автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Планирование экспериментов с ненаблюдаемыми в совокупности параметрами

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской революции ордена Трудового Красного Знамени государственный технически университет имени Н. Э. Баумана

На правах рукописи УДК 620.169.2

БОГОМОЛОВ СЕРГЕИ ЮРЬЕВИЧ

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С НЕНАБЛЮДАЕМЫМИ В СОВОКУПНОСТИ ПАРАМЕТРАМИ

применение вычислительной техники, моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1992

05.13.16. математического

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Г.Д.Карташов

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Кравченко В.Ф. Кандидат технических наук, с.н.о Широков В.В.

Ведущая организация - Институт проблем кибернетики РАН

Защита диссертации состоится "_10_"_ноября_1992 г. в

_П_ час. _00_ мин. на заседании Специализированного совета Д 053.15.12 при МГТУ им.Н.Э.Баумана по адресу: Москва, 10ГГ006, ул. 2-я Бауманская, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

МГТУ иМ.Н.Э.Баумана. Автореферат разослан щО/щ /О_199,£г.

Ученый секретарь Специализированного совета/ ^. . кандидат технических наук, доцент ¿п / А.Г.Цицин

Зак. Тира* 100 экз. Подписано к печати - '/-¿'У. 'Л

Типография МГТУ им. Н.Э.Баумана Объем I п.л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. К настоящему времени имеется большое количество работ, посвященных разработке методов планирования эксперимента и оценке их результатов. Анализ существующей литературы показывает, что несмотря на разнообразие решаемых задач, возникающих при проведении экспериментов, в нейс как правило, рассматривается случай, когда параметры, описывающие исследуемые объекты или явления , могут быть измерены в совокупности.

Однако такие измерения не всегда осуществимы нэ практике. Особенно часто такая ситуация возникает в теории надежности» Из-за разрушающего характера многих испытаний невозможно бывает измерить у одного и того объекта два и более параметров. Классическим примером таких параметров являются моменты отказов ( продолжительность функционирования ) изделия в различных режимах. Действительно, измерение момента отказа изделия в одном режиме приводит к его разрушению и определение этого параметра' у этого же изделия при другой" нагрузке не представляется возможным. Параметры этого класса в дальнейшем называются параметрами ненаблюдаемыми в совокупности. Применение к ним классических методов теории планирования эксперимента, математической статистики невозможно из-за отсутствия необходимой для этого информации.

В токе время решение таких задач теории надежности, как сокращение продолжительности испытаний, расчет надежности в переменном режиме, воспроизведение в лабораторных условиях эксплуатационных режимов, требует знания зависимостей между моментами Отказов изделия при различных внешних нагрузках. Эти и другие задачи надежности привели к необходимое^ развития нового направления в теории планирования экспериментов -планирование разрушающих экспериментов, по результатам которых можно было бы проверять различные гипотезы *о ненаблюдаемых в- совокупности, параметрах или устанавливать между ниш функциональную, корреляционную зависимости и другие характеристики. '

В последнее время появился ряд работ, посвященных решению эт •

задачи, так в работах Беляева D.K, Тимонина В.И, Белова В.Н, Шведовой И.Г» Amorim S.D., Johnson R.A., Green D.W. предложены метода установления зависимостей между параметрами интересующего нас класса.

Карташовым Г.Д. была предложена модель эксперимента, по результатам которого можно устанавливать связи меаду такими величинами в непрерывном случае.

Однако часто встречаются параметры, имеющие конечное число значения, т.е. описывающиеся дискретными случайными величинами, например число срабатываний электрического реле. Для определения связей между такими параметрами при различных внешних нагрузках представляет интерес разработка моделей экспериментов для дискретных, ненаблюдаемых в совокупности параметров .

Недостаточно также изучены вопросы связанные с оценкой точности получаемых по \аким моделям результатов, их достоверности, с выбором оптимального плана экспериментов такого класса.

Решение этих задач является целью настоящей работы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. разработаны и исследованы метода планирования, проведения и обработки результатов стохастических экспериментов, позволяющих осуществлять статистический анализ данных для двумерных случайных векторов с ненаблюдаемыми в совокупности компонентами. Применение этих методов дает возможность оценивать совместные функции распределения, корреляционные- зависимости, а также применять к случайным векторам рассмотренного класса аппарат математической статистики, теорий планирования оптимального эксперимента, регрессионного анализа.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Применение разработанных методов позволяет значительно сокращать время проведения дорогостоящих испытаний аппаратуры, а также повышать их достоверность.

Результаты настоящей работы вошли в методику для

определения стойкости интегральных микросхем к дестабилизирующему воздействию ионизирующего излучения низкой интенсивности.

На базе разработанных моделей создано програглшое обеспечение, позволяющее проверять различные гипотезы для параметров исследованного класса , устанавливать между ними

функциональные, корреляционные связи. Созданное программное обеспечение значительно облегчает обработку результатов, проведенного по настоящему методу эксперимента.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертационной работы

докладывались на Всесоюзной школе - семинаре " Надежность сложных механических систем " - г. Ташкент, 1989с э также на семинарах по планированию эксперимента в ИГХУ им.Н.Э.Баумана.

По результатам диссертационной работы опубликованы э печатных работы.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Она изложена не 114 страницах машинописного текста,' содержит 58 рисунков,2 таблицы, 32 наименования используемой литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приведены основные задач« диссертационной работы, рассмотрены вопросы, • обусловившие ее новизну и актуальность. Выделены результаты, выносимые на защиту, дано краткое описание структуры и содержания работы.

В первой главе диссертации сформулирована постановка задачи, разработаны методы планирования и обработки результатов эксперименте,позволяющие проводить статистический айализ данных для двумерных дискретных случайных векторов .с ненаблюдаемыми в совокупности компонентами.

Постановка задачи. Пусть имеется определенная выборка однотипных объектов. Физические,химические механические и т.д. процессы протекают в. них по одним законам. Но каждый взятый в отдельности объект обладает некоторыми, присущими только ему свойствами. Это связано с колебаниями в технологических процессах при изготовлении этих объектов, различиях в микроструктуре материалов из которых они сделаны и т.д. Поэтому момент отказа кавдого объекта при воздействии на него внешней нагрузки есть реализация Некоторой случайной величины Понятно, что при проведении эксперимента можно измерить £ лишь в одном режиме нагружения. После этого объект будет разрушен. Обозначим момент отказа 1-го объекта при одном режиме

нагружения, - его же момент отказа в другом режиме. В дальнейшем £2 будем называть случайными величинами

ненаблюдаемыми в совокупности. Требуется восстановить их совместную функцию распределения

Р(х,у):= РГ?4< х, Сг< у ). Эта задача может быть решена при помощи предложенных моделей. Они основаны на специально .спланированных экспериментах, и представляют из себя следующее:

Программный эксперимент. Задается произвольная с.в. х распределенная независимо от 51, по закону й(х)= 1 < х).

Сравниваем £4 и т определяем С:=Шп ГЕ,,^. Если > т, то определил вторую с.в. Получим реализацию случайного

вектора (-с , С2). при условии, что т <

Динамический эксперимент'. Программный эксперимент обладает одним существенным недостатком. а(х) выбирается до начала эксперимента , неудачное его задание , при ограниченном объеме выборки, может сделать проводимый эксперимент малоинформативным. От этого недостатка свободен динамический эксперимент, предполагающий Еыбор Ч(х) по мере накопления информации.План его заключается в следующем. Все объекты случайным образом разбиваются на пары. Каждая пара испытывается по схеме

е;<е;

V- ■

и. е: > с .

Т. о. после проведения эксперимента станут известны реализации • случайного вектора ("Л,« ' *

В работах Карташова Г.Д. показано, что при бесконечно большом

7^:= т1па[.ф =

объеме выборки по полученным данным восстанавливается функция распределения непрерывных с.в. £2.

Рассмотрим случай, когда дискретно распределенные

с.в. с атомарной плотностью /(х^,у.). Модель программного эксперимента :

Зададим т - q(xi)l распределенную независимо от €г.

По р е з ультатам, полученным при реализации такого эксперимента, восстановим распределения

Яж (лг)8= р( с > I) И

Я(х.у):= Р( Т > I, > у | т < 5, ).

Теорема 1. Пусть х = х) ф о , тогда

г.К^.У-г,^,,)«!!)

Л )

<3(х{ №(х.)

пх .у с — 00

Здесь 0(г) = 1 - £}(х), С:= 5 д(хт) Р^),

Т ао т т

Й(£..у,):= ) - К(Х.у. )-

КЦ.у.^)* К(х^.у^).

Модель динамического эксперимента:

После проведения эксперимента станут известными реализации случайных величин т^.т^ . По этим данным восстанавливается

распределение Щх,у)г~ Р( ,П1>х,т)х>у).

Теорема 2. Пусть

К Е, е* > • тогда

ее

к т**

«а

2. «X

к «п*4

\

• К -4

К '•Уг,>= I /<*„.¥„) [ л (х,)^"" д (2к)].

* «О ? «О т к

Заметим, что при ¿х -» о получаем непрерывное распределение. При этом сформулированные здесь утверждения полностью соответствуют результатам полученным в работах

Карташова Г.Д.

В качестве примера восстановления параметров распределения дискретных с. в. рассмотренного класса, приведено двумерное распределение ПУАССОНА.

Во второй главе рассматривается вопрос о выборе оптимального плана эксперимента 0(х) в смысле получения оценок с минимальной дисперсией. Задача решается в рамках гауссовской модели в следующей постановке :

Т{х,у) ~ Ях ( т1,ог. р . тг, ая ) ? д(х) - ( т1# о );

причем, параметры т1,о1,тж,о^ считаем известными, т.к. они могут быть определены традиционными методами.

При такой постановке задача сводится к указанию среднего квадратичного отклонения о, при котором диеперсия оценки коэффициента корреляции р достигает своего минимального значения. *

Оценка коэффициента корреляции была найдена методом статистических моментов. '

где

1С ( о* + о1)

р =--г--т

о о о

1V

- 1 Т- 1 I

* = . у

V*» 1**

х. ,yí - реализации случайного вектора, (г , Установлена ее асимптотичесйая несмещенность и асимптотическая нормальность.

Получено выражение для дисперсии этой оценки.

. 1С ( о1) Яр --- ( 1С(о*+ а*) + 6о* - 2о*р ).

4л (¡¡а^ *

Основная трудность при доказательстве этих положений заключалась в необходимости вычисления многомерных интегралов специального вида. Доказанные утверждения позволяют их производить.

Проведенные исследования показали, что о необходимо выбирать из условия а = а где а € С 0.6; 0.76 ] в зависимости от величины р. *

Полученные результаты позволяют так же определять асимптотические доверительные интервалы для оценки параметра р.

В третьей главе диссертации рассматривается вопрос о возможности получения оценок всех параметров распределений ненаблюдаемых в совокупности случайных величин по предложенным моделям.

Оценки параметров распределений' находились методом статистических моментов. »

Получены оценки распределения

< р . Я,. >•

По модели динамического эксперимента

т=х +

и-1

о*=-а* ;

4 7С-1 *

л - Р3У

V » - !

У %-р

л, 1С тс-р у

* 1С ( к - 1 )

р = г - ,

1 + ( % - 1 )г*

где

1 1 1 п П , п „ Я . „

1 " - 1 - • г = — I ЗДГ* У •

К У V «4

(1)

Рассмотрена возможность нахождения оценки р через третий центральный момент

% а

(Г =

2 X

(2—тс) '-а *

где

е 1 -

у •

По модели программного эксперимента

8

ю

т<

/ о*+ о то*о* - о*) + га*

%(а* - а*)

,_- * » л

У ^ -г •

I а2 СТ"

а», >

1 и( о*+ о1) - 2о*р*

1С (Ж-1) гж ( о*+ о1)

20*+(1С-1)(-01+ о2) г1'

Найдены также оценки параметров двумерного усеченного экспоненциального распределения, расположенного в угле

по модели динамического эксперимента и по маргинальным

распределениям.

Полученные в этой главе результаты свидетельствуют о том, что исследуемые модели позволяют проводить оценивание всех параметров рассмотренных- распределений. .

Четвертая глава диссертации посвящен» исследованию полученных в главе з оценок параметров.

Эти оценки имеют достаточно сложный вид, и их аналитическое исследование не представляется возможным. Поэтому с целью выяснения некоторых свойств полученных оценок параметров различных законов распределений и для определения их поведения при различных объемах .выборки проводилось

статистическое моделирование описанных экспериментов.

Моделирование динамического эксперимента в рамках гауссовской модели.

Датчиком случайных чисел были сгенерированы п = гт величин из

Яг ( о, 1. р, о, 1 ), для р 0.2; 0,5; 0,9; п - объем выборки.

Это допущение существенно не снижает ценности полученных результатов, так как любые другие значения параметров можно привести к ним изменением масштаба.

По формулам (1) восстановлены параметры этого закона. Результаты моделирования для параметра р приведены на рисунках 1,2,3,4. Остальные восстановленные оценки параметров так жэ стремятся к своим теоретическим значениям с увеличением п.

Р

. 21

. 1Р

. 17

. 19

. 1S . 11

Dр

го «о во ао

Рис.1. Зависимоть оцен-. ки параметра р от объ-ма выборки, р = 0.2.

Рис.г. Зависимость дисперсии оценки параметра р от объема выборки п.

Р

Dp .

. os |-

Рис.-э. • Зависимость оценки параметра р от р.

1.о Р

Рис.4. Зависимость дисперсии оценки параметра р ОТ р, П = 100.

. оо

Моделирование программного эксперимента в рамках гауссовской модели проводилось при тех же предположениях о параметрах и , о., (=1 „2.

Объемом выборки при этом считалось количество успешных реализаций случайного вектора ( т , Результаты моделирования для параметра р приведен на рисунке 5 Была исследована зависимость дисперсий восстановленных оценок от значения дисперсии управляющего закона Я(х). На рисунке б представлена зависимость 1>р от о.

Рт юр

. »7

. 37 , 3«

. «7 . 77 . в7

п

2 1.3

Рис.6. Зависимость дисперсии оценки параметра р от о .

У"

состоятельность оценок полученных по

о so «о ао |о юо

Рис.5. Зависимость оценки параметра р от объ ема выборки п. р=о.5°

Проведенные исследования показали параметров двумерного нормального распределения этим моделям.

• В результате моделирования двумерного усеченного экспоненциального распределения, сосредоточенного в угле, была установлена состоятельность оценок параметров, полученных по модели динамического' эксперимента . и по маргинальным распределениям. Установлено, что дисперсия первых стремится к нулю быстрее, т.е. они более эффективны.

Разработан алгоритм для проверки гипотезы о принадлежности ненаблвдаемых в совокупности случайных величин к двумерному гауссовскому распределению. Программа .реализующая его, тестировалась на смоделированных случайных числах из распределения *

Я. ( о, 1, р. О, 1 ).

. 97

1

Полученные в настоящей работе результаты были применены в исследованиях стойкости интегральных микросхем к дестабилизирующему воздействию ионизирующего излучения низкой интенсивности.

Ключевой задачей в проблеме повышения надежности бортовой аппаратуры космических аппаратов является исследование стойкости ИМС к Ш в условиях функционирования. Однако, в связи с тем, что испытания ИМС в условиях, близких к эксплуатационным, невозможны из-за их продолжительности и дороговизны, возникла необходимость в ускоренной оценке стойкости ИМС.

При решении этой задачи нужно устанавливать связи мевду моментами отказов ИМС при различной интенсивности ИИ, а также меру автомодельное™ ( в смысле достоверности вывода о поведении изделия в одном режиме п<\ его испытаниям в другом) разных режимов.

Для исследования этих вопросов был проведен натурный эксперимент по программе, предложенной автором.

Было испытано 16 ИМС в переменном режиме 0,5 - 5рад/с (режима выбирались в соответствии с возможностями испытательного оборудования).

Обработка экспериментальных данных проводилась с помощью разработанного программного обеспечения. Полученные результаты нашли применение в разработанной методике.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

Исследована и обобщена стохастическая модель эксперимента с ненаблюдаемыми в совокупности с.в. Проведенные исследования подтвердили состоятельность этой модели, а разработанное математическое .обеспечение позволяет эффективно использовать ее на практике.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Разработана стохастическая модель. эксперимента для случая, когда наблюдаемые параметры описываются дискретными случайными величинами.

2. Определены условия выбора дисперйии управляющего закона для получения оценки коэффициента корреляции нормального распределения с минимальной дисперсией.

*

3. Получены оценки параметров нормального и усеченного экспоненциального распределений по моделям динамического и программного экспериментов. Исследована состоятельность этих оценок.

4. Построены иммитационные модели предполагаемых экспериментов для нормального и усеченного экспоненциального распределений.

5. Проведено сравнение эффективности индивидуального и группового подходов к оцениванию параметров многомерных распределений. •

6. Разработан алгоритм для проверки гипотезы о гауссовском распределении одновременно ненаблюдаемых случайных величин.

7. На базе разработайных моделей создано программное обеспечение, позволяющее проверять различные гипотезы для параметров исследованного класса , устанавливать между ними функциональные, корреляционные связи.

в. Результаты настоящей работы вошли в методику для определения стойкости ИКС к дестабилизирующему воздействию № низкой интенсивности.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих статьях автора!

1. Богомолов С.Б. Исследование оценок параметров двумерного гауссовского .распределения с ненаблюдаемыми одновременно компонентами // Труда МГТУ. - 1990.- Я 544.- С.29 - 40.

2. - Богомолов С.Ю., Картапгов Г.Д. О нахождении оптимального плава эксперимента для оценки коэффициента корреляции гауссовской модели // Динамика неоднородных систем: Сб. тр. ВНИИСИ.- II., 1991. С.Э - 9.

3. Истомин Е.П., Богомолов С.Ю. Оценка параметров двумерного гауссовского распределения с ненаблюдаемыми одновременно компонентами // Тезисы докладов Всесоюзного семинара по надежности больших механических систем.- Ташкент,1989.-о.45-47.