автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.09, диссертация на тему:Моделирование и анализ структурной информации с повторяющимися признаками формы в медико-биологическом эксперименте

министерство общего и профессионального оьрлзовп'и» ля

Российской Федерации Тульский Государственный университет ] у 2[|£]

Ни правах рукописи

ВОРОБЬЁВ Сергеи Александрович

УДК 621.317.35

МОДЕЛИРОВАНИЕ II АНАЛИЗ СТРУКТУРНОЙ ниФоР¡VIАЦ!111 С ПОВТО 1*513011ИIМ1IСЯ ШЧШШ^ШИ <1'()г;\1!?! В МЕДШСО-БИОЛОГИЧЕСКОМ 'ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Специальность 05.13.09 "Управление п биологических и медицинских системах (включая применение вычислительной техники)"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени . доктора технических наук

Тула - 1999

Работа выполнена в Тульском государственном университете

Научные консультанты: профессор, доктор технических наук

A.A. Яшин;

доктор медицинских наук Т.И. Субботина.

Официальные оппоненты:

профессор, доктор технических наук Ю.Б. Подчуфаров;

Ведущая организация:

доктор технических наук В.А. Колосков;

профессор, доктор технических наук В.А. Савеников.

Институт математически: проблем биологии РАН г. Пущино.

Зашита состоится 4999 года в 13 часов н

заседании диссертационного совета Д.063.47.05 ТулЬског Государственного университета (300600, Тула, пр^т Ленина, 9'. корпус 9, аудитория 101)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной.бнблшгт Тульского Государственного университета (300600, Тула, пр-Ленина, 92)

_ . гаао

Автореферат разослан "с* "—1-999-г.

Учёный секретарь. . диссертационного совета доктор медицинских наук, профессор

Ю.Л. Веневце

с д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

В последнее десятилетие во всем мире наблюдается заметный ио.дьем биомедицинской науки. Происходит качественный скачок как результат накопленных в различных отраслях науки знаний о природе, функциях и назначении Живого на Земле. Интегрируются знания, накопленные в биологии, генетике, физиологии, экологии и многих других, иногда весьма далеких друг от друга областях знаний на фоне возрастающего использования математики и других точных наук. Широкое распространение и доступность (даже в условиях экономического кризиса) вычислительной техники с одновременным ростом ее возможностей и развитием сетевых технологий дает возможность оперативной обработки больших массивов данных непосредственно исследователем, что позволяет существенно увеличить результативность проводимых .исследований. Этому же способствует развивающаяся система программного обеспечения с удобными пользовательскими интерфейсами, для работы с которыми необязательно иметь обширные знания в области математики и статистики.

Все вышеперечисленное в свою очередь вызвало качественный скачок I! развитии методов обработки данных. Развиваются ранее известные методы математической статистики, появляются новые. Ежегодно публикуются статьи о нескольких сотнях новых методов и их разновидностей, а также об использовании уже известных методов гГсовершенно новых, не предусмотренных разработчиками целях. Это свидетельствует, с одной стороны, о практической необходимости таких методов, а с другой - об отсутствии в настоящее время достаточно общих и универсальных методов обработки больших массивов бпоме-ДИИИИСКИХ данных. Основной причиной этою подъема является то, что методы, разработанные и успешно применявшиеся для решения технических задач, часто совершенно непригодны для использования в медицине и биологии в силу существенно большей сложности исследуемого объекта и граничных условий либо требуют слишком больших затрат вычислительных ресурсов, не соответствующих получаемому результату.

Условно выделим две основных цели такой обработки. Первая - сведение многообразия данных к некоторому сравнительно небольшому их числу и представление в удобной для исследователя форме. Вторая - выявление скрытых зависимостей в массиве данных и соотнесение их с процессами, проходящими в исследуемом объекте. В качестве аналогии такой обработки можно привести пример использования авиации в археологии. Исследователь на поверхности земли видит однородный ландшафт, но если охватить взглядом несколько десятков километров одновременно - в глаза бросаются контуры древних рвов, крепостных стен, строений и т.п. Методы обработки являются в бно-медицинских исследованиях аналогичным инструментом для дистанцирования, позволяющим исследователю "охватить глазом" пр блему в целом.

Традиционной и весьма распространенной формой представления ре-

зультатов экспериментальных исследований в науке, технике, медицине, на производстве являются экспериментальные кривые. Регистрируемый сигнал несет косвенную информацию о состоянии и характеристик ч порождающего его источника и анализируется с целыо изучения недоступных либо труднодоступных для непосредственного наблюдения явлений. Полученная информация об источнике, порождающем крив)ю, может быть использована для решения задач управления, прогнозирования его поведения, либо для понимания механизма его функционирования. Среди экспериментальных кривых можно выделить группу кривых, являющихся результатом наблюдения процесса с выраженной внутренней структурой. Обработка таких кривых связана с выделением фрагментов кривой, обладающих определенными характеристиками (однородных участков). Кривые такого типа в ряде работ называют структурными. Для их анализа применяются методы распознавания образов и методы обнаружения изменения свойств случайных процессов.

Математические модели и алгоритмы, используемые.при анализе структурных кривых, разнообразны и подчас весьма непросты, чю обусловлено разнообразием источников кривых. Учитывая, как правило, обширные объемы данных, получаемых в эксперименте и требующих представления 11 сжатом виде для последующей обработки и осмысления, становится очевидным огромная потребность в автоматизированных методах обработки кривых. При решении задач управления в биологии и медицине возникают дополнительные трудности в связи тем, чго решение о виде управляющего воздействия практически всегда (исключая непосредственно моменты хирургического вмешательства и ряд сходных ситуации) проводятся гю косвенным данным,'искаженным различною рода помехами, а также при возможной неполноте данных.

Существующие методы обработки экспериментальных кривых можно условно разделить на две большие группы. Первая основывается на предположении, что для наблюдателя важно усредненное поведение кривой и обрабатывать следует всю кривую в целом. К этой группе методов относятся спектральный анализ кривых, методы идентификации параметров моделей динамических систем на основании анализа входного и выходного сигналов, оценивание параметров математической модели временного ряда по всей реализации в целом. Наиболее распространенными при обработке биомедицинских данных являются методы, основанные на быстром преобразовании Фурье, несколько реже используются регрессионные модели.

Вторая'группа методов обработки, собственно и называемых структурными, основывается на предположении, что состояние исследуемого источника кривой меняется и представляет собой последовательность отдельных элементарных событий. При этом каждое элементарное событие приводит к появлению характерных особенностей формы кривой на соответствующих фрагментах. Анализ экспериментальных кривых, обладающих внутренней структурой, связан с необходимостью выделения однородных фрагментов, соответствующих элементарным событиям.

Приведенное разделение методов обработки временных рядов на две группы, разумеется, в некоторой степени условно. При использовании структурного подхода на выделенных участках однородности в полной мере могут использоваться классические методы обработки кривых, а при исследовании временных рядов классическими методами необходимым может оказаться разбиение их на части в соответствии с полученными этими методами признаками. Весьма показательными в этом смысле являются активно разрабатываемые в последние годы методы вейвлет-анализа. Они являются некоторой модификацией традиционного спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье; который эффективен при обработке периодических сигналов. На практике же нередка возникает необходимость знать спектральные свойства сигналов, не являющихся периодическими и, к тому же, известными лишь на ограниченном отрезке времени (или ряде отрезков, отстающих друг от друга на различные расстояния). Зачастую интерес представляют сигналы, спектральный состав которых меняется со временем. В этом случае необходим "локальный" анализ спектра. С последней задачей хорошо справляется вейв-лет-ацализ, сформировавшийся в последнее десятилетие в самостоятельный раздел прикладной математики. Используя разложение по осциллирующим функциям, локализованным как в физическом, так и в фурье-пространствах, вейвлет-преобразование отображает исходный одномерный сигнал на полуплоскость время-частота, характеризуя спектральный состав сигнала в каждый момент времени. В ряде случаев для последующей обработки используется так называемый "скелет максимумов" - множество точек, в которых находятся локальные "пики" аейвлет-преобразовашш (реакция на негладкость сигналов). Эти методы используются ддя обработки электро- и эхокардиограмм И позволяют выявлять различные сердечные аномалии на рацией стадий. При обработке ЭЭГ они позволяю! локализовать источник импульсов, свидетельствующих о том или нном. поражении (заболевании) для принятия решения о границах хирургического вмешательства.

Основным отличием от структурных методов анализа является тот факт, что результаты ней влет-преобразования требуют некоторой дальнейшей обработки для получения результатов, удобных для непосредственного использования (например, в диагностике). Поэтому определяющим признаком методов структурного анализа кривых считаем наличие модели для описания ненаблюдаемого процесса (истопника, формирующего последовательность участков различного типа на наблюдаемой кривой). В зависимости от постановки задачи эта модель либо используется при разбиении кривой на однородные участки, либо является объектом оценивания по экспериментальным данным и изучения с ЦеЛЫо установления связи между параметрами этой модели и характеристиками изучаемого объекта (диагностических признаков). Сказанное tie откачает невозможность применения структурного подхода к вейнлет-анаЛизу. Использование структурных методов обработки такиц образом определяется в первую очередь задачами Исследования. Их основное преимущество - возможность

получения информации о структуре исследуемого объекта, которую невозможно получи п. другими методами.

13 связи со всем вышеизложенным актуальной задачей я ляется разработка моделей и алгоритмов выбора статистических моделей структурных кривых и оценивания их параметров. Выбор модели включает задачи концептуального выбора общего класса моделей и оценивания целочисленных параметров, характеризующих структуру модели в пределах выбранного класса. Эш параметры будем называть первичными, о отличие от вторичных, окончательно .определяющих конкретную количественную модель.

В настоящей работе предлагаются методы структурного анализа для обработки экспериментальных кривых, отдельные участки которых характеризуются повторяющимися на них признаками формы наблюдаемой-кривой. Рассматриваются задачи разбиения кривой на однородные участки, задачи оценивания вюричных (численных) и первичных (структурных) параметров модели и задача выбора класса модели и ее конкретного'вида. Особенность всех используемых в настоящей работе моделей кривых - они порождающие, то есть имеется возможность интерполяции и эксфаполяцпи данных, что необходимо при обработке биомедптщнеких данных, которые часто имеют ограничения по выборке и иногда приходится прибегать к восстановлению зависимости в отдельных местах.

ObbF.KT псслвдоиАННЯ: Любой медико-биологический процесс, являющийся источником сигнала, характер поведения которого на различных участках изменяется и отражает изменения состояния'исходного процесса.

Используемый методы: за основу в настоящей работе принят структурный подход, описывающий наблюдаемую кривую как реализацию двухуровневого случайного процесса. Такой подход предполагает наличие моделей-как для описания наблюдаемого процесса (кривой), так ц для ненаблюдаемого процесса чередования однородных участков ii их типов. В последнем-н состоит основное отличие от популярной в настоящее время методологии вейвлет, tie использующей модели (и понятия) ненаблюдаемого процесса. Методологически к предполагаемым методам наиболее близки разрабатываемые в работах И.Б. Мучника (США), В.Г, Яковлева, Т.О. Ивановой, В.В. Мотгля структурные методы обработки кривых, описываемых уравнениями апторегрессии со скачкообразно изменяющимися параметрами. За основу для разработки методов оценивания размерности и выбора типа и структуры модели взят информационный критерий Акаике, использованный в работах Т.О. Ивановой для оцепи- ' вания размерности авторегрессионной модели со скачкообразно изменяющимися параметрами. Для той же цели используется известный метод проверки статистических гипотез. •

В предлагаемой работе подобные, методы используются для обработки структурных кривых с. различными признаками повторяющейся формы, что вызывает необходимость существенных изменений этих методов и применения ряда оригинальны^ подходов. Задача выбора шага дискретизации обрабатьь

. ваемых кривых в настоящей работе не рассматривается, поскольку должна решаться для каждого конкретного случая (теорема отсчётов Котельникова).

Цедь.диссертации! Разработка методологии построения моделей для описания структурных кривых с различным» способами задания признака повторяющейся формы и методов обработки таких кривых.

Задачи диссертации: => формирование комплекса моделей, пригодных для описания процессов формирования достаточно широкого класса структурных экспериментальных кривых с повторяющимися на однотипных участках признаками формы; => разработка методов сегментации кривых при различной организации процесса поступления информации для полностью зарегистрированной кривой или в режиме реального времени для всех предложенных моделей; => создание методов идентификации неизвестных числовых параметров моделей для различных режймов поступления информации; ■

=> выработка методов выбора типа модели для описания исследуемого процесса из множества предложенных и рацее известных моделей, и методов оценивания неизвестных структурных параметров этих моделей.

Научная ношппа. В диссертации предложена концепция математического описания процессов, являющихся источниками структурных кривых с повторяющимися признаками формы, включающая три принципиально разных способа задания признаков формы и возможность описания кривых "смешанного" типа, содержащих как участки повторяющейся формы, так и шумоподобные участки; предложен комплекс методой разбиения обрабатываемой кривой на однородные участки при различной организации процесса поступления информации н. известных параметрах модели (для всех предложенных в работе моделей), включающий принципиально новый класс методов, сочетающих свойства вероятностного и детерминированного подхода; методов оценивания неизвестных параметров для всех предложенных моделей при различной организации процесса поступления информации и известных структурных параметрах; методов выбора вида модели кривой из множества всех предложенных в настоящей работе моделей и, кроме того, моделей кривых, описываемых случайным процессом авторегрессцн со скачкообразно изменяющимися параметрами модели., и методой оценивания неизвестных структурных параметров этих моделей; обеспечена совместимость разработанных методов с известными методами обработки структурных шумододобных кривых.

Практическая ценность работы заключается в предложенных алгоритмах обработки экспериментальных кривых, позволяющих в медико-биологической практике производить оценку состояния исследуемого процесса пли объекта.

Достоверность полученных результатов подтверждается данными имитационного моделирования и использования разработанных а)Ц-оритмов для решения ряда практических задач. .

Основные иолотщшя, выносимые на защиту диссертации

1. Концепция моделирования экспериментальных кривых в виде реализации одной in компонент двухуровневых Или трёхуровневых структурных случайных процессов;

2. Три различных способа задания признака пошорягащеГк ! формы кривой для событии данною класса: посредством одной, нескольких эталонных форм пли их линейной комбинацией;

Методы сегментации кривых для различных режимов их регистрации, включая: методы оптимальной поточечной классификации; методы динамическою программирования сегментации кривых, в том числе пригодные для работы в реальном масштабе времени с автоматически определяемой задержкой; ускоренные методы сегменташш, сочетающие свойства детерминированных п вероятностных методов распознавания;

4. Методы идентификации .неизвестных параметров моделей, включая; методы оценивания параметров для полностью зарегистрированной.кривой; методы пересчета параметров в ходе регистрации кривой; точные и ускоренные методы "с обратной связью", а также оценивания параметров "с учителем";

5. Методы оценивания неизвестной структуры моделей с использованием метода сравнения статистических гипотез и информационного критерия Акаи-ке;

6. Методы выбора типа модели из множества предложенных и модели авторегрессии со скачкообразно изменяющимися параметрами;

Публикации. Основные результаты исследования по теме диссертации

опубликованы и 50 печатных работах, из них 48 на русском языке.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на:

0 II симпозиуме JFAC по стохастическому управлению (Вильнюс, 1986 г.);

О Всесоюзной НТК "Разработка энергосберегающих и малоотходных технологий в металлургии цветных металлов" (Москва, 1986 г,);

О Всесоюзном семинаре по обнаружению изменения свойств случайных процессов (Воронеж, 1990 г.);

0 Всесоюзных конференциях "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" РОАИ-2-95 (Ульяновск, 1995 г.) и РОАИ-3-97 (Нижний Новгород, 1997 г.);

О Всероссийских НТК "Микроэлектроника и информатика-97 и 98" (Звенигород, 1997 и 1998 г.г.);

О Международной НТК "Нечеткая логика, интеллектуальные системы и технологии" (Владимир, 1997 г.);

О Л и III Всероссийских НТК "Методы и средства измерений физических величин" (Нижний Новгород, 1997 и 1998 г.г.);

ф 3~ей Международной конференции "Теория и техника передачи, приема и обработки информации", (Харьков, 1997 г.);

0 II международной НТК "Управление в технических системах" (Ковров 1998); • .

О 1} международном симпозиуме "Биофизика полей и излучений и бионнфор-

матнка" (Тула, 1998 г.); О 1 Всероссийской НТК "Компьютерные технологии в науке, проектировании

и производстве" (Нижний Новгород, 1999 г.); О Международной конференции "Перспективные технологии автоматизации"

ПТЛ-99 (Вологда, 1999 г.) и на ежегодных научно-технических конференциях в Тульском Государственном университете, а также на научных семинарах, проводимых в 1995-98 гт. В НИИ новых медицинских технологий.

Структура ii онъем глипты. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы (346 наименований) и приложений. Объём основного текста диссертации - 250 машинописных страниц, 20 страниц рисунков, приложение на 59 страницах включает доказательства теорем и тек-С1Ы некоторых а.'норитмоп, а также акты о практическом использовании результатов и выводов диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РА БОТЫ

В нерпой главе диссертации рассматриваются существующие методы обратикп '»ксперпмеиталинлх сигналов, источником которых являются процессы с изменяющимися свойствами. Рассматриваются (фактические задачи, приводящие к необходимости такой' обрибожп экспериментальных данных -•.кенеримешальпых кривых из области медицинских и биологических исследований и систем управления.

Структурный подход к анализу кривых, состоит,в параллельной реализации следующих задач: 1) задачи сегментации, то есть выделения однородных фрагмент» на кривой; 2) задачи описания однородных фрагментов, соответствующих элсмешарным событиям; 3) задачи анализа порядка чередования разных пиши фрагмента.

П1Ш структурном анализе удобно описывать кривую как наблюдаемую реи шзаншо некоюрого случайного процесса, поэтому структурный подход к анализу кривых 1есно связан с проблемой обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов. Задача сегментации, то есть нахождения границ мел.ду однородными фрагментами, может быть понята как задача обнаружения одною или нескольких моментов изменения (разладок) случайного процесса.

Сущеспзукшше методы обрабогкц структурных кривых разбиты на три основных группы. К первой относятся алгоритмы, не использующие математической модели кривой, а основанные лишь на предположении, что она состоит из (инородных фрагмшюв с примерно постоянными значениями некоторых признаков формы и значения признаков на соседних фрагментах различаются. Манмиппческою описания фра!мептшз кривой и механизма их чередования не предлагаема. Необходим лишь выбор определённого набора признаков формы кривой, а также некоторый критерий однородности её поведения на фрагменте. Э'о полностью эвристические алгоритмы, использующие для сегментации раз-

личные функции сложности, характеризующие степень изменчивости поведения кривой на данном участке. Они направлены на расчленение Кривой на отдельные фрагменты так, что признаки формы кривой отНос: гслыю Постоянны внутри фрагментов и сильно Изменяются на их границах. Сюда же относим алгоритмы сегментации по заданному критерию, алгоритмы кусочной ц частичной аппроксимаций с помощью многочленов и по некоторой системе башсных функций. •

Ко второй группе относятся алгоритмы, использующие математическую модель случайного процесса, реализацией Которого является кривая На участках однородности. Модель включает Математическое описание однородных фрагментов с гюмощыо семейства функций плотности распределения вероятности, но не предлагает математического описания, механизма изменения состояния, то есть не задаёт механизм чередования элементарных событий. Обычно каждый однородный фрагмент кривой описывается вектором параметров, который и является признаком формы на Данном типе фрагментов.

К третьей группе относятся методы, основанные на построении магматической модели, включающей математическое описание однородных фрагментов и математическую модель механизма чередования элементарных событий (обычно в виде некоторого потока случайных событий). Они позволяют учесть и использовать для обработки информацию о закономерностях чередо-рания фрагментов, если таковая Имеется. Наиболее Известны методы структурно и обработки Шумоподобных кривых, описываемых уравнениями авторе!рес-сии со скачкообразна изменяющимися параметрами. В качестве модели механизма чередования элементарных событий в работах Мучника И.Б., Яковлева В.Г., Ивановой Т.О., Харина Ю., Моттля В.В. используется конечная марковская цепь переключений. В/главе подробно описаны эти методы для различных постановок Задачи обработки кривых. Для оценивания размерности такой модели Ивановой Т.О. предложен ряд методов, основанных на информационном критерии Акаике ИКА (Д1С) - модификации метода максимального правдоподобия для случая неизвестной размерности модели. Рассмотрен также ряд других информационных критериев (1С) - все они являются зависящими от размерности модели поправками к логарифму условной функции правдоподобия.

Рассмотрены существующие методы описания признаков формы на участках кривых, Сделан вывод о необходимости разработки моделей и методов структурной обработки кривых с повторяющимися признаками формы.

Во нтороп главе приводится модель для описания .экспериментальной кривой как многоуровневого случайного процесса. Она состоит из модели ненаблюдаемого процесса, (смены состоянии объекта, являющег ося источником регистрируемого сигнала) и модели наблюдаемого процесса (кривой). Ненаблюдаемым этот процесс назван с некоторой долей условное™, так как в ряде прикладных задач он оказывается доступным для наблюдения, но стоимость и техническая сложность непосредственного наблюдения оказываются слишком высокими для решения данной задачи и возникает необходимость в получении

оценки состояния объекта по косвенным признакам с использованием легко наблюдаемой и регистрируемой кривой. Особенно затруднено такое наблюдение при исследованиях, проводимых в биологии и медицине.

Процесс смены состояний источника рассматривается как последовательность событий, каждое из которых может быть отнесено к одному ¡13 конечного числа классов. Общее число классов событий т относительно невелико - много меньше общего числа смены состояний источника за время наблюдения. Основной механизм для описания смены состояний - маркопсхая цепь переключении. Каждое Событие объективно принадлежит одному из т классов. В-каждый конкретный момент дискретного времени г может происходить только одно событие. Предложен ряд основных моделей ненаблюдаемого процесса. •

Модель криной с участками фиксированной длины связывает с каждым классом-1 некоторую длительность Т, событий данного класса. Если ,?-ое событие произошло в момент и принадлежало /-ому классу, то следующее я+/-ое событие произойдет обязательно в момент +Т, и класс этого события будет зависеть лишь от класса предыдущего события.

Для каждого момента времени Г введены понятия класса И, и фазы г,. Пусть I, - момент начала последнего по отношению к моменту / события, ¡¡я, а / - класс, этого события. Тогда /;,=/,. г,=*-(,+1. Пара (Л,, г,) - принадлежность момента (. Последовательность номеров классов событий представляет собой г-гаркопскуй цепь переключений с матрицей условных вероятностей переходов 0~{1]1}. В рамках денной модели '-/, Марковская цепь пе-

реключений определена ие на всей оси I дискретного времени, а в моменты

Первый уровень модели представляет собой дгухкомпоиентный нело-чнелетый' случайный процесс. Реализацию этого процесса конечной длины

для t=l,...,N обозначили H\N={h\,t\.....hN,TN\. Процесс полностью характеризуется матрицей Q={q'} и вектором длин фрагментов T={T¡). ' •

Модель кривой с участками случаШюй длины исгк п,зуется в основном для описания кривых с шумоподобными участками. Здесь марковская Цепь переключений определена на всей оси дискретного времени. В каждый момент t определяется класс текущего события h,. В качестве моментов наступления очередного события t, принимаем Моменты изменения состояния h„ а сохранение текущего состояния рассматривается как одно событие. Для этой модели диагональные элементь! q" матрицы Q должны быть, много больше остальных: именно они определяют время сохранения неизменным Текущего состояния -следовательно, длительность однородных участков.

Модель кривой с обрывающимися участками предполагает, что событие каждого типа может иметь некоторую случайную длительность в пределах максимального для данного класса i значения 7}. Считаем, что событие обязательно продлиться время, достаточное для появления на кривой участка характерной формы, но новое событие может наступать до завершения участка длительности Т) и либо затереть "хвост" данного участка, либр соответствующие эталонные формы суммируются в зависимости от выбранной модели наблюдаемого процесса. '

Здесь длительность события класса / является случайной величиной, распределенной на интервале [1,Г,]. Её распределение заднент только, от класса события и характеризуете^ набором условных вероятностей прерывания Фрагмента w', где w'1- вероятность того, что /-ый отсчёт собьгшя класса i является последним отсчётом этого собьггия при условии, что он принадлежит данному событию. Их получаем из распределений длин отрезкой Р(&,*>к), где 9, - длительность собь(тця класса i по формуле

™*=Р{Э^к)Г±Р(3{=1). : ' Л. , "(1)

.;. / hk ■. V. ■ .■■' / ';. •'

Очевидно, Что w'T' е. 1. Чередованием номеров классов собьПи!} по прежнему управляет марковская цепь переключений 0 ~ {<?")• Дополнительны^ параметр - матрица условных вероятностей прерывания фрагмента lF=fiv'), Матрицы Q и W близки по свойствам и практическому использований и', очевидно, Могут быть заменены единой матрицей условных вероятностей.' Однако тчкое- объединение увеличит общее чисдо Используемых пзраметров'н уменьшит скорость . работы алгоритмов. .Это будет заметно уже для процедуры сегментации, но особенно скажется при оцениванип нецзрестных параметров модели. . ..

Подход к моделированию, состоящий в применении различных матриц условных вероятностен Для описания различных вероятностных характеристик ненаблюдаемого процесса, оказывается в данном, случае весьма результативным, поскольку существенно енижает число параметрон модели и при оценивании этих параметров позволяет Получить отдельные условия для'элементов либо строк таких матриц, что вёсьма .значитрльно ускоряет сходимости алго-

ритмов оценивания по сравнению с одновременным оцениванием всею набора параметров модели.

Модель с дцусторонш: обрывающимися участками используется для описания кривых, фрагменты которых могут быть "затерты" реакциями соседних событий как в начале, так й в конце фрагмента, так что иногда будет наблюдаться только средняя часть эталонной формы. Она используется для описания кривых с обрывающимися фрагментами, так как для случая перекрывающихся'(суммирующихся) фрагментов может быть использована более простая предыдущая модель.

Введем две матрицы условных вероятностей - начала фрагмента (П = {н'1'*}; и обрыва фрагмента \У2*=[\н2'к} - она в точности соответствует матрице Hf={i/} предыдущей модели. Матрица ¡VI содержит условные вероятности того, что фрагмент, начавшийся в данный момент времени, начинается с к*-ото отсчёта эталона, при условии, что в этот момент времени начина ется фрагмент класса i: vH'*=P(r,=Á/A¡=/, /)мЛ ши г, i^i-1). Можно рассмотреть модификацию модели, когда фрагменты начинаются с любого отсчета эталона, а кончаются'всегда последним (Г-ым). В этом случае используется матрица вероятностей if Г*, á wl'k опускается.

■ Все рассмотренные модели можно комбинировать, используя для разит,гх ' классов событий различные способы управления пк длительностью.

МодеЛн формиюнания наблюдаемого Л реи шссл рассматривают его как смесь полезного сигнала и шума. Предлагаются следующие способы задания

признака .формы: . ' • •

Моделй с повторением средней формы фрагментов используют самый простои признак - математическое ожидание формы на участках кривой, соответствующих событиям дайного класса. Модель наблюдаемой компоненты х, двухкомгонеитного случайного процесса при этом примет следующий вид: с каждым классом событий i связывается эталонная форма <p(i, х)- ф' фрагмента длительностью. Г,.. Случайный-процесс х„ Представляет собой сумму этих эталонов и нормального белого шума '■ ; ,'

Л, •• Ф:,г,) ЧЦ,,)4(П, ' . ■ (2)

гд£ £'(0~ но'рмальный'белый шум с нулевым средним и единичной дисперсией; b(h,)=l> '-. уровень шума, зависящий' от номера класса i-h¡. Отрезок реализации случайного процесса х, обозначим AiA={.\"i)...r'v,v}. Процесс полностью характеризуется формулой (2), матрицей &={фк\ эталонных форм и вектором уровней шума В={Ь'\. С рассмотренной.моделью наблюдаемого процесса могут использоваться'Модели е участками фиксированной длины, случайной длины, обрывающимися участками и.двустороние обрывающимися участками. Данная модель достаточно универсальна, для описания кривых, являющихся продутом технических или технологических процессов, однако для обработки биомеди-ifttHckux данных* в ряде случаев требуются более сложные модели.

Модели с-наложением соседних фрагментов не.тлеются в случаях, когда после наступления очерёдного события'па кривой сохраняются следы

предыдущего, достаточно значительные для того, чтобы их нельзя было адекватно описать аддитивным шумом ¿V)- Модель наблюдаемого процесса на случай перекрывания двух соседних фрагментов

(3)

Аналогичным образом можно расширить модель для случая трех или более перекрывающихся' фрагментов. С этой моделью' наблюдаемого процесса удобнее всего использовать модели ненаблюдаемого процесса с обрывающимися участками или с участками случайной длины.

Модели с многоэталонным чаданием формы фрагментов используются для кривых с большим разнообразием форм на однотипных фрагментах -как правило это кривые биологического происхождения. Для описания поведения кривой на участке класса г используем набор />, эталонных форм ¡фк. Каждый момент времени I характеризуется кроме класса /г, и фазы.г, также вариантом используемого эталона На протяжении одного фрагмента'значение V, не метается. Процесс х, формируется как

Хг,(р'к + Ь1 £„ где /=Л„А=г„ 5=у,: _ ■. (4)

модель предполагает либо возможность появления гт каждом конкретном участке данного класса любого из н, вариантов формы с равными вероятностями '/«„ либо возможность появления па всём протяжении данной кривой только одного варианта формы для,участков данного класса. Эта модель'сочетается с любой моделью ненаблюдаемого процесса. Она характеризуется еще одним параметром — вектором размерностей наборов эталонов /4);1)={н1,.,.,н„,}.

Модель с 'заданием формы 'фрагментов линейной комбинацией н ллонных форм использует в качестве признака формы кривой на участках /'ю тпца разложение по базису эталонов, Каждому типу / от 1 до гц цО - прежнему ставим в соответствие п, базисных* эталонов где ¿=/;„ к-гй >=!,...,)), Обычно достаточно 2 3 элементов базиса для эффективной работы алгоритма. Наблюдаемый процесса, обрадуется 1<ак

п, . ■■..,',''

х1 = 1Е,аг'г <р'к где *■="//„ *=Г,,' .';; (5)

г = 1 .•' / . '■■ :' ...■ .. .

h¡ . . ' • • • . . прячем ^ ее, ='1 и 0 < аг ^ I для всех г=}'",...;/!>■. , " , •••. (б)

П.тбор коэффициентов аг остается неизменным на протяжении данного фрагмента.-Данная модель может исцолт.деваться с любой .моделью нетгабдюдаемо-ю процесса- Параметр ..-,"„;} является здесь размерностью базисного

набора эталонных' форм для каждою класса, ' ' .. ■

Модели процессов с тремя или шлее уровнями используются при дли-кльных наблюдениях,кривой, ког да регистрируете;» большое числй событий и вероятностные характеристики ненаблюдаемого процесса в ходе. наблюдения меняются, причем неоднократно, и эти шменения отражают некоторые Изме.-

нения объекта. Для описания таких кривых предлагается модель трехуровневого процесса. Процесс первого уровня управляет источником, генерирующим процесс второго уровня, тот и спою очередь управляет источником, генерирующим процесс третьего уровня. Наблюдаем только процесс третьего (нижнего) уровня, первые два • ненаблюдаемые.

Обошачпм процесс первого уровня Он определен на конечном сравни-' тельно небольшом множестве значении - 1 ,...,м0. Будем описывать е) о посредством дискретной цепи Маркова с матрицей условных вероятностей переходов

/И''7} гдСО

Реализацию лото процесса для обозначим {¿»1,...,£/,■•}• Очевидно,

что диагональные элементы матрицы г"> >г1.

В качестве процесса второго уровня можно использовать любую модель ненаблюдаемого процесса. Параметры процесса (//,, г,) зависят от текущего состояния процесса первого уровня. При этом меняются либо псе вероятностные свойства процесса, либо только некоторые из них. Так, вместо одной матрицы О условных вероятностей переходов будем иметь мг„ матриц '(), 1~1,...,»«(!, причем в каждый момент времени Г используется только одна из них. Поскольку диагональные элементы матрицы А' много больше остальных её элементов, то время непрерывного испольговапия одной и той же матрицы достаточно велико. Кроме того, возможно изменение длин однородных фрагментов - вместо вектора 7'длин эталонов в этом случае имеем т0 векторов''Г,' ;'--1,....///и. В модели с участками переменной длины могут изменяться вероятностные свойства обрыва фрагмента Очевидно, что в ряде прикладных задач можно ограничить количество изменяемых параметров процесса второго уровня. Как правило, изменяется либо матрица () условных вероятностей, либо матрица условных вероятностей прерывания фрагмента IV, остальные параметры процесса неизменны.

Наблюдаемый процесс третьего уровни при этом может быть любым из предложенных выше. Поскольку он зависит только от текущего состояния процесса второго уровня, никакого шмепення в связи с увеличением'числа уровней в этих моделях не произойдет.

Сочетания моделей наблюдаемого и ненаблюдаемой) процессов позволяет получить большое число моделей кривой, особенно при использовании разг ,'шчнык моделей для разных классов событий. Подробно рассматриваются'ос- • новные модели:

1) Модель с фрагментами фиксированной длины и повторением средней формы фрагментов; ' • .

2) Модель с фрагментами переменной длины и повторением средней формы •• фрагментов; ■.-■'■ .•"'.'■

3) Модель с фрагментами переменной длины-и наложением соседних фраг- . мешен; . ' ' • . ■ ■' • '..

4) Мотель с фра-ментами фиксированной длНны ц многоэт алойным заданием

формы фрагментов; ; .

5) Модель с фрагментами переменной длины и миогоэталоииым заданием' формы фрагментов; • '

6) Модель с фрагментами фиксированной длины и заданием формы фрагментов линейной комбинацией эталонов;

7) Модель с фрагментами переменной длины и-заданием формы фрагментов' линейной комбинацией эталонов. .

Рредложенные методы обработки кривых пригодны и для любых друз их сочетаний рассматриваемых моделей.

Задачи обработки зш1ермм1.лг'альных кривых - аналогично классиче-. окон постановке задач распознавания образец выделяем две основные задачи -задачу, обучения распознаванию образов, понимаемую в рамках приведенных моделей как задачу получения оценок параметров этих моделей, и задач)' собственно распознавания - получения по предъявленной реализации случайного процесса х, оценок реализации ненаблюдаемого процесса (/;„г,). Задачу обучения распознаванию разбиваем на задачу обучения с учителем и задачу самообучения. Первая из них может быть реализована в ситуации, когда "ненаблюдаемый" процесс первого уровня на самом деле может быть измерен, пусть достаточно трудоемким способом. В некоторых практических задачах этот процесс измеряется легко, но с задержкой, не позволяющей практически цепользопать эти измерения для управления объектом или процессом. В таком случае можно получить отрезок реализации двухуровневого процесса х„ Ь,, т, (обучающая совоку пность), по которому затем восстановить параметры моделей Наблюдаемого и ненаблюдаемого процессов. В случае невозможности та. кого Измерения решается более сложная задача обучения без учителя. Обычно рценки, полученные но размеченной реализации, используют как начальные Приближения для их последующего уточнения методами самообучения.

Задача сегментации кривой понимается как восстановление реализации • ненаблюдаемого уровня двухуровневого случайного процесса (/;,, г,) по реали-' зации наблюдаемого уровня процесса х,. Считаются известными параметры Шмелей наблюдаемого и ненаблюдаемого случайных процессов. Сегментация тз этом случае заключается в сопоставлении каждому отсчёту х, его принадлеж-норти - класса //, и фазы г, (классификация отсчётов по их принадлежности). Для рассматриваемых моделей гипотезы о принадлежности отсчётов не являются независимыми. Априорная вероятность для каждой гипотезы о принадлежности очередного отсчёта связана с принятой гипотезой о его принадлежности. Решение о принадлежности этого отсчёта, должно приниматься в зависимости не только от его значения х„ но и от значении всех отсчётов кривой или некоторой достаточнб большой её части. . •; .. ' Качество любого правила сегментации оценивается величиной среднего р^ср сегментации,- математического ожидания функции потерь

- дотерт; "Э результате несовпадения сегментации Н^, полученной при обработ-

ке кривой Л']Л с помощью какого-либо правила, се[ментацин, с истинной сегментацией H\N этой кривой.

Ставится задача построения оптимального правила сегментации, то есть правила, для которого критерий среднего риска сегментации принимал бы минимальное значение. При этом структура оптимального решающего правила очевидно'зависит от вида выбранной функции потерь. Рассматриваются два основных вида функций потерь и соответствующие им решающие правила.

Первая'функция потерь,' названная глобальной, связывает одинаковое значение штрафа, равное единице, с любым несовпадением истинной Л,^ сегментации н.ес оценки Л/* безотносительно к величине этого несовпадения:

ССЛИ Ví60.-..*} " rt = f'; • (8) 1 ' (.1 если В£б{1, ...,N} / ht¿ht и rt*rt.

Эта функция не учитывает степень отличия поестановлеипоП алгоритмом сег-мецшшш от истиной, для неё одинаково плохи и ceiыентацик, n которой неверно определена принадлежность одного óicicra, н сегмеигашт, в гаюрой для ноловнны.от.счёшв принадлежность определена неверно.

ЛДДИШШШ! функшт потерь учнтт тает потерн h, ,h,, rt, f( j от несовпадения iiüjiiiiiioíi прпиадлежнсош (A'.,'.*,) каждого отсчёта и её оценки

иезайисамыс от ираьнльцретаналогичных оценок соседних отсчётов. Эш по-jepii суммирую гея Для всех отсчётов кривой:

Дл^Л.г^г,),; ' .(9)

•пункцию потерь такого вида будем называть адаптивной фазочувствптельной

.функцией потерь. Фазодечувствнтельная функция учитывает потери

лщць от неверного определения класса очередного отсчёт и игнорируют ошибки в определении его фазы.

oni.límajibhoi; рпл.аюдше правило для случая глобальной функции по, терь. нрцмет'впд ' ' '

i " ) = argmaxJp(H/v7-X1w).' . (10)

я г '

Tü есть оно-с водится к выбору сегментации, апостериорная вероятность кото-■ рой до отношению к обрабатываемой кривой максимальна.

■Минимум -среднего риска ДЛЯ аддпгпвних функций потерь обеспечивается бийес-овсмш решающий tqtobWiúM

. á,(^) = arBUiin£Ш^-к^-Ги = /,г, = к/Х?\ (11)

Для функции потерь Л специального вида (антидйагональной) .

~ \ I О, если И, = и ' ' [1, если ¡1, # или решающее правило значптельн

□,(Л',Л') = агетах/^/^ = /, г, = к / А'," ).

Решающее правило для фазоиечуветвигельной функции .потерь оценивает только класс текущею отсче1а и-использует рсрояшости вида РЩгъ'Ху), получаемые.из входящих в (11) суммированием но всем значениям фазы. Оптимальными алгоритмами являются для глобальной функции по]ерь -'адгоритц сегментации, построенный по схеме динамического прогрзммировашц, а для аддитивной - алгоритм поточечной классификации отсчётов ца основании апостериорных вероятностей их принадлежности.

Задачи идентификации параметров модшши' делятся две группы. к рервой отнесем оценивание размерности - парамефов, определяющих: структуру модели: число классов т, вектор длин фрагментов Т, порядок авторегрсс-сии п для шумоподобных участков кривой, количество уровней -- два или трц -структурного случайного процесса п размерность ш0 первого уровня трехуровневой модели. В широком смысле к "структуре" относятся также,типы Нейоль-зуемых моделей наблюдаемого и ненаблюдаемого процесса. '

К группе оценивания собственно параметров относим оценивание матриц условных вероятностей Л'либо-Щ ц Щ, эталонные форм 6? и ректора уровней шума В. Методы оценивания параметров при известной размерности проще и быстродействие их выше, чем в случае одновременного рценцв'ан.ця параметров и размерности. Оценивание этих двух групп выделяем в отдельные задачи, рассматриваемые в различных главах.

Требуется гю конкретной реализаций кривой Д'^ оценить значение Набора параметров модели наблюдаемого и ненаблюдаемого процесса. Методы оценивания делятся на две группы по доступности 'данных для обработанпоследовательные и параллельные. Последовательнее• ис'подьзугатсч. в случаях, ког/щ отсчёты кривойх, поступают последовательно ро времени Ц криваяХ\' Нр хра? нится в цамяти. Парапельпые применяются, когда вей кривая Л'(" эпрэтисТрИ-рована и любой её отсчёт х, доступен для обработки р любой г.шмецт времени работы алгоритма.

В каждой из этих групп имеютья методя восстановления параметров п режиме "с учителем" - по размеченной реализации, И "без учителя" {самообу.-. чение). Последние делятся Паточные, методы и методы обратной связи. Из- , вестно, что методами обратной связи можно получить только смещённые оценки параметров, однако така^точность. оказывается пригодной для многих практических задач, а быстродействие этих, методов существенно выше. Для последовательного оценивания параметрор модели в'(«честре точного метода предложен метод стохастической аппроксимации, а для параллелыюгр оцени-

вания параметров - метод максимального правдоподобия. Все методы самообучения оценивают параметры модели с точностью до перенумерации классов событий. ■ .

В третьей главе приводятся методы оптимальной сегментации структурных кривых. Для аддитивных функций потерь они основаны на байесовских решающих правилах (11)+(12), для реализации которых достаточно указать способ вычисления входящих в решающие правила апостериорных вероятностей. Предложен способ, состоящий в последовательном применении Двух рекуррентных процедур. Сначала процедура прямого хода вычисляет вероятности Р(Н,=1, ъ-Ч/Хх) на основании предшествующего данному отсчёту х, участка кривой Л'/, затем" процедура обратного хода пересчитывает эти значения в Р(кг'1, т,=к/Х*) с учётом информации, содержащейся в следующем за х, участке Х,,/. Для самой простои первой модели процедуры имеют вид:

ПрймоЛ ХОД: Пусть к моменту обработки очередного отсчёта х, уже известны вычисленные для предыдущего отсчёта лу-1' вероятности Я(/<,.т,.\~к/Х\"'). Эти вероятности с учетом значения отсчёта х, пересчигы-ваются в искомые вероятности ДЛ,-/, Л'/): сначала вычисляются априорные по отношению к г, вероятности

/»1

(13)

/•=!,...,л.

После этого для каждой из гипотез [/;,=/,г,вычисляется условная плотность распределения отсчётах,

ехР —ДтЬ-/)2 • . (14)

2(6'). ^ '

/(х,/Н1=1,т1=к) = -г]

ЬЧ

Искомые вероятности Р(И,-1, т,=-к/Х\) вычисляются по формулеБайеса

' И I , ' \

после чего переходим к обработке следующего отсчёта*,./.

Последовательно применяя формулы (13)т(15) для получим нс-

■'крмыё апостериорные -вероятности Р{Н,=и ъ-к/Х/) для всех отсчётов кривой. Очевидно, что для ^Ь) полученные вероятности Р(/г^-/, т^-к/Ху) совпадают с искомыми - входящая! в (И)т(12). Теперь процедура ОБРАТНОГО У.ОДА для !,...,!, двигаясь назад вдоль кривой, пересчитает вероятности /'(/¡г л, ь=к/Хх) в РОьЧ, ц-к/Хг ). Пусть имеются найденные процедурой прямого хода вероятное!и г>-~/ЬЛ'|'1 и полученные на предыдущем шаге проце-

дуры обратного хода вероятности Р(!и,\=], т,ц~1/Х\!') для отсчёта х,+\. Искомые вероятности находим как •

P(ht =i,rt = к/Х?) =

р{ьш=игш =к+\/х?), /с=и:,1Ь1, P^^i^^Tjxl)* ■ . (16)

м

Недостатком решающих правил типа (11) является невозможность работы в режиме реального времени. Поэтому вводятся методы сегментации, дающие возможность такой работы:

Последовательная сегментация не использует процедуры обратного хода. И решающие правила входят вероятности /?(/;,--/, г, =А/ЛУ), а содержащаяся и следующем за данным отсчётом участке Хц* информация не используется - но снижает точность данного метода.

Сегментация с задержкой использует информацию, .содержащуюся в следующем за 'данным отсчётом небольшом участке Х^'*61 длительности At - вероятности P(h,~i,T,~k/Xi'''A'). С ростом At точность увеличивается, но уменьшается быстродействие - на один шаг прямого хода приходится At шагов кратного хода. Нарисунке показана ч чиимость качества работы алгоритма R от отношения шум/сигнал b для "Хлсржек (снизу вверх) '/ю Гш,„, '/5 Тпш, V) Г„ш, По. сравнению с качеством работы параллельного {сплошная линия) алгоритма сегментации. Компромиссом является ртдифици-. рованная сегментация, использующая информацию, содержащуюся в следующем за данным отсчётом участке текущего- фрагмента и не Выходящая за его пределы. При этом процедура обратного хода Использует только верхнюю ать-гернативу из (16), которая lie требует вычислений;''1 '..

Такие процедуры пересчёта разработаны для всех основных, моделей.-('•ни аналогичны (13}+'(16),.но в силу больщей сложности модели и.боль-Щетр числа параметров соответственно более, громоздки. Указаны способы сочёиь • пня этих процедур при обработке моделей смещенного типа', . ••-..'■ '.,

Для- обработки кривых с заданием.'признака формы дннрйной .'кл.мбишк

дней эталонов дополнительно требуется процедура вычисления коэффициентов аг разложения формы текущего участка кривой по базису л, эталонов данного класса I. Она заключается в решении системы я, линейных уравнений

^АкГак =Ск, * = !,...,„,, (17)

Коэффициенты Л,к в первых и,—1 строках матрицы коэффициентов имеют вид т т ■ т

= Аи = ±1<р*;(р?, с4 = 2 (18)

для А=1,...,/1,-1, 1=\,.

В последней строке, матрицы для к=п:, /=1 ,...,пи С*=1. (19)

■ Данная система может быть решена любым известным методом, что при её небольшой размерности п, не представляет вычислительных сложностей. Особенность эрюй системы —'значения коэффициентов Ац для заданного набора эталонных форм остаются неизменными и, следовательно, вопрос о линейной независимости и разрешимости системы уравнении не может возникнуть в процессе обработки конкретной кривой, а полностью решается на этапе задания базисных'ферм данного класса. От конкретного вида кривой на обрабатываемом участке зависят лишь величины свободных членов С; (18). На основании подученных коэффициентов а, условная плотность распределения очередного отсчёта находится как . '

1 1 ( .у

Для пюкллыюи функции потерь оптимальное решающее, правило (9) сводится к выбору такой сегментации, апостериорная вероятность которой по отношению к обрабатываемой кривой, максимальна. Для построения реализующего его алгоритма, представим апостериорную вероятность в вйде произведения, '. .

= (20) . . . • м • .

и возьмем от обеих частей (20) логарифм со знаком минус - получим критерий ДН^)- - 1п Р(Н(*'/Х\*), минимум которого совпадает с максимумом РШ^'Х*).

• , - ■ • " ■ N . ' '

• ЛЯГ ) = --1п/>(/Ъ, г0)+ £Дг/,/4_„ (21)

.. . ' '

где Д(й„г„/?н,Гм) =Л» Р{К - //¡./(х,/к,, г,).

Для случая нормального белого шума

\nJ{xJ^hr,):---\^ФЩ--^\Xr-lp{httтl)1{. (22)

Вероятности же Р{Ъ„уЪ,-Л,г,- 0 На основании модели.кривой

г,) = 1ШП

"о

(24)

1, если и г, = г,_]+1,

если г, = 1, (23)

О во всех остальных вариантах . В случае нижней альтернативы (23) значение (21) равно --со, то есть такие сочетания принадлежностей (Л„г„//,.1,г^|) недопустимы.

Алгоритм, минимизирующий критерий ./(//[*), построен по нриншиту динамического про1раммнрованпя. Строим последовательность функций двух дискретных аргументов Ь, иг,

'-1 5=1

+ /?(/*, г,,/}_„ г,..,)

г, 7-^, / = I.....Лг.

Величина ш,(/1„г,) покатывает, какое минимальное''значение кршерия (21) можно получить за счёт выбора тем или иным способом принадлежность отсчётов • л~0,...,/-1 при фиксированной принадлежности огсчёта ,г;. При Т=Ат минимальный элемент из .!;%•), -1,-..,'", Гл-~1,...,Г,.совпадает с мпнимхтьиым значением кршерия (21) для всей кривой. Рекурренпю вычисляем значения гс^(/.А^ для /'= к = 1начиная с щ>(1,к) = - г0=к) но формуле

При этом сохраняем пары целочисленных величин '

для всех/=1,...,/;;Д=1,...,Г„

После вычисления очередных,значений щЦ.к) вычислешше^на предыдущем шаге (^¡{¡,1) больше пе требуются. Дойдя доГ^, найдём

1'х < ~ аг§ти1 о»д- (/г)У,ту). ' - (25)

' %, ГЛ' . 1 - • • . ;

Двигаясь вдоль кривой в обратном направлении Г=Лг-1-,...,1, найдем оптимальную сегментацию кривой как т, ~ г,+1

Геометрическая интерпретация; таблица 0,('Д) описывает ориентире-

т . ' •' '

ванный граф, в котором I групр по ^ 7} вершин в каждой. Из каждой ¡верши-

/н . -

ны графа выходит одна,и только одна дуга, а входить.могут несколькр, одна,, илп ни одной дуги. Граф является иерархическим, На рисунке 2 а Изображены все возможные положения ребер графа для = ГгКЗ, 7^=3; а на рис..2 б

- один из возможных вариантов графа. . '

После выбора гппотсчы о принадлежности последнего отсчёта (25) задач: сегментации кривой сводится к поиску путей по графу от вершины (Лу.г\ )

Л'-ой группы вершин до какой-либо вершины из нерпой группы. Задача реша ется всегда однозначно. На рис. 2 б жирными линиями выделен нут:., которич будет выбран при /V =7 в случае [¡(.¡бора (h\,i\-)=~(3,3). Получим: (Л,„г>,)-('3,21 (/¡;,r5)=(3,1), С/74,гО- (3,3), (Л3)Гз)--(3,2), (Лг, г,)-(3,1), (/„,r,M I ,í).

Полученный алгоршм обладает присушим методам динамического пр \ граммировання недостагком - его можно применять только для ceiг-тет:т-iuh;: кривых фиксированной длины, поскольку решения о принадлежности отечёт,', принимаются п обратом порядке после обработки всей кривой. Для реалпза

инн этого алгоритма требуется хранить л памяти массив О,,(i.k) 2-N - ^Т, не

í---i

лЫх чисел, то есть необходимый для реллшашш обт.ем памяти пропоршкчм лён длине обрабатываемой кривой.

Предложена модификация алгоритма динамического профаммироч;' пня, позволяющая сегментировать участки кривой, не дожидаясь обрабопег всей кривой до конца.

Если-в вершину (i,к) Из. f-ой группы не входит ни одна дуга из Ж--ои труппы, то очеридйо, что Путь по графу через эту вершину и выходящую из неё дугу не пройдёт. Такие ветви графа названы вырожденными (на рис. 2 б показаны пунктиром) и алгоритм дополнен процедурой стирания таких ветвей. Пели-после обработки отсчёта х, И удаления вырожденных ветвей в fv-otf группе вершин (ts<t) осталась только одна невырожденная - такой момент ts назван особой точкой. Участок кривой влево от неё очевидно сегментируется однозначно независимо от результатов обработай остальной кривой. Найдя особую-точку, алгоритм принимает решение о сегментации участка (/,_;+кривой, оставшегося Несегментировянной после обработки предыдущей особой точки ?,:,. É? результате мы подучили алгоритм сегментации с переменной задержкой величина которой автоматически определяется алгоритмом. Требуемый для ere реализации объём памяти в не зависит от длины реализации кривой - в.чомси.-

/требуется помнить значецця О$('.*). /-"=1,...,»гД"/,...,7', для & t,.....t. то ген. д к

це еегм'егптфованного к моменту t участка кривой. Задержка 0 cci ментпчи;-

случайна, её распределение определяется матрицей () условных вероятностей переходов марковской цепи и видом наблюдаемого процесса и имеет вид О

Видно, что для предложенных моделей кривой особые точки возникают доста-10ЧИ0 регулярно, хотя получить статистические оценки для этого процесса удалось только экспериментально.

Для других моделей кривой предложены аналргннные методы обработки. При этом вид исходного графа определяется моделью ненаблюдаемого процесса. На рис. 4 представлен граф для модели с обрьь вакшцшися фрагментами, при этом цоиые по сравнению, с .предыдущей ' моделью ' ветви ьыделеиы жирным пунктиром. Модель наблюдаемого процесса определяет способ вычисления входящего в (21) логарифма-условной плотности распределения (22). , . ' . •

Все приведённые в третьей главе методы ролучдют для 'обрабатываемой кривой сегметацаю, наилучшую из всех возможных при данной, модели кривой и заданной функции ноюрь. К их недостаткам относится достаточно большое время работы, что нежелательно при обработке кривых в режиме реального времени. Кроме того, время обработки одного отсчета.дг, кривой для каждого алгоритма постоянно и не зависит от "сложности".стоящей .перед алгоритмом задачи одинаково долго обрабатываются участки и с высоким уровнем шума, л с низким - на которых форма кривой легко-различима'"невооруженным глазом" и для сегментации которых можно было бы обойтись более простыми-й быстродействующими методами. ■ '

В чешерюй главе приводится ряд эвристический модификаций алгоритмов сет меитации, направленных на упрощенце и ускорение обработки ма-лозашумленных участков кривой. В их основу положены детерминированные алюршмы распознавания, принцип работы.которых -разбиение пространства признаков на и непересекающихся области; соответствующих классам'событий. Границы областей описываются уравнениями гиперплоскости, поверхностями второго порядка и друз ими дискримииаитньши функционалами. Классификация очередною события проводится но факту попадания образа (набора признаков) очередною собынтя в область Данного класса.

2S

Особенность обработки для предлагаемых моделей структурных кривых заключается в последовательном расположении отсчётов на оси времени. Каждый отсчёт х, кривой последовательно "проходит" по всём измерениям пространства признаков от Т,-огр до 1-ого. Для предложенных моделей при таком движении рта'тнстические свойства различных' измерений пространства признаков различны И само это пространство имеет переменную размерность, величина кошрай Г, является eine одним, причем достаточно важным, признаком классификаций. Произвольно выбранный участок реализации "подходящей" длины Г, вовсе не обязательно является образом события какого-либо класса, а можег содержать части образов нескольких (чаше всего двух).классов.

Перечисленные особенности не позволяют использовать, детерминированные методы распознавания в чистом виде. Известные в настоящее время Попытки построения таких методов для обработки кривых ограничиваются моделями, названными в рядё работ "безф'азовымн" - для которых распределение всех отсчётов одного класса статистически однородно. Псе рассмотренные выше рассмотренные методы с точки зрения классической теории распознавания образов относятся к вероятностным методам. Преимущество детерминированных методов распознавания - быстродействие - делает их привлекательными для практического использования. В данной работе построены алгоритмы, частично обладающие такими свойствами.

Смешанные методы сешенглнии сочетают свойства вероятностных и детерминированных методов. Для события каждого класса в пространстве признаков выделена область точной /счассификации, при попадании в которую образа данного события производится детерминированное решение об отнесении события к данному классу. Эти области должны о i печать двум условиям. Первое - требование нспересечсния областей: образ события не должен попадать более чем в одну область одновременно. Второе - требование простоты описания границ - связано с особенностями моделей кривой: Провести разделяющую гиперплоскость в пространстве переменной размерности затруднительно; кроме того, процедура классификации должна быть достаточно простой - иначе теряется выигрыш в быстродействии. При этом в Пространстве признаков остаются области, не относящиеся ни к одной Из областей точной классификации. Образ событий-в случае непопадания ни в,одну из областей точной классификации будет обрабатываться рацее рассмотренными, вероятностными методами. Получены алгоритмы смешанного типа, которые в'зависимости от близости участка кривой к.эталону данного класса сегментируют его либо детср-мипнрованпычи/д'нбр вероятностными методами.

Метод '.'фиксированной окрестности" для каждого класса /' событий зада ё.тнекоторую-величину л,- Критерием классификации является отклонение формы кривой от эталона 'не более 4t ^ на и,.в. любую сторону По всём отсчётам 'cerfiei'iTa, Область TD»'ri'oii'классификации --- гиперкуб с! ребром 2а. в. пространстве признаков,-центром котврога'япляется, точка с координатами эталона. Величины. ограничены сверху условием нсиер'есечени.ч областей Точной кляе

сификацшт. .

Для каждого отсчёта х, определяется набор дорических переменных как результат сравнения величины х, с матрицей эталонов &: . '

уА')=

1 (tine), ' если р, — j¿at,

0 (false), если |дс, - ft.

Критерием отнесения сегмента (/-7VH,...,f) к классу i является выполнение логического условия '

ПгдЫ+1)=1 • ' ■ i27a>

i=1 '

либо более "мягкого" логического условия .

+ ■ (276)

к=\ - . .' 7 то есть допускается отклонение,, превышающее величину для небольшого числа отсчётов, доля которых не превышает заданной малой величины е от. длины эталона. В случае ¿=0, критерий (276) превращается в (27а). Для модели переменной длины фрагмента рассматривается его информационно значимый средний участок. Оставшиеся неклассифицированными участки обрабатываются вероятностными методами, при этом априорные вероятности Известны на обоих его концах. '.

Метод "окрестности переменной ширины" использует верхний и нижний пределы детерминированного решения - гфк и . <рк соответственно. Значение логических переменных}>,t(t) находится как

1 (им), если У* <x,<,ip'k, ' . 2gj

О (false), если пет. Предыдущий алгоритм является частным случаем данного при выборе пределов , qfa^-iai И -Этот способ задаёт область точной классифн

кации в Пространстве признаков в виде гиперпараллелепипеда, грани которой перпендикулярны'осям координат, а сам параллелепипед задан координатам! двух вершин,,лежащих на главной диагонали. Образ центра класса находите: (при римметричноЦ выборе пределов) в точке пересечения диагоналей-В ос 1альном оба алгоритма для .всех моделей структурной кривой аналогичны.

Для многолттонндго способа задания признака 'формы области точней Принятия решений представляют собой Набор «' отдельных областей для (сая; дого эталона. Эгн области (в отличие от областей для различных классов) общем случае могут перекрываться однако для принятия детерМипировинПог решения о классификации образ данного участка кривой должен иблносты попасть в одтту Из п областей данного класс». Случай,'кот да он частично при; дает в различные области одного и того же класса, не является основанием д; точной классификации. • '

ы<ь

Ускоренные методы для модели с заданием формы линейной комбинацией эталонов Используют ей отличие от остальных моделей - этот способ уже задает область п пространстве признаков » виде выпуклой линейной оболочки, натянутой на вектора базиса (совокупности эталонных форм) данного класса

• событий. Эта область используется как область точной классификации данного класса. Предложены два типа алгоритмов ускоренной классификации. Первый использует в качестве области точной классификации выпуклую линейную оболочку класса "в чистом виде", а второй - эту же оболочку с добавлением <т-окрестности. Вычислять логические переменные у,к(() не требуются. Принадлежность данного участка кригёой к области точной классификации определяется после, вычисления коэффициентов а, разложения формы кривой на данном участке но бАзнсу эталонных форм данного масса соответственно из условии цз. условий 0<а,<1 для у/=1,;..,н( либо <а,<\ + ^ для ,...,«„ где г, - положительный коэффициент, определяющий величину превышения областью точной классификации размеров выпуклой линейной оболочки. Заметим, что л этом рлучае разделяющие поверхности не перпендикулярны осям координат. Таким

• образом участок обрабатываемой кривой может полностью находиться между двумя- эталонами, но не-являться их линейной комбинацией и не входить в область точной классификации.

и

1

0,8 0,8 0.4' 0,3 о

На приведенном графике показана зависимость времени работы ускоренного алгоритма обработки от отношения сигнал/шум по сравнению с вероятностным методом (горизонтальная линия). Пунктиром обозначены границы отклонений в различных опытах.

» '1 » г. -

В пятой главе приведены методы Восстановления ^параметров модели. В случае полностью зарегистрированной кривой алгоритм г.(ожрт неоднократно возвращаться к ранее обработан-

■ ним участкам Для -более точНоИ' настройки параметров. Метод максимального

■ правдоНадрбип находит оценки параметров модели из условия максимум.) . функции правдоподобия,,ЧТо Для первой Модели имеет вид

8,0,8 = ащтахЦв&В), где ¿(0,0,В) = 1п / (Ххы/в,0,В) - функция • • о ,р,в "' ■■ • "

правдоподобна, 0,0 и В - оценки истинных значений параметров. Для поиска функции правдоподобия предложен итерационный алгоритм, строящий последовательность оценок параметров З,,^, <5^,.? = 0,1,2,..., увеличивающую на каждом шаге значение условной'функции правдоподобия ■■ ^.^¿(©^.^.^^¿(адд); • ' (29)

■ прич'ем'равенство-в (6.1,1) возможно лишь в случае, когда набор параметров

вл, , ¿^ удовлетворяет необходимым условиям максимума условной функции правдоподобия

Ув£(ЗДД) = С1 У^ДД)^ ^¿(В„-£Д) = а ' (30)

Для первой модели кривой доказана Теорема:

Последовательность значений оценок = 0,1,2,..., определяемая

сот ношениями

0Л,,Д(1 = агатах .У />[//,уУл?'ДДД¡И?,§,,¡11

«-я 1 ' . '

"й,1=агцтах V 1\и»¡Х?ДДД-]-1^75.)

У н^ ¿хг

1де О - множество всех возможных комбинаций принадлежности отсчетов кривой,удовлетворяет неравенству

Л/.(0:ДЛ) -/(^..Д.^.О-'/.^ДА)-1'-

причем приращение условной функции правдоподобии *.1Л(6>„ О.,, />,)'рлшю нулю лишь ь ючкач (0\ £>*, В*). Диалогичные теоремы докачлш и для других миделей наблюдаемою и ненаблюдаемого пронесена, кроме, задания признака формы линейной комбинацией эталонов.

Ыешд заключаема в -вычислении апостериорных, вероятностей принадлежио-ci.ii окчёгон (13):(1й) на основании полученных нт данном шаге опенок параметров Й4Д4Д, после чего находим полые оценки йтих ш-рамсфоь. Предложенная модель позволяет разбить условие максимального правдоподобия на отдельные условия-для элементов матрицы. 0 эталонов и ьекюра В уровней шума, и отдельные'условия для строк матрицы 0 - Причём условия для элементов в строке связаны только условием нормирования. Р ре-зулышс получены формулы для пересчёта ошпок параметров ■ ■

^ + 1 - N ■ , * -

N т , \1 г - ,

/¿М _-_____-_■

____________:___-1—1. ■

I !/•! 1 1

Аналогичные формулы пересчёта получены для псех моделей кривой, кроме модели с заданием формы кривой линейной комбинацией эталонов. Для нее требуется одновременно с параметрами оценивать размер набора эталонов для каждою класса, поэтому данная задача рассматривается в шестой главе. ,

Предложенный подход к моделированию, заключающийся в применении раишчных матриц условных вероятностей, позволяет получи 1ь достаточно простые процедуры оценивания значений этих вероятностен. Условие макси-мачьного правдоподобия при таком подходе удается разбить на отдедьные ус-повия для элементов матриц И7 и ¡17 и отдельные условия для строк матриц 0 п /П, причем условия для отдельных элементов в строке связаны при этом только условиями нормирования.

Кроме метода максимального правдоподобия используется более простой метод обратной связи, который заключается п вычислении очередных оценок параметров на основании результатов сегментации, проведённой с использованием предыдущих оценок параметров. Ц?вестно, что подобные"методы позволяют получить только смещённые опенки параметров, однако I! ряде практцче- . скпх задач их точность достаточна и вполне компенсируется такими их качествами, как простота и быстродействие.

Данный метод, как и метод максимального правдоподобия, является итерационным С помощью любого метода сегментации, оценивающего не только класс, но и фазу, на основании ранее полученных оценок В, парамет-

ров получаем новую оценку ненаблюдаемого процесса

после чего вычисляем новые оценки параметров ©,+ 1, С использо-

ванием дельта - функции Кронекера формулы пересчёта для первой модели примут вид

' У 1 2>,= »,?,== А

- '=' __: — »»••■»

5+1 Л' Г - 1 ' к -1 г

/ 1 . • • ' • ■ ■ N г- - .-а

~-у-----—=

14А•

14 г- - .1 • •

I ¿№-1 - ь, = У, Г,_, = Г„ г, = 1 , ■ .

■ ~у _ 1=2 1 __ ■ .

'/.1+1 ~ л' ' • ■ 1- •

14^ ^ЧГ. , • ..

1=2 ■ ' _ ■ -;. После этого опять проводится сегментация на основании полученных оценок, и так далее. Критерием окончания итерационного процесса является получение

на очередном шате сегментации, совпадающей с ранее полученной (либо близ кой к ней по какому-либо критерию).

Методы пересчёта оценок для других моделей наблюдаемого и иетыблю даемого'процессов получаются аналогично. Методы обратной связи могут не пользовать любой алгориш сегмешацпп, но в случае, когда вся кривая зарегн слрирована и любой ее отсчет доступен для обрабои;п, не имеет смысла при менять последовательный алгориш сегментации и) за снижения точности, 1 алгоритмы сегмешацпп с задержкой - из за увеличении общею времени рабо пл. Эти' алгоритмы имеет смысл использовать при оценивании параметров I режиме реальною времени.

Методы оценивания параметров в режиме "с учителем" используется дл: задания начальных приближений параметров, так как их близость к истшшыу значениям значительно ускоряет сходимость алторншив оценивании. Кро.\к юю, при некотором значении отклонения начальных приближений оценок параметров от их истинных значений алюршм перестаёт соотносить их с эталонами именно эюю класса, в результат чего происходит перенумерация и участки, па самом дело относящиеся к классу /', относятся алгоритмом к классу./, ■мо особенно важно при решении практических задач, для которых требуется правильная нумерация классов.

.В классической теории распознавания образов такой метод оценивания параметров строит правило классификации образов на основании некоторого набора размеченных обьектов. При обработке структурных экспериментальных кривых редко'но шикает возможность получить достаточно длинную реализацию наблюдаемого процесса с известной для неё реализацией ненаблюдаемого процесса. Обычно имеется некоторый огносшсльно небольшой участок реализации кривой, размеченный экспертом - "учшелем" с указанием моментов начала однородных участков и номеров классов соответствующих им событий. Эта размел кп может быть не очень точной и поэтому пригодна только для получения предварительных оценок параметров модели. Для размеченного участка кривой А^{д|,\/}, где I. - длина размеченного участка,- по данным разметки восстанавливается ненаблюдаемый процесс II после чего вычисляются оценки парамеIрои ' кривой. С использованием дельта-функции формулы вычисления оценок параметров примут для первой модели вид

. . |>, -Ж - <, г, -- к] ¿[л, |2 -ф „;]

. Л*»-^--------, 1 М = ----у——--------

Формулы сходны с аналогичными для метода обратной связи. В оьтичн^ от ранее "рассмотренных Методов данный метод не является итерационным, оценки параметров вычисляются только один раз. В дальнейшем они используются в качестве начальных приближений"оценок для алгоритмов максимального правдоподобия или обратной связи.

Вц пторой части шпон главы рассматриваются методы потучения опенок'параметров моделей кривых в.случае, когда такую обработку необходим!: проводить в режиме реального времени. В простейшем случае после нолучеии;' очередного отсчета X, необходимо сразу использовать содержащуюся в н;-1 . информацию для пересчета текущих • оценок параметров модели, после чет о значение отсчета больше не используется.' Возможна постановка задачи, ког да алгоритм."помнит" относительно небольшой участок кривой.

■ Основное отличие от ранее.описанных методов обработки полностью за регистрированной кривой- заключается в невозможности вернуться к ранее об работанным участкам, поэтому разработанным в данной главе алгоритмам д.т-•' получения такой же точности опенок требуется обработать на порядок боль , ший отрезок реализации. Отличие во времени работы алгоритмов меньше, поскольку алгоритмы максимального правдоподобия неоднократно обрабатывают отрезок реализации, а алгоритмы реального времени-более длинный 01рс . зок, но только од(ш раз.

Для шнвка оценок использован метод стохастической аппроксимации, однако непосредственное применение ир'оцедур Роб.бинса-Манро или Кифера Вольфовипа невозможно, поскольку для реализации первой из них пришлет вычислить производную от функции, заданной алгоритмом последователыкч с Пересчета; 1} обоих случаях после,-получения на очередном /-ом шаге нивы:; оценок параметров требуется вычислить вероятностен принадлежности оче-. редиого отсчета на основании этих значений, которые вычисляются рекур рентными процедурами (¡3)>(1б) начиная с-первого отсчета крнчой. Такой ал-, горн гм не может работ а ть в режиме реального времени.

■Метод стохастической, аппроксимации модифицирован для работы в ре-злыюм времени. Сохраняется.общая схема! Роббцнса-Мрнро. Пусть на нредч-'• душем шаге ¿4 были подуцерр оценку- параметров В1 н вы'числгни

• вероятности Р*(И, |—г. у=к-\/Х) ') ириналяежностн'оТснрта Пересчитаем 'эти вероятности в г^А-'Л'/) с учетом значения нового.счсч'.ёта лг, и новых

оценок параметров с прмшкмо одного щога процедуры (13)+(1б), На оеиоис полученных вероятное гей' и зЯа-кчшч х, пересчитаем оценки параметров Ум1, - ,. Ирн этом тля ускорения сходимости процедуры предложено не-' ■пользовать отделишь'последоватсль|№стц. ко^ффиц^ейгой авторегрсссии да* элементов матрицы 0, вектора 3 и строк матрицы Процедура пересчёта пл> первом-модели 'примет вид: ..

, = ^Р * = 4 г, = к(х[)• -^-(х, - )

х' 7 1V • ■

.1*7

де г! = § » • [1 - Р * (/V, - г,_, = 7', /лг,'•)] + '

1=1

Особенность обработки структурных кривых заключается в том, что {[а очередном однородном 'интервале оцениваются только некоторые параметры модели - соответствующие данному, классу. На этом, интервале должны у меньитгься гюсле/юиательности'крэффЦциенто'в для оцениваемых параметров и оставаться постоянными коэффициенты для параметров, оценки.которых не изменяются. Используются наборы коэффициентов, скорость уменьшения'которых пропорциональна апостериорным вероятностям соответствующих собу-пш: * ■ '•" .''.'.

-1/{1 + + Р*(},,= I,т, = к/х{) ' .

• Т-

/Г-1/(1+ъ-Л г/+1 + £р*(и *ит, =»*/*,')

1

у! '/('4 1''и'/)- "

Доказана теорема о сходимости процедуры с таким выбором пойледова-¡елыюстей коэффициентов.'Приведены Процедуры пересчета параметров для всех предложенных в работе моделей наблюдаемого, и ненаблюдаемого процессов, кроме задания признака формы линейной комбинацией эталонных форм (этот случай рассматривается в главе 6). Разработаны' также методы обратной связи для пересчёта параметров моделей в режиме реального времени. Они более просты и имеютбольшее быстродействие по сравнению с методами стохастической аппроксимаций, и достаточную^ точность для -' решения ряда практических задач.. Для оценивания; параметров модели в режиме "с учителем" для такой организации поступления информации также предложены ме-юды пересчёта текущих оценок по рззмеченцой.реализации кривой.

, Шестая глава посвящена методам оценивания--неизвестной.структуры.' Под структурными.параметрами модели в узком смысле мы будем понимать.ее [м¡мерность- целочисленные параметры числа классов т, вектор длин эталонов

Т, число п' эталонных форм в каждом классе, для трехуровневой модели-чнсло классов как на первом, так и на втором ненаблюдаемом уровнях, что соответствует второму и третьему уровням структурного процесса. В более широком смысле под структурой (структурными параметрами) понимаем в дополнение к ранеё перечисленным Такие нечисловые параметры, как тип модели ненаблюдаемого процесса (фиксированной или случайной длины, одно- или двусто-роине обрывающиеся), тип модели Наблюдаемого процесса (с повторением средней формы, мНогоэталонньш заданием формы или линейной комбинацией базисных форм, с перекрыванием; сюда же отнесем случай, когда части классов соответствуют шумоподобные участки, описываемые уравнением авторег-рееснН), а также сложность иерархической структуры модели (использование двух, трех или большего числа уровней структурного случайного процесса для описания данной кривой). Структурные параметры нельзя рассматривать как-обычные параметры распределения. В частности, По ним нельзя дифференцировать функцию плотности вероятности, поэтому не выполняется условие регулярности и традиционные методы оценивания неприменимы. Задача оценивания структуры модели решается для случая полностью зарегистрированной кривой.

■ Существенной особенностью предложенных в настоящей работе моделей является то, что число их независимых параметров очень сильно зависит о! оценок ЭТИХ Параметров, причем наиболее сильно - ог значений элементов "матриц условных вероятностей. При одинаковом числе классов и равных длинах эталонов число незапнашых параметров может отличаться в несколько раз, а в некоторых Случаях - и в несколько десятков -раз. Кроме того, сам процесс оценивания параметров для модели с заданием признака формы линейной комбинацией эталонов неразрывно связан с рценившщем размерности этих наборов. Б связи Со всем вышеизложенным известные методы оценивания размерности для применения к данным моделям структурного процесса нуждаются в существенных изменениях,

Цеди для оценивания параметров модели использовать метод максимального {1рзвД°подоб(1я, то в качества меры близости двух распределений может служит!» велшшна среднего логарифма максимального правдоподобия модели, а асимптотически несмещенной оценкой этой величины служит информационный критерий Акаике (ИКА). Таким образом, задача идентификации сводится к заданию множества допустимых моделей и оцениванию параметров каждой модели методом максимального правдоподобия с-последующим выбором модели', обладающен'минимальцым значением ИКА.

Информационный 'критерий Акаике представляет собой аддитивную по правку к условной функции, правдоподобия, зависящую от размерности моде ли, ,Цля использованных моделей она имеет вид

где Ь[т.А(т)] - логарифмическая функция Правдоподобия для кривой X/ при фиксированной структуре модели (т): 1[т\А(т)\к\х\({Х\'/т^(т))\

Л(ю)-17\/н),0('»О»8(ш),0(/н,Гпих)] - искомая совокупность оцениваемых вторичных параметров для фиксированного набора первичных параметров (т), где (-■\п1,Т,,шх) - множество эталонных форм фрагментов, T(tn) и В(т) - вектора длин эталонов и уровней шума; '

, Ь\т) - число независимых вторичных параметров - различное для разных моделей кривой.

Процедура минимизации ИКА заключается в нахождении оценок максимального правдоподобия для каждого набора первичных параметров (т) .((/«)-argmax/.f»i,yl(;?!)| с последующим выбором набора (;»), обеспечиваю-

4<")

щею минимальное значение ИКА в заданном интервале т,„,„ < т < т„шх:

iii= argmin ИКа[/«,Л(>")]- При этом функция правдоподобия не

может быть выписана в явном, виде и, очевидно, найти оценки максимального правдоподобия дифференцированием функции правдоподобия по параметрам невозможно.

Предлагаемая в настоящей работе итерационная процедура минимизации ИКА, являющаяся обобщением итерационного алгоритма построения оценок максимального правдоподобия на случай неизвестных Первичных параметров. Алгоритм работает следующим образом: .Для каждого значения размерности модели ш в заданном интервале /;;„„>, < m < tii,^ "запускается" алгоритм оценивания параметров модели методом максимального правдоподобия, при этом не ' только оценивается набор параметров A(ni), для дат'н.юй размерности ///, но и фиксируется достигнутое -значение логарифмической функции правдоподобия L[iii^(m)]=h]f(X]N/my4(m))- После этого вычисляется число независимых' пари-метров модели U(m) для данной размерности >», которое зависит от полученных оценок параметров, вычисляются значения информационного критерия' Акаике и находится искома« оценка размерности по Критерию (31). Такие методы разработаны для всех комбинаций предложенных моделей наблюдаемого и ненаблюдаемого процессов, доказана Теорема о сходимости предложенного метода. Для модели с многоэталонным заданием формы предложен метод обратной связи, использующий'разбиение кривой на выборки отдельных классов на основании полученных на предыдущем шаге оценок' параметров. На этих выборках независимо оцениваются размерности наборов эталонов каждого класса по критерию Акаике. Скорость сходимости такого, алгоритма увеличивается. • . • •

Рассматриваются методы оценивания параметров модели с заданием признака формы линейной, комбинацией эталонов с использованием критерия Акаике - поскольку в данном случае оценивание размерности набора эталонов неразрывно связано с оцениванием iix форм. Наиболее быстрый метод оценивания использует предварительную обработку кривой алгоритмом оценивания параметров для многоэталопнои модели п разбиение с её помощью реализации кривой на выборки классов, на которых независимо'проверяются гипотезы о

возможности использования других моделей наблюдаемого процесса н оценивается их размерность. Этот же метод используется и для выбора типа модели, в том числе апгорегрессионных (могут быть получены различные типы моделей для разных классов событий). При этом используются известные алгоритмы оценивания размерности для моделей авторегрессйи со скачкообразно изменяющимися параметрами [8], после чего сравниваются достигнутые значения критерия А1С для различных моделей и выбирается вид модели (с уже выбранной размерностью). Для определения Структуры в ряде случаев использован метод проверки стат истических гипотез --например, для проверки возможности совпадения эталонных форм различных классов событий для их объединения в один класс.

В седьмой главе рассматриваются результаты практического использования разработанных алгоритмов. Первая часть главы описывает экспериментальную проверку их работоспособност и и качества работы на модельном материале, но результатам которой дан ряд рекомендаций по практическому использованию разработанных моделей и алгоритмов.

. Вторая часть описывает применение разработанных методов для решения некоторых практических задач обработки больших массивов информации. 'Методы сегментации кривых при известных параметрах, модели применены при разработке программного обеспечения сканирующих микрокалориметров для предварительной обработки данных и выделения на экспериментальных кривых по заданным признакам информативных участков, соответствующих интересующим исследователя процессам. Эти работы были выполнены в СКВ Биологического приборостроения ЛИ СССР (г. Пущино, 1985-1990 гг.). Методы сегментации кривых при известных параметрах модели и методы оценивания неизвестных параметров модели применены при разработке программного обеспечения приборов для исследования гемодинамики для предварительной обработки данных для быстрого получения некоторых основных показателей процесса в ходе проведения эксперимента и выделения на кривых интересующих исследователя информативных участков. Работа также была выполнена в СКБ Биологического приборостроения. В качестве примера задач, приводящих к необходимости трёхуровневой модели структурного процесса, описывается обработка стабшюграмм - результатов опыта по длительному поддержанию позы человеком. Предложенные методы структурной обработки данных были использованы при анализе клеточного состава крови у крыс при низконнтеи-сивном крайиевысокочастотиом электромагнитном облучении. Работа выполнена на Медицинском факультете Тульского государственного университета.

Описано использование методов сегментации и оценивания параметров в режиме реального времени для разработке метода контроля температуры процесса по косвенным признакам в установке для' плавки сульфидных руд в "жидкой ванне" (ПЖВ)- работа выполнена совместно с Московским-институтом стали и сплавов. Разработанные методы структурного анализа были использованы в- рамкам комплексной инновационной научно-технической про-

граммы 13.22 "Создание комплексов обработки изображений и средств отображения информации", Тульский Государственный университет. Алгоритмы обработки больших массивов информации использованы при выполнении хоздоговорных работ "Разработка алгоритмического обеспечения для системы контроля качества непрерывио-литых заготовок" и "Разработка программно-технических средств для системы ввода-вывода бинарной информации на микрофильм", выполненных ца кафедре ЭВМ ТулГУ. Основные теоретические результаты работы включены в конспект лекций по курсам "Основы искусственного интеллекта" и "Основы теории управления". Предложенные методы.используются для обработки бпо,медицинской информации сотрудниками Медицинского факультета ТулГУ.

В конце гдавы приведены области возможного эффективного применения разработанных алгоритмов для решения задач управления в биологических и медицинских системах и ряд практических рекомендаций. 1) прштл.'еиплх помещены тексты алгоритмов н доказательства теорем.

ОШОШНЛЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертации полу чены следующие основные результаты:

1. Предложена концепция формирования моделей для описания эксце-римсшшшных кривых с повторяющимися на отдельных участках признаками формы как реализации миогоуроииевою стру ктурною случайною процесса.

2. В рамках общею подхода разработаны три различных способа задания признака повторяющейся формы на наблюдаемой кривой, пригодных для описания экспериментальных данных биомедншшско) о происхождения, а также способ формировании .кривой нулем сложения форм соседних участков, пригодный для вссх способов задания признака формы.

3. Предложено четыре модели для описания ненаблюдаемого процесса второго уровня (чередовании однородных участков), которые мо1ут применяться в различных сочетаниях друг с другом, основанные на однородном Царковском процессе переключений. Дана общая модель дли описания ненаблюдаемого процесса третье! о и более высоких уровней. Все модели предусматривают иозмолиюсть совмеснюго использования с известной моделью ав-торегресспи со скачкообразно неменяющимися караморами для описания кривых с участками как повторяющейся формы, так и шумоиодобными.

4. Модели разных уровней мотут использоваться и любых сочетаниях. Получен законченный набор порождающих моделей, обеспечивающих описание широкого класса экспериментальных крлоых и позволяющих проводить интерполяцию и экстраполяцию данных в случае их нснолнош, что достаточно вероятно при обработке медицинских данных.

5. Сформулиров&иы основные 1руппы задач обрабопси структурных экспериментальных кривых по аналогии с соответствующими задачами распознавания образов: задачи сегментации-или разбиения кривы! при извес тных параметрах модели (аналог собственно распошавздцч обра.ов), задачи воестанов-

леипя неизвестных параметров модели "с учителем" и "без учителя" (аналог обучения и самообучения распознаванию образов) и задачи оценивания неизвестной структуры модели (аналог выбора модели и метола распознавания). Каждая задача имеет несколько подзадач в зависимости от объёма априорной информации, организации процесса обработки и потоков информации, целей и задач исследования экспериментальной кривой.

6. Исследованы различные постановки задачи сегментации и различные виды функций потерь. Предложен ряд алгоритмов сегментации - на основе всей кривой, только её предшествующей части, с постоянной и переменной задержкой. Построен плгорйтм, использующий общую схему метода динамического программирования, модификация этого алгоритма пригодна для рабопл в реальном времени.

7. Выработан новый метод построения алгоритмов сегментации, являющийся комбинацией вероятностных ¡1 детерминированных методов. Построенные по этому методу алгоритмы обеспечивают существенный выигрыш в быстродействии без заметного снижения качества сегментации. Кривая сегментируется с помощью быстрых детерминированных методов на участках с низким отношением шум/сигнал, затем более медленными вероятностными методами обрабатывают участки* с которыми не справились детерминированные методы.

8. Задача восстановления неизвестных параметров модели исследована в двух схемах организации Потока информации. Для случая полностью зарегистрированной и доступной Для обработки кривой предложен подход, основанный на методе максимального правдоподобия. При этом предложена итерационная процедура пересчета оценок параметров, доказана теорема о сходимости этой процедуры и получены формулы пересчёта для параметров, позволяющие не вычислять на каждом шагу значение функции условного правдоподобия.

9. Для оценивания параметров и режиме реального времени использован метод стохастической аппроксимации. Задача оценивания параметров сведена к задаче поиска корня уравнения регрессии, предложена итерационная процедура пересчета оценок параметров, использующая общую схему метода Роб-бинса и Монро

10. Предложен специальный способ формирования последовательности Коэффициентов стохастической аппроксимации, существенно ускоряющий сходимость процесса, доказана теорема о сходимости процесса при таком выборе коэффициентов.

11. Для восстановления неизвестных параметров модели кривой в обеих схемах организации потока информации предложены алгоритмы, построенные по схеме с обратной связью. ОНн отличаются большим быстродействием по сравнению с "точными" алгоритмами, а полученные в результате их работы оценки параметров пригодны для использования в ряде практических задач.

12. Для обеих схем организации потока информации даны алгоритмы идентификации неизвестных параметров модели в режиме "с учителем". Они используются для получения начальных приближений оценок параметров, ко-

торые затем уточняются другими алгоритмами в режиме "без учителя".

|3. Исследованы задач« оценивания репзвестной структуры модели, под которой понимается рид используемой модели и её размерность. Для оценивания неизвестной размерности использованы метод сравнения статистических гипотез и метод, основанный на информационном критерии Акаике (А 1С).

14. Предложены методы выбора вида модели (моделей), используемой для описания данной экспериментальной кривой, также основанные на информационном критерии Акаике. Выбор модели осуществляется из множества предложенных в настоящей работе моделей и доделен авторегресеии со скачкообразно . изменяющимися параметрами- Предложен итерационный \|етод, подбирающий за конечное число шагов тип модели для каждого класса ненаблюдаемой последовательности событий. Предложенные методы применимы для случая одновременного оценивания :тииа иразмерности модели.

15. Разработанные алгоритмы применены для решения ряда прикладных задач управления в биомединицских системах. . ■

список основных трот по теме диссертации

1. Математическая обработка результатов исследований в медицине, биологии и экологии: Монография / С;А! Воробьёв, A.A. Яшин; Под ред. A.A. Яшина. -Тула: ТулГУ, 1999.- 120 с. ' ' ' ■ .

2. Воробьёв С.А. Оптимальнее алгоритм» выделения непрерывных линий на полутоновых изображениях // Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами. / ТПИ. Тула, 1982. — С. 83-90.

3. Воробьёв С.А-. Оптимальные решающие правила распознавания потока случайных событий для некоторые распределений наблюдаемого случайного про-. десса // И Всесоюзная конференция по стохастическому и дискретному анализу нечисловой ин формации, й экспертным оценкам: Тезисы докладов. / ТалПИ, ППУ. - Москва-Таллии, 1984.-С. 228-229.

4. Воробьёв С,А. Алгоритмы, выделения и классификации фрагментов повторяющейся формы Па экспериментальных кривых // Автоматика и телемеханика, 1985. - № 8. - С. 89-93.

5. Yakovlev V.O., Vorob'yoy S.A. Estimation of modelparameters of random processes with instantly changing properlies // Preprints of the Second 1FAC Symposium on Stochastic control. / Vilnius, USSR, 1986. - Part 2. - P. 224-228.'

6. Малинин M.J\, Ващоков AI)., Воробьёв С.А.', Щварцер JIB., Щейкман Л.М. Непрерывный контроль температуры расплава рбднш фурмы печи ПЖВ с помощью оптического пирометра // Всесоюзная научно - техническая конференция "Разработка энергосберегающих и малоргходиьж технологий в металлургии цветных металлов": Тезцеы докладов. / МИСиС, М.:, 1986. - С. 230-231.

7. Vorob'ev S.A. Algorithms for Identification and Classification of Repeating fragments on Experimental Curves // Automation and Remote Control. - New York, USA, 1986,-V. 46.-Ж8.-Part 2,-P. 1003-1006.

8. Воробьёв С.А.. Иванова '1.0. Анализ трехуровневой) структурного случайно-

го процесса (модель н методы) // Методы и алгоритмы анализа эмпирических данных. / ЦПУ. - М.:, 1988. - С. 49-57.

9. Воробьёв С.Л., Шляпужников II.В. Исследование напыленных резистивных покрытий методом имитационного моделирования // XII научная сессия, посвященная 95-летию изобретения радио. / ТулПИ. - Гула, 1990. - С. 13-14. Ю.Воробьёв С.Л. Алгоритмы обработки экспериментальных кривых с фрагментами повторяющейся формы нестабильной длины // Статист, пробл. управл. / ИМ К ЛИ Литвы. - Вильнюс, 1990. - № 89. - С. 144-149. П.Воробьёв С.А. Алгоритмы динамического программирования в задаче распознавания потока событий в реальном масштабе времени // Системы автоматического управления и их элементы. / ТулГТУ. - Гула, 1994. - С. 128-135.

12.НтицыП Д.И., Воробьёв С.А. Оценка размерности ненаблюдаемых процессов по косвенным признакам методом Акашсе // ХХХП Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс". / Новосибирск.-ИГУ, 1994.-С. 117.

13.Воробьёв С.А. Задача оценивания размерности модели в алгоритме восстановления параметров модели структурных кривых с фрагментами повторяющейся формы // Электротермические процессы и установки. / ТулГТУ. - Тула, 1994.-С. 63-67.

М.Чарин A.B., Воробьёв С.Д. Алгоритм динамического программирования в реальном масштабе времени с "плавающей" задержкой // ХХХП Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс". / ИГУ. - Новосибирск, 1994. - С. 116.

15.Воробьёв С.А. Алгоритм динамического программирования с "плавающей" задержкой для обработки экспериментальных кривых с фрагментами повторяющейся формы // Всесоюзная конференция РОАИ-2-95 "Распознавание образов и анализ изображений:, новые информационные технологии". Тезисы докладов / РАН. Ульяновск, 1995. -Ч.З.-С. 68-70.

16.Воробьёв С.А. Алгоритм максимального правдоподобия восстановления параметров модели структурных случайных процессов с фрагментами повторяющейся формы // Алгоритмы и структуры систем обработки информации. /ТулГУ.-Тула,'1995.-С. 103-109.

П.Борнсов C.B., Воробьёв С.А. Методы разбиения структурных экспериментальных кривых с фрагментами повторяющейся формы // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика Механика. Информатика. / ТулГУ. - Тула, 1996. -Т. 21 -Вып. 3,-С. 41-44.

18.Воробьёв С.А. Алгоритмы сегментации структурных экспериментальных кривых с многоэталонным заданием классов // Известия Тульского госунивср-cumelna.. Сер. Математика Механика. Информатика. - Тула: ТулГУ. - 1996. - Т. 2.-Вып. з;-С. 45:49. • .

19.Воробьёв С.А. Анализ экспериментальных кривых с фрагментами повторяющейся формы переменной длины при неизвестной размерности модели // Системы автоматического управления и их элементы. / ТулГУ. - Тула, 1996. -

С. 157-161.

Ю.Воробьёв С.А., Игнатьева ТВ- Структурный подход к задаче выделения участков повторяющейся формы на экспериментальных кривых // Применение вычислительной техники в измерительных системах. Межвузовский сборник. - Ижевск: "Экспертиза", 1997.-С. 11-15.

21.Игнатьев В.М., Воробьёв С.А. Оценивание параметров модели структурных экспериментальных кривых с многоэталонным' заданием классов // Научно-технический сборник № 4 Михайловской артиллерийской академии. <- СПб, 1997. ~ С. 63-71.

22.Воробьёв С.А. Базисное задание формы структурных экспериментальных кривых на повторяющихся участках И Известия Тульского Государственного университета. Сер. Математика Механика. Информатика. /ТулГУ. Тула, 1997. -Т. 3. Вып. З.-С. 10-13.

23.Воробьёв С.А., Кузнецова М.В., Михайлова O.A. Метод ускоренной обработки структурных кривых с базисным заданием признака класса // Научная конференция "ХХШ Гцгарински; чтения": Тезисы докладов. / МАТИ- М.:, 1997.-Часть 5.-С. 143-144. •

24.Воробьёв С.А., Дульнев С.И. Методы оценивания неизвестных параметров модели структурных экспериментальных кривых И Межвузовская НТК "Микроэлектроника и информатика - 97": Тезисы докладов. /МИЭТ. - М.:, 1997.- 4.2.-С.61.

25.Воробьёв С.А. Методы структурного анализа экспериментальных кривых с участками повторяющейся формы И Автоматизация и современнее технологии, 1997.-№ 7.-С. 22-25.

26.Воробьёв С.А., Борисов C.B. Метод ускоренной обработки структурных экспериментальных кривых // Научная конференция "ХХЩ Гагарннсще чтения": Тезисы докладов. / МАТИ. - М.:, »997. -Част|, 5. -С. 139-140.

27.Данилкин Ф.А., Воробьёв С.А. Использование теории нечетких множеств для описания сегментации изображений II Известия Тульского Государственного университета. Сер. Математика Механика, Информатика. / ТулГУ. - Тула, 1997. - Т. 3.-Вып. З.-С. 21-23.

28.Воробьёв С.А., Дульнев С.Н. Метод восстановления параметров модели струмурных экспериментальных кривых // Научная конференция "XXjlt Гага-ринские чтения": Тезисы докладов. /МАТИ. —М.:, 1997. - Часть 5. -С. 140-141

29.Воробьёв С.А., Кузнецова М. В., Михайлова O.A. Алгоритмы обработки структурных кривых с базисным, заданием признака класса // Межвузовская НТК "Микроэлектроника и информатика - 97". Тезисы докладов. / МИЭТ. -M.V 1997,-4.2.-С. 67.

30.Воробьёа С.А. Базисный способ задания признака класса для алгоритмов обрабопси структурных кривых // Динамика систем и процессы управления Тезисы докладов научно-техцичеокой конференции, посвященной сорокалетию кафедры "Системы автоматического управления" / Тул Г'У, -Тула, 1997. -С. 27

31.Воробьёв С.Л., Назаров М.И. Метод оптимального разбиения структурных экспериментальных кривых с участками повторяющейся формы // Научная конференция "ХХШ Гагаринские чтения": Тезисы докладов. / MATH. - M.:,

1997. -Ч. 5. -С. 142-143.

32.Воробьёв С.А., Борисов C.B. Алгоритм ускоренного разбиения структурных экспериментальных кривых // Межвузовская НТК "Микроэлектроника и информатика - 97": Тезисы докладов. / МИЭТ. - М.:, 1997. - Ч. 2. С. 60.

33.Воробьёв С.А. Полувероятностные методы обработки структурных кривых с участками повторяющейся формы // Материалы Международной НТК "Нечеткая логика, интеллектуальные системы и технологии" / В ГУ. - Владимир, 1998. - С. 164-166.

34.Воробьёв С.А. Методы структурного анализа экспериментальных крнпых с участками повторяющейся формы при неизвестных параметрах модели // Автоматизация и современные технологии, 1997. -№ 9. -С. 26-29.

35.Воробьёв С.А. Структурный анализ экспериментальных кривых при параллельном оценивании неизвестных параметров модели // Автоматизация и современные технологии, 1997.-№ 11.-С. 13-16.

36.Воробьёв С.А. Структурный метод обработки экспериментальных кривых с участками повторяющейся формы // II Всероссийская НТК "Методы и среде i на измерений физических величин": Тезисы докладов. / НГГУ. - Нижний Новг ород, 1997. - Ч. 1. - С. 96-97.

37.Воробьёв С.А. Структурные методы обработки экспериментальных кривы;, с устойчивыми признаками формы //3-я Международная конференция "Теория и техника передачи, приема и обработки информации": Тезисы докладов. / Х'ГУРЭ. - Харьков, 1997.-С. 158-159.

38.Воробьев С.А., Абузова И.В. Способы описания признака повторяющей^ формы в задаче структурного анализа экспериментальных кривых // Научно технический сборник ТулВАИУ. - Тула, 1997. 14-С. 42-51.

39.Воробьёв С.А., Кузнецова М.В., Михайлова O.A. Метод оценивания размер ностп моделр структурного случайного процесса // Всероссийская Межвузовская НТК "Микроэлектроника и информатнка-98": Тезисы докладов. / Ml ЮТ -М.:, 1998.-4: 2.-С. 112.

40.Воробьёв С.А, Методы структурного анализа экспериментальных кривых с различными способами задания признака формы //3-я Всероссийская с участием стран СНГ конференция "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии": Тезисы докладов. / ННГУ. - Нижний Новгород, 1998. - 4:1, - С. 133-137.

41.Воробьёв С.А., Кузнецова М.В., Михайлова O.A. Оценивание размерности модели случайного процесса с участками повторяющейся формы // Научная конференция "XXIV Гагаринские чтения": Тезисы докладов. / MATH. - M.:,

1998. -4.9.-С. 160-161.

42.Воробьёв С.А. Структурный анализ экспериментальных кривых с hobt; ряющимися признаками формы // III Всероссийская НТК "Методы и средств!

измерений физических величин". Тезисы докладов. / НГТУ. - Нижний Новгород, 1998.-Ч. З.-С. 65-66.

43.Воробьев С.А., Яшин A.A. Методы обработки структурных кривых с повторяющимися признаками формы при обработке результатов медико-биологического эксперимента // Вестник новых медицинских технологий, 1998. - T.V. -№3-4.-С. 17-19.

44.Воробьев С.А. Структурный анализ кривых с повторяющейся формы // I Всероссийскгш НТК "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве": Тезисы докладов. / НГТУ. - Нижний Новгород, 1999. - Ч III. -С. 13.

45.Игнатьев В.М., Воробьев С.А. Ускоренные методы сегментации структурных экспериментальных кривых с фрагментами повторяющейся формы // Известия Тульского Государстиенного университета. Сер. Вычислительная техника. Автоматизация. Управление. / ТулГУ. - Тула, 1997. - Т. 3. - Вып. 1. - С. 47-63.

46.Воробьев С.А., Ларкин Е.В. Оценивание параметров модели структурных-кривых с мпогоэталонным заданием классов в режиме реального времени. // Известия Тульского Государственного университета. Сер. Вычислительная техника. Авюматнзация. Управление. / ТулГУ. - Тула, 1997. - Т. 3. - Выи. 2. -С. 59-68.

47.Воробьев С.А. Структурный анализ результатов медико-биологического эксперимента при неизвестных параметрах модели // Вестник новых медицинских технологий, 199У. - Т. VI. - Jya ¡.-С. 113-115.

48.Воробьев С.А. Способы задания признаков формы в задачах структурного анализа медико-биологических кривых // Вестник новых медицинских технологий, 1999. - Т.VI. - № 1, приложение - С. 33.

49.Воробьев С.А. Структурные .методы анализа результатов эксперимента // Международная электронная научная конференция "Перспективные техноло-пш автомагизации-99": Тезисы докладов. /ВГТУ. - Вологда, 1999.-е. 3.17.

М).Воробьев С.А. Ускоренные методы обработки медико-биологических кривых с повторяющимися признаками формы // Вестник новых медицинских технологий, 1999. - Т.VI. - № 1, приложение - С. 33.

Ни.ипкано в Неман. <0!? Формат бумат 60х&1 1/16. Бумага гнишрафская Ла 2 Офссщан иечаи.. Усл. иеч. л. . Усл. кр.-огт. .Уч.шд.л. ,

Тира* У О С ло. Заказ «01 .

Тульский государе 1венный университет, 300600, г. Тула, пр. Ленина, 91. Рсдакцнонни- изда!ельекпн ценгр Тульскою государственного университета. ЗМЬОО, г. Тула, ул. Полдина, 151