автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приближенные методы расчета безарбитражных цен опционов европейского типа на валютных рынках

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЛИМОНОВА Светлана Руслановна

Приближенные методы расчета безарбитражных цен опционов европейского типа на валютных рынках

05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Санкт-Петербург

2010

2 О М'.П 23:0

004602381

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики факультета ЖКХ Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор БЕЛОПОЛЬСКАЯ Яна Исаевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

физ.факультета СПбГУ СМОРОДИНА Наталья Васильевна (Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник СОЛБВ Валентин Николаевич (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится "27"мая 2010 г. в 14.30 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций при Новгородском государственном университете им. Ярослава Мудрого по адресу: 173003, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, д. 41, ауд. 3105/2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого по адресу: 173003, Великий Новгород , ул. Большая Санкт-Петербургская, 41 НовГУ.

Автореферат разослан " амел? 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета к.ф-м.н., доцент

Токмачев М.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи моделирования динамики валютных рынков и расчет справедливых цен новых финансовых продуктов, появляющихся на рынках, являются наиболее важными и актуальными проблемами, стоящими перед финансовыми аналитиками. Если задана динамика цен базовых активов, роль которых на валютном рынке играют курсы обмена одной валюты на другую, то следующая задача состоит в том, чтобы описать динамику цен производных ценных бумаг-новых контрактов на базовые активы, роль которых могут играть также производные ценные бумаги, уже присутствующие на рынке.

В диссертационной работе рассматривается ряд вероятностных моделей финансовых рынков как известных, так и новых и проводится расчет цен валютных контрактов, наиболее часто торгуемых на этих рынках. При этом разработана методика расчета цен финансовых продуктов, основанная как на численном решении уравнений в частных производных, так и моделировании соответствующих случайных процессов с последующим применением метода Монте-Карло. Особое внимание в последнем случае уделяется уменьшению дисперсии полученных таким образом оценок. Теоретические цены контрактов, рыночные цены которых известны, используются для определения параметров модели самого рынка.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение существующих и построение новых вероятностных моделей валютных рынков, а также разработка эффективных аналитических и приближенных методов расчета справедливых цен широкого класса опционов европейского типа.

Общая методика работы. В работе используются методы теории уравнений в частных производных, теории стохастических уравнений для процессов с диффузией и скачками, методы функционального анализа, а также методы и подходы численного анализа. Программирование осуществлялось в среде МаШЬ.

Задачи работы. Задачи работы состоят в рассмотрении широкого класса вероятностных моделей валютных рынков, включающего модель Блэка-Шоулса, различные модели с локальной и стохастической волатильностыо, калибровке этих моделей и развитии эффективных аналитических или численных методов расчета цен различных опционов европейского типа, в частности колл- и пут-опционов, азиатских опционов и других.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

1. Современные модели финансовых рынков адаптированы к задачам, возни-

з

кающим при расчете безарбитражных цен опционов на валютных рынках.

2. Построена новая стохастическая модель валютного рынка, аналогичная модели с локальной волатильностью, но позволяющая учитывать наличие скачков с локальной интенсивностью.

3. Проведено численное моделирование динамики валютных рынков в моделях с диффузией и скачками.

4. Получены аналитические результаты и разработаны программы расчета безарбитражных цен наиболее популярных опционов на валютных рынках-стрэддлов, стрэнглов, опционов разворота риска и опционов азиатского типа в ряде моделей валютных рынков. Полученные результаты являются важными для задач калибровки. Найдены соотношения, связывающие локальные характеристики (локальную волатильность и локальную интенсивность) с соответствующими предполагаемыми характеристиками.

5. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить расчеты безарбитражных цен новых финансовых продуктов в различных моделях валютных рынков.

Научная новизна.

В диссертационной работе впервые рассмотрены стохастические уравнения с диффузией и скачками, описывающие валютные рынки с локальной волатильностью и локальной интенсивностью.

Для ряда моделей разработаны новые алгоритмы и комплекс программ для расчета безарбитражных цен новых финансовых продуктов на валютных рынках.

Разработаны новые алгоритмы и создан комплекс программ для расчета цен опционов в моделях с диффузией и скачками на основе методов Монте-Карло с уменьшенной дисперсией.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность данной работы состоит в построении новой стохастической модели валютного рынка и использовании этой и других стохастических моделей при расчете безарбитражных цен с помощью метода Монте-Карло. При этом впервые построены оценки Монте-Карло цен валютных оционов с уменьшенной дисперсией для моделей с различными распределениями скачков.

Построенные модели, алгоритмы и программы, реализующие их, могут использоваться для анализа динамики валютных рынков и расчета цен финансовых инструментов. Они будут полезны для финансовых аналитиков и могут быть использованы также в учебном процессе при чтении курсов лекций по финансовой математике.

Полученные в диссертационной работе результаты строго доказаны, достоверность численных расчетов подтверждена сравнением результатов, полученных в простых моделях численно и аналитически.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 64-Й и 66-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ (2007,2009, 2010 г.г.); на 60 и 61-й научно-технических конференциях молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов СПбГАСУ, (2007,2008 г.г.); на Международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе", Псков, сентябрь 2006 г.; Воронежской зимней конференции, Воронеж, январь 2008г; на международной конференции "6th St.Petersburg Workshop on Simulation", St. Petersburg, June 28-July 4, 2009 r.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1]-[9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Библиография содержит 25 наименований. Общий объем работы 136 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Особенностью валютных рынков является присутствие на нем различных валют и тот факт, что роль цен базовых активов на нем играют курсы обмена одной валюты на другую. Рассмотрим простейший рынок, на котором имеется два типа валюты-местная и иностранная и обозначим X(t) курс обмена иностранной валюты на местную. Мы будем предполагать, что курс обмена представляет собой случайный процесс X(t), заданный на вероятностном пространстве (П, F, Р) с некоторым заданным потоком ст-алгебр 0 < t < Т.

Производная ценная бумага или платежное обязательство X с датой исполнения Т (Т-платежное обязательство)-это 7т-измеримая случайная величина. Платежное обязательство X называют простым платежным обязательством, если оно имеет вид X = Ф(Х(Т)), где Ф(ж)-неслучайная функция, называемая контрактной функцией.

В диссертационной работе наряду с простыми опционами рассматриваются также экзотические и комбинированные производные ценные бумаги, которыми в основном торгуют на внебиржевых валютных рынках. Наиболее распространенными комбинированными опционами являются стрэддлы, стрэнглы и опционы разворота риска (RR-опционы).

Диссертационная работа посвящена построению моделей динамики валютных

рынков и развитию аналитических, полуаналитических и приближенных методов расчета безарбитражных цен опционов европейского типа в этих моделях.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор существующих результатов, в частности рассматриваются цены ванильных опционов на валютных рынках в классических моделях Гармана-Кольхагсна [1] и Мертона [2], сформулированы цели исследования, кратко изложены результаты.

В первой главе рассматривается расчет цен валютных опционов в моделях валютных рынков с диффузией и скачками-моделях типа Мертона-и обсуждаются задачи калибровки этих моделей валютных рынков.

Пусть на вероятностном пространстве (П, Т, Р) с фильтрацией Ть определены стандартный винеровский процесс пуассоновский процесс с интенсивностью Л > 0 и пуассоновская мера с мерой Леви тг(йг), удовлетворяющей оценке т^рп^я) < °°> = Для простоты мы здесь предполагаем, что Р-мартингальная мера, процессы и мера и(<И, с/г) ^-измеримы.

Моделью типа Мертона мы называем модель валютного рынка, в которой курс обмена Х{Ь) описывается как решение стохастического уравнения с диффузией и скачками вида

(М{0) = Х(в)[{Щ + \т)<№ + ой'ш(6)] + Х{0-) (е2 - 1)ц{йв,йх), (1)

где и(М, сЬ)-пуассоновская мера, Еи{в.1,йх) = Хп(йг)(И, ц{<И,йг) = и(сИ,с1г) — \тт(¿г)сИ, т = /д1[е* - 1]тг(йг). При этом уравнение (1) можно также записать в виде

где = и Ек, к = 1,2,.. .-независимые одинаково распределенные слу-

чайные величины с распределением причем и ^ независимы.

В первой главе рассмотрены две модели типа Мертона, в которых курс обмена задается уравнением (2), где случайные величины имеют следующие распределения:

1) распределены равномерно на интервале [а, Ь] , а < 0 < Ъ, с плотностью

Х(г) = х,

N($-1)

(2)

Ь — а 1 0, в противном случае;

б

2) Z^¡ имеют двойное экспоненциальное распределение, т.е. плотность Леви имеет вид

= (4)

Приведены уравнения для безарбитражных цен ванильных опционов и их комбинаций, а также рассматриваются задачи калибровки моделей типа Мертона, то есть на основании рыночных данных находятся параметры модели, позволяющие согласовать теоретические цены с рыночными.

Пусть Сак(Т, ^-теоретическая цена колл-опциона на валюту, а с*(Т, К)-его рыночная цена в модели Г-К. При калибровке модели Г-К, т.е. при нахождении неизвестного параметра а из соотношения

с*(Т,К)=Сск(г,х,°,К,Т), (5)

было обнаружено, что а зависит от К и Т, что противоречит предположениям заложенным в модели Г-К.

Величину <т=£(Т,К), удовлетворяющую (5), называют предполагаемой во-латильностью. Предполагаемая волатильность является очень удобным параметром, который используют трэйдеры для котировки цен опционов на внебиржевых валютных рынках. Цены опционов на внебиржевом рынке котируются в терминах дельт Дсок и предполагаемых волатильностей £(Д,£), в отличие от биржевых валютных рынков, где котировки проводятся в термина« страйков и цен опционов. При этом параметр Асок имеет вид

А Сок=е-^Я[й+), а котировки стрэддлов, Ш1-опционов и стрэнглов имеют вид

Е^) = £(0,5; 4), £гг(<) = £(0,25;«) - £(0,75; I),

Аналогично калибруют и модели типа Мертона, причем в этих моделях как волатильность курса обмена а, так и параметр А оказываются переменными.

Наличие этих эффектов свидетельствует о необходимости рассмотрения более сложных моделей валютных рынков.

Во второй главе рассматривается расчет цен валютных опционов в диффузионных моделях валютных рынков с локальной и стохастической волатильно-стью, а также в моделях с диффузией и скачками с локальной волатильностью и локальной интенсивностью.

В рамках модели с локальной волатильностью уравнение

йХ(в) = Х{в)[{п - г;)йв + <т(М0)], Х(г) = х,

заменяется уравнением

¿Х(в) = - гу)<Ю + аХЩйчЩ, Х(г) = х,

где <т^(^а;)-заданная неслучайная функция, называемая локальной волатильностью. Если с*-рыночная цена колл-опциона, то локальная волатильность х курса обмена определяется соотношением

<тМТ,К) =

N

ж+ "<& + '?? т

1 > ^ 2 ¿К2

аналогичным соотношению Дюпира [3].

Устанавливается связь между локальной волатильностью оху(Т, К) и предполагаемой волатильностью Е(Т, К), определяемой соотношением (6) в модели Г-К.

Теорема 2.1. Локальная волатильность а (К, Т) связана с предполагаемой волатильностью Е(Т, К) соотношением

а!у(Т,К) =

\

2Е[Г - Щ + Е2 + 2гК[Т - ¿]ЕЦ

(1 + + - «]Е (Р - (§)2 у^) ■

Аналогичные соотношения имеют место и в моделях со скачками с локальной волатильностью и локальной интенсивностью скачков [4]. Динамику курса обмена в такой модели мы предлагаем описывать с помощью поля пуассонов-ских мер и(1,х,<И,(1г) со средним Еу{1,х,йв,йх) = а(1,х)тг(йг)йв, где аЦ,х)-заданная неслучайная функция, называемая локальной интенсивностью.

Пусть Х(в) удовлетворяет СДУ(стохастическому дифференциальному уравнению) вида

йХ{в) = Х{в-)[Не + а(в, Х{в))йи>{в)+ (7)

/00

[

•00

[е* - 1]ц{&,Х(в)>йг,Щ, Х{£) = яг, * < в < Т,

где х, <И, йг) = ж; <И, йг) - а(£, х)тт(ёг)<1Ь. Обозначим

МЬл = {/-оо/-ос7Г(^)^ьесли у < О,

1/у°°/гХ^ьеслиУ>0

и предположим, что все несобственные интегралы существуют. Пусть

7-оо 1-оо если у < О

Ме{у) I f® ¡ Г® /J ^ п

\Jy е Jz K{dzi)dzt если у> О или

адЧ^?^'™^0 • о

IЛ (е - е Maz), если г/ > О

Подход, аналогичный методу Дюпира для диффузионных моделей, позволяет, используя прямое уравнение Колмогорова для решения СДУ (7), найти выражение для локальной интенсивности a(t, х). При этом важную роль играет следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть курс обмена Х(9) подчиняется СДУ (7). Тогда функция

<7(4, х, а, Т, К) = е-^Т~»Е?х[Х(Т) - К]+ (9)

при фиксированных tux удовлетворяет задаче Коши

roo Я2/-1

у - -Q¿zb(T, z)Me(ln(K/z))dz, C(t, X, a, t, K) = [x- K}+,

где Me(z) имеет вид (8).

Локальную волатильность а(Т,К) = сг(Т,к), возникающую при калибровке модели Мертона, можно также выразить в терминах эффективной предполагаемой волатилыюсти Е(Т,К) = Е(Т, к).

Теорема 2.3. Пусть к = рщ^ " Cn = (l + ЩГ^Тщ) и J-Л°гнормалъная случайная величина, In J ~ <Tj). Тогда локальная волатильность к)

связана с предполагаемой волатилъностъю Ё(Т, к) соотношением а(Т, к) =

где

Я,'

п=0

Е ч . дТ, дЕ

+ (П)

Aic (t, Т, Ke-w-i'S, y/i?(T,K)+a]/(T-t)j -A E[Jc(t,T,K/J,t(T,K¡J))},

g

где

2"

Во втором параграфе этой главы рассматриваются модели со стохастической волатильностью.

В одномерных диффузионных моделях со стохастической волатильностью мы имеем дело с двумя источниками случайности, управляющими ценой базового актива и динамикой его волатильности, и лишь одним торгуемым активом, так как волатильность торгуемым активом не является. Первая модель такого сорта была предложена в работе Хестона [5].

В модели Хестона стохастическое уравнение, описывающее динамику курса обмена по мартингальной мере <3 имеет вид

где ги^), ^гШ-пара коррелированных С^-винеровских процессов, г/,га,А:,0,<7-заданные константы и 2?[е£ш1(£)(2ш2(£)] = Р^.

Уравнение для безарбитражной цены Р(1;,х,у) простого платежного обязательства X = Ф(В;(Т),ь(Т)) имеет вид

где функция Л называется рыночной ценой риска. Для того чтобы однозначно определить функцию Р(1,х,у), нужно знать рыночную цену риска и рассмотреть задачу Коши для параболического уравнения (15) с данными Коши вида

йв^г) = В}{г)[п(И + ^г^сМ«)], В}{£) = : йь{р) = [к(в - у(г)) - А]<И + у{Ь)

= V,

(13)

(14)

Я + гйВ/М^ + [к(в - - Л]^ + + (15)

¿¡Ц)у{г)арРх„ - = О,

Р(Т,х,ь)=Ф(х,ь).

(16)

ю

В модели Хестона предполагается, что Л(t, х, г») = Au, где А - заданная константа. При этом из справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.4. Пусть Ф(x,v)-С2-гладкая ограниченная функция. Справедливая цена F(t,x,v) простого платежного обязательства X = Ф(Bf{T),v(T)) в модели Хестона однозначно определяется как решение задачи Коши (15) и допускает вероятностное представление вида

F(t,x, V) = е~^Е1л\ЦЧТ),ьШ (17)

где Q-соответствующая мартингальная мера, Вf(t),v(t)-случайные процессы, удовлетворяющие (13)-(Ц).

Цену колл-опциона в модели Хестона, удовлетворяющую задаче Коши

Ci + (и ~ r/)xcx + к(в - v{t) - M>)су + ^x2vcxx + ^a2v2(t)cvv+ (18)

xuapcxv — г ¿с = 0, с(Т, х, v) = тах[х — К, 0]

ищем в виде c(t,x, v) = xe~r/tCi — Ке~г"^С2, аналогичном виду решения уравнения Г-К. Для того чтобы получить явный вид функций Cj,j = 1,2, мы рассматриваем вначале задачу Коши для уравнения (18) относительно характеристической функции f(t, х, v) с данными Коши f(z) = Eexp{iX(T)z}. При этом, поскольку уравнение (18) обладает аффинными коэффициентами, для функций fj,j = 1,2 в представлении / = eve~rfTfi — Ke~Ti^f2 удается построить явные выражения, где у = 1пх. В результате задача отыскания цены колл-опциона сводится к задаче вычисления обратного преобразования Фурье.

Модель, в рамках которой допускаются скачки курса обмена (модель Бэйт-са) [6], задается системой уравнений

dX(t) = X{t){{f - AJ)dt + 0f(t)dWi(t) + J(Q)dN(t)), X(t) = x, (19)

dV(t) = k{9 - V(t))dt + asfv{t)dW2{t), V(t) = v. (20)

Здесь J(Q) амплитуда скачка и Q-случайная величина с равномерным распределением

1 il, а < q <b о — а 10, в противном случае, a J(Q) определяется соотношением Q = ln(J(Q) + 1). При этом

dN{t)

J(Q)dN(t) = J(Qi). i=l

Процедура нахождения цен интересующих нас опционов аналогична описанной выше процедуре для диффузионной модели и связана с вычислением обратного преобразования Фурье.

В третьей главе приводятся разработанные нами схемы расчета безарбитражных цен валютных опционов европейского типа. Здесь используются результаты глав 1 и 2 в тех моделях, в которых удается найти явные или полуявные решения соответствующих краевых задач для уравнений в частных производных и для интегро-дифференциальных уравнений. В тех же случаях, когда такие решения найти не удается, в качестве основного метода построения численного решения выбран метод Монте-Карло. В связи с этим в первом параграфе этой главы мы приводим ряд результатов из теории метода Монте-Карло, необходимые для решения интересующих нас задач. Во втором параграфе описаны также методы уменьшения дисперсии оценок, полученных с помощью метода Монте-Карло, в частности метод контрольных и метод антитетичных переменных.

В третьем параграфе метод Монте-Карло с уменьшенной дисперсией применяется к расчету цен опционов в моделях типа Мертона. Здесь мы распространяем результаты работы [7] на рассматриваемые в диссертации модели валютных рынков.

Вероятностное представление цены колл-опциона C(t, х, Т, К) в модели типа Мертона имеет вид

C(t,x,T, К) = е'^Е^[Х{Т) - К}+ =

p-TiT 00 Г fOO _ 2

"7г1ХАт)/ / (xeJ^ - K)e-^4k(dz)dy, ' (22)

V2tt jrj Jri JKt

где J(C, z) = (f - Am - у )т + er V^C + z,

Kt = (In(K/x) — f — Am — y)(T -

и ¿k — •Zj'i гДе -распределение величин Zk при заданном распределении

величин Zj, которые имеют вид (3)-(4), (Ат) = г = Т — t, X{t)

задается уравнением (2).

Следовательно, С можно записать в виде

C(t, х, К, Т) = J2Pk^T)E^[CGK(xe^'xjT, f, К, Г)], (23)

и наша задача сводится к вычислению Е,t,K,T)}.

Для вычисления средних такого вида естественно воспользоваться методом Монте-Карло.

Статистическая оценка для для вычисления К,Т) вида (23) при ис-

пользовании грубого метода МС(Монте-Карло) имеет вид

= - £ Свк&*, Т) = Л £ СдК. (24)

п к= 1 п ¡ь= 1

Для того чтобы уменьшить дисперсию статистической оценки цены колл-опциона, используем методы уменьшения дисперсии.

Пусть Хк и Х%-антитетичные переменные, их выбор зависит от выбора распределения величин скачков. Пусть

П = + к=1,...,п (25)

и используем случайные величины У* вида (25) в качестве контрольных переменных. Обозначим

0ка = Ук = \[ССК(1,хе*^т) + Сск&хе**-^)} = ~ (Сок + Скавк)

и обозначим С„(с) = У* - с(Ук - еХЗт), где V* - е^-отклонение от среднего для контрольной переменной и с > 0-некоторый параметр. Дисперсия УагСп(с) имеет минимум в точке с

. _ Соу[Ук,Ук] ° УагУк '

Поскольку точное выражение для величины с найти не удается, нужно построить ее оценку. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных утверждений, в которых получены смещенные оценки для цены колл-опциона (Леммы 3.1-3.3). Однако, смещение удается определить и с его учетом найти явную оценку для интересующей нас цены.

Теорема 3.1. Оценка цены европейского колл-опциона имеет вид

С = 6п-Ь, (26)

где

1 уук-УпЧ

71 — 1 (Ту-

где = Ук(2цу -Ук),к = 1,...,п;/ху = = етр(АтУ).

Далее аналогичным образом строим оценки для пут-опционов, стрэнглов, етр-эддлов и ГШ-опционов.

В четвертом параграфе расчет цен европейских опционов в моделях со стохастической волатильностью производится с помощью двух подходов:

1. метода Монте-Карло, как и выше;

2. используется приведенный во второй главе явный вид характерестической функции и вычисляется обратное преобразование Фурье.

Применим метод Монте-Карло к расчету цен опционов в модели Хестона, которая по мартингальной мере задается системой уравнений вида (13)-(14). Для отыскания численного решения данных стохастических уравнений Хп, Уп используем расностные схемы

Хп+1 =Хп + гХп5 + Хп^/Уп^1п

= уп + к(в - уп)б + сту/упруДг1 + ау/7пу/\ - р2^5г2п,

где 2Г1, Z'2 - независимые случайные величины с распределением N{0,1).

Для вычисления безарбитражной цены х, ь) европейского опциона с контрактной функцией Ф(х,у), которая задается соотношением

П«,*,«) = е-г'<т-'>£«[Ф(Х(Г),и(Т))|Х(«) = = V], (27)

используется статистическая оценка по методу Монте-Карло

1 ы

Сп = е-гАт-г)Е[ ф{Х(Т)МТ))} =

к=1

где Хдг, - реализации численных решений.

Другой способ найти цену-это решить задачу Коши (18). Заметим, что модель Хестона принадлежит к классу аффинных моделей-моделей, что позволяет построить цену колл-опцион в модели Хестона в виде

ф, у, V) = е»ег'тС1 - Ке-г*тС2. (28)

При этом удается найти в явном виде выражения для преобразования Фурье /_,■ функций С], а затем найти и сами функции Cj с помощью обратного преобразования Фурье. Для получения численных результатов мы используем быстрое преобразование Фурье.

В приложении приведены результаты расчетов:

1) цен ванильных опционов и их комбинаций в моделях типа Мертона по методу Монте-Карло,

2) цен азиатских опционов в модели Г-К на основе явного представления,

3) цен ванильных опционов и их комбинаций в модели Хестона по методу Монте-Карло и с помощью методов теории уравнений в частных производных.

Список литературы

[1] Garman М., Kohlhagen S. Foreign currency option values. Journal of International Money and Finance. 2: 231-237,1983.

[2] Merton R. Option pricing when underlying stock return are discontinuous. Journal of Financial Economics. 3: 125-144, 1976.

[3] Dupire B. Pricing With a Smile. Risk. 7(1): 18-20, 1994.

[4] Carr P., Geman H. , Madan D., Yor M., From Local Volatility to Local Levy Models Quantitative Finance, 4 (5): 581-588, 2004■

[5] Heston S. Closed-form solution for options with stochastic volatility, with application to bond and currency options. Review of Financial Studies. 6: 327343, 1993.

[6] Bates D. Jump and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark options. Reviews of Financial Studies. 9: 69-107, 1996.

[7] Zhu Z., Hanson F., A Monte-Carlo Option-Pricing Algorithm for Log-Uniform Jump-Diffusion Model. Proceedings of Joint 44nd IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference. 12: 1-6, December 2005.

Список публикаций автора

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Стохастические дифференциальные уравнения с диффузией и скачками моделирующие валютные рынки. Вестн. С.-Петербург, ун-та, 1(4):3-12, декабрь 2009.

Остальные публикации:

[2] Филимонова С.Р. К вопросу о моделях Леви для валютных рынков. Математика в ВУЗе: Материалы международной научно-методической конференции, Псков, сентябрь 2006 г. СПб., 163-164, 2006.

[3] Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Вероятностное моделирование цен финансовых инструментов. Доклады 60 международной научно-технической конференции молодых ученых. Часть I. СПбГАСУ-СПб.,121-124, 2007.

[4] Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Безарбитражные цены производных ценных бумаг на валютных рынках. Доклады 64 научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов Часть I. СПбГАСУ-СПб., 99-102, 2007.

[5] Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Безарбитражные цены экзотических опционов на рынке FOREX. Доклады 61 международной научно-технической конференции молодых ученых. Часть IV. СПбГАСУ-СПб., 8795, 2008.

[6] Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Безарбитражные цены опционов на глобальных рынках. Записки научных семинаров ПОМИ Т. 361. СПб., 5-28, 2008.

[7] Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Безарбитражные цены платежных обязательств азиатского типа. Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна-2008. Воронеж, 45-47, 2008.

[8] Belopolskaya Ya., Filimonova S. Currency option pricing via Monte Carlo technique. Proceedings of the 6th St. Petersburg Workshop on Simulation. 94-99, June 2009.

[9] Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Цены стрэдцлов в модели Бейтса. Доклады 66 научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов Часть II. СПбГАСУ-СПб., 152-156, 2009.

Подписано в печать 12.04.2010 Объем: 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 66

Отпечатано в ООО «Копи - Р» Санкт - Петербург, пер. Гривдова, д. 1 / 64 Лицензия ПЛД №69-338 от 12.02.99г.

Введение

1 Расчёт цен валютных опционов в моделях с диффузией: и скачками

1.1 Расчёт цен ванильных опционов.

1.2 Расчет цен азиатских опционов в диффузионных моделях валютных рынков.!.

1.3 Калибровка моделей.

1.4 Предполагаемое риск-нейтральное распределение (PHP)

1.5 Стандартные котировки валютных опционов и их использование при оценке предполагаемой функции распределения

2 Расчёт цен валютных опционов в современных моделях валютных рынков

2.1 Модели с локальной волатильностью

2.2 Калибровка в моделях со скачками

2.3 Модели со стохастической волатильностью.

2.3.1 Расчет цен ванильных опционов в диффузионных моделях. Модель Хестона.

2.3.2 Расчёт цен ванильных опционов в моделях со скачками.

Модель Бэйтса.

2.4 Калибровка параметров модели Хестона

3 Численные методы и схемы. Результаты расчетов

3.1 Метод Монте-Карло.

3.2 Методы уменьшения дисперсии.

3.3 Расчет цен опционов в моделях типа Мертона.

3.4 Расчет цен европейских опционов в моделях со стохастической волатильностью.

Диссертационная работа посвящена построению моделей динамики валютных рынков и развитию аналитических, полуаналитических и приближенных методов расчета безарбитражных цен опционов европейского типа в этих моделях.

В диссертационной работе рассматривается валютный рынок, на котором присутствует N + 1 тип валюты, одна из которых называется местной, а остальные - иностранными. На этом рынке присутствуют также безрисковые активы, называемые срочными вкладами (банковскими счетами) в соответствующих валютах. Источниками риска при этом являются курсы обмена валют, для описания динамики которых будет рассмотрен ряд моделей. Мы будем предполагать, что на рынке допустим лишь обмен между местной валютой и иностранными. Мы не рассматриваем возможности обмена между иностранными валютами и не учитываем трансакционные издержки.

Введем обозначения для параметров валютного рынка. Если на рынке присутствует две валюты, то соответствующие безрисковые процентные ставки будут обозначаться га (domestic) и 77 (foreign). Если же валют больше, то одной из них по-прежнему будет соответствовать процентная ставка гd, а остальные процентные ставки будут обозначаться rjk,k = 1,. ,N.

Наряду с непосредственным обменом одной валюты на другую в соответствии с курсом обмена на рынках популярны и производные ценные бумаги на курс обмена.

Производная ценная бумага или платежное обязательство с датой исполнения Т (Т-платежное обязательство) - это случайная величина X £ Тт ■ Платежное обязательство называют простым платежным обязательством, если оно имеет вид X = Ф(Х(Т)), где Ф(ж)-неслучайная функция, называемая контрактной функцией.

Приведем примеры контрактных функций наиболее распространенных опционов (производных ценных бумаг) на валютном рынке. Колл-опцион. Контрактная функция колл-опциона имеет вид

Ф(х) = тах[ж - К, 0] = [х - К}+,

К- страйк(цена исполнения опциона).

Путп-опцион. Контрактная функция пут-опциона

Ф(х) = [К

На внебиржевых рынках также часто торгуют комбинированными опционами. Наиболее распространенные комбинированные опционы на валютном рынке-это стрэддлы, стрэнглы и опционы разворота риска (ГШ-опционы). Стпрэддл. Контрактная функция стрэддла имеет вид

Ф{х) = [я - К}+ + [К- х]+.

Цена стрэддла содержит информацию об ожидаемой дисперсии курса обмена.

Чем выше ожидаемая дисперсия, тем больше доход, который может получить владелец стрэддла, а, следовательно, и выше его стоимость.

Стрэнгл. Контрактная функция стрэнгла имеет вид

Ф(х) = [х- Кг]+ + [К2 - х]+.

Данная стратегия приносит доход, лишь когда есть существенное изменение цены базового актива за пределами интервала, образованного страйками пути колл-опциона.

ЯК-опцион. Контрактная функция РШ,-опциона имеет вид

Ф(я) = [а; - К1}+ - [.К2

Цены Ш1-опционов определяются разностью цен опционов, страйки которых выше или ниже текущей форвардной ставки. Цена опциона отражает точку зрения участников рынка относительно оценки роста ( если разность положительна) или убывания (если разность отрицательна) стоимости местной валюты. Если понимание направления движения стоимости валюты правильное, то стратегия приносит доход. Однако, если оно неверно, то существует риск неограниченных потерь при открытой короткой позиции.

Помимо простых платежных обязательств, на рынке присутствуют также платежные обязательства, зависящие от траекторий, например, азиатские опционы.

Азиатские опционы (АО) - это опционы, платежные обязательства которых зависят от траектории. Примером является колл-опцион азиатского типа, платежное обязательство которого имеет вид = тах[ [ Ф{Х{в))(1в -Jo

Заметим,что платежное обязательство общего опциона азиатского типа можно описать с помощью соотношения т к[ [ а(Х{Ь))(1тУ) - Кга(Х(Т)) - (1) и о где К\,К2 > О-константы, а : Щ. —> и т(сИ)-положительная борелев-ская функция на [О, Т].

Если функция а;(а;) имеет вид а(х) = хк, а = О и > 0, то формула (1) описывает АО с фиксированной договорной ценой, если К2 = О, а К\ > О-АО с плавающей договорной ценой. Выбор к = ±1 соответствует платежному обязательству для пут- или колл-опциона, выбор гп{Ь) = ± соответствует непрерывному АО, а выбор тп{€) = \Щ]-дискретному АО.

Развитие вероятностных моделей валютных рынков играет важную роль в понимании структуры функционирования мировых финансовых рынков. Одной из первых моделей финансового рынка была модель Блэка-Шоулса [1]з а ее обобщение на валютные рынки появилось в работе Гармана и Кольхагена [2] и получило название модели Гармана-Кольхагена (Г-К).

Описание динамики валютного рынка требует привлечения результатов и методов теории стохастических уравнений, а также теории уравнений в частных производных [3]-[7].

Для того чтобы описать динамику валютного рынка, обозначим (£2, Р, Р) вероятностное пространство, на котором определен винеровский процесс

W(t) и порожденный им поток а-алгебр Ft. Рассмотрим рынок, на котором присутствуют безрисковые и рисковые активы, оцененные в разных валютах. Обозначим Bd{9) и В ¡{в) -текущие цены безрисковых активов, a Sd{9) и Sf{6) -текущие цены рисковых активов в местной и иностранной валюте. Здесь 0 < t < в < Т и Т-положительная фиксированная константа.

Пусть динамика цен безрисковых активов Bf(9)1Bd(9) неслучайна и задается соотношением dBf{9) = rfBf(9)d9: В f{t) = 1, dBd{9) = rdBd(9)d9, Bd(t) = 1, а динамика курса обмена иностранной валюты на местную Х(9) описывается стохастическим уравнением dX{9) = X{{9))[ad9 + adW{9)], X(t) = ж.

Обозначим Bf = XBj цену иностранного безрискового актива в местной валюте. Тогда нетрудно проверить, что Bf удовлетворяет следующему стохастическому уравнению dBf(9) = (77 + a)Bf(9)d9 + aBf{9)dW(9).

В соответствии с общей теорией справедливая цена F(t,x) Т-платежного обязательства X с контрактной функцией Ф(ж) определяется соотношением где Q-мартингальная мера на F), то есть вероятностная мера Q, абсолютно непрерывная относительно меры Р, и такая, что относительно нее дисконтированная цена любого торгуемого актива является мартингалом. Относительно мартингальной меры Q динамика Bf описывается уравнением dèf{0) = rdBf(e)d6 + aBf(e)dw(e), где ги(£)-винеровский процесс относительно меры Q. Поскольку Х(0) = то уравнение для процесса Х{9) по мартингальной мере Q имеет вид dX{0) = X(9)[fdB + adw{6)}, X(t) = x, (2) где т ~ Td — тj, га и г/ - процентные ставки в местной и иностранной валюте соответственно и а-заданная константа.

Модель вида (2) называется моделью Гармана-Кольхагена. Нетрудно показать, что если X(t) удовлетворяет (2), то решение X(t) имеет вид

Х(Т) = xexp{r(T - i), a(w(T) - w(t))} = жеу, (3) где г = (гd — !<т2), a Y - гауссовская случайная величина с нормальным распределением

N((rd-±a2)(T-t),aVT=t), (4) где

N{a, а2){у) = -= / ez^~dz,

V ¿К J—оо функция распределения нормальной случайной величины со средним а и дисперсией а2. При этом мы приходим к следующей формуле для цены Т

10 платежного обязательства оо

Ф (хеу)/Шу, (5) оо где / = А^'(у)- плотность распределения случайной величины У.

Формула (5) - позволяет вычислить цену F(£, х) широкого класса контрактных функций Ф, по крайней мере, приближенно. Существует, однако, несколько важных случаев, когда х) можно найти в явном виде, в частности для европейского колл-опциона.

Рассмотрим колл-опцион с контрактной функцией Ф^гг) = тах[х — К, 0]. В этом случае в силу (5) оо тах[хе*Т+а^2 - К, 0]ф{г)йг, (6) оо где ф(г) = - плотность распределения стандартной нормальной гауссовской величины, т = Т — £, лг \ 1 Л/27Г

Интеграл в (6) может быть записан в виде где

•оо поо

- К)ф(г) = А-В, ¿о роо

А = I (хе

3 го роо Кф(г)с1г.

3 2п В О

Очевидно, В = KProb(Z > zq) и, используя симметрию распределения N[О,1], получим В = KProb(Z < zq) . При этом А можно записать в виде

А = xerdTN[-z0 + ау/т\.

Таким образом, цена Сок колл-опциона имеет вид

Сак{т, а;, <т, К, Т) = е~г'тхЛí{d+) - e~rdTKM(dJ). (7)

Аналогично выводится явное представление для цены Рок пут-опциона

Pgk{t, х, сг, К, Т) = Ke~rdTM{~d) - xe-r'TAÍ(-d+), (8) где d± = Д=[1п(^) ± F = ze^"^, (9)

СГу/Т К ¿

ЛГ(0,1 )М = -4= Г e-í^. ¿TT J-oо

Соотношения (7)-(8) называют формулами Гармана-Кольхагена.

Заметим, что цены пут- и колл-опционов связаны соотношением, называемым соотношением двойственности

Pga-(Í) = + - х.

Цены стрэддлов, стрэнглов и RR-опционов находятся, используя определения контрактных функций и соотношения двойственности stGK(t) = 2CGK(t, х, а, Т, К) + Ke~TfT + а;, strGK{t) = CGK(t, x, <7, T, i^i) + CGK{t, x, сг, T, if2) + к2е~г'т + ж, rrG*(i) = ^ Г, Кг) - CGK(t, я;, <т, T, - - ж.

Расчету цен ванильных опционов европейского типа и расчету цен опционов азиатского типа на финансовых рынках в модели Б-Ш посвящен ряд работ [8]-[11]. Мы переносим результаты этих работ на валютные рынки и рассматриваем опционы, специфичные для этого рынка.

Динамика курсов обмена на современных рынках далеко не всегда является непрерывной и часто демонстрирует скачки. Обобщение непрерывной модели Б-Ш, позволяющее учесть скачки, было предложено в работе Мер-тона [12], а также в ряде более поздних работ, например в работе Ку [13], Хэнсона [14] и др. В этих работах динамика цен рисковых базовых активов представляет собой случайный процесс с диффузионной и скачкообразной компонентами. Мы переносим эти результаты на валютные рынки и предполагаем, что курс обмена описывается как решение стохастического уравнения вида оо ег-1 )fi(de,dz),X(t) = х

•оо

10) где w(t)-Q- винеровский процесс, v(dt,dz)-пуассоновская случайная мера на [0,Т] х R1 со средним Ev(dt,dz) = \ir{dz)dt, Л = const и fi(dt,dz) = v>(dt,dz)—Xir(dz)dt, т = JRl[ez — 1]7г(dz). При этом w(t) и r](t) = г/([0 ,t),dz) независимы.

Уравнение (10) можно записать в виде

1х(в) = х{в-)[г(1е + <т(1<ш+ ^ гк], (и) к=1 где = М и Zk, к = 1,2,. -независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением 7Г((1г), причем и]{€),М{1) и Zк независимы.

Если Zк случайные величины с функцией распределения а2), (мы будем называть такую модель моделью Мертона), то сумма ]Г)а=1 Zk имеет нормальный закон распределения N'{n^lJ, па2) со средним n¡lJ и дисперсией па2, и цена колл-опциона См^,х,сг, К,Т) (как и в модели Г-К) допускает явное представление

См(г, X, а, К, Т) = е-^ У2 е~ХТ^тГ п! где а2п = а2 + ^ и Ф = [х - К}+.

При этом выражение для См(£, х, а, К, Т) можно переписать в виде

СМ(Ь, х, а, К, Т) = е~иТ ^--}-СОК&Хк,ак, К, Г), (12) где с=0 ко2 а2

Хк = хехр[кцз + - А(Г - *) ехр{^7 + у} + А(Г - *)].

Дальнейшее развитие теории привело к появлению моделей, в которых волатильность а — а(Ь) представляет собой случайный процесс, конструируемый как решение некоторого стохастического уравнения (модели со стохастической волатилыюстью) [15]- [19] или имеет вид а = о{Х{ьУ), где а(х) - заданная функция (модели с локальной волатильностью) [20], [21]. После выбора модели рынка, то есть задания динамики цен базовых активов, естественная задача состоит в том, чтобы определить безарбитражные (не приводящие к безрисковому положительному доходу при нулевом начальном капитале) цены производных финансовых инструментов - контрактов на базовые активы.

В диссертационной работе рассмотрен ряд вероятностных моделей валютных рынков как известных, так и новых и разработана методика расчета цен финансовых продуктов, основанная как на численном решении уравнений в частных производных, так и моделировании соответствующих случайных процессов с последующим применением метода Монте-Карло [22]. Далее диссертационная работа построена следующим образом.

В первой главе рассматривается расчет цен валютных опционов в моделях валютных рынков с диффузией и скачками (моделях типа Мертона) и обсуждаются задачи калибровки моделей валютных рынков.

Здесь рассматриваются две модели типа Мертона, описываемые уравнением (11), в которых

1) случайные величины Zk распределены равномерно на интервале [а, 6], а < 0 < 6, с плотностью

2) случайные величины Zk имеют двойное экспоненциальное распределение,

0, в противном случае;

1, а < г < Ъ

13) т.е. плотность Леви имеет вид ф) = Х-ехр {---^ . (14)

В отличие от модели Мертона, в этих моделях явный вид цен ванилЬНЬ1х опционов найти не удается и для вычисления безарбитражных цен мы применили численный метод Монте-Карло с использованием комбинации Метода контрольных и метода антитетичных переменных для повышения эффек тивности численных результатов. Соответствующие результаты приведены в главе 3.

Здесь также описаны цены пут-опционов, которые находятся с помощью соотношения двойственности

Рм(£, ж, ст, Т, К) = См(£, х, а, Т, К) + - хе~г'(Т - г), и цены стрэдлов, стрэнглов и ЯК-опционов 2СМ(Ь, х, сг, Т, К) + Ке~г*т + ж, зЬгм® = См&ж, (7, Т, Кг) + См (*, х, <т, Т, К2) + К2е~^т + ж, ггм(г) = X, <7, Т, - См(г, X, а, Т, яу - /Г2е-Г'т - ж.

Кроме того, в первой главе рассматриваются задачи калибровки Моделей то есть находятся параметры модели, позволяющие согласовать теоретические цены с рыночными.

Неадекватность модели Г-К современным валютным рынкам проявляется при калибровке этой модели [20]-[21]. Пусть Сок{Т, К) -теоретические цены

16 колл-опционов на валюту, а с*(Т,К)~их рыночные цены. При калибровке модели Г-К, т.е. при использовании соотношения с*(Т,К) = ССк{^х,а,К,Т) (15) при фиксированных £ е [О ,Т] и х > 0) как уравнения относительно коэффициента волатильности сг, было обнаружено, что а зависит от К и Т.

Величину Е(Т, К), удовлетворяющую (15), называют предполагаемой во-латильностью. Предполагаемая волатильность является очень удобным параметром, который используют трэйдеры для котировки цен опционов на внебиржевых валютных рынках. Цены опционов на внебиржевом рынке котируются в терминах дельт и предполагаемых волатильностей Е(Т, К), в отличие от биржевых валютных рынков, где котировки проводятся в терминах страйков и цен опционов. При этом параметр Асок имеет вид

Дож = а котировки стрэддлов, ИЯ-опционов и стрэнглов имеют вид £(0,5;*), гг(£) = £(0,25; г) - 2(0, 75; *), откуда следуют соотношения

Е(0, 25; г) = зф) + ^гг(г) + ^г(*), Е(0, 5; = вОД, (16)

17

0, 75; *) = - -гг(Ь) + z позволяющие определить предполагаемую волатильность по котировкам наиболее распространенных опционов.

Подобная система калибровки может быть применена и к модели Мертона. При этом переменными в модели Мертона оказываются как волатильность курса обмена о, так и параметр Л.

Наличие этих эффектов свидетельствует о необходимости рассмотрения более сложных моделей валютных рынков.

Во второй главе рассматривается расчет цен валютных опционов в диффузионных моделях валютных рынков с локальной и стохастической вола-тильностью, а также в моделях с диффузией и скачками с локальной вола-тилыюстью и локальной интенсивностью.

В рамках модели с локальной волатильностью уравнение где сг£у(£, х) -заданная неслучайная функция, называемая локальной волатильностью. Аналогично тому, как это сделано в работе Дюпира [21], локальная волатильность х) определяется соотношением йх{в) = х{в)[{гА - г/)<г0 + ^(в)], х(г) = х заменяется уравнением йх{в) = х(в)[(г(1 - гг)м + *ьу(о,х(е))аи){0)], х(г) = хл где с*-рыночная цена колл-опциона.

Устанавливается связь между локальной волатильностью сг£у(Т,/Г) и предполагаемой волатильностью Е (Т,К), определяемой соотношением (18).

Теорема 2.1. Локальная волатилъностпъ а(К, Т) связана с предполагаемой волатильностью Т1(Т,К) соотношением

Аналогичные соотношения имеют место и в моделях со скачками с локальной волатильностью и локальной интенсивностью скачков.

Динамику курса обмена в такой модели мы предлагаем описывать с помощью поля пуассоновских мер х, сИ, йг) со средним х, ¿0, ¿г) = а{1:х)-к{(1г)(19, где а(£, х)-заданная неслучайная функция, называемая локальной интенсивностью.

Пусть Х(в) удовлетворяет СДУ(стохастическому дифференциальному уравнению) вида аЬу(Т,К) =

2Е[Т - *]§р + Е2 + 2гК[Т - £]ЕЦ (1 + + к*[т-*]£ (р -(Ц)2Vт=t)

1Х{в) = Х{0-)[г<№ + ст{в,Х{в))(11п(е)+

19) ег - 1]ц(в,Х(0),с1г,(16)], Х(г) =х,г<в<Т: где х, сИ, в,г) = ж; М, (1г) — а(£, х),к{йг)(И.

Обозначим v . Г-оо /-оо *{dz)dz, если у < О М(у) =

Г С n(dz)dzu если у > О и предположим, что все несобственные интегралы существуют. Пусть , ч , /-00 /-оо если г < О

МеЫ=

Г^-С7^2^1'если или 1-оо(еУ - если у < О ме (у) = <! . (20)

V — ег)7т(Й2;), если у > О

Подход, аналогичный методу Дюпира для диффузионных моделей, позволяет, используя прямое уравнение Колмогорова для решения СДУ (19), найти выражение для локальной интенсивности a(t,x). При этом важную роль играет следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть курс обмена Х{в) подчиняется СДУ (19). Тогда функция

C(t: х, а, Т, К) = e-r^EfiX[X(T) - К]+ (21) при фиксированных tux удовлетворяет задаче Коши д2С о где Me(z) имеет вид (20).

ГОО о2п

Jo ^^ Z">M^K/ZVdZ> *> Ю = [Х- К} +,

Заметим, что при калибровке модели Мертона локальную волатильность <т(Т, К) = а(Т, к) можно выразить в терминах эффективной предполагаемой волатильности £(Т, К) = Е(Т, к), так же как и в случае чисто диффузионной модели.

Теорема 2.3. Пусть к к

-1 и Сп — + е2(Г,к)(Г-*) ^ ^ 7 -логнормалъная случайная величина, 1п 3 ~ Л/"(я/, а^). Тогда локальная волатильность <т(Т, к) связана с предполагаемой волатильностью Е(Т, ас) соотношением а(Т, к) = где

00 где п=0

2(Т (Л - АО«— + — (23)

А1С Г, «е-^-^Л +

А£[7с(£, Т, яД Е(Т, к/7))], 1 00

1 = п=0 дк2" кл/Т^!

А(п) = Ш

9п= у^СГ-^+п^,

24) п = ----+ ТуЦп

Чп 2

Во втором параграфе этой главы рассматриваются модели со стохастической волатильностью.

Специфика диффузионных моделей со стохастической волатильностью состоит в том, что при этом мы имеем дело с двумя источниками случайности, управляющими ценой базового актива и его волатильностью, и лишь одним торгуемым активом (волатильность торгуемым активом не является).

Первая модель такого сорта была предложена в работе Хестона [15]. Пусть Wi(t),W2(t) - пара коррелированных винеровских процессов, заданных на вероятностном пространстве (Г2, F, Р) и

E[dWi(t)dW2(t)] = pdt.

Рассмотрим систему СДУ вида dBd{r) = Bd{r)rddr, Bd(t) - 1 (25) dBf(r) = Bf(r)[[rf + fi(r)]dr + yffiFjdW^T)], Bf(t) = rr, (26) dv(r) = k(9 - v(r))dT + (T^v(j)dW2(T)1 v(t) = v, (27) и предположим, что к, 9, а - заданные константы.

Уравнение для безарбитражной цены F(t, х, v) платежного обязательства X — Ф(Bf(t),v(t)) в модели Хестона имеет вид

B2(t)v(t) a2v(r)

FT + rdBf(r)Fx + [к{в - v(t)) - A]FV + /V 2; Fxx + —±-Lfw+ (28)

B}{r)v{r)apFxv - rdF(r) = 0, где функция А называется рыночной ценой риска. Для того чтобы однозначно определить функцию F(t,x,v), нужно знать рыночную цену риска и рассмотреть задачу Коши для параболического уравнения (28) с данными Коши вида

Е{Т,х^) = Ф(х,у). (29)

Теорема 2.4. Если известна рыночная цена риска Л, то справедливая цена F(t,x,v) платежного обязательства X — F(t, Вf(T), v(T)) в модели Хестона однозначно определяется как решение задачи Коши (28) и допускает вероятностное представление вида

F(t,x,v) = (30) где Q-соответствующая мартингалъная мера, В/(т),г>(т) -случайные процессы, удовлетворяющие СДУ dBf(r) = Bf(T)[rddT + y/v^r)dWl(r)], Bf(r) = x (31) dv(r) = [k(0 - v{t)) - A]dr + a^v(r)dw2(r), v(t) = v, (32) wi(t), w2(t) -пара Q - винеровских процессов и

EQ[dw1{r)dw2(r)] = pdr.

При рассмотрении опционов на курс обмена Х{9) нам понадобится уравнение для Х(6) по мартингальной мере. Стохастическое уравнение по мар-тингальной мере для курса обмена в модели Хестона имеет вид dX(r) = X(T)[{rd - rj)dT + ^v^dw^r)], (33) dv(r) = [k(9 - v{t)) - K)dT + a^v(r)dw2(r). (34)

Цену колл-опциона в модели Хестона, удовлетворяющую задаче Коши

Ci + (rd - Г;)хсх + к{9 - v(t) - Av)cv + iX2vcxx + ^o2v2(t)cvv+ (35) xvapcxv — TdC = 0, c(T, x, v) — max[x — K, 0], мы ищем в виде c(t,x,v) = xe~rjTCi - Ke~rd{T)C2, аналогичном виду решения уравнения Г-К. Для того чтобы получить явный вид функций Cj,j = 1, 2, мы рассматриваем вначале задачу Коши для уравнения (35) относительно функции f(t, ж, г;) с данными Коши /(Т, х, v) = f(T,ey,v) — Eexp{iX(T)z}. При этом, поскольку уравнение (35) обладает аффинными коэффициентами, то для функций fj,j = 1,2 в представлении / = eye~rfTfi — Ke~rd^f2 удается построить явные выражения. Вычисляя обратное преобразование Фурье, мы получим

Cj{y, v(t), Т, ЫК) = 1 + 1 rfln{K)fj{y^T,z)]dz (36)

Z 7Г jq iz

В результате задача отыскания цены колл-опциона сводится к задаче вычисления обратного преобразования Фурье и при ее решении мы используем технику быстрого преобразования Фурье.

В этой же главе рассматривается модель, в рамках которой допускаются скачки курса обмена, обобщающая модель предложенную в работе Бэйтса [16] на случай валютного рынка. Мы называем ее моделью Бэйтса.

Модель Бэйтса задается системой уравнений dX(r) = Х(т)((г - XJ)dr + y/V^dW^r) + J(Q)dN(r)), X(t) = x, (37) dV(r) = к(в - V{r))dr + ау/У^г)Ш2{г), V(t) = v. (38)

Здесь г, к, в, а - заданные константы, J(Q)~ амплитуда скачка и Q - случайная величина с равномерным распределением

I 1, а < q < Ъ

ФМ = i (39> О, в противном случае, а </(ф) определяется соотношением = 1п{3{0) -+- 1). При этом ш{ь) г=1

Процедура нахождения цен интересующих нас опционов аналогична описанной выше процедуре для диффузионной модели и связана с вычислением обратного преобразования Фурье.

В третьей главе приводятся разработанные нами схемы расчета безарбитражных цен опционов европейского типа. Здесь используются результаты глав 1 и 2 в тех моделях, в которых удается найти явные или полуявные решения соответствующих краевых задач для уравнений в частных производных и для интегро-дифференциальных уравнений. В тех же случаях, когда такие решения найти не удается, в качестве основного метода построения численного решения выбран метод Монте-Карло . В связи с этим в первом параграфе этой главы мы приводим ряд результатов из теории метода Монте

Карло, необходимых для решения интересующих нас задач. Здесь описаны также методы уменьшения дисперсии оценок, полученных с помощью метода Монте-Карло, в частности, метод контрольных и метод антитетичных переменных [22], [23].

Во втором параграфе метод Монте-Карло с уменьшенной дисперсией применяется к расчету цен опционов в моделях типа Мертона. Здесь мы распространяем результаты работы [24] на рассматриваемые в диссертации модели валютных рынков.

Вероятностное представление цены С(£, я, Т, К) колл-опциона на валюту в модели типа Мертона имеет вид

С(1, х, Т, К) = е-^Е®х{Х(Т) - К]+ =

Т(1Т °° Г ГОО 2

Ат) / I (хе^-К)е^тг ^(с^у, (40)

V2тг ^ ¿я1 м. 2 где J(C, г) = (г — Хгп — + сгу/тС, +

Кь = (НК/х) — г — Хгп — у)(Т и ¿к — гДе кгк -распределение величин при заданном распределении величин которые имеют вид (13)-(14), Рк(Хт) = т = Т —

Х(£) задается уравнением (11).

Следовательно, С(£, х, X, Г) можно записать в виде

С(*, Я", Т) = К, Г)], (41) и наша задача сводится к вычислению [Сок Т)].

Для вычисления средних такого вида естественно воспользоваться методом Монте - Карло.

Статистическая оценка для вычисления С(£, х, К, Т) вида (41) при использовании грубого метода МС имеет вид

- п 1 71

Ссг = -£ Сак&хе^3\ К,Т) = - £ Скск. (42)

Для того чтобы уменьшить дисперсию статистической оценки цены колл-опциона, используем методы уменьшения дисперсии.

Пусть Хк и - антитетичные переменные, их выбор зависит от выбора распределения величин скачков. Пусть

Ук = \{е*к + к = 1,., п (43) и используем случайные величины Ук вида (43) в качестве контрольных переменных. Обозначим

Оа =Ук = \[Сак&хе*^) + Сак& хе^^)} = \{Скск + СкаОК) (44) и обозначим

Оп{с) = Ук - с(ук где Ук — - отклонение от среднего для контрольной переменной и с > О - некоторый параметр.

Дисперсия УагОп(с) имеет минимум в точке с* ^ Соу[Ук, Ук] С УагУк '

Поскольку точное выражение для величины с* найти не удается, нужно построить ее оценку. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных утверждений, в которых получены смещенные оценки для цены колл-опциона (Леммы 3.1-3.3). Однако, смещение удается определить и с его учетом найти явную оценку для интересующей нас цены.

Теорема 3.1. Оценка цены европейского колл-опциона имеет вид

С = вп-Ъ- (45) где

Л ( Л п 1 71 п \

1 П^п - УпУ^ п- 1 а* где = Ук(2рьу — И), к = 1,., п = Е[У] = ехр(Хт]).

Далее, аналогичным образом строим оценки для пут-опционов, стрэнглов, стрэддлов и Ш1-опционов.

В третьем параграфе метод Монте-Карло применяется к расчету цен опционов в модели Хестона. Для расчета этой модели, в которой курс обмена по мартингальной мере задается системой уравнений вида (33)-(34), мы вначале строим численное решение стохастического уравнения. После этого безарбитражную цену европейского опциона с контрактной функцией Ф(ж,г>), которая задается соотношением е~г^т^Е(^ЩХ{Т),у{Т))\Х{1) = х:у{Ь) = (46) можно найти с помощью метода Монте-Карло. Соответствующая оценка имеет вид

Сет = е-^)Е[Ф(ХЮМт =

А:=1

Другой способ найти цену - решить задачу Коши

Ъ + {гл - г;)хР + к(в - у(г) - \у)Ги + ^х2уЕхх + ^Л^^-Ь (47) хустрЕх1) - глЕ = О, Р(Т, x, у) = Ф(а;, у).

Модель Хестона принадлежит к классу аффинных моделей, в которых параметры динамики рынка - снос, волатильность - представляют собой аффинные функции. Цену колл-опцион в модели Хестона можно представить в виде с(*, у{1),у{1)) = еУ^е^Сг - Ке~г*тС2. (48)

При этом удается найти в явном виде выражения для преобразования Фурье ^ функций С= - ^ооеггкс1^(у,у,Т, к), а затем найти сами функции Сз с помощью обратного преобразования Фурье

С;(уМ*),Т,1пК) = ^ + ^ Г°1еЫП{К)ЦУ,чТ,г) =

2 7Г IX и функции fj можно найти в явном виде. Для численного моделирования цены воспользуемся быстрым преобразованием Фурье.

Наконец, в приложении приведены результаты расчетов

1) цен ванильных опционов и их комбинаций в модели типа Мертона по методу Монте-Карло,

2) цен азиатских опционов в модели Г-К на основе явного представления,

3) цен ванильных опционов и их комбинаций в модели Хестона по методу Монте-Карло и с помощью быстрого преобразования Фурье.

Все вычисления выполняются в среде МаШЬ.

1. F.Black, M. Scholes. The pricing of options and corporative liabilities. Journal of Political Economy. 3, 1973.

2. Garman M.B., Kohlhagen S.W. Foreign Currency Option Values. International Money and Finance. 2:231-237, J. 1983.

3. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Мир, Москва, 2003.

4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, т.1 Факты, Модели, т. 2 Теория. М: ФАЗИС.

5. Bjork Т. Arbitrage theory in Continuous time. Oxford, 1998.

6. Musiela M., Rutkowsky M. Martingale methods in financial modelling. Berlin, Springer Verlag, 1997.

7. Cont R. and Tankov P. Financial modelling with jump processes. Chapman and Hall CRC Press, 2003.

8. Fu M., Madan D., Wang T. Pricing asian options. A comparison of analytical and Monte Carlo methods. Journal of Computational Finance. 2(2):49-74, 1999.

9. Vecer J., Xu M. Pricing asian options in a semimartingale model. Quantitative Finance. 4:170-175, 2004.

10. Vecer J. Unified Asian Pricing. Risk. 15(6):113-116, 2002.

11. Gruber U. Pricing barrier and Asian options with an emphasis on Monte Carlo methods. M.Sc. paper Oregon StateUniv. 84*108, 1997.

12. Merton R. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. J. Financial Economics. 3:125-144, 1976.

13. Kou S. G. A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science archive, 48(8):1086 1101, August 2002.

14. Yan G. , Hanson F. B. Option Pricing for a Stochastic-Volatility JumpDiffusion Model with Log-Uniform Jump-Amplitudes. American Control Conf., 2989-2994, 2006.

15. S.Heston. A Closed Form Solution for Options with Stohastic Volatility with Application to Bond and Currency Options. Rewiew of Financial. 6:327-343, 1993.

16. Bates D. Jump and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark options. Reviews of Financial Studies. 9:69-7, 1996.

17. Andersen L., Andreasen J. Jump-diffusion processes: volatility smile fitting and numerical methods for option pricing. Review of Derivative Research. 4:231-262, 2000.

18. Kindermann S., Mayer P. On the calibration of local-diffusion market models. RICAM Report, 19:1-29, 2008.

19. Carr P., German H., Madan D. , Yor M. From local volatility to local Levy models. Quantative Finance, 4-581-588, 2004

20. DupireB. Pricing With a Smile. Risk. 7(l):18-20, 1994■

21. Jackel P. Monte Carlo methods in finance. 2002.

22. Zongwu Zhu and Floyd B. Hanson. A Monte-Carlo Option-Pricing Algorithm for Log-Uniform Jump-Diffusion Model. 2005.

23. Kloeden P.E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. 3rd edition, Springer Verlag, New York, 1999.

24. Nimalin M. The Heston Model: A Practical Approach with Matlab Code. 47, 2005.Список публикаций автораСтатьи в журналах, рекомендованных ВАК:

25. Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Стохастические дифференциальные уравнения с диффузией и скачками моделирующие валютные рынки. Вестн. С.-Петербург, ун-та, 1(4):3-12, декабрь 2009.Остальные публикации:

26. Филимонова С.Р. К вопросу о моделях Леви для валютных рынков. Математика в ВУЗе: Материалы международной научно-методической конференции, Псков, сентябрь 2006 г. СПб., 163-164, 2006.

27. Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Вероятностное моделирование цен финансовых инструментов. Доклады 60 международной научно-технической конференции молодых ученых. Часть I. СПбГАСУ-СПб.,121-124, 2007.

28. Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Безарбитражные цены производных ценных бумаг на валютных рынках. Доклады 64 научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов Часть I. СПбГАСУ-СПб., 99-102, 2007.

29. Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Безарбитражные цены экзотических опционов на рынке FOREX. Доклады 61 международной научно-технической конференции молодых ученых. Часть IV. СПбГАСУ-СПб., 87-95, 2008.

30. Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Безарбитражные цены опционов на глобальных рынках. Записки научных семинаров ПОМИ Т. 361. СПб., 5-28, 2008.

31. Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Безарбитражные цены платежных обязательств азиатского типа. Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна-2008. Воронеж, 45-47, 2008.

32. Belopolskaya Ya., Filimonova S. Currency option pricing via Monte Carlo technique. Proceedings of the 6th St. Petersburg Workshop on Simulation. 9499, June 2009.

33. Белопольская Я.И., Филимонова С.Р. Цены стрэддлов в модели Бейтса. Доклады 66 научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов Часть II. СПбГАСУ-СПб., 152156, 2009.