автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение и исследование математической модели трехсолитонного взаимодействия в жидкостях и газах

На правах рукописи

ЧУЛКОВ АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХСОЛИТОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2006

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Игропуло Виталий Сгилианович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Царьков Алексей Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Симоновский Александр Яковлевич

Ведущая организация: Закрытое акционерное общество "Научно

исследовательский внедренческий центр автоматизированных систем" (г. Москва)

Защита состоится «26» декабря 2006 года в 13 часов 10 минут на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.256.05 при Ставропольском государственном университете по адресу:

355009; г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного университета.

Автореферат разослан » ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. На современном этапе развития моделирования солитонных явлений, как отмечается в [1], существуют проблемы построения нелинейных решений, необходимых для описания эффектов, возникающих при рассмотрении распространения солитонов в среде с диссипацией. Причем отсутствие теории, описывающей нелинейные эффекты в этих явлениях, порой заставляет исследователей придумывать «пути обхода» этих «загадочных» эффектов, путем упрощения математических моделей [3], дифференцированного подхода к явлениям [2]. Встречаются и иные способы рассмотрения этих эффектов. Кроме того, распространяясь в нелинейной среде, ссшитоны при взаимодействии могут повести себя не адекватно классической теории распространения волн такого типа. Авторами экспериментов по распространению и взаимодействию солитонов [3] было отмечено, что описать такие эффекты с помощью существующих решений - математической модели распространения солитонных волн в среде без диссипации не представляется возможным.

Отсутствием многосолитонныК решений уравнений, описывающих распространение и взаимодействие солитонов в среде с диссипацией; отсутствием учитывающих диссипацию математических моделей природных явлений, в которых наблюдается локализация процессов, обосновывается актуальность настоящей работы. ;

Объектом исследования являются локализованные процессы -солитоны, распространяющиеся в среде с диссипацией.

Исследования автора показывают, что, рассматривая взаимодействия солитонов в среде с диссипацией, удается получить ответы на вопросы [1] о нелинейных эффектах взаимодействия и последующего распространения волн такого типа. Кроме того,, как показано автором, рассматривая решения, описывающие распространение одного и двух солитонов, невозможно проследить механизм их взаимодействия. В настоящем исследовании рассмотрены модели для трех волн солитоннош типа, открывающие новые возможности исследования этих проблем.

Предмет исследования распространение и взаимодействие трех солитонов в среде с диссипацией; нелинейные эффекты, возникающие при распространении триады солитонов в среде с диссипацией.

Целью данного исследования является построение и исследование математической модели распространения и взаимодействия солитонов1 в среде с диссипацией.

Задачи исследования:

1) провести анализ особенностей нелинейной трехчастичной задачи; на основе обзора методов для решения уравнения Кортевега де Фриза (далее КдФ), описывающего распространение солитонов в жид-

кости, выбрать оптимальный теоретический подход для моделирования трехсолитонного взаимодействия;

2) построить математическую модель распространения волн типа КдФ в среде с диссипацией;

3) найти трехсолитонное решение возмущенного уравнения КдФ (далее вКдФ); в рамках найденных решений вКдФ рассмотреть нелинейные эффекты, возникающие при распространении и взаимодействии солитонов в среде с диссипацией;

4) провести сопоставление результатов, полученных при математическом моделировании, с опытными данными [3]; адаптировать полученную модель для рассмотрения волн цунами и с ее помощью провести анализ данных распространения цунами после землетрясения 26 декабря 2004 года в Индийском Океане около острова Суматра.

Научная новизна результатов исследований заключается в следующем.

1. Построена трехсолитонная математическая модель распространения солитонов, учитывающая диссипативные свойства среды, которая позволяет раскрыть природу и дать обоснование нелинейных эффектов при распространении и взаимодействии волн солитонно-го типа, показать их согласованность с экспериментальными данными и реальными явлениями.

2. Найдено трехсолитонное решение уравнения вКдФ с помощью метода обратной задачи рассеяния (далее МОЗР). В рамках найденных решений вКдФ рассмотрены нелинейные эффекты, возникающие при распространении и взаимодействии солитонов в среде с диссипацией.

3. Проведено сравнение с опытными данными распространения солитонов, полученными Хаммарком и Сигуром [3].

4. Построенная математическая модель адаптирована для описания распространения группы волн цунами, описываемых уравнениями вКдФ. Полученная математическая модель апробирована для анализа данных распространения цунами в Индийском Океане. .

Практическое значение, определяется тем, что:

1. Полученные автором трехсолитонные решения и выражения для оценки параметров среды, в которой распространяются солитоны, могут быть использованы как основа для моделирования взаимодействий волн такого типа.

2. Построенные автором модели могут служить основой анализа распространения и взаимодействия солитонов в среде с диссипацией.

3. Предложенные автором модели, могут быть использованы для прогнозирования динамики совместного распространения волн цунами.

Исследование носит теоретический характер, в его основе лежат современные аналитические методы построения и исследования нели-

нейных математических моделей; методы дифференциального и интегрального исчисления, функционального анализа, линейной алгебры.

Достоверность результатов данного исследования обеспечивается надежностью используемых методов, положительными результатами сопоставления построенных математических моделей с реальными природными явлениями [5] и экспериментами [3], [4].

На защиту выносятся следующие положения;

1. Модель распространения и взаимодействия трех солитонов в вязкой среде.

2. Решение возмущенного уравнения Кортевега де Фриза для случая распространения трех солитонов в вязкой среде; выражения для оценки параметров вязкости среды, определяющих появление нелинейных эффектов при взаимодействии трех солитонов.

3. Математическое описание нелинейных эффектов распространения и взаимодействия волн в экспериментах Хаммарка и Сигура [3].

4. Модель распространения волн цунами с учетом диссипатив-ных свойств среды и оценка относительного распространения передних волн цунами, порожденного землетрясением около острова Суматра 26 декабря 2004 года, с учетом вязкости среды.

Публикации и апробация результатов исследования. По теме диссертации имеется 12 публикаций, из них 4 в центральной печати. Результаты исследований докладывались на Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь,12002 г.); 47,48, 49, 51-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука 7 региону» (г. Ставрополь, 2002, 2003, 2004, 2006 г.); Седьмом Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.). Тезисы докладов включены в материалы: XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Кострома, 2004 г.); Всероссийской научной конференции студентов физиков - 9 (г. Красноярск, 2003); Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003» (г. Москва, 2003); Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 г.).

Личный вклад автора. Все исследования выполнены по инициативе и с участием автора. Постановка задач исследования, анализ, обобщение данных и формулировка выводов по работе осуществлены совместно с научным руководителем. Автором решены поставленные задачи, интерпретированы экспериментальные и теоретические результаты; им написаны компьютерные программы и разработаны сопутствующие процедуры обработки результатов. - • .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы,

состоящего из 111 наименований. Работа изложена на 124 листах машинописного текста, содержит 14 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, поставлена цель, определены задачи исследования, раскрыта его научная новизна и практическая ценность, а также сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе проанализированы известные методы получения многосолитонных решений для невозмущенного уравнения КдФ: метод Дарбу, метод Хироты, преобразование Беклунда, а также и МОЗР с помощью которого получено односолитонное решение в среде с диссипацией. Выявлены положительные стороны существующих методов и оценены условия их применимости с позиций задачи исследования.

Рассмотрен модернизированный метод обратной задачи рассеяния применительно к возмущенному уравнению КдФ. Сконструирован алгоритм получения решения уравнения вКдФ применимого к поставленным задачам описания распространения и взаимодействия солито-нов в среде с диссипацией.

Во второй главе рассмотрены два метода получения трехсолитон-ных решений для волн, распространяющихся в среде с диссипацией и без нее. Получены решения, описывающие процессы распространения трех солитонов в среде с диссипацией. Проведено сравнение результатов.

Используя специальную адиабатическую теорию возмущений для решений уравнения КдФ, найдена фундаментальная система решений (далее ФСР) нелинейного уравнения Шредингера для случая трех связанных состояний потенциала:

7iо(*.*;') = и 720(*,*;0 = с_в-'*.

\Ых>хщ

sh£2(x-£2) сЬ%ъ(х-4г) 1 Xishzi(x-^i) Хг<ЬХг(х-£г) Х3 & Хз(х~ £з) ±1Х Xf chХ\(*Хг sh Хг{х~ €2) Хз ch Хз(х~4з) ~ X2 z}shXi(x-Zi) х\ъЪХг(х-£г) х1^хз(х~^з)

xi(x ~ £1) sh^ai*-^) Хз(х~€з) Xishxt(x~4i) X2chx2(x~^2) Хз&Хз(х~£з) X?chxi(x-£i) х1^Хг{х~^г) Хз^Хз(х~4з)

После преобразований, получены выражения для коэффициентов отражения и прохождения, которые представляются в виде:

<1X

с\г(х)

(*? -хъхг$+2(х1 + Хз^Х? +ХзХ2 +^Х\Х2 +^Х\Хз

Х\{1Хъ-Х\)2(}Хг-Х\)2 аналогично для волн 2 и 3.

Установлено, что решение уравнения вКдФ в безразмерных координатах может быть представлено в виде: - :

1=1

ПХг+Х,

у _ _ у

где произведение решений ФСР, а каждый волновой профиль в рассматриваемой тройке определяется следующим выражением:

Й-*]

—о

Лл

6 4=1,2,3 ~Хк

к*1

. 1,2,3 Я/

Ш

где у = 1,2,3, а определяет наличие диссипативных сил.

Полученные решения вКдФ могут быть использованы для анализа взаимодействий трех солитонов, а также исследования нелинейных эффектов, возникающих при распространении волн в среде с диссипацией. Эти решения могут служить основой математической модели взаимодействия солитонных волн типа КдФ в среде с диссипацией.

В третьей главе исследуются нелинейные эффекты, возникающие при распространении и взаимодействии солитонов в среде с диссипацией.

Возмущенная форма уравнения КдФ в безразмерных переменных рассматривается в виде:

и,-6иих+иххх=аЯ(и%), (1)

2,»

где х = х'~? отвечает положению солитона, а / =

зи

только времени.

Рассматривается жидкость с заданной вязкостью. Для уточнения вида правой части уравнения вКдФ введен параметр Г, равный произведению 0<<т«1 и у > 0, где у коэффициент, линейно зависящий от безразмерного кинематического коэффициента вязкости жидкости. Записав Г = ау = оку' , где коэффициент пропорциональности

к = —-^у, а безразмерный кинематический коэффициент вязкости 3 а

жидкости у' = —, где у - кинематический коэффициент вязкости,

а - высота солитона, Ь, - глубина жидкости, % - ускорение свободного падения, сг и д представляют собой дисперсию и нелинейность, соответственно. Значение Я(и5), применительно к данным условиям среды, примет вид

, = (2) а

где м4 трехсолитонное решение уравнения вКдФ.

В рамках полученных решений, с учетом особого вида диссипа-тивного члена (2), проведено математическое исследование возникновения плато и осцилляций за солитонами, образования стационарных пар, триад солитонов. Найдена оценка величины диссипативного члена в уравнении вКдФ при наблюдении эффекта объединения, которая для соседних волн с амплитудами Я, = 2х\ и

¿2 = 2x1 определяется неравенством

(3)

Это выражение позволяет оценить возможность образования объединений солитонов в среде с заданными параметрами, если диссипа-тивный член в (1) можно ввести как уи , где их - трехсолитонное решение КдФ.

Проведенный анализ полученных нами трехсолитонных решений вКдФ, описывающих неупругие процессы в среде с дисперсией и нелинейностью, показал, что введение слабой диссипации способно полностью изменить структуру решений.

Показано, что эффекты, связанные со взаимодействием возмущенных солитонов, способны при найденных условиях компенсировать

разность скоростей, что может привести к образованию так называемых квазистационарных солитонных образований.

Доказано, что волны, где проявился эффект сближения или сращивания волн, предварительно про взаимодействовали друг с другом. Доказательство основано на изложенной нами теории и полученных решениях уравнения вКдФ и подтверждается эмпирическими данными [2], [3], [5].

В четвертой главе полученные теоретические результаты применены для исследования реальных ситуаций, в которых происходит взаимодействие солитонов.

Проведена апробация построенной математической модели распространения волн типа КдФ в среде с диссипацией на опытных данных, полученных Хаммарком и Сигуром [3]. Их эксперимент осуществлялся в бассейне из оргстекла, волнопродуктор состоял из прямоугольного поршня шириной Ь и устройства управления. Вертикальное движение поршня задавалось для каждого эксперимента индивидуально.

Во время эксперимента в нескольких точках вдоль бассейна были получены данные параметров волновых профилей при помощи датчиков с параллельными проволочными сопротивлениями. В первой серии экспериментов (1974 г.) глубина жидкости А равнялась 5 см, измерения проводились при (х-Ь)/к = 0,20,120 и 400. Во второй серии (1978 г.) И = 10 см, волны измерялись при (х-Ь)/к = 0,50,100 и 200.

На рис. 1 изоГ волны, генерируемые I приподниманием Движение поршня было достаточно быстрым для того, чтобы форма волны при (х -Ь)/И = 0 соответствовала форме поршня (благодаря наличию стенки у левого края поршня ширина волны, измеряемая в точке равнялась удвоенной длине поршня, а высота - половине его смещения). Также, рис. 1. динамики солитонных волн

включает в себя (а) ''

М (х-Ь)/А = 0. т <*-«/А - 20. (с) (х-Ь)/А » Ш. {<!) (х-Щк Ш т.

Рис. 1. Волновые профили, полученные экспериментально [3].

= 0, начальный волновой профиль взаимо-

действия; и распределения амплитуд на соответствующих стадиях распространения; (Ь) (х - Ь)/к = 20 (с), (х -Ь)/к = 180 ; (ф (х - Ь)! к = 400 [3].

Дана оценка возможности образования квазистационарных групп соли-тонов в условиях эксперимента. Неравенство (3) преобразуется к виду:

Приняв амплитуды ах =0,0029 л» и а2 = 0,0025 м. [3], подставив их в (6) получена оценка для кинематического коэффициента вязкости жидкости: />0,0000931, что близко исходным данным опыта у = 0,0001007 и кинематическому коэффициенту вязкости жидкости при температуре 20° С и меньшей температуре. Это свойство проверенно для волн . в конце наблюдения при .

(х —— 400:

Л, = 0,00275л/ и Л2 =0,00175м. Чтобы удерживать эти волны вместе, коэффициент у, по нашим расчетам, должен быть у >0,0001967, однако У1=осо =0,0001792, тогда из неравенства (4) следует, что солитоны при данных значениях амплитуд должны разойтись. Однако, экспериментально установлено, что объединившись ранее при взаимодействии, солитоны распространяются совместно даже при значительной разнице амплитуд между ними.

Построена математическая модель возникновения, распространения и взаимодействия цунами.

Цунами, как физическое явление, возникает путем передачи энергии упругой деформации, связанной с землетрясением или разрывом земной поверхности, потенциальной энергии образующегося водного столбца [2]. В большинстве случаев образуется начальный волновой профиль в виде статического водного возвышения над поверхностью. Как показано на рис. 2, в области крутых батиметрических изменений начальный волновой профиль может оказаться различным. В частях с, с/ рис. 2 изображены области, где первоначальный толчок был на месте вертикальных изменений - резкого возвышения и разрыва соответственно.

Описание волны в области сейсмического смещения получается из выражений, связывающих скольжение образующегося локального образования по поверхности Т} в упругой среде.

Показано, что волновой профиль цунами удовлетворяет начальным условиям - уравнению неразрывности для (т] + где й - глубина, г] - возвышение волны и уравнению сохранения импульса для горизонтальной векторной скорости V.

- ■ : а ■ ' '

-Волновой профиль в поперечном разрезе

« (- -Суммарный волновой прск^иль

Рис. 2 Начальный волновой профиль цунами [2]

Показано, что если кроме этих начальных условий потребовать выполнение условия малости отношений, следующих из проведенного анализа волн цунами (рис. 2) для h/I = S и rj!h = e, где / ширина первоначального водного столбца (образования), можно получить уравнение КдФ, описывающее распространение волн цунами.

Для достижения полноты описания процесса нами было учтено действие диссипативных свойств жидкой среды, обусловленных вязкостью. Тогда мы получили основное уравнение математической модели вКдФ:

ut-6uux+uxxx =yus, (5)

трехсолитонными решениями которого определяется распространение и взаимодействие трех волн цунами в среде с диссипацией.

Рассмотрено распространение волн на примере цунами в Индийском Океане в 2004 году.

26 декабря 2004 в области распространения цунами, созданного землетрясением около индонезийского острова Суматры, производили альтиметрические измерения спутники Jason-1, Topex/Poseidon, и позже Envisat, ими были получены данные по вариации высоты морской поверхности волнами цунами.

Согласно результатам обработки данных, проведенной исследовательской группой океанографии AVISO, спутники наблюдали поверхностное

возвышение приблизительно 50 см и длиной более чем 400 - 500 км, за которым следовала вторая волна, высотой приблизительно 40 см. Авторы этой обработки провели сглаживание эмпирических данных, полученных со спутников Jason-1, Topex/Poseidon, тогда как на диаграммах, представленных непосредственно со спутников (рис. 3,4), четко видно три волны, которые, как отображает диаграмма на рис. 4, взаимодействуют. Особенность этого наблюдения в том, что спутники проходили непосредственно друг за другом, и им удалось отследить момент взаимодействия волн.

™ ь ..............—:-----------б--------------5------------------и-----------------vi-------------io

Рис. 3 Волновые профили генами с указанием амплитуды через 1 час 53 минуты после землетрясения около острова Суматра магнитудой 9 баллов (данные со спутника Jason-1) [5]

> N

V / : / : 1 V' «i \ W' ................У->ТУ";....................!.........•• *............?....... .....

Рис. 4 Волновые профили цунами с указанием амплитуды через 2 часа 00 минут после землетрясения около острова Суматра магнитудой 9 баллов (данные со спутника Торех/Роаегс!оп) [5]

Уникальность полученных данных дает возможность описать рассматриваемое явление более точно. Рассмотрим волны, движущиеся на Юг вдоль траектории полета спутников. Ввиду гладкости дна в этом направлении можно не учитывать отражения волн цунами от прибрежной части.

Нами проведена оценка возможности образования связанных образований волн цунами на примере описанных цунами [5].

Как видно из рис. 3 - распределения амплитуд по волнам, где глубина составляла порядка h 3000л*, амплитуды волн первоначального профиля в рассматриваемом направлении равны соответственно Л1 « 54см , Л2 ~ 55 см , Л3 « 65см при длине волн / » 200км . Следовательно, выполнены условия математической модели о малости отношений h/l и Л/Л. Учитывая температурный баланс океана и параметры вязкости, можем полагать, что объединение солитонов в группу произошло, когда расстояние между ними было порядка 15 см - то есть примерно через 15 минут после регистрации волн спутником Jason-1 (рис. 3). О взаимодействии волн говорит характерное проседание волновых профилей на снимке со спутника Topex/Poseidon (рис. 4).

На третьем снимке со спутника Envisat (рис. 5) через 3 часа 17 минут после землетрясения, что соответствует 1 часу 17 минутам после последней регистрации волн, мы можем наблюдать три волновых профиля Aj « 35см , Л2 « 42см, Л3 « 50см распространяющихся на неболь-

-15..............-20....... "-"15..... -iÖ' -J О"....................s "¡О" .......В 20........ iS

Рис. 5 Волновые профили цунами с указанием амплитуды через 3 часа 17минут после землетрясения около острова Суматра магнитудой 9 баллов (данные со спутника Епуши) [5]

шом расстоянии относительно средней ширины волновых образований. Как и ранее в экспериментах Хаммарка и Сигура - волны не разошлись и распространяются совместно, несмотря на существенную разницу.амплитуд. Заметим, что при рассмотрении таких волн в отдельности или вместе, при условии равенства нулю кинематического коэффициента вязкости среды, мы бы получили существенно иную картину. После того как волны провзаимодействовали, их относительная скорость оценивается примерно в 260 км/час, соответственно разнице амплитуд они должны были бы равномерно разойтись, примерно на 350-400 км. Однако в наблюдаемом случае последняя волна отстоит от первой на снимке со спутника Envisat (рис. 5) всего лишь на 180 км. Это означает, что волны не разошлись даже на расстояние средней ширины волнового профиля. Результаты наблюдений совпадают с данными эксперимента Хаммарка и Сигура и вполне удовлетворительно согласуются с предложенной нами математической моделью.

Таким образом, проведенное исследование показало наличие новых эффектов в системе трех взаимодействующих солитонов в дисси-пативной среде. Описанные с помощью созданной нами модели эффекты нашли убедительное подтверждение при анализе экспериментальных результатов, полученных другими исследователями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Нелинейные эффекты, наблюдаемые при распространении и взаимодействии трех солитонов, можно описать с помощью уравнения вКдФ. К ним относятся: эффект образования связанных состояний солитонов после взаимодействия, эффект возникновения плато за соли-тонами. Показано, что из всех существующих методов решения уравнения вКдФ, описывающего трехсолитонное взаимодействие, подходит только метод обратной задачи рассеяния.

2. Построена математическая модель распространения трех солитонов в среде с диссипацией.

3. Получены трехсолитонные решения уравнения вКдФ методом обратной задачи рассеяния. Обоснована возможность того, что эффекты, связанные с взаимодействием возмущенных солитонов, способны при определенных условиях компенсировать разность скоростей в группе солитонов. Показано, что при этих условиях происходит образование квазистационарных солитонных образований.

4. Получены выражения для оценки параметров вязкости среды, определяющих объединение солитонов в группы.

5. Проведен сравнительный анализ построенных математических моделей с экспериментальными данными и данными наблюдений волновых профилей цунами со спутников, в результате которого установлено, что построенные нами математические модели дают достаточно полное описание распространения и взаимодействия трех солитонов в среде с диссипацией.

Применение полученных решений к построению математической модели цунами может служить основой для целостного анализа и прогнозирования таких явлений.

Полученные результаты могут служить основой для создания общей теории возникновения, распространения и взаимодействия локальных процессов в диссипативных средах. Это возможно ввиду сходства математических моделей и методов решения уравнений, описывающих данные явления.

Список используемой литературы

Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987.-480 с.

Geist Е. L. Local, 2005, Tsunami Hazards in the Pacific Northwest from Cascadia Subduction Zone Earthquakes Professional Paper Î661-B U.S. Department of the Interior U.S. Geological Survey, Reston, Virginia.

Hammack J. L. and Segur H., The Korteweg-de Vries equation and water waves part 2. Comparison with experiments // J. Fluid Mech. -1974.-65.-P.289-314.

Hammack J. L. and Segur H., The Korteweg-de Vries equation and water waves part 3. Oscillatory waves // J. Fluid Mech. - 1978 - 84 -P. 337-358.

Сайт исследовательской группы океанографии AVISO http://www.aviso. oceanobs.com/html/applications/geophysique/tsunami_uk.html

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Игропуло В. С. Чулков А. С. Солитоны и ударные волны // Материалы XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Кострома: Изд-во КГТУ, 2004. - С. 95-96

2. Чулков А. С. О возможности создания эталонной модели солитон-ных столкновении // Вестник Северо-Кавказского государственно-

1. 2.

3.

4.

5.

го технического университета. Естеств. науки. № 1(7). Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ, 2004. - С. 233-234 - 1

3. . Чулков А. С. Трехволновое взаимодействие солитонов // Материа-

лы докладов на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» Воронеж 12-17 декабря 2005. - С. 202-203

4. Чулков А. С. Динамика трех солитонного взаимодействия // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2004. том 11. -С. 362-363

5. Чулков А. С. Взаимодействие солитонов как частиц // Материалы 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». Ставрополь, 5-27 апреля 2004 г. - С. 76-78

6. Чулков А. С. Модель начального волнового профиля цунами // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2006. том 13. - С. 369-670

7. Каплан Л.Г., Чулков А. С. Динамика трехсолитонного взаимодействия // Материалы 48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». Ставрополь, 5-27 апреля 2003 г. - С. 27-29

8. Чулков А. С. Динамика трехсфолитонного взаимодействия // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2003. том 10.-С. 776-777

9. Каплан Л.Г., Чулков А. С. Исследование фазового сдвига при взаимодействии солитонов // Всероссийская научная конференция студентов физиков - 9. Красноярск: Изд-во КГУ, 2003.-С. 45-47

10. Катан Л.Г., Чулков A.C., Лапин В.Г. Исследование фазового сдвига при взаимодействии солитонов // Материалы Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь, 20-23.сентября 2002 г. -С. 199-203.

J1. Каплан Л.Г., Чулков А. С. Исследование фазового сдвига при ■ взаимодействии солитонов // Сб. Материалы Всероссийской на-

учной конференции «Ломоносов-2003». М.: Изд-во МГУ, 2003. -С. 256-267

12. Игропуло В. С., Чулков А. С. Принципы построения математической модели трехсолитоиного взаимодействия // Материалы 51-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». Ставрополь, 3-24 апреля 2006 г. - С. 74-75

Подписано в печать 20.11.06 Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 1,05 Уч.-изд.л. 0,87

Бумага офсетная_Тираж 100 экз._Заказ 414

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Введение.

Глава 1. Аналитический обзор основных методов исследования математических моделей, описывающих движение солитонов в жидкой среде.

1.1 Прямые методы исследования математических моделей распространения солитонов.

1.2 Метод обратной задачи рассеяния в применении к получению односолитонного решения вКдФ.

Глава 2. Решение уравнения КдФ для трех солитонов, распространяющихся в среде с диссипацией.

2.1 Решение уравнения вКдФ для трех солитонов методом обратной задачи рассеяния.

2.1.1 Решение КдФ без учета вязкости.

2.1.2 Решение КдФ с учетом вязкости.

2.2 Решение уравнения вКдФ для трех солитонов методом Уизема

Глава 3. Нелинейные эффекты, возникающее при распространении солитонов в среде с диссипацией.

3.1 Возникновение плато и осцилляций за солитонами.

3.2 Образование стационарных пар триад солитонов.

3.3 Оценка величины диссипативного члена в уравнении вКдФ

Выводы.

Глава 4. Расчет и моделирование нелинейных эффектов на конкретных примерах.

4.1 Сравнение математической модели с опытными данными Хаммарка и Сигура.

4.2 Возникновение и начальные стадии распространения цунами

4.2.1 Физика распространения цунами.

4.2.3 Использование математической модели для описания возникновения и распространения цунами в Индийском Океане декабря 2004 года.

Выводы.

Исследования нелинейной динамики волновых процессов, происходящих в природе, проводятся уже много десятков лет. Одним из первых обратил внимание на эти явления Скотт Рассел, наблюдавший уединенную волну на воде, распространявшуюся без потери энергии на большое расстояние. С того момента прошло уже 170 лет и явления локализации волнового процесса были замечены практически во всех областях естественнонаучного исследования, вплоть до медицины и микробиологии. Как известно, после открытия k Расселом уединенной волны прошло 60 лет, пока было дано первое математическое описание данного явления Дидериком Иоханнесем Кортевегом и его учеником Густавом де Фризом.

Уединенная волна, вскоре, приобрела новое имя солитон - частицепо-добный. Это название волны получили после экспериментов по их взаимодействию. Как показывали эксперименты, характерные волны расходились после взаимодействия так, как будто произошел обмен импульсами между упругими частицами.

С развитием солитонной теории и разнообразностью явлений, где были выявлены схожие с гидродинамическим явлением локальные процессы, появилось множество уравнений, описывающих солитонные явления, а, как следствие, методы, позволяющие получить решения данных уравнений. Все больший интерес представлял поиск решения, описывающего совместное распространение двух и более солитонов. Первым, кто попытался найти мно-госолитонное решение, был Беклунд [44], потом N - солитонное решение было получено Хиротой [13]. Основываясь на достигнутом, был разработан метод обратной задачи рассеяния для нахождения решений солитонных уравнений [1].

На современном этапе развития моделирования солитонных процессов, как отмечается в [1], существуют проблемы построения решений для среды с нелинейностью, необходимых для описания эффектов, возникающих при распространении солитонов в среде с диссипацией. При чем отсутствие теории, описывающей нелинейные эффекты в этих явлениях, порой заставляет исследователей придумывать «пути обхода» этих «загадочных» эффектов, возникающих при распространении волн: упрощения математических моделей [79], дифференцированного подхода к явлениям [73] и др. Встречаются и иные способы рассмотрения этих эффектов.

Даже такая краткая информация о современном состоянии исследований в этой области говорит об отсутствии многосолитонных решений уравнений, описывающих распространение солитонов в среде с диссипацией; отсутствии математических моделей природных явлений, где наблюдается локализация процессов, учитывающих диссипацию. Этим, подчеркивается актуальность настоящей работы.

Объектом исследования являются локализованные процессы - соли-тоны, распространяющиеся в среде с диссипацией.

Исследования автора показывают, что, рассматривая взаимодействия солитонов в среде с диссипацией, удается получить ответы на вопросы [1] о нелинейных эффектах взаимодействия и последующего распространения волн такого типа. Кроме того, как показано автором, рассматривая решения, описывающие распространение одного и двух солитонов, невозможно проследить механизм их взаимодействия. В настоящем исследовании рассмотрены модели для трех волн солитонного типа, открывающие новые возможности исследования этих проблем.

Предмет исследования распространение и взаимодействие трех солитонов в среде с диссипацией; нелинейные эффекты, возникающие при распространении триады солитонов в среде с диссипацией.

Целью данного исследования является построение и исследование математической модели распространения и взаимодействия солитонов в среде с диссипацией.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие частные задачи:

• провести анализ особенностей нелинейной трехчастичной задачи; на основе обзора методов для решения уравнения Кортевега де Фриза (далее КдФ), описывающего распространение солитонов в жидкости, выбрать оптимальный теоретический подход для моделирования трехсолитонного взаимодействия;

• построить математическую модель распространения волн типа КдФ в среде с диссипацией;

• найти трехсолитонное решение возмущенного уравнения КдФ (далее вКдФ); в рамках найденных решений вКдФ рассмотреть нелинейные эффекты, возникающие при распространении и взаимодействии солитонов в среде с диссипацией;

• провести сопоставление результатов, полученных при математическом моделировании, с опытными данными [3]; адаптировать полученную модель для рассмотрения волн цунами и с ее помощью провести анализ данных распространения цунами после землетрясения 26 декабря 2004 года в Индийском Океане около острова Суматра.

Научная новизна результатов исследований заключается в следующем.

1. Построена трехсолитонная математическая модель распространения солитонов, учитывающая диссипативные свойства среды, которая позволяет раскрыть природу и дать обоснование нелинейных эффектов при распространении и взаимодействии волн солитонного типа, показать их согласованность с экспериментальными данными и реальными явлениями.

2. Найдено трехсолитонное решение уравнения вКдФ с помощью метода обратной задачи рассеяния (далее МОЗР). В рамках найденных решений вКдФ рассмотрены нелинейные эффекты, возникающие при распространении и взаимодействии солитонов в среде с диссипацией.

3. Проведено сравнение с опытными данными распространения солитонов, полученными Хаммарком и Сигуром [3].

4. Построенная математическая модель адаптирована для описания распространения группы волн цунами, описываемых уравнениями вКдФ. Полученная математическая модель апробирована для анализа данных распространения цунами в Индийском Океане.

Практическое значение, определяется тем, что:

1. Полученные автором трехсолитонные решения и выражения для оценки параметров среды, в которой распространяются солитоны, могут быть использованы как основа для моделирования взаимодействий волн такого типа.

2. Построенные автором модели могут служить основой анализа распространения и взаимодействия солитонов в среде с диссипацией.

3. Предложенные автором модели, могут быть использованы для прогнозирования динамики совместного распространения волн цунами.

Исследование носит теоретический характер, в его основе лежат современные аналитические методы построения и исследования нелинейных математических моделей; методы дифференциального и интегрального исчисления, функционального анализа, линейной алгебры.

Достоверность результатов данного исследования обеспечивается надежностью используемых методов, положительными результатами сопоставления построенных математических моделей с реальными природными явлениями [5] и экспериментами [3], [4].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Модель распространения и взаимодействия трех солитонов в вязкой среде.

2. Решение возмущенного уравнения Кортевега де Фриза для случая распространения трех солитонов в вязкой среде; выражения для оценки параметров вязкости среды, определяющих появление нелинейных эффектов при взаимодействии трех солитонов. „ 3. Математическое описание нелинейных эффектов распространения и взаимодействия волн в экспериментах Хаммарка и Сигура [3]. 4. Модель распространения волн цунами с учетом диссипативных свойств среды и оценка относительного распространения передних волн цунами, порожденного землетрясением около острова Суматра 26 декабря 2004 года, с учетом вязкости среды.

По теме диссертации имеется 12 публикаций. Результаты исследований были доложены на:

Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002 г.);

47-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2002 г.);

48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2003 г.);

49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2004 г.).

51-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2006 г.).

Седьмом Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.). Тезисы докладов включены в материалы:

XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Кострома, 2004 г.); i Всероссийской научной конференции студентов физиков - 9. (г. Красноярск, 2003);

Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003» (г. Москва,

2003);

Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 ► г.).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 111 наименований. Работа изложена на 124 листах машинописного текста, содержит 14 рисунков.

Выводы

1. Проведена апробация построенной математической модели распространения волн типа КдФ в среде с диссипацией путем сопоставления с опытными данными, полученными Хаммарком и Сигуром [73]. Анализ эмпирических данных, проведенный авторами, как нам представляется, не вполне соответствует условиям экспериментов, поскольку не учитывалась вязкость жидкости.

2. В соответствии с разработанной нами теорией и найденными решениями для вКдФ, а также подтверждающими их эмпирическими данными [79], можно заключить, что волны, где проявился эффект сближения или сращивания волн, следует считать провзаимодействовавшими друг с другом.

3. Сформулированы и обоснованы предположения о зависимости появляющегося количества солитонов от ширины генерируемого импульса вопытах [79] и гладкости его образующей; об эффекте потери масс связанных солитонных образований на долгих временах.

4. Проведена адаптация модели мелководных уравнений для волн цунами, распространяющихся в среде с диссипацией. Показано, что уравнение вКдФ может быть использовано как основа математической модели такого явления как цунами.

5. Проведена апробация построенной математической модели распространения и взаимодействия волн цунами на основе данных со спутников Jason-1, Topex/Poseidon и Envisat полученных 26 декабря 2004 во время распространения цунами к югу по траектории следования спутников, вызванного землетрясением около острова Суматра магнитудой 9 баллов.

6. Проведена оценка возможности образования связанных солитон-ных образований волн цунами произведенных землетрясением около острова Суматра 26 декабря 2004 года. Установлен момент образования связанного состояния волн, с учетом вязкости. Образование связанных состояний и наличие момента взаимодействия трех волн цунами подтверждено данными, полученными со спутников.

Заключение

1. Нелинейные эффекты, наблюдаемые при распространении и взаимодействии трех солитонов, можно описать с помощью уравнения вКдФ. К ним относятся: эффект образования связанных состояний солитонов после взаимодействия, эффект возникновения плато за солитонами. Показано, что из всех существующих методов решения уравнения вКдФ, описывающего трехсолитонное взаимодействие, подходит только метод обратной задачи рассеяния.

2. Построена математическая модель распространения трех солитонов в среде с диссипацией.

3. Получены трехсолитонные решения уравнения вКдФ методом обратной задачи рассеяния. Обоснована возможность того, что эффекты, связанные с взаимодействием возмущенных солитонов, способны при определенных условиях компенсировать разность скоростей в группе солитонов. Показано, что при этих условиях происходит образование квазистационарных солитонных образований.

4. Получены выражения для оценки параметров вязкости среды, определяющих объединение солитонов в группы.

5. Проведен сравнительный анализ построенных математических моделей с экспериментальными данными и данными наблюдений волновых профилей цунами со спутников, в результате которого установлено, что построенные нами математические модели дают достаточно полное описание распространения и взаимодействия трех солитонов в среде с диссипацией.

Применение полученных решений к построению математической модели цунами может служить основой для целостного анализа и прогнозирования таких явлений.

Полученные результаты могут служить основой для создания общей теории возникновения, распространения и взаимодействия локальных процессов в диссипативных средах. Это возможно ввиду сходства математических моделей и методов решения уравнений, описывающих данные явления.

115

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.-480 с.

2. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. -М.: Наука, 1979.-896 с.

3. Бахолдин И. Б. Скачки, описываемые обобщенными уравнениями Кор-тевега-де Фриза // Изв. РАН, МЖГ. 1996. - № 4 - С. 95-109.

4. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: Иностранная литература, 1963. - 246 с.

5. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука, 1991. -320 с.

6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981.-719 с.

7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. - 792 с.

8. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд. ЛГУ, 1978. -296 с.

9. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. - 184 с.

10. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. - 1097 с.

11. Григорьян А. Т., Фрадлин Б. Н. Механика в СССР. М.: Наука, 1977191 с.

12. Григорьян А. Т., Фрадлин Б. Н. Механика от античности до наших дней. -М.: Наука, 1974.-479 с.

13. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 694 с.

14. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика М.: Машиностроение, 1978. -256 с.

15. Жуковский Н.Е. Гидродинамика. Собрание сочинений. M.,JL: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1949. - Т. 2. - 766 с.

16. Журавлев В.М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Ульяновск: УлГУ, 2001.-212 с.

17. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. - 356 с.

18. Захаров В. Е., Рубенчик А. М. Неустойчивость волноводов и солитонов в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1973. - Т. 65. - С. 997-1004.

19. Захаров В. Е., Шабат А. Б. (1971). Точная теория двумерной самофоУи-земкусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. — ЖЭТФ, 61,с. 118-134.

20. Захаров В. Е., Шабат А. Б. (1974). Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. — Функц. анализ и его прилож., 6, вып. 3, с. 43—53.

21. Иванычев Д. Н., Фрайман Г. М. Неупругие взаимодействия солитонов в модели уравнения вКдФ РАН ИПФ ПРЕПРИНТ 1996

22. Ильин А. М., Калякин Л. А. Докл. РАН. 1994. Т. 336. № 5. С.-95.

23. Ильичев А. Т. Уединенные волны в моделях гидродинамики. М.: Физ-матлит, 2003. -256 с.

24. Ильичев А. Т. Уединенные волны в средах с дисперсией и диссипацией (обзор) // Изв. РАН, МЖГ 2000. - № 2. - С. 3-27.

25. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Сб. научн. тр. / АН УССР, ин-т теорет. физики Киев: Наук. Думка, 1990. - 472 с.

26. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. Нелинейные волны,—«УФН». ,т. ДОЗ, вып. 2, 1971.295

27. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985.-678 с.

28. Калякин Л. А. Дифф. уравнения. 1993. Т. 29. № 6. С. 1010.

29. Калякин Л. А. Мат. заметки. 1995. Т. 58. № 2. С. 204.

30. Калякин Л. А. ТМФ. 1992. Т. 92. № 1. С. 62-77.

31. Калякин Л. А., Лазарев В. А. ТМФ. 1997. Т. 112. № i.e. 92.

32. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976.-576 с.

33. Каплан Л.Г. Локальные процессы в сплошной жидкой среде и атмосфере. Ставрополь: АСОК, 1993. - 246 с.

34. Карпман В. Н., Маслов В. М. "Теория возмущений для солитонов". ЖТФ 1977 том. 73 стр. 537.

35. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.-356 с.

36. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. -268 с.

37. Лазарев В. А. Возмущение двухсолитонного решения уравнения КдФ в случае близких значений амплитуд // ТМФ. 1999. Т. 118. № 3. С. 434-440.

38. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях/Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 598 с.

39. Ламб Г. Гидродинамика. М., Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1947.-928 с.

40. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Гидродинамика. -М.: Наука, 1986.-Т. 6.-736 с.

41. Ландау Л. Д., Лифшиц М. Е. "Квантовая механика. Нерелятивистская теория".

42. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде/ Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат, 1974 - 368 с.

43. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М. Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1950. - 676 с.

44. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1990. - 294 с.

45. Мизес Р. Математическая теория течения сжимаемой жидкости. М.: Изд. иностранной литературы, 1961. - 588 с.

46. Новиков С. П., Манаков С. В. Солитоны 408 стр. М.: Мир, 1983

47. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. Москва - Ижевск: РХД, 2002,- 156 с.

48. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. - 324 с.

49. Островский J1A., Потапов И.А. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003. - 400 с.

50. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: В 2 т./Пер. с англ.- М.: Мир, 1984.-Т.1. -400 с.

51. Повх И. JL Техническая гидромеханика М.: Машиностроение, 1976. -502 с.

52. Прандтль JT. Гидроаэромеханика. Ижевск: НИЦ "РХД", 2000. -576 с.

53. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. М., Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.-Т. 2.-312 с.

54. Рауз X. Механика жидкости. М.: Изд. литературы по строительству, 1967.-392 с.

55. Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1955. - 520 с.

56. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.-815 с.

57. Тахтаджян Л.Я., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. -М.: Наука, 1986.-486 с.

58. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-756 с.

59. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

60. Филлипов А.Т. Многоликий солитон. М.: Наука, 1990. - 210 с.

61. Ablowitz М. J., Каир D. J., Newell А. С. (1973b), Nonlinear evolution equations of physical significance, Phys. Rev. Lett., 31, pp. 125—127.

62. Ablowitz M. J., Каир D. J., Newell A. C. (1974), The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math., 53, pp. 249—315.

63. Antunes do Carmo, J. S, and Seabra-Santos, F. J., 1996, On breaking waves and wave-current interaction in shallow water; a 2DH finite element model: International Journal for Numerical Methods in Fluids, v. 22, p. 429-444.

64. Beck, S. L., and Ruff, L. J., 1989, Great earthquakes and subduction along the Peru trench: Physics of the Earth and Planetary Interiors, v. 57, p. 199-224.

65. Carrier, G. F., and Greenspan, H. P., 1958, Water waves of finite amplitude on a sloping beach: Journal of Fluid Mechanics, v. 17, p. 97-109.

66. Cramm M.: Quat. J. Math., 6, 121-128 (1955).

67. Deift P. and Trubowitz E. (1979) "Inverse scattering on line", Comm. Pure Appl. Math, 32,121—251

68. Fluck, P, Hyndman, R. D., and Wang, K, 1997, Three-dimensional dislocation model for great earthquake of the Cascadia subduction zone: Journal of Geophysical Research, v. 102, p. 20539-20550.

69. Freund, L. В., and Barnett, D. M, 1976, A two-dimensional analysis of surface deformation due to dip-slip faulting: Bulletin of the Seismological Society of America, v. 66, p. 667-675.

70. Gardner C. S, Greene J. M, Kruskal M. D. and Miura R. M. (1967), Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett, 19, pp. 1095— 1097.

71. Gardner C. S, Greene J. M, Kruskal M. D. and Miura R. M. (1974), The Korteweg-de Vries equation and generalizations. VI. Methods for exact solution, Comm. Pure Appl. Math, 27, pp. 97—133

72. Gardner C. S, Greene J. M, Kruskal M.D, Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. - V. 19. P. 10951097.

73. Geist E. L. Local, 2005, Tsunami Hazards in the Pacific Northwest from Cas-cadia Subduction Zone Earthquakes Professional Paper 1661-B U.S. Department of the Interior U.S. Geological Survey, Reston, Virginia.

74. Geist, E. L., 2002, Complex earthquake rupture and local tsunamis: Journal of Geophysical Research, v. 107, p. ESE 2-1 to ESE 2-16, doi; 10.1029/200018000139.

75. Geist, E. L., and Dmowska, R., 1999, Local tsunamis and distributed slip at the source: Pure and Applied Geophysics, v. 154, p. 485-512.

76. Geist, E. L., and Dmowska, R., 1999, Local tsunamis and distributed slip at the source: Pure and Applied Geophysics, v. 154, p. 485-512.

77. Geist, E. L., and Yoshioka, S., 1996, Source parameters controlling the generation and propagation of potential local tsunamis along the Cascadia margin: Natural Hazards, v. 13, p. 151-177.

78. Gorshkov K. A., Ostrovsky L. A. "Interactions of solitons in nonintegrable systems : direct perturbation method and applications". Physica-3D (1981) 1&2, 428—438.

79. Hammack J. L. and Segur H., The Korteweg-de Vries equation and water waves part 2. Comparison with experiments // J. Fluid Mech. 1974. - 65. -P. 289-314.

80. Hammack J. L. and Segur H., The Korteweg-de Vries equation and water waves part 3. Oscillatory waves // J. Fluid Mech. 1978 - 84 - P. 337-358.

81. Hebenstreit, G. Т., and Murty, T. S., 1989, Tsunami ampliudes from local earthquakes in the Pacific Northwest region of North America, part 1—the outer coast: Marine Geodesy, v. 13, p. 101-146.

82. Imamura, F., Gica, E., Takahashi, Т., and Shuto, N., 1995, Numerical simulation of the 1992 Flores tsunami; interpretation of tsunami phenomena in northeastern Flores Island and damage at Babi Island: Pure and Applied Geophysics, v. 144, p. 555-568.

83. Karabut E. A. Asymptotic expansions in the problem of a solitary wave 11 J. Fluid Mech. 1996. - V. 319. - P. 109-124.

84. Keulisgan, G. H. Gradual dumping of solitary waves.//J. Res. Nat. Bur. Stand. 1948 40, 487-498.

85. LeVeque R. J., SIAM J. Math. Anal. 1987. V. 47. № 2. P. 254.

86. Matveev V. В., Salle M.A. "Darboux Transformations and Solitons" Springer 1991.

87. Miura Wahlquist: in Backlund Transformationsed., Lect. Notes Math. Vol 515. (Springer, Berlin Heidelberg 1976) pp. 162-175

88. Mofjeld H.O., Foreman M. G., and Ruffman A., 1997, West Coast tides during Cascadia subduction zone tsunamis: Geophysical Research Letters, v. 24, p. 2215-2218.

89. Okada, Y., 1985, Surface deformation due to shear and tensile faults in a half-space: Bulletin of the Seismological Society of America, v. 75, p. 1135-1154.

90. Piatanesi A., Tinti S., and Gavagni I., 1996, The slip distribution of the 1992 Nicaragua earthquake from tsunami runup data: Geophysical Research Letters, v. 23, p. 37-40.

91. Rudnicki, J. W., and Wu, M., 1995, Mechanics of dip-slip faulting in an elastic half-space: Journal of Geophysical Research, v. 100, p. 22173-22186.

92. Russelll J. S. — Proc. Roy. Soc. Edingburgh, 319 (1844)

93. Rybicki K., 1986, Dislocations and their geophysical application, in Teis-seyre, R., ed., Continuum theories in solid earth physics: Warsaw, PWN-Polish Scientific Publishers, p. 18-186.

94. Sachs R. L., SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14. № 4. P. 674.

95. Satake К., and Tanioka, Y., 1995, Tsunami generation of the 1993 Hokkaido Nansei-Oki earthquake: Pure and Applied Geophysics, v. 144, p. 803-821.

96. Sato S., 1996, Numerical simulation of the propagation of the 1993 southwest Hokkaido earthquake tsunami around Okushiri Island: Science of Tsunami Hazards, v. 14, p. 119-134.

97. Scott A. C, Chu. R, McLaughlin D. W. — Proc. IEEE 61. 1 1443 (1973)

98. Shuto, N., 1991, Numerical simulation of tsunamis—its present and near future: Natural Hazards, v. 4, p. 171-191.

99. Tanioka, Y., and Satake, K., 1996, Tsunami generation by horizontal displacement of ocean bottom: Geophysical Research Letters, v. 23, p. 861-864.

100. Thatcher, W., 1990, Order and diversity in the modes of cir-cum-Pacific earthquake recurrence: Journal of Geophysical Research, v. 95, p. 2609-2623.

101. Titov V. V., and Synolakis, С. E., 1998, Numerical modeling of tidal wave runup: Journal of Waterways, Port, Coastal and Ocean Engineering, v. 124, p. 157-171.

102. Ward S. N., 1980, Relationships of tsunami generation and an earthquake source: Journal of Physics of the Earth, v. 28, p. 441-474.

103. Weidman P. D. and Maxworthy Т., Experiments on strong interactions between soliatry waves // J. Fluid Mech. 1978. - 85. P. 417-431.

104. Whitmore P. M., 1993, Expected tsunami amplitudes and currents along the North American coast for Cascadia subduction zone earthquakes: Natural Hazards, v. 8, p. 59-73.

105. Zabusky N. J. and Galvin C. J., Shallow water waves, the Korte-weg-de Vries equation and solitons // J. Fluid Mech. 1971. - 47. P. 811-824.

106. Zabusky N. J. and Kruskal M. D. (1965), Interaction of solitons in a colli-sionless plasma and the recurrence of initial states, phys. Rev. Lett., 15, pp.240.243

107. Zabusky N. J. and Kruskal M. D., Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965 - 15. P. 240-243.

108. Сайт исследовательской группы океанографии AVISO http://www.aviso.oceanobs.com/html/applications/geophysique/tsunamiuk.ht ml

109. Сайт картографии http://go.hrw.com/atlas/normhtm/indian.htm

110. Сайт международных новостей Cnews http://www.cnews.ru/cgi-bin/oranews/getnews. cgi ?tmp l=nl print&newsid= 13 043 7

111. Список публикаций автора по теме диссертации

112. Игропуло В. С. Чулков А. С. Солитоны и ударные волны // Материалы XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Кострома.: Изд-во КГТУ, 2004. С. 95-96

113. Чулков А. С. О возможности создания эталонной модели солитонных столкновении // Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета. Естеств. науки. № 1(7). Ставрополь: Изд-во Сев-КавГТУ, 2004. С. 233-234

114. Чулков А. С. Трехволновое взаимодействие солитонов // Материалы докладов на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» Воронеж 12 -17 декабря 2005. С. 202-203

115. Чулков А. С. Динамика трех солитонного взаимодействия // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2004. том 11. -С. 362-363

116. Чулков А. С. Взаимодействие солитонов как частиц // Материалы 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука региону». Ставрополь, 5-27 апреля 2004 г. - С. 7678

117. Чулков А. С. Модель начального волнового профиля цунами // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2006. том 13.-С. 369-670

118. Каплан Л.Г., Чулков А. С. Динамика трехсолитонного взаимодействия // Материалы 48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука региону». Ставрополь, 5-27 апреля 2003 г. - С. 27-29

119. Чулков А. С. Динамика трехсфолитонного взаимодействия // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2003. том 10. -С. 776-777

120. Каплан Л.Г., Чулков А. С. Исследование фазового сдвига при взаимодействии солитонов // Всероссийская научная конференция студентов физиков 9. Красноярск: Изд-во КГУ, 2003. - С. 45 - 47

121. Каплан Л.Г., Чулков А.С., Лапин В.Г. Исследование фазового сдвига при взаимодействии солитонов // Материалы Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь, 20-23 сентября 2002 г. С. 199-203.

122. Каплан Л.Г., Чулков А. С. Исследование фазового сдвига при взаимодействии солитонов // Сб. Материалы Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003». М.: Изд-во МГУ, 2003. С. 256-267