автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Основы теории проективных рациональных поверхностей

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ' ^

АВТ ОМОБИЛЬНО-ДОР ОЖНЫЙ ИНСТИТУТ '

На правах рукописи НАДОЛИННЫЙ Владимир Александрович

УДК 515.2:513.75

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЕКТИВНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

05.01.01 "Прикладная геометрия и ^^ (9«Г. инженерная графика"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва, 1989

Работа выполнена в Киевском ордена Ленина политехническом институте

Официальные оппонента - доктор технических наук, член-корр.

АН УССР, профессор Стоял Ю.Г.

- доктор технических наук Надааров K.M.

- доктор технических наук, профессор Ковалев С.Н.

Ведущая организация - АП-9240 НИАТ (г.Киев)

Защита состоится " ^ " О-ю й-g- 1990г. в _____ час. на заседании специализированного совета Ж)53.30.06 в Московском ордена Трудового Красного Знамени ввтомобильно-дорожном институте. 125829,Москва,1,ГСП-47, Ленинградский проспект,64, аудитория 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского ордена Трудового Красного Знамени автомобильно-дорожного института. ' ./ ' /

Автореферат разослан " "_1990г.

4- Учений секретарь

специализирован- Оганесов O.A.

'його совета к.т.н., доц.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время, как никогда ранее,возросла роль науки в жизни общества.В Программе Коммунистической партии Советского Союза, принятой ХХУП съездом, политика партии в области науки направлена на создание благоприятных условий развития наиболее перспективных направлений, призванных ускорить достижение намеченных съездом экономических и социальных задач.Фун~' даментальные научные исследования должны занимать ведущие позиции по основным направлениям научно-технического прогресса, на-' ходить эффективные и современные решения текущих и перспективных производственных и социально-экономических проблем.

Важное место.в ускорении научно-технического прогресса отводится созданию современной передовой техники, широкому ее внедрению,созданию прогрессивных технологических процессов и гибких производств, позволяющих оперативно перестраиваться на выпуск новой продукции с наибольшим экономическим и социальным эффектом.

Решение поставленных ХХУП съездом задач предусматривает широкую автоматизацию производства и внедрение ЭВМ во все сферы человеческой деятельности. ■ .

Создание всех без исключения современных машин тесно связано с теорией поверхностей. Постановка вопроса о полной автоматизации их производства выдвигает проблему создания соответствующей современной геометрической теории сложных поверхностей и на ее основе создания нового геометрического метода исследования и конструирования поверхностей, позволяющих решать поставленные задачи на базе ЭВМ и связанных с ними устройств с наибольшим эффектом. При этом новый метод исследования и конструирования поверхностей должен быть более эффективным по сравнению с существующим методом математического анализа.

Актуальность создания указанного геометрического метода вы-' ходит за предела общей теории поверхностей,т.к. научные результаты теории поверхностей используются другими разделами математики.

Целью работы является создание новой" теории проективных рациональных поверхностей и на ее основе разработка нового метода исследования поверхностей, более универсального по сравнению с существующими методами, который позволил бы значительно расширить круг решаемых геометрических-задач при значительной экономии машинного времени. • ^г-

В качестве основных приложений метод используется для конструирования простых кусков поверхностей и их стыковки.

Предлагаемый современный геометрический метод разрабатывается на основе теории проективных рациональных поверхностей. В этой теории в качестве основного принято геометрическое понятие поверхности, составленной из цростых кусков рациональных поверхностей, стыкующихся по заданному порядку гладкости,

С целью распространения предложенного метода на всю теорию поверхностей, решены две задачи:

1. Конструирование простых кусков рациональных поверхностей.

2. Стыковка простых кусков рациональных поверхностей по заданному порядку гладкости.

Метод исследования. В качестве основного принят разработанный геометрический метод. Как вспомогательные используются методы алгебраические и математического анализа.

Предложенный метод основывается на методе проективной геометрии, так как проективная рациональная поверхность бирационально изоморфна проективной плоскости. .

Характерные особенности предложенного метода следующие:

1. Уравнения простых кусков рациональных поверхностей задаются или определяются в векторном рациональном параметрическом виде.

2. Все параметры уравнений имеют простой геометрический смысл, а именно, являются точками, простыми или сложными отношениями точек.

3. Уравнения касательных поверхностей, в частности плоскостей, в произвольной точке проективной рациональной поверхности определяются простым Перераспределением переменных параметров, в уравнении исходной поверхности.

4. Уравнения соприкасающихся поверхностей в произвольной точке проективной рациональной поверхности определяются с помощью эамены переменных параметров в уравнении исходной поверхности.

Научная новизна состоит в создании теории проективных рациональных поверхностей, и на ее основе - метода исследования рациональных поверхностей, главными составляющими которых являются:

1. Вложенное уравнение простого куска (треугольной формы) проективной рациональной поверхности,

2. Уравнение касательных поверхностей к исходной рациональной поверхности.

На защиту выносится:

I ,_Тео£ия проективных Дайи£н^ьнюс^пгаер}шостей.

1.1. Современный геометрический метод исследования и его исходные элементы.

1.1.1. Форма записи вложенного уравнения проективных рациональных поверхностей.

1.1.2. Форма записи и способ получения уравнений касательных поверхностей.

1.1.3. Уравнения и способ получения соприкасающихся поверхностей.

1.1.4. Проективная рациональная поверхность как множество касательных поверхностей.

1.2. Геометрия простого куска рациональной поверхности и ее элементов.

1.2.1. Треугольная форма простого куска поверхности и ее частные виды.

1.2.2. Исследование поверхности с использованием координатной сети проективной рациональной поверхности.

1.2.3. Геометрическая сущность параметров уравнения простого куска рациональной поверхности.

1.2.4. Геометрическая сущность коэффициентов второй квадратичной формы.

2._П£иложение £еории_п^оективню[^адаональншс пове£хностей.

2.1. Задача конструирования простых кусков рациональных поверхностей.'

2.Х.I. Способы конструирования простых кусков рациональных поверхностей по координатной сети,

2.1.2. Способы записи уравнений кинематических поверхностей.

2.1.3. Способы конструирования простых кусков кинематических поверхностей минимального'порядка.

2.1.4. Методика определения выпуклости простых кусков кинематических поверхностей минимального порядка.

• 2.1.5. Способы конструирования и исследования рациональных кривых и, в частности, рациональных нормальных кривых.

2.1.6. Способы конструирования и получения уравнения в векторном параметрическом виде пучка второго порядка.

3. Уравнения соприкасающихся поверхностей от первого до п-го порядка к исходной рациональной поверхности п-го порядка.

4. Стыковка простых кусков проективных рациональных поверхностей п-го порядка по /7?-му порядку гладкости ( /¿/77^ /?-/).

5. Уравнения касательных поверхностей вдоль кривой линии проективной рациональной поверхности, .

Практическая ценность теории проективных рациональных поверхностей и разработанного на ее основе геометрического метода исследования и конструирования простых кусков поверхностей . состоит:

I/ в создании более простого и удобного для использования на ЭВМ математического аппарата по сравнению с .существующими;

2/ в большой емкости математической информации;

3/ в экономичности (меньшем количестве операций) при решении классических задач дифференциальной геометрии;

4/ в экономичности при решении классических задач конструирования поверхностей по сравнению с алгебраическими методами ;

5/ в большей универсальности метода по сравнению с известными, позволяющей решать важные практические-задачи теории поверхностей, которые не могут быть решены известными методами-, как например:

а/ осуществить общий случай стыковки простых кусков рациональных поверхностей п-го порядка по т -щ порядку гладкости

{(¿т&П-( );

б/ строить касательные плоскости и поверхности к рациональным поверхностям в заданной точке без использования дифференцирования;

в/ строить поверхности /77-го порядка, соцрикасаквдеся по т -Щ порядку гладкости с исходной рациональной поверхностью

п-го порядка (/^/7? й/?-/) ; ,

г/ определить уравнения касательных поверхностей и плоскостей к рациональной поверхности, не имея аффинных координат точки.' касания;

д/ определить касательные поверхности вдоль граничной линии выделяемого простого куска рациональной поверхности,

3'

2.2. Задача стыковки простых кусков рациональных поверхностей.

2.2.1. Геометрический способ общего случая гладкой стыковки простых кусков рациональных поверхностей.

2.2.2. Способы гладкой стыковки,по"соприкасаюцимся плоскостям" и по второму порядку гладкости простых кусков кинематических поверхностей минимального порядка.

2.2.3. Способы общего случая стыковки простых кусков проективных рациональных поверхностей п-го порядка по ГП -му порядку гладкости '(/6/77 ¿/7-/ ).

2.2.4. Уравнения поверхностей, касательных вдоль кривой-линии к проективной рациональной поверхности.

Реализация работы. На основе теории проективных рациональных поверхностей на Киевском механическом заводе /КМЗ/ разработан • и внедрен в промышленность способ конструирования и расчета поверхностей летательных аппаратов с помощью кривых второго порядка. На И© и другие предприятия отрасли переданы инструкции по теории кривых второго и пространственных третьего порядков, а тагохе алгоритмы и программы конструирования рациональных кривых п-го порядка.

Апробация работы. Основное содержание работы было долоиено и обсуждено на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Киевского политехнического института (19751386гг.), на Республиканской конференции по прикладной геометрии и инженерной графикь в г.Киеве (1976г.), на семинарах "Кибернети- -ка гранки" в Москве (1967,1983,1985гг.), на Всесоюзном семинаре-совещании "Новейшие методы организации и ведения расчетно-плазо-вых работ" в г.Ташкенте (1957г.),на совещании "Автоматизация рас-четно-плазовых работ с помощью ЭЦВМ и устройств с программным управлением" в г.Москве (1969г.), на межзональной научно-методической конференции вузов Сибири, Урала и дальнего Востока по прикладной геометрии и инженерной графике в г.Омске (1974г.), на семинаре "Геометрия САПР" в г.Москве (1983г.), на семинаре "Математические методы геометрического проектирования" в г.Харькове (1984г.), . на семинаре "Начертательная геометрия и черчение" в г.Москве (1984г.), на семинаре "Теория функций" в г.Киеве (1986г.), "на кафедре начертательной геометрии и черчения КИСИ в г.Киеве (1987г.), на семинаре по классической дифференциальной геометрии при КГУ в г.Киеве (1987г.).

У

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 статей. Объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, выводов, списка использованной литературы. Работа содержит 280 страниц , машинописного текста, 39 рисунков, 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Теория кривых и поверхностей традиционно относится к геометрии. Однако основной метод исследования кривых и поверхностей с начала зарождения теории и до настоящего времени несколько раз менялся.

Главной причиной такого положения является характер решаемых задач. Если требуется решение важных практических задач с разработкой основ их метода решения, то главенствует геометрический метод.

Как известно, методы со временем устаревйют. Из всех основных математических методов (геометрические, математического анализа, алгебраические) метод проективной геометрии.является самым молодым. .. "'

Поэтому до настоящего времени практические задачи по конструированию и исследованию кривых и поверхностей решались, главным образом, геометрическими методами, а "обобщение", готовых результа- . тов, полученных геометрическим методами,проводились алгебраическими методами. Исследования по выявлению дифференциальных характеристик поверхностей проводились методами математического анализа.

Однако в настоящее время в связи с возросшей сложностью практических задач и возросшими требованиями к получаемым результатам решать геометрические задачи методами проективной,геометрии стало чрезвычайно сложно. Попытки решения современных геометрических задач алгебраическими методами не всегда приводят к нужным результатам. Исследование методами математического анализа проводилось успешно,.но, главным образом, с параболическими поверхностями, которые в настоящее время мало применяются на практике, поэтому в

теории поверхностей и возникла задача по разработке........

геометрического метода.

' Обычно крупная современная геометрическая задача решается в три этапа: сначала с помощью геометрических методов - графически, затем алгебраическими методами результат решения переводится на "аналитику" и, наконец, методами математического анализа проводится исследование кривой или поверхности. Этот путь до ■ недавнего времени считался традиционным в прикладной геометрии при решении задач теортапповерхвостей.

Целью многих исследований было усовершенствование одного из первых двух этапов или же их обоих. Однако не было никаких попыток совершенствования третьего этапа.

Разработка геометрического метода, с помощью которого комплексно решались бы задачи теории поверхностей, не только актуальна на сегодняшний день (комплексное решение первых двух этапов), но и является перспективной (комплексное решение1всех трех этапов).

В работе, по предложению.проф.Рыжова Н.Н., показано, преимущество геометрического метода, прежде всего, по сравнению с методами математического анализа.

В качестве основы геометрического метода был принят метод . проективной геометрии по следующим причинам:- ■ ' .

1. Проективная рациональная поверхность бирационально изоморфна проективной плоскости,

2. В проективной геометрии исходными (независимыми) геометрическими объектами являются точки, прямые, плоскости и др., с помощью которых строятся более сложные объекты (т.е. принцип от простого к сложному).

3. В проективной геометрии имеется принцип двойственности, который сокращает количество решаемых.задач. . " .

В работе в качестве основного принято геометрическое1понятие поверхности, состоящей из конечного или счетного множества простых кусков, состыкованных по границам. . •

Простым куском называется шгожество точек, топологически эквиваленте множеству точек круга. Уравнение простого куска поверхности определяется в параметрическом виде. .

В работе в качестве простых кусков поверхностей приняты простые куски рациональной поверхности, при этом поверхность состоит из конечного их.множества.

В предложенной классификации рациональных поверхностей: проективной, аффинно-лроективной и аффинной-названы поверхности, которые бирационально изоморфны соответственно проективной, аффинно-проективной и аффинной плоскостям.

Аффинная рациональная поверхность известна из литературы (ее простой кусок четырехугольной формы обычно ограничен кривыми Ыщ0, V- 0, £/=/, ]/• ( ). В данной работе Предлагается аффинно-проективная и проективная рациональные поверхности. Аффиняо-проективный простой кусок рациональной поверхности четырехугольной формы ограничен кривыми £-¿7,

5 " со, /«оо с точкой ( 2"/, f = t ) внутри простого •

куска.

Проективный простой кусок рациональной поверхности с уравнением Г-Т (и о, II,, 1/г) имеет форму криволинейного тре -угольника и ограничен кривыми ио~0 , и, "О , с точ-

кой ( и, = иг ) внутри простого куска.

В дальнейшем аффвнно-прбективную и проективную рациональные поверхности будем также называть кинематической и проективной поверхностями соответственно. . . '

Все исследования будем проводить в трехмерном аффинном пространстве, кроме мест особо оговоренных.

Разработку геометрического метода рассмотрим в процессе исследования проективных поверхностей.

Исследование начнем с записи вложенного уравнения

к к

£Цсп '■■ и Г ¿п ...ц и и

1П-0 ¿1-0

; (I)

------к -

Ещп — Ощ .. . и Ц И ш-о и-о

СП'О

Проективная плоскость задается (определяется) четырьмя точками Ла.Л,, , каждые три из которых не лежат на

одной прямой. Однако, как видно.из уравнения (2), проективная плоскость может быть задана и тремя точками Ае, А/, Аг с коэффициентами йо,(2,,Ог в них.

Уравнение (2) проективной плоскости может также выполнять роль формулы перевода точек из проективной плоскости в аффинное пространство. Например, кривая второго порядка, проходящая через точки Ао}- Е} Аг и касающаяся прямых А о А/ и А£ А, в точках А0 и Аг , в проективной системе координат АвА(Аг£ имеет следующие уравнения

Ли,-!, М-/,

Подставляя проективные координаты и,, 1!г в уравнение (2), получим уравнение кривой второго порядка в аффинной системе координат

а0ге + а<г,! + оггг!г ав-> а, 1 + (3)

Уравнение (2) может также служить формулой коллинеарного преобразования плоских полей ( вместо аналогичных формул проективной геометрии) .

Из уравнения (I) при значениях П =2, К=2 получаем уравнение проективной поверхности второго порядка, которую в дальнейшем будем называть просто поверхностью второго порядка, в виде

2 2

£ и ¿г £ 0.12 'и Г^, I/а Г- V г--(4)

. .1 и1г1аш, и и

где П - порядок кравüíí яви поверхности;

rtp,..£l - радиусй-аекторы каркасных точек СП—if i 0¿n...¿¡ ~ коэффициенты в каркасных точках ; Up,---переменные (однородные) параметры.

Порядок индексов ¿fl— и не влияет на величины параметров, например, QSf= Пщ, Г0/ = riD

Уравнение (I) при К=1 является уравнением рациональной кривой, согласно теореме Люрота, а при К=2 - уравнением рациональной поверхности, согласно лемме Нетера.

Геометрическую сущность параметров, входящих в уравнение. (I),. покажем в процессе исследования проективной плоскости и поверхности второго порядка.

Из уравнения (I) при К=2 и П =1 получим уравнение проективной плоскости в развернутом виде ;

а0г0и0+а, г, и,+агг2 и2 .

QoUo + a,U, + Q¿Ue ■ (2)

Обозначим каркасные точки проективной плоскости

В проективной геометрии переменные параметры UB , U, • U¿ называются однородными координатами; три прямые, • полученные из уравнения (2) при значении параметров

Uq " 0 , Uf=Q , U¿=0 , - координатными прямыми проективной системы координат ; каркасные точки Ар , A¡ , - вершинами координатного треугольника А0 А, Аг . -

Для того, чтобы определить коэффициенты Q¿ уравнения (2) плоскости, следует задать в ней единичную точку Е ( Uo= Ui ~UZ ) , определить ее проекции на координатных прямых ( например, Ед/ на прямой А0 k¡ ) и с помощью простого отношения трех точек ( например, точек А0 , А, , Е о/ ) определить отношение коэффициентов (.например, (А/ Е0()-

- -а0 /а, ).

или

г_ и,+а0, Го, и, ч- аог гог иг)+и, [ою гш и0+а„п,ил и0 иг)+и, (аю и ои, +

тг,г игУщ(а2йгго и0+аг1г„ //.) (5) щг иг) + ¿4 (аго и0+аг1 (],+аг2 иг)

или

г а!юг00и^2ао1г01и0и^2а^г02иоиг^11г„и^2а1гг;2и1и/аг2г,гигг а00 и%+2а0, и0 и,+2аог и0 иг+а„ и?+2а,г и,иг+агги£

Данное уравнение можно также записать в следующем

виде

али^и/ам,+аоггВ2иг)щ1гни?+2а1гпги1иг+йгггеги? а00 игй+2и0 и, +а02 и2) и£+2а№ и, иг+агг ¿//

се)

Уравнение (6) можно считать уравнением пучка кривых второго порядка ( проходящих через каркасную точку 00) с параметрами пучка II\ , 11г и переменным параметром 1!о каждой кривой второго порядка. Можно так же записать уравнения еще двух пучков кривых второго порядка,проходящих через кар-

1Г

касные точки II и 22.

Аналогично уравнению (6) можно записать уравнение проективной поверхности П -го порядка в виде пучка рациональных кривых П -го порядка. Тогда, согласно лемме Нетера, поверхности, выраженные уравнением (I) при К=2,будут рациональными.

Поверхность второго порядка .выраженная уравнением (4), в каркасных точках 00,11,22 (т.е. в угловых точках простого куска поверхности) имеет касательные* плоскости 00-01-02,01-Пт12, 12-22-02 соответственно.

В произвольной точке А (С/о, С1г) поверхности второго порядка имеется шесть коэффициентов второй квадратичной формы

дгх дгу dh

duidüj duiduj дщ duj

дх ду dz

ди, ди, du,

дх ду , dz

диг диг, - ÖUz

¡¿-0,1,2,

соотношение которых в местной системе координат (с началом в точке А и координатными осями Ли У в касательной плоскости, проведенной в точке А) имеет вид

Loo:Ui:Ui '-Ui'-Lii ■ L ¡г "Qoo 7oo Oßi Zoi :0o2 :Qi( ?// •' Qß Z\2 ■ Qn Z22 •

Например, в каркасной точке 00 коэффициенты второй квадратичной формы (в местной системе координат) будут

Ln-Lc-U-o, L„-?M!L, ■

и 00 UDO ü 00

Данное свойство (т.е. значение величин коэффициентов второй квадратичной формы в точке 00) используется при определении уравнения соприкасающегося параболоида в произвольной точке А проективной поверхности. Для этого/сначала следует

произвести замену переменных таким образом, чтобы точка А стада козой каркасной точкой 0...0. Затем определить в местной системе координат уравнение соприкасавшегося параболоида,которое для поверхности второго порядка имеет вид

~ (Оп ?ц/2ЯгХУ+Огг?2г

где йо - коэффициент в точке А,

2ц 2¡2,222 ~ координаты 2 каркасных точек 11,12,22, Он Он Огг ~ коэ№циенты в каркасных точках. Зная величины коэффициентов второй квадратичной формы, можно вычислить знак гауссовой кривизны, необходимой при определении выпуклости поверхности.

Проведено исследование и выведены формулы взаимозависимости параметров "(проективной поверхности) на основе предложенных дифференциальных уравнений проективных поверхностей. В частности,показано, что коэффициенты второй квадратичной формы /./у (где /,у) связаны равенством

IIЦ11-0.

Поверхность второго порядка, заданная уравнением (4), имеет простой .кусок треугольной формы.

Уравнение поверхности второго порядка можно записать таким образом, что простой кусок будет иметь двуугольнуш форму. Тогда, кроме двух граничных кривых, поверхность будет иметь еще один параметр, который определяет, будет ли эта поверхность иметь эллиптические,параболические или гиперболические точки. В произвольной точке ( ¿/с, ¿А, IIг ) ВТ0Р0Г0

порядка уравнение касательной плоскости запишем в виде 2 _ 2

,/¿7/2 ^О'К'П Г'¿¡I 11ц С = 12=0 '¡'О__

. 1й/г Томйн

12*0 Ц'О

или в развернутом виде

_ йо (ОроПю и0+ О01Г01 Цц+йрг Г02 Цг)*йг (Ою Г,0Ц0 + д„ Г„ Ц,+ Я ио(ОооШ * Оо/и, + йог иг)+ й,(а10ио + 0„и,+

+0\г Пг иг)+Ц2 (агр Сгои^Ог,Гг1и,+ дггГу и г) ЩгШ)* Мг(а»чо+а1(и^а„и,) '

где (1о, II,, - переменные параметры плоскости. Остальные параметры совпадают с параметрами уравнения (4).

Как видно из уравнения (7), касательная плоскость является проективной, заданной тремя каркасными точками (с коэффициентами в них), которые перемещаются в касательных плоскостях, проведенных в каркасных точках 00,11,22.

При значеяях переменных параметров ¿^"¿/о , £?,- Ц1) йг = иг, уравнение касательной плоскости превращается в уравнение (4) поверхности второго порядка или же в точку касания плоскости к поверхности при и с - сопз1. " , ."

Если сначала определяются координаты точки касания, то определение параметров уравнения касательной плоскости получается в процессе определения координат точки касания. В таком случае на опредёление уравнения касательной плоскости не затрачивается никаких дополнительных операций.

Для определения только касательной плоскости по уравнению (7). число элементарных операций сокращается более , чем в два раза, по сравнению с методами математического анализа.

Уравнение (5) поверхности второго порядка имеет вид уравнения (7) касательной плоскости, поэтому его можно интерпретировать как множество уравнений плоскостей (аналогично тому, каи уравнение (7) при переменных Цо, , ¿/^ можно интерпретировать как множество уравнений плоскостей),' .

Аналогично исследованию поверхности второго порядка можно провести исследование проективной поверхности любого порядка. Рассмотрим, например, определение касательных и соприкасающихся поверхностей к проективной поверхности П -го.порядка.

'' 14

В произвольной тощее ( Ш, ¿(/, иг ) проективной поверхности ¡1 -го порядка уравнение касательной плоскости имеет вид'

2_ 2 2

. Tum ; I Üi(n-i) • • -/ßin- h Г¡n-i, Uit

Гш in-D i(ri-i)*o "'О____

' TZ—«——I-—' {8)

lUm:IUi(n.,y ¿din-h Uh m-D )(n-iyo ii'O

где Uq, Ut} Uz - переменные параметры касательной плоскости. Остальные параметры уравнения (8) совпадают с параметрами уравнения (I) при К=2.

В произвольной точке проективной поверхности П -го порядка, (при К=2) или рациональной кривой /7-го порядка (при К=1) можно получить также уравнение касательной поверхности (при К=2) или касательной кривой (при К=1) /7? -го порядка ( т<П ) в виде

. к к к к

.lÜin ■•;Züi(n-n,*);ZUi(n-m)-£ain-it Г,п...ц Un

г Ш'О ¡(п-тн)'О Нп-т)'0 ii'Q _- -

' " тг^ ТГ '

ÏQin 'ylUi(n-m-n) •lUi(n-m)'" ¿ain-H Un (9)

in>o i(n-mn)-û i(n-m)'0 h-o

где U0) • Uk - переменные параметры касательной поверхности (К=2) или касательной кривой (К=1). Остальные парамётры совладают с параметрами уравнения (I).

Как видно из уравнений (8) и (9), формальным действием из уравнения (I) можно получить уравнение касательной плоскости » или поверхности. По этой причине уравнение (I) можно рассматривать как множество уравнений касательных поверхностей (при К=2) или кривых (при К=1),т.е. в уравнение (I) "вложено" множество уравнений касательных поверхностей (при К=2) или кривых (при Kai). Поэтому уравнение (I) названо вложенным.

С помощью поверхности второго порядка, касательной в произ-

вольной точке А к проективной поверхности /7 -го порядка,. можно определить коэффициенты второй квадратичной формы.

I.. п(п-1)ацгу а '

где 0 - коэффициент в точке А;

- расстояние от плоскости, касательной к проективной поверхности в точке А, до у -ой каркасной точки касательной поверхности второго порядка;

О/у - коэффициент в // -ой каркасной точке. Применение касательных поверхностей будет показано ниже при решении задачи стыковки простых кусков рациональных поверхностей.

В теории поверхностей важное место занимают соприкасащиеся поверхности.

При определении соприкасающейся поверхности' удобно вос~ пользоваться приведенным уравнением проективной поверхности.

Так, приведенным уравнением проективной плоскости будет уравнение (2), т.е. приведенное и вложенное уравнения для плоскости совпадают. Приведенное уравнение поверхности второго порядка имеет в

г.. а° г° иЬ 0,г' и°и,+а2 Гг и°Цг+йг ц Гв и* •'

Приведенное уравнение поверхности третьего порядка запишем в виде ГОоГо и^О, Г, и1и{ * Ог Гг иг0Цг ^ Ц0 &ач П, и о Ц, ¿4 +

По иI + а, Щи, + Ог и0г иг * 03 Ш и^Он и о и,иг+

(II)

+а5 г5иои^о6г&и^07г7и^0ег8и,и^адг5 и! ~ + а5 и?+а7 +аги<и!+ а3 и\

Эти уравнения получены из вложенного .Главное их отличие заключается в новой нумерации каркасных точек и коэффициентов.

Дяя получения в каркасной точке 0(Цо*1 '0, Ог'О) проективной поверхности п -го порядка соприкасающейся поверхности ГП -го порядка следует из уравнения проективной поверхности /7 -го порядка видели тв уравнение поверхности П? -го' порядка.

Например, в каркасной точке 0 проективной поверхности третьего порядка, выраженной уравнением (II).соприкасающимися, поверхностями первого и второго порядков будут поверхности, выраженные соответственно уравнениями (2) и (10), .

При определении соприкасающейся поверхности в точке ( Ыо, Щ, и2 )следует произвести замену переменных по формулам и,/и0° Щ^и , и2)и0-иЦи1+У и в точке. ( Ц*0 у°0 ) определить уравнение соприкасавшейся поверхности т -го порядка.

Зная уравнение соприкасающейся поверхности второго порядка в произвольной точке проективной поверхности, можно легко" определить уравнение соприкасающегося параболоида. Например, в точке А (Цд, (/(", £//) поверхности третьего порядка, заданной уравнением (II).уравнение соприкасающегося параболоида в местной системе координат принимает вид

г°,/а0[(аз2з+3о62еио+а727%)хг+(а№+2а7271/о+2аг78

ф525^а928ио^ОзГ^о)Уг]> ,

где (10 - коэффициент в точке А,

Применение соприкасающихся поверхностей в теории поверхностей покажем на примере решения задачи стыковки простых " кусков проективных поверхностей.

Подведем предварительные итоги. Выделим три характерные особенности геометрического метода теории проективных рациональных поверхностей:

1.'"Геометричность" уравнения поверхности.'

2. Определение уравнения касательных поверхностей прак-

17

тическк des дополнительных затрат времени.

3. Простое определение уравнения соприкасающихся поверхностей. •

Как было ранее сказано, для того чтобы распространить геометрический метод теории проективных рациональных поверхностей на теорию поверхностей вообще, следует решить в качестве приложения теории проективных рациональных поверхностей две задачи, а именно: конструирование простых кусков рациональных поверхностей и стыковку зтих кусков.

Покажем сначала, как решена задача конструирования простых кусков рациональных поверхностей.

Конструирование алгебраических поверхностей в аналитической геометрии происходит по точкам, что приводит к резкому увеличе- ■ нив трудоемкости при увеличении~ порядка поверхности ( например, конструирование поверхности третьего порядка примерно в 10 раз более трудоемко, чем поверхности второго порядка).

Конструирование простых кусков рациональных поверхностей происходит, главным образом, по кривым. Это приводит к резкому уменьшению трудоемкости конструирования по сравнению с конструированием по точкам ( для поверхностей второго и третьего порядков в 15 раз ).

В практике конструирования пользуются инженерными способами, когда простой кусок поверхности, кроме граничных кривых и точек, задается еще внутренними кривыми и точками. Для этих целей может быть использован простой кусок поверхности второго порядка двуугольной формы и простые куски треугольной формы, начиная с проективной поверхности третьего порядка-

При конструировании поверхностей сложных технических форм используют, главным образом, поверхности кинематического вида.

В работе предложены кинематические (а^финно-проективные) поверхности, образующими и направляющими которых служат рациональные кривые.

Вложенное уранение рациональной кривой получим из уравненная (I) яри K-I . Касательную кривую /77 -го порядка получим из уравнения (9) при К=1 .

При конструировании и исследовании рекомендуется также приведенное уравнение рациональной кривой кп /7-го порядка в виде ;

П

1ою

г-

М_ , (12)

п

¿а;Г

/=>о

где t - переменный параметр;

Г/ - радиусы-векторы каркасных точек; ' •

, £7/ - коэффициенты в каркасных точках. Получены следующие результаты по конструированию и исследованию рациональных кривых:

- доказано, что простая дуга на рациональной кривой задается тремя точками со значениями параметра t^*0 (т.е. при f¿0 );

-показана равноправность краев простой дуги ( 0 оо ) рациональной кривой, заданной уравнением (12);

-■ проведено исследование и показана геометрическая сущность параметров уравнений кривой;

- показана геометрическая сущность уравнения рациональной кривой в целом; "

- доказано, что рациональная кривая к [Ш уравнение которой получено из уравнения (12) приравниванием нулю коэффициентов, начиная с 0.\77+1 > соприкасается.с кривой ^"..по

П1 -му порядку гладкости;

- разработаны два способа построения кривой к :

в первом ('на основе вложенного уравнения) кривая является огибающей касательных кривых /77 -го порядаа, во втором ( на основе приведенного уравнения) -кривая является геометрическим местом точек пересечения соответствующих прямых двух, пучков (с центрами в точках А о и А л ). проецирующих ряды точек рациональных кривых П-1 порядка, которые соприкасаются с рациональной кривой кп в точках А о и Ар ; "■:.

~ проведена классификация рациональных кривых;

- для рациональных кривых, которые определяются с помощью, рациональных функций, разработаны способы конструирования;

- выведены дифференциальные уравнения рациональных кривых, которые являются условиями взаимозаменяемости параметров кривой;

- показана геометрическая сущность ( как сложного отношения) и предложены способы определения переменного параметра кривых второго и пространственных третьего порядков;

- показано, что рациональные кривые и, в частности, кривые второго и пространственные третьего порядков могут быть определены полностью заданными точками (т.е. точками,заданными аффинными и проективной } координатами);

- определен радиус кривизны кривой второго порядка , в окончательном выражении которого не содержится второй производной этой кривой;

- определена (без дифференцирования) соприкасающаяся плоскость в произвольной точке пространственной кривой третьего порядка;

- разработаны аналитические способы конструирования кривых второго и пространственных третьего порядка ( с помощью решения системы линейных уравнений);

- разработаны проективные способы конструирования кривых второго и пространственных третьего порядков (без решения системы линейных уравнений);

- проведено исследование простых' дуг кривой второго и пространственных третьего порядка, выведены условия невырождения простой дуги в функции от одного параметра;

- разработаны способы конструирования с выводом уравнений в векторном параметрическом виде для различных случаев задания пучка второго порядка;

- выведены инварианты для простых дуг кривых второго' и пространственных третьего порядков ;

- показано, что рациональная кривая (определяющаяся с помощью полностью заданных точек) дает возможность установить соответствие практически с любым количеством образующих кривых,

Поясним введенное понятие "полностью заданные точки".

При конструировании рациональных кривых в трех точках простой дуги кривой задают значения переменного параметра t- 0,1,0° , а в остальных точках определяют его. Точки, заданные аффинными координатами со значением переменного параметра / (т.е.проективной координатой) называются полностью заданным) точка™. С помощью заданных точек определяются все постоянные параметры уравнения рациональной кривой (например, решением системы линейных уравнений) .

Теперь выведем уравнение кинематической поверхности. За основу уравнения кинематической поверхности принимаем уравнение образующей кривой. При перемещении образующей кривой будут изменяться величины Г(' и . Следовательно, в уравнении поверхности они должны входить в функции от параметра 5 (т.е. ГI (3) , 0.((в) ). Таким образом, уравнение кинематической поверхности имеет вид

г И?_ .

Л- —-;->

где ОI Г/^?) - уравнения рациональных кривых.

В качестве простого куска кинематической поверхности принимаем множество точек, удовлетворяющих уравнению кинематической поверхности при значениях переменных параметров и 5>0

Использование теории проективных рациональных поверхностей при конструировании и исследовании простых кусков рациональных поверхностей позволило выделить следующие основные результаты:

- возможность получения'простых кусков в общем случае треугольной, а в частных случаях четырехугольной и двуугольной форм; ,

- конструирование простых кусков рациональных поверхностей, как правило, сводится к конструированию рациональных кривых;

- исследование' на выпуклость простых кусков рациональных поверхностей упрощается при исследовании теории проективных рациональных поверхностей;

- экономичность предлагаемого геометрического метода по сравнению с существующими.

Выполненные исследования позволили дать рекомендации об использовании рациональных нормальных кривых в качестве образующих и направляющих кривых кинематических поверхностей, а простых кусков поверхностей минимального порядка ( порядок равен сумме порядков образующих и направляющих кривых) -в качестве простых кусков.

Рассмотрим способ конструирования простого куска кинематической поверхности на конкретном примере.

Пусть простой кусок кинематической поверхности задан пятью образующими плоскими реечными кривыми К0 ... Кц и двумя направляющими пространственными реечными кривыми 1В, 1г Принимаем кривые /("а, /й) 1г в качестве граничных кривых простого куска поверхности. Определяем уранение Г = Гг (3) кривой 4 как пространственной кривой третьего порядка по шести точкам. В общих точках кривых /су с кривой /г определяем значения параметра <?/ . Принимаем значение параметра 5/ в качестве проективной координаты кривой , т.е. принимаем кривую к/

в качестве координатной кривой. Затем определяем все постоянные параметры уравнений кривых А"/ , принимая их за кривые второго порядка . Определяем уравнения Г = Го ($) , Г «/"} (3) , /7/= 0/(3) т.е. всех остальных параметров, входящих в уравнение поверхности. Образующими будут кривые второг'о, а направляющими - третьего порядков. При этом направляющие ( за исклюГ-чением /2 ) строятся по пяти полностью заданным точкам.

В качестве приложения теории проективных рациональных поверхностей решена задача стыковки простых кусков рациональных поверхностей.

Введено понятие " общий случай стыковки". Общим случаем стыковки будем считать стыковку двух простых кусков рациональных поверхностей, когда в" общих точках на стыковоч-

ной линии не предусмотрена общая касательная прямая двух соответствующих координатных кривых.

На основе уравнений касательных поверхностей определено уравнение касательной поверхности Пт вдоль кривой проективной поверхности.-Например, уравнение касательной поверхности Пт вдоль граничной кривой [¡¡"О ( т.е. кривой, полученной из уравнения проективной поверхности при значении параметра Цг =0 ) проективной поверхности П -го порядка имеет вид

й 2 / г

-т) а>п-..и Щ,. т'° 1(п-т>1).0 ' ¡(л-т)-о п-р __

2 г / 1

£и,п-г (Л(п.т,у?и,(п.ту 1а,п... /,ии'

¡п -О 1(п-тн)-й ¡(п-т)-0 Н'О

В общем случае поверхность образована с помощью рациональных кривых /77-го порядка. В частном случае, при /77 =1 (т.е. когда поверхность П^ получена с помощью касательных плоскостей) поверхность Пд- будет линейчатой (тогда эта поверхность их. всех поверхностей будет задана наименьшим , количеством параметров). .-

На основе исследования соприкасающихся поверхностей разработан»способ общего случая стыковки проективных поверхностей /?-го порядка по /77-му '('/77 <П ) порядку гладкости.

Введено понятие ./77 БГ ( /77-ой близости к границе) 11^=0 каркасных точек на основе приведенного уравнения

проективной поверхности. Каркасными гочкшв (с гоьффшхвевтеш а них) тБГ Цк~0 (т.е. граничной кривой простого куска поверхности, полученной из уравнения проективной поверхности при значепии параметра Цк=0 .где к--=0 или/г-/ ,или к=2 ) будет Г)Н-т каркасных точек, которые входят в уравнение проективной поверхности /7-го порядка с переменны:.: параметром и к в степени /77

Например, к поверхности третьего порядка вдоль границы Цй-0 будут каркасные точки ОБГ: 6,7,8,9; 1ЕГ: 3,4,5; 2БГ: I и 2;ЗБГ: 0.

Две проективные поверхности П-го порядка будут состыкованы по /7? -му (т <п) порядку гладкости вдоль границы С/к=0 , когда в их уравнениях будут совпадать каркасные точки ( с коэффициентами в них) , начиная с ОБГ С1к=0 до Я7БГМк "О .

Разработаны способы общего случая и приведены формулы гладкой стыковки проективных и кинематических простых кусков поверхностей, которые используют минимальное количество параметров.

В качестве примера рассмотрим общий случай стыковки двух_ простых кусков проективных поверхностей третьего порядка П и П (см.уравнение /II/) по первому порядку гладкости. Параметры уравнения искомого простого куска поверхности П выделим чертой сверху.

Стыковку двух простых кусков поверхностей-произведем вдоль кривой к , уравнение которой получено из /II/ при значении параметра ио=0 (рис.1). _ Возьмем на кривой к точку . Т_ . На поверхностях П и П определим координатные кривые / и / »проходящие через точку Т.

Каркасные точки Аз и /^кривых / и совпадают с точкой Т , а каркасные точки Аг и Аг расположены на касательных прямых,проведенных в т£чке Т к кривым / и ( . В общем случае точки , Т , А2 не принадлежат одной прямой.

■ Определим прямую АВ , касательную к кривой к в точке Т .

Из условия принадлежности точек Аг , А , В , одной плоскости определим координаты каркасных точек 3,4,5 поверхности П

Озг3хо^авг6х,+а7г7хг

а3х0+аех,+а7х<, '. . , :

Гз

г + 2/з а7 г7 х, +2а8 г8 хг

* а«Хо+2/за7х,+2в8х2

г*

г__ а5г5Хр+'/заег8х, +задг9хг (ЪХ7Уза8х,+ заэхг

где Ха , , Хг - проективные координаты.

Для рекомендованных простых кусков кинематических поверхностей минимального порядка решены задачи гладкой стыковки, стыковки по соприкасающимся плоскостям (когда в точках стыка соответствующие координатные кривые имеют общую соприкасающуюся плоскость) и по второму порядку гладкости.

Решение задачи стыковки, простых кусков рациональных поверхностей говорит о больших возможностях и преимуществе разработанного геометрического метода теории поверхностей.

ВЫВОДЫ

В работе была поставлена и решена основная задача: разрабо- . тан геометрический метод теории поверхностей, более универсальный по сравнению с существующими методами математического анализа, позволяющий значительно расширить круг решаемых геометрических .задач и экономить при этом машинное время.

Главные отличительные особенности предложенного метода теории поверхностей и его приложений в конструирований поверх-

ностей сложных технических форм следующие:

1.Исследование и конструирование простых кусков поверхностей производится на основе рациональных уравнений в векторном параметрическом виде,удобном для использования ЭВМ.

2.Уравнения рациональных поверхностей имеют геометрическую структуру,где все параметры уравнений осмыслены геометрически и являются точками,простыми или сложными их отношениями.

3.Уравнения касательных плоскостей и поверхностей к.рациональной поверхности определяются на основе вложенного уравнения без вычисления аффинных координат точки касания и без использования диф"~ ференцирования. При этом

а/ уравнения касательных плоскостей в произвольных точках проективной рациональной поверхности определяются простым перераспределением переменных параметров в уравнении исходной поверхности;.

б/ уравнения касательных поверхностейщ-го порядка к исходной рациональной поверхности п -го порядка (/¿/т?^/?-/ ),которые практически невозможно определить известными методами,получаются из вложенного уравнения аналогично уравнениям касательных плоскостей.

4.Возможность получения уравнения соприкасающихся поверхностей /77-го порядка к рациональной поверхности П-то порядка(

что,в общем случае, практически невозможно осуществить известными методам математического анализа, с помощью замены переменных параметров в уравнении исходной поверхности.

5.Простая возможность определения касательных поверхностей,в частности,плоскостей,вдоль граничной линии выделяемого простого куска рациональной поверхности.

6.Возможность осуществления общего случая стыковки простых кусков рациональных поверхностей П -го порядка по т- -г.!у порядку гладкости ( /^/77=4/?-/ ).

7.Конструирование простого куска рациональной поверхности раскладывается на элементарные составляющие операции так, что оно становится более экономичным по сравнению с конструированием аналогичных поверхностей известными .методами.

8.Предложены способы конструирования простых кусков кинематических поверхностей минимального порядка.

9.Разработана методика' определения выпуклости простых кусков кинематических поверхностей минимального порядка.

10.Предложены геометрические способы различных практических, случаев стыковки кинематических простых кусков поверхностей мши-.

мального порядка. '■ - —

.26

II.Способы конструирования и исследования рациональных кривых и,в частности.кривых 2-го и пространственных кривых 3-го порядков.

12.Экономичность (меньшее количество операций)при решении классических задач дифференциальной геометрии по сравнению с методами математического анализа.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Надолинный В.А. Метод построения сложных поверхностей при помощи кривых высших порядков // Авиационная промышленность.1966.-№5.-0.33-35.

2. Надолинный В.А.,Павлов A.B. Аналитическое выражение сопряженных поверхностей аппаратов и емкостей химической промышленности/ Вестник Киевского политехнического института, серия химического машиностроения и технологии.-Киев:Изд-во Киев.у-та,1966.-№3.-83-91 На укр.яз.

3. Надолинный В.¿.Графоаналитическое построение некоторых параметризованных линий и поверхностей //Химическое машиностроение.-К. ,1968.-Вып.5.-С.37-43.

4. Надолинный В.А. Об одном способе конструирования поверхностей второго, третьего и высших порядков//Химическое машиностроение.-К., 1968. -Вып.5.-С .37-43.

5. Надолинный В.А. Конструирование кинематических поверхностей с помощью двух проективных пучков //Тезисы доклада Всесоюзного семинара-совещания "Новейшие методы организации и ведения расчетно- -плазовых работ".-Ташкент,1967.-О.5-6.

6. Надолинный В.А. Конструирование обводов агрегатов изделий

с помощью рациональных поверхностей // Тезисы докладов, на совеща"чи "Автоматизация расчетно-плазовых работ с помощью ЭВМ и устройств с программным управлением".-М.,1969.-0.10-12;

7. Надолинный В.А. Конструирование поверхностей сложных технических форм с помощью пространственных кривых третьего порядка // Химическое машиностроение.-К.-1969.-Вып.7.-С.16-20.

8. Надолинный В.А. Конструирование сложных самолетных поверхностей с помощью рациональных кривых // Авиационная промышленность.-М.,1970.-.'Ю.-С.41-44.

9. Надолинный В.. А .-Коробов ая линия кривых второго порядка//Прикл. геометрия и инж.графика.-К., 1973.-Вып.17.-С.П5-П9.;

10. Надолинный В.А. Конструирование поверхностей сложных технических форм с получением их уравнений в параметрическом виде/Д1п-териалы'межзональной научно-методической . конференции

вузов Сибири, Урала и Дальнего Востока-по прикладной геометрии и инженерной графике.-Омск,1975.-С.90-91.

ПДенчук И.Г,.Надолинный В.А. Зависимость площади сегмента кривой второго порядка от коэффициента кривой // Тезисц докладов Всесоюзной конференции "Автоматизация раскроя тканей и обувных материалов".-К.,1975.-С.71-73.

12.Надолинный В.А. Конструирование рациональных кривых

с помощью рациональных функций // Прикл.геометрия и инж.графика.r-K.,1976.-Вып.21.-С .30-32.

13.Надолинный В.А. Исследование рациональной кривой по ее приведенному уравнению // Вестник Киевского политехнического института,серия химического машиностроения и технологии.-К.,1Э77.-Вып.14.-СД02-104.

14.Надолинный В.А. Графоаналитическое конструирование поверхностей рациональными кривыми // Тезисц докладов на "Республиканской конференции по прикладной геометрии и инженерной графике". -К. ,1976.-0.61.

15.Надолинный В.А..Павлов A.B. Определение стандартного уравнения кривой второго порядка //Прикладные задачи геометрического преобразования.-Кишенев,1977.-С.11-13.

16.Надолинный В.А. Некоторые преобразования"уравнения^ кривой второго порядка //Прикладные задачи геометрического преобразования.-Кишенев,1977,-С.49-51.

17.Тривайло П.М.,Надолинный В.А. Графоаналитическое конструирование кривой второго порядка // Реферативная информация, прикладная геометрия и инженерная графика.'-К. ,1977,-Вып.1.-С.33-34.

18.Надолинный В.А.Проективно-аналитический способ конструирования рациональных кривых //Прикл.геометрия и инж.графи-ка.-К.,1977.-Вып.22.-С.23-25. •

19.Надолинный В.А.,Карпенко Ю.П. Способ конструирования парабол // Прикл.геометрия и инж.графика.-К.,1977,- Вып.22,-С.122-124.

20.Надолинный В.А. Конструирование технических форм простыми кусками поверхностей с. выдерживанибм заданного порядка гладкости на стыке // Реферативная информация,прикладная геометрия и инженерная графика.-К.,1978,-Вып.2.-С.5.

28

21. Надолинный В.А. Стыковка двух кинематических поверхностей // Реферативная информация, прикладная геометрия я инженерная графика.К.,1978.-5ып.2.-С. 12.

22. Малько С.В.,Надолинный В.А. Конструирование рациональных кривых, заданных точками с параметрами в них, методом наименьших квадратов // Прикл.геометрия и инж.графика.-К.,1978.-Вып.25.-0.82-83.

23. Сарнацкая Е.В..Надолинный В.А.,Гумен Н.С. Конструирование пространственных кривых П-го порядка // Прикл.геометрия и инж.графика.-К., 1978.-Вып. 25.-С. 16-18.

24. Надолинный В.А. Геометрическое конструирование кривых и поверхностей на ЭВМ // Геометрия САПР и автоматизированные системы производства деталей и узлов машин.-М.,1978,- С.72-75.

25. Надолинный В.А. .Павлов А .В. Способ конструирования поверхностей сложных технических форм // Прикл.геометрия и инж. графика.-К.,1979.-Вып.20.-C.II-I3.

26. Надолинный В.А. Исследование выпуклости поверхностей, состоящих из обобщенных простых кусков поверхностей // Прикл. геометрия и инж.графика.-К.,1979.-Вып.27.-С.II-I2.

27. Надолинный В.А. Исследование приведенного уравнения поверхности // Прикл.геометрия и инк.графика.-К.,1980,-Вып.30. - С.26-28.

28. Малько C.B. Надолинный В.А. Исследование приближения кривой к точечному массиву // Прикл. геометрия и инж.графшса,-К.,i960.-Вып.29.-С.14-17.

29. Надолинный В.А. Аналитические методы в конструировании , поверхностей, учебное пособие.-Киевский политехнический институт, 1981.- С.40. "

30. Малько С,В., Надолинный В.А. Геометрическое конструирование гладких линейных поверхностей // Деп.ВИНИТИ,1983,Кб(139), б/о 707. •

31. Коваль Г.М.,Надолинный В.А. Конструирование и исследование кривых второго порядка с использованием проективной системы координат // Прикл.геометрия и инж.графтоа.-^.,1983.-Вып.36.-С. 25-28. ■..''.

32. Гумен Н.С.,Надолинный В.А. .Сарнацкая Е.В. Об одном нелинейном отображении проективного пространства // Прикл.геометрия

и инж.графика.-К.,1983.-Внп.34.-С.123-125.

33. Надолинный В.А. Определение уравнений касательных кривых и поверхностей // Деп.ВИНИТИ, 1984,№(152),б/о 828.

34. Надолинный В.А. Стыковка поверхностей по второму порядку гладкости // Прикл.геометрия и инж.графика.-Н.,1984,-Вып.38,-

С.27-28.

35. Коваль Г.М.,Надолинный В.А. Определение уравнений кривых второго и пространственных третьего порядка // Деп.ВИНИТИ ,1984, Ко(152),б/о 824.

36. Надолинный В.А.,Малъко С.В.,Михлевская Н.В. Повышение эффективности конструирования и воспроизведения поверхностей агрегатов летательных аппаратов с применением ЭВМ // Заключительный отчет ,К1Щ,1979,г/р № 75005886,инв. №5947107,314 с.

37. Надолинный В.А. Дифференциальные уравнения рациональных кривых и поверхностей // Прикл.геометрия и инж.графика.-К.,198б.-Вып.42.-С.23-26.

,38. Надолинный В.А. Определение касательной поверхности вдоль кривой линии проективной рациональной поверхности // Прикл. гео. мегрия и инж.графика.-К,,1987.-Вып.43.-С.18-19.

39. Надолинный В.А. Стыковка проективных рациональных поверхностей П -го порядка по /77-му ( /77 </7 ) порядку гладкости// Прикл.геометрия и инж.графика.-К.,1987.-Вып.44.-5.29-30.

40. Надолинный В.А. Определение геометрического смысла составных частей уравнений рациональных кривых и поверхностей // ,

■ Прикл.геометрия и инж.графика.-К.,1988.-Вып.45.-С1{1[2-13.

Подп. к печ.^ /Я. Вф Мб ЗО .Формал(СЧс/^6 Бумага №. Печ. офс. Усл. печ. л. //С6 Уч.-изд. л. Тираж /СО-

За к. 9-5149 , Бесплатно.

Киевская книжная типография научной книги. Киев, Регггша, 4.