автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оценка и вычисление на ЭВМ решений систем линейных алгебраических уравнений со случайными ошибками

МШстерство ocbíth УкраУни КиУвський ушверситет !мен1 Тараса Шевченка

На правах рукопису

БАБАН1Н Олександр Серпйович

УДК 517.988:519.612.2

ОЦ1НЮВАННЯ ТА ОБЧИСЛЕННЯ НА ЕОМ РОЗВ'ЯЗКШ СИСТЕМ Л1Н1ЙНИХ АЛГЕБРАТЧНИХ Р1ВНЯНБ 3 ВИПАДКОВИЛШ ПОХИБКАМИ

05.13.16 — застосування обчислювальноУ техшки, математич-ного моделювання та математичних метод1в у на-укових досмндженнях

Автореферат дисертацп на здобуття вченого ступеня кандидата ф1'зико-математичних наук

КиУв 1992

Роботу виконано в Кшвському ушверситет1 ¡мен! Тараса Шевченка.

Науковий кертник: доктор ф1зико-математичних наук, професор Г1РКО В. Л.

Оф1'щшп опоненти: доктор ф1'зико-математичних наук, професор МАЛЮТОВ М. Б.,

доктор ф1зико-математичних наук, професор НАКОНЕЧНИЙ О. Г.

Провщна оргашзащя: 1нститут шбернетпки ¡м. В. М. Глуш-кова АН Украши.

Захист в!'дбудеться «-» - 19 р. о -

годин! на засаданш спешал1зовано! ради при Кшвському ушверситет! ¡меш Тараса Шевченка за адресою:

252127 КиТв 127, проспект Академ1ка Глушкова,6, факультет юбернетики, ауд. 40.

1з диссртащею можна ознайомитися в бШлютеш ушверептету (вул. Володимирська, 58)-

Автореферат розюлано «-»---19 р.

Учений секретар спещал1зовано'1 ради БЕИКО I. В.

/

ЗАГАЛЫ1А ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТП

Д гсгуялыпсть теми. Потреба у розв'язанн! систем лМИних алгебргТчнш р!внянь (СЛАР ) з внпадховнмч похнбклмн вшшкас при пгбудов! иатеиатнчних моделей складинх науково-тсхиЕчних та еконоиЫних об'схт1в I структур, у процес! обрэбкн та Ьптрпретаци датг* експерммен-Нв у рЬкнх галузях наук-{ астрофЫта, геоф13Нка, медицина, скоилм!к.а тощо ).

У дисертацШшй робот! розглянуто задачу отрнмашш иових в-слушншс оцшох розз'язк!а СЛАР

Ах = Ь,

де А (о>у), / = 1,..,л; у = , С спосге[>гж>ва1!а матриц* коефщкнтш, Ьт =(Ь1,...,Ь„) с шдомий вектор, хт ■-(х1,...,х„) •€ ш., каний разв'шок.

Послщовшсть ициюк (тобто деяких функщй вщ п спостережель над т величинами) атп певнс! величин« ап назвемо С — слышной», якщо

Незиажаючн на велнку к!лыисть роЗгг, присвячеш« даи!Й проблеиатнц!, на цього часу не було знайдено слушних, наЛкращих у певному сенс!, оц||;ок розв'язгав СЛЛР, якщо 1х касфщ!ен\:1 задано з деякнмн вниадковнии похибкаии.

Метою писергятТ с досл!джс:шя та розробка ноиих иетод!в ошшованчя та обчислення на КОМ роза'лзкт СЛА? з ышадковини похибиами на п!дстап! новЬ ¡х результатт загалыюго статнсгичного анал!зу ( С-анаЛ|'зу ).

Вщпов!дно до поставлено! мети у робот! пнршгуготься так! задач!:

- дослвдленкя сучасних иетод!о розз'язання СЛАР;

• в!дшуяання оппюк розв'язк!н C.IAP в умоьах " закону apirraitreHca";

- .знаходжсншг oitfroK розв'язкю СЛАР , якщо дислерсп випэдКэвих похнбок ноеф!ц!гнт!в СЛАР с однаковиии;

• одержэння одшок розв'язк!& СЛАР з випадковиии похибкаии при введен»! йтгрнць регуляримцй;

• отрниакня ыпнок розв'язк1в СЛАР , якщо nuciiepci? випадзових похнбоа. Koc^iuiciriia СЛАР е дов!лышии;

■ ригробка нових метод!в та ефекгивша алгор1.ти!в оц1кк>«ання рога'язкш СЛАР з впнадковиии гохнбклип;

- прогиаина реал!зацш вищезгаданих алгоритма.

ffovKona новизна. У дисертаиН на баз! Teopi'i загальчсго статистичного аналпу (О - аилл!зу )запрлпоносано яккно iiouiili гпдхш до розв'язакн^ проблемы оц1пюва||Ия розв'иэкт СЛАР з шшацкопиии нохибиамн. В цьому анал!з5 роэглянуто О- оцЫки рЬних математичмих подслеп . Оц!нки , отршлэш для СЛл_, належать до класу )э пьряпковпи номером 8. Отрииано G -оцшкн розв'язк!в СЛАР з випадковпмн коефщкнтами, лохибкн яких мають одкаков! днсперси, для дШсного та комплексного параметр)!!. Якщо дигпериТ похибск внпадковнх клефщшгпв е дов1льними , то одержано оцшки рози'язкт СЛАР з випадковпии похибкгми при введенн! иатрнць регулярнзацп та для симетричних иатрнць спостережснь. Узагальнено "закон арктангенса". Розроблеио метод в!дшука«ия оцшок розь'язшв СЛАР в уиовах, якщо в:доме 1снусання лише к!лькох перших. иоиепт!в елеиент!в'иатрнць i вектор>в правих чаСтин при дов1льиоиу IX розподШ.

Нлукоиа i практична шнш'стг, рлботн. На шдегав! теоретичних рсзультат\в розроблеио истод и та побудчваио алгоритии для в1дшукання р1зниг оцшок розв'язк!в СЛАР з випадкэвкми похнбкаии. Алгоритии реализовано на ФОРТРАНi для IiECM-б та па ФОРТРАШ , С i PASCAL для персоналышх кокл'ютерт, cyuicHiix ¡з IBM PC. Отримаш оц!нки иожуть бути зэстосован! в чисельяому аналЬов), задачах гконом!кк, тонографп, ядерно! ф!зшш, спектроскопа тощо.

Алробамя робота. ДоповЫ про осковн! результата роботи було зроблено на ВсесокшпЛ конференцп з граннчннх теорем теори {Ыов^рностей, присвяченоТ 70' р!ччю акадеи!ка АН Узбекистану С.Х. ОриждЫова ( Ташкент, И90 р. )( М(жнародн!й конфсргнцИ з дискриишаьтного аналЬу DIANA-Ш . ( Kexiiie, ЧСФР, 1S90 р.); МЬкмародному сешнар* з SavaToaiiwipHoro статистичного анал1зу ( Лодзь, Полыца, 1990 р.); Микнародноиу с:и!нар! з багатоаишрноТ статистики (Тарту, Естон1я, 1991 р. ); IV ВсесоюзнШ uiKoni-ceuiiiapi " Програиио-алгорнтшчне забезпечення прикладного багатовии1'риого статистичного аналву" ( Цэхкадзор, В1риен1я, 1991 р. ); пауковому ceuinapi " Багатоаии1ринй статистнчний аиал!з" при кафедр! прнкладноТ статистики Кн1вського

держун1версптету тощо.

ПуЗлЬенш. Основн! результата днсертацИ опубл1ковани в 7 роботах. Струхтури та обслг роботу. Дисертацм складасгься 1з в ступу, чотирьох розд1л!о, ззкшчешиг, списку лггератури ¡з 120 найменувань та додатку.

ЗМ1СГ ГОБОТИ

У bcrwri обгрунтопано ачтуальшсть та важл)шсть вибраноТ теин дослщяекь I дано постановки задач, як! досл1д;яупться. Зроблено огляд робЬг, пов'язаиих 1з темою дисертацн. Стясло микладеио структуру рсботи та IT зи:ст.

У п^,иному ¡хт1л! днсертацн одержано узагальнення " закону арктангенса". Ця гранита теэрсма пос1дае ч(льпе м!сце ¿еред нових тверлжечо про аспиптотмчний розпол!л розя «in CJLlP з випадковшт похибкашъ

Розгляпуто задач}' n Honift постанови;! коли елеиеотч матриц! Е - та компонент» Т|(- векторов b незалежгЛ та Гх магематнчн! спод!вачня с нулеянмн, а Т\ дисперсп е додатшми обмежеинми та дппуехгють подаиня у вштшд!

Var^y =с,0;,Уагп(=6;

. Доведено таку теорему.

Теорема 1.1.Х Iltxatt для кожного значения п аипадков! величшш = 1,...,/?, енезалежншш,

0 < с < VarJj.y = а ¡о j, VarT|, = S,- < С <

для деякого 5 > 0

тзх„ шах,- El^'l^5 < °°,тах„ maxi=U-n Elrif0!4^ < Тара

jr'arctg(zC_1c) + i /1 < < ■-) $

< mn->«Pixk <zx< rr'arctg(zCV-1) +1 / 2

дехт = (х1,..„хт) ■ ешукитЯрозв'язок.

У пруулиу родз1л! отримано нов! оценки розв'язк!в СЛАР, дпсперс!! внпадкових ппхибок коеф1и!е>1т!в якнх е однако»!.

с8 = Ие[/(в+¡е)+р-'гГг, ]-' дли регуляризованого исевдороза'язку

= [/<х+А7/1|Г1Г1лг*>Г1

1

систем л!н!йних р!вняш. А* - Ь, дс А е матрицею порядку пхт. хтл Ь с зсчггори,а>о, р е послщовшстю чисел. Тут

1

с яехллежннии спостерсжсннэдн нар матрицею А + Е; Е е випадаопа матрнця; О е будь-икни (шЬмрикм дШснии разв'я^ком деыкого нел1н!Пного р1вняшш. Це тверд/кення огтримано при певних уповал : для всякого у > О

1т1е_0 итм„ Р{ИСЙ -*а11> у) - 0.

У багатьох випадках результаты спостережеш, вх!дних 1 вих!дних величии деяшгх об'ектш ы)довольняють систем! лтШти алгсбрзТчинх ^ивняль

и= (А+Х) +£,

пс и е »1-вии]рии(1 вектор, А та X е пряиокутш матриц! порядку п к т, х с нев!домий /л-вии!риий вектор, е е л-вим!рний всюгор. Принуглшо, що п.та А + Хсв1доиими. Однаь.у дгяких випадках бажаний розв'язок х задовольняе СЛАР

Ах = Ь,

в яких матрица А та вектор Ь е нев1доинми. Елеиигги матриц! X та компонент вектору £ назвемо шумом або похнбксы спостереыенъ. Припустило, що вони с випадковими змшними. В!дзначнмо, що хоча матрицю А задано точно, » силу похибок ¿^округленна при великих л та т стрнмаемо так! роза'язки, якЬи матрица А с в!доио1.) з деякнми випадковими похнбками. Якщо природа шуму не

е визначеною, то лрипуетимо, що шум належить обиеяенШ ипояснн!.

Генуе дегс!лька формултовгнь проблеыи Ыдшукашш вектора я .'Першу задачу роза'ягано ще ЗСФ. Гауссом у випадку ¡з'доинз Л та b. Orose, необидно знайтн вектор х, для якого внрез К Ах- ЫI2 досягав иЫмуму. Тут норму х пиэнзчено як скалярниП д</буток (дуг). Якщо матрица Л^А с несингулирною, тод!

х = (ЛтАУ]АтЬ.

Але якщо иатрнця « сингулярного, то можлнва нескшчепна множима розв'яз^а i. Одшш h розэ'яэша, чня норма < наЯмепшого, с

' ' i = limi;l0.rc, хе ~(/е+АтА)'1Атд,

де / е единичною матрицею. нтор х£ заеться регуляризопзннм роза'язкои. Пеобхщно знаПтн умози, при якнх

plim,,^ Л^А)-1 Ari> - (ZrZ)_1ZTtlI= а

СтандартниП Ыдхщ до в!дшукания оцшок вектора х полягае у знаходженн! оцшкн

^-[/a + z/zjr'r'z/ftP'V

де

(J > 0, a > О, Z^r'X^X;

та j с числом нгззлежннх спостеренень Xнад матрицею Л н- Е. Якщо л) тэ л не эалежать в!д . j , а с додатнш числом I ЕХ,- = Л,тод1 ys в слушною, тобто = дга. Однак, nash-ь якщо материця Ле добре обуиоаленою, то

швидк!сть з6|Жност1 до е малою для "пом!ринх" значегь ш та /1.Прн визначенн! 0-оц!нок для векторт у f внкористлно аагзлышй статнстичикЯ анал!з (С-анал!з), якнй ззбезпечуе б1льш швндку збЬхн!сть fr-ouinoi; до ха. При деяяпх загалышх припущенпях щодо розпод!лу матрнць А',- {сиугеть G-слушн! опиши нормалынк псеплор>;з'язк!п (А^АУ^А' Ь.

ПсзгаИ а, Р, s, п, m с вэземазз'зззннми ' залгжать в!д параметру. Зручна яикорнстопувзтн п як параметр. Введено узггплт.пену (7-умову

= С1 < 1 - с2<°°, 1ипл-+-тл/1-1 = с3 <1.

Дли оц!иок розв'язг1в ха , що вирзжаються через сингулярн1 матриц), вибрано регуляризоианий розв'язоа у взгляд!

л = +¿е)+Г'г/Хг1 г/Г,

да е * 0 та 8 е дШсне числа

0-оц1нки величин ха належать до класу оцшок 6'8 1 Тх позначено йд. У . цьлцу параграф! знайдено таку С^-оц1Нку 1з класу С8

о8 = яе[/(б+/с)+р-'гГг, г1 .

ре 0 с ышфипИ Д1ЙсниП розя'язок сисгсми р!вшшь

/л(0) = а.

/,(0) = еКс{1+б1а(е)]2-е1т[1 + 61А(е))2^^1-52Х1 + 8)Ке4;(О)] . (2.1.1)

о(9) = /Г'ТгЩО + пО+р-'г^Г1, 6, = о2л[Г!г\ 62 = о2тр~11~1.

Теорема 2.1.1. Цехай для кожного п = 1,2,...елелентн х\'}, р = 1.....п, I = 1,...,т, иат[>иц1 Х^енезалежтшн,

Ех$ = ар„\агх<$ = о2,

виконуегъсв узагилыииа С-уиои.!,

К+аЫ:.

Тут Н € доцлтиш наслои, X, £ • • • £ ).т с власиичи числами чатрщ! аУа р~~';

1!тл-»«.р_"2[(ЬТЬ)+$ир4_1 „а^а^] < де а^ С нектор-стовпчики матрчщ

i для деяхого8>0

sup„ s,up//=, .....EU# ~ apl lus <

Год/ для £ * О

(f >!!= О,

ха ={l(t КАГЛР^'1 'ДГАГ ,

у(е) = eRe[l + 8,Еа(9)]2 + 31т(1 + 5;Еа(ё)]2 +(5,-52)5,1тЕд(9)] .

i 0 е к ^ II за велччннею розв'язгк снстсин р/в.чянь(2.1.1) , я якоиу a^i " заи/нсно на Ea(q).

У третьоиу розтл! разг.чянуто нов! о;<1нкн розв'кзгНв СЛЛР ¡з phim»» диспероямн похнбок внпядковнх Koediinicin ¡с.

У перщому параграф! розроблепо метод дослщження елемент)а резольвент' сниетричних ВИПЗЛЯ0В1П иатрлпь, яяиП с оеноипяч при знаход-чели» G-ошнок роза'язю'в CJIAP. В цьону рлз.'шм розглядакт ел СЛАР, иатряц! ка»фн<|'снт ¡я яклх е снметрнчними. Варто сказа н!, то чтило пргктнчин« задач матсматичипТ фЬнкн зводятъея до таких .nliiiiiiinx систем. Зокренз, вщоинП приклад интегрального р>вняння <Т»р«дго:'ьма 1- го ролу, який часто вн^ористовусгься ик тестовз задача в рЫнпс роботах школ» А.М. Тихонова. У ц1(1 задач! ядро

/i(i.i) = [l + 100if-i)2r1

¡нтегралт.пого ршнянна

з допоиогом скшченно-рЬтщсво! апрокснмацн заоднться до снетемн л1ш!1ннл алгебраТчннх ршшшь !з симетрн'шою та додлтнм визначеноЕо и.м [,ш(ею. До таких иатрнць зручно застосовучатн иетод Холсцького та зподитн Тх до апошягаиял1.нч\, для оберкення я их ¡снуюTi. лтш! формулн. Однэк, /гхщо "туи" у вх1днкх матрице* с довол! зкачмни, внчорнстгишя методу регулггрнзапи не цз<:

s

бажаного ефевту..

Для досл^ження таких систем пропонуеться викорнстовувати Teopito иатрнць з випэдковнми збуреншши, яка сппрасгься на розвииутий математнчнмП аларат I иле сучасний 1нструме|ггарШ для отрицания иабагато прост!ших формул розв'язанйя таких задач. Як приклад, що п1тгвсрджуе спрэаедливкть ново! TeoplX, розглянуто одну задачу, в я^1й оцЫкл CJIAP в!дшукусться в явной}' вигляд). Розглянуто nouiUoBiiicn. сииегричних д)Псннх випадковнх матриць

« = 1,2...,

елеиентн яких S^.te j, i,j — 1«. ...Л,« иезалежиний для кожного значения п. ' '

Теорема 3.1.1. Hcxatt

i,j = lj..nt

*!

п

sup„ max.^j ^ <0°.

а

П

i виконуегься уиовз JJüiaefejtn: для всякого х > О

М

де х « пщилатор шшадково! под1Т

де Xj Ал е власшши чйсл(шитпидвовоТ штриц] 5„ .

Год/

де F„ (л) - фуикцй pomoßhty, перетворення Ст1лтьеса яулх дормаоють

п ■

J(^-2)"1^(jc) = n"1Xc„(z), z = t + is, s* о (=1

i функцН С„(г) зздовольпяють систем pisiwib

cft.(z) = {[A-z/n-5/,(ic„(^7)r,!)/,/ = l.....' (3.1.1)

i=i

де 8р( - спиаоп Кронексра, An = (а,у1* )"y=j , /„ - одшшчнэ иатриця п-го порядку.

Розв'язок система piswutь (3.1.1) Iciiyc I единшЧ у клас/ аиал/тнчнлзг функцШ L = {cö(z): е1тс,у(г)>0,е^0}

У гтругому параграф! досл!джено роза'язки систем л!н!Пних алгебраТчних р!внякь !з сниетрнчноо матрицею спостерезкень. ТрнвалиП час памагання розв'язати цю проблему були марнпми. У цьпму параграф! запропоиовано розп'яззння nki задач! !з допоиогош новнх результат» О-аиалЬу. Розглянуто систему dnitlims алгебраТчпнх р!вшть

Ах = Ь,

де А s снмстрична випацкова матрица л-го порядку, х i b е n- внш'ри! векторн. Вектор Ъ ЫдочиП, а иатриця .4 иев!дсма ! эаи!сть не! с реал!зап!з випадковоТ гиметрично! матриц! Н ( елеиситн яко! ¡^ц задовольняють умовам Ttopcun3.LL За допокогою uieiTcopeMii знаПдено Gß- оц!нку виразу

стА~1Ь,

0

де се дов1льинй л- вншрннП вектор ( природньо, що матрица А

пвзжаеться невирсдженою ) Спочатку доаеде.ю деяк1 допом1жн1 означения. Оск1л1.кн

sup,, maxi=1.....n у, < ««.у,- - X<4?)>

Ы

то для будь-якого 8>0 т!лькн сличение число величин у-,/ = 1,.,.,/V., буде в^а рмиятися одне вщ одного Gi.ibiu^ ник на 6 > 0 . Для внэначеност! нех. .1

у, >у2 >...>y^ly, -Ул,1< 8,1 = N +1.....В.

Введено назначения

У(Л/)=с11ай{у],у2,...,у^.....Ул)

д|агональна иатрнця л-го порядку, де у 1,У2<»;Уц*"-<Уы е Д'йсн' розв'язки систем» р!внянь

де

Е 0 - дШсннй параметр.

Легко Сачитн, що функца фДК'''*) = 0,/= 1,...,Л/; непер:рвн1 1 вонн прямуютъдо 00 при .Уу 00 ' До - 00 , якщо у] —} — оо , Ох же, 1снують розв'язкн У\,Уг>—<Уц*—*Уы > п° то''° ж иоже бутн багато I вонн можуть бути некчмфними. Нехай внбрано якнПсь впг.мрннй розв'язок У1,У2,—,Уц,—,Уц Папрнклад, у | - це перша коипоне .'а розв'язку, яка найблнжча до нуля, в1цчов1цнпх других компонент иоже бутн багато, але ми Ызьмеио ттъкн т)', яка найближча до пуля,! так дал!.

Ввеле^ю Од - оцшку вчразу С7 А :

Каст(Ут +апг + ЕГхЬ.

Теорема 3.2.1.

Нехав елсментн

^./й/, и = 1.....П.

е незалештхи для кожного значаат п.

Е^!>> = ст^,/>./, /.7 = 1.....л.

«

"" у-1

I внконуегъся уиова Лшдебергл ; для всякого х > О

Шпатах*.,.....л ¿Е[$> -я^]2*^ -4">1>т} = 0,

де % е ¡ндтатор штздковоХ поди,

п

яир„ тах,=|.....„ 1о^;2<1,

де Х1 '¿...>Х„ (гвляснимн числами чатрищ А,

тГ„Хл>0.

Тот "

Нть_>0с^-'б] = 0.

У трггьоиу параграф! розглянуто один явннй приклад зкзходження (>' ^ оцшхи для розв'язкЫ СЛАР. Шпцензпедеш сцшкн с склэдними,! з нпя не видно, чи вдалося досягтИ ¡стотного пол1пшення в1доинх традиц1Ш:их аналопчних

результата Праге проведен! чнсельн! експсрименти св!дчатъ, що це ¿правд! так. Тону для п?дснленпя розум>ння того, що ця теор!я дас кращ! результат», в дисергаци розгляну то один приклад, я кий дас змогу знайти 0-(( оц!нку в явному йнгляд!. Точшшс, розглянуто систему, для якоТ матрица А е единичною, а вс1 дисперса дорЬнюють а2 л-1 ,де п с розшршеть системн.

У цьому винадку система р!внянь = 0,/= 1,...,Л/;Л'<И,

переходить в одие р!внянк&.

у-^гп-1(Е+иу);1ые, (3.3.1)

де у с комплексне число.

Велнчини (Е + Иу)н в цьоиу випадку легко досл!джуються 1 вони эбЕгаються до розв'язку системы р!внякь

(3.3.2)

а р1вняння (33.1) буде мати вигляд

у-а2т(у) = 1С. (3.3.3)

Але тод! р!ы1яния (33.2) дор!вню«

т(у) = 11 + ¡е]-1. Отже, ршняння (33.1) мае вигляд

у-а:11 + /с]"'=/е .

Звщси

у^а^^е^'ЧЯЕ-са^И-е^"1] (3.3.4)

I шукама оцшка мае вигляд

G'g = cT Re(.'y + Z)~1 b .

Таким чипом, Gg -оцшку знайдено в явному внгляд!. Легко бачмтн, идо зя рахунок днсиерсШ зшщения розв'язку системы лшШннх рЬпянь иогке бути кг> завгодно великим. В!дом! традицШн! сцшкн цього факту не врахояуютъ, тобго можуть матн таке велмке зм!щення. Нова запрспонопана оцшкэ дае таки'1 результат,паче збуреньнемае взагал! . бднне , чого сл!д вниагатн,- це те , щ" уявна 4t гнна розв'язку у, через який знражаегься Gg -оцшяа, no-i.snin доршнюватн нулеп!.

У четпертояу nanarnathi р!зглянуто оцшки роза'я?.к!з систем лнпЯнмх алгебраТчннх р!внянь При кикористашн п!ггсиалм1их матрнць регулярчзац!". Тут такой! знайдено Gg-ouiiiKii розв'язк!в систем лшШннх алгсбраТчн.чх р!яихнь за допомогою невних певиродженпх матриць Cj та С2.

За допомогою методов, запропонованнх у роздЫ 2 , тзкож розгля1ута СЛАР 1з неснметрнчною матрицею коефвдотв, але днсперси еле»е1гг!з таких М1трн:$ь мають спец!алышй внгляд, а саме, дор!ш!кмсть до2утхсг.1 дгта:« яг:";«кчэг!!:з величин. Це дае змогу позбутися гроиЬдкнх ^Зчислень, пикледгних у попередньому параграфов внкористатн викладки з другого розд!лу. Tsküm чином, оцшку , оггрииану у нопередньоиу параграфа, эначпо спрошено.

Перейдемо до точно о формулювання постаноаз!н задач!: припустимо, що пппадкоп! елементн ху иають p¡3H¡ днсперси. Ъ допомегг.п незилежних

спостерг:хснь X¡, i = l.....я.над матрицею Ah-CjBCj, A = (a¡j), Н = (^¡j), i= 1.....n,

j = l,...,tn, сл1Д знайти йслушну оц!пиу регуляризозаиого псевдорозв'язку

dTxa = dr(c¡Cía + ATCÍ'lC2lAÍ,'l)~lATc{'lC2,b^1

системн рткянь Ах * Ь, де Cj,C2 е иевнроджен!, з!дпов!дно, (mxrn) i (nxn) ютршЦ, deRm, Í¡¡j, i = l,-",/i. j = \,'",m, e незалежи! ыипадков! елеиентн для бурь-якого значенияп та m ; якщо числа <j*,s„,mn$n залежать в!д n TaG, умом внконусгься.

Очевидно, яшцо а = 0, то матрица АТА е невиродженою, 'год!

якщо а " 0, то матрица А с квадратною, тод|

атха=4тА-1Ь. В цьоиу вигЛйку ввс^нотаку Сз оцшкуд

= Кс</г[С1ТС1(ё + 1£) + )ТС^%Г\С2%

ДС В С ВИМфПИМ дШсИИМ рОЭь'язКОМ р:и1ШШ1Я /„(«)=«.

/п(0) вЯеЦ + б1д(9)]2-б1т[!+5,а(9)]2 +(5, -82)[1+б,Кеа(0)] , (з.4.1)

Теорема 3.4.1. Мел а Я для кожного п = 12,~всличини х^), р = 1.....п. I -1.....гп,

матриц! X,- е незалежнтш,

штопано узагальнену О -улову,

Хм+а ¿А. (3.4.2).

Тут Н е додатие число, с власнI числа чатрнц!

ДГЛ|Г'.Д = С?АС{

+УН)+$ир4=1_„1 а\ак] < (3.4.3) дсак е всктар-сгознчикн м»триц1Ат, Ь-С^Ь, с1 — С[1с1;

5ирлХ1<ео, (3.4.4)

I для дсякого ¿л)

«ир.)=1.....п;;=:,..,т - аы1М < (3.4.5)

To.ii для е. О

plMVjJIGg -Re</rjra+ír(e)ll=Ot

де

'Г1 /Vr-i^-i.n-i

7(Е) =-eRe[l + 5,Ea(e)]2 + GIm[l-¡-81Ea(Ü)]2 +(5j-5-,)5iTmEa(0)]

i 9 ек-и за величиною роэв'яэок систеиир/виячь(3.4.1) ,деа(в) sauiaeuo из Еа(в).

БЕСМ-ó та ШМ РС»сум!сних коип'ютерах. Программ написано на алгернтм!чнга новая FORTRAN, PASCAL i С. Результат» експерииент!в сзщчать про псрерагу в точности эапропоиованих новчх оцшок розв'яэша СЛАР над траднцШншш регуляризованнии оцшкаии.

У попзтку пмпцгио тексти програм, а таком граф!кн результат^ експер:шент1в.

1. Одержано уз ara льиеиня " закону арктангенса ".

2. Отрнмано hobí оцшки розв'язкт систем ликйних алгебраТчнил pimunib у випадку, якщо дисперси похибок кипадковнз коефщ1ент1о СЛАР однаков!, для дШсного та комплексного пэраиетрш.

3. Одержано нот оцшки розв'язшо СЛАР у випадку використання "иатриць регулярнзацп", якщо дисперси похибок випэдковиз коефщштв СЛАР pÍ3HÍ.

4. Отрииано М031 оцшки для розв'язк!в СЛАР ¡з сииетричними матрицями спостережень у випадку рЬннх днсперсМ псхибок випздкових коеф:щентт СЛАР.

5. Розроблено алгоритм« одержання нових оцшок розв'язив СЛАР з еипздкошши коефщшггами.

6. Наготовлено программ! продукт», в яких реа:пзовано iiobí ouíhkii

ОСНОЗН1РЕЗУЛЬТАТЕ

розв'язилв СЛАР ¡з коеф1ц1€1п ами, що мгнотъ випадков! похибки.

Основн; результата дисертацп опубликовало в таких роботах:

1. Бабанин А.С. Обобщение закона арктангенса // Теория вероятностей и мат. смагистика. - 1983. - 28. - С. 3-5.

2. Г рко В.Л., Бабанин А.С. Об оценке G-g решений эмпирических систем линейных алгебраических уравнений // Теория вероятностей и мат. статистта, 1988. - Вып. 39,- С. 29-33.

3. Гнрко Б.Л.. Бабанин А.С. Об одной оценке решений эмпирических систем линейных алгебраических уравнений // Вести. Киев, ун-та. Моделирование и •оптимизация слож. систем. - 1989. - Вып. 8. - С. 10-13.

4. Babanin A. On a Gg-cstimate for the solutions of systems of linear algebraic equations w:,h random coefficients when " regularization matrices" are used //Abstracts of Intern, conf. en Diecriminant Analysis D1«NA-III, Bechyne, Czc. aoslovakia, 4-6 June 1990. - Bechyne, 1990. - P. 3.

5. Babanin A. Estimates for the solutions of systems of linear algebraic equations based on the theory cf general statistical analysis // Acta et Comment Univ. Tartucnsis. - 1991. -N12.-P. 4-12.

6. Babanin A. New limit theorems for the solutions of systems of linear algebraic equations based on the theory of general statistical analysis // Abstracts of intern. Seminar on Multivar. Statistics WA S-90, Lodz, Poland, 26-27 October 1990. - Lodz, 1991. - P. 4.

7. Girko V.L., Babanin A. and Kurotschka V. Consistent estimates for the solutions of systems of linear algebraic equations whose coefficients have different variances // Random Operators and Stochastic Equations. - 1992,- Vol. 1.- N 2. - P. 218-225.