автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Построение численных методов решения для уравнений власовского типа с разрывными коэффициентами

Введение

0.1 Модели плазмы.

0.2 Современное состояние исследований.

0.3 Цель работы.

0.4 Основное содержание работы.

0.5 Практическая ценность работы.

0.6 Основные результаты, выносимые на защиту.

0.7 Определения и обозначения.

1 Глава. Пример возникновения функционального решения задачи Коши для уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами

1.1 Случай /(х) = —здпх.

1.2 Случай /(х) = здпх.

2 Глава. Построение решения задачи Коши для уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами

2.1 Движение частиц в одном направлении

Случай /' > Г > 0.

Случай /г > ? > 0.

Случай /' > /г = 0.

Случай Г > /' = 0.

2.2 Движение частиц в противоположных направлениях

Случай /' < 0 < Г.

Случай Г < 0 < /'.

1. Сглаживание /(ж) по Стеклову на интервале [—<5; 6]

2. Сглаживание /(х) на интервале

3. Сглаживание /(х) на интервале

Обобщающая теорема для случая встречного движения частиц.

3 Глава. Построение функционального решения для уравнения Власова методом Добрушина

4 Глава. Построение численного решения задачи Коши для уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами. Сравнительный анализ

0.1 Модели плазмы

Термин "плазма" в физике был введен в 1929 Й.Ленгмюром (1Хаг^тшг) и Л.Тонксом (Ь.Топкв), проводившими зондовые измерения параметров низкотемпературной газоразрядной плазмы. Кинетика плазмы рассматривалась в работах Л.Д.Ландау (1936 и 1946), А.А.Власова (1938) и других. В 1942 Х.Альвен (Н.АИуеп) предложил уравнения магнитной гидродинамики для объяснения ряда явлений в космической плазме.

Подробное описание плазмы приведено в работах [14], [21], [19], [10], [13]. Остановимся на некоторых моментах.

При сильном нагревании любое вещество испаряется, превращаясь в газ. Если увеличивать температуру и дальше, резко усилится процесс термической ионизации, т.е. молекулы газа начнут распадаться на составляющие их атомы, которые затем превращаются в ионы. Ионизация газа, кроме того, может быть вызвана его взаимодействием с электромагнитным излучением или бомбардировкой газа заряженными частицами.

Свободные заряженные частицы, особенно электроны, легко перемещаются под действием электрического поля. Поэтому в состоянии равновесия пространственные заряды входящих в состав плазмы отрицательных электронов и положительных ионов должны компенсировать друг друга так, чтобы полное поле внутри плазмы было равно нулю. Именно отсюда вытекает необходимость практически точного равенства плотностей электронов и ионов в плазме - ее квазинейтральности.

Применительно к плазме несколько необычный смысл (по сравнению с другими разделами физики) вкладывается в понятия "низкотемпературная" и "высокотемпературная". Низкотемпературной плазмой принято считать плазму с Т < 10бК, а высокотемпературной - с Т > (106 - 108)К. Это условное разделение связано с тем, что проблема осуществления управляемого термоядерного синтеза решается для высокотемпературной плазмы.

В состоянии плазмы находится большая часть вещества Вселенной - звезды, звездные атмосферы, галактические туманности и межзвездная среда. Около Земли плазма существует в космосе в виде солнечного ветра, заполняет магнитосферу Земли и ионосферу. Процессами в околоземной плазме обусловлены магнитные бури и полярные сияния.

В лабораторных условиях и промышленных применениях плазма образуется в электрических разрядах в газах (дуговом разряде, искровом разряде, тлеющем разряде и пр.), в процессах горения и взрыва, используется в плазменных ускорителях, магнитогидроцинамических генераторах, в установках для исследования управляемого термоядерного синтеза.

В резком отличии свойств плазмы от свойств нейтральных газов определяющую роль играют два фактора. Во-первых, взаимодействие частиц плазмы между собой характеризуется кулоновскими силами притяжения и отталкивания, убывающими с расстоянием гораздо медленнее (т.е. значительно более дальнодействующими), чем силы взаимодействия нейтральных частиц. По этой причине взаимодействие частиц в плазме является, строго говоря, не парным, а коллективным - одновременно взаимодействует друг с другом большое число частиц. Во-вторых, электрические и магнитные поля сильно действуют на плазму, вызывая появление в ней объемных зарядов и токов и обуславливая целый ряд специфических свойств плазмы. Эти отличия позволяют рассматривать плазму как особое, "четвертое" состояние вещества.

Основными методами теоретического описания плазмы являются: исследование движения отдельных частиц плазмы, магнитогидро-динамическое описание плазмы, кинетическое рассмотрение частиц и волн в плазме.

Кинетические уравнения для плазмы - это замкнутая система уравнений для одночастичных функций распределения частиц плазмы по координатам г и скоростям V (импульсам р) совместно с уравнениями Максвелла для средних налряженностей электромагнитных полей, создаваемых частицами плазмы. Кинетический подход к описанию состояния плазмы часто играет важную роль в описании макроскопических свойств плазмы, которые не могут быть выявлены при гидродинамическом подходе.

Наиболее простыми являются кинетические уравнения для полностью ионизированной электронно-ионной плазмы - уравнения для функций распределения электронов (а = е), однозарядных ионов (а = г) и налряженностей электрического Е(ги магнитного #(г, /) полей.

Точное уравнение для функций имеет вид д/а д/а ( 1 , Л д/а . + „ + - [„Я]) — = /.(г.р.О, где - интеграл столкновений.

Электромагнитное поле и Я(г, <) определяется из уравнений Максвелла:

Кинетические уравнения для плазмы существенно упрощаются в двух предельных случаях. В случае, когда длина свободного пробега и время свободного пробега малы по сравнению с характерными соответствующими параметрами задачи, то возможен переход от кинетических уравнений для плазмы к соответствующим газодинамическим уравнениям, учитывающим столкновения, например, к уравнению Больцмана. В случае, когда длина свободного пробега и время свободного пробега велики по сравнению с характерными соответствующими параметрами задачи, то столкновениями частиц можно пренебречь, учитывая только коллективное взаимодействие частиц через самосогласованные поля. Это бесстолкновительное приближение приводит к уравнению Власова - уравнению, в котором интеграл столкновения = 0.

0.2 Современное состояние исследований

Уравнение Власова - это одно из наиболее используемых кинетических уравнений статистической механики, описывающее предельную ситуацию слабо взаимодействующих частиц с большим радиусом взаимодействия. Многие концепции неравновесной статистической механики допускают естественное с математической точки зрения и с точки зрения иных возможных приложений обобщение. Они применимы к описанию эволюции вероятностных характеристик большой системы одинаковых локально взаимодействующих частиц, задаваемой любой однородной по пространству системой ОДУ. а сНуН = 0.

Систематическое исследование гиперболических систем уравнений с разрывными коэффициентами начато в работах Й.М.Гельфанда м

Задачу Копти для уравнения Власова изучали Маслов [15], Браун, Хепп [25]. Они построили решение уравнения Власова для классических механических частиц, взаимодействующих посредством двухчастичного дифференцируемого потенциала; специально отмечается в работе Хеппа [25], что единственность решения не доказана. Хепп доказал локальную теорему существования [25].

На сегодняшний день построение решения задачи Коши для уравнения Власова представляет собой проблему математической физики, т.к. нет глобальной теории существования.

В статьях [26], [27] описываются бесстолкновительные модели для звездных систем или физической плазмы, которые широко изучались в течение последних лет.

Статья [26] посвящена изучению задачи Коши (задачи с начальными условиями) для нелинейной системы В л асова- П у ассон а-Фоккер а-Планка в трехмерном пространстве. Эта система моделирует плазму со столкновением, включающую броуновское движение.

Система Власова-Пуассона-Фоккера-Планка изучалась в [31], [40]. В этих работах для двухмерного случая было доказано существование глобального по времени единственного классического решения. В трехмерном случае в [44] доказано существование локального по времени гладкого решения системы Власова-Пуассона-Фоккера-Планка. В работе [41] были получены достаточные условия для доказательства того, что решения являются глобальными по времени. Все эти результаты были доказаны согласно предположениям, что начальные условия должны быть гладкими и со специальным затуханием для начальных условий и их производных на бесконечности.

В [45] доказано, что решение, построенное авторами в [31], [40], было фактически глобальным решением. Там же получены результаты о регулярности решения. Это стало возможным благодаря выводам в [37], полученным для уравнений Власова-Пуассона. Также можно сослаться на работу [46], в которой получаются аналогичные результаты другими методами.

Цель статьи [26] состоит в том, чтобы изучить задачу Коши для нелинейной системы Власова-Пуассона-Фоккера-Планка в трехмерном пространстве со специального вида затуханием начальных условий. Этот вид начальных условий уместен с физической точки зрения. Например, концентрации плотности в плазме на линии или поверхности имеют таковой вид. Увязка уравнений с этим видом начальных условий впервые изучались в [29] и в [32], в которых в срезе механики жидкостей решается аналогичная проблема для уравнений Навье-Стокса с начальными условиями в пространствах Морея. Некоторые идеи и методы статьи [26] взяты из [29] и [32]. В этой статье вычисляются плотности, содержащиеся в некоторых модифицированных пространствах Морея, при условии равномерной ограниченности вектора силы. В этом срезе получено глобальное и локальное существование в зависимости от функции начального распределения частиц в соответствующих нормах. Следуя таким же рассуждениям, что и в [35], стало возможно обобщить результаты, полученные в статье [26], приняв, что начальные условия являются функцией распределения, содержащейся в пространстве типа Бесова, которое основано на интерполяции между пространствами Морея.

В двух статьях [47] и [38] изучается существование глобальных решений в виде мер для однокомпонентных уравнений Власова-Пуассон а-Фоккера- Планка в одномерном пространстве. В статье [47], чтобы проанализироать одномерное уравнение Власова-Пуассона, используется его связь с двумерным уравнением Эйлера с начальными данными для вихревого слоя. В [38] построены определенные решения, которые показывают явления формирования особенности на конечном промежутке времени.

В статье [27] рассматривается модель с эффектом столкновения. Система Власова-Пуассона-Фоккера-Планка моделирует распределение частиц в плазме под действием гравитационных или электростатических сил. Эффекты столкновения определяются в соответствие с броуновским движением частиц.

В [27] глобальное существование расширенных решений для уравнений Власова-Пуассона-Фоккера-Планка в трехмерном пространстве доказано для начальных данных из пересечения пространств Ь1 и 7Л Также анализируется глобальное существование расширенных решений в четырехмерном пространстве с маленькими начальными условиями. Решения сходятся к тем, которые были получены в статье [33] для системы Власова-Пуассона.

В работе [39] гидродинамика Власова получена из микроскопическах уравнений квантовой механической модели, которая моделирует группы притягивающихся частиц. Только в некоторых ограниченных случаях извлечение макроскопических динамических законов из микроскопических уравнений движения больших квантовых систем производится строго. К сожалению, не имеется пока еще никакого строгого вывода гидродинамики из квантовой статистической механики.

Статья [39] посвящена переходу от микроскопических уравнений движения к форме гидродинамики, то есть к модели Власова для квантовой механической модели, которая, хотя является относительно простой, но имеет некоторое физическое значение.

В [39] показано, что местная микроскопическая динамика модели соответствует в подходящем масштабе времени идеальному газу Ферми.

В макроскопическом описании расстояние, импульс и время вычислены в прямой пропорции к константам ДО1/3 и 1 соответственно: таким образом, в этом описании единица расстояния - по существу средний радиус системы, и средний интервал по времени - интервал, требуемый для частицы, чтобы пересечь это расстояние. Полученный результат - то, что в пределе макроскопическая эволюция системы дается классической гидродинамикой Власова: квантовые виды системы, которые служат, чтобы генерировать эту динамику, заложены в структуре начальных условий. Так что результаты статьи [39] могут быть расценены как естественная комбинация классического предела и средней теории поля.

Статья [25] показывает, что динамика Власова действительно описывает непрерывную предельную ситуацию для частиц со слабым взаимодействием. Динамика Власова также асимптотически описывает эволюцию во времени К- частичной-системы, где вероятностная мера удовлетворяет "молекулярному хаосу". Асимптотическое распространение молекулярного хаоса было установлено ранее для частичного газа" и для уравнения Больцмана. В статье [25] показано, что для факторизуемых начальных условий приближения сходятся к Гауссову стохастическому процессу.

Работа [34] имеет отношение Римановой проблеме для резонансной нелинейной системы законов сохранения. Классическое решение в смысле Римана составлено из ударной и разреженной волн. Но в настоящее время, решения Римановой задачи могут иметь три различных разрыва. Кроме того, появляются волны Дирака в некоторых решениях. Введение понятия функции Дирака в классическое расширенное решение прослеживается уже в 1977 в диссертации Корчинского. Однако, эта новая идея не получала достаточного внимания до Тана и Занга, которые обнаружили в 1989, что необходимо ввести ударные волны Дирака в их построенное решение задачи Римана двумерной системы законов сохранения. Позже Тан, Занг и Зенг успешно дали выражение ударной волны Дирака для одномерной системы законов сохранения. В 1993, Динг, оправдал введение функции Дирака в Римановы решения, используя гармоническую функцию и интегралы Лебега.

В работе [34] метод вязких последовательных приближений используется, чтобы решить Риманову проблему. Это было начато в работах В.А.Тупчиева и Дафемора. Поскольку строгую гиперболичность также как подлинную нелинейность системы невозможно рассмотреть, то решение Римановой задачи не единственно для некоторых начальных данных. Чтобы гарантировать однозначность, было предложено дополнительное условие. Также условие энтропии было получено для волны Дирака.

Уравнение Власова может быть получено из уравнения Лиу-вилля для функции распределения всех частиц данного сорта а, если пренебречь корреляциями частиц и предположить, что многочастичная функция распределения есть произведение одночастичных функций распределения.

Уравнение Лиувилля - это одно из основных уравнений статистической физики для плотности функции распределения частиц р в фазовом объеме. В пространстве уравнение имеет вид др длю р/ — О, где / - поле скоростей частиц.

В одномерном случае уравнение Лиувилля имеет вид уравнения неразрывности др ,др/

В [9] приводятся простые примеры решения уравнения неразрывности, в котором поле скоростей обладает особенностями. Например, если /'х < 0, то в процессе движения задние частицы приближаются к передним и плотность частиц в среде возрастает. При этом в среде возникает бесконечно малая по размерам порция конечной массы, т.е. дельтаобразной плотности.

Пример 1. Пусть скорость / имеет скачок = /о>0,(«<0); / = 0(®>0), а начальная плотность постоянна. Тогда все частицы с отрицательной полуоси х "притискиваются" к началу координат и там остаются навечно. Соответствующая картина характеристик показана на рисунке.

Так как за время начале координат сосредоточится масса о(* — то искомая плотность среды где 6{х) - обобщенная функция Дирака.

Уплотнение может образоваться и для непрерывного поля скоростей, если при приближении к некоторой характеристике поле направлений характеристик поворачивается ненормально быстро, точнее, если Ц на этой характеристике обращается в бесконечность.

Пример 2. Пусть скорость где А > 0, а (Е (0 ^ ;теристик пока

0М) = ро + /0(< - го)ро6о(х)> = А\х\а,х <0; / = -Ахаьх > 0, зана на рисунке.

Интегрирование уравнения Ш = / при начальном условии х x(t{) — x\ дает:

- - A( 1 - a)(t - ti)] 9t<tl + А(11а)х\-° x = * * +

Пусть в начальный момент времени среда была однородной, т.е. Ро(х) = ро. Тогда в любой момент времени t > to в точке х = 0 сосредотачивается масса

2р0 [¿(1-<*)(*-Плотность при х > 0 равна p(x,t) = ро [1 + А{ 1 - <*)(* - .

Суммарная формула для плотности Ро [1 + А(1 - a)(t - [А{ 1 - а)(* - 60(х).

Если же частицы столь же активно расходятся друг с другом, то может возникнуть разрыв сплошности среды (кавитация), в результате которого в среде возникнут интервалы нулевой плотности.

Пример 3. Рассмотрим следующее поле скоростей частиц: = 0,(х<0), / = /о>0,(*>0) при постоянной начальной плотности. Характеристики показаны на рисунке.

Мелкой штриховкой покрыта зона кавитации. Плотность получается равной .ч / Ра , -оо < х < 0, /0(* - *0 < х < оо), \ 0 , 0<*</о(*-<о).

В примерах, рассмотренных выше показано, что наличие особенностей поля скоростей приводит к качественно новой картине эволюции среды.

Следует отметить, что, вставляя в решение функцию Дирака, исследователи пользовались лишь общими представлениями о характере изменения среды в том или ином случае.

Итак, одним из центральных объектов изучения современной физики являются физические поля.

Рассмотрим способы описания движения среды из невзаимодействующих частиц, движущихся упорядоченно [9].

Пусть некоторая частица движется вдоль оси ж, закон ее движения выражается уравнением х = Этот закон определяет всю кинематику частицы, т.е. все характеристики ее механического перемещения - скорость и ускорение в любой момент времени и т.д.

Закон движения системы частиц выражается системой равенств XI = Я1ОО, «2 = Х2(г)> хл = где индекс указывает номер частицы к которой относится равенство. В случае, когда число частиц весьма велико, приходится пользоваться принципиально иным способом описания системы частиц.

При рассмотрении такой системы естественно не называть их по номерам, а воспользоваться каким-либо параметром, принимающим непрерывные значения. Более естественно за параметр, определяющий частицу, принять ее координату хо — = ( в некоторый фиксированный начальный момент времени I = ¿о- Переходя к непрерывным значениям параметра £, дискретная система из большого числа частиц заменяется на непрерывную модель, другими словами, на поле (сплошную среду), изучая которое можно сделать выводы и о свойствах исходной системы. Эта двойственность, состоящая в том, что один и тот же объект трактуется то как дискретная система, то как поле, породила название среда из частиц.

При переходе от системы из большого числа частиц к сплошной среде естественно вводится понятие линейной плотности среды

Ат 6 т

Р = Л1Ш —- = -7—.

Ах—*о Ах ах

Эта плотность будет, вообще говоря, различной в разных точках оси жив разные моменты времени т.е. р — 2).

Плотностью среды из частиц особенно удобно пользоваться для характеристики этой среды, если все эти частицы тождественны.

При описании упорядоченного движения среды принято считать, что ее состояние в некоторый момент времени определяется заданием как плотности /?0М), так и скорости v(x,t).

Если известна функция то можно восстановить закон движения частиц, решая дифференциальное уравнение = г>(ж,<), при этом различным начальным условиям s|í=ío = £ отвечают законы движения различных частиц х = x(t, £).

Пусть заданная скорость не зависит от времени (автономный случай), т.е. v = v(x).

Если задается стационарное поле скоростей, то из закона сохранения масс следует стационарность поля плотностей: p(x)v(x) = const, откуда видно, что в случае, когда v = v(x) меняет знак, т.е. если поле скоростей в разных точках оси х может иметь различное направление - стационарное решение невозможно.

Итак пусть V = и(х) не сохраняет знака, тогда точка а, такая, что v(a) = 0 - точка покоя (точка застоя) потока. Когда ж, возрастая, переходит через точку х = а и функция v = v(x) меняет знак с и + и на и — тогда вблизи точки х = а движение частиц по обе стороны направлено к а, а потому рассматриваемое положение равновесия частиц будет асимптотически устойчивым, т.е. при t оо частицы будут стремится к х = а. Когда ж, возрастая, переходит через точку х — а и функция V = v(x) меняет знак с й - " на " + тогда вблизи точки х = а движение частиц по обе стороны направлено в разные стороны от а, и такое положение равновесия частиц будет неустойчивым.

При одномерном упорядоченном движении частиц, таком, что масса среды в процессе эволюции не меняется, между функциями р(ж, t) 'и v(x, t), характеризующими эту эволюцию, имеется простая связь, так называемое уравнение неразрывности dp(x,t) dp(x,t)v(x) = Q di дх

Для получения определенного решения задается дополнительное начальное условие p(M)|t=to = р°{х).

Если функция v(x) непрерывна, то решение этой задачи можно построить методом характеристик.

Однако, как отмечено в [3], если функция у(х) разрывная, то вопрос об определении решения становится особенно трудным, т.к. отсутствие непрерывности влечет за собой отсутствие классических и даже обобщенных решений задачи Коши в целом, т.е. при / > 0.

Простейшим примером тому служит задача Коши для ОДУ с разрывной правой частью

Несложно установить, что функция х{1) = 0 является функциональным решением [4] этого уравнения, но не относится к классическим и обобщенным решениям. Т.е. разрывная правая часть ОДУ приводит к возникновению в задачах решений, которые относятся к новому классу функциональных решений [3].

Внимание вопросам решения ОДУ с разрывными правыми частями уделялось в работах отечественных и зарубежных ученых.

ОДУ с разрывной правой частью изучались, главным образом, в следующих двух направлениях. Во-первых, для дифференциальных уравнений (и систем) с разрывной правой частью очень общего вида доказывались теоремы о существовании решения и исследовались основные свойства решений. Эти результаты связаны с обобщением понятия решения дифференциального уравнения и охватывают также тот случай, когда правая часть дифференциального уравнения разрывна во всех точках рассматриваемой области [2], [30], [36], [43].

Во-вторых, для дифференциальных уравнений (и систем) с кусочно-непрерывной правой частью в ряде работ [16], [18], [42], [23], [24] исследовалось поведение решений с качественной стороны. Решения таких уравнений составляются из кусков, каждый из которых проводит в области, где правая часть уравнения непрерывна, а иногда также из кусков, лежащих на границе двух областей непрерывности правой части. Применение такого метода вызывает затруднения в тех случаях, когда в течение конечного промежутка времени решение бесконечное число раз попадает на линию разрыва (поверхность разрыва) правой части дифференциального уравнения. В подобных случаях нельзя доказать обычными методами теоремы о существовании решения, о продолжаемости его, о единственности и непрерывной зависимости решения от начальных условий.

В работе [20] дается новое определение решения системы дифференциальных уравнении с разрывной правой частью, и изучаются свойства таких решений (существование, продолжаемость, единственность, непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части).

При некоторых ограничениях обосновывается возможность применения к таким уравнениям основных методов качественной теории дифференциальных уравнений. Полученные результаты используются для исследования систем дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывной правой частью. Такой подход позволяет преодолеть затруднения, появляющиеся в тех случаях, когда решение не может быть составлено из конечного числа гладких кусков, и получить ряд новых результатов.

В частности, для систем уравнений с кусочно-непрерывной правой частью при достаточно широких предположениях доказываются теоремы существования, продолжаемости, единственности и непрерывной зависимости решения при 2 > ¿о от начальных условий, заданных при I = ¿о

В тех случаях, когда решение, попав при некотором I = на линию (или поверхность) разрыва правой части системы дифференциальных уравнений, уже не может с нее сойти, возникает вопрос о продолжении решения при I > ¿1.

Из определения решения, сформулированного в статье А.Ф.Филиппова, вытекает, что такое решение вполне определенным образом продолжается вдоль линии (или поверхности) разрыва. Этот способ продолжения допускает простое истолкование. Оказывается, что решение в смысле А.Ф.Филиппова дифференциального уравнения с разрывной правой частью можно рассматривать как хорошее приближение к решению уравнения с непрерывной правой частью, если правая часть сильно меняется в некоторой очень узкой полосе и сравнительно слабо меняется вне этой полосы. С другой стороны, это же решение можно рассматривать как хорошее приближение к решению уравнения с запаздыванием, если время запаздывания очень мало.

В [3] устанавливается связь решений ОДУ с разрывной правой частью в смысле А.Ф.Филиппова и регулярных функциональных решений для приближенных методов.

Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью возникают, например в физике плазмы в процессе моделирования массо-переноса в ЯЭУ при наличии встречных потоков вещества (лазерный термоядерный синтез).

0.3 Цель работы

Целью настоящей работы является разработка и обоснование методов построения аналитических и численных решений для уравнений Власова-Лиувилля, порожденных обыкновенными дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями.

0.4 Основное содержание работы

Первая глава посвящена рассмотрению примера возникновения неклассического (функционального) решения задачи Коши для уравнения Лиувилля.

В первом параграфе рассматривается поле скоростей частиц вида х) = —&дп ж.

Это соответствует ситуации, когда частицы, со скоростями по модулю равными единице, движутся навстречу друг другу.

Во втором параграфе рассматривается поле скоростей частиц вида х) = здпх.

Это соответствует ситуации, когда частицы разлетаются друг от друга в противоположные стороны со скоростями, по модулю равными единице.

Доказывается, что в обоих случаях решение задачи функциональное. Для доказательства принадлежности полученных решений к классу функциональных проверяются условия слабой устойчивости и слабой аппроксимации.

Вторая глава посвящена построению решений задачи Коши для уравнения Лиувилля с разрывными, постоянными на полуосях, коэффициентами.

В первом параграфе рассматривается движение частиц в одном направлении, а во втором параграфе - в противоположных направлениях.

В последнем строятся различные способы регуляризации разрывной функции поля скоростей частиц. Доказывается, что при любом способе сглаживания решением задачи Коши для уравнения Лиувилля является одна и та же функция при рассмотрении встречного движения частиц.

В третьем параграфе тот факт, что вне зависимости от способа сглаживания разрывной функции поля скоростей частиц мы приходим к одному и тому же результату, позволил сформулировать и доказать обобщающую теорему для задачи с функцией поля скоростей более общего вида в случае встречного движения частиц.

Третья глава посвящена регуляризации уравнений власов-ского типа и обоснованию предельного перехода по сглаживанию Р.Л.Добрушина. Рассматривается задача Коши для уравнения Власова без магнитного поля. Доказывается, что решение принадлежит к классу функциональных решений.

Четвертая глава посвящена построению численных методов решения задачи Коши для уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами для всех случаев, в которых построены неклассические решения. Проводится сравнительный анализ результатов.

0.5 Практическая ценность работы

Результаты, полученные в данной работе позволяют разрешить проблемы, появляющиеся при численном решении уравнения Власова-Лиувилля в процессе моделирования массопереноса в ЯЭУ при наличии встречных потоков вещества (лазерный термоядерный синтез)

0.6 Основные результаты, выносимые на защиту

1. Обоснование неклассических решений Я.Б.Зельдовича и А.Д.Мыш-киса для уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами.

2. Применение теории функциональных решений для построения решения уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами.

3. Обоснование разрешимости задачи Коши для уравнения Власова на основании регуляризации Р.Л.Добрушина.

4. Численный метод для приближенного вычисления функциональных решений уравнений Лиувилля-Власова с разрывными коэффициентами.

0.7 Определения и обозначения

Приведем некоторые определения и обозначения, необходимые для прочтения работы.

Определение функционального решения (см. [4])

Пусть П - локально компактное сепарабельное метрическое пространство, являющееся <т-конечным относительно плотной бореле-вой меры конечной на компактах, строго положительной на открытых множествах в О. (Борелева мера называется плотной, если 1*>{Е) — вир У>(К)У где К\ - класс компактных подмножеств из

ЕэКэКг пространства О). Обозначим символами йх и д* лебеговы меры на = {ж = (ж1,.,жп)} и Д] = {¿} соответственно; В - множество финитных ограниченных борелевых функций на топологическом произведении <3 = П х х Их\ (¿о = й х Ип\ В00 - бесконечно дифференцируемые по переменным (ж,*) € Я» х функции из пространства В, производные которых лежат в В; Ь1°°(А> ь>) - множество борелевых функций на множестве А, локально суммируемых по борелевой мере v. Пусть на множестве определены отображения у 1[0С(П,1/), 0<2<п, где и = II <8> (1Х <8> На множестве функций и = {и е : и\^)€ВлХКГ е £>, fjOu)eL[oc(n,v)i0<j<n + l} рассматривается система интегральных уравнений относительно неизвестной переменной и € М:

1/(<ВД+ (0.1) Я п о О и^д + £(/) ° + (/„+1 о и)д

У=1 / ^Ь=о(/о о ио)Ь=о^о(^о) = о, <?0

Vд € где мера i/o = ¡i <g> dXb и0 - заданная функция из множества L1°c(Qq,vq) такая, что суперпозиция (/0 о i¿o)|*=o принадлежит Система соотношений (0.1) служит для определения обобщенного решения и € M задачи Коши

J{up dtft\U) xj)+± dXi t) - /£Й(«, t) = o, (0.2) из € ft, гей,, t > 0, tt|fe0 = u0, и; G ft, ж € Rn. (0.3)

Наиболее содержательное описание класса корректности для этой задачи получено в [11], [12], когда card Ü = 1. Для случая card Ü > 1 понятие обобщенного решения, определяемого системой соотношений (0.1), является стеснительным с точки зрения обоснования корректности задачи и вычислительных методов. Предлагаемое в работе [4] расширение понятия решения (функциональные решения) позволяет обосновать сходимость приближенных методов при наличии равномерной по параметру априорной оценки аппроксимаций в пространствах Ll°cb 1 < р < оо. Обозначим £ векторное пространство, состоящее из линейных комбинаций

F8Ji = £ Îid*i9 + /п+19 + иди U ев, x<fêt ;=о

• • с произвольным g € 5°°, д\ G В. Для каждого вектора F £ £ определим операторы 7Г, 7гь 7Го следующими соотношениями n(Fpg\t=ofo\t=o + 9i\t=ou, t0(F)^ ir^o).

Пусть £+ = {/} - алгебраически сопряженное пространство к £, по определению состоит из конечных линейных функционалов на линейном пространстве £. На £+ зададим топологию <т(£+,£) посредством системы полунорм {pf}f€¿> где PfQ) = V/ G F Е £. Топологическое пространство £+, а(£+)£) локально вьшуклое и хаус-дорфово. В указанной топологии каждое отображение I —> /(F), I G £+, (VF € £) непрерывное (по определению этой топологии из [22]). В [4] существенно используется критерий из [22] для относительной компактности множеств в построенном таким образом топологическом пространстве £+, <т(£+,£): sup pf(1) < оо l€G для каждого элемента F е £.

Рассмотрим вложение множества М в £+, которое определим формулой

ЦРУ¡ф о «МЛ?), ^ <Е Я. (0.4)

Следует отметить, что интеграл в правой части этой формулы для функции «£ М непременно конечный, так как в силу финитности пробных функций д я дг, входящих в Р) интегрирование распространяется лишь по компактному носителю этих функций.

В [4] доказана следующая лемма.

Лемма 0.1 Вложение (0.4) мономорфно на классах эквивалентности функций из М, совпадающих почти везде на множестве ф относительно меры и.

Положим [М] - замыкание образа вложения (0.4) множества М в пространство £+, <т(£+,£). На множестве [М] рассмотрим индуцированную тихоновскую топологию 0"(£+, £). Аналогичным способом вложим множество начальных данных Мо, состоящее из функций и0, которые вместе с суперпозициями (/о о «0)|*=о принадлежат пространству 1/1°е(<до,ио), в пространство £о", являющееся алгебраически сопряженным к векторному пространству Ео^к^В). При этом считаем, что на £(/" введена топология сг(£о",£о), задаваемая множеством полунорм где р$ = \Щщ(Р))1 № £ £¡1". Соответствующее вложение множества Мо в £+ осуществляется отображением

Ущем:щ-+е /Оп(^) 0

Свойство его мономорфности формулируется и доказывается так же, как и в лемме 0.1. На образе этого вложения множества Мо в ££ введена топология <т(£о",£о).

Если функция и € М является решением задачи (0.1) (т.е. обобщенным решением задачи (0.2), (0.3)), то равенства (0.1) эквивалентны соотношениям

Цтг(Р)) + = о, VF е £.

Определение 0.1 Элемент I Е [М] назовем функциональным решением уравнения (0.2) с начальным условием щ 6 Мо, если для каждого элемента Р € £ справедливо равенство

1(ж (Л) + = о. (0.5)

Определение 0.2 Назовем классом однозначной разрешимости задачи (0.2), (0.3) такое подмножество US С [М] С £+, что каждому начальному данному щ € Mq соответствует только одно функциональное решение этой задачи, принадлежащее US.

Определение 0.3 Будем говорить, что задан приближенный метод решения задачи (0.5), обозначаемый АР, если указан выбор параметрического семейства элементов в множестве М: а —» иа £ М, а £ А.

Определение 0.4 Приближенный метод АР назовем регулярным, если выбор обобщенной последовательности {ма}а€л сделан на основе решения семейства уравнений, заменяющих (0.2):

Ja{uа) = 0, а е А, и область определения совокупности операторов {Ja}a^A содержит множество V С М, плотное в топологии Ll°c во множестве определения U(V С U С М) оператора J из уравнения (0.2). Предполагается, что для каждого v € V справедливо соотношение limJa(v) = J(v) всюду на Q, где предел рассматривается на направленном множестве А параметров метода АР.

Определение 0.5 Функциональное решение I Е [М] назовем регулярным, если оно является пределом последовательности аппроксимаций, задаваемых регулярным методом.

Определение 0.6 Регулярный метод АР слабо аппроксимирует задачу (0.5), если можно указать заданную эти методом обобщенную последовательность приближений иа, для которой значения невязки a(Fp\lMF)) + ©í=o(Tro(F))| + IOS? - Fes стремятся к нулю при каждом F € £ на направленности параметров А. Назовем приближенный метод АР равномерно слабо аппроксимирующим задачу (0.5), если невязка стремится к нулю при всех значениях щ е М0 на общей для этой совокупности направленности параметров А.

Определение 0.7 Метод АР сходится, если он определяет сходящуюся в пространстве [М], сг(£+,£) обобщенную подпоследовательность {1иая}, пределом которой является функциональное решение задачи (0.5).

Определение 0.8 Назовем метод АР слабо устойчивым, если

Метод назовем равномерно слабо устойчивым, если соотношение (0.6) имеет место сразу для всех начальных данных щ € Мо на общей для этой совокупности направленности параметров А.

Замечание. В силу теоремы Банаха-Штейгауза [22] условие устойчивости (0.6) эквивалентно следующей равномерной оценке приближений иа в пространстве ^((¿^ и): выполняющейся на каждом компакте К С ф.

В [4] доказана следующая теорема.

Теорема 0.1 Пусть регулярный метод АР слабо аппроксимирует задачу (0.5) и является слабо устойчивым. Тогда он сходится к функциональному решению задачи (0.5). Если метод является равномерно слабо аппроксимирующим и равномерно слабо устойчивым, то можно указать класс однозначной разрешимости задачи (0.5) и 5, такой, что на некоторой направленности параметров метода аппроксимации сходятся к точкам из Л Б сразу при всех начальных данных из Мо.

Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью (см. [20])

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

0.6) а$Ак

0.7) и = (г/Чи«) ей», / = /«) € Д

Для краткости будем обозначать точку (г/1), .,««) »-мерного пространства через точку и, точку .,««) (п + 1)- мерного пространства - через (*, и). Будем называть и вектором и обозначать через и\ его норму: и| = + . + (и«) 2, а через ми - скалярное произведение векторов «иг; норма разности 1« — «1 равна расстоянию между точками и и V.

Через ии(6) обозначим ¿-окрестность точки и в пространстве (и^,., м«), т.е. замкнутый шар радиуса 6 с центром в точке и Е 11п. Замыкание какого-либо множества Е будем обозначать чертой сверху: Ё. Выпуклое замыкание, т.е. наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее множество Е, обозначим через ком Е. Множество значений функции (или вектор-функции) /(«), принимаемых на множестве обозначим через /(Е). Если не все множество Е принадлежит области определения функции /(«), то через /(Е) обозначим множество значений функции /(«), в тех точках множества Е, в которых она определена. Множество значений функции (вектор-функции) /(/,«), принимаемых при и £ Е и фиксированном ti обозначим через

В теории функций действительного переменного имеются понятие существенной верхней грани скалярной функции <р на множестве Е (если пренебречь значениями функции ц> на множествах меры нуль): vrai max <р(и) = inf sup ip. ¿.(ло-o uçe-N ' где du - мера Лебега, а нижняя грань (inf) берется по всем множествам меры нуль, и аналогичное понятие существенной верхней грани функции (р в точке «, для которой примем обозначение М{<р(и)}:

М{<р(и)} = lim vrai max <р(и'). б-* о u'eu%(6)

Существенные нижние грани функции (р на множестве Е ив точке и будем обозначать соответственно так: vrai minv?(u), ибЯ v ' m{v?(«)} = lim vrai min ч>{и').

S—tO u'€ UU(S)

В [20] приводится два равносильных между собой определения решения системы или, что то же самое, уравнения .

Определение 0.9 Вектор-функция и{1), определенная на интервале (¿1,^2)1 называется Ф-решением (решением А.Ф.Филиппова) уравнения (0.7), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех1 Е (<1,^2) для любого 6 > 0 вектор принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству (п-мерного пространства), содержащему все значения вектор-функции /(2, и'), когда и' пробегает почти всю 6-окрестность точки и{1) в пространстве и (при фиксированном I), т.е. всю окрестность, кроме множества меры нуль. В принятых ранее обозначениях

Определение 0.10 Вектор-функция и(1), определенная на интервале {¿иЬ) называется Ф-решением уравнения (0.7), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех% € при любом выборе ортогональной системы координат в пространстве В,п ствует выбранной ортогональной системе координат.

Равносильность обоих определений Ф-решения установлена в [20] на основании следующей леммы.

Лемма 0.2 Для того, чтобы абсолютно непрерывная вектор-функция являлась Ф-решением уравнения (0.7) в смысле определения 0.9, необходимо и достаточно, чтобы почти при всех I для каждого вектора V € Яп выполнялось неравенство

Сравнение Ф-решений с другими определениями решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (классическими, по Каратеодори, по Розенталю, по Викторовскому, др.) проведено в [20].

Вопросы предельного перехода в дифференциальном уравнении рассмотрены в теореме 3 работы [20]. Однако ниже приведем ее в несколько измененном виде (см. [3]), что необходимо для настоящей работы.

1и(£) (И П Л /(*, 11^(6) - НУМКУ, «(*)}.

Теорема 0.2 Пусть последовательность абсолютно непрерывных функций {ukjkeN пРи ¿1 < i < ¿2 содержится в замкнутой ограниченной области D С Rn и удовлетворяет соотношениям /*(*, «*(.)) + qk(t, «*(•)), k = 1,2,. с измеримыми правыми частями. Пусть операторы fk(t>')> Qk(t>')) к € N, определенные на множестве непрерывных функций C[tj><3]> таковы, что на каждом компактном в топологии пространства Cjil)iaj семействе G имеют место соотношения f6>0 Э*ь(*,(У): Vfc> *о, Vu€(?: u(0) € П conv f(t, i/ttW(i) - JV),

JV)»0 2

IkWIk <M*)> и и при этом справедливы неравенства д. < const, sup ||Л||л„ < const, k€N где f - правая часть системы (0.7). Тогда

• приближения образуют компактное семейство в пространстве C[tlit2 ]/

• предельная функция и любой равномерно сходящейся при к —► оо подпоследовательности приближений щ есть Ф-решение системы (0.7).

Определение решения уравнения Власова (см. [7])

Пусть Rn - евклидово пространство размерности n, п = 1,2,. Пусть C^{Rn) (и Cji(Rn)), к = 0,1,. - пространства функций от х 6 Rn со значениями в Rn (или соответсвенно ъ R{), имеющих ограниченные частные производные порядков j = 0,1, Пусть Cj)(Rn) (и Со(Яп)) - пространства, принадлежащих C^(Rn) (или соответственно C^(Rn)) функций, имеющих компактный носитель. Пусть Lk(Rn)<, к = 1,2,. -пространство функций от х Е Rn со значениями в Rn, имеющих ограниченные непрерывные частные производные порядков j = 1,., к, (сами функции могут быть неограничены). Через D / будем обозначать градиент функции / G Cl(Rn). В случае, когда точки х € Rn представляются в виде х = (х!,х2), где х\ € ЙЯ1, € й»3, ni + п2 = п, через DXlf и Др3/ будем обозначать градиенты / по соответствующей совокупности переменных, так что D f — (DXxf>DX2f).

Пусть Вп - совокупность борелевых подмножеств в Rn и Мп -совокупность зарядов на Rn, т.е. счетно-аддитивных вещественнознач-ных функций множества ß{B), В € Вп таких, что норма

H/i|| = sup \ß(B)\ < оо.

В€ВЯ

Через М+ будем обозначать совокупность конечных мер, т.е. зарядов ß € Мп с неотрицательными значениями. Совокупность мер ßM£ таких, что \\ß\\ = ß{Rn) = С", будем обозначать через М+(С). Меры ß Е М+(1) называют вероятностными. Для любой функции / € C°(Rn) или / € С$(Ä») положим = / f(x)ß(dx)t р Е Мя.

Rn

Нас будет интересовать асимптотика при N оо решения системы N дифференциальных уравнений вида dx-W) N Aixiity+N-1 £ В(х^)-х^))у < = »., Л, < € Äi, (0.8) аг j=i где и Л 6 £*(#„), В € Cj(Än) - функции со значениями в Rn- Ситуации, рассматриваемой в механике, соответствует случай, когда п = 6, точки х € Re записываются в виде х — (д,р)> где д € Re интерпретируются как положения, ар Е Re - как импульсы частиц,

А(х) = (0.9) где Q € ^(Rß) - внешняя сила, действующая на систему,

J?(e) = (0,Ffo)), (0.10) где

F(q) = -D Ф(*), (0.11) А и Ф Е Сд#з) - парный потенциал взаимодействия частиц.

Решение (zi(*)> .,(«//(<)) системы (0.8) удобно описывать при помощи дискретных вероятностных мер t :«.<<)€ В, Be5n, i€Äb (0-12) задающих распределение частиц в фазовом пространстве в момент времени t. Естественно ожидать, что при N —► оо меры $ сходятся к непрерывным мерам, и уравнения Власова описывают эволюцию предельных мер. Таким образом, решение слабого уравнения Власова должно быть мерой, а решение сильного уравнения Власова, описывающего эволюцию плотностей мер, - неотрицательной функцией. Однако из-за желания доказывать отсутствие априори возможных знакопеременных решений далее рассматривается ситуация, когда начальное условие - мера, но само решение может быть зарядом.

Для любого заряда /л £ М.п положим

Вр(х) = fi(B(x - •)) = / В(х - x)fi(dx), х € я»

Ясно, что € Clb{Rn).

Пусть теперь А С Rx - конечный или бесконечный открытый интервал и t° G Д. Будем говорить, что семейство М = 6 А} зарядов fit € Мп, t € А, является слабым решением уравнения Власова на интервале А с начальным условием = /¿¿о е М+ в точке t°, если все функции fit(h) от t € А, где h 6 2>(#») и V{Rn) - пространство Шварца вещественных бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, дифференцируемы и = !н({А + B*)Dh), ДеЭДО, te А.

Если заряды fit заданы непрерывно дифференцируемыми плотностями тгt(x)j t 6 A, х 6 Rn, по мере Лебега в Rn, то семейство М = {ци t Е А} образует слабое решение уравнения Власова на интервале А в том и только в том случае, когда 7г*(ж) является сильным решением этого уравнения, т.е. = SVDx(nt{x)A{x))

- SpDx (7г*(ж) / В(х — х)жt{x)dx \ Д»

X е Rni t € А, где Sp DXR - это след £f=1 щR; матрицы производных вектор-функции R = (iii,.,Rn). В случае (0.9)-(0.11) уравнения (0.13) принимают обычную для механики форму = -pD^t{q,p) - Q(q)Dp(qiP)-~ HQ ~ Q)*t{q,p)dqdp^ Dpnt(q,p).

Введем класс Мд семейств зарядов М = {ptyi Е А}, обладающих следующими двумя свойствами: во-первых, для любого ограниченного интервала А' С А sup ||/*tII < Сд/ < оо (14) i6A' и, во-вторых, для любого х Е Rn функция bt{x) = В^х), t <= А, непрерывна, как функция от t Е А. Заметим, что семейство мер MN =

Е Й1}, определенное формулой (0.12), принадлежит Мд. Будем обозначать через Мд(/х°) совокупность семейств мер М Е Мд таких, что fit Е М+{\\р°\\), i € А и /ifO = р,\ где € Л4+.

В [7] доказывается следующая теорема.

Теорема 0.3

1. Для любого интервала А С Rit любых p,Q Е и t° Е А слабое решение М = Е А} уравнения Власова с начальным условием р° в точке t°f принадлежащее классу Мд, существует и единственно. При этом М Е Мд(/^°).

Если мера р? задана непрерывно дифференцируемой плотностью 7Г°, А Е L2(Rn) и В Е Cl{Rn)> то решение pt имеет непрерывно диференцируемые плотности, удовлетворяющие сильному уравнению Власова (0.13).

3. Семейство мер MN, N = 1,2,., заданное в (0.12), является слабым решением уравнения Власова с начальным условием t° Ег\. Если при N оо последовательность мер слабо сходится к некоторой вероятностной мере то при любом t Е R\ меры pf слабо сходятся к мере р.% такой, что М — t Е R1} - слабое решение уравнения Власова с начальным условием

Определение решения уравнения Лиувилля (см. [7]

Уравнения Власова представляют собой, по существу, некоторую модификацию уравнения Лиувилля: = <?(«,*(<)), te А (0.15) где функция G принадлежит совокупности G функций G(t,x) от t Е А, х Е Rn (п = 1,2,.) со значениями в Rn таких, что существуют непрерывные градиенты DxG(t, х) по ж, ограниченные равномерно по и I Е А', где Д' С Д - любой конечный интервал, и что функции <3(2, ж) и я) непрерывны по ^ Е А при любом я € Ип- В рассматриваемом случае к уравнению (0.15) применимы обычные теоремы о существовании и единственности на всем интервале А. Фиксировав 6 А, обозначим через ж(2,1а), 2 Е А, м Е решение уравнения (0.15) с начальным условием ж(2°,м) = и.

Будем говорить, что семейство зарядов М = Е А}, для которого выполнено условие (0.14), является слабым решением уравнения Ли-увилля для динамики (0.15) с начальным условием (л° = € в точке Е А, если при любом К Е Т>{]1п) функция дифференцируема по * Е А и

Бели заряды заданы непрерывно дифференцируемыми плотностями 7Г^(ж), I Е А, ж Е Дп, по мере Лебега в то семейство М образует слабое решение уравнения Лиувилля в том и только в том случае, когда 7г*(ж) является сильным решением уравнения Лиувилля, т.е. (ср. (0.13))) = -вр Пх(к*(«)<?(*, ж)), ж Е Д., * Е А. (0.16)

Теорема 0.4 ./. Для любых Е А, Е Л4+ « интервала А С ^ слабое решение М = {/¿<,2 Е А} уравнения Лиувилля для динамики (0.15) с начальным условием в точке существует и единственно. Это решение задано соотношением

1Н{В) = Д°(« Е Яд : ж(*, и) ЕВ), В Е * Е А, и^ Е Л4+ при всеж t £ А.

- 2. Если мера задана непрерывно дифференцируемой плотностью тг°(«), и Е и функция О Е С имеет непрерывные вторые частные производные по ж, ограниченные равномерно по ж Е / Е А', г<?е Д'С Д - любой конечный интервал, то функция щ(и) = 1Г°(в1(<. «)№(«)» где ж-1(2, •) - функция, обратная к ж(*, и), и »%(«) - якобиан преобразования и —>• удовлетворяет сильному уравнению Лиувилля (0.16).

Заключение

1. Обоснованы неклассические решения Я.Б.Зельдовича и А.Д.Мыш-киса для уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами.

2. Построены функциональные решения уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами.

3. Обоснована разрешимость задачи Коши для уравнения Власова на основании регуляризации Р.Л.Добрушина.

4. Построен численный метод для приближенного вычисления характеристик функциональных решений уравнения Лиувилля с разрывными коэффициентами.

5. Проведено численное тестирование всех случаев, для которых получены неклассические решения задачи Коши для уравнения Лиувилля и сравнительный анализ результатов.

6. Обоснованы приближенные методы для уравнений Власова-Лиу-вилля, возникающих в теории плазмы и их сходимость к неклассическим решениям этих уравнений.

7. Полученные результаты могут быть использованы при рассмотрении проблем, появляющихся при численном решении уравнения Власова-Лиувилля в процессе моделирования массопереноса в ЯЭУ при наличии встречных потоков вещества (лазерный термоядерный синтез). type A=array[0.100] of real; var i, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, hh, tmax: real; ffitext; function v(xx:real):real; begin if xx<0 then v:=5; if xx>=0 then v:=2; end; function fnach(xx:real):real; begin fnach:=1; end; begin assign(ff,'111jump.txf); rewrite(ff); tmax:=10;

NN:=60; h:=0.5; tau:=0.15*h; xO:—15; for i:=0 to NN do fp[i]:=fnach(xO+rh); t:=0; inach:=0; repeat t:=t+tau; inach:=inach+1; NN:=NN-1; for i:=inach to NN do begin f{i}:=tau*((-v(x0+i*h)*fp[i]+v(x0+h*(i-1 ))*fp[i-1 ]))/h+tp[i] end; for i:=inach to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25 ДЦ:25); writeln(ff); for i:=inach to NN do fp[i]:=ffi] until t>=tmax; close(ff); (read(h);} uses crt; const aa=5; bb=2; type A=array[0. 100] of real; var i, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, tmax: real; ff:text; function HH1(xx:real):irrteger; begin if xx<0 then HH1 :=1 else if xx>=0 then HH1 :=0; end; function HH2(xx:real):integer; begin if xx<0 then HH2:=0 else if xx>=0 then HH2.-1; end; function HH3(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*tthen HH3:=1 else if xx>=bb*tthen HH3:=0; end; function HH4(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*t then HH4:=0 else f xx>=bb*t then HH4:=1; end; function pnach(xx:real):real; begin pnach:=1; end; begin assign(ff,'1analit.txf); rewrite(ff); tmax:=2.3; NN:=31; h:=0.5; tau:=0.15*h; x0:=-8; t:=0; repeat t:=t+tau; for i:=1 to NN do begin fji] :=pnach(xO+i*h-aa*t)*HH 1 (x0+i*h)+ aa/bb)*pnach((aa/bb)*(xO+i*h)-aa*t)*HH2(xO+i*h)*HH3(xO+i*h,t)+ pnach(xO+i*h-bb*t)*HH4(xO+i*h,t); end; for i:=1 to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25,fli]:25); writeln(ff); until t>=tmax; close(ff); type A=array[0.100] of real; vari, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, hh, tmax: real; ff:text; function v(xx:real):real; begin ifxx<Othen v:=2; ifxx>=0 then v:=5; end;

Hinction fnach(xx:reai):real; begin fnach:=1; end; begin assign(ff,,222jump.txt'); rewrite(fl); tmax:=10; NN:=60; h:=0.5; tau:=0.15*h; xO:—15; for i:=0 to NN do fp[i]:=fnach(xO+i*h); t:=0; inach:=0; repeat t:=t+tau; inach:=inach+1; NN:=NN-1; for i:=inach to NN do begin f[i}:=tau*((-v(x0+i*h)*fp[i]+v(x0+h*(i-1 ))*fp[i-1 ]))/h+fp[i] end; for i:=inach to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25,fli]:25); writeln(ff); uses crt; const aa=2; bb=5; type A=array[0.1QQ] of real; var I, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, tmax: real; ff:text; function HH1(xx:real):integer; begin if xx<0 then HH1 :=1 else if xx>=0 then HH1 :=0; end; function HH2(xx:real):irrteger; begin if xx<0 then HH2:=0 else if xx>=0 then HH2:=1; end; function HH3(xx,t:real):irrteger; begin if xx<bb*t then HH3.-1 else if xx>=bb*tthen HH3:=0; end; function HH4(xx,treal):irrteger; begin if xx<bb*t then HH4:=Q else if xx>=bb*t then HH4:=1; end; function pnach(xx:real):real; begin pnach:=1; end; begin assign(ff,'2analit.txf); rewrite(ff); tmax:=2.3; NN.=31; h:=0.5; tau:=0.15*h; x0:=-8; t:=0; repeat t:=t+tau; for i:=1 to NN do begin fti]:=pnach(xO+i*h-aa*t)*HH1(xO+i*h)+ aa/bb)*pnach((aa/bb)*(xO+i*h)-aa*t)*HH2(xO+i*h)*HH3(xO+i*h,t)+ pnach(xO+i*h-bb*t)*HH4(xO+i*h,t); end; for i:=1 to NN do wrrteln(ff,t:5,x0+h*i:25,fii]:25); writeln(ff); until t>=tmax; close(ff); type A=arrayl0.100] of real; var i, n, NN, inach: integer; f, tp:A; tau, h, t, xO, eps, hh, tmax: real; ff:text; function v(xx:real):real; begin if xx<0 then v:=5; if xx>=0 then v:=0; end; function fnach(xx:real):real; begin nach:=1; end; begin assign(ff,'333jump.txf); rewrite(ff); tmax:=10; NN:=60; h:=0.5; tau:=0.15*h; xO:—15; for i:=0 to NN do tp[i]:=fnach(xO+i*h); t:=0; inach:=0; repeat t:=t+tau; inach:=inach+1; NN:=NN-1; for i:=inach to NN do begin f[i]:=tau*((-v(x0+i*h)*fp[i]+v(x0+h*(i-1 ))*fp[i-1 ]))/h+fp[i]; end; for i:=inachto NN do writelnCff^S.xO+h^i^S.fH^S); writeln(ff); const aa=5; bb=0; type A=arrayl0.100] of real; var i, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, tmax: real; ffrtext; function HH1 (xx:real):integer; begin if xx<=0 then HH1:=1 else if xx>0 then HH1 :=0; end; function HH2(xx:real):irrteger; begin if xx<0 then HH2:=0 else if xx>=0 then HH2:=1; end; function HH3(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*t then HH3.-1 else if xx>=bb*t then HH3:=0; end; function HH4(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*t then HH4:=0 else if xx>=bb*t then HH4:=1; end; function pnach(xx:real):real; begin type A=array[0. 100] of real; var I, n, NN, inach: integer; f, fjp:A; tau, h, t, xO, eps, hh, tmax: real; ff:text; function v(xx:real):real; begin if xx<0 then v:=0; if xx>=0 then v:=5; end; function fnach(xx:real):real; begin fnach:=1; end; begin assign(ff,'444jump.txt'); rewrite(ff); tmax:=10; NN:=60; h:=0.5; tau:=0.15*h; xO:—15; for i:=0 to NN do fp[i]:=fnach(xO+i*h); t=0; inach:=0; repeat t:=t+tau; inach:=inach+1; NN:=NN-1; for i.-inach to NN do begin ffi]:=tau*((-v(x0+i*h)*fp[i]+v(x0+h*(i-1 ))*fp[i-1 ]))/h+fp[i]; end; for i.=inach to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25,tii]:25); writeln(ff); uses crt; const aa=0; bb=5; type A=array[0.100] of real; var i, n, NN, inach: integer; f, lp:A; tau, ft, t, xO, eps, tmax: real; ff:text; function HH1(xx:real):integer; begin if xx<0 then HH1 :=1 else if xx>=0 then HH1 :=0; end; function HH2(xx:reai):integer; begin if xx<0 then HH2:=0 else if xx>=0 then HH2:=1; end; function HH3(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*tthen HH3:=1 else if xx>=bb*tthen HH3:=0; end; function HH4(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*t then HH4:=0 else if xx>=bb*tthen HH4:=1; end; function pnach(xx:real):real; begin pnach:=1; end; begin assign(ff ,4analit.txf); rewrite(ff); tmax:=2.3; NN:=31; h:=0.5; tau:=0.15*h; x0:=-8;t:=0; repeat t:=t+tau; for i:=1 to NN do begin ffi]:=pnach(x0+i*h-aa*t)*HH1(x0+i*h)+ pnach(xO+i*h-bb*t)*HH4(xO+i*h,t); end; for i:=1 to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25,fli]:25); writeln(ff); until t>=tmax; close(ff); type A=array[0.100] of real; var I, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, hh, tmax: real; ff:text; function v(xx:real):real; begin if xx>=0 then v:=-2 else v:=5; if xx=0 then v:=0; end; function fnach(xx:real):real; begin fnach:=1; end; begin assign(fT,'555jump.txf); rewrite(fl); tmax:=10;

NN:=60; h:=0.5; tau:=0.15*h; xO:—15; for i:=0 to NN do fp[i]:=fnach(xO+i*h); t:=0; inach:=0; repeat t:=t+tau; inach:=inach+1; NN:=NN-1; for i:=inach to NN do begin if v(x0+h*i)>0 then f[i]:=tau*((-v(x0+i*h)*fp[i]+v(x0+h*(i-1 )rfp[i-1]))/h+fp[i] else ffi]:=tau*((v(x0+i*h)*f}3[i]-v(x0+h*(i+1 ))*fp[i+1 ]))/h+fp[i]; end; for i:=inach to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25,fli]:25); writeln(ff); const aa=5; bb=-2; type A=array[0. 100] of real; var i, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, tmax: real; ff:text; function HH1(xx:real):integer; begin if xx<0 then HH1:=1 else if xx>=0 then HH1:=0; end; function HH2(xx:real):irrteger; begin if xx<0 then HH2.-0 else if xx>=0 then HH2:=1; end; function HH3(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*t then HH3:=1 else if xx>=bb*t then HH3:=0; end; tunction HH4(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*t then HH4:=0 else if xx>=bb*t then HH4:=1; end; function pnach(xx:real):real; begin begin assign(ff,'5analit.txf) rewrite(ff); tmax:=2.3;

NN:=31; h:=0.5; tau:=0.15*h; x0:=-8; repeat t:=t+tau; for i:=1 to NN do begin if (x0+i*h)<0 then tp] :=pnach(xO+i*h-aa*t)*HH 1 (xO+i*h); if (x0+i*h)=0 then f[i]:=7*t+pnach(0); if (x0+i*h)>0 then f{i]:=pnach(xO+i*h-bb*t)*HH4(xO+i*h,t) end; for i:=1 to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25,flij:25); writeln(ff); until t>=tmax; close(ff); end. type A=array[0.100] of real; var i, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, hh, tmax: real; ff:text; function v(xx:real):real; begin if xx>=0 then v:=5 else v:=-2; if xx=0 then v.=0; end;

Hinction fnach(xx:real):real; begin thach:=1; end; begin assign(ff,,666jump.txt'); rewrite^; tmax:=10;

NN:=60; h:=0.5; tau:=0.15*h;

X0.-15; for i:=0 to NN do fp[i]:=fnach(xO+rh); t:=0; inach:=0; repeat t:=t+tau; inach:=inach+1; NN:=NN-1; for i:=inach to NN do begin if v(x0+h*i)>0 then f{i]:=tau*((-v(x0+i*h)*fp[i]+v(x0+h*(i-1 ))*fp[i-1]))/h+fp[i] else fti]:=tau*((v(x0+i*h)*1p[i]-v(x0+h*(i+1 ))*fp[i+1 ]))/h+fp[i]; end; for i:=inach to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25,fli3:25); writeln(ff); const aa=-2; bb=5; type A=array[0.100] of real; var i, n, NN, inach: integer; f, fp:A; tau, h, t, xO, eps, tmax: real; ff:text; function HH1(xx,t:real):integer; begin if xx<aa*t then HH1 :=1 else if xx>=aa*tthen HH1:=0; end; function HH4(xx,t:real):integer; begin if xx<bb*t then HH4.-0 else if xx>=bb*tthen HH4:=1; end; function pnach(xx:real):real; begin pnach:=1; end; begin assign(ff,'6analit.txf); rewrite(ff); tmax:=2.3; NN:=31; h:=0.5; tau:=0.15*h; x0:=-8; t:=0; repeat t:=t+tau; for i:=1 to NN do begin fp]:=pnach(xO+i*h-aa*t)*HH1(xO+i*h,t)+ pnach(xO+i*h-bb*t)*HH4(xO+i*h,t); end; for i:=1 to NN do writeln(ff,t:5,x0+h*i:25,fli]:25); writeln(ff); until t>=tmax; close(ff);

1 2 3 4 5 б 7 8 9 1011 12131415 1 3 5

2. Графики абсолютной (А) и относительной (Б) погрешности доя случая ^>^>0.

11 13 15

А)

Б)

Ж0.094Г ^0,077 '0,057 X

0,032 Ш

А 0,056 Ж0,04и

ГО,022

Ю,044 ,016 I йе-Т.I

11 13 15

3. Графики абсолютной (А) и относительной (Б) погрешности доя случая ^>(-0.

11 13 15

А)

3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 -0 зв1

ШРт

1Ш

1,13

1,50

ШЖЩШШШт

0,0 то,* °>2?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 1

9 11 13 15 иЧЛА/>1 IXV/ ух х» V» шич^ичАЛопч/ш ) ни! ДЛЯ идуЧШ!. 1 у —v

0,35 0,30

Б)

1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5. Графики абсолютной (А) и относительной (Б) погрешности для случая f<0<^. о

Б) 0,5 0,4

0,3 0,2 0,1 0,0

§|||| МИ :! | ИЁ . ^ 1 к,,0.33 0,36 0,3^ 0,35 У,41

0 0,21 Э,2£ ^ 1

13 3,17

0,0?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1

6. Графики абсолютной (А) и относительной (Б) погрешности для случая 1*<0<1*

А) 1)0 ШВШШВШШЯВШШШШЯЯШЯШ (Б)

11 13 15

0,8 0,6 0,4

0,2 -I 0,0 т

0,52°>57

3,40. I

0.62Р.65 V I яаш од«.«'-.

II

1$Г

0Д0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1. Е.Е.Викторовский. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений. Матем. сб., 34(76), 213248, 1954.

2. Галкин В.А. Методы решения задач физической кинетики. Обнинск: ЙАТЭ, 1995.

3. Галкин В.А. Теория функциональных решений квазилинейных систем законов сохранения и ее приложения //Труды семинара им. Й.Г.Петровского, N 20, 1997.

4. И.М.Гельфанд. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи математических наук, т. 14, вып. 2 (86), 1959, с. 87-158.

5. Годунов С.К., Рябенький B.C., Разностные схемы, Изд-во "Наука", 1973.

6. Добрушин Р.Л.Уравнения Власова // Функциональный анализ и его приложения, т. 13, вып. 2, 1979.

7. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д., Элементы прикладной математики. Изд-во "Наука", 1972.

8. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д., Элементы математической физики. Изд-во "Наука", 1973.

9. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М., 1982.

10. Кружков С.Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Успехи мат. Наук, 1965, т. 20, N 6.

11. Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Мат. сб., 1970, т. 81, N 2.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч. 1 (Серия "Теоретическая физика", т. 5). М., 1976.

13. Лонгмайр К. Физика плазмы. Атомиздат, Москва, 1966.

14. Маслов В.П., Уравнения самосогласованного поля, в кн. Современные проблемы математики, т. 11, М., ВИНИТИ, 1978, 153-234.

15. Л.С.Понтрягин, В.Г.Болтянский. Об устойчивости положения равновесия "релейной" системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Труды Третьего матем. съезда, т.1, 217-218, 1956.

16. Самарский A.A. и др., Вычислительные методы в математической физике. Изд-во МГУ, 1986.

17. Ю.К.Солнцев. Об устойчивости по Ляпунову положений равновесия системы двух дифференциальных уравнений в случае разрывных правых частей. Ученые записки МГУ, матем. 4, вып. 148, 144180, 1951.

18. Трубников Б.А. Введение в теорию плазмы, ч.1-3. М., 1969-78.

19. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Мат. сб., 1960, т. 51, N 1.

20. Чен Ф. Введение в физику плазмы, пер. с англ., М., 1987.

21. Эдварс P.E. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.

22. J.Andre, P.Seibert. Uber stuckweise lineare Differentialgleichungen, die bei Regelungsproblemen auftreten. I, Arch, der Math., 7, N 2, 148-156, 1956.

23. J.Andre, P.Seibert. Uber stuckweise lineare Differentialgleichungen, die bei Regelungsproblemen auftreten. II, Arch, der Math., 7, N 3, 157-164, 1956.

24. Braun W., Hepp K., "The Vlasov Dynamics and Its Fluctuations in the 1/N Limit of Interacting Classical Particles", Commun. Math. Phys., 36, 101-113, (1977).

25. Carillo J. A., Soler J., On the Vlasov-Poisson-Fokker-Plank equations with measures in Morrey spaces as initial data.

26. Carillo J. A., Soler J., On the initial value problem for the Vlasov-Poisson- Fokker-Plank system with initial data in Lp spaces.

27. Cercignani C., Theory and application of the Boltzmann equation. Scottish Academic Press, 1978.

28. Cottet G., Soler J., "Three-dimensional Navier-Stokes equations for singular filament data", J. Differential Equations, 74 (1988), pp. 234253.

29. C.Cratheodory. Vorlesungen über reelle Funktionen. Leipzig, 1927.

30. P.Degond, "Global existence of smooth solutions for the Vlasov-Fokker- Plank equation in 1 and 2 space dimensions", Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. (4) 19, 519-942 (1986).

31. Giga Y., Miyakawa T., "Navier-Stokes flow in R3 with measures as initial vorticity and Morrey spaces", Comm. In P.D.E., 14 (1989), pp. 577-618.

32. E.Horst and R.Hunze , "Weak solutions of the initial value problem for the unmodified nonlinear Vlasov equation", Math. Meth. In the Appl. Sei. 6, 262-279 (1984).

33. Jiaxin Hu, "The Riemann problem for a resonant nonlinear system of conservation laws with Dirac-measure solutions", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 127A, 1997.

34. Kozono H., Yamazaki M., "Semilinear heat equations and the Navier-Stokes equation with distribution as initial data", C. R. Acad. Sei. Paris, Serie I, 317 (1993), pp. 1127-1132.

35. J.Kurzweil. Generalized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter, ^exooi. MaTeM xypH., 7, N 3, 418-449, 1957.

36. P.Lions , B.Perthame, "Propagation of moments and regularity for the 3- dimentional Vlasov-Poisson system", Inventions Math., 105 (1991), pp. 415- 430.

37. Majda A., et ai, "Concentrations in the one dimensional Vlasov-Poisson equations", to appear.

38. Naxnhofer H., Sewell G., "Vlasov Hydrodynamics of a Quantum Mechanical Model", Commun. Math. Phys. 79, 9-24 (1981).

39. H.Neunzert et al, "On the Vlasov-Fokker-Plank equation", Math. Meth. Appl. Sei. 6, 527-538 (1984).

40. Rein, G., Wreckler, J., "Generic Global Classical Solutions of the Vlasov- Poisson-Fokker-Plank system in three dimensions", J. Differential Equations, 99 (1992), pp. 59-77.

41. R.Reissig. Erzwungene Schwingungen mit zäher und trockener Reibung. Math. Nachr., 11, N 6, 345-384, 1954.

42. A.Rosenthal. Uber die Existenz der Losungen von Systemem gewohnlicher Differentialgleichungen, Sitzungsber. Heideiberger Akad., Math.-naturw. Klasse, 19 Abhandl. 3-10, 1929.

43. Victory, H. And O'Dwyer, B., "On classical solutions of Vlasov-Poisson- Fokker-Plank systems", Indiana Univ. Math. J. 39, 105-157 (1990).

44. Victory, H. And O'Dwyer, B., "On classical solutions of Vlasov-Poisson- Fokker-Plank systems", Indiana Univ. Math. J. 39, 105-157 (1990).

45. Victory H. "On the existence of global weak solutions for Vlasov-Poisson- Fokker-Plank systems", J. Math. Anal. And Appl., 160 (1990), pp. 105-157.

46. Zheng Y., Majda A., "Existence of global weak solutions to one-component Vlasov-Poisson and Poisson-Fokker-Plank systems in one space dimension with initial data", to appear.