.01

Рис. 3:

Рис. 4:

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю Юрию Викторовичу Шестопалову за постановку задачи, доброжелательное отношение и постоянную помощь в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Шестопалов Ю.В., Котик У.В. Собственные колебания цилиндрических резонаторов прямоугольного поперечного сечения. // Вестник Моск. ун-та, Сер. 15. 1999. №4, с. 19-23.

2. Shestopalov Yu.V. and Kotik U.V. Eigenfrequencies of rectangular slotted resonators: existence, perturbation series and calculation // Труды 8-го международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», 1999, с.124.

3. Kotik U.V. Oscillations in Rectangular Cylindrycal Slotted Resonators // The Far-Eastern school-seminar on mathematical modeling and numerical analysis, Khabarovsk, 1999, p.159.