автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Постановка и решение начально-краевых задач гравитационных волн в водоемах

На правах рукописи

ТУАЕВА Жанна Дмитриевна

РГБ ОД

* 4 ФЕ^ йоо

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В ВОДОЕМАХ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владикавказ 2000

Работа выполнена в Институте прикладной математики и информатики при Северо-Осетинском государственном университете

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

МУЗАЕВ И.Д. КУСРАЕВ А.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

ПОТЕТЮНКО Э.Н. ЛЕЖНЕВ В.Г.

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт прикладной

математики и автоматизации РАН Кабардино-Балкарского научного центра, г. Нальчик

Защита диссертации состоится "24" февраля 2000 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета К063.52.12 при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, корп.2, ЮГИНФО РГУ, к. 406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГУ по адресу: ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан "Д " ЛЛЛ СЦиЬ 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К063.52.12, кандидат физико-математических наук,

ЛЛ6. М О в*?. О

старший научный сотрудник

Муратова Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современные достижения науки во всех областях несут огромную пользу для человечества. Одним из главных направлений научных исследований во всем мире в настоящее время является разрешение экологической проблемы, которая существует уже многие десятилетия. Во все времена и эпохи человек не мог противостоять природным катаклизмам и, тем более, предвидеть их, поэтому проведение исследовательской работы в направлении прогнозирования последствий экологических катастроф очень важно. Первая рассматриваемая проблема — паводковые потоки в естественных руслах. В разных странах мира в настоящее время проводятся обширные исследования проблем, связанных с паводковыми потоками и наводнениями. В последние годы проходят специальные совещания как национальные, так и международные по разным аспектам этой проблемы. Несмотря на это к настоящему времени не существует ни одной совершенной методики прогноза времени наступления паводковых потоков.

Вторая проблема - обрушение значительных масс горной породы в заполненное водохранилище в результате обвально-оползневых явлений провоцирует поверхностные гравитационные волны, приводящие к стихийным катастрофическим бедствиям в виде жертв и разрушений. Одно из больших бедствий, вызванное обрушением масс фунта в водохранилище имело место в Италии, в ущелье р. Вайонт, 9 октября 1963 года. Массив горной породы, объемом около 300 млн. м3 обрушился в водохранилище с левого борта, что вызвало катастрофический паводок ниже плотины. В результате этого были снесены населенные пункты, и имело место около 3000 человеческих жертв. На основе вышеизложенного можно заключить, что вопросам волнового движения воды в горных водохранилищах при обвально-оползневых явлениях необходимо уделять должное внимание.

Третья проблема - это внутренние гравитационные волны в стратифицированном водоеме. Как известно, при водоснабжении промышленных предприятий, тепловых и атомных электростанций в ряде случаев необходимо обеспечить забор воды из определенного слоя водоема-источника. Например, для охлаждения турбин тепловых и атомных электростанций в летнее время требуется забирать воду из глубинных, более холодных слоев. Или в случае сильного загрязнения нижних или верхних слоев водоема следует забирать жидкость из такого слоя, где вода более чистая. Проведение научного исследования по образованию гравитационных волн при селективном водозаборе из стратифицированного водоема представляет собой важную и необходимую работу.

Таким образом, все выше перечисленные проблемы относятся к ряду наиболее актуальных, решения которых позволит избежать материальных потерь, а также обеспечить безопасность жизнедеятельности населения.

Степень изученности тематики работы. К настоящему времени

количество опубликованных работ по проблеме образования гравитационных волн в водоемах не очень велико. В публикациях рассматриваются как аналитические, так и численные методы решения дифференциальных уравнений Сен-Венана, моделирующих волновое движение при паводковых потоках и при обвально-оползневых явлениях. Однако в редких случаях решение ищется в общем случае, то есть без принятия каких-либо допущений или предположений, так как данные нелинейные уравнения слишком сложны. В частности, в некоторых опубликованных работах по численным методам решения пренебрегают инерционными членами, уклонами трения или боковой приточностью. Сложности численного решения полной системы связаны с тем, что уравнения являются дифференциальными уравнениями гиперболического типа, что не всегда обуславливает абсолютную устойчивость метода. Известные аналитические решения трудно реализуемы на ЭВМ для получения конкретных значений неизвестных функций. Поэтому становится очевидной необходимость разработки усовершенствованных аналитических и численных методов решения краевых задач, связанных с моделированием паводковых потоков, а также с волновым движением воды в горных водоемах. Разнообразие входных данных, начальных и граничных условий, зависящих от конкретного региона, позволяют исследователям находить все новые и новые решения.

Целью диссертационной работы является: постановка и разработка методов решения начально-краевых задач, моделирующих паводковые потоки в горных регионах и волновое движение в горных водохранилищах при обвально-оползневых явлениях или в результате вторжения потоков селевого либо лавинного характера; решение контактной начально-краевой задачи, моделирующей внутренние гравитационные волны при селективном водозаборе из стратифицированного водоема.

Методика исследования. Использованы линейная теория поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды; методы операционного исчисления; теория дифференциальных уравнений; численные методы решения дифференциальных уравнений; основы гидравлики и гидродинамики.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке методики аналитических решений начально-краевых задач, моделирующих движение паводковых потоков в горных регионах с учетом интенсивности боковой приточности; в построении алгоритмов математического и компьютерного моделирования паводковых потоков в горной речной системе типа "дерево".

Впервые аналитическими методами математической физики поставлена и решена начально-краевая задача волнового движения воды в непризматическом водоеме при обвально-оползневых явлениях или поступлении потоков селевого либо лавинного характера. При этом учитывается наклон дна водоема и переменность ширины зеркала воды. Решение получено в виде бесконечного тригонометрического ряда и реализовано на ЭВМ.

Впервые поставлена и решена аналитически контактная начально-краевая ;адача теории внутренних (двухслойных) гравитационных волн на поверхности >аздела слоев при селективном водозаборе из верхнего (осветленного) слоя. 1олученное решение реализовано на ЭВМ. Численные расчеты позволяют 'становить нижнее критическое положение поверхности раздела слоев в ;ависимости проектных характеристик селективного водозаборного сооружения.

Обоснованность научных положений^ выводов и рекомендаций, ¡формулированных в диссертации, подтверждается использованием в гриведенных исследованиях аппарата операционного исчисления, теории шфференциальных уравнений, матричной алгебры, численных методов решения шфференциальных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в численной реализации и юведении до расчетных программ на ЭВМ математических моделей -равитационных волн. Результаты научно-исследовательской работы могут ¡спользоваться в инженерных расчетах при прогнозировании уровня воды в юдоеме, что позволят предотвратить либо смягчить разрушительные гаследствия паводковых волн; проектировать и строить надежные инженерные ;ооружения для защиты народно-хозяйственных объектов и ;ельскохозяйственных угодий; наметить научно-обоснованные мероприятия по /странению или уменьшению степени затопления и ущерба при разрушении тлотины в результате обвально-оползневых явлений в горных водохранилищах.

Численные эксперименты, проведенные для контактной начально-краевой ;адачи внутренних гравитационных волн, позволили установить зависимость /ровня поверхности раздела разноплотностной жидкости от параметров окна юдозабора, а также от плотностей слоев жидкости. Полученные результаты, логут обеспечить технически чистый водозабор из стратифицированного юдоема.

Достоверность результатов диссертационной работы обусловлена ¡овладением характера поведения численных и аналитических результатов, а гакже совпадением с известными результатами других авторов.

Использование результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы в инженерных расчетах для Зарамагского водохранилища (Северная Осетия).

Апробация работы. Основные положения и результаты были доложены л обсуждены на научных конференциях Горского аграрного госуниверситета ^1996), Северо-Осетинского госуниверситета (1998-1999), на III Международной конференции "Устойчивое развитие горных территорий" (Владикавказ, 21-26 :ентября 1998 г.). В полном объеме диссертационная работа докладывалась на яаучном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО Ростовского госуниверситета, на научном семинаре Института прикладной математики и автоматизации РАН Кабардино-Балкарского научного центра.

Публикации. Итоги проведенных исследований представлены в 6 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Содержание изложено на 144 страницах текста, включает 12 рисунков. Список литературы содержит 70 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий исторический обзор по рассматриваемой проблеме, отмечены важность и актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи исследования, изложено краткое содержание.

Глава I включает обзор и анализ литературных источников, состоит из трех разделов.

В первом разделе дается обзор и анализ существующих аналитических методов решения системы дифференциальных уравнений Сен-Венана (уравнения "мелкой" воды), моделирующей движение паводковых потоков в естественных руслах. На основе анализа сделано заключение, что существующие аналитические методы Христиановича С.А. (метод характеристик), Мелещенко Н.Т. (линейный метод с допущением периодичности неустановившегося движения) весьма трудоемки и сложны для реализации на ЭВМ, а отсутствие программ для компьютерного счета метода Мелещенко препятствует его широкому распространению.

Во втором разделе дан обзор и анализ наиболее известных конечно-разностных методов решения начально-краевых задач для системы уравнений Сен-Венана. Рассмотрены схемы Прейсмана, института гидродинамики СО АН СССР (рук. Васильев О.Ф.), схема Лакса и "чехарда", схема диффузионного приближения (Железняк М.И., Маринец A.B.).

В третьем разделе проведен обзор аналитических методов (Музаев И.Д., Мамрадзе Г.П.) и конечно-разностных (Остапенко В.В.) решения математических моделей образования поверхностных волн в горных водохранилищах при обвально-оползневых явлениях.

В четвертом разделе приведены эмпирические формулы для вычисления основных характеристик гравитационных волн двухслойной жидкости при селективном водозаборе из определенного слоя стратифицированного водоема (Р. Смутек, А. Края).

В главе II получены методом линеаризации аналитические решения математических моделей движения паводковых потоков в естественных руслах с учетом интенсивности боковой приточности, аппроксимируемой как разрывной, так и непрерывной (экспоненциальной) функцией. Глава состоит из трех разделов.

В первом разделе описывается математическая модель и ищется решение начально-краевой задачи для полной системы с разрывной функцией боковой приточности. Моделью движения паводковых потоков является система урав-

нений Сен-Венана для неустановившегося движения воды, которая выглядит следующим образом:

доз. дО -+ —= ц

д ? д х ^

дх К2

+ — =

\

д * д х \ со

где г - время, х - продольная координата, 0(х, I) = у«-расход воды в русле

(у - средняя скорость воды в русле), со (.х, - площадь живого сечения потока,

g - ускорение силы тяжести, Н (х ,е) - глубина потока, г - уклон дна русла,

К - модуль расхода, д(х,1) - интенсивность боковой приточности, обусловленная снеготаянием и дождевыми осадками. Здесь и в дальнейшем, неизвестные зависимые переменные являются непрерывными, дважды дифференцируемыми функциями.

Начальные и внешние граничные условия ставятся следующим образом:

при г = 0: б=е0(х) и Н=Н0(х), (2)

при л = 0: £? = £>о00 или Н=Н0{(), (3)

при х = ж: <2 и Н ограничены, (4)

где (20(х), Н0(х), Q0{t), Н0 (?) - заданные функции.

Система (1) содержит три неизвестные функции: расход воды, глубина потока и площадь живого сечения. Но если заменить естественное русло потока

жидкости прямоугольным (то есть площадь живого сечения со = ВН, где В -ширина потока по свободной поверхности, значение ширины известно и равно постоянной величине), то вместо трех неизвестных функций мы получим расход воды и глубину потока. Модуль расхода выражается формулой К=0СЛГК, где

С = —Я1'6 - коэффициент Шези (по формуле Маннинга), II =— - гидравли-

п х

ческий радиус, х~В+2Н(х,0~ смоченный периметр, п - коэффициент шероховатости дна, заданный в специальных таблицах. Также предполагаем, что русло широкое, то есть Н<< В. Исходя из этого предположения,

со В Н 1 со ,,,

Т=Н^Е"Н- т-да,к = -я- (5)

+ в

Интенсивность боковой приточности задается формулой

д0, если 0 < t < Т,0 < х < L ^(х,/) = 0, если x>L > (6)

О, если t > Т

где q0- заданная постоянная величина. Предполагаем, что первоначально имело место установившееся и равномерное движение воды в рассматриваемом русле при расходе воды Q0 = const и глубине воды Н0 = const. Тогда рассмотрим отклонения

Q = Qo+Q(x,0, H = H0+H{x,t),

где Я(х, /), Q(x, t) - величины, малые по сравнению cQ0, Н0 (квадратами которых можно пренебречь). Линеаризованная начально-краевая задача выглядит так:

SQ

+

' j}L-тгт.^«2

BHl J dx + ВЯп dx g 10

v

вщ вщ

дН дО

В-+ ~ = q

dt дх 4

(7)

е(х,/)](о= о и я(*,о|,_0 =<ь

в(*Д=0=° «ли Я(х,г)|х=0 = 0 , (9)

й{х,Л\ и Я(х,?)| ограничены. (10)

^ ' \ X = К I х — эо

ТЕОРЕМА 1. Начально-краевая задача (7)-(10) нахождения расхода паводкового потока, удовлетворяющая условиям (5)-(6), имеет решение, представимое в виде:

л [01 если 0<х<1

<2(х, 0 - 1 г \

если х>Ь

. где б/х, I) = р(х> г>) + рх (х>,) _ р2 (Х) + , СЫх, 0 = Р, (х, /) - Р2 (х, /) + Р3(х,/),

Р(х, О

'а л, -Ь-п

( _л

е~°('~Г) - 111 • - - х))Г,(г - • (¡г,

Р,(х, О

I

Р/х, 0 = е^ + - гУг,

I

I

/у*о

е " - I

[¿(ж - Я2(1 - ДГ))У, (Т - 5)йЬ • Л,

=4 К* -1+Н - 4 № - г)(е~г<"°

! У а

А А '

У, (/) ---1е- + — |5(г - -где все входящие константы суть

У У о

выражения от О о, Н0, д0, В, п, е- экспонента, 5(х) - дельта-функция Дирака.

При доказательстве используется метод операционного исчисления (преобразования Лапласа по переменной (). Полученное решение не совсем удобно в дальнейшем для тестирования численного решения, что обусловлено разрывностью функции Однако при замене (6) на д(х, 0 = Цое *1*е *1', 5/=10/ Ь, ¿2= 1 О/Т (Т - время выпадения осадков), выражение для расхода будет иметь вид:

С)(х, I) = б^^Ь, |(А+ А)- е"(5,х+5г,)+ (В+ В) • е~!|Х<"Р|1 + (С+ С)- е^'х+Рг')

при I < — %2 X,

при I >А.2 X.

Здесь все входящие константы суть выражения, содержащие О,,, Но, Ва &

Во втором разделе решение поставленной задачи получается аналогичным образом при следующих условиях: 1) без учета правой части (возмущения силы трения) первого уравнения системы (7); 2) русло аппроксимируется трапецеидальным, поэтому площадь живого сечения Ю0= (Во +(ту'гт1)Н/2)Н, В0-ширина по дну, от/=с/£/ и т2=^2- коэффициенты откосов, где ф/, ф^- углы, образуемые откосами русла. Выражение для расхода имеет вид:

(^(х, 1) = Б.ЯоЗ.Ь,(а-е"(!|Х+!г,) + В- e-s','+p•^ + о при I < -у, х,

= + при 1>у, х,

где у,= 1/(со+у0), с0 - скорость распространения малых возмущений, у0 - скорость движения при установившемся режиме.

После нахождения расхода, легко находится глубина из второго уравнения системы (7).

В третьел! разделе представлена конвективно-диффузионная модель образования паводковых потоков в результате излива воды из горного водохранилища. Методика нахождения аналитического решения заключается также в линеаризации, преобразовании Фурье, а также применением нескольких подстановок для искомых функций. Линеаризованная модель принимает вид

д\. 0 дх 0 ^х 2

при 1 = 0 ^ (х, 1) = 0,

при х = 0 ^ (х, 1) =

при х = Ь (х, I) = 0.

= _ а * , где V/* = (Н) - объем водохранилища, q* - расход воды через створ разрушенной плотины, Ь - расчетная длина реки.

В главе III представлено компьютерное моделирование паводковых потоков. Разработан конечно-разностный метод решения полной системы дифференциальных уравнений Сен-Венана, где В=В(х, Н) аппроксимируется трапецеидальным, с последующей программной реализацией. При этом применяется комбинация известного метод прогонки (неявная схема) и метода последовательных приближений. Глава состоит из трех разделов.

В первом разделе описывается алгоритм решения упрощенной системы Сен-Венана без учета инерционных членов.

1. При решении система уравнений гиперболического типа (1) приводится к одному уравнению параболического типа для расхода. В результате принятия некоторых приемлемых упрощающих предположений (пренебрежение инерционными членами, ширина В(х, Н) по длине потока изменяется незначительно), а также исключении неизвестных (глубины потока и площади живого сече-

ния) модель (1 )-(4) приводится к следующей конвективно-диффузионной модели:

<?0 О

дХ + К-В с!Н ~ 20-В ~

К2 ¿ц

а +-----— = О •

кван4 2(5-в^х

где К = К(Н) - модуль расхода.

при (=0 СИх, 0 = Оо(х),

при х = 0 0(х, I) = 0,(0,

при х = Ь 0(х, I) - 0, (И),

(И)

(12)

(13)

(14)-

Выражение (11) представляет классическое дифференциальное уравнение конвективно-диффузионного процесса с учетом нриточности. Заметим, что(11) является уравнением параболического типа.

2. Рассмотрим дискретизацию пространства !<2(х, I)} функций ()(х, 0 непрерывных аргументов (х.!) [О, ¿// х/0, Т,]. На плоскости (х, I) введем равномерную сетку р. =/(7Ах, кКг), г~ 1, 2,..., И,к-0, I, 2,..., К¡}, где Лх = и Л/ Т/К/ - таги сетки по направлениям г и / соответственно. Вместо функции

С}(х, 1) будем рассматривать сеточную функцию - Q. Дх, к ■ А/) -Начально-краевая задача (11) - (14) в конечных разностях запишется:

> _ _ ^ * + Ц

2Ау АХ"

.дх.

= 0, (15)

ог = о, ((А + од/), {>;;' = о[, =

/ = 1,2,3,...,ЛГ-1; Л = 0,1,2,3,-., А", -1.

(16)

Здесь через обозначены соответствующие коэффициенты уравнения

(II), спроектированные в узлы сетки.

Далее применяется метод прогонки.

3. Прямой ход (вычисление прогоночных коэффициентов):

А,

IV 1 Л' М

2Ах Ах~

,, 2А/ 1 + ° Т^ Ал 2Ах . М \

В,^ = -

. 2Д/ Г Ас , Л/ 1 + Д —г-К/, -+ Д

'' Лх2 V ' 2Ах ' Ах2; Для определения А] и В] используется граничное условие (16):

4=0, в,

4. Обратный ход: = + В1+1 .

Аналогичный алгоритм применяется для вычисления глубины. В этом случае система уравнений будет приведена к одному уравнению параболического типа относительно глубины.

В этом же разделе утверждается, что построенная разностная схема ■.аппроксимирует исходную'задачу с порядком 0(Л1 +(Ах)2). Доказывается оценка, из которой вытекает абсолютная устойчивость разностной схемы в случае "замороженных" коэффициентов.

Во втором разделе найденное решение конвективно-диффузионной модели берется в качестве первого приближения для решения полной (с учетом инерционных членов) системы методом последовательных приближений. Инерционные.члены войдут1 как известная правая часть в систему уравнений Сен-Венана: ,■■

. ¿и,., • о ., 1 ^

'/+1 У/+1 1 - -2 /+1

дх к;+1

д

дх дх

со,

'I //

д Л,., д О. ,

в-г7^ + —^ = /=0,1,2,...,

о X о х

где / — номер итерации. Затем повторяется алгоритм для конвективно-диффузионной модели с видоизмененной правой частью. На каждом шаге по времени оценивается следующая величина:

1-1 ... . .....

Вычисления (3/4./ проводятся до тех пор, пока б* не станет меньше наперед заданного е > 0 - относительной погрешности. Численные эксперименты показывают, что количество итераций обратно пропорционально величине погрешности. Проведенная серия расчетов позволяет сравнить и протестировать полученные решения полной и упрощенной систем. На рис. 1 представлены соответствующие графики изменения расходов паводкового потока при х = Ь = 3 км, Т=1000 е., ц0=5 (ряд 1 - решение конвективно-диффузионной модели, ряд 2 -

полной модели, ряд 3 - по полной линеаризованной модели, ряд 4 - по линеаризованной без учета возмущений сил трения).

1000

о ' 800

"Е 600'

£ 400

О ' 200

0

Кривые изменения расходов паводкового потока

Ряд1 Ряд 2. РядЗ Ряд4

1*5, с

Рис.1

В третьем разделе построена замкнутая математическая модель 'паводковых потоков для речной системы типа "дерево",'при этом начальные и внешние граничные условия ставятся следующим образом':

. при / = 0 е,=е,,0(ху) и Я, =Ял0(х,), . при, х = о е,=0о(/) ИЛИ я,= я0(/), при х=Ь

где еу 0(х), //; 0(х), О0(/), 0, (//,. ) - заданные функции, I - суммарный километраж русел рек;

при X = £у ,

где /г; - отметка уровня в соответствующем у'-ом русле в месте слияния либо разветвления. 5 \<>'\!

Рассматривается случай простого разветвления или слияния без притоков. В этой слуйае Значения неизвестных, функций (расходов и глубин трех потоков) вычисляются сначала в точке слияния системой, .алгебраических уравнений - закона сохранения массы и закона сохранения количества движения1, й 1з*атем по всему руслу уже известным алгоритмом, примененным

ранее в случае одного русла. Методика расчета проверялась путем сопос тавления результатов численного решения с соответствующими значениям» аналитического решения. В заключение главы автором после проведении} численных экспериментов делается ряд выводов на основе сравнительной анализа аналитического и численного решения.

В главе IV представлена физико-математическая модель образования гра витационных волн в горных водохранилищах в результате обвал ьно-оползне вых явлений или вторжения потоков селевого либо лавинного характера. Глав; состоит из двух разделов.

Первый раздел включает гидродинамическую постановку задачи I описание модели. Предположим, что в прямоугольной системе координат хоуу часть пространства, ограниченная условиями 0 < х < £ , -В(х)/2 < у <В(х)/2. Нц(х) < - < 0 и заполненная водой, представляет горное водохранилище непризматическоп) очертания в плане и с переменной в продольном направлении глубиной Н0(х). В створе х = 0 расположена плотина, В(х) - представляет переменную ширину водохранилища, причем В(0)=В0, В(Ь)~В, (рис 2).

Рассмотрим волновое движение воды, вызванное тем, что с берега х - Ь и водохранилище вторгся обвально-оползневый массив или поток селевого либо лавинного характера.

Н(х)

Iх

К

% ук

у///

в,. 1

Рис.2

В приближении линейной теории мелкой воды волновое движение описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

дН

д1 0 '

О,

(17)

д V __

д! ~ дх

где 1*'(х,1) -средняя по ширине каньона скорость движения воды, В=В(х) - ширина каньона, Нц(х) - глубина воды в водохранилище при невозмущенном состоянии, Н(х, О - возмущение глубины в результате вторжения.

Вводится функция <р = <р(х, I), подобная потенциалу скорости, следую-

щим образом

д <р 1 д (р ах ^

Легко заметить, что первое из дифференциальных уравнений (17) относительно функции <р(х, () превращается в тождество, а второе уравнение принимает вид

дг<р дгср

д11

-— + НЛх)——--

ск йУ ' В(х) <Ь

д <р дх

= 0- (19)

Начальные и граничные условия для рассматриваемой задачи запишутся следующим образом:

д Ф\х, п

у (*,/)= ^ 0 ПРИ 1 = 0'

(20)

д (р в х

= 0.

д <р

т,

(21)

Х=1

где У(1) - скорость вторжения.

Таким образом, модель представляет начально-краевую задачу (19)-(21) математической физики д ля дифференциальных уравнений теории мелкой воды. В дифференциальном уравнении (19) коэффициенты представляют переменные величины и по этой причине его аналитическое решение для произвольных функций Н(/х) и В(х) связано со значительными математическими трудностями.

Во вторам разделе начально-краевая задача (19)-(21) решена для частного случая задания функций Н0(х) и В(х). Здесь ширина водохранилища аппроксимируется экспоненциальной функцией вида

В(х) =В0 е* . (22)

Скорость вторжения представляется в виде функции Хевисайда

т-

¡К> 0<к(0 |0, />/„

(23)

ТЕОРЕМА 2. Начально-краевая задача (19)-(21) имеет решение, которое при условиях (22)-(23) определяет функцию I), представимуто в виде:

ЩА

/ 1 3 I л Уп

зшг„11 -1 ]зтгп | •( + а„ со

при / > г0, (24)

/О

к

при (< /0, (25)

¡2С? пж 2 ^е • Г"77 еЪс

где = = у-, = ^т^ —, ^ = согеЛ.

При доказательстве вместо независимой переменной х вводится новая переменная с помощью следующей подстановки

М-

¿1х

\!§Н0{х)~

При такой подстановке начально-краевая задача (19)-(21) запишется:

дг<р д2(р

gн0

сЬс

м.

сМп

1 <1В

Н0 ск + В ск

дер

д г)

^(£0 = = 0 при 1 = 0.

= 0, (26)

(27)

д<р

^н0(Ь)У( О.

(28)

¿-А

где ¿/-значение длины водохранилища в системе координат Для частного задания функции Но(х) приравниваем к постоянной величине коэффициент при первой производной в уравнении (26). Тогда

А

л/я^

\2

где постоянные интегрирования находятся из условий:

Яо(0) = Яо,Яо(£) = Я,. В результате получим

И(гЛ {пг JKzЖ^JKIJ^}£l^2

Начально-краевая задача (26)-(28) решается методами подстановок и синус-преобразования Фурье, после чего, используя (18), выводятся равентства (24)-(25). Численные расчеты (24)-(25) определить повышение уровня воды у плотины, а также расход и полный объем воды, переливаемой через гребень плотины в зависимости от кинематических и динамических характеристик вторгающейся массы.

В главе V поставлена и решена контактная начально-краевая задача колебания поверхности раздела разноплотностных слоев воды при селективном водозаборе из верхнего слоя. Глава состоит из двух разделов.

Первый раздел включает гидродинамическую постановку контактной задачи и описание модели. Использована линейная теория поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды. Глубины слоев являются конечными величинами. При решении задачи учитываются волнообразование на поверхности верхнего слоя. Предполагается, что часть пространства, ограниченная условиями условиями 0< х < Ь, 0 < г < Л/, представляет слой осветленной воды с плотностью р/; а слой мутной воды с плотностью р2 >р\. О < х < Ь, -Н2 < г < 0. Плоскость г = 0 - невозмущенная горизонтальная поверхность раздела слоев, ъ = -Н2 - дно водоема, 2 = Я/ - свободная невозмущенная поверхность верхнего слоя. На участке д: = 0, г0- а < г < г0+а помещено окно водозаборного сооружения, через которое забирается вода из верхнего слоя водоема со скоростью v0 (рис. 3).

Рис.3

Математической моделью здесь являются следующие дифференциальные уравнения:

д 2Ф, д2Ф

■ + ■

дх2 дг2

1 = 0, 0<2<Нг,

(29)

<?2Ф, д2Ф,

+ -

= 0, -н2<г<0.

дх1 "

Граничные условия выглядят следующим образом:

на верхнем слое:

на поверхности раздела:

д2Ф1 <?Ф,

02

= о;

д2Ф, <?Ф. АI 8

дС

дг дФ

Рг

г=0

(д2Ф7

зе

+ 8-

дг

<?Ф,

<?Ф2

77

2=0

(30)

(31)

(32)

(33)

на нижнем слое:

горизонтальные скорости:

= о;

дх

. ч ро. 20-а<г<20+а 1=0 [0, 2 < 20 - а, г>г0+а

ЗФ,

дх

1=0

Начальные условия:

Ф,

д1

дх

дФ,

дФ,

дх

(34)

= 0, (35)

Х=1

= 0-

дt

= Ф,

(36)

(37)

Волны на поверхности раздела слоев определяются по следующей зависимости, которое выводится из закона Бернулли и равенства давлений на

у

поверхности раздела:

рх <?Ф,(хД/) р2 дф2(х,0,[) {.Рг ~ Р\)•? Рх)ё д1

Во втором разделе контактная начально-краевая задача (29)-(37) решена методом операционного исчисления и интегрального преобразования Фурье. Для определения колебаний поверхности раздела слоев в явном виде получено выражение, которое позволяет установить нижнее стояние поверхности раздела слоев.

ТЕОРЕМА 3. Контактная начально-краевая задача (29)-(37) нахождения потенциалов скоростей движения двухслойной жидкости имеет решение, которое определяет функцию Г](х, I), представимую в следующем виде:

/

^ хсо$апхг

(39)

где Кп =

а

п

1 + е-2°"я'

Кп = Я

е

- е

1 + <Г2о"я<

А

Рг

(ИаНлЪаН-

п I п

п

2 '

При доказательстве используется преобразование Лапласа по переменной с, и конечное косинус-преобразование Фурье по переменной х. Численные

расчеты зависимости (39) показали, что амплитуда волны прямо пропорциональна скорости водозабора из водоема и размеру водозаборного окна. Сравнительный анализ полученных результатов со значениями эмпирических формул А. Края показывает, что при глубинах Н^Ю м, Н2 >10 м расчеты совпадают.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации изложены результаты исследований, посвященных разработке и анализу методов решения начально-краевых задач математической физики, моделирующих гравитационные волны в водоемах.

Результаты, представленные к защите, включают:

1) Методику аналитического и численного решения системы дифференциальных уравнений Сен-Венана. Разработан эффективный алгоритм для расчета глубины и расхода паводкового потока, позволяющий прогнозировать время наступления паводков.

2) Сравнительный анализ численных и аналитических решений начально-краевых задач, связанных с паводковыми потоками.

3) Постановку и решение начально-краевой задачи образования гравитационных волн в горных водохранилищах при обвалах или оползнях, поступающих с берега х = Численные расчеты позволили установить зависимости уровня возмущенной волновой поверхности от различных кинематических и динамических характеристик вторгающейся в водохранилище массы.

4) Постановку и решение контактной начально-краевой задачи колебания поверхности раздела разноплотностных слоев воды при селективном водозаборе из верхнего слоя. Сравнение численных результатов с результатами ранее известных авторов (эмпирические формулы Края) показало расхождение при малых глубинах слоев водоема.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Туаева Ж.Д. Математическая модель паводковых потоков //Научно-производственная конференция ГГАУ. Тез.докл., Владикавказ, 1995, стр.199.

2. Туаева Ж.Д. Решение линеаризованной начально-краевой задачи, связанной с паводковыми потоками //Вестник Северо-Осетинского географического общества, №3, Владикавказ, 1997, стр.69-73.

3. Музаев И.Д., Туаева Ж.Д. Математическое моделирование паводковых потоков в речной сети//Вестник МАНЭБ, №10, Санкт-Петербург-Владикавказ, 1998, стр.20-25.

4. Музаев И. Д., Туаева Ж.Д. Упрощенная конвективно-диффузионная модель паводковых потоков//!!! Международная конференция "Устойчивое развитие

горных территорий". Тез.докл., Владикавказ, 1998, стр.713-714.

5. Музаев И.Д., Туаева Ж.Д. Два метода решения начально-краевой задачи для системы уравнений Сен-Венана. В сб. Современные проблемы развития экономики АПК, Владикавказ, 1999, стр.74-79.

6. Музаев И.Д., Туаева Ж.Д. Физико-математическое моделирование гравитационных волн в горных водохранилищах, генерированных обвально-оползневыми явлениями или вторжением потоков селевого либо лавинного характера// Вестник МАНЭБ, №8, Санкт-Петербург-Владикавказ, 1999, стр .22-26.

Обзор и анализ литературных источников.

1.1. Обзор и анализ аналитических методов решения систему дифференциальных уравнений Сен-Венана, моделирующей движение паводковых потоков в естественных руслах.

1.2. Обзор конечно-разностных методов решения системы уравнений Сен-Венана.

1.3. Обзор и анализ методов решения задач, связанных с образованием волн в водоемах в результате обвалов, оползней и поступлений потоков лавинного характера.

1.4. Обзор литературы, касающейся начально-краевых задач, связанных с селективным водозабором. Решение линеаризованных начально-краевых задач для системы равнений Сен-Венана, моделирующей движение паводковых по-оков.

2.1. Математическое моделирование паводков в результате обильных дождевых осадков или интенсивного снеготаяния. .

2.2. Упрощенная линеаризованная начально-краевая задача, связанная с паводковыми потоками.

2.3. Конвективно-диффузионная модель образования паводковых потоков в результате излива воды из водохранилища.

Компьютерное моделирование паводковых потоков в горных >ечных системах.

3.1. Конвективно-диффузионная модель движения паводковых потоков в случае одного русла.

3.2. Численный метод решения полной системы уравнений Сен-Венана. Анализ результатов численного эксперимента. . .

3.3. Математическое моделирование региональных паводковых потоков.

4. Математическое и компьютерное моделирование гравитационных волн, образующихся в результате обвально-оползневых явлениях или вторжения потоков селевого либо лавинного характера. .

4.1. Гидродинамическая постановка задачи и описание математической модели.

4.2. Аналитический метод решения начально-краевой задачи поверхностных гравитационных волн и численный анализ. . . .

5. Математическое моделирование внутренних гравитационных волн при селективном водозаборе из стратифицированного водоема.

5.1. Гидродинамическая постановка задачи и описание математической модели.

5.2. Аналитический метод решения контактной начально-краевой задачи внутренних гравитационных волн и численный анализ.

6. Заключение. . .

7. Список литературы.

8. Приложения.

ВВЕДЕНИЕ

Идея применения дифференциальных уравнений непосредственно ля решения задач о гравитационных волнах, являющихся одной из форм еустановившегося движения воды, совсем не является новой. Теоретиче-ше основы гидравлического моделирования были заложены в XIX веке, ействительно, она восходит еще к работе Массау 1889 года, в которой лли предприняты первые попытки решения уравнений неустановившего-[ течения воды в водоемах. Впервые же уравнения движения воды в есте-венных руслах были выведены французским ученым Сен-Венаном в 1871 ду. С тех пор идеей Массау руководствовались многие другие авторы олыпей частью не зная о работе Массау), например Прейсверк, Карман, >мас и Стокер.

30-40 годы XX века характеризовались широким применением фи-ческих моделей для решения инженерных задач гидравлики открытых токов. Первоначально предназначенные для качественного анализа изу-змых явлений, в дальнейшем модели стали применяться в качестве основ 5 принятия проектных решений. В 1938 году фундаментальное исследо-1ие неустановившихся движений в открытых руслах было выполнено 1Д. АН СССР С.А. Христиановичем. В работе детально изучены матема-юские вопросы применения метода характеристик и возможности его )бщения.

Во время последней войны и после ее окончания в США были вы-[нены новые исследования системы уравнений Сен-Венана по адапта-[ численных решений. Эти решения основывались на применении метоэ да характеристик метода сеток [59] для реализации расчетов на ЭВМ Стимулом для крупных исследований по неустановившемуся движению послужила. проблема затопления земель из-за наводнения реки Миссури в конце сороковых годов.

В 70-е годы над методами расчета неустановившихся течений в системах открытых русел активно работают ученые института гидродинамики СО АН СССР под руководством академика Васильева О.Ф. [9, 10]. Одновременно проводились работы и аналитического характера по построению приближенных решений уравнений Сен-Венана (МИСИ, ВНИИГ имени Веденеева, Груз НИИЭГС и др). Получены различные результаты, касающиеся образования гравитационных вон в горных водоемах в случае оползней, обвалов и поступлений потоков лавинного характера.

Что касается современного состояния проблемы образования гравитационных волн, то сейчас можно говорить именно о качественном развитии численных методов математического моделирования природных и антропогенных катастроф, основанном на использовании современных вычислительных машин. Большую работу в этом направлении проводят ученые института вычислительных технологий СО РАН под руководством академика Шокина Ю.И [6, 51, 65], ученые Ростовского гсуниверситета под руководством Николаева И.А. [31]. Продолжают вести и ведут исследования применительно к горным условиям ученые Войнич-Сяноженцкий Т.Г., Музаев И.Д., Созанов В.Г. [14, 32].

Актуальность работы. Современные достижения науки во всех областях несут огромную пользу для человечества. Одним из главных направлений научных исследований во всем мире в настоящее время является разреше6 г экологической проблемы, которая существует уже многие десятилетия, все времена и эпохи человек не мог противостоять природным катак-змам и, тем более, предвидеть их, поэтому проведение исследователь-эй работы в направлении прогнозирования последствий экологических гастроф очень важно. Первая рассматриваемая проблема - паводковые токи в естественных руслах. В разных странах мира в настоящее время оводятся обширные исследования проблем, связанных с паводковыми токами и наводнениями. В последние годы проходят специальные сове-щия как национальные, так и международные по разным аспектам этой облемы. Несмотря на это к настоящему времени не существует ни одной вершенной методики прогноза времени наступления паводковых потов.

Вторая проблема - обрушение значительных масс горной породы в полненное водохранилище в результате обвально-оползневых явлений ювоцирует поверхностные гравитационные волны, приводящие к сти-(йным катастрофическим бедствиям в виде жертв и разрушений. Одно из »лыиих бедствий, вызванное обрушением масс грунта в водохранилище 4ело место в Италии, в ущелье р. Вайонт, 9 октября 1963 года. Массив рной породы, объемом около 300 млн. м" обрушился в водохранилище с :вого борта, что вызвало катастрофический паводок ниже плотины. В ре-льтате этого были снесены населенные пункты, и имело место около ЮО человеческих жертв. На основе вышеизложенного можно заключить, го вопросам волнового движения воды в горных водохранилищах при об-шьно-оползневых явлениях необходимо уделять должное внимание.

Третья проблема - это внутренние гравитационные волны в страти -ицированном водоеме. Как известно, при водоснабжении промышленных эедприятий, тепловых и атомных электростанций в ряде случаев необхо--1мо обеспечить забор воды из определенного слоя водоема-источника, апример, для охлаждения турбин тепловых и атомных электростанций в 7

-нее время требуется забирать воду из глубинных, более холодных слоев, и в случае сильного загрязнения нижних или верхних слоев водоема ;дует забирать жидкость из такого слоя, где вода более чистая. Проведе-г научного исследования по образованию гравитационных волн при се-сгивном водозаборе из стратифицированного водоема представляет сол важную и необходимую работу.

Таким образом, все выше перечисленные проблемы относятся к ря-наиболее актуальных, решения которых позволит избежать материаль-.X потерь, а также обеспечить безопасность жизнедеятельности населе-я.

Степень изученности тематики работы. К настоящему времени пичество опубликованных работ по проблеме образования гравитацион-IX волн в водоемах не очень велико. В публикациях рассматриваются как алитические, так и численные методы решения дифференциальных авнений Сен-Венана, моделирующих волновое движение при паводко-х потоках и при обвально-оползневых явлениях. Однако в редких случа-решение ищется в общем случае, то есть без принятия каких-либо до-щений или предположений, так как данные нелинейные уравнения ишком сложны. В частности, в некоторых опубликованных работах по сленным методам решения пренебрегают инерционными членами, уклони трения или боковой приточностью. Сложности численного решения лной системы связаны с тем, что уравнения являются дифференциальна и уравнениями гиперболического типа, что не всегда обуславливает солютную устойчивость метода. Полученные же аналитические решения удно реализуемы на ЭВМ для получения конкретных значений неизвест-гх функций. Поэтому становится очевидной необходимость разработки овершенствованных аналитических и численных методов решения крае-[х задач, связанных с моделированием паводковых потоков, а также с лновым движением воды в водоемах. Разнообразие входных данных, на8 льных и граничных условий, зависящих от конкретного региона, .позво-ют исследователям находить все новые и новые решения.

Целью диссертационной работы является: постановка и разработ-. методов решения начально-краевых задач, моделирующих паводковые )токи в горных регионах и волновое движение в горных водохранилищах >и обвально-оползневых явлениях или в результате вторжения потоков левого либо лавинного характера; решение контактной начально-краевой дачи, моделирующей внутренние гравитационные волны при селектив-)м водозаборе из стратифицированного водоема.

Методика исследования. Использованы линейная теория поверх-)стных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды; методы 1ерационного исчисления; теория дифференциальных уравнений; чис-:нные методы решения дифференциальных уравнений; основы гидравли-I и гидродинамики.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке зтодики аналитических решений начально-краевых задач, моделирующих шжение паводковых потоков в горных регионах с учетом интенсивности жовой приточности; в построении алгоритмов математического и компь-терного моделирования паводковых потоков в горной речной системе ти-I «дерево».

Впервые аналитическими методами математической физики подавлена и решена начально-краевая задача волнового движения воды в ^призматическом водоеме при обвально-оползневых явлениях или посту-тении потоков селевого либо лавинного характера. При этом учитывается шгон дна водоема и переменность ширины зеркала воды. Решение полу-2но в виде бесконечного тригонометрического ряда и реализовано на ВМ.

Впервые поставлена и решена аналитически контактная начально-заевая задача теории внутренних (двухслойных) гравитационных волн на 9 эверхности раздела слоев при селективном водозаборе из верхнего (осиленного) слоя. Полученное решение реализовано на ЭВМ. Численные ючеты позволяют установить нижнее критическое положение поверхно-ги раздела слоев в зависимости проектных характеристик селективного вдозаборного сооружения.

Обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, формулированных в диссертации, подтверждается использованием в приеденных исследованиях аппарата операционного исчисления, теории ифференциальных уравнений, матричной алгебры, численных методов ешения дифференциальных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в численной реализации и доведении до расчетных программ на ЭВМ математических моделей равитационных волн. Результаты научно-исследовательской работы могут юпользоваться в инженерных расчетах при прогнозировании уровня воды 1 водоеме, что позволят предотвратить либо смягчить разрушительные по-;ледствия паводковых волн; проектировать и строить надежные инженерные сооружения для защиты народно-хозяйственных объектов и сельскохозяйственных угодий; наметить научно-обоснованные мероприятия по /странению или уменьшению степени затопления и ущерба мри разрушении плотины в результате обвально-оползневых явлений в горных водохранилищах.

Численные эксперименты, проведенные для контактной начально-краевой задачи внутренних гравитационных волн, позволили установить зависимость уровня поверхности раздела разноплотностной жидкости от параметров окна водозабора, а также от плотностей слоев жидкости. Полученные результаты позволяют обеспечить технически чистый водозабор из сфатифицированного водоема.

К)

Достоверность полученных результатов обусловлена совпадением актера поведения численных и аналитических результатов, а также сов-.ением с известными результатами других авторов.

Использование результатов работы. Теоретические и практиче-1е результаты диссертационной работы использованы в инженерных ; четах для Зарамагского водохранилища (Северная Осетия).

Апробация работы. Основные положения и результаты были до-жены и обсуждены на научных конференциях Горского аграрного гос-иверситета (1996), Северо-Осетинского госуниверситета (1998-1999), на Международной конференции «Устойчивое развитие горных террито-1Й» (Владикавказ, 21-26 сентября 1998 г.). В полном объеме диссертаци-шая работа докладывалась на научном семинаре «Методы решения красах задач» лаборатории вычислительного эксперимента ВЦ Ростовского )суниверситета, а также на научном семинаре НИИ прикладной матема-ики и автоматизации Кабардино-Балкарского госуниверситета.

Публикации. Итоги проведенных исследований представлены в 6 |уоликациях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из зведения, пяти глав, заключения и приложения. Содержание изложено на .страницах текста, включает . рисунков. Список литературы содер

В первой главе дан обзор и анализ существующих аналитических и конечно-разностных методов решения начально-краевых задач для системы дифференциальных уравнений Сен-Венана. На основе анализа дано заключение, что существующие аналитические методы сложны для реализации на ЭВМ, а численные методы в основном реализованы на упрощенных моделях или для полных уравнений гиперболического типа. Проведен обзор аналитических методов решения задач, связанных с образованием поле ит . наименовании.

11 верхностных волн в горных водохранилищах при обвально-оползневых явлениях. В конце приведены экспериментальные формулы для вычисления основных характеристик гравитационных волн двухслойной жидкости при селективном водозаборе из определенного слоя стратифицированного водоема.

Во второй г/|аве получены методом линеаризации аналитические решения как полной, так и упрощенной системы (с отбрасыванием инерционных членов) с учетом боковой приточности. При решении полной системы уравнений Сен-Венана получаются сложные выражения для расхода воды и глубины, которые трудно реализуются на ЭВМ. В случае упрощения системы легко вычисляются значения расхода и глубины потока, по которым затем строятся графики. Получение аналитического решения играет огромную роль для обоснования методики численного расчета (аналитическое решение является в данном случае тестовым). В случае упрощенной системы также решена задача об образовании волны паводка в результате опорожнения водохранилища.

В третьей главе разработан конечно-разностный метод решения системы дифференциальных уравнений Сен-Венана с последующей реализацией на компьютере, основанный на широко известных методах прогонки (неявная схема) и последовательных приближений. Причем сначала находится решение упрощенной модели (ме?6д прогонки), а затем оно берется в качестве первого приближения для решения полной системы методом последовательных приближений. Применение неявной схемы гарантирует устойчивость, то есть независимость сходимости метода от значения шага

12 з продольной координате и по времени. Далее с помощью графиков про-)дится сравнительный анализ полученных решений полной и упрощенной 1стем. В этой главе так же построена замкнутая математическая модель аводковых потоков для речной системы типа «дерево», причем берется тучай простого разветвления без притоков. В этой постановке значения еизвестных функций (расходов и глубин трех потоков) вычисляются сна-ала в точке слияния, а затем по всему руслу уже известным алгоритмом, римененным ранее в случае одного русла. Методика расчета проверялась утем сопоставления результатов численного решения с соответствующи-:и значениями аналитического решения. В заключение главы автором поле проведенных численных экспериментов делается ряд выводов на осно-е сравнительного анализа аналитического и численного решения.

В четвертой главе представлена математическая модель образованы гравитационных волн в горных водохранилищах в результате обваль-:о-оползневых явлений или вторжения потоков селевого либо лавинного арактера. Модель представляет начально-краевую задачу математической )изики для дифференциальных уравнений теории мелкой воды. В явном иде получена зависимость, которая позволяет определить высоту гравитационной волны у плотины, а также расход и объем перехлеста через створ шотины. Компьютерные расчеты значений последних выражений позво4 сяют определить повышение уровня воды у плотины, а также расход и юлный объем воды, переливаемой через гребень плотины в зависимости )т кинематических и динамических характеристик вторгающейся массы.

13

В пятой главе поставлена и решена контактная начально-краевая задача колебания поверхности раздела разноплотностных слоев воды при селективном водозаборе из верхнего слоя. Использована линейная теория поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды. При решении задачи учитываются волнообразование на поверхности верхнего слоя. Начально-краевая задача решена методом операционного исчисления и интегрального преобразования Фурье. Для определения колебаний поверхности раздела слоев в явном виде получено выражение, компьютерные расчеты которого позволяют установить нижнее стояние поверхности раздела слоев.

14

Выводы.

1. Задача математического моделирования паводковых потоков в горных регионах сводится к интегрированию нелинейной системы дифференциальных уравнений Сен-Венана с соответствующими начальными и граничными условиями.

2. Анализ существующих методов решения системы дифференциальных уравнений Сен-Венана, моделирующей движение паводковых потоков, показал, что к настоящему моменту нет ни одной совершенной методики прогноза времени наступления паводковых потоков в горных регионах.

3. Впервые разработаны несколько методик аналитических решений, основанных на линеаризации дифференциальных уравнений. С помощью ПЭВМ построены графики, схематизирующие паводковую волну, на основании которых мы можем судить о применимости и корректности конечно-разностного метода.

4. Разработан конечно-разностный метод решения поставленных начально-краевых задач с реализацией на ЭВМ. Сопоставительные расчеты показывают приемлемость приближенных дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями (конвективно-диффузионная модель). Представленная модель существенно упрощает алгоритм и программу вычислительного процесса, что немаловажно для проведения расчетов в случае разветвленной речной сети.

5. Проведение серии численных экспериментов на ПЭВМ IBM PC позволяет установить зависимость расхода и глубины воды в русле от интенсивности боковой приточности, а также построить соответствующие графики.

6. Результаты математического и компьютерного моделирования убеждает нас в том, что чем меньше величина боковой приточности, тем меньше модуль разности значений аналитического и численного решений, что подтверждают приведенные графики.

107

7. С помощью компьютерных расчетов проведен анализ решения начально-краевой задачи, связанной с образованием гравитационных волн в горных водохранилищах при обвалах и оползнях, поступающих с берега х = Ь. Выявлены зависимости значений высоты гравитационной волны от времени вторжения оползневой массы, от начальной и конечной ширины и глубины водохранилища, что показано на графиках.

8. Численные эксперименты, проведенные для контактной задачи внутренних волн, также позволили установить зависимости уровня поверхности раздела разноплотностной жидкости от параметров окна водозабора, а также от плотностей слоев жидкости. Полученные результаты позволяют обеспечить технически чистый водозабор из стратифицированного водоема.

108

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации изложены результаты исследований, посвященных разработке и анализу методов решения начально-краевых задач математической физики, моделирующих гравитационные волны в водоемах.

Результаты, представленные к защите, включают:

1) Методику аналитического и численного решения системы дифференциальных уравнений Сен-Венана. Разработан эффективный алгоритм для расчетов глубин и расходов паводкового потока, позволяющий прогнозировать время наступления паводков.

2) Сравнительный анализ численных и аналитических решений начально-краевых задач, связанных с паводковыми потоками.

3) Постановку и решение начально-краевой задачи образования гравитационных волн в горных водохранилищах при обвалах или оползнях, поступающих с берега х = Ь. Численные расчеты позволили установить зависимости уровня возмущенной волновой поверхности от различных кинематических и динамических характеристик вторгающейся массы.

4) Постановку и решение контактной начально-краевой задачи колебания поверхности раздела разноплотностных слоев воды при селективном водозаборе из верхнего слоя. Сравнение численных результатов с результатами ранее известных авторов (эмпирические формулы Края) показало расхождение при малых глубинах слоев водоема.

1. Аврух М.Г., Масс Е.И. Методы численного моделирования плановых размывов в открытых потоках// Труды института ВОДРГО. Численное моделирование и автоматизация эксперимента в гидравлических исследованиях, М., 1989, с. 104-111.

2. Агроскин И.И., Дмитриев Г.Т., Пикалов Ф.И. Гидравлика, M.-J1., Энергия, 1964, 351 с.

3. Атавин A.A. Расчет неустановившегося течения воды в разветвленных системах речных русел или каналов// Математические вопросы механики, сборник научных трудов, вып.22, Новосибирск, 1975, стр.25-37.

4. Атавин A.A., Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф. Методы расчета неустановившихся течений в системах открытых русел и каналов// Численные методы механики сплошной среды, 1975, Том 6, №4.

5. Атавин A.A., Шугрин С.М. О дифференциальных уравнениях теории «мелкой» воды// Динамика сплошной среды, сб. научных трудов, вып. 70, Новосибирск, 1985, стр.25-53.

6. Барахнин В.Б. Конечно-разностные схемы для численного решения задач теории мелкой воды с использованием адаптивных сеток // Вычислительные технологии, сборник научных трудов, т.4, №11, Новосибирск, ИВТ СО ::¡ РАН, 1995, с.38-50. "'а

7. Большаков В.А. Справочник по гидравлике, Киев, Вища школа, 1977, стр. 223-225.

8. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М., МГУ, 1993, 152 с.

9. Васильев О.Ф., Гладышев М.Т. О расчете прерывных волн в открытых руслах// Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1966, № 6, с. 184-189.-; д109

10. Ю.Васильев О.Ф., Годунов C.K. Численный метод расчета распространения длинных волн в открытых руслах и его приложение к задаче о паводках// Доклады АН СССР, 1963, Том 151, №3, 525-527 с.

11. П.Виноградов Ю.Б. Математическое моделирование процессов формирования стока, Л., Гидрометеоиздат, 1988, 312 с.

12. Владимиров A.M. Гидрологические расчеты. Л.: Гидрометеоиздат, 1990, 356 с.

13. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск, Наука, 1981

14. М.Войнич-Сяноженцкий Т.Г., Созанов В.Г. Лавинообразные потоки. Возникновение, динамика и воздействие на окружающую среду. Владикавказ, Издательство Северо-Осетинского госуниверситета, 1997.

15. Гиляров Н.П. Моделирование речных потоков. Л., Гидрометеоиздат, 1973.

16. Григорян С.С., Нилов H.H., Остроумов A.B., Федоренко B.C. Математическое моделирование горных обвалов и оползней больших объемов. Инженерная гидрология, 1983, №6, с.61-72.

17. Гришанин К.В. Гидравлическое сопротивление естественных русел. С-Петербург, Гидрометеоиздат, 1992, 175 с.

18. Грушевский М.С. Неустановившееся движение воды в реках и каналах. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1982, 180 с.

19. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М., Наука, 1965, 284 с.

20. Ю.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961, 524 с.

21. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М., Высшая школа, 1966.110

22. Дорфман A.A. О неустановившихся волновых движениях жидкости над наклонным дном// Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1984, №6, с.65-70.

23. Дэниел Дж. Устойчивость движений жидкости. М., Мир, 1981, 638 с

24. Знаменская Н.С. Гидравлическое моделирование русловых процессов. С-Петербург, Гидрометеоиздат, 1992, 227 с.

25. Кереселидзе Н.Б., Масс Е.И., Кантаржи И.Г., Метревели Т.И. Применение информационно-вычислительных комплексов и ЭВМ в гидравлических исследованиях. Тбилиси, 1986.

26. Константинов Н.М., Петров H.A., Высоцкий Л.И. Гидравлика, гидрология, гидрометрия. М., Высшая школа, 1987, ч.1,2.

27. Корень В.И. Математические модели в прогнозах речного стока. JL, Гидрометеоиздат, 1991, 188 с.

28. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, часть I и II. М., Физматгиз, 1963.

29. Ю.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. М., Физматгиз, 1962.

30. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Чикин A.JI. ППП «POLLUTION» для расчета распространения загрязнения в мелких водоемах// Вычислительные технологии, сборник научных трудов, т.2, №6, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1993, с.133-147.1.l

31. Кусраев А.Г., Музаев И.Д., Созанов В.Г. Математическое моделирование некоторых задач волновой гидродинамики применительно к горным водоемам// Вычислительные технологии, сборник научных трудов, т. 4, №11, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995, с. 164-168.

32. Кюнж Ж.А., Холли Ф.М., Вервей A.B. Численные методы в задачах речной гидравлики. Перевод с английского. М., Энергоиздат, 1985, 254 с.

33. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М., Наука, 1973, 416 с.

34. Ламб Б. Гидродинамика. Перевод с англ., М., изд-во технико-теоретической литературы, 1947, с. 463-480.

35. Лаппо Д.Д., Мошков Л.В. О некоторых предложениях по моделированию потоков в водоемах.// Известия ВНИИГ им Б.Е. Веденеева, сборник научных трудов, Л., Энергоатомиздат, 1987.

36. Леви И.И. Инженерная гидрология. Москва, Высшая школа, 1968, 164 с.

37. Леви И.И. Моделирование гидравлических явлений. М.-Л., Госэнергоиздат, 1967, 176 с.

38. Лятхер В.М., Прудовский A.M. Гидравлическое моделирование. М., 1984, 197 с.

39. Ю.Лятхер В.М., Прудовский A.M. Исследование открытых потоков на напорных моделях. М., Энергия, 1971, 211 с.

40. И.Маккавеев В.М., Коновалов И.М. Гидравлика. М., Речиздат, 1940, 643 с.

41. Й.Мамрадзе Г.П., Музаев И.Д. Возникновение волн в водохранилище вследствие оползневых явлений// Сообщения АН ГССР, т. 64, №2, 1971, с. 115120.112

42. Мамрадзе Г.П., Музаев И.Д. Определение колебания воды в водохранилище при оползнях с учетом изменения очертания водохранилища в плане// Сообщения АН ГССР, т. 64, №2, 1971, с. 115-120.

43. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977, 503 с.

44. Масс Е.И., Михинов А.Е. и др. Рекомендации по расчету земляных каналов с учетом их транспортирующей способности. Ташкент, ТПИ, 1987, 41 с.

45. Мелещенко Н.Т., Якубов М.С. Методика расчетов неустановившегося движения воды в открытых руслах. Известия ВНИИГ, вып.38, Л., Энергоиздат, 1948, с.30-34.

46. Милитеев А.Н., Сладкевич М.С., Савельев А.Е. Математическое исследование волновых процессов в Сарезском озере при обрушении в него оползней-обвалов. (Отчет по х/д № 33-38), Центр «Рост», 1989.

47. Музаев И.Д. Волновые движения воды в бьефах горных гидроузлов. Докторская диссертация, М. ВНИИВОДГЭО, 1987, 350 с.

48. Нежиховский P.A. Наводнения на реках и озерах. Л., Гидрометеоиздат, 1988, 182 с.50.0всянников Л.В. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск, Наука, 1985.

49. Остапенко В.В. Численное моделирование волновых течений в Сарезском озере, вызванных катастрофическим обрушением берегового оползня// Вычислительные технологии, Том 3, №8, Новосибирск, 1994, с. 106-111. |Я

50. Повх И.Л. Техническая гидромеханика. Л., Машиностроение, 1969, 524 с.

51. Романов A.B. Особенности идентификации и численного интегрирования систем уравнений Сен-Венана для русла со сложной проймой// Труды Гидрометцентра СССР, 1997, Выпуск 191, с.3-7.

52. Роуч П. Вычислительная гидродинамика, М., Мир, 1980, 278 с.113

53. Самарский A.A. Введение в численные методы. М., Наука, 1982, 268 с.

54. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М., Наука, 1973, 415 с.

55. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М., Наука, 1973, т.2, 584 с.

56. Спицын И.П., Соколова В.А. Общая и речная гидравлика. Ленинград, Гид-рометеоиздат, 1990

57. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. М., Издательство иностранной литературы, 1959, 586 с.

58. Христианович С. А. Некоторые вопросы механики сплошной среды. М., Издательство АН СССР, 1938, 267 с.

59. Чикин А.Л. Трехмерная модель гидродинамики Азовского моря. В сб.трудов 8-ой Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», Ростов-на-Дону, изд-во РГУ, 1999, 4 с.

60. Чеботарев А.И. Общая гидрология. Л., 1975.

61. S3.Черкесов Л.В. Неустановившиеся волны. Киев, Наукова Думка, 1970.

62. Чертоусов М.Д. Гидравлика. Л,, Госэнергоиздат, 1982, 672 с.

63. Чугаев P.P. Гидравлика. Л., Энергоиздат, 1982, 567 с.

64. Шарп Дж Гидравлическое моделирование, М., Мир, 1984.

65. Шокин Ю.И., Хакимзянов Г.С. Конечно-разностный метод расчета вихре5> sSвых и потенциальных течений жидкости со свободной поверхностью/7 Вы- ; ||числительные технологии, ИВТ СО РАН, т. 3, №8, Новосибирск, 1994, с.133-142.

66. Яненко H.H., Боярынцев Ю.Е. О сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности мс переменными коэффицентами. ДАН СССР, 139, 6(1961), 1322-1324.114

67. Потетюнко Э.А. Математическое моделирование волновых движений жидкости в гидроканале. Деп. в ВИНИТИ от 29.12.98, №3921-В-98, с. 1-18.

68. Николаев И.А., Крукиер Л.А., Чикин А.Л. Математическое моделирование гидрофизики водоемов//Математическое моделирование, 1997, т. 9, №2,с.46-53.115