автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение градиентных методов в задачах определения функции памяти и продолжения поля

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(И'

сЦ <т

/Н

V/

На правах рукописи УДК 519.633.9+519.633.2+517.977.58

Карчевскип Андрей Леонидович

Применение градиентных методов в задачах определения функции памяти и продолжения поля

05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования, математических методов в научных исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Институте математики СО РАН, г.Новосибирск.

Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор С.И.Кабанихин.

Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., профессор В.Г.Чередниченко,

д.ф.-м.н., профессор Г.Н.Ерохин.

Ведущая организация - ВЦ СО РАН, г.Красноярск.

Защита состоится " " 199 года в часов

на заседании специализированного совета К 063.98.05 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г.Новосибирск-90, ул.Пирогова 2.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке НГУ. Автореферат разослан" " 199 года.

Ученый секретарь специализированного совета' о

к. Ф. -м. н. - И- Н. Сергеев'-Альбов

/ *

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1. Актуальность темы. ' »

В диссертационной работе в первой главе рассматривается линейная одномерная обратная задача по определению функция памяти в гипсрбо-лпческом уравнении. Подобные задачи изучаются в настоящее время в таких быстро развивающихся отраслях современной науки как вязкоупру-гость, вязкопластпчность, и т.д., т.е. в дисциплинах, в.которых изучаемое состояние зависит не только от условий в настоящий момент времени, но и от предыстории протекающего процесса.

Во второй главе предложен новый метод решения задачи Копта для эллиптического уравнения, которая является типичной некорректной задачей математической физики, тем не менее имеющей важное практическое значение. К этой задаче приводят ряд обратных задач теории потенциала. Данная задача достаточна давно изучается геофизиками и математиками.

Теоретическая ценность работы заключается в обосновании сходимости предложенных методов численного решения.

2. Цель работы. Создание и обоснование алгоритма численного решения по определению функции памяти в обратной задаче для гппе^болп ского уравнения по некоторой дополнительной информации. Создание и обосно--ванпе алгоритма численного решения задачи Коши для эллиптического уравнения.

3. Научная новизна. Для обратной задачи по определению функции памяти предложен устойчивый алгоритм ее решения, основанный на минимизации градиентными методами функционала невязки, причем доказана сильная выпуклость целевого функционала и Липшиц-непрерывность его градиента, что позволяет судить о скорости сходимости метода. Для решения задачи Коши для эллиптического уравнения предложен новый метод численного решения, основаный на минимизации соответствующего функционала. Проведено обоснование и получены оценки скорости сходимости минимизацпонного процесса.

4. Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

1. Советско-японском семинаре по обратным задачам. Новснбпрск, 1991.

2. Международной конференции по некорректным зад лам в естественных науках. Москва, 1991.

3. XX General Assembly of International Union of Geodesy and Geophysics. Viena, П91.

4. Всесоюзном семинаре "Методы решения обратных задач г'-оэлектршш". ' Алма-Ата, 1991. . .

5. Всесоюзной конференции по условяо-корректгым задачам математической физики и анализа. Новосибирск, 1992.

6. Семинаре лаборатории волновых процессов ИМ СО РАН. Руководитель член-корр. РАН В.Г.Романов. *

Также диссертационная работа докладывалась на научных семинарах под руководством академика АТН РФ, проф. В.Н. Братова, проф. Ю.Е. Аниконова, проф. A.M. Блохлна, проф. Г.Н.Ерохина, проф. A.B. Кажихо-ва, проф. В.Г. Чередниченко.

5. Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.

6. Стр7гктура и объем работы. Диссертация состоит из введения, в которое входит краткий обзор научных результатов по теме диссертации, двух глав и списка литературы. Общий объем составляет 94 страница включая 4 рисунка. Список литературы содержит 221 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В Главе 1 исследуется алгоритм численного решения линейной обратной задали по определению пары функций w(x,t) 6 С2,2(Дг)> a(i) £ J2([0,T']), таких что данные функции удовлетворяют условиям:

t

wu(x, t) = wxx{x, t) — ßwt(x, t) — Tjw{x, t) — j b'(t — s)w(x, s)ds

о

t

■+a'(t)vo(x)+a(t)v1(x)+Ja(s)v3(x,t~s)ds + aan(t), (1.1)

о

(M) e At = {(M) 6 R2 : t G (0,T), x E (t - T,T -1)},

ги(х, 0) = 0, u;t(a;,0) =0, xe[-T,T],' (1.2)

40,t)=g(t), t 6 [0,T] (1.3)

Здесь (1.1)-(1.2) - прямая задача, функция g(i) - дополнительная информа-хщя о решении прямой задачи. Постоянные ß, rj, функции b(t), vq(x), vi(x), v-j(x, t) известны и удовлетворяют следующим условиям:

<?(*) е с2([о,т]), b(t)ecl([0,T}), (1.4)

**(*) 6 С([-Г,Г]), v,(x) е cd-T.Ti), «»(*,<) е с(е ат). (1.5)

Данная постановка следует из работы М.Грасселлн, С.И.Кабанихпна, А. Лоренци (Обратная задача для пнтегродифференцпального уравнения. Сибирский мат. журнал, т. 33, N 3(193), 1992, стр. 58-68.) и является второй частью статьи [4]. Во Введении к первой главе подробно показано как получена исследуемая постановка из постановки обратной задачи работы М.Грасселлн, С.И.Кабанихпна, А.Лоренцп и как выписываются подобные уравнения из системы вязкоупрутостн.

Обратная задача сводится к задаче минимизации следующего функционала:

т

7(а) = /К0,*;а)-<?(<)]2Л. (1-6)

о

Минимизация может быть осуществлена при помощи какого-либо градиентного метода. При этом необходимо знать градиент минимизируемого функционала (1.6), кото} дй получен в параграфе 2 в следующем виде:

/[а] =2аН0, <)-£(*)]

т-\г . г-М

+ I ф(х, *)?!(*) + г)12{х) + У ф(х, з)1з(х, 5 - *)<&

1-т

I

йх. (1.7)

Ь(х) = 17](х) - щ, 12(х) = а(3- У0(х), Ь(х,г) = ь3(х, *) - аЬ'(г). Здесь функция ф(х, ¿) есть решение сопряженной задачи:

■фи(х,{] = ф1Х(х,1) + 13-ф1{х,г)-т1ф(х,1) г-и

- I Ь'(8 -г)ф(х,8)с1з + 2[ю{0^)-д{ф(х), .(1.8) «

Дг,

ф{х,Т-х)= 0, ж £ [0,Т], ф(х,х~гТ)=0, хе{-г,0]. (1.9)

Лемма 1.1. Пусть выполнены условия (1.4), тогда существует единственное решение ф(х, £) сопряженной задачи, принадлежащее классу С2,2(Дт) и

[ф{х, «)]1=0 = о, [фж(х, <)и0 = —2(10(0, *)' - д(Л) Здесь [•] обозначает скачок функции в точке х = 0 и

Дг = {Дт П{* < 0}} и {Дг П{* > 0}}

Затем, в процессе исследования свойств функционала (1.6) и его градиента были доказаны следующие утверждения (|| • || означает норму в пространстве Ьа[0, Г]). -

Лемма 1.2. (Ллшшщ-непрерывносгь градиента) Пусть выполнены условия (1.4)-(1.5), тогда для любых функций а](£) п а2(г) из С2([0,Т]) суще-"йует постоянная Ь, независящая от. а^) и а^), такая, чт- имеет место следующее неравенство:

\\Г[<ц]- /'[а2]|| <2,11^-0211.

Постоянная Ь ограничена при а, стремящемся к нулю.

Исхо, я из свойств задачи и с ойств нормы гильбертового пространства, для самого функционала было получено следующее равенство (в £ [0,1]):

т

+ (1 - 0)а2] = А^си] + (1 - в)/[а2] - 9(1 - в)^[Ц0, Цсц)- и>(0, а2)]2Л,

о

(1.1<П

из которого следует выпуклость функционала /[а]:

. 3(вах + (1 - в)а2) < вЗ(а{) + (1 - 0)7(а2),

Но для последнего слагаемого равенства (1.10) мы можем получить специальное неравенство, используя параметр регуляризации а.

Лемма 1.3. Пусть выполнены условия (1.4)-(1.5), тогда для любых функций а^) п а2(£) из С2([0,Т]) существует постоянная г), независящая от й! н а2, такая что имеет место следующее неравенство:

|К0,*;о0 - гу{0, «2)|{2 > ^¡(а^) - а2(<)||2. Постоянная С стремится к нулю при а, стремящемся к нулю.

Применяя данную лемму, удается показать сильную выпуклость функционала:

У[0а, + (1 - 0)а2] < 91[ах) + (1 - 0)/[а2] - 9( 1 - - а2||2,

Таким образом, данные свойства функционала п его градиента позволяют на основании известных теорем (Ф.П. Васильев. Численные методы

решения экстремальных задач. Москва, "Наука", 198В.)" получить оценку скорости сходимости мпнимизапионного процесса, основанного на градиентном методе:

« - Л < №о] -

где постоянная 0 < д < 1 п зависит от постоянных Ь- и ■д и конкретного градиентного метода. Для метода наискорейшего спуска и метода сопряженных градиентов постоянная имеет вид:

М 8г>3

9 Ь' 9 Ь(4№ + Ь*У

соответственно.

Во Главе 2 исследуется алгоритм чиссленного решения задачи Коши для эллиптического ураьленпя.

Рассматривалось следующее уравнение:

. (Ну (к(х) ^аа и) - д(а)и =. /(а;), х й И СТС. (2.1)

Граница 5 = 91) 6 С2 делится на две части 5[ и 5г, которые пересекаются по кривой Г без самопересечений. Известны следующие данные:

и = а(х), хе^ь (2.2)

к(х)^ = ср(х), *6£Г1; (2.3)

Пусть функции к(х), я(х), f(x), а(я) и <р(х) удовлетворяют следующим условиям: 4 ,

к(х) >ко>0, д(ж) > 0, (2.4)

адес1^), я(х)есф), /(*) е ь2(Д). (2.5)

а(x)ew|(5^)) Ф) € (2-6)

Задача 1. (Задача Копш) По данным (2.2) и (2.3), известным на части границы 5, определить функцию и, удововлетворяющую уравнению (л 1) в области Ю.

Будем предпе ;агать, что для пары функций а(я) и существует единственное решение задачи Коши. Данная задача будет условно-корректна при условии, что решение ищется в классе ограниченных на Б функщь

Задачу Коши 1 переформулируем следующим образом. Пусть на границе S известны следующие данные: ,

к(х)^ + р(х)и=Х(х), xeS, С(2.7)

где функции р(х) и удовлетворяют условиям:

р(х) >о, хes, р(х) = о, х еSi (2.8)

K*)6C(S), x(x)6W 1(5) (2.9)

Задача 2. (Прямая задача, третья краевая задача) По известным функции х(х) на поверхности S в (2.4) определить функцию и, удововлетворяющую уравнению (2.1) в области D.

В силу (2.8) х(х) = ip(x) на S\. Пусть х(з) неизвестна на поверхности S^.

Задача 3. (Обратная задача) Найти пару неизвестных функций х(х) на S? и и в области D из соотношений (2.1), (2.7) и дополнительной информации (2.2).

Тактам образом, мы свели Задачу 1 к Задаче 3. Решив обратную задачу 3, мы можем найти функцию и - решение прямой задачи 2, которе удовлетворяет уравнению (2.1) и краевым условиям (2.2) и (2.3), т.е. является решением задачи, Коши 1.

Замечание 2.1. Очевидно, что в случае, когда q(x) ф. 0, возможно рассматривать в качестве прямой задачи, задачу Неймана, т.е. положить р(х) = 0. Все полученные результаты будут верны и в этом случае.

Для прямой задачи (2.1), (2.7) получена сопряженная задача:

div (A:(i)grad v) — q(x)v = 0, x E D, (2.10)

ßv

k{x)—+p{x)v=i(x), xes (2.11)

где f (ж) = 2[u — a(x)] на S\ и £(я) = 0 на S2.

Известно, что прямая задала 2 имеет единственное обобщенное решение и G сопряженная задача (2.10)-(2.11) имеет единственное обобщен-

ное решение 1/ £ W\(D)•

Будем искать функцию х(х) в классе функций, ограниченных по корме W 1(5):

llxll i ^ const.

Решение обратной задачи 3 ищется при помощи минимизации функционала:

J[x\=jj[u-a(x)]2da (2.12)

s,

Лемма 2.1. При сделанных предположениях (2.4)-(2.6), (2.8), (2.9) градиент функционала (2.12) имеет вид:

i

п принадлежит пространству WJ^)-

Лемма 2.2.(Липшиц-непрерывность градиента) Пусть выполнены условия (2.4)-(2.6), (2.8), (2.9), тогда для любых функций Xi(x) п Хъ{х) существует постоянная L, независящая от Xi(^) и Xi{x)i такая, что выполняется неравенство:

Лемма 2.3. Функционал (2.12) выпуклый, т.е. для любых функций xifa)) Х2(г) из WJ (S) и б € [0,1] выполняется неравенство:

J[9xi + (1 - вЫ < МЫ + (1 - в)/Ы

Суммируя полученное и воспользовавшись известными теоремами (Ф.П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. Москва, Наука", 1988.), мы можем утверждать, что имеют место следующие соотношения:

lim J'lxt] = 0, lim J[xk] = Л, lim р{хьА„) = 0,

Je—» оо /С-+0О Je—*оо

и, кроме того, справедлива оценка скорости сходимости:

С

о < J[xt] -J*<T> с -canst >

К

Здесь обозна* но через А^ множество точек минимума, Л - значение минимума функционала.

Замечание 2.2. Все полученные результаты можно перенесли и на случай эллиптического уравнения общего вида. Дивиргентный вид выбран только для простоты и наглядности изложения. С

Ниже приведем теоремы о сходимости метода. Пусть выполнены следующие условия: ,

5ес'+2, *(*) е с'+1(5)> зООес'р), (2.12)

р(х) е с'(5), /меш^р) (2.13)

где 2 некоторое неотрицательное целое число.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2,4), (2.8), (2.12), (2.13) и I > О,

/+- М-я

а для данных а(х) £ \\'2 Ч^О п Р(х) £ ^2 существует единственное решение и € \У2+2(£>) задачи Коши 1. Тогда существует такая функция х(ж) € W2 '(&), Для которой = 0.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (2.4), (2.8), (2.12), (2.13) и I > 0, существует решение х(х) € \У2+5(5) задачи минимизации функционала (2.1°) и = 0. Тогда решение ад € \Уо+2(-0) прямой задачи 2 является единственным решением задачи Коши 1.

Теорема 2.3. Пусть:

1) размерность пространства п равно 2 или 3, выполнены условия (2.4), (2.8), (2.12), (2.13) и/ > ?;

2) для данных а(х) € \У2 ^(£'1) н <р(х) £ \У2 ?(51) существует единственное решение и 6 \\''2+2(0) задачи Коши 1 и ||«||№1+1 < с3;

3) известна пара функций а(х) £ \У2+5(<51) и <р(х) £

4) существует ограниченное решение х(х) (||х|| 1+1 < С4) задачи мини-

(5)

мизации функционала:

= — (2.14)

Тогда решение ги £ \\4+2(-0) прямой задачи 2 есть решение задачи Коши 1 для дантдх:

ш = а(ж) = ад(я; х), к(х)^ = ф(х), х £ £1

причем для любых положительных постоянных cj, С4, Л( л Л2, фу гкции / и £ > 0 существуют такие постоянные С > О и 6 > 0, что если:

II« - Н1с(£>) < О, - vl!c(Si) < М, l|ä - a!lc(S,) < М, 1Кг;х)-а||с(51) < A25, AI + A2 = 1-

то

llw - «liefe) < e, где D' - любая область такая, что D' £ D\jSi.

Заметим, что малость нормы ||ш(ж;х) — 5||c(Si) необходимо влечет за собой малость значения функционала (2.14).

Нетрудно видеть, что какому бы пространству W2+2(-D) (/ > 0) ни принадлежало бы решение прямой задачи 2, решение сопряженной задачи будет из класса \y\(D), 1. скольку функция {(ж) £ Ьг(-5), а значит и градиент Г\Х] функционала (2.8) принадлежит пространству W2(5\). В этом случае представим градиент в виде:

Лх] = •/;[*] +4[х], € w^(52), j'2[x] 6 wl(52) где функция J{[x] "близка" к функции У[х] по норме L2 и

Процесс минимизации может буть осуществлен при помощи метода спуска, где -/{[х] ~ направление спуска.

Теорема 2.4. Пусть функционал /[х] полунепрерывен снизу, выпуклый и имеет Липшиц-непрерывный градиент, х € А и множество А выпуклое, множество N(x0) = {х € А : J[x] < J[xo]}) ограниченное. Тогда д. .я последовательности {х*}> определяемой условиями метода спуска, имеют место соотношения:

limJ[xt] = J„ lim р(Хк,А,) = 0, lim /[xi] = 0.

Je—.00 ifc—»00 t—.00

и, кроме того, имеет место оценка:

Q

0<J[xi]-J,<p С = const > 0.

Здесь обозначено через А* множество точек минимума, J, - значение минимума функционала.

U

Для иллюстрации другого варианта метода рассматривалась более простая постановка задачи Копш. Пусть размерность пространства п = 2. Рассмотрим уравнение Лапласа в области Р = (О, Ьх) х (0, Ьу):

игх+щу= 0, (х,у) € С, (2.15) Пусть известны следующие данные на границе:

и(х,0)=а(е), «6 [0,1,1, (2.16)

-и,(*,0)=у(х), х € [0,1,1, (2.17)

«М =*(»). У 6 [0,1,1 (2-18)

Будем предполагать, что для пары функций а(х) и ¡р(х) существует единственное решение задачи Коши. Условная корректность задачи Копш в этой постановке доказана в работах М.М.Лаврентьева. Пусть известно также, что:

и(х,Ь„) = Ь{х)> «б [0,1,1 (2-19)

Задача 4. (Прямая задача, задача Дирихле) По известным функциям а(х), £(У), <(У) и Ь(х) на границах {у = 0,х е [0,£,]}, {х = 0,у е [0,Ь„]}, {х = Ьх,у 6 [0, Ьу}} и {у = Ьу,х £ [0, Ьх]} соответственно, определить функцию и, удововлетворяющую уравнению (2.15) в области О.

Предположим, что 6(х) неизвестна.

Задача 5. (Обратная задача) Найти пару неизвестных функций Ь(х) на границе {у = Ьу, х £ [0, Ьх]} и и в области £>, при условии, что они удо-. влетворяют прямой задаче (2.15), (2.16), (2.18), (2.19) и относительно ее решения известна дополнительная информация (2.17).

Обратная задача мох-\т быть решена при помощи минимизации функционала: *

I.

-7М=/(«»(*.'0)+ ?(*)!'<**,■ (2.20)

о

Для прямой задачи получена постановка сопряженной.задачи:

^ vIZ+vyy=0, .(х,у).€ В, ; (2.21)

и(0,у) = 0, и(£х,у)=0, ¡г €[0,1,1 (2.22)

«(1,Ь)'=2К(®,0) + ¥>(*)]. ф,£,) = 0, х 6 [О, Ьх) (2.23)

Заметим, что поскольку производная функции и по переменной у в точках (0,0) и (1*1,0) может быть вычислена при помощи значений на границах {ж = 0,у € [0,1,]} И {х = Ьх,у е {О,!*]}, то «(0,0) = о и ь(Ьх,0) = 0.

Обоснование алгоритма проведено в случае принадлежности функций к пространствам Никольского Н£ (■£?)• Пусть г = 2 + а, |<а<1,/3 = а — ^ и пусть функции а(х), £(«/), ((у), Ь(х) удовлетворяют следующим условиям:

а(*)ен!+"([0,-М), «»)6Н?+Д([0,Х»1), (2.24)

С(у) €Н!+/,([0, £.„]), Ь(х) £ н!+^([0, Ьх1), (2.25)

и удовлетворяются условия согласования теоремы, доказанной Никольским (ДАН СССР, 1956, т. 109, N 1, стр. 33-35.).

Будем искать функгтю Ь(х) в классе функций, ограниченных по норме

11ЬИнГ([о,М) ^ сопз*'

По теореме, доказанной С.М.Никольсклм, прямая задача (2.15), (2.16), (2.18), (2.19) имеет решение и 6 н1+в(-0)- Нормальная производная щ принадлежит классу Н2+/3([0, Ьх)), и тогда сопряженная задача (2.21)-(2.23) будет иметь решение V Нг+а(.0).

Лемма 2.4. Пусть выполнены условия (2.24), (2.25), условия согласования теоремы Никольского, тогда градиент функционала (2.20) имеет вид:

/[6](х) =-и„(х,1„),

и принадлежит простанству Н^([0, Ьх]).

Лемма 2.5. Функционал (2.20) выпуклый, т.е. для любых функций Ь\(х) и Ьч{х) из н!+/?([0, Ьх\) и в € [0,1) выполняется неравенство:

1[вЬ1 + (1 - в)Ъ2) < Л7Й + (1 - 0У[Ь2]

Градиент 7'[Ь] функционала (2.20) принадлежит Н^([0, и может быть представлен в виде суммы:

= + ./¡[ЦбН^ао,!,]), те н£([о,1,])

где функция J[[b] "близка" к функции J'[b] по норме L? и удовлетворяет условию (</{[6](sc))" = 0 в некоторой малой окрестности точек (0,Ly) и

( " ^ ■ №1!UO,l,I) < !l«Uo,4),

Процесс минимизации может быть осуществлен методом спуска, где —J[ [Ь]

- направление спуска.

Теорема 2.5. Пусть функционал J[b] полунепрерывен снизу и выпуклый, 6 G А и множество А выпуклое, множество N(bo) = {6 € Л : /[6] < </[&о]}) ограниченное. Тогда для последовательности {6*} метода спуска имеют место соотношения:

• lim J[bk] = J„ lim р{Ьк,А.) = 0, Jim /[&*] = 0.

JC—*oo ¿—»со K—+CO

Здесь обозначено через Ач множество точек минимума, J, - значение минимума функционала.

Имеем следующую оценку скорости сходимости (В.Г.Кармалов. Математическое программирование. Москва, "Наука", 1980.):

-1

7[6И- Л < №] - Л)

1 4- ~ 3• V JM ~ ЛЫ к lU'NIIL

, к = 1,2,...

постоянная d = diamN{b§). Если существует номер т, такой что J[bm] > ,7[bm+i], то из данной оценки следует неравенство:

J[bk] — J, <d2

т - J[mi

pfc—i

к = m + l,m + 2,...

которая приводится, при использовании доказанных нами специальных неравенств, к следующему виду:

-1

J[bk] - Л <

2L

g(l-ft)2 ММ Iii,

Ш1 + *)2

здесь X известная постоянная и 6* = б(Ь^) некоторая постоянная, стремящаяся к н. но, когда ||7{[6|)11ь1 стремится к нулю, и меньше некоторого числа меньшего единицы.

Данная оценка является неконструктивной, однако ею можно пользоваться во время минимизационного процесса для оценки того, насколько

близко мы подошли к значению минимума функционала, накаплпая сумму на каждом шаге градиентного метода.

Чтобы проиллюстрироватз».вышеприведенный алгоритм, для численного примера была выбрана задача Кошп для уравнения Пуассона.

При переходе из непрерывной области в сеточную область и от непрерывных функций к сеточным функциям необходимо изучать' постановку задачи Кошп в конечных разностях. Нельзя напрямую выписывать конечно-разностные аналоги или квадратурные формулы прямой и сопряженной задач, функционала и его градиента, воспользовавшись результатами предыдущих парагарфов. Например, конечно-разностная задачи -аналог сопряженной задачи - может не являться сопряженной задачей для конечно-разностной прямой задачи - аналога прямой задачи. Необходимо переформулировать конечно-разностную постановку задачи Кошп как конечно-разностную обратную задачу, получить в дискретной постановке сопряженную задачу, выписать функционал для минимизации и получить его градиент.

Оператор Лапласа был приближен разностной схемой второго порядка апроксимацпи. Для разностной прямой задачи:

цй-и ~ + , Ц.рЧ! ~ 2ц+ "1,3-1 _ {

■ т--— Л',;')

ч

Л5

г = 1,...,АГХ — 1, j = l,...,Nv-l, «о,; = £?> = С?> 3 = 0,..., К, Щ, о = а;, «¡.лг, = К г = 0,..., Ых, была получена разностная сопряженная задача:

у<+Ц ~ 2ц.,.? + Ы,]+1 - 2у^ + ■

Ч Ч

^ о,з = 0, «л/,,; =0, j = 0,..., ЛГХ, 41 ~ «1,0

= 0,

Но = 2

Градиент функционала

■ + Ф1 + Х-

— 0, » = 0,...,ЛТ1,

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.?0)

(ГЗО) (2.31)

МЦ = £ А« 1=1

И.-Д - «1,0

+ Ф1 + Хг

! л'; — у (До

а,-+1 - 2а,- - а,_]

Н1

(2.32)

2

Ь)

Рис. 2: был получен в виде:

Ш = i = l,...,Nx. (2.33)

"ir

Прямая и сопряженная задачи решались попеременно-треугольным методом с упорядоченным Чебышевским набором параметров. На рисунках 1 -4 представлены результаты численных расчетов на примерах модельных задач. На каждом рисунке приведены несколько графиков: точное решение Ь,(х), начальное приближение Ьо(х) (прямая линия, соединяющая первую и последнюю точку искомой функции) и промежуточные итерации градиентного метода 6¡.(x),

Ниже приведено описание " яждого рисунка. Вначале приводится выражение тестовой функции, затем значения Lx и Lx, характеризующие область D, и количество понадобившихся итераций градиентного метода (в программе реализован метод сопряженных градиентов, задача по определению шага метода решалась с помощ..ю метода золотого сечения), необходимы- для нахождения функции Ь{х) с точностью ф 0(max{hx,hv}). Рисунок 1.

a) и = exp 4 у sin4x + xz + у3, Lx — Ly = 1, количество итераций - 2.

b)'и — eiy sin4x, Lx — Ly = 1, количество итераций - 2.

а)

а)

b)

Рис. 3:

Рис. 4:

Рисунок 2.

a) и = хь + уь, Lx = Ly = 1, количество итераций - 3.

b) u = i5 -+- i/5, L* = Ly = 2, количество итераций - 4. Рисунок 3.

a) и = sin a: sin 3/, Lz — Ly — 1, количество итераций - 1.

b) и = 50х(1 - х) + 50у(1 - у), Lx — Ly = 2, количество итераций - 1. Рисунок 4.

и — sin6a; -f sin6y, Lx — Lv — 1, количество итераций - 3.

Как показали тестовые рассчеты на модельных зада ¿с, метод имеет достаточно быструю скорость сходимости - необходимо 1-2, максимум 4, итерации градиентного метода для поиска решения. Поскольку на каждом шаге градиентного метода приходится решать задь-iy одномерной мпнимпзаг/тп по поиску шага, то нам необходимо несколько раз решать прямую задачу для каждой итерации градиентного метода. На скорость решения исходной задачи существенную роль оказывает выбор метода решения прямой задачи.

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору С.И.Кабанихину за постановку задач и помощь в работе. .

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky. Optimization Method of Solving Inverse Problems of Geoelectrics. In book: Ill-posed Problem in Natural Sciences, (Ed. A.Tikhonov), 1992, VSP/TSP, The Netherlands, pp. 312-325.

2. S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky, A.Lorenzi. Lavrent'ev Regularization of Solutions to Linear Integrodifferential Inverse Problem. Preprint 44, 1992, Universita di Milano, Dipartimento di Matimatica.

3. S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky, A.Lorenzi. Lavrent'ev Regularization of Linear Integrodifferential Identification Problem. In book: Conditionally well-posed problems of Mathematical Phisics and Analysis, (Ed. M.M .Lavrent'ev), VSP/TSP, The Motherlands, 1993, pp. 343-346.

4. S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky, A.Lorenzi. Lavrent'ev Regularization of Solutions to Linear Integrodifferential Inverse Problem. Journal of Inverse and Ill-posed Problems, VSP, The Netherlands, N 2,1993, pp. 115-141.

5. К.Т.Искаков, С.И.Кабанихпн, А.Л.Карчсвскны. Оптимизационные методы решения обратных задач геоэлектршш. // Некорректные задачи в естественных науках: тезисы международной конференции, 19-25 августа 1991, Москва, стр. 139. .

6. S.I.Kabanikhin, A.L.Karchevsky. Optimal control methods for solving the inverse problems of Geoelectics. Abstracts of XX General Assembly IUGG, 11-24 August,'1991, Vienna.

7. С.И.Кабанихин, А.Л.Карчевскпн, К.Т.Искаков, С.В.Мартаков. Оптимизационные методы в нестационарных обратных задачах геофизики. // Теория и практика решения обратных задач геоэлектрикп: тезисы докладов межреспубликанского научного семинара, 27 сентября - 2 октября, 1991, Алма-Ата, стр. 38.

8. С.И.Кабанихин, А.Л.Кар'че1 кий, С.В.Мартак*-Прямые и обратные задачи геораднолокации // Условно-корректные задачи математической физики и анализа: тезисы докладов VIII Всесоюзной конференции, 1-5: юня 1992 г. Новосибирск, 1992, стр. 148-149.

Карчевский Андрей Леонидович Применение градиентных методов в задачах определения функции памяти и продолжения поля

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано к печати Формат бумаги 60x80 Объем 0.75 п.л. 1 уч.-изд. л. • Заказ N 537 Тираж 100 экз. Бесплатно.

Ротапринт ИГУ. 630090, г. Новосибирск, Ппрогова 2.