автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование воздействий волновых процессов на ледовое покрытие водоема



На правах рукописи

Кандалфт Хекмат

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЙ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЛЕДОВОЕ ПОКРЫТИЕ ВОДОЕМА

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 3 ЛЕК 2012

Таганрог-2012

005057171

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

доктор физико-математических наук, профессор,

Сухинов Александр Иванович

Заместитель начальника учебного военного центра ЮФУ г. Таганрог, доктор технических наук, доцент Сергеев Николай Евгеньевич

Заведующий кафедрой прикладной математики и информационных технологий Таганрогского института управления и экономики, доктор технических наук, профессор

Карелин Владимир Петрович Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Защита состоится «27» декабря 2012 г. в 1420 на заседании диссертационного совета Д.212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу:

347928, Ростовская обл., г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «21» ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.Н. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки эффективных и высокопроизводительных инструментов и средств мониторинга и прогнозирования устойчивости плавающего ледяного покрытия (покрова) на поверхности морей и океанов.

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию численных моделей и программных средств решения задач теории упругости и гидродинамики для анализа причин деформации ледяных пластин, решение которых требует развития эффективных методов математического моделирования гидродинамических процессов и их воздействий, которые могут стать причиной деформации ледяных пластин.

На протяжении последних двадцатилетии, проблема воздействии поверхностных волн на ледовое покрытия водоема интенсивно развивалась, интересовала многих отечественных и иностранных ученных. Наиболее ярко себя проявили Хейсин Д.Е., Смирнов Г.Н., Черкесов JI.B., Стурова И. В., Ко-робкин A.A., Ткачева J1.A., Букатов А., Е., Литвер М.Е., Michael Meylan, С. Hazard, M. Lenoir, V. A. Squire, Tim Williams, Malte Peter, Colin Fox, и другие.

Задачей диссертационной работы является в построении математических моделей и численных методов, позволяющих моделировать воздействие волновых гидродинамических процессов на ледовое покрытие водоема, с использованием разработанных алгоритмов и комплекса программ.

Целью диссертационной работы Цель диссертационного исследования состоит в построении комплекса дискретных и непрерывных моделей, численных алгоритмов и программ для их реализации для прогноза возможных сценариев поведения ледового покрытия под воздействием внешних нагрузок и волновых процессов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- Построение трехмерной дискретной модели для задачи гидродинамики, учитывающей наличие надводного объекта, а также аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели и заполненность ячеек.

- Разработка алгоритмов, численно реализующих на основе полученной модели задачу гидродинамики, а также визуализацию результатов численных расчетов.

- Построение дискретной модели для задачи деформации ледовой пластины, а также аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели.

- Построение конечно-объемной модели задачи деформации пластины.

- Разработка на основе данных моделей программного комплекса.

- Сравнение полученных результатов с натурными данными и результатами аналитических расчетов.

Материалы и методы исследования. Для решения поставленной задачи диссертационного исследования использованы: основы теории упругости, теория гидродинамики, методы математической физики. Для проведения численных экспериментов по разработанным моделям специализированные программные среды (MathCAD). Использованные численные методы реализованы на языке «С++». Для визуализации использована библиотека компьютерной графики «OpenGL».

Новые научные результаты. В диссертации представлены новые следующие результаты в соответствие с паспортом специальности 05.13.18, в том числе:

1. Для трехмерной математической модели движения среды водоема при наличии ледового покрытия и таких физических факторов, как турбулентный обмен, ветровое трение, трение о дно и о лед, проведено аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и впервые доказана консервативность построенной дискретной модели (с. 27-93).

2. Для объединенной модели, включающей модель гидродинамики волновых процессов и модель деформации ледового покрытия, впервые использована методика дискретизации, базирующаяся на применении функции заполненности ячеек, которая позволяет улучшать точность численного решения поставленной задачи по сравнению с другими известными методами, не использующими функцию заполненности ячеек (с. 40-70 - с. 100-104).

3. Разработан новый программный комплекс, имеющий удобный пользовательский интерфейс и средство визуализации, позволяющие осуществлять моделирование волновых процессов и их силовое воздействие на ледовое покрытие в рамках единого программного комплекса (с. 105-111).

Достоверность научных положений и выводов. Достоверность и обоснованность полученных теоретических результатов и формулируемых на их основе практических выводов диссертации обусловлена корректностью производимых математических преобразований, базирующихся на апробированном математическом аппарате (методах математической физики^ интегрального и дифференциального исчислений, методах вычислительной мате-

матики) и корректным применением специализированных программных сред. Результаты численных расчетов согласуются с реальными процессами.

Научная и практическая значимость работы. Разработанные модели, численные алгоритмы и программы могут быть использованы для прогнозирования силового воздействия, в том числе, поверхностных волн на ледовое покрытие водоема с целью определения безопасного его использования в хозяйственных целях.

Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. Конференция для аспирантов в честь недели науки ФВТ ЮФУ(25-ого апреля 2008 г. Ростов на Дону, Россия).

2. Конференция для аспирантов в честь недели науки ФВТ ЮФУ(25-ого апреля 2009 г. Ростов на Дону, Россия).

3. XXII Международная научная конференция " Математические методы в технике и технологиях " (ММТТ-22), (СГТУ, г. Саратов, 2009г.).

4. XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (ММТТ-23), («БГТУ» им. В.Г. Шухова, г. Белгород, 2010г.).

Структура диссертации. Структура и объем работы. Рукопись диссертационной работы состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Объем работы составляет 150 страниц, включая 21 иллюстрацию.

В работе приведены результаты экспериментально-теоретических исследований математической модели волновой гидродинамики водоема с учетом наличия на поверхности ледового покрытия и также деформированного состояния ледяного покрова под воздействием на него волновых процессов и внешних нагрузок.

Во введении обоснована актуальность темы, определены цель и задачи диссертационного исследовании, объект и предмет исследования, указаны методы исследования, научная новизна, основные положения, выносимые на защиту, приведены сведения о практической значимости, об использовании результатов работы, апробации диссертационной работы, дано краткое содержание основных разделов диссертации.

5

В первой главе построена трехмерная математическая модель гидродинамических процессов водоема с учетом наличия на поверхности ледового покрытия.

Рис. 1. Расположение системы координат относительно водоема

Рассмотрена задача гидродинамики жидкости водоема, исходные уравнения которой представляют собой следующее: - уравнения Навье-Стокса: -р'

и, + иих + \иу += —^+(мЮ'х + (ми'уУу + ;

р -р.:

'X;

<+ч + Ч + —+(//V;): + (Му'ууу + сы > ~р'

м>: + иц>'+уч>'+ м>м>' = —- + (мК )'х + О>о' У у + (<>* X +1 у р

- уравнение неразрывности: р; + (риУх+(руУу+(р*Уг= 0;

уравнение (4) для несжимаемой жидкости имеет вид: ы'=0.

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

Уравнения (1) - (5) рассматриваются с учетом отдельных граничных условий для разных границ области водоема:

- на дне водоема:

рп (х,у,г,1) = 0,г(х,у,г,1) = 0,р,м(и')и (х,У,г,1) = -тх (();

рЛЛ (х>У'2>1) = ~т> {х>У,г,0 = °> (6)

- на свободной поверхности жидкости:

р'

рнЫ)г (*> 2> 0 = (0. рм(у')„ (*. о = -гу (0, Мх, у,0 = —; (7)

ё р

- на поверхности жидкости, покрытой льдиной:

- задается на входе поток от источника:

и(х, у, г,0 = и(0; у(х, у,г,() = 0; р'п(х, у, г,0 = 0; у„'(х, у,г,() = 0,

- на выходе:

р'„(х,у,2,1) = 0; У'„(х,у,2,0 = 0,

- на передних и задних границах:

р'„(х,у,г,1) = 0; У„(х,у,2,0 = 0, (8)

- начальные условия:

для / = 0 выполняются следующие условия: Р = р%к; и = 0; = 0,

где V = 0 К = {и, V, и1} - вектор скорости движения водной среды, g - ускорение свободного падения, - давление, р - коэффициент турбулентного обмена по горизонтальным направлениям, - коэффициент турбулентного обмена по вертикальному направлению, р — плотность жидкости, тх,т — составляющие тангенциального напряжения (закон Ван-Дорна), рр - плотность ледяной пластины. Система координат выбрана таким образом, что оси Ох и Оу совмещены с поверхностью невозмущенной жидкости и направлены в сторону ледовой пластины, ось Ог — вертикально вниз.

Тангенциальное напряжение, вызванное донным трением, согласно закону Ван-Дорна, рассчитывается по формуле:

г* = Р.С, (И)и|Р|, г, = р,С, (И)У|Г| , (9)

,, |Ч Го.0088,|К|<6.6л</с, где Ср ) = | ^ > б 6 / ~~ безразмерный коэффициент.

Строим сетку по временной перемене: а>,={Г =пЬ,\п = 0,1.....Лг,;ЛГД =г}

Применяя к задаче (1) - (5) расщепление по физическим процессам, согласно методу поправки к давлению, получим:

- Уравнения диффузии-конвекции, где полученная система уравнений

не учитывает давление:

+к=(ю;; с»)

—+ ии/ + ш>'у = (рч>'х)'х + (рч>'у)'у + (■>;)* +Е- (12)

— Следующие уравнения уточняют скорости по давлению:

7

й-й

К Р

v —v -А.

к, 5 Р

и' —#

К Р

■ Из (13), (14) и (15) и с учетом уравнения неразрывности (4):

(14)

(15)

(16)

! -У V (нЦ-»»

0-и-**-»

7\

л*-»

\ и»

а-и-'*"'

(ни^-11

.1-1»

----N I 4 ).

си.*>

—— I— —к

(►и»

Рис 2. Расположение ячеек расчетной области

Для построения дискретной математической модели задачи гидродинамики использован интегро-интерполяционный метод. На рисунке 2 показано расположение ячеек сеточной области. а>н =*йж;и = =

= = ,= = 0Л,2,3,...... ЛГД = Т,

где г,],к- индексы по направлениям Их,Иу,И2 - шаги по пространственным направлениям, Их,Ну,Иг- количество узлов по координатным направлениям х,у, г, 1Х,1 ,12 - пространственные размеры области.

Используя коэффициенты заполненности сеточных ячеек строим конечно-объемную модель гидродинамики для уравнений (10) - (16).

Через давление столба жидкости внутри ячейки находим заполненность самой ячейки. Если среднее давление в узлах, которые относятся к вершинам рассматриваемой ячейки, больше давления столба жидкости внутри ячейки,

то ячейка считается заполненной полностью (о,; к = 1) . В общем случае заполненность ячейки можно вычислить по следующей формуле:

2 Р§К

, )+ри- (17)

2 РЯК

. . Г1, х>о, где Н (х) = < - функция Хевисайда.

4 ' [0, х < О

В окрестности узла А = А' лежат ячейки (/,_/,£), + , (г,У + 1Д),(/ + 1,у + 1Д),(/ + 1,7+1Д + 1), (/,7+1Д + 1), (/ + 1,М + 1), (/, _/, £ + 1) как изображено на (рис. 3.).

и-и-».*-»

(¡-и-»'

<и

-1.К-»)

(1-и»

(и-Ф «и.»<>

Рис. 3. Расположение ячеек относительно центрального узла

Введем коэффициенты д0, А > 0 , цг, <у4, </5, г/6, описывающие заполненность областей и находящиеся в окрестности ячейки. Значение д0, характеризует заполненность области <70 - П0:хе (х^,,^,), хт+х —хт

В-+ Ахт=/, Ц:хб(хл,), У ,

т

С22:А = А1+А2, А'=А2, уе(у;_„у^), Чз ~ : х е (х,.!,^,) , З-е^,^,), 2 е ;

= 2(А,у,у) = 2(А2у,у): х е (х,^,х1+|), уе(уу.,,у^), г е (гк_„гк+1) ; <75 -П5:хе(х^,хм), у е(ум,у^,), г ; - С26: Ах > 0,^ > 0,

Заполненные части объема Пт будем называть £>„,, где т = 0..6. В соответствии с этим коэффициенты заполненности дт можно вычислить по следующим формулам изображено расположение узлов относительно ячеек на рис 4.:

ГЧ ! '

ь

-.о

■Р,Л .... | ч ч 1

\ •Р.- Я \byS-i 1 .—Г ч I____ . 1 - ■О. .1 \ ' 1 ч 1_—' ------Го, ..

\ ■О '5Г

X £

Рис 4. Расположение узлов относительно ячеек

=

("?! )ш = 4 '

, ч °, + 1 7,4+1 + °/+и+1,4+1 + ^ + 1,7.4 + °- + 1,7+1.4 . №), ,7,4 --4 '

/ ч 7+1 4+1 + °|+и+1,*+1 + °и+1,к + °|+и+1 ,к .

= —-4 '

, ч 7 4 + °/,/+1,4 +°/+Ц,4 + °*+Ц+1.4 .

(<?5 )и.* = 4 '

, ч °-,7,4+1 + 7+1,4+1 +0|+и,4+1 +0/+Ц+1,4+1

- 4

(18)

Исследованы консервативность дискретной модели и погрешность ее аппроксимации. Модель имеет первый порядок погрешности аппроксимации относительно шага по времени и второй - относительно нормы шагов по пространственным переменным.

Получены представления для всех сеточных уравнений в канонической форме и доказана устойчивость дискретной модели.

Рис. 5. Поле вектора скоростей жидкости.

На рисунке 5.представлены начальные результаты вычислительных экспериментов, где изображено распределение скоростей набегающего потока воды для ледовой пластины.

Во второй главе исследована деформация ледового покрытия водоема с использованием аналитических и численных подходов.

Пусть на поверхности водоема находится в непрерывном контакте с водой ледяная пластина. Вычисление максимальной допустимой распределенной нагрузки пластины решается в линейной постановке. Движение пластины длиной IV е [-/,/] описывается уравнением:

М-

_2\уп + \у"

- + £>

< д2 5 д2БЛ дх2 + ду2

= Р(х,у),

(19)

Краевые и начальные условия имеют вид:

= = = 0, то,0 = *ГН(0,0 = 1¥уу{0,1) = о,

(20) (21)

Щх,у,0) = Ж,(х,у,0) = 0, /,(<>) = /„ /;(0) = 0, 1,(0) = 1у, /;(0) = 0, где №(х,у,0 - смещение поверхности пластины от равновесного положения; М = р08 - масса пластины на единицу площади; О = ' изгибная жест-

кость; р0 - плотность материала; 5 - толщина пластины; Е - модуль Юнга; Р - давление на пластину со стороны жидкости. Длина пластины ]У,х>0 [-Ж,х<0.

Для решения задачи использовался метод разложения в ряд Фурье. Представлены графики зависимости изгиба от пространственной переменной; полученные при входных данных: 5 = 0.01 м, 1Х = 1 м, 1у = 1м пред-

IV =

ставлены на рисунке 6. Функция распределения давления задается формулой

Рис. 6. Зависимость изгиба пластины от х и у .

Аналитическое решение получено только в случае стационарного по времени давления.

Расчетная область представляет собой прямоугольник. Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи деформации пластины введем равномерную сетку:

= {/" = т,х, = Шх,У] = ]ку ;п = 0!^,/ = (ОТ,у = (Щ;

где И, - шаг по времени, К, ку - шаги по пространству, Ы, - верхняя граница по времени, Их, Ыу - границы по пространству.

Предлагается применять непосредственную аппроксимацию. Аппроксимируем уравнение (19) по временной переменной при этом система (19) примет вид:

з2Б а2^4

М

IV"

дхг ду2

= Р{х,у),

„ з2ж

£ =--+-г-

Зх2 ду2

Граничные условия в общем случае примут вид: К(х,у,0 = + , К(х,У>0 = +

ъ.у

(23)

(24)

(25)

Расчетные ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на Их/2 и Ьу/2 по координатам х и у соответственно. Обозначим через О; , заполненность ячейки (г, /).

0 i 10 15 20

Рис.7. Функция распределения давления.

Рис. 8. Динамика изменения изгиба пластины

Результаты численных экспериментов. Графики зависимости изгиба от пространственной переменной, полученные при входных данных: 8 = 0.01 м, lx = 1 м, / = 1м представлены на рисунках 7 и 8 Функция давления имеет вид:

Р(х,у) = (1 - 2\х - 0,5|)(1 - 2)у - 0,5|).

Аналитическое решение задачи получено только в случае стационарного по времени давления, что обуславливает актуальность использования численных методов. Построена двумерная дискретная конечно-объемная модель, описывающая изгиб пластины. Для решения задачи деформации пластины использован попеременно-треугольный итерационный метод, который позволяет минимизировать время решения сеточных уравнений по сравнению с другими итерационными методами. Построен программный комплекс расчета деформаций ледяной пластины. При сравнении полученных результатов ре-

шения задачи упругости выявлено количественное совпадение результатов численных и аналитических расчетов.

В третей главе приведено описание программного комплекса «WaterIce» и результатам численных экспериментов, описаны среда разработки и технические требования программного обеспечения, цель разработки и функциональное назначение, описана логическая структура программного комплекса «Water-Ice» механизм работы и последовательность действий программы. Также описаны входные параметры, константы и переменные, использованные в программе, изложены фрагменты программного кода, содержащие основные функции и алгоритмы. Описаны инструкции по использованию интерактивного интерфейса программного комплекса «Water-Ice». Представлены основные результаты трехмерной визуализации математической модели.

Сравнительная характеристика комплекса программ. Основными техническими преимуществами разработанного программного комплекса « Water-Ice» по сравнению с существующими аналогами являются:

- высокая производительность - за счет эффективности численного метода решения сеточных уравнений - попеременно-треугольного метода, где для выбора параметров метода был проведен ряд экспериментов в результате которых метод продемонстрировал себя как самый быстрый из известных методов;

- удобная для пользователя интерактивная панель управления, позволяющая легко и просто контролировать профиль изображенного на экране графика, реализующего результаты численных эксперимента;

- точность решения, улучшенная по сравнению с традиционными, конечно-разностными и конечно-объемными методами на основе конечно-объемной модели с использованием коэффициентов заполненности. Это дает возможность получать плавные изменения геометрий, в каждой поверхностной точке, в зависимости от процентных отношений заполненной части от общего объема каждой из ячеек;

- учет различных граничных условий и возможность адаптации программного комплекса для расчетных областей и других изменяющихся параметров.

Панель управления на рисунке 9. в пользовательском интерфейсе состоит из ряда инструментов:

Swich Spin (s) - включает/выключает вращение профиля объекта по часовой стрелке.

Drow Box (В) - контролирует изображение границ расчетной области

Points Mode - контролирует изображение колеблющихся частиц жидкости, показывает их в виде отдельных точек или в виде непрерывных сеток, расположенных слоями.

View Up - вращение профиля объекта на верх.

View Down (D) - вращение профиля объекта вниз. Exit (X) - выход из программы.

a— j *«И.»И<5)| Ода К»» Го j cmihm. J [ V.U.CU) | VW»Do«n(P)j __{ ..........^ :........J

Рис. 9. Вид пользовательского интерфейса с панелью управления

5) ©

Рис. 10. Положение льдины относительно поверхности уровня, временной интервал Т = 1,2,3,4,5,6 сек.

В заключении представлены основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложении приведено, свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационном исследовании получены следующие новые научные результаты:

— построена трехмерная математическая модель для расчета полей скоростей задачи гидродинамики на основе дискретной конечно-объемной модели, описывающая волновые гидродинамические процессы, учитывающая наличие ледового покрытия и такие физические параметры как: турбулентный обмен, трение о дно и льдину, и ветровое трение; аналитически были исследованы погрешность аппроксимации, устойчивость и консервативность данной дискретной модели (с. 27-93);

- для объединенной модели, включающей модель гидродинамики волновых процессов и модель деформации ледового покрытия адаптирован дискретизации, базирующийся на применении функции заполненности ячеек, позволяющей получать численные решения поставленной задачи с лучей точностью по сравнению с методами, не использующими функцию заполненности ячеек (с. 40-70, с. 100-104);

- для объединенной дискретной модели гидродинамики-деформации адаптирован и исследован эффективный численный метод ее реализации-итерационный попеременно-треугольный метод вариационного типа, который является наиболее быстро сходящимися в классе двухслойных итерационных методов (с. 105-111);

— разработан программный комплекс, имеющий удобный пользовательский интерфейс и средство визуализации, позволяющие осуществлять моделирование волновых процессов и их силовое воздействие на ледовое покрытие в рамках единого программного комплекса (с. 114-134).

Научные и практические результаты, полученные в диссертации, были апробированы на ряде всероссийских научных конференций. Практическая ценность результатов исследований определена созданием программного комплекса для решения задач математического моделирования для расчета воздействия волновых процессов на ледовое покрытие водоема, который может применяться для широкого круга практических применений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ: Список научных работ

1. Кандалфт Хекмат. Управление амплитудой волн, вызванных донными смещениями, Электронный научно-инновационный журнал, инженерный вестник дона// Номер 1,2011 г.

2. Кандалфт Хекмат. Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины, Электронный научно-инновационный журнал, инженерный вестник дона// Номер 4,2011 г.

3. Кандалфт Хекмат Трехмерная математическая модель движения водной среды при наличии на поверхности ледяной пластины. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Методы и средство адаптивного управления в электроэнергетике ». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012, №2(127). С 118-124.

4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 20112611171 «Программный комплекс для реализации трехмерной математической модели взаимодействий волновых процессов жидкой среды с ледяным покрытием».

В работах, опубликованных автором Кандалфт Хекмат принадлежат следующие результаты: [2] построена двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличия на поверхности ледяной пластины; в [3]- трехмерная математическая модель движения водной среды при наличии на поверхности ледяной пластины; в [4] был зарегистрирован программный комплекс для реализации построенной модели.

Подписано в печать «_»_2012г. Формат 60x84/16

Бумага офсетная. Усл. п.л. 1,5.

Тираж 100 экз. Заказ №_.

Отпечатано в типографии Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге. Адрес типографии: 347928, Ростовская обл., г.Таганрог, ул. Энгельса, 1.

Введение.

Глава 1. Построение, исследование трехмерной математической модели гидродинамических процессов.

1.1. Обзор состояния исследований в предметной области.

1.2.Постановка задачи.

1.3. Построение дискретной модели.

1.4. Конечно-объемная модель гидродинамики.

1.5. Исследование консервативности дискретной модели.

1.6. Погрешность аппроксимации конечно-разностной схемы.

1.7. Каноническая форма сеточных уравнений.

1.8. Доказательство устойчивости.

1.9. Результаты численных экспериментов.

Выводы по главе.

Глава 2. Математическое моделирование деформации ледяной пластины.

21- Аналитическое решение задачи деформации ледовой пластины.

2.2. Численное моделирование деформации пластины.

2.3. Построение конечно-разностной модели деформации пластины.

2.4. Построение конечно-объемной модели деформации пластины.

2.5. Описание попеременно-треугольного метода решения сеточных уравнений деформации пластины.

2.6. Результаты численных экспериментов.

Выводы по главе.

Глава 3. Описание программного комплекса и результаты численных экспериментов.

3.1. Общие сведения о программном комплексе «Water-Ice».

3.2. Функциональное назначение программного комплекса «Water-Ice».

3.3. Описание логической структуры программы «Water-Ice».

3.4. Структура данных программы «Water-Ice».

3.5. Алгоритм работы программы «Water-Ice».

3.6. Запуск и использование программного комплекса «Water-Ice».

3.7. Результаты численных экспериментов.

Выводы по главе.

Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки эффективных и высокопроизводительных инструментов и средств мониторинга и прогнозирования устойчивости плавающего ледяного покрытия (покрова) на поверхности морей и океанов.

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию численных моделей и программных средств решения задач теории упругости и гидродинамики в области анализа причин деформации ледяных пластин, решение которых требует разработки современных методов анализа и развития эффективных методов математического моделирования гидродинамических процессов и их воздействий, которые могут стать причиной деформации ледяных пластин.

Рассматриваемые в диссертации задачи являются актуальными, как с точки зрения фундаментальных вопросов теории, так и с точки зрения различных приложений.

В последние 30 лет успешно развивается освоение прибрежного шельфа. В мировой практике накоплен большой опыт по добыче и транспортировке нефти и газа, по постройке стационарных и плавучих буровых платформ, буровых судов, научно-исследовательских судов

На сегодняшний день шельф достаточно хорошо изучен, и освоение таких регионов в ближайшем будущем примут стремительный характер. Для создания безопасной конструкции таких станций необходимо их тщательно испытывать на устойчивость, под влиянием поверхностных гравитационных волн. К сожалению, осуществить это экспериментальным путем практически невозможно в связи с огромными размерами и большими затратами на такие проекты. Поэтому построение математической модели является одним из немногих приемлемых вариантов, для описания поведения таких станций.

Во многих странах мира в связи с ростом численности населения, ускоренным развитием промышленности стремительно уменьшается площадь свободных сухопутных территорий, поэтому использование морского пространства для строительства становится весьма актуальным. Но инженерный расчет, на котором базируется проектирование больших плавающих структур (БПС), требует детального теоретического анализа их взаимодействия с волнами на поверхности жидкости. Гидроупругому анализу БПС было посвящено много работ, одной из них является [54], где были получены аналитические решения и численные результаты для различных геометрических форм и размеров плавающих пластин, что позволило сделать некоторые общие выводы о поведении БПС при взаимодействии их с волнами на поверхности жидкости. Поскольку толщина БПС существенно меньше её горизонтальных размеров, в принятой расчетной схеме она заменялась тонкой упругой пластиной, которую можно рассматривать в рамках теории Кирхгофа. Жидкость считалась идеальной. Вертикальные отклонения пластины и свободной поверхности воды, отражение и прохождение волн исследовались при помощи методов математики, прикладной математики, теоретической механики и гидродинамики.

В связи с созданием искусственных плавающих платформ больших размеров возникла необходимость исследования их нестационарного поведения при набегании волн большой амплитуды.

Гидроупругое поведение плавающих тонких упругих пластин (слоев) на поверхности жидкости представляет интерес для ряда практических приложений: больших плавучих структур, ледовых полей, волноломов, нефтехранилищ, волнорезов, аэропортов и т.д.

С научной и практической точек зрения крайне интересным и важным представляется изучение поставленной нами задачи.

Подавляющее большинство прибрежных систем и водоемов в России, а также в северной Европе имеют ледовое покрытые в зимнее время, при возникновении волн лед подвергается силовому воздействию, что приводит к его разрушению и созданию опасности для людей и судов, находящихся в акватории.

Многие экономически развитые страны имеют замерзающие реки, омываются морями, которые в различной степени и на разные сроки года покрываются ледовыми слоями. Лед является серьезным препятствием на пути судоходства, осложняя, а иногда и делая невозможной, своевременную доставку грузов по назначению. Применение традиционных методов борьбы с ледовыми препятствиями (разрушение с использованием специальных технических сооружений) в современное время уже перестало быть эффективным способом решения, и возникла необходимость использования ледяного покрова как ледяных переправ, автозимников и взлетно-посадочных полос. В этих случаях необходимо сохранять несущую способность ледяного покрова, избегая опасных проявлений изгибно-гравитационного резонанса.

Ледяной покров можно также использовать как платформу для устройства ледяных переправ, автозимников и взлетно-посадочных полос. В этих случаях необходимо сохранять несущую способность ледяного покрова, избегая опасных проявлений изгибно-гравитационного резонанса.

В последнее время в связи с расширяющейся добычей нефти и газа на континентальном шельфе особое значение приобрело обеспечение безопасности от повреждения ледовыми нагрузками морских платформ в тех районах, где в зимнее время акватория покрывается льдом.

Для надежного и безопасного использования ледовых покрытий в качестве платформ важнейшим действием является исследование устойчивости под воздействием внешних нагрузок и взаимодействием с гидродинамическими процессами водной среды.

Цель диссертационного исследования состоит в построении комплекса дискретных и непрерывных моделей, численных алгоритмов и программ для их реализации для прогноза возможных сценариев поведения ледового покрытия под воздействием внешних нагрузок и волновых процессов.

Основные задачи исследования. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построение трехмерной дискретной модели для задачи гидродинамики, учитывающей наличие надводного объекта, а также аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели, учитывающей механизм заполнения ячеек.

2. Разработка алгоритмов, реализующих на основе полученной модели задач гидродинамики, визуализацию результатов численных расчетов

3. Построение дискретной модели для задачи деформации балки, а также аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели.

4. Построение конечно-объемной модели задачи деформации пластины.

5. Разработка на основе данных моделей программного комплекса.

6. Сравнение полученных результатов с результатами измерительных экспериментов и результатами аналитических расчетов.

Материалы и методы исследования. Для достижения поставленной цели диссертационного исследования использованы: основы теории упругости, теория гидродинамики, методы математической физики, интегрального и дифференциального исчислений.

Для проведения численных экспериментов по разработанным моделям использованы методы вычислительной математики и специализированные программные среды (MathCAD). Использованные численные методы реализованы на языке «С++». Для визуализации использована библиотека компьютерной графики «OpenGL».

Научная новизна работы. В диссертации представлены новые следующие результаты в соответствие с паспортом специальности 05.13.18, в том числе:

1. Для трехмерной математической модели движения среды водоема при наличии ледового покрытия и таких физических факторов, как турбулентный обмен, ветровое трение, трение о дно и о лед, проведено аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и впервые доказана консервативность построенной дискретной модели;

2. Для объединенной модели, включающей модель гидродинамики волновых процессов и модель деформации ледового покрытия, впервые использована методика дискретизации, базирующаяся на применении функции заполненности ячеек, которая позволяет улучшать точность численного решения поставленной задачи по сравнению с другими известными методами, не использующими функцию заполненности ячеек.

3. Разработан новый программный комплекс, имеющий удобный пользовательский интерфейс и средство визуализации, позволяющие осуществлять моделирование волновых процессов и их силовое воздействие на ледовое покрытие в рамках единого программного комплекса.

Достоверность научных положений и выводов. Достоверность и обоснованность полученных теоретических результатов и формулируемых на их основе практических выводов диссертации обусловлена корректностью производимых математических преобразований, базирующихся на апробированном математическом аппарате (методах математической физики, интегрального и дифференциального исчислений, методах вычислительной математики) и корректным применением специализированных сред. Результаты численных расчетов согласуются с реальными процессами.

Научная и практическая значимость работы. Возможное применение на практике полученных в диссертационной работе математических моделей может быть необходимо для прогнозирования условий безопасной эксплуатации ледовых покрытий в качестве платформ в прибережных районах, ледовых транспортных трасс (зимников) и. т. д.

Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. Конференция для аспирантов в честь недели науки ФВТ ЮФУ(25-ого апреля 2008 г. Ростов на Дону, Россия).

2. Конференция для аспирантов в честь недели науки в честь недели науки ФВТ ЮФУ(25-ого апреля 2008 г. Ростов на Дону, Россия).

3. XXII Международная научная конференция " Математические методы в технике и технологиях " (ММТТ-22), (СГТУ, г. Саратов, 2009г.).

4. XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (ММТТ-23), («БГТУ» им. В.Г. Шухова, г. Белгород, 2010г.).

Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ, в том числе 5 статей в изданиях, входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», утвержденных ВАК РФ. По теме исследования получено 1 свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Рукопись диссертационной работы состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Объем работы составляет 150 страниц, включая 21 иллюстрацию.

Выводы по третей главе

В главе приведено описание построенного в диссертации программного комплекса, реализующего математической модели для расчета воздействия волновых процессов на ледовое покрытия водоема и полей скоростей водной среды; выполнен ряд численных экспериментов, построены картины водоема со льдиной для различных периодов времени, которые согласуются с реальным физическим процессом.

Основными техническими преимуществами разработанного программного комплекса «Water-Ice» перед существующими аналогами являются:

- Высокая производительность - за счет эффективности численного метода решения сеточных уравнений - попеременно-треугольного метода, где для выбора параметров метода был проведен ряд экспериментов в результате которых метод продемонстрировал себя как самый быстрый из известных методов;

- удобная для конечного пользователя интерактивная панель управления, позволяющая легко и просто контролировать профиль изображенного на экране графика, реализующего численные результаты эксперимента;

- точность решения, улучшенная по сравнению с традиционными, конечно-разностными и конечно-объемными методами на основе конечно-объемной модели с использованием коэффициентов. Это дает возможность получать плавные изменения геометрий, в каждой поверхностной точке, в зависимости от процентных отношений заполненной части от общего объема каждой из ячеек;

- учет различных граничных условий и возможность адаптации программного комплекса для расчетных областей и других изменяющихся параметров.

Описаны среда разработки программного обеспечения, использованные технологии, основные пакеты программ и алгоритмов, минимальные требования к конфигурации технических средств. Также были описаны схемы данных, логическая и функциональная структуры программы, инструкция по использованию программного комплекса. Также были изображены результаты численных экспериментов.

Заключение

В связи с необходимостью получения эффективных и высокопроизводительных инструментов и средств мониторинга и прогнозирования устойчивости плавающего ледяного покрытия (покрова) на поверхности морей и океанов в диссертационной работе уделено внимание разработке и исследованию численных моделей и программных средств для решения задач теории упругости и гидродинамики в области анализа причин деформации ледяных пластин под действием гидродинамических процессов, решение которых требует разработки современных методов анализа и развития эффективных методов математического моделирования гидродинамических процессов и их воздействия, которые могут стать причиной деформации ледяных пластин. Для этих математических моделей в диссертационной работе разработана новая трехмерная математическая модель движения среды водоема, учитывающая наличие ледового покрытия, и такие физические параметры, как наличие, турбулентный обмен, ветровое трение, трение о дно и о лед.

Основной целю исследования, является построение комплекса дискретных и непрерывных моделей, численных алгоритмов и программ для их реализации прогноза возможных сценариев поведения ледового покрытия под воздействием внешних нагрузок и волновых процессов, в диссертационной работе решен ряд задач, приводящих к практической реализации данной цели:

- построена трехмерная математическая модель движения среды водоема учитывающая наличие ледового покрытия и такие физические параметры, как наличие турбулентного обмена, ветрового трения, трения о дно и о лед. Проведено аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели (с. 27-93);

- для объединенной модели, включающей модель гидродинамики волновых процессов и модель деформации ледового покрытия адаптирован дискретизации, базирующийся на применении функции заполненности ячеек, позволяющей получать численные решения поставленной задачи с лучей точностью по сравнению с методами, не использующими функцию заполненности ячеек (с. 40-70, 100-104);

- для объединенной дискретной модели гидродинамики-деформации адаптирован и исследован эффективный численный метод ее реализации: итерационный попеременно-треугольный метод вариационного типа, который является наиболее быстро сходящимся в классе двухслойных итерационных методов (с. 105-111);

- разработан программный комплекс, имеющий удобный пользовательский интерфейс и средство визуализации, позволяющие осуществлять моделирование волновых процессов и их силовое воздействие на ледовое покрытие в рамках единого программного комплекса (с. 111-134).

Научные и практические результаты, полученные в диссертации, были апробированы на ряде всероссийских и международных научных конференций. Практическая ценность результатов исследований определена созданием программного комплекса для решения задач математического моделирования для расчета воздействия волновых процессов на ледовое покрытие водоема, который может применяться для широкого круга практических применений.

1. Золотарев A.A. Один подход к решению интегральных уравнений начально-краевых задач для слоистых сред.//Изв.АН СССР. МТТ. 1990, №6, С.30-35.

2. Zolotarev A.A. Asymptotic analysis of wave fields whethen there is partial impulse delamination of the media.// J. Appl. Maths Mechs, Vol.65, No.l, 2001, pp. 139-144.С

3. Friedrichs K.O., Lewy H. The dock problem // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. Ns 2. P. 135-148.

4. Holford R.L. Short surface waves in the presence of a finite dock. I //Proc. Camb. Phyl. Soc. 1964. V.60. Pt4. P. 957-983.

5. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. М. : Физматлит, 2001. 320 с.

6. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов по специальности «Прикладная математика» / А. А. Самарский. М. : Наука, 1987.286 с.

7. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов / А. А. Самарский. СПб: Лань, 2005. 288 с.

8. Бабешко В.А, Золоторёв A.A. Золоторёва Л.И. Возбуждение волн в океане, частично покрытом ледовыми полями //В кн.: кратко срочный и долгосрочный; прогноз Цунами. Материалы Всесоюзной школы Москва, 1983, с.14.

9. Золоторёв A.A. Золоторёва Л.И. Возбуждение волн в океане, частично покрытом льдом. Ростов на дону, 1983.

10. Ткачева Л.А Дифракция поверхностных волн на плавающей упругой пластине //Механика жидкости и газа. 2001. №5 121 с.

11. Хейсин Д.Е. динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967.

12. Черкесов JI.B. Поверхностные и внутренние волны. Киев: Наук. Думка, 1973.

13. Стурова И. В.Нестационарное поведение плавающей на мелководье упругой под действием внешней нагрузки.// Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43,№3. 88с. Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск.

14. Стурова И. В. Действия нестационарной внешней нагрузки на круглую пластину, плавающую на мелководье // ПММ. 2003. Т67.С 435-463.

15. Стурова И.В. Нестационарное поведение неоднородной упругой балки, плавающей на мелководе. //Приклодная математика и механика Том 72вып. 6, 2008. С.971-984.

16. Стурова И.В. Нестационарное поведение упругой балки, плавающей на поверхности бесконечно глубокой жидкости. //Приклодная математика итехническая физика Том 47вып. 1, 2006. С.85-94.

17. Ткачева Л.А. гидроупругое поведение плавающей пластины на волнах // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42,№6. 79с. Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск.

18. Золоторёв A.A. Золоторёва Л.И.Метод факторизация в неустановившихся задачах о возбуждении гравитационно-упругих волн в жидкости с частично свободной границей.//Иизвестия АН СССР. МЖГ. 1985, №6 с. 100-106.

19. Золоторёв A.A. Золоторёва Л.И. Один метод решения неустановившихся задач для слоя жидкости со смешанными условиями.//Журнал Прикладной механики и технической физики. СО АН СССР. 1986, №4. С39-44.

20. Стурова И. В. Дифракция поверхностных волн на неоднородной упругой пластине.// Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41,№4. 42с. Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск.

21. Марченко A.B. Изгибно-гравитационные волны //Динамика волн на поверхности жидкости. М.: Наука, 1999. С.65-111.

22. Золоторёв A.A. Золоторёва Л.И.один подход к решению интегральных уравнений начально-краевых задач для слоистых сред.// Иизвестия АН СССР. Механика твёрдого тела. 1990, №6.

23. Стурова И. В, Нестационарное поведение упругой балки, плавающей на поверхности бесконечно глубокой жидкости. // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47,№1. 85с. Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск.

24. Ворламов В.В. о рассеянии внутренних волн краем упругой пластины // журн. Вычисл. Математики и мат. Физики. 1985. Т.25. №3. С.413-421.

25. Гольдштейн Р.В., Марченко A.B. дифракция плоскихгравитационных волн на кромке ледяного покрова.//1989. Т53 №6. С.924-930.

26. Balmforth N.M. Craster R.V. Oceans waves and ice sheets /7 J Fluid mech. 1999. V. 3495. P.89-124.

27. Squire V. A., Dugan J. P., Wadhams P.,et al. Of ocean waves and sea ice // annu. Rev. fluid mech. 1995. V. 27. p. 115-168.

28. Букатов A. E., Завьялов Д. Д.набегание изгибно-гравитационных волн на линию контакта двух плавающих ледяных пластин разной толщины // мор. Гидрофиз. Журн. 1998. №1. С. 11-17.э

29. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. Киев: Наук. Думка, 1980.

30. Золоторёв A.A. Золоторёва Л.И.Анализ неустановившихся волн в жидкости с частично свободной границей. Рук. Деп. В ВИНИТИ 31.07.84, №5562-84 ДЕП.

31. Смирнов В. Н. Динамические процессы в морских льдах. СПБ.: Гидрометеоиздат.,1996. 162с.

32. Смирнов В. Н.Особенности механики и динамики льдов арктического бассейна. // Проблемы Арктики и Антарктики ,2007.№75. С73-84.

33. Крауфорд Ф. Берклеевский курс физики, том 3, Волны.

34. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики, том 6, Гидродинамика.

35. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977.

36. И. В. Стурова, Коробкин А. А. Плоская задача о воздействии периодической нагрузки и на упругую пластину, плавающую на поверхности бесконечно глубокой жидкости Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск.

37. Л. А. Ткачева Рассеяние поверхностных волн краем плавающей упругой пластины Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск Прикладная механика и техническая физика, 2001, № 4, т. 42,

38. А. А. Коробкин Численное и асимптотическое исследование плоской задачи о гидроупругом поведении плавающей пластины на волнах. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск Прикладная механика и техническая физика, 2000, № 2,

39. Л. А. Ткачева Колебания плавающей упругой пластины при периодических смещениях участка дна.// Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск; Прикладная механика и техническая физика, 2005, № 5, с. 166-179.

40. И. В. Стурова Косое набегание поверхностных волн на упругую полосу Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск Прикладная механика и техническая физика, 1999, № 4, Т40.

41. Wu С., Watanbe E., and Utsonomya T. (1995). An Eigen function matching method for Analyzing the wave Induced Responses of an elastic floating plate. Applied Ocean research, vol.17, p.301-310.

42. Peter M.A. and Meylan M. H. (2004). The Eingenfunction Expansion of the Infinite depth free surface Green function in three dimensions. Wave motion, vol.40, p.1-11.

43. Ohkusu М/ and Namba Y. (1996). Analyses of behaviour of larg floating platform of thin plate configuration in waves. Proceedin of the international workshop on very large floating structures, Hayama, Japan, p. 143-148.

44. Babich V. M. and Buldyrev V.S. (1990). Short- wavelength diffraction theory. Springer- Verlag, Berlin, 445p.

45. J J Stoker, Water Waves: The Mathematical Theory with Applications, Interscience, 1957.

46. Roethlisberger, H. (1972). Surface waves and waves in thin floating ice. Cold Regions Research and Engineering Laboratory Monographs , pages 105-109.

47. AG Greenhill, Wave motion in hydrodynamics, American Journal of Mathematics , 9 , pp.62-112, 1887.

48. JB Keller and M. Weitz, Reflection and transmission coefficients for waves entering or leaving an ice field, Communications in Pure and Applied Mathematics , 6 ,pp.415--417, 1953.

49. Матем. Мех. 27, стр. 541-546, 1963.

50. Stoker J.J. (1957). Water Waves. Interscience Publishers, New York, 567p.

51. C. D. Wang and M. H. Meylan, A higher-order-coupled boundary element and finite element method for the wave forcing of a floating elastic plate}, J. Fluids and Structures, 19, 557-572, 2004.

52. Alexey Andrianov. Hydroelastic analysis of very large floating structures

53. В.А.Комаров, А.А.Коробкин, И.В.Стурова, З.И.Федотова, Л.Б.Чубаров, Взаимодействие уединенной волны с плавающей упругой пластиной.// Сборник научных трудов № 42, 2009 г «Фундаментальная и прикладная гидрофизика».

54. С.Ю.Доброхотов, Б.И.Волков, С.Я.Секерж-Зенькович, Б.Тироцци,

55. Асимптотическое описание волн цунами в рамках поршневой модели: общие конструкции и явно решаемые примеры.// Сборник научных трудов № 42, 2009 -г «Фундаментальная и прикладная гидрофизика».

56. И.Федотова, Л.Б.Чубаров, Г.С.Хакимзянов, Нелинейно-дисперсионные модели волновой гидродинамики в задачах о генерации волн цунами оползнем.// Сборник научных трудов № 42, 2009 г «ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ ГИДРОФИЗИКА».

57. В. М. Козин, А. В. Погорелова, ВОЗДЕЙСТВИЕ УДАРНОГО ИМПУЛЬСА НАПЛАВ АЮЩИЙ ЛЕДЯНОЙ ПОКРОВ.// ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.2004. Т.45,№ 6, с. 26.

58. В. В. Алексеев, Д. А. Индейцев, Ю. А. Мчалова, КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ КОНТАКТИРУЮЩЕЙ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЮ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ.// Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. 5, с 16.

59. Kashiwagi М. //J.Mar.Sci.Technol.l998.N3.P.37- 49.

60. Ohkusu M.,Namba Y.//Proc. 13-th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Body. 1998.

61. KimJ.W.,ErtekinR.C. //J.Fluid.Mech. 1999.Vol.43.N4. P.241-254.

62. ZilmanG.,MilohT. //Proc. 14-th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Body. 1999.P. 179-181.

63. Бабешко В. А., Ворович И. И., Образцов И. Ф.//Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1990. №3 с. 74.

64. Л. А. Ткачева, Собственные колебания упругой платформы, плавающей на мелководье.// Прикладная механика и техническая физика, 2000, № 1, т. 41.

65. Л. А. Компаниец, О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ ДНА БАССЕЙНА, ПО НЕ ЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫМ МОДЕЛЯМ.// Вычислительные технологии Том2,№2,1997.

66. Стурова И. В., Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн.// ВЦ СО АН СССР, Красноярск, препринт №9,1990.

67. Андронов А.Н. (Россия). On the stability of bifurcating solutions in some problems about capillarygravity waves.// Труды 24-ой Международной конференции «Волны на воде и плавающие тела» «International Workshop on Water Waves and Floating Bodies».

68. Avni R., Toledo Y., Agnon Y. (Израиль). Linear and nonlinear complementary mild slope equations.// Труды 24-ой Международной конференции «Волны на воде и плавающие тела» «International Workshop on Water Waves and Floating Bodies».

69. Duan W.Y., Zhang T.Y. (КНР). Non-reflecting simulation for fully-nonlinear irregular wave radiation.// Труды 24-ой Международной конференции «Волны на воде и плавающие тела» «International Workshop on Water Waves and Floating Bodies».

70. Engsig-Karup A.P., Bingham H.B. (Дания). Boundary-fitted solutions for 3D nonlinear water Wave structure interaction.// Труды 24-ой Международной конференции «Волны на воде и плавающие тела» «International Workshop on Water Waves and Floating Bodies».

71. A. E. Букатов, А. А. Букатов, Волны конечной амплитуды в однородной жидкости с плавающей упругой пластиной.// Прикладная механика и техническая физика, 2009, № 5, с. 67-74.

72. А. А. Кулешов, В. В. Мымрин. Моделирование колебаний плавающего льда в приближении тонкой упругой пластины.// Матем. моделирование, 2009, том 21, № 6, стр. 28-40.

73. А. А. Кулешов. О численном методе решения задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин.// Матем. моделирование, 2005, том 17, № 4, стр. 10-26.

74. H. A. Тарануха, С. Д. Чижиумов. Гидроупругое взаимодействие судового корпуса с окружающей жидкостью.// Матем. моделирование, 2007, том 19, № Ц5 стр. 51-58.

75. C.B. Музылев. Краевые волны подо льдом у прямолинейного берега над наклонным дном.// Академиздатцентр "Наука" РАН Океанология, 2006, том 42, № 4.

76. А. А. Кулешов, В. В. Мымрин. Моделирование колебаний плавающего льда при посадке самолетов на ледовые аэродромы, вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11, стр. 7-13.

77. Кулешов А.А., Мымрин В.В. Моделирование колебаний плавающего льда при посадке самолетов на ледовые аэродромы.// Вычеслительные методы и программирования, 2010, том 11, стр. 7-13.

78. В. М. Сеймов, а. Н. Трофимчук, н. П. Ермоленко, о. А. Савицкий. Динамика морской платформы взаимодействующей с основанием и водной средой.// МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ, 1998 стр.78-86.

79. С. Ю. Доброхотов, О. Л. Толстова, И.Ю. Чудинович. Волны в жидкости на упругом основании. Теорема существования и точные решения.// Математические заметки, 1993, ТОМ 54, ВЫПУСК 6, стр. 33-55.

80. Предъяпольский Г. С. Возбуждение цунами землетрясением.// Методы расчета возникновения цунами.: Наукаю 1978. С.30-87.

81. Зволинский И. В., Никитин И. С. Секерж-Зенькович С. Я. Генерация волн цунами и волн Рэлея гармоническим центром расширения.// Изв. АН СССР. Физика земли. 1991. №2. С. 34-44.

82. Молотков И. А., Крауклисс П. В. Смешанные поверхностные волны на границе упругой среды и жидкости.// Изв. АН СССР. Физика земли. 1971. №8.

83. Асланян А. Г., Васильев Д. Г., Лидский В. Б. Частота свободных колебаний тонкой оболочки, взаимодействующей с жидкостью.// функцион. Анализ. 1981. Т. 15. №3. С. 1-9.

84. Кузнецов Н. Г. Метод конформных отображений в задаче о взаимодействии волн на воде и плавающих тел.// Записки научных семинаров ПОМИ Том 332, 2006 г.

85. M. Mclver, An example of non-uniqueness in the two-dimensional linear water-wave problem. — J. Fluid Mech. 315 (1996), 257-266.

86. N. Kuznetsov, V. Maz'ya, and B. Vainberg, Linear Water Waves: A Mathematical Approach. Cambridge University Press, Cambridge (2002).

87. Balmforth NJ and Craster RV JOURNAL OF FLUID MECHANICS 395 pp 89124 1999.

88. Lamb H. (1945). Hydrodynamics. Dover Publications, New York, 738p.

89. Stoker J.J. (1957). Water Waves. Interscience Publishers, New York, 567p.

90. Wehausen J.V. and Laitone E.V. (1960). Surface Waves. Encyclopedia of Physics, vol.9, Springer-Verlag, Berlin, p.446-814 (also at http://www.coe.berkeley.edu/SurfaceWaves).

91. Newman J.N. (1977). Marine Hydrodynamics. The MIT Press, Cambridge, USA, 402p.

92. З.И.Федотова, Л.Б.Чубаров. ЧИСЛЕННОЕ ОДЕЛИРОВАНИЕ НАКАТА ЦУНАМИ.// Труды Международной конференции RDAMM-2001, Т. 6, Ч. 2, Спец. Выпуск.

93. Н. Г. Кузнецов. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВОЛН НА ВОДЕ И ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛ.// Записки научных семинаров ПОМИ Том 332, 2006 г, 123-137.

94. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. -512 с.

95. Козин В.М. Моделирование изгибно-гравитационных волн в сплошном ледяном покрове//Теория и прочность ледокольного корабля. Горький: Изд-во ГПИ им. А.А.Жданова, 1981. Автореф. дис.д-ра техн. наук. Владивосток. 1993.

96. Ледоразрушающая способность изгибно-гравитационных волн от движения объектов / Козин В.М., Оншцук A.B., Марьин Б.Н. и др. Владивосток: Дальнаука, 2005. 191 с.

97. Самарский, А. А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М. : Наука, 1989. - 432 с.

98. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов по специальности «Прикладная математика» / А. А. Самарский. М. : Наука, 1987.-286 с.

99. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М. : Наука, 1983.

100. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-735 с.

101. Стокер, Дж. Дж. Волны на воде. Пер. с англ. М. : Иност литер., 1959. 618 с.

102. Сухинов А. И., Зуев В. Н., Семенистый В. В. Поверхностные волны от начальных возмущений в случае изменения глубины дна по линейному закону. Известия вузов. Северо-Кавказский регион, естественные науки. 2004. №4. С. 31 -33.

103. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Непрерывная математическая модель поверхностных волн от начальных возмущений и ее численная реализация // Вестник СевКавГТУ. Ставрополь: СевКавГТУ, 2009. №3(20). С. 50 - 57.

104. Тимофеева Е. Ф. Построение и исследование математической модели процесса транспорта взвешенных наносов в прибрежных зонах водоемов // Обозрение прикладной и промышленной математики. М: 2009. Т. 16. Вып. 5. С. 931 -932.

105. Тимофеева Е. Ф. Пространственно-многомерные модели движения волны на удалении от берега // Обозрение прикладной и промышленной математики. -М. 2009. Т. 16. Вып. 6. С. 1133 1134.

106. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование движения поверхностных волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. 2010. Т. 17. Вып. 2. С. 305 - 306.

107. Тимофеева Е. Ф. Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Известия ЮФУ. Технические науки. -Таганрог: ЮФУ, 2010. №6. С. 95 102.

108. Чистяков А. Е. Математическое моделирование трехмерных гидрофизических процессов в прибрежных районах / Диссертационная работа. Таганрог : ТТИ ЮФУ, 2010. 153 с.

109. Чистяков А. Е., Сухинов А. И. Модель движения водной среды в мелководных водоемах. Альманах современной науки и образования. Тамбов: «Грамота», 2008. С. 217 - 220.1. МГ У1 /АТ?-/