автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Нелинейные алгоритмы цифровой обработки изображений на основе порядковых статистик и полиномиальной фильтрации

На правах рукописи

OÜ345657Q

СОРОКИН Сергей Викторович

НЕЛИНЕЙНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК И ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Специальность 05.13.17 - Теоретические основы информатики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

n ü ДЕК 2008

ПЕНЗА 2008

003456570

Диссертационная работа выполнена на кафедре «Автоматика и телемеханика» в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Щербаков Михаил Александрович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Годунов Анатолий Иванович;

кандидат технических наук, доцент Квятковский Юрий Григорьевич.

Ведущая организация - ФГУП «Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт» (г. Пенза).

Защита диссертации состоится 17 декабря 2008 г., в 14 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.186.01 в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» и на сайте www.pnzgu.ru

Автореферат разослан /Г лс^/-л_2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

Гурин Е. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время ставшие классическими методы линейной фильтрации нашли широкое применение в различных областях науки и техники. В то же время использование теории линейной фильтрации не позволяет получить приемлемое решение в ряде практически важных приложений. Известно, например, что задача оптимальной фильтрации сигналов и изображений допускает решение в классе линейных фильтров только в том случае, когда сигнал и аддитивная помеха независимы и имеют нормальное распределение. В действительности, помеха может зависеть от полезного сигнала или иметь закон распределения, отличный от нормального. В этих случаях оптимальное решение следует искать в классе нелинейных фильтров.

Постоянно увеличивающийся интерес к нелинейным средствам обработки изображений обусловлен рядом причин. Прежде всего, система визуального восприятия человека по своей сути является нелинейной. Необходимо также учитывать нелинейное поведение систем регистрации и формирования изображений.

В отличие от теории линейной фильтрации, построение единой теории нелинейной фильтрации вряд ли возможно. Наиболее известными классами нелинейных фильтров являются гомоморфные фильтры; морфологические фильтры; нейронные фильтры; фильтры, основанные на порядковых статистиках; полиномиальные фильтры. Данная классификация, не претендуя на полноту, демонстрирует лишь многообразие видов нелинейной фильтрации. Каждый из перечисленных классов имеет свои преимущества и область применения. Некоторые направления, такие, как гомоморфная фильтрация, имеют достаточно долгую историю. Другие направления появились сравнительно недавно и активно разрабатываются в настоящее время. К таким новым направлениям в области обработки изображений относятся цифровая полиномиальная фильтрация и фильтрация, основанная на порядковых статистиках.

Благодаря нелинейному характеру самих процессов передачи, кодирования и восприятия информации, а также из-за ограничений, присущих линейным операторам, наблюдается постоянно увеличивающаяся потребность в разработке и внедрении нелинейных алгоритмов при решении целого ряда задач обработки изображений, таких, как удаление шума, повышение четкости изображения, увеличение изображения, распознавание текстуры изображения. Решению данных задач посвящены работы Виттиха В. А., Дегтярева С. В.,

Кузнецова H. А., Ланнэ А. А., Садыкова С. С., Сергеева В. В., Сойфе-ра В. А., Щербакова М. А., Ярославского Л. П., Dudgeon D., Gonzalez R., Jahne В., Mitra S. К., Mersereau R., Pitas I., Prett U., Ramponi G., Shafer R., Sicuranza G., Woods R. и др. В то же время возможности фильтров, основанных на порядковых статистиках и традиционно используемых для удаления импульсного шума, до конца не изучены. Использование цифровых полиномиальных фильтров сдерживается недостатком доступных и простых методов их проектирования. В связи с этим актуальными являются исследование возможностей данных видов нелинейной фильтрации для решения типовых задач обработки изображений и разработка эффективных методов их анализа и синтеза.

Цель работы состоит в разработке и модификации алгоритмов нелинейной фильтрации, основанных на порядковых статистиках и полиномиальных разложениях, для повышения эффективности решения типовых задач цифровой обработки изображений.

В соответствии с поставленной целью основными задачами настоящей диссертационной работы являются:

- разработка способов математического описания и анализ свойств полиномиальных фильтров и класса фильтров, основанных на порядковых статистиках;

-разработка и исследование алгоритмов удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображений;

- анализ возможностей и разработка фильтров, основанных на порядковых статистиках, для решения задачи увеличения изображения;

- разработка нелинейных алгоритмов повышения четкости изображения, основанных на порядковых статистиках и полиномиальных разложениях;

- разработка способов анализа и синтеза изотропных полиномиальных фильтров в частотной области.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, теории чисел, функционального анализа, линейной алгебры, аналитической теории нелинейных систем. Моделирование и вычислительный эксперимент проводились с использованием математических пакетов Matlab, Mathematica и MathCad.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработан нелинейный алгоритм удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображения, использующий нечет-

кую логику и позволяющий уменьшить уровень шума более чем в 3 раза по сравнению с медианной фильтрацией;

- доказана эффективность использования медианной интерполяции для решения задачи увеличения изображения, применение которой позволяет существенно уменьшить «эффект ступенчатости»;

- получены аналитические и матричные представления многомерной полиномиальной фильтрации во временной и частотной областях, позволяющие решить задачу оптимальной полиномиальной фильтрации по среднеквадратическому критерию качества;

- разработаны способы анализа и синтеза двухмерных изотропных полиномиальных фильтров на основе использования базисных функций в частотной области и показана эффективность их использования для увеличения четкости изображений.

Практическая значимость исследования. Полученные в диссертации теоретические и практические результаты позволяют существенно расширить возможности и повысить эффективность методов цифровой обработки изображений, а разработанные нелинейные алгоритмы позволяют более эффективно решать типовые задачи обработки изображений по сравнению с методами линейной фильтрации. Модули программ, разработанные автором с использованием среды Ма^аЬ, легко интегрируются в современные информационные системы и графические редакторы.

На защиту выносятся :

- алгоритмы удаления импульсного шума фильтрами, основанными на порядковых статистиках и нечеткой логике;

- алгоритм увеличения изображения на основе взвешенной медианной фильтрации;

- описание свойств симметрии изотропных полиномиальных фильтров с помощью классов эквивалентности и способ их синтеза на основе аппроксимации ядер с помощью базисных частотных функций, соответствующих данным классам.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международном симпозиуме «Надежность и качество», г. Пенза, 2006, 2007 гг.; Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики», г. Сочи, 2006 г.; Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», г. Москва, 2007 г.; Международной научно-технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», г. Пенза, 2007, 2008 гг.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 13 научных трудах, из которых 3 статьи - в журнале из перечня ВАК. Зарегистрированы 2 программы для ЭВМ в отраслевом фонде алгоритмов и программ (ОФАП).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложения. Она содержит 117 страниц основного текста, 32 рисунка, 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности выбранной темы, формулировку цели и задач исследования, определяет содержание и методы выполнения работы, а также основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены методы математического описания полиномиальных фильтров и фильтров, основанных на порядковых статистиках. Рассмотрены взвешенные медианные фильтры: центрированный и перестановочный. Описан зависимый от сигнала фильтр среднего значения ранжированной последовательности (SD-ROM фильтр). Определен диапазон коэффициентов для эффективного решения задачи удаления импульсного шума с помощью SD-ROM фильтра.

Рассмотрены различные методы математического описания полиномиальной фильтрации. Многомерный полиномиальный фильтр определяется следующим функциональным полиномом:

М

у(п)= £ #„,[*(")], (1)

т=О

где jc(n) и _у(п) обозначают г -мерные входной и выходной сигналы, п = [«], и2,..., «г]; Нт[х(п)] - однородный г-мерный дискретный функционал т-го порядка, определяющий выходной сигнал ут(п) однородного нелинейного фильтра т -го порядка

т

Ут (И) = Нт [*(")] = Z • • • Z ^ ("Ь • • • >п/« )П ~ П/)'

"1 "ш '=1

где ^ обозначает г -кратное суммирование по всем элементам век-п

тора п . Для краткости фильтр вида (2) назовем гт -фильтром.

Показана взаимосвязь между многомерной линейной и полиномиальной фильтрацией. Выходной сигнал нелинейного фильтра порядка т и размерности г может быть получен из реакции многомерного линейного фильтра (прототипа) размерности гт при сепарабель-ном воздействии путем выделения из выходного сигнала данного фильтра лишь диагональных блоков размерности г .

Для реализации полиномиальных фильтров с конечной импульсной характеристикой получено матричное представление. Для перехода к матричной форме записи выражения (1) рассмотрим вектор входного сигнала

..Т

*п=[*п(0) *„(!) ...

(3)

Используя свойства кронекеровской степени матриц, определяе-п

мой как 4*) = х„

хп ', векторное представление составляющей >>т(п) /и-го порядка представим в виде:

ут{ = (4)

где Ьт - вектор коэффициентов фильтра, содержащий лексикографически упорядоченные значения нелинейной импульсной характеристики Ит(п\, ..., пи).

Для двухмерных полиномиальных фильтров опорная область определяется на двухмерной N х А'-решетке. Воспользуемся простым отображением для преобразования двухмерной индексации точек опорной области в одномерную. Для маски 3x3, например, это преобразование будет выглядеть так:

(5)

Для такого представления опорной области входной сигнал может быть записан в виде Ых Л'-матрицы. Так например, для области (5) данная матрица принимает вид

~хп(0) х„(1) хп (2)

*п(3) х„(4) *п(5)

_*„(6) хп(7) *„(»)_

"(0,0) (0,1) (0,2)" "0 1 2"

ж2 = (1,0) ОД) 0,2) 3 4 5

(2,0) (2Д) (2,2) 6 7 8

Хп =

Здесь, в отличие от (4), входной сигнал не упорядочивается в вектор, а представляется в более естественном для двухмерной фильтрации матричном виде.

Для формирования произведений отсчетов входного сигнала также воспользуемся кронекеровской степенью матрицы Х„. Образуем ш-упорядоченную по Кронекеру матрицу Нт, содержащую элементы ядра т-го, расположенные в соответствии с индексацией произведений отсчетов *„(/!)•...•*„(/„), содержащихся в матрице Х„(т). Тогда составляющая ут(п) двухмерного полиномиального фильтра может быть представлена в следующей матричной форме:

^(п)=е{ниох!г>}, (6)

где о означает произведение Адамара (поэлементное произведение матриц); Е{А} - сумму всех элементов матрицы А.

Общее количество уникальных членов для полиномиального нелинейного фильтра порядка М составит

м

(7)

т=О

~ X СИ+т-\

где С"п' - число сочетаний из и по т. В результате многомерный полиномиальный фильтр, определяемый рядом (1), будет определяться 1д/х 1 вектором коэффициентов

X |ь[

.Г

ЪТ =

ь2

ъм

составленным из векторов \\т, соответствующих составляющим фильтра различного порядка с уникальными комбинациями индексов. Аналогично формируется вектор произведений отсчетов входного сигнала

Т _ Хп

т

(42)) ... (4

Таким образом, многомерный полиномиальный фильтр, определяемый конечным рядом (1), может быть представлен в следующей простой векторной форме:

Яп) = Ь х„,

(8)

линейной относительно вектора h, содержащего коэффици-

ентов фильтра.

Во второй главе рассмотрены медианные и SD-ROM фильтры, которые принадлежат к классу нелинейных фильтров, основанных на порядковых статистиках.

Для эффективного решения задачи удаления импульсного шума реализованы алгоритмы центрированного и перестановочного взвешенного медианного фильтра. Показано, что использование ранга центрального элемента в перестановочном медианном фильтре существенно влияет на результат обработки. Данные алгоритмы зарегистрированы в ОФАП.

Используя взвешенную медианную фильтрацию, разработан алгоритм увеличения изображений. В общем случае задача увеличения решается путем вставки «нулевых» пикселей в изображение для того, чтобы увеличить его размер, а затем с помощью интерполяции новым пикселям присваивается соответствующее значение яркости. Для увеличения изображения в два раза, создается двухмерный массив с нулевыми элементами. Число строк и столбцов в два раза превышает число строк и столбцов исходного изображения. Для задания значений новым пикселям использовалась медианная фильтрация.

В общем виде процедура увеличения заключается в преобразовании двухмерного массива А исходного изображения в двухмерный массив X результирующего изображения. Пиксель исходного изображения в /-й строке иу-м столбце имеет яркость а,- у . Элементы полученного массива

X можно определить как xf"j, где р и q принимают значение 0 или 1

'00 01 00 01 00 01 х1,1 х\,\ х\,2 х1,2 х1,3 *1,3

J0 J1 J0 11 10 11 х\,\ х\,2 х1,2 х1,3 х1,3

«1,1 «1,2 «1,3

«2,1 «2,2 «2,3 =>

«3,1 «3,2 «3,3

Y00 01 00 01 00 01 х2,\ х2,\ х2,2 х2,2 2,3 х2,3

v10 11 10 11 10 11

х2,1 х2,\ х2,2 х2,2 х2,3 х2,3

v00 V01 00 01 00 r01 *3,1 *3,1 x3,2 x3,2 x3,3 x3,3

Ift II 1 Л »1 1Л 11

*3,1 x3,l x3,2 x3,2 x3,3 x3,3

(9)

Пиксели результирующего массива X получаются следующим образом:

00 _

хи

4 / = MEDIAN[a¡ ■, ам ¡, ai j+x, ам ,+1 ], 7 7 7 7 '7 (10) 01 1111

хи = MEDIAN[a¡j, atJ, aiJ+], ai j+x, xMJ, xM j ],

x\j = MEDIANIA j, aUj, ai J+l, ai+lJ, x)j_x, x\j+{ ],

где MEDIAN - простой медианный фильтр.

На рисунке 1 ,а представлено исходное изображение, где белым квадратом выделен фрагмент, подлежащий увеличению. На рисунке 1,6 представлен результат увеличения с использованием бикубической интерполяции, на рисунке \,в - медианной интерполяции. Бикубическая интерполяция применяется в большинстве профессиональных пакетов обработки изображений. При сравнении медианной и бикубической интерполяций выявлено, что при медианной интерполяции существенно уменьшается «эффект ступенчатости» и в то же время сохраняются границы деталей изображения.

Разработанный алгоритм интерполяции может найти применение при сжатии изображений.

а б в

Рисунок 1 - Изображение, у которого требуется увеличить выделенный фрагмент

Применение отрицательных весовых коэффициентов в взвешенной медианной фильтрации позволяет выделить высокочастотные составляющие изображения. При использовании данной особенности автором разработан и зарегистрирован в ОФАП алгоритм повышения четкости изображения.

Ключевым фактором, влияющим на эффективность процесса повышения четкости, является выбор фильтра высоких частот. В подавляющем большинстве случаев выбирают линейный фильтр высоких частот, так как линейные операторы имеют простую реализацию и отличаются незначительными требованиями к ресурсам в сравнении с нелинейными операторами. В то же время побочным эффектом применения высокочастотной линейной фильтрации является увеличение уровня шума, изначально присутствующего на изображении. Компромисс между уменьшением шума и выделением границ деталей изображения может быть достигнут при использовании медианной фильтрации.

В общем случае оператор повышения четкости изображения можно представить в следующем виде:

y{m,n) = x{m,ri) + XF{x{m,n)), (11)

где х(т,п) - значение пикселя исходного изображения в точке (,т,п); F(») - выход фильтра высоких частот; X - пороговый коэффициент ( X > 0 ); у(т,п) - значение пикселя полученного изображения. При увеличении коэффициента X изображение получается более четким, что также приводит к возрастанию уровня шума.

В качестве фильтра высоких частот был использован взвешенный медианный фильтр со следующими весовыми коэффициентами:

/-• -1 Л

W = l-1 8 -1]. (12)

\-1 -1 -I/

Рассмотрены применение SD-ROM фильтра и его модификации на основе нечеткой логики для удаления импульсного шума. На рисунке 2,а изображена структура простого SD-ROM фильтра. Рассмотрим окно изображения размером 3x3, в котором центральный элемент обозначен х(5). Определим вектор х'(п), который состоит из элементов х(п) рассматриваемого окна, за исключением центрального элемента:

х'(п) = [х{(п), х'2(п), ...,х'%(п)] = [*(и, -1 ,п2 -1), х(щ -1 ,п2),

Ф\ -1,«2 +1)>Фьп2 -Т),х(пьп2+1), х(щ+\,п2-\), (13) х(пх+\,п2), х(щ +1,п2 +1)],

где щ представляет собой координаты по оси у, а п2- координаты по оси х, если рассматривать изображение в декартовых координатах. Полученные элементы вектора х'(п) можно отсортировать по величине в порядке возрастания, т. е. по рангу, при этом получим вектор ранжированной последовательности г(«)=[г)(и),...,г8(и)], где (л) < г2(л) < ...< г%(п). Обозначим т(п) как среднее значение ранжированной последовательности

т{п) = (г4(п) + г5(п))/2. (14)

а

Рисунок 2 - Простой SD-ROM фильтр (а) и SD-ROM фильтр, использующий нечеткую логику (б)

Следует отметить, что (14) представляет собой выход простого медианного фильтра с той лишь разницей, что на его вход поступают все элементы окна, за исключением ценгрального. Далее определим вектор d(п), который назовем вектором разниц

d{n) = Щп), d2{ri),dz(n), </4(л)], (15)

,, ч {/;■(»)-дс(5),дляjc(5)^m(/i); . где d¡(n)= при i = 1,2,3,4. (16)

|х(5) -r¿(«),для х(5) > т(п),

Оператор определения импульса на рисунке 2,а определяет х(5) как элемент, не подверженный влиянию шума, если выполняются следующие неравенства для всех i:

di(n)<Th / = 1,2,3,4, (17)

где 7j, Г2,7з, Г4 - пороговые коэффициенты, причем 7] < Г2 < Г3 < Г4.

Если неравенство (17) не выполняется для всех /, рассматриваемый элемент считается подверженным влиянию шума. Результаты использования автором данного алгоритма для удаления импульсного шума позволили выделить для каждого порогового коэффициента Tj множество значений, при которых SD-ROM фильтр наилучшим образом удаляет импульсный шум: 7] g {4,8,12},Г2 е {15,20,25}, Т3 е {38,40,42},Т4 е {47,50,53}.

На основе использования концепции нечеткой логики выход у{п) SD-ROM фильтра можно представить как линейную комбинацию х(п) и т(п)

у(п) = a (d(n))x{n) + ß {d(n))m{rí), (18)

где сумма весовых коэффициентов a(d(ri)) и ß(d(n)) равна единице.

Данная реализация схематично изображена на рисунке 2,6.

При сравнительном анализе SD-ROM и взвешенных медианных фильтров в задачах удаления импульсного шума SD-ROM фильтрация эффективнее восстанавливает изображение, в частности, среднеквадратичная ошибка уменьшается более чем в 3 раза.

В третьей главе рассматриваются полиномиальные фильтры при решении залач повышения четкости изображения и обнаружения границ деталей изображения.

При синтезе цифровых фильтров для обработки изображений требуется обеспечить условие изотропности оператора ^ фильтрации, состоящее в том, чтобы его реакция была инвариантна к ориентации входного изображения.

Условие изотропности оператора Р можно записать в виде

F[0[P]] = Г[©[P]], (19)

где ®[Р] - оператор изменения ориентации изображения Р.

В задачах фильтрации изображений условие изотропности, как правило, сводится к инвариантности результата относительно вращения изображения на углы, кратные 90°, и его зеркального отражения относительно вертикальной оси. Обозначим данные преобразования соответственно через го1а и ге/, где а обозначает угол поворота.

Матрица Нт в представлении (6) фильтра обладает свойством восьмиугольной симметрии вида

Нт -^90(Нт) = гО/180(Н(П)-^270(Нт)-ге/(Нт). (20)

Вследствие такого рода симметрии матрица Нт полностью определяется одним из своих восьми сегментов.

Свойства симметрии изотропных фильтров во временной области имеют соответствующие аналоги в частотной области, где опорную область 912 удобно определить в виде

Г NN-1 1

Щ=\{пьп2у. у = 1,2|. (21)

Рассмотрим свойства нелинейной частотной характеристики двухмерного фильтра, определяемой выражением

2 - И Ьт(пп,щ2,..;птъпт2)х (22)

(пи,пп)&Щ (пт1,пт2)еП2 хе-у(«11®11+«12Ю12"+"т1Мт1+"т2®т2)-

Учитывая свойства симметрии многомерной импульсной характеристики /гт(лц, «12,.-, лт1> пт2) и используя векторные обозначения

I /

для аргументов nj=[nj\,nj2] , =[(0-/1»®у2] » выражение (22) может быть записано в виде:

(n1;..„ nm),eDm/~

где (nj,..., обозначает элемент-представитель / -го класса эквивалентности, а /гш(П),..., nm),- - соответствующее ему значение импульсной характеристики. Множество классов эквивалентности Dm ¡, i = 1,..., q, образует так называемое фактор-множество относительно отношения ~ и обозначается Dm / ~. Количество классов эквивалентности определяется числом возможных расположений m точек в опорной области 912, таких, что ни одно из них не может быть преобразовано в другое путем применения операций rot и ref к ■ Такие комбинации точек являются представителями классов. Количество элементов в каждом классе будет равно s!^, где К - число возможных расположений s точек на •

Суммирование в (23) выполняется по всем представителям (nj,..., nm)j классов эквивалентности, принадлежащим фактормножеству Dm/~. Частотные функции \\>т ¿(oj,...,ши) определяются для каждого класса Dm; эквивалентности в виде

Vm>i(®iv,iûm) = -— {cos^uffl,, +... + «mla)„ll)cos(H12cù11 +...+

+"m2®m2) + cos(«12®ll +- + "т2ют1)С05("11®Н +••■ + пт\^т2))^т >

где {пп,п{2,-,пт\,пт2) = {а\,...,пт)1 и обозначает представителя г-го класса Dm i; {*}sym ~ операция симметризации относительно

перестановки пространственных частот toj,wm.

Для квадратичного фильтра частотные функции (24) будут выгля-

плтг nnpmanmmi п^пячлм*

'—■ ---- — — J- —-----

2 ¡1

\|/2;1(ю1,С02) = у^7[соз("11®11 +И21®21)С08(И12Ю12 +- + "22®22) +

+ с08(»12с011 +«22®21)со5(и11со12 +... + «21(022)+ (25) + С05(«210)п + «ИС021) С05(И22(Й12 + - + "12®22) + + С05(И22СОП +И]2©21)С05(И21©12 +- + "11®22)].

Таким образом, каждому классу эквивалентности От может

быть поставлена в соответствие базисная частотная функция \\1т /(о)],..., <от). Эти функции, подобно группам коэффициентов во временной области, характеризуют классы эквивалентности в частотной области. Используя особенности функций ц>т ,•(©],...,шт),

можно синтезировать изотропные фильтры с заданными частотными свойствами. При этом для заданной опорной области целесообразно предварительно определить наборы базисных функций для нелинейных фильтров различного порядка.

Представление полиномиальных фильтров в частотной области позволяет рассматривать нелинейную фильтрацию как процесс преобразования гармонических составляющих входного сигнала в множество комбинационных составляющих выходного сигнала, определяемых частотными свойствами и степенью нелинейности фильтра. В зависимости от задачи фильтрации к проектируемому фильтру могут предъявляться различные требования, связанные с усилением или подавлением отдельных гармонических составляющих. Данные требования выражаются через сечения ядер в частотной области и являются основой для выбора адекватной структуры фильтра, обеспечивающей их выполнение при минимуме затрат. Во многих случаях достаточно ограничиться классом полиномиальных фильтров, характеристики которых определяются через дельта-функции во временной или частотной области.

В качестве примера рассмотрим квадратичный фильтр с маской 3x3. Приближенное представление о частотных свойствах нелинейного фильтра можно получить на основе исследования его интегральной частотной характеристики для синусоидального воздействия. Для двухмерного случая синусоидальный сигнал с пространственной частотой >, = [/\,]Д2] определяется выражением

т

= n = +X2n2) ■ (26)

Такая пространственная синусоида может быть охарактеризована углом а, задающим направление ее распространения, и частотой X вдоль данного направления

х(п) = A sin X(sin(a)/7( + cos(cc)п2 ), (27)

где X = yjxf + Х2 , а = arctg(A,¡/Х2).

Рассмотрен синтез изотропного нелинейного фильтра, обладающего свойством круговой симметрии, в классе квадратичных фильтров с маской (3x3), имеющих вид

у(щ ,n2) = h2 (4,4)х2 (л1, л2 ) + h (0,8) х

X[jc(«! -1, п2 - 1)jc(mj +1, п2 +1) + х(щ -1 ,п2+ l)^(/ij +1, п2 -1)] + (28)

+h2 (1,7) [*(«!, п2 - 1>дгС«1 ,п2+\) + х(щ-1, пг )х{щ +1, п2 )].

Используя (23-25) и определенную нумерацию элементов, частотное ядро можно определить в виде трех базисных функций:

Н2 (а>!, ©2) = ! h (0.8)^2,9 (®Ь1»2 ) + \ h2 0» 7) У 2,1о(®1> ®2) + (29)

+ Аг (4,4)^2,11(©1.Ш2)-

Пусть фильтр должен обеспечивать высокочастотные свойства по отношению к постоянной составляющей и основной гармонике, полностью подавляя вторую гармонику. Так как коэффициент передачи по второй гармонике определяется сечением Н2(Х,Х), необходимо, чтобы Н2(Х,Х)= 0. На основании (29) это условие во временной области будет выглядеть следующим образом:

2h2 (0,8) + 2h2 (1,7) + h2 (4,4) - 0. (30)

Заметим, что из (30) также следует СО,0) = 0. Поэтому частотный отклик фильтра К(со) будет включать в себя постоянную составляющую

70=2^2Я2(-ХД)5(®) =

= 2А\ [4/z2(0,8)cpj(2A,, а) + 2/г2(1,7)ср2(2Я, а)]5(ю) и первую гармонику

У, (ш) = 2AqAxH2 (0-, X)S(a> - X) =

= 2AqAi [4h2 (0,8)ф2 (Л, а) + 2h2 (1,7)ф2 (21, a)]S(co - Л), где функции ф¡(X, а), í = 1,2, определяются выражениями Ф1 (X, а) = eos (X sin a) cos(X sin а) -1; Ф2 (X, а) = cos(X sin а) + cos(X sin а) - 2.

Коэффициенты фильтра определены путем минимизации средне-квадратической ошибки в частотной области, характеризующей отклонение интегральной частотной характеристики фильтра от некоторой заданной функции R(X), обладающей свойством круговой симметрии. В частности, среднеквадратичная ошибка по постоянной составляющей Yq определена

Qn/2

Ezz í J [#2(-ХД)-ад]2с&с1а, (34)

о о

где Q - верхняя граничная частота рабочего диапазона фильтра.

Подставляя в (34) выражение для Н2 (-Х, л.) из (31) и приравнивая нулю частные производные по коэффициентам фильтра, получаем: Оя/2 / Пя/2

/»2 (0,8)= J J ф^г^аЩЩЫа / 2 J J <pJ(2X, a)dXda; 0 0 / 0 0 Qtü/2 / ñn/2

/i2(1,7)= f J q>2(2X,a)R(X)dXda 2 J J q>3(2b,a)dXda. 0 0 /00

Для обеспечения дифференцирующих свойств фильтра в диапазоне частот [0,7t/2] задали Л(Л,) = |А.| и Q = л/2 . В результате численного интегрирования по формулам (35) получены следующие коэффициенты фильтра: Л2(4,4) = 2,3; й2(0,8) = -1,9; h2(\,T) = -0,4 .

На рисунке 3 приведен результат применения синтезированного фильтра.

На рисунке 3,а представлено исходное изображение. Результат фильтрации с помощью нелинейного дифференцирующего фильтра (28) и рассчитанными коэффициентами представлен на рисунке 3,6. Итоговое изображение на рисунке 3,6 является более контра-

стным (различается, например, номер дома) и субъективно воспринимается лучше, чем первоначальное.

а б

Рисунок 3 - Улучшение качества изображения с помощью нелинейного фильтра: а - исходное изображение; б - результат фильтрации

С использованием матричного представления решена задача оптимальной полиномиальной фильтрации. В общем случае задачу синтеза оптимального полиномиального фильтра можно сформулировать как задачу нахождения п х 1 вектора коэффициентов hopt, минимизирующего некоторый функционал качества:

F(hopt) = minF(h), (36)

heG

h0pt eG = {he Rn : g(h) = 0}, (37)

где F(h) - целевая функция; g(h) - векторная функция ограничений.

Свойства проектируемого фильтра определяются выбором целевой функции (36). Наиболее распространенным является использование среднеквадратической ошибки, характеризующей разность выходных сигналов идеального d{п) и синтезируемого у(п) фильтров в некоторой области У! изменения п. В этом случае целевая функция

(36) определяется суммой квадратов

1 2. Ffh\ = —L_ V íj(n)-hTv_) . (38)

4 ' I СО' I ' \ 4 ' /

где - область определения выходной реализации /--мерного сигнала

Ж'г={п = (щ,...,пг): 0<щ<К-\- 1 = 1,...,г}, а 11 - количество элементов в ней.

Следует отличать от опорной области фильтра. Согласно (7) размерность вектора Ь для полиномиального фильтра порядка М составит п — Ь¡^ = . Для изотропных фильтров Ьм будет оп-

ределяться количеством классов эквивалентности и составит

М

ЬМ =1+ Л \DrnV

т=\

где \Бт\ - число элементов в классе эквивалентности для однородного фильтра т-го порядка.

В частности, для изотропного квадратичного фильтра с маской 3x3 количество уникальных коэффициентов составит Ь2 =1 + 3 + 11 = 15.

Функция ограничений (37) определяется спецификой проектируемого фильтра. В частности, требование сохранения постоянного уровня яркости в однородной зоне изображения приводит к следующим линейным ограничениям:

ЛЙ = 0, = 12>20У2) = 0> (39)

'1 '1 '2 которые могут быть представлены в матричной форме

АЬ = Ь. (40)

Целевая функция (38) может быть записана в матричной форме

Р(Ь) = ЬГКХЬ-2ЬГГ¿г+га, (41)

где Ых- автокорреляционная матрица произведений входных отсчетов

I Лг\ „еЭ?;

- вектор взаимных корреляций между заданным выходным сигналом и произведениями отсчетов входного сигнала

1Лг| пеЭГ„

и г и - среднеквадратическое значение заданного сигнала

Таким образом, задача синтеза оптимального полиномиального фильтра сводится к минимизации квадратичной функции (41) на линейном подпространстве, определяемом условием (40). Решение этой задачи хорошо известно и достигается из любой начальной точки 11[0] за один шаг в соответствии с выражением

Ьор1 I\ЪГЪ' (г^-1^10

-1 ггТ,

(42)

где Ъ - матрица со столбцами, являющимися базисом нуль-пространства, образованного строками матрицы А ограничений, т. е. удовлетворяющая условию AZ = 0.

Решена задача синтеза квадратичного фильтра для обнаружения границ деталей изображения, устойчивого к воздействию шумов. Для этого использовалось синтезированное изображение размером 64x64, состоящее из светлых и темных треугольников с уровнями яркости, равными соответственно 170 и 80. Данное изображение было искажено гауссовым шумом с дисперсией а2 = 400 и использовалось в качестве входного сигнала (рисунок 4, о).

а б в г

Рисунок 4 - Результаты обнаружения перепадов в зашумленном изображении Эталонное изображение, состоящее из выделенных перепадов, показано на рисунке 4,6. Для его получения к исходному (неискаженному) изображению был применен известный оператор Собела с последующим сравнением с порогом.

При проектировании фильтров для обнаружения перепадов условия (39) сохранения уровня яркости не накладываются. Оптимальный по критерию (41) вектор Ь коэффициентов определялся из (42) при Ъ = I. На рисунке 4, в, г приведены результаты обработки зашум-

ленного изображения с помощью рассчитанного оптимального фильтра и оператора Собела, являющегося одним из наиболее эффективных среди известных детекторов перепада. Из сравнения полученных результатов видно, что синтезированный фильтр обладает большей устойчивостью к шумам по сравнению с оператором Собела, что проявляется в существенно меньшем количестве ложных обнаружений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны способы математического описания и анализа свойств полиномиальных фильтров и класса фильтров, основанных на порядковых статистиках. Показана взаимосвязь цифровой полиномиальной фильтрации с многомерной линейной фильтрацией.

2. С использованием лексикографического упорядочения нелинейных импульсных характеристик многомерные полиномиальные фильтры представлены в матричной форме, линейной относительно вектора коэффициентов фильтра. Свойство симметрии импульсных характеристик фильтра относительно различных перестановок аргументов позволяет в значительной степени уменьшить размерность вектора коэффициентов фильтра.

3. Разработаны и реализованы алгоритмы удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображения, позволяющие существенно уменьшить уровень шума по сравнению с традиционной медианной фильтрацией. Использование нечеткой логики в SD-ROM фильтре позволяет уменьшить среднеквадратичную ошибку в 3 раза по сравнению с медианной фильтрацией.

4. Предложен алгоритм увеличения изображения с использованием медианной интерполяции, при котором существенно уменьшается «эффект ступенчатости» и в то же время сохраняются границы деталей изображения.

5. Показана возможность использования медианной фильтрации в нелинейных операторах повышения четкости изображения, позволяющая достичь компромисс между уменьшением уровня шума и выделением границ деталей изображения.

6. Получены условия изотропности, и предложен способ синтеза двухмерных полиномиальных фильтров, инвариантных относительно ориентации входного изображения. Исследованы особенности действия синтезированных нелинейных операторов и их использование для контрастирования изображений.

7. Синтезирован оптимальный полиномиальный фильтр по средне-квадратичеекому критерию качества. Рассчитанный методами оптимизации квадратичный фильтр с маской 3x3 показал большую устойчивость к шумам по сравнению с известным оператором Собела, являющимся одним из наиболее эффективных среди детекторов перепада.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Сорокин, С. В. Использование взвешенных медианных фильтров для удаления импульсного шума при обработке изображений / С. В. Сорокин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 3 (30). - С. 50-57.

2. Сорокин, С. В. Реализация SD-ROM фильтра на основе концепции нечеткой логики / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 3. -С. 56-65.

3. Сорокин, С. В. Метод синтеза цифровых полиномиальных фильтров с помощью базисных частотных функций / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. -№4,- С. 74-86.

Публикации в других изданиях

4. Сорокин, С. В. Сравнительный анализ методов нелинейной фильтрации сигналов и изображений / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Надежность и качество: тр. Междунар. симп. : в 2-х т. / под ред. Н. К. Юркова. - Пенза : Инф,-издат. центр Пенз. гос. ун-та, 2006. - С. 89-91.

5. Сорокин, С. В. Применение медианных фильтров для удаления импульсного шума при обработке изображений / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики : сб. тр. IX Междунар. науч.-практ. конф. - М., 2006. — С. 116-121.

6. Сорокин, С. В. Матричное решение задачи оптимальной нелинейной фильтрации изображений / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Надежность и качество : тр. Междунар. симп. : в 2-х т. / под ред. Н. К. Юркова. - Пенза : Инф.-издат. центр Пенз. гос. ун-та, 2007. - Т. 1. - С. 285-288.

7. Сорокин, С. В. Увеличение изображений с помощью многофазной интерполяции / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Цифровая обработка сигна-

лов и ее применение : сб. тр. Междунар. конф. и выставки. - М., 2007. -С.341-343.

8. Сорокин, С. В. Нелинейный оператор повышения качества изображения / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Надежность и качество: тр. Междунар. симп. : в 2-х т. / под ред. Н. К. Юркова. - Пенза : Инф.-издат. центр Пенз. гос. ун-та, 2007. - Т. 1. - С. 288-289.

9. Сорокин, С. В. Частотные методы синтеза цифровых полиномиальных фильтров / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Проблемы автоматизации и управления в технических системах : тр. Междунар. науч.-техн. конф. / под ред. М. А. Щербакова. — Пенза: Инф.-издат. центр Пенз. гос. ун-та, 2007. -С. 229-235.

10. Сорокин, С. В. Биометрическая идентификация человека по рисунку вен ладони / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Проблемы автоматизации и управления в технических системах : тр. Междунар. науч.-техн. конф. / под ред. М. А. Щербакова. - Пенза : Инф.-издат. центр Пенз. гос. ун-та, 2007. -С. 221-223.

11. Сорокин, С. В. Возможности и преимущества нелинейной обработки изображений / С. В. Сорокин // Информационные технологии в науке, образовании и экономике : материалы II Всерос. науч. конф. - Якутск : ЯГУ, 2007.-С. 73-75.

12. Сорокин, С. В. Синтез изотропных полиномиальных фильтров для обработки изображений / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Проблемы автоматизации и управления в технических системах : тр. Междунар. науч.-техн. конф. / под ред. М. А. Щербакова. - Пенза : Инф.-издат. центр Пенз. гос. унта, 2008.-С. 347-355.

13. Сорокин, С. В. Использование нечеткой логики для фильтрации изображений, подверженных влиянию импульсного шума / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Кибернетика и высокие технологии XXI века : тр. IX Междунар. науч.-техн. конф. - Воронеж, 2008. - С. 258-266.

14. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 7774. Удаление импульсного шума на изображении, используя взвешенную медианную фильтрацию: программа для ЭВМ / С. В. Сорокин. - Дата регистрации 15 февраля 2007 г.

15. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 8112. Повышение резкости изображения с использованием нелинейного преобразования: программа для ЭВМ / С. В. Сорокин. - Дата регистрации 11 апреля 2007 г.

Сорокин Сергей Викторович

Нелинейные алгоритмы цифровой обработки изображений на основе порядковых статистик и полиномиальной фильтрации

Специальность 05.13.17-Теоретические основы информатики

Редактор Т. Н. Судовчихина Технический редактор Н. А. Вьялкова Корректор Н. А. Сидельникова Компьютерная верстка Р. Б. Бердниковой

ИД №06494 от 26.12.01

Сдано в производство 11.11.08. Формат 60x84 Vl6. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,39. _Заказ №641. Тираж 100._

Издательство Пензенского государственного университета.

КЛЛЛГ ГТ----- Iлп

-T-TUUA.V7, 11V11JU, jiuvilll'l. IV.

Введение.

Глава 1 Математическое описание полиномиальных фильтров и фильтров, основанных на порядковых статистиках.

1.1 Медианный и SD-ROM фильтры как представители класса фильтров, основанных на порядковых статистиках.

1.2 Определение класса полиномиальных фильтров и их взаимосвязь с многомерными линейными фильтрами.

1.3 Матричное представление полиномиальных фильтров.

Актуальность темы. В настоящее время ставшие классическими методы линейной фильтрации нашли широкое применение в различных областях науки и техники. В то же время использование теории линейной фильтрации не позволяет получить приемлемое решение в ряде практически важных приложений. Известно, например, что задача оптимальной фильтрации сигналов и изображений допускает решение в классе линейных фильтров только в том случае, когда сигнал и аддитивная помеха независимы и имеют нормальное распределение. В действительности помеха может зависеть от полезного сигнала или иметь закон распределения, отличный от нормального. В этих случаях оптимальное решение следует искать в классе нелинейных фильтров [4, 27,21,33].

Постоянно увеличивающийся интерес к нелинейным средствам обработки изображений обусловлен рядом причин. Прежде всего, система визуального восприятия человека по своей сути является нелинейной [32]. Необходимо также учитывать нелинейное поведение систем регистрации и формирования изображений.

В отличие от теории линейной фильтрации, построение единой теории нелинейной фильтрации вряд ли возможно [34]. Наиболее известными классами нелинейных фильтров являются гомоморфные фильтры [65]; морфологические фильтры [69]; нейронные фильтры [75, 35]; фильтры, основанные на порядковых статистиках [51, 55]; полиномиальные фильтры [58, 61, 34]. Данная классификация, не претендуя на полноту, демонстрирует лишь многообразие видов нелинейной фильтрации. Каждый из перечисленных классов имеет свои преимущества и область применения. Некоторые направления, такие, как гомоморфная' фильтрация, имеют достаточно долгую историю. Другие направления появились сравнительно недавно и активно разрабатываются в настоящее время. К таким новым направлениям в области обработки изображений относятся цифровая полиномиальная фильтрация и фильтрация, основанная на порядковых статистиках.

Благодаря нелинейному характеру самих процессов передачи, кодирования и восприятия информации, а также из-за ограничений, присущих линейным операторам, наблюдается постоянно увеличивающаяся потребность в разработке и внедрении нелинейных алгоритмов при решении-целого ряда задач обработки изображений, таких, как удаление шума, повышение четкости изображения, увеличение изображения, распознавание текстуры изображения [25]. Решению данных задач посвящены работы Виттиха В. А. [2], Дегтярева С. В. [6], Кузнецова Н. А. [47], Ланнэ А. А. [9], Садыкова С. С. [16], Сергеева В. В. [2], Сойфера В. А. [2], Щербакова М. А. [33], Ярославского J1. П. [37], Dudgeon D. [5], Gonzalez R. [4], Jàhne В. [54], Mitra S. К. [38, 61, 59], Mersereau R. [5], Pitas I. [65], Prett U. [12], Ramponi G. [15], Shafer R. [11], Sicuranza G. [58], Woods R. [4] и др. В то же время возможности фильтров, основанных на порядковых статистиках и традиционно используемых для удаления импульсного шума, до конца не изучены. Использование цифровых полиномиальных фильтров сдерживается недостатком доступных и простых методов их проектирования. В связи с этим актуальными являются исследование возможностей данных видов нелинейной фильтрации для решения типовых задач обработки изображений и разработка эффективных методов их анализа и синтеза.

Цель работы состоит в разработке и модификации алгоритмов нелинейной фильтрации, основанных на порядковых статистиках и полиномиальных разложениях, для повышения эффективности решения типовых задач цифровой обработки изображений.

В соответствии с поставленной целью основными задачами настоящей диссертационной работы являются:

- разработка способов математического описания и анализ свойств полиномиальных фильтров и класса фильтров, основанных на порядковых статистиках;

- разработка и исследование алгоритмов удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображений;

- анализ возможностей и разработка фильтров, основанных на порядковых статистиках, для решения задачи увеличения изображения;

- разработка нелинейных алгоритмов повышения четкости изображения, основанных на порядковых статистиках и полиномиальных разложениях;

- разработка способов анализа и синтеза изотропных полиномиальных фильтров в частотной области.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, теории чисел, функционального анализа, линейной алгебры, аналитической теории нелинейных систем. Моделирование и вычислительный эксперимент проводились с использованием математических пакетов Ма1:1аЬ, МаШепШюа и Ма1:1аСас1.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработан нелинейный алгоритм удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображения, использующий нечеткую логику и позволяющий уменьшить уровень шума более чем в 3 раза по сравнению с медианной фильтрацией;

- доказана эффективность использования медианной интерполяции для решения задачи увеличения изображения, применение которой позволяет существенно уменьшить «эффект ступенчатости»;

- получены аналитические и матричные представления многомерной полиномиальной фильтрации во временной и частотной областях, позволяющие решить задачу оптимальной полиномиальной фильтрации по среднеквадратическому критерию качества;

- разработаны способы анализа и синтеза двухмерных изотропных полиномиальных фильтров на основе использования базисных функций в частотной области, и показана эффективность их использования для увеличения четкости изображений.

Практическая значимость исследования. Полученные в диссертации теоретические и практические результаты позволяют существенно расширить возможности и повысить эффективность методов цифровой обработки изображений, а разработанные нелинейные алгоритмы дают возможность более эффективно решать типовые задачи обработки изображений по сравнению с методами линейной фильтрации. Модули программ, разработанные автором с использованием среды МаНаЬ, легко интегрируются в современные информационные системы и графические редакторы. На защиту выносятся:

- алгоритмы удаления импульсного шума фильтрами, основанными на порядковых статистиках и нечеткой логике;

- алгоритм увеличения изображения на основе взвешенной медианной фильтрации;

- описание свойств симметрии изотропных полиномиальных фильтров с помощью классов эквивалентности и способ их синтеза на основе аппроксимации ядер с помощью базисных частотных функций, соответствующих данным классам.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международном симпозиуме «Надежность и качество», г. Пенза, 2006, 2007 гг.; Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики», г. Сочи, 2006 г.; Международной конференции' «Цифровая обработка сигналов и ее применение», г. Москва, 2007 г.; Международной научно-технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», г. Пенза, 2007, 2008 гг.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 13 научных трудах, из которых 3 статьи - в журнале из перечня ВАК. Зарегистрированы 2 программы для ЭВМ в отраслевом фонде алгоритмов и программ (ОФАП).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит введения, трех глав, заключения, библиографии и приложения. Она содержит 1 страниц основного текста, 32 рисунка, 7 таблиц.

Основные результаты и выводы

1 Синтез нелинейных фильтров должен выполняться для заданного класса входных сигналов, в качестве которых могут быть использованы синусоидальные воздействия, позволяющие так же, как и в линейном случае, существенно упростить анализ и синтез полиномиальных фильтров в частотной области.

2 Предложен способ описания свойств проектируемого фильтра на основе сечений ядер в частотной области, характеризующих вклад различных комбинационных составляющих в суммарную реакцию фильтра на заданной частоте. Требования, предъявляемые к сечениям ядер в частотной области, могут быть преобразованы в эквивалентные условия относительно импульсных характеристик фильтра во временной области, необходимые для его практической реализации.

3 Рассмотрены свойства симметрии двухмерных изотропных фильтров, инвариаитных относительно изменения ориентации входного изображения. Разбиение множества коэффициентов изотропного полиномиального фильтра на классы эквивалентности позволяет существенно уменьшить число степеней свободы при проектировании фильтра и упростить его реализацию.

4 Предложен метод синтеза двухмерных изотропных фильтров, основанный на аппроксимации ядер полиномиального фильтра с помощью базисных частотных функций, соответствующих отдельным классам эквивалентности. С помощью данного метода синтезирован квадратичный дифференцирующий оператор, обладающий свойством круговой симметрии, рассмотрены его свойства и использование для контрастирования изображений.

5 Синтез оптимальных полиномиальных фильтров по среднеквадратическому критерию качества можно рассматривать как задачу минимизации квадратичной функции при линейных ограничениях, обеспечивающих заданную реакцию фильтра при определенных воздействиях. Данная задача имеет единственное решение, которое достигается за один шаг из любой начальной точки. Рассчитанный методами оптимизации квадратичный фильтр с маской 3x3 показал большую устойчивость к шумам по сравнению с известным оператором Собела, являющимся одним из наиболее эффективных среди известных детекторов перепада.

105

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1 Разработаны способы математического описания и анализа свойств полиномиальных фильтров и класса фильтров, основанных на порядковых статистиках. Показана взаимосвязь цифровой полиномиальной фильтрации с многомерной линейной фильтрацией.

2 С использованием лексикографического упорядочения нелинейных импульсных характеристик многомерные полиномиальные фильтры представлены в матричной форме, линейной относительно вектора коэффициентов фильтра. Свойство симметрии импульсных характеристик фильтра относительно различных перестановок аргументов позволяет в значительной степени уменьшить размерность вектора коэффициентов фильтра.

3 Разработаны и реализованы алгоритмы удаления импульсного шума с сохранением границ деталей изображения, позволяющие существенно уменьшить уровень шума по сравнению с традиционной медианной фильтрацией. Использование нечеткой логики в SD-ROM фильтре позволяет уменьшить среднеквадратичную ошибку в 3 раза по сравнению с медианной фильтрацией.

4 Предложен алгоритм увеличения изображения с использованием медианной интерполяции, при котором существенно уменьшается «эффект ступенчатости» и в то же время сохраняются границы деталей изображения.

5 Показана возможность использования медианной фильтрации в нелинейных операторах повышения четкости изображения, позволяющая достичь компромисс между уменьшением уровня шума и выделением границ деталей изображения.

6 Получены условия изотропности, и предложен способ синтеза двухмерных полиномиальных фильтров, инвариантных относительно ориентации входного изображения. Исследованы особенности действия синтезированных нелинейных операторов и их использование для контрастирования изображений. 7 Синтезирован оптимальный полиномиальный фильтр по среднеквадратическому критерию качества. Рассчитанный методами оптимизации квадратичный фильтр с маской 3x3 показал большую устойчивость к шумам по сравнению с известным оператором Собела, являющимся одним из наиболее эффективных среди детекторов перепада.

107

1. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. - 6-е изд. - М.: Наука, 1969. - 736 с.

2. Виттих В.А. Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований. / В. А. Виттих, В. В. Сергеев, В. А. Сойфер. — М.: Наука, 1982.-213с.

3. Гилл Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. -М.: Мир, 1985. 510 с.

4. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р. Вудс; Пер. с англ. М.: Техносфера, 2005. - 1072 с.

5. Даджион Д. Цифровая обработка многомерных сигналов / Д. Даджион, Р. Мерсеро. М.: Мир, 1988.-488 с.

6. Дегтярев C.B. Методы цифровой обработки изображений: учеб. пособие 4.1 / C.B. Дегтярев, С.С. Садыков, С.С. Тевс, Т. А. Ширабакина. Курск, 2001. — 167 с.

7. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 1994. - 320 с.

8. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

9. Ланнэ A.A., Соловьева Е.Б. Нелинейные цифровые фильтры импульсных помех. 2 Международная НТК "Цифровая обработка сигналов и ее применение" М. 1999, т.2, С.31-38.

10. Макклеллан Дж. Г., Рейдер Ч. М. 'Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов / Под ред. Ю. И. Манина. М.: Радио и связь, 1983.-264 с.

11. П.Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. -М.: Радио и связь, 1979. 416 с.

12. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. В 2 кн. М.:Мир, 1982. -Кн. 1.-312 с. Кн. 2.-480 с.

13. Пупков К. А. Функциональные ряды в теории нелинейных систем / К. А. Пупков, В. И. Капалин, А. С. Ющенко. М.: Наука, 1976. 448 с.

14. Рабинер JI. Теория и применение цифровой обработки сигналов. / JI. Рабинер, Б. Гоулд; Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 848 с.

15. Рампони Дж. Расчет изотропных характеристик квадратичных фильтров методом двухимпульсной характеристики // ТИИЭР., 1990., Т.78., № 4., С. 96-108.

16. Садыков С.С. Цифровая обработка и анализ изображений Ташкент: НПО "Кибернетика", АН РУЗ. - 1994. - 193 с.

17. Сорокин С. В. Использование взвешенных медианных фильтров для удаления импульсного шума при обработке изображений / С. В. Сорокин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2007. - № 3 (30). - С. 50-57.

18. Сорокин С. В. Увеличение изображений с помощью многофазной интерполяции / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Цифровая обработка сигналов и ее применение : сб. тр. Междунар. конф. и выставки. М., 2007. - С. 341-343.

19. Сорокин С. В. Нелинейный оператор повышения качества изображения / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Надежность и качество: тр. Междунар. симп. : в 2-х т. / под ред. Н. К. Юркова. -Пенза: Инф.-издат. центр Пенз. гос. ун-та, 2007. Т. 1. - С. 288-289.

20. Сорокин С. В. Метод синтеза цифровых полиномиальных фильтров с помощью базисных частотных функций / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2007. - № 4 - С. 74-86.

21. Сорокин С. В. Реализация SD-ROM фильтра на основе концепции нечеткой логики / С. В. Сорокин, М. А. Щербаков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2007. -№1- С. 56-65.

22. Сорокин С. В. Возможности и преимущества нелинейной обработки изображений / С. В. Сорокин // Информационные технологии в науке, обра-зовании и экономике : материалы II Всерос. науч. конф. Якутск : ЯГУ, 2007. - С. 73-75.

23. Трахтман А. М. Основы дискретных сигналов на конечных интервалах / А. М. Трахтман, В. А. Трахтман. Сов. радио, 1975. - 208 с.

24. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Мир, 1979.- 260 с.

25. Хьюбел Д. Глаз, мозг, зрение. Пер с англ. М.: Мир, 1990. - 239 с.

26. Щербаков М. А. Нелинейная фильтрация сигналов и изображений: Учеб. Пособие. Пенза: ИИЦ ПГУ, 1999. - 166 с.

27. Щербаков М. А. Теория цифровой полиномиальной фильтрации и ее приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора тех. наук. Пенза, 1998. - 408 с.

28. Щербаков М. А. Искусственные нейронные сети: Конспект лекций. Пенза: ИИЦ ПГУ, 1996. 44 с.

29. Щербаков М. А. Цифровая полиномиальная фильтрация: теория и приложение. Пенза: ИИЦ ПГУ, 1997. 246 с.

30. Ярославский JI.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Советское радио. 1979. - 311 с.

31. Abreu Е., Lightstone М., Mitra S. К., Arakawa К. A new efficient approach for removal of impulse noise from highly corrupted images // IEEE Trans. Image Process., Special Issue on Nonlinear image processing, 5(6), 1996. -P.1012-1025.

32. Abreu E., Mitra S. K. A signal dependent rank ordered mean (SD-ROM) filter a new approach for removal of impulses from highly corrupted images // In Proc. Intl. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal processing, Vol.4, 1995. -P.2371-2374.

33. Arakawa K. A median filters based on fuzzy*rules // IEICE Trans, J78-A(2), 1995.-P.123-131.

34. Arce G. R. A general weighted median filter structure admitting negative weights //IEEE Trans. Signal Process. SP-46(12), 1998. P. 3195-3205.

35. Arce G. R. Statistic threshold decomposition for recursive and nonrecursive median filters // IEEE Trans. Inf. Theory IT-32(2), 1986. P. 243-253.

36. Arce G. R., Gallagher N. C. Statistic analysis of the recursive median filter process //IEEE Trans. Inf. Theory IT-34(4), 1988. P. 669-679.

37. Arce G. R., Gallagher N. C., Nodes T. Median filters: theory and applications JAI press, Greenwich, CT - 1986.

38. Arce G. R., Hall T. A., Barner К. E. Permutation weighted order statistic filters // IEEE Trans. Image Process. 4, 1995. P. 1070-1083.

39. Arce G. R., Paredes J. L. Recursive weighted median filters admitting negative weights and their optimization // IEEE Trans. Signal Process. SP-48(3), 2000. P. 768-799.

40. Bockstein I.M., Karnaukhov V.N., Kuznetsov N.A., Merzlyakov N.S., Rubanov L.I. Digital restoration, enhancement, and archiving of photodocuments. In: Digital Image Processing and Computer Graphics (DIP-97).

41. Weftger E., Dimitrov L.I. (editors), Proceedings of SPIE, 1998, Vol. 3346, 350-356.

42. Boff K. R., Kaufman L., Thomas J. P. Handbook of perception and human performance, Vol. I: Sensory processes and* perception. Wiley, New York, 1986.

43. Brownrig D. R. K. The weighted median filter // Commun. Assoc. Comput. Machin. 27(8), 1984. P. 807-818.

44. Chandra C., Moore M. S., Mitra S. K. An efficient method for the removal of impulse noise from speech and audio signals. // In Proc. IEEE Intl. Symp. On Circuits and Systems, Vol. 4, 1998. P. 206-209.

45. David H. Order statistics. Wiley Interscience, New York, 1982. - 384 p.

46. Florencio D. A. F., Schafer R. Decision-based median filter using local signal statistics // In Visual Communication and image processing, Proc. SPIE Vol. 2308, 1994. P. 268-275.

47. Hardie R. C., Barner K. E. Rank conditioned rank selection filters for signal restoration // IEEE Trans. Image Process. 3, 1994. P. 192-206.

48. Jahne B. Digital Image processing. Springer. - 1990. - 607 p.

49. Ko S.-J., Lee Y. Center weighted median filters and their applications to image enhancement // IEEE Trans. Circ. Syst. 1991 - V. 38. - 19. - P. 984993.

50. Kundu A., Mitra S. K., Vaidyanathan P. P. Applications of two-dimensional generalized mean filtering for removal of impulse noise from images // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. V. 32, 1984. P. 600-609.

51. Lehmann E. Theory of point estimation. Springer, 2-d ed., 2003. - 589 p.

52. Mathews V., Sicuranza G. Polynomial signal processing. A Wiley-Interscience Publication, 2000. - 445 p.

53. Mitra S. K. Digital signal processing: a computer-based approach. -McGraw-Hill, Burr Ridge, IL, 3-d ed., 2005. 972 p.

54. Mitra S. K., Yu T-H. A new nonlinear algorithm for removal of impulse noise from highly corrupted images // In Proc. IEEE Intl. Symp. On Circuits and Systems, Vol. 3, 1994. P. 17-20.

55. Mitra S., Sicuranza G. Nonlinear image processing. Academic press, 2001.- 455 c.

56. Paredes J. L., Arce G. R. Stack filters, stack smoothers, and mirrored threshold decomposition // IEEE Trans. Signal Process. SP-47(10), 1999. -P. 2757-2767.

57. Pedrycz W. Fuzzy evolutionary computation. Kluwer, Boston, MA, 1997.- 336 p.

58. Picinbono B. Quadratic filters // In proc. IEEE intl. Conf. on Acoustics, Speech and Signal Processing, 1982. P. 298-301.

59. Pitas I., Venetsanopoulos A. N. Nonlinear digital filters: principles and applications. Kluver Academic Publishers, 1990. 391 p.

60. Queiroz R., Florencio D. and Schafer R. Nonexpansive pyramid for image coding using a nonlinear filterbank // IEEE Trans. Image Process. 7(2), 1995. P. 246-252.

61. Rugh W. J. Nonlinear System Theory. The Volterra/Wiener Approach. Baltimore and London: The Johns Hopkins University Press, 1981. 325 p.

62. Russo F. A new class of fuzzy operators for image processing: design and implementation // Proc. II IEEE Intl. Conf. on Fuzzy systems. San Francisco, CA, 1993. - P. 815-820.

63. Serra J. Image analysis and mathematical morphology. Academic press, 1984. -610 p.

64. Shynk J. Adaptive IIR filtering // IEEE ASSP Mag. 6(2), 1989. P. 4-21.

65. Sicuranza G. Quadratic filters for digital processing // Proc. IEEE 80, 1992.- P; 1263-1285.

66. Sun T., Neuvo Y. Detail-preserving median based filters in image processing // Patt. Recog. Lett. 15, 1994. P. 341-347.

67. Tukey J. Nonlinear methods for smoothing data // In Congr. Rec. EASCON, 1974.-673 p.

68. Yin L., Yang R., Gabbouj M. and Neuvo Y. Weighted median filters: a tutorial // IEEE Trans. Circ. Syst.II, 43(3), 1996. P. 157-192.

69. Zaknich A., Attikiouzel Y. Application of artificial neural networks to nonlinear signal processing, Computational Intelligence: A dynamic System Perspective // IEEE Press, November, 1995. P. 292-311.