автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.01, диссертация на тему:Повышение устойчивости методов реконструкции распределений плотности в сечениях объектов в компьютерной томографии

На правахрукописи

ЩЕКОТИН ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

ПОВЫШЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОВ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ В СЕЧЕНИЯХ ОБЪЕКТОВ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ

Специальность 05.11.01 - Приборы и методы измерения по видам измерений (механические величины)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена на кафедре измерительных технологий и компьютерной томографии Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Сизиков Валерий Сергеевич

доктор технических наук, профессор Гуров Игорь Петрович

доктор физико-математических наук Мамыкин Александр Иванович

кандидат технических наук Павлова Валерия Анатольевна

Ведущая организация: Институт аналитического приборостроения РАН

Защита состоится «31 » МА& 2005 года в мин. на заседании дис-

сертационного совета Д 212.227.04 при Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, аудитория 289.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ ИТМО. Автореферат разослан 2005 года.

Отзывы (в 2 экз.) по автореферату направлять в адрес университета: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, ученому секретарю диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.227.04 кандидат технических наук, доцент

I Шалобаев Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Компьютерная томография (КТ) применяется для исследования внутренней структуры материальных объектов. В диссертационной работе рассматривается задача определения внутренней структуры объектов на примере рентгеновской трансмиссионной КТ. Известно, что промышленные рентгеновские компьютерные томографы позволяют обнаружить дефекты размером порядка 1 мкм, благодаря чему удается повысить качество и надежность выпускаемой продукции. Срок окупаемости затрат на промышленные рентгеновские томографы во многих случаях в 5-10 раз меньше срока окупаемости технологического оборудования. К достоинствам рентгеновской трансмиссионной КТ относятся высокая скорость и невысокая стоимость исследования.

В рентгеновской трансмиссионной КТ внутренняя структура объекта характеризуется распределением плотности. В данном случае под плотностью понимается плотность электронов, т.е. количество электронов в единице объема. Хотя плотность объекта является функцией трех пространственных координат, обычно трехмерный объект представляют в виде набора сечений. Внутри каждого сечения плотность рассматривается как функция только двух переменных. Методика исследования такова: тонкий пучок рентгеновских лучей сканирует сечение объекта, испытывает частичное поглощение веществом, и изменение интенсивности рентгеновского излучения, являющееся интегральной характеристикой плотности исследуемого сечения, фиксируется детектором излучения. Затем с помощью компьютера по полученным данным производится реконструкция искомого распределения плотности в сечении объекта. Результат реконструкции выводится на дисплей в виде изображения.

Качество и скорость реконструкции распределений плотности зависят от конструктивных особенностей рентгеновского компьютерного томографа и от используемого математического аппарата. В связи с этим, одной из важных задач рентгеновской трансмиссионной КТ является совершенствование методов реконструкции распределений плотности. При этом возникают две фундамен-

тальные проблемы. Во-первых, задача реконструкции распределений плотности является некорректной, а именно, небольшие погрешности в измеряемых данных могут привести к большим погрешностям в реконструируемой функции. Поэтому приходится прилагать усилия, направленные на повышение устойчивости методов реконструкции. И, во-вторых, для всех методов решения некорректных задач характерно противоречие между разрешающей способностью и устойчивостью. Данное противоречие состоит в том, что увеличение разрешающей способности (уменьшение систематической ошибки метода реконструкции) вызывает понижение устойчивости (увеличение случайной ошибки метода реконструкции), и наоборот. Поэтому необходимо иметь возможность устанавливать требуемое соотношение между устойчивостью и разрешающей способностью методов реконструкции распределений плотности.

В разработку методов реконструкции внутренней структуры объектов внесли свой вклад такие ученые как И. Радон, Р.Н. Брейсуэлл, Л.А. Шепп, Б.Ф. Логен, Ф. Наттерер, А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, И.Н. Троицкий и многие другие. Данная диссертационная работа посвящена разработке усовершенствованных устойчивых методов и алгоритмов реконструкции распределений плотности на основе метода свертки и обратной проекции, алгебраического алгоритма восстановления, метода регуляризации Тихонова и др.

Целью работы является совершенствование существующих методов реконструкции распределений плотности, направленное на повышение их устойчивости, разрешающей способности и скорости, а также разработка новых алгоритмов и программ на их основе. Повышение устойчивости и разрешающей способности методов реконструкции является важной задачей КТ, поскольку эти характеристики методов определяют погрешность реконструкции распределений плотности. При этом необходимо иметь возможность устанавливать требуемое соотношение между устойчивостью и разрешающей способностью. Увеличение скорости реконструкции позволяет увеличить размер реконструируемой матрицы плотности, что повышает пространственную разрешающую способность рентгеновского компьютерного томографа.

Задачи исследования:

• Проведение анализа и сравнения существующих методов реконструкции распределений плотности в сечениях объектов.

• Применение методов регуляризации к существующим методам реконструкции распределений плотности для повышения их устойчивости.

• Исследование зависимости соотношения устойчивости и разрешающей способности от параметров методов реконструкции распределений плотности.

• Разработка методик нахождения дополнительной (априорной) информации о реконструируемой функции и включение найденной информации в методы реконструкции распределений плотности.

• Разработка дискретных алгоритмов и программ для реконструкции распределений плотности и их оптимизация, направленная на снижение временных затрат и объема требуемой машинной памяти.

• Нахождение количественных оценок результатов реконструкции и сравнение полученных усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности с существующими методами.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• Разработаны усовершенствованные устойчивые методы реконструкции распределений плотности в сечениях объектов на основе метода свертки и обратной проекции и алгебраического алгоритма восстановления.

• Разработан итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования.

• Разработан метод нахождения границ реконструируемого объекта по исходным проекционным данным.

• Алгебраический алгоритм восстановления приведен к форме, удобной для компьютерной реализации.

• Предложено упрощение стабилизирующего множителя для метода регуляризации Тихонова, не снижающее эффективность метода.

• Показано, что решение задачи реконструкции распределений плотности методом -фильтрации обратной проекции совпадает с решением уравнения

Радона, приведенного к стандартному виду - интегральному уравнению Фред-гольма I рода.

• На основе усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности разработано программное обеспечение, позволяющее проводить эксперименты в области КТ.

• Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности метода свертки и обратной проекции с использованием метода регуляризации Тихонова от значений параметра и порядка регуляризации.

• Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности алгебраического алгоритма восстановления от количества итераций и значения параметра релаксаций.

Основные положения работы, выносимые на защиту:

1. Устойчивость разработанных усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности выше, чем устойчивость существующих методов реконструкции.

2. Разработанный итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования позволяет снизить погрешность вычисления преобразования Радона и увеличить скорость реконструкции при использовании алгебраического алгоритма восстановления.

3. Предложенный метод нахождения границ реконструируемого объекта позволяет снизить погрешность реконструкции, в том числе при наличии погрешностей в измеряемых данных и при решении задач с неполными данными.

4. Алгебраический алгоритм восстановления, приведенный к форме, удобной для компьютерной реализации, позволяет увеличить скорость реконструкции и снизить объем требуемой машинной памяти.

5. Предложенная модификация стабилизирующего множителя для метода регуляризации Тихонова позволяет упростить вид множителя, не снижая эффективность метода.

Практическая ценность работы. Полученные в результате проделанной работы усовершенствованные устойчивые методы реконструкции позволяют

реконструировать распределения плотности с меньшими погрешностями, чем существующие методы. На основе данных методов создано программное обеспечение, с помощью которого были проведены эксперименты по реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01, расположенного во ВНИИ технической физики (Российский Федеральный ядерный центр, г. Снежинск). Результаты экспериментов позволили сделать вывод о том, что результаты данной работы могут быть использованы при создании программного обеспечения рентгеновских компьютерных томографов.

Реализация работы. Разработанные методики используются в научно-технических исследованиях кафедры измерительных технологий и компьютерной томографии, а результаты работы - в лекциях, практических и лабораторных работах по дисциплинам «Математические основы томографии» при подготовке инженеров по специальности 1901.00 - «Приборостроение».

Полученные в данной диссертационной работе результаты применялись при разработке рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01 во ВНИИ технической физики (Российский Федеральный ядерный центр, г. Снежинск).

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на кафедре измерительных технологий и компьютерной томографии; на ХХХП и XXXIV научно-технических конференциях СПбГУ ИТМО (2003 г. и 2005 г., СПб); на I и II конференциях молодых ученых СПбГУ ИТМО (2004 г. и 2005 г., СПб); на международной конференции «Optical Sensing and Artificial Vision» (2004 г., СПб); на IV международной конференции «Instrumentation in Ecology and Human Safety» (2004 г., СПб).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, приложения, библиографического списка из 74 наименований. Объем диссертации 121 страница, 32 рисунка и 12 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности работы, изложены ее цель и защищаемые результаты.

В главе 1 рассматривается принцип получения информации о распределениях плотности в сечениях объектов с помощью рентгеновских лучей. Также приводится описание схем сканирования, применяемых в рентгеновских компьютерных томографах, и рассматриваются виды задач реконструкции распределений плотности.

Рассмотрим задачу реконструкции распределений плотности в сечениях объектов на примере рентгеновского компьютерного томографа с параллельной схемой сканирования. На рис. 1 показано сечение D исследуемого объекта, характеризуемое плотностью вещества f(x,y), где х,у - неподвижная относительно объекта система декартовых координат. Расположенные на раме рентгеновские трубки излучают остронаправленные пучки рентгеновских лучей интенсивности , которые проходят через вещество, испытывают частичное поглощение и регистрируются соответствующими детекторами (приемни-

Г

А

D

, мподаикмая система I «оораиист t

Рис. 1. Параллельная схема сканирования.

ками) излучения. Такой эксперимент проводится для ряда значений угла поворота рамы Введем вращающуюся (неподвижную относительно рамы) систему декартовых координат Тогда можно обозначить через значения интенсивности излучения, измеренные детекторами. Согласно обобщенному закону Бэра

= (1) где интегрирование ведется по прямой уравнение которой

дссоз<р + ,у8Шф = $. Из (1) получаем интегральноеуравнение Радона в виде:

л/(х,;у)= 1/(*,у)<В-ф.9), (2)

где - оператор преобразования Радона, а функция

называется полным набором проекционных данных.

Уравнение (2) справедливо для измерений без погрешностей. Однако на практике невозможно точно измерить интенсивности поскольку, во-

первых, число квантов, испускаемых источником излучения за единицу времени является случайной величиной, а во-вторых, поглощение квантов веществом тоже происходит случайным образом. Таким образом, приходим к преобразованию Радона в виде

9(*,Ч>) = .К/(л:,.>0 + Т1(*,Ф), (4)

где - шумовая составляющая проекционных данных.

Источник и детектор рентгеновского излучения имеют конечные размеры. Будем считать, что их ширина одинакова и обозначим ее как . Пусть сумма ширин всех источников равняется т.е. Будем считать,

что область сканирования представляет собой квадрат со стороной , т.е.

Разобьем этот квадрат на малых одинаковых квадратных

элементов со стороной , в пределах которых плотность вещества будем считать постоянной. Тогда Введем матрицу плотности где я,те[0,#-1] - индексы элементов области сканирования по горизонтали и вер-

тикали соответственно. Если дан элемент матрицы /т, т.е. элемент (п,т), то для точки лежащей внутри этого элемента, верно

*е[лДх-Х,(Л+1)Дх~*], (5)

^^-(т+ОДх.ЛГ-отДх]. (6)

Если дана точка (х,у), то, исходя из (5) и (6), мы можем найти элемент (п,т), которому она принадлежит:

1+У г+Г

(7)

(8)

Данным неравенствам удовлетворяет единственное значение п или т, если соответствующая координата находится внутри элемента и два значения п или т для координаты, лежащей на границе между двумя элементами. Уравнение прямой £($,<р) принимает ^ +узш<к =4у}» д а получаем

(9) (10)

На практике часто возникает необходимость вычислить длины пересечений прямой с элементами области сканирования. Для этого предлагается использовать разработанный в диссертации итерационный алгоритм. Инициализация:

1. Используя формулы (9) и (10), находим точку (х?,??), в которой прямая пересекает какую-либо границу области сканирования. Подходит точка, удовлетворяющая одному из условий:

- СОв ф _

2. Используя формулы (7) и (8), находим элемент или пару элементов области сканирования, содержащий точку (*|°,.У|1'). Если найдено два элемента, т.е. точка лежит на границе между ними, то выбираем из них такой элемент («°,т0), который пересекается прямой более чем в одной точке. Если такого элемента нет, то итерации завершаются. Если оба элемента удовлетворяют условию, т.е. прямая ¿^ проходит точно по границе элементов, то выбираем элемент с меньшим номером или

Итерации повторяются, пока выполняется п',т' е 1. Используя выражения (5)—(10), для данного элемента (п',т') и данной точки находим точку в которой прямая пересекает вторую

границу элемента. Подходит точка, удовлетворяющая условию и одному из следующих условий:

2. Для полученных точек вычисляем искомую длину по формуле

3. Если точка (х^,^) лежит на левой границе элемента, т.е. х^ =п'£л-Х, ТО выполняем сдвиг влево

4. Если точка (х^,^) лежит на правой границе элемента, т.е.

то выполняем сдвиг вправо

5. Если точка лежит на нижней границе элемента, т.е.

то выполняем сдвиг вниз

6. Если точка (х'г,у'г) лежит на верхней границе элемента, т.е. =Х~т'Ах, то выполняем сдвиг вверх

7. Получаем следующую точку

Применение алгоритма определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования позволяет избежать перебора всех элементов области сканирования, что приводит к увеличению скорости вычислений. Для перебора оценка количества операций составляет для каждой прямой, в

то время как для данного алгоритма требуется только операций. В част-

ности, данный алгоритм может быть использован для снижения погрешности вычисления преобразования Радона (2).

Глава 2 содержит некоторые методы реконструкции распределений плотности, в том числе метод свертки и обратной проекции и алгебраический алгоритм восстановления (ААВ).

Идея ААВ заключается в применении метода Качмажа для решения интегрального уравнения Радона (2). Итерация ААВ принимает вид

3 - *м «' = 0.....Я-Р-1,

г/1

(И)

где - евклидова норма, а

В результате мы переходим от приближения к приближению Для выполнения одной итерации требуется операций. Длинывычисляют-ся с помощью алгоритма определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования, что увеличивает скорость реконструкции.

Однако формула (11) не является удобной для компьютерной реализации, поскольку и матрицу плотности, и проекционные данные удобнее хранить в

виде двумерных, а не одномерных массивов. Поэтому представим (11) в виде

X VI н-1

/1 =/м!—

где п,т = 0,...,Ы-1, г = 0,...,Л-1, р = 0.....Р-\, ¡ = \,...,К, К - количество итераций, а

\ц2-ш

Глава 3 рассматривает методы регуляризации, позволяющие повысить устойчивость методов реконструкции распределений плотности. Также рассматривается реконструкция распределений плотности по неполным данным.

Метод свертки и обратной проекции с применением метода регуляризации Тихонова принимает вид:

где

^,1+уш '

ешека

- импульсная реакция фильтра,

' Н2(х) + ух*

(12)

(13)

- стабилизирующий множитель, причем порядок регу-

ляризации, - параметр регуляризации.

Однако выражение (13) является несколько громоздким. Более простым, но столь же эффективным является определение стабилизирующего множителя в виде

Метод регуляризации Тихонова подавляет высокие частоты Фурье более аккуратно, чем методы, использующие усечение по частоте. С одной стороны, высокие частоты наиболее сильно реагируют на погрешности в исходных данных, а, с другой стороны, от высоких частот зависит разрешающая способность метода реконструкции. Таким образом, с помощью задания параметра и порядка регуляризации можно устанавливать соотношение между разрешающей способностью и устойчивостью метода реконструкции распределений плотно-

ста.

Отметим, что итерационные методы (например, ААВ) также можно рассматривать как методы регуляризации. В этом случае выбор параметра регуляризации сводится к выбору количества итераций.

Рассмотрим выражение (3). Заметам, что 5(i,(p) = 0 означает, что 7(s,<p) = /„, т.е. рентгеновский луч прошел через область сканирования без поглощения. Это, в свою очередь, означает, что во всех точках области сканирования, которые пересек данный рентгеновский луч, отсутствует вещество, поглощающее рентгеновское излучение. Поэтому заранее можно сказать, что значения плотности в данных точках равны нулю и восстановление искомой функции f(x,y) в этих точках избыточно. Математически полученный результат можно записать в виде

Ai = {(*>.V):?(*<:°s<P+,ysm(f,,<[,) = 0}, (14)

где М - множество точек, про которые заранее известно, что в них функция

Однако полученный результат в виде (14) будет справедлив лишь при отсутствии погрешностей в измеренных проекционных данных, т.е. для уравнения (2). Для учета случайной погрешности измерений в (4) равенство ?(i,<p) = О следует заменить неравенством - некоторое значение, опре- .

деляемое условиями измерений. Для оценки 5 мы можем воспользоваться, например, информацией о минимальном значении плотности исследуемого объекта или о максимальном значении случайной погрешности

maxt|(i,cp).

Учитывая случайную погрешность в уравнении (14), получаем, что искомая функция f(x,y) равняется нулю на всем множестве точек

(15)

Фактически, мы нашли границы исследуемого объекта, вне которых значения плотности равны нулю. Включение этой информации в вычислительные алгоритмы позволяет увеличить скорость и снизить погрешность реконструк-

ции распределений плотности, а для итерационных методов также увеличить скорость сходимости. Метод показал свою эффективность, как в случае отсутствия погрешностей, так и при их наличии в исходных проекционных данных. При наличии погрешностей подбор значения 5 позволяет получать результаты, сопоставимые с результатами реконструкции по данным без погрешностей, т.е. применение данного метода позволяет увеличивать устойчивость методов реконструкции распределений плотности. Следует отметить, что описанный метод обладает рядом ограничений. Так, метод не позволяет определять границы полостей внутри объекта, а также точно определять границы невыпуклых объектов. Кроме того, могут возникнуть затруднения с выбором параметра 5 в случае, когда

В дискретном виде выражение (15) принимает вид М = 5},

где - индексы элементов области сканирования по горизонтали и

вертикали. Для определения этого множества удобно воспользоваться алгоритмом определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования.

Глава 4 описывает усовершенствованные методы и алгоритмы реконструкции распределений плотности, использующие информацию о границах восстанавливаемых объектов и требование неотрицательности значений распределений плотности. Приводятся результаты компьютерного моделирования, и производится сравнение модифицированных методов с исходными методами. Усовершенствованный метод свертки и обратной проекции принимает вид

где

а функция задается формулой (12).

Итерация усовершенствованного ААВ принимает вид

В результате мы получаем реконструированную матрицу плотности и применяем к ней требование неотрицательности

откуда окончательно получаем матрицу плотности

Рис. 2. Реконструированный плотностной фантом.

Глава 5 содержит результаты реконструкций распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа с веерной схемой сканирования РКТ-01, расположенного во ВНИИ Технической физики (г. Снежинск). Поскольку алгоритмы, приведенные в главе 2, справедливы лишь для параллельной схемы сканирования, то приводится методика преобразования веерных проекционных данных в параллельные проекционные данные. На рис. 2 показан результат реконструкции плотностного фантома на компьютерном томографе РКТ-01. Артефакты в левой верхней части, по-видимому, вызваны увеличением жесткости излучения вблизи металлической детали.

На рис. 3 показан результат реконструкции того же фантома методом свертки и обратной проекции (без регуляризации) с помощью разработанного

по результатам данной работы программного обеспечения. Применение этого метода позволило уменьшить артефакты вблизи металлической детали. Еще более эффективным оказалось применение метода свертки и обратной проекции с использованием метода регуляризации Тихонова с параметрами у = 1-10"!, р = 2 (рис. 4). В этом случае артефакты практически полностью исчезли, а реконструированная функция оказалась менее зашумленной.

■ш

Рис. 3. Реконструкция методом свертки и обратной проекции.

Рис. 4. Применение метода регуляризации Тихонова.

В приложении приведены наиболее важные коды программ, реализующих усовершенствованные методы реконструкции распределений плотности.

Основные выводы и результаты работы: • Разработаны усовершенствованные устойчивые методы реконструкции распределений плотности в сечениях объектов на основе метода свертки и обратной проекции и алгебраического алгоритма восстановления.

• Разработан итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования, снижающий погрешность вычисления дискретного преобразования Радона и находящий применение при реализации алгебраического алгоритма восстановления, а также при определении границ восстанавливаемого объекта.

• Разработан метод нахождения границ реконструируемого объекта по проекционным данным, позволяющий снизить погрешность и увеличить скорость реконструкции распределений плотности.

• Алгебраический алгоритм восстановления приведен к форме, удобной для компьютерной реализации, что позволило увеличить скорость реконструкции и снизить объем требуемой машинной памяти.

• Предложено упрощение стабилизирующего множителя для метода регуляризации Тихонова, не снижающее эффективность метода.

• Показано, что решение задачи реконструкции распределений плотности методом р-фильтрации обратной проекции совпадает с решением уравнения Радона, приведенного к стандартному виду - интегральному уравнению Фред-гольма I рода.

• На основе усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности разработано программное обеспечение, позволяющее проводить эксперименты в области КТ. С помощью данного программного обеспечения были проведен ряд модельных экспериментов, а также эксперименты по реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01.

• Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности метода свертки и обратной проекции с использованием метода регуляризации Тихонова от значений параметра и порядка регуляризации. Разработаны критерии выбора параметра и порядка регуляризации в зависимости от требуемого соотношения между устойчивостью и разрешающей способностью.

• Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности алгебраического алгоритма восстановления от количества итера-

ций и значения параметра релаксаций. Сделан вывод, что количество итераций предпочтительнее определять с помощью визуального наблюдения.

Таким образом, выполнена поставленная задача по созданию усовершенствованных устойчивых методов реконструкции распределений плотности и повышению их скорости и разрешающей способности.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Гуров И.П., Сизиков B.C., Щекотин Д.С. Методы восстановления изображений в рентгеновской томографии // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО.-2003.-№11.-С. 97-104.

2. Сизиков B.C., Щекотин Д.С. О сочетании высокого разрешения и безопасности в рентгено-томографической диагностике // Международная конф. «Приборостроение в экологии и безопасности человека»: Труды конф. -Санкт-Петербург, 2004. - С. 131-134.

3. Щекотин Д.С. Сравнение и развитие различных методов реконструкции изображений в рентгеновской томографии // Современные направления приборостроения, информационных и гуманитарных наук. Сборник научных трудов: В 2 т. / Под ред. В.Л. Ткалич. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. - Т. 2. - С. 247-254.

4. Shchekotin D., Sizikov V. Enhancement of tomographic image quality by means of a regularization method // Summary Int. Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision. - Saint Petersburg, 2004. - P. 134-135.

5. Shchekotin D., Sizikov V. Enhancement of tomographic image quality by means of a regularization method // Proc. Int. Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision. - Saint Petersburg, 2004. - Vol. 1. - P. 370-375.

Подпись

от -

Тиражирование и брошюровка выполнены в » Центре «Университетские телекоммуникации». ^ Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14. Тел. (812)233-46-69 Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ В СЕЧЕНИЯХ ОБЪЕКТОВ.

1.1. Принцип исследования.

1.2. Преобразование Радона как основа математического описания задачи.

1.3. Виды задач реконструкции распределений плотности.

1.4. Использование преобразования Фурье.

1.5. Дискретное преобразование Радона.

1.6. Итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования.

Выводы по главе 1.

2. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ИЗВЕСТНЫХ МЕТОДОВ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ.

2.1. Оператор обратного проецирования.

2.2. Формулы обращения преобразования Радона.

2.3. Метод свертки и обратной проекции и его модификации.

2.4. Метод итераций Качмажа.

2.5. Алгебраический алгоритм восстановления в форме, удобной для компьютерной реализации.

Выводы по главе 2.

3. ПОВЫШЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОВ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С НЕПОЛНЫМИ ДАННЫМИ.

3.1. Некорректные задачи.

3.2. Использование метода регуляризации Тихонова для повышения устойчивости методов реконструкции.

3.3. Способы решения задач с неполными данными.

3.4. Способы включения дополнительной информации в методы реконструкции распределений плотности.

3.5. Предлагаемый метод нахождения границ объекта.

Выводы по главе 3.

4. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

4.1. Количественные оценки результатов реконструкции.

4.2. Погрешность реконструкции при использовании метода регуляризации Тихонова.

4.3. Сходимость алгебраического алгоритма восстановления.

4.4. Реконструкция распределений плотности по ограниченному числу проекций.

Выводы по главе 4.

5. РЕКОНСТРУКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ ПО ДАННЫМ КОМПЬЮТЕРНОГО ТОМОГРАФА РКТ-01.

5.1. Преобразование веерных проекционных данных в параллельные проекционные данные.

5.2. Определение параметров рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01.

5.3. Предварительные преобразования значений интенсивности.

5.4. Анализ результатов численных экспериментов.

Выводы по главе 5.

Актуальность темы. Компьютерная томография (КТ) применяется для исследования внутренней структуры материальных объектов. В диссертационной работе задача определения внутренней структуры объектов рассматривается на примере рентгеновской трансмиссионной КТ.

Рентгеновская трансмиссионная КТ применяется в медицине для исследования внутренних органов [12, 18], в промышленности для контроля качества изделий [17], в геофизике для исследования мантии Земли [22], в физике для диагностики плазмы [10, 22] и т.д. Известно, что промышленные рентгеновские компьютерные томографы позволяют обнаружить дефекты размером порядка 1 мкм, благодаря чему удается повысить качество и надежность выпускаемой продукции. Срок окупаемости затрат на промышленные рентгеновские томографы во многих случаях в 5-10 раз меньше срока окупаемости технологического оборудования. К достоинствам рентгеновской трансмиссионной КТ относятся высокая скорость и невысокая стоимость исследования. В медицинских приложениях конкурентом рентгеновской трансмиссионной КТ является магниторезонансная томография, достоинством которой является отсутствие вредных воздействий на организм пациента. Однако магниторезонансная томография обладает рядом недостатков по сравнению с рентгеновской трансмиссионной КТ. К таким недостаткам относятся: позднее выявление гематом, невозможность исследования при наличии металлических имплантантов, сложность обеспечения искусственной вентиляции легких, большее влияние движений больного на качество реконструкции, невозможность исследования при наличии клаустрофобии [12, 60, 66]. Эти недостатки приводят к тому, что в некоторых случаях, например, в нейрохирургической и неврологической практике, рентгеновская трансмиссионная КТ является предпочтительным методом исследования [12].

В рентгеновской трансмиссионной КТ внутренняя структура объекта характеризуется распределением плотности. В данном случае под плотностью понимается плотность электронов, т.е. количество электронов в единице объема. Хотя плотность объекта является функцией трех пространственных координат, обычно трехмерный объект представляют в виде набора сечений. Внутри каждого сечения плотность рассматривается как функция только двух переменных. Методика исследования такова: тонкий пучок рентгеновских лучей сканирует сечение объекта, испытывает частичное поглощение веществом, и изменение интенсивности рентгеновского излучения, являющееся интегральной характеристикой плотности исследуемого сечения, фиксируется детектором излучения. Затем с помощью компьютера по полученным данным производится реконструкция искомого распределения плотности в сечении объекта. Результат реконструкции выводится на дисплей в виде изображения.

Качество и скорость реконструкции распределений плотности зависят от конструктивных особенностей рентгеновского компьютерного томографа и от используемого математического аппарата. В связи с этим, одной из важных задач рентгеновской трансмиссионной КТ является совершенствование методов реконструкции распределений плотности. При этом возникают две фундаментальные проблемы. Во-первых, задача реконструкции распределений плотности является некорректной, а именно: небольшие погрешности в измеряемых данных могут привести к большим погрешностям в реконструируемой функции. Поэтому приходится прилагать усилия, направленные на повышение устойчивости методов реконструкции. И, во-вторых, для всех методов решения некорректных задач характерно противоречие между разрешающей способностью и устойчивостью. Данное противоречие состоит в том, что увеличение разрешающей способности (уменьшение систематической погрешности метода реконструкции) вызывает понижение устойчивости (увеличение случайной погрешности метода реконструкции), и наоборот. Поэтому необходимо иметь возможность устанавливать требуемое соотношение между устойчивостью и разрешающей способностью методов реконструкции распределений плотности.

В разработку методов реконструкции внутренней структуры объектов внесли свой вклад такие ученые как И. Радон, Р.Н. Брейсуэлл, JI.A. Шепп, Б.Ф. Логен, Ф. Наттерер, А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, И.Н. Троицкий и многие другие. Данная диссертационная работа посвящена разработке усовершенствованных устойчивых методов и алгоритмов реконструкции распределений плотности на основе метода свертки и обратной проекции, алгебраического алгоритма восстановления, метода регуляризации Тихонова и др.

Цель диссертационной работы. Целью данной работы является совершенствование существующих методов реконструкции распределений плотности, направленное на повышение их устойчивости, разрешающей способности и скорости, а также разработка новых алгоритмов и программ на их основе. Повышение устойчивости и разрешающей способности методов реконструкции является важной задачей КТ, поскольку эти характеристики методов определяют погрешность реконструкции распределений плотности. При этом необходимо иметь возможность устанавливать требуемое соотношение между устойчивостью и разрешающей способностью. Увеличение скорости реконструкции позволяет увеличить размер реконструируемой матрицы плотности, что повышает пространственную разрешающую способность рентгеновского компьютерного томографа.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:

• Проведение анализа и сравнения существующих методов реконструкции распределений плотности в сечениях объектов.

• Применение методов регуляризации к существующим методам реконструкции распределений плотности для повышения их устойчивости.

• Исследование зависимости соотношения устойчивости и разрешающей способности от параметров методов реконструкции распределений плотности.

• Разработка методик нахождения дополнительной (априорной) информации о реконструируемой функции и включение найденной информации в методы реконструкции распределений плотности.

• Разработка дискретных алгоритмов и программ для реконструкции распределений плотности и их оптимизация, направленная на повышение скорости реконструкции и снижение объема требуемой машинной памяти.

• Нахождение количественных оценок результатов реконструкции и сравнение полученных усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности с существующими методами.

Научная новизна:

• Разработаны усовершенствованные устойчивые методы реконструкции распределений плотности в сечениях объектов на основе метода свертки и обратной проекции и алгебраического алгоритма восстановления.

• Разработан итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования.

• Разработан метод нахождения границ реконструируемого объекта по исходным проекционным данным.

• Алгебраический алгоритм восстановления приведен к форме, удобной для компьютерной реализации.

• Предложено упрощение стабилизирующего множителя для метода регуляризации Тихонова, не снижающее эффективность метода.

• Показано, что решение задачи реконструкции распределений плотности методом р-фильтрации обратной проекции совпадает с решением уравнения Радона, приведенного к стандартному виду - интегральному уравнению Фредгольма I рода.

• На основе усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности разработано программное обеспечение, позволяющее проводить численные эксперименты в области КТ.

• Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности метода свертки и обратной проекции с использованием метода регуляризации Тихонова от значений параметра и порядка регуляризации.

• Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности алгебраического алгоритма восстановления от количества итераций и значения параметра релаксации.

Практическая ценность. Полученные в результате проделанной работы усовершенствованные устойчивые методы реконструкции позволяют реконструировать распределения плотности с меньшими погрешностями, чем существующие методы. На основе данных методов создано программное обеспечение, с помощью которого были проведены эксперименты по реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01, расположенного во ВНИИ технической физики (Российский Федеральный ядерный центр, г. Снежинск). Результаты экспериментов позволили сделать вывод о том, что результаты данной работы могут быть использованы при создании программного обеспечения рентгеновских компьютерных томографов.

Выводы по главе 5

1. При реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновских компьютерных томографов с веерной схемой сканирования, необходимо предварительно преобразовать веерные проекционные данные в параллельные проекционные данные. В этом случае для реконструкции будут пригодны все алгоритмы, полученные для параллельной схемы сканирования.

2. Для снижения погрешностей в реконструируемой функции необходимо производить калибровку детекторов по проекционным данным для воздуха (сканирование без объекта).

3. Проведенные численные эксперименты по реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01, позволяют сделать вывод о том, что результаты данной диссертационной работы могут быть использованы при создании программного обеспечения рентгеновских компьютерных томографов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечень новых результатов. Перечислим новые результаты, полученные в данной диссертационной работе:

1. Разработаны усовершенствованные устойчивые методы реконструкции распределений плотности в сечениях объектов на основе метода свертки и обратной проекции и алгебраического алгоритма восстановления.

2. Разработан итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования, снижающий погрешность и увеличивающий скорость вычисления дискретного преобразования Радона и находящий применение при реализации оператора обратного проецирования, алгебраического алгоритма восстановления, а также при определении границ реконструируемого объекта.

3. Разработан метод нахождения границ реконструируемого объекта по проекционным данным, позволяющий снизить погрешность и увеличить скорость реконструкции распределений плотности, в том числе при наличии погрешностей в измеряемых данных и при решении задачи с неполными данными. Даны рекомендации по выбору параметра 8. Приведены модифицированные алгоритмы реконструкции, использующие информацию о границах объектов.

4. Алгебраический алгоритм восстановления, использующий одномерные массивы (2.20), преобразован в форму, более удобную с точки зрения компьютерной реализации и использующую двумерные массивы (2.21), что позволило увеличить скорость реконструкции и снизить объем требуемой машинной памяти при реконструкции распределений плотности данным алгоритмом.

5. Предложено упрощение стабилизирующего множителя для метода регуляризации Тихонова, не снижающее эффективность метода.

6. Показано, что решение задачи реконструкции распределений плотности методом р -фильтрации обратной проекции совпадает с решением уравнения Радона, приведенного к стандартному виду -интегральному уравнению Фредгольма I рода (1.9), методом двумерного преобразования Фурье.

7. На основе усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности разработано программное обеспечение, позволяющее проводить численные эксперименты в области КТ. С помощью созданного программного обеспечения был проведен ряд экспериментов, в том числе эксперименты по реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа с веерной схемой сканирования РКТ-01, расположенного во ВНИИ технической физики (Российский Федеральный ядерный центр, г. Снежинск). Результаты экспериментов позволили сделать вывод о том, что результаты данной диссертационной работы могут быть использованы при создании программного обеспечения рентгеновских компьютерных томографов.

8. Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности метода свертки и обратной проекции с использованием метода регуляризации Тихонова от значений параметра и порядка регуляризации. Разработаны критерии выбора параметра и порядка регуляризации в зависимости от требуемого соотношения между устойчивостью и разрешающей способностью. В частности, обнаружено, что минимально возможное относительное среднеквадратическое отклонение достигается при значении порядка регуляризации р = 2, а оптимальное соотношение между относительным среднеквадратическим отклонением и относительной гладкостью - при значении порядка регуляризации р = 1.

9. Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности алгебраического алгоритма восстановления от количества итераций и значения параметра релаксации. Сделан вывод о том, что количество итераций предпочтительнее определять с помощью визуального наблюдения.

Таким образом, выполнена поставленная задача по созданию усовершенствованных устойчивых методов реконструкции распределений плотности и повышению их скорости и разрешающей способности.

1. Ван дер Зил А. Шум. - М.: Сов. радио, 1973.

2. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук, думка, 1986.

3. Воскобойников Ю.Е., Колкер А.Б. Адаптивный алгоритм фильтрации изображений и преобразования их в векторный формат // Автометрия. 2002. - Т. 38, №4.

4. Грузман И.С. Математические задачи компьютерной томографии // Соросовский образовательный журнал. 2001. - № 5(7). — С. 117-121.

5. Гуров И.П., Сизиков B.C., Щекотин Д.С. Методы восстановления изображений в рентгеновской томографии // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2003. - №11. - С. 97-104.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974.

7. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. -M.-JL: Госэнергоиздат, 1956.

8. Левин Г.Г., Вишняков Т.Н. Оптическая томография. М.: Радио и связь, 1989.

9. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии.-М.: Мир, 1990.

10. Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука, 1995.

11. Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии // Вычислительные методы и программирование. 2003. - Т. 4. — С. 244253.

12. Привалова Е.С. Возможности компьютерной томографии в нейрохирургической практике // Украинский медицинский вестник. -2000.-№4(18).-С. 81-89.

13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.-М.: Наука, 1981.

14. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

15. Сизиков B.C. Использование регуляризации для устойчивого вычисления преобразования Фурье // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т. 38, № 3. - С. 376-386.

16. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001.

17. Скадцер Г.Дж. Введение в машинную томографию // ТИИЭР. -1978.-Т. 66, №6.-С. 5-16.

18. Суинделл Б., Уэбб С. Рентгеновская трансмиссионная компьютерная томография // Физика визуализации изображений в медицине: В 2 т. / Под ред. С. Уэбба. М.: Мир, 1991. - Т. 1. - С. 138173.

19. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

20. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Рубашов Н.Б., Тимонов А.А. О постановке основных задач вычислительной томографии. — Препринт ИПМ АН СССР. 1982. - №141.

21. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Рубашов И.Б., Тимонов А.А. Первый советский компьютерный томограф // Природа. 1984. - № 4.-С. 11-21.

22. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

23. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990.

24. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М.: Радио и связь, 1989.

25. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.

26. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983.

27. Хорн Б.К.П. Методы восстановления внутренней структуры объектов при просвечивании расходящимся пучком // ТИИЭР. — 1979. Т. 67, №12. - С. 40-48.

28. Bates R.H.T., Peters Т.М. Towards improvement in tomography // New Zeland J. Sci. 1971. - Vol. 14. - P. 883-896.

29. Bracewell R.N. Image reconstruction in radio astronomy // Image reconstruction from projections / Ed. G.T. Herman. Springer, 1979.

30. Bracewell R.N., Riddle A.C. Strip integration in radio astronomy // Austral. J. Phys. 1956. - Vol. 9. - P. 198-217.

31. Bracewell R.N., Riddle A.C. Inversion of fan-beam scans in radio astronomy // Astrophys. J. 1967. - Vol. 150. - P. 427-434.

32. Crowther R.A., De Rosier D.J., Klug A. The reconstruction of a three-dimensional structure from projections and its application to electron microscopy // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1970. - Vol. 317.-P. 319-340.

33. Deans S.R. The Radon transform and some of its applications. -Wiley, 1983.

34. Glover G.H., Pelc N.J. An algorithm for reduction of metal clip artifacts in CT reconstructions // Med. Phys. 1981. - Vol. 8(6). - P. 799-807.

35. Gordon R., Bender R., Herman G.T. Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and X-ray photography // J. Theor. Biol. 1970. - Vol. 29. - P. 471-481.

36. Groetsch C.W. The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equations of the first kind. Pitman, 1984.

37. Guenther R.B., Kerber C.W., Killian E.K., Smith K.T., Wagner S.L. Reconstruction of objects from radiographs and the location of brain tumors // Proc. Nat. Acad. Sci. US. 1974. - Vol. 71. - P. 48844886.

38. Hanson К. M. Limited angle CT reconstruction using a priori information // Proc. IEEE Сотр. Soc. Int. Symp. Berlin, 1982.

39. Harell G.S., Guthaner D.F., Breiman R.S., Morehouse C.C., Seppi E.J., Marshall W.H., Wexler L. Stop-action cardiac computed tomography // Radiology. 1977. - Vol. 123. - P. 515-517.

40. Herman G.T., Lent A. Iterative reconstruction algorithms // Comput. Biol. Med. 1976. - Vol. 6. - P. 273-294.

41. Hinderling Т., Ruegsegger Т., Anliker M., Dietschi C. Computed tomography reconstruction from hollow projections: An application to in vivo evaluation of artificial hip joints // J. Сотр. Assist. Tomog. — 1979.-Vol. 3(1).-P. 52-57.

42. Horbelt S., Liebling M., Unser M. Discretization of the Radon transform and of its inverse by spline convolutions // IEEE Trans. Med. Imaging. 2002. - Vol. 21(4). - P. 363-376.

43. Hounsfield G.N. Computerized transverse axial scanning tomography: part 1, description of the system // Br. J. Radiol. 1973. - Vol. 46. - P. 1016-1022.

44. Inouye Т. Image reconstruction with limited angle projection data // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1979. - Vol. 26(2). - P. 2666-2669.

45. Joseph P.M., Spital R.D. A method for correcting bone included artifacts in computed tomography scanners // J. Сотр. Assist. Tomog. -1978.-Vol. 2(1).- P. 100-108.

46. Kashyap R.L., Mittal M.C. Picture reconstruction from projections // IEEE Trans. Сотр. 1975. - Vol. 24. - P. 915-923.

47. Kybic J., Blu Т., Unser M. Variational approach to tomographic reconstruction // Proc. SPIE. 2001. - Vol. 4322. - P. 30-39.

48. Leahy J.V., Smith K.T., Solmon D.C. Uniqueness, nonuniqueness and inversion in the X-ray and Radon problems // Proc. Int. Symp. on ill-posed problems. Newark, 1979.

49. Lewitt R.M., Bates R.H.T., Peters T.M. Image reconstruction from projections: III: Projection completion methods (theory) // Optik. -1978. Vol. 50(3). - P. 189-204.

50. Lewitt R.M., Bates R.H.T., Peters T.M. Image reconstruction from projections: IV: Projection completion methods (computational exaples) // Optik. 1978. - Vol. 50(4). - P. 269-278.

51. Louis A.K. Picture reconstruction from projections in restricted range // Math. Meth. in the Appl. Sci. 1980. - Vol. 2. - P. 209-220.

52. Ludwig D. The Radon transform on Euclidean space // Comm. Pure Appl. Math. 1966. - Vol. 19. - P. 49-81.

53. Medoff B.P. Image reconstruction from limited data: theory and applications in computerized tomography // Image Recovery: Theory and Applications / Ed. H. Stark. Orlando: Academic Press, 1987. -C.9.-P. 321-368.

54. Medoff B.P., Brody W.R., Macovski A. The use of a priori information in image reconstruction from limited data // Proc. IEEE Int.

55. Conf. on Acoust., Speech, Signal Processing. — Boston, 1983. — P. 131-134.

56. Medoff B.P., Brody W.R., Nassi M., Macovski A. Iterative convolution backprojection algorithms for image reconstruction from limited data // J. Opt. Soc. Am. 1983. - Vol. 73(11). - P. 1493-1500.

57. Nashed M. Z. Generalized inverses, normal solvability and iteration for singular operator equations // Nonlinear Functional Analysis and Applications / Ed. L.B. Rail. -New York: Academic Press, 1971. P. 311-359.

58. Natterer F. Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales // Appl. Anal. 1984. - Vol. 18. - P. 29-37.

59. Natterer F. Fourier reconstruction in tomography // Numer. Math. — 1985.-Vol. 47.-P. 343-353.

60. Okamoto K., Ito J., Saito Т., Usuda H., Furusawa Т., Sakai K., To-kiguchi S. CT and MR imaging of the "target sign" in metastatic brain disease // Europ. Radiology. 2000. - Vol. 10(1). - P. 154-156.

61. Parker R.P., Contier de Freitas L., Cassell K.J., Webb S., Hobday P.A. A method of implementing inhomogeneity corrections in radiotherapy treatment planning // J. Eur. Radiother. 1980. - Vol. 1(2). -P. 93-100.

62. Peres A. Tomographic reconstruction from limited angular data // J. Сотр. Assist. Tomog. 1979. - Vol. 3. - P. 800-803.

63. Ramachandran G.N., Lakshminarayanan A.V. Three-dimensional reconstruction from radiographs and electron micrographs: application of convolutions instead of Fourier transforms // Proc. Nat. Acad. Sci. US. 1971. - Vol. 68. - P. 2236-2240.

64. Rattey P.A., Lindgren A.G. Sampling the 2-D Radon transform with parallel and fan-beam projections // Technical Report 5-33285-01. -Kingston: University of Rhode Island, 1981.

65. Rowland S.W. Computer implementation of image reconstruction formulas // Image Reconstruction from Projections / Ed. G.T. Herman. — Springer, 1979.

66. Schellinger P.D., Meinck H.M., Thron A. Diagnostic accuracy of MRI comraped to CCT in patients with brain metastases // J. Neu-rooncology. 1999. - Vol. 44(3). - P. 275-281.

67. Shchekotin D., Sizikov V. Enhancement of tomographic image quality by means of a regularization method // Proc. Int. Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision. Saint Petersburg, 2004. -Vol. 1.-P. 370-375.

68. Shchekotin D.S., Sizikov V.S. On combination of high resolution and safety in CT-diagnosis // Proc. Int. Conf. on Instrumentation in Ecology and Human Safety. Saint Petersburg, 2004. - P. 131-134.

69. Shepp L.A., Logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1974. - Vol. 21. - P. 21-43.

70. Smith K.T., Keinert F. Mathematical foundations of computed tomography // Appl. Opt. 1985. - Vol. 24. - P. 3950-3957.

71. Smith K.T., Solomon D.C., Wagner S.L. Practical and mathematical aspects of the problem of reconstructing objects from radiographs // Bull. Amer. Math. Soc. 1977. - Vol. 83. - P. 1227-1270.

72. Stark H., Woods J.W., Paul I., Hingorani R. Direct Fourier reconstruction in computer tomography // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Proc. 1981. - Vol. 29(2). - P. 237-245.

73. Walden J. Analysis of the direct Fourier method for computer tomography // IEEE Trans. Med. Imag. 2000. - Vol. 19. - P. 211-222.

74. Young D.M. Iterative solution of large linear system. Academic Press, 1971.