автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Планирование пути колесного робота по зашумленным измерениям в задаче управления движением вдоль криволинейной траектории

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА РАН

УДК 519.6

На правах рукописи

Й И

69

352

Гилимьянов Руслан Фаильевич

ПЛАНИРОВАНИЕ ПУТИ КОЛЕСНОГО РОБОТА ПО ЗАШУМЛЕННЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ВДОЛЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАЕКТОРИИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 з МАЯ 2010

Москва - 2010

004601852

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Рапопорт Лев Борисович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Курдюков Александр Петрович

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент

Ткачёв Сергей Борисович Институт системного анализа РАН

Защита состоится 24 мая 2010 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.226.01 Учреждения Российской академии наук Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65. Телефон Совета (495) 334-93-29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

Автореферат разослан 23 апреля 2010 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 002.226.01 доктор технических наук

В.К. Акинфиев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Автоматически управляемые колесные транспортные средства, или колесные роботы (КР), широко используются при решении различных задач военного и гражданского назначения, при проведении строительных, горных, дорожных и сельскохозяйственных работ. Для определения положения КР используются различные сенсоры: одометры, лазерные дальномеры, сонары, геомагнитные сенсоры, видеокамеры, инерциальные сенсоры и оборудование GNSS (Global Navigation Satellite Systems — глобальные спутниковые навигационные системы).

При управлении КР возникает множество задач. Одна из них, планирование пути, заключается в построении целевой траектории, вдоль которой КР будет двигаться в автоматическом режиме. Целевая траектория строится через множество точек, которые могут задаваться следующим способом. Управляемый вручную, колесный робот проводится по желаемому пути, координаты которого измеряются GNSS приемником и сохраняются в качестве задания. Очевидна практическая важность такой постановки задачи во многих областях, например, в сельском хозяйстве, когда трактору необходимо точно и неоднократно следовать вдоль криволинейной траектории в автоматическом режиме для выполнения операций посадки, полива, внесения удобрений и т.п.

Существуют различные способы представления пути. Самый простой способ построения траектории с помощью отрезков прямых линий и дуг окружностей имеет следующий недостаток. При переходе с одного сегмента траектории на другой, кривизна меняется скачком. Угол поворота КР не может измениться мгновенно, поэтому такая траектория не является допустимой. Хотя в сельском хозяйстве широко применяются простые траектории, для полей со сложной границей или наличием препятствий на поле (например, в виде камней, деревьев, прудов, линий электропередач) необходимо применение криволинейных траекторий. Для построения криволинейных траекторий по заданному набору точек используют различные полиномиальные сплайны. Недостаток сплайнов — сложность построения и сложность вычисления расстояния от КР до кривой. К тому же, как правило, форма сплайна зависит от всего набора

точек, и при изменении хотя бы одной точки требуется пересчитывать весь сплайн. Этих недостатков лишены хорошо известные однородные (локально-аппроксимирующие) кубические В-сплайны, используемые в настоящей работе. В отличие от прочих сплайнов, эти сплайны вычисляются по простым формулам без решения систем уравнений или задачи аппроксимации методом наименьших квадратов. Также просто и эффективно вычисляется расстояние до данных сплайнов [11].

Если точки, по которым строится сплайновая кривая, получены в результате измерений с некоторой ошибкой, то форма её кривизны, может оказаться неудовлетворительной для использования кривой в задачах автоматического управления.

Для получения сплайновых кривых с плавно меняющейся кривизной используют следующие широко распространенные подходы.

1. Совмещение процесса построения кривой с её сглаживанием. Например, таким образом, строятся сглаживающие сплайны.

2. Сначала строится аппроксимирующая или интерполирующая кривая, а затем производится её сглаживание.

В результате использования первого подхода можно получить сплайны хорошего «качества» с плавно меняющейся кривизной, но полученные кривые сложно использовать в задачах автоматического управления. Как уже говорилось, для задач планирования пути КР можно использовать однородные (локально-аппроксимирующие) В-сплайны. Данные сплайны можно сглаживать методами, относящимися ко второму подходу. Как правило, большинство из этих методов локальные, т.е. созданы для сглаживания части кривой. Для сглаживания длинных кривых требуются значительные вычислительные ресурсы, при этом может получиться кривая не очень хорошего «качества». Поэтому актуальна задача разработки эффективных методов сглаживания кривизны В-сплайновых кривых, построенных по зашумленным измерениям.

В настоящей диссертационной работе используются С^Б измерения. Используя избыточность измерений можно «отлавливать» аномальные измерения и обеспечить большую точность и надежность определения координат точек. «Хвосты» плотности распре-

делений ошибок измерений оказываются практически отрезанными на уровне 1,5-2 см.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов построения криволинейных траекторий по зашум-ленным измерениям с целью их последующего использования в задачах автоматического управления движением колесных роботов.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, теории приближений и методы организации вычислений в реальном времени на вычислительных средствах с ограниченными ресурсами.

Научная новизна. Разработаны различные методы сглаживания кривизны траекторий, представленных с помощью однородных (локально-аппроксимирующих) кубических В-сплайнов. Предложенные методы можно применять для сглаживания кривизны траекторий с учетом ограничений на кривизну. Методы позволяют обрабатывать большие массивы данных при ограниченной оперативной памяти и в режиме реального времени с небольшой задержкой. Покомпонентный метод можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования, а также экспериментами с реальным колесным роботом.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием вычислительных методов теории приближений и вычислительной математики. Предложенные методы построения по зашумленным измерениям кривой с плавно меняющейся кривизной могут применяться при планировании пути колесного робота, а также при планировании траектории робота-манипулятора, траектории перемещения инструмента на станке с ЧПУ, в системах автоматизированного проектирования и компьютерной графики. Использование траекторий с плавно меняющейся кривизной в задачах автоматического управления движением колесного робота увеличивает качество сформированного управления, уменьшает расход энергии на повороты ру-

левых колес и повышает точность отработки целевой траектории.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в ООО «Джавад Джи Эн Эс Эс», что подтверждается актом о внедрении результатов диссертационной работы. Предлагаемые в работе методы реализованы во встроенном программном обеспечении спутникового навигационного приемника и в бортовом компьютере колесного робота.

Связь с планами работ. Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН в рамках исследований при финансовой поддержке Президиума РАН (Программа 22), Отделения ЭММПУ РАН (Программа 15) и государственной программы поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-1676.2008.1).

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Метод сглаживания кривизны траекторий с учетом ограничений на кривизну.

2. Метод декомпозиции для сглаживания кривизны длинных траекторий.

3. Рекуррентный метод сглаживания кривизны траекторий, позволяющий обрабатывать большие массивы данных при ограничениях на оперативную память.

4. Методы сглаживания кривизны со скользящим окном, позволяющие сглаживать кривизну длинных траекторий при ограниченной оперативной памяти и в режиме реального времени с небольшой задержкой.

5. Покомпонентный метод, который можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников.

Апробация результатов работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных конференциях: ХЫХ-й научной конференции МФТИ

(Москва, 2006); II-й школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Воронеж, 2007); ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences (Las Vegas, 2007); II-й Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления (Москва, 2008); IV-й Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (Казань, 2008); 6th EUROMECH Conference ENOC2008 (St. Petersburg, 2008); Первой традиционной всероссийской молодежной летней школе «Управление, информация и оптимизация» (Переславль-Залесский, 2009); VI-й Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Ижевск, 2009); 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре статьи [4, 8, 9,11] в ведущих научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и девять работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [1-3, 5-7, 10, 12, 13].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложения. Работа изложена на 124 страницах, содержит 42 иллюстрации. Библиография включает 122 наименования.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность, практическая и теоретическая значимость диссертационной работы, дается обзор по теме работы, сформулированы цели и задачи исследования, описана структура, основные положения диссертационной работы и краткое содержание её разделов.

В первой главе рассмотрена модель КР, имеющего автомобильную конструкцию. Рассматривается плоское движение КР без проскальзывания. В качестве управления выступает скорость поворота рулевых колес. Ресурс управления ограничен, угол поворота колес не может измениться мгновенно, также нужно учесть фазовые ограничения - ограничения на максимальный угол поворота колес, которые эквивалентны ограничению на максимальную кри-

визну траектории движения КР

|и| < й.

Для данной модели рассмотрена задача синтеза закона управления, позволяющего стабилизировать движение КР вдоль криволинейной целевой траектории.

С учетом представленной модели КР, сформулированы требования к кривой, представляющей целевую траекторию. Требование движения всех колес без проскальзывания и учет динамики привода управления рулевыми колесами, приводят к тому, что кривая должна быть дважды непрерывно-дифференцируемой функцией, т.е. С2-гладкой. Еще одно ограничение связано с ограниченностью угла поворота колес. Оно эквивалентно ограничению на максимальную кривизну кривой

|^тах| ^ И.

Малые ошибки измерений приводят к существенному изменению кривизны траектории, построенной по зашумленным измерениям. График кривизны представляет собой быстро осциллирующую функцию, как правило, превышающую по величине значение и. Для того чтобы повторить кривую с такой кривизной в автоматическом режиме требуются частые повороты рулевых колес с максимальной скоростью, что не обеспечивает качественное управление и может привести к быстрому износу или поломке рулевого устройства. Поэтому кривая должна быть гладкой в смысле плавности графика кривизны. Кроме того требуется уметь эффективно строить кривую и вычислять расстояние до кривой.

Во второй главе предложено аппроксимировать целевую траекторию однородными (локально-аппроксимирующими) кубическими В-сплайнами. Пусть есть упорядоченный набор измерений

5 = {п\и, п е ж2, п > 4,

измерения г,; также именуются контрольными точками. Пусть расстояние между любыми двумя соседними контрольными точками приблизительно одинаково и равно (1,3. Искомая траектория состоит из элементарных однородных кубических В-сплайнов каждый

из которых строится по четырем точкам следующим образом О < Ь < 1 — параметр сплайна, Щ = [Гг-1,Г{, Г(+г] е .

2x4

м =

6

1 -3 4 О 1 3 О О

3 -1

-6 3

3 -3

О 1

" 1

II t t2 . t3.

Через C(S) обозначим искомую кривую, аппроксимирующую точки из набора S. Получена следующая оценка погрешности аппроксимации баррг = kmaxd%/6. Разработаны методы эффективного вычисления расстояния до данной кривой [11].

Пример аппроксимации реальной траектории. Во всех описы-

Рис. 1. а) Траектория, б) Кривизна траектории.

ваемых примерах используется набор точек Б', полученный во время полевых испытаний, в ходе которых СЖБ приемником измерялось положение целевой точки автомобиля, движущегося по некоторому пути. Измерения равноточные, среднеквадратическое отклонение (СКО) измерений а приблизительно равно 0,5-1 см. Число точек в наборе п — 260, расстояние между точками приблизительно одинаковое б/3 ~ 0,5 м, длина пройденного пути около 129,5 м. Максимальная кривизна траектории, по которой двигалась машина,

О.б 0.4 0.2 'а о.о

«и

-0.2

-0.4

""о 20 40 €0 80 100 120 140

Рис. 2. Производная кривизны траектории.

не превышала 0,11 м-1. В-сплайновая аппроксимация траектории C(S), построенная по данному набору точек, а также сами точки, показаны на рис. 1 слева, ввиду их близости, они не различимы на рисунке в масштабе всей кривой. Кривизна полученной кривой в зависимости от длины пути изображена на рис. 1 справа, а её производная на рис. 2. Хотя кривизна реальной траектории, по которой двигался автомобиль, менялась плавно, график кривизны кривой C(S), построенной по зашумленным измерениям, представляет собой быстро осциллирующую функцию, превышающую значение ü и 0,2 м"1.

Моделирование движения КР вдоль траектории C(S). Так как кривизна кривой связана с углом поворота колес, а её производная со скоростью угла поворота колес, то для того чтобы повторить траекторию с такой кривизной в автоматическом режиме, требуются частые повороты рулевых колес, при этом расходуется много энергии и колесный робот движется с большими отклонениями. Это подтверждают результаты моделирования, представленные на рис. 3. Параметры модели КР соответствовали параметрам автомобиля Шевроле Нива. Скорость робота была постоянной v = 1,7 м/с.

; И Ц Щ

Рис. 3. а) Управление, б) Отклонения (боковое, угловое, кривизны).

В третьей главе представлены различные методы сглаживания кривизны траекторий. Методы основаны на минимизации скачков третьих производных

Аг\ = г Ю - = п-2 - 4г{_! + 6п - Ап+1 + г<+2. (1)

в точках соединения смежных сплайнов за счет вариаций точек Г{ в пределах <5 = Зет (сг — СКО измерений). Выбор такого критерия можно объяснить следующими причинами. Качество кривой с точки зрения управления определяется характером графика её кривизны. В случае равноудаленных контрольных точек кривизна кривой пропорциональна второй производной сплайна, поэтому характер графика её кривизны определяется скачками третьей производной в точках соединения двух соседних сплайнов. Большие скачки третьей производной приводят к значительным осцилляциям графика кривизны. Минимизируя эти скачки, мы получаем кривую с более плавным графиком кривизны.

Метод, сводящийся к задаче условной минимизации. В статье [8] предлагается за счет вариаций точек в перпендикулярном к кривой направлении

г* = п + ЛГ^

минимизировать квадрат нормы вектора

F(e) = [ВД,..., Fn(£)]T, £ = [еь • • • ,£п]Т,

Ni — единичная нормаль к В-сплайновой кривой в точке соединения г-го и (г + 1)-го элементарных сплайнов. Компонентами вектора

F(e) = F( 0) 4- Ce

являются проекции на соответствующие нормали скачков третьей производной, записанные через вариации

Fi(e) = Fi(0) + ni-2,iSi-2 ~ 4îii-iti£i-i + 6ei - + ni+2,¿£¿+2,

riij = (Ni,Nj) - скалярное произведение двух нормалей, Fi(0) =

6 -4ni2 "13 0

-4n2i 6 -4П2З "24

с = "31 -4П32 6 -4П34

0 "42 -47143 6

Для того чтобы можно было вычислять проекции скачков во всех точках соединения элементарных сплайнов, включая граничные точки кривой, необходимо добавить две точки (г_1 и г о) перед первой точкой исходного набора точек и две точки (гп.ц и гп+2) после последней точки. Точки могут выбираться различными способами. В работе они выбираются таким образом, что В-сплайновая кривая проходит через точки г\ ш гп, и вторая производная в этих точках равна нулю.

Вариации точек, следует ограничить величиной 5. Тогда задачу минимизации скачков третьей производной, можно свести к задаче квадратичного программирования с простыми ограничениями.

пнпФс(е), г € Ж", -5<е1< 6, £

Фс(е) = \еТНсе + ¡те, Нс = СТС, / = СТР{0).

Учет ограничений на кривизну. Помимо ограничений на вариации можно учесть ограничения на кривизну целевой траектории. Для этого кривизна записывается через вариации исходных точек

к(е) = к(0) + As, к(е) = [ВД,..., Ме)]т,

ki(e) = (fcj(O) + ni_i,i£j_i - 2Ei + ni+i,i£i+i)/d2s, fei(O) = (rj_i - 2ri + ri+i, JVf)/d®,

Л =

-2 Щ2 0 П21 -2 n23 0 n32 -2

, A e

Л ' ' йп - к(0) "

-А £ < йп + fc(0)

In ¿п

-In sn

Каждая компонента вектора к(е) ограничивается величиной й. Это можно записать как |/с(е)| < йп. Получаем следующую задачу оптимизации

min Фс(£), £ €

где 1п — единичная матрица размера пхп, йп,5п — векторы размера п с компонентами й, 6.

Метод декомпозиции. Для повышения эффективности метода сглаживания кривизны траекторий, описанного ранее, предлагается его модификация, сводящаяся к разбиению траекторий на несколько сегментов и применению метода к отдельным сегментам. При этом уменьшается сложность задачи, но возникает следующая проблема. В описанном ранее методе, к массиву данных добавляется по две точки в начале и в конце траектории, которые носят вспомогательный характер и не подвергаются вариации. В случае достаточно длинной траектории конкретный выбор этих точек оказывает незначительный эффект на результирующую траекторию. Очевидно, что такой подход напрямую неприемлем в случае декомпозиции траектории, т.к. кривая может быть разбита в любой точке, кривизна в которой, вообще говоря, произвольна. Назначить другое

значение кривизны и/или первой производной в точке разрыва мы также не можем, т.к. до применения метода сглаживания кривизны, их значения точно неизвестны.

Чтобы объяснить предложенный метод, рассмотрим случай, когда вся траектория разбивается на два сегмента, строящихся по контрольным точкам г},...,г\ и г\,...,Предлагается выбирать граничные условия (дополнительные точки) в месте стыковки сегментов следующим образом. В конец первого сегмента добавляются две первые точки из второго сегмента, а в начало второго сегмента добавляются две последние точки из первого сегмента. Применяя метод сглаживания кривизны траекторий, к каждому сегменту в отдельности, получим новые точки г},..., Гд, и г2, ••• Предлагается взять третий (меньший) сегмент, покрывающий место стыка двух первых сегментов и к нему также применить метод сглаживания кривизны. Для третьего сегмента выбираются I последних точек первого сегмента и I первых точек второго сегмента гк-1+15 ■■■>г1>г 1 > •••!г/2• В качестве дополнительных точек для третьего сегмента выбираются в начале сегмента — г\_1_1, в конце — ) ?/2+2 • К полученному третьему сегменту также применяем метод сглаживания кривизны, в результате получаем новые точки г|,...,г!г. Искомая В-сплайновая аппроксимация траектории стро-

1 1 О —ГУ

ится по набору контрольных точек г{, .... г;+1, ...,гт.

Метод, сводящийся к задаче безусловной минимизации. Для решения задачи квадратичного программирования требуется много вычислительных ресурсов, поэтому в случае большой размерности предлагается перейти от решения задачи условной минимизации к решению задачи безусловной минимизации, добавлением к функционалу Фс(е) штрафа за большие вариации точек

Ф(е) = Фс(е) + £те = 1-гтНе + /те,

Я = СтС + 71п = Нс + ч1п,

где 7 — штрафной параметр.

Задача минимизации скачков третьей производной записывается как задача безусловной минимизации

ттФ(е), ееГ.

Решение этой задачи сводится к решению системы линейных уравнений

Не = -/т (2)

с положительно определенной матрицей Н. Данную систему можно эффективно решить, разложив матрицу Н на произведение нижней и верхней треугольных ленточных матриц Н = ЬЬ1, и затем методом прямой и обратной прогонки решить ленточные треугольные системы

Ьу = -/т, 17 е = у.

(3)

Рекуррентный метод. Построим рекуррентную схему решения задачи безусловной оптимизации. Пусть есть измерения координат точек гх, Г2,- • •, Гк+1■ Добавим две граничные точки г_1, го в начале траектории. В качестве двух конечных граничных точек в конце траектории возьмем точки гк, Гк+1, напомним, что координаты граничных точек не варьируются. По данным измерениям построим матрицы Ск~1,Нк~1,Ьк~1 размера (А;-1)х(А>1) и векторы 2^-1(0), ук~\ размера к-1.

Рассмотрим, как они изменятся, когда появится новое измерение Гк+2, и граничными конечными точками станут точки ?■/,•+1, Гк+2-

• К вектору ^(0) добавится новый элемент ^'(0).

• К матрице С добавится строка и столбец:

Ск =

Ск-

1

Ск Скк

, Ск = [0, ...,0,Ск-2,к,Ск-1,к]Т, Скк = 6.

• У вектора / изменятся два последних элемента, и добавится но-

вый /*:

1к = [йк-1)т,Я

— это вектор к последним двум компонентам которого прибавлены компоненты вектора

Рк (®)[°к-2,к, Ск-1,к]Т'

/* = [^(0)^(0), ^(0)1 [ск-2,к,Ск-1М,Скк}Т.

У матриц Н и Ь изменится правый нижний блок размером 2x2 и добавится строка и столбец:

Нк =

Нк~1 Нк

Кк + 7

где матрица Н

к-1

это матрица Нк 1 к правому нижнему углу

которой прибавлена матрица В =

¿3 " Г с2 к—2,к ск-2,кск-\,к

(¿2 сЦ _ Ск-2,кСк-\,к с2

= ¿3,

[/£ нкк] = [с% скк}Ск(1:к,к-4:к). Ьк~1 О

II 1кк

где представляет собой матрицу Ьк~1 за исключением трех элементов

Цг-2,к-2 ~ у/Ьк-1,к-2 + ^Ь ^к-1,к-2 —

^к—2,к—к—к—2 +

тк-1 '

к—2,к—2

гк-1

'к-

= и-1 = ^(4-\,к-2)2 - 2)2 + (4=Ц-1)2 +

Имея матрицу Ьк~1 и строку , /г^. + 7], можно досчитать разложение Ьк и найти строку [ I^ /¿д. ].

• У вектора решения у системы (3) изменятся два последних элемента, и добавится новый все их можно найти за три шага прямой прогонки ук = : к - 3))т, г/£_1; у£]т.

• Вектор решения е системы (3) изменится полностью. Вектор ек получается полной обратной прогонкой.

Для возможности вести прямую прогонку и получать решение у системы (3) при появлении нового измерения, достаточно хранить не более пяти последних элементов векторов -Р'(О), / и правый нижний блок размера 5x5 матриц С, Н и Ь. Для получения е требуется вся матрица Ь и вектор у.

Построенная рекуррентная схема получения матрицы Ь и вектора у позволяет решать задачи большой размерности при ограничениях на оперативную память следующим образом. Получая новые измерения координат точек, ведем прямую прогонку и записываем матрицу Ь и вектор у на накопитель, пока не достигнем конца траектории. Затем делаем полную обратную прогонку, считывая Ь и у в обратном направлении. Таким образом, находим искомое решение е.

Методы со скользящим окном. Для практических нужд возникла необходимость решения задачи в реальном времени. Для этого разработаны методы, использующие скользящее окно. Данные методы были реализованы во встроенном программном обеспечении спутникового навигационного приемника.

Первый метод использует скользящее окно фиксированного размера 1x1, I > р + 1, р = 4. Матрица Ь и вектор у хранятся в массивах размерности I. При заполнении массива делается сдвиг, в результате которого стирается первый элемент и освобождается последний. Схематически данный процесс показан на рис. 4 слева. С появлением нового измерения согласно рекуррентной схеме вычисляются матрица Ь, вектор у и заполняются соответствующие массивы. Если массивы не заполнены, и траектория еще не закончилась, то обратная прогонка не делается. Иначе, делается I шагов обратной прогонки и выдается в качестве результата первый элемент полученного решения е, а если закончилась траектория — все I элементов вектора е.

Рис. 4. Схема методов со скользящим окном Второй предлагаемый метод, отличается от первого только

способом проведения обратной прогонки и размером окна ии, из > I. При появлении нового измерения также ведется прямая прогонка, но не делается обратная, пока не заполнятся массивы Ь и у. Как только это произойдет, делается полная обратная прогонка {ги шагов), и выдаются первые га — I компонент решения е. Затем делается сдвиг, в результате которого стираются ги — I первых компонент массивов Ь, у я е. Схематически данный процесс показан на рис. 4 справа.

Данные методы со скользящим окном можно применять для сглаживания траекторий при ограниченной оперативной памяти в режиме реального времени с небольшой задержкой.

Покомпонентный метод. Предлагается минимизировать квадрат нормы вектора скачков третьих производных (1) за счет ограниченных вариаций точек в произвольном направлении. При этом не нужно вычислять нормали и их скалярное произведение, не требуется строгая равноудаленность контрольных точек, метод можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников.

Обозначим через е, вариацию г-й контрольной точки г,. Тогда новое положение контрольной точки определяется выражением

п(£г) = П + £г,=

Запишем скачки третьей производной (1) через вариации контрольных точек

+ £х,г

д п(е) =

Д г А г

х,г У,г

А т\л =

1 " т / £*,г-2 \

-4 1 £ *,г—1

6 Г*А +

-4

1 _ V . г*,г+2 . £*,г+2 /

где * — обозначает компоненту х или у.

Нашей целью является минимизация следующей суммы

п—4

п-4

£ ||Дг4(е)||2 = £(|Дг+ |Дг„/) =

г=1

г=1

= + £x)THe(rx + £x) + \{ry + £y)THe(ry + £y) -» min,

Z Z ZxiEy

1-4 6 -4 1 0 •••"

О 1 -4 6 -4 1 •••

He e IT xn, Ce e Е("-4)х", г, = [r.,i... r„>n]T, e, = [e,,!... £*,„]T

Вариации точек ограничиваются введением штрафного члена, с учетом которого целевой функционал имеет вид

Ф(е) - Ф{ех) + Ф(еу),

ФЫ = \{г* + He(r* + е,) + ]р ejs*.

Задача безусловной минимизации этого функционала эквивалентна покомпонентной минимизации, или решению двух систем линейных уравнений

(Яе + jln)ex = ~Негх,

{Не + 71п)еу = -Негу. Систему линейных уравнений

Нее* = -Неи

с ленточной симметричной положительно определенной матрицей

Не = СеТСе + jln = Не + 7 In

можно эффективно решить, разложив эту матрицу по Холецкому на произведение нижней и верхней треугольной ленточной матрицы, и затем методом прямой и обратной прогонки решить ленточные треугольные системы. Также можно достичь большей производительности и экономии памяти за счет того, что при постоянном параметре 7 обе системы уравнений имеют общую матрицу, содержащую на диагоналях одинаковые элементы, за исключением нескольких начальных и конечных элементов. Коэффициенты разложения Холецкого такой матрицы перестают меняться, и после

Не — CjCe, Се —

некоторого числа строк диагональные элементы нижней треугольной матрицы практически не отличаются. Также для данного метода можно построить рекуррентную схему и применить методы со скользящим окном.

Стоит отметить, что предлагаемый покомпонентный метод легко распространить на трехмерный случай, введением еще одной системы уравнений для 2 компоненты. В случае если измерения неравноточные, и если есть в наличии соответствующая диагональная ковариационная матрица, то можно заменить матрицу 1п на диагональную обратную ковариационную матрицу. Благодаря этому, точки, имеющую большую погрешность измерения, будут иметь меньший штраф за большие вариации.

Используя следствие теоремы Гершгорина, была получена оценка числа обусловленности матриц Н и Не

к < (256 + 7)/7.

Численный пример сглаживания кривизны траектории. Применим рекуррентный метод сглаживания кривизны траекто-

Рис. 5. а) Кривизна траектории до и после сглаживания, б) Производная кривизны траектории после сглаживания.

рий к набору реальных измерений Б, о котором шла речь ранее. В ходе решения задачи безусловной минимизации с параметром 7 = 0,001, было получено решение е. Из всех компонент вектора е

только одна по абсолютному значению превысила значение 2,3 см и составила 3,6 см. Сдвинув вдоль нормалей точки из набора 5 на величины е, был получен новый набор 5. На рис. 5 слева тонкой линией изображена кривизна траектории С (Б) как функция длины пути, а жирной — кривизна траектории С (в). Производная кривизны траектории С(5) показа на рис. 5 справа. Траектория С(5), построенная по новому набору 5, близка к траектории С(5), и при этом имеет более плавно меняющуюся кривизну, а максимальное значение производной кривизны меньше почти в 35 раз. Максимальная ошибка аппроксимации кривой С(5) точек из набора 5, при максимальной кривизне кривои ктах ^ 0,11 м , составила 5аррг «4,4 мм. На участках, где кривизна кривой близка к нулю, ошибка аппроксимации практически равна нулю.

Моделирование движения КР вдоль траектории С (Б). На

Рис. 0. а) Управление, б) Отклонения (боковое, угловое, кривизны).

рис. 6 продемонстрированы результаты, полученные при моделировании движения КР вдоль кривой со сглаженной кривизной С (Б). Параметры модели КР соответствовали параметрам автомобиля Шевроле Нива. Скорость робота была постоянной и = 3 м/с. Как видно из рис. 6, управление не достигает максимального значения и после выхода робота на целевую траекторию он движется с практически нулевыми отклонениями.

В четвертой главе описаны реальные эксперименты, про-

водимые с автомобилем Шевроле Нива, оснащенным СN33 приемником, антеннами, приводом поворота руля, датчиком положения рулевых колес и бортовым компьютером с программным обеспечением, написанным автором. Вначале автомобиль, управляемый

Рис. 8. Отклонения (боковое, угловое, кривизны).

вручную, проводился по желаемому пути, координаты которого измерялись спутниковым навигационным приемником, затем проводились эксперименты по автоматическому управлению движением вдоль траекторий, построенных по полученным измерениям 5 и по

точкам 5, к которым применялся рекуррентный метод сглаживания. На приведенных ниже рисунках, рисунки слева относятся к движению вдоль траектории С(5), построенной по зашумленным измерениям, справа — вдоль траектории со сглаженной кривизной С(5). Результаты реальных экспериментов подтверждают результаты моделирования. Как видно из рис. 7, при движении вдоль первой траектории рулевые колеса поворачиваются из стороны в сторону с максимальной скоростью. Не смотря на то, что при движении вдоль второй траектории скорость автомобиля была почти в 1,5-2 раза больше, сформированное управление не достигало максимального значения. После выхода на вторую траекторию, колесный робот двигался с небольшими отклонениями от целевой траектории, см. рис. 8. Так, боковое отклонение по абсолютному значению не превышало 5 см.

В Заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Предложено представлять целевую траекторию колесного робота с помощью однородных кубических В-сплайнов. Разработаны следующие методы сглаживания кривизны данных сплайнов

• метод, учитывающий ограничения на кривизну

• метод декомпозиции для длинных траекторий

• рекуррентный метод, позволяющий обрабатывать большой массив данных при ограниченной оперативной памяти

• методы со скользящим окном, позволяющие сглаживать кривизну длинных траекторий при ограниченной оперативной памяти и в режиме реального времени с небольшой задержкой

• покомпонентный метод, не требующий строгой равноудален-ности контрольных точек, который можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измереюш, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников.

Получена оценка числа обусловленности матрицы задачи сглаживания кривизны. Предложенные методы апробировались на мно-

гих траекториях, построенных по данным спутниковых навигационных измерений.

2. Проводилось моделирование автоматического управления движением КР вдоль траекторий, построенной по исходным точкам и по точкам, к которым применялись методы сглаживания кривизны. При движении вдоль траектории со сглаженной кривизной, сформированное управление менялось плавно и КР двигался с практически нулевыми отклонениями.

3. Реальные эксперименты с автомобилем, оснащенным навигационным и управляющим оборудованием и программным обеспечением, написанным автором, подтвердили результаты моделирования.

4. Разработанные методы планирования пути по зашумленным измерениям использованы в ООО «Джавад Джи Эн Эс Эс», что подтверждается актом о внедрении результатов диссертационной работы. Методы реализованы во встроенном программном обеспечении спутникового навигационного приемника и в бортовом компьютере колесного робота. Предложенные методы позволяют по зашумленным измерениям спутникового навигационного приемника получать траектории с плавно меняющейся кривизной в режиме реального времени и при ограниченной оперативной памяти. Использование таких траекторий в задачах автоматического управления движением колесного робота увеличивает качество сформированного управления, уменьшает расход энергии на повороты рулевых колес и повышает точность отработки целевой траектории.

Публикации по теме диссертации

1. Гилимьянов Р. Ф. Построение траекторий колесного робота по шумящим данным GNSS измерений с учетом ограничений на кривизну // Труды III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления (ВМКПУ'2008). М.: ИПУ РАН, 2008. С. 21-22.

2. Гилимьянов Р. Ф. Покомпонентный метод сглаживания кривизны траекторий в задачах планирования пути для колесных роботов //VI Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами». Сборник трудов. Т. 2. Ижевск: Бон Анца, 2009. С. 108-116.

3. Гилимьянов Р. Ф. Рекуррентный метод сглаживания кривизны траекторий в задачах планирования пути для колесных роботов // Труды Первой традиционной всероссийской молодежной летней школы «Управление, информация и оптимизация». Сборник трудов. М.: ИПУ РАН, 2009. С. 37-42.

4. Гилимьянов Р. Ф. Рекуррентный метод сглаживания кривизны траекторий в задачах планирования пути для колесных роботов // Проблемы управления. 2010. № 1. С. 71-76.

5. Гилимьянов Р. Ф., Пестерев А. В. Планирование траектории и управление движением колесного робота по данным, полученным с помощью GPS измерений // Труды XLIX научной конференции МФТИ. Аэрофизика и космические исследования. М.: МФТИ, 2006. С. 221-222.

6. Гилимьянов Р. Ф., Пестерев А. В. Численный метод улучшения траекторий, построенных по данным GNSS измерений, в задаче управления колесным роботом //II школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами». Сборник трудов. Т. 1. Воронеж: Научная книга, 2007. С. 14-20.

7. Гилимьянов Р. Ф., Пестерев А. В. Применение декомпозиции для сглаживания кривизны траекторий, построенных по зашум-ленным измерениям, в задачах большой размерности //IV Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (ПУИТ'2008). Материалы конференции. Казань: Казан. Гос. Техн. Универ-т, 2008. С. 188-191.

8. Гилимьянов Р. Ф., Пестерев А. В., Рапопорт JI. Б. Сглаживание кривизны траекторий, построенных по зашумленным измерениям, в задачах планирования пути для колесных роботов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. Т. 47, № 5. С. 152-159.

9. Гилимьянов Р. Ф., Пестерев А. В., Рапопорт JI. Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. Т. 47, № 6. С. 209-216.

10. Гилимьянов Р. Ф., Пестерев А. В., Рапопорт JI. Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути, построенного по данным GNSS измерений // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть III. Аэрофизика и космические исследования. Т. 1. М.: МФТИ, 2009. С. 130-133.

11. Пестерев А. В., Гилимьянов Р. Ф. Планирование пути для колесного робота / / Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. Труды ИСА РАН. 2006. Т. 25. С. 204-211.

12. Pesterev А. V., Rapoport L. В., Gilimyanov R. F. Control of a Wheeled Robot Following a Curvilinear Path // 6th EUROMECH Conference ENOC2008, St. Petersburg, 2008. CD ROM. P. 7.

13. Pesterev A. V., Rapoport L. В., Gilimyanov R. F. Global Energy Fairing of B-Spline Curves in Path Planning Problems // ASME Design Engineering Technical Conferences, Las Vegas, 2007, CD ROM, paper DETC2007-35306. P. 7.

Личный вклад диссертанта в публикациях, выполненных в соавторстве: в [5, 6] автор разработал метод сглаживания кривизны траекторий на основе вариаций точек, в [11] автор ввел понятие квазирасстояния, в [7] автором решена задача гладкой сшивки сегментов траектории, в [8, 13] автору принадлежит обзор, в [5-10, 12, 13] автору принадлежит вычислительная реализация алгоритмов управления и алгоритмов сглаживания кривизны траекторий.

Зак. 49. Тир. 100. НПУ РАН

Список обозначений.

Список аббревиатур.

Введение

Глава 1. Постановка задачи.

1.1. Описание модели колесного робота.

1.2. Синтез закона управления.

1.3. Требования к целевой траектории.

1.4. Постановка основной задачи.

1.5. Выводы к главе 1.

Глава 2. Планирование пути колесного робота.

2.1. Аппроксимация пути с помощью кубических В-сплайнов

2.1.1. Оценка погрешности аппроксимации кубическими В-сплайнами.

2.1.2. Пример аппроксимации реальной траектории

2.2. Определение расстояния до сплайновой кривой

2.3. Движение вдоль составной сплайновой кривой.

2.4. Моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории, построенной по зашумленным измерениям.

2.5. Выводы к главе 2.

Глава 3. Сглаживание кривизны траекторий.

3.1. Сведение к задаче условной минимизации.

3.1.1. Учет ограничений на кривизну.

3.2. Сглаживание кривизны длинных траекторий

3.2.1. Декомпозиция.

3.2.2. Выделение примитива.

3.3. Сведение к задаче безусловной минимизации.

3.3.1. Рекуррентный метод.

3.3.2. Методы со скользящим окном.

3.3.3. Покомпонентный метод

3.4. Оценка числа обусловленности матрицы задачи сглаживания кривизны траекторий

3.5. Моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории со сглаженной кривизной

3.6. Выводы к главе 3.

Глава 4. Реальные эксперименты по автоматическому управлению движением автомобиля.

4.1. Описание оборудования.

4.2. Описание экспериментов.

4.3. Результаты реальных экспериментов по автоматическому управлению движением автомобиля.

4.4. Выводы к главе 4.

Актуальность темы. Автоматически управляемые колесные транспортные средства, или колесные роботы, широко используются при решении различных задач военного и гражданского назначения [48, 60, 86, 111, 113], таких как разведка, разминирование, очистка химически-загрязненных территорий, перевозка опасных грузов, перевозка грузов на складе или заводе, уборка помещений, перевозка еды и медикаментов в госпитале, исследование планет и окружающей среды, а также при проведении различных строительных, горных, дорожных и сельскохозяйственных работ. Для определения положения колесных роботов используются различные сенсоры [37, 60, 82, 86, 100, 111, 113]: одометры, лазерные дальномеры, сонары, геомагнитные сенсоры, видеокамеры, инерциальные сенсоры и GNSS оборудование.

Растет число работ, посвященных автоматически управляемым сельскохозяйственным транспортным средствам, оснащенным различными сенсорами [19, 30, 33, 34, 41, 49, 80, 82, 92, 100, 111, 115, 116, 122]. Неудивительно, ведь применение таких транспортных средств в сельском хозяйстве облегчает однообразный и утомительный труд водителя, позволяет ему сосредоточится не на вождении, а на контроле проводимой работы, дает возможность многократного точного повторения траектории даже в темное время суток и при плохой видимости (в зависимости от используемых сенсоров). При этом уменьшаются размеры необработанных зон и участков перекрытия, достигается большая экономическая выгода [32] за счет экономии топлива, удобрений и воды для полива, а также увеличивается потенциальная урожайность за счет точного и дозированного внесения удобрений.

При управлении колесными роботами возникает множество задач, одна из них, планирование пути, заключается в построении опорной траектории, вдоль которой будет двигаться колесный робот. Построенная траектория должна удовлетворять определенным критериям гладкости и ограничениям на кривизну. Задача планирования пути может решаться заранее до начала движения колесного робота, или в реальном времени по мере его движения. В зависимости от выполняемой работы, могут ставиться различные задачи. Например, нахождение пути, возможно оптимального по некоторым критериям, из одной точки пространства в другую при наличии препятствий. Другой важной задачей планирования пути является построение целевой траектории через множество точек, которые могут задаваться, например, следующим способом. Управляемый вручную, колесный робот проводится по желаемому пути, координаты которого измеряются GNSS приемником и сохраняются в качестве задания для последующего повторения в автоматическом режиме. Очевидна практическая важность последней постановки задачи во многих областях, например, в сельском хозяйстве, когда трактору необходимо точно и неоднократно следовать вдоль криволинейной траектории в автоматическом режиме для выполнения операций посадки, полива, внесения удобрений и т. п.

Существуют множество способов представления пути, например с помощью отрезков прямых линий и дуг окружностей [33, 34, 45, 55, 71, 78, 79, 99, 106], полиномиальных кривых [36, 112], сплайнов [28, 33, 34, 36, 55, 59, 81], "intrinsic" сплайнов [44], G2и G3 -сплайнов [96, 97], сглаживающих сплайнов [36], В-сплайнов [35, 36, 76, 88, 108, 118], NURBS [36, 69], кривых Безье [36, 68], спиралей [33, 34, 55], кубических спиралей [65, 72, 83, 84, 91, 114], клотоид или спиралей Корню [54, 73, 106, 109], клотоид совместно с отрезками прямых линий и дугами окружностей [57, 58, 66, 74, 104]. Все перечисленные кривые можно разделить на

1. кривые, чьи координаты выражаются в явном виде, например, полиномиальные кривые, В-сплайны,

2. параметрические кривые, кривизна которых есть функция длины дуги, например, клотоиды, кубические спирали, "intrinsic" сплайны, G2- и С3-сплайны.

Кривые, указанные во втором пункте, имеют непрерывную кривизну, но их основной недостаток — отсутствие явной формулы задающей кривую, а это требует значительных вычислительных ресурсов при построении траектории. Самый простой способ построения траектории с помощью отрезков прямых линий и дуг окружностей имеет следующий недостаток. При переходе с одного сегмента траектории на другой, кривизна меняется скачком. Угол поворота колесного робота не может измениться мгновенно, поэтому такая траектория не является допустимой.

Несмотря на перечисленные недостатки в сельском хозяйстве широко применяются простые траектории в виде отрезков прямых линий и дуг окружностей. Также есть поля особой формы, по которым сельскохозяйственная техника движется по спирали. Но для полей со сложной границей или наличием препятствий на поле (например, в виде камней, деревьев, прудов, линий электропередач и т.п.) необходимо применение криволинейных траекторий. Для построения криволинейных траекторий по заданному набору точек используют различные полиномиальные сплайны. Недостаток сплайнов — сложность построения и сложность вычисления расстояния от робота до кривой. К тому же, как правило, форма сплайна зависит от всего набора точек, и при изменении хотя бы одной точки требуется пересчитывать весь сплайн. Этих недостатков лишены хорошо известные однородные (локально-аппроксимирующие) В-сплайны [15, 22, 31, 120], используемые в настоящей работе. В отличие от прочих сплайнов, эти сплайны вычисляются по простым формулам без решения систем уравнений или задачи аппроксимации методом наименьших квадратов. Также просто и эффективно вычисляется расстояние до данных сплайнов [20].

Если точки, по которым строится сплайновая кривая, получены в результате измерений с некоторой погрешностью, то форма её кривизны может оказаться неудовлетворительной для использования кривой в задачах автоматического управления. Отметим, что сплай-новые кривые с плавноменяющейся кривизной важны и используются во многих других сферах, например, при планировании траектории робота-манипулятора или траектории перемещения инструмента на станке с ЧПУ, в системах автоматизированного проектирования, компьютерной графики и геометрического моделирования.

Для получения сплайповых кривых с плавно меняющейся кривизной используют следующие широко распространенные подходы:

1. Совмещение процесса построения кривой с её сглаживанием 1

1 Здесь и далее, под сглаживанием кривой и кривизны кривой подразумевается улучше

50, 51, 61, 89, 107]. Например, таким образом, строятся сглаживающие сплайны (smoothing splines) [2, 15, 17, 18, 26, 42, 43, 47, 51, 64, 101, 105, 120].

2. Сначала строится аппроксимирующая или интерполирующая кривая, а затем производится её сглаживание [46, 51-53, 67, 75, 85, 102, 103, 107, 119, 121].

В результате использования первого подхода можно получить сплайны хорошего «качества» с плавно меняющейся кривизной, но полученные кривые сложно использовать в задачах автоматического управления. Как уже говорилось, для задач планирования пути колесного робота можно использовать однородные В-сплайны. Данные сплайны можно сглаживать методами, относящимися ко второму подходу. Как правило, большинство из этих методов локальные, т.е. созданы для сглаживания части кривой. Для сглаживания длинных кривых требуются значительные вычислительные ресурсы и при этом может получиться кривая не очень хорошего «качества». Поэтому актуальна задача разработки эффективных методов сглаживания кривизны В-сплайновых кривых, построенных по зашумлепным измерениям.

Измерения и источники шумов измерений могут быть различными. В настоящей диссертационной работе используются GNSS измерения, на которые влияют различного рода ошибки, такие как, ошибки, вызываемой атмосферой Земли (ионосферой и тропосферой), ошибки часов спутников, ошибки эфемерид спутников, ошибки многолучево-сти и шумы аппаратуры. Используя избыточность измерений можно «отлавливать» аномальные измерения и обеспечить большую точние их формы и «качества». Понятие «качества» кривой подробнее описано далее в работе. ность и надежность определения координат точек. «Хвосты» плотности распределений ошибок измерений оказываются практически отрезанными на уровне 1,5-2 см.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом. В первой главе рассмотрена модель колесного робота с учетом ограниченности угла поворота рулевых колес и ограничений на ресурс управления. Для данной модели рассмотрена задача синтеза закона управления, позволяющего стабилизировать движение робота вдоль криволинейной целевой траектории. Сформулированы требования к целевой траектории и постановка основной задачи.

Во второй главе предложено аппроксимировать целевую траекторию однородными кубическими В-сплайнами. Проведена оценка погрешности аппроксимации такими сплайнами. Рассмотрена задача вычисления расстояния до В-сплайновой кривой. Описано как происходит движение вдоль составной В-сплайновой кривой. Проведено моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории, построенной по зашумленным измерениям. Показана непригодность использования такой кривой в задачах автоматического управления и необходимость сглаживать кривизну траектории.

В третьей главе представлены различные методы сглаживания кривизны траекторий. Методы основаны на минимизации скачков третьих производных за счет вариаций контрольных точек в пределах оценки погрешности измерений. Эффективность всех методов проиллюстрирована численными примерами сглаживания кривизны траекторий, построенных по реальным GNSS измерениям. Некоторые из методов можно применять для сглаживания кривизны длинных траекторий при ограниченной оперативной памяти не только во время постпроцессинговой обработки, но и в режиме реального времени с небольшой задержкой. Предложенный покомпонентный метод не требует строгой равноудаленности контрольных точек, его можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников. Решена задача оценки числа обусловленности матрицы задачи сглаживания кривизны траекторий. Проведено моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории со сглаженной кривизной, получены хорошие результаты и показана важность задачи сглаживания кривизны траектории.

В четвертой главе описаны реальные эксперименты, проводимые с помощью автомобиля, оснащенного навигационным и управляющим оборудованием и программным обеспечением, написанным автором. Представлены результаты экспериментов по автоматическому управлению движением автомобиля вдоль траекторий, построенных по реальным измерениям и по точкам, к которым применялся метод сглаживания кривизны траекторий. Получены приемлемые результаты во время движения вдоль кривой со сглаженной кривизной. Показана адекватность применения на практике представленной в работе модели колесного робота, синтезированного закона управления, схемы движения вдоль составной В-сплайновой кривой, методов сглаживания кривизны траекторий и средств контроля, использующих инвариантные эллипсоиды.

В приложении представлен акт о внедрении результатов диссертационной работы.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов построения криволинейных траекторий по зашумлен-ным измерениям с целью их последующего использования в задачах автоматического управления движением колесных роботов.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, теории приближений и методы организации вычислений в реальном времени на вычислительных средствах с ограниченными ресурсами.

Научная новизна. Разработаны различные методы сглаживания кривизны траекторий, представленных с помощью однородных (локально-аппроксимирующих) кубических В-сплайпов. Предложенные методы можно применять для сглаживания кривизны траекторий с учетом ограничений на кривизну. Методы позволяют обрабатывать большие массивы данных при ограниченной оперативной памяти и в режиме реального времени с небольшой задержкой. Покомпонентный метод можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования, а также экспериментами с реальным колесным роботом.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием вычислительных методов теории приближений и вычислительной математики. Предложенные методы построения по зашумленным измерениям кривой с плавно меняющейся кривизной могут применяться при планировании пути колесного робота, а также при планировании траектории робота-манипулятора, траектории перемещения инструмента на станке с ЧПУ, в системах автоматизированного проектирования и компьютерной графики. Использование траекторий с плавно меняющейся кривизной в задачах автоматического управления движением колесного робота увеличивает качество сформированного управления, уменьшает расход энергии на повороты рулевых колес и повышает точность отработки целевой траектории.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в ООО «Джавад Джи Эп Эс Эс», что подтверждается актом о внедрении результатов диссертационной работы. Предлагаемые в работе методы реализованы во встроенном программном обеспечении спутникового навигационного приемника и в бортовом компьютере колесного робота.

Связь с планами работ. Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН в рамках исследований при финансовой поддержке Президиума РАН (Программа 22), Отделения ЭММПУ РАН (Программа 15) и государственной программы поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-1676.2008.1).

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Метод сглаживания кривизны траекторий с учетом ограничений на кривизну.

2. Метод декомпозиции для сглаживания кривизны длинных траекторий.

3. Рекуррентный метод сглаживания кривизны траекторий, позволяющий обрабатывать большие массивы данных при ограничениях на оперативную память.

4. Методы сглаживания кривизны со скользящим окном, позволяющие сглаживать кривизну длинных траекторий при ограниченной оперативной памяти и в режиме реального времени с небольшой задержкой.

5. Покомпонентный метод, который можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников.

Апробация результатов работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных конференциях: XLIX-й научной конференции МФТИ (Москва, 2006); П-й школе-ссмипаре молодых ученых «Управление большими системами» (Воронеж, 2007); ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences (Las Vegas, 2007); II-й Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления (Москва, 2008); IV-й Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (Казань, 2008); 6th EUROMECH Conference ENOC2008 (St. Petersburg, 2008); Первой традиционной всероссийской молодежной летней школе «Управление, информация и оптимизация» (Переславль-Залесский, 2009); VI-й

Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Ижевск, 2009); 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре статьи [7, 11, 12, 20] в ведущих научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и девять работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [4-6, 8-10, 13, 94, 95].

Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложения. Работа изложена на 124 страницах, содержит 42 иллюстрации. Библиография включает 122 наименования.

4.4. Выводы к главе 4

В четвертой главе описаны реальные эксперименты с автомобилем, оснащенным навигационным и управляющим оборудованием и программным обеспечением, написанным автором. Представлены результаты экспериментов по автоматическому управлению движением автомобиля вдоль траекторий, построенных по реальным измерениям и по точкам, полученным применением методов сглаживания кривизны траекторий. Получены хорошие результаты при движении вдоль кривой со сглаженной кривизной. Показана адекватность применения на практике представленной в работе модели колесного робота, синтезированного закона управления, схемы движения вдоль составной В-сплайновой кривой, методов сглаживания кривизны траекторий и средств контроля, использующих инвариантные эллипсоиды.

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований.

1. Представлена модель колесного робота с учетом ограниченности угла поворота рулевых колес и ограничений на ресурс управления. Представлена замена переменных, позволяющая привести систему к виду, допускающему линеаризацию с помощью обратной связи. Рассмотрена задача синтеза закона управления, позволяющего стабилизировать движение робота вдоль криволинейной целевой траектории, и учитывающего фазовые ограничения и ограничения на управление.

2. Сформулированы требования к целевой траектории. Предложено аппроксимировать целевую траекторию однородными (локально-аппроксимирующими ) кубическими В-сплайнами. Проведена оценка погрешности аппроксимации такими сплайнами. Рассмотрена задача вычисления расстояния до В-сплайновой кривой. Описана схема движения вдоль составной В-сплайно-вой кривой. Проведено моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории, построенной по реальным измерениям. Показана непригодность использования такой кривой в задачах автоматического управления и необходимость сглаживать кривизну траектории.

3. Предложен метод сглаживания кривизны траекторий, сводящийся к решению задачи квадратичного программирования с простыми ограничениями. Предложено ввести дополнительные ограничения, учитывающие ограничения на максимальную кривизну траекторий. Предложен метод декомпозиции для сглаживания кривизны длинных траекторий. Предложено перейти от решения задачи квадратичного программирования с ограничениями к решению задачи безусловной минимизацией введением штрафа за большие вариации контрольных точек. Построена рекуррентная схема решения данной задачи. Предложены методы со скользящим окном, которые можно применять для сглаживания кривизны длинных траекторий при ограниченной оперативной памяти не только во время постпроцессинговой обработки, но и в режиме реального времени с небольшой задержкой. Предложен покомпонентный метод сглаживания кривизны траекторий, не требующий строгой равноудаленности контрольных точек и вычисления нормалей и их скалярных произведений. Данный метод можно применять при наличии аномальных измерений, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников. Также данный метод легко распространить на трехмерный случай. Решена задача оценки числа обусловленности матрицы задачи сглаживания кривизны траекторий. Проведены многочисленные эксперименты по сглаживанию кривизны траекторий, построенных по реальным GNSS измерениям. Проведено моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории со сглаженной кривизной, получены хорошие результаты и показана важность задачи сглаживания кривизны траектории.

4. Реальные эксперименты с автомобилем, оснащенным навигационным и управляющим оборудованием и программным обеспечением, написанным автором, подтвердили результаты моделирования. Показана адекватность применения на практике представленной в работе модели колесного робота, синтезированного закона управления, программы движения вдоль составной В-сплайновой кривой, методов сглаживания кривизны траекторий и средств контроля, использующих инвариантные эллипсоиды.

5. Разработанные методы планирования пути по зашумленным измерениям использованы в ООО «Джавад Джи Эп Эс Эс», что подтверждается актом о внедрении результатов диссертационной работы. Методы реализованы во встроенном программном обеспечении спутникового навигационного приемника и в бортовом компьютере колесного робота. Предложенные методы позволяют по зашумленпым измерениям спутникового навигационного приемника получать траектории с плавно меняющейся кривизной в режиме реального времени и при ограниченной оперативной памяти. Использование таких траекторий в задачах автоматического управления движением колесного робота увеличивает качество сформированного управления, уменьшает расход энергии на повороты рулевых колес и повышает точность отработки целевой траектории.

1. Бурдаков С. Ф., Мирошник И. В., Стельмаков Р. Э. Системы управления движением колесных роботов. СПб.: Наука, 2001. С. 227.

2. Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1983. С. 211.

3. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. С. 320.

4. Гилимьянов Р. Ф. Построение траекторий колесного робота по шумящим данным GNSS измерений с учетом ограничений на кривизну // Труды III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления (ВМКПУ'2008). М.: ИПУ РАН, 2008. С. 21-22.

5. Гилимьянов Р. Ф. Рекуррентный метод сглаживания кривизны траекторий в задачах планирования пути для колесных роботов // Проблемы управления. 2010. № 1. С. 71-76.

6. Гилимьянов Р. Ф., Пестерев А. В. Планирование траектории и управление движением колесного робота по данным, полученным с помощью GPS измерений // Труды XLIX научной конференции МФТИ. Аэрофизика и космические исследования. М.: МФТИ, 2006. С. 221-222.

7. Гилимьянов Р. Ф., Пестерев А. В., Рапопорт J1. Б. Сглаживание кривизны траекторий, построенных по зашумлепным измерениям, в задачах планирования пути для колесных роботов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. Т. 47, № 5. С. 152-159.

8. Гилимьянов P. Ф., Пестерев А. В., Рапопорт JI. Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. Т. 47, № 6. С. 209-216.

9. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. С. 248.

10. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. С. 336.

11. Козлов М. К., Тарасов С. П., Хачиян JI. Г. Полиномиальная разрешимость выпуклого квадратичного программирования // ДАН СССР. Т. 248. 1979. С. 1049-1051.

12. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. С. 352.

13. Крянев А. В., Лукин Г. В. Математические методы обработки неопределенных данных. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. С. 216.

14. Литинский С. А. Автоматизация вождения самоходных машин (автоводители). (Библиотека по автоматике, вып. 166). М.: Энергия, 1966. С. 144.

15. Пестерев А. В., Гилимьянов Р. Ф. Планирование пути для колесного робота // Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. Труды ИСА РАН. 2006. Т. 25. С. 204-211.

16. Пестерев А. В., Рапопорт J1. Б. Построение инвариантных эллипсоидов в задаче стабилизации движения колесного робота вдоль криволинейного пути // Автоматика и телемеханика. 2009. № 2. С. 52-67.

17. Позняк Е. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. М.: URSS, 2003. С. 408.

18. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. С. 303.

19. Рапопорт J1. Б. Оценка области притяжения в задаче управления колесным роботом // Автоматика и телемеханика. 2006. Т. 67, № 9. С. 69-89.

20. Сизиков В. С. Устойчивые методы обработки результатов измерений. СПб.: «СпецЛит», 1999. С. 240.

21. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. С. 248.

22. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. С. 288.

23. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989. С. 624.

24. Хорн Р., Джонсон-Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. С. 655.

25. Ahamed Т. Navigation of an autonomous tractor using multiple sensors: Ph.D. thesis / University of Tsukuba. 2006.

26. Bartels R. H., Beatty J. C., Barsky B. A. An introduction to splines for use in computer graphics and geometric modeling. Los Altos: Morgan Kaufmann Publishers, 1987. P. 476.

27. Batte M. Т., Ehsani M. R. Precision Profits: The Economics of a Precision Agricultural Sprayer System: Tech. Rep. AEDE-RP-0056-05: Department of Agricultural, Environmental, and Development Economics, The Ohio State University, 2005.

28. Bell T. Precision Robotic Control of Agricultural Vehicles On Realistic Farm Trajectories: Ph.D. thesis / Stanford University. 1999.

29. Bell Т., O'Connor M., Jones V. K. et al. Realistic Autofarming Closed-Loop Tractor Control over Irregular Paths Using Kinematic GPS // The Journal of Navigation. 1998. Vol. 51, no. 3. Pp. 327-335.

30. Berglund T. Path-Planning with Obstacle-Avoiding Minimum Curvature Variation B-splines. Licentiate Thesis. ISSN 1402-1757 / IS-RN LTU-LIC-03/36-SE / NR 2003:36. 2003.

31. Biagiotti L., Melchiorri C. Trajectory Planning for Automatic Machines and Robots. Berlin: Springer, 2008. P. 514.

32. Borenstein J., Everett H. R., Feng L., Wehe D. Mobile Robot Positioning Sensors and Techniques // Invited paper for the Journalof Robotic Systems, Special Issue on Mobile Robots. 1997. Vol. 14, no. 4. Pp. 231—249.

33. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. P. 716.

34. Campion G., Bastin G., D'Andrea-Novel B. Structural properties and classification of kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots // IEEE Transactions on Robotics and Automation. Vol. 12. 1996. Pp. 47-62.

35. Choset H. Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms, and Implementation. Cambridge: The MIT Press, 2005.

36. Cordesses L., Cariou C., Berducat M. Combine Harvester Control Using Real Time Kinematic GPS // Precision Agriculture. 2000. Vol. 2. Pp. 147-161.

37. Craven P., Wahba G. Smoothing Noisy Data with Spline Functions // Numer. Math. 1979. Vol. 31. Pp. 377-403.43. de Boor C. A Practical Guide to Splines. New York: Springer-Verlag, 1978. P. 372.

38. Dubins L. E. On Curves of Minimal Length with a Constraint on Average Curvature and with Prescribed Initial and Terminal Positionand Tangents // American Journal of Mathematics. 1957. Vol. 79. Pp. 497-516.

39. Eck M., Hadenfeld J. Local Energy Fairing of B-spline Curves // Computing Supplement. 1995. Vol. 10. Pp. 129-147.

40. Eubank R. Nonparametric Regression and Spline Smoothing. Decker, 1999. P. 356.

41. Fahimi F. Autonomous Robots: Modeling, Path Planning, and Control. Springer: New York, 2009. P. 339.

42. Fang H., Fan R., Thuilot В., Martinet P. Trajectory tracking control of farm vehicles in presence of sliding // Robotics and Autonomous Systems. 2006. Vol. 54(10). Pp. 828-839.

43. Fang L., Gossard D. Multidimensional curve fitting to unorganized data points by nonlinear minimization // Computer-Aided Design,. 1995. Vol. 27, no. 1. Pp. 48-58.

44. Farin G., Hoschek J., Kim M.-S. Handbook of Computer Aided Geometric Design. Amsterdam: Elsevier, 2002. P. 820.

45. Farin G., Rein G., Sapidis N., Worsey A. J. Fairing Cubic B-Spline Curves // Computer-Aided Design. 1987. Vol. 4. Pp. 91-103.

46. Farin G., Sapidis N. Curvature and the Fairness of Curves and Surfaces // IEEE Computer Graphics and Applications. 1989. Vol. 9, no. 2. Pp. 52-57.

47. Fleury S., et al. Primitives for Smoothing Mobile Robot Trajectories // IEEE Transactions on Robotics and Automation. Vol. 11. 1995. Pp. 441-448.

48. Flickinger D. M. Motion Planning and Coordination of Mobile Robot Behavior for Medium Scale Distributed Wireless Network Experiments: Ph.D. thesis / The University of Utah. 2006.

49. Floudas C. A., Pardalos P. M. Encyclopedia of Optimization. New York: Springer, 2009. P. 4626.

50. Fraichard Т., Ahuactzin J.-M. Smooth Path Planning for Cars // In Proc. of the IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. 2001.

51. Fraichard Т., Scheuer A. From Reeds and Shepp's to Continuous-Curvature Paths //In Proc. of the IEEE Int. Conf. on Advanced Robotics. 1999. Pp. 1025-1035.

52. Garcia E. Technical Review of Team Cornell's Spider DARPA Grand Challenge 2005: Tech. rep. Ithaca, NY: Sibley School of Mechanical and Aerospace Engineering Cornell University.

53. Ge S. S., Lewis F. L. Autonomous Mobile Robots: Sensing, Control, Decision Making and Applications. Boca Raton: Taylor and Francis Group, 2006. P. 696.

54. Goldenthal R., Bercovier M. Spline Curve Approximation and Design Over the Knots Using Genetic Algorithms // Evolutionary Methods for Design, Optimization and Control. EUROGEN 2003.

55. Golub G. H., van Loan C. F. Matrix Computations. Baltimore: The Johns Hopkins University Press, 1996. P. 694.

56. Hageman L. A., Young D. M. Applied Iterative Methods. New York: Academic Press, 1981. P. 386.

57. Hastie Т., Tibshirani R. Generalized Additive Models. London: Chapman and Hall, 1990. P. 335.

58. Hayashi A., Kuipers B. A Continuous Approach to Robot Motion with Many Degrees of Freedom //In Proc. of the 1992 IEEE International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS'92). 1992. P. 8.

59. Henrie J. Planning Continuous Curvature Paths Using Constructive Polylines: Ph.D. thesis / Brigham Young University. 2008.

60. Hoschek J. Smoothing of curves and surfaces // Computer Aided Geometric Design. 1985. Vol. 2(1-3). Pp. 97-105.

61. Idema R. Optimal Path Synthesis for Automated Guided Vehicles. Preliminary Research.

62. Jazar R. N. Vehicle Dynamics: Theory and Application. New York: Springer, 2008. P. 1015.

63. Jing X.-J. Mobile Robots Motion Planning. New Challenges. Vienna: In-Teh, 2008. P. 598.

64. Kanayama Y., Hartman В. I. Smooth Local Path Planning for Autonomous Vehicles // Proc. of the 1989 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA'89), Scottsdale, 1989. Vol. 3. Pp. 1265-1270.

65. Kanayama Y. J., Miyake N. Trajectory Generation for Mobile Robots // Robotic Research. 1986. Vol. 3. Pp. 333-340.

66. Kito Т., et al. Smooth Path Planning by Using Visibility Graphlike Method // Proc. of the 2003 IEEE International Conference on Robotics &; Automation. Taipei, Taiwan, September 14-19, 2003. Pp. 3770-3775.

67. Kjellander J. Smoothing of Cubic Parametric Splines // Computer-Aided Design. 1983. Vol. 15(3). Pp. 175-179.

68. Komoriya K., Tanie K. Trajectory Design and Control of a Wheel-type Mobile Robot Using B-spline Curve // IEEE/RSJ International Workshop on Intelligent Robots and Systems '89 (IROS '89). The Autonomous Mobile Robots and Its Applications. Pp. 398-405.

69. Kozlowski K. Robot Motion and Control: Recent Developments. London: Springer, 2006. P. 404.

70. Laumond J.-P. Robot Motion Planning and Control. London: Springer, 1998. P. 343.

71. LaValle S. M. Planning Algorithms. Cambridge University Press, 2006. P. 826.

72. Lenain R., Thuilot В., Carion C., Martinet P. Mobile robot control in presence of sliding: Application to agricultural vehicle path tracking // 45th IEEE Conference on Decision and Control. San Diego, CA, 2006. Pp. 6004-6009.

73. Lepetic M., Klancar G., Skrjanc I. et al. Path planning and path tracking for nonholonomic robots. Chapter 10 in "Mobile Robots: New Research" // Ed. by J. Liu. Nova Science Publishers, 2005. Pp. 341-364.

74. Li M., Imou K., Wakabayashi K., Yokoyama S. Review of research on agricultural vehicle autonomous guidance // International Journal of Agricultural and Biological Engineering. 2009. Vol. 2, no. 3. Pp. 1-16.

75. Liang Т., Liu J. A Path Planning Method Using Cubic Spiral with Curvature Constraint: Tech. Rep. TR-IIS-02-006: Institute of Information Science, 2002.

76. Liang Т., Liu J., Hung G., Chang Y. Practical and flexible path planning for car-like mobile robot using maximal-curvature cubic spiral // Robotics and Autonomous Systems. 2005. Vol. 52, no. 4. Pp. 312-335.

77. Liu G. H, Wong Y. S, Zhang Y. F., Loh H. T. Adaptive fairing of digitized point data with discrete curvature // Computer-Aided Design. 2002. Vol. 34(4). Pp. 309-320.

78. Makela H. Outdoor Navigation of Mobile Robots. Acta Polytech-nica Scandinavica, Mechanical Engineering Series No. 155, Espoo 2001, 137 p. Published bythe Finnish Academies of Technology, ISBN 951-666-587-X, ISSN 0001-687X.

79. Meyer C. D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000. P. 718.

80. Miotto P., Wilde J., Menozzi A. UUV On-Board Path Planning in a Dynamic Environment for the Manta Test Vehicle: Tech. rep. Cambridge, MA: Draper Laboratory Aerospace Control Group 555 Technology Square Cambridge, 2003.

81. Moreton H. P. Minimum curvature variation curves, networks, and surfaces for fair free-form shape design: Ph.D. thesis / University of California at Berkeley. 1992.

82. Muir P., Neuman C. P. Kinematic Modeling of Wheeled Mobile Robots: Tech. Rep. CMU-RI-TR-86-12. Pittsburgh, PA: Robotics Institute, 1986.

83. Nagy В., Kelly A. Trajectory Generation for Car-Like Robots Using Cubic Curvature Polynomials // Proc. of the Conf. Field and Service Robots 2001 (FSR 01), Helsinki, Finland, June 2001.

84. O'Connor M. Carrier-phase differential GPS for automatic control of land vehicles: Ph.D. thesis / Stanford University. 1997.

85. Pesterev A. V., Rapoport L. B. Ellipsoidal Approximations of Invariant Sets in Stabilization Problem for a Wheeled Robot Following a

86. Curvilinear Path / / AS ME Design Engineering Technical Conferences, San Diego, 2009, CD ROM, paper DETC2009-86199.

87. Pesterev A. V., Rapoport L. В., Gilimyanov R. F. Control of a Wheeled Robot Following a Curvilinear Path // 6th EUROMECH Conference ENOC2008, St. Petersburg, 2008. CD ROM. P. 7.

88. Pesterev A. V., Rapoport L. В., Gilimyanov R. F. Global Energy Fairing of B-Spline Curves in Path Planning Problems // ASME Design Engineering Technical Conferences, Las Vegas, 2007, CD ROM, paper DETC2007-35306. P. 7.

89. Piazzi A., Bianco C. G. L., Bertozzi M. et al. Quintic G2-splines for the iterative steering of vision-based autonomous vehicles // IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems. 2002. Vol. 3, no. 1. Pp. 27-36.

90. Piazzi A., Romano M., Bianco C. G. L. G3-splines for the path planning of wheeled mobile robots // Proc. of the ECC 03 Conference. Cambridge(UK). 2003.

91. Qu Z. Cooperative Control of Dynamical Systems: Applications to Autonomous Vehicles. London: Springer, 2009. P. 325.

92. Reeds J. A., Shepp R. A. Optimal Paths for a Car that Goes Both Forward and Backwards // Pacific Journal of Mathematics. 1990. Vol. 145, no. 2. Pp. 367-393.

93. Reid J. F., Zhang Q., Noguchi N., Dickson M. Agricultural automatic guidance research in North America // Computers and Electronics in Agriculture. 2000. Vol. 25, no. 1. Pp. 155-167.

94. Reinsch С. Smoothing by spline functions // Numer. Math. 1967. Vol. 10. Pp. 177-183.

95. Sapidis N., Farin G. Automatic Fairing Algorithm for B-Spline Curves // Computer-Aided Design. 1990. Vol. 22. Pp. 121-129.

96. Sapidis N. S. Designing Fair Curves and Surfaces: Shape Quality in Geometric Modeling and Computer-Aided Design. Siam, 1994. P. 318.

97. Scheuer A., Laugier C. Planning sub-optimal and continuous-curvature paths for car-like robots //In Proc. of the IEEE Int. Conf. on Intelligent Robots and Systems. Vol. 1. 1998. Pp. 25-31.

98. Schoenberg I. Spline functions and the problem of graduation // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. Vol. 52. 1964. Pp. 947-950.

99. Shanmugavel M. Path Planning of Multiple Autonomous Vehicles: Ph.D. thesis / Cranfield University. 2007.

100. Sherar P. A. Variational Based Analysis and Modelling using B-s-plines: Ph.D. thesis / Cranfield University. 2004.

101. Shiller Z., Gwo Y.-R. Dynamic Motion Planning of Autonomous Vehicles // IEEE Transactions on Robotics and Automation. Vol. 7. 1991. Pp. 241-249.

102. Shin D. H., Singh S. Path Generation for Robot Vehicles Using Composite Clothoid Segments: Tech. Rep. CMU-RI-TR-90-31: Carnegie-Mellon University, 1990.

103. Shores Т. S. Applied Linear Algebra And Matrix Analysis. New York: Springer, 2007. P. 383.

104. Siciliano В., Khatib O. Handbook of Robotics. Berlin: Springer, 2008. P. 1611.

105. Siciliano В., Sciavicco L., Villani L., Oriolo G. Robotics: Modelling, Planning and Control. London: Springer, 2009. P. 632.

106. Siegwart R., Nourbakhsh I. R. Introduction to Autonomous Mobile Robots. Cambridge: The MIT Press, 2004. P. 321.

107. Tan L. F. Motion Planning for Rigid Body Robots: Ph.D. thesis / Naval Postgraduate School. 1992.

108. Thuilot В., Cariou C., Martinet P., Berducat M. Automatic Guidance of a Farm Tractor Relying on a Single CP-DGPS // Autonomous Robots. 2000. Vol. 13. Pp. 53-71.

109. Thuilot В., Lenain R., Martinet P., Cariou C. Accurate GPS-based guidance of agricultural vehicles operating on slippery grounds. Chapter 6 in "Focus on Robotics Research" // Ed. by J. Liu. Nova Science Publishers, 2006. Pp. 185-239.

110. Vavasis S. A. Complexity Issues In Global Optimization: A Survey // Handbook of Global Optimization. Kluwer, 1995. Pp. 27-41.

111. Walther M., Steinhaus P., Dillmann R. Using B-Splines for Mobile Robot Path Representation and Motion Control.

112. Xu S., Li W., Zhao G. Target curvature based automatic fairing ofplanar b-spline curves // Computer Aided Geometric Design. 2004. Vol. 21(5). Pp. 427-530.

113. Yamaguchi F. Curves and surfaces in computer aided geometric design. Berlin: Springer, 1988. P. 379.

114. Zhang C., Zhang P., Cheng F. Fairing spline curves and surfaces by minimizing energy // Computer-Aided Design. 2001. Vol. 33(13). Pp. 913-923.

115. Генеральный директс ООО «Джавад Джи Э1. Сила-Новицкий С. Ю.