автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное управление внешним и внутренним долгом промышленного холдинга

На правах рукописи

Трушин Юрий Викторович

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВНЕШНИМ И ВНУТРЕННИМ ДОЛГОМ ПРОМЫШЛЕННОГО ХОЛДИНГА

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление и

обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

003169918

Работа выполнена в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зубов Николай Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Бирюков Александр Гаврилович

Ведущая организация: Институт Проблем Управления Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится 19 июня 2008 г в 16 часов на заседании диссертационного совета Д002 017 03 при Вычислительном Центре им А А Дородницына РАН по адресу 119991, г Москва, ул Вавилова, д 42 в конференц-зале

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им А А Дородницына РАН

Автореферат разослан мая 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук ¿У'Ф* Мухин А В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В Послании Президента России Федеральному Собранию РФ 16 мая 2003 года В В Путин отметил, что за десятилетие мы должны как минимум удвоить валовой внутренний продукт страны, при этом основное внимание должно быть уделено развитию промышленного производства

Развитие промышленности невозможно без внутренних и внешних инвестиций Отметим при этом, что долг государственных и частных промышленных предприятий - растет Согласно данным, представленным Центральным банком РФ, внешний долг резидентов РФ составил на 1 апреля 2007 года 339,3 млрд долларов

Активные действия представителей отечественной промышленности на финансовых рынках увеличивают их заимствования Кроме того, быстрый рост данного сегмента внешнего долга РФ является следствием повышения кредитных рейтингов России и вызванного этим роста рейтингов отдельных предприятий

Следует особо подчеркнуть, что внешний корпоративный долг формируется сравнительно небольшим числом крупнейших предприятий и банков В настоящее время сложилось положение, когда ряд российских корпораций по объему своих долгов нерезидентам превысили пороговые значения экономической безопасности, разработанные для государства в целом (Маастрихтские соглашения) А ведь помимо долгов перед нерезидентами эти же корпорации имеют крупные долги перед российскими банками Все это представляет угрозу экономической безопасности страны

Все выше сказанное делает актуальной задачу разработки эффективных методов управления внешними и внутренними долгами промышленных предприятий

Настоящая работа посвящена разработке методов численного и аналитического решения задачи оптимального управления (ОУ) (со смешанными ограничениями) долгом крупных промышленных предприятий Предположение о линейности задач является существенным сужением применимости подхода к построению численных методов решения задач ОУ, однако оно не является значительным ограничением, т к многие задачи ОУ описываются линейными моделями Задачи ОУ без смешанных ограничений решаются методом прогонки, но наличие смешанных ограничений коренным образом усложняет геометрию задачи и зачастую делает этот метод малоэффективным Развитые к настоящему времени схемы решения задач ОУ либо используют некоторые

предположения, вытекающие из их условий, таких как отсутствие фазовых ограничений или априорных предположениях о геометрии траектории оптимального управления, либо требуют других альтернативных подходов Таким образом построение вычислительных схем (ВС) для решения указанного класса задач остается актуальным Такая ВС включает численное решение задачи, проверку истинности решения, нахождение аналитического решения

Основная цель исследования состоит в разработке методологии решения линейных задач оптимального управления долгом промышленного холдинга для повышения эффективности работы предприятия

Известно, что основными методами решения задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями являются прямые методы (спуск в пространстве управлений), метод вариации фазовых переменных, метод штрафных функций, метод приращения функционала, принцип максимума

Теоретически наиболее проработанным методом решения задач ОУ является принцип максимума, но его практическое применение затруднено сложностью математического аппарата Несмотря на то, что принцип максимума и сводит задачу ОУ к краевой задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), наличие в краевых условиях связей типа равенств и неравенств значительно усложняет применение этого метода и требует, по крайней мере, решения задач

- задачи Коши для систем ОДУ,

- задачи нелинейного программирования (для каждой расчетной точки *),

- поиск нулей трансцендентных функций

Информация, полученная при решении этих задач, определяет геометрию оптимальной траектории Под последним мы понимаем зависимость от времени множества индексов активных ограничений

Другими существенными затруднениями при решении задач ОУ являются неединственность множителей Лагранжа, возможное вырождение принципа максимума, проблема выбора момента схода оптимальной траектории с ограничения типа неравенств, нерегулярность принципа максимума (что приводит к появлению обобщенных функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений)

Таким образом, изучение комплекса вычислительных процедур и методик решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе принципа максимума, является актуальной задачей

Цель работы

Основной целью диссертации является

изучение, применение и обосновании методик решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями для конкретной задачи оптимального управления долгом промышленного холдинга,

определение условий сходимости схем численного решения задач к точному решению исходной задачи

В этой работе рассмотрены вопросы, возникающие при использовании конкретного алгоритма решения конкретных линейных задач ОУ с ограничениями общего вида Используемый нами алгоритм сводит линейные задач ОУ к конечномерным задачам ЛП с последующим их решением при помощи временной дискретизации Одна из причин, понижающая надежность вычислений связана с недостаточной точностью компьютерных вычислений, тк размерность задач ЛП может достигать десятков тысяч

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи

1 Разработка численно-аналитических схем решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями

2 Обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной линейной задачи ОУ, на первом уровне которого предлагается предварительная гипотеза о геометрии оптимальных траекторий, а на втором она проверяется с использованием принципа максимума или каким-либо иным методом

3 Компьютерная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении конкретных задач

4 Исследование способов повышения эффективности численных приближенных решений

5 Анализ сходимости дискретной аппроксимации исходной задачи

Методы исследования

Для решения задачи ОУ долгом предлагается двухуровневая схема решения, на нижнем уровне решается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями, методами предварительной оценки оптимальной траектории с помощью программного пакета «Баланс-2», разработанного совместно МПО «Научный центр» и кафедрой высшей математики МФТИ На втором этапе проверяются условия оптимальности полученного численного решения с использованием принципа максимума, строится аналитическое решение Эта двухуровневая схема позволяет свести построение аналитического решения к решению задачи на нахождение условного экстремума функции нескольких переменных традиционным аппаратом математического анализа и дать один метод построения допустимых траекторий основанный на вариациях функционала по временам переключений

Научная новизна

Разработан новый двухуровневый алгоритм решения линейной задачи ОУ, на первом уровне которого предлагается предварительная гипотеза о геометрии оптимальных траекторий полученная методами предварительного численного анализа, а на втором этапе эта гипотеза проверяется с использованием принципа максимума Показано также, что разработанный двухуровневый механизм решения задачи ОУ позволяет вычислить минимизируемый функционал в виде функции нескольких переменных от времен переключения Эта функция является решением нескольких систем ОДУ, склеенных по непрерывности в точках переключений Таким образом, все начальные условия исходной задачи являются параметрами построенной функции Краевые условия задачи ОУ типа равенства в конечной точке представляются в виде функций переключений и рассматриваются как условия связи, а сама задача ОУ интерпретируется как задача на условный экстремум функции многих переменных, которая решается стандартным образом с использованием классической функции Лагранжа Рассмотренная схема была апробирована при решении задачи управления внешним долгом На основе этого метода также предложен метод построения допустимых траекторий при помощи вариаций времен переключений

Разработана также методика численного решения систем ОДУ, позволяющая вводить для разнотемповых процессов свое дискретное время (предложено к изучению Дикусаром В В), исследован один подход явного итеративного решения систем ОДУ, построены и изучены два монотонных оператора в конечномерных пространствах, дающих возможность обоснования сходимости итерационных процессов численного решения задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач, основанные на методе монотонного штрафа

Обоснованность научных положений

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны

Практическая ценность

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в исследовании, применялись для решения различных практических задач моделирования экономических процессов в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН Также результаты работы могут использоваться для качественного и численного анализа выбора

оптимального управления внешним и внутренним долгом промышленного холдинга

Апробация работ

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на 46 (2003 г), 48 (2005 г), 49 (2006 г) и 50 (2007 г) научных конференциях МФТИ, на международной конференции Computer Algebra Systems in Teaching and Research, 4 International Workshop, CASTR 2007 Siedlce, Poland [111]

Личный вклад

Основные результаты исследования отражены в шестнадцати публикациях Список работ приведен в конце автореферата В совместных работах [5-16] автору принадлежат результаты в равных долях

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и четырех глав Основное содержание диссертации изложено на 156 страницах печатного текста Список использованной литературы составляет 103 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Для решения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями предлагается двухуровневая схема решения задачи, на нижнем уровне которой решается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями методами предварительной оценки оптимальной траектории, а на втором -дается построение аналитического решения На первом уровне существенно используются методы численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и задачи линейного программирования (ЛП) Поэтому в работе уделено достаточно внимания разработке эффективных способов решения задач СОДУ, СЛАУ и ЛП, которым посвящены две последние главы диссертации

Во «Введение» изложены обоснование предмета и цели исследования, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны, практической значимости и апробации полученных результатов

Во первой главе «Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида» дается описание вариационных задач оптимального управления Понтрягина, Блисса-Больца (Майера,

Лагранжа), каноническая задача Дубовицкого-Милютина Эта глава носит обзорный характер

Во второй главе «Задача оптимального управления внешним долгом» рассматриваются две постановки задачи оптимального управления внешним долгом (задача I и задача II) Они отличаются числом фазовых переменных, управляющих параметров фазовых и смешанных ограничений Эти задачи были предложены для изучения научным руководителем Дикусаром В В При изучении задачи I было показано, что, используя априорные предположения о геометрии оптимальной траектории, полученные при приближенных вычислениях программой «Баланс 2», можно найти эти траектории, доказать их оптимальность методами принципа максимума Понтрягина Оптимальность же решения задачи II была проверена стандартными методами математического анализа

В первом параграфе этой главы рассматривалась постановка задачи I Объектом исследования является модель двухсекторной открытой экономической системы на временном интервале Р^Т], все переменные которой неотрицательны и нормированы на одного работника Первый сектор производит сырье и продукцию первичной переработки, а второй — продукцию конечного потребления (потребительские товары и фондообразующую продукцию для обоих секторов) Экономика считается открытой, те система обменивается продукцией с окружающим миром При этом объем экспорта второго сектора предполагается пренебрежительно малым по сравнению с объемом экспорта первого сектора и в модели не рассматривается

Предполагается, что производственная функция каждого из секторов имеет постоянную отдачу от масштаба производства и что связь между фондовооруженностью труда ^ (/),/ = 1,2 ^ и его производительностью определяется в секторе ' функцией вида

У, = /(*,)>' = !> 2, (2 1)

где /,(х:)>' = 1,2; удовлетворяют неоклассическим условиям

/'(*,)> о, Г.ЬХ 1 = 1,2

Динамика фондовооруженности в '-м = секторе задана уравнением

= х, +и, + и2,

, (2 2)

где М|>' = 1>2; — коэффициенты амортизации, и\ — поток внешних инвестиций в 1-й сектор, Щ — поток фондообразующей продукции из второго сектора в первый, мз — поток внешних инвестиций во 2-й сектор, и4 — шток фондообразующей продукции второго сектора, направленный на собственное развитие

Уравнение баланса продукции для первого сектора имеет вид

/А) = е(') + <*,/(*,) + «2/2 (*2) (2 3)

Здесь е(') — поток экспорта первого сектора, a a,fXxX'= 1> 2^ — потребление продукции первого сектора в соответствующих отраслях Балансовое уравнение для второго сектора задается равенством

/2(х2) = и2+и4+с2М, (2 4)

где с2 — поток продукции, направленный на неинвестиционное потребление

В рассматриваемой модели предполагается, что потоки экспорта и импорта определяют динамику внешнего долга Пусть -*з = хз ^ означает внешний долг в момент времени 1 Тогда

= +и1+щ+и5- ve(t); (2 5)

где обозначает поток обслуживания внешнего долга, us = Щ W — поток импорта потребительских товаров, коэффициент v служит для сопоставления внутренних и внешних цен

Предполагается, что поток потребления не может быть меньше некоторого минимального значения

и,(/) + с2(/)>с„, /е[0,Т] (2 6)

Кроме того, уровень фондовооруженности во втором секторе не должен падать ниже некоторого критического уровня

*2W>*2»m. 'е[0,Т] (2 7)

Смысл ограничения (2 7) состоит в том, что падение фондовооруженности в этом секторе ниже указанного критического уровня означает деиндустриализацию государства и утрату технологической независимости

Значение внешнего долга не может превышать некоторого порогового уровня, за которым следует финансовое банкротство страны

*,(')<JW'6[0,T] (2 8)

Начальное состояние системы известно

х, (0) = х10, х2 (0) = *20, (0) = х30 (2 9)

Задача рассматривается задача о минимизации внешнего долга при наличии ограничений (2 1)—(2 9), т е

■х3 (Т) —+ mm (2Ю)

и заданных краевых условиях

дг1(Т) = *„, х2(Т) = х21 (2 11)

В параграфе 2 11 изучается первое приближение задачи определяемое линейной задачей ОУ

Найти X) (T)-*min х2 при следующих ограничениях Система линейных ОДУ

'Х>=-тщщ,

Фазовые ограничения типа неравенств

х1пт<х2(1)<а 2, 0<х,(!)<,х,^

Смешанные ограничения типа равенств иг(г)+н4(/)=уЗЛ(г)-с2

Ограничения на управляющие функции типа неравенств

' = 15, и5>стт-с2 Начальные и краевые условиями *,(0) = х,о, / = 1,2,3, х,(Т) = х,„ / = 1,2

В §2 1 2 рассматривается задача со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство и снятие фазовых ограничений типа равенство В том параграфе снимается ограничение типа равенства Ал(0~с2 Его можно снять двумя различными

способами "2(')=А*2(')-"4(0-с2 (2 21) или "4 (') = А^з 0) - "г (0 - сг (2 22)

В §2 1 3 смешанное ограничение "2 (') + "а (')=Ргхг (') ~ С1 снималось равенством (3 21)

В §2 1 4 смешанное ограничение "2 (') + (')=р2х1 (') ~ сг снималось равенством (2 22)

В §§2 1 3-2 1 4 изучается вид решения прямой и сопряженной задачи ОУ в зависимости от параметров задачи

В §2 1 5 дается реализация численного решения основной системы с некоторыми фиксированными параметрами задачи

В §2 1 6 при помощи метода предварительной оценки оптимальной траектории программным пакетом «Баланс-2» получено дискретное приближение для решения задачи управления внешним долгом с конкретными числовыми значениями параметров модели, формулируются гипотезы о геометрии оптимального процесса, находятся его характеристики и доказывается его оптимальность В §2 1 7 дается заключение по изучению задачи I В §2 2 1 дается постановка задачи II (динамическая модель обслуживания внешнего государственного долга) Для приближенной линейной постановки задачи ОУ имеем систему линейных ДУ

X, =Щ +Щ, х2 = щ +щ, ■ х3 = р}х} +их +щ +м5 -ки6,

=ДИ6.

*5 =РгЩ

с фазовыми ограничения типа неравенств О < х, (г) - х4 (/), < х2 (?) - х5 (0, 0 < х3 (г) < х3юх смешанными ограничениями типа неравенств

"б (0 - «1 (*, (0 - Х4 (0) * °> "7 (0 - «2 (*2 (0 - *5 (0) * 0

ограничениями на управляющие функции типа неравенств и,(/)*0, «=Г7,

начальными и краевыми условиями

*1(0) = *1о. х2(0) = х2О, х}(0) = х30, х4(0) = х40, х5 (0) = х50 > и целевую функцию хз ~^ тш

В §2 2 2 дается решение задачи II методами классического математического анализа В этом параграфе построено аналитическое решение исследуемой задачи как функция времен переключений, вычислен минимизируемый функционал и краевые условия как функция тех же параметров В этой задаче было четыре точки переключения

'р 'г' 'з > 'д, поэтому мы вычислили функцию хз {Т) = Х1 т ('1' '2' 'з > '4), два

условия связи з>О = 0, *2-57 ('р 'г> 'з> = ® и исследовали

эту функцию на условный экстремум

В этом параграфе найдены стационарные точки безусловного

экстремума функции хз т

одна из которых оказалась седловой точкой, а другая точкой локального минимума Эти результаты были получены с привлечением математического пакета МАРЬЕ

Здесь же приводится аналитическое решение этой задачи, взятое из диссертации Д А Чекарева, которые совпадают с полученными в этом параграфе вычислениями

В §2 2 3 на основе исследований проведенных в §2 2 2 предложен метод вариации минимизируемого функционала по временам переключений При изучении задачи II был проделан следующий численный эксперимент В поставленной задаче мы изменили краевые

условия при * = а именно закрепили первое условие хг-5 (Т) = 0, а для

второго условия х1-4 (Т) предположили, что х\-л - О

Таким образом, условие равенства заменили условием неравенства Вычисленная в предыдущем параграфе траектория является допустимой для предложенного случая Путем некоторых вариаций времен переключений можно получить другие траектории При этих вариациях мы будем стараться сохранять первое условие, и идти в направлении

увеличения х1-4 (Т) и уменьшения хз (Т) В результате этих вычислений получены другие допустимые (в новой постановке) траектории с меньшим функционалом хз (Т)

В третьей главе «Явные вычислительные схемы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений» приведены в основном результаты посвященные изучению некоторых итерационных процессов предназначенных для решения систем ОДУ, доказательство их сходимости с оценкой скорости сходимости

В начале главы дается небольшое описание классических методов численного решения задачи Коши для систем ОДУ В §3 1 приведены обозначения и некоторые вспомогательные результаты, в §3 2 изучаются некоторые итерационные процессы (ИП) для систем ОДУ Для задачи Коши системы ОДУ с постоянными коэффициентами и симметричной матрицей х = Ах +/, х(0) = 0, А = АТ, /4(г)еС([0,Г]),

г I \

, а>О

/ е Я , предлагается ИП х„+1 -хп—а

- \{Ах» +

Обозначим Л,, ,Л/ - собственные числа матрицы А Доказана теорема о скорости сходимости ИП при различных соотношениях между собственными числами Приведем формулировку этого результата

Теорема 3.1. Последовательность {ХЛ, п-1, 2, последовательных приближений (ИП1) сходится по норме Ц2 = II 1^([о,г]) к решению х0 задачи Коши с оценкой скорости сходимости

п-1

IIх»-х4 - *1 II > ^С0'1),

где х, произвольная, непрерывная на [О, Г] функция, при следующих дополнительных ограничениях 1) ^^0,1 = 1^1,

11) а €

0,

2 + 1}Т

ограничения на соотношение между Ь и Т нет, Т

12) а = = 1Т <^¡2,

13) ае

1.

4 + 2ЛпТ

тт

' 2 + 2ЛТ + Ь2Т2

2) Я1шх>0,ятт<0)1 = шах(|ягаш|,|ягаах|),

2 1) а е

'о 4~2Л™*Т " ' 2 +1?Т2 ~2ЛГГШТ ;

п

(0,1),

я = ^(1 - а)2 + а (1 - а) ЯиахГ + а2Ь2 —, < 2,

2 2)

Г

2 3) сс е

1.

4 + 2ЯтшГ '2 + 2 ЛТ + Ь2Т2

4 = х1(1-а)2-а(а-1)ЛтшТ + а212 — ,

3) Л,,„>о=

4-2 ЯтахГ

п(0,1),

3 1) «е

Я = ^{\-а)2 +а(\-а)Л^Т + а2Ь2 — , 2,

Т

32) а = 1, Ч = ЬТ<Л,

3 3) «6 1

2 + Ь2Т2

Аналогично изучаются случаи с несимметричной диагонализуемой матрицей и с непрерывной правой частью, удовлетворяющей условию

Липшица (х = /(*>')), в этом случае изучается несколько типов ИП

/

о

Для них доказываются теоремы аналогичные теореме 3 1 о скорости сходимости ИП в нормах || Г]) и || |С([0 г])

В §3 3 вводятся и изучаются последовательности согласованных ИП, в §3 4 исследуется связь интегральных и разностных ИП, здесь же вычисляется оценка погрешности перехода от интегрального к разностному ИП, в §3 5 дается программная реализация ИП, а в §3 6 приведены результаты вычислений §3 7 посвящен изучению одной явной схемы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах с большим параметром, здесь предложена методика численного решения, систем ОДУ, позволяющая вводить для разнотемповых процессов свое дискретное время для каждого уравнения системы В §3 8 даны доказательства теорем, сформулированных в §3 2

В четвертой главе «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений и задачи линейного программирования, основанные на теории операторов монотонного типа» построены два монотонных оператора, которые можно использовать в качестве операторов штрафа при построении итерационных методов решения СЛАУ и задач ЛП Глава содержит 5 параграфов — краткое описание классических методов, о решении вариационных неравенств в 7?", о сходимости одной итерации, построение монотонного коэрцитивного оператора, ядром которого является симплекс и решение с его помощью задачи линейного программирования, сведение задачи нахождения решения СЛАУ к решению ВН

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Разработана новая методика решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, численного решения систем ОДУ, задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач

Данная методика позволяют получить численное решение задачи ОУ, и, при необходимости, проверить его аналитически

На основе предложенного подхода

1) создана двухуровневая методика численного решения линейных параметрических задач ОУ со смешанными ограничениями (смешанные ограничения типа равенств изучались в случае исключения этих ограничений с уменьшением размерности вектора управлений), данная методика позволяют получить не только численное решение задачи ОУ, но и, при необходимости, проверить его аналитически,

2) исследована линейная модель оптимального управления внешним долгом,

3) проведен численный анализ модели, показавший эффективность предложенного подхода,

4) изучен способ решения задачи ОУ позволяющий вычислить и исследовать минимизируемый функционал в виде функции нескольких переменных от времен переключения,

5) построены итерационные процессы решения систем ОДУ, задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Трушин Ю В Исследование решения задачи оптимального управления внешним долгом // Обработка информации и моделирование Москва, 2002 С 230-237

2 Трушин ЮВ Задача оптимального управления внешним долгом Дипломная работа на звание бакалавра Кафедра высшей математики МФТИ 2002 22 с

3 Трушин Ю В Некоторые явные схемы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах с большим параметром // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVI научной конференции МФТИ Ч VII - Москва-Долгопрудный, 2003 - С 84

4 Трушин Ю В Методы решения задачи Коши с большим параметром для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Кафедра высшей математики МФТИ 2004 50 с

5 Трушин Ю В , Шомполова О И Один итерационный метод решения задачи Коши с большим параметром для систем ОДУ // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVIII научной конференции МФТИ Секция педагогики и информационных технологий - Москва-Долгопрудный, 2005 - С 25-26

6 Трушин Ю В , Шомполова О И Некоторые явные схемы численного решения систем ОДУ в задачах с большим параметром // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVIII научной конференции МФТИ Секция педагогики и информационных технологий - Москва-Долгопрудный, 2005 - С 27-30

7 Трушин Ю В, Шомполова О И Некоторые явные схемы решения систем ОДУ с большим параметром Труды Института системного анализа Российской Академии Наук Динамика неоднородных систем Выпуск 9(2)-М КомКнига, 2005 -С 146-150

8 Трушин Ю В Решение систем линейных уравнений с большим числом обусловленности при помощи одной задачи с монотонным оператором штрафа Труды Института системного анализа Российской Академии Наук Динамика неоднородных систем Выпуск 9(2) -М КомКнига, 2005 -С 193-203

9 Трушин В Б , Трушин Ю В , Шомполова О И Свойства одной функции

штрафа // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 49 научной конференции МФТИ Ч VII - Москва-Долгопрудный, 2006 - С 12

10 Трушин ВБ, Трушин ЮВ, Шомпол ова О И Сведение задачи линейного программирования к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ - Москва-Долгопрудный, 2006-С 152

11 Трушин В Б , Трушин Ю В , Шомполова О И Сведение задачи линейного программирования к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ - Москва-Долгопрудный, 2006-С 152

12 Трушин В Б, Трушин Ю В, Шомполова О И О монотонности и коэрцитивное™ одного отображения // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ - Москва-Долгопрудный, 2006 - С 153

13 Трушин В Б, Трушин Ю В, Шомполова О И Сведение систем линейных уравнений к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ - Москва-Долгопрудный, 2006 - С 154

14 Трушин Ю В, Шомполова О И О решении невырожденных систем линейных уравнений методом монотонного штрафа // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 50 научной конференции МФТИ Ч VII Управление и прикладная математика Т 1 - М МФТИ, 2007- С 35 - 38

15 Трушин Ю В , Шомполова О И Доказательство свойств монотонности, строгой и сильной монотонности одного оператора в R-n элементарными методами математического анализа и линейной алгебры, доступными первокурснику // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 50 научной конференции МФТИ Ч X - М МФТИ, 2007- С 63 - 64

16 Trushin J V, Dikusar VV, Trushin VB, Shompolova OI Solving of Linear Equations with Large Number of Conditions by Means of the Penalty Monotonous Operator // Computer Algebra Systems in Teaching and Research / 4 International Workshop, CASTR 2007 Siedlce, Poland, January 31 - February 3, 2007, Proceedings/ Wydawnictwo Akademn Podlaskiej Siedlce 2007 P 79 - 86

Подписано в печать14 05 2008 г Исполнено 14 05 2008 г Печать трафаретная

Заказ № 123 Тираж 80 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш , 36 (495)975-78-56 www autoreferat ru

Введение

1. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего

1.1. Задача Понтрягина.

1.2. Задача Блисса-Больца (Лагранжа, Майера).

1.3. Каноническая задача Дубовицкого-Милютина.

1.3.1. Каноническая задача оптимального управления с гладкой зависимостью от времени.

1.3.2. Локально-выпуклые функции конечномерного пространства z, у по у.

1.3.3. Предположения, при выполнении которых проводится вариационное исследование Задачи А.

1.3.4. v-стационарность.

1.3.5. Структура смешанных ограничений.

1.3.6. Интегральный принцип максимума в регулярном случае.

1.3.7. Замыкан ие по мере.

1.3.8. Интегральный принцип максимума в нерегулярном случае (принцип максимума По).

1.3.9. Каноническая задача с непрерывной зависимостью от времени при фиксированном t\.

1.4. Класс задач оптимального управления, сводящихся к каноническим Задачам А и В.

1.5. О возможном характере меры для смешанных ограничений.

1.6. Фазовые ограничения.

1.6.1. Фазовые ограничения типа равенств.

1.6.2. Фазовые ограничения типа неравенств.

1.7. Теорема существования для задачи оптимального управления.

2. Задача оптимального управления внешним долгом

2.1. Постановка задачи 1.

2.1.1. Первое приближение.

2.1.2. Задача со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство и снятие фазовых ограничений типа равенство.

2.1.3. Учет смешанного ограничения типа равенства

3.21 ).

2.1.4. Учет смешанного ограничения типа равенства

3.22 ).

2.1.5. Численная реализация основной системы, с учетом смешанного ограничения типа равенства (3.21) в задаче со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство.

2.1.6. Пример аналитического исследования необходимых условий в задаче с фазовыми ограничениями.

Формулировка темы работы. Актуальность

В Послании Президента России Федеральному Собранию РФ 16 мая 2003 года В.В.Путин отметил, что за десятилетие мы должны как минимум удвоить валовой внутренний продукт страны, при этом основное внимание должно быть уделено развитию промышленного производства.

Развитие промышленности невозможно без внутренних и внешних инвестиций. Отметим при этом, что долг государственных и частных промышленных предприятий — растет. Согласно данным, представленным Центральным банком РФ, внешний долг резидентов РФ составил на 1 апреля 2007 года 339,3 млрд долларов.

Активные действия представителей отечественной промышленности на финансовых рынках увеличивают их заимствования. Кроме того, быстрый рост данного сегмента внешнего долга РФ является следствием повышения кредитных рейтингов России и вызванного этим роста рейтингов отдельных предприятий.

Следует особо подчеркнуть, что внешний корпоративный долг формируется сравнительно небольшим числом крупнейших предприятий и банков. В настоящее время сложилось положение, когда ряд российских корпораций по объему своих долгов нерезидентам превысили пороговые значения экономической безопасности, разработанные для государства в целом (Маастрихтские соглашения). А ведь помимо долгов перед нерезидентами эти же корпорации имеют крупные долги перед российскими банками. Все это представляет угрозу экономической безопасности страны.

Все выше сказанное делает актуальной задачу разработки эффективных методов управления внешними и внутренними долгами промышленных предприятий.

Настоящая работа посвящена разработке методов численного и аналитического решения задачи оптимального управления (ОУ) (со смешанными ограничениями) долгом крупных промышленных предприятий. Предположение о линейности задач является существенным сужением применимости подхода к построению численных методов решения задач ОУ, однако оно не является значительным ограничением, т.к. многие задачи ОУ описываются линейными моделями. Задачи ОУ без смешанных ограничений решаются методом прогонки, но наличие смешанных ограничений коренным образом усложняет геометрию задачи и зачастую делает этот метод малоэффективным. Развитые к настоящему времени схемы решения задач ОУ либо используют некоторые предположения, вытекающие из их условий, таких как отсутствие фазовых ограничений или априорных предположениях о геометрии траектории оптимального управления, либо требуют других альтернативных подходов. Таким образом построение вычислительных схем (ВС) для решения указанного класса задач остается актуальным. Такая ВС включает: численное решение задачи, проверку истинности решения, нахождение аналитического решения.

Основная цель исследования состоит в разработке методологии решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями, условий устойчивости и сходимости численного решения задач, полученных применением метода дискретной аппроксимации.

В соответствии с целью исследования рассмотрены следующие задачи:

1. Изучение численно-аналитических схем решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями и их обоснование;

2. Обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной задачи ОУ

3. Численная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении задач ОУ;

4. Изучение устойчивости и сходимости дискретной аппроксимации;

Известно, что основными методами решения задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений), метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; метод приращения функционала; принцип максимума.

Теоретически наиболее проработанным методом решения задач ОУ является принцип максимума, но его практическое применение затруднено сложностью математического аппарата. Несмотря на то, что принцип максимума и сводит задачу ОУ к краевой задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), наличие в краевых условиях связей типа равенств и неравенств значительно усложняет применение этого метода и требует, по крайней мере, решения задач:

- задача Коши для систем ОДУ;

- задачи нелинейного программирования (для каждой расчетной точки t );

- поиск нулей трансцендентных функций.

Информация, полученная при решении этих задач, определяет геометрию оптимальной траектории. Под последним мы понимаем зависимость от времени множества индексов активных ограничений.

Другими существенными затруднениями при решении задач ОУ являются: неединственность множителей Лагранжа, возможное вырождение принципа максимума, проблема выбора момента схода оптимальной траектории с ограничения типа неравенств, нерегулярность принципа максимума (что приводит к появлению обобщенных функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений).

Таким образом, изучение комплекса вычислительных процедур и методик решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе принципа максимума, является актуальной задачей.

Принцип максимума для простейшей нелинейной задачи ОУ сформулирован Л.С. Понтрягиным и обоснован В.Г. Болтянским [65, 67]. Библиография работ, посвященных использованию принципа максимума в ОУ чрезвычайно обширна (см., например, [59, 71, 82]). Наиболее глубокие исследования можно найти в работах А.А. Милютина и А.Я. Дубовицкого [5, 34, 35, 37, 57]. В них принцип максимума был распространен на широкий класс задач (с фазовыми и смешанными ограничениями, в том числе и нерегулярными). В этих работах они практически полностью решили теоретическую проблему получения необходимых условий первого порядка для указанных задач. Однако<при практическом решении задач Коши при применении этих схем возникают сложные проблемы, требующие применения специальных методов. Отметим, прежде всего, проблему жесткости задачи Коши, возникающей в задачах ОДУ из-за рассмотрения разнотемповых процессов. Рассмотрение класса жестких систем как в системах ОДУ так и СЛАУ (системах линейных алгебраических уравнений) вызвано значительными затруднениями при их численного решении классическими явными методами. Малый шаг интегрирования ОДУ, используемый при больших по модулю производных правых частях одних уравнений системы, не может быть увеличен для других, хотя производные там существенно меньше. Существуют различные методы решения этой проблемы [14, 22, 40, 42, 48, 53, 54, 59], но проблема численного решения жестких систем остается актуальной, что связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов.

Численных методы решения систем ОДУ можно условно разбить на два класса. Первый связан с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др. [55, 76, 81, 83]). Второй - с расширением применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др. [31, 33, 49, 51, 77]). Отметим также проявление жесткости некоторых задач, с трудом поддающихся решению из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Трудности, связанные с жесткостью системы такого типа, могут существенно осложнить применение принципа максимума [42, 70, 78].

Предварительное описание геометрии оптимальной траектории обычно изучается методом приращения функционала или дискретизацией исходной непрерывной задачи. В этом случае мы получим задачу нелинейного программирования (НП) большой размерности. Частным случаем, изучаемым нами, это будет задача линейного программирования (ЛП). Использование НП и ЛП при решении задач ОУ посвящены многочисленные исследования. Отметим работы [3, 16, 17, 19, 20, 24, 28, 43, 46, 49, 62, 64, 68], содержащие результаты полезные для практики.

Ю.Г. Евтушенко и В.Г. Жадан [43, 44] изучали идеи проектирования градиента и метода барьерных функций в общих задачах НП. Численная реализация этих идей была реализована программно и включена в библиотеку ДИСО[51]. Отметим, что метод внутренней точки для задач ЛП [2] вытекает из работ Ю.Г. Евтушенко и В.Г. Жадана как частный случай.

Решение задач ОУ методами дискретизации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые обычно, плохо обусловлены. Для плохо обусловленных задач разработаны специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушинский, Л.В. Гончарский, Ф.П. Васильев и др. [7, 10, 17, 27, 38, 41, 45, 61]). О.Л. Мангасарьян и его сотрудники [4] основное внимание уделяют нахождению нормальных решений задач ЛП, а А.А. Левиков., А.Е. Умнов сводят задачу ЛП к задачам нелинейной параметрической минимизации [52, 74]. При решении задач с применением квадратичного и линейного программирования применяются конечные и итеративные методы (Поляк Б.Т., Афанасьев А.П., Дикусар В.В., и др. [6, 13]). Плохая обусловленность указанных задач являлась основной трудностью при их решении. При изучении ряда задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается. Для исследования таких задач надо применять методы высших порядков [1, 21, 23, 29, 32, 85]. Многие авторы, пытались решить эту проблему расширением границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах. (В основном были получены теоремы существования принципа максимума для вырожденного случая). Отметим здесь так же работу Дикусара В.В. [30], который в этой ситуации начал применять методы регуляризации структуры ограничений.

Отметим так же результаты использования принципа максимума для решения прикладных задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями [18, 39, 47, 63, 75, 84].

Место работы в современной науке

При применении алгоритмов решения задач возможны четыре случая:

1) Некорректный алгоритм применяется к некорректной задаче.

2) Некорректный алгоритм применяется к корректной задаче.

3) Корректный алгоритм применяется к некорректной задаче.

4) Корректный алгоритм применяется к корректной задаче.

Наиболее значимым является последний случай. В этой ситуации изучаются возможности корректного применения алгоритма к численному решению задачи. В этой работе изучаются проблемы, возникающие при применении некоторых конкретных корректных алгоритмов к некоторым конкретным корректным модельным задачам.

Цель и задачи исследования

Основной целью диссертации является: изучение, применение и обосновании методик решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями для конкретной задачи оптимального управления долгом промышленного холдинга;

- определение условий сходимости схем численного решения задач к точному решению исходной задачи.

В этой работе рассмотрены вопросы, возникающие при использовании конкретного алгоритма решения конкретных линейных задач ОУ с ограничениями общего вида. Используемый нами алгоритм сводит линейные задач ОУ к конечномерным задачам ЛП с последующим их решением при помощи временной дискретизации. Одна из причин, понижающая надежность вычислений связана с недостаточной точностью компьютерных вычислений, т.к. размерность задач ЛП может достигать десятков тысяч.

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи:

1. Разработка численно-аналитических схем решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями.

2. Обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной линейной задачи ОУ, на первом уровне которого предлагается предварительная гипотеза о геометрии оптимальных траекторий, а на втором она проверяется с использованием принципа максимума или каким-либо иным методом.

3. Компьютерная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении конкретных задач.

4. Исследование способов повышения эффективности численных приближенных решений.

5. Анализ сходимости дискретной аппроксимации исходной задачи.

Научная новизна исследования

Разработан новый двухуровневый алгоритм решения линейной задачи ОУ, на первом уровне которого предлагается предварительная гипотеза о геометрии оптимальных траекторий полученная методами предварительного численного анализа, а на втором этапе эта гипотеза проверяется с использованием принципа максимума. Показано также, что разработанный двухуровневый механизм решения задачи ОУ позволяет вычислить минимизируемый функционал в виде функции нескольких переменных от времен переключения. Эта функция является решением нескольких систем ОДУ, склеенных по непрерывности в точках переключений. Таким образом, все начальные условия исходной задачи являются параметрами построенной функции. Краевые условия задачи ОУ типа равенства в конечной точке представляются в виде функций переключений и рассматриваются как условия связи, а сама задача ОУ интерпретируется как задача на условный экстремум функции многих переменных, которая решается стандартным образом с использованием классической функции Лагранжа. Рассмотренная схема была апробирована при решении задачи управления внешним долгом. На основе этого метода также предложен метод построения допустимых траекторий при помощи вариаций времен переключений.

Разработана также методика численного решения систем ОДУ, позволяющая вводить для разнотемповых процессов свое дискретное время (предложено к изучению Дикусаром В.В), исследован один подход явного итеративного решения систем ОДУ, построены и изучены два монотонных оператора в конечномерных пространствах, дающих возможность обоснования сходимости итерационных процессов численного решения задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач, основанные на методе монотонного штрафа.

Предлагаемый подход к решению

Для решения задачи ОУ долгом предлагается двухуровневая схема решения, на нижнем уровне решается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями, методами предварительной оценки оптимальной траектории с помощью программного пакета [74] «Баланс-2», разработанного совместно МПО «Научный центр» и кафедрой высшей математики МФТИ. На втором этапе проверяются условия оптимальности полученного численного решения с использованием принципа максимума, строится аналитическое решение. Эта двухуровневая схема позволяет свести построение аналитического решения к решению задачи на нахождение условного экстремума функции нескольких переменных традиционным аппаратом математического анализа и дать один метод построения допустимых траекторий основанный на вариациях функционала по временам переключений.

Основное содержание работы

Для решения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями предлагается двухуровневая схема решения задачи, на нижнем уровне которой решается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями методами предварительной оценки оптимальной траектории, а на втором - дается построение аналитического решения. На первом уровне существенно используются методы численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и задачи линейного программирования (ЛП). Поэтому в работе уделено достаточно внимания разработке эффективных способов решения задач СОДУ, СЛАУ и ЛП, которым посвящены две последние главы диссертации.

Во «Введение» изложены обоснование предмета и цели исследования, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны, практической значимости и апробации полученных результатов.

В первой главе «Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида» дается описание вариационных задач оптимального управления Понтрягина, Блисса-Больца (Майера, Лагранжа), каноническая задача Дубовицкого-Милютина. Эта глава носит обзорный характер.

Во второй главе «Задача оптимального управления внешним долгом» рассматриваются две постановки задачи оптимального управления внешним долгом (задача I и задача II). Они отличаются числом фазовых переменных, управляющих параметров фазовых и смешанных ограничений. Эти задачи были предложены для изучения научным руководителем Дикусаром В.В. При изучении задачи I было показано, что, используя априорные предположения о геометрии оптимальной траектории, полученные при приближенных вычислениях программой «Баланс 2», можно найти эти траектории, доказать их оптимальность методами принципа максимума Понтрягина. Оптимальность же решения задачи II была проверена стандартными методами математического анализа.

В первом параграфе этой главы рассматривалась постановка задачи I.

В §2.1.1 изучается первое приближение задачи определяемое линейной задачей ОУ.

Найти х3 (Т) —> min при следующих ограничениях.

Система линейных ОДУ: Jd^Xy "I* 14j 4* ^ Х2 = -JU2X2 + »з + ll4,

X, = jU^Xj + ы, + иъ + и5 - ^[Х, + у2х2.

Фазовые ограничения типа неравенств: x2m.m<x2{t)<a2, 0<х3{()<х3тях.

Смешанные ограничения типа равенств: u2(t)+u4(t) = p2x2(t)-c2.

Ограничения на управляющие функции типа неравенств:

0<ы,(/)<и п, / = 1,5, u5>cmin-c2.

Начальные и краевые условиями: х,(0) = х,0, / = 1,2,3, х,(Т) = л-„, / = 1,2.

В §2.1.2 рассматривается задача со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство и снятие фазовых ограничений типа равенство. В том параграфе снимается ограничение типа равенства и2 (t^ + u4 (?) = ft2x2 (t)-c2. Его можно снять двумя различными способами и2 (/) = Р2х2 (/)—«4 (0~с2 (2.21) или uA{t) = p2x2{t)-u2(t)-c2 (2.22).

В §2.1.3 смешанное ограничение u2(t) + iij(t) = fi2x2(t)-c2 снималось равенством (2.21).

В §2.1.4 смешанное ограничение u2(t)+u4(t) = J32x2(t)-c2 снималось равенством (2.22).

В §§2.1.3-2.1.4 изучается вид решения прямой и сопряженной задачи ОУ в зависимости от параметров задачи.

В §2.1.5 дается реализация численного решения основной системы с некоторыми фиксированными параметрами задачи.

В §2.1.6 при помощи метода предварительной оценки оптимальной траектории программным пакетом «Баланс-2» получено дискретное приближение для решения задачи управления внешним долгом с конкретными числовыми значениями параметров модели, формулируются гипотезы о геометрии оптимального процесса, находятся его характеристики и доказывается его оптимальность.

В §2.1.7 дается заключение по изучению задачи I.

В §2.2.1 дается постановка задачи И (динамическая модель обслуживания внешнего государственного долга). Для приближенной линейной постановки задачи ОУ имеем систему линейных ДУ: X, =щ +и2, х3 = JU2X3 + И, + щ +и5- ки6, х4 — Дм6, Х5 = Р2и7. с фазовыми ограничения типа неравенств: min^M-^sW' (0^^шах-смешанными ограничениями типа неравенств: и6 (0 - or, (х, - ,r4 (t)) < 0, щ (/) - а2 (х2 (?) - х5 (г)) < 0. ограничениями на управляющие функции типа неравенств: начальными и краевыми условиями: xi(P) = xio> х2(°) = х2о> х3(0) = х30, х4(0) = х40, х5(0) = х50, xi(T)-X4(T) = Fi, X2(T)-X5(T) = F2. и целевую функцию: х3 (Г) —> min.

В §2.2.2 дается решение задачи И методами классического математического анализа. В этом параграфе построено аналитическое решение исследуемой задачи как функция времен переключений, вычислен минимизируемый функционал и краевые условия как функция тех же параметров. В этой задаче было четыре точки переключения tl,t2,t3,ti, поэтому мы вычислили функцию x3(T) = x3T(tl,t2,t3,t4), два условия связи jc,4r (/,,t2,t3,t4) = 0, д;25T(tx,t2,t3,t4) = 0 и исследовали эту функцию на условный экстремум.

В этом параграфе найдены стационарные точки безусловного экстремума функции x3T(tl,t2,t3,t4), одна из которых оказалась седловой точкой, а другая точкой локального минимума. Эти результаты были получены с привлечением математического пакета MAPLE.

Здесь же приводится аналитическое решение этой задачи, взятое из диссертации Д.А. Чекарева, которые совпадают с полученными в этом параграфе вычислениями.

В §2.2.3 на основе исследований проведенных в §2.2.2 предложен метод вариации минимизируемого функционала по временам переключений. При изучении задачи II был проделан следующий численный эксперимент. В поставленной задаче мы изменили краевые условия при / = Г, а именно закрепили первое условие .v25 (Т) = 0, а для второго условия х,4 (Г) предположили, что „г,4 (Г) > 0.

Таким образом, условие равенства заменили условием неравенства. Вычисленная в предыдущем параграфе траектория является допустимой для предложенного случая. Путем некоторых вариаций времен переключений можно получить другие траектории. При этих вариациях мы будем стараться сохранять первое условие, и идти в направлении увеличения .v,4 (Г) и уменьшения х3 (Г). В результате этих вычислений получены другие допустимые (в новой постановке) траектории с меньшим функционалом х3(Т).

В третьей главе «Явные вычислительные схемы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений» приведены в основном результаты посвященные изучению некоторых итерационных процессов предназначенных для решения систем ОДУ, доказательство их сходимости с оценкой скорости сходимости.

В начале главы дается небольшое описание классических методов численного решения задачи Коши для систем ОДУ. В §3.1 приведены обозначения и некоторые вспомогательные результаты, в §3.2 изучаются некоторые итерационные процессы

ИП) для систем ОДУ. Для задачи Коши системы ОДУ с постоянными коэффициентами и симметричной матрицей: x-Ax + f, х(0) = 0, А = АТ, i(f)eC([0,7']), jc ей', feR', предлагается ИП: х„-а i

- {(A, +f)dr а > О. Обозначим Я,, • ■ •, X, - собственные числа

V о матрицы А. Доказана теорема о скорости сходимости ИП при различных соотношениях между собственными числами. Приведем формулировку этого результата:

Теорема 3.1. Последовательность {*„}, п = \, 2, . последовательных приближений (ИП1) сходится по норме |||2 = к решению х0 задачи Коши с оценкой скорости сходимости и-1

Х„ Хг, f-\\x2-xl, де(0Л), где Х[ произвольная, непрерывная на [О, Г] функция, при следующих дополнительных ограничениях:

1) Ятах <0, L = |Ят!п|,

4 Л ' г

1.1) ае 0,

2 + IJT2 J

12 Л n(0,l), q = J(l-a) + a2L2 — , ограничения на L и T нет;

1.2) а = 1, q — , LT <Л\ v2

1.3) ае

1,

4+21.Т

2 + 2 XmJ + L2T2; g = )J(l-a)2-a(a-l)Am.mr + a2L2—,LT<V2;

2) Ятах >0, Ят1п <0, L- max (|Ят1п |, |Ятах ,

2.1) ае

0,

4-2 ЛТ

2 + L2T2-2AmallT, n(0,\),q = p-a)2+a(l-a)XmaxT + a2L2— ,ЯтахГ<2; т

2.2) a = 1, q = L—j=, LT < V2 ;

2.3) a

4 + 22 .T v ' 2 + 2Xm-mT + l}T2 j q = J(l-a)2-u(a-l)XminT + a2L2^,IXm.mlr<V2,

3) Kcm >0, L = Ятах,

3.1) ae

0,

4-21 J

2 + L2T2-2XmaxTy n(0,l),q = )j(l-a)2 + a(l-a)XmaxT + a2L2^-,XmaxT<2; T

3.2) « = 1, q = L—j=r, LT<J2;

3.3) ae^l—i^j, q = ^\-a)2+a-l}?j, LT<4l.

Аналогично изучаются случаи с несимметричной диагонализуемой матрицей и с непрерывной правой частью, удовлетворяющей условию Липшица (х = f (x,t)), в этом случае изучается несколько типов ИП: I x„+x=x„-a(x„-F(xn,t))t F(xn,t)= \f{xn,r)dr, о i =К-а(х„ -/(*„>'))> а > 0.

Для них доказываются теоремы аналогичные теореме 3.1 о скорости сходимости

ИП в нормах И'Ц^о rj) и II Нс([о,г])"

В §3.3 вводятся и изучаются последовательности согласованных ИП, в §3.4 исследуется связь интегральных и разностных ИП, здесь же вычисляется оценка погрешности перехода от интегрального к разностному ИП, в §3.5 дается программная реализация ИП, а в §3.6 приведены результаты вычислений. §3.7 посвящен изучению одной явной схемы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах с большим параметром, здесь предложена методика численного решения, систем ОДУ, позволяющая вводить для разнотемповых процессов свое дискретное время для каждого уравнения системы. В §3.8 даны доказательства теорем, сформулированных в §3.2.

В четвертой главе «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений и задачи линейного программирования, основанные на теории операторов монотонного типа» построены два монотонных оператора, которые можно использовать в качестве операторов штрафа при построении итерационных методов решения СЛАУ и задач ЛП. Глава содержит 5 параграфов — краткое описание классических методов; о решении вариационных неравенств в Rn; о сходимости одной итерации; построение монотонного коэрцитивного оператора, ядром которого является симплекс и решение с его помощью задачи линейного программирования; сведение задачи нахождения решения СЛАУ к решению ВН.

Практическая значимость. Публикации

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в исследовании, применялись для решения различных практических задач моделирования экономических процессов в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН. Также результаты работы могут использоваться для качественного и численного анализа выбора оптимального управления внешним и внутренним долгом промышленного холдинга. Основные результаты исследования опубликованы в работах [88 - 103].

Апробация результатов исследования

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на 46 (2003 г.), 48 (2005 г.), 49 (2006 г.) и 50 (2007 г.) научных конференциях МФТИ, на международной конференции Computer Algebra Systems in Teaching and Research, 4 International Workshop, CASTR 2007. Siedlce, Poland [103]. Результаты исследования докладывались на заседаниях кафедры высшей математики МФТИ, научных семинарах в отделе проблем моделирования и в отделе методов нелинейного анализа Вычислительного Центра РАН.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Основное содержание диссертации изложено на 156 страницах печатного текста. Список использованной литературы составляет 103 наименований.

1. Applications of control theory to economic growth. Mathematics of the decision sciences, part 2, 1968, American mathematical Society, Providence, Rhode 1.land.

2. Fiacco Anthony V., McCormick Garth P. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1968.

3. Ho J.K. Nested decomposition and multistate linear programs. Management Science, 1973. Vol. 20. № 3. pp. 282-292.

4. Mangasarian O.L. Sufficient conditions for the optimal control of nonlinear systems. SI AM! J. Control 4 (1966), P. 139-151.

5. Milyutin A.A., Osmolovskii N.P., Calculus of Variations and Optimal Control. AMS, Providencs, Rhode Island, 1998.

6. Stoer J., Bulirsch P., Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag, 1990.

7. Алифанов O.M., Артюхин E.A., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

8. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчелов Н.В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. шк., 1994.

9. Аноров В.П. Принцип*максимума для процессов с ограничениями общего вида. I, II. Автоматика и телемеханика, 1967. №3, С.5-15, №4, 5-17.

10. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во "Факториал", 1997.

11. Арушанян О.Б. Автоматизация конструирования'библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

12. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф., Калиткин Н.Н. Тесты для вычислительного практикума по обыкновенным дифференциальным уравнениям // Вычислительные методы и программирование. Т. 3, №1. 2002. 141-149.

13. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.

14. Афанасьев B.IL, Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. школа, 2003.

15. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

16. Бетт Дж. Сведение задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования большой размерности. Корпорация Боинг. 1998.

17. Биргер Е.С., Пестряков А.К. О численном отыскании допустимого плана развития экономики//Автоматика и телемеханика, 1976. № 14. С. 102-108.

18. Бирюков С.И., Шибанов А.В. Алгоритм поиска сбалансированного плана в динамической модели экономики. В сб. "Моделирование и управление в развивающихся системах". М.: Наука, 1978. С. 76-81.

19. Будак Б.М., Бертович Е.М. Разностные аппроксимации для задач оптимального управления с подвижными концами при наличии фазовых ограничений. I. П. III "Вестник МГУ. Матем. механика", 1969, №6. С. 59-68; 1970, №1, С. 39-47; 1970, №2. С. 23-32.

20. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. М., Просвещение. 1979.21