автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вариационно-подобные неравенства и их приложения к задачам равновесия и коррекции несовместных систем неравенств

Шамрай Наталья Борисовна

ВАРИАЦИОННО-ПОДОБНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ РАВНОВЕСИЯ И КОРРЕКЦИИ НЕСОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2007

003056668

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Омский государственный технический университет" и Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Дальневосточный государственный университет".

Научные руководители:

кандидат физико-математических наук, доцент Зыкина Анна Владимировна доктор физико-математических наук, профессор Нурминский Евгений Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Коннов Игорь Васильевич

доктор физико-математических наук, ст. научный сотрудник Попов Леонид Денисович

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится 26 апреля в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета. Автореферат разослан 25 марта 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м. н., доцент Задворнов O.A.

За

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованиям в области вариационных неравенств и их обобщений. Задача решения вариационного неравенства, обозначаемая далее как VI(G, X), состоит в поиске точки х* G X такой, что

(G(x%x-x*)>0 УхеХ, (1)

где X С R" — непустое замкнутое выпуклое множество. G : X —» Rn — заданное отображение.

Вариационные неравенства представляют собой унифицированный аппарат для изучения многих задач из различных областей знаний, например, таких как- механика, физика, экономика, исследование операций и так далее. Широкий спектр возможных приложений вызвал интерес к неравенству (1) у многих исследователей, что привело к формированию теории для VI(G,X) как самостоятельного раздела прикладной математики. Значительный вклад в общую теорию вариационных неравенств внесли Г. Фикера, Г. Стампаккья, Ф.Е. Браудер, Р. Гло-вински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер, Г. Дгаво, Д. Киндерлерер, К. Байокки, А. Капело.

В настоящее время существуют и интенсивно изучаются задачи, обобщающие неравенство (1). Одним из таких обобщений является задача равновесия, которая состоит в поиске точки х* € X такой, что

Ф(гг*,гг)>0 Vre € X, (2)

где X С М" — непустое замкнутое выпуклое множество, Ф : Хх1-+1- заданная бифункция такая, что Ф(х, х) = 0 для любых rc € X. Весомый вклад в теорию и методы решения (2) внесли Дж. Б. Розен, Фань Цзи, X. Никайдо, Е. Блюм, В. Этг-ли, Ж.-П. Обен, И.В. Концов, A.C. Антипин и другие ученые.

В диссертационной работе рассматривается задача решения вариационно-подобного неравенства, обозначаемая далее как

VLI(G,F,X), которая состоит в поиске точки х* € X такой, что

(G(x*), F{x) - F{x*))> О \/хеХ, (3)

где X С К." — непустое замкнутое выпуклое множество, G, F : X —> Rm — непрерывные однозначные отображения.

Побудительным мотивом к изучению VLI(G, F,X), в частности, служит возможность преобразования исходного вариационного неравенства (1) в вариационно-подобное (3) с целью улучшения вычислительных свойств исходной задачи (сокращение размерности, упрощение допустимой области и т.п.). Кроме того, при помощи вариационно-подобных неравенств (3) можно проводить полную или частичную параметрическую коррекцию несовместных систем неравенств, что позволяет получить обобщенные решения рассматриваемых некорректных систем. В терминах VLI(G, F, X) естественным образом записываются условия равновесия экономических систем.

Цель работы. Основная цель работы состоит в изучении свойств вариационно-подобных неравенств (3), получении условий существования и единственности решений, разработке и тестировании численных методов решения, применении полученных результатов для поиска обобщенных решений несовместных систем неравенств и точек равновесия в транспортных системах с эластичным спросом.

Методы исследования. Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается доказательствами с использованием аппарата выпуклого и негладкого анализа, математического программирования, теории задач дополнительности, вариационных неравенств и задач равновесия. Результаты, полученные в процессе проведения численных экспериментов, подтверждают теоретические выкладки.

Научная новизна. Предложена постановка вариационно-подобного неравенства вида (3) и установлена взаимосвязь с некоторыми существующими формами задач решения вариа-

ционных неравенств и задачами равновесия. Получены условия существования и единственности решения (3). Для решения V [Л{С, Р, X) построены схемы проективного и экстраградиентного методов и доказана их глобальная сходимость, разработан метод локальных выпуклых мажорант и доказана его локальная сходимость. С помощью вариационно-подобных неравенств проведена параметрическая коррекция несовместных систем неравенств, получены условия существования обобщенных решений некорректных систем. Рассмотрено применение УЫ(С, Р, X) для решения задач транспортного ценового равновесия.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы.

1. Теоремы существования решений УЫ(0, Р, X) на ограниченном и неограниченном допустимом множестве в предположении свойств квази- и О-диагональной выпуклости.

2. Теорема единственности решения VЫ(С, Г, X) в предположении Свойства строгой /''-псевдомонотонности и теоремы существования и единственности решения в предположении свойств сильной ^монотонности, (квази-, О-диагональной) выпуклости, липшицевости отображений.

3. Теорема эквивалентности VЫ(С, Р, X) вариационно-подобных неравенств проективного отображения. Схемы проективного и экстраградиентного методов для решения (3) и условия их глобальной сходимости.

4. Метод локальных выпуклых мажорант для решения (3) и обоснование его локальной сходимости.

5. Схема параметрической коррекции несовместных систем неравенств с помощью УЫ(С, Р, X) и теоремы существования обобщенных решений у некорректных систем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссерта-

ционная работа носит б основном теоретический характер. Полученные результаты расширяют теорию существования решений для вариационно-подобных неравенств. Построенные алгоритмы вносят вклад в развитие численных методов решения вариационно-подобных неравенств. При помощи аппарата УЫ(0, ^ X) можно проводить полную или частичную коррекцию несовместных систем неравенств, эквивалентно переформулировать вариационные неравенства (1) с целью уменьшения размерности и улучшения других вычислительных свойств задачи, решать задачи транспортного ценового равновесия.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международных научно-технической конференциях "Динамика систем, механизмов и машин" (Омск, 12-14 ноября 2002 г., 16-18 ноября 2004), Всероссийских конференциях "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 1-5 июля 2003 г., 11-15 июля 2006 г.), Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" (Омск, 26-28 июня 2003 г.), Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 28 июня-2июля 2004 г.), Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Северобай-кальск, 2-8 июля 2005 г.), летней школе ШТАБ "Нелинейный анализ в приложениях к экономике, энергетике и транспорту" (Бергамо, Италия, 5-9 июня 2006), научных семинарах кафедры "Автоматизированные системы обработки информации и управления" Омского государственного технического университета (Омск, 2003-2006 гг.), лаборатории дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Омск, 2003, 2006 гг.), отделения математического моделирования НИИММ им. Н.Г. Чеботарева (Казань, 2004 г.), кафедры "Математические методы в экономике" Института математики и компьютерных наук Дальневосточного государственного университета (Владивосток, 2006, 2007 гг.).

Публикации. Результаты диссертационной работы изложены в 15 работах, в том числе две статьи, [3] и [15], в изданиях из списка ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 117 страницах и содержит 1 таблицу и 8 рисунков. Список литературы состоит из 140 наименований.

Работа выполнена в двух организациях: на кафедре "Автоматизированные системы обработки информации и управления" Омского государственного технического университета — научный руководитель доцент, к.ф.-м.н A.B. Зыкина и на кафедре "Математические методы в экономике" Института математики и компьютерных наук Дальневосточного государственного университета — научный руководитель профессор, д.ф.-м.н Е.А. Нурминский.

Под руководством A.B. Зыкиной автором были получены следующие результаты: предложена постановка задачи решения вариационно-подобного неравенства вида (3), установлена связь с некоторыми другими существующими формами вариационных неравенств и задачами равновесия, получены условия существования и единственности решений VLIiG, F, X), предложены схемы проективного и экстраградиентного методов для решения VLI(G,F,X), исследована параметрическая коррекция несовместных систем неравенств и получены условия существования обобщенных решений.

Под руководством Е.А. Нурмичского автором были получены следующие результаты: предложена оценочная функция для вариационно-подобного неравенства (3), исследованы ее свойства, получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи минимизации оценочной функции, предложен метод локальных выпуклых мажорант для решения VLI(G, F, X), дано его обоснование, рассмотрено приложение вариационно-подобных неравенств (3) к задачам транспортного ценового рав-

новесия, проведена программная реализация всех предлагаемых в диссертационной работе алгоритмов, проделаны численные эксперименты.

Исследования диссертационной работы проводились в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ ОмГТУ (регистрационный номер НИР 1.4.01.Ф), получили поддержку в рамках программы 17 фундаментальных исследований президиума РАН, гранта РФФИ 04-07-90287-В "Информационное обеспечение и высокопроизводительные вычисления в интегрированной сети ДВО РАН".

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор работ, посвященных исследованиям в области вариационных неравенств и задач равновесия, указаны ведущие направления в построении теории разрешимости этих задач, перечислены основные методы поиска решений. Заявлена тема диссертационных исследований и обоснована ее актуальность. Изложено краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава состоит из трех разделов и посвящена теоретическим исследованиям VLI(G,F,X) на предмет существования и единственности решений.

В первом разделе приведена постановка задачи решения вариационно-подобного неравенства (3). Показана взаимосвязь с задачей равновесия (2) и некоторыми существующими формами вариационных неравенств. Наряду с VLI(G, F,X) рассмотрена задача решения дуального вариационно-подобного неравенства, которая состоит в поиске точки х* 6 X такой, что

(G(x), F{x) ~ F{x*)} > О VzeX.' (4)

Во втором разделе доказаны теоремы существования решений VLI(G, F, X). Показано, что преобразование вариационно-подобного неравенства (3) в вариационное неравенство с многозначным отображением и последующее использование условий

существования решений у последних применительно к (3) существенно ограничивает возможные формы VLI(G, F,X), так как при этом требуются весьма сильные предположения о свойствах исходной задачи.

Опираясь на теорию существования решений задач равновесия (2) для вариационно-подобного неравенства (3) доказана

Теорема 1.4. Пусть для, любого фиксированного х G X функция GT(x)F(-) квазивыпукла на X. Задача VLI(G. F, X) имеет, решение, если выполнено одно из следующих условий

a) множество X ограничено;

b) найдется непустое ограниченное подмножество Y С X такое, что для любого х 6 X\Y существует у £ Y при котором (G(x), F(y) - F(x)) <0.

Пусть X^LI и XjLI — множества решений вариационно-подобного (3) и дуального вариационно-подобного (4) неравенств соответственно. Связь между XVLI и устанавливает

Теорема 1.6. Пусть G является F-псевдомонот.ониьш, отображением и для любого фиксированного х £ X функция GT(x)F(-) явно квазивыпукла на X. Тогда XVLI = X\L1.

Одной из целей диссертационных исследований было получение условий существования решений для VLJ(G, F, X) в предположениях разных форм выпуклости.

Определение 1.7. Будем говорить, что VLI(G, F,X) обладает, свойством Q-диагональной выпуклости на X, если для каждого конечного множества точек

к

{у1,... ,yk} £ X и любой выпуклой комбинации у\ — У^ Хгуг.

г=1

к

где А = (Ль ..., Хк) £ Ак, Ак = {X G R+ : А* = 1}, выполнено (G(y\), Eli W) - F(y\)) >0. Для ограниченного допустимого множества X получен сле-

дующий результат.

Теорема 1.7. Пусть VЫ(С, Р, X) обладает свойством 0-диагоналъной выпуклости на X и множество X ограничено. Тогда вариационно-подобное неравенство (3) имеет решение.

Условие ограниченности множества X в теореме 1.7. молено заменить свойством коэрцитивности задачи.

Теорема 1.8. Пусть VЫ{0) Р, X) обладает, свойством 0-диагональиой выпуклости на X и существует непустое ограниченное подмножество У С. X такое, что дм любого х € Х\У найдется у € У при котором (0(х),Р(у) — -Р(ж)) < 0. Тогда вариационно-подобное неравенство (3) имеет решение.

В третьем разделе рассмотрены вопросы единственности решения VЫ(С1, Р, X). Опираясь на свойства /'"-монотонности и теорию единственности решения для задач равновесия ("2) доказаны следующие две теоремы.

Теорема 1.11 Если в УЫ(С, Р, X) отображение С — строго Р-псевдомюнотонно, то может существовать не более одного решения вариационно-подобного неравенства (3).

Теорема 1.12. Если в VЫ(С, Р, X) на множестве X для любого фиксированного х € X фунщья СТ(х)Р(-) выпукла и отображение С является сильно Р-м,онот.оппым, то вариационно-подобное неравенство (3) имеет единственное решение.

Учитывая специфику постановки УЫ(С, Р, X) получены и другие условия существования и единственности решения.

Теорема 1.13. Пусть УЫ(С,Р,Х) на множестве X либо удовлетворяет условию 0-диагональиой выпукл,ости, либо для любого фиксированного х е X ф)ункция СТ(х)Р(-) является квазивыпуклой. Если 71а множестве X отображение Р удовлетворяет условию Липшица и отображение С является сильно Р-монотонным, то вариационно-подобное неравенст,во (3) имеет единственное решение.

Вторая глава состоит из трех разделов и посвящена постро-

ению методов решения VLI(G, F. X).

В первом разделе рассматриваются проективный и экстраградиентный методы решения (3), основание для применения которых дает

Теорема 2.1. Пусть на множества X для любого фиксированного х € X функция GT(x)F(-) выпукла и F(y) — непрерывно дифференцируемое отображение. Точка х* £ X является, решением вариационно-подобного неравенства (3) тогда и только тогда, когда

х* = ъх{х* - aVFT{x*)G{x*)),

где а > 0 — заданное число, VF(х*) — матрица Якоба отображения F в точке х*.

Приведенная теорема дает возможность предложить проективный метод для решения VLI(G,F,X): Инициализация алгоритма

Пусть ж0 6 X — начальная точка, а > О — заданный параметр. Положим k — 0. Итерация алгоритма Шаг 1. Вычислим = ъх{хк - aVFT{xk)G(xk)). Шаг 2. Если хк = то решение VLJ(G,F,X) найдено. Алгоритм заканчивает работу. Шаг 3. Положить к = к + I и перейти на шаг 1. Для обоснования проективного метода необходимо сделать следующие предположения о свойствах VLI(G, F, X).

(А 1) Для любого фиксированного х Е X функция Gi(x)F(-) выпукла на X.

(А2) Отображение VFT(x)G{x) удовлетворяет условию Липшица с константой L.

(A3) Отображение G — сильно F-монотонно с константой т.

Теорема 2.2. Пусть для VLI(G,F,X) выполнены предпо-

2т

ложения (А1)-(АЗ). Если 0 < а < то последовательность

L1

{хк}, построенная проективным методом, линейно сходится к решению х* задачи VLI(G, F, X), то есть

& = 0,1,2,...,

для некоторого 7 G [0,1).

Одним из ограничительных условий сходимости проективного метода является сильная ^-монотонность отображения G. Для отображений, обладающих более слабыми свойствами монотонности, например, .Р-псевдомонотонность, предлагается использовать экстраградиентный метод: Инициализация алгоритма

Пусть начальная точка, а > 0 — заданный пара-

метр. Положим к = 0. Итерация алгоритма

Шаг 1. Вычислим

ик = -кх{хк - aVFT(xk)G(xk)), xk+l = тгх{хк - aVFT(uk)G(uk)).

Шаг 2. Если хк = xk+l, то решение VLI{G,F,X) найдено. Алгоритм заканчивает работу.

Шаг 3. Положить к — к + 1 и перейти на шаг 1.

Теорема 2.3. Пусть для VLI(G, F, X) выполнены предположения (Al), (А2) uG является F-nceedoMonom,onnbiM, отображением. Если 0 < а < у, то обе последовательности {ик}

ХУ

и {ж*}, построенные экстраградиеитным методом, сходятся к решению VLI(G, F, X).

Во втором разделе для решения вариационно-подобных неравенств (3) рассматривается подход, основанный на построении оптимизационной задачи, эквивалентной VLI(G, F, X), и дальнейшем применении методов математического программирования для отыскания ее оптимальных точек. Важную роль в таком преобразовании играют оценочные функции, характеризующие меру отклонения от решения VLI{G, F, X).

Определение 2.4. Оценочной функцией для вариационно-подобного неравенства (3) называется функция <р : X R U {+оо}, обладающая следующими свойствами: .

(г) Ф) >0 Vx 6 X;

(ii) х* t X является решением, вариационно-подобного неравенства (3) т,огда и только тогда, когда (р(х*) = 0.

Очевидно, что при этом VLI(G> X) эквивалентна задаче условной минимизации

ттр(ж). (5)

хел

Доказано, что функция

ip(x) = SMV{G(x),F(x)-F(y)) (6)

уеХ

удовлетворяет свойствам (i), (ii) определения 2.4. и, следовательно, является оценочной для VLI[G,F,X).

В работе предполагается, что отображения G и F вариационно-подобного неравенства (3) являются непрерывно дифференцируемыми на X и супремум в (6) достижим, то есть для любого фиксированного х € X существует у(х) € X такой, что

sup<G(:r), F(x) - F(y)) = (ОД, F(x) - F(y(x))). (7)

уеХ

Имеет место следующий критерий разрешимости VLI{G, F, X). Теорема 2.4. Пусть выполнено предположение

(В1) Для любого фиксированного х £ X функция GT{x)F{-) строго выпукл,а. на X.

Точка х* G X является решением VLI(G, F, X) тогда и только т,огда, когда х* = у(х*), где у(х*) решение задачи (7) при х = х*.

В процессе исследования свойств оценочной функции ф(х) были получены следующие результаты.

Лемма 2.1. Оценочная функция (р(х), определенная в (6), является слабо выпуклой на X.

В силу свойств слабо выпуклых функций необходимые условия экстремума в задаче (5) могут быть записаны в виде

<р'{х*,х-х*)>0 УхеХ, (8)

где х* € X — точка минимума (р(х), <р'(х*,х—х*) — производная <р{х) в точке х* по направлению х — х*. Однако, необходимые -условия экстремума для слабо выпуклых функций не являются достаточными и кроме того, слабо выпуклые функции могут иметь локальные минимумы, отличные от глобальных.

Точки х* € X, удовлетворяющие условию (8) будем называть стационарными точками функции <р(х).

Введем дополнительное предположение.

(В2) Для любого фиксированного х С X отображение строго монотонно на X.

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия разрешимости оптимизационной задачи (5).

Теорема 2.5. Пусть выполнены предположения, (В1),(В2). Тогда любая стационарная точка х* £ X оценочной функции ср(х) является решением УЬПО, Р,Х).

Для решения задачи (5) предлагается построить выпуклую аппроксимацию оценочной функции (6) в значительной степени эквивалентную <р(х) с точки зрения ее оптимизации в окрестности текущего приближенного решения.

Далее будем предполагать, что отображения С иР1 являются дважды непрерывно дифференцируемыми на X.

Зафиксируем точку х € X и выделим ее ¿'-окрестность В(х, ¿) = {ж : ||ж — ¿¡| < 6}, где 8 > 0 достаточно мало. Окрестность В(х, 5) выбирается так, чтобы для некоторого Д > 0 и любых у € X, € В(х, б), г еЕп выполнялись неравенства

\гТЩ(х£)г\ < ВЫ|2, \гтН2(х6>у)г\ < ВД|2,

где H\(xs) и ,у) — матрицы вторых производных по х в точке Х5 функций GT(x)F(x) и (—GT(x)F(y)) соответственно. Обозначим

со(ж) = GF(ß)F(x), А(х, z) = VG{x)z + G(x), С{х) = FT(x)VG{x) + GT{x)VF{x),

и Z(x, S) = {z : \\z\\ <5, x + z € X} — множество допустимых смещений из точки х по норме не превышающих 5. Для функции

ф(х, z) со(ж) + C(x)z + ll\\z\\2 - inf FT(y)A(x, z) (9)

yeX

справедлива оценка

ip{x + z) < Ip(x,z), (10)

причем при z = 0 имеет место равенство.

Теорема 2.6. Точка х* 6 X является решением VLI(G, F, X) тогда и только тогда, когда для некоторого S > 0 точка z — 0 есть решение задачи

min ф(х*,г) (11)

zeZ{x\6) v ' v

иф(х\0) = 0.

Обозначим через ф'{х, z,d) производную по 2 функции (9) в направлении d. Как показывает следующая лемма, функция ф(х, z) достаточно хорошо аппроксимирует поведение <р(х) в окрестности точки х.

Лемма 2.2. Пусть множества, на которых достигаются супремумы в (6) и инфинум в (9), компактны их £ X. Тогда производные по направлениям функций <р(х) в точке х -- х и ф(х, z) в точке z = 0 совпадают, то есть

ip'{x,d) = ^{xXd). (12)

Следствие 2.1. Точка х £ X является стационарной для функции <р(х) тогда, и только тогда, когда 2 = 0— стационарная точка функции ф(х, z).

Локальная аппроксимируемость <р{х) при х € В(х, 6) функцией ф{х> г) при г € %{х, 5), описанная леммой 2.2., позволяет предложить следующий метод локальных выпуклых мажорант для решения УЫ(С,Р,Х): Инициализация алгоритма

Выберем точку х° £ X и рассмотрим множество

= {ж : ф(х) < </?(ж0)}. (13)

Определим 6 > 0 такое, что для любого х € А'0 и г € И(х, /)) выполнялось условие (10). В качестве начальной возьмем произвольную точку х° €Е Х°. Положим к = 0. Итерация алгоритма

Шаг 1. Решить задачу тт ф(хк, г) = ф(хк, гк).

гег{хк)

Шаг 2. Если гк = 0, то хк — стационарная точка оценочной функции ц>(х). Алгоритм заканчивает работу. При этом, если ф(хк, 0) = 0, то хк - решение УЫ{в, X).

Шаг 3. Положить хш — хк + гк, к -- к + 1 и перейти на шаг 1.

Основным результатом о сходимости описанного метода является

Теорема 2.7. Пусть точка х° выбрана так, чт.о множество Х°, определенное в (13), является компактным и на нем выполнены предположения (Б1),(В2). Тогда последовательность {хк}, генерируемая алгоритм,ом, метода локальных выпуклых мажорант, сходится к решению УЫ(С, Г, X).

В третьем разделе в численном эксперименте показаны преимущества переформулировки вариационного неравенства (1) в вариационно-подобное (3). На модельном примере проведено сравнение метода локальных выпуклых мажорант для (3) с традиционным подходом, основанным на минимизации регуля-ризированной оценочной функции для (1). Результаты эксперимента показали существенно более высокую скорость сходимости первого метода по сравнению со вторым.

Третья глава состоит из трех разделов и посвящена параметрической коррекции несовместных систем неравенств с целью их преобразования в совместные системы.

В первом разделе описана схема параметрической коррекции несовместных систем неравенств, разработанная В.А. Вулав-ским и направленная на поиск компромиссных решений исходных систем.

Рассмотрим систему неравенств

где F : М" —» Кт — вектор-функция с компонентами /¡(гг),.. /т(х). Подобные системы, например, возникают при моделировании процессов принятия решений.

В общем случае предполагается, что система (14) несовместна. При рассмотрении несовместных систем необходимо принять некоторое соглашение о том, какой вектор допускается в качестве замены ее традиционного, но несуществующего решения. В работах В.А. Булавского для системы (14) предлагается найти компромиссное решение, которое представляет собой компоненту х* пары векторов (х*, и*) Е Мп X М™, удовлетворяющих условиям

где Я — заданная квадратная (т х тп )-матрица, гг £ К."1 — неизвестный вектор параметров. Вектор (¿и определяет коррекцию правых частей системы (14).

Условия (15), (16) задают параметрическую линейную задачу дополнительности. Обозначим ее как РЬСР(Р(х*), (}). Равенство (17) представляет собой необходимое условие того, что компромиссное решение х* минимизирует взвешенную коррекцию (и*)ТС2и правых частей системы (14). При этом исполь-

Р(х)< 0 геГ,

(14)

Р(х*) < (¿и*, и* > О, {и*)тР{х*) = (и*)тС)и*, УРт{х*)и* = О,

(15)

(16) (17)

зуготся веса и* = и(х*), которые определяются как решения РЬСР{Р{х*),Я).

Во втором разделе для параметрической коррекции несовместной системы неравенств (14) предлагается использовать вариационно-подобное неравенство (3) с целью минимизации взвешенной коррекции правых частей системы (14).

Рассмотрим класс Тт квадратных (тхт)-матриц, у которых все главные миноры положительны. Такие матрицы принято называть "Р-матрицами. Известно, что если О е "Рт, то для любого фиксированного вектора х £ М" линейная задача дополнительности РЬСР(Р(х), С)) имеет единственное решение. Доказаны следующие свойства, отображения и(х).

Лемма 3.1. Пусть вектор-функция Р : й™ —* Кт непрерывна на всем пространстве й™ и матрица ф € Рт. Тогда отображение и(х), определяемое как решение РЬСР(Р(х),С)) при данном х, является непрерывным.

Лемма 3.2. Если матрица <5 симметрична, то отображение и(х) вариационно-подобного неравенства (18) является Р-монотонным на всем пространстве К".

Свойство непрерывности отображения и(х), установленное леммой З.1., дает возможность проводить параметрическую коррекцию системы (14) с помощью вариационно-подобного неравенства (3). Везде далее будем предполагать, что С} 6 Тт.

Определение 3.2. Обобщенным решением, систем,ы неравенств (14) называется точка х* £ такая, чт,о

(и(х*), Р(х) - Р(х*)) >0 Уж € К", (18)

где и(х*) = и* - решение Р1СР(Р(х*), О,).

Условие (18) представляет собой вариационно-подобное неравенство (3), отличительной особенностью которого является, во-первых, неявное задание отображения С(х) = и(х), как решения линейной задачи дополнительности РЬСР(Р(х), О) для ках-сдого фиксированного х € К." и, во-вторых, то, что допусти-

мая область в (18) совпадает со всем пространством К". Связь между компромиссным и обобщенным решениями дает Утверждение 3.2. Если вектор-функция Р(х) = (Л(х), /ъ(х),..., /т(х)) покомпонентно выпукл,а и матрица С} симметричная,, то условия (15)- (17) и (18) эквивалентны, то есть компромиссное решение системы неравенств (Ц) совпадает с обобщенным.

Опираясь на построенную теорию существования решений для вариационно-подобных неравенств (3) доказана Теорема 3.1. Пусть выполнены следующие условия

a) вектор-функция Р(х) = (Л(ж), /2(2), • • • > /т(я)) покомпонентно выпукла;

b) найдется компактное множество У С1В такое, что для любого х фУ существует у £ V при котором Р{у) < Р(х).

Тогда система неравенств (Ц) имеет, обобщенное решение.

Отметим, что одним из предположений теоремы 3.1. является покомпонентная выпуклость Р, следовательно, если С) — симметричная матрица,, то в силу утверждения 3.2. приведенная теорема также гарантирует существование компромиссного решения для нелинейной системы неравенств (14).

Для симметричных матриц С) структура вариационно-подобного неравенства (18) позволяет предложить еще одни условия существования обобщенных решений, одновременно совпадающих с компромиссными.

Теорема 3.2. Пусть матрица С) симметрична и выполнены. следующие условия

а,) вектор-функция Р(х) = (/1(ж), /2(ж),..., /т(х)) покомпонентно выпукла;

Ъ) |Иж)|| —> оо при ||д;|| —>оо и существует, е > 0 для ко-

Iг{Х)

торого найдется Я > 0 такой, что шах ,.■!,■ .,. > £ для

<=1,...,™ цад ||

всех х таких, что ||а:|| > К.

Тогда систем,а неравенств (Ц) имеет обобщенное решение, которое совпадает, с компромиссным.

В третьем разделе предложена схема частичной коррекции системы неравенств, когда для преобразования исходной несовместной системы в совместную изменяется лишь часть ее ограничений.

Предположим, что (14) можно разделить на две непересекающиеся подсистемы так, чтобы первая (директивная) подсистема была совместной, а вторая (факультативная) содержала ограничения, не вошедшие в первую. Будем корректировать факультативную подсистему, с целью получения решения всей системы (14).

Пусть F(x) = {Щх), D(x)), где Я : Rn -> Rmi и D : ST R7™2 - вектор-функции, образующие факультативные и директивные ограничения, mi + тг = т. Систему (14) можно представить в виде

Н(х)< 0 (19)

где X = {х G R" : D(x) < 0} ф 0 — множество решений директивной подсистемы.

Определение 3.3. За обобщенное решение системы (19) прим,ем вектор х* G X такой, что

(и(х*),Н(х)-Н(х*))> 0 VxeX, (20)

где и(х*) — решение PLCP(H(x*),Q), Q G "Pmi — заданная матрица. Вектор Qu определяет коррекцию правых частей факультативной подсистемы Н(х) < 0.

Теорема 3.3. Пусть вектор функция П(х) = (h,i(x), ¡ii{x), ..., hmi{x)) покомпонентно выпукла. Система (19) имеет обобщенное решение, если выполнено одно из следующих условий

a) X — ограниченное множество;

b) найдется непустое ограниченное подмножество Y С X такое, что для каждого х G X\Y существует у £ Y при котором, H (у) < Н(х).

с) матрица О симметрична и при ]|;г|| —> оо таких, что х £ X, выполнено —* оо и существует е > 0 для ко-

торого найдется Я > О такой, что тах > е для

всех х € X таких, что ||;г|| > К.

Четвертая глава состоит из трех разделов и посвящена применению разработанного в предыдущих разделах теоретического и алгоритмического аппарата вариационно-подобных неравенств для решения задач транспортного равновесия с эластичным спросом.

В первом разделе дана содержательная постановка задачи транспортного ценового равновесия, которая состоит в поиске объемов производства и потребления в рассматриваемой экономической системе, а также в распределении товарных потоков по заданной транспортной сети, удовлетворяющих условию бескоалиционного равновесия между маршрутизированными потоками товара от производителя потребителю.

Во втором разделе условия равновесия формулируются в виде вариационного неравенства (1), что является традиционным подходом к решению данной задачи. Далее с целью сокращения размерности и упрощения допустимой области вариационное неравенство (1) преобразуется в вариационно-подобное (3) путем замены переменных.

В третьем разделе на модельном примере (сеть с 25 вершинами, 40 дугами) продемонстрирована сходимость алгоритмов проективного и экстраградиентного методов, а также метода локальных выпуклых мажорант для решения вариационно-подобных неравенств и приведено сравнение вычислительной эффективности перечисленных методов с методом спуска по оценочной функции для классических вариационных неравенств. В результате численных экспериментов проективный и экстраградиентный методы решения вариационно-подобного неравенства подтвердили линейный характер сходимости, однако ре-

шение было получено за большое количество итераций (порядка 3 • 103 для проективного и 5 • 103 для экстраградиентного методов). Для метода локальных выпуклых мажорант понадобилось значительно меньшее число итераций (252), причем характер сходимости был также преимущественно линейный.

В заключении дана сводка полученных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для вариационно-подобных неравенств проведены теоретические исследования условий существования и единственности решений: доказаны теоремы существования решений на ограниченном и неограниченном допустимых множествах в предположениях свойств квазивыпуклости и 0-диагональной выпуклости; построено дуальное вариационно-подобное неравенство и установлена связь между множеством его решений и множеством решений вариационно-подобного неравенства; получены условия единственности решения вариа-

. ционно-подобного неравенства в предположениях (строгой, сильной) /^-монотонности, (квази-, О-диагональной) выпуклости, л ипшицевости отображений; установлена связь между вариационно-подобным неравенством и задачей нахождения неподвижных точек проективного отображения.

2. Для решения вариационно-подобных неравенств предложены схемы проективного, экстраградиентного методов, метода локальных выпуклых мажорант и доказана их сходимость.

3. Исследованы приложения вариационно-подобных неравенств для эквивалентного преобразования классических вариационных неравенств в вариационно-подобные с целью улучшения вычислительных свойств решаемых задач (упрощение допустимой области, сокращение размерности и т.п.), для проведения полной или частичной параметрической коррекции несовместных систем неравенств при моделировании

процессов принятия решений, для нахождения обобщенных решений некорректных систем и получения условий их существования.

4. Проведена программная реализация предложенных методов и проделаны вычислительные эксперименты по сравнению эффективности рассматриваемых алгоритмов. Создан комплекс программ для решения задач транспортного равновесия с эластичным спросом.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы. Построенная теория гарантирует в определенных условиях существование и единственность решения у вариационно-подобных неравенств. Для поиска решения можно использовать проективный и экстраградиентный методы, которые имеют глобальную сходимость, однако для этого необходимо выполнение весьма ограничительных предположениях о свойствах задачи. Предложенный метод локальных выпуклых мажорант сходится к стационарным точкам введенной оценочной функции и в условиях хорошего начального приближения приводит к решению задачи. Вариационно-подобные неравенства представляют собой удобный формализм исследования задач потокового равновесия и проведения параметрической коррекции несовместных систем неравенств. Вычислительные эксперименты, проведенные на модельных примерах, позволяют надеяться на достаточно высокую (линейную) скорость сходимости предлагаемых алгоритмов.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зыкина, A.B. Проективный метод для систем неравенств [Текст] / A.B. Зыкина, Н.В. Шамрай // Доклады академии наук высшей школы России / Новосибирское отделение АН ВШ. - 2005. - №1(4). - С. 36-43.

2. Нурминский, Е.А. Метод локальных выпуклых мажорант для решения транспортных задач ценового равновесия [Текст] / Е.А. Нурминский, Н.Б. Шамрай // III Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения": Материалы конференции (Омск, 11-15 июля 2006 г.) / Омский филиал Института математики им. Соболева СО РАН. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. - С. 149.

3. Нурминский, Е.А. Метод локальных выпуклых мажорант для вариационно-подобных неравенств [Текст] / Е.А. Нурминский, Н.Б. Шамрай // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2007. - Т. 47, №3. - С. 355-363.

4. Шамрай, Н.Б. Два подхода к решению систем неравенств [Текст] / Н.Б. Шамрай // Динамика систем, механизмов и машин: Материалы IV Междунар. науч.-техн. конф., посвященной 60-летию ОмГТУ (Омск, 12-14 ноября 2002 г.). -Омск: Изд-во ОмГТУ, 2002. - Кн. 2. - С. 209-212.

5. Шамрай, Н.Б. О некоторых вариационных подходах к решению систем неравенств [Текст] / Н.Б. Шамрай // Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения": Материалы конференции (Омск, 1-5 июля 2003) / Омский филиал Института математики им. Соболева СО РАН. — Омск: Изд-во Наследие. Диалог Сибирь, 2003. - С. 139.

6. Шамрай, Н.Б. О некоторых подходах к решению систем неравенств [Текст] / Н.Б. Шамрай // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" / ОНЦ СО РАН. — Омск: Полиграфический центр КАН, 2003. - С. 18-19.

7. Шамрай, Н.Б. О двух подходах к решению систем неравенств [Текст] / Н.Б. Шамрай // Омский научный вестник, 2003. №3 (24). - С. 55-57.

8. Шамрай, Н.Б. Метод последовательных приближений для систем неравенств [Текст] / Н.Б. Шамрай // Динамика систем, механизмов и машин : Матер. V Междунар. науч,-техн. конф. (16-18 ноябр. 2004 г.). / Омск : Изд-во ОмГТУ, 2004. - Кн. 2. - С. 351-355.

9. Шамрай, Н.Б. Псевдообобщенное вариационное неравенство [Текст] / Н.Б. Шамрай // Российская конференция "Дискретный анализ и исследование операций": Материалы конференции (Новосибирск, 28 июня~2июля 2004). — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2004. - С. 137.

10. Шамрай, Н.Б. Приложения вариационно-подобных неравенств [Текст] / Н.Б. Шамрай // Военная техника, вооружение и технологии двойного применения : Материалы III Междунар. технологии, конгресса (Омск, 7-10 июня 2005 г.): в 2 ч. - Омск : ОмГУ, 2005. - Ч. II. - С. 146-148.

11. Шамрай, Н.Б. Решение несобственных задач линейного программирования при помощи системы линейных неравенств [Текст] / Н.Б. Шамрай // Прикладная математика и информационные технологии: Сб. науч. и метод, трудов / Под ред. А.А.Колоколова. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. - С. 106114.

12. Шамрай, Н.Б. Вариационно-подобное неравенство [Текст] / Н.Б. Шамрай // Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция, посвященная 1000-летию города Казани (Казань, 10-11 ноября 2005 г.): Материалы конференции. — Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2005. — Т. II. -С. 83.

13. Шамрай, Н.Б. Вариационный подход к решению несобственных задач линейного программирования [Текст] / Н.Б. Шамрай // Математическое программирование: Труды XIII Байкальской международной школы-семинара "Методы опти-

мизации и их приложения" (Иркутск. Байкал, 2-8 июля 2005 г.) / Иркутск, ИСЭМ СО РАН. - 2005. - Т. 1. - С. 155-160.

14. Шамрай, Н.Б. Применение вариационно-подобных неравенств для решения задач транспортного ценового равновесия [Текст] / Н.Б. Шамрай // Информатика и системы управления. — 2006. -№1(11). - С. 62-72.

15. Шамрай, Н.Б. Применение вариационно-подобных неравенств для решения задач транспортного ценового равновесия [Текст] / Н.Б. Шамрай // Омский научный вестник. — 2006. — №4(38). - С. 71-74.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА

По результатам диссертационных исследований автор имеет три совместных работы [1]-[3].

В работе [1] автором самостоятельно предложена схема проективного метода для решения вариационно-подобного неравенства, доказана его сходимость, предложена схема параметрической коррекции несовместных систем неравенств с помощью вариационно-подобных неравенств.

В работе [2] автором самостоятельно показана возможность сведения задачи транспортного ценового равновесия к вариационно-подобному неравенству и дальнейшее использование метода локальных выпуклых мажорант для поиска равновесия в рассматриваемой экономической системе, разработано программное обеспечение и проведены численные эксперименты.

В работе [3] автором самостоятельно предложена оценочная функция и ее локальная выпуклая мажоранта, исследованы их свойства, разработана и реализована схема метода локальных выпуклых мажорант, доказана его сходимость, проведены численные эксперименты.

Шамрай Наталья Борисовна

ВАРИАЦИОННО-ПОДОБНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ РАВНОВЕСИЯ И КОРРЕКЦИИ НЕСОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 20.03.2007. Формат 60x84 1/16. Усл-печ. л. 1.63; Уч-изд. л. 1,52. Тираж .120 экз. Заказ £О

Издательство Дальневосточного университета 690950, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического комплекса ДВГУ 690950, г. Владивосток, ул. Алеутская, 56

Список используемых обозначений

Введение

1 Вариационно-подобные неравенства

1 1 Посыновка тдачи

12 Сущее пювание решения

13 Единс 1 венноеп> решения

2 Методы решения вариационно-подобных неравенств

2.1 Проективные1 методы . . 40 2 11 Вариационно-подобное неравенство как задача нахождения неподвижной точки

2 12 Проек1ивный меч од для решения вариационноподобных неравенс ib . . 44 2 13 Экс ipai радиенгный меч од для решения вариационноподобных неравенсib

2 2 Meiоды с пуска по оценочной функции

2 2 1 Оценочная функция для вариационно-подобных неравенс i в . . 51 2 2 2 Локальная выпуклая мажорант оценочной функции 58 2 2 3 Метод локальных выпуклых мажорант для решения вариационно-подобных неравеш ib

2 3 Численный пример

3 Параметрическая коррекция несовместных систем неравенств

3 1 Компромиссные решения для несовмес iпых сис хем неравенс ib 71 3 2 Применение вариационно-подобных неравенс ib для парамечрической коррекции несовмес шых еиаем неравечн ib

3 3 Чж шпиля коррекция шчовмеиных сисюм неравеж ih

4 Применение вариационно-подобных неравенств для решения задач транспортного ценового равновесия

4 1 Задача ipanenopinoio ценового равновесия 87 4 2 Вариационно-подобное неравеш ibo для задачи ipancnopinolo ценового равновесия . 91 4 3 Модельный пример

Данная ди( («чнационная работа посвящена исследованиям в облаем и вариационных неравенс ib и их обобщений Вариационные неравенс 1ва пред-счавляю: собой унифицированный ainiapai для изучения многих задач из различных облас юй знаний, например, ыких как механика, физика, экономика, исследование операций и тк далее Широкий спектр возможных приложений вызываеч ишерес к вариационным неравенствам у мнем их исследований, чю привемю к формированию юории вариационных нера-венечв как самое юя юл ыюго раздела прикладной математики

Задача решения вариационного неравенства сое iohi в поиске ючки х* £ X 1акой, чю

С(.т*),х-т+)>0 УхеХ, (0.1) где1 X непус юе замкнуюе выпуклое нодмножеччво прое iрампва М", G : X — заданное отображечше Обозначим Э1у задачу как VI(G, X) Геч)мсчриче1ски условие (0 1) означает, чю в ючке х* векюр-функция G(x*) должна еоетавляП) ое 1рый уюл со всеми допуиимыми вежюрами-направлечшями, исходящими из х* Иначе, пуечь К(х*,Х) — конус допу-С1имых направлений в точке х* G X и К*(х*,Х) — конус, сопряженный к К(х\Х) Век юр х* являекя решением VI(G,X) тогда и только км да, когда G{x*) G К*{х*,Х).

Оюбражение G в неравенстве (0 1) можечбьпьи мноюзначным, то ecib G : X —> 2е" Тогда получаем задачу решения обобщенного вариационною неравенспза, коюрая еое тои1 в поиске ючки х* G X такой, чю

3д* G G{x*), (д*,х- х*) >0 Vr е X. (О 2)

Обозначим 3iy задачу как GVI(G, X)

Впервые1 вариационные1 неравенс пза появились в мате'ма^чеч-кой фи зи-ке1 в начале1 шее 1идсчя1ых юдов ирошлою е юлечия, где рассматривались в качес пзе обобщений вариационных принципов многих физических задач Пионерскими рабсмами в ^юй облас1и являются труды G Fichera [100] и G Stampacchia [130] Дальнейшие исследования вариационные неравенства получили, например, в pa6oiax F Е Browder [94], Р Гловински, Ж -JI Лионе, Р Тремольер, Г Дюво [7, 9), Д Киндерлерер и Г Стампаккья [12], К Байокки и А Капело [1]

С разви1ием 1сории вариационных неравенс1в было ус ыновлено, что помимо задач маюмашчсской с})изики в терминах VI(G,X) и GVI(G,X) можно ыкже -записать задачи дополнительности, поиска седловых и неподвижных ючек, равновесия и ык далее. Эю oiкрыло новые облас 1и нри-ложений вариационных неравенств, например, таких как экономика, исследование операций, сш 1емы ipancnopia и связи, социальные науки Теоретические основы в эюм направление4 были заложены, например, такими известыми учеными как К J Arrow, G Debreu [86, 31], J В Rosen [128], X Никайдо [17], S Karamardian [109], С И Зуховицкий, P.A Поляк, M Е Примак [55], В Ф Демьянов, А Б Певный [53], Э Мулен [1С], J -S Pang, РТ Harker [105, 123, 104, 106], Э Р Смоляков [28], S Dafermexs [95]

Кроме1 классической попановки VI(G,X) сущес :вую: и ишенсивпо изучаюкя задачи, обобщающие вариационное неравенс1во (0 1) К подобным обобщениям oi носятся, например, смешанные вариационные неравен-с пза, квашвариационные перавенс нза, общие вариационные неравенс i на, вариационно-подобные неравенс 1ва, коюрые позволяют более адекватно описать некеморые исследуемые проблемы

Задача решения смешанною вариационного неравенс пза (mixed variational mentality) с ос юи1 в поиске точки х* € X такой, чю

G{x*), х-х*) + f{x) - f{x*) >0 Ух € X, (0 3) где / . X —> R — некоюрая заданная выпуклая с{)ункция Неравенс:ва вида (0 3) были изучены, например, в работах [114, 94, 122, 84, 57, 46, 113] Очевидно, что если f(x) = 0, ю неравенс пза (0 1) и (0 3) совпадают

Задача решения квазивариационною неравенства (quasi-variational inequality) (()( iohi в поиске ючки х* G У(т*) такой, чю

G{x*),x-x*) >0 WeY{x*), (0 4) здесь Y . М" —* К" — неко горос4 оюбражение В отличии от классичеч кем о вариационною неравенс гва (0 1) допус 1имая область в (0 4) являете я подвижной Квазивариационным неравенствам посвящены, например, фуды [1, 4, 116, 138, 1, 4, 120, 131]

Задача решения общею вариационною неравенс 1ва (general variational inequality) coctohi в поиске ючки х* G IRn 1акой, что F(x*) G X и

G{x*), F{x) - F(x*)) > 0 VF(r) G X, (0 5) где1 G, F 1R" —> W1 Здесь решение x* выбираемся из всею пространства IR", однако образы F(x) не1 должны В1>1Х0ДИ1Ь за допусчимую облае п, X Общие вариационные неравенс пза изучались, например, в [118, 58, 115, 133] Если F(x) юждсспзенное оюбражение, ю неравенечва (0 1) и (0 5) еовпадаю! Кроме юю, если в (0 4) оюбражение Y(x) = X + f{x), где f(x) : Е" —> М" некоюрое заданное оюбражение1, а в (0 5) оюбражение F(x) = х — f{x), ю квазивариациоиное неравенс ibo еовиадасч с общим

Задача решения вариационно-подобною неравенства (vanational-like inequality) сос юиг в поиске1 ючки х* G X ыкой, что

G{x*),7i{x,T*))>t) VxGX, (0 6) где1 Т] • X х X —> Е" Вариационно-подобные не1равенс пза впервые были вве'дены в рабою [124] и далее изучены, например, в [85, 97, 119, 121, 129] Лсчко видеть, что еч-ли rj(x,x*) = х — £*, ю неравенс пза (0 1) и (0.6) совпадают, а если г/(х,х*) — F(x) — F(x*) и F(X) = X, где F(X) — образ множеччва X при оюбражечши F, то совпадают неравенс 1ва (0 6) и (0 5) Вариационные1 неравенс пза и их обобщения можно о шее т к подклассам 1ак называемых задач равновесия Задача равновесия (ociohi в поиске ючки х* £ X такой, чю

Цх*,у) > 0 УуеХ, (0 7) где X С R" — ненусчое замкну юе выпуклое множество, Ф : X х X —> RU { Ьоо} — заданная бифункция 1акая, чю Ф(а:,а;) = 0 Данная нос ыновка впервые была предложена в pa6oiax X Никайдо [117, 17]. Значительный вклад в 1еорию равновесия 1акже внесли, например, К Fan [107, 108], Ж -П Обен [21], Л. Ниренберг [18], Е Blum [91, 92]

В нас юящее время существуем значиюльное количеспзо pa6oi, посвященных развшию п'ории сущсч пзования решений у задач равновесия, вариационных неравенс ш и их обобщений Общее направление в построении этой юории сое юи1 в получении условий сущееч новация на ограниченном и нсчн раниченном допус i имых множее пзах Для вариационных неравенсi в (0 1) и (0 2) вопросы сущсч пювания обсуждались, например, в рабсмах [8, 14, 21, 35, 25, 34, 105, 99, 135, 136] Условия сущее пювания решений у задач равновесия приведены, например, в iрудах [1, 35, 128). Сфемление ослаби1ь критерии разрешимое 1и исследуемых задач привело к появлению свойс iв обобщенной моноюнносми и разных форм выпуклекчи, в предположении которых, например, в работах |89, 36, 90] доказывается существование решения у задач равновесия

Классическими мемодами решения VI(G,X) и GVI(G,X) счма-юкя проективный мемод, меюд Ныотона и ею модис])икации (см , наир , [14, 23, 26, 29, 105, 106]) Ныоюновские меч оды предполаыкн (суб)дифференцируемоеть соображения, входящею в вариационное неравенство и обладаю i дос laievmo высокой скороечью с ходи мое i и, однако требуют старта е хорошей начальной точки Проемивные метод1>1 используют взаимосвязь вариационного неравенс пза с задачей нахождения неподвижных ючек проективного соображения, имеют линейную скоросчь сходимости, которая обсч'иечиваечея с войсками сильной моноюннос 1И и линшице-вос in отображений Оелабип» ограничение сильной моноюпноечи иозволяют меч оды -же ipai радиеншою 1ипа, предложенные ГМ. Корпелсвич [СО] и А С Аш ипиным [43] и далее1 изученные, например, в рабспах [71, 67, 132] Для решения задач равновесия наиболее разработаны меюды поиска (едловых точек выпукло-вогнушх (функций (см., напр , [41, 42, 51, 53, 10, 54, 66]) Методы решения для игровых постановок задач равновесия предлагались, например), в pa6oiax [3, 43, 44, 45, 24, 68, 69, 49, 50, 55]

Одним из широко используемым подходом к исследованию и решению вариационных неравенств и задач равновесия являемся построение1 экви-валешной опт ими зационной задачи и дальнейшее применение мемодов ма-тема1ичеч'ке)П) прсмраммирования для ее решения. Важную роль в таком преобразовании шрают оценочные е])ункции (см , напр ,[125, 126, 127, 87, 101, 102]), характеризующие меру енклонения ог решения рассмафивае-мой задачи Подобные1 подходы обычно носят название мемодов спуска но оценочной функции. Для вариационных неравенс ib и задач равновесия такие мемоды описаны, например, в рабспах [14, 70, 87, 101, 127, 59, 134]

Данная диссертционная рабена посвящена одной из форм обобщений вариационною неравечкпза (0 1) — вариационно-подобным неравенс там (0 6) вида

G(x*),F(x)-F(x*)) > 0 VxGX, (0 8) где X 6 R" — замкнутое выпуклое1 множество, G,F X —> Mm заданные однозначные оюбражения Обозначим эту задачу как VLI(G, F, X)

Очевидно, чю если F(x) — х и in = п, то VT(G,X) и VLI(G, F,X) совпадают Неравенс ibo (0 8) весьма схоже с общим вариационным неравенс пзом (0 5), за исключением того, чю (0 8) выполнено для всех х е X и т ф п, а (0 5) для вее'х F{x) £ X Если определил» бифункцию b{x\x) = {G{x*),F{x)-F{x*))> то VLI(G, F, X) можно рассма1ривап> как задачу равновесия (0 7)

Хсня VLI{G, F, X) и имеем свя зь с сущес пзующими постановками вариационных неравечн из и задачами равновесия, она обладает определенной спецификой и мо/kci служип> самое юяюльным обьекюм для исследований

Побуди пильным мо1Ивом к изучению VLI(G, F, X), в часгнсхли, служи! возможное и» преобразования исходною вариационного неравенс пза (О 1) в вариационно-подобное (0 8) с целыо сокращения размерное ш и/или упрощения допус 1имой обласчи исходной 'задачи или применение иных преобразований с целыо улучшения вычисли юльных свойспз исходной 'задачи [64, 83] Кроме юю, при помощи вариационно-подобных неравенств (0.8) можно проводин» полную или час!ичную парамсчрическую коррекцию несовместных сис icm неравенс ib, чю позволясч получиib обобщенные решения рассма1риваемых некоррекшых еисчем [72, 73, 74, 75, 76, 56] В юрминах VLI(G, F, X) естеч пзечшым образом записывакнся условия равновесия экономических сис icm [78, 79, 80, 81, 82]

Основная цель работы cociohi в изучении свойспз вариационно-подобных неравенс пз вида (0 8), получении условий сущесчвования и един-спзенности решений в условиях обобщенной выпуклосчи и моноюнносчи, разработке и нч [ировании численных методов решения VLI{G,F,X). Примени ib полученные результаты для поиска обобщенных решений несовмес тых сис icm неравенств и точек равновесия в экономических системах

Научная новизна работы cociohi в построении вариационно-подобною неравенс 1ва вида (0 8) и усыновлении взаимосвязи с уже сущсч 1вующими постановками, в получении условий существования решений у вариационно-подобных неравенсi в (0 8) на ограниченном и неси раниченном допус iимых множествах в предположениях свойс ib квазивыпуклости и 0-диа1 опальной выпуклое iи, в получении условий существования и единственноеги решения в условиях сильной /''-монотонное i и, (квази, О-диаюналыюй) выпуклое i и, липшицевосчи оюбражений А ыкже, в применении ехем проек1ивною и же фаградиентною мечодов к решению вариационно-подобных неравенств, в разрабо1ке меч ода локальных выпуклых мажорат для решения вариационно-подобных неравсчк ib, основанного на минимизации выпуклой мажорашы оценочной с|)ункции в окресшо-счи приближенного речнечшя В применении вариационно-подобных неравенс ib для параметрической коррекции несовмеччных систем неравенств, а также для решения задач ipaiicnopiHom ценовою равновесия

Достоверность результатов обеспечиваемся строгими маюматче-скими доказате\льс пзами с использованием аппарата выпуклою и функциональною анализа, математическою npoi{)аммирования, юории задач дополни юльности, классической юории задач решения вариационных не>ра-венств и задач равновесия Результат, полученные в процессе проведения числечшых экснерименюв, ыкже подюерждают теоретические выкладки Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная ра-6oia носиi в основном юоречичеекий харакюр Полученные результат расширяю1 тео1)ию сущес пзования решечшй для вариационно-подобных неравенс из Пос iроенные алюршмы вносяi вклад в развюие численных методов решения вариационно-подобных неравечк из Показано, чю при помощи annapaia вариационно-подобных нс1равсчк ib (0 8) можно проводин» полную или часчичную коррекцию несовмесчных систем неравенс ib, экви-валешно переформулировав вариационные неравенс пза с целыо уменьшения размерное 1и и улучшения других вычислительных свойств задачи Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка ли1ера1уры

Заключение

Диссертционная работ посвящена исследованию вариационно-подобных неравенс ib — одному из обобщений задач решения классических вариационных неравенс ib

В рабою получены следующие основные результат

1. Для вариационно-подобных неравенств проведены теоретические исследования условий сущсч пювания и сдинс1вешюс1и решений Доказаны юоремы сущеспювания решений на ограниченном и neoi раниченном допустимых множествах в условиях квазивыпуклости и О-диагоналыюй выпуклости оюбражений Построено дуальное вариационно-подобное неравенство и установлена связь между множеством ею решений и множеством решений вариационно-подобною неравенства Получены условия единственности решения вариационно-подобною неравенс пза в предположениях (строюй, сильной) /'"-моноюннос iи, (квази-, О-диаюналыюй) выпуклости, липшице-вости оюбражений

2 Для решения вариационно-подобных неравенств предложены схемы проективного, экстраградиентного методов, метода локальных выпуклых мажорант и доказана их сходимость

3 Исследованы приложения вариационно-подобных неравенств для преобразования клаеч'ичес'ких вариационных неравенств в вариационно-подобные с целыо упрощения допустимой облае ш и/или сокращения размерности решаемых задач, для провс^дения полной или частичной параметрической коррекции несовместных еисюм неравенств и нахождения обобщенных решений этих систем Получены условия сущсч твования обобщенною решения

4 Проведена программная реализация предложенных мемодов и проделаны вычислительные эксперименты по сравнению эффективности рассматриваемых алюршмов.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы. Пос троенная теория iарантирует в определенных условиях существование и единственность решения у вариационно-подобных неравенств Для поиска решения можно использовать проективный и эксмра1 радиешный меюды, которые имеют глобальную сходи мое и», однако для этого необходимо выполнение весьма oi раничителытых предположениях о свойствах задачи. Предложенный мемод локальных выпуклых мажорант сходится к стационарным точкам введенной оценочной функции и в условиях хорошею начального приближения приводит к решению задачи Вариационно-подобные1 неравенства представляют собой удобный формализм исследования задач по-юковою равновесия и проведения параметрической коррекции несовместных систем неравенств Вычислиюльные экечнримечпы, проведенные на модельных примерах, позволяют надеяться на дек точно высокую (линейную) скорое н> сходимости предлатаемых алгоритмов

1. Байокки, К Вариационные и квазивариационные неравенства Приложения к задачам со свободной границей Текст] / К Байокки, А Капе-ло М. Наука, 1984. 29G с

2. Базара, М Нелинейное программирование Теория и алюритмы Текст] / М. Базара М., К Uleira М. Мир, 1982 - 583 с

3. Беленький, В.З. Июрагивные меюды в теории игр и программировании Tckci] / В.З Беленький, В А Волконский, С А Иванков и др — М Наука, 1974 240 с

4. Бенсусан, А Импульсное управление и квазивариационные неравенства Токе i] / А Бенсусан, Ж -Л Лионе М Наука, 1987 - 600 с

5. Борисович, К).Г. Мноюзначные оюбражения Tckci] / ЮГ Борисович, БД Гельман, АД Мышкис, В В Обуховскии // Икни науки и техники Mai ем анализ М • ВИНИТИ, 1982 Т.19 С 127-230

6. Булавский, В А Методы релаксации для систем неравенств Текст] учебное пособие / В А Булавский Новосибирск НГУ, 1981 — 84 с

7. Гловински, Р Численное исследование вариационных неравенств Текст] / Р Гловински, Ж-Л Лионе, Р Тремольер М Мир, 1979 576 с.

8. Голый 1сйн, Е Г Модифицированные функции Лагранжа Теория и меюды оптимизации Текст] / Е ГГолышейн, Н.В. Третьяков. — М Наука Гл ред с{)из-ма1 лиг, 1989 — 400 с.

9. Дюво, Г Неравенс пза в механике и с}жзике Текст] / Г Дюво, Ж-Л Лионе М Наука, 1980. 384 с.

10. Евтушенко, Ю Г Meiоды решения -ш 1ремальных задач и их применение в си( юмах онiимитации Текст] /ЮГ Евтушенко — М Наука, 1982. 432 с.

11. Карманов, В Г Маюмашческое upoi раммирование Tckci] / В Г. Карманов М Наука, 1986 288 с.

12. Киндерлерер, Д Введение в вариационные неравенства и их приложения Текс i] / Д Киндерлерер, Г Стампаккья — М Мир, 1983. — 256 с

13. Колмогоров, А Н Элементы теории функций и функциональною анализа Тексч] /АН Колмоюров, С В. Фомин М.: Наука, 1976 - 544 с

14. Коннов, И В Meiоды решения конечномерных вариационных неравенс ib Текс i]• курс лекции /ИВ Коннов — Казань Изд-во "ДАС 1998101 с

15. Левигин ЕС Теория возмущений в математическом программировании и ее приложения Текс i] / Е С Левитин М Наука, 1992. — 306 с.

16. Мулен, Э Теория игр с примерами из математической экономики Текс i] / Э Мулен М Мир, 1985. 200 с

17. Никайдо, X Выпуклые структуры и математическая экономика Текс i] / X Никайдо. М Мир, 1972 - 520 с

18. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу Текст] / Л Ниренберг, М Мир, 1977 - 232 с

19. Нурминский, Е А Численные методы решения детерминированных и стохастических минимакс ных задач Текс т] / Е А Нурминский — Киев Наук думка, 1979 — 160 с

20. Нурминский, ЕА Численные методы выпуклой отнимизации Текст] / Е А Нурминский М • Наука, 1991 168 с

21. Обен, Ж-П Нелинейный анализ и ею экономические приложения-Пер с франц / Ж -П Обен. М. Мир, 1988. - 264 е.

22. Оиойцев, В И Нелинейная сис юмосхаюка Текст] / В И Опойцев — М Наука, 1986 248 е

23. Орнча, Дж Июрационные меюды решения еис юм нелинейных уравнений со многими неизвестными Текст] / Дж Ортега, В Рейнболдг — М Мир, 1975 560 с

24. Поляк, Б Т Введение в ошимизацию Tckci] /ВТ Поляк — М Наука, 1983 384 с

25. Попов, JI Д Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополниiелышети Тежст] учеб пособие / Л Д Попов. — Ека-юринбур1 Изд-во Урал ун-ia, 2001 — 124 с.

26. Пшеничный Б Н. Численные меюды в экстремальных задачах Текст] / Б Н Пшеничный, Ю М Данилин М Наука, 1975 320 с

27. Пшеничный Б Н Необходимые условия экстремума Текст] / Б Н Пшеничный — М Наука, 1982 — 144 с

28. Смоляков, ЭР Равновесные модели при несовпадающих ишереч'ах участников Текст] /ЭР Смоляков М Наука, 1986. 244 с

29. Сухаре1», А Г Курс методов ошимизации Текс i] / А.Г. Сухарев, А В Тимохов, В.В Федоров М Наука, 1986 - 328 с

30. Тодд, М.Дж Вычисление неподвижных точек и приложения к экономике / Tckci] / М Дж Тодд М Наука, 1983 112 с

31. Arrow, К J General (4)inpetitive analysis Текс i) / К ,1 Arrow, F.H. Hahn // Mathematical Eeomoinies Te'xsts California- Holelen-Day, 1971 — 452 p

32. Conn, AR, Trust region methods Tckci] / AR Conn, NIM Gould, Ph L Toint. Philadelphia SI AM, 2000 - 959 p

33. Cottle, R W The linear complementarity problem TeKci]/ R W Cottle, .1 -S Pang, R T Stone New York. Academic press, 1992 7G2 p

34. Facchinei, F Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems Текст] / F Fac clnnei F, J -S Pang — Berlin Springer, 2001 728 p

35. Murty, Katta G Linear complementarity, linear and nonlinear Programming Internet Edition Элек! ровный ресурс] http: //юе. engin. umich. edu/people/f ac/books/murty

36. Nagurney, A. Network economics a variational inequality approach Текс i] / A. Nagurney — Norwell Kluver academ publ, 1993 326 p

37. Patriksson, M Nonlinear Programming and Variational Inequality Problems A Unified Appioach (Applied Optimization) Тексч] / M Patriksson--Berlin Springer, 200G — 356 p1. CiaibH

38. Ашипин, А.С Равновесное программирование проксимальные мею-ды Текст] / АС Ангипин // Авюма1ика и юлемеханика. — 1997. — т С 125-137

39. An iипин, А.С Об одном меюде отыскания седловой ючки модифицированной функции Ла1ранжа Текст] / АС Ашипин // Эконом и Mai ем меюды 1977 Т 13, №3. - С 560-565.

40. Ашипин, АС Градиентные и проксимальные управляемые процессы Текм] / АС Ашипин // Вонр кибернемики — 1992. — Вып 178 — С 32-67

41. Ашипин, А С О сходимос ю и оценках скорое ю сходимости проксимальных мемодов к неподвижным ючкам экстремальных оюбражений Текс i] / А.С. Ашипин // Ж вычисл маюм. и матем фи i — 1995 — Т 35, №5 С 688-704

42. Ашипин, А С Итеративные меюды upoi нснного юна для вычисления нсчюдвижных ючек -жсчремальных оюбражений Тексм] / АС Ашипин // Изв ВУЗов Математика 1995 - Ml - С 17-27

43. Ашипин, АС Вычисление неподвижных точек эксмремальных оюбражений при помощи методов 1радиентною шпа Текс i] / А С Ашипин //Ж вычисл маюм и маюм с}жз 1997 Т37, №1 С 42-53.

44. Бадрисчз, И Б Итерационные1 меюды решения вариационных неравенс ib второю рода с обратно сильно монотонными операторами Tckci] / И Б Бадриев, OA Задворнов // Изв ВУЗов Математика 2003 №6 С 20-28

45. Берщанский, Я М Течфия и мемоды ренкчтия задач дополнительности Tckci] / Я.М. Берщанский, М В Мееров // Автоматика и телемеханика 1983. - № - С 5-31

46. Воеводин В В Матрицы и вычисления Tckci] / В В Воегюдин, Ю А Кузнецов М Наука, 1984 320 с

47. Галиов, Ш И Направления убывания для минимакеиминных задач Тек(ч] / ШИ Галиов //Ж вычисл маюм. и матом, физ 19941. Т 34, №3 С 323-343

48. Галиов, Ш И Нахождение приближенных решений минимаксных задач Текст] / Ш И Галиов //Ж вычисл маюм. и маюм физ — 19941. Т 37, №12 С 1439-1448

49. Голыиюйн, Е Г Обобщенный градиентный метод отыскания (одловых ючек Тек(ч[ / ЕГ Голыиюйн // Эконом и маюм моюды — 19721. Т 8, №4 С 5G9-579

50. Голыиюйн, Е.Г Метод уровней, ею обобщения и приложения Текст] / Е.Г. Голыптейн, А С Немировекий, Ю Е Не( юров // Эконом и магем моюды 1995 Т 31, №3. - С 164-180

51. Демьянов, В Ф Численные моюды отыскания (одловых ючек Tckci] ВФ Демьянов, А Б Певный // Ж вычисл матом и маюм физ 1972 Т 12, №4 -С 1099-1127

52. Евтушенко, Ю Г Численные методы решения нокоюрых задач исследования операций Текс т] / Ю Г Евтушенко, В Г Жадан //Ж вычисл. маюм и маюм физ 1974 Т 14, №5. - С 1138-1149

53. Зуховицкий, СИ Два меюда отыскания ючек равновесия вогнутых шр 11 лиц Текст] / С И Зуховицкий, РА Поляк, М Е Примак // Доклады Академии наук СССР 1969 Т 185 , №1 - С 24-27

54. Зыкина, А В Проективный метод для систем неравенств [Текс т. / А В Зыкина, Н Б Шамрай // Доклады академии наук высшей школы России / Новосибирское оiделение АН ВШ 2005 JH(4) - С 36-43

55. Коннов, И В Об одном классе D-инюрвалытых функций для смешанных вариационных неравенств Токе i] / ИВ Коннов // Изв ВУЗов Маюмашка 1999 №12 С 60-64

56. Концов, И В Комбинированный релаксационный меюд для обобщенных вариационных неравенств Tckci] / ИВ Коннов // Изв. ВУЗов. MaieMai ика 2001 N 12 - С 46-54

57. Коннов, И В Метод спуска но интервальной функции для негладких задач равновесия Текст] /ИВ Коннов, О В. Пинягина // Изв ВУЗов MaieMai ика. 2003 - N 12 С 71-77

58. Корпелевич, ГМ Экстраградиентный меюд для отыскания еедловых точек и друтих задач Текст] / ГМ Корпелевич // Эконом и мат меюды 1976. - Т 1, ЛЧ - С 747-756

59. Нурминский, Е А Об одном классе методов выпуклою программирования Текст] / ЕА Нурминский //Ж вычисл маюм. и маюм. физ 1986 Т 26, №8 - С 1150-1159

60. Нурминский, ЕА О методе отделяющих плоскоеiей с ограниченной памятью Текст] / Е А Нурминский // Вычислительные меюды и программирование — 2006 Т 7 С 133-137

61. Нурминский, Е А. Метод локальных выпуклых мажорант для вариационно-подобных неравенств Текст] / Е А Нурминский, Н Б Шамрай // Ж вычисл маюм и маюм физ — 2007 — Т 47, N°3 С 355363

62. G5. Панин, В М Модели и методы конечномерных вариационных неравенств Тек( ij / В.М Панин, В В Скопецкий, ТВ Лаврина ТВ // Кибернетика и системный анализ. — 2000 — №6 С 47-G4

63. Попов, Л Д Модификация меiода Эрроу-Гурвица поиска еедловых точек Текс i] / Л Д Попов // Мат ем заметки 1980 Т 28, №5 - С 777-784

64. Попов, Л Д О схемах формирования ведущей последовательности в ре1уляризованном -же ipaiрадиенитом меюде решения вариационных неравенств Теки] / ЛД Попов // Изв ВУЗов. Математика 2004.1 С 70-79

65. Примак, М Е Об одном вычислительном процессе отыскания ючек равновесия Tckci] / М Е Примак // Кибернетика 1973. — №1 — С 91-96

66. Примак, М Е К вопросу об отыскании решения модели производс пза-обмена Tckci] / М Е Примак // Эконом и маюм меюды — 1979 — Т 15, № С 559-571

67. Пшеничный, Б Н Меюд решения вариационных неравенств Текст] / Б Н Пшеничный, М У Калжанов // Кибернетика и системный анализ 1992 №6 С 48-55

68. Хобоюв, Е Н О модификации экстраградиентного меюда для решения вариационных неравенств и некоюрых задач оптимизации Tckci] / EH Хобоюв //Ж высисл магем и маюм физ. — 1987. — Т 27, №10 С 1462-1473

69. Шамрай, НБ Два подхода к решению систем неравенств Tckci] / НБ Шамрай // Динамика систем, механизмов и машин. Маюриалы IV Междунар науч -юхн коне}) , посвященной 60-летию ОмГТУ (Омск,12.14 ноября 2002 г) Омск Изд-во ОмГТУ, 2002 Кн 2 С 209212

70. Шамрай, Н Б О некоторых подходах к решению систем неравенств Тексм] / НБ Шамрай // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" / ОНЦ СО РАН — Омск Полиграфический цешр КАН, 2003. — С. 18-19

71. Шамрай, Н Б О двух подходах к решению сисмем неравенств Текст] / Н Б Шамрай // Омский научный вестник, 2003 N"3 (24) С 55-57.

72. Шамрай, НБ Мсмод последовательных приближений для систем неравенс iв Tckci] / Н Б. Шамрай // Динамика систем, механизмов и машин • Матер V Междунар науч-юхн коне]) (16-18 ноябр 2004 г) / Омск • Изд-во ОмГТУ, 2004 Кн. 2 - С 351-355

73. Шамрай, Н Б Псевдообобщенное вариационное неравенство Текст] / Н Б Шамрай // Российская конференция "Дискрептый анализ и исследование операций" Материалы конференции (Новосибирск, 28 июня-2июля 2004) Новосибирск Изд-во Ин-та математики, 2004 С 137

74. Шамрай, Н Б Приложения вариационно-подобных неравенств Текст] / Н Б Шамрай // Военная техника, вооружение и юхнолении двойною применения . Материалы III Междунар технологии кошресса (Омск, 7-10 июня 2005 г) в 2 ч Омск ■ ОмГУ, 2005. Ч II - С. 146-148

75. Шамрай, II Б Применение1 вариационно-подобных неравенств для решения задач гране порiнемо ценового равновесия Теке i] / Н Б Шамрай // Информатика и сис 1емы управления 2006. — JVT01(11) — С 62-72

76. Шамрай, Н.Б. Применение1 вариационно-подобных неравенс тв для решения задач транспортного ценовою равновесия Тексч] / Н Б. Шамрай // Омский научный вес шик 2006 №4(38) С 71-74

77. Allevi, Е Partitionable mixed variational inequalities Текст] / E Allevi, A Gnudi, I V Konnov, E О Mazurkevich // Quaderm DMSIA 2003 №7 P1-13

78. Auchmuty, G Variational principles for variational inequalities Тек( г] / G Aiuhmuty // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1989- V 10 , №9-10 P 8G3-874

79. Bertsekas, D. Projection methods for variational inequalities with application to the traffic assignment problem Текст] / D Bertsekas, E Gafni // Math Programming Study 1982 №17 P 139-159.

80. Bianchi, M Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems Тек< i] / M Bianchi, S Schaible // J of Opt Theory and Appl 1996- V. 90, M. P 31-43

81. Bianchi, M. Equilibrium problems under generalized convexity and generalized monotonicity Текст] / M Bianchi, S Schaible // .Journal of Global Optimization 2004 V 30, Issue 2-3 P. 121-134.

82. Blum, E Variational principles for equilibrium problems Текст] / E Blum, W Oettli // Parametric Optimization and Related Topics III/ Edited by J Guddat, H Th Jongen, В Kummer, F Nozicka Frankfurt am Main Peter Lang, 1993 P 79-88

83. Blum, E From optimization and variational inequalities to equilibrium problem Текс i ] / E Blume, W Oettli / / The Mathematics Student -1994 V. 63 P 127-149

84. Brezis, H. A remark on Ky Fan's minimax principle Текст] / H Brezis, L Nirenberg, G Stampaechia // Bolletino della Unione Matematica Itahana- 1972 № P 293-300

85. Browder, F E On the unification of the calculus of variations and the theory of monotone nonlinear operators in Banach spaces Tckci] / F.E Browder // Prot Nat Acad Sei USA 1966 V 56. - P. 419-425

86. Dafermos, S Traffic equilibria and variational inequalities Текст] / S Dafermos // Transportation Science 1980 V 14, №1 P 42-54

87. Damilidis, A Characterization of nonsmooth semistrictly quasiconvex and strictly quasiconvex functions Текс i] / A Dannlidis, N Hadjisavvas // J of Opt Theory and Appl 1999 - V. 102 - P 525-536

88. Dion, N H Some remarks on variational-like and quasi-variational-like inequalities Tckci] / N H Dion // Bulletin of the Australian Mathematical Society 1992 V 46 P. 335-342

89. Fang, Y P Generalized nonlinear quasi-variational-like inequalities for set-valued mappings in Banadi spaces Tckci] / Fang Y P, Clio Y J , Huang N J , Kang S M // Mathematical Inequalities and Applications — 2003 — V 6 №2 P 331-337

90. Fang, S С Generalized variational Inequalities Тексг] / S С Fang, E L Petersen // ,1. of Opt Theory and Appl 1982 V 38 P. 363-383

91. Fichera, G Problomi elastostatui con vmsoli umlaterali ll problema di Signormo con ambiguo eondizioni al contorno Текст] / G Fichera // Atti A< с Naz Lmeei Mem Ser 1964 - V 8, №7 - P 91-140

92. Fukushuna, M Equivalent differentials optimization problems and dos(ont methods for asymmetric variational inequality problems Tow i] / M Fukushuna// Math Programming 1992 V.53, №1 -P 99-110

93. Fukushuna, M Merit functions for variational inequality and (omplementarity problems Текст] / M Fukushuna // Nonlinear Optimization and Applications / Edited by G.B Di Pillo, F Giannessi Now York Plenum Press, 1996 P. 155-170

94. Gailly, В A new resolution method for parametric linear complementarity problem Tckci] / В Gailly , M Installe, Y. Smeers // European Journal of Operational Research 2001. V. 128 - P 639-646

95. Harker, P.T. Newton's method for the nonlinear complementarity problem a B-differentiable equation approach Текст] / PT Harker, В Xiao // Math Programming 1990. - V 48, M. P 339-357.

96. Fan, К A generalization of Tychonoff's fixed-point theorem Текст] / К Fan // Math Annalen 1961 - V 142, №3 P. 305-310

97. Fan, К A monimax inequality and applications Tckci] / К Fan // Inequalities III / Achted by О Shisha New York Academic Press, 1972.- P 103-113

98. Karamardian, S An existence theorem for the complementarity problem Текст]/S Karamardian // Л of Opt Theory and Appl. 1976 - V 19- P 227-232

99. Konnov, IV On the generalized vector variational inequality problem Текст] / I V Korrnov, J С Yao // J of Math Analysis and Appl 1997. -V 206 - P 42-58

100. Konnov, IV On quasimonotonc variational inequalities Tckci] / IV Konnov // J of Opt Theory and Appl 1998 V.99 - P 165-181

101. Konnov, IV Duality for equilibrium problems under generalized monotomeity Tckci] / I.V. Konnov, S Sehaible // J of Opt Theory and Appl 2000 V. 104 - P 395-408

102. Konnov, I V. Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems Tckci] / I V Konnov, E О Volotskaya // J of Appl Math — 2002. V. 2, №6 - P 289-314

103. Lescarret, С Gas d'addition des applications monotones maximales dan uii espace de Hilbert Tckci] / С Lescarret // С R Acad Sci , Paris — 19G5 V 261 - P 1160-1163

104. Luc, D.T. Local uniqueness of solutions of general variational inequalities Текст] / D T Luc, M A Noor // Л of Opt. Theory and Appl 20031. V 117, M P 103-119

105. Mosco, U Implicit variational problems and quasivariational inequalities Тек( i ] / U Most о // Lect Notes Math Berlin Springer-Verlag, 1976- V 543 P 83-156

106. Nikaido, H Note on noiicooporative convex games Текст] / H Nikaido, К Isoda // Pacific J Mathematics 1955 - V 5, M - P 807-815

107. Noor, MA General Variational Inequalities Текст] / MA Noor // Applied Mathematics Letters 1988 - V. 1, №. - P 119-121

108. Noor, MA Variational-like inequalities Tckci] / MA Noor // Optimization 1994 - V 30 - P 323-330.

109. Noor, M A Sensitivity analysis for quasi-variational inequalities Текст] / M A Noor // J of Opt Theory and Appl 1997 - V 95, №2 P 399-407

110. Noor, M A Mant func tion for variational-like inequalities Tckci] / M A Noor // Mathematical Inequalities and Applications — 2000 V 3 №1.- P 117-128

111. Noor, MA Nonconvex function and variational inequalities TckciJ / M A Noor // Л of Opt Theory and Appl 2002 V 115 - P 447-452

112. Pang, J -S Asymmetric variational inequality problems over product sets applications and iterative methods Tckci] / J-S. Pang // Math. Programming 1985 V 31, №2 P 206-219

113. Parida, J A variational-hke inequality problem Текст] / Л. Parida, M. Sahoo, A Kumar // Bulletin of the Australian Mathematical Society — 1989 V 39 P 225-231

114. Patriksson, M. A Class of Gap Functions for Variational Inequalities Tckci]/М Patriksson//Math Programming 1994 V 64, №1-3 -P 53-79

115. Patriksson, M Merit functions and descent algorithms for a class of variational inequality problems Теки] / M. Patriksson // Optimization1997 V 41, №1. P 37-55

116. Peng, Л -M. Equivalence of variational inequality problems to unconstrained minimization Текст] / J -M Peng // Math. Progr — 1997 V 78, №3 P 347-355

117. Rosen, Л В Existence and uniqueness of equilibrium points for concave n-person games Tckci] / Л.В Rosen // Ecomometrica — 1965 V 33, №3. P. 520-534.

118. Siddiqi, A N On variational-hke inequalities Текст] /AN Sidchqi, A Khaliq, Q H Ansari // Annales des Sciences Mathematiques du Quebec — 1994 V 18, №1 P. 95-104

119. Stampacchia, G Formes bilineaires coercitives sur le ensembles eonvexes Теки] / G Stampacchia // Coinp Rend Acad Sci Paris 1964 V 258, №18 P 4413-4416

120. Ton, В A Time-dependent quasi-variational inequalities and the Nash equilibrium Tckci] / В A Ton // Nonlinear Analysis 2000 V 41, №7-8 P 1057-1081

121. Tseng, P On linear convergence of iterative methods for the variational inequality problem Tckci] / P. Tseng // J. of Coinput and Applied Mathematics 1995 V CO, №1-2 - P 237-252

122. Xiu, N H Global projection-type error bounds for general variational inequalities Текст] / N H Xiu, Л Z Zhang // Л. of Opt Theory and Appl.2002 V. 112, №1 P 213-228

123. Yamashita N Unconstrained optimization formulations of variational inequality problems Tckci] / N Yamashita, K. Taji, M Fukushima // J of Opt Theory and Appl 1997 - V. 92, №3. - P 439-45G

124. Zangwill, W I Equilibrium programming the path-fllowmg approach and dynamics Текст] / W I Zangwill, С В Garcia// Math Programming — 1981 V 21 - P 2G2-289.

125. Zhou, ЛХ On diagonal convexity conditions for problems in convex analysis and quasi-variational inequalities Текст] / Л X Zhou, С Goong //Л of Math Analysis and Appl 1988 V 132, №1 P 213-2251. ЭлСКфОННЫР ррсурсы

126. Stanford Виыпеьь Software Inc. Электронный ресурс] http: 11 www. sbsi -sol-opt iraize. com/asp/solproductmmos. htm

127. Octave Home Page Элекфонный ресурс] http://www.octave.org.