автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Прецизионный расчет электронного переноса в неидеальной плазме

На правах рукописи

Панин Илья Александрович

Прецизионный расчет электронного переноса в неидеальной плазме

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

^">340 е726

Москва 2009

003487726

Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Калиткин Николай Николаевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Лебо Иван Германович

- доктор физико-математических наук, доцент Гончаров Виктор Анатольевич.

Ведущая организация - Физический факультет Московского государственного университета (МГУ)

Защита состоится « 24 » декабря 2009 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 002.058.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.

Автореферат разослан «_»__ноября 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-матемагаческих наук

Змитренко Н.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Как частично ионизованные газы (газо-плазменные смеси) так и полностью ионизованная плазма играют важную роль в физике и технических приложениях. Они образуются при больших выделениях энергии и являются рабочим телом различных конструкций: мощных газовых разрядов, МГД-генераторов, магкито-коммулятивных устройств и т.п. Для математического моделирования таких конструкций уже более полувека используют газодинамические компьютерные программы. Но для работы таких программ их необходимо снабдить надежными данными о теплофизических свойствах рабочих тел. К этим свойствам относятся уравнение состояния (точнее, полный набор термодинамических функций) и транспортные коэффициенты - в первую очередь, проводимость и коэффициент теплопроводности. Надежным методам нахождения последних двух величин посвящена данная диссертация.

Теплопроводность вызвана движением любых частиц при наличии градиента температуры. При низких температурах, когда степень ионизации крайне мала, теплопроводность обусловлена преимущественно атомами и молекулами. Выдающиеся результаты в этой области температур получены И.А. Соколовой [1]. В диссертации рассматривается более высокие температуры, когда степень ионизации поднимается до -10%, и роль электронов становится преобладающей. Поэтому далее будем рассматривать только электронную теплопроводность

Такая постановка существенно упрощает задачу. Достаточно рассмотреть уравнение Больцмана лишь для электронов, считая молекулы, атомы и ионы неподвижными рассеивающими центрами из-за их малой подвижности по сравнению с электронами. Однако рассеяние электронов на электронах надо рассматривать аккуратно.

Кулоновские силы в плазме дальнодействующие, и столкновения из-за этого являются не парными, а существенно множественными. Строгие

V,1.'

математические методы при этом не дают конструктивных результатов, и приходится строить модельные приближения.

В работах научных групп Лансхгофа, Спитдера и Брагинского 50-х годов прошлого века близкие столкновения рассматривались как парные в рамках уравнения Больцмана, а далекие учитывались как диффузия в импульсном пространстве с помощью уравнения Фоккера-Планка. Использовалась классическая механика столкновений, поэтому в кулоновских сечениях возникала расходимость. Её устраняли обрезая интегралы столкновений на некоторых правдоподобных пределах. В итоге для проводимости было получено так называемое спитцеровское выражение, куда входнт кулоновский логарифм, зависящий от параметра неидеальности плазмы Г. Это выражение разумно согласовывалось с экспериментами для очень слабо неидеапьной плазмы с Г<0.01. Такие условия реализовывались в горячей неплотной плазме. В этих работах в расчетах использовали лишь низшие приближения Чепмена-Энскога. Введение в расчеты более высоких приближений [2] улучшило точность и сблизило результаты с экспериментами при Г<0.01. Однако при слабых неидеальностях ГМ).01-0.1 различия с экспериментами были отчетливо видимы. Для устранения этих расхождений предлагались более сложные модели [3], [4]. Однако для умеренно неидеальной плазмы Г>0.1 они также оказались непригодными.

В упомянутых работах столкновения описывались классически, что приводило к кулоновскому логарифму и параметру Г. Неклассический подход Переля и Констанинова привел к некулоновскому логарифму, зависящему от другого параметра; к сожалению, эти работы не были своевременно замечены. Кроме того, в них использовалось лишь низшее приближение теории возмущений. Для описания экспериментов с сильной неидеапьностью до Г=6 этого было недостаточно.

Однако имеется квантовая модель Капиткина [5], хорошо описывающая все известные эксперименты, включая эксперименты с сильной неидеальностью. Эта модель использует квантовое описание кулоновских

4

столкновений, и в ней отсутствуют расходимости. Её можно рассматривать как обобщение модели Константинова-Переля с учетом более высоких приближений Чепмена-Энскога. Эта модель основана на трех предположениях: а) взаимодействия заряженных частиц в плазме считаются парными; б) потенциал взаимодействия является дебаевским (экранированным кулоновским); в) сечение рассеяния вычисляется в борновском приближении.

Попытки построить более точную модель [6] оказались безуспешными. На сегодняшний день квантовая модель Калиткина остается наиболее точной.

Но модель обладает и рядом недостатков. Она выполнена в 4-м приближении ЧЭ, его точности еще хватает для проводимости, но маловато для теплопроводности. Модель не применима к сверхплотной плазме (по плотности близкой к твердым телам). В этой области получаются существенные расхождения с экспериментами или даже срыв расчетов. Кроме этого, очень грубо учитывается вклад столкновений электронов с нейтральными частицами (как константа, независящая от скорости частиц). Поэтому в области невысоких температур, где этот вклад особенно ощутим, получаются результаты, отличные иногда в несколько раз от экспериментов.

Цель работы.

Построение математической модели и алгоритмов для прецизионного расчета электронных транспортных коэффициентов плазмы в диапазоне температур от 1 эВ до 10 КэВ и концентраций от 10^ до 1024 см'^. Реализация в виде компьютерной программы, которая должна обеспечивать возможность расчета в этой области за приемлемое время.

Научная новизна.

В данной диссертации проведено усовершенствование квантовой модели Калиткина за счет существенного уточнения значения дебаевского радиуса при больших плотностях плазмы. Предложен новый высокоточный алгоритм расчета интегральной экспоненты. Число приближений Чепмена-Энскога в расчетах было доведено до пяти; это, вместе с использованием алгоритма расчета интегральной экспоненты, значительно повысило математическую

точность (до 0.1 % для проводимости и до 0.5% для теплопроводности). Помимо этого, впервые проведено исследование сходимости приближений Чепмена-Энскога. В области невысоких температур проведено существенное повышение физической точности модели за счет использования наиболее точных сечений рассеяния электронов на нейтралах. По точности и по области применимости (диапазон температур 1 эВ - 10 КэВ и плотностей от 1016 до 1024 см"3), модель превосходит мировой уровень.

Практическая ценность работы. Созданная модель и программа обеспечивают физическое наполнение базы данных по теплофизическим свойствам газо-плазменных смесей в огромном диапазоне температур и плотностей.

Апробация работы. Результаты докладывались и обсуждались на международной конференции «IX Харитоновские тематические научные чтения» (Саров, 2007), на III Международной конференции по лазерным мишеням и приложениям (ФИАН, октябрь 2007), на сессии по неидеальной плазме (Москва, декабрь 2006), на семинаре с НИИ Механики МГУ им. М.В.Ломоносова (май 2007) и на XI Всероссийском школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Абрау, 2005).

По материалам диссертации сделан доклад на совместном семинаре Института математического моделирования РАН и кафедры математического моделирования Московского физико-технического института (март 2008), а также доклад на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (сентябрь 2009).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации 67 страниц, 11 рисунков. Список литературы включает 44 наименования.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Их список представлен в конце автореферата.

Краткое содержание работы.

Введение включает обоснование актуальности темы, содержит формулировку основных целей работы и краткое содержание глав. Затем делается обзор существующих моделей электронного переноса в плазме, а также экспериментальных данных. Обсуждаются недостатки существующих моделей и пути их улучшения.

В первой главе рассматривается рассеяние на заряженных и нейтральных частицах. Вначале вводятся обозначения. Формулы приводятся в атомной системе единиц, если специально не оговорено (принимаются равными единице заряд электрона е, его масса тс и постоянная планка А). Рассматривается многокомпонентная плазма, состоящая из разных сортов ионов с зарядами гп электронов и нейтральных атомов. Средний объем на одну тяжелую частицу (ион или атом) обозначен как V. Тогда средняя концентрация тяжелых частиц есть п = V'. Относительные концентрации ионов, электронов и различных сортов атомов равны

х, = п,/п, = (1)

Атомы мы различаем по сортам; но ионы разных элементов, имеющие одинаковый заряд, не различаются, ибо они вносят одинаковый вклад в рассеяние. Условие сохранения числа тяжелых частиц и условие электронейтральности имеют следующий вид:

2>,. + 2Х = 1, (2)

Вводится также средний квадрат заряда иона с и средний заряд иона С:

? = £ = (3)

Температура среды обозначена как Т. Вводится также радиус сферизованной атомной ячейки Я; он определяется из соотношения 4/гЯ' /3 = V.

Затем рассматривается потенциал взаимодействия заряженных частиц.

Истинный потенциал взаимодействия зарядов в плазме неизвестен. Дебай предложил модельный потенциал, который неплохо описывает это взаимодействие на больших расстояниях:

Обычно в (4) подставляют классический дебаевский радиус, который для однотемпературной плазмы равен

Для задач переноса существенны в основном далекие столкновения; этим объясняется применимость (4) к транспортной проблеме.

Для плазмы при большой плотности (V мало) или низкой температуре может оказаться о„ « Л. Это физически неразумно, поскольку для экранировки требуется достаточно много частиц. Поэтому целесообразно пользоваться следующим обобщением классического дебаевского радиуса [АЗ]:

Это выражение обеспечивает переход дебаевской поправки на взаимодействие в томас-фермиевское выражение при высоких плотностях. Данное выражение применимо практически для любой плазмы, от разреженной до сверхплотной. Использование (6) в (4) существенно расширяет область применимости дебаевского потенциала. В диссертации оно впервые используется в расчегах электронного переноса.

Затем приводятся выражения для сечения рассеяния. Сечение рассеяния следует вычислять согласно законам квантовой механики: классический подход к электронам слишком неточен. Применение первого борцовского приближения к рассеянию fia потенциале (4) дает простые формулы для дифференциального сечения. Для электрон-ионных столкновений получаем

i/(r) = —ехр(-г/£>).

(4)

г

(5)

(6)

где 0 - угол рассеяния, V - скорость электрона (ион но сравнению с электроном можно считать неподвижным).

В квантовой механике одинаковые частицы неразличимы. Поэтому при столкновении двух электронов мы видим два рассеянных электрона, но не знаем, какой из них откуда прилетел. Это приводит к интерференционному эффекту для электрон-электронного рассеяния. Дифференциальное сечение принимает следующий вид:

в\

с!а„ =2я\\ц/\ «¡п —

Л «к-

Ион-ионные столкновения описываются аналогично, но их роль невелика: они вносят существенный вклад только в ионную вязкость. Область применимости сечений (7)-(8) намного шире, чем дают традиционные оценки теоретической физики.

Интегралы столкновений с сечениями (7)-(8) вычисляются почти до конца: коэффициенты разложения 6/по полиномам Сонина выражаются через интегральную экспоненту. Это кардинально упрощает задачу. Заметим, что обычно считают борновское приближение плохо применимым к кулоновским столкновениям. Однако на самом деле плохо вычисляется лишь фаза рассеяния. Сечение же рассеяния зависит лишь от модуля амплитуды рассеяния, точность которого достаточно хороша.

Далее рассматривается рассеяние на нейтральных частицах.

Потенциалы взаимодействия электронов с атомами и молекулами почти неизвестны. Теоретические методы их расчета дают лишь порядки величин. Однако задача облегчается тем, что вклад в электронный перенос дают лишь так наз. транспортные сечения рассеяния:

¡г

<х,г(1')= |(1-СО5 0)£/£7(у,0); (9)

о

дифференциальное сечение само по себе не требуется. Транспортные сечения рассеяния электронов экспериментально измерены для 20-30 атомов и примерно такого же количества молекул. Погрешность этих данных колеблется

в пределах 5-20%. Для использования в расчетах их нужно было аппроксимировать, и прежде всего нужно было выбрать в каких переменных это сделать. После ряда проб и ошибок были подобраны переменные, 1п <т„. в зависимости от v, в которых графики выглядят наиболее просто, соответственно их легче аппроксимировать. Аппроксимация наиболее ходовых веществ кубическим сплайном с наименьшим количеством узлов методом наименьших квадратов была выполнена в работе [8]. Ее весьма удобно использовать в расчетах. Максимальная погрешность аппроксимации -5%, и среднеквадратичная -2%. Это несколько лучше отдельных экспериментальных точек, но поскольку среднеквадратичный сплайн производит усреднение ошибки, такая точность соответствует максимальной точности, которую можно извлечь из экспериментов.

Для того чтобы проверить необходимость такой точной аппроксимации, для водорода было проведено сравнение с более простой аппроксимацией (прямая). Проверка показала, что аппроксимация прямой дает результат отличный при некоторых температурах на 7-8%. Это означает, что транспортные сечения нужно аппроксимировать очень аккуратно.

Во второй главе выводится пятое приближение Чепмена-Энскога.

Техника расчетов транспортных коэффициентов в приближениях Чепмена-Энскога хорошо разработана в [7]; проводимость г| и коэффициент теплопроводности X в k-м приближении определяются следующими формулами:

х,Оч ЗТт , ^,

<?u -JSir

(10)

(П)

Здесь используются определители

ягк

я1* ... <?*'

при Р<к: а, =1. а, = 1. (12)

Матричные элементы этих определителей выражаются через суммы так называемых интегралов рассеяния

= £*>' +(13)

Безразмерные коэффициенты ¿/"' и Ь^'" известны для первых пяти и более приближений Чеимена-Энскога. Первая сумма в (13) состоит из интегралов рассеяния электронов на тяжелых частицах - ионах и атомах:

(14)

сумма здесь берется по нейтральным частицам. Интегралы рассеяния на нейтральных частицах в (14) являются свертками транспортных сечений с максвелловской функцией распределения электронов по скоростям:

г*-^ (15)

Дебаевские интегралы столкновений аналогичны (15), но в них подставляются транспортные сечения, полученные из дифференциальных сечений (7). При этом вычисления интегралов и суммирование по ионам разных зарядов проводятся аналитически и дают единый интеграл столкновений с ионами - первое слагаемое в (14). Аргументом этого интеграла является не параметр неидеальности Г, как в классических теориях, а квантовый параметр рассеяния

6 = 8Д!Г; (16)

(не путать его с коэффициентами ь1"', ь£") он имеет физический смысл квадрата отношения обобщенного дебаевского радиуса (6) к дебройлевской длине волны электрона.

Вторая сумма в (13) описывает электрон-электронные столкновения. Они также являются свертками максвелловского распределения электронов, но уже не с транспортными сечениями, а с более сложными:

11

Здесь выкладки также выполняются аналитически, и аргументом интегралов является фактически тот же квантовый параметр Ь.

!д N. ст 3

Рис. 1. Изолинии классического параметра Г для водорода. Около линий указаны значения ^ Г. Л* - концентрация тяжелых частиц.

Для сравнения на рис.1 приведены изолинии классического параметра неидеальности Г, а на рис.2 показаны изолинии квантового параметра Ь. На рис.1 изолиния = показывает границу хорошей применимости спитцеровского выражения. В области оно оказывается неприменимо.

Видно, что даже для разреженной плазмы (^N = 17) кулоновский логарифм невелик и может стать меньше 10. Для больших плотностей (^N = 22) кулоновский логарифм близок к нулю, и классическая теория проводимости дает абсурдные результаты. А на рис.2 видно, что параметр Ь остается большим всюду. Он равен 100 даже при огромной плотности (^N = 24). Это обеспечивает хорошую применимость квантовой теории.

3 /././//у///

50- / // // / / //

1д М, ст^

Рис. 2. Изолинии полукванового параметра рассеяния для водорода. Около линий указаны значения \^(2Ь'). N - концентрация тяжелых частиц.

Далее подробно рассматриваются дебаевские интегралы рассеяния.

Дебаевские интегралы рассеяния конечны, так что при их вычислении не нужно применять искусственных процедур обрезания. Все они выражаются через интегральную экспоненту. Удобнее воспользоваться следующим выражением:

Асимптотики интегральной экспоненты при у -> 0 или у -> ж, а также аппроксимации для ее вычисления с 8 знаками приведены в [9]. Для вычисления с 15 верными знаками в диссертации был разработан специальный алгоритм, описанный в этой главе.

Для вычисления первых пяти приближений Чепмсна-Энскога нужны интегралы п''(у) для следующих значений индексов. Для электрон-ионных столкновений 1 = 1,1 < 5 < 9; напомним, что для электрон-ионных столкновений у=1/Ь. Для электрон-электронных столкновений нужны 1-2, 2<5<8 и I -- 4, 4<у < 6, при этом для электрон-электронных столкновений у=2/Ь.

Для 1=1 и 2 в диссертации удалось доказать следующую рекуррентную формулу, значительно облегчающую нахождение выражений для интегралов П"(у):

¡У + !

(17)

Будем предполагать, что та же формула (18) справедлива и для />2. Тогда для вычисления нам необходимы лишь первые члены рекуррентного ряда с Были вычислены следующие 3 начальные члена:

пм(у) = (1+з')с(у)-1, (19)

Оц(у) = -2>'2е!(у) + (4 + 8у)е(у)- 6, (20)

П44(у) = -8>>V {у) + (48 + 6Ау +1 Ьу1 4- 24/ Щу) - (56 + 8>> +1 (¡у1). (21)

Из (19), (20), (21) получаются все необходимые нам интегралы столкновений заряженных частиц. Заметим, что для /=1 и 2 можно получить следующие нерекуррентные выражения:

-(->")" +

7Л г\

_П!£

(22)

г=1)

у) = 1)!+2(->•)'[£,(>•)-(у) + (23)

где g (у) = тт^О'Ь причем =

ауг ау у

Формулы (17)-(23) позволяют вычислить все необходимые интегралы рассеяния электронов на ионах и электронах. При этом интегралы рассеяния электронов на различных ионах отличаются лишь множителями г]. Поэтому при суммировании интегралов столкновения электронов со всеми ионами перед интегралом П'*(1/Ь)появляется общий множитель £ = это видно в(14).

Заметим, что в рекуррентной формуле (18) интегралы рассеяния вычисляются через многократное дифференцирование. При этом требуются весьма высокие производные. Такая операция в численных расчетах приводит к большой потере значащих цифр. Аналитическое дифференцирование, приводящее к (22), (23), лишь частично уменьшает потерю точности: в этих формулах остается суммирование знакопеременных слагаемых. Именно для того, чтобы в расчетах оставалось достаточное количество верных знаков, в

диссертации был разработан алгоритм вычисления интегральной экспоненты с особенно высокой точностью. Он основан на представлении интегральной экспоненты в виде сходящегося ряда при небольших аргументах х, и асимптотически сходящейся дробью при больших х. Показано, что в качестве границы между этими представлениями целесообразно взять х~1. При этом использование 18 членов ряда и 220 цепной дроби обеспечивает относительную погрешность менее 2 !015, что превосходит потребности практики.

Столкновения с атомами приводят к интегралам рассеяния (15). Это несобственные интегралы на полупрямой. Входящие в них транспортные сечения довольно сложно зависят от скорости, поэтому интегралы можно найти только численными методами. Однако сечения при больших скоростях убывают, а весовой множитель в интеграле убывает экспоненциально. Поэтому принципиальных трудностей при вычислении не возникает, и можно пользоваться различными квадратурными формулами.

В диссертации используются квадратуры на квазиравномерных сетках. Вычисления проводятся с гарантированной точностью. Для удобства переходим в интегралах (15) от аргумента V к аргументу v2, вводим на полупрямой квазиравномерную сетку и вычисляем интеграл по квадратурной формуле средних или трапеций [Аб]. Кубическая сплайн-аппроксимация сечений [8] обеспечивает непрерывность второй производной, поэтому данные квадратурные формулы имеют второй порядок точности, независимо от расположения узлов квадратурной формулы по отношению к узлам сплайна. Далее сетку однократно сгущается и делается апостериорная оценка численной погрешности методом Ричардсона. Если погрешность мала, расчет интеграла (15) оканчивается; если она велика, сгущенис сетки повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. Для этих интегралов достаточно получить 4-6 верных знаков.

В третьей главе рассматривается вопрос сходимости приближений Чепмена-Энскога. Вначале рассматривается случай так называемого лоренцева

газа, то есть газа, в котором отсутствуют столкновения электронов между собой.

В приближении лоренцева газа проводимость г| и коэффициент электронной теплопроводности X выражаются только через транспортные сечения рассеяния. Если рассеивающий газ состоит из смесиу-х сортов частице концентрациями то проводимость и теплопроводность точно выражаются через квадратуры [7]:

3 &Т»1} '

(

!

На верхнем пределе интегралы сходятся хорошо благодаря быстро убывающей экспоненте в числителе. Для вычисления таких интегралов вновь применяются квадратуры на квазиравномерных сетках.

По формулам (10)-(16) можно вычислить к-ые приближения Чепмена-Энскога для лоренцева газа, надо только в формуле (13) отбросить вторую сумму. Затем зги приближения можно сравнить с точными выражениями (24)-(25). Это покажет нам скорость сходимости приближений. Разумеется, эта скорость зависит от вида сечений

Далее отдельно рассматривается рассеяние на ионах.

Пусть температура в плазме достаточно высока, так что нейтральных частиц не осталось. Тогда рассеивающая среда состоит только из ионов. В этом случае транспортное сечение легко вычисляется:

= —Т"

v

1п(1 + Р)——

ир

/? = 41г03 . (26)

Подставим сечение (26) в интегралы (24)-(25) для проводимости и теплопроводности. Тогда суммирование по всем ионам в знаменателе подынтегрального выражения легко выполняется. Это дает проводимость и коэффициент теплопроводности электрон-ионного лоренцева газа.

2Г V'2 1 *> ехр{-[ИЬ)р-с1р

к) ¡ним-рщ+р)'

(2Т]Г_ % е*р(-/Ш)/?У/7 Зл)м\ + Р)-РК\+Р)'

(28)

Интегралы (27)-(28) хорошо сходятся при /?->т из-за быстро затухающей экспоненты в числителе. При р -> 0 знаменатель близок к /2, а в числителе стоят соответственно или /?'; поэтому никаких особенностей не возникает. В работе они вычисляются с помощью квадратур на квазиравномерных сетках.

Для приближений Чепмена-Энскога можно пользоваться формулами (10)-(12). Элементы определителя (12) принимают вид

£5'; вычисляется по формуле (22).

Расчеты проводились для двух значений среднего заряда ионов С = I и ^ = 100. Значения температуры и плотности среды подбирались так, чтобы параметр Ь менялся в диапазоне от ю3 до Ю'2. Эти же значения параметра брались в выражениях (27)-(28). Сравнение к-тых приближений ЧЭ для проводимости и Л, с точными значениями г/, А. позволяло оценить скорость их сходимости. Рассмотрим результаты расчетов.

Первое приближение для проводимости в 2-3 раза отличается от точного ответа. Однако второе приближение отличается всего лишь на 1-4%, третье - на -0,1%, четвертое - на -0,02% и пятое менее чем на 0,001%, Это очень быстрая сходимость. А достигнутая точность существенно превышает потребности физиков: характерная погрешность эксперимента здесь превосходит 10%.

Заметим, что: 1) отношения /д /г;почти не зависят от заряда С; 2) зависимость от параметра Ь невелика, но отчетливо видна; 3) приближения СХОДЯТСЯ к 1] монотонно снизу.

Если бы мы не располагали точным ответом, то сходимость приближений пришлось бы контролировать, сравнивая соседние приближения. С увеличением к приближения быстро сближаются, а разница между 4-м и 5-м

(29)

приближением для проводимости не превышает 0.02%. Такой внутренний контроль сходимости позволяет уверенно пользоваться 5 приближением.

Далее отдельно рассматривается рассеяние на нейтральных частицах.

Температуры в несколько тысяч градусов можно считать невысокими. При них степень ионизации мала и концентрация .т «1. Соответственно, малы концентрации ионов, а суммарная концентрация нейтральных частиц близка к 1. При этом основную роль играют столкновения с тяжелыми нейтральными частицами, а вклад электрон-ионных и электрон-электронных столкновений мал. Таким образом, в этом случае приближение лоренцева газа является хорошим.

Для приближений Чепмена-Энскога можно пользоваться формулами (10)-(12). Элементы определителя (12) принимают вид

(зо)

Л J

в формулу (15) для интеграла со'.(Т) подставляется транспортное сечение рассеяния электрона на j-м сорте нейтральных частиц. Для реальных атомов и молекул зависимости o-„.(v) очень трудно рассчитать теоретически. Можно использовать аппроксимацию экспериментальных данных [8] для подстановки в интегралы (15), (24)-(25). Однако это неудобно для сравнения. Поэтому в диссертации рассматривается простое модельное сечение.

Пусть есть только один сорт тяжелых частиц, а транспортные сечения рассеяния электронов на них следующим образом зависят от скорости:

<Jlr{v) = const v', -6<c<4; (31)

далее без ограничения общности можно считать const= 1. В этом случае все три интеграла (15), (24)-(25) беругся точно.

Численные расчеты отношений — и — были проведены для всего

допустимого диапазона значений показателя степени с. Отношения для проводимости показаны на рис.3. Видно, что первое приближение является плохим при любых показателях кроме с = . Однако второе приближение дает

5% точность уже в диапазоне -4 < с < 0. Следующие приближения сходятся еще лучше. Пятое приближение имеет точность не хуже 1% при -6 < сО. Таким образом, в диапазоне с< О сходимость является хорошей.

14

1.2;

С

Рис. 3. Зависимость сходимости от с; цифры около линий - номера приближений.

При с>о сходимость быстро ухудшается, и при с- 4 отсутствует.

Для всех экспериментально исследованных веществ при больших

скоростях сечения убывают при увеличении скорости. Это соответствует

модельному примеру с с < 0. Таким образом, при высоких температурах для

реальных слабоионизованных газов следует ожидать хорошей сходимости.

Лишь при довольно низких температурах наблюдаются участки возрастания

а „{у). В этих случаях следует ожидать удовлетворительной сходимости.

Как и для полностью ионизованных газов, приближения ЧЭ сходятся

монотонно снизу. Для теплопроводности картина аналогичная (лишь число

приближений на 1 меньше). Скорость сходимости можно хорошо

контролировать, сравнивая последовательные приближения между собой.

19

В четвертой главе описана программная реализация и результаты расчетов. На основе описанных выше методов был составлена программа. Она позволяет рассчитывать подробные таблицы проводимости и электронной теплопроводности, а также некоторые основные параметры, например классический параметр неидеальности Г или полуквантовый параметр рассеяния Ъ. В качестве исходных данных для нее задаются сетка по температуре и объему (плотности), а также данные по составу газо-плазменной смеси во всех узлах этой сетки (они берутся как результат расчета другой программы).

По составу смеси требуются следующие величины: концентрация электронов _гг, концентрации всех сортов нейтральных частиц х,, средний квадрат заряда ионов с. Сведений о детальном ионном составе не требуется.

Далее приводятся некоторые примеры расчетов и обсуждаются их результаты.

3/2

4/3

1

X У \ 1

|д N. ст'

Рис. 4. Сходимость приближений Чепмена-Энскога для железа (Т=12600 К). Ордината -отличие последовательных приближений в 0.1%. Около кривых указаны номера

приближений.

На рис. 4 показана сходимость приближений Чепмена-Энскога на примере железа. На нем нанесены графики относительных отклонений последовательных приближений (измеренные в 0.1%, то есть в тысячных

долях). Видно, что даже отличие третьего приближения от второго в основном не превышает 1%, четвертого от третьего - 0.5%, а пятого от четвертого еще | меньше. Это иллюстрирует быструю сходимость приближений. Видно, что от плотности скорость сходимости зависит довольно заметно. Более подробные исследования показывают, что зависимость от температуры гораздо слабее. Для

I

других температур результаты сходные, для водорода сходимость приближений несколько медленнее, но также достаточно быстрая. Поэтому

1

' можно считать, что использование пятого приближения Чепмена-Энскога

I

I обеспечивает точность расчета проводимости не хуже 0.5%.

Рис. 5. Проводимость железа.

На рис.5, показана проводимость железа, рассчитанная в пятом I приближении Чепмена-Энскога. При наименьшей плотности N = 17 1 поведение изолинии хорошо соответствует классическим представлениям. В ' интервале Т = 1 - 10 Ке V вещество полностью ионизовано, и наклон изолинии соответствует классическому закону г;~ Гуг. В диапазоне 1 еV- 1 А'еГсредний

I

I наклон изолинии несколько меньше, так как происходит ионизация железа, и | появление ионов большей кратности увеличивает рассеяние электронов и 1 несколько уменьшает проводимость. На изотерме Т =10 КеУ вещество I полностью ионизовано, и проводимость слегка возрастает с увеличением плотности. Это объясняется уменьшением дебаевского радиуса, что приводит к

уменьшению рассеяния частиц. Поведение линий при больших плотностях и невысоких температурах существенно более сложное.

В заключении сформулированы основные результаты работы. В приложении приводится текст программы для расчета проводимости и теплопроводности водорода.

Основные результаты

1. Построена «модель-алгоритм-программа» для расчета электронной проводимости и теплопроводности веществ в очень широком диапазоне температур (1 эВ - 10 КэВ) и концентраций (1016 - 1024 см"-1), обеспечивающая математическую точность не хуже 0.1% для проводимости и 0.5% для теплопроводности.

2. Проведено усовершенствование квантовой модели Капиткина за счет уточнения значения дебаевского радиуса при больших плотностях плазмы.

3. Обоснована сходимость приближений Чепмена-Энскога.

4. В расчетах использованы наиболее точные сечения рассеяния электронов на нейтральных частицах. Произведена оценка вклада столкновений электронов с нейтральными частицами в проводимость и теплопроводность.

5. Предложен новый высокоточный алгоритм расчета интегральной экспоненты с оценкой погрешности. Использование этого алгоритма в расчетах, наряду с расчетом несобственных интегралов с помощью квадратур на квазиравномерных сетках с оценкой погрешности методом Эйткена, позволило значительно повысить математическую точность расчетов.

Литература

1. Соколова И. А. Компьютеризованная Библиотека транспортных свойств атмосферных газов и плазмы. Математическое моделирование, 1998, т.10, №2, с. 25-40.

2. Li С.P.. Devoir) RS. Fifth and sixth approximations to the electron transport coefficients. Phys. of Fuids, 1968, v. 11, no. 2, pp. 448-450.

3. Kiliara Т., Aono O. Unified theory of relaxations in plasmas; part 1, basic theorem. J.Phys. Sc. Jap, 1963, v. 18, p. 837.

4. Gould Н.Л., DeWiit H.E. Convergent Kinetic equation for a classical plasma. Phys. Rev, 1967, v. 155, no. 1, pp. 68-74.

5. Калиткин H.H., Рогов B.C. Проводимость плазмы при произвольных температурах. //Сборник «Вопросы физики низкомемпературной плазмы», Минск, 1970.

6. Минцев В.Б.. Фортов В.Е., Грязное В.К. Электропроводность высокотемпературной неидеальиой плазмы. // ЖЭТФ, 1980, т. 79.

7. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. // М.: Изд. иностранной литературы, 1960,511с.

8. Шляхов Н.М. Сплайн-аппроксимации транспортных сечений рассеяния электронов на некоторых атомах и молекулах. // Математическое моделирование, 2009, т. 21, №6, с. 121-128.

9. Gaitlschi IV, Cahill W.F. Exponential Integral and Related Functions. H Handbook of mathematical functions. National Bureau of Standards, December 1972.

Основные результаты опубликованы в работах

Al. Капиткин H.H., Панин И.А. Вклад нейтральных частиц в электронные транспортные коэффициенты газов. // Математическое моделирование, 2009, т. 21, №7, с. 83-92.

А2. Капиткин H.H., Панин H.A. О сходимости приближений Чепмена-Энскога при расчете электронных транспортных коэффициентов. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №6, с. 86-98.

A3. Капиткин H.H., Панин И.А. Вычисление электронного переноса в плазме в высоких приближениях Чепмена-Энскога. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №4, с. 103-116.

A4. Калиткин H.H., Панин И.А. О вычислении интегральной экспоненты. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №1, с. 87-91.

А5. Капиткин H.H., Панин И.А. Электронный перенос в неидеальной плазме. // Сборник трудов международной конференции «IX Харитоновские тематические научные чтения», Саров, 2007

А6. Алыиина Е.А., Капиткин H.H., Панин H.A., Пошшашо И.П. Квадратуры от функций с особенностями // ДАН, 2006, т. 410, №1, стр. 32-35.

Al. Алыиина Е.А., Калитках H.H., Панин И.А. Гауссово - сеточные квадратуры для несобственных интегралов. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», Ростов-на-Дону, 2005, стр. 44-49.

Панин Илья Александрович

Прецизионный расчет электронного переноса в неидеальной плазме

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Отпечатано в Институте математического моделирования РАН Тираж 100 экз.

Напечатано с готового оригинал-макета

ИП "Оперативная полиграфия" Гос. per. № 304770000086611 Подписано к печати 20.11.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № Тел: 8-495-518-14-30 г. Москва, г. Зеленоград, ул. 1 мая, д. 1

Введение.

Глава 1. Сечения рассеяния.

1.1. Рассеяние на заряженных частицах.

1.1.1. Обозначения.

1.1.2. Потенциал взаимодействия.

1.1.3. Сечения рассеяния.

1.2. Рассеяние на нейтральных частицах.

1.2.1. Транспортные сечения.

1.2.2. Аппроксимация.

Глава 2. Приближения Чепмена-Энскога.

2.1. Общие выражения.

2.2. Дебаевские интегралы.

2.3. Алгоритм вычисления интегральной экспоненты.

2.3.1. Проблема.

2.3.2. Прецизионные вычисления.

2.4. Атомные интегралы рассеяния.

2.4.1. Контроль точности.

2.4.2. Замечания.

Глава 3. Сходимость приближений Чепмена-Энскога.

3.1. Общие формулы.

3.1.1. Лоренцев газ.

3.1.2. Приближения ЧЭ для лоренцева газа.

3.2. Рассеяние на ионах.

3.2.1. Общие формулы.

3.2.2. Точное выражение.

3.2.3. Сходимость.

3.3. Рассеяние на нейтральных частицах.

3.3.1. Общие формулы.

3.3.2. Частный случай.

3.3.3. Расчеты.:.

3.3.4. Замечания.

3.4. Выводы.

Глава 4. Программа и результаты расчетов.

4.1. Описание программы.

4.2. Результаты расчетов характерных параметров.

4.3. Проводимость.

4.4. Математическая точность.

4.5. О сечениях нейтралов.

4.6. Соотношение вклада нейтралов и зарядов.

4.7. Сходимость приближений Чепмена-Энскога.

4.7.1. Железо.

4.7.2. Аргон.

4.8. Итоги.

Как частично ионизованные газы (газо-плазменные смеси) так и полностью ионизованная плазма играют важную роль в физике и технических приложениях. Они образуются при больших выделениях энергии и являются рабочим телом различных конструкций: мощных газовых разрядов, МГД-генераторов, магнито-коммулятивных устройств и т.п. Для математического моделирования таких конструкций уже более полувека используют газодинамические компьютерные программы. Но для работы таких программ их необходимо снабдить надежными данными о теплофизических свойствах рабочих тел. К этим свойствам относятся уравнение состояния (точнее, полный набор термодинамических функций) и транспортные коэффициенты -в первую очередь, проводимость и коэффициент теплопроводности. Надежным методам нахождения последних двух величин посвящена данная диссертация.

Проводимость обусловлена движением заряженных частиц в электрическом поле. В плазме заряженными являются атомарные или молекулярные ионы и электроны. Поскольку масса электрона в десятки тысяч раз меньше масс ионов, их подвижность в сотни раз больше. Поэтому проводимость практически всегда обусловлена движением электронов, а ионы и атомы при этом можно считать неподвижными.

Теплопроводность вызвана движением любых частиц при наличии градиента температуры. При низких температурах, когда степень ионизации крайне мала, теплопроводность обусловлена преимущественно атомами и молекулами. В этой области температур выдающиеся результаты получены И.А. Соколовой [1]. В диссертации рассматриваются более высокие температуры, когда степень ионизации поднимается до -10%, и роль электронов становится преобладающей. Поэтому далее будем рассматривать только электронную теплопроводность.

Такая постановка существенно упрощает задачу. Достаточно рассмотреть уравнение Больцмана лишь для электронов, считая молекулы, атомы и ионы неподвижными рассеивающими центрами. Однако рассеяние электронов на электронах надо рассматривать аккуратно.

В данной работе проведено решение уравнения Больцмана (линеаризованного по внешним полям) для электронов с использованием 5-го приближения Чепмена-Энскога. Это обеспечивает хорошую математическую точность расчета. Кроме того, потенциал взаимодействия уточнен так, что он становится применимым для очень плотной плазмы. Последнее обеспечивает высокую физическую точность расчетов.

Все формулы в тексте приведены в атомной системе единиц (см. Приложение А).

Линеаризованное кинетическое уравнение. Коэффициенты переноса в умеренных внешних полях можно найти, упрощая кинетическое уравнение Больцмана для электронов. Сначала рассмотрим однородную среду, в которой внешние поля F=0. Для нее одночастичная функция распределения/не зависит от координат, а от скоростей зависит по закону Максвелла при любом законе взаимодействия частиц: / = /(0)(v). Затем введем стационарную внешнюю силу F, вызванную внешним электрическим полем или градиентом температуры и т.п. Она приводит к возмущению функции 8f- /(v)- /(0)(v)

Интеграл парных столкновений Lap[fa,fp\ квадратично зависит от функции распределения. Считая возмущение 5fa малым и линеаризуя уравнение Больцмана по нему, получим линейное стационарное кинетическое уравнение для 5f. здесь т„ - масса частицы. а

Эти интегральные уравнения можно решать техникой Чепмена-Энскога, включающей разложение 5/по многочленам Сонина от v [2]. Для короткодействующих сил в нейтральных газах эти разложения обычно быстро сходятся.

Кулоновские силы в плазме дальнодействующие, и столкновения из-за этого являются не парными, а существенно множественными. Строгие математические методы при этом не дают конструктивных результатов, и приходится строить модельные приближения.

В ранних работах [3,4,5] близкие столкновения рассматривались как парные в рамках уравнения Больцмана, а далекие учитывались как диффузия в импульсном пространстве с помощью уравнения Фоккера-Планка. Использовалась классическая механика столкновений, поэтому в кулоновских сечениях возникала расходимость. Её устраняли, обрезая интегралы столкновений на некоторых правдоподобных пределах. В итоге для проводимости было получено так называемое спитцеровское выражение 77=Т3/2/ А , где так называемый кулоновский логарифм А^=1п(1/Г), а параметр л неидеальности плазмы T=Z /(.RT); здесь Т - температура, Z - заряды ионов, R - средний радиус сферы, приходящийся на один ион. Это выражение разумно согласовывалось с экспериментами для очень слабо неидеальной плазмы с Г<0.01. Такие условия реализовывались в горячей неплотной плазме.

Расчеты [3,4,5] использовали лишь низшие приближения Чепмена-Энскога. Введение в расчеты более высоких приближений [6,7,8] улучшило точность и сблизило результаты с экспериментами при Г<0.01. Однако при слабых неидеальностях Г«0.01-0.1 различия с экспериментами были отчетливо видимы. Для устранения этих расхождений предлагались более сложные модели [9,10,11]. Однако для умеренно неидеальной плазмы Г>0.1 они также оказались непригодными.

В упомянутых работах столкновения описывались классически, что приводило к кулоновскому логарифму и параметру Г. Неклассический подход [12,13] привел к некулоновскому логарифму, зависящему от другого параметра; к сожалению, эти работы не были своевременно замечены. Кроме того, в них использовалось лишь низшее приближение теории возмущений. Для описания экспериментов [14,15,16,17,18] с сильной неидеальностью до Г=6 этого было недостаточно.

Однако имеется одна простая модель [19,20,21,22], хорошо описывающая все известные эксперименты, включая эксперименты с сильной неидеальностью. Эта модель использует квантовое описание кулоновских столкновений, и в ней отсутствуют расходимости. Назовем ее квантовой моделью Калиткина. Её можно рассматривать как обобщение модели Константинова-Переля с учетом более высоких приближений Чепмена-Энскога. Эта модель основана на трех предположениях: а) взаимодействия заряженных частиц в плазме считаются парными; б) потенциал взаимодействия является дебаевским (экранированным кулоновским); в) сечение рассеяния вычисляется в борновском приближении.

Попытки построить более точную модель [23] оказались безуспешными.

На сегодняшний день квантовая модель Калиткина остается наиболее точной.

Но модель обладает и рядом недостатков. Она выполнена в 4-м приближении ЧЭ, его точности еще хватает для проводимости, но маловато для теплопроводности. Модель не применима к сверхплотной плазме (по плотности близкой к твердым телам). В этой области получаются существенные расхождения с экспериментами или даже срыв расчетов. Кроме этого, очень грубо учитывается вклад столкновений электронов с нейтральными частицами (как константа, независящая от скорости частиц). Поэтому в области невысоких температур, где этот вклад особенно ощутим, получаются результаты, отличные иногда в несколько раз от экспериментов.

Данная диссертация посвящена совершенствованию квантовой модели Калиткина. В главе 1 потенциал взаимодействия уточнен так, что он становиться применим для очень плотной плазмы, а также произведена аккуратная оценка вклада столкновений с нейтральными частицами. В главе 2 построено более высокое, 5-ое приближение Чепмена-Энскога. Пятое приближение является оптимальным в том плане, что дает высокую математическую точность, удовлетворяя потребности практики, и не слишком сложно для вычислений. Кроме того в главе 2 предложен новый высокоточный алгоритм расчета интегральной экспоненты, что также позволяет повысить математическую точность. В области невысоких температур проведено существенное повышение физической точности модели за счет использования наиболее точных сечений рассеяния электронов на нейтралах. В главе 3 проведено исследование сходимости приближений Чепмена-Энскога. В главе 4 на основе усовершенствованной квантовой модели Калиткина создана программа и проведены расчеты для ряда веществ.

Предпринятые шаги повысили точность модели и сделали её применимой в огромном диапазоне температур и плотностей плазмы.

3.4. Выводы

1. Сравнение с точным ответом в случае лоренцева газа показывает, что приближения ЧЭ почти всегда быстро сходятся, 5-е приближение обеспечивает точность -0.1% для проводимости и ~1% для теплопроводности.

2. В полной задаче сравнение соседних приближений дает достаточно надежную оценку достигнутой точности. Такая оценка введена в программе (гл. 4).

Глава 4. Программа и результаты расчетов.

4.1. Описание программы

На основе описанных выше методов был составлена программа. Она позволяет рассчитывать подробные таблицы проводимости и электронной теплопроводности. В качестве исходных данных для нее задаются сетка по температуре и объему (плотности), а также данные по составу газоплазменной смеси во всех узлах этой сетки (они берутся как результат расчета другой программы).

По составу смеси требуются следующие величины: концентрация электронов хе, концентрации всех сортов нейтральных частиц х}, средний квадрат заряда ионов £. Сведений о детальном ионном составе не требуется.

Хотя формулы написаны для двухтемпературной плазмы, фактически все расчеты выполняются для однотемпературной плазмы по простой причине: объем таблиц для трех независимых переменных Te,Tt,V был бы неприемлемо большим для использования в прикладных газодинамических расчетах.

Приведем некоторые примеры расчетов и обсудим их результаты.

4.2. Результаты расчетов характерных параметров.

Для водорода на рис. 4.1 приведены изолинии классического параметра неидеальности Г. Именно величина 1/Г входит в кулоновский логарифм рассеяния. Видно, что даже для разреженной плазмы (lgN= 17, где N-концентрация тяжелых частиц в см"3) кулоновский логарифм невелик и может стать меньше 10. Для больших плотностей (lgN= 22) кулоновский логарифм близок к нулю, и классическая теория проводимости дает абсурдные результаты.

На рис. 4.2 также для водорода показаны изолинии полуквантового параметра, определяющего проводимость в полуквантовой теории. Видно, что этот параметр остается большим даже при огромной плотности (lg N= 23). Это обеспечивает хорошую применимость полуквантовой теории. lg N, cm"3

Рис. 4.1. Изолинии классического параметра Г для водорода. Около линий указаны значения lg Г.

Ig N, cm"3

Рис. 4.2. Изолинии полукванового параметра рассеяния для водорода. Около линий указаны значения lg(262).

4.3. Проводимость.

На рис. 4.3 показана проводимость железа, рассчитанная в пятом приближении Чепмена-Энскога. При наименьшей плотности lgN= 17 поведение изолинии хорошо соответствует классическим представлениям. В интервале 7"= 1 — 10 КэВ вещество полностью ионизовано, и наклон изолинии соответствует классическому закону rj ~ Тш. В диапазоне 1 эВ — 1 КэВ средний наклон изолинии несколько меньше, так как происходит ионизация железа, и появление ионов большей кратности увеличивает рассеяние электронов и несколько уменьшает проводимость. На изотерме Г=10 КэВ вещество полностью ионизовано, и проводимость слегка возрастает с увеличением плотности. Это объясняется уменьшением дебаевского радиуса, что приводит к уменьшению рассеяния частиц. Поведение линий при больших плотностях и невысоких температурах существенно более сложное.

Рис. 4.3. Проводимость железа.

4.4. Математическая точность.

Она определяется 1) математической точностью вычисления всех интегралов рассеяния на заряженных и нейтральных частицах, и 2) сходимостью приближений ЧЭ.

Интегралы рассеяния на заряженных частицах математически точно выражаются через специальную функцию - интегральную экспоненту. Для расчета самой интегральной экспоненты были разработаны прецизионные формулы, обеспечивающие относительную погрешность 2*10"15 (параграф 2.3). Для рассеяния на нейтральных частицах выше построены квадратуры, гарантирующие относительную погрешность 10"5 (параграф 2.4). Такая точность превышает потребности практики. Эти погрешности надежно контролируются в ходе работы программы. Они настолько невелики, что этот источник погрешности никогда не давал о себе знать в практических расчетах.

Сходимость приближений ЧЭ при типичных модельных потенциалах взаимодействия частиц была исследована в главе 3 на примерах с известными точными решениями. Это исследование показало, что в большинстве случаев мы можем рассчитывать на точность не хуже 0.1% для проводимости и 0.5% для теплопроводности в 5-м приближении ЧЭ. Одновременно было замечено, что контроль по убыванию разности соседних приближений дает примерно ту же оценку, что и контроль по сходимости к известным точным ответам.

На практике точный ответ неизвестен. Однако из сказанного видно, что достаточно ограничиться контролем скорости убывания разностей между соседними приближениями ЧЭ. Обычно эти разности быстро убывают. Тогда можно считать, что погрешность 5-го приближения будет меньше разности 4-го и 5-го приближений. Такой контроль был включен в программу расчетов. Этот источник погрешности больше первого, так что за ним надо следить в ходе расчетов.

4.5. О сечениях нейтралов.

Дополнительным источником математической погрешности может стать недостаточно аккуратная аппроксимация транспортных сечений рассеяния электронов на нейтральных частицах. Оценку этого фактора мы провели на примере атомарного водорода (рис. 1.2). Экспериментальные точки в выбранных координатах здесь расположены почти на одной прямой (1.10).

Соответствующая сплайн-аппроксимация из [27] хорошо описывает экспериментальные точки; разность между ней и (1.10) кажется небольшой. Среднеквадратичное уклонение составляет 10% от величины сечения. Существенна ли эта разница?

Для проверки этого были проведены расчеты проводимости с обеими аппроксимациями сечения. Для сравнения был выбран диапазон температур 215 3

10 тыс. К и малая плотность (концентрация атомов 10 см" ). При таких условиях молекулы присутствуют лишь при низких температурах, причем в малых концентрациях, так что их вклад невелик. Ионы появляются лишь при самых высоких температурах; правда, их вклад уже нельзя считать малым, так как сечение рассеяния электронов на заряженных частицах много больше, чем на нейтральных. Результаты расчетов приведены в табл. 4.1.

В этой таблице даны величины 100• ln(^5 /rjt) и 100• 1п(Яя / Я,). Здесь j]s, As - транспортные коэффициенты, полученные при использовании сплайн-аппроксимации; 77,, X, относятся к линейной аппроксимации сечения на атомах. Указанные величины практически совпадают с процентными отклонениями r/s от 77, и As от А,,. Проанализируем полученные результаты.

Видно, что при Т<7 тыс. К, когда ионов практически нет, эти отклонения отнюдь не малы: они достигают почти 9% для проводимости и 7% для теплопроводности. Таким образом, ошибка в аппроксимации сечения искажает транспортные коэффициенты много сильней, чем неточность квадратурных формул или приближений ЧЭ. Если мы хотим при низких температурах иметь высокую точность результата, нужно аппроксимировать сечение с хорошей точностью.

При Т>1 тыс. К различия быстро убывают. Это объясняется появлением заметного количества ионов, рассеяние на которых становится доминирующим. В этих условиях точность аппроксимации сечений рассеяния на нейтральных атомах не очень существенна. t

1. И. А. Соколова. Компьютеризованная библиотека транспортных свойств атмосферных газов и плазмы. // Математическое моделирование, 1998, т. 10, №. 2, с. 25-40.

2. С. Чепмен, Т. Каулинг. Математическая теория неоднородных газов. / М: Изд. иностранной литературы, 1960. 511 с.

3. R. Landshoff. Transport phenomena in a completely ionized gas in presense of a magnetic field. Phys. Rev., 1949, v. 76, no. 7, pp. 904-909.

4. R.S. Conen, L.jr. Spitzer, P. McRoutly. The electrical conductivity of an ionized gas. Phys. Rev., 1950, v. 80, no. 2, pp. 230-238.

5. R. Landshoff. Convergence of the Chapman-Enskog method for a completely ionized gas. Phys. Rev., 1951, v. 82, no. 3, p. 442.

6. R. S. Devoto. Transport properties of ionized monatomic gases. Physics of fluids, 1966, v. 9, no. 6, pp. 1230-1240.

7. C.P. Li, R.S. Devoto. Fifth and sixth approximations to the electron transport coefficients. Phys. of Fuids, 1968, v. 11, no. 2, pp. 448-450.

8. C.H. Kruger, M. Mitcher, U. Daybelge. Transport properties of MHD-generator plasmas. AIAA journal, 1968, v. 6, no. 9, pp. 1712-1723.

9. T. Kihara, O. Aono. Unified theory of relaxations in plasmas; part I, basic theorem. J.Phys. Sc. Jap., 1963, v. 18, p. 837.

10. К Itikava. Transport coefficients of plasmas; application of unified theory. J.Phys. Soc. Jap., 1963, v. 18, p. 1499.

11. H.A. Gould, H.E. DeWitt. Convergent Kinetic equation for a classical plasma. Phys. Rev., 1967, v. 155, no. l,pp. 68-74.

12. O.B. Константинов, В. И. Перель. //ЖЭТФ, 1960, №. 39, с. 861.

13. О.В. Константинов, В.И. Перель. Уточнение кинетических коэффициентов плазмы. // ЖЭТФ, 1961, т. 41, №. 4(10), с. 1328-1329.

14. Н.Н. Огурцова, И. В. Подмошенский, В.А. Смирнов. Измерение электропроводности неидеальной плазмы при 38000 К и давлениях 500-2500 бар. // ТВТ, 1974, т. 18, №. 3, с. 650-652.

15. В.А. Сеченов, Э.Е. Сон, О.Е. Щекотов. Проводимость неидеальной цезиевой плазмы за отраженной ударной волной. // Письма ЖТФ, 1975, т. 1, №. 19, с. 891-895.

16. В.А. Сеченов, Э.Е. Сон, О.Е. Щекотов. Электропроводность цезиевой плазмы. // ТВТ, 1977, т. 15, №. 2, с. 411-415.

17. И.В. Ермохин, Б.М. Ковалев, П.Л. Кулик, Рябый В.Я. Температурная зависимость электропроводности плотной цезиевой плазмы, полученной импульсным изобарным омическим нагревом. // ТВТ, 1977, т. 15, №. 4, с. 695-702.

18. С. И. Андреев, Т.В. Гаврилова. Измерение электропроводности плазмы воздуха при давлении свыше 100 атм. // ТВТ, т. 13, №. 1, с. 176-178.

19. Н.Н. Калиткин. Проводимость низкотемпературной плазмы. // Теплофизика высоких температур, 1968, т. 6, №. 5.

20. B.C. Рогов. Расчет проводимости плазмы. // Теплофизика высоких температур, 1970, т. 8, №. 4, с. 689.

21. B.C. Рогов. Проводимость слабо неидеальной многокомпонентной плазмы. // Канд. дисс. Инст. Прикл. Математики АН СССР, 1971.

22. Н.Н. Калиткин, Ермаков В.В. Электронный перенос в плотной невырожденной плазме. // Физика плазмы, 1979, т. 5, №. 3.1. Список ЛИТЕРАТУРЫ55

23. В.Б. Минцев, В.Е. Фортов, В.К, Грязное. Электропроводность высокотемпературной неидеальной плазмы. // ЖЭТФ, 1980, т. 79.

24. Н.Н. Капиткин, JI.B. Кузьмина. Модели неидеальной плазмы. // Препринт ИПМ им. Келдыша, 1989, №. 16, 38 с.

25. Л. Хаксли, Р. Кромптон. Диффузия и дрейф электронов в газах. Пер. с англ. М: Мир, 1977, гл. 14.

26. А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, A.M. и др. Братковский. Физические величины: Справочник. /М: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

27. Н.М. Шляхов. Сплайн-аппроксимации транспортных сечений рассеяния электронов на некоторых атомах и малекулах. // Математическое моделирование, 2009, т. 21, №. 6, с. 121-128.

28. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, И.А. Панин, И.П. Пошивашо. Квадратуры от функций с особенностями. //ДАН, 2006, т. 410, №. 1, с. 32-35.

29. Дж. Кей, Т. Лэби. Таблицы физических и химических постоянных. / М: Физматгиз, 1962.

30. Y. Itikawa. Interactions of Photons and Electrons with Atoms (Volume 17A). Springer-Verlag, 2003 Online]. http://vAvw.springerlink.com/content/h4767v/

31. Y. Itikawa. Interactions of Photons and Electrons with Molecules (Volume 17C). Springer-Verlag, 2003 Online], http://www.springerlink.com/content/h4767v/

32. Ширмер, Фридрих. Электропроводность плазмы. // Сборник переводов «Движущаяся плазма». М: ИИЛ, 1961.

33. W. Gautschi, W.F. Cahill. Exponential Intergral and Related Functions, in Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, M. Abramowitz, I. A. Stegun, Eds.: National Bureau of Standards, 1972.

34. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. О вычислении интегральной экспоненты. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №. 1, с. 87-91.

35. Е. С Кузнецов. Избранные научные труды. М: ФИЗМАТЛИТ, 2003, с. 486.

36. Н.Н. Калиткин, А.Б. Алъшин, Е.А. Альшина, Б.В. Рогов. Вычисления на квазиравномерных сетках. / М: Физматлит, 2005, 224с.

37. В.Г. Потемкин. MATLAB 6: среда проектирования инженерных приложений. / 448 с -М: Диалог-МИФИ, 2003.

38. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. / М: ФИЗМАТЛИТ. 2001, 808 с.

39. Н.Н. Калиткин. Численные методы. / М: Наука, 1978. 512 с.

40. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. О сходимости приближений Чепмена-Энскога при расчете электронных транспортных коэффициентов. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №. 6, с. 86-98.

41. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. Вычисление электронного переноса в плазме в высоких приближениях Чепмена-Энскога. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №. 4, с. 103-116.

42. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд. Молекулярная теория газов и жидкостей, / Пер. с англ. М: Иностр. лит-ра, 1961. - 929 с.

43. L. Spitzer, R. Harm. Transport phenomena in a completely ionized gas. Phys. Rev., 1953, v. 89, no. 5, pp. 997-981.

44. Н.Н. Калиткин, И.А. Панин. Вклад нейтральных частиц в электронные транспортные коэффициенты газов. //Математическое моделирование, 2009, т. 21, №. 7, с. 83-92.