автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Построение алгоритмов компьютерной алгебры на основе методов теории функций

094693728

На правах рукописи

Кытманов Алексей Александрович

ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

05.13.17 — теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 О ИЮН 2010

Красноярск 2010

004603728

Работа выполнена в Сибирском федеральном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор М.В. Носков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Быков

доктор физико-математических наук, профессор С.В. Знаменский

доктор физико-математических наук, доцент К.В. Сафонов

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН,

г. Москва

Защита состоится «25» июня 2010 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.11 при Сибирском федеральном университете по адресу 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, ауд. УЛК 115.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета по адресу 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, ауд. Г 2-74.

Автореферат разослан «24» мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Компьютерная алгебра является относительно новым направлением, возникшим при взаимодействии ряда математических дисциплин (в первую очередь, алгебры) и информатики. В широком смысле под этим словосочетанием понимаются любые символьные (в отличие от численных) вычисления, выполняемые на компьютере.

В настоящее время компьютерная алгебра находит применение в таких областях науки, как математика, численные методы, гидромеханика, прикладная небесная механика, робототехника, и в других. Одним из ее применений в теории информации является использование ее методов в манипулировании многоуровневыми иерархическими структурами для оптимизации аналитических вычислений.

За три последних десятилетия было создано огромное число систем компьютерной алгебры, большинство из которых широко применяется в научных вычислениях, при решении прикладных проблем, в индустрии. В зависимости от набора стандартных задач, которые могут быть решены при помощи данных систем, последние подразделяются на универсальные (или, иначе, системы общего назначения, такие как MAPLE, MATHEMATICA, MAXIMA и др.) и специализированные.

Одним из наиболее значимых типов задач, решаемых при помощи универсальных систем является класс задач по вычислениям с полиномами от нескольких переменных над указанными полями и кольцами (нахождение наибольшего общего делителя, точного значения корней многочленов в радикалах, разложение на множители, вычисление дискриминантов и результантов, базисов Грёбнера и т.п.), а также решение систем алгебраических (полиномиальных) уравнений и других систем нелинейных уравнений, сводящихся к ним подстановками элементарных функций.

Однако в системах общего назначения на сегодняшний день отсутствует аппарат исследования систем неалгебраических уравнений.

Одним из наиболее эффективных инструментов для исследования таких систем является формула многомерного логарифмического вычета. Первые попытки в создании математического аппарата и алгоритмов ком-

пьютерной алгебры для исследования систем нелинейных уравнений с помощью многомерного логарифмического вычета были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана (1991, 1998), Т.А.Осетровой (1996), З.Е.Потаповой (2005). В данных работах формула многомерного логарифмического вычета применялась для создания алгоритма исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений. Этот модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный Л.А.Айзенбергом (1977), был затем развит В.И.Быковым, А.М.Кытмановым, М.З.Лазманом (1991, 1998). Но для систем неалгебраических уравнений (содержащих, например, голоморфные функции) такие разработки отсутствовали.

Неалгебраические системы уравнений возникают в различных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с правыми частями, разложимыми в ряд Тейлора, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы. В частности в монографиях В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана (1991, 1998) приведены многочисленные примеры из химической кинетики, где работают алгоритмы исключения неизвестных.

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является создание теоретической основы для разработки алгоритмов исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений и алгоритмов построения интегральных представлений и вычетов в многомерном комплексном пространстве.

Методика исследования

В основу исследования положены методы компьютерной алгебры, теории функций многих комплексных переменных, алгебраической геометрии.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены многомерные аналоги рекуррентных формул Ньютона для 'систем неалгебраических уравнений.

2. Создан аппарат для разработки алгоритмов вычисления степенных сумм для систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней.

3. Процедура построения алгоритмов исключения неизвестных на основе многомерного логарифмического вычета, созданная и примененная ранее для алгебраических систем, распространена на широкий класс неалгебраических систем.

4. Создан аппарат для разработки алгоритмов построения интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства по веерам торических многообразий.

5. Получены аналоги многомерного логарифмического вычета и интегральная реализация локального вычета.

6. Выведены типовые алгоритмы компьютерной алгебры и дана их компьютерная реализация в системе компьютерной алгебры МАРЬЕ.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность работы состоит в создании теоретической основы для разработки алгоритмов исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений и алгоритмов построения интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства по веерам торических многообразий. Все теоретические результаты снабжены подробными доказательствами.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы для вычисления степенных сумм систем неалгебраических уравнений и сумм некоторых кратных рядов, исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений, получения новых интегральных представлений и многомерных вычетов, вычисления групп когомологий торических многообразий.

Апробация работы

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийский конференциях: международной

конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, Россия, 2000); международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, Россия, 2001); международной конференции «Многомерный комплексный анализ» (Красноярск, Россия, 2002); международной конференции-школе по геометрии и анализу (Новосибирск, Россия, 2002); международной конференции «Геометрический анализ и его приложения», (Волгоград, Россия, 2004); международной математической конференции «Теория функций. Дифференциальные уравнения. Вычислительная математика» (Уфа, Россия, 2007); международной конференции «Анализ и геометрия на комплексных многообразиях» (Красноярск, Россия, 2007); школе-конференции по алгебраической геометрии для молодых математиков (Ярославль, Россия, 2008); международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, Россия, 2008).

Результаты работы докладывались на научном семинаре по компьютерной алгебре факультета вычислительной математики и кибернетики и НИИ ядерной физики имени Д.В.Скобельцына МГУ имени М.В.Ломоносова (г. Москва), научном семинаре института программных систем РАН (г. Переславль-Залесский), а также на научных семинарах института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета (г. Красноярск).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-23], из них 1 монография [19], 8 работ [8, 9, 13-15, 18, 20, 21] в ведущих отечественных и международных рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 12 публикаций [1-7, 10-12,16, 17] в других научных изданиях. Кроме того, автором получены два свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [22, 23].

Личный вклад автора

Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В соавторстве выполнена одна работа [20], в которой вклады авторов равнозначны.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 89 наименований, содержит 7 рисунков. Общее число страниц диссертационной работы — 228, в том числе 23 страницы — приложения.

Содержание работы

В первой главе приводятся математические сведения, теоремы и формулы, на которых основана диссертационная работа. Глава состоит из шести параграфов.

Первый параграф содержит теоретические сведения о многомерном логарифмическом вычете, а также формулы для вычисления логарифмического вычета для различных систем нелинейных уравнений.

Во втором параграфе приведены алгоритмы исключения неизвестных. Он содержит классическую схему исключения неизвестных. Также здесь приведен модифицированный метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета.

В третьем параграфе приведены теоретические сведения о ядрах интегральных представлений Коши и Бохнера-Мартинелли и их связи между собой с помощью формул усреднения, а также о связи ядра Бохнера-Мартинелли с формой объема Фубини-Штуди на проективном пространстве.

Четвертый параграф посвящен определению и способу построения тори-ческого многообразия по комбинаторной структуре — вееру. Торические многообразия обобщают комплексные проективные пространства, и с их помощью во второй главе будет построено семейство интегральных представлений в многомерных комплексных пространствах.

В пятом параграфе дано определение групп когомологий Чеха пучков голоморфных функций и дифференциальных форм на многообразии.

В шестом параграфе приведен обзор литературы и дается подробное описание системы компьютерной алгебры MAPLE, использовавшейся для компьютерной реализации разработанных в диссертации алгоритмов.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена получению аналогов рекуррентных формул Ньютона для систем неалгебраических уравнений и построению алгоритма исключения неизвестных из таких систем.

Рассматривается система функций /1(2), /г(.г), - - -, 1п(я), голоморфных в окрестности точки 0 € С", г = (21, ... ,гп), и имеющих вид

^ = 1, 2,..., гг, (1)

где $ = (Р1,Р2,-- - — мультииндекс с целыми неотрицательными координатами, гР = & и ||0*|| + $ + = .7 = 1,2,.... п. Функции разлагаются в окрестности нуля в ряд Тейлора, сходящийся абсолютно и равномерно, вида

= Е 4*°, (2)

М1»0

где а = (ах,аг, ■ • • ,о!п), а? ^ 0, <¡4 £ 2, а / = г"1 • г®2 • • • -г"". В дальнейшем будем считать, что степени всех мономов (по совокупности переменных), входящих в строго больше, чем 2 — 1,2,...} Я- (||а|| — огх -Ьсх2 -Н... -Ьсхп > к;).

Рассмотрим циклы 7(г) = 7(гх,гг,... ,гп), являющиеся остовами поликругов:

7(г) = {2 € С" : = г„ а = 1,2,..., п}, П > 0,... ,гп > 0.

В некоторой достаточно малой окрестности нуля система

/*(*) = 0, ; = (3)

может иметь корни только на координатных плоскостях {г : г3 = 0}, в = 1,2,...,п (по принципу максимума для голоморфных функций). Также при достаточно малых определены интегралы вида

= /I # = [ 1 ] ^ / у

, - -V , - 4/1 . #2 . . ¿/п

= / -■ — = / ——£-г --гЛ —Л...Л —

Л /2 7п

7(г) 7(»"1.Г2,-,Гп)

где ^ € По теореме Коши-Пуанкаре эти интегралы не зависят от (П. •••,'"„).

Введем обозначения:

7/ = с^ (^рМ — якобиан системы (1),

\OZkJ

$ ... я

/0? ••■ Я

) Да1...^ —

а, ... а;

О? ■•• К

Я — линейный функционал, сопоставляющий многочлену Лорана его свободный член.

Теперь мы можем сформулировать основные утверждения первого параграфа.

Теорема 2.1. Для системы уравнений (3), где функции определены равенствами (1) и (2), справедливы следующие рекуррентные формулы Ньютона:

/с1+...+«:.,-<||а1+...+^||<||<5||

¿=а1+...+«•'

£

У2 ■■■ £ аа' • • • ^»Да^.а»

||аЧ|>0 ||а«||>0 (_1

(4)

Вычисляя правую часть равенства (4), получим

Следствие 2.1. Для системы уравнений (3), где функции определены равенствами (1) и (2), справедливы следующие рекуррентные формулы Ньютона:

+ ^ (¿1 . . . <„(Д,3 - Дв1...а») = 0.

¿=а1+...+оп

(5)

В частности, если функции имеют вид = 1 + (¿¿(г), j = 1,2,...,гг, где определены равенствами (2), то для них формула (5) запишется в виде

£ "а1 ' ' ■ аапа1-а1-...-а" ~ £ . . . а"„Да1...ап = 0.

0<||а1+...+а"||<||г|| 5=а'+...+ап

Далее показывается, что формулы (5) позволяют также решать обратную задачу: вычислять коэффициенты системы (1) через интегралы

Предложение 2.1. Пусть даны все сг& системы (1), тогда коэффициенты этой системы определяются однозначно с помощью формулы (5). Далее, пусть

,__!_/■ «у ГЯ-...-М

^ ~ (2тгг)" У ■...■/„ (2т)-] г'Д ■...•/„' 3 и'-"'П-

7(г) 7(г)

Теорема 2.2. Для системы (1) справедливы формулы, 1 ^ j ^п,

||а||?0 ||о,||>0

, приа1 + ...+ап =

О, иначе.

В заключительном пункте параграфа описывается класс систем, для которых интегралы стд совпадают со степенными суммами. Пусть функции имеют вид

Л)

7 = 1,2,...,«, (6)

где и — целые функции в Сп, разлагающиеся в бесконечные

произведения (равномерно и абсолютно сходящиеся в С")

00 оо

5=1 5=1

причем каждый из сомножителей имеет форму + (¿¿(г), а — многочлены вида

од*) = £ (?)

аеМ;

где Мэ — конечное множество мультииндексов такое, что при а € М^ координаты ак ^ (33к, к = 1,2,..., п, А; j. (Но по прежнему предполагается, что ||а|| > ^ для всех а е -М-,).

Для каждого набора индексов 3\,...,3П, где з\,.-.,зп € и каждого набора чисел ¿1,..., гп, где ¿1, ... ,г„ равны 1 или 2, системы нелинейных алгебраических уравнений

/§>(*)= О, /№)=0, О (8)

имеют конечное число корней, не лежащих на координатных плоскостях.

Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях) составляют не более чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом крат-ностей): 2(1), г(2), ■ ■ ■, гщ, — Будем предполагать, что ряд

оо г

сходится.

Теорема 2.3. Степенная сумма корней (или полюсов) вида

00

¡=1 г1(1) 2(0 Хп(!)

умноженная на (—1)п, совпадает с интегралом сгв, если 5\,...,8п — положительные целые числа, а знаке/ равен +1, если в систему вида (8), корень которой есть гщ, входит четное число функций и равен — 1, если в систему вида (8) б ходит нечетное число функций .

Для системы (3), составленной из функций вида (6), точки гщ являются корнями или особыми точками (полюсами).

Таким образом, если > 0 для всех з = 1,..., п, то — степенные суммы корней или полюсов системы, если же хотя бы одно из данных неравенств не выполняется, то назовем а\5 псевдостепенными суммами.

Для каждого мультииндекса 5 с фиксированной ||5|| только конечное число псевдостепенных сумм отлично от нуля. Следовательно, формулы (5) действительно рекуррентные.

Во втором параграфе приводится алгоритм исключения неизвестных для систем неалгебраических уравнений, удовлетворяющих теореме 2.3. Для его формулировки напомним классические формулы Ньютона.

Пусть полином Р(г) имеет вид Р{г) — гп + Ь\гп~1 Н-----1- Ьп-\г + Ьп.

Обозначим через ■■■, его нули (некоторые из них могут по-

вторяться). Степенные суммы определяются следующим образом: =

Теорема (Рекуррентные формулы Ньютона). Степенные суммы Бк и коэффициенты Ь^ связаны следующим образом:

5,- + ¿¿-Л + Б]-ф2 Н----+ + = 0, при 1 < э < п,

5, + 53-_161 + 5,-262 Ч-----Н = 0, при ^ > п.

Теперь мы можем привести основной результат параграфа. Теорема 2.4. По теореме 2.3 для системы (3) с функциями вида (1) находятся степенные суммы а$. Затем по формулам (11) находятся коэффициенты Тейлора мероморфной функции

*=1

Корнями и полюсами полученной мероморфной функции являются выражения корней системы (3) вида ■ • • • 2^, тем самым произведено исключение неизвестных из системы (3).

В третьем параграфе приводится пример рекуррентного вычисления интегралов с(т>п) с т + п < 3 для системы

' оо

/100 = 11(1 + ^1 +<4*2) = О, ¿=1 оо

/а(*)= П (1 + 4*1+&*3) = 0.

3=1

В четвертом параграфе рассматриваются примеры вычисления сумм кратных рядов, с помощью вычисления интегралов 05 и степенных сумм для систем таких неалгебраических уравнений, для которых эти величины не совпадают, т.е. не выполняется теорема 2.3. Так, вычисляя сг(зд) и <?(зд) для системы

. вту/г2 -2! °° / г2-гЛ

/2(21,22 = , - П 1 —ГГ = °>

V 22 - 21 т==1 V т К )

получаем, что

V 1 = 1317Г8 ^ кЧк2 + т2) ~ 113400'

к,т=1 4 '

А для подобной системы из трех уравнений с

_ siny/iT __ sin у!гъ - Z\ _ sin л/^з - z2

11 /— > J 2 /- i /3 /- i

V^l V ■22 - V--

ВЫЧИСЛЯЯ СГ( 1ДД) И ?(l,l,l)i получим сумму тройного ряда

^ к2(к2 4- т2)(к2 + т2 + п2) 1296'

В пятом параграфе приводится алгоритм компьютерной алгебры, реализующий вычисление вь по рекуррентным формулам (5). Входными данными основной процедуры являются набор функций {Д,..., /„} и набор переменных ..., гп}, от которых зависят заданные функции. Для вычисления сгг вплоть до некоторого порядка ||<5|| ^ в качестве функций {/1,..., /п} нужно задать тейлоровские разложения неалгебраических функций рассматриваемой системы вплоть до порядка, зависящего от д и от размерности п исходной системы.

Также в параграфе приводятся процедуры, необходимые для вычисления сумм кратных рядов.

В шестом параграфе для системы функций

/<(*) = 1 +

+ а{2,0,0)г1 + а(0,2,0)г2 + а(0,0,2)г3 +

+ а(1,1,о)г1*2 + а^од)2!^ + а(одд)г22з + Ы(г), г =1,2,3,

где Ы(г) — ряды из мономов вида 4, где 3 > 0, к ^ О, I ^ 0,3 + к 4-1 ^ 3, с помощью алгоритма предыдущего параграфа вычисляются интегралы <7(т,п,р) ст + п+р<4.

Третья глава состоит из семи параграфов и посвящена алгоритму построения семейства интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства и получению на их основе аналогов классической формулы многомерного логарифмического вычета. В основе исследования данной главы лежит теория торических многообразий.

В первом параграфе приводится построение эталонных форм в пространстве являющихся ядрами интегральных представлений, и доказываются их основные свойства. Также здесь строятся формы объема на торических многообразиях и устанавливается их связь с эталонными формами.

£

Компактное торическое многообразие X определяется как фактор-пространство

X := [С* \ 2(Е)]/С,

где Z(X) — набор координатных плоскостей (вообще говоря, разных размерностей), а С ^ СЦ - группа, изоморфная комплексному тору, причем С* \ Z(T,) гомотопически эквивалентно расслоению над X со слоем — вещественный тор

ТГ^АеСМА^!,...,^^!}.

Набор плоскостей 2(£) и группа С определяются по вееру £ из Кп, при этом С? строится только по одномерным образующим

vь...¡vieZncЖn

веера Е (при этом размерность (? равна г = й ~ п), а в конструкции Z{T¡) участвуют конусы других размерностей.

В случае общего веера Е вКп искомое ядро для набора Z(Y,) в С* имеет бистепень (й, п) и представляется в виде

где Л(С) — (п, 0)-форма, а д(С, С) — полином, имеющий подходящую полистепень однородности и обращающийся в нуль в точности на Z(TI). Форма /г(С), как и группа О, определяется только по образующим г>х,... , г^ веера Е, а полином д, как и Z(S) — по всему вееру Е. А именно, обозначим через V матрицу из вектор-строк У\,... а через А = (оц);=^ — левый ан-нулятор матрицы V (т.е. А • V = 0), представляющий решетку соотношений между векторами г*;. Каждому упорядоченному набору 3 = (71,...,где 1 ^ 71 < • ■ • < Зп ^ <1 поставим в соответствие минор Ау матрицы А, полученный вычеркиванием столбцов с номерами ]х,...,Тогда аналог формы Эйлера — это форма

МО = ^'и)1-71-1^«, (13)

J

где суммирование ведется по всем упорядоченным мультииндексам .7, а через £[■/] и обозначены произведения П С; и А

Для определения полинома д (знаменателя ядра и) предположим, что веер Е симплициальный, примитивный и выпуклый. Пусть ат, т = 1,..., М — набор всех конусов веера Е размерности п. Для всякого конуса сгт с образующими ьт1,..., ьтп определим й целых чисел

п ¡=1

с помощью которых составим полином

м ( а \

Щ!^*0 ■ (14)

т=1 \г=1 /

Выпуклость веера Е обеспечивает полиномиальность д, т.е. что все мономы имеют положительные степени.

Наконец, укажем, что действие группы

<3 : (С1 \ Я(Е)) х С: - \ 2(Е)

определяется с помощью матрицы А = (ау) формулой

(С, А) (А?11 • • • • • АГ • Сь..., А?" ■... • А^ • СО• (15)

Теперь мы можем сформулировать основные результаты второй главы. Напомним, что мы предполагаем Е симплициальным, примитивным и выпуклым.

Теорема 3.1. Дифференциальная (й,п)-форма

и — ---—

9«, О

с формой Эйлера (13) в числителе и знаменателем (Ц) является ядром для набора £(Е). При действии (15) ядро и) преобразуется к виду

с?Ах йАг

ш —► -— А ... А —— А щ + и>1

м . \

с положительной формой (аналогом формы Фубини-Штуди)

Д(С) А МО

нулевой степени однородности по действию группы С?, и формой и/1, которая не содержит сопряженных дифференциалов ¿А^ и в каждом из своих слагаемых имеет не более, чем (г — 1) дифференциалов 6,А

Для описания двойственного (по Де Раму) ядру и> цикла Г определяющую роль сыграет моментное отображение и конус Кэлера для многообразия X.

Моментное отображение ^ : С* —> Кг для пространства С* со стандартной симплектической структурой и действием группы £? (по формуле (15)) определяется матрицей А = (оу) следующим образом:

МСь = (Pi.---.A-),

где

Г <3-111С112 + • • • + 01Й|СЙ|2 = Рг ■■ (16) [ аг1|С1|2 + ---+Огй|С<!|2 = Рг-При фиксированном р = (рх,... ,рг) £ Кг соотношения (16) определяют множество Г = Г(р) = /и_1(р).

Цикл Г(р) обладает нужными для нас свойствами, когда р принадлежит конусу Кэлера многообразия X.

Для описания конуса Кэлера напомним, что набор векторов ,ь/ст

веера Е называется примитивным, если он не определяет конуса в Е, но любой его собственный поднабор определяет конус в Е.

Для каждого примитивного набора векторов у^,..., Укт представляем их сумму в виде

Ук, + • • • + Укт = СцУь + ■■■ + С^, С^, . . . ,с;п 6 <52+,

где У{г,..., образуют конус, в который попадает эта сумма.

Конус Кэлера К представляет собой образ при моментном отображении (16) множества в С*, определенного системой неравенств

Ы2 + • • • + Ы2 - с.,1^12 - ... - йп|0„|2 > о, (17)

причем неравенств столько, сколько примитивных наборов. Неравенства (17) будем называть условиями кэлеровости.

Заметим, что для р е К цикл Г = Г(р), определяющийся системой (16), лежит вС\ Z(I!I) и расслаивается над X со слоями, изоморфными действи-

тельным торам Тг, а именно

Г(р)/ск = X,

где

Gk := {(А?11 • ■ ■ • • ..., Л?» ■.. • • XrTd) ■■ М = 1, j = 1,... ,r}.

Отсюда, как следствие, получаем, что Г не гомологичен нулю в Cd \ Z(Е). Этот факт также подтверждает следующее утверждение, вытекающее из теоремы 3.1.

Следствие 3.1. Ju> = С = (2ттг)гУо1 (X), где С есть некоторая кон-г

станта, отличная от нуля, a Vol (X) — положительная константа, выражающая объем торического многообразия X относительно формы щ.

В во втором параграфе вначале доказывается интегральное представление в нуле, затем подобный результат доказывается путем усреднения ядер Коши по некоторым положительным мерам. В заключение доказывается интегральное представление в области многомерного комплексного пространства с эталонным ядром.

Предложение 3.3. (Воспроизводящее свойство ядра ы) Пусть функция /(£) голоморфна в окрестности нуля U, р = (р\,...,рг) принадлежит конусу Кэлера и настолько мало, что цикл Т(р) С U. Тогда справедливо интегральное представление

/(0) = ^ / /(СМО, (18)

Г(р)

где С = J wo ~ константа нормировки.

х

В следующем пункте приводится построение положительной меры do и доказывается теорема о реализации интегрального представления (18) в виде усреднения ядер Коши по мере da.

Введем необходимые обозначения. Прежде всего заметим, что знаменатель д(С,С) зависит только от переменных £j = QQ = i = l,...,d. Таким образом

м

= где

т=1 W^d

Также пусть — форма (13). Рассмотрим п-форму

сь(е) =

Це) _

9(е) м

£и"™+1 го=1

Через Др обозначим пересечение с положительным октантом = {е — (е\,... ,£4) : £] ^ 0} плоскости

а\\е\ + ... + — Р\

; (19)

к ат\е\ + ... 4- аые^ = рт.

Согласно предложению, доказанному в данном пункте, форма <1о{е) представляет собой положительную меру на Др.

Через Т^е) обозначим вещественный тор \гх\2 = £\,..., = е^. Теорема 3.2. Пусть р = (р\,... ,рг) достаточно мало и принадлежит конусу Кэлера. Тогда справедливы равенства

г (р) д„ т<(е)

где К = /д ¿а(е). Таким образом, интегральное представление (18) реализуется в виде усреднения формул Коши по положительной мере ¿а на

Др.

Далее рассматривается область Г> = Вр в пространстве С^ переменных г, определенная системой неравенств

+ + (2°)

где каждое неравенство соответствует примитивному набору векторов ■ ■ •, икт веера Е, а ^¿['^(р) — образ выражения из левой части (17) при моментном отображении (16). И для функций, голоморфных в ¿-круговом полиэдре Ш = Шр, определенном системой неравенств

' анЮ!2 + • ■ • + аы|С<г|2 < Р\ < : (21) „ ат-1|С1|2 + ---+агсг|Са|2 < Рт,

доказывается

Теорема 3.3. Пусть функция /(() голоморфна в области Ш, определяющейся неравенствами (21), и непрерывна в замыкании V/. Тогда в пересечении ОП\У, где область 2?, определяется неравенствами (20), справедливо интегральное представление

/(*) = ^//(С-*МО. (22)

г

где цикл Г = Г(р) определяется равенствами (16).

В третьем параграфе рассмотрены примеры построения эталонных форм и форм объема на комплексно-двумерных торических многообразиях, заданных с помощью двумерных вееров.

Для торического многообразия, заданного полным двумерным веером с образующими г>1=(1,0), и2=(0,1), г/3=(-1,0), г>4=(-1,-1), г>5=(0,-1), получим, что торическое многообразие, соответствующее данному вееру есть фактор-пространство С5 \ где множество Z(T,) есть объединение

плоскостей

К1 = Сз = 0} и {<! = С4 = 0} и {С2 = С4 = 0} и {Сз = Сб = 0} и {с3 = С5 = о}, а группа С? есть 3-параметрическая поверхность

{(АхАз, АхАз, Аа, Ах, А3) : А,- е С»} С (С,)5. Моментное отображение р.: С5 —► К3

' Р1 = 1С!|2 + 1С2|2 + 1С4|2

< Р2 = 1С1р + 1Сз|2 (23)

„ РЗ = |С2р + |Сб|2

при фиксированном р = (рьр2,рз) € ®2 определяет цикл интегрирования

Г(р) = /г4р).

Конус Кэлера для данного торического многообразия задается следующими неравенствами

{Р1 > р2 > 0

Рх > Рз > 0 (24)

Р2 + РЗ >Р1-

При соотношениях (24) цикл Г не пересекает £(Е).

Эталонная форма в С5\2(Е) (аналог формы Бохнера-Мартинелли) имеет бистепень (5,2) и представляется в виде (12) с числителем

мо =

—СзС*С5ЙС1 л ЙС2 + <2(3(5^1 А <гс* + С»СзС4ЙС1 л #5 - СгаСбсгСг л ¿Сз--С1СзСвйСа А - С1С2С5ССС3 л с?С4 - СгС2С4сгСз А ¿(5 - СгСаСз^б л ¿СБ. и знаменателем

<?(С,С) =

1С1|21С2|41Сз12 + 1с1|41с2|21С5|2 + ЫЧСЛГ + \<л\%\%\2 + 1Сз141С4|61С5|4.

Константу нормировки С, участвующую в интегральном представлении (18), можно выписать с помощью однократных интегралов:

С = (2тгг)3

г

ч/(2г2-ГЗ)(ГЗ + 2Г2 + 4)

aгctg 2

2г2 - г3 г3 + 2г2 + 4

{¿Г—

+0О

—2тг2 [J

ч/(г3-2г2)(г3 + 2г2 + 4)

1п

у/г3 - 2г2 + \/г3 + 2г2 + 4

у/гз _ 2г2 - ч/г3 + 2г2 + 4

(¿Г

В формулировке теоремы 3.3 для данного примера области ДиРУ определяются следующими неравенствами:

£

Ы2 + Ы2<Р2 Ы2 + Ы2 < рз Ы2 + Ы2<Р1-рз Ы2 + Ы2 < Р1 - Р2 Ы2 + Ы2 < Р2 + РЗ - Ръ

IV :

1С1|2 + 1С2|2 + |с4|2<р1 1с1|2 + 1сз12<Р2 1С2|2 + |СБ12 < рз-

Четвертый параграф посвящен получению формул логарифмического вычета и локального вычета на основе построенного семейства интегральных представлений.

Зафиксируем в Ип полный симплициальный веер Е. Пусть в области С? пространства С* переменных С задано голоморфное отображение / : й —» то есть система функций

Будем предполагать, что / имеет конечный тип над полиэдром ТУ, определенном системой неравенств (21), то есть что полиэдр \У} = /-1(И^) относительно компактен в С?. Согласно (21) этот полиэдр задается системой неравенств

причем мы предполагаем, что р взято из конуса Кэлера многообразия X. Обозначим через Г/ = }~1{ц~1{р)) остов этого полиэдра.

Мы рассматриваем случай, когда множество общих нулей дискретно, поэтому каждому нулю мы можем сопоставить его кратность.

Пусть ра(1) — кратность нуля а системы (25), аш - ядро интегрального представления (22).

Теорема 3.4. Для любой функции </? € <Э(\¥) имеет место формула логарифмического вычета

Понятие локального вычета, ассоциированного с регулярной последовательностью ростков голоморфных функций /х,..., /¡г в локальном кольце Оа, а е С1, обобщает понятие вычета Коши мероморфной функции комплексного переменного. Условие регулярности последовательности ростков равносильно тому, что росток голоморфного отображения

имеет изолированный нуль в точке а.

Предложение 3.6. Пусть ш(ги) — ядро интегрального представления (12), а гр(ъи) = Тогда локальный вычет ростка Н е Оа, ассо-

циированного с регулярной последовательностью / = (/х,. - -, в точке а £ /-1(0), задается формулой

апт)\'2 + --- + аиЖ)\2<Ри

. агШО\2 + --- + аы\Ж)\2<Рг,

/ = (Л • • • > /¿) : а) —> (С'', 0) ,

где р лежит в соответствующем конусе Кэлера.

В пятом параграфе рассматривается задача вычисления первой группы когомологий Чеха #х(Х, О) — 0 в пучке голоморфных функций на некомпактном торическом многообразии X.

Теорема 3.5. Гладкое некомпактное торическое многообразие X комплексной размерности 2 имеет Я1(Х, О) = 0 тогда и только тогда, когда его веер покрывает не больше полуплоскости.

В шестом параграфе приводится алгоритм компьютерной алгебры, позволяющий построить интегральное представление (22) вееру £ гладкого компактного торического многообразия X. Входными данными алгоритма являются список координат векторов (одномерных образующих) веера и список множеств векторов, образующих конусы максимальной размерности веера.

В седьмом параграфе рассматриваются два примера вееров (двумерный и трехмерный), для которых соответствующие интегральные представления строятся с помощью алгоритма из предыдущего параграфа.

Наконец, в приложениях приведены программы, реализующие алгоритмы компьютерной алгебры из второй и третьей главы диссертации в пакете MAPLE.

Основные результаты

1. Получены многомерные аналоги рекуррентных формул Ньютона, позволяющие вычислять интегралы as, связанные со степенными суммами для систем неалгебраических уравнений.

2. Создан математический аппарат для разработки алгоритмов компьютерной алгебры для вычисления степенных сумм систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней. Выведен типовой алгоритм вычисления степенных сумм и дана его компьютерная реализация в системе компьютерной алгебры MAPLE.

3. Процедура построения алгоритмов исключения неизвестных на основе многомерного логарифмического вычета, созданная и примененная ранее для алгебраических систем, распространена на широкий класс неалгебраических систем.

4. Получен класс интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства с эталонным ядром, ассоциированных с ториче-скими многообразиями. Построены формы объема на торических многообра-

зиях, связанные с эталонными ядрами.

5. Создан математический аппарат для разработки алгоритмов компьютерной алгебры построения интегральных представлений по данным об одномерных образующих и конусах максимальной размерности веера ториче-ского многообразия. Выведен типовой алгоритм построения интегральных представлений и дана его компьютерная реализация в системе компьютерной алгебры MAPLE.

6. Для построенных интегральных представлений получены аналоги формулы многомерного логарифмического вычета и интегральные реализации локального вычета.

Значительная часть результатов диссертации получена при финансовой поддержке Министерства РФ (проект Е 00-1.0-151 в 2000-2001 гг.); РФФИ (проект 00-15-96140 в 2000—2002гг.); Красноярского краевого фонда науки (проекты 11F031M в 2003 г., 12F023M в 2004 г. и 16G091 в 2006 г.); Президента РФ (проекты НШ-1212.2003.1 в 2003-2005 гг. и НШ-2427.2008.1 в 2008-2009 гг. для ведущих научных школ, а также проект МК-914.2007.1 в 2007-2008 гг. для молодых ученых - кандидатов наук); программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/4620 в 2009-2010 гг.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту проф. Михаилу Валериановичу Носкову за сотрудничество, внимание и поддержку на всех этапах выполнения данной работы. Автор также признателен доц. Виктору Васильевичу Работину за помощь в освоении системы компьютерной алгебры MAPLE.

Публикации по теме диссертации

[1] Кытманов A.A. Формы объема для некоторых торических многообразий / А.А.Кытманов // Тр. межд. конф. «Математические модели и методы их исследования». - Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2001. - Т. 2. - С. 52-55.

[2] Кытманов A.A. Об аналоге ядра Бохнера-Мартинелли для одного то-рического многообразия / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». - Красноярск: КрасГТУ, - 2002. - Вып. 5. -С. 48-53.

[3] Кытманов A.A. Об одном интегральном представлении в С5 / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Многомерный комплексный анализ».

- Красноярск: КрасГУ. - 2002. - С. 79-89.

[4] Кытманов A.A. Об одном классе интегральных представлений в областях пространства <Cd / А.А.Кытманов // Материалы XL международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. - Новосибирск: НГУ. - 2002. - С. 74-75.

[5] Кытманов A.A. Об интегральном представлении, связанном с тори-ческим многообразием, которое определяется невыпуклым веером / А.А.Кытманов // Тез. межд. конф. «Многомерный комплексный анализ». - Красноярск: КрасГУ. - 2002. - С. 22-23.

[6] Кытманов A.A. Об одном классе интегральных представлений в полиэдрах пространства Cd / А.А.Кытманов // Тез. межд. конф.-школы по геометрии и анализу. - Новосибирск: Институт математики СО РАН. -2002. - С. 54.

[7] Кытманов A.A. Об одном интегральном представлении, ассоциированном с торическим многообразием, заданным с помощью невыпуклого веера / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». - Красноярск: КрасГТУ. - 2003. - Вып. 6. - С. 124-133.

[8] Кытманов A.A. Об аналоге формы Фубини-Штуди для двумерных торических многообразий / А.А.Кытманов // Сиб. матем. журн. - 2003.

- Т. 44. - № 2. - С. 358-371.

[9] Кытманов A.A. О ядрах интегральных представлений как усреднениях формул Коши / А.А.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. - Красноярск, - 2003. - Вып. 2. - С. 3-9.

[10] Кытманов A.A. О построении формы объема для торических многообразий / А.А.Кытманов // Материалы XLI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. - Новосибирск: НГУ. - 2003. - С. 46-47.

[11] Кытманов A.A. Конструирование ядер интегральных представлений с помощью торических многообразий / А.А.Кытманов // Тезисы межд. школы-конф. «Геометрический анализ и его прил.» - Волгоград: ВолГУ - 2004. - С. 107-109.

[12] Кытманов A.A. Об одном аналоге формы Фубини-Штуди для торических многообразий / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». - Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 8. - С. 72-84.

[13] Кытманов A.A. Об аналоге представления Бохнера-Мартинелли в d-круговых полиэдрах пространства Cd/ А.А.Кытманов // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 3. (514). - С. 52-58.

[14] Кытманов A.A. Вычисление групп когомологий гладких некомпактных двумерных торических многообразий / А.А.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. - Красноярск, - 2005. - Вып. 1. - С. 103-105.

[15] Кытманов A.A. О некоторых обобщениях рекуррентных формул Ньютона / А.А.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. - Красноярск, - 2006. - Вып. 9. - С. 85-91.

[16] Кытманов A.A. Об аналогах рекуррентных формул Ньютона для систем нелинейных уравнений / А.А.Кытманов // Уфимская межд. ма-тем. конф. - Уфа: Институт математики с выч. центром УНЦ РАН. 2007. - Т. 2. - С. 30-31.

[17] Kytmanov A.A. Integral representations and volume forms on Hirzebruch surfaces / A.A.Kytmanov // Журнал СФУ. Сер. мат. и физ. - Красноярск. - 2008. - Вып. 2. - С. 125-132.

[18] Кытманов A.A. Об аналогах рекуррентных формул Ньютона / А.А.Кытманов // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 10. - С. 40-50.

[19] Kytmanov A.A. Toric Varieties in Several Complex Variables / A.A.Kytmanov. - LAP Lambert Academic Publishing. 2009. - 100 p.

[20] Kytmanov A.A. Averaging of the Cauchy kernels and integral realization of the local residue / A.A.Kytmanov, A.Y. Semusheva // Mathematische Zeitschrift. - 2010. - V. 264. - № 1. - P. 87-98.

[21] Кытманов A.A. Алгоритм вычисления степенных сумм корней для класса систем нелинейных уравнений / А.А.Кытманов // Программирование. - 2010. - № 2. - С. 55-63.

[22] Кытманов A.A. Программа построения торического многообразия и интегрального представления по вееру торического многообразия / А.А.Кытманов. - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009616471 РФ. - Заявл. 29.09.2009 (заявка № 2009615284). - Зарег. 23.11.2009 Роспатент.

[23] Кытманов A.A. Программа для вычисления степенных сумм корней систем нелинейных неалгебраических уравнений / A.A.Кытманов. - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009616472 РФ. - Заявл. 29.09.2009 (заявка № 2009615285). - Зарег. 23.11.2009 Роспатент.

Подписано в печать 21.05.2010 Формат 60x84/16. Уч.-изд. л. 1,4 Тираж 100 экз. Заказ № 1889

Отпечатано в типографии ИПК СФУ 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Многомерный логарифмический вычет.

1.2. Алгоритмы исключения неизвестных

1.2.1. Классическая схема исключения неизвестных

1.2.2. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета

1.3. Ядра интегральных представлений и формы объема

1.4. Конструкция торического многообразия.

1.5. Когомологии пучков.

1.6. Система компьютерной алгебры МАРЬЕ.

2. Алгоритм исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений 76 2.1. Построение аналогов рекуррентных формул Ньютона

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Вспомогательные результаты.

2.1.3. Основные результаты

2.1.4. Связь интегралов со степенными суммами

2.2. Исключение неизвестных.

2.3. Вычисление степенных сумм.

2.4. Вычисление сумм некоторых рядов

2.5. Описание алгоритма вычисления степенных сумм.

2.6. Примеры

3. Алгоритм построения интегральных представлений

3.1. Ядра, ассоциированные с торическими многообразиями

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Ядра интегральных представлений.

3.1.3. Аналог формы объема Фубини-Штуди.

3.2. Интегральные представления.

3.2.1. Воспроизводящее свойство ядра.

3.2.2. Общие усреднения ядер Коши

3.2.3. Интегральное представление в области

3.3. Примеры с двумерными веерами.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Компьютерная алгебра является относительно новым направлением, возникшим при взаимодействии ряда математических дисциплин (в первую очередь, алгебры) и информатики. В широком смысле под этим словосочетанием понимаются любые символьные (в отличие от численных) вычисления, выполняемые на компьютере.

В настоящее время компьютерная алгебра находит применение в таких областях науки, как математика, численные методы, гидромеханика, прикладная небесная механика, робототехника [17], и в других. Одним из ее применений в теории информации является использование ее методов в манипулировании многоуровневыми иерархическими структурами для оптимизации аналитических вычислений [19].

За три последних десятилетия было создано огромное число систем компьютерной алгебры, большинство из которых широко применяется в научных вычислениях, при решении прикладных проблем, в индустрии. В зависимости от набора стандартных задач, которые могут быть решены при помощи данных систем, последние подразделяются на универсальные (или, иначе, системы общего назначения, такие как MAPLE, MATHEMATICA, MAXIMA и др.) и специализированные.

Одним из наиболее значимых типов задач, решаемых при помощи универсальных систем является класс задач по вычислениям с полиномами от нескольких переменных над указанными полями и кольцами нахождение наибольшего общего делителя, точного значения корней многочленов в радикалах, разложение на множители, вычисление дискриминантов и результантов, базисов Грёбнера и т.п.), а также решение систем алгебраических (полиномиальных) уравнений и других систем нелинейных уравнений, сводящихся к ним подстановками элементарных функций.

Однако в системах общего назначения на сегодняшний день отсутствует аппарат исследования систем неалгебраических уравнений.

Одним из наиболее эффективных инструментов для исследования таких систем является формула многомерного логарифмического вычета. Первые попытки в создании математического аппарата и алгоритмов компьютерной алгебры для исследования систем нелинейных уравнений с помощью многомерного логарифмического вычета были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой, З.Е.Потаповой [5-8,23,24,40]. В данных работах формула многомерного логарифмического вычета применялась для создания алгоритма исключению неизвестных из систем алгебраических уравнений. Этот модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный Л.А.Айзенбергом в [3], был затем развит в [6,40]. Но для систем неалгебраических уравнений (содержащих, например, голоморфные функции) такие разработки отсутствовали.

Неалгебраические системы уравнений возникают в различных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с правыми частями, разложимыми в ряд Тейлора, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы. В частности в монографиях [6, 40] приведены многочисленные примеры из химической кинетики, где работают алгоритмы исключения неизвестных.

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является создание теоретической основы для разработки алгоритмов исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений и алгоритмов построения интегральных представлений и вычетов в многомерном комплексном пространстве.

Методика исследования

В основу исследования положены методы компьютерной алгебры, теории функций многих комплексных переменных, алгебраической геометрии.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены многомерные аналоги рекуррентных формул Ныотоиа для систем неалгебраических уравнений.

2. Создан аппарат для разработки алгоритмов вычисления степенных сумм для систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней.

3. Процедура построения алгоритмов исключения неизвестных на основе многомерного логарифмического вычета, созданная и примененная ранее для алгебраических систем, распространена на широкий класс неалгебраических систем.

4. Создан аппарат для разработки алгоритмов построения интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства по веерам торических многообразий.

5. Получены аналоги многомерного логарифмического вычета и интегральная реализация локального вычета.

6. Выведены типовые алгоритмы компьютерной алгебры и дана их компьютерная реализация в системе компьютерной алгебры МАРЬЕ.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность работы состоит в создании теоретической основы для разработки алгоритмов исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений и алгоритмов построения интегральных представлений в полиэдрах многомерного комплексного пространства по веерам торических многообразий. Все теоретические результаты снабжены подробными доказательствами.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы для вычисления степенных сумм систем неалгебраических уравнений и сумм некоторых кратных рядов, исключения неизвестных из систем неалгебраических уравнений, получения новых интегральных представлений и многомерных вычетов, вычисления групп когомологий торических многообразий.

Апробация работы

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийский конференциях: международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, Россия, 2000); международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, Россия, 2001); международной конференции «Многомерный комплексный анализ» (Красноярск, Россия, 2002); международной конференции-школе по геометрии и анализу (Новосибирск, Россия, 2002); международной конференции «Геометрический анализ и его приложения», (Волгоград, Россия, 2004); международной математической конференции «Теория функций. Дифференциальные уравнения. Вычислительная математика» (Уфа, Россия, 2007); международной конференции «Анализ и геометрия на комплексных многообразиях» (Красноярск, Россия, 2007); школе-конференции по алгебраической геометрии для молодых математиков (Ярославль, Россия, 2008); международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, Россия, 2008).

Результаты работы докладывались на научном семинаре по компьютерной алгебре факультета вычислительной математики и кибернетики и НИИ ядерной физики имени Д.В.Скобельцына МГУ имени М.В.Ломоносова (г. Москва), научном семинаре института программных систем РАН (г. Переславль-Залесский), а также на научных семинарах института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета (г. Красноярск).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [67-87], из них 1 монография [85], 8 работ [74,75,79-81,84,86,87] в ведущих отечественных и международных рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 12 публикаций [67-73,76-78,82,83] в других научных изданиях. Кроме того, автором получены два свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [88,89].

Личный вклад автора

Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В соавторстве выполнена одна работа [86], в которой вклады авторов равнозначны.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 89 наименований, содержит 7 рисунков. Общее число страниц диссертационной работы — 228, в том числе 23 страницы — приложения.

1. Айзенберг J1.A. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков. - Новосибирск: Наука, - 1979. - 366 с.

2. Айзенберг JI.A. Многомерные аналоги формул Ньютона для систем нелинейных алгебраических уравнений и некоторые их приложения / Л.А.Айзенберг, А.М.Кытманов // Сиб. матем. журн. 1981. - Т. 22. - № 2. - С. 19-30.

3. Айзенберг Л.А. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений / Л.А.Айзенберг // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 234. - № 3. - С. 505-508.

4. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов / Б.Бухбергер // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергсра Б., Коллинза Дж., Лооса Р. М.: Мир, - 1986. - С. 331-372.

5. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Докл. РАН. 1996. - Т. 350. - № 4. - С. 443-445.

6. Быков В.И. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов / В.И.Быков, А.М.Кытманов, М.З.Лазман. Новосибирск: Наука, - 1991. - 234 с.

7. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Вычислительные технологии. Сб. научных трудов. Новосибирск. - 1995. - Т. 4.- № 10. С. 79-88.

8. Быков В.И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова // Доклады РАН. 1996. - Т. 350. - № 4. - С. 443-446.

9. Быков В.И. Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных / В.И.Быков, А.М.Кытманов, Т.А.Осетрова, З.Е.Потапова // Докл. РАН. 2000.- Т. 370. № 4. - С. 439-442.

10. Ван дер Варден Б.Л. Современная алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. -М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

11. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра / Б.Л.Ван дер Варден. М.: Наука, -1976. - 649 с.

12. Гамелин Т. Равномерные алгебры / Т.Гамелин. М.: Мир, - 1973. -334 с.

13. Гриффите Ф. Принципы алгебраической геометрии. / Ф.Гриффите, Дж.Харрис. М.: Мир, - 1982. - 860 с.

14. Дольбо Д. Общая теория многомерных вычетов / Д.Дольбо // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления). М.: ВИНИТИ. - 1985. - Т. 7. - С. 227-251.

15. Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра / Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ, Э.Турнье. М.: Мир, - 1991.

16. Ермилов И.В. Вычисление сумм и улучшение сходимости числовых рядов / И.В.Ермилов // Исследования по комплексному анализу. -Красноярск: КрасГУ. 1989. - С. 42-52.

17. Ефимов Г.Б. Компьютерная алгебра в ИПМ им. М.В.Келдыша / Г.Б.Ефимов, Е.Ю.Зуева, И.Б.Щенков // Матем. моделирование. -2001. Т. 13. - № 6. - С. 11-18.

18. Качаева Т.И. О нахождении сумм некоторых кратных рядов / Т.И.Качаева // Вестник КрасГУ Сер. физ.-мат. науки. Красноярск,- 2004. Вып. 1. - С. 105-109.

19. Клименко В.П. Особенности структуры данных и их преобразования в системе компьютерной алгебры АНАЛИТИК / В.П.Клименко, Ю.С.Фишман, Т.Н.Швалюк // Математические машины и системы.- 2004. № 2. - С. 42-48.

20. Куприков A.B. О логарифмическом вычете / А.В.Куприков, А.П.Южаков //В кн.: «Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных». Красноярск, ИФ СО АН СССР.- 1973. С. 181-191.

21. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. М.: Наука, - 1971.

22. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения / А.М.Кытманов. Новосибирск: Наука, - 1992. - 240 с.

23. Кытманов A.M. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций / А.М.Кытманов, З.Е.Потапова // Изв. вузов. 2005. - № 8 (519). - С. 39-48.

24. Осетрова Т.А. MAPLE-процедуры для нахождения результантов систем нелинейных алгебраических уравнений / Т. А.Осетрова // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Межвузовский сб. - Красноярск: КрасГУ. - 1996. - С. 164-175.

25. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. М.: Наука, - 1981. - 800 с.

26. Хенкин Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе / Г.М.Хенкин // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ. 1985. - Т. 7. - С. 23-124.

27. Цих А.К. Интегральные реализации вычета Гротендика и его преобразование при композициях / А.К.Цих, Б.А. Шаимкулов // Вестник КрасГУ. Серия физ.-мат. науки. Красноярск. - 2005 - № 1. - С. 151-155.

28. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения / А.К.Цих. Новосибирск: Наука, - 1988. - 241 с.

29. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных / Б.В.Шабат. М.: Наука, - 1985. - 400 с.

30. Шабат Б.В. Распределение значений голоморфных отображений / Б.В.Шабат. М.: Наука, - 1982. - 288 с.

31. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии / И.Р.Шафаревич. М: Наука, - 1979.

32. Adams W.W. An introduction to Grocbncr Bases / W.W.Adams, P.Loustraunau. American Mathematical Society. - 1994. - 289 p.

33. Atiyah M.F. Convexity and commuting Hamiltonians / M.F.Atiyah // Bull. Lond. Math. Soc. 1982. - V. 14. - P. 1-15.

34. Atiyah M.F. Angular momentum, convex polyhedra and algebraic geometry / M.F.Atiyah // Proc. of the Edinburgh Math. Soc. 1983. -V. 26. - P. 121-138.

35. Audin M. The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds / M.Audin. Progress in Math. 93. Birkhàuser: Boston-Basel-Berlin. -1991. - 181 p.

36. Bajaj C. On the application of multi-equational resultants / C.Bajaj, T.Garrity, J.Warren // Tecnical Report CSD-TR-826, Departament of Computer Science. Purdue University. - 1988.

37. Batyrev V. Quantum cohomology rings of toric manifolds / V.Batyrev // Journées de Géométrie Algébrique d'Orsay (Juillet 1992), Astérisque 218, Société Mathématique de France, Paris. 1993. - P. 9-34.

38. Batyrev V. Toric residues and mirror symmetry / V.Batyrev, E.Materov // Moscow math, journal. 2002. - V. 2. - № 3. - P. 435-475.

39. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula / S.Bochner // Ann. Math. 1943. - V. 44. - P. 652-673.

40. Bykov V.I. Elimination methods in polynomial computer algebra / V.I.Bykov, A.M Kytmanov, M.Z.Lazman. Dodrecht-Boston-Basel: Kluwer Academic Publishers, - 1998.

41. Cattani E. Computing Multidimensional Residues / E.Cattani, A.Dickenstein, B.Sturmfels // Basel: Birkhauser. Prog. Math. 1996. -V. 143. - P. 135-164.

42. Char B. MapleV Library Reference Manual / B.Char, K.Geddes et allSpringer Verlag: Berlin, New York. 1991.

43. Char B. MapleV Language Reference Manual / B.Char, K.Geddes et all. Springer Verlag: Berlin, New York. - 1991.

44. Char B. MapleV First Leaves: A Tutorial Introduction / B.Char, K.Geddes. Springer Verlag: Berlin, New York. - 1991.

45. Cox D. The homogeneous coordinate ring of a toric variety / D.Cox // J. Algebraic Geom. 1995. - V. 4. - P. 17-50.

46. Cox D. Toric residues / D.Cox // Ark. Mat. 1996. V. 34. P. 73-96.

47. Cox D. Recent Developments in Toric geometry / D.Cox // Providence, RI: American Mathematical Society. Proc. Symp. Pure Math. 1997. -V. 62 - P. 389-436

48. Dwilewicz R. Additive Riemann-Hilbert problem in line bundles over CP1 / R.Dwilewicz // Can. Math. Bull. 2006. - V. 49. - No. 1. - P. 72-81.

49. Fulton W. Introduction to Toric Varieties / W.Fulton. Princeton U. Press. Princeton, NJ. - 1993. - 157 p.

50. Gelfand I.M. Discriminants, resultants and multidimensional determinants / I.M.Gelfand, M.M.Kapranov, A.V.Zelevinsky. -Mathematics: Theory & Applications. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA. 1994. - 523 p.

51. Guillemin V. Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian Tn-spaces / V.Guillemin. Progress in Math. V. 122. Birkhauser: Boston Basel Berlin. 1994. - 150 p.

52. Guillemin V. Convexity properties of the moment mapping / V.Guillemin, S.Sternberg // Invent. Math. 1982. -V. 67. - P. 491-513.

53. Lazard D. Groebner bases, Gaussian elimination and resolution of systems of algebraic equations / D.Lazard // Lect. Notes Comput. Sci. 1983. - V. 162. - P. 146-156.

54. Macauley F.S. Algebraic theory of modular systems / F.S.Macauley. -Cambridge. 1916.

55. Manocha D. MultiPolynomial Resultant Algorithms / D.Manocha, J.F.Canny // J. Symbolic Computation. 1993. - № 15. - P. 99-122.

56. Manocha D. Multipolynomial resultant algorithms and linear algebra / D.Manocha, J.F.Canny // In Proceedings of International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. 1992. - P. 232-241.

57. Martinelli E. Alcuni teoremi integral! per le funzioni analitiche di piu variabili complesse / E.Martinelli // Mem. R. Accad. Ital. 1938. - V. 9. - P. 269-283.

58. Moller H.M. The construction of multivariate polynomials with preassiqued zeros / H.M.Moller, B.Buchbcrger // Lect. Notes Comput. Sei. 1983. - V. 162. - P. 24-31.

59. Moses J. Solution of Systems of Polynomial Equation by Elimination / J.Moses // Commun. of the ACM. 1966. - V. 9. - № 8. - P. 634-637.

60. Oda T. Convex Bodies and Algebraic Geometry / T.Oda. SpringerVerlag. Berlin Heidelberg New York. - 1988. - 212 p.

61. Passare M. Residue currents of the Bochner-Martinelli type / M.Passare, A.Tsikh, A.Yger // Publicacions Matemätiques. 2000. - V. 44. - P. 85-117.

62. Poincare H. Sur les residues des integrales doubles / H. Poincare // Acta Math. 1887. - V. 9. - P. 312-380.

63. Shchuplev A.V. Residual kernels with singularities on coordinate planes / A.V.Shchuplev, A.K.Tsikh, A.Yger // Proc. of the Steklov Inst, of Math. 2006. - V. 253. - P. 256—274.

64. Shchuplev A.V. Toric varieties and residues / A.V.Shchuplev. Doctoral thesis. - Stockholm Univ., Department of Math. - 2007. - 70 p.

65. Tong T.L. Integral representation formulae and Grothendieck residue symbol / T.L.Tong // Amer. J. Math. 1973. - V. 4. - P. 904-917.

66. Winkler F. An algorithm for constructing canonical bases of polynomial ideals / F.Winkler, B.Buchberger, F.Lichtenberger, H.Rolleeetschk // ACM Trans. Math. Software. 1985. - V. 11. - № 1. - P. 66-78.

67. Кытманов A.A. Формы объема для некоторых торических многообразий / А.А.Кытманов // Тр. межд. конф. «Математические модели и методы их исследования». Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2001. -Т. 2. - С. 52-55.

68. Кытманов A.A. Об аналоге ядра Бохнера-Мартинелли для одного торического многообразия / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ, - 2002. - Вып. 5. - С. 48-53.

69. Кытманов A.A. Об одном интегральном представлении в С5 / A.A.Кытманов // Сб. научн. тр. «Многомерный комплексный анализ». Красноярск: КрасГУ. - 2002. - С. 79-89.

70. Кытманов A.A. Об одном классе интегральных представлений в областях пространства Cd / А.А.Кытманов // Материалы XL международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. - 2002. -С. 74-75.

71. Кытманов A.A. Об интегральном представлении, связанном с тори-ческим многообразием, которое определяется невыпуклым веером / A.A.Кытманов // Тез. межд. конф. «Многомерный комплексный анализ». Красноярск: КрасГУ. - 2002. - С. 22-23.

72. Кытманов A.A. Об одном классе интегральных представлений в полиэдрах пространства Cd / A.A.Кытманов // Тез. межд. конф,-школы по геометрии и анализу. Новосибирск: Институт математики СО РАН. - 2002. - С. 54.

73. Кытманов A.A. Об одном интегральном представлении, ассоциированном с торическим многообразием, заданным с помощью невыпуклого веера / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ. — 2003. - Вып. б. - С. 124-133.

74. Кытманов A.A. Об аналоге формы Фубини-Штуди для двумерных торических многообразий / A.A.Кытманов // Сиб. матем. журн. -2003. Т. 44. - № 2. - С. 358-371.

75. Кытманов A.A. О ядрах интегральных представлений как усреднениях формул Коши / А.А.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. Красноярск, - 2003. - Вып. 2. - С. 3-9.

76. Кытманов A.A. О построении формы объема для торических многообразий / А.А.Кытманов // Материалы XLI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. - 2003. - С. 46-47.

77. Кытманов A.A. Конструирование ядер интегральных представлений с помощью торических многообразий / А.А.Кытманов // Тезисы межд. школы-конф. «Геометрический анализ и его прил.» -Волгоград: ВолГУ 2004. - С. 107-109.

78. Кытманов A.A. Об одном аналоге формы Фубини-Штуди для торических многообразий / А.А.Кытманов // Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ. - 2004. - Вып. 8. - С. 72-84.

79. Кытманов A.A. Об аналоге представления Бохнера-Мартинелли в d-круговых полиэдрах пространства С1/ А.А.Кытманов // Изв. вузов. Математика. 2005. - № 3. (514). - С. 52-58.

80. Кытманов A.A. Вычисление групп когомологий гладких некомпактных двумерных торических многообразий / A.A.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. Красноярск, - 2005. - Вып. 1. - С. 103-105.

81. Кытманов A.A. О некоторых обобщениях рекуррентных формул Ньютона / А.А.Кытманов // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. Красноярск, - 2006. - Вып. 9. - С. 85-91.

82. Кытманов A.A. Об аналогах рекуррентных формул Ньютона для систем нелинейных уравнений / А.А.Кытманов // Уфимская межд. матем. конф. Уфа: Институт математики с выч. центром УНЦ РАН. - 2007. - Т. 2. - С. 30-31.

83. Kytmanov A.A. Integral representations and volume forms on Hirzebruch surfaces / A.A.Kytmanov // Журнал СФУ. Сер. мат. и физ. Красноярск. - 2008. - Вып. 2. - С. 125-132.

84. Кытманов A.A. Об аналогах рекуррентных формул Ныотоиа / А.А.Кытманов // Изв. вузов. Математика. 2009. - № 10. - С. 40-50.

85. Kytmanov A.A. Toric Varieties in Several Complex Variables / A.A.Kytmanov. LAP Lambert Academic Publishing. 2009. - 100 p.

86. Kytmanov A.A. Averaging of the Cauchy kernels and integral realization of the local residue / A. A.Kytmanov, A.Y. Semusheva // Mathematische Zeitschrift. 2010. - V. 264. - № 1. - P. 87-98.

87. Кытманов A.A. Алгоритм вычисления степенных сумм корней для класса систем нелинейных уравнений / А.А.Кытманов // Программирование. 2010. - № 2.'- С. 55-63.