автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Полиномиальные методы прямого синтеза оптимальных импульсных систем управления

На правах рукописи

ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРЯМОГО СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - "Системный анализ, управление и обработка информации" (в технических системах)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете

Научный консультант: доктор технических наук,

профессор Е. Н. Розенвассер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е.И. Веремей доктор технических наук, профессор A.B. Небылов доктор технических наук, профессор В.Т. Шароватов

Ведущая организация: Федеральный научно-производственный

центр ФГУП НПО "Аврора"

Защита состоится 17 октября 2006 г. в 15 часов 50 минут на заседании диссертационного совета Д 212.227.03 при Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 5.09.2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, • кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В современных условиях большинство систем управления техническими средствами (судами, самолетами, электродвигателями и т.д.) строится на базе компьютерной техники. В таких системах для управления аналоговым (непрерывным) объектом применяется цифровой регулятор, использующий квантование сигналов по времени, поэтому система в целом относится к классу импульсных систем.

Важнейший этап проектирования импульсных систем - синтез цифровых законов управления непрерывными объектами. В инженерной практике для решения этой задачи чаще всего используются приближеные методы, основанные на замене непрерывных элементов их дискретными моделями. Теоретические основы таких методов анализа и синтеза импульсных систем управления (ИСУ) разработаны в трудах Я.З. Цыпкина, В.А. Бесекерского, JI.T. Кузина, Л.Н. Волгина, П.Д. Крутько, В.Н. Фомина, В.Г. Гусева, Е. Jury, J. Той, В. Kuo, R. Izermann, J. Ackermann.

В конце XX века в ряде работ (P. Dorato, A. Levis, В. Lennartson и др.) было показано, что игнорирование динамики объекта между моментами квантования при синтезе оптимального цифрового закона управления может привести к неработоспособной системе, в которой присутствуют скрытые колебания. Более того, этот эффект нередко сохраняется и даже может усиливаться при уменьшении интервала квантования. Поэтому учёт динамики ИСУ в непрерывном времени при синтезе цифровых регуляторов весьма важен с теоретической и практической точек зрения.

Прямые (точные) методы синтеза оптимальных ИСУ, не использующие аппроксимаций, были предложены в работах К. Ästrom, S. Chang, E.H. Ро-зенвассера, Б.М. Миркина, Ю.В. Садомцсва, В. Lennartson, Y. Yamamoto, В. Bamieh, В. Pearson, N.. Sivashankar, P. Khargonekar, В. Francis, Т. Chen, H. Toivonen, M. Araki, T. Hagiwara, Y. Ito, S. Hara, L. Mirkin, Z. Palmor, G. Tadmor и других авторов. Применение большинства методов, разработанных в западной литературе, связано с существенными ограничениями. Широко известный метод "лифтинга". (Y. Yamamoto, В. Bamieh, В. Pearson, В. Francis, Т. Chen, Н. Toivonen, L. Mirkin) может использоваться только для конечномерных объектов, заданных в пространстве состояний. До насто-

ящего времени попытки распространить его на более широкий класс систем, например, на системы с запаздываниями, не увенчались успехом. Частотный "лифтинг" (метод FR-онератора) (M. Araki, T. Hagiwara, Y. Ito, J. Braslavsky) предполагает выполнение операций с бесконечными матрицами, а практически - с их конечными аппроксимациями, что вызывает вычислительные проблемы. С помощью "лифтинга" были получены решения задач Иг- и оптимального управления для конечномерных линейных объектов в виде модели цифрового регулятора в пространстве состояний. Его порядок формально совпадает с порядком расширенного объекта, при этом информация о структуре регулятора (нулях, полюсах) отсутствует.

Многие указанные теоретические проблемы преодолеваются с помощью конечномерной частотной теории цифрового управления (E.H. Розенвассер), основанной на концепции параметрической передаточной функции (ППФ) (L. Zadeh, Ch. Blanc, И.З. Штокало, А.А. Косякин, А.Ф. Михайлов). Этот подход применим для широкого класса импульсных систем, в том числе для систем с запаздываниями, и позволяет исследовать структуру оптимального регулятора. Однако, как и для стационарных систем, частотные методы оптимизации, использующие операции с рациональными матрицами, приводят к ненадежным вычислительным алгоритмам. Поэтому реализация основаной на методе ППФ известной процедуры синтеза оптимальных регуляторов (метода Вянера-Хопфа) в системах автоматизированного проектирования связана с существенными сложностями.

Таким образом, в теории импульсных систем можно выделить серьезную проблему, актуальную с теоретической и практической точек зрения: необходимость разработки прямых методов синтеза оптимальных цифровых регуляторов, позволяющих получать качественные результаты и обладающих вычислительной надежностью.

Для повышения надежности расчетов в задачах частотной оптимизации стационарных линейных систем используются полиномиальные методы (Л.Ц. Волгин, Я.З. Цыпкин, П.Д. Крутько, V. Strejc, К. Âstrom, V. Peterka, V. KuCera, T. Kailath, H. Kwakernaak, M. Grimble, M. Sebek, A. Casavola, E. Mosca, D. Henrion). Аналогичные методы прямого синтеза импульсных систем в известной литературе отсутствуют.

В диссертационной работе предлагается новый подход к задачам синте-

за оптимальных ИСУ, основанный на совместном использовании концепции ППФ и аппарата полиномиальных уравнений. Он позволяет во многом снять вычислительные проблемы, свойственные разработанным ранее частотным методам синтеза ИСУ, сохранив все их достоинства. Кроме того, удается распространить метод ППФ на ряд новых задач.

Целью настоящей работы является разработка полиномиальных методов синтеза оптимальных импульсных систем, позволяющих объединить возможности концепции ППФ и аппарата полиномиальных уравнений, и соответствующего программного обеспечения.

Методы исследования. В работе использовались классические и современные методы синтеза оптимальных систем управления, методы полиномиальной алгебры, теории матриц, вычислительной математики, а также методы математического моделирования.

Научная новизна работы. В диссертации разработан новый подход к решению задач прямого синтеза оптимальных импульсных систем управления, основанный на совместном использовании концепции ППФ и теории полиномиальных уравнений. Впервые получены следующие теоретические и практические результаты:

1) Предложен полиномиальный метод решения задачи минимизации квадратичного функционала общего вида, к которому сводятся рассматриваемые детерминированные и стохастические задачи для ИСУ.

2) Разработан новый подход к решению минимаксной задачи для ИСУ, базирующийся на применении понятия ассоциированной Т^-нормы; предложен полиномиальный метод решения ассоциированной "Ноо-задачи.

3) Разработан полиномиальный метод синтеза оптимальных ИСУ с упреждающим входным сигналом при детерминированных и стохастических возмущениях (ргеотегу-управление); исследованы предельные возможности повышения точности системы при увеличении интервала упреждения.

4) Для импульсной системы с комбинированным управлением получено полиномиальное решение задачи синтеза оптимального корректирующего регулятора, предназначенного для повышения точности ИСУ в непрерывном, времени без изменения свойств замкнутого контура.

5) Предложен двухуровневый поисковый алгоритм синтеза квазоптимальных

регуляторов пониженного порядка, обеспечивающий расположение всех корней характеристического полинома замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости.

6) При ограничениях на степень устойчивости и степень колебательности замкнутой системы построена параметризация множества всех допустимых характеристических полиномов заданного порядка через'вектор независимых параметров, варьируемых в интервале [0,1].

7) Получено полиномиальное решение задачи квадратичной оптимизации относительно коэффициентов полинома заданной степени и исследованы его свойства.

8) Разработан пакет ОтЕСтББ для среды МАТЬАВ, предназначенный для анализа и оптимального синтеза ИСУ с учетом их поведения в непрерывном времени.

9) С помощью предложенных методов и программного обеспечения выполнен синтез оптимальных и квазиоптимальных цифровых регуляторов для морских подвижных объектов.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:

1) полиномиальный метод прямого синтеза оптимальных ИСУ при детерминированных и стохастических возмущениях с учетом поведения системы в непрерывном времени; '

2) полиномиальный метод прямого синтеза оптимальных робастных импульсных систем, основанный на использовании понятия ассоциированной

■Д'Иоо-пормы;

3) полиномиальный метод прямого синтеза оптимальных ИСУ с упреждающим входным сигналом при детерминированных и стохастических возмущениях;

4) полиномиальный метод прямого синтеза оптимального корректирующего регулятора в импульсной системе с комбинированным управлением;

5) двухуровневый поисковый алгоритм синтеза квазиоптимальных регуляторов пониженного порядка;

6) полиномиальный метод решения задачи квадратичной оптимизации относительно коэффициентов полинома заданной степени.

Практическая ценность результатов диссертации определяется тем,

что разработанные в ней методы, алгоритмы и программное обеспечение, могут быть использованы для синтеза оптимальных цифровых регуляторов в системах управления непрерывными динамическими объектами любой природы (судами, самолетами, электрооборудованием и т.д.).

Реализация полученных результатов. Результаты работы использовались в научных исследованиях и конструкторских разработках ОКБ подводной техники при СПбГМТУ (система управления подводным аппаратом "Тор-НП"), ФНПЦ НПО "Аврора" (системы управления движением "Корракс" и "Шерл") и ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор" (ОКР "Съемка-КУ" - системы управления движением гидрографического судна).

• Разработанные в диссертации методы прямого синтеза оптимальных цифровых регуляторов и пакет DiRECTSD применялись при создании комплексной навигационной системы для контейнеровоза "Montebello" в университете г. Росток (ФРГ).

Результаты диссертации и программное обеспечение используются при чтении лекций по курсу "Теория автоматического регулирования "для студентов специальности 1802.01 "Системы электроэнергетики и автоматизации судов", в дипломном проектировании, а также при подготовке аспирантов.

Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады на следующих конференциях: International Conference on Computer Methods for Control Systems (Szczecin, 1997); 6th Baltic Olimpiad on Automatic Control (Санкт-Петербург, 1998); IFAC Workshop on Control Applications in Marine Systems, (Fukuoka, 1998); 5th International Symposium on Methods, Models, Automation and Robotics, (Miedzyzdroje, Poland, 1998); 6th Symposium on Adaptive Control (Санкт-Петербург, 1999); IEEE International Symposium CACSD'99 (Hawai'i, USA, 1999); Conference on Process Control and Instrumentation, (Glasgow, 2000); 3rd IFAC Symposium on Robust Control Design, (Prague, 2000); Conference on Transportation Systems (Braunschweig, 2000); 13th International Conference on Process Control (Strbske Pleso, 2001); 9th Mediterranean Control Conference (Dubrovnik, 2001); IFAC Conference on Control Applications in Marine Systems, (Glasgow, 2001); Conference on Control, Automation and CACSD (Glasgow, 2002); Всероссийская научая конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (Москва, 2002); IV конференция молодых ученых "Навигация и управление

движением" (Санкг-Петербург, 2003); 11th IEEE Mediterranian Conference on Control and Automation (Rhode, 2003); 4th IFAC Workshops on Time-Delay Systems (Rocquencourt, 2003); V конференция молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2004); II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (Москва, 2004); IEEE Conference on Computer-Aided Control Systems Design CACSD'2004 (Taipei, 2004); IFAC Conference on Control Applications in Marine Systems CAMS'2004 (Ancona, 2004); 43rd IEEE Conference on Decision and Control (Bahama Isl., 2004); VI конференция молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2005); 44th Conference on Decision and Control and ECC (Sevilla, 2005); 11th IEEE Conference MMAR'2005 (Miedzyzdroje, 2005).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 47 научных работах, в том числе в 4 разделах в монографиях, 16 научных статьях и 27 докладах на российских и международных конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация представлена в форме рукописи, состоящей из введения, 8 глав, заключения и приложения. Общий объем основной части работы составляет 276 страниц, диссертация содержит 95 рисунков, 4 таблицы и список использованных источников из 383 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана общая характеристика основных результатов работы, определена их научная новизна и практическая ценность.

В первой главе приводится постановка рассматриваемых в диссертации задач прямого синтеза оптимальных ИСУ. В разд. 1.1 описывается так называемая стандартная импульсная система (рисунок 1) которая используется в качестве базовой структуры. Непрерывный объект управления V представляет собой линейную стационарную систему, состоящую из конечномерных элементов и звеньев чистого запаздывания, и описывается операторными уравнениями

е = Vnw + Vnu, у = TuW + V22U ,

Рисунок 1 - Стандартная импульсная система управления

где "Рц (%,з = 1,2) - некоторые операторы, которым можно сопоставить передаточные матрицы Здесь V) - внешнее возмущение; е - управляемый сигнал (сигнал ошибки); м - сигнал управления; 2/ - измеряемый сигнал. Предполагается, что сигналы у пи - скалярные* сигналы е ж т могут быть векторными.

Идеальный импульсный элемент выполняет квантование сигнала у с постоянным периодом Т. Регулятор /С включается по принципу отрицательной обратной связи и описывается дискретной передаточной функцией К(() от оператора запаздывания С- Экстралолятор И восстанавливает непрерывный сигнал и(Ь) на основе последовательности {иц} по закону

и(Ь) = ^ - кТ) , < < < (¡Ь + 1 )Т,

¿=о

где &,-(£) (г = 0,..., пл) - функции ограниченной вариации, отличные от нуля только на интервале 0 < 4 < Т. Квантование сигналов по уровню в преобразователях не учитывается.

В разд. 1.2 выполнен обзор точных методов исследования ИСУ в непрерывном времени, указаны их достоинства и недостатки. Показано, что наибольшими теоретическими возможностями обладает конечномерная частотная теория на основе концепции ППФ, которая служит теоретической базой настоящей работы.

В разд. 1.3 рассматриваются различные постановки детерминированных задач оптимизации ИСУ. Простая Иг-задача сводится к минимизации функции потерь

т

== X) N112 «=1

Здесь т - размерность вектора го, а обозначает сигнал выхода при им-

пульспом входе Wi(t) = е; S(t), где ej - вектор стандартного базиса пространства К."1 с единичной ¿-ой компонентой, и S(t) - единичный импульс (дельта-функция Дирака). Через || • ||г обозначена £г-норма непрерывного сигнала.

Обобщенная И^-задача представляет собой минимизацию усредненной величины

1 гт П»

TJ о

где £iT(i) обозначает сигнал выхода при импульсном входе WiT(t) = ej J(i — г).

В разд. 1.4 поставлена стохастическая задача при действии на вход устойчивой ИСУ единичного центрированного белого шума. Известно, что в этом случае на выходе устанавливается периодически нестационарный случайный процесс. Дисперсия выхода

We(<) = E{e'(i)e(<)},

где Е{-} - символ математического ожидания, является Т-периодической функцией времени. Поэтому в качестве характеристики поведения системы в непрерывном времени естественно выбрать среднюю дисперсию ve

1 гт

J = ve — — I v£(t) dt -» min . 1 J о

Доказано, что эта задача эквивалентна обобщенной "Нг-задаче (1).

Показано, что все рассмотренные детерминированные и стохастические задачи сводятся к минимизации квадратичных функционалов одинаковой структуры:

J = Ä/rX(07.-*min> (2)

где интегрирование выполняется вдоль единичной окружности Г против часовой стрелки, и

Х{С) — М'АМ - ВМ - М*В* + Е. (3)

Здесь и далее для сокращения записи аргументы функций опускаются, если это не вызывает путаницы. Верхний индекс * обозначает эрмитово сопряженную функцию (такую что F*(Q = F'(C-1)); Л(С) = ■<4*(0> -ß(C) и Е(() = Е*(С) ~ рациональные функции от С, и

М(С) = К(О [1 + 022(0 к«)]-1

- функция, зависящая от выбора регулятора. Кроме того, 1 °°

¿МО = у P22{s + kM)II(s + kjujs)

к=—оо е~,т=£

где H(s) = e_4<r Jq e~st hi (t) dt - передаточная функция экстраполято-pa, и uia = 27г/Г.

Единая форма функционала качества дает возможность построить общее решение задачи (2), из которого все решения специальных задач выводятся как частные случаи.

В разд. 1.5 представлены различные подходы к решению минимаксной задачи при входных сигналах, ограниченных по £2-норме. Рассматривается понятие ассоциированной Пса-нормы (ЛН^-нормы) ИСУ, которая определяется как "Ноо-норма передаточной функции G(Q вспомогательной дискретной системы, такой что

G'(0G(0=X. (4)

Доказано, что при Pn(s) = 0 эта норма совпадает (с точностью до постоянного множителя) с классической ^-индуцированной нормой (или "Н со-нормой) ИСУ, широко используемой в литературе. Однако, в отличие от последней, ATix,-норма относительно просто вычисляется для широкого класса систем, включая системы с запаздыванием. Показано, что введенная норма может служить мерой робастной устойчивости ИСУ при аддитивной или мультипликативной неопределенностях в модели объекта.

Во второй главе разработан полиномиальный метод минимизации квадратичных функционалов общего вида (2). Известное решение (метод Винера-Хопфа), предусматривает двухступенчатую процедуру синтеза оптимального регулятора, в ходе которой сначала строится оптимальная устойчивая функция-параметр Ф, а затем по ней определяется соответствующий оптимальный регулятор

<5>

Здесь взаимно простые полиномы п(£) и d(() суть числитель и знаменатель функции

а полиномы ао(С) и Ьо(С) определяются как решение полиномиального уравнения аоп + Ьо(£— X. При этом простому регулятору (например, усилителю) может соответствовать достаточно сложная функция Ф, поэтому при вычислениях по формуле (5) старшие коэффициенты числителя и знамена,-теля должны обнулиться. При практических вычислениях за счет накопления вычислительных ошибок этого не происходит, поэтому такой алгоритм малопригоден для автоматизированного проектирования. В диссертации предлагается эффективный путь преодоления этих трудностей с помощью аппарата полиномиальных уравнений.

В разд. 2.1 выполнен обзор полиномиальных методов синтеза стационарных систем (Л.Н. Волгин, К. Ав1;гот; V. КиСега, М. вптЫе), которые позволяют сразу находить числитель и знаменатель оптимальной передаточной фуакции К (С) без промежуточного вычисления Ф. Однако все известные решения существенно используют информацию о конкретной структуре функций А, В и Е в (3) и поэтому неприменимы в задачах оптимизации ИСУ.

В разд. 2.2 кратко излагаются известные результаты по стабилизации ИСУ, используемые в дальнейшем.

В разд. 2.3 дано общее полиномиальное решение задачи минимизации функционалов вида (2) при следующих допущениях-.

1) существует факторизация (Р (сГ)2 А = Л*Л, где Л(£) - рациональная функция, все нули и полюса которой устойчивы (расположены вне единичного круга в плоскости С);

г/Л №)2В* ~{(1')2<1аоА

2) функция Ь{С) = -—--——--не имеет полюсов на единичной

окружности.

Для построения полиномиальных уравнений, определяющих оптимально,

ный регулятор, используется представление Ь(С) = , где п.£,(£) - поли-

Чь

ном, (£) - устойчивый полином и ¿£(С)_ строго неустойчивый полином. Далее строятся пары взаимно простых полиномов {п„(£), ¿0(С)} и {пь(С)> <Ш}> удовлетворяющие равенствам

(1 _ па п __ щ Л йа ' Л ¿ь

и вспомогательные функции

Доказано, что функции 1л- и Уд - полиномы, и при выполнении допущениий 1-2 существует единственное решение (Лг(£), .О(С), П(С)} системы полиномиальных уравнений

dZN + Ild+na = Улг, .<££>-П<*£пь = Уо, при котором deg П < deg (лемма 2.3). Основной результат второй главы сформулировал в виде следующей теоремы.

Теорема 2.2. Пусть выполняются допущения 1-2. Тогда

1) минимум функционала (2) на множестве стабилизирующих регуляторов достигается при выборе Л"ор((^) = , где полиномы и 1?(С)

и

удовлетворяют системе полиномиальных уравнений (7) при deg П < <11;

2) минимальное значение функционала (2) равно

т - 1 I П1Г _ £5*] (1С

А С ;

3) корни характеристического полинома замкнутой системы принадлежат множеству корней полинома Д(С) == (¿¿па , где полином п\(() _ числитель функции Л (С).

Полученное решение справедливо для любого функционала вида (2), причем для каждой конкретной структуры можно заранее определить степени полиномов N и О и отношение йъ!йа непосредственно по исходным данным.

Такой подход впервые применяется для решения задач синтеза ИСУ. В отличие от известного алгоритма оптимизации, он не требует вычисления полиномов йо и Ьо и позволяет существенно повысить грубость процедуры синтеза при вычислениях с конечной точностью.

В разд. 2.4 рассмотрена взвешенная задача минимизации

Зв = £х{0 40 7 ш1п' (8}

71 72*

где £(С) = " ° - рациональная весовая функция, положительно определенная на единичной окружности; п£Г(С) и (¿„(С) - взаимно простые

устойчивые полиномы. Показано, что в задаче (8) оптимальный регулятор Ка opt (С) = -j-jf- имеет вложенную структуру:

АЖ) = naN + Vd£na, (9)

Da( О = naD-Vdtnb, (10)

где полиномы N(Q, D(Q и П(£) соответствуют решению невзвешенной задачи (при £(£) = 1), а полиномы П„(£) и V(£) определяются решением полиномиального уравнения

dlV + Iiada = nna,

при котором deg П^. < deg d^.

Во третьей главе разработан полиномиальный метод решения ЛНоо-задачи для ИСУ на основе принципа равномерности (Н. Kwakernaak, М. Grimble) и решения взвешенной квадратичной задачи (8). .Д^оо-задача, поставленная в главе 1, сводится к минимизации ЭДоо-нормы передаточной функции G(C) вспомогательной дискретной системы (4) или, что равносильно,

JoО = Н-Уlloo = sup Х(С) -f. mill. ICM

Согласно принципу равномерности, ищется такое решение (регулятор, число А и функция Е), при котором АГ(С) = А2 и функционал (8) достигает минимума.

В разд. 3.1 доказано, что для любого регулятора ¡¡ХЦоо > Ад = Н^Цю, где

ВВ* _ ф .

Здесь ф(£) = fli*(C) - симметричный квазиполином (функция, возможно имеющая полюса только в точке £ = 0), а dz (С) ~~ полином. Структура параметра Ф, при котором обеспечивается выполнение принципа равномерности, определяются следующей теоремой.

Теорема 3.1. Пусть выполняются допущения 1-2 и А2 > А§. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) функция-параметр Ф минимизирует функционал (8) и обеспечивает выполнение условия ЗС(С) — А2;

2) функция-параметр имеет вид

где полиномы д(С) и /(С) удовлетворяют системе полиномиальных уравнений

<7х<7*х = А2<12<1*2-ф, (12)

+ = 7хпь, (13)

причем полином <Т\{С) - устойчивый и с1ей / < deg

Устойчивые взаимно простые полиномы х(С) и ч(С) в (13) выбираются так, что

ЧЧ*'

Знак используется для обозначения полинома с обратным порядком коэффициентов по отношению к исходному: /(£) = /(С-1) Показа-

но, что функция 2, соответствующая оптимальному решению, имеет вид

В разд. 3.2 доказано, что при А2 > Ад существует решение системы (12)-(13) такое что с^ / < deg (решение полного порядка). Оптимальная функция Ф определяется в разд. 3.3 следующей теоремой в зависимости от свойств решения {/\0, г)\а, стаЛ этой системы при А = Ао.

Теорема 3.5. а) Нормальный случай. Если полином Д, имеет устойчивый корень, то при некотором А2 > А§ существует решение системы (12)—(13), такое что / - строго неустойчивый полином wdcg / < deg (решение пониженного порядка). При выборе Ф (11) замкнутый контур устойчив и ||Х||

оо —

А2.

б) Особый случай. Если полином Д0 - строго неустойчивый,

то при выборе функции Ф = -^— замкнутый контур устойчив и

¿1 Л/л0 X

\\X\U = А2о-

В нормальном случае существует единственный оптимальный регулятор, соответствующий наибольшему А, при котором существует решение пониженного порядка. В особом случае существуют два различных оптимальных регулятора, соответствующие двум факторизациям (12) с разными знаками.

В разд. 3.4 показано, что передаточная функция ЛТ/со-оптимального регулятора имеет вид (теорема 3.9)

= (14)

иа^оо

где полиномы N^(0 и Ам(0 удовлетворяют уравнениям

<*2-ЛГ«, + /сгл»7<#п0 = /хУк, -/ахП^Щ = /хУЬ.

При известном / вычисление ЛГ«, и Д» сводится к элементарным операциям с полиномами. Показано, что регулятор (14) имеет вложенную структуру, аналогичную (9)-(10).

В разд. 3.5 для синтеза регуляторов в случае комплексных требований к системе (точность, робастпость) предлагается использовать оптимизацию по смешанному А?{х-критерню

=£[рХ2{с)+(1 ■р)х{<) Е(с)] т т1п • (15)

где Хг(С) - функция вида (3), соответствующая некоторой квадратичной задаче (детерминированной или стохастической).

При р — 1 минимизация дает оптимальный регулятор в квадратичной задаче, а при р = 0 - оптимальный регулятор в -4'Нос-задаче, выбор р € [0,1] позволяет достигнуть компромисса между разными требованиями. Сначала требуется решить .А'Ноо-задачу и найти затем при известной Е функционал (15) может быть представлен в виде (2) и оптимальное решение строится с помощью результатов главы 2.

В четвертой главе на основе общих результатов глав 2 и 3 рассмотрены различные задачи оптимизации ИСУ при детерминированных возмущениях. В разд. 4.1 и разд. 4.2 для одноконтурной следящей системы построены полиномиальные уравнения, определяющие передаточные функции "Н2-и «Л'Нсо-оптимальных регуляторов, и получены явные выражения, позволяющие найти степени их числителя и знаменателя непосредственно по исходным данным.

Исследована структура оптимального регулятора и показано, что устойчивые полюса функции (6) и "отражения" ее неустойчивых полюсов от единичной окружности становятся (за исключением особых случаев) корнями

характеристического уравнения оптимальной замкнутой системы. Поэтому в ряде задач оптимизации ИСУ с интегрирущими звеньями в контуре оптимального стабилизирующего регулятора не существует.

В разд. 4.3 рассматриваются следящие ИСУ с "упреждением" входного сигнала на некоторое время г > 0. Системы этого класса используются для управления роботами, автомобилями в условиях бездорожья, подводными и летательными аппаратами, огибающими препятствия. Использование "будущей" информации (preview) позволяет во многих случаях существенно повысить качество слежения.

В диссертации предложено рассматривать задачи этого класса в рамках структуры, изображенной на рисунке 2. Здесь R - генератор сигнала, Q -

Рисунок 2 - Стандартная система с упреждением входного сигнала

желаемое преобразование и V - весовая функция. В этой схеме присутствует физически нереализуемый оператор упреждения "Рт, поэтому невозможно применить одностороннее преобразование Лапласа. Используя смещение начала отсчета времени на целое число интервалов квантования, можно перейти к эквивалентной стандартной ИСУ, включающей только физически реализуемые элементы, в том числе звенья чистого запаздывания (рисунок 3). Здесь

Рисунок 3 - Структурная схема эквивалентной системы использовано представление г = 7Т — О, где 7 - целое число и 0 < в < Т.

Поскольку эта система представлена в виде стандартной ИСУ (рисунок 1), для синтеза оптимального регулятора можно применить все методы, разработанные в главах 2 и 3.

Исследована зависимость Лтп(т) минимального достижимого значения функционала (2) от времени упреждения т. Для случая Pu(s) = 0, который встречается в приложениях, показано (теорема 4.6), что для любого О < в < Т существует предел

Je = lim Jmin(jT - в) = Jo + -ir <f U(C, в) U'(C, в)~, (16)

7-x» ¿7TJ Jr С

где Jo = const, а функция U(£, 0) определяется неустойчивыми полюсами объекта в контуре и равна нулю для устойчивого объекта. Таким образом, при увеличении интервала упреждения зависимость Jmi„(r) стремится к Т-периодической функции.

В разд. 4.4 получено решение задачи синтеза оптимального корректирующего регулятора K\(Q, который находится вне замкнутого контура и служит для повышения точности системы. Задачи этого класса рассматриваются в рамках стандартной ИСУ с двумя степенями свободы (рисунок 4). Здесь пе-

Рисунок 4 - Стандартная ИСУ с 2 степенями свободы

редаточпая матрица непрерывного объекта содержит нулевой блок, означающий, что регулятор К\ не охватывается контуром обратной связи. Доказано, что при P210(s) = gP2n(s), где д — const, минимум £г-нормы ошибки слежения в непрерывном времени не зависит от выбора регулятора Ко в контуре. Таким образом, существует возможность обеспечить нужные свойства контура (компенсация влияния возмущений, робастность) с помощью регулятора

Jio i а затем оптимизировать точностные характеристики системы, выбирая соответствующим образом К\.

Показано, что параметризация множества всех регуляторов Ki, допускающих устойчивую реализацию системы, имеет вид

«■M-sr^s;.'

где Ф0(С) ~ функция-параметр, соответствующая регулятору Ко в форме (5), а Ф1(0 - произвольная устойчивая функция.

Если p2io{s) = 9-Pill(s) и требуется минимизировать интеграл от квадрата ошибки, задача оптимального выбора К\ может быть сведена к минимизации квадратичного функционала вида (2) относительно устойчивой функции Ф(0 — Ф1 + д(ао + Фо), а сам оптимальный корректирующий регулятор определяется как

Kltvl{C)*=9j-qKo,

где полином Ь(£) - знаменатель функции JFTq (С) ? и А (С) - характеристический полином замкнутого контура.

Использование корректирующего регулятора позволяет снять ограничения, которые накладываются неустойчивыми полюсами объекта в задаче с упреждением входного сигнала. При этом вместо (16) имеем J$ = Jq = const.

В разд. 4.5 исследуется особый случай, когда требуется отслеживать незатухающий сигнал, например, единичный скачок. Для стандартной ИСУ получены условия, при которых обеспечивается не только нулевое среднее значение ошибки, но и отсутствие скрытых колебаний. Доказано, что если задача разрешима, можно использовать общее полиномиальное решение, полученное в главе 2, с незначительными модификациями.

В разд. 4.6 рассмотрена задача оптимального переоборудования (дискретизации) существующего непрерывного регулятора с учетом поведения замкнутой системы. Показано, что она может быть решена как частный случай задачи оптимального слежения, при этом допустимое решение существует всегда, даже при наличии интегрирующих звеньев в контуре управления.

В пятой главе рассмотрены задачи оптимизации ИСУ при случайных возмущениях. В. разд. 5.1 и разд. 5.2 для одноконтурной системы построены полиномиальные уравнения, определяющие числитель и знаменатель оп-

тимальных регуляторов в стохастической и ЛН0о-задачах, получены явные выражения для их степеней.

Показано, что в некоторых задачах при наличии интегрирующих звеньев в контуре управления оптимального стабилизирующего регулятора не существует. Для системы, изображенной на рисунке 5, такой случай имеет место при наличии интеграторов в блоках и -Рз- В то же время оказывается, что интеграторы в блоке Р2 не влияют на разрешимость задачи.

Рисунок 5 - Структурная схема системы стабилизации

В разд. 5.3 получено решение стохастической задачи управления с упреждением входного сигнала. Показано, что при любом 0 < в < Т существует предел ,

Je = lim Jmin(7T - 9) = Jö(ö) + U(С) ET(f) Щ-,

7-К» ¿К] Jr Q

где J0(6) - функция от в, а функция U(() не зависит от в и определяется неустойчивыми полюсами объекта в контуре (для устойчивого объекта U(Q = 0). Таким образом, при увеличении т зависимость Ут<п(т) стремится к Т-периодической функции.

В шестой главе предлагается новый поисковый метод синтеза квазиоптимальных регуляторов пониженного порядка при модальных ограничениях. В разд. 6.1 анализируются проблемы, связанные с практической реализацией оптимальных регуляторов, и формулируется задача синтеза квазиоптимальных регуляторов. Для обеспечения устойчивости и качества системы задается область П допустимого расположения корней rji(i = 1,..., deg Д) характеристического полинома Д(С) замкнутого контура. Таким образом, рассматривается задача

^(C) = argminJ(K), (17),

где J{K) - некоторый функционал, а ЗС - множество допустимых регуляторов:

X — {К : ord К < £; щ е ii Vi} .

Здссь ог^ К означает порядок передаточной функции К(С) (наибольшую из степеней ее числителя и знаменателя).

В разд. 6.2 предложен двухуровневый поисковый алгоритм решения задачи (17), основанный на параметризации множества всех Д-регуляторов, обеспечивающих заданный характеристический полином замкнутой системы

Д(С) = an + bd, (18)

где п(С) и d(C) - полиномы, фигурирующие в (6); а(£) и b(Q - числитель и знаменатель передаточной функции регулятора K(Q. Как следует из результата V. KuCera, множество Д-регуляторов порядка не выше I может быть параметризовано в виде

Здесь полиномы ад (С) и Ьд(С) строятся как решение уравнения (18), минимальное относительно а при deg d > deg п, или минимальное относительно Ь при. deg d < deg п. Кроме того, £ - нуль или полином степени не выше I — р, где р = max{deg n, deg d} - порядок объекта в контуре управления. Таким образом, предлагаемый далее метод применим при £ > р — 1. Так как число р во многих задачах меньше порядка расширенного объекта (включающего модели возмущений и весовые функции), удается снизить сложность регулятора в сравнении с оптимальным.

Поскольку фактически функционал J(K) зависит от выбора Д и £ и может быть записан в виде J(A, £), для поиска решения (17) предлагается использовать двухуровневый алгоритм. На верхнем уровне корни полинома Д варьируются внутри области £2, а ни нижнем - при выбранном Д строится оптимальный полином

Ш = arg ^ min (Щ

deg £<i-P

Новизна предлагаемого подхода заключается в том, что 1) для случая, когда заданы предельные степень устойчивости и степень колебательности

замкнутой системы, построена параметризация множества допустимых полиномов Д через вектор параметров, варьируемых в интервале [0,1]; это позволяет отказаться от локальной оптимизации (неэффективной в рассматриваемых задачах) и применить методы глобального поиска; 2) для задач с квадратичными функционалами вида (2) предложен эффективный полиномиальный метод решения задачи (20).

В разд. 6.3 для эффективного поиска на верхнем уровне алгоритма предложено варьировать коэффициенты характеристического полинома системы в плоскости переменной г = С-1, где область устойчивости (открытый единичный круг) конечна:

А(я) = Д(г~г) *е+р = 1]> + П(*2 + гн* + Ги) • (21) ¡=1 «=1

Здесь ГП1 и ГП2 - целые числа, такие что ггц + 2гп2 = £ + р. Для случая, когда заданы предельно допустимые степень устойчивости а и степень колебательности /3 замкнутой системы (усеченный сектор в плоскости в), множество коэффициентов всех допустимых (а, /?)-полиномов первой степени в (21) параметризуется в виде

+ (д{ - , р» е [о, 1],

где д. = -Еа, & = Е0, Еа = е_вГ) Ер = е-"/'9, Е0 = тт{Еа, Ер). Аналогично строится параметризация множества всех пар (гц,г2{) коэффициентов (а, /3)-полиномов второй степени:

Гц = ги + Ри (Ги ~ Пи), рн е [0,1], Г* = Гц + р-н (г2,- - г2{), € [0,1],

где г2; = -ЕаЕй, Тц = , г1; = -г2/Еа - Еа и

г = / Т2/Е° + Е°' Г2<Е},

Ги \ -2^С08 (-/3 1п г2 > Щ .

Таким образом, множество всех допустимых (а, /?)-полиномов (21) может быть параметризовано через вектор независимых параметров, изменяющихся в интервале [0,1]. Это позволяет использовать на верхнем уровне алгоритма

методы глобальной оптимизации в гиперпрямоугольнике без дополнительных нелинейных ограничений.

В разд. 6.4 рассматриваются особенности реализации предложенного алгоритма для задач с функционалами вида (2), которые с использованием (19) преобразуются к виду

¿с

С '

где .А(С)| В (С) и -Е(С) ~ рациональные функции. Если функция А не имеет полюсов на единичной окружности, существует факторизация А = ЛЛ*, где функция Л(£) - устойчива. При этом задача (20) эквивалентна задаче

где И'(С) и У(С) - известные устойчивые функции.

Существующие решения задачи (22) на множестве полиномов £ ограниченной степени весьма трудоемки в вычислительном отношении. В диссертации предлагается новый алгоритм, который сводит задачу к решению единственного полиномиального уравнения. Функции ТУ (С), ТУ* (С) и допускают представление в виде

где к - целое неотрицательное число; (пш(С), {"«(С)» «¿»(С)}» и

{«,„(<)> <Ш> ~ пары взаимно-простых полиномов, причем полиномы <1Ш, и (1Ю не имеют корней в точке С = 0. Решение задачи (22) дает следующая теорема.

Теорема 6.3. Пусть и У(£) - устойчивые функции, для кото-

рых справедливо представление (23). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) Полином £(С) является решением задачи оптимизации (22) на множестве полиномов степени не выше ц;

2) Тройка полиномов {£(£), тг(С), 0(0} является решением полиномиального уравнения

£ - - = ПиП^, (24)

23

причем с!ё§ тг < с^ (¡,4•

Доказало, что уравнение (24) является сепарабельным, т.е., коэффициенты полиномов £ и 7Г могут быть найдены независимо от коэффициентов 0В разд. 6.5 рассмотрен вопрос о синтезе квазиоптимальных регуляторов с дополнительными ограничениями (заданный статический коэффициент усиления системы, полная компенсация влияния постоянных возмущений). Показано, что в этих случаях предлагаемый метод также применим, но число степеней свободы уменьшается (минимальный порядок регулятора, который можно получить этим методом, увеличивается).

В седьмой главе приводится описание разработанного автором пакета

ВтЕСТЭБ для среды МАТЬАВ, предназначенного для анализа и оптимального синтеза ИСУ с учетом их поведения в непрерывном времени. В пакете на основе объектно-ориентированных возможностей МАТЬАВ реализованы:

1) основные операции алгебры полиномов и квазиполиномов; алгоритмы решения полиномиальных уравнений и систем полиномиальных уравнений;.

2) точные алгоритмы анализа ИСУ в непрерывном времени при детерминированных и случайных возмущениях;

3) полиномиальные алгоритмы синтеза оптимальных цифровых регуляторов при детермирнированных и случайных возмущениях, разработанные в главах 2, 4, 5;

4) полиномиальные алгоритмы решения .АНю-задачи для ИСУ при детерминированных и стохастических возмущениях, разработанные в главах 3-5;

5) поисковые алгоритмы синтеза квазиоптимальных регуляторов пониженного порядка, предложенные в главе 6.

В восьмой главе приведены примеры применения разработанных методов к задачам управления морскими подвижными объектами.

В разд. 8.1 на примере задачи синтеза регулятора курса для фрегата проекта 11356 проведено сравнение цифровых законов управления, построенных с помощью предлагаемого подхода и приближенных методов.

Качество стабилизации на волнении оценивается по величине средней дисперсии угла рыскания г<1(> и средней дисперсии сигнала управления (желаемого угла перекладки руля 5) Уи. При заданных характеристиках волнения на номинальной скорости 16,5 м/с оптимальный регулятор, минимизирующий

критерий

J = v^ + p'2vu, (25)

при р = 0,2 и Т = 1 с, обеспечивает среднеквадратическую ошибку стабилизации <7у, =. 0,57° и среднеквадратическое значение угла поворота руля сг$ = 1,42°.

Цифровые регуляторы, полученные приближенными методами - в результате дискретизации оптимального непрерывного регулятора и синтеза по дискретной модели системы - в установившемся режиме уступают оптимальному регулятору по точности стабилизации не более 1%. Однако при изменении курса в системах с такими регуляторами присутствуют сильные колебания скорости перекладки руля (сигнала <15/в£), что приводит к вибрациям и износу исполнительного механизма (рисунок б). Регулятор, полученный с помощью прямого метода синтеза, не дает этого нежелательного эффекта. Это

Прямой синтез

¿5/(И

4

2 о -2 -4

50

1, С

Переоборудование Дискретизация

100

4

2 о -2 -а

50

100

50 Ъс

100

100

ЕЕ

Рисунок 6 - Переходные процессы при повороте на 10°

говорит о том, что в данной задаче приближенные методы дают существенно худшие результаты и необходимо использовать прямой синтез.

В разд. 8.2 рассмотрена задача управления гидрографическим судном ГС-439 по курсу в условиях нерегулярного волнения интенсивностью 2 и 3 балла. Оптимальный регулятор, минимизирующий критерий (25) при р = 0,5 и Г - 0,5 с, имеет порядок 4 и обеспечивает а^ < 1,0° и < 1,35° на всех рабочих режимах. Полученный в результате численного поиска квазиоптимальный регулятор 2-ого порядка, полностью компенсирующий влияние постоянных (ветровых) возмущений, обеспечивает < 1,02° и а& < 1,38°, т.е., увеличение значения 1 в сравнении' с оптимальным решением не превышает 4%. Для повышения точности системы предлагается использовать комбинированное управления. Построенный корректирующий регулятор существенно сокращает время переходного процесса (с 390 до 90 с при повороте на 90°) и перерегулирование (с 15% до 1%).

В разд. 8.3 рассматривается задача стабилизации на курсе полупогруженного катера "ТЬр-НП", движущегося на глубине 5 м в условиях морского волнения интенсивностью 2 балла. С помощью разработанных в диссертации методик построены оптимальный регулятор, квазиоптимальный регулятор пониженного порядка, компенсирующий влияние постоянных возмущений, и корректирующий регулятор. Система обеспечивает среднеквадратическую ошибку стабилизации не более 1,5° при всех углах встречи с волной. В системе с комбинированным управлением поворот на 90° выполняется за 125 с с перерегулированием не более 1%.

Приведенные примеры показывают эффективность разработанных в диссертации методов синтеза оптимальных и квазиоптимальных регуляторов в практических задача« управления техническими средствами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В работе получены следующие новые теоретические и практические результаты, которые могут быть использованы при решении задач цифрового управления непрерывными динамическими объектами:

1) разработан полиномиальный подход к задачам синтеза оптимальных импульсных систем, основанный на совместном использовании концепций

ППФ и теории диофантовых полиномиальных уравнений;

2) построено полиномиальное решение задачи минимизации квадратичного функционала общего вида, к которому сводятся рассматриваемые детерминированные и стохастические задачи для ИСУ;

3) построена система нелинейных полиномиальных уравнений, определяющих числитель и знаменатель оптимального регулятора в уШоо-задаче для ИСУ;

4) предложена смешанная задача "Нг/Л'Нсо-оптимизации ИСУ и показано, что она может быть сведена к решению квадратичной задачи;

5) построены полиномиальные уравнения в детерминированной, стохастической и Д'Иоо-задачах для одноконтурной системы и получены явные выражения для степеней числителя и знаменателя оптимального регулятора;

6) получены полиномиальные решения детерминированной и стохастической задач для ИСУ при упреждающем входном сигнале (ргешеш-управление); исследованы предельные возможности повышения точности системы при увеличении интервала упреждения;

7) построено полиномиальное решение задачи синтеза оптимального корректирующего регулятора, предназначенного для повышения точности ИСУ в непрерывном времени без изменения свойств замкнутого контура;

8) получено решение задачи оптимального переоборудования непрерывного регулятора, основанное на сведении структурной схемы к соответствующей стандартной ИСУ и применении разработанных в диссертации полиномиальных методов;

9) предложен двухуровневый поисковый алгоритм синтеза квазиоптимальных регуляторов пониженного порядка, обеспечивающий расположение всех корней характеристического полинома замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости;

10) при ограничениях на степень устойчивости и степень колебательности замкнутой системы построена параметризация множества всех допустимых характеристических полиномов заданного порядка через вектор независимых параметров, варьируемых в интервале [0,1];

11) получено полиномиальное решение задачи квадратичной оптимизации на множестве полиномов заданной степени, исследованы свойства этого решения;

12) построены параметризации множества всех регуляторов, которые обеспечивают заданный характеристический полином при дополнительных ограничениях (фиксированный статический коэффициент усиления замкнутой системы, компенсация воздействия постоянных возмущений);

' 13) разработан пакет DlRECTSD, предназначенный для анализа и оптимального синтеза ИСУ в среде MATLAB;

14) с помощью разработанных методов выполнен синтез оптимальных и квазиоптимальных цифровых регуляторов для морских подвижных объектов.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Rosenwasser Е., Polyakov К., Lampe В., Entwurf optimaler Kursregler mit Hilfe von Parametrischen Ubertragnngsfunktionen // Automatisierungstechnik, Bd. 44, No. 10, S. 487-495, 1996.

2. Rosenwasser E., Polyakov K., and Eampe В., Frequency domain method for

optimization of time-delayed sampled-data systems // Automatica, vol. 33, no. 7, pp. 1387-1392, 1997.

3. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Robust sampled-data control systems design on basis of parametric transfer function method // Proc. Int. Conf. on Computer Methods for Control Systems, Szczecin, Poland, pp. 15-21, December 1997.

4. Polyakov K. Y., Directer Entwurf mit Polynomverfahren // in E. Rosenwasser and B. Lampe, Digitale Regelung in kontinuerlicher Zeit, - pp. 455-482. Stuttgart: Teubner, 1997.

5. Polyakov K., Direct polynomial design of sampled-data control systems // Preprints 6th BOAC, St. Petersburg, Russia, pp. 11-15, 1998.

.6. Rosenwasser E., Polyakov K., and Lampe В., Optimal discrete filtering for time-delayed systems with respect to mean-square continuous-time error criterion // Int. J. Adapt. Control Signal Process, vol. 12, no. 5, pp. 389-406, 1998.

7. Polyakov K., Rosenwasser E., Lampe В., and Majohr J., Direct robust sampleddata marine control system design on basis of parametric transfer function method // Proc. IF AC Workshop Control Applications in Marine Systems, Fukuoka, Japan, pp. 367-370, 1998.

8. Polyakov К., Rosenwasser E., and Lampe В., Direct optimal design of digital control tracking system with neutral plants // Proc. 5. Int. Symp. Methods Models Autom. Robotics, vol. 2, Miedzyzdroje, Poland, pp. 433-436, 1998.

9. Поляков К. Ю., Алгоритм синтеза оптимальных цифровых регуляторов на основе метода параметрических передаточных функций // Изв. РАН, Теория и системы управления, № 3, с. 32-39, 1998.

10. Поляков К. Ю., Полиномиальный синтез цифровых систем управления непрерывными объектами. I. Квадратичная оптимизация // Автоматика и телемеханика, № 10, с. 76-89, 1998.

11. Поляков К. Ю., Полиномиальный синтез цифровых систем управления непрерывными объектами. И. Робастная оптимизация // Автоматика и телемеханика, № 12, с. 94-108, 1998.

12. Розенвассер Е. Н., Поляков К.. Ю., Оптимальная дискретная аппроксимация непрерывных законов управления // Материалы научно-технической конференции, посвященной 100-летию СПбГМТУ, с. 105-110,

1999.

13. Rosenwasser Е., Polyakov К., and Lampe В., Application of Laplace transformation for digital redesign of continuous control systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-44, no. 4, pp. 883-886, 1999.

14. Rosenwasser E., Polyakov K., and Lampe В., Comments on "A technique for optimal digital redesign of analog controllers" // IEEE Trans. Contr. System Technology, vol. CST-7, no, 5, pp. 633-635, 1999.

15. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Associated "HM-problein for sampled-data systems // Proc. 6th Symposium on Adaptive Control, St. Petersburg, Russia, pp. 168-171, Sept. 1999.

16. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., DirectSD - a toolbox for direct design of sampled-data systems // Proc. IEEE Intern. Symp. CACSD'99, Kohala Coast, Island of Hawai'i, Hawai'i, USA, pp. 357-362, 1999.

17. Polyakov K. Y., Direct polynomial design methods // Ch. 18 in E. N. Rosenwasser and B. P. Lampe, Computer Controlled Systems: Analysis and Design with Process orientated Models, - pp. 409-434. London: Springer-Verlag,

2000.

18. Polyakov K. Y., DirectSD - a toolbox for direct design of sampled-data systems // in E. N. Rosenwasser and B. P. Lampe, Computer Controlled

Systems: Analysis and Design with Process orientated Models, - pp. 457-470. London: Springer-Verlag, 2000.

19. Polyakov K. Y., Assoziiertes "Ноо-problem // in E. Rosenwasser and B. Lampe, Algebraische Methoden zur Theorie der Mehrgrößen- Abtastsysteme, - pp. 235-254. Rostock: Universität, 2000.

20. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Polynomial solution to 7/oo-problem for sampled-data systems // Proc. Process Control and Instrumentation, Glasgow, July, 26.-28. 2000.

21. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Associated ^оо-problem for samplcd-data systems // Proc. 3rd IF AC Symposium on Robust Control Design, Prague, June, 21.-23. 2000. .

22. Lampe В., Polyakov К. Y., Rosenwasser E., Optimal digital control of transients in transportation systems // Proc. Conf. Transportation Systems, Braunschweig, Germany, pp. 677-682, 2000.

23. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Optimal design of 2-DOF sampled-data systems // Proc. 13th, Int. Conf. Process Control, Strbske Pleso, SK, June 2001.

24. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Quasioptimal low-order digital controller design using genetic algorithms // Proc. 9th Mediterranean Control Conf., Dubrovnik, Croatia, June 27-29, 2001.

25. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Polynomial ^^-optimization of sampled-data ship control systems in continuous time.// Proc. IF AC Conference on Control Applications in Marine Systems, Glasgow, UK, 2001.

26. Поляков К. Ю., Полиномиальный синтез оптимальных цифровых следящих систем. I. Квадратичная оптимизация // Автоматика и телемеханика, № 2, с. 149-162, 2001.

27. Поляков К. Ю., Полиномиальный синтез оптимальных цифровых следящих систем. II. Робастная оптимизация // Автоматика и телемеханика, К* 3, с. 94-107, 2001.

28. Поляков К. Ю., Синтез оптимальных цифровых систем с двумя степенями свободы // Автоматика и телемеханика, № 6, с. 85-94, 2001.

29. Поляков К. Ю., Полиномиальный синтез мпогомерных импульсных систем // Математическое моделирование информационных и технологиче-

ских систем. Сборник научных трудов. Выпуск 5. Воронеж. Воронежская государственная технологическая академия (ВГТА), с. 204-207, 2001.

30. Polyakov К. Y., Rosenwasser Е. N., and Lampe В., Optimal digital controllers for double integrator: Comparison of four methods // Proc. CCA and CACSD, Glasgow, UK, CACSDREG 1026, September 2002.

31. Поляков К. Ю., Розенвассер Е. Н., DirectSD 2.0 - пакет для анализа и прямого синтеза цифровых систем управления // Тр. Всеросс. науч. конф. "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB", Москва, с. 74-88, 28-29 мая 2002.

32. Поляков К. Ю., Предельные возможности сглаживания непрерывных случайных сигналов с помощью непрерывно-цифровых фильтров // Материалы IV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, ГНЦ "Электроприбор", с. 196-202, 2003.

33. Поляков К. Ю., Оптимальная цифровая фильтрация непрерывных сигналов в морских информационных системах // Материалы региональной научно-технической конференции "Кораблестроительное образование и наука - 2003", т. II, СПбГМТУ, с. 340-345, 2003.

34. Поляков К. Ю., Розенвассер Е. Н., Полиномиальный метод оптимизации многомерных дискретных и импульсных систем // Мехатро-ника, автоматизация, управление, № 5, с. 2-7, 2003.

35. Polyakov К., Rosenwasser Е., and Lampe В., Optimal open-loop tracking using sampled-data system with preview // Proc. 11th IEEE Mediterranian Conf. on Control and Automation, Rhode, Greece, June 2003.

30. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Design of optimal sampled-data tracking systems with preview // Proc. 4th IF AC Workshops on Time-Delay Systems, Rocquencourt, September 8-10, 2003.

37. Polyakov K., Rosenwasser: E., and Lampe В., Optimal sampled-data reconstruction of stochastic signals with preview // ASME Trans., Special Issue on Time-Delay Systems, no. 5, pp. 256-264, 2003.

38. Поляков К. Ю., Рыбинский В. О., Синтез оптимальных цифровых регуляторов для управления двойным интегратором // Материалы V конференции молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, ГНЦ "Электроприбор", с. 123-128, 2004.

39. Поляков К. Ю., Розенвассер Б. Н., Синтез оптимальных цифровых систем управления с помощью пакета DirectSDM // Тр. II Всеросс. науч. конф. "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLaB", Москва, с. 1116-1145, 25-26 мая 2004.

40. Polyakov К., Lampe В., and Rosenwasser Е., DirectSDM - a toolbox for polynomial design of multivaiiable sampled-data systems // Proc. CACSD'2004, Taipei, Taiwan, pp. 95-100, September 2004.

41. Ladisch J., Polyakov K., Lampe В., and Rosenwasser E., Optimal design of 2-DOF digital controller for ship course control system // Proc. IF AC Conference on Control Applications in Marine Systems (CAMS'2004), Ancona, Italy, July 7-9 2004.

42. Polyakov K;, Rosenwasser E., and Lainpe В., Optimal design of 2-DOF digital controller for sampled-data tracking systems with preview // Proc. 4Srd IEEE Conf. Decision Contr., Bahama Isl., USA, pp. 2352-2357, 2004.

43. Поляков К. Ю., Эквивалентные дискретные модели в задачах оптимизации цифровых систем управления // Проектирование и технология электронных средств, № 3, с. 2-7, 2004.

44. Поляков К. Ю., Вырожденные задачи ^-оптимизации дискретных систем // Автоматика и телемеханика, № 3, с. 20-33, 2005.

45. Поляков К. Ю., Рыбинский В. О., Оптимальная цифровая фильтрация непрерывных сигналов по критерию минимума средней дисперсии // Материалы VI конференции молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, ГНЦ "Электроприбор", с. 91-98, 2005.

46. Polyakov К., Rosenwasser Е., and Lampe В., Two-level numerical procedure for optimal design of digital modal controllers // Proc. 44th IEEE Conf. Decision Contr. and ECC, Sevilla, Spain, pp. 4481-4486, 2005.

47. Ladisch J., Lampe В., Polyakov K., and Rosenwasser E., Optimal design of a digital cascade track and course controller for ship navigation systems // Proc 11th IEEE Conf. MMAR, Miedzyzdroje, Poland, pp. 621-626, 2005.

ИЦ СПбГМТУ, Лоцманская, 10 Подписано в печать 28.03.2006. Зак. 3174. Тир.ЮО. 1,6 печ. л.

Среди современных технических срсдстн управления ведущая роль принадлежит цифровой вычислительной технике. Цифровые управляющие устройства (регуляторы) - это элементы дискретного действия, в которых используется квантование сигналов. В то же время законы движения большинства управляемых объектов описываются в непрерывном, времени. Таким образом, система в целом (непрерывный объект + цифровой регулятор) относится к классу непрерывно-дискретных или импульсных систем, и ее исследование требует применения специального математического аппарата.

На раннем этапе развития (до 90-х годов XX века) в теории импульсного управления доминировали приближенные подходы, основанные на сведении гибридной системы к стационарной непрерывной или дискретной модели, которая далее изучалась известными способами. Среди инженеров было широко распространено мнение о том, что при достаточно малых интервалах квантования изменением состояния системы между моментами квантования можно пренебречь, особенно с учетом фильтрующих свойств объектов управления. Неожиданное опровержение этого тезиса было получено при исследовании оптимальных импульсных систем. Выяснилось, что в некоторых случаях системы, оптимальные в моменты квантования, оказывались практически неработоспособными, причем уменьшение интервала квантования не приводило к улучшению качества управления в непрерывном времени. Этот факт доказал жизненную необходимость разработки точных ("прямых") методов анализа и синтеза импульсных систем управления (ИСУ), пригодных для применения в инженерной практике.

Адекватные средства математического описания ИСУ в непрерывном времени появились только в последние 15 лег. Новая теория цифрового управления, построенная на основе концепции параметрической передаточной функции (ППФ), позволила получить точное математическое описание импульсных систем в непрерывном времени и решить ряд теоретических и практических задач, которые до этого решались только приближенно. Однако при реализации предложенных в теории ППФ алгоритмов синтеза оптимальных регуляторов были выявлены существенные проблемы, затрудняющие их применение в системах автоматизированного проектирования.

В настоящей диссертационной работе предлагается новый подход к задачам прямого синтеза оптимальных ИСУ, основанный на совместном использовании концепции ППФ и теории полиномиальных уравнений. Он позволяет, с одной стороны, учесть поведение импульсной системы в непрерывном времени, и с другой стороны, преодолеть указанные проблемы вычислительного характера путем сведения задач оптимизации ИСУ к решению систем линейных и нелинейных полиномиальных уравнений. Разработанные алгоритмы синтеза реализованы в пакете DlRECTSD для среды MATLAB и успешно применялись для решения практических задач цифрового управления непрерывными динамическими объектами.

Автор хотел бы поблагодарить многих коллег, благодаря поддержке которых была написана эта работа. В первую очередь слова благодарности адресованы моему учителю профессору Е.Н. Розенвассеру. Совместная работа с ним па протяжении многих лет, обсуждения идей и результатов, временами переходящие в жаркие дискуссии, служили неиссякаемым источником для дальнейшего развития. Я благодарен также доценту В.О. Рыбинскому за интересные совместные работы в области оптимизации импульсных систем. Особенно я признателен профессору Б. Лямпе из университета г. Росток (Германия), который осуществлял информационную поддержку исследований в данном направлении и участвовал в подготовке многих совместных публикаций.

Я высоко ценю моральную и материальную поддержку работы со стороны руководства Санкт-Петербургского государственного морского технического университета в лице проректора но научной работе профессора Н.П. Шаманова.

Содержание

Актуальность проблемы.11

Основные результаты.15

Структура диссертации.17

1 Постановка задач прямого синтеза ИСУ 20

1.1 Импульсные системы управления.20

1.2 Методы исследования ИСУ в непрерывном времени (обзор) 30

1.3 Детерминированные задачи.41

1.4 Стохастическая задача.49

1.5 Минимаксная задача.55

1.6 Выводы.60

2 Полиномиальное решение задач квадратичной оптимизации 62

2.1 Полиномиальные методы в теории управления.62

2.2 Стабилизация замкнутого контура.65

2.3 Полиномиальное решение квадратичной задачи .69

2.4 Взвешенная квадратичная задача .82

2.5 Выводы.86

3 Полиномиальное решение ДТ^-задачи 88

3.1 Предварительные результаты.88

3.2 Нелинейные полиномиальные уравнения .92

3.3 Оптимальная функция-параметр.95

3.4 Прямой синтез регулятора .100

3.5 Смешанная К2/ЛН<У0 задача для ИСУ.104

3.6 Выводы.109

4 Оптимизация ИСУ при детерминированных входных сигналах 111

4.1 Оптимальная следящая ИСУ.111

4.2 ДТ/оо-огггимальпые следящие ИСУ.120

4.3 Оптимальные ИСУ с упреждением входного сигнала . . . 125

4.4 Оптимальные ИСУ с двумя степенями свободы.13G

4.5 Слежение при незатухающем входном сигнале.148

4.6 Задача переоборудования.158

4.7 Выводы.163

5 Оптимизация ИСУ при случайных входных сигналах 166

5.1 Т^-оптималытые ИСУ.166

5.2 ЛТ/оо-оптимальные ИСУ .178

5.3 Оптимальные ИСУ с упреждением входного сигнала . . . 183

5.4 Выводы.189

6 Синтез квазиоптимальных цифровых регуляторов 190

6.1 Введение.190

6.2 Двухуровневый алгоритм оптимизации.193

6.3 Параметризация множества допустимых характеристических полиномов.197

6.4 Полиномиальный метод минимизации квадратичных функционалов .208

6.5 Синтез регуляторов специальной структуры .215

6.6 Примеры .220

6.7 Выводы.225

7 Пакет DirectSD 3.0 для среды Matlab 227

7.1 Общее описание.227

7.2 Операции с полиномами и квазиполиномами.228

7.3 Анализ и оптимальный синтез ИСУ.233

7.4 Выводы.240

8 Технические приложения 241

8.1 Регулятор курса для фрегата пр. 11356 .241

8.2 Регулятор курса для судна ГС-439 .248

8.3 Регулятор курса для аппарата "Тор-НП" .263

8.4 Выводы.271

Заключение .273

Новые результаты.273

Дальнейшие исследования .276

Список использованных источников.277

А Приложение к главе 2 313

Б Приложение к главе 3 328

В Приложение к главе 4 340

Г Приложение к главе 5 359

Д Приложение к главе 6 375

Е Приложение к главе 8 390

Обозначения

Условные обозначения: Л равно но определению конец доказательства конец примера j мнимая единица, j = \/—Т

Т интервал квантования cog угловая частота квантования, u)s — Ът/Т хь} последовательность {хк} = х0, xt, х2, .

А! транспонированная матрица tr А след квадратной матрицы А s комплексная переменная в преобразовании Лапласа комплексная переменная, соответствующая оператору запаздывания па 1 такт, ( = e~sT

F*(s) эрмитово сопряженная матрица, F*(s) = F'(-s) эрмитово сопряженная матрица, = h(t) импульсная характеристика экстраполятора

H(s) передаточная функция экстраполятора, II(s) = J0°° e~sl h(t) dt x|| евклидова норма числового вектора х max[A\ максимальное сингулярное число постоянной матрицы rc(J2 £2-норма функции x(t): ||.r||2 = Ц,00 \\x(t,)\\2 dt}l/2

2 ^2-иорма матрицы X(s): ЦВДЦ, = ^txX*(s) X(s)ds}"'i s)||oo £оо-норма матрицы X(s): \\Х\\Ж = sup amnx[X(ju)}

- 00<W<0C llxlb £2-норма последовательности {xk}- \\xh = (ЕГ=о llxfc||2}1/2

X(()h ^2-норма матрицы X((): \\X(q)\\2 й £tr *•(<)*(<) f}^

11^(0 II 00 £оо-н0рма матрицы X{Q\ ||*(0||oo = S»P <?тах [<*"«)] lci=i

5(t) единичный импульс, дельта-функция Дирака

1, к = О, единичный дискретный импульс, {Sdk} - <

О, к Ф О. рт линеиное вещественное пространство размерности ш ег- вектор стандартного базиса пространства Rm с единичной г-ой компонентой Е {•} математическое ожидание 1т единичная матрица соответствующего размера или размера т х т vx(t) дисперсия центрированного случайного сигнала x(t)\ vx(t)^E{x'(t)x(t)} vx средняя дисперсия центрированного периодически нестаци

Д ji онариого случайного сигнала x(t): vx — f f(j vx(t)dt Фx{T, s, t) смещенная импульсно-частотная характеристика для функции -X(s)

Т>х{Т, s, t) дискретное преобразование Лапласа для функции -X(s), также Vx{TX,t) = Vx{T}s,t)\esTH |р| степень полинома р(() или степень полиномиальной части квазиполинома

Р+( С)> устойчивый и неустойчивый сомножиггели полинома Р~{С) р(0 = (С) (С)гдср"(С) - приведенный полииом dx(С) приведенный полином - знаменатель рациональной функции Vx(T,(,t) при 0 < t < Т Sx число полюсов рациональной функции -^(s), Sx = \dx\ число устойчивых и неустойчивых полюсов рациональной функции X(.s') соответственно: 5% ^ Kvl> ^х ^ НОД (р, q) наибольший общий делитель полиномов р(() и q(Q НОК (р, q) наименьшее общее кратное полиномов р(() и множество стабилизирующих регуляторов

Сокращения:

АЦП аналого-цифровой преобразователь

ДПЛ дискретное преобразование Лапласа

ДПФ дискретная передаточная функция

ИСУ импульсная система управления

ПНЧ приведенная непрерывная часть

ППФ параметрическая передаточная функция

ППМ параметрическая передаточная матрица

ПФ передаточная функция сичх смещенная импульсно-частотная характеристика

ЦАП цифро-аналоговый преобразователь

ЦВМ цифровая вычислительная машина

Введение

Актуальность проблемы

В современных условиях большинство систем управления техническими средствами (судами, самолетами и т.д.) строится на базе компьютерной техники. Важнейшим этапом проектирования таких систем является разработка цифровых законов управления непрерывными объектами. Для решения этой задачи в литературе предложено три подхода (см. рисунок 0.1) [73,971:

1) переоборудование, которое сводится к замене непрерывного регулятора его дискретной моделью в результате аппроксимации;

2) дискретизация объекта построение дискретной модели непрерывного объекта и последующий синтез регулятора методами теории дискретных систем;

3) прямой синтез цифрового регулятора для непрерывного объекта без каких-либо упрощений и аппроксимаций. синтез непрерывный регулятор дискретизация объекта переоборудование дискретная модель синтез дискретныи регулятор

Рисунок 0.1 - Три подхода к синтезу цифровых регуляторов

Первые два подхода являются приближенными и фактически предполагают замену одной задачи другой с целью применить известные результаты теории стационарных (непрерывных или дискретных) систем. В персом случае игнорируется наличие цифровой части (импульсного элемента, дискретного регулятора и экстраполятора). При этом иногда дискретизация полученного аналогового регулятора не позволяет добиться желаемого эффекта [105].

При использовании второго подхода не учитывается поведение системы в промежутках между моментами квантования, что может привести к принципиально неверным результатам, например, к скрытым колебаниям [40]. В работах [88,172,267-269,295,320,321] приводятся примеры задач синтеза ИСУ, в которых оптимизация по дискретной модели объекта приводит к неработоспособной системе, и выполнен теоретический анализ причин этого явления. Другой недостаток метода дискретизации объекта состоит в том, что требования к системе, сформулированные в непрерывном времени, не всегда легко перевести в соответствующие дис-кретизированные показатели качества.

На современном этапе в теории импульсных систем управления (ИСУ) основное внимание уделяется точным методам анализа и синтеза. Во многом это связано с тем, что приближенные методы проектирования могут приводить к неработоспособным решениям.

Рассмотрим простейшую структурную схему, изображенную на рисунке 0.2. w(t) т т etr—--О——А ЦВМ u(t)

Рисунок 0.2 Простейшая импульсная система управления

Объект управления моделируется как двойной интегратор с передаточной функцией F(s) = l/s'2, возмущающее воздействие w(t) единичный центрированный белый шум. Требуется минимизировать взвешенную сумму средних дисперсий сигналов ошибки e(t) и управления u(t), используя линейный цифровой регулятор на базе цифровой вычислительной машины (ЦВМ). Применение трех указанных подходов приводит к трем различным регуляторам1, качество работы которых иллюстрируется на рисунке 0.3.

У Переоборудование

0 5

Дискретизация

0 5 у Прямой синтез 1.5--и

40

20 0 -20 -40 0 и

40

20 0 -20 -40 I

U 40 20

-20 -40 0

10

10

10

Рисунок 0.3 Сравнение трех подходов

Два верхних графика показывают переходные процессы в системе, построенной по методу переоборудования. Следующая пара графиков соответствует методу дискретизации объекта, а графики в нижнем ряду -прямому методу синтеза. Во всех случаях интервал квантования равен 0,1 с. По этим графикам хорошо видно, что применение приближенных методов в данной задаче приводит к существенным колебаниям управляющего сигнала, фактически система находится на границе устойчивости.

1 Здесь мы намеренно останавливаемся только на качественных результатах на избегаем подробных выкладок, которые были опубликованы в [88,295].

Более того, этот эффект сохраняется и даже усиливается при уменьшении интервала квантования. В то же время регулятор, полученный прямым методом синтеза, обеспечивает качественные переходные процессы. Таким образом, использование точных методов оптимального синтеза -насущная необходимость, вызванная потребностями практики.

В последние годы были разработаны две группы методов прямого синтеза оптимальных ИСУ: временные методы, использующие модели в пространстве состояний, и частотные методы. Методы первой группы оказались эффективными для численного решения некоторых стандартных задач, однако попытки распространить их па более широкие классы систем, например, па системы с запаздыванием, пока не увенчались успехом. Кроме того, при использовании этого подхода оказалось практически невозможно получить качественные результаты: выявить структурные особенности оптимального регулятора, сокращения в его передаточной функции, определить порядок минимальной реализации.

Среди частотных методов наибольшими теоретическими возможностями обладает конечномерная частотная теория цифрового управления (теория ППФ). Разработанные на ее основе методы прямого синтеза ИСУ позволили значительно расширить класс решаемых задач в сравнении с временными методами. Однако соответствующие вычислительные алгоритмы, использующие операции с передаточными функциями и параметризацию множества стабилизирующих регуляторов, оказались негрубыми и малопригодными для автоматизированного проектирования. Это связано с двухступенчатой процедурой оптимизации, в ходе которой сначала строится оптимальная функция-параметр, а затем с помощью нее вычисляется дискретная передаточная функция (ДПФ) оптимального регулятора.

Таким образом, в теории импульсных систем можно выделить серьезную проблему, которая до настоящего времени не получила удовлетворительного решения: необходим,ость разработки прямых методов синтеза оптимальных цифровых регуляторов, применимых к широкому классу систем, позволяющих получать качественные результаты и обладающих вычислительной надежностью.

Для решения этой задачи в настоящей диссертационной работе предлагается новый подход, основанный на совместном использовании концепции ППФ и теории полиномиальных уравнений. Он позволяет во многом спять вычислительные проблемы, свойственные разработанным ранее частотным методам синтеза ИСУ, сохранив все их достоинства. Кроме того, удается распространить метод ППФ па ряд новых задач.

Основные результаты

В диссертации разработан полиномиальный подход к задачам синтеза оптимальных импульсных систем, основанный на концепции ППФ и теории полиномиальных уравнений. Применение аппарата ППФ позволяет свести широкий класс задач оптимизации ИСУ к аналогичным задачам для некоторых эквивалентных дискретных систем. Полиномиальные методы оптимизации дают возможность строить решение, заранее определив по исходным данным структуру оптимального регулятора и его порядок.

В диссертации построены полиномиальные решения задач оптимизации для так называемой стандартной импульспой системы, принятой в качестве базовой структуры. Это позволяет не выводить заново полиномиальные уравнения, определяющие оптимальный регулятор в каждой конкретной задаче, а строить решения всех специальных задач как частные случаи общего решения.

В работе исследуются задачи оптимизации ИСУ при детерминированных и стохастических входных сигналах. В том числе рассмотрены системы с двумя степенями свободы (системы комбинированного управления), в которых для повышения точности слежения за опорным сигналом используется дополнительный корректирующий регулятор вне замкнутого контура.

Поставлена и решена задача оптимального цифрового управления с упреждающим входным сигналом, которая возникает в робототехнике, а также при проектировании автономных подвижных объектов. Исследованы свойства оптимального решения и предельные возможности управления при бесконечном увеличении времени упреждения. Необходимо отметить, что предложенные в западной литературе методы в настоящее время не позволяют решать задачи этого типа.

В диссертации разработаны полиномиальные методы минимизации ассоциированной Hqo-нормы (Д^оо-нормы) импульсной системы, которая определяется как "Hoo-норма дискретной передаточной функции эквивалентной дискретной системы. В рамках полиномиального подхода решение задачи прямого синтеза „/Ш^-оптимального регулятора сводится к решению системы нелинейных полиномиальных уравнений. Доказано, что при слабых допущениях, которые почти всегда, выполняются в практических задачах, искомое решение этой системы всегда существует и (за исключением особых случаев) единственно.

Известно, что строго оптимальные законы управления относительно редко применяются на практике. Это связано с тем, что оптимальные регуляторы имеют достаточно высокий порядок, что нежелательно в приложениях. Кроме того, они могут обладать "хрупкостью" высокой чувствительностью к точности задания параметров при реализации. Наконец, в ряде задач не существует оптимального стабилизирующего регулятора, поскольку строго оптимальная система находится на границе устойчивости. Поэтому для инженерной практики актуальна задача синтеза квазиоптимальных регуляторов, которые имеют пониженный порядок (в сравнении с оптимальным) и обеспечивают расположение всех корней характеристического полипома замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости внутри области устойчивости.

В диссертации предлагается новый метод поиска квазиоитимальных регуляторов, основанный па параметризации множества всех регуляторов пониженного порядка, при которых характеристический полином замкнутой системы равен заданному. Построена параметризация множества допустимых характеристических полиномов, обеспечивающих заданную степень устойчивости и степень колебательности системы, что позволяет эффективно применить алгоритм глобальной оптимизации в гиперпрямоугольнике в пространстве свободных параметров. Важно, что эта параметризация не вносит консерватизма в решение, т.е., не сужает класс рассматриваемых регуляторов.

Разработанные методы и алгоритмы реализованы в пакете DlRECTSD для среды MATLAB и успешно применялись для синтеза цифровых законов управления морскими подвижными объектами.

Структура диссертации

Работа организована следующим образом.

8.4 Выводы

В этой главе рассматриваются прикладные задачи управления морскими подвижными объектами, которые были решены с помощью иолиномиальных методов синтеза оптимальных и квазиоптимальных цифровых регуляторов, предложенных в диссертации и реализованных в пакете DirectSD для среды matlab.

В разд. 8.1 построен цифровой закон управления для системы стабилизации курса фрегата проекта 11356. Проведено сравнение предложенного метода и двух приближенных методов синтеза (переоборудования и синтеза по дискретной модели). Показано, что цифровые регуляторы, полученные приближенными методами, обеспечивают близкое к оптимальному качество стабилизации в установившемся режиме, но приводят к существенным колебаниям сигнала управления при поворотах корабля. Более того, этот эффект усиливается при уменьшении интервала квантования.

В разд. 8.2 рассматривается задача стабилизации на курсе гидрографического судна ГС-439 при волнении 2 и 3 балла. Методы, разработанные в диссертации, позволили построить регулятор пониженного порядка, обеспечивающий подавление постоянных возмущений и ошибку стабилизации не более 1, 5° при волнении 2-3 балла для любых углов встречи с волной. Для повышения точности отслеживания командного сигнала используется корректирующий регулятор вне контура управления.

В разд. 8.3 рассмотрена задача управления полуиогруженным катером "Тор-НП" в подводном положении. Построенные цифровые регуляторы позволили обеспечить высокую точность стабилизации при движении на малой глубине в условиях морского волнения.

Заключение

Новые результаты

В диссертации разработай новый подход к задачам прямого синтеза оптимальных импульсных систем, основанный на совместном использовании концепции ППФ и теории полиномиальных уравнений. Рассмотрены задачи оптимизации ИСУ при детерминированных и стохастических возмущениях, а также задача минимизации ассоциированной Ноо-нормы.

Использование конечномерной частотной теории ИСУ позволяет для широкого класса систем строить функционалы качества, учитывающие поведение системы в непрерывном времени. В то же время применение полиномиальных методов дает возможность преодолеть вычислительные проблемы, связанные с практической реализацией процедур оптимального синтеза, основанных на методе ППФ.

В работе получены следующие новые теоретические и практические результаты:

1) построено полиномиальное решение задачи минимизации квадратичного функционала общего вида, к которому сводятся детерминированные и стохастические задачи для ИСУ (разд. 2.3); доказано, что полученная система полиномиальных уравнений при принятых ограничениях имеет единственное допустимое решение;

2) построено общее полиномиальное решение взвешенной квадратичной задачи (разд. 2.4); показано, что оптимальный регулятор имеет "вложенную" структуру и может быть построен через известное решение задачи с единичной весовой функцией;

3) предложен новый подход к решению минимаксной задачи для ИСУ, основанный па использовании понятия ассоциированной Н^-нормы; построена система нелинейных полиномиальных уравнений, решение которой определяет функцию-параметр, соответствующую А%оо~ оптимальному регулятору; доказано, при принятых ограничениях эта система имеет (за исключением особых случаев) единственное допустимое решение (разд. 3.3);

4) построена система нелинейных полиномиальных уравнений, определяющих непосредственно числитель и знаменатель ./Ш^-оптимального регулятора; исследована его вложенная структура, позволяющая строить ./Шоо-оптимальный регулятор через известное решение соответствующей квадратичной задачи (разд. 3.4);

5) предложена смешанная задача ?{2/»Д%схгоптимизации ИСУ и показано, что она может быть сведена к решению квадратичной задачи (разд. 3.5);

6) построены полиномиальные уравнения в детерминированной и стохастической задачах для одноконтурной системы и получены явные выражения для степеней числителя и знаменателя оптимального регулятора (разд. 4.1 и разд. 5.1);

7) построены нелинейные полиномиальные уравнения в задачах синтеза ЛЯоо-оптимальных цифровых регуляторов для одноконтурной системы при детерминированных и стохастических возмущениях и получены явные выражения для степеней числителя и знаменателя оптимального регулятора (разд. 4.2 и разд. 5.2);

8) получены полиномиальные уравнения в детерминированной и стохастических задачах для ИСУ с упреждающием входным сигналом (previevhyправление); исследованы предельные возможности повышения точности системы при увеличении интервала упреждения (разд. 4.3 и разд. 5.3);

9) построено полиномиальное решение задачи синтеза оптимального корректирующего регулятора, предназначенного для повышения точности

ИСУ в непрерывном времени без изменения свойств замкнутого контура (разд. 4.4);

10) доказано, что для решения детерминированной задачи слежения при незатухающем входном сигнале правомерно использовать полиномиальные уравнения главы 2, если выполнены условия отсутствия установившейся ошибки (разд. 4.5);

11) получено решение задачи оптимального переоборудования, основанное на построении соответствующей стандартной ИСУ и применении полиномиальных методов главы 2 (разд. 4.6);

12) предложен двухуровневый поисковый алгоритм синтеза квазоптималь-ного регулятора пониженного порядка, обеспечивающий расположение всех корней характеристического полинома замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости (разд. 6.2);

13) при типовых модальных ограничениях (типа "усеченный сектор" и "сдвинутый сектор") построена параметризация множества всех допустимых характеристических полиномов заданного порядка через вектор независимых параметров, варьируемых в интервале [0,1] (разд. 6.3);

14) построено полиномиальное уравнение, определяющее оптимальное решение задачи квадратичной оптимизации относительно коэффициентов полинома заданного порядка, исследованы свойства решения этого уравнения (разд. 6.4);

15) построены параметризации множества всех регуляторов, которые обеспечивают заданный характеристический полином замкнутой системы при дополнительных ограничениях на структуру регулятора (фиксированный статический коэффициент усиления замкнутой системы, наличие дискретного интегратора) (разд. 6.5); эти параметризации позволяют использовать рассмотренный ранее алгоритм поиска квазиоптимальных регуляторов с минимальными изменениями;

16) разработан пакет DlRECTSD, предназначенный для анализа и оптимального синтеза ИСУ в среде MATLAB (глава 7);

17) на основе методов, предложенных в диссертации, выполнен синтез оптимальных и квазиоптимальных цифровых регуляторов для морских подвижных объектов: фрегата пр. 11356, гидрографического судна ГС-439 и полупогруженного катера "Тор-НП" (глава 8).

Дальнейшие исследования

В настоящий момент можно выделить несколько перспективных направлений для будущих исследований в области полиномиального синтеза оптимальных регуляторов для импульсных систем управления:

1) распространение полученных результатов на случай многомерных регуляторов; некоторые результаты в этом направлении уже опубликованы в [76,77,81,86,87,292,298];

2) разработка полиномиальных методов прямого синтеза цифровых регуляторов для объектов с периодически изменяющимися параметрами;

3) разработка полиномиальных методов прямого синтеза цифровых регуляторов при параметрической и непараметрической неопределенности в модели объекта управления;

4) использование аппарата пространства состояний для выполнения операций с полиномами с целью повысить надежность вычислений;

5) выполнение исследований, связанных с практической реализацией оптимальных и квазиоптимальных цифровых регуляторов в задачах управления техническими средствами.

1. Алиев Ф. А., Бордюг Б. А., Ларин В. Б., "%2-°птимизаЦия и метод пространства состояний в задаче синтеза оптимальных регуляторов. -Баку: Элм, 1991. 252 с.

2. Андронов А. А., Понтрягип Л. С., Грубые системы // Доклады АН СССР, т. 14, № 5, с. 247-250, 1937.

3. Балакришпан В. А., Прикладной функциональный анализ: Пер. с англ. М.: Наука, 1980. - 384 с.

4. Березин С. А., Тетюев Б. А., Системы автоматического управления движением судна по курсу. Л.: Судостроение, 1990. - 256 с.

5. Бесекерский В. А., Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 576 с.

6. Бесекерский В. А., Изранцев В. В., Системы управления с микроЭВМ. М.: Наука, 1987. - 318 с.

7. Бесекерский В. А., Попов Е., Теория систем автоматического управления. М.: Профессия, 2003. 704 с.

8. Бриккер И. Н., О частотном анализе линейных систем с переменными параметрами // Автоматика и телемеханика, № 8, с. 43-54, 1966.

9. Буков В. Н., Косьянчук В. В., Рябченко В. В., Вложение систем. Полиномиальные уравнения // Автоматика и телемеханика, 7, с. 1223, 2002.

10. Веремей Е. И., Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов со скалярным возмущением. I. // Изв. вузов. Электромеханика, № 10, с. 52-57, 1985.

11. Веремей Е. И., Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов со скалярным возмущением. II. // Изв. вузов. Электромеханика, № 12, с. 33-39, 1985.

12. Веремей Е. И., Численные методы среднеквадратичного синтеза при наличии модальных ограничений // АН УССР, Автоматика, № 2, с. 22-27, 1990.

13. Веремей Е. И., Методы и алгоритмы среднеквадратичного многоцелевого синтеза. Автореферат дисс. . докт. физ.-мат. наук, СПбГУ, СПб., 1993. 30 с.

14. Веремей Е. П., Особенности решения задач среднеквадратического синтеза в среде MATLAB // Тр. II Всеросс. науч. конф. "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB", Москва, с. 864-883, 25-26 мая 2004.

15. Веремей Е. П., Корчанов В. М., Коровкин М. В., Погожев С. В., Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: НИИ химии СПбГУ, 2002. - 370 с.

16. Вишняков А. Н., Синтез максимально робастной системы управления дискретным объектом с непараметрической неопределенностью // Автоматика и телемеханика, № 3, с. 71 77, 1999.

17. Вишняков А. Н., Максимально робастный регулятор низкого порядка для дискретной системы управления неопределенным объектом // Автоматика и телемеханика, № 11, с. 156-167, 2000.

18. Войткунский Я. И., Справочник по теории корабля, т. 1-3. Л.: Судостроение, 1985.

19. Волгин Л. Н., Элементы теории управляющих машин. М.: Советское радио, 1962. - 164 с.

20. Волгин JI. Н., Оптимальное дискретное управление динамическими системами. М.: Наука, 1986. - 240 с.

21. Волгин Л. Н., Синтез дискретных следящих систем, оптимальных по комбинированному критерию // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, № 1, с. 155-161, 1986.

22. Волгин Л. Н., Диофантово полиномиальное исчисление и его применение для решения математических задач теории управления // Автоматика АН УССР, № 1, с. 43 52, 1987.

23. Волгин Л. Н., Синтез дискретных следящих систем, оптимальных по критерию Яоо // Автоматика и телемеханика, № 4, с. 164 167, 1992.

24. Волгин Л. Н., Дискретная автоматическая система, согласующаяся с заданной моделью по минимаксному критерию // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, № 2, с. 236-240, 1993.

25. Волгин Л. Н., Идентификация линейного динамического объекта с помощью аппроксимации Паде // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, JV9 6, с. 114-117, 1993.

26. Волгин Л. Н., Оптимальная дискретная система с заданным расположением полюсов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, № 1, с. 224-227, 1994.

27. Волгин Л. Н., О предсказании стационарных случайных процессов с помощью ортополиномов // Автоматика и телемеханика, № 7, с. 84 93, 1994.

28. Волгин Л. Н., Диофантово решение задачи Винера // Известия РАН. Теория и системы управления, № 3, с. 65 75, 1995.

29. Волгин Л. Н., Дискретные алгоритмы управления, оптимальные по Паде // Известия РАН. Теория и системы управления, № 1, с. 235-241, 1995.

30. Волгин Л. Н., Полиномиальное и рациональное решение задачи А. Н. Колмогорова // Автоматика и телемеханика, JV? 3, с. 87-96, 1999.

31. Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей. Москва: Наука, 1977. - 375 с.

32. Горовиц И. М., Синтез систем с обратной связью. М.: Советское радио, 1970. 600 с.

33. Гостев В. И., Системы управления с цифровыми регуляторами. Справочник. Киев: Тэхника, 1990. - 280 с.

34. Гостев В. И., Поливанов В. И., Параметрический синтез цифровых регуляторов дискретно-непрерывных систем методом параметрической оптимизации // Автоматика АН УССР, № 2, с. 68-73, 1990.

35. Гудвин Г. К., Гребе С. Ф., Сальгадо М. Э., Проектирование систем управления. М.: Бином. Лаборатория базовых знаний, 2004. - 911 с.

36. Гуревич В., Импульсные фильтры и сервомеханизмы Гл. V. В книге 39], 1953.

37. Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р., Теория следящих систем. М.: Изд-во иностранной литературы, 1953. - 464 с.

38. Джури Э. И., Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963. - 456 с.

39. Дмитриев С. П., Пелевин А. Е., Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. СПб: ГНЦ РФ-ЦНИИ "Электроприбор", 2002. - 160 с.

40. Дроздов В. Н., Мирошник И. В., Скорубский В. И., Системы автоматического управления с микроЭВМ. JL: Машиностроение, 1989. -284 с.

41. Иванов-В. А., Ющенко А. С., Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983. 336 с.

42. Изерман Р., Цифровые системы управления: Пер. с нем. М.: Мир, 1984. - 541 с.

43. Качанов Б. О., Кочетков К). А., Оптимальное гибридное управление непрерывными стохастическими системами // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, № 6, с. 126-132, 1984.

44. Колмогоров А. Н., Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Известия АН СССР, сер. матем., т. 5, № 1, с. 3-14, 1941.

45. Косякии А. А., К задаче исследования линейных импульсных систем при стационарных случайных возмущениях // Автоматика и телемеханика, т. 24, № 3, с. 331 341, 1963.

46. Косякии А. А., Некоторые вопросы статистической динамики цифровых автоматических систем // Автореферат дисс. . канд. техн. наук, МЭИ, М., 1964. 19 с.

47. Косякин А. А., Шамриков Б. М., Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. - 336 с.

48. Крот А. М., Синтез быстрых алгоритмов для решения задач оптимального дискретного управления методом полиномиальных уравнений // Автоматика и телемеханика, № 8, с. 22-35, 1996.

49. Крутько П. Д., Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами. М.: Советское радио, 1967. - 439 с.

50. Крутько П. Д., Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, № 1, с. 125-133, 1986.

51. Кузин J1. Т., Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Машгиз, 1962. 683 с.

52. Куо Б., Теория и проектирование цифровых систем управления. -М.: Машиностроение, 1986. 448 с.

53. Курейчик В. М., Генетические алгоритмы. Состояние. Проблемы. Перспективы // Известия РАН. Теория и системы управления, 1, с. 144-160, 1999.

54. Ларин В. В., Науменко К. И., Сунцев В. И., Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова Думка, 1971. 137 с.

55. Лукомский Ю. А., Чугунов В. С., Системы управления подвижными морскими объектами. Ленинград: Судостроение, 1988. - 335 с.

56. Методы класической и современной теории автоматического управления. Т. 1-3 / Под ред. Егупова Н. Д. - М.: МГТУ, 2000.

57. Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы теории и элементы / Солодовников В. В. и др. М.: Высшая школа, 1991. - 255 с.

58. Микропроцессорные системы автоматического управления / Бесе-керский В. А. и др. Л.: Машиностроение, 1988. 365 с.

59. Миркин Б. М., Шишлякова В. А., Оптимизация гибридных дискретно-непрерывных динамических систем по критерию обобщенной работы // Адаптивное управление большими системами. Фрунзе: Илим, 1981. - с. 24-35.

60. Мита Ц., Хара С., Кондо Р., Введение в цифровое управление. М.: Мир, 1989. - 256 с.

61. Михайлов А. Ф., Случайные процессы в нестационарных линейных системах. М.: Энергия, 1969. - 96 с.

62. Михайлов А. Ф., Теория и методы исследования нестационарных линейных систем. М.: Наука, 1986. - 320 с.

63. Надеждин П. В., Получение фильтров Колмогорова-Винера на основе принципа селективной инвариантности // Теория инвариантности,теория чувствительности и их применение. VI Всесоюзное совещание, Москва, ИПУ, 1982.

64. Небылов А. В., Измерение параметров полета вблизи морской поверхности. СПб: СПбГААП, 1994. 307 с.

65. Небылов А. В., Гарантирование точности управления. М.: Наука, Физматлит, 1998. - 304 с.

66. Олссоп Г., Пиани Дж., Цифровые системы автоматизации и управления: Пер. с англ. СПб.: Невский диалект, 2001. - 556 с.

67. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем / Алиев Ф. А., Ларин В. В., Науменко К. И., Сунцев В. И. Киев: Наукова Думка, 1978. - 327 с.

68. Острем К., Введение в стохастическую теорию управления: Пер. с англ. М.: Мир, 1973. - 320 с.

69. Острем К., Виттенмарк Б., Системы управления с ЭВМ: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 480 с.

70. Первозванский А. А., Курс теории автоматического управления. -М.: Наука, 1986. 616 с.

71. Петров Ю. П., Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 289 с.

72. Петров Ю. П., Сизиков В. С., Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями: Учебное пособие для вузов. СПб.: Политехника, 2003. - 261 с.

73. Поляков К. К)., Эквивалентные дискретные модели в задачах оптимизации цифровых систем управления // Проектирование и технология электронных средств, № 3, с. 2-7, 2004.

74. Поляков К. Ю., Вырожденные задачи Т^-оптимизации дискретных систем // Автоматика и телемеханика, № 3, с. 20-33, 2005.

75. Поляков К. К)., Алгоритм синтеза оптимальных цифровых регуляторов на основе метода параметрических передаточных функций // Изв. РАН, Теория и системы управления, N5 3, с. 32-39, 1998.

76. Поляков К. Ю., Полиномиальный синтез цифровых систем управления непрерывными объектами. II. Робастная оптимизация // Автоматика и телемеханика, № 12, с. 94-108, 1998.

77. Поляков К. Ю., Полиномиальный синтез цифровых систем управления непрерывными объектами. I. Квадратичная оптимизация // Автоматика и телемеханика, № 10, с. 76 89, 1998.

78. Поляков К. К)., Полиномиальный синтез оптимальных цифровых следящих систем. II. Робастная оптимизация // Автоматика и телемеханика,, № 3, с. 94-107, 2001.

79. Поляков К. К)., Полиномиальный синтез оптимальных цифровых следящих систем. I. Квадратичная оптимизация // Автоматика и телемеханика, № 2, с. 149-162, 2001.

80. Поляков К. Ю., Синтез оптимальных цифровых систем с двумя степенями свободы // Автоматика и телемеханика, № 6, с. 85-94, 2001.

81. Поляков К. Ю., Розенвассер Е. Н., DirectSD 2.0 пакет для анализа и прямого синтеза цифровых систем управления // Тр. Всеросс. науч. конф. "Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬ А В", Москва, с. 74-88, 28-29 мая 2002.

82. Поляков К. Ю., Розенвассер Е. Н., Полиномиальный метод V.2-оптимизации многомерных дискретных и импульсных систем // Ме-хатроника, автоматизация, управление, JV2 5, с. 2-7, 2003.

83. Поляков К. Ю., Розенвассер Е. Н., Сиитез оптимальных цифровых систем управления с помощью пакета DirectSDM // Тр. II Всеросс. науч. конф. "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLABМосква, с. 1116 1145, 25-26 мая 2004.

84. Поляков К. Ю., Рыбинский В. О., Синтез оптимальных цифровых регуляторов для управления двойным интегратором // Материалы V конференции молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, ГНЦ "Электроприбор", с. 123 128, 2004.

85. Поляк Б. Т., Щербаков П. С., Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

86. Попов В. М., Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. 453 с.

87. Попов Е. П., Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1989. - 304 с.

88. Пупков К. А., Егупов Н. Д., Коньков В. Г., Методы анализа, синтеза и оптимизации нестационарных систем автоматического управления / Под ред. Егупова Н. Д. М.: МГТУ, 1999. - 684 с.

89. Растригин JI. А., Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. 632 с.

90. Розенвассер Е. Н., Периодически нестационарные системы управления. М.: Наука, 1973. 512 с.

91. Розенвассер Е. Н., Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления. М.: Наука, 1977. 345 с.

92. Розенвассер Е. Н., Метод параметрических передаточных функций в задачах синтеза систем цифрового управления. СПб.: ГМТУ, 1993. -126 с.

93. Розенвассер Е. Н., Линейная теория цифрового управления в непрерывном времени. М.: Наука, 1994. 464 с.

94. Розенвассер Е. Н., Математическое описание и анализ многомерных импульсных систем в непрерывном времени I-II. // Автоматика и телемеханика, № 4, с. 26-40; № 5, с. 84-97, 1995.

95. Розенвассер Е. Н., Операторные модели и Ь2—норма непрерывно-импульсных систем. II: Линейные периодические импульсные и непрерывно-импульсные системы // Автоматика и телемеханика, № 11, с. 52-73, 1996.

96. Розенвассер Е. Н., Передаточные функции и импульсные характеристики многомерных непрерывно-цифровых систем // Доклады РАН, т. 346, № 5, с. 606-609, 1996.

97. Розенвассер Е. Н., Частотный анализ и Т^-норма линейных периодических операторов // Автоматика и телемеханика, № 9, с. 43-68, 1997.

98. Розенвассер Е. Н., Поляков К. Ю., Оптимальная дискретная аппроксимация непрерывных законов управления // Материалы научно-технической конференции, посвященной 100-летию СПбГМТУ, с. 105110, 1999.

99. Садомцев Ю. В., Оптимальное управление в непрерывно-дискретных системах // Известия РАН. Теория и системы управления, № 6, с. 155-161, 1995.

100. Садомцев Ю. В., Оптимальное управление в непрерывно-дискретных системах с полиномиальной аппроксимацией входа // Известия РАН. Теория и системы управления, № 4, с. 131-136, 1995.

101. Садомцев Ю. В., Уткин Г. В., Федосеев С. В., Челноков Ю. Н., Управление движением космического платформенного комплекса. III. Дискретная коррекция контура наведения // Известия РАН. Теория и системы управления, № 1, с. 146-157, 2002.

102. Сергеев Я. Д., Одномерный детерминированный алгоритм глобальной минимизации // Журнал вычислит, математики и магпем. физики, т. 35, № 5, с. 705-717, 1995.

103. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / Григорьев В. В., Дроздов В. Н., Лаврентьев В. В., Ушаков А. В. М.: Машиностроение, 1983. 245 с.

104. Скворцов Л. М., Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений // Известия РАН. Теория и системы управления, № 6, с. 5459, 1991.

105. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. Кра-совского А. А. М.: Наука, 1987. - 712 с.

106. Стронгин Р. Г., Численные методы в многоэкстремальпых задачах.- М.: Наука, 1978. 240 с.

107. Теряев Е. Д., Шамриков Б. М., Цифровые системы и поэтапное адаптивное управление. М.: Наука, 1999. - 330 с.

108. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования / Под ред. Солодовникова В. В.- М.: Машиностроение, 1967. 770 с.

109. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга 3. Часть 1. Теория нестационарных, нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулирования / Под ред. Солодовникова В. В. М.: Машиностроение, 1969. - 608 с.

110. Ту Ю., Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. - 703 с.

111. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. - М.: Физматгиз, 1969-1970.

112. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А., Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. - 448 с.

113. Цыпкин Я. 3., Теория линейных импульсных систем. М.: Физмат-гиз, 1963. - 968 с.

114. Цыпкин Я. 3., Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. - 650 с.

115. Цыпкин Я. 3., Вишняков А. Н., Синтез модальных дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика, № 8, с. 45-55, 1999.

116. Чанг Ш. С. JL, Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. 440 с.

117. Шамриков Б. М., Основы теории цифровых систем управления. -М.: Машиностроение, 1985. 296 с.

118. Штокало И. 3., Обобщение основной формулы символического метода на линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами // Доклады АН СССР, т. 42, с. 9-10, 1945.

119. Штокало И. 3., Операционные методы и их развитие в теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. -Киев: Изд-во АН УССР, 1961. 128 с.

120. Якубович В. А., Оптимизация и инвариантность линейных стационарных систем управления // Автоматика и телемеханика, № 8, с. 5-45, 1984.

121. Aarts Е. Н. L., Korst J. Н. М., and Laarhoven v. P. J. M., Simulated annealing //in Local search in combinatorial optimization (Aarts E., Lenstra J., eds.). Chichester: Wiley, 1997. pp. 91-120.о

122. Astrom K. J., Hagander P., and Sternby J., Zeros of sampled-data systems // Automatica, vol. 20, no. 4, pp. 31-38, 1984.

123. Ackermann J., Sampled-Data Control Systems: Analysis and Synthesis, Robust System Design. Berlin: Springer-Vcrlag, 1985.

124. Anderson B. D. O., From Youla-Kucera to identification, adaptive and nonlinear control // Proc. 13th IF AC World Congress, San Francisco, California, pp. 39-59, 1996.

125. Antsaklis P. J., Gao Z., Polynomial and rational matrix interpolation: theory and control applications // Int. J. Control, vol. 58, no. 1, pp. 349404, 1993.

126. Araki M., Hagiwara Т., and Ito Y., Frequency response of sampled-data systems II. Closed-loop considerations // Proc. 12th IFAC World Congr., vol. 7, Sydney, pp. 293-296, 1993.

127. Araki M., Ito Y., Frequency response of sampled-data systems I. Open-loop considerations // Proc. 12th IFAC World Congr., vol. 7, Sydney, pp. 289 292, 1993.

128. Araki M., Ito Y., and Hagiwara Т., Frequency-response of sampled-data systems // Automatica, vol. 32, no. 4, pp. 483-497, 1996.

129. Astrom K. J., On the choice of sampling rates in optimal linear systems // Tech. Rep. RJ 243, IBM San Jose Research Laboratory, San Jose, U.S.A., 1963.о

130. Astrom K. J., Introduction to stochastic control theory. New York: Academic Press, 1970.

131. Astrom K. J., Robustness of a design method based on assignment of poles and zeros // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-25, no. 6, pp. 588-591, 1980.

132. Astrom K. J., Wittenmark В., On self-tuning regulators // Automatica, vol. 9, no. 2, pp. 185-199, 1973.

133. Bai E.-W., Uncertainty bound of sampled-data system // Syst. Contr. Lett., vol. 19, pp. 151-156, 1992.

134. Balakrishnan V., Boyd S., Global optimization in control system analysis and design // in Control and Dynamic Systems: Advances in Theory and Applications (Leondes C., cd.), vol. 53. New York, New York: Academic Press, 1992. - pp. 1-55.

135. Balakrishnan V., Boyd S., and Balerni S., Branch and bound algorithm for computing the minimum stability degree of parameter-dependent linearsystems // Int. J. Robust and Nonlinear Control, vol. 1, no. 4, pp. 295-317, 1992.

136. Balakrishnan V., Tits A., Numerical optimization-based design //in Chapter 47, The Control Handbook (Levine W., ed.). CRC Press, 1996. -pp. 749-758.

137. Balas G. C., Doyle J. C., Glover K., Packard A., and Smith R., p-Analysis and Synthesis Toolbox. The Mathwork Inc., 2002.

138. Bamieh B. A., Dahleh M. A., and Pearson J. В., Minimization of the C00-induced norm for sampled-data systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-38, no. 5, pp. 717-732, 1993.

139. Bamieh B. A., Pearson J. В., The H2 problem for sampled-data systems // Syst. Contr. Lett,, vol. 19, no. 1, pp. 1-12, 1992.

140. Bamieh B. A., Pearson J. В., A general framework for linear periodic systems with applications to Ti^ sampled-data control // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-37, no. 4, pp. 418-435, 1992.

141. Bamieh B. A., Pearson J. В., Francis B. A., and Tannenbaum A., A lifting technique for linear periodic systems with applications to sampled-data control systems // Syst. Contr. Lett., vol. 17, pp. 79-88, 1991.

142. Barker R. H., The pulse transfer function and its application to sampling servo systems // Proc. IEE, pt. IV, vol. 99, no. 4, pp. 302-317, 1952.

143. Blanc Ch., Sur les equation differentielles lineares a coefficients lentement variable // Bull, technique de la Suisse romande, vol. 74, pp. 182 189, 1948.

144. Bode H. W., Shannon С. E., A simplified derivation of linear least square smoothing and prediction theory // Proc. IRE, vol. 38, no. 4, pp. 417-425, 1950.

145. Boyd S. P., Balakrishnan V., Barratt С. H., Khraishi N. M., Li X., Meyer D. G., and Norman S. A., A new CAD method and associated architecturesfor linear controllers // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 33, no. 3, pp. 268-283, 1988.

146. Braslavsky J., Frequency domain analysis of sampled-data systems. PhD thesis, The University of Newcastle, New South Wales, Australia, 1995.

147. Braslavsky J., Meinsma G., Middleton R., and Freudenberg J., On a key sampling formula relating the Laplace and z-transforms // Syst. Contr. Lett., vol. 29, no. 4, pp. 181-190, 1997.

148. Braslavsky J., Middleton R., and Freudenberg J., /^-induced norms and frequency gains of sampled data sensitivity operators // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-43, no. 2, pp. 252 258, 1998.

149. Campos-Delgado D. U., Zhou K., Mixed £1/^2/^00 control design: numerical optimization approaches // Int. J. Control, vol. 76, no. 7, pp. 687-697, 2003.

150. Campos-Delgado D. U., Zhou K., A parametric optimization approach to H00 and H2 strong stabilization // Automatica, vol. 39, no. 7, pp. 12051211, 2003.

151. Casavola A., On the polynomial equations for the continuous-time LQ optimization problem // Int. J. Control, vol. 60, no. 5, pp. 977-986, 194.

152. Casavola A., Polynomial solution of the continuous-time GMV control problem // Int. J. Control, vol. 53, pp. 641-660, 1991.

153. Casavola A., Optimal H2 and H^ LQ stochastic feefdorward control // Int. J. Control, vol. 56, no. 3, pp. 703-713, 1992.

154. Casavola A., Grimble M., Nistri P., and Mosca E., Continuous-time LQ regulator design by polynomial equations // Automatica, vol. 27, no. 3, pp. 555-558, 1991.

155. Casavola A., Mosca E., Innovations system representation in the optimal LQG regulation problems // IEE Proc. Control Theory Appl., vol. 140, no. 2, pp. 79-86, 1993.

156. Casavola A., Mosca E., Polynomial LQG regulator design for general system configurations // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-38, no. 2, pp. 359-363, 1993.

157. Chen J., Ren Z., Hara S., and Qiu L., Optimal tracking performance: Preview control and exponential signals // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 46, no. 10, pp. 1647-1653, 2001.

158. Chen Т., Francis B. A., On the /^-induced norm of a sampled-data system // Syst. Contr. Lett., vol. 15, pp. 211-219, 1990.

159. Chen Т., Francis B. A., %2-optirnal sampled-data control // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-36, no. 1, pp. 387 -397, 1991.

160. Chen Т., Francis B. A., Sampled-data optimal design and robust stabilization // Proc. American Control Conf., Boston, MA, pp. 2704 2709, 1991.

161. Chen Т., Francis B. A., Optimal Sampled-Data Control Systems. -Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, 1995.

162. Chilali M., Gahinet P., and Apkarian P., Robust pole placement in LMI regions // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-44, no. 12, pp. 22572270, 1999.

163. Chisci L., Mosca E., Polynomial equations for the linear MMSE state estimation // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-37, no. 5, pp. 623626, 1992.

164. Christiansson A.-K., A general framework for hybrid Т^оо-control. PhD thesis, Chalmers University of Technology, Gotcborg, Sweden, 2000.

165. Christiansson A., Lennartson В., and Toivonen H., Mixed continuous/discrete-time output feedback control, a unified approach // Proc. ECC, Karlsruhe, Germany, pp. 1040-1044, 1999.

166. Clarke D. W., Gawthrop P. J., Self-tuning controller // IEE Proc. Control Theory Appl., vol. 122, no. 9, pp. 929-934, 1975.

167. Dorato P., Levis A. H., Optimal linear regulators: the discrete-time case // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-16, pp. 613-620, 1971.

168. Doyle J. C., Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-23, no. 8, pp. 756 757, 1978.

169. Doyle J. C., Glover K., Khargonekar P. P., Francis B. A., State-space solution to standard H2 and Woo control problems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-34, № 8, pp. 831 847, 1989.

170. Doyle J., Francis B. A., and Tarmenbaum A., Feedback Control Theory. NY: Macmillan, 1992. - 200 p.

171. Doyle J., Zhou K., Glover K., and Bodenhcimer В., Mixed W2 and Hoc performance objectives II: Optimal control // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-39, no. 8, pp. 1575-1587, 1994.

172. Dullerud G. E., Control of uncertain sampled-data systems. Boston: Birkhauser, 1996.

173. Dullerud G. E., Francis B. A., £i-analysis and design of sarnpled-data systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-37, no. 4, pp. 436 336, 1992.

174. Dullerud G., Glover K., Robust stabilization of sampled-data systems to structured LTI perturbations // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-38, no. 10, pp. 1497 -1508, 1993.

175. Dullerud G., Glover K., Analysis of structured LTI uncertainty in sampled-data systems // Automatica, vol. 31, no. 1, pp. 99-113, 1995.

176. Fossen Т., Marine Control Systems. Trondheim, Norway: Marine Cybernetics, 2002.

177. Fragopoulos D., Grimble M. J., and Shaked U., controller design for the SISO case using a Wiener approach // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-36, no. 10, pp. 1204-1208, 1991.

178. Francis B. A., Georgiou Т. Т., Stability theory for linear time-invariant plants with periodic digital controllers // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-33, no. 9, pp. 820-832, 1988.

179. Franklin G. F., Powell J., Workman H. L., Digital control of dynamic systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 3rd ed., 1998.

180. Gahinet P., Nemirovsky A., and Laub A., LMI Control Toolbox. -Natick, MA: The Mathwork Inc., 1995.

181. Goldberg D. E., Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. MA: Addison Wesley, 1989.

182. Goodwin G. C., Salgado M., Frequency domain sensitivity functions for continuous-time systems under sampled-data control // Automatica, vol. 30, no. 8, pp. 1263 1270, 1994.

183. Grimble M. J., Controllers for LQG self-tuning applications with coloured measurement noise and dynamic costing // Proc. IEE, Pt. D, vol. 134, no. 1, pp. 19 -29, 1986.

184. Grimble M. J., Multivariable controllers for LQG self-tuning applications with coloured measurement noise and dynamic cost weighting // Int. J. Syst. Sci., vol. 27, no. 4, pp. 543-557, 1986.

185. Grimble M. J., Optimal Hoo robust controller and the relationship to LQG design problem // Int. J. Control, vol. 43, no. 2, pp. 351-372, 1986.

186. Grimble M. J., Hoo robust controller for self-tuning applications, i: Controller design // Int. J. Control, vol. 46, no. 4, pp. 1429-1444, 1987.

187. Grimble M. J., Simplification of the equation in the paper "Optimal robust controller and the relationship to LQG design problem" // Int. J. Control, vol. 46, no. 5, pp. 1841-1843, 1987.

188. Grimble M. J., Optimal Hoo multivariable robust controllers and the relationship to LQG design problem // Int. J. Control, vol. 48, no. 1, pp. 33 58, 1988.

189. Grimble M. J., LQG-predictive optimal control for adaptive applications // Automatica, vol. 26, no. 6, pp. 949-961, 1990.

190. Grimble M. J., Hoo multivariable control law synthesis // IEE Proc. D, vol. 140, no. 5, pp. 353-363, 1993.

191. Grimble M. J., Robust Industrial Control: Optimal Design Approach for Polynomial Systems. UK: Prentice-Hall, Hemel Hempstead, 1994.

192. Grimble M. J., Two and a half degrees of freedom LQG controller and application to wind turbines // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 39, pp. 122-127, 1994.

193. Grimble M. J., Industrial Control Systems Design. Chichester: John Wiley к Sons, 2001.

194. Grimble M., Youla parametrized degrees of freedom LQG controller and robustness improvement cost weighting // IEE Proc. Control Theory Appl, vol. 139, no. 2, pp. 147-160, 1992.

195. Haddad W. M., Bernstein D. S., Controller design with regional pole constraints // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-37, no. 1, pp. 54-69, 1994.

196. Hagiwara Т., Araki M., FR-operator approach to the T^-analysis and synthesis of sampled-data systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-40, no. 8, pp. 1411-1421, 1995.

197. Hagiwara Т., Araki M., Robust stability of sampled-data systems under possibly unstable additive/multiplicative perturbations // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-43, no. 9, pp. 1340 1346, 1998.

198. Hagiwara Т., Suyama M., and Araki M., Upper and lower bounds on the frequency-response gain of sampled-data systems // Proc. 87th IEEE Conf. Decision Contr., Tampa, FL, USA, pp. 319-324, 1998.

199. Hagiwara Y., Т. Ito, Araki M., Computation of the frequency response gains and "Hoo-norm of a sampled-data system // Syst. Contr. Lett., vol. 25, pp. 281-288, 1995.

200. Halpern M., Optimal tracking with previewed commands // IEE Proc. Pt. D, vol. 138, no. 3, pp. 237-241, 1991.

201. Halpern M., Preview tracking for discrete-time SISO systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-39, no. 3, pp. 589-592, 1994.

202. Hara S., Fujioka H., and Kabamba P. Т., A hybrid state-space approach to sampled-data feedback control //in Linear Algebra and Its Applications, vol. 205-206. 1994. pp. 675-712.

203. Hara S., Fujioka H., Khargonekar P., and Yarriarnoto Y., Computational aspects of gain-frequency response for sampled-data systems // Proc. 34th IEEE Conf. Decision Contr., pp. 1784 1789, 1995.

204. Henrion D., Sebek M., Symmetric matrix polynomial equation: Interpolation results // Automatica, vol. 34, no. 7, pp. 811 824, 1998.

205. Henrion D., Sebek M., An efficient numerical method for discrete-time symmetric matrix polynomial equation // IEE Proc. Control Theory Appl., vol. 145, no. 5, pp. 443-448, 1999.

206. Henrion D., Sebek M., Reliable numerical methods for polynomial matrix triangularization // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-44, no. 3, pp. 497-508, 1999.

207. Henrion D., Sebek M., An algorithm for polynomial matrix factor extraction // Int. J. Control, vol. 73, no. 8, pp. 686-695, 2000.

208. Holland J. H., Adaptation in Natural and Artificial Systems. Ann Arbor, MI: Univ. Mich. Press, 1975.

209. Houpis С. H., Larnont G. В., Digital control systems: theory, hardware, software. New York: McGraw Hill, 1985. - 667 p.

210. Hromcik M., Jezek J., and Sebek M., New algorithm for spectral factorization and its practical application // Proc. European Control Conference ECC'2001, Porto, Portugal, September 1-5, 2001.

211. Hromcik M., Sebek M., New algorithm for polynomial matrix determinant based on FFT // Proc. European Control Conference, Karlsruhe, Germany, 1999.

212. Hromcik M., Sebek M., Fast Fourier Transform and robustness analysis with respect to parametric uncertainties // Preprints of the 3rd IF AC Symposium on Robust Control Design, Prague, 2000.

213. Hromcik M., Sebek M., Fast Fourier Transform and linear polynomial matrix equations / / Preprints of the IFAC Symposium on System Structure and Control, Prague, CZ, August 29 31, 2001.

214. Hunt K. J., Kucera V., The standard control problem: a polynomial solution // Int. J. Control, vol. 56, no. 1, pp. 245-251, 1992.

215. Hunt K. J., Sebek M., and Grimble M., Optimal multivariable LQG control using a single Diophantine equation // Int. J. Control, vol. 46, no. 4, pp. 1445 1453, 1987.

216. Hunt K. J., Sebek M., and Kucera V., Polynomial solution to the standard multivariable T^-optimal control problem // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 39, no. 7, pp. 1502-1507, 1994.

217. Jezek J., Hromcik M., and Sebek M., Spectral factorization by means of discrete Fourier transform // Proc. 8th IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation, Patras, Greece, pp. 11-16, 2000.

218. Jezek J., Kucera V., Efficient algorithm for matrix spectral factorization // Automatica, vol. 21, no. 6, pp. 663-669, 1985.

219. Kabamba P. Т., Control of linear systems using generalized sampled-data hold functions // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-32, no. 9, pp. 772-783, 1987.

220. Kabamba P. Т., Нага S., Worst-case analysis and design of sampled-data control systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-38, no. 9, pp. 1337-1357, 1993.

221. Kailath Т., Linear Systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1980.

222. Kalman R., Bertram J. E., A unified approach to the theory of sampling systems // J. Franklin Inst., vol. 267, pp. 405- 436, 1959.

223. Katz P., Digital control using microprocessors. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1981. 293 p.

224. Keel L. H., Bhattacharyya S. P., Robust, fragile, or optimal? // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-42, no. 8, pp. 1098-1105, 1997.

225. Keller J. P., Anderson B. D. O., A new approach to the discretization of continuous-time controllers // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-37, no. 2, pp. 214-223, 1992.

226. Khargonekar P. P., Rotea M. A., Multiple objective optimal control of linear systems: The quadratic norm case // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-36, no. 1, pp. 14-24, 1991.

227. Khargonekar P. P., Sivashankar N., /H2-optimal control for sampled-data systems // Syst. Contr. Lett., vol. 18, pp. 627-631, 1992.

228. Khargonekar P. Т., Yamamoto Y., Delayed signal reconstruction using sampled-data control // Proc. 35th IEEE Conf. Decision Contr., pp. 12591263, 1996.

229. Kirkpatrick S., Gelatt C. D., and Vecchi M. P., Optimization by simulated annealing // Science, vol. 220, pp. 671-680, 1983.

230. Kraffer F., Row reduction without polynomial operations: an algorithm // Proc. 4th European Contr. Conf., vol. 3, Brussels, Belgium, 1997.

231. Kucera V., Algebraic theory of discrete optimal control for rnultivariable systems // Kybernetika, vol. 10 (Supplement), no. 1, pp. 1 12, 1974.

232. Kucera V., Algebraic methods in discrete linear estimation // Kybernetika, vol. 12, no. 3, pp. 171-191, 1976.

233. Kucera V., Discrete Linear Control. New York: Wiley, 1979.

234. Kucera V., A dead-beat servo problem // Int. J. Control, vol. 32, no. 1, pp. 107-113, 1980.

235. Kucera V., Stochastic rnultivariable control: A polynomial equation approach // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-25, no. 10, pp. 913919, 1980.

236. Kucera V., Exact model matching, polynomial equation approach // Int. J. Systems Set., vol. 12, no. 12, pp. 1477-1484, 1981.

237. Kucera V., Disturbance rejection: A polynomial approach // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-28, no. 4, pp. 508-511, 1983.

238. Kucera V., Linear quadratic control: State space vs. polynomial equations // Kybernetika, vol. 19, no. 3, pp. 185-195, 1983.

239. Kucera V., Stationary LQG control of singular systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-31, no. 1, pp. 31-39, 1986.

240. Kucera V., Analysis and Design of Discrete Linear Control Systems. -Prague: Academia, 1991.

241. Kucera V., Sebek M., On deadbeat controllers // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-29, no. 8, pp. 719-722, 1984.

242. Kucera V., Zagalak P., Proper solutions of polynomial equations // Proc. 14th IF AC World Congr., Beijing, China, pp. 357 362, 1999.

243. Kucera V., Diophantine equations in control A survey // Automatica, vol. 29, pp. 1361-1375, 1993.

244. Kucera V., The pole placement equation A survey // Kybernetika, vol. 30, pp. 578-584, 1994.

245. Kwakernaak H., Minimax frequency domain performance and robustness optimisation of linear feedback systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-30, no. 10, pp. 994-1004, 1985.

246. Kwakernaak H., A polynomial approach to minimax frequency domain optimization of rnultivariable feedback systems // Int. J. Control, vol. 43, no. 1, pp. 117-156, 1986.

247. Kwakernaak H., The polynomial approach to H^ regulation //in Lecture Notes in Mathematics, Hoo control theory, vol. 1496. London: Springer-Verlag, 1990. - pp. 141-221.

248. Kwakernaak H., Robust control and ^оо-optimizatiori tutorial paper // Automatica, vol. 29, no. 2, pp. 255-273, 1993.

249. Kwakernaak H., "^-optimization theory and applications for robust control design // Proc. 3rd IF А С Symposium on Robust Control Design, Prague, June 21-23, 2000.

250. Kwakernaak H., Sebek M., Polynomial J-spectral factorization // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-39, no. 2, pp. 315-328, 1994.

251. Ladisch J., Anwendung moderner Regelungskonzepte fiir Kurs- und Bahnfiihrungssystcme in der Seeschifffahrt. PhD thesis, Rostock Universitat, Rostock, Germany, 2004.

252. Lennartson В., Periodic solutions of Riccati equations applied to multiratc sampling // Int. J. Control, vol. 48, no. 3, pp. 1025-1042, 1988.

253. Lennartson В., Sarripled-data control for tirrie-delaycd plants // Int. J. Control, vol. 49, no. 5, pp. 1601-1614, 1989.

254. Lennartson В., Soderstrom Т., Investigation of the intersample variance in sampled-data control // IJC, vol. 50, pp. 1587-1602, 1989.

255. Lennartson В., Soderstrom Т., and Zeng-Qi S., Intersample behavior as measured by continuous-time quadratic criteria // Int. J. Control, vol. 49, pp. 2077-2083, 1989.

256. Levis A. H., Schueltcr R. A., and Athans M., On the behaviour of optimal linear sampled-data regulators // Int. J. Control, vol. 13, no. 2, pp. 343 361, 1971.

257. Lingarde O., Lennartson В., Comparing frequency analysis methods for sampled-data control // Proc. 37th IEEE Conf. Decision Contr., Tampa, FL, USA, pp. 831-834, 1998.

258. Megretski A., On the order of optimal controllers in mixed T^/^oo control // Proc. 33rd, IEEE Conf. Decision Contr., Lake Buena Vista, FL, pp. 3173-3174, 1994.

259. Megretski A., "The "pure" mixed H2/Hoo optimal closed loop system is not exponentially stable." http://citeseer.ist.psu.edu/megretski98pure.html.

260. Middleton R. H., Chen J., and Freudenberg J. S., Tracking sensitivity and achievable Hoo performance in preview control // Automatica, vol. 40, no. 8, pp. 1297-1306, 2004.

261. Middleton R. H., Goodwin G. C., Digital Control and Estimation: A Unified Approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1990.

262. Middleton R„, Freudenberg J., Non-pathological sampling for generalized sampled-data hold functions // Automatica, vol. 31, no. 2, pp. 315 319, 1995.

263. Middleton R„, Goodwin G., Improved finite word length characteristics in digital control using delts ooperators // IEEE Trans. Autom,at. Contr., vol. 31, no. 11, pp. 1015 1021, 1986.

264. Middleton R., Xie J., Non-pathological sampling for high order generalised sampled-data hold functions // Proc. American Control Conference, vol. 2, Seattle, WA , USA, pp. 1498-1502, 1995.

265. Mirkin L., Palmor Z., A new representation of the parameters of lifted systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 44, no. 4, pp. 833 840,1999.

266. Mirkin L., Palmor Z., Computation of the frequency response gain of sampled-data systems via projection in the lifted domain // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 47, no. 9, pp. 1505-1510, 2002.

267. Mirkin L., Tadmor G., Yet another H^ discretization // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-48, no. 5, pp. 891 894, 2003.

268. Mosca E., Casavola A., Deterministic LQ preview tracking design // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-40, no. 7, pp. 1278 1281, 1995.

269. Mosca E., Casavola A., and Giarre' L., Minimax LQ stochastic tracking and servo problems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-35, no. 1, pp. 95 97, 1990.

270. Mosca E., Giarre' L., and Casavola A., On the polynomial equations for the MIMO LQ stochastic regulator // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-35, no. 3, pp. 320-322, 1990.

271. Ogata K., Discrete-Time Control Systems. NJ: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1987. - 994 p.

272. Oishi Y., Computation-oriented expression of a non-conservative condition for robust stability of sampled-data systems // Int. J. Control, vol. 62, no. 5, pp. 1085-1104, 1995.

273. Park K., Bongiorno (Jr)., J. J., A general theory for the Wiener-Hopf design of multivariable control systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 36, no. 6, pp. 1953-1961, 1989.

274. Park K., Cho Y.-S., and Kim J. G., Wiener-Hopf design of the general two-degree-of-freedorn controllers and the connection to state space formulas // Int. J. Control, vol. 75, no. 18, pp. 1435-1448, 2002.

275. Pernebo L., An algebraic theory for the design of controllers for linear multivariable systems Parts I and II // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-26, pp. 171 193, 1981.

276. Peterka V., On steady-state minimum variance control strategy // Kybernetika, vol. 8, no. 3, pp. 219 -232, 1972.

277. Peterka V., Predictor-based self-tuning control // Automatica, vol. 20, no. 1, pp. 39-50, 1984.

278. Polyakov K. Y., Directer Entwurf mit Polynomverfahren // in E. Rosenwasser and B. Lampe, Digitale Regelung in kontinuerlicher Zeit, -pp. 455-482. Stuttgart: Teubner, 1997.

279. Polyakov K. Y., Assoziiertes T^-problem // in E. Rosenwasser and B. Lampe, Algebraische Methoden zur Theorie der Mehrgrofien-Abtastsysterne, pp. 235-254. - Rostock: Universitat, 2000.

280. Polyakov K. Y., DirectSD a toolbox for direct design of sampled-data systems // in E. N. Rosenwasser and B. P. Lampe, Computer Controlled

281. Systems: Analysis and Design with Process orientated Models, pp. 457.

282. London: Springer-Verlag, 2000.

283. Polyakov K. Y., Direct polynomial design methods // Ch. 18 in E. N. Rosenwasser and B. P. Lampe, Computer Controlled Systems: Analysis and

284. Design with Process orientated Models, pp. 409-434. - London: Springer-Verlag, 2000.

285. Polyakov K. Y., Rosenwasser E. N., and Larnpe В., Optimal digital controllers for double integrator: Comparison of four methods // Proc. CCA and CACSD, Glasgow, UK, CACSDREG 1026, September 2002.

286. Polyakov K., Lampe В., and Rosenwasser E., DirectSDM a toolbox for polynomial design of rnultivariable sampled-data systems // Proc. CACSD'2001 Taipei, Taiwan, pp. 95-100, September 2004.

287. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Direct optimal design of digital control tracking system with neutral plants // Proc. 5. Int. Symp. Methods Models Autom. Robotics, vol. 2, Miedzyzdroje, Poland, pp. 433436, 1998.

288. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Associated H^-problem for sampled-data systems // Proc. 6th Symposium on Adaptive Control, St. Petersburg, Russia, pp. 168-171, Sept. 1999.

289. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., DirectSD a toolbox for direct design of sampled-data systems // Proc. IEEE Intern. Symp. CACSD'99, Kohala Coast, Island of Hawai'i, Hawai'i, USA, pp. 357-362, 1999.

290. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Associated Hoo-problem for sampled-data systems // Proc. 3rd IF AC Symposium on Robust Control Design, Prague, June, 21.-23. 2000.

291. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Polynomial solution to %oo-problem for sampled-data systems // Proc. Process Control and Instrumentation, Glasgow, July, 26.-28. 2000.

292. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Optimal design of 2-DOF sampled-data systems // Proc. 13th Int. Conf. Process Control, Strbske Pleso, SK, June 2001.

293. Polyakov К., Rosenwasser E., and Lampe В., Quasioptimal low-order digital controller design using genetic algorithms // Proc. 9th Mediterranean Control Conf., Dubrovnik, Croatia, June 27-29, 2001.

294. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Design of optimal sampled-data tracking systems with preview / / Proc. 4th IF AC Workshops on Time-Delay Systems, R,ocquencourt, September 8-10, 2003.

295. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Optimal open-loop tracking using sampled-data system with preview // Proc. 11th IEEE Mediterranian Conf. on Control and Automation, Rhode, Greece, June 2003.

296. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Optimal sampled-data reconstruction of stochastic signals with preview // ASME Trans., Special Issue on Time-Delay Systems, no. 5, pp. 256-264, 2003.

297. Polyakov K., Rosenwasser E., and Lampe В., Optimal design of 2-DOF digital controller for sampled-data tracking systems with preview // Proc. 43rd IEEE Conf. Decision Contr., Bahama Isl., USA, pp. 2352-2357, 2004.

298. Rabbath C. A., Hori N., Structural interpretation of matched pole zero discretisation // IEE Proc. Control Theory Appl, vol. 149, pp. 257-263, 2002.

299. Raffee N., Chen Т., , and Malik O. P., A technique for optimal digital redesign of analog controllers // IEEE Trans. Contr. System, Technology, vol. CST-5, no. 1, pp. 89-99, 1997.

300. Ragazzini J. R., Zadeh L. A., The analysis of sampled-data systems // AI EE Trans., vol. 71, pp. 225-234, 1952.

301. Rattan К., Compensating for computational delay in digital equivalent of continuous control systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-34, pp. 895-899, 1989.

302. Ravi R., Nagpal K., and Khargonekar P. P., "Hoo-control of linear time-varying systems: A state-space approach // SIAM J. Control and Optimization, vol. 29, no. 6, pp. 1394-1413, 1991.

303. Roberts A. P., Newmann M. N., Polynomial approach to Wiener filtering // Int. J. Control, vol. 47, no. 3, pp. 681-696, 1988.

304. Rosenwasser E., Lampe В., Digitale Regelung in kontinuierlicher Zeit Analyse und Entwurf im Frequenzbereich. - Stuttgart: B.G. Teubner, 1997.

305. Rosenwasser E., Lampe В., Algebraische Methoden zur Theorie der Mehrgrofien- Abtastsysteme. Rostock: Universitat, 2000.

306. Rosenwasser E., Lampe В., Computer Controlled Systems: Analysis and Design with Process orientated Models. London: Springer-Verlag, 2000.

307. Rosenwasser E., Polyakov K., Lampe В., Entwurf optimaler Kursregler rnit Hilfe von Parametrischen Ubertragungsfunktionen // Automatisierungstechnik, Bd. 44, Bd. 10, S. 487 495, 1996.

308. Rosenwasser E., Polyakov K., and Lampe В., Frequency domain method for H2—optimization of time-delayed sampled-data systems // Automatica, vol. 33, no. 7, pp. 1387-1392, 1997.

309. Rosenwasser E., Polyakov K., and Lampe В., Optimal discrete filtering for time-delayed systems with respect to mean-square continuous-time error criterion // Int. J. Adapt. Control Signal Process, vol. 12, no. 5, pp. 389406, 1998.

310. Safonov M., Chiang R., Robust Control Toolbox. The Mathwork Inc., 2000.

311. Sagfors M. F., Toivonen H. Т., The sampled-data T^-problem: The equivalence of discretization based methods and a Riccati equation solution // Proc. 35th IEEE Conf. Decision Contr., Kobe, Japan, pp. 428 433, December 11-13, 1996.

312. Sebek M., Optimal tracking via polynomial matrix equations // International Journal of Systems Science, vol. 12, no. 3, pp. 357-369, 1981.

313. Sebek M., Polynomial design of stochastic tracking systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-27, no. 4, pp. 468-470, 1982.

314. Sebek M., 2-D exact model matching // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-28, no. 2, pp. 215-217, 1983.

315. Sebek M., On 2-D pole placement // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-30, no. 8, pp. 819-822, 1985.

316. Sebek M., n-D matrix polynomial equations // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-33, no. 5, pp. 499-502, 1988.

317. Sebek M., Polynomial solution of 2-D Kalman-Bucy filtering problem // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-37, no. 10, pp. 1530-1533, 1992.

318. Sebek M., Fornasini E., and Bisiacco M., Controllability and reconstructibility conditions for 2-D systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-33, no. 5, pp. 496-499, 1988.

319. Sebek M., Kucera V., Polynomial approach to tracking in discrete linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-27, no. 12, pp. 12481250, 1982.

320. Sergeev Y. D., An information global optimization algorithm with local tuning // SI AM Journal on Optimization, vol. 5, no. 4, pp. 858-870, 1995.

321. Shi P., de Souza C., and Xie L., Bounded real lemma for linear systems with finite discrete jumps // Int. J. Control, vol. 66, no. 1, pp. 145-159, 1997.

322. Sideris A., U оо-optimal control as a weighted Wiener-Hopf problem // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 35, no. 3, pp. 361-366, 1990.

323. Sivashankar N., Khargonekar P. P., Robust stability and performance analysis of sampled-data systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-38, no. 1, pp. 58-69, 1993.

324. Sivashankar N., Khargonekar P. P., Characterization of the ZVinduced norm for linear systems with jumps with applications to sarnpled-data systems // SIAM J. Control and Optimization, vol. 32, no. 4, pp. 11281150, 1994.

325. Stefanidis P., Papliriski A. P., and Gibbard M. J., Numerical operations with polynomial matrices: Application to multivariable dynamic compensator design, vol. 171 of Lecture Notes in Control and Inform. Sci. New York: Springer Verlag, 1992.

326. Stefanovski J., Polynomial J -spectral factorization in minimal state space // Automatica, vol. 39, no. 11, pp. 1893 1901, 2003.

327. Sternad M., Ahlen A., %2 design of model-based nominal and robust discrete time filters //in Polynomial Methods for Control Systems Design (Grimble M. J., Kucera V., eds.). London: Springer Verlag, 1996. -pp. 171-222.

328. Strejc V., Synthese von Regelungssystemen rnit Prozessrechner. -Berlin: Akademie-Verlag, 1967.

329. Suchomski P., A J-lossless factorization approach to %oo control in delta domain // Automatica, vol. 38, no. 10, pp. 1807-1814, 2002.

330. Sun W., Nagpal К. M., and Khargonekar P. P., control and filtering for sampled-data systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-38, no. 8, pp. 1162-1175, 1993.

331. Sun W., Nagpal К. M., Khargonekar P. P., and Poolla K. R., Digital control systems: 7/oo-controller design with a zero-order hold function // Proc. 31st IEEE Conf. Decision Contr., Tuscon, Arizona, pp. 475-480, 1992.

332. Tadmor G., %oo-optimal sampled-data control in continuous-time systems // Int. J. Control, vol. 56, no. 1, pp. 99-141, 1992.

333. Tadmor G., Mirkin L., H^ control and estimation with preview, Pt. I-II // IEEE Trans. Automat, Contr., vol. 50, no. 1, pp. 19 40, 2005.

334. Thompson P. M., Dailey R. L., and Doyle J. C., New conic sectors for sampled-data feedback systems // Syst. Contr. Lett., vol. 7, pp. 395-401, 1986.

335. Thompson P. M., Stein G., and Athans M., Conic sectors for sampled-data feedback systems // Syst. Contr. Lett., vol. 3, pp. 77-82, 1983.

336. Toivoncn H. Т., Sampled-data control of continuous-time systems with an T/oo-optimality criterion // Automatica, vol. 28, no. 1, pp. 45- 54, 1992.

337. Toivonen H. Т., Sagfors M. F., Robust control of a class of sampled-data systems with LTI uncertainties // Int. J. Control, vol. 72, no. 15, pp. 1381-1391, 1997.

338. Toivonen H. Т., Sagfors M. F., The sampled-data %00-problem: The equivalence of discretization based methods and a Riccati equation solution // Int. J. Control, vol. 66, pp. 289-309, 1997.

339. Toivonen H., A mixed ^/Hoo control problem for sampled-data systems // Int. J. Control, vol. 70, no. 4, pp. 579-602, 1998.

340. Tomizuka M., Optimal continuous finite preview problem // IEEE Trans. Automat, Contr., vol. AC-20, no. 3, pp. 362 -365, 1975.

341. Tou J., Optimum design of digital control systems. New York: Academic Press, 1963. 186 p.

342. Van Dooren P., Numerical linear algebra for signals systems and control // 1995. Course prepared for the graduate School in Systems and Control (online http://www.inma.ucl.ac.be/~vdooren).

343. Verghese G. C., Levy В. C., and Kailath Т., A generalized state-space for singular systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-26, no. 8, pp. 811-831, 1981.

344. Vidyasagar M., Control System Synthesis. Cambridge, MA: M.I.T. Press, 1985.

345. Vostry Z., New algorithm for polynomial spectral factorization with quadratic convergence. I. // Kybernetika, vol. 11, no. 6, pp. 415-422, 1975.

346. Vostry Z., New algorithm for polynomial spectral factorization with quadratic convergence. II. // Kybernetika, vol. 12, no. 4, pp. 248-259, 1976.

347. Wiener N., Exatrapolation, interpolation and smoothing of stationary time scries. New York: Wiley, 1949.

348. Yamamoto Y., New approach to sampled-data control systems -a function space method // Proc. 29th IEEE Conf. Decision Contr., pp. 1882-1887, 1990.

349. Yamamoto Y., On the state space and frequency domain characterization of 7/oo-norm of sampled-data systems // Syst. Contr. Lett., vol. 21, no. 2, pp. 163-172, 1993.

350. Yamamoto Y., A function space approach to sampled-data systems and tracking problems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-39, no. 4, pp. 703- 713, 1994.

351. Yamamoto Y., Araki M., Frequency response for sampled-data systems their equivalence and relationships // Lin. Alg. Appl., vol. 205-206, pp. 1319-1339, 1994.

352. Yamamoto Y., Hara S., Performance lower bound for a sampled-data signal reconstruction //in Open Problems in Mathematical Systems and

353. Control Theory (Blondel V., Sontag E., Vidyasagar M., Willems J., eds.). London: Springer, 1998. - pp. 277-279.

354. Yamamoto Y., Khargonekar P., Frequency response of sampled-data systems // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-41, no. 2, pp. 161-176, 1996.

355. Yan W.-Y., Anderson B. D. 0., and Bitmead R. R., On the gain margin improvement using dynamic compensation based on generalized sampled-data hold functions // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-39, no. 11, pp. 2347-2354, 1994.

356. Youla D., Bongiorno (Jr)., J. J., A feedback theory of two-degrec-of-freedom optimal Wiener-Hopf design // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-30, no. 7, pp. 652-655, 1985.

357. Youla D., Bongiorno (Jr)., J. J., and Jabr H. A., Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part I The single-input-output case // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-21, no. 1, pp. 3-13, 1976.

358. Youla D., Jabr H. A., and Bongiorno (Jr)., J. J., Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part II The rnultivariable case // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-21, no. 3, pp. 319-338, 1976.

359. Zadeh L. A., Circuit analysis of linear varying-pararneter networks // J. Appl. Phys., vol. 21, no. 6, pp. 1171 1177, 1950.

360. Zadeh L. A., Frequency analysis of variable networks // Proc. IRE, vol. 39, no. March, pp. 291 299, 1950.

361. Zadeh L. A., On stability of linear varying-parameter systems // J. Appl. Phys., vol. 22, no. 4, pp. 202-204, 1951.

362. Zakian V., Al-Naib U., Design of dynamical and control systems by the method of inequalities // IEE Proc. Control Theory Appl., vol. 120, no. Ill, pp. 1421 1427, 1973.

363. Zarnes G., Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms and approximate inverses // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-26, no. 2, pp. 301-320, 1981.

364. Zhang P., Ding S., Wang G., and Zhou D., A frequency domain approach to fault detection in sampled-data systems // Automatica, vol. 39, pp. 1303-1307, 2003.

365. Zhao H., Bentsman J., Polynomial discrete-time SISO H2 and controller syntehsis: single Diophantine equation solution // Proc. 41st, IEEE Conf. Decision Contr., Las Vegas, Nevada, USA, pp. 3446-3451, 2002.

366. Zhao H., Bentsman J., Single Diophantine equation polynomial H2 and %оо controller computation // Proc. 4th IF AC Symposium on Robust Control Design (Bitanti S., Colaneri P., eds.), Milan, Italy, pp. 499-504, Elsevier, June 25-27, 2003.

367. Zhou K., Doyle J. C., Glover K., Robust and Optimal Control. New Jersey: Prentice Hall, 1996.

368. Zhou K., Glover K., Bodenheimer В., and Doyle J., Mixed H2 and 4 performance objectives I: Robust performance analysis // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-39, no. 4, pp. 1564-1574, 1994.

369. Zuniga J. C., Numerical algorithms for polynomial matrices with applications in control. PhD thesis, Institut National des Sciences Appliquees, Toulouse, France, 2005.hctb5 /\5б т^

370. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ1. На нравах рукописи

371. ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич

372. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРЯМОГО СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ