автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Параллельные вычисления в задачах динамики моментного континуума Коссера

На правах рукописи

3V-

ВАРЫГИНА МАРИЯ ПЕТРОВНА

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ МОМЕНТНОГО КОНТИНУУМА КОССЕРА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003492482

Красноярск - 2010 г.

003492482

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН (г. Красноярск)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Садовский Владимир Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Добронец Борис Станиславович

доктор физико-математических наук, профессор Кургузов Владимир Дмитриевич

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред УрО РАН

(г. Пермь)

Защита состоится 5 марта 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.06 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, УЛК 115.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета по адресу: г. Красноярск, ул. Киренского, 26, ауд. Г 274.

Автореферат разослан 5 февраля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Р. Ю. Царев

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В 2009 году исполнилось 100 лет со дня опубликования работы братьев Коссера, в которой была предложена новая математическая модель сплошной среды. В отличие от классической теории упругости, в этой модели каждая материальная точка наделяется свойствами твердого тела - для нее учитываются вращательные степени свободы. Математическая модель Коссера служит для описания напряженно-деформированного состояния структурно неоднородных материалов: композитов, гранулированных, порошкообразных, сыпучих, микроразрушенных и микрополярных сред. Структура - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющий на их прочностные характеристики. В зависимости от типа материала и масштаба исследований в практических задачах требуется учитывать структуру нано-, микро- или мезоуровня. Особую актуальность математические модели материалов со структурой получили в последнее время в связи с развитием нанотехнологий.

При численном решении задач деформирования в рамках теории Коссера необходимо согласовывать размер ячеек используемых сеток с характерным размером неоднородности, представляющим собой малую величину. В результате дискретизации получаются задачи большой размерности, для реализации которых недостаточно вычислительных ресурсов персонального компьютера или рабочей станции с последовательной архитектурой. Методы моделирования с использованием высокопроизводительных распределенных вычислений оказываются едва ли не единственным способом получения информации об исследуемых процессах.

Целью исследования является разработка и реализация вычислительного алгоритма для решения динамических задач моментной теории упругости, описывающей процессы распространения волн напряжений и деформаций в средах с микроструктурой, на многопроцессорных вычислительных системах.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Приведение полной системы уравнений моментной теории упругости к симметрической t - гиперболической форме, позволяющей применить к решению задач эффективные вычислительные алгоритмы.

2. Разработка параллельной версии алгоритмов, ориентированных на использование многопроцессорных вычислительных систем.

3. Создание комплекса прикладных программ для исследования процессов распространения упругих волн в средах с микроструктурой на кластерных системах с распределенной памятью.

В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.

Новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости, основанный на расщеплении пространственной задачи на серию одномерных задач.

2. Алгоритм реализован на языке программирования Fortran-90 с использованием библиотеки передачи сообщений MPI в виде комплекса программ для многопроцесорных вычислительных систем.

3. На основании серии расчетов показано, что в моментной упругой среде существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств частиц микроструктуры и от параметров упругости материала.

Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах соавторам принадлежит постановка задачи, автором диссертации проведены необходимые численные расчеты и обработка полученных результатов.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования; использованием при

компьютерном моделировании тестовых задач, допускающих точное аналитическое решение.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые выполнена численная реализация модели моментной среды Коссера на многопроцессорных вычислительных системах в пространственной постановке и показано, что в такой среде существует собственная резонансная частота.

Практическая ценность работы состоит в создании комплекса прикладных программ, который может быть использован для численного исследования волновых процессов в средах с микроструктурой в задачах сейсмики и акустики, а также в учебном процессе при подготовке специалистов по математической обработке геофизической информации.

Апробация работы. Основные результаты исследований были представлены на научных конференциях: XLIII международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005); VI школа-семинар «Распределенные и кластерные вычисления» (Красноярск, 2006); VII, VIII, IX Всероссийские конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006, Новосибирск, 2007, Кемерово, 2008); XV, XVI зимние школы по механике сплошных сред (Пермь, 2007, 2009); Конкурс-конференция молодых ученых Красноярского научного центра (Красноярск, 2007); II международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии» (Санкт-Петербург, 2008); V Российско-германская школа по параллельным вычислениям (Новосибирск, 2008); Всероссийская молодежная школа по параллельному программированию (Новосибирск, 2009); Международная конференция «Математические и информационные технологии» (Будва, Черногория, 2009); Первая Всероссийская конференция «Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой» (Нижний Новгород, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, из них 2 статьи в изданиях по списку ВАК.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00148), Комплексной программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 17 «Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах», № 14 «Фундаментальные проблемы информатики и информационных технологий» и №2 «Интеллектуальные информационные технологии, математическое моделирование, системный анализ и автоматизация», Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 40 и Красноярского краевого фонда науки (грант 17G029).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 105 страниц, включая 42 рисунка и 3 таблицы. Список используемой литературы содержит 96 наименований.

Содержание работы

Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее цель и научная задача исследования, обоснована актуальность, представлены результаты работы, выносимые на защиту, а также определена научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

Первая глава носит обзорный характер. В ней приведен обзор исследований по математическому моделированию динамических процессов в средах с микроструктурой на многопроцессорных вычислительных системах. В разделе 1.1 дана краткая история развития модели несимметричной теории упругости. В разделе 1.2 приводится обзор численных методов решения задач динамики, методов моделирования неотражающих условий. В разделе 1.3 приведен обзор технологий программирования на многопроцессорных вычислительных системах, рассматриваются подходы MPI, OpenMP, DVM, HPF, специализированные библиотеки распараллеливания.

Во второй главе представлена математическая модель моментной теории упругости. Приведена симметризация системы уравнений, показана кор-

ректность постановки начально-краевой задачи. Проводится исследование одномерных систем уравнений, анализируются дисперсионные свойства систем. Доказывается, что в моментной среде существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств и параметров материала. Рассматривается случай плоского деформированного состояния и частный случай моментного континуума - редуцированная среда Коссера.

В разделе 2.1 приводится полная система уравнений модели моментного континуума Коссера. Кроме поступательного движения, которое характеризуется вектором скорости V, в ней учитываются независимые малые повороты частиц с вектором угловой скорости ш, а наряду с тензором напряжений г, компоненты которого несимметричны, вводится несимметричный тензор моментных напряжений т.

Система уравнений, описывающих движение такой среды, значительно расширяется и усложняется по сравнению с системой динамической теории упругости за счет дифференциальных уравнений вращательного движения. В систему входят уравнения движения, кинематические соотношения и обобщенный закон линейной теории упругости:

р\ = V ■ т + р%, = V • т - 2тх + jq, Л = Уу + и, М = Уи;,

(!)

т = XII- ■Л5 + 2/гЛ5 + 2аАА, ш = 011 • -М5 + 2т Мв + 2 еМА.

Здесь Ли М- равные нулю в естественном (ненапряженном) состоянии среды тензоры деформаций и кривизн; Л5, М5, Лл, МА - симметричные и антисимметричные составляющие тензоров; тх - вектор тензора г; I - единичный тензор; V - оператор градиента; точка над символом означает производную по времени; р - плотность среды; g - вектор массовых сил; я - вектор моментов; Л, ц, а, ¡3,7, е- упругие характеристики среды; ] - особая динамическая характеристика среды, равная произведению момента инерции частицы относительно оси, проходящей через ее центр тяжести, на число частиц в еди-

нице объема, которая определяется формой и размерами частиц. При описании гранулированных материалов параметр ] можно определить по формуле ] — 2рг2/Ъ, где г - характерный размер частиц среды.

В пространственном случае система уравнений (1) включает в себя 24 уравнения относительно 24-х неизвестных функций, в случае плоского деформированного состояния система состоит из 12 уравнений.

Система уравнений, описывающих движение среды Коссера, приводится к системе, записанной относительно вектора скорости, угловой скорости, несимметричных тензоров напряжений и моментов:

<2>

где

и = и(«1,1>2, г>3, Пь т22, 733, 7*23) Т32, Тц, Т13, П2, Т21, Ш1 ,Ш2, шэ, ™п> т22, т33, т2з, т32, тзь тпц, тпц, т21). Матрицы коэффициентов А, В1, В2 и 5з симметричны, матрица <3 антисимметрична, в вектор в входят массовые силы и моменты.

Для решения задач в рамках выписанной системы уравнений, ее нужно дополнить соответствующими начальными и граничными условиями. В частности, при í = 0 должна быть определена вектор-функция и = Ио- При этом на границах вычислительной области должны быть заданы граничные условия, которые могут быть заданы в терминах скоростей

= щ = г = 1,2,3, (3)

или напряжений

з з

^ПкТПы = <1и » = 1>2,3. (4)

к=1 4=1

Для использования системы (2) при изучении механических процессов необходимо, чтобы задача Коши или краевая задача для нее была корректной. В разделе 2.2 показывается, что при выполнении неравенств на параметры среды

ЗА + 2¡л, ц,а>0, 3/3 + 7, е > 0, (5)

матрица А положительно определена, и, таким образом, рассматриваемая система является гиперболической по Фридрихсу. Ее характеристические свойства описываются уравнением

(сА + п1В1 + п2 В2 + п3 В3) =0, п\ + п\ + п^ = 1,

положительные корни которого - скорости продольных волн Ср, поперечных волн с3, волн кручения Ст и волн вращательного движения с^ - равны

М + 2(1 //9 + 27 /7+^

^ ~ у р ' = Ст = )1~]—' Си = У~Т' (6)

Система (2) обладает обобщенными решениями с ударными волнами, для определения которых служит система уравнений сильного разрыва:

(сА + п\В\ + п2В2 + щВз) [и] = 0,

где [и] - скачок решения при переходе через фронт волны, с - скорость движения фронта в направлении нормального вектора п. Судя по этой системе, ударные волны малой амплитуды в моментной среде могут распространяться только со скоростями (6).

В разделе 2.3 рассматривается случай, когда искомые функции зависят от времени и одной из пространственных переменных, например, от х\. Система уравнений (1) распадается на независимые подсистемы, описывающие плос-

кие продольные волны

ды _ дтп дтп _ 0 дъ2 _ Зтзз _ дуг

+ Ы ~ дЬ ~ дх!

поперечные волны (волны сдвига) с вращением частиц

дУ2 Эт12 ,дш3 дтпи .

дтц . „ дтпхз . , >

-дГ = {1Х + а)д^- 3' ~дГ = Ь+£)д^' (8)

дт21 , дтп .дш3

__ = {11 _ а)__ + 2ас3, = (7 ■- е)^

а также волны кручения

,ди\ 9шц дт32 дт2з „

'Ж = + 723~ Т32' ~дГ = ~~дГ= и

дтпи ,п п дтп22 377133 <9^1

-^- = (/3 + 27)^, = =

Еще одна подсистема получается из (8) заменой индексов, она также описывает поперечные волны.

Общее решение подсистемы (7) выражается с помощью формулы Далам-бера, в соответствии с которой продольные волны, как и в классической теории упругости, распространяются со скоростями ±Ср и не обладают дисперсией. Подсистема волн кручения (9) сводится к телеграфному уравнению относительно угловой скорости:

82lüi _ 2 д2ш\ а

dt2

- с;

д-2" - 4—0*1.

дх\ з

(10)

В случае, когда не зависит от х\, решение телеграфного уравнения описывает равномерное собственное вращение частиц среды с периодом колебаний Т = TTs/jJa. Приводится общее решение уравнения (10) в интегральной форме через функцию Бесселя первого рода нулевого порядка, анализ которого показывает, что на фронтах волн кручения возникают осцилляции вращательного движения частиц.

На рис. 1 представлено численное решение системы (8) для пенистого полиуретана для разных размеров частицы. На границе х\ — 0 действует Л-образный импульс касательного напряжения тп, линейно нарастающий в интервале времени (0,ío)> а затем линейно падающий на интервале (<о,Т). Максимальное касательное напряжение в импульсе принято за единицу, время действия импульса равно 0.45 мс. Эпюры относятся к моменту времени t = 0.68 мс.

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

«i "i

Рис. 1. Зависимости w3(xi) для г = 0.18 мм (слева) и г = 0.36 мм (справа)

На графиках представлены зависимости угловой скорости а>з от координаты для различных размеров частиц. Правая часть осциллирующей кривой, примыкающая к переднему фронту волны, соответствует растущему напряжению (волна нагружения), средняя часть - падающему напряжению (волна разгрузки), а левая часть соответствует свободным вращательным колебаниям, которые происходят за задним фронтом волны. Момент инерции, связанный с характерным размером неоднородности (радиусом частицы) г = 0.18 мм и г = 0.36 мм, равен 4.4 • 10"4 и 1.76 • 10_3 кг/м соответственно, период собственных колебаний равен 31.7 и 63.3 мкс. Соответственно этому периоду меняется и число характерных колебаний угловой скорости на представленных рисунках.

В разделе 2.4 проводится исследование резонансных спектров поперечных возмущений. Показывается что в моментной упругой среде существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств частиц микроструктуры и от параметров упругости материала. Действительно, в случае однородного напряженного состояния из системы (8) вытекает классическое резонансное уравнение

= -4аш3 + 2ах,

из которого следует, что если угол сдвига %(£) изменяется по гармоническому закону с частотой и« = 1/Т, равной собственной частоте вращательного движения, то амплитуда угловой скорости частиц неограниченно растет. В общем случае резонанс вращательного движения можно возбудить, например, за счет периодического изменения вращательного момента на границе слоя.

В разделе 2.5 рассматривается случай плоского деформированного состояния моментной среды, выполнена симметризация системы, выписана полная система левых собственных векторов матрицы, необходимая для проведения численных расчетов.

В разделе 2.6 рассматривается частный случай моментного континуума -редуцированная среда Коссера. В этой модели учитываются дополнительные

вращательные степени свободы, но моментные напряжения не рассматриваются. Она представляется адекватной при описании сыпучих сред.

Третья глава посвящена численному решению задачи на многопроцессорных вычислительных системах.

В разделе 3.1 дается описание алгоритма, основанного на методе двуцикли-ческого расщепления по пространственным переменным. Процедура расщепления приводит к одномерным системам, которые решаются с помощью явной монотонной ENO-схемы типа «предиктор-корректор», представляющей собой обобщение схемы распада-разрыва Годунова с использованием кусочно-линейных сплайнов, разрывных на границах ячеек. Сплайны строятся при помощи процедуры предельной реконструкции, позволяющей повысить точность численного решения. На одном из этапов расщепления возникает система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом Кранка-Николсона второго порядка точности.

Рассматриваемый метод двуциклического расщепления имеет второй порядок точности по пространственным переменным и времени, если на его этапах используются схемы второго порядка, и обеспечивает устойчивость численного решения в пространственном случае при выполнении условия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви для одномерных систем.

Получаемая таким образом расчетная схема обладает свойством монотонности, поэтому она, в отличие от многих более простых схем, пригодна для исследования обобщенных решений в задачах об ударных, импульсных и сосредоточенных воздействиях.

Алгоритм реализован на языке Fortran-90 с использованием библиотеки передачи сообщений MPI (Message Passing Interface) по технологии SPMD (Single Program - Multiple Data) в виде комплекса программ, предназначенного для многопроцессорных вычислительных систем. Распараллеливание выполнено на основе блочного разбиения области решения задачи.

Программный комплекс, описанный в разделе 3.2, позволяет проводить расчеты распространения волн, вызванных внешними механическими воздей-

ствиями, в массиве среды, составленном из разнородных блоков с криволинейными границами. Информация, необходимая для расчетов, представляется в виде текстовых файлов. Один из таких файлов содержит феноменологические параметры материалов, таких как плотность, момент инерции частиц среды, константы модели, в другом хранятся сведения о блочной структуре массива среды, идентификатор материала в блоке и пространственные размерности сеток. Третий файл содержит информацию о внешних механических воздействиях: зона приложения нагрузки, характер (распределенная, сосредоточенная), вид (периодическая, импульсная и т.п), длительность на-гружения.

Комплекс состоит из трех подпрограмм: подготовительная программа-препроцессор, программа, реализующая счет, и программа обработки результатов постпроцессор.

В программе-препроцессор строится криволинейная разностная сетка в блоках, распределяется вычислительная нагрузка между процессорами, проводится инициализация начальных данных, однородных в случае естественного (ненапряженного) состояния среды, рассчитывается предельно допустимый по условию Куранта-Фридрихса-Леви шаг интегрирования одномерных систем уравнений, подготавливаются двоичные файлы данных с координатами узлов сетки и начальных значений для проведения расчетов основной программой. Балансировка вычислительной нагрузки достигается за счет равномерного распределения сеточной области между узлами кластера. Если размерность сетки в блоке больше средней размерности в расчете на один узел кластера, то этот блок обслуживается несколькими узлами, и наоборот, один узел обслуживает несколько следующих друг за другом блоков, если их суммарная размерность не превосходит средней.

На каждом узле кластера основной программой выполняются вычисления, сводящиеся к взаимно-согласованной поэтапной реализации метода расщепления по пространственным переменным. Основная программа записывает результаты расчетов в контрольных точках. Эти данные можно использо-

вать в качестве начальных для продолжения расчетов.

Программа-постпроцессор подготавливает данные для графического представления численного решения, которое выполняется с помощью специальных программ, предназначенных для персонального компьютера. Для визуализации решения нет необходимости использовать данные с точностью, полученной при численном решении задачи. Поэтому возможно применение методов сжатия данных с контролируемой потерей точности, что необходимо для сокращения объема файлов большого размера и времени транспортировки по сети, а также для компактного хранения численных решений в постоянной памяти компьютера. В качестве сжатия файлов можно использовать однородное прореживание данных, заключающееся в выборке данных вдоль каждого направления. Другой метод сжатия данных, основанный на методе вариации итераций, описан в разделе 3.3. Идея метода заключается в представлении многомерного массива данных суммой произведений одномерных массивов.

В четвертой главе представлены результаты численного расчета задач, полученных на кластерах МВС-1000 Института вычислительного моделирования СО РАН и МВС-ЮОк Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН.

В разделе 4.1 приведены результаты численного расчета распространения упругих волн в двумерной постановке. На рис. 2-3 приведены результаты численного решения задачи Лэмба о мгновенном действии сосредоточенной силы на поверхности полупространства при плоской деформации, полученные на сетке 1000 х 500 ячеек с шагом по времени 372 мкс. В первом случае импульсная нагрузка приложена в центре верхней границы расчетной области в нормальном направлении (рис. 2), а во втором - по касательной к границе (рис. 3). На линиях уровня четко прослеживаются все волны, характерные для решения задачи Лэмба в рамках классической теории упругости: падающие продольная и поперечная волны с круговыми фронтами, две головные поперечные волны в виде симметричных отрезков прямых, касающихся

Рис. 2. Задача Лэмба для нормальной нагрузки: линии уровня нормального напряжения Гц (слева) и угловой скорости ш3 (справа)

0.02 0.04 0.06 О.Ов Х2 0.02 пол 0 0« ote хя

Рис. 3. Задача Лэмба для касательной нагрузки: линии уровня касательного напряжения т12 (слева) и угловой скорости (справа)

полуокружности меньшего радиуса, а также быстро затухающие с глубиной поверхностные волны Рэлея - яркие точки на границе, движущиеся вслед ¡ за падающей поперечной волной. Отличие от классической теории упругости состоит в том, что в модели моментной упругой среды решение имеет ярко выраженный колебательный характер.

В разделе 4.2 выполнено сравнение численного решения с аналитическим решением задачи о распространении поверхностных волн Рэлея в среде Кос-сера, показывающее хорошее качественное и количественное соответствие.

В разделе 4.3 приводятся результаты численного решения пространственных задач о действии периодической нагрузки sin ut с резонансной частотой v = v*w. нерезонансной частотой и = vt/2. На рис. 4 изображены поверхности уровня скорости Vi- Период колебаний для частоты собственного вращательного движения равен Т — 67.6 мкс.

Расчеты показали, что при частоте внешнего воздействия v = vt происходит рост амплитуды со временем и значительно более медленное затухание

Рис. 4. Поверхности уровня скорости ь1 при резонансном (слева) и нерезонансном нагру-жении (справа).

колебаний с увеличением расстояния, характерное для акустического резонанса.

В разделе 4.4 представлены результаты расчетов пространственной задачи Лэмба о мгновенном действии сосредоточенных сил и моментов на поверхности полупространства. На рис. 5 изображены поверхности уровня нормального напряжения ти при нормальной нагрузке и касательного напряжения 712 при касательной нагрузке. Проведено исследование эффективности параллельного алгоритма на примере численного решения задачи Лэмба.

Рис. 5. Пространственная задача Лэмба: поверхности уровня напряжений тц при нормальной нагрузке (слева) и тц при касательной нагрузке (справа)

В этом разделе также описывается технология построения решений с произвольной нагрузкой с помощью функции Грина, в соответствии с которой решение задачи с распределенной нагрузкой строится в интегральной форме через решение для сосредоточенной силы.

Расчеты пространственных задач проводились на кубе со стороной 0.01 м для среды, механические параметры которой близки к синтетическому полиуретану. Используемая в расчетах разностная сетка состояла из 200 х 200 х 200 ячеек с шагом 0.05 мм. Каждым из 64-х вычислительных узлов решалась часть задачи на подсетке 50 х 50 х 50 ячеек. На более грубых сетках расчеты с приемлемой точностью выполнить невозможно, поскольку размер ячеек сетки становится сравнимым с характерным размером частиц среды г = у/2.5Цр ~ 0.15 мм. Время расчета 100 итераций составило примерно 4.5 ч с шагом в 1.8 мкс.

Результаты расчетов могут служить методической основой при планировании экспериментов по определению феноменологических параметров континуума Коссера.

В приложениях выписана используемая при построении вычислительного алгоритма полная система левых собственных векторов для матрицы системы уравнений моментной среды Коссера и редуцированной модели в пространственном случае, а также приведены начальные данные для задачи о распространении поверхностной волны Рэлея.

Заключение

1. Система уравнений моментной теории упругости Коссера, учитывающая вращательные степени свободы частиц материала с микроструктурой, приведена к симметричной гиперболической по Фридрихсу форме. На этой основе разработан параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач, в котором распараллеливание вычислений осуществляется на этапе расщепления задачи по пространственным переменным, а одномерные системы решаются с помощью явной монотонной разностной схемы, адаптированной к расчету разрывных решений.

2. Выполнена программная реализация вычислительного алгоритма на языке программирования Fortran-90 с использованием библиотеки передачи сообщений MPI в виде комплекса программ для многопроцесорных вычислительных систем. Комплекс предназначен для численного решения задач о распространении упругих волн в блочных массивах с криволинейными границами раздела в плоской и пространственной постановках.

3. Выполнены расчеты полей напряжений и деформаций в моментной среде, вызванных действием импульсных и периодических сосредоточенных нагрузок, в которых обнаружены осцилляции вращательного движения частиц. На основании серии расчетов показано, что в отличие от классической теории упругости в моментной теории Коссера существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств частиц микроструктуры и от параметров упругости материала.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в ведущих научных журналах, включенных в перечень ВАК:

1. Варыгина, М. П. Параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости / М. П. Варыгина, О. В. Садовская // Вестн. Красноярск, гос. ун-та: Физ.-мат. науки. - 2005. -№ 4. - С. 211-215.

2 Варыгина, М. П. Программное обеспечение для анализа волновых движений в моментных средах на многопроцессорных вычислительных системах / М. П. Варыгина, И. В. Киреев, О. В. Садовская, В. М. Садовский // Вестн. Сибирского гос. аэрокосмического ун-та. - 2009. - Вып. 2 (23). - С. 104-108.

Статьи в рецензируемых научных журналах:

3. Садовский, В. М. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментных средах / В. М. Садовский, О. В. Садовская, М. П. Варыгина // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2009. - Т. 2, № 4. - С. 111121.

Труды конференций:

4. Варыгина, М. П. Применение параллельного алгоритма для решения динамических задач моментной теории упругости / М. П. Варыгина // Распределенные и кластерные вычисления: Избранные материалы шестой школы-семинара. - Красноярск, 2006. - С. 5-14.

5. Варыгина, М. П. Вычислительный алгоритм для решения задач динамики моментной среды Коссера / М. П. Варыгина // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей в 3-х частях. Часть 1. - Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - С. 170-173.

6. Варыгина, М. П. Применение параллельных вычислений к решению пространственных динамических задач моментной теории упругости / М. П. Варыгина // Параллельные вычислительные технологии (ПАВТ'2008): Труды международной научной конференции. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. -С. 323-327.

7. Варыгина, М. П. Численное решение пространственных динамических задач моментной теории упругости / М. П. Варыгина, О. В. Садовская, В. М. Садовский // Труды XVI зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий (СБ-диск). -Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009.

8. Варыгина, М. П. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментной упругой среде / М. П. Варыгина, О. В. Садовская, В. М. Садовский // Первая Всероссийская конференция «Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой: НАНОМЕХ-2009». Полные тексты докладов (СБ-диск). - Нижний Новгород, 2009. - С. 39-51.

Подписано в печать 25 января 2010 г.

Формат 60 х 84/16 Усл. печ. л. 1.25 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036 Академгородок, Красноярск

Введение

1 Математическое моделирование динамических процессов в средах с микроструктурой на многопроцессорных вычислительных системах

1.1 Обзор исследований по моделированию сред с микроструктурой.

1.2 Обзор методов численного решения динамических задач

1.3 Обзор параллельных вычислительных технологий.

2 Модель Коссера

2.1 Уравнения моментной теории упругости.

2.2 Корректность задачи.

2.3 Одномерные движения.

2.3.1 Плоские продольные волны.

2.3.2 Поперечные волны с вращением частиц.

2.3.3 Волны кручения.

2.3.4 Задача о простом сдвиге.

2.4 Резонансные спектры поперечных возмущений.

2.5 Плоское деформированное состояние.

2.6 Редуцированная среда Коссера.

3 Численное моделирование

3.1 Вычислительный алгоритм.

3.1.1 Метод расщепления.

3.1.2 Одномерная ENO-схема.

3.1.3 Предельная реконструкция.

3.1.4 Алгоритм реализации граничных условий.

3.2 Программный комплекс.

3.3 Алгоритм сжатия файлов.

4 Результаты численных расчетов

4.1 Плоские задачи.

4.2 Поверхностные волны Рэлея

4.3 Резонансные воздействия.

4.4 Пространственные задачи Лэмба.

Применение высокопроизводительных распределенных вычислений открывает широкие возможности математического моделирования в задачах механики сплошных сред. Точность получаемого численного решения на персональном компьютере и время расчета задачи не всегда оказываются удовлетворительными, особенно если расчетная область имеет сложную структуру - содержит большое количество поверхностей раздела материалов с существенно различающимися механическими свойствами, жесткие включения небольшого размера и т.п.

Внедрение математических технологий, связанных с моделью Коссе-ра, в геофизику при интерпретации сейсмических полей позволило бы перейти в этой области на качественно новый, более высокий уровень. Такой переход можно сравнить с переходом от модели акустики, в которой по существу имеется только один тип волн, к теории упругости с двумя (продольными и поперечными) волнами. В случае моментного континуума появляется еще два типа - волны вращательного движения частиц и волны кручения, скорости которых вычисляются через феноменологические параметры материалов. О существовании этих воли известно с середины прошлого века. Первая попытка построения несимметричной или моментной теории упругости принадлежит братьям Коссера [1].

Математическая модель моментного континуума Коссера учитывает микроструктуру материала. Она предназначена для описания напряженно-деформированного состояния композитов, гранулированных, порошкообразных, сыпучих, микроразрушенных и микрополярных сред. Принципиальное отличие этой модели от классической теории упругости состоит в том, что в ней неявно присутствует малый линейный параметр - размер частиц микроструктуры материала. Как следствие, для получения корректных численных решений, расчеты необходимо выполнять на сетках, размер ячеек которых согласован с этим параметром. При решении динамических задач в пространственной постановке оказываются эффективными параллельные алгоритмы, позволяющие распределять вычислительную нагрузку между большим числом узлов кластера и дающие возможность существенно измельчать расчетные сетки, повышая тем самым точность численного решения.

Актуальность работы. В 2009 году исполнилось 100 лет со дня опубликования работы братьев Коссера, в которой была предложена новая математическая модель сплошной среды. В отличие от классической теории упругости, в этой модели каждая материальная точка наделяется свойствами твердого тела - для нее учитываются вращательные степени свободы. Математическая модель Коссера служит для описания напряженно-деформированного состояния структурно неоднородных материалов. Структура - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющий на их прочностные характеристики. В зависимости от типа материала и масштаба исследований в практических задачах требуется учитывать структуру нано-, микро- или ме-зоуровня. Особую актуальность математические модели материалов со структурой получили в последнее время в связи с развитием нанотехно-логий.

При численном решении задач деформирования в рамках теории Коссера необходимо согласовывать размер ячеек используемых сеток с характерным размером неоднородности, представляющим собой малую величину. В результате дискретизации получаются задачи большой размерности, для реализации которых недостаточно вычислительных ресурсов персонального компьютера или рабочей станции с последовательной архитектурой. Методы моделирования с использованием высокопроизводительных распределенных вычислений оказываются едва ли не единственным способом получения информации об исследуемых процессах.

Целью исследования является разработка и реализация вычислительного алгоритма для решения динамических задач моментной теории упругости, описывающей процессы распространения волн напряжений и деформаций в средах с микроструктурой, на многопроцессорных вычислительных системах.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Приведение полной системы уравнений моментной теории упругости к симметрической t - гиперболической форме, позволяющей применить к решению задач эффективные вычислительные алгоритмы.

2. Разработка параллельной версии алгоритмов, ориентированных на использование многопроцессорных вычислительных систем.

3. Создание комплекса прикладных программ для исследования процессов распространения упругих волн в средах с микроструктурой на кластерных системах с распределенной памятью.

В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.

Новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости, основанный на расщеплении пространственной задачи на серию одномерных задач.

2. Алгоритм реализован на языке программирования Fortran-90 с использованием библиотеки передачи сообщений MPI в виде комплекса программ для многопроцесорных вычислительных систем.

3. На основании серии расчетов показано, что в моментной упругой среде существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств частиц микроструктуры и от параметров упругости материала.

Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах соавторам принадлежит постановка задачи, автором диссертации проведены необходимые численные расчеты и обработка полученных результатов.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования; использованием при компьютерном моделировании тестовых задач, допускающих точное аналитическое решение.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые выполнена численная реализация модели моментной среды Коссера на многопроцессорных вычислительных системах в пространственной постановке и показано, что в такой среде существует собственная резонансная частота.

Практическая ценность работы состоит в создании комплекса прикладных программ, который может быть использован для численного исследования волновых процессов в средах с микроструктурой в задачах сейсмики и акустики, а также в учебном процессе при подготовке специалистов по математической обработке геофизической информации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 105 страниц, включая 42 рисунка, 3 таблицы. Список используемой литературы содержит 96 наименований.

Заключение

1. Система уравнений моментной теории упругости Коссера, учитывающая вращательные степени свободы частиц материала с микроструктурой, приведена к симметричной гиперболической по Фри-дрихсу форме. На этой основе разработан параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач, в котором распараллеливание вычислений осуществляется на этапе расщепления задачи по пространственным переменным, а одномерные системы решаются с помощью явной монотонной разностной схемы, адаптированной к расчету разрывных решений.

2. Выполнена программная реализация вычислительного алгоритма на языке программирования Fortran-90 с использованием библиотеки передачи сообщений MPI в виде комплекса программ для много-процесорных вычислительных систем. Комплекс предназначен для численного решения задач о распространении упругих волн в блочных массивах с криволинейными границами раздела в плоской и пространственной постановках.

3. Выполнены расчеты полей напряжений и деформаций в моментной среде, вызванных действием импульсных и периодических сосредоточенных нагрузок, в которых обнаружены осцилляции вращательного движения частиц. На основании серии расчетов показано, что в отличие от классической теории упругости в моментной теории Коссера существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств частиц микроструктуры и от параметров упругости материала.

1. Cosserat, Е. Theorie de Corps Deformables /Е. Cosserat, F. Cosserat // Chwolson's Traite Physique. - 2nd ed. - Paris, 1909. - P. 953-1173.

2. Аэро, Э. JI. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц / Э. Л. Аэро, Е. В. Кувшин-ский // Физика твердого тела. 1960. - Т. 11, № 7. - С. 1399-1409.

3. Mindlin, R. D. Effect of coupled-stresses in linear elasticity / R. D. Mindlin, H. F. Tiersten //Arch. rat. mech. anal. 1962. - № 11.

4. Аэро, Э. Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет внутреннего вращения / Э. Л. Аэро, Е. В. Кувшинский // Физика твердого тела. 1963. - Т. 5, № 9. - С. 2591-2598.

5. Пальмов, В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости / В. А. Пальмов // Прикл. матем. и мех. 1964. - Т. 28. -Вып. 3. - С. 401-408.

6. Койтер, В. Т. Моментные напряжения в теории упругости / В. Т. Койтер // Механика: Сб. переводов. 1965. - № 3. - С. 89-112.

7. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Мир, 1975. -872 с.

8. Schwartz, L. М. Vibrational modes in granular materials / L. M. Schwartz, D. L. Johnson, S. Feng // Physical Review Letters. -1984. Vol. 52, № 10. - P. 831-834.

9. Ерофеев, В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой / В. И. Ерофеев. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. - 328 с.

10. Кулеш, М. А. Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Прикл. мех. и техн. физ. 2001. - Т. 42, № 4. - С. 145-154.

11. Кулеш, М. А. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Изв. РАН. МТТ. 2002. -№ 5. - С. 69-82.

12. Корепанов, В. В. Аналитические и численные решения статических и динамических задач несимметричной теории упругости / В. В. Корепанов, М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Физическая мезомеханика. 2007. - Т. 10, № 5. - С. 77-90.

13. Лисина, С. А. Континуальные и структурно-феноменологические модели в механике сред с микроструктурой: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. / С. А. Лисина. Нижний Новгород, 2009.

14. Лисина, С. А. Обобщенные модели сплошной среды в наномехани-ке / С. А. Лисина, А. И. Потапов // Доклады РАН. 2008. - Т. 420, № 3. - С. 328-330.

15. Смолин, И. Ю. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне / И. Ю. Смолин // Математическое моделирование систем и процессов. 2006. -№ 14. - С. 189-205.

16. Шкутин, Л. И. Механика деформаций гибких тел / Л. И. Шкутин. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. 127 с.

17. Шкутин, Л. И. Обобщенные модели типа Коссера для анализа конечных деформаций тонких тел / Л. И. Шкутин // Прикл. мех. и техн. физ. 1996. - Т. 37, № 3. - С. 120-132.

18. Кириллов, Ю. В. Исследования по теории пластин и оболочек моментной теории упругости (обзор) / Ю. В. Кириллов, А. А. Постников, А. И. Тюленев // Исслед. по теор. пластин и оболочек: Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1990. Вып. 20. - С. 18-43.

19. Lakes, R. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized elastic continua / R. Lakes // Continuum Models for Materials with Micro-Structure / Ed. by H. Muhlhaus, J. Wiley. New York, 1995. - R 1-22.

20. Lakes, R. Experimental micro mechanics methods for conventional and negative Poisson's ratio cellular solids as Cosserat Continua / R. Lakes // Journ. Engineering Materials and Techonology. 1991. -№ 113. - P. 148-155.

21. Gauthier, R. D. A quest for micropolar elastic constants / R. D. Gau-thier, W. E. Jahsman // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1975. - Vol. 42, № 2. - P. 369-374.

22. Gauthier, R. D. A quest for micropolar elastic constants. Pt. 2 / R. D. Gauthier, W. E. Jahsman // Arch. Mech. 1981. - Vol. 33, № 5. - P. 717-737.

23. Ebinger, Т. Modeling macroscopic extended continua with the aid of numerical homogenization schemes / T. Ebinger, H. Steeb, S. Diebles // Comput. Mater. Sci. 2005. - Vol. 32. - P. 337-347.

24. Марчук, Г. И. Методы расщепления / Г. И. Марчук. М.: Наука, 1988. - 263 с.

25. Яненко, Н. Н. Метод дробных шагов решения задач математической физики / Н. Н. Яненко. Новосибирск: Наука, сиб. отд-ние, 1967. - 197 с.

26. Годунов, С. К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Край-ко, Г. П. Прокопов. М.: Наука, 1976. - 400 с.

27. Моисеев, Н. Я. Разностные схемы повышенной точности для решения одномерных задач газовой динамики методом Годунова с антидиффузией / Н. Я. Моисеев, И. Ю. Силантьева // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. - Т. 48, № 5. - С. 1-23.

28. Федоренко, Р. П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений / Р. П. Федоренко // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т. 2, № 6. - С. 1122-1128.

29. Boris, J. P. Flux-corrected transport: Generalization of the method / J. P. Boris, D. L. Book, K. Hain // Journ. Comput. Phys. 1975. -Vol. 18. - P. 248-283.

30. Zalesak, S. T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithm for fluids / S. T. Zalesak // Journ. Comput. Phys. 1979. -Vol. 31. - P. 335-345.

31. Harten, A. High resolutions schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten // Journ. Comput. Phys. 1983. - Vol. 49. - P. 357-393.

32. Lax, P. D. Systems of conservation laws / P. D. Lax, B. Wendroff // Comm. Pure Appl. Math. 1960. - Vol. 13, № 2. - P. 217-237.

33. Русанов, В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений / В. В. Русанов // Доклады АН СССР. 1968. - Т. 180, № 6. - С. 1303-1305.

34. Courant, R. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences / R. Courant, E. Isaacson, M. Rees // Comm. Pure Appl. Math. 1952. - Vol. 5, № 3. - P. 243-255.

35. Roe, P. L. Approximate Riemann problem solvers, parameter vectors, and difference schemes / P. L. Roe // Journ. Comput. Phys. 1981. -Vol. 43, № 2. - P. 357-372.

36. Osher, S. Numerical solution of singular perturbation problems and hyperbolic systems of conservation laws / S. Osher // North Holland Math. Studies. 1981. - Vol. 47. - P. 179-205.

37. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. По-горелов, А. Ю. Семенов. М.: Физматлит, 2001. - 608 с.

38. Van Leer, В. J. Towards the ultimate conservative difference schemes. Second-order sequel to Godunov's Method / B. J. Van Leer // Journ. of Comput. Phys. 1979. - Vol. 54, № 1. - P. 101-136.

39. Иванов, Г. В. Численное решение динамических задач упру-гопластического деформирования твердых тел / Г. В. Иванов, Ю. М. Волчков, И. О. Вогульский, С. А. Анисимов, В. Д. Кур-гузов. — Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002. — 352 с.

40. Куропатенко, В. Ф. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений газодинамики / В. Ф. Куропатенко // Изв. вузов. Матем. 1962. - № 3. - С. 75-83.

41. Von Neumann, J. A method for the numerical calculations of hydro-dynamical shocks / J. Von Neumann, R. Richtmayer // Journ. Appl. Phys. 1950. - Vol. 21. - P. 232.

42. Lax, P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations / P. D. Lax // Comm. Pure Appl. Math. -1954. Vol. 7, № 1. - P. 159-193.

43. Коновалов, A. H. Численные методы в динамических задачах теории упругости / А. Н. Коновалов // Сиб. матем. журн. 1997. -Т. 38, №3.-С. 551-568.

44. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975. 542 с.

45. Кошур, В. Д. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций / В. Д. Кошур, Ю. В. Немировский. Новосибирск: Наука, сиб. отд-ние, 1990. -198 с.

46. Oden, J. Т. A general theory of finite elements. I: Topological considerations / J. T. Oden // Int. Journ. Num. Meth. in Eng. 1969.2. P. 205-221.

47. Oden, J. T. A general theory of finite elements. II: Applications / J. T. Oden // Int. Journ. Num. Meth. in Eng. 1969. - № 3. - P. 247260.

48. Кандидов, В. П. Метод конечых элементов в задачах динамики / В. П. Кандидов, С. С. Чесноков, В. А. Выслоух. М.: Из-во Моск. ун-та, 1980. - 166 с.

49. Allen, М. P. Computer Simulation of Liquids / M. P. Allen, A. K. Tildesley. Oxford: Clarendon press, 1987.

50. Харлоу, Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики / Ф. X. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - С. 316-342.

51. Hockney, R. W. Computer simulation using particles / R. W. Hockney, J. W. Eastwood. IOP Publishing. - 1988.

52. Кривцов, A. M. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела / А. М. Кривцов, Н. В. Кривцова // Дальневосточный математический журнал ДВО РАН. 2002. -Т. 3, № 2. - С. 254-276.

53. Киселев, С. П. Исследование процесса компактирования медного нанопорошка / С. П. Киселев // Прикл. мех. и техн. физ. 2007. -Т. 48, №3. - С. 133-141.

54. Киселев, С. П. Моделирование компактирования смеси нанопорош-ков медь-молибден методом молекулярной динамики / С. П. Киселев // Прикл. мех. и техн. физ. 2008. - Т. 49, №5. - С. 11-23.

55. Ильгамов, М. А. Неотражающие условия на границах расчетной области / М. А. Ильгамов, А. Н. Гильманов. М.: Физматлит, 2003. -240 с.

56. Engquist, В. Absorbing boundary conditions for the numerical singulation of waves / B. Engquist, A. Majda // Math. Comput. 1977. -Vol. 31, № 139. - P. 629-651.

57. Berenger, J. P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves / J. P. Berenger // Journ. of Сотр. Phys. 1994. -Vol. 114. - P. 185-200.

58. Collino, F. Application of PML absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media / F. Collino, C. Tsogka // Geophysics. 2001. - Vol. 66. - P. 294-307.

59. Антонов, А. С. Введение в параллельные вычисления: Методическое пособие / А. С. Антонов. М.: Изд-во Физфака МГУ, 2002. -70 с.

60. Коновалов, Н. A. Fortran-DVM язык разработки мобильных параллельных программ / Н. А. Коновалов, В. А. Крюков, С. Н. Михайлов, А. А. Погребцов // Программирование. - 1995. -№1.

61. Коновалов, Н. А. Параллельные программы для вычислительных кластеров и сетей / Н. А. Коновалов, В. А. Крюков // Журн. открытые системы. 2002. - № 3.

62. Крюков, В. А. Разработка параллельных программ для вычислительных кластеров и сетей / В. А. Крюков // Информационные технологии и вычислительные системы. 2003. - № 12.

63. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. М.: Наука, 1979. - 391 с.

64. Годунов, С. К. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения / С. К. Годунов, Е. И. Роменский. Новосибирск: Научная книга, 1998. - 280 с.

65. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики / Р. Рихтмайер. М.: Мир, 1982. - 488 с.

66. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

67. Садовский, В. М. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментных средах / В. М. Садовский, О. В. Садовская, М. П. Варыгина // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. -Т. 2, № 4. - С. 111-121.

68. Behura, J. Heavy Oils: Their Shear Story / J. Behura, M. Batzle, R. Hofmann, J. Dorgan // Geophysics. 2007. - Vol. 72, № 5. - P. 175183.

69. Варыгина, M. П. Параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости / М. П. Варыгина, О. В. Садовская // Вестн. Красноярск, гос. ун-та: Физ.-мат. науки. 2005. - № 4. - С. 211-215.

70. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 656 с.

71. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Мар-чук. М.: Наука, 1989. - 608 с.

72. Садовская, О. В. Метод сквозного счета для исследования упруго-пластических волн в сыпучей среде / О. В. Садовская // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. - Т. 44, № 10. - С. 1909-1920.

73. Садовская, О. В. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред / О. В. Садовская, В. М. Садовский. М.: Физ-матлит, 2008. - 368 с.

74. Корнеев, В. Д. Параллельное программирование в MPI / В. Д. Кор-неев. Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2002. - 215 с.

75. Воеводин, В. В. Математические модели и методы в параллельных процессах / В. В. Воеводин. М.: Наука, 1986. - 296 с.

76. Кучунова, Е. В. Численное решение пространственной динамической задачи теории упругости на многопроцессорных вычислительных системах: Дисс. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. / Е. В. Кучунова Красноярск, 2008.

77. Соколов, Н. П. Пространственные матрицы и их приложения / Н. П. Соколов. М.: Физматлит, 1960. - 300 с.

78. Аграновский, М. JI. Об одном разложении в гильбертовом пространстве / М. Л. Аграновский, Р. Д. Баглай // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1977. - Т. 17, №4. - С. 871-878.

79. Поспелов, В. В. О приближении функций нескольких переменных произведениями функций одного переменного / В. В. Поспелов // ИПМ АН СССР. Препринт № 32. М., 1978.

80. Поспелов, В. В. О погрешности приближения функции двух переменных суммами произведений функций одного переменного /

81. В. В. Поспелов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1978. -Т. 18, № 5. - С. 1307-1308.

82. Тыртышников, Е. Е. Тензорные аппроксимации матриц, порожденных асимптотически гладкими функциями / Е. Е. Тыртышников // Матем. сб. Изд-во Наука, 2003. Т. 194, № 6. - С. 147-160.

83. Варыгина, М. П. Вычислительный алгоритм для решения задач динамики моментной среды Коссера / М. П. Варыгина // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей в 3-х частях. Часть 1. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - С. 170-173.

84. Варыгина, М. П. Применение параллельного алгоритма для решения динамических задач моментной теории упругости / М. П. Варыгина // Распределенные и кластерные вычисления: Избранные материалы шестой школы-семинара. Красноярск, 2006. С. 5-14.

85. Шемякин, Е. И. Динамические задачи теории упругости и пластичности / Е. И. Шемякин. М: ННЦ ГП - ИГД им. А. А. Скочинско-го, 2007. - 207 с.

86. Партон, В. 3. Методы математической теории упругости: Учебное пособие / В. 3. Партон, П. И. Перлин. М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 688 с.

87. Седов, J1. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. М.: Наука, 1994. - Т. 2. - 560 с.

88. Викторов, И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах / И. А. Викторов. М.: Наука, 1981. - 288 с.

89. Кулеш, М. А. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Прикл. матем. и техн. физ. 2005. - Т. 46, Ж 4. - С. 116-124.

90. Кулеш, М. А. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Докл. РАН. 2006. - Т. 405, № 2. - С. 196-198.

91. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб: БХВ - Петербург, 2002. - 608 с.