автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Построение оптимальной модели измерений для линейных динамических систем

На правах рукописи

Самочернов Игорь Валентинович

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Специальность 05.13.17. — Теоретические основы информатики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом

университете

Научный руководитель кандидат технических наук, доцент

Бекарева Нина Даниловна

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Воевода Александр Александрович доктор технических наук, профессор Лбов Геннадий Сергеевич

Ведущая организация Томский политехнический университет,

г. Томск

Защита состоится 23 июня 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан "¿V" мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.173.06 Чубич в.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При проведении исследований моделей динамических систем, представленных в виде матричных стохастических дифференциальных уравнений, одной из наиболее востребованных-задач является задача оценивания состояния системы в последовательные моменты времени по известным априорным данным и информации, извлекаемой из наблюдений за системой.

Наиболее распространенной вычислительной процедурой для получения оценок состояний для таких систем в настоящее время является алгоритм Калмана-Бьюси. Оценки состояний, полученные этим методом, являются оптимальными по сумме дисперсий ошибок оценивания в классе линейных оценок, но могут быть улучшены, например, за счет изменения управляющего воздействия или условий проведения измерений.

В диссертации исследуется влияние параметров, относящихся к наблюдательной части динамической системы, на точность оценок состояний и предлагаются процедуры выбора наиболее эффективной наблюдательной системы.

Задача в такой постановке встречалась в работах Mehra R.K и ранее у Meier L., Jonson C.D., причем Mehra R.K. впервые сделал попытку применить методы, используемые в планирования регрессионных экспериментов, для исследования динамических систем. О подобных исследованиях в нашей стране нам ничего не известно, поэтому в данной работе сделана попытка восполнить этот пробел.

В НГТУ на кафедре Прикладной математики исследованиями динамических систем под руководством проф. Денисова В.И. занимались Абденов А.Ж., Парлюк А.В, Попов А.А., Чубич В.М.

Цель диссертационной работы. Целью работы является создание и исследование алгоритмов по улучшению качества оценок состояний динамических систем при помощи выбора оптимальной в том или ином смысле модели наблюдений; исследование разработанных алгоритмов на различных моделях систем: следящей системе управления электроприводом постоянного тока, системе стабилизации самолета по тангажу и др.; выработка рекомендаций по виду оптимальной модели наблюдений; создание программного обеспечения, позволяющего эффективно решать задачи оптимизации моделей измерений, задачи моделирования реализаций динамических систем с целью проверки качества оценок состояний и других входящих в модели параметров.

Задачи исследования. Для достижения цели диссертационной работы решены следующие задачи: предложены и исследованы алгоритмы и критерии оптимальности моделей наблюдений с точки зрения качества оценок состояний; исследованы методы компьютерного ций

/

наблюдений и состояний динамических систем; в применении к основной задаче реализованы и исследованы некоторые методы глобальной оптимизации.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялся аппарат теории планирования экспериментов, теории автоматического управления, теории вероятностей и случайных процессов, математической статистики, численных методов, теории стохастических дифференциальных уравнений, теории матриц. Использовались математические пакеты и собственное программное обеспечение.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы построения и критерии оптимальности моделей наблюдений.

2. Рекомендации по использованию пяти методов моделирования динамических систем.

3. Рекомендации по использованию четырех методов поиска глобальных экстремумов по оптимизации наблюдений для динамических систем.

4. Результаты построения оптимальных моделей наблюдений для исследованных систем: следящей системы управления электроприводом постоянного тока, системы управления самолетом по тангажу, системы чандлеровских колебаний.

5. Разработанное программное обеспечение по моделированию и оптимизации моделей наблюдений динамических систем.

Научная новизна. Разработаны алгоритмы построения оптимальных моделей наблюдений для оценки состояний в дискретных и непрерывно-дискретных линейных динамических системах. Предложены критерии оптимальности модели наблюдений в виде функционалов от ковариационной матрицы ошибок оценивания и информационной матрицы Фишера о состояниях системы. Проведено сравнение ряда алгоритмов моделирования реализаций векторов состояний и измерений: стандартного и основанных на разложении Тейлора-Ито уравнения состояний. Сделано сравнение нескольких алгоритмов поиска экстремумов в применении к задаче оптимизации проведения измерений. Разработано соответствующее программное обеспечение. Получены оптимальные модели измерений для системы стабилизации самолета по тангажу, системы управления электроприводом постоянного тока, системы чандлеровских колебаний.

Практическая полезность и реализация результатов. Разработан и использован для определения оптимальных моделей измерений реальных систем комплекс программ, позволяющий для непрерывно-дискретных и дискретных стационарных и нестационарных линейных динамических систем проводить

• Моделирование наблюдений и состояний динамических систем различными методами решения стохастических дифференциальных уравнений: явным и неявным методах Эйлера, явным и неявным методах Мильштейна, методом, основанным на общем решении уравнения состояний.

• Оптимизацию параметров модели наблюдений с использованием четырех реализованных методов поиска глобальных экстремумов, опирающихся на критерии, использующие информационную матрицу или ковариационную матрицу ошибок оценивания состояний.

• Проверку результатов оптимизации моделированием, оценкой состояний и других параметров динамической системы.

Созданное программное обеспечение использует эффективные численные методы для реализации алгоритмов и позволяет работать с произвольными стационарными и нестационарными линейными динамическими системами, включающими любые параметры, без повторной сборки модулей комплекса программ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (2000), конференции, посвященной дням науки НГТУ-2000 (исследования были поддержаны грантом университета), 6-й международной российско-корейской конференции КОЯи^-2002.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 работ. Из них 1 — в трудах международной конференции, 1 — в сборнике тезисов межвузовской конференции, 2 — в Научном вестнике НГТУ, 4 — в сборнике научных трудов НГТУ.

Структурам объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав основного текста и заключения. Объем работы — 125 страниц. Список литературы содержит 67 источников. Рисунков 23, таблиц И.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена общая характеристика работы и краткое содержание по главам:

Первая глава содержит основные определения, формулировку задачи и. изложение некоторых аспектов текущего состояния исследований по проблемам, связанным с динамическими системами и оцениванием состояний.

Математическая модель непрерывно-дискретной линейной динамической системы определяется следующим образом:

*(«) = + С{1) и(0 + с?(г)«(<), (1)

где 6 [¿о» Г] — время; F(í), С(4), £?(<), Я(^) — непрерывные матрицы состояния, управления, возмущений и наблюдений, соответственно; х(0 = (х1(г),.:.,хп(^)т — вектор состояний; у(«*) = (2/1 (<*).••• >Ут(<*))Т

— вектор наблюдений; и(1) — вектор управления; и 1/(4*) — случайные векторы возмущений и ошибок измерительного устройства, образующие белый гауссовский шум и последовательность, соответственно. При этом для любых {, т, <ь Ь} € [¿о, Т']

Шумы не зависят от начального значения состояния х(<о). которое имеет нормальное распределение с известными параметрами

Во многих связанных с динамическими системами задачах жизненно важно уметь как можно более точно оценивать состояние динамической системы. От этого напрямую зависит результат, качество работы и извлекаемые выгоды. Существующие методы оценивания состояний, среди которых наиболее распространен алгоритм Калмана-Бьюси, допускают изменение как параметров динамической системы, так и параметров проведения наблюдений, которые влияют точность оценивания вектора состояний.

В данной работе предполагается, что модель наблюдений не задана жестко, а у исследователя имеется возможность каким-то образом изменять ее параметры.

Основная задача диссертационной работы ставится следующим образом:

Построить и исследовать алгоритмы оптимизации параметров Ь модели наблюдений (2) с учетом соответствующих ограничений на эти параметры с целью улучшения качества оценок вектора состояний х^) модели (1).

Вторая глава представляет разработанные алгоритмы по решению поставленной задачи и критерии оптимальности модели измерений.

Предлагаемые критерии оптимальности основаны на использовании ковариационной матрицы ошибок оценивания по алгоритму фильтрации Калма-на и выведенной в работе информационной матрицы, о состояниях

М(У>0. где У," = Ы<1), • • •, УМ}.

Ковариационная матрица Р^к^к) вычисляется при помощи следующих соотношений из алгоритма Калмана-Бьюси:

Р№-0 =

Рт^) = \tk-i) + Рт-1)гтЮ + С№(г)отЦ), ВД = [н(1к)Р(гкЦк-О^О + ВД],

(3)

Соотношение для информационной матрицы в момент времени ^ имеет

вид

а для конечного числа точек ^ 6 [¿(ь^Л. к —

где — переходная матрица состояний системы (1).

Вывод соотношений основан на использовании обновляющей последовательности

/!(<*) = Е-^йкМЬ) - Я(*0*№-1)1 (4)

для вычисления информационной матрицы Фишера относительно компонент вектора состояний в момент времени :

= -Е

д2ЫЦУ1ы)

дОхдв3

(5)

здесь в1 = х,(и), — функция правдоподобия наблюдений.

С использованием соотношений для матриц и КЦУ^) предложен

ряд алгоритмов оптимизации наблюдений, а также критериев оптимальности, основанных на идеях регрессионного анализа.

Последовательный алгоритм получения оптимальной модели наблюдений на основе информационной матрицы и алгоритм на основе ковариационной матрицы ошибок оценивания записываются следующим образом:

1. Задаются начальные условия: .Р(<о|*о) = Ль к—\.

2. При помощи алгоритма фильтрации Калмана вычисляется значение

РЫь-д-

3. При помощи некоторого алгоритма глобальной оптимизации решается задача получения оптимального набора параметров Ь*к модели измерений для момента времени

где в качестве функционала Ф(-), следуя теории планирования экспериментов, используется определитель или след матричного аргумента.

4. Изменяется момент времени: к = к + 1. Если к < N то работа продолжается с пункта 2.

Полученная при помощи данного алгоритма модель, в общем случае, меняется с течением времени, но для стационарных систем сходится к постоянному значению после завершения переходных процессов.

Поскольку выражение для информационной матрицы включается

в выражение для ковариационной матрицы - Р(^|</ъ) (3), то для некоторых критериев оптимальности, зависящих от этих матриц, можно получить одинаковые результаты оптимизации.

Если необходимо определить оптимальную стационарную модель, то в качестве критерия предлагается использовать одно из соотношений

Ь; = а^тах Ф (м(**; Ьк) +

«=1

или

Ч = ахвтшФ(Р(«4|Ь)),

(6)

или

N

либо их аналоги с использованием информационной матрицы

(8)

и

Использование произведения вместо суммы в формулах критериев (6) - (9) (то есть критерием будет определитель блочной матрицы из ковариационных или информационных матриц в разные моменты времени) нецелесообразно по следующим соображениям:

• Большие вычислительные затраты на получение результата;

• Определитель ковариационной матрицы в отдельные моменты времени часто меньше 1 и тогда произведение определителей с ростом числа измерений стремится к машинному нулю, в результате чего потребуются дополнительные усилия для реализации алгоритмов оптимизации;

• Информационная матрица в большинстве случаев вырождена в отдельные моменты времени, а, следовательно, произведение определителей будет равно нулю.

На основании представленных критериев (6) - (9) алгоритм выбора стационарной оптимальной модели можно записать в следующем виде

1. Задается модель динамической системы, и моменты проведения измерений 1к, к — 1, ЛТ.

2. Для поиска оптимальных параметров Ь", входящих в модель наблюдений решается задача, определенная одной из формул (6) - (9). При этом последовательность (или информационных матриц) получается за один запуск алгоритма фильтрации Калмана-Бьюси.

В случае, когда необходимо выбрать модель из конечного набора уравнений

у[гЧь) = нЩк)х(1к) + »Щгк),

ничего иного, кроме сравнения значений критериев для всех моделей, придумать не удастся. Алгоритм выбора модели из конечного набора можно изложить следующим образом:

1. Определяется последовательность ковариационных матриц

(11)

для каждой модели набора (10) Для этого необходимо воспользоваться реализацией алгоритма фильтрации Калмана.

2. Определяется значение эффективности каждой из г моделей по одной-из формул (6) или (7) на основе данных, определенных на предыдущем шаге. Заметим, что не нужно хранить полностью последовательности матриц для вычисления значений критериев.

3. Если необходимо задействовать дополнительные аспекты выбора моделей, то выбирается несколько моделей с лучшим показателем качества, использованным в предыдущем пункте, а затем они сравниваются по второму показателю, которым может быть, например, стоимость покупки данного измерительного устройства.

4. Выбирается наиболее подходящая по всем требованиям модель измерений.

Аналогичный алгоритм может быть записан с использованием критериев (8), (9).

Кроме оптимизации структурных параметров модели наблюдений исследована задача планирования моментов измерений. Прямая максимизация (минимизация) значений критериев относительно набора моментов измерений для исследованных систем определяет для включения в план измерений только граничные точки рассматриваемого временного интервала. Поэтому получение оптимальных моментов измерений сведено к выбору частоты проведения измерений, необходимой для достижения требуемой точности прогнозируемой ошибки оценивания состояний е. Решение этой задачи определяется соотношением

Д* = агйтах ^ Ф(Р(<0 + £Д|г0 + кА)) < е.

Представленные выше методы оптимизации модели наблюдений применимы и в случае оценивания произвольных параметров уравнения состояний. При этом можно использовать существующие в литературе соотношения для информационной матрицы относительно этих параметров. Однако, алгоритмы вычисления такой матрицы, в общем случае, очень громоздкие, поэтому, при небольшом количестве параметров, предпочтительно вместо ее вычисления ввести в рассмотрение дополнительные компоненты вектора состояний, соответствующие оцениваемым параметрам, преобразовать модель и свести задачу к уже рассмотренной задаче выбора модели наблюдений для улучшения оценивания состояний.

Третья глава посвящена алгоритмам моделирования реализаций динамических систем, необходимых для проверки алгоритмов построения оптимальных моделей измерений.

Исследованы 2 подхода к моделированию реализаций динамических систем вида (1), (2): использующий известное общее решение уравнения состояний и использующий численные аппроксимации решения, основанные на стохастических разложениях Тейлора-Ито.

При использовании первого подхода для получения реализаций х(1) необходимо вычислить математическое ожидание и ковариационную матрицу случайного процесса, заданного соотношением

(12)

которое является общим решением уравнения (1). Здесь Ф(£,<о) — переходная матрица состояний.

Математическое ожидание и ковариационная матрица равны

С использованием этих формул реализация вектора состояний в момент времени ? получается как нормально распределенная случайная величина с известными параметрами. При моделировании моментов времени ¿о, ¿1,..., ¿у в соотношениях (13), (14) производится замена <о := I '■— 1к< к — О, N. Требуемые соотношения для переходной матрицы состояний считаются численно или аналитически (если возможно), интеграл для вычисления ковари-ации (14), как правило, приходится считать численно.

В диссертации приводятся все необходимые соотношения и алгоритм моделирования вектора состояний при помощи данного подхода.

Альтернативный подход представлен соотношениями и алгоритмами вычисления реализаций состояний при помощи стохастических версий методов Эйлера и Мильштейна. Явный метод Эйлера имеет вид:

2»+1 = 2, + + ОДи(<,))[«,+1 - *,) + - ИЧ*0). (15)

неявный:

где z, — оценка для случайной величины x(i,), W(t) — винеровский процесс с известными параметрами, а S [0,1].

Явный метод Мильштейна записывается как

z,+1 = z, + (F(i,)z, + c(i,)u(i,))[i,+1 - U] + G(t,)I° + DG(i,)/°°, (17) неявный:

где и аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито

^tt('+, <W(s), J^1 ciW(.s)cilV(si), оператор D- аппроксимируется соотношением

хЫ = х+ \/tx+\ — txPjA^(x,t), а}, pj — известные константы, Л'W — столбец матрицы.

В диссертации замечено, что точность аппроксимации явных методов: 0(лА+1 — t,), —* i,+i, t 6 l,N для метода Эйлера и 0(i,+i — £,) для метола Мильштейна, — может быть улучшена, если известно соотношение для переходной матрицы состояний Ф(£,+1,£,)г при помощи подстановки вместо слагаемого F(i,)z, выражения Ф^+ь^)^.

Алгоритмы моделирования вектора состояний при помощи явного и неявного методов Эйлера и явного и неявного методов Мильштейна похожи и могут быть записаны следующим образом:

1. Определяется разбиение интервала [ioi^l точками {i,,t =

2. Вычисляется начальное значение вектора состояний x(io) как нормально распределенная псевдослучайная величина с известными параметрами jV(xo, Ро).

3. Для фиксированного значения, времени i„ г = l,...,iV вычисляется оценку вектора состояний z,+i по формулам (15), (17) либо на основе формул (16), (18). Полученная величина принимается за значение реализации состояния в текущий момент времени

4. Предыдущий пункт повторяется для каждой точки t,, г = 1,N и в результате получается смоделированная реализация состояния динамической системы.

По результатам исследований данных методов сделан вывод о том, что для стационарных систем больше всего подходит метод, основанный на общем решении уравнения состояний, так как он заведомо не уступает по вычислительной стоимости методам Эйлера и Мильштейна, которые предлагается использовать в более сложных случаях, например, для нестационарных систем. При использовании указанным образом переходной матрицы вычислительная производительность явного метода Эйлера при одинаковых шагах по времени становится такой же, как и у реализации метода, основанного на общем решении. Переходная матрица делает явные методы более устойчивыми при моделировании жестких систем.

В четвертой главе описываются методы поиска глобальных экстремумов, требующихся для предложенных во второй главе алгоритмов оптимизации моделей наблюдений.

Часто используемый подход к поиску глобального экстремума заключается в том, что алгоритмы поиска локального минимума или максимума многократно запускаются из различных начальных приближений до тех пор, пока не будет уверенность в том, что найден глобальный экстремум.

Предложена модификация такого подхода, заключающаяся во введении дополнительного промежуточного этапа грубой оценки точки экстремума методом случайного поиска с направляющим гиперкубом. Полученная по завершению данного этапа точка используется как весьма неплохое начальное приближение для методов уточняющего локального поиска. Такой подход не дал выигрыша при малой размерности пространства параметров, но оправдал себя при размерностях больше 10. Затраты на поиск минимума уменьшились в 3 раза при исследовании больших динамических систем.

Для решения задач определения оптимальных моделей наблюдений реализованы и исследованы на моделях динамических систем 4 метода оптимизации:

1. Двухэтапный метод со случайным начальным приближением и методом Пауэла поиска локального экстремума;

2. Метод с дополнительным этапом, использующий только стохастические алгоритмы поиска;

3. Трехэтапный метод, использующий метод Пауэла для уточнения экстремума;

4. Детерминированный подход, основанный на использовании заполняющих пространство кривых Пеано для отображения пространства параметров на отрезок прямой и последующей одномерной оптимизации.

В результате исследований этих методов выявлено, что следует предпочесть для малого числа параметров в модели наблюдений первый метод, а для большого (больше 10)'— третий. Второй метод дает слишком неточные результаты для приемлемых по временным затратам параметров алгоритма. У последнего метода резко возрастают вычислительные затраты при размерностях пространства параметров больших 4 в связи с резким ростом сложности одномерной задачи.

Пятая глава посвящена исследованиям динамических систем и построению оптимальных моделей измерений.

В главе представлены результаты исследований трех моделей динамических систем: системы чандлеровских колебаний, следящей системы управления электроприводом постоянного тока, системы стабилизации самолета по тангажу.

Уравнение состояний модели чандлеровских колебаний имеет вид:

Х1(1) ¿2(4)

-А -7

Ы<) + -А] и*) +

Га О О -а

где х^), хг(0 — случайные процессы, определяющие положение Северного полюса Земли; ^ — частота (циклов в год); ^ — релаксация (лет); а — интенсивность случайных возмущений.

Значения параметров следующие:

А = 0.06Г—У а = 0 035", -у = 5.274. чгод/

Полученные на основе представленных критериев оптимальные модели измерений для этой системы совпадают и имеют матрицу наблюдений вида

(Ь1€[0,10]1г = М)

Матрицы уравнения состояний следящей системы управления электроприводом постоянного тока (рис. 1) определяются следующими соотношени-

Рис. 1: Структурная схема следящей системы электропривода постоянного тока Условные обозначения:

3 = 0.115 кг-м2 — момент инерции двигателя совместно с моментом инерции исполнительного органа, приведённым к валу двигателя;

Тя ц. = 0.05 с — постоянная времени якорной цепи двигателя;

Яя.и. = 2.6 Ом — активное сопротивления якорной цепи;

¿¡, = 2 Н-м/А и = 2 В-с/рад — конструктивные коэффициенты двигателя;

= 1/г = 0.1 — коэффициент механической передачи;

А-дт = 1.5 В/А, кгг = 1 В-с/рад, ктп = 26 — коэффициенты передачи датчика тока (ДТ), тахогенератора (ТГ) и тиристорного преобразователя (ТП);

Г„ = 0.002 с, Ттг = 0.01 с, Ттп = 0.003 с — постоянные времени, характеризующие инерционность ДТ, ТГ и ТП; •

Лт = Л3 = Л,Р = Яв = 10 кОм - резисторы на входах регуляторов тока и скорости;

/Зрт = 0.33, грт = 0.05 с, /Эре = 2.875 — параметры пропорционально-интегрального регулятора тока (РТ);

\Уря(р) = /ЗрпУгГ — передаточная функция регулятора положения, /Зрп = 200, 7-рп = 0.19 с-1.

ями:

о

-15.3846 О О О 100 0.1 -20

17.39 -20 О О

750 О О О

О 7.69 -333.33 О О О О О

О О

8666.67 О О О О О

О О

-2860 -6 6 -500 О О О

О

О . -8222.5 -18.98 О

-100 О О

О О О О О О О

О О

8222.5 18.98 О О О

-1052.63 О

С(г) =

0 0 0 0 0 0 0 1052.63157917 0 0 0 0 0 0 0 200 ]' К 0 1

Г

О «(1052.63 + 200)]

где К = ... ,к), а к — параметр, связанный с интенсивностью возни-

кающих возмущений.

Оптимальные модели наблюдений содержат линейные комбинации из 3-х, 4-х компонент вектора состояний.

Одномерная оптимальная по следу и определителю ковариационной матрицы модель имеет вид

#(&*) = [0 1.4969 10 О О О 0 0].

По следу и определителю информационной матрицы:

Н{Ь*) =[0 0 0.00025 0 0.0111 0 10 0.0024].

В диссертации представлены полученные оптимальные модели наблюдений с размерностями вектора наблюдений до 9. Для определения 9-мерной оптимальной стационарной модели тестовому компьютеру потребовалось 2 часа и почти 9 000 000 запусков алгоритма Калмана.

Для системы стабилизации самолета по тангажу (рис. 2) имеем.

с(0 = (х(0 х{1) хЦ) х<4>(*) х<5>(*))Г;

<7(0 =

ко о о

О 62.2к 82.8к 20.5«

где

На рис. 3 приведена зависимость критерия от интервала проведения измерений для нескольких моделей. Оптимальная для конкретного интервала времени модель обладает лучшим значением критерия.

В диссертации для данной системы представлены результаты исследований зависимости параметров оптимальной модели наблюдений от интервала времени Получено, что значения параметров матрицы наблюдений схо-

дятся с ростом Т к некоторым постоянным значениям.

По результатам построения оптимальных моделей наблюдений для данных систем сделаны следующие выводы:

• Разработанные и реализованные алгоритмы позволяют построить модель измерений, использование которой значительно улучшает величину критерия оптимальности измерений динамической системы (от 1 до тысячи раз), абсолютая величина точности оценивания вектора состояний увеличивается до 3-х раз.

• Линейная комбинация измерений оказывается эффективнее, чем несмешанные измерения с диагональной матрицей наблюдений Н.

• Большая частота измерений не всегда означает большую точность оценивания состояний. В ряде случаев для различных моделей наблюдений шаг между проведением измерений может быть увеличен так, что при этом значение функционала оптимальности улучшится.

• Оптимальные модели наблюдений зависят не только от структуры модели динамической системы, но и от количества моментов измерений и интервала наблюдений.

• Оптимальные модели, полученные при помощи различных критериев оптимальности в общем случае различны.

• Использование модели, оптимальной по значениям какого-либо критерия не влечет автоматического получения наиболее точных оценок состояний. Вполне может оказаться, что эта модель может уступить в абсолютной точности оценивания некоторой другой модели. Из рассмотренных критериев след ковариационной матрицы выглядит наиболее предпочтительным для использования в качестве критерия оптимальности, так как его вычисление требует минимум затрат из рассмотренных критериев, а полученные модели наблюдений чаще оказываются очень хорошими по точности оценивания.

Рис. 2: Структурная схема системы стабилизации самолета по тангажу

иг I ^ Кг(Тъ в + 1) ... , , К4

Т5Й + 1

К, т2, с Т3.с Т4, с Т5, с 6

1 0.175 0.57 1 0.28 0.33 0.143 1 1.07 0.01

Рис. 3: Критерий оптимальности стационарной модели от интервала наблюдений. Вверху модель, оптимальная в первый момент проведения измерения, в середине — на интервале [0, 60], минимальное значение у нестационарной оптимальной модели для каждого интервала

• Критерий, связанный с определителем информационной матрицы (9) наименее удобен для оптимизации рассмотренными методами. Затраченное время на оптимизацию было до 4-х раз больше, чем при использовании других критериев.

• Показано, что для системы стабилизации самолета по тангажу необходимо измерять производную угла тангажа наибольшего порядка с добавлением линейных комбинаций из прочих компонент. При этом конкретные величины коэффициентов измерений при компонентах состояния зависят от разнообразных параметров проведения измерений, а для наибольшей производной коэффициент усиления при измерении находится на границе допустимой области.

• Показано, что основными величинами одномерной оптимальной модели наблюдений следящей системы электропривода являются переменные напряжения тиристорного преобразователя и тока якорной цепи. Для моделей измерений более высоких размерностей требуется измерять различные комбинации по 3-4 компоненты состояний. Чем больше размерность модели, тем ближе отдельные параметры в модели наблюдений к границам допустимой области параметров.

• Получено, что для системы чандлеровских колебаний максимум информации и минимум ковариационной матрицы обеспечивает заполненная максимально допустимыми значениями матрица наблюдений.

• Для оптимальных нестационарных моделей измерений рассмотренных систем компоненты вектора наблюдений содержат различные сочетания из нескольких компонент вектора состояний.

Шестая глава содержит описание разработанного программного обеспечения, которое использовалось для исследования динамических систем.

Изложенные в диссертационной работе алгоритмы оформлены в виде комплекса программ, позволяющего проводить исследование линейных дифференциальных стохастических динамических систем рассматриваемого вида.

Комплекс состоит из трех частей:

1. Ядро содержит программные реализации алгоритмов моделирования, оптимизации моделей (рис. 4);

2. Утилиты для отрисовки графиков, преобразования исходных данных и результатов, помощи в составлении отчетов;

3. Скрипты для поддержки автоматического выполнения групп вычислительных экспериментов над динамическими системами.

Рис. 4: Основные классы ядра программной системы

Все программы работают из командной строки операционной системы. Написаны на языке C++ с использованием объектно-ориентированного подхода, языке Perl и языке командного интерпретатора. Для проверки работы разработанных алгоритмов существуют дублирующие программы для среды математического программирования Maple.

Достоинством выбранного подхода является отличная масштабируемость. Новые программы в систему могут быть добавлены самым простейшим образом: просто добавлением в нужный каталог. При этом они могут использовать все предыдущие наработки.

Ключевой особенностью программ является возможность задания динамических систем, включающих в себя любые функциональные зависимости компонент от параметров системы и времени без пересборки программ. При этом не будет падения производительности по сравнению с традиционным включением данных в исходные тексты приложений.

Объем 40-ка файлов исходных текстов программ на C++ составляет 280

Кб. На скриптовых языках — более 30-ти файлов объемом свыше 15 Кб. Программы собраны для операционной системы Microsoft Windows1, но с незначительными измерениями (кроме модуля построения графиков) могут быть скомпилированы для работы в операционной системе Unix1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными целями и задачами в диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Предложены и исследованы критерии оптимальности для определения качества модели измерений, основанные на ковариационной матрице ошибок оценивания состояний и информационной матрице относительно состояний модели, полученной в диссертации для непрерывно-дискретных динамических систем.

2. Разработаны и исследованы алгоритмы выбора оптимальных моделей: последовательный алгоритм построения нестационарной модели, алгоритм получения стационарной оптимальной модели, алгоритм выбора модели из конечного множества моделей, алгоритм выбора оптимальной частоты проведения измерений. Полученные для исследованных систем при помоши этих алгоритмов оптимальные модели наблюдений до трех раз превосходят неоптимальные по абсолютной величине точности оценивания.

3. Исследованы алгоритмы моделирования реализаций динамических систем, основанные на общем решении уравнения состояний, а также на методах Эйлера и Мильштейна численной аппроксимации решения стохастических уравнений. Даны рекомендации для использования и улучшения качества алгоритмов моделирования.

4. Разработаны модификации методов поиска глобального экстремума, заключающиеся во введении дополнительного этапа грубой оценки области минимума. Данный подход позволил добиться трехкратного ускорения работы алгоритма при размерностях параметров больших 10.

5. Разработано программное обеспечение, позволяющее эффективно и удобно проводить исследования линейных стационарных и нестационарных динамических систем. С его помошью исследованы модели реальных динамических систем: модель чандлеровских колебаний, система стабилизации самолета по тангажу, следящая система электропривода постоянного тока и др.

'Все зарегистрированные торговые марки являются собственностью их владельцев

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Самочернов И.В. Оптимизация проведения измерений в линейных динамических системах. Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири". - 2000/

2. Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Оптимизация модели измерений для линейных динамических систем. Сборник научных трудов НГТУ. — 2000. - №5.

3. Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Исследование процедуры оптимизации модели измерений. Сборник научных трудов НГТУ. — 2001. — №1.

4. Денисов В.И., Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Исследование свойств уравнения Риккати. Научный вестник НГТУ. — 2001. — № 1(10).

5. Becareva N.D., Denisov V.I., Samochernov I.V. About an algorithm of the observation matrix optimization. Abstracts of the 6-th Russian-Korean International Symposium on Science And Technology. Vol. 1, pp. 236-239, June 24-30, 2002.

6. Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. О выборе между моделями наблюдений для динамических систем. Сборник научных трудов НГТУ. — 2003. -№ 1.

7. Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Выбор модели наблюдений для системы стабилизации самолета по тангажу. Сборник научных трудов НГТУ. - 2003. - №2.

8. Денисов В.И., Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Сравнение нескольких методов моделирования состояний линейных динамических систем. Научный вестник НГТУ. — 2004. — № 1.

Подписано в печать Формат 84 х 60 х 1/16

Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печ.л. 1,25. Заказ №

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20

1ч-13 729

Введение

Основные определения и постановка задачи

1.1. Математическая модель динамической системы.

1.2. Исследования рассматриваемых динамических систем

1.3. Постановка задачи

• * г

1.4. Выводы

Алгоритмы решения задач оптимизации наблюдателя

2.1. Оптимизация модели измерений для улучшения оценок состо

2.1.1. Информационная матрица в качестве основы критерия оптимальности

2.1.2. Использование ковариационйой матрицы

2.1.3. Связь между ковариационной и информационной матрицами

2.1.4. Выбор между моделями измерений.

2.1.5. Независимая от времени оптимальная модель.

2.1.6. Планирование моментов измерений

2.2. Оптимизация измерений для оценки неизвестных параметров системы.

2.3. Выводы.

Моделирование векторов состояний и наблюдений

3.1. Постановка задачи.

3.2. Общее решение уравнения состояний.

3.2.1. Вычисление переходной матрицы состояний.

3.2.2. Вычисление ковариационной матрицы.

3.2.3. Моделирование нормально распределенных векторов

3.2.4. Алгоритм моделирования.

3.3. Методы Эйлера решения стохастических дифференциальных уравнений. . . '

3.3.1. Описание методов

3.3.2. Алгоритм моделирования, основанный на методах Эй

3.4. Методы Мильштейна

3.5. Исследования на тестовом примере.

3.6. Выводы .51'

Алгоритмы поиска оптимального наблюдателя

4.1. Постановка задачи.

4.2. Полностью стохастический и смешанный подходы.

4.2.1. Выбор начального приближения для метода локального поиска.

4.2.2. Локальный поиск

4.3. Детерминированный подход .:.

4.3.1. Алгоритм отображения отрезка на многомерный гипер

4.3.2. Алгоритм одномерной глобальной оптимизации

4.4. Продолжение примера

4.5. Выводы

Исследование динамических систем

5.1. Модель системы чандлеровских колебаний

5.1.1. Моделирование вектора состояний.

5.1.2. Оптимальные модели измерений.

5.1.3. Проверка результатов

5.2. Следящая система управления электроприводом постоянного тока.

5.2.1. Получение уравнения состояний.

5.2.2. Переходная матрица состояний.

5.2.3. Моделирование вектора состояний.

5.2.4. Выбор оптимальной модели наблюдений.

5.2.5. Выбор частоты проведения измерений

5.3. Система стабилизации самолета по тангажу.

5.3.1. Построение оптимальной модели наблюдений

5.4. Выводы

Описание программной системы

6.1. Ядро комплекса

6.1.1. covcalc.exe.

6.1.2. dssolver.exe

6.1.3. kalman.exe.

6.1.4. optimizer.exe

6.2. Вспомогательные программы.

6.3. Поддержка проведения вычислительных экспериментов

Актуальность темы. При проведении исследований моделей динамических систем, представленных в виде матричных стохастических дифференциальных уравнений, одной из наиболее востребованных задач является задача оценивания состояния системы в последовательные моменты времени по известным априорным данным и информации, извлекаемой из наблюдений за системой.

Наиболее распространенной вычислительной процедурой для получения оценок состояний для таких систем в настоящее время является алгоритм Калмана-Бьюси. Оценки состояний, полученные этим методом, являются оптимальными по сумме дисперсий ошибок оценивания в классе линейных оценок, но могут быть улучшены, например, за счет изменения управляющего воздействия или условий проведения измерений.

В диссертации исследуется влияние параметров, относящихся к наблюдательной части динамической системы, на точность оценок состояний и предлагаются процедуры выбора наиболее эффективной наблюдательной системы.

Задача в такой постановке встречалась в работах Mehra R.K и ранее у Meier L., Jonson C.D.? причем Mehra R.K. впервые сделал попытку применить методы, используемые в планирования регрессионных экспериментов, для исследования динамических систем. О подобных исследованиях в нашей стране нам ничего не известно, поэтому в данной работе сделана попытка восполнить этот пробел.

Цель диссертационной работы. Целью работы является создание и исследование алгоритмов по улучшению качества оценок состояний динамических систем при помощи выбора оптимальной в том или ином смысле модели наблюдений; исследование разработанных алгоритмов на различных моделях систем: следящей системе управления электроприводом постоянного тока, системе стабилизации самолета по тангажу и др.; выработка рекомендаций по виду оптимальной модели наблюдений; создание программного обеспечения, позволяющего эффективно решать задачи оптимизации моделей измерений, задачи моделирования реализаций динамических систем с целью проверки качества оценок состояний и других входящих в модели параметров.

Задачи исследования. Для достижения цели диссертационной работы решены следующие задачи: предложены и исследованы алгоритмы и критерии оптимальности моделей наблюдений с точки зрения качества оценок состояний; исследованы методы компьютерного моделирования реализаций наблюдений и состояний динамических систем; в применении к основной задаче реализованы и исследованы некоторые методы глобальной оптимизации.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялся аппарат теории планирования экспериментов, теории автоматического управления, теории вероятностей и случайных процессов, математической статистики, численных методов, теории стохастических дифференциальных уравнений, теории матриц. Использовались математические пакеты и собственное программное обеспечение.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы построения и критерии оптимальности моделей наблюдений.

2. Рекомендации по использованию пяти методов моделирования динамических систем.

3. Рекомендации по использованию четырех методов поиска глобальных экстремумов по оптимизации наблюдений для динамических систем.

4. Результаты построения оптимальных моделей наблюдений для исследованных систем: следящей системы управления электроприводом постоянного тока, системы управления самолетом по тангажу, системы чандлеровских колебаний.

5. Разработанное программное обеспечение по моделированию и оптимизации моделей наблюдений динамических систем.

Научная новизна. Разработаны алгоритмы построения оптимальных моделей наблюдений для оценки состояний в дискретных и непрерывнодискретных линейных динамических системах. Предложены критерии оптимальности модели наблюдений в виде функционалов от ковариационной матрицы ошибок оценивания и информационной матрицы Фишера о состояниях системы. Проведено сравнение ряда алгоритмов моделирования реализаций векторов состояний и измерений: стандартного и основанных на разложении Тейлора-Ито уравнения состояний. Сделано сравнение нескольких алгоритмов поиска экстремумов в применении к задаче оптимизации проведения измерений. Разработано соответствующее программное обеспечение. Получены оптимальные модели измерений для системы стабилизации самолета по тангажу, системы управления электроприводом постоянного тока, системы чандлеровских колебаний.

Практическая полезность и реализация результатов. Разработан и использован для определения оптимальных моделей измерений реальных систем комплекс программ, позволяющий для непрерывно-дискретных и дискретных стационарных и нестационарных линейных динамических систем проводить

• Моделирование наблюдений и состояний динамических систем различными методами решения стохастических дифференциальных уравнений: явным и неявным методах Эйлера, явным и неявным методах Мильштейна, методом, основанным на общем решении уравнения состояний.

• Оптимизацию параметров модели наблюдений с использованием четырех реализованных методов поиска глобальных экстремумов, опирающихся на критерии, использующие информационную матрицу или ковариационную матрицу ошибок оценивания состояний.

• Проверку результатов оптимизации моделированием, оценкой состояний и других параметров динамической системы.

Созданное программное обеспечение использует эффективные численные методы для реализации алгоритмов и позволяет работать с произвольными стационарными и нестационарными линейными динамическими системами, включающими любые параметры, без повторной сборки модулей комплекса программ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (2000), конференции, посвященной дням науки НГТУ-2000 (исследования были поддержаны грантом университета), 6-й международной российско-корейской конференции KORUS-2002.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 работ. Из них 1 — в трудах международной конференции, 1 — в сборнике тезисов межвузовской конференции, 2 — в Научном вестнике НГТУ, 4 — в сборнике научных трудов НГТУ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав основного текста и заключения. Объем работы — 125 страниц. Список литературы содержит 67 источников. Рисунков 23, таблиц 11.

5.4. Выводы

По результатам исследований динамических систем можно сделать следующие выводы:

• Разработанные и реализованные алгоритмы позволяют построить модель измерений, использование которой значительно улучшает величину критерия оптимальности измерений динамической системы (от 1 до тысяч раз), величина абсолютной точности оценивания вектора состояний увеличивается до 3-х раз.'

• Линейная комбинация измерений оказывается эффективнее, чем несмешанные измерения с диагональной матрицей наблюдений if .

• Большая частота измерений не всегда означает большую точность оценивания состояний. В ряде случаев для различных моделей наблюдений шаг между проведением измерений может быть увеличен так, что при этом значение функционала оптимальности улучшится.

• Оптимальные модели наблюдений зависят не только от структуры динамической системы, но и от количества моментов измерений и интервала наблюдений.

• Оптимальные модели, полученные при помощи различных критериев оптимальности в общем случае различны.

• Использование модели, оптимальной по значениям какого-либо критерия не влечет автоматического получения наиболее точных оценок состояний. Вполне может оказаться, что эта модель может уступить в абсолютной точности оценивания какой-либо другой модели, Из рассмотренных критериев след ковариационной матрицы выглядит наиболее предпочтительным для использования в качестве критерия оптимальности, так как его вычисление требует минимум затрат из рассмотренных критериев, а полученные модели наблюдений чаще оказываются очень хорошими по точности оценивания.

Методы оптимизации работают намного дольше при использовании информационной матрицы в качестве критерия оптимальности. На моделях с малым количеством параметров это не отслеживается, а при большом их количестве информационная матрица сложнее для оптимизации.

Строить модели наблюдений, когда оптимизируется определитель информационной или ковариационной матрицы (2.16), нецелесообразно не только из-за того, что необходимость вычисления большого числа определителей матриц в процедурах оптимизации ведет к увеличению времени работы, но еще и потому, что при выбранных параметрах определитель ковариационной матрицы очень мал, а определитель информационной матрицы очень велик или вырожден, так что в результате методы оптимизации работают очень плохо. Если ошибки наблюдений и возмущения в системе относительно велики, то ситуация с величиной определителя улучшится. Останутся тем не менее вычислительные затраты.

Полностью стохастический метод поиска работает достаточно плохо на рассмотренных системах. Главным образом за сложности выбора между невысокой точностью результата и большим количеством вычислений. Двухэтапный и смешанный методы в большинстве случаев дают одинаковые результаты по критерию и моделям. При этом смешанный метод проигрывает двухэтапному по времени при малых размерностях пространства параметров (меньше 10) до 2-х раз, но начинает выигрывать до 3 и более раз при более высоких размерностях.

Показано, что для системы стабилизации самолета по тангажу необходимо измерять производную угла тангажа наибольшего порядка с добавлением линейных комбинаций из прочих компонент. При этом конкретные величины коэффициентов измерений при компонентах состояния зависят от разнообразных параметров проведения измерений, а для наибольшей производной коэффициент усиления при измерении находится на границе допустимой области.

Показано, что основными величинами одномерной оптимальной модели наблюдений следящей системы являются переменные напряжения тиристорного преобразователя и тока якорной цепи. Для моделей измерений более высоких размерностей требуется измерять различные комбинации по 3-4 компоненты состояний. Чем больше размерность модели, тем ближе отдельные параметры в модели наблюдений к границам допустимой области.

Получено, что для системы чандлеровских колебаний максимум информации обеспечивает диагональная матрица наблюдений, а минимум ковариационной матрицы — заполненная максимально допустимыми значениями.

0. 0. 0. 0.

0.

13.00 26.00 39.00 52.00 Время, с а)

Ы ,2,4

6.

4.

2.

13.00 26.00 39.00 52.00 Время, с б)

Рис. 5.20. Параметры нестационарной модели наблюдений в зависимости от времени. Оптимальные модели по следу информационной матрицы (а) и ковариационной матрицы (б). Часть компонент

6. Описание программной системы

Изложенные в диссертационной работе алгоритмы оформлены в виде комплекса программ, позволяющего проводить исследование линейных дифференциальных стохастических динамических систем рассматриваемого вида.

Комплекс состоит из трех частей:

1. Ядро, содержащее программные реализации алгоритмов моделирования, оптимизации моделей; •

2. Утилиты для отрисовки графиков, преобразования исходных данных и результатов, помощи в составлении отчетов;

3. Скрипты для поддержки автоматического выполнения групп вычислительных экспериментов над динамическими системами.

Все программы работают из командной строки операционной системы. Написаны на языках С++ [59] с поддержкой объектно-ориентированного подхода, на языке Perl [64] и языке командного интерпретатора. Для проверки работы разработанных алгоритмов существуют дублирующие программы для среды математического программирования Maple [45, 53].

Достоинством выбранного подхода является отличная масштабируемость. Новые программы в систему могут быть добавлены: самым простейшим образом: просто добавлением в нужный каталог. При этом новые программы могут использовать все предыдущие наработки.

Ключевой особенностью программ является возможность задания динамических систем, включающих в себя любые функциональные зависимости компонент от параметров системы и времени. При этом не будет падения производительности по сравнению с традиционным включением данных в исходные тексты приложений.

Объем 40-ка исходных файлов на С++ составляет 280 Кб. На скрипто-вых языках — более 30-ти файлов объемом свыше 15 Кб. Программы собраны для операционной системы Microsoft Windows1, но с незначительными изменениями (кроме модуля построения графиков) могут быть скомпилированы для работы в операционной системе Unix1.

6.1. Ядро комплекса

Ядро состоит из следующих программ:

1. covcalc.exe — программа вычисления значений различных критериев оптимальности для заданной модели системы;

2. dssolver.exe — моделирование реализаций динамической системы различными методами;

3. kalman.exe — оценка состояний, а также вычисление абсолютного отклонения оценки состояний по набору реализаций с усреднением результата;

4. optimizer.exe — оптимизация модели наблюдений различными методами и с использованием различных критериев.

Все эти программы пользуются одним и тем же классом динамической системы и используют его методы для достижения своих целей. Текст заголовочного файла с описанием приведен на листинге 6.2. Диаграмма основных классов ядра изображена на рис. 6.1.

Каждой программе требуется указание в командной строке имени файла с описанием модели динамической системы, файла с параметрами методов и, возможно дополнительные аргументы.

Описание модели хранится в файле формата XML [23]. Пример описания модели простой системы приведен на листинге 6.1. Файл параметров также хранится в формате XML и его содержимое зависит от программы. Имена и значения параметров для разных методов не пересекаются, если только они не обозначают одно и то же, поэтому информация о них хранится в одном файле из которого каждый метод выбирает необходимые ему данные.

Все зарегистрированные торговые марки являются собственностью их владельцев

Пользовательский уровень

Смешанный метод оптимизации А utility» covcalc «utility» dssolver «utility» kalman

Средний уровень ч 1 ' Ч X / Ч Х ' Ч * 1 Ч * ' / \ X / / X \ ' ' Ч * ' ' Ч \ / / Ч(Л/ ч/и/ utility» optimizer л \ t I / I

Нижний

Powel 11

I 1 \ \ jjL

MIxedMlnimlzerl

Стохастический метод оптимизации

-о CompiexMIn

Двухэтапный метод оптимизации

Rav Xmllnterface TVector TMatrix 1

•

1 V 1

ExprList

Expr

1 •

Генератор случайных чисел

Тч

Вычисление ^ отдельных выражений

Поддержка работы ^ \ с файлами параметров / \ /

1 I

Управление вычислением выражений

Ъ,

Операции с матрицами и векторами К

Рис. 6.1. Диаграмма основных классов программной системы

Листинг 6.1: Пример файла описания динамической системы xml version»" 1.0" encoding="windows-1251 "?> <dynasystem tag="Осциллятор с шумом" id=" oscillator "> <matrix name="F" cols="2" rows="2"> 0-1 10 </matrix> eigenvalues matrix="F"> I

-I eigenvalues> matrix name="Phi" cols="2" rows="2" numeric=" false "> cos (t—tau) sin(tau—t) sin(t—tau ) cos(t—tau) </matrix> matrix name="C" rows="2" cols="2"> 0 0 0 0 </matrix> matrix name="G" cols="l" rows="2"> 0.17320508075688772935274463415059 0 matrix> matrix name="P0" cols="2" rows="2"> .10 0 .01-</matrix> vector name="X0" dim="2"> 1.5 0 vector> matrix name="R" cols="l" rows="l">

03 </matrix> matrix name="H" cols="2" rows="r'> 11 </matrix> </ dynasystem>

6.1.1. covcalc.exe

Программа предназначена для вычисления значений различных критериев оптимальности для заданной модели системы.

Аргументы командной строки: <имя файла с описанием системы> <имя файла параметров> <критерий>.

Пример файла с описанием системы приведен в листинге 6.1. Из файла параметров могут выбираться следующие параметры:

• План измерений; •

• Точность интегрирования/шаг по времени;

• Параметры исследования частоты проведения измерений.

Параметры критериев могут быть следующими: SpP, SpM, DetP, DetM, SpP(dt), SpM(dt), DetP(dt), DetM(dt). Первые 4 параметра служат для вычисления значений критериев, а последние позволяют определить зависимость значений критериев от частоты проведения измерений.

Также данная программа умеет определять требуемый шаг численного интегрирования для достижения заданной точности вычисления интегралов вида (3.3).

6.1.2. dssolver.exe

Позволяет получить реализации состояний и наблюдений заданной динамической системы выбранным методом.

Аргументы командной строки: <имя файла с описанием системы> <имя файла параметров> <метод моделирования> <файл для векторов состоящий [файл для векторов наблюдений].

Из файла параметров берется план измерений и точность интегрирования/шаг по времени.

Метод моделирования может быть одним из следующих:

• equationSolve — общее решение уравнения системы;

• explicitEuler.— явный стохастический метод Эйлера;

• implicitEuler — неявный стохастический метод Эйлера;

• explicitMilstein — явный стохастический метод Милыптейна;

• implicitMilstein — неявный стохастический метод Милыптейна.

Файл для векторов наблюдений может быть не указан. В этом случае моделирование наблюдений проводиться не будет.

6.1.3. kalman.exe

Вычисляет оценки состояний и значение в соответствии с формулой (5.1).

Аргументы командной строки: <имя файла с описанием системы> <имя файла параметров> [выходной файл оценок] [входной файл состояний] [входной файл наблюдений].

Если входные файлы состояний и наблюдений не указаны, то вычисляется величина по количеству выборок 7V; указанных в файле параметров. Иначе в выходной файл записываются оценки состояний.

6.1.4. optimizer.exe

Заключение

В соответствии с поставленными целями и задачами в диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Предложены и исследованы критерии оптимальности для определения качества модели измерений, основанные на ковариационной матрице ошибок оценивания состояний и информационной матрице относительно состояний модели.

2. Разработаны и исследованы алгоритмы выбора оптимальных моделей: последовательный алгоритм построения нестационарной модели, алгоритм получения стационарной оптимальной модели, алгоритм выбора модели из конечного множества моделей, алгоритм выбора оптимальной частоты проведения измерений. Полученные при помощи этих алгоритмов модели могут выигрывать у неоптимальных по значениям критерия до нескольких тысяч раз.

3. Исследованы алгоритмы моделирования реализаций динамических систем, основанные на классическом подходе, а также на методах Эйлера и Мильштейна для численной аппроксимации решения стохастических уравнений. Даны рекомендации для использования и улучшения качества алгоритмов моделирования.

4. Разработаны модификации методов поиска глобального экстремума, заключающиеся во введении дополнительного этапа грубой оценки области минимума. Данный подход позволил добиться ускорения работы в 3 раза при размерностях параметров больших 10.

5. Разработано программное обеспечение, позволяющее эффективно и удобно проводить исследования линейных стационарных и нестационарных динамических систем. С его помощью исследованы модели реальных динамических систем: модель чандлеровских колебаний, система стабилизации самолета по тангажу, следящая система электропривода постоянного тока и др.

6. Показано, что для системы стабилизации самолета по тангажу необходимо измерять производную угла тангажа наибольшего порядка с добавлением линейных комбинаций из прочих компонент. При этом конкретные величины коэффициентов измерений при компонентах состояния зависят от разнообразных параметров проведения измерений, а для наибольшей производной коэффициент усиления при измерении находится на границе допустимой области.

7. Показано, что основными величинами одномерной оптимальной модели наблюдений следящей системы являются переменные напряжения тиристорного преобразователя и тока якорной цепи. Для моделей измерений более высоких размерностей требуется измерять различные комбинации по 3-4 компоненты состояний. Чем больше размерность модели, тем ближе отдельные параметры в модели наблюдений к границам допустимой области.

8. Получено, что для системы чандлеровских колебаний максимум информации обеспечивает диагональная матрица наблюдений, а минимум ковариационной матрицы — заполненная максимально допустимыми значениями.

1. Tom М. Apostol. Calculus. Volume II., Multivariable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability. John Wiley & Sons. 1969.

2. Atkinson A.C., Fedorov V.V. Optimal. Design: Experiments for Discriminating between Several Models. //Biometrika,' 1975, 62, №2, pp. 289-303.

3. Becareva N.D., Denisov V.I., Samochernov I N. About an algorithm of the observation matrix optimization. Abstracts of the 6-th Russian-Korean International Symposium on Science And Technology. Vol. 1, pp. 236-239, June 24-30, 2002.

4. T.J. Broida, S. Chandeashekhar, R. Chellappa. Recursive 3D Motion Estimation from a Monocular Image Sequence. 1996.

5. Richard S. Bucy, Peter D. Joseph. Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1968.

6. Madalena Chaves, Eduardo D. Sontag. State-Estimators for Chemical Reaction Networks of Feinberg-Hom-Jackson Zero Deficiency Type. arXiv:math.OC/0012130 vl, 2000.

7. Deniz Erdogmus, Jose C. Principe, Geetha Thampi. Adaptive linear observer for nonlinear systems. Controlo, 2002.

8. William Fong, Simon Godsill, Arnaud Doucet, Mike West. Monte Carlo Smoothing with Application to Audio Signal Enhancement. 2001.

9. Handbook of Global Optimization II ed. by Panos M. Pardalos, H. Edwin Romeijn. Kluwer Academic Publishers. 2001.

10. Robert Shaw Harvey. Development of A Precision Pointing System Using an Integrated Multi-Sensor Approach. UCGE Reports Number 20117. 1998.

11. Joachim Heel. Dynamical Systems and Motion Vision. Massachusetts Institute of Technology, 1988.

12. Leslie Lamport. ИГ^Х: A Document Preparation System. Addison-Wesley, 1986.

13. Tine Lefebvre, Herman Bruyninckx, Joris De Shutter. Kalman filters for nonlinear systems: a comparison of performance. 2001.

14. L.W.B. Leite, M.P.C. da Rocha. Deconvolution of non-stationary seismic process. Brazilian Journal of Geophysics, Vol. 18(1), 2000.

15. X. Rong Li, Chongzhao Han, Jie Wang. Discrete-Time Linear Filtering in Arbitrary Noise. CDC2000, 2000.

16. Mehra R.K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems — Survey and new results. IEEE Trans. Automat. Contr. vol. AC-19, 1974.

17. Mehra R.K. Optimization of Measurement Schedules and Sensor Designs for Linear Dynamic Systems. IEEE, 1975.

18. William H. Press. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. Cambridge University Press 1988, 1992.

19. Ali H. Sayed. A Framework for State-Space Estimation with Uncertain Models. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 46, no. 7, pp. 998.1013, July 2001.

20. R.G. Strongin, Y.D. Sergeyev, Global Optimization with Non-Convex Constraints: Sequential and Parallel Algorithms, Nonconvex Optimization and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000, 728 pp.

21. Hisashi Tanizaki. Nonlinear and Non-Gaussian State-Space Modeling with Monte Carlo Techniques: A Survey and Comparative Study. 2000.

22. F. Wang, V. Balakrushnan. Robust Adaptive Kalman Filters for Linear Time-Varying Systems with Stochastic Parametric Uncertainties.23. http://www.w3.org/TR/1998/REC-xml-19980210.

23. Zarrop M.B. Optimal Experiment Design for Dynamic System Identification. New York:Springer-Verlag, 1979.

24. Абденов А.Ж., Денисов В.И., Чубич B.M. Введение в планирование экспериментов для стохастических динамических систем: Учеб. пособие / Новосиб. гос. техн. ун-т. — Новосибирск, 1993, 45 с.

25. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М., "Наука", 1976.

26. Башарин А.В., Постников Ю.В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ: Учебное пособие для вузов. — 3-е изд. — Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. — 512 с.

27. Бекарева Н.Д., Парлюк А.В. Моделирование случайного процесса, заданного стохастическим дифференциальным уравнением. Сборник научных труцов НГТУ. — 1999. — №1.

28. Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Оптимизация модели измерений для линейных динамических систем. Сборник научных трудов НГТУ. — 2000. №5.

29. Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Исследование процедуры оптимизации модели измерений. Сборник научных трудов НГТУ. — 2001. — № 1.

30. Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. О выборе между моделями наблюдений для динамических систем. Сборник научных трудов НГТУ. — 2003.-№1.

31. Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Выбор модели наблюдений для системы стабилизации самолета по тангажу. Сборник научных трудов НГТУ. 2003. - №2.

32. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х томах. Физ-матгиз, 1959.

33. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. Пер. с нем. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1982.

34. Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов (модели статики). М.: "Металлургия", 1974. 264 с.

35. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: "Металлургия", 1978. 112 с.

36. Денисов В .И. Математическое обеспечение системы ЭВМ — экспериментатор. — М.: Наука, 1977. — 251 с.

37. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез. Под ред. Н. Т. Кузовкова. (Пер. с англ.). М., "Машиностроение", 1974.

38. Денисов В.И., Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Исследование свойств уравнения Риккати. Научный вестник НГТУ. — 2001. — № 1(10).

39. Денисов В.И., Бекарева Н.Д., Самочернов И.В. Сравнение нескольких методов моделирования состояний линейных динамических систем. Научный вестник НГТУ. — 2004. — № 1.

40. Денисов В.И., Чубич В.М. Алгоритмы синтеза планов экспериментов для стохастических динамических систем: Учеб. пособие. — Новосибирск: НГТУ, 1996. 36 с.

41. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2002, 832 с.т

42. Дьяконов В. Maple 6: Учебный курс. — СПб.: Питер 2001. — 608 с.

43. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. — М.: Наука, 1987. — 320 с.

44. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. 2-е изд., дополн. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. — 296 с.

45. Ивченко Г.И.,'Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. — М.: Высш. шк., 1984. — 248 с.

46. Климов А.С. Форматы графических файлов. К: НИПФ "ДиаСофт Лтд.", 1995' 480 с.

47. Котельников И., Чеботаев П. Издательская система LaTeX2e. Новосибирск: "Сибирский хронограф", 1998.

48. Крылов В.И., Бобков В.И., Монастырный П. И. Вычислительные методы. В 2-х т. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", М , 1977.

49. Кузнецов Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. — Спб. Издательство С.-Петербургского Государственного университета, 2001.

50. Манзон Б.М. Maple V. Power Edition. — М.: Информационно-издательский дом "Филинъ" 1998. — 240 с.

51. Медич. Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. — М.: Энергия, 1973. — 440 с.

52. Мороз А.И. Курс теории систем: Учеб. пособие для вузов по спец. у "Прикладная математика". — М.: Высш. шк., 1987. — 304 с.

53. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. — Томск: МП "Раско", 1991. — 272 с.

54. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 208 с.

55. Парлюк А.В. Планирование дискриминирующего эксперимента для стохастических динамических систем: дисс. на соиск. учен. степ, канд. техн. наук (05.13.17). Новосиб. гос. техн. ун-т. 2001.

56. Ирэ Пол. Объектно-ориентированное программирование с использованием С++. К.: НИПФ "ДиаСофт Лтд:", 1995, — 480 с.

57. Пугачёв B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем: Учеб. пособие для вузов по спец. "Прикладная математика". — М.: Логос, 2000,999с. '

58. Самочернов И.В. Оптимизация проведения измерений в линейных динамических системах. Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири". — 2000.

59. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента (планирование регрессионных экспериментов). М., 1971, 312 с.t

60. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.: Мир, 1975.

61. Стивен Холзнер. Perl: специальный справочник. — СПб: Питер, 2000. -496с.

62. Чубич В.М. Планирование D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем: дисс. на соиск. учен. степ, канд. техн. наук (05.13.16). Новосиб. гос. техн. ун-т. 1995.

63. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. — М.: Энергоатомиздат, 1987.

64. Эйкофф П. Основы идентификации систем управления. — М.: Мир, 1975. 683 с.