автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Переходные режимы движения спускаемого аппарата с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на начальном участке траектории в атмосфере

БАРИНОВА Елена Витальевна

ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА С ТРИГАРМОНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА НА НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИ В АТМОСФЕРЕ

Специальность 05.07.09 - Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

1 2 МАЙ 2011

Самара-2011

4845708

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)» (СГАУ).

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Тимбай Иван Александрович.

доктор технических наук, профессор Асланов Владимир Степанович,

Ведущее предприятие:

доктор технических наук, профессор Горелов Юрий Николаевич.

Федеральное государственное унитарное предприятие Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ-Прогресс» (г. Самара).

Защита состоится 19 мая 2011 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.04 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)» по адресу 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан 7 апреля 2011г.

Учёный секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

А. Г. Прохоров

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Большое количество космических программ в качестве заключительной фазы полёта предусматривают спуск неуправляемого аппарата в атмосферу Земли и других планет. Несмотря на наличие обширных исследований в этой области, многие задачи, как теории, так и практики, в настоящее время не нашли своего разрешения. Важной задачей является разработка качественных и приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения спускаемого аппарата (СА) при входе в атмосферу, под которыми понимаются случаи, когда в процессе снижения СА происходит изменение характера движения относительно его центра масс: вращательное движение переходит в колебательное, «скачкообразно» изменяются характеристики колебательного движения, меняется тип прецессионного движения и т. д. Изучение переходных режимов движения необходимо для определения компонентов перегрузки, рационального расположения теплозащитного покрытия, определения рассеивания точек посадки, а также для назначения требований к геометрической форме и конструктивно-компоновочной схеме СА.

Движение СА в атмосфере как твёрдого тела описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить не представляется возможным. При численном интегрировании уравнений движения, во-первых, остаются скрытыми причины, обусловливающие тот или иной характер движения, во-вторых, для установления закономерностей движения требуется значительное число расчётов, что приводит к большим затратам времени из-за наличия в правых частях уравнений быстро осциллирующих функций. При этом даже эффективные численные алгоритмы решений всегда должны использовать информацию об аналитической природе задачи. Поэтому поиск приближённых аналитических решений и разработка методов исследования, позволяющих существенно ускорить процесс расчёта и установить закономерности, свойственные движению СА, являются актуальной задачей.

Движение относительно центра масс осесимметричного СА в атмосфере описывается системой уравнений, представляющей собой квазиконсервативную нелинейную систему с одной степенью свободы. Характер движения СА во многом определяется формой характеристики восстанавливающего момента, которая является нечётной функцией и в общем случае аппроксимируется нечётным рядом Фурье по углу атаки. Г. Е. Кузмаком исследованы переходные режимы движения СА с синусоидальной характеристикой восстанавливающего момента, что характерно для СА, имеющих форму сферы или тонкого конуса. Фазовый портрет такой системы аналогичен возмущённой колебательной системе маятникового типа. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются СА сегментально-конической, затупленно-конической и других форм (спускаемые модули "Союз", "Марс", многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы) с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух или

даже трёх гармоник тригонометрического ряда в разложении. Наличие второй гармоники в характеристике восстанавливающего момента обусловливает возможность появления одного, а наличие третьей - двух дополнительных положений равновесия СА по углу атаки, то есть дополнительных особых точек на фазовом портрете, что приводит к появлению ряда новых случаев переходных режимов.

Переходные режимы движения тел, имеющих два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия, проанализированы В. А. Ярошевским. Однако интеграл действия, который является адиабатическим инвариантом для рассматриваемой системы, не выписан в явном виде, что существенно затрудняет анализ движения. В работах В. С. Асланова и И. А. Тимбая на основе полученных аналитических формул для интеграла действия разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения СА под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента.

В диссертационной работе разрабатываются качественные и приближённые аналитические методы исследования переходных режимов движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на основе полученных аналитических выражений для интеграла действия, вычисленного на сепаратрисах.

Наряду с исследованием переходных режимов движения СА по углу атаки важным является исследование характера изменения по траектории спуска угла аэродинамического крена (угла собственного вращения) и угла скоростного крена (угла прецессии). Угол собственного вращения определяет положение боковой поверхности СА относительно набегающего потока, и, следовательно, характер обгара теплозащитного покрытия. Угол прецессии определяет положение плоскости угла атаки, и, следовательно, подъёмной силы, относительно осей траекторной системы координат. Вопросы исследования прецессионного движения и влияния его на рассеивание точек падения неуправляемых СА рассмотрены, например, в работах Д. Платуса, Т. Лина. В диссертационной работе показано влияние переходных режимов движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на рассеивание траекторий.

Поскольку конструкция неуправляемых СА предполагает отсутствие каких-либо систем, способных управлять угловым движением, то обеспечение расчётных условий движения осуществляется только на этапе проектирования за счёт выбора проектно-баллистических параметров и задания начальных условий движения. В работе определены условия, накладываемые на коэффициенты моментной характеристики, зависящие от формы и положения центра масс аппарата, а также найдены аналитические условия, определяющие начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента, которые позволяют исключить переходные режимы движения.

Объектом исследования является неуправляемый СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента.

Предметом исследования являются переходные режимы движения относительно центра масс СА с тригармонической моментной характеристикой.

Целью работы является разработка качественных и приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения СА с

тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на начальном участке траектории в атмосфере и выбор на этой основе проектно-баллистических параметров, обеспечивающих заданные условия движения.

Методы исследования. При разработке методов для получения аналитических формул использовались теория адиабатического инварианта, метод фазовой плоскости, а также методы и подходы, развитые в работах

B. И. Арнольда, А. И. Нейштадта, В. А. Ярошевского, В. С. Асланова, Д. Платуса.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построена номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в зависимости от соотношения коэффициентов тригармонической характеристики восстанавливающего момента СА в случае плоского движения.

2. Разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения СА относительно центра масс под действием медленно меняющегося во времени тригармонического восстанавливающего момента, основанный на полученных аналитических выражениях для:

- времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения;

- интеграла действия на сепаратрисах, выраженного через эллиптические интегралы первого, второго, третьего рода и элементарные функции;

- времени перехода между различными областями фазовой плоскости;

- вероятности захвата в ту или иную область, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области.

3. Для исключения переходных режимов движения С А относительно центра масс определены аналитические условия, накладываемые на коэффициенты тригармонической характеристики восстанавливающего момента, а также найдены условия, определяющие необходимую начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента.

4. Показано влияние на рассеивание траекторий переходных режимов движения относительно центра масс на начальном участке снижения в атмосфере СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью принятых допущений в исходных математических моделях; применением при проведении экспериментов с математическими моделями известных численных методов, обладающих высокой точностью.

Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты доведены до аналитических выражений и могут непосредственно использоваться в инженерной практике при анализе движения спускаемого аппарата, а также при выборе проектно-баллистических параметров и начальных условий движения для исключения переходных режимов движения относительно его центра масс.

Результаты исследований используются в учебном процессе Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика

C. П. Королёва (национального исследовательского университета).

Публикации и апробация работы

Основные положения работы докладывались на всероссийских и международных конференциях, в том числе на международной конференции

«Scientific and Technological Experiments on Automated Space Vehicles and Small Satellites» (г. Самара, 2008 г.), на XXXIV академических чтениях по космонавтике (г.Москва, 2010г.), на XIII и XIV Всероссийских научно-технических семинарах по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2007, 2009 гг.), на IX и X Королёвских чтениях (г. Самара, 2007,2009 гг.).

Результаты исследований опубликованы в 10 печатных работах, в том числе три в журнале, определенном Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованных источников из 59 наименований. Общий объём диссертации составляет 126 страниц.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в случае плоского движения осесимметричного СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки.

2. Метод аналитического исследования переходных режимов движения СА относительно центра масс под действием медленно меняющегося во времени тригармонического восстанавливающего момента без численного интегрирования и статистического моделирования, основанный на полученных аналитических выражениях для: времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения; интеграла действия на сепаратрисах; времени перехода между различными областями фазовой плоскости; вероятности захвата в ту или иную область.

3. Условия, накладываемые на коэффициенты тригармонической характеристики восстанавливающего момента, а также определяющие необходимую начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента для исключения переходных режимов движения СА относительно центра масс.

4. Результаты численных экспериментов, показывающие влияние переходных режимов движения СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на рассеивание траекторий.

Содержание работы

Во введении приводится характеристика решаемой в диссертации задачи, обосновывается актуальность темы, формулируется цель диссертации. Отмечены новизна и практическое значение работы, даны сведения о публикациях. Кратко излагается содержание глав диссертации.

В первой главе дана оценка современного состояния проблемы разработки качественных и приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения СА в атмосфере и проводится анализ известной литературы по данной теме. Анализируются результаты исследований, полученные в работах В. А. Ярошевского, Г. Е. Кузмака, А. И. Нейштадта, В. С. Асланова и др.

Во второй главе приводится описание математической модели движения относительно центра масс СА, восстанавливающий аэродинамический момент которого описывается рядом Фурье по углу атаки с тремя первыми гармониками.

Движение СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента относительно центра масс на начальном участке траектории спуска, когда можно пренебречь изменением скорости центра масс, угла наклона траектории и аэродинамическим демпфированием, описывается системой с медленно меняющимися параметрами вида:

.. (R-Gcosa)(G-Rcosa) . . . ,, , . „

а н--з--ha(z)sina + o(z)sm2a + c(z)sin3a =0,

sin а

G-Rcosa . R (G-Rcosa)cosa

Ya=-TI-, <P = — ~--! 2 -' (!)

sin a I sin a

n ft

Здесь a - пространственный угол атаки (угол между продольной осью СА и вектором скорости центра масс); уа- угол прецессии (угол скоростного крена -угол между плоскостью движения и плоскостью пространственного угла атаки); ср - угол собственного вращения; К0 - начальное значение кинетического момента на границе атмосферы, где влиянием аэродинамических моментов можно пренебречь; ак, av - углы, которые характеризуют соответственно положение вектора кинетического момента относительно продольной оси СА и относительно вектора скорости центра масс на границе атмосферы; R = const, G = const - отнесённые к поперечному моменту инерции проекции вектора кинетического момента на продольную ось СА и на направление вектора скорости центра масс, соответственно; 1Х, 1„ - соответственно продольный и поперечный моменты инерции СА; а>х0, а>п0 - соответственно начальные продольная и поперечная угловые скорости; a(z), b(z), c(z) - коэффициенты моментной характеристики; z - медленно меняющийся параметр, переменность которого связана с медленным изменением плотности атмосферы в процессе спуска; точка означает дифференцирование по времени t.

Коэффициенты a(z), b(z), c(z) представлены в виде: а = a0z, Ъ = b0z, c = c0z, V2 V2 V2

P = AFo|sin0o|.

Здесь ma,mb,mc - постоянные коэффициенты; S - характерная площадь; / -характерный размер; V0 - начальная скорость; в0 - начальный угол наклона траектории; р0 - плотность атмосферы в начальный момент времени / = 0; Я -логарифмический градиент плотности атмосферы по высоте.

На знаки медленно меняющихся коэффициентов a(z), b(z) и c(z) никаких ограничений не накладывается (момент может быть как собственно восстанавливающим, так и опрокидывающим).

7

В плоском случае движения R = G = 0 и уравнение (1) имеет вид:

а + a(z)sma + 6(z)sin2a + c(z)sin3a = 0. (2)

В третьей главе разрабатывается метод аналитического исследования переходных режимов движения под действием медленно меняющегося во времени восстанавливающего момента без численного интегрирования и статистического моделирования на основе полученных аналитических выражений. Сначала методом фазовой плоскости исследовано невозмущённое движение СА (z = const).

В случае плоского движения СА в зависимости от начальных условий может совершать вращательное или колебательное движения. Число колебательных областей на фазовом портрете, соответствующем системе (2), может изменяться от одного до четырёх в зависимости от количества особых точек (рисунки 1, 2). Анализ уравнения (2) показывает, что в зависимости от значения коэффициентов а, Ь, с могут существовать две, три или четыре особые точки по углу атаки на отрезке [0,7г]:

а,=0, а2=ж, cos«3= ^ , cos«4 = ^ , (3)

г~,—:-7 о т„ b т,

где 77 = л//Г -4v + 4; v = — = —; ц=- = — .

с тс с тс

б) с двумя колебательными областями

Рисунок 2 - Фазовый портрет плоского движения: а) с тремя колебательными областями; б) с четырьмя колебательными областями

Для определения числа и характера особых точек на фазовом портрете построена номограмма, которая разделена на шесть областей следующими

и1 3 1

границами: у = 2/л-Ъ, у = -2ц-Ъ, у= — +\, V = + ^ (РИСУН0К 3).

Показано, какие положения равновесия являются устойчивыми («центр»), а какие неустойчивыми («седло») для всех областей номограммы при положительных и отрицательных коэффициентах с.

\ у \ ® \\ 4 N° области а, = 0 «3 «4

с <0

1А.1В Седао Седло Центр Центр

! 1 У/ Г- —/( +-// /У/ 1« 1 уу/ -1У/® 1 Седло - Центр

.1 Центр • - Седло

4 Цент]) Седло - Цент])

5 Седло Центр Седло

--—/1.5 /1 ш с >0

1А.1В Центр Центр Седло Седло

--- 'А / ~Л г=2/(-3| \ 2 Центр - Седло

3 Седло - Центр

4 Седло Центр - Седло

5 Центр Седло Центр

Рисунок 3 - Номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета

В случае пространственного движения в зависимости от соотношения величин а, Ь, с, Я, С могут существовать или одна особая точка типа «центр», и при этом на фазовом портрете имеет место одна колебательная область (рисунок 4,а), или три особые точки: две типа «центр» и одна типа «седло» (а=а.), и при этом на фазовом портрете имеют место три колебательные области - одна внешняя и две внутренние (рисунок 4,6). Качественный анализ уравнения (1) показывает, что если в плоском случае седловая точка внутри интервала (0;л) отсутствует, то она отсутствует и в случае пространственных колебаний независимо от величин Я и б. С другой стороны, если в плоском случае седловая точка существует, то обеспечить её отсутствие в случае пространственных колебаний можно только выбором достаточно больших по модулю конечных проекций вектора кинетического момента Я и &

В работе показано, что в случае пространственного движения в процессе спуска может происходить смена типа фазового портрета от портрета с одной колебательной областью (рисунок 4,а) к портрету с тремя колебательными областями (рисунок 4,6). Получена формула для определения момента смены типа фазового портрета:

л

-2Д(?ц>„2 + 3) + (Я2 + С2)(3»„2 +1) (2Ь0+8с0и„)(1-и„1)3

( =-1п

(4)

где ип e(-l;l)- корень решения уравнения пятой степени:

V 4 8 J I 2 8 8 J V16 4 16 J + = £=_r2+G2 C0SQV . cosa,.

8 16 16

RG

cos ay cosa,,

а) б)

Рисунок 4 - Фазовый портрет пространственного движения: а) с одной колебательной областью; б) с тремя колебательными областями

В связи с изменением коэффициентов a(z), b(z), c(z) в процессе движения происходит эволюция фазовых траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета, что сопровождается качественным изменением характера движения.

Для описания переходных режимов движения системы с медленно меняющимися параметрами (1) используется постоянство интеграла действия, записанного в форме:

"шах

Ig= j áda.

(6)

Здесь атт и атах - соответственно минимальное и максимальное значения амплитуды угла атаки (при плоском вращении am!n =-л и amM = п); а определяется из интеграла энергии системы (1) при фиксированных значениях медленных параметров (а, Ъ, с = const):

E = á¿/2 + W(a) = h,

где W(a) =

R2 + G2 - 2RGcosa

2 4 ,

-(a-c)cosa -bcos a -jccos a

приведенная

2 sin a

потенциальная энергия системы.

Моменты времени, соответствующие переходам между различными областями фазового портрета, определяются из равенства выражения интеграла действия, вычисленного вдоль сепаратрисы, значению интеграла действия, вычисленного по начальным условиям движения.

Интеграл (6) посредством замены и = eos а принимает вид:

(7)

-8cf 5 i 3¿í 4 i (3v 7\_3|3fA г

где tí, =cosc£,,„, и, = coscr , /(«) =-\u +—u +--— \uJ +— I — - ц \u" +

i и,л; з( 4 {4 4J 4U

3f, RG} 3 h 3 (G2+R2))

ч— 1-v--и---ь—-1 ; m=2 - при вращении и колебаниях

4V с J 4с 8с )

относительно = 0, а2=л; т= 1 - в остальных случаях.

Интеграл (7) относится к классу гиперэллиптических интегралов. На сепаратрисе полином пятой степени имеет пару кратных корней, интеграл (7) становится эллиптическим и его можно привести к сумме элементарных функций и трёх так называемых нормальных эллиптических интегралов.

Для случая плоского движения получены аналитические выражения для интеграла действия на сепаратрисах, выраженные через эллиптические интегралы первого и второго рода и элементарные функции:

/,. = 4~с (qu + qvF{q>t,kt) + q},K(k,) + q4jE(<pnt) + q5,E(k,)), (8)

где qu,q1¡,qi¡,qA¡,qi¡,<p¡,kt - функции от параметров v, ц, характеризующих соотношение коэффициентов моментной характеристики; i - номер сепаратрисы /,. (рисунки 1, 2); F(<p¡,k¡), K(k¡) - неполный и полный интегралы первого рода; E{(p,,k¡), E(kt) - неполный и полный интегралы второго рода.

В случае пространственного движения интеграл действия выражается через эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода и элементарные функции:

/,. = -fe (qu + q2iF(<p,,k) + q}¡K(k) + q4¡E(ip.,k) + qSlE(k) + +qb¡n(<p.,-n],k) + qvII(7i/2,-п,,к) + qs¡n(<p.,-n2,k) + q9in(7t/2,-п2,к)), где qu> 02¡> <h¡' Ян' Чы>Чцу <h¡, <h,> <?•> k> nv"2- функции от и„ u2, щ, и,, которые являются корнями многочлена f{u), причём и, = cosa. - кратный корень; i -номер сепаратрисы l¡ (рисунок 4,6); П((р,,-п12,к), П{л /2,-ni2,k) соответственно неполный и полный интегралы третьего рода.

В случаях, когда при пересечении сепаратрис фазовая точка может попадать в различные колебательные области, возникает задача выбора области продолжения движения. В работах В. И. Арнольда и И. М. Лифшица, А. А. Слуцкина, В. М. Набутовского эта вероятность определяется как доля фазового объёма малой окрестности начальной точки движения, «захватываемая» в рассматриваемую область в пределе, когда малый параметр, характеризующий скорость изменения параметра z, е—>0 и размер окрестности S—>0, е«<5, причём P¡ + Р2= 1.

В работе получены аналитические выражения для определения вероятности Рх или Р2 захвата в ту или иную область для СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента. В случае плоского движения вероятность определяется по следующей формуле:

Р,=—~— /" = 1,2,

/, + sl2

где 5=1 или s = 2 в зависимости от числа колебательных областей фазового портрета; /, - интеграл действия (8), взятый вдоль соответствующей сепаратрисы.

На рисунке 5 для случая с > 0 показана вероятность Рс>0(у,ц) реализации колебаний носовой частью СА относительно вектора скорости в случае плоского движения в зависимости от параметров, характеризующих соотношение коэффициентов моментной характеристики у = а/с, ц=Ыс. Для случая с < О вероятность колебаний носовой частью в областях 3, 4 можно найти по формуле Рс<0 (V, ¡л) = 100% - Рс>0(у, -//), а в областях 1,2,5 она равна нулю.

Л 100 100 100 100 100 100 100 100 fm 88

0 V 100 100 100 100 100 100 ш гт 90 V lo

0 100 100 100 100 100 100 % 79 72

0 Л" 0 ч 100 100' / 100 100 é lOOf 7Т 14 67 64

0 0 Л ^ 73 100 ^ р 59 ^ 57 55

0 0 \1 А гг/ У 44 р 1 «47 ГГ 47

д 0 0 Г- о Ai ft рх 30 Г- ■■ \ 35 38 40

0 0 0 У bJ/ з/ 13 20 26 30 33

0 0 0 0 А 5 12 19 23 27

0 0 0 0 /V 2 7 13 18 22

0 0 0 0 /о г * 0\ ж- N 0 3 8 13 17

/ » \

М

Рисунок 5 - Вероятность (в процентах) колебаний носовой частью относительно вектора скорости в случае плоского движения при с > О

В случае пространственного движения для определения вероятности захвата в колебательную область А1 или А2 (рисунок 4,6) получена следующая формула:

Р} р, + р2 (F((p.,k)- К(к)) + р}(Е((р.,к)-Е(к))

где pv p2,pi,<p., к - функции от и„ и2, и}, и,.

В отличие от случая плоского движения, где вероятность определяется соотношением аэродинамических коэффициентов, в случае пространственного движения вероятность зависит не только от величины аэродинамических коэффициентов, но и от начальной ориентации вектора кинетического момента и его величины. В таблице 1 приведена вероятность реализации колебаний носовой частью относительно вектора скорости в зависимости от углов аК, аг, определяющих положение вектора кинетического момента на границе атмосферы, для одного из предварительно рассматриваемых вариантов малогабаритного спускаемого аппарата проекта YES2 Европейского космического агентства «The Second Young Engineer's Satellite» со следующими

характеристиками: т = Ъкг, /„ = 0,04 кг-м2, ¿' = 0,1257 м2, 1 = 0,4 м, та = —0,0183, ть =0,0106, тс =-0,0253, сг =0,1133 + 1,0928соз(а) + 0,3083соз(2а) + 0,0129со5(3а), с„ = 0,92698ш(а) - 0,2405зт(2а) + 0,0096зт(3а),

У0 = 7830 м/с, в0 = -1,5°, Я0 = 150000 м, А = 1/7000 лГ1, АГ0 = 0,05 кг-м2/с. Таблица I. Вероятность (в процентах) колебаний носовой частью относительно вектора

скорости в случае пространственного движения

°г \ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

0 100 100 100 100 100 100 100 0

0,2 100 100 100 100 100 100 100 91,7

0,4 100 100 100 100 100 100 100 83,1

0,6 100 100 100 100 100 100 100 79,4

0,8 100 100 100 100 100 100 100 78,5

1,0 100 100 100 100 100 100 78,0 78,8

1,2 100 100 100 100 100 78,0 77,2 79,9

1,4 0 91,8 83,2 79,7 78,2 78,9 78,7 81,1

1,6 0 0 0 84,7 81,8 81,4 82,3 82,4

1,8 0 0 0 99,9 89,0 85,5 87,3 83,1

2,0 0 0 0 0 100 89,9 86,2 83,7

2,2 0 0 0 0 100 95,9 89,7 84,6

2,4 0 0 0 0 0 0 100 87,7

2,6 0 0 0 0 0 0 0 0

2,8 0 0 0 0 0 0 0 0

3,0 0 0 0 0 0 0 0 0

Исключить переходные режимы движения в процессе снижения можно путём выбора проектно-баллистических параметров СА или заданием начальных условий движения. Выбор проектно-баллистических параметров, включающих в себя форму СА и положение центра масс, необходимо делать таким образом, чтобы коэффициенты моментной характеристики удовлетворяли одному из следующих условий: 2

1) V >^- + 1; 2) V <-2/л-Зпри с>0; 3) V <2ц-Ъ при с<0.

В случаях, когда форма СА и положение центра масс допускают появление дополнительных положений равновесия по углу атаки, исключить переходные режимы движения можно заданием начальной ориентации вектора кинетического момента (углы ак, ар). Например, в соответствии с таблицей 1, можно выбирать значения углов ак, аг так, чтобы вероятность колебаний носовой частью относительно вектора скорости была равна либо 0, либо 100%.

При невозможности обеспечить необходимую начальную ориентацию вектора кинетического момента исключить переходные режимы движения можно только заданием большого по величине начального значения кинетического момента К0. С учётом (1), (4) получена следующая формула:

к„>.

cos aK cos av (-2u„(i/„2 + 3) + <^(3w„2 +1))'

где At - заданный промежуток времени, на котором не происходит смена типа фазового портрета.

В четвёртой главе показано влияние переходных режимов движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на рассеивание траекторий.

Действие подъёмной силы на рассеивание траекторий в среднем, за время полного оборота продольной оси СА вокруг вектора скорости центра масс, практически равно нулю, если пространственный угол атаки остаётся постоянным или изменяется медленно, а СА прецессирует вокруг вектора скорости с постоянной и большой по величине скоростью.

В работе показано, что при переходных режимах движения возможны ситуации, когда названные условия не реализуются: происходит резкое изменение величины подъёмной силы, замедление или даже изменение направления прецессионного вращения вектора подъёмной силы в инерциальном пространстве. Это приводит к тому, что полного осреднения подъёмной силы за оборот оси СА вокруг вектора скорости центра масс не происходит и в результате возникает рассеивание траекторий, оценка которого производится анализом поперечной скорости центра масс в плоскости, перпендикулярной траектории СА.

На рисунках 6, 7 показано влияние переходных режимов движения на рассеивание траекторий для СА с характеристиками, указанными выше.

На рисунке 6 показан случай плоского движения (соответствующий фазовый портрет приведён на рисунке 2,6), когда после перехода из внешней колебательной области во внутреннюю СА продолжил совершать колебания относительно дополнительного устойчивого положения равновесия по углу атаки. При этом не происходит осреднение подъёмной силы и, как следствие, возникает отклонение среднего значения поперечной скорости Vn (рисунок 6,6).

20г

а.

рад/с О

у у V

1 у 1 | т 1 1 : ,

10 а)

15

** ь» ^

в

I

N

VO

+ к

а, рад

б)

Рисунок 6 - Влияние переходных режимов движения на рассеивание траекторий в случае плоского движения: о) фазовая траектория; б) поперечная скорость

На рисунке 7 показан случай пространственного движения СА, когда при переходе из внешней колебательной области во внутреннюю произошло так называемое «зависание» в окрестности неустойчивого положения равновесия, что привело к отклонению среднего значения поперечной скорости (годограф поперечной скорости представлен на рисунке 7,6, где Ух,Уу - проекции поперечной скорости в плоскости, перпендикулярной траектории СА).

Рисунок 7 - Влияние переходных режимов движения на рассеивание траекторий в случае пространственного движения: а) фазовая траектория;

6) годограф поперечной скорости

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Для невозмущённого движения СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки построена номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в случае плоского движения в зависимости от соотношения коэффициентов, стоящих при гармониках разложения; получены формулы для интеграла действия на сепаратрисах, выраженные через эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода и элементарные функции.

2. Для возмущённого движения С А с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения без численного интегрирования и статистического моделирования на основе полученных аналитических выражений для: момента смены типа фазового портрета в случае пространственного движения; времени перехода между различными областями фазовой плоскости; вероятности захвата в ту или иную область, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области.

3. Для исключения переходных режимов движения определены условия, накладываемые на коэффициенты моментной характеристики, зависящие от формы и положения центра масс СА, а также найдены аналитические условия, определяющие начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента.

4. Показано влияние переходных режимов движения на рассеивание траекторий при входе в атмосферу для СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента.

V С'-.

Основное содержание диссертации опубликовано в изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации:

1. Баринова Е. В., Тимбай И. А. Исследование плоского движения относительно центра масс спускаемого аппарата с тригармонической моментной характеристикой при входе в атмосферу [текст] // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). - Самара: СГАУ, 2010. - № 1 (21). - с. 9 - 19.

2. Баринова Е. В., Тимбай И. А. Исследование пространственного движения относительно центра масс спускаемого аппарата с тригармонической моментной характеристикой при входе в атмосферу [текст] // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). - Самара: СГАУ, 2010. - № 4 (24). - с. 9 - 18.

3. Баринова Е. В., Тимбай И. А. Отклонение спускаемого аппарата от расчётной траектории, вызванное переходными режимами углового движения на этапе входа в атмосферу [текст] // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). - Самара: СГАУ, 2010. - № 4 (24). - с. 19 - 29.

В других изданиях:

А. Баринова Е. В., Тимбай И. А. Рассеивание по боковой дальности для спускаемых капсул, вызванное переходными режимами движения при входе в атмосферу [текст] // Сборник трудов XIII Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. - Самара: СГАУ, 2007.-е. 212-217.

5. Баринова Е. В., Тимбай И. А. Исследование плоского движения спускаемого аппарата с тригармонической моментной характеристикой при входе в атмосферу [текст] // Сборник трудов XIV Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. - Самара: СГАУ, 2009. - с. 30 - 36.

6. Баринова Е. В., Тимбай И. A. Transient modes of capsule precessional motion on the upper section of re-entry trajectory [текст] // Тезисы докладов международной конференции "Scientific and Technological Experiments on Automated Space Vehicles and Small Satellites". Samara, Russia. - 2008. - p. 139.

7. Баринова E. В., Тимбай И. А. Рассеивание спускаемых аппаратов по боковой дальности, вызванное переходными режимами углового движения на верхнем участке траектории спуска [текст] // Сборник трудов XXXIV академических чтений по космонавтике. -Москва, 2010.-е. 132- 133.

8. Баринова Е. В. Прецессионное движение спускаемой капсулы при входе в атмосферу [текст] // Тезисы докладов Международной молодёжной научной конференции «XIV Туполевские чтения». - Казань, 2006. - с. 5 - 6.

9. Баринова Е. В. Исследование плоского движения относительно центра масс космического аппарата с тригармонической моментной характеристикой [текст] // Тезисы докладов Всероссийской молодёжной научной конференции «IX Королёвские чтения». - Самара: СГАУ, 2007. - с. 19.

10. Баринова Е. В. Переходные режимы плоского движения космического аппарата с тригармонической моментной характеристикой на верхнем участке траектории спуска [текст] // Тезисы докладов Всероссийской молодёжной научной конференции «X Королёвские чтения». - Самара: СГАУ, 2009. - с. 20.

Подписано в печать 25.03.2011. Формат 60x84/16, тираж 100 экз. Отпечатано с готового оригинал-макета 443086, г. Самара, СГАУ, Московское шоссе, 34

Список основных обозначений.

Введение.

1 Проблема исследования неуправляемого движения спускаемых аппаратов и методы её решения.

1.1 Переходные режимы движения СА относительно центра масс.

1.2 Рассеивание траекторий.

2 Математические модели движения неуправляемого спускаемого аппарата в атмосфере.

2.1 Силы и моменты, действующие на спускаемый аппарат в атмосфере.

2.2 Уравнения движения СА.

2.3 Начальные условия углового движения.

3 Исследование переходных режимов движения спускаемого аппарата по углу атаки.

3.1 Общие основания возмущённого движения осесимметричного СА при спуске в атмосфере.

3.2 Переходные режимы движения по углу атаки в случае плоского движения.

3.2.1 Определение числа и типа особых точек фазового портрета.

3.2.2 Аналитические выражения для интеграла действия, взятого вдоль сепаратрис.

3.2.3 Характерные виды фазовых портретов.

3.2.4 Метод аналитического исследования переходных режимов движения в плоском случае.

3.3 Переходные режимы движения С А в случае пространственного движения.

3.3.1 Определение числа и типа особых точек фазового портрета.

3.3.2 Аналитические выражения для интеграла действия, взятого вдоль сепаратрис.

3.3.3 Метод аналитического исследования переходных режимов движения в пространственном случае.

3.4 Исключение переходных режимов движения СА путём выбора проектно-баллистических параметров.

4 Влияние переходных режимов движения спускаемого аппарата на рассеивание траекторий.

4.1 Влияние подъёмной силы на рассеивание траекторий.

4.2 Рассеивание траекторий в случае плоского движения.

4.3 Рассеивание траекторий в случае пространственного движения.

V

Актуальность работы. Большое количество космических программ в, качестве заключительной фазы полёта предусматриваютхпуск неуправляемого« аппарата в.атмосферу Земли и других планет. Несмотря-на наличие обширных исследованию в-этой области, многие задачи, как теории, так и практики, в настоящее время не нашли своего разрешения. Важной задачей' является разработка качественных и. приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения спускаемого аппарата (СА) при входе в атмосферу, под- которыми понимаются случаи, когда в процессе-снижения СА происходит изменение характера движения относительно его центра масс: вращательное движение переходит в колебательное, «скачкообразно» изменяются характеристики, колебательного движения; меняется тип прецессионного движения и т. д. Изучение^ переходных режимов движения необходимо для определения компонент перегрузки, рационального расположения теплозащитного покрытия, определения рассеивания точек посадки, а также для назначения требований к геометрической форме и конструктивно-компоновочной схеме СА.

Движение СА в« атмосфере как твёрдого тела описывается системой-нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить * не представляется возможным. При численном интегрировании уравнений движения, во-первых, остаются скрытыми причины, обусловливающие тот или иной характер движения, во-вторых, для установления- закономерностей движения требуется значительное число расчётов, что приводит к большим затратам времени из-за наличия в правых частях уравнений быстро осциллирующих функций. При этом даже эффективные численные алгоритмы решений, экономные с точки зрения машинного времени, всегда должны использовать информацию об аналитической природе задачи. Поэтому поиск приближённых аналитических решений и разработка методов исследования, позволяющих существенно ускорить« процесс расчёта' и установить закономерности, свойственные движению СА, являются актуальной задачей.

Движение относительно центра масс осесимметричного СА в атмосфере описывается системой уравнений, представляющей собой квазиконсервативную нелинейную систему с одной степенью свободы. Характер движения СА во. многом' определяется? формой зависимости восстанавливающего момента от угла атаки, которая является нечётной функцией и в общем случае аппроксимируется нечётным рядом Фурье по углу атаки. Г. Е. Кузмаком исследованы переходные режимы движения СА с синусоидальной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, что характерно для СА, имеющих форму сферы или тонкого конуса. Фазовый портрет такой' системы аналогичен возмущённой колебательной системе маятникового типа. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются СА сегментально-конической, затупленно-конической и других форм (спускаемые модули "Союз", "Марс", многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы) с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух или даже трёх гармоник тригонометрического ряда в разложении. Наличие второй гармоники в моментной характеристике обусловливает возможность появления одного, а наличие третьей - двух дополнительных положений равновесия СА по углу атаки, то есть дополнительных особых точек на фазовом портрете, что приводит к появлению ряда новых случаев переходных режимов.

Переходные режимы движения тел, имеющих два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия, проанализированы В. А. Ярошевским. Однако интеграл действия, который является адиабатическим инвариантом для рассматриваемой системы, не выписан в явном виде, что существенно затрудняет анализ движения. В работах В. С. Асланова и И. А. Тимбая на основе полученных аналитических формул для интеграла действия разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения СА под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента.

В диссертационной работе разрабатываются качественные и приближённые аналитические методы исследования переходных режимов движения* СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на- основе полученных аналитических выражений для. интеграла действия, вычисленного на сепаратрисах. Формулы позволяют определять времена перехода между областями фазовой плоскости не прибегая? к численному интегрированию, а также вероятности попадания в колебательные области без проведения статистических расчётов. Составлены таблицы для определения вероятности реализации колебаний с малыми углами атаки.

Наряду с исследованием переходных режимов движения* С А по углу атаки-, важным является исследование характера изменения по траектории спуска угла аэродинамического крена (угла собственного вращения) и угла скоростного крена (угла прецессии). Угол собственного вращения определяет положение боковой поверхности СА относительно набегающего потока, и, следовательно, характер обгара теплозащитного покрытия. Угол прецессии определяет положение плоскости угла атаки, и, следовательно, подъёмной силы, относительно осей траекторной системы координат. Вопросы исследования прецессионного движения и влияния его на рассеивание точек падения неуправляемых СА рассмотрены, например, в работах Д. Платуса, Т. Лина. В диссертационной работе показано влияние переходных режимов» движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на рассеивание траекторий.

Поскольку конструкция неуправляемых СА предполагает отсутствие каких-либо систем, способных управлять угловым движением, то обеспечение-расчётных условий движения осуществляется только на этапе проектирования за счёт выбора проектно-баллистических параметров и задания начальных условий движения. В работе определены условия, накладываемые на коэффициенты моментной характеристики, зависящие от формы и положения центра масс аппарата, а также найдены аналитические условия, определяющие начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента, которые позволяют исключить переходные режимы движения.

Объектом исследования является неуправляемый СА с тригармонической I характеристикой восстанавливающего момента.

Предметом исследования являются переходные режимы движения относительно центра масс СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента

Целью настоящей работы- является разработка качественных и приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на начальном участке траектории спуска в атмосфере и выбор на этой основе проектно-баллистических параметров, обеспечивающих заданное движение.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

Разработка качественных и приближённых аналитических методов исследования невозмущённого движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента: а) применение метода фазовой плоскости для исследования движения по углу атаки; б) получение аналитических выражений для вычисления интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих' вращательную и колебательные области фазового портрета системы.

2. Разработка методов аналитического исследования возмущённого движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента: а) получение формул для определения времени изменения вида фазового портрета в процессе движения; б) получение формул для определения времён- переходов между областями фазового портрета на основе аналитических выражений- для интеграла действия; в) получение формул, для- определения- вероятностей* попадания в различные колебательные1 области фазового портрета.

31 Определение аналитических условий для исключения переходных^ режимов движения относительно/ центра масс СА' с тригармонической характеристикой восстанавливающего,момента.

4. Исследование влияния переходных режимов, движения С А с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на рассеивание траекторий.

5. Проверка адекватности расчётов по аналитическим формулам и результатам численного интегрирования.

Методы исследования. При разработке методов для получения аналитических формул использовались теория адиабатического инварианта, метод фазовой плоскости, а также методы и подходы, развитые в работах В. С. Асланова, В. И. Арнольда, А. И. Нейштадта, В. А. Ярошевского, Д. Платуса.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построена номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в зависимости от соотношения коэффициентов тригармонической характеристики восстанавливающего момента СА в случае плоского движения.

2. Разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения СА относительно центра масс под действием медленно меняющегося во времени тригармонического восстанавливающего момента, основанный на полученных аналитических выражениях для:

- времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения; интеграла действия на сепаратрисах; выраженного через эллиптические интегралы первого, второго, третьего рода* и элементарные функции; времени перехода между различными областями фазовой плоскости; вероятности захвата в ту или иную область, когда при1 пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области.

3. Дня исключения переходных режимов движения СА относительно центра масс определены условия, накладываемые на коэффициенты тригармонической характеристики восстанавливающего момента, а также найдены аналитические условия, определяющие необходимую начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента.

4. Показано влияние на рассеивание траекторий переходных режимов движения относительно центра масс на начальном участке снижения в атмосфере СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью принятых допущений в исходных математических моделях; применением при проведении» экспериментов с математическими моделями известных численных методов, обладающих высокой точностью.

Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты доведены до аналитических выражений и могут непосредственно использоваться в инженерной практике при анализе движения спускаемого аппарата, а также при выборе проектно-баллистических параметров и начальных условий движения для исключения переходных режимов движения относительно его центра масс.

Результаты исследований используются в учебном процессе Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета).

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в случае плоского движения для осесимметричного СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки.

2. Метод аналитического исследования переходных режимов движения СА относительно центра масс под действием медленно меняющегося во времени тригармонического восстанавливающего момента без численного интегрирования и статистического моделирования, основанный на полученных аналитических выражениях для: времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения; интеграла действия на сепаратрисах; времени перехода между различными областями фазовой плоскости; вероятности захвата в ту или иную область.

3. Условия, накладываемые на коэффициенты тригармонической характеристики восстанавливающего момента, а также определяющие необходимую начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента для исключения переходных режимов движения СА относительно центра масс.

4. Результаты численных экспериментов, показывающие влияние переходных режимов движения СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на рассеивание траекторий.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на всероссийских и международных конференциях, в том числе на международной конференции «Scientific and Technological Experiments on Automated Space Vehicles and Small Satellites» (г. Самара, 2008 г.), на XXXIV академических чтениях по космонавтике (г. Москва, 2010 г.), на XIII и XIV Всероссийских научно-технических семинарах по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2007, 2009 гг.), на IX и X Королёвских чтениях (г. Самара, 2007, 2009 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в восьми печатных работах, из них одна статья в рецензируемом журнале [1], две статьи в сборниках трудов [2, 3] и пять тезисов докладов [4 — 8].

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованных источников.

В первой главе даётся оценка современного состояния проблемы разработки качественных ' и приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения СА в атмосфере и проводится анализ известной литературы по данной теме.

Во второй главе приводится описание математической модели движения относительно центра масс осесимметричного СА. Рассматривается влияние начальных условий углового движения, которые реализуются при входе СА в атмосферу, на характер его движения относительно центра масс при спуске.

В третьей главе разрабатывается метод аналитического исследования переходных режимов движения осесимметричного СА относительно центра масс под действием медленно меняющегося во времени тригармонического восстанавливающего момента. Определяется число и ' тип особых точек фазового портрета системы. Выводятся аналитические выражения для интегралов действия на сепаратрисах, времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения, времени перехода между различными областями фазовой плоскости, вероятности захвата в ту или иную колебательную область. Определяются условия для коэффициентов моментной характеристики и для начальной ориентации и величины вектора кинетического момента, исключающие переходные режимы движения.

В четвёртой главе показано влияние переходных режимов движения по углу атаки на поведение угла прецессии и на рассеивание траекторий для СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента. Приведены результаты численных расчётов рассеивания траекторий для плоского и пространственного случаев движения СА. .

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной работе.

1 Проблема? исследования неуправляемого движения спускаемых аппаратов и методы её решения

В главе даётся оценка современного состояния проблемы разработки качественных и приближённых аналитических методов ? исследования переходных режимов-движения неуправляемых СА в атмосфере и проводится анализ известной литературы по данной теме.

Основные результаты проведённых исследований:

1. Для невозмущённого движения осесимметричного СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки построена номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в случае плоского движения в зависимости от соотношения коэффициентов, стоящих при гармониках разложения; получены аналитические выражения для интеграла действия на сепаратрисах, выраженные через эллиптические интегралы первого, второго, третьего рода и элементарные функции.

2. Для возмущённого движения осесимметричного СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения под действием медленно меняющегося во времени восстанавливающего момента, основанный на полученных аналитических выражениях для времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения, времени перехода между различными областями фазовой плоскости, вероятности захвата в ту или иную область, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области.

3. Для исключения переходных режимов движения определены условия, накладываемые на коэффициенты моментной характеристики, зависящие от формы и положения центра масс аппарата, а также найдены аналитические условия, определяющие начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента.

4. Показано влияние переходных режимов движения на рассеивание траекторий при входе в атмосферу для СА с тригармонической моментной характеристикой.

Полученные в работе формулы позволяют определять времена перехода между областями фазовой плоскости не прибегая к численному интегрированию, а также вероятности попадания в колебательные области без проведения статистических расчётов.

В работе показано, что при переходных режимах движения СА относительно центра масс в верхних слоях атмосферы может возникать эффект неосреднения подъёмной силы, который вызывает рассеивание траекторий. В случае пространственного движения при реализации режима зависания рассеивание траекторий тем больше, чем ниже происходит переход от одного колебательного режима к другому. В случае плоского движения наибольшее рассеивание траекторий происходит при реализации колебательного движения относительно дополнительного положения равновесия.

Заключение

В настоящей работе разработан аналитический метод исследования переходных режимов движения СА, когда моментная характеристика представлена в виде суммы трёх первых синусоидальных гармоник, с учётом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики.

1. Баринова Е.В, Тимбай И.А. Прецессионное движение спускаемой капсулы при входе в атмосферу // Тезисы докладов Международной молодёжной научной конференции «XIV Туполевские чтения». Казань. 2006. - с. 5 - 6.

2. Асланов B.C. Пространственное движение тела при спуске в атмосфере. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

3. Кузмак Т.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М.: Наука, 1970.

4. Воейков В.В., Ярошевский В.А. Определение амплитуды колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере // Учёные записки ЦАГИ. 1970. Т. 1. № 3. с. 45.

5. Ярошевский В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. М.: Машиностроение, 1978.

6. Ярошевский В.А. Аналитические оценки пиковых значений* амплитуды колебаний угла атаки неуправляемого космического аппарата на этапе входа в атмосферу в случае плоского движения // Космич. исслед. 2000. Т. 38. № 4. с. 437-442.

7. Дмитриевский A.A., Лысенко Л.Н., Богодистов С.С. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 1991.

8. Ларичева В.В., Шилов A.A. Асимптотический метод определения аналога сепаратрис при движении тела около центра масс в атмосфере // Космич. исслед. 1969. Т. 7. № 1.

9. Ларичева В.В. О разрывном характере аналога сепаратрис при движении асимметричного тела около центра масс в атмосфере // Учёные записки НАГИ. 1972. Т. 3. № 3.

10. Шилов A.A. Влияние массовой; и аэродинамической несимметрии тела на. характер его?пространственного движения // ДАН СССР. 1968. Т. 183. № 5.с, 1028. ' ; '' '

11. Асланов B.C., 'Серов В.М. Вращательное: движение: осесимметричного твёрдого тела с бигармонической характеристикой восстанавливающего момента. // Изв; АЬ£ МТТ. 1995; №^3. с. 19^

12. Асланов B.C., Тимбай И.А., Бойко В.В. Пространственные колебания осесимметричного аппарата на произвольных углах атаки при снижении в атмосфере планеты // Космич; исслед. 1981. Т. 19. № 5. е.680-687.

13. Асланов B.C., Тимбай H.A. Некоторые задачи динамики неуправляемого спуска КА в атмосфере // Космич. исслед. 1995. Т. 33. № 6.x. 639-645.

14. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Вращение твёрдого тела:под действием нестационарных восстанавливающего и возмущающего моментов // Механика твёрдого тела 2003. № 2 с. 3 11.

15. Лещенко Д.Д., Шамаев A.C. Возмущённые вращательные движения твёрдого тела, близкие к регулярной прецессии, в, случае Лагранжа // Изв. АН. МТТ. 1987. № 6. с. 8.

16. Сазонов В.В., Сидоренко В.В. Возмущённые движения твёрдого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6. с. 951.

17. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике. //Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. Вып. 6. с. 91.

18. Нейштадт А.И. Вопросы теории; возмущению нелинейных1 резонансных систем- // Диссертация» на соискание учёной степени доктора фттзико-матеметических паук. М.: ВИНИТИ; 1988.

19. Асланов B.C., Тимбап И.А. Переходные режимы углового движения КА на верхнем участке траектории спуска // Космич. исслед. 1997. Т. 35. №3. с. 279 -286.

20. Асланов B.C., Тимбап И.А. Интеграл действия при движении твёрдого тела в обобщённом случае Лагранжа // Изв: АН: МТТ. 1998. № 2. с. 9-17.

21. Белоконов В.М., Заболотнов М.Ю. Оценка вероятности захвата в резонансный5 режим движения, космического аппарата при спуске в атмосфере//Космич. исслед. 2002 Т. 40: № 5;.с. 503-514.

22. Любимов; В.В. Вторичные резонансные эффекты и: устойчивость при движении твёрдого тела в атмосфере // Самара: СЫЩ РАН, 2005.

23. Асланов B.C., Ледков А.С. Устранение резонанса, возникающего при-спуске осесимметричного КА в разреженной атмосфере // Общероссийский научно-технический журнал "Полёт". — 2008. №7. - с. 46-50.

24. Кеньшов Е.А. Исследование перехода плоского вращательного движения космического аппарата с асимметрией к колебательному при входе в атмосферу // Аспирантский вестник Поволжья. Самара: 2003. №1. с. 31-33.

25. Кеныпов Е.А., Тимбай И.А. Переход плоского вращательного движения космического аппарата с асимметрией в колебательное при входе в атмосферу // Космич. исслед. 2004. Т. 42. № 3. с. 295-301.

26. Асланов B.C., ЛедковА.С. Особенности вращательного движения КА при спуске в атмосфере Марса // Космические исследования. — 2007. — Т. 45, №4. — с. 351-357.

27. Сихарулидзе Ю.Г., Корчагин А.Н. Анализ точности баллистического спуска с околоземной круговой орбиты // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 1. с. 75 87.

28. Заболотнов Ю. М., Никонова И.А. Ранжирование возмущений при спуске капсулы в атмосфере // «Известия вузов. Авиационная техника». Казань: КАИ, 2010.- № 4.- с. 67 - 78.

29. Козлов М.Д., Тимбай И.А. Оценка влияния импульсных возмущающих моментов на рассеивание точек посадки спускаемых аппаратов // Математическое моделирование систем и явлений. Межвузовский сборник научных трудов. Самара. 1995. с. 53-61.

30. Платус Д. Рассеивание по боковой дальности для вращающихся ракет вследствие остаточной подъёмной силы // Ракетная техника и космонавтика. 1977. № 7. с. 17.

31. Платус Д. Рассеивание по боковой, дальности для космических аппаратов, возвращающихся в атмосферу, вследствие начального углового рассогласования // Ракетная техника и космонавтика. 1980. № 5. с. 205.

32. Barbera F., Fuess В. Impact dispersion due to mass and aerodynamic asymmetries // Journ. Spacecraft and Rockets. 1967. V. 4. No. 10.

33. Glover L. Effect on roll rate of mass and aerodynamic asymmetries for ballistic -type bodies // Journ. Spacecraft and Rockets. 1965. No. 2. p. 220.

34. Lin Т., CrabowskyW., YelmgrenK., LandaM. Ballistic re-entry vehicle dispersion due to precession stoppage // Journ. Spacecraft and Rockets. 1984. V. 21. No. 4. p. 330.

35. Platus D.H. Ballistic re-entry vehicle flight dynamics // Journ. Guidance, Control and Dynamics. 1982. V. 5. No. 1.

36. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. ГОСТ 20058-80, 1980.

37. Лебедев A.A., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970.

38. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. Ii. М: Наука, 1972.

39. Платус Д. Сходимость угла атаки вращающихся космических аппаратов, возвращающихся в атмосферу, и скорость поворота меридиана, расположенного с наветренной стороны аппарата // Ракетная техника и космонавтика. 1969. № 12. с. 168.

40. Аэродинамика ракет / Под. ред. Н.Ф. Краснова. М.: Высшая школа, 1968.

41. Волосов В.М. Некоторые виды расчётов в теории нелинейных колебаний, связанных с усреднением // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1963. Т. 3. № 1. с. 3.

42. Волосов В.М. Моргунов Б.И. Метод усреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд. МГУ, 1971.

43. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твёрдого тела. М.: Наука, 1977.

44. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.

45. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.