автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оптимизационные методы решения вариационных неравенств в задачах механики

/

(

су

На правах рукописи

Золотухин Анатолий Яковлевич

УДК 517.853+519.632

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ

05.13.16 - применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фиоико-математпчесхих наук

Хабаровск - 1997

Работа выполнена в Вычислительном центре ДВО РАН.

Научный руководитель - доктор фиоико-математических наук, профессор Р.В. Намм.

Официальные оппоненты: д.ф.ы.-н., профессор Е.Л. Нурмпискип

к.ф.м.-н., доцент В.Л. Вербицкий

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН

Защита состоится «25" Л? " 1997 г. в Цг часов на оасе-дании диссертационного совета К 064.62.01 при Хабаровском государственном техническом университете по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ХГТУ, ауд. 315-л.

С диссертацией можно оонахомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

Автореферат раоослан марта- " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 064.62.01, кандидат фиоико-математических наук К.А.Чехонин

Общая характеристик ! работы

Акуальпость темы. Многие задачи механики и физики формулируются в виде краевых задач для уравнении с частными производными при дополнительных односторонних условиях на искомое решение. Это, например, контактные задачи теории упругости, задачи об упруго-пластическом кручении стержней, задачи фазового перехода и другие. Такие задачи можно описать с иомошыо вариационных неравенств. Переход к вариационной постановке позволяет ослабить ограничения на гладкость искомого решения, при этом естественным образом вводится понятие обобщенного (слабого) решения. Теория вариационных неравенств и численных методов их решения интенсивно развивается в последние десятилетия и находит все большее применение к решению важных прикладных проблем. Многие вариационные неравенства сводятся к задачам минимизации выпуклого (как правило, квадратичного) функционала на выпуклом множестве, не являющемся линейным пространством, и, тем самым, являются задачами на условный ¡экстремум. Исследования по вариационным неравенствам первоначально были подняты в школе Ж..П. .ilnoiica. а в настоящее время широко и активно разрабатываются специалистами по дифференциальным сравнениям. Отметим в отои связи работы отечественных исследователей: Ф..Л. Черноусько и Н. 13. Баннчука. П.П. Мосолова. В.II. Мясникова, В.Л. Берднчевского. A.C. Кравчука, А.М. Хлуднева. H.H. Уральцевои, Т.П. Рожковскон, A.B. Лапина и других.

Для анализа и решения вариационных задач широко применяется шпарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Р. Рокафеллара, Б.II. Пшеничного, Ю.М. Да-шлнна, А.Д. Иоффе и В.М. Тихомирова, И. Экланда, Р. Темама. э.Т. Поляка, Ф.П. Васильева, Ж.П. Обена и других.

Исследования по численному анализу вариационных неравенств фоводятся на основе метода конечных элементов. Проблема конеч-юэлементноп аппроксимации вариационных неравенств отражена ; работах Р. Гловинского, Ж.Л. Лионса, Р. Тремольера, И. Гла-

вачека, Я. Гаслнигера, И. Нечаса, Я. '1овншека, Ф. Сьярле. < Б резан,' В.Л. Ривкинда, A.B. Лапина и других.

Исследования вариационных неравенств проводятся, как правн. в предположении, что минимизируемый (функционал является коэ активным в исходном гильбертовом пространстве. Этот (факт обе печнвает как существование и единственность обобщенного речи пня, так и квалифицированную сходимость к искомому злемет последовательности конечномерных решений.

Однако для ряда важных в прикладном отношении вариацио них неравенств выполняется лишь ослабленное условие коориптп постп. Поэтому вопрос о существовании и единственности решеш требует дополнительного исследования, а при построении mkhkmi зпруюшей последовательности приходится применять спсниалми. меры, обеспечивающие ее сходимость.

Цель работы. Исследование некоторого класса краевых зада1 приводящих к негладким полукоэрцптнвным варкацпонпым нор; вепствам. Разработка, основанных на аппарате вариационно-ра: постных аппроксимации, выпуклого анализа п математпмеског программировании, приближенных методов решения иолукоорш тпвных вариационных не|>авенств.

Общая методика исследования. Применяются вариационны принципы механики сплошной среды, методы функционального аи; лноа. теория выпуклого анализа п вариационных неравенств. м< 'годы математического программирования. Используется теорш пространств С.Л. Соболева, общая теория нелинейных краевы задач в этих пространствах.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые pi зультаты:

а) исследована общая схема метода пошаговой ргох-регуляризацп для минимизации выпуклых функционалов на выпуклых замкнуты множествах в гильбертовом пространстве,

б) доказана сильная сходимость последовательности точек выраба тываемой в методе пошаговой ргох-регуляризации для миннмиза цни негладкого функционала в задаче теории упругости с заданныг трением,

в) раоработан н отлажен комплекс программ для чнсленного решения полукоэрцитивных вариационных неравенств в задачах механики сплошной среды, основанный на методе пошаговой ргох-регуляризации в сочетании с методом конечных элементов на последовательности триангуляций.

Приложения. Полученные в работе результаты носят как теоретический, так и прикладной характер. Они могут быть использованы при исследовании и численном решении вариационных неравенств в задачах механики с односторонними граничными условиями.

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались на российско-японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике в 1992г. (г. Владивосток), на Международной конференции по современным проблемам вычислительной и прикладной математики в 1995 г. (г. Новосибирск), на Международной конференции по математическому моделированию и криптографии в 1995 г. (г. Владивосток), на Международной конференции "Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию П.Л. Чебышева в 1996 г. (г. Москва), на научном семинаре Хабаровского отделения института прикладной математики ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), на научных семинарах по дифференциальным уравнениям Хабаровского технического университета (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Зарубин), на научном семинаре лаборатории "Численные методы математической физики" Вычислительного центра ДВО РАН (рук. д.ф.-м.н. С.И. Смагпн).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения, разбитых на параграфы: §§1-2 в главе I, §§1-3 в главе II, §§1-3 в приложении. Нумерация формул и замечаний в одной главе и приложении состоит из трех чисел; первое число есть номер главы или 3 для приложения, второе число - номер параграфа, третье число - номер формулы или замечания внутри параграфа. Нумерация теорем состоит из двух чисел; первое число есть номер главы, второе число - номер теоремы. Работа написана

на 82 страницах, включает биб^чографшо из 67 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Приведем постановку изучаемой в главе I экстремальной (вар ационной)задачи.

Пусть в гильбертовом пространстве Я задан функционал /(?j обладающий свойством: для Vt)i,t>2 £ Я, VA £ (0,1)

/(Avx+(1-A)t>2) < A/(t)1)+(l-A)/(t;2)-a(l-A)||Q2i;1-Q2t;2||2, (

где <5г = I — Qi (I - тождественный оператор на Я, Qi - линейнь: проектор пространства Я на конечномерное подпространство Н\ Рассмотрим задачу

/ f(u) ~ min (<

1 « 6 G,

где G £ Я - выпуклое замкнутое множество.

Обозначим через argmin f(u) точку минимума функционала

на множестве G. Для решения задачи (2) применим метод пошг говой ргох-регуляризации. Метод ргох-регулярнзации для решенн конечномерных задач выпуклого программирования нсследовалс рядом авторов: Б.Н. Пшеничным, A.C. Антипиным, A.A. Каплг ном и другими.

Зададимся произвольным элементом и0 из множества G. Смита

к ¿4-1

и известным, находим и по правилу

йШ = argmin (/(„) + ||Qiu - QlUk\\2 + a||Q2u - Q2i/||2),

uGG

где а > 0 - фиксированное число, — ü^"1"1!! < £к+1- Здес

£jt+i > 0. В первой главе доказана

Теорема 1. Пусть 1) множество G* = {и £ G : f(u) = inf f(v)

v£G

непусто, 2) Ylb= г £k < Тогда последовательность {u*} сходптс к некоторому элементу и* £ G* в норме Н.

Отметим, что A.A. Капланом исследовалась задача минимиза ции функционала, который представим в виде

/(«) = /i(Qitt) + /2(Q2«),

г,'е /1 - выпуклый функционал на конечном 'рном подпространстве Н\ — а /2 - СИЛЬНО выпукл ый функционал на II2 = ЯъН ■

Однако, в эту схему не входят известные в механике сплошной среды негладкие функционалы оперши.

Теорему 1 можно применить дли исследования полукоорцптшшых варнацпонних неравенств как с гладким, так п с негладким функционалом. 11 рн.меры -'задач с гладким функционалом приведены во втором параграфе первой главы. К ним относится: задача об установившемся движении жидкости в области, ограниченной полупроницаемой мембраной (задача Спньорппи), контактная задача теории упругости без трения.

Во второй главе диссертации исследуется задача теории упругости с заданным трением. В вариационной постановке задача сводится к минимизации негладкого функционала.

Приведем красную постановку задачи с трением.

Пусть О. £ II2 - ограниченная область с достаточно регулярной границей Г. Для вектора перемещений и = { и\, ¡¿2) определим тензор деформаций

. , 1 (ди, 0 и Л . . , ^ + ,,,= 1,2.

Тензор напряжений а представляет собой линейную комбинацию компонент тензора деформации

<?{} - (11) = Счг1-:гА{ и), р,1 = 1,2

(по дважды повторяющимся числовым индексам подразумевается суммирование). Компоненты тензора модулей упругости об-

ладают обычными свойствами симметрии

С{}Р1 — С {Цр — Срц3. г, р, I = 1,2

и предполагается существование такой положительной постоянной Со, что

С^Р1^{и{х))ер1{и{х)) > Со£ц{и{х))е^{и{х)) Чеч(и(х)), Мх е П, = 1,2.

.Задача. Требуется найти вектор-функцию.'¡ремещсннй и = (и] такую, которая удовлетворяет следующим требованиям. В области О выполняются условия равновесия

где F = (2*1, ^г) - вектор заданных на 0 сил.

На части Гх своей границы Г тело О подвергается действию I верхностных сил

(п = (7x1,722) - единичный вектор внешней нормали к Г). На час Го заданы следующие краевые условия:

где 04 - вектор касательного напряжения, а на части Г^ границы накладываются краевые условия, соответствующие условиям тре1 по закону Кулона и двустороннему контакту

если < д, то \ц = 0 (д > 0 на Г^); если = д, то существу А > О такое, что и* = — Аа*.

Здесь Т = (ТЬТ2) - сила, с которой второе тело действует П в зоне контакта, д(х) - величина силы трения, уц - касательн составляющая и.

Введем гильбертово пространство

Поставленная задача с трением соответствует вариационной о

Р{ = <7,- = ) = 1,2

г1п = и • п = 0, ас = О,

стп = а^п^щ = Тп, Тп = Т • п,

даче

J(u) = ¿а(и,и) - Ь(и) + j(u) — пип иен,

(

где

a(u,v)= / C<Jpi£,j(u)£pi(v)dÇl J о

L(u) = [ FiUidQ + / Tnundr + / P,u,dT, j(u) = [ a\ut\dT. J n JГ} JГ, j V]

F = (FUF2) G [¿2(fi)]2, P = (Pi,P2) € [ЫГ1)]2 Т = (ТьТ2)€[/-2(Г/)]2, д(т) e Loo(rf), g>0 на Г/Ядро Я билинейной формы а(и,и) = / Cijpi£ij(u)£pi{v)dSl состоит из вектор-функций/>(:г) = (/>1,/Э2), гдерДх) = ai— 6х-2, ¿>2(£) = Я2 + ¿xi; ai,02,Ь - произвольные фиксированные числа и образует трехмерное пространство. Пространство R = H П R представляет собой множество виртуальных жестких перемещений. Если при любом ненулевом векторе р 6 R справедливо неравенство

[ g\pt\dT - \L(p)\ > 0. J r,

то вариационная задача (3) разрешима и

./(«) —-foc. IHI - ОС.)

Метод, исследованный в главе I можно применить и к задаче (3), т.к. функционал .J\(u) = £а[и,и) обладает свойством (1) при Н\ = R, Н2 ~ RL относительно скалярного произведения

<„,„) = / [ utdi} [ vidiî.

Ju ог-j âXj Jq Jq

Функционал J обладает свойством (1), как сумма функционала J\ и выпуклого функционала J2{u) = —L(u) + j(u). Представляет интерес исследовать метод пошаговой ргох-регуляризации с регу-ляризирующей добавкой не в норме исходного пространства //, а в норме более слабого пространства

[£2(П)]2. Такая конструкция ре-гуляризирующей добавки более естественна и удобна как при обосновании сходимости метода, так и при его применении к решению конкретных задач.

Рассмотрим алгоритм. Пусть zq - произвольный элемент из 1 По zk~x находим zk из соотношений

ик = argmin {J(u) + ||u - Г*-111^(0)]»}, vG/i

||zk — < £k- здесь £k > 0. Отметим, что функциона

ф(и) = J(u) + ||u — 1 является сильно выпуклым, t.i

по неравенству Корна выражение a(u,u) + |М|[£,2(П)]2 эквивалентн IMifw'ii))]2' поэтому ик существует и единственно для всех к. В втором параграфе второй главы диссертации доказывается

Теорема 2. Пусть 1) множество G* = {и & Н : /(u) = inf f(v)

v£H

непусто, 2) J2b=\£k < ос- Тогда последовательность {zk} сходитс к некоторому элементу u* € G* в норме [W^il)]2.

Решение вариационных неравенств эллиптического типа, как пр вило, осуществляется на основе их последовательной аппроксима ции конечномерными задачами выпуклой оптимизации. Постро ение минимизирующей последовательности, сильно сходящейся i некоторому элементу оптимального множества (множества решений), основанное на регуляризации вспомогательных задач, в по лукоэрцитивных неравенствах требует существенной модификации приближенных методов решения.

В третьем параграфе второй главы диссертации исследуется итерационная регуляризация с использованием метода конечных элементов.

Исходя из доказанной во второй главе теоремы 2, проводится численное исследованние вариационной задачи с трением, когда область Ü является многоугольником. Сначала рассмотрим задачу с сильно выпуклым функционалом

J(u) = |a(u,u) + |N|j!ij(n)p-L(«)+j(u) - min ^ иеН,

где и = («1, иъ) - вектор перемещений. В силу сильной выпуклости, решение й задачи (4) существует и единственно. Задача (4) соответствует краевой постановке

- +2щ = Г;, г' =1,2, на О,

о*}

Р,- = ст,- = оцП}, г = 1,2 на Гх

ип = и ■ п = 0, стг = 0, на Го

<7П = = Тп, Тп = Г • п, на ^

если |<7(| < то = 0 (5 > 0 на Г/); если |стг| = то существует А > О такое, что иг = — Асг-

Относительно решения й = (й^йг) задачи (4) будем предполагать:

1) й е [и^(Я)]2

2) ||Й||[^(П)Р < + ИЦ'^г,) + ИТЦ/2(Г/) +

+1Ь1коо(г,))-

Подобные предположения для модельной задачи с трением исследовались Г. Брезисом и обоснованы для некоторых областей П.

Пусть П есть многоугольник. Под триангуляцией 7/, области П будем понимать конечную систему замкнутых треугольников {Т,■},•£/, такую, что = и,'е/Г,-,

Г 0

Г, ПТй = \ А \/г,3 е J, г ф 3

I '>

где Ли/- общая вершина и общая сторона Т, и Т^ соответственно. Каждая триангуляция характеризуется двумя параметрами: наибольшей стороной Л и наименьшим внутренним углом а всех ее треугольников. Будем рассматривать систему триангуляции 7д при к —► +0. Нам потребуются только регулярные системы триангуляции, т.е. такие, что существует постоянная ао > 0, не зависящая от Л и такая, что а > ао [10]. Такую систему можно характеризовать только одним параметром к > 0.

Пусть {7/j}, h +0 - регулярная система триангуляций обла сти П. Каждой триангуляции поставим в соответствие конечнс мерное пространство [VV21/l(íí)]2 кусочно-линейных вектор-функци£

WUm2 = к = (vhh,v2ih)\vh е [С(й))\ vl<h\T е М,(Т) vt g Th)

где М\{Т) - множество полиномов степени не выше 1, определенны: на Т. Предполагаем, что все вершины сетки с номером {к — 1 являются вершинами сетки с номером к. Это дает

[И^.ДП)]2 С С ... С [^(Q)]2, к = 1,2,...

Испольоуем метод конечных элементов на последовательности три ангуляций. На итерации с номером к решаем ¡задачу

í J(u) = ±a(u, и) + ||u - Ufi^njp - L{и) + j(u) - min \ u G Я, ^

где u*llk j приближенное решение, полученное на предыдущем шаге, i параметр такой, что lim = 0. Для точного решения tt£

к—*оо

¡задачи (5), исходя но предположений 1), 2) следует, что

Н«*11[И?(П,Р < 6'(lli?l|l[L2(n)P+ll/'llH/21/2(r1)+llT^V1/2(r;)+ llílliootr,))

(6)

где Fi = F + 2v.\, С - некоторая константа.

Обозначим через Яд = {г>д G : v^ • п = 0 на Го},

где ■п - скалярное произведение вектор-функцни v^ на единичный вектор п внешней нормали к Го. На триангуляции с номером к вместо задачи (5) решаем задачу

í J{uhk) + IK*-«Л*_,Н^2(П)]1 ~ m¡n (7)

I «k„eHhk.

Решение задачи (7) обозначаем через u"¡lk

Последовательность {и^к} ограничена в [H^fíí)]2. Из (6) следует, что ограничена и последовательность }• Для век" тор-функции и = (tij, U2) G [W$(О)]2 обозначим через u¡ ее кусочно-аффинное восполнение, т.е.

(Uj)¡ = j = 1,2,

¿6/

где (ftjjlk(x) кусочно-аффннные базисные функции трпангуляцнн с номером к, I есть множество вершин трпангуляцнн. Известно, что

II" - «/IllWjtnjp < C-Vl A-Il «liilV'ain)]^ (S)

Теорема 3. Пусть выполнено уело и не разрешимости дли ии-дачп с трением я справедливы предположения 1) п 2), тогда следует оценка

IK* ~ u£||[ivi(n)]» < Chl/2> k = (9)

Для сходимости итерационного процесса достаточно потребовать, чтобы £ h]/2 < оо. Например, мы можем положит!, hf. = k=1

где /го > 0 некоторое начальное значение.

При численной реализации метода вместо задачи (7) рассматриваем задачу

i J(lihk) + \\uhk -«л*_,||^2(п)]» - min

I «А* € Hhk,

где «дк_ приближенное решение полученное на предыдущем шаге.

Лемма. Пусть ||üAjk - «лЛ[1Г2'(П)Р - гдс > *>* <

тогда

IK - «¡EII[lv«(n)P < ChT + "'Ь к = 1-2..... (И)

где С > 0 зависит от {7jt},

ul = ZI{J(u) +"

Остановимся теперь на вопросе численного решения вспомогательной задачи (10). Предполагаем, что g > 0 есть постоянная. Аппроксимируем выражение 5r|(uAjk)t|</r, используя для этого одну из формул численного интегрирования (например, формулу трапеции).

I

g\(uhk)t\dT= X) |MiMi+1|(|(iiAJt(Mi)| + |(tiAJt(Mi+1)|)i

Г1 М,£Г,

где М^ М;+1 соседние узлы границы Г/.

Таким образом вместо задачи (10) па каждом шаге нтерацпсн пого процесса решается задача вида

¿a(ukk, vkk) - L(v,ik ) + ||н,и - ||[^г(Л)]2 + + £ |ЛЛЛ/1-+1|(|(н/и),(Л//)| + |(«/1л)/(ЛУ|-+1)|) - mil. (1S

Л/.6Г/ v

. Uhk 6 Hk

Далее обычными преобразованиями задача (12) сводится к за даче относительно неизвестного вектора у = (у], у\, ....,yh, у2, у\,. Уы) (здесь первые N координат соответствуют первом компонент вектор-функции ид, а остальные N координат - второй компоненте^ /V-количество узлов триангуляции, у/ = uJh (Mi), i— 1,2, ...,/V, j 1,2

My) = \(Ay,y) - (p,y) + Ел/,ег, "«Ы - min

yeR™, (13

где Vi > 0 - const.

Так как матрица А порождается формой

a{uhk,uhk) + а / {u\<hn + u\hn)dSl, «/ О

то А есть положительно определенная матрица. Поэтому для решения задачи (13) можно использовать модификацию эффективного метода поточечной релаксации для минимизации негладких функционалов типа J,(y). В случае положительно определенной матрицы А, метод сохраняет свойство сходимости.

Начиная с точки у0 = (у?, У%, У%+и VN+2, ••••> У%) " пред-

полагая у* известными, будем вычислять последовательно yj^+i Для i = 1,2, ...,2N. Определим как решение неравенства

, / fc+l к+1 i+1 к к Ч ^

< Vzi е Д (14)

при г = 1,2, ...2N.

Начиная с точки у0 = (у?, у°,...., у%, у%+г, у%+2, ) » пред-

полагая у? известными, будем вычислять последовательно для г = 1,2,...,2N. Определим как решение неравенства

т , ¿+1 £+1 *:+1 к к Ч ^

< "2Л?)> Уг,- € Я (14)

при г = 1,2, ...2Л^.

В приложении приводятся результаты численного решения по-лукоэрцптнвных вариационных неравенств.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Р.В. Намму за постоянное внимание к работе и обсуждение результатов.

Публикации по теме диссертации

1. Namm R.V., Zolotukhin A.Ya. The finite element method for solution of Signorini's problem. // Abstracts / The Third Russian-Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. -Vladivostok. Russia: 1992. -P. 191-192.

2. Namm R.V.. Zolotukhin A.Ya. On a method with prox-regulariza-tion for solving a simplified friction problem. -Khabarovsk, 1993, 26 p. (Report of Computer Center F.-E.B. of the Russian Academy of Sciences).

3. Namm R.V., Zolotukhin A.Ya. On a method with prox-regulariza-tion for solving a simplified friction problem. // Abstracts / Third World Congresss on Computational Mechanics. -Chiba, Japan, 1994. -P. 1916-1917.

4. Namm R.V., Zolotukhin A.Ya. A method with regularization fo solving a simplified friction problem. // Abstracts / Internatione Conferens ACMA-95. -Novosibirsk, Russian, 1995. -P. 246-247.

5. Намм P.В., Золотухин А.Я. Метод ргох-регуляризации дл. решения вариационных неравенств со слабо коэрцитивньн оператором. // Теоисы / Международная конференция по ма тематическому моделированию и криптографии. -Владивос ток, 1995. -С. 66.

6. Namm R.V., Zolotukhin A.Ya. The finite element method for so lution of Signorini's problem. // Computational Fluid Dynamic JOURNAL. 1996, -V. 4, N 4. -P. 509-515.

7. Золотухин А.Я. Метод минимизации негладких функциона лов, основанный на алгоритме пошаговой ргох-регуляризации -Хабаровск, 1996. -29 с. (Препринт ВЦ ДВО РАН).

8. Золотухин А.Я., Намм Р.В. О выборочном направлении регуляризации для решения задачи Синьорини // Материалы международной конференции и чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. -Москва, Из-во МГУ, 1996. -С. 170-173.