автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное управление линейными системами с нерегулярными смешанными ограничениями и определение геометрии оптимальной траектории

На правах рукописи

Шомполова Ольга Игоревна

Оптимальное управление линейными системами с нерегулярными смешанными ограничениями и определение геометрии оптимальной

траектории

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матсматичсских наук

Москва-2012

005010046

РАБОТА ВЫПОЛНЕНА В ФЕДЕРАЛЬНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ БЮДЖЕТНОМ УЧРЕЖДЕНИИ НАУКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А.А. ДОРОДНИЦЫНА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК В ОТДЕЛЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИИ

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор В.В. Дикусар

Официатьные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор кандидат физ.-мат. наук, доцент Ведущая организация:

Гурченков А. А.

Бирюков А.Г.

Федеральное Государственное Бюджетное Учреждение Науки ЦЭМИ Российской Академии Наук

Защита состоится «01» марта 2012 г. в 15часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017.03 при Федеральном Государственном Бюджетном Учреждении Науки Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан« » 2012 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017.03

кандидат физико-математических наук

Предложен двухэтапный метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. На первом этапе решается дискретная задача (системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и несобственные задачи линейного программирования (ЛП)), на основе методов факторного анализа. Далее формулируется гипотеза о геометрии оптимальной траектории, то есть выделяются промежутки времени постоянства множества номеров активных ограничений. На втором этапе сформулированная гипотеза проверяется аналитически с использованием принципа максимума Понтрягина и формализма Дубовицкого-Милютина. Приведен пример использования данной схемы для решения модельной задачи оптимального управления долгом промышленного предприятия. Показана процедура формирования и проверки гипотезы о геометрии оптимальной траектории. Приведены оценки погрешностей численного решения, полученного на первом этапе.

Актуальность темы

Исследуемые в диссертации СЛАУ являются несовместными, а задачи ЛГ1 -несобственными. Хорошо известно, что совместность или несовместность линейных моделей, заданных системами уравнений, неравенств или смешанными системами уравнений и неравенств представляют собой фундаментальные свойства, связанные так называемыми теоремами об альтернативах - классической основой теорем существования решений задач оптимизации и возможным инструментом их эффективного численного решения, развитым в работах Бирюкова А.Г., А.И. Голикова, Дикусара В.В., Ю.Г.Евтушепко,Жадана В.Г.,Капорина И.Е.,Посыпкина М.А., Чекарева Д.А., Умнова Е.А., Умнова Е.Е. и др. Метод штрафных функций и функций Лагранжа является универсальным средством решения экстремальных задач различной природы.

Актуальность исследования несобственных математических объектов была хорошо обозначена И. И. Ереминым, в частности, он указал, что в теории математических моделей и классов задач прослеживается эволюция в сторону ослабления требований, накладываемых на исследуемый математический объект. Возникает последовательность постановок задач: единственность решения и устойчивость; единственность,

неустойчивость (некорректность); неединственность и неустойчивость; несобственность; несобственность и плохая формализуемость; гибкое моделирование и т.д.

Несовместная (несобственная) модель не позволяет получить содержательную информацию об исследуемом процессе или явлении непосредственно. Для этой цели требуется исправление модели и ее коррекция. Виды и способы коррекции могут быть различными. Наиболее общая форма коррекции заключается в изменении коэффициентов левых и правых частей соответствующих уравнений и неравенств. Соответствующую коррекцию называют матричной. Систематическое исследование несобственных задач линейного и выпуклого программирования было начато в 70-х гг. прошлого столетия И. И. Ереминым и его учениками. В работах Н.Н. Астафьева, А.А. Ватолина, В.Д. Мазурова, Л. Д. Попова, В.Д. Скарина, С.П. Трофимова, В.Н. Фролова и др. рассматривались несобственные задачи линейного и выпуклого программирования, проводилась классификация, строилась и исследовалась теория двойственности. При этом вводились и исследовались дискретные аппроксимации решений, т.п. комитетные конструкции. Отметим, что в большинстве исследований рассматривалась коррекция но вектору правой части ограничений и коэффициентом вектора целевой функции.

Матричная коррекция впервые была рассмотрена в работах А.А. Ватолина. Исследования А.А. Ватолина были продолжены в ВЦ им. А.А. Дородницына РАН и МПГУ В.А. Гореликом и его учениками: В. А. Кондратьевым, О.В. Муравьевым, P.P.

Ибатулиным, Р.В. Печенкиным, В.И. Ерохиным и др. Указанными авторами были уточнены результаты А.А. Ватолина. В методах матричной коррекции остались нерешенными очень многие важные проблемы. Первая проблема связана с неединственностью решения задачи матричной коррекции. Естественно, что в прикладных задачах важна единственность и устойчивость решения скорректированной линейной модели. Следует признать, что систематизированное исследование указанной проблемы и методов их решения в настоящее время не существует. Другой аспект связан с выбором показателя качества матричной коррекции, который диктуется прикладной задачей. Он, например, связан с некоторой статистической гипотезой (Евклидова норма -нормальное распределение ошибок, чебышевская норма - равномерное распределение, октаэдрическое - наличие случайных выбросов). Указанные обстоятельства влияют на методы исследования и решения задач матричной коррекции .

Цель и задачи исследования

Основная цель исследования состоит в разработке и обосновании методики решения линейных (параметрических) задач оптимального управления со смешанными ограничениями, в получении достаточных условий оптимальности, а также в получении условий устойчивости и сходимости численного решения задач, полученных с помощью метода дискретной аппроксимации в исходной задаче. Алгоритм состоит в сведении линейных задач ОУ к задачам ЛП в конечномерных пространствах. Одной из причин, нарушающих получение решения, может являться недостаточная точность компьютерных вычислений, так как размерность получаемой задачи ЛП исчисляется тысячами переменных, и алгоритм решаемой задачи может быть неустойчивым. Кроме того, в работе преследуется цель показать эффективность в вычислительном плане предложенной методики решения. Для исследования свойств задач ОУ наряду с исходной задачей рассматривается также и связанная с ней специальная задача ОУ. Зга пара задач ОУ сводится к двойственным задачам ЛП в банаховых пространствах.

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи:

1. разработка численно-аналитических схем решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, основанных на совместном решении пары задач ОУ, сводимых к двойственным задачам ЛП в банаховых пространствах;

2. анализ и приведение к виду, удобному для использования, достаточных условий экстремума в рассматриваемых задачах;

3. обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной линейной (параметрической) задачи оптимального управления, на первом уровне которого строится гипотеза о геометрии оптимальных траекторий, а на втором гипотеза проверяется с использованием принципа максимума;

4. компьютерная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении задач оптимального управления;

5. исследование способов повышения точности приближенных численных решений задачи ОУ, анализ сходимости и устойчивости дискретной аппроксимации исходной задачи;

Объект исследования

Объектом исследования является линейная математическая модель обслуживания долга промышленного предприятия в условиях двухсекторной экономики.

Теоретические и методологические основы исследования

Теоретическую и методологическую основу диссертации составляют труды российских ученых-математиков по методам решения задач ОУ, задач ЛП, методам оптимизации, теории и методов факторного анализа.

Научная новизна исследования

Модифицированы достаточные условия оптимальности линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями типа равенства и неравенства в случае исключения ограничений типа равенства уменьшением размерности векгора управлений. Разработана методика на базе факторного анализа, позволяющая решать линейные задачи ОУ со смешанными нерегулярными ограничениями. Основа данной методики заключается в использовании дискретной аппроксимации пары задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями, после которой получается и решается пара конечномерных задач ЛП с использованием методов факторного анализа. Кроме того, на основе разработанной схемы предложено расширить линейную задачу ОУ со смешанными ограничениями введением в коэффициенты задачи параметров. Дано обоснование сходимости численного решения задачи ОУ со смешанными граничениями к оптимальному.

Практическая значимость

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в исследовании, применялись для решения практических задач оптимального управления в Московском ФизикоТехническом институте и в Вычислительном Центре РАН.

Публикации

Основные результаты исследования отражены в 13 публикациях автора общим объемом 5.3 п.л. и 4-х статьях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, объемом 2.9 п.л. Результаты в совместных работах принадлежат авторам в равных долях.

Апробация работ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проекта 10-0800624,11-07-00201)

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на научных конференциях МФТИ., на международной конференции Computer Algebra Systems in Teaching and Research, 4 International Workshop, CASTR 2007. S icdl ce(l 10ЛЫ!!Л}.на научных семинарах в ИСА РАДЦЭМИ РАН, ИПУ РАН,ИПМ РАН,ВЦ РАН

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения четырех глав, приложения и заключения. Основное содержание диссертации изложено на 110 страницах печатного текста Список использованной литературы составляет 60 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во «Введении» изложены обоснование предмета и цели исследования, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны, практической зна'шмости и апробации полученных

результатов, дается краткое описание моделируемой системы оптимального управления долгом предприятия.

В первой главе «Применение факторного анализа для решения задач линейного программирования» излагаются методы решения некорректных линейных алгебраических систем и несобственных задач линейного программирования с применением факторного анализа.

Основная модель факторного анализа имеет вид:

Х = Ь/ + е, X = / = (/„-,Л)г, е = (е1,...,е„)" (1)

Здесь X - вектор-столбец наблюдаемых переменных, / - вектор - столбец общих факторов, е - вектор-столбец специфических факторов, влияющих только на данную переменную. Предполагается, что они не коррелированны как между собой, так и с общими факторами; Ь - матрица факторных нагрузок.

Неизвестными параметрами факторной модели являются факторные нагрузки и дисперсии специфических факторов. Легко видеть, что число неизвестных значительно превышает число уравнений в (1). По этой причине для их оценки используют информацию, содержащуюся в корреляционной (или ковариационной) матрице. Из (1) следует:

Я = 1 ФЬ' + У, (2)

где Е - ковариационная (корреляционная) матрица наблюдаемых переменных; Ф -корреляционная матрица общих факторов. Учитывая безразмерный характер общих факторов, дисперсии их без ограничения общности могут быть приняты равными единице; V - ковариационная общности могут быть приняты равными единице; V -ковариационная матрица специфических факторов, являющаяся диагональной. Если сделать предположение о некоррелированности общих факторов между собой, матрица Ф становится единичной, в этом случае получаем классическую модель факторного анализа.

Любой метод факторного анализа требует вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы корреляции, которая является симметричной.

Рассматривается произвольная линейная система

АХ= В, (3)

где А - действительная матрица размером тхп.

Система (3) является совместной. Если она имеет, по крайней мере, одно решение, в противном случае - несовместна.

Применение метода регуляризации Тихонова к системе (3) сводится к решению уравнения

{Ао + Ы)1 = Ва, 5 > О, АГА = А0, АТВ = Во, А1 =Л0 + 81, (4)

где б - параметр регуляризации, / -единичная матрица

Вводится множество арифметических векторов размерности п

21 = {10... 1 }г, 22= {010...0}, ..., Ъ„ = {ООО... 1}г. (5)

В результате применения оператора А\ к системе (5) получаем систему, которая представляет собой матрицу наблюдений А\

А\=(В]В2-В„)'

которая действительна и симметрична, причем ранг А\ равен п для 5 > 0.

Применение факторного анализа (метод главных компонент) дает следующее решение

в1 = Т,аи£- Р- п> Л = £Л.Д> к = \,...,р, 7 = 1,(6)

/-1 (-1

Здесь /к является факторами, а,у и рй коэффициентами факторного решения. Теоретически р = п. Любой вектор В0 представляется в виде линейной комбинации

базисных векторовД которые ортогональны с единичной нормой

г0 = У1/1 + У2/2 + ... +у/л, п- = (Во,/*). (7)

Подставляяиз формулы (6) в выражение (7), получим Во= А1В1 + ЬгВг + ... + Ь„В„.

Утверждение. Решение системы (4) является линейной комбинацией (5)

2 = Ь\2\ + Ъг2г + ... + Ь„2„. (8)

В случае сингулярной матрицы р<п при 5 = 0, так как коэффициенты а# вычисляются по формуле

я/( = Ь1;^Я1/ф^ + ь11 + ... + Ь* ,

где является собственным числом матрицы А1 и 6;, - координаты соответствующего собственного вектора. При фиксированной точности вычисления р < п.

Теорема 1. Решение (8) является непрерывной функцией параметра 5. Если система (3) имеет единственное решение, то р = п. В противном случае мы имеем нормальное решение (8).

В работе предложен приближенный метод решения некорректных задач ЛП. Рассматривается задача

тах(С,X), ХеО", С>0, СеО",А1Х = В1,

Х>0, А,> О, В,> О, А, еПт'\ В,еП".

Здесь В1 и С - положительные вектора, А1 - положительная матрица

(положительны се компоненты).

Задача (9) записывается в форме, зависящей от скалярного параметра / тах/, АгХ = Вг, (С,Х)-1,

<10>

Задача (10), вообще говоря, может не иметь решения. В этом случае

рассматривается обобщенная задача ЛП

тах((), А^АгУ = А[В2, 7>0, (11)

где символ * означает транспонирование. Система (11) всегда совместна Вместо задачи (11) рассматривается следующая задача тах((), А12е =В, 21> 0,

Аг=А + 5Е, А‘гА1 = А, В = А'гВг.

Известно, что Ит 2. = 2» е {У}, где {У} -множество решений задачи (11).

Решение линейной системы (12) является линейной функцией параметра г

2е =С, + /С2, С,,С2е[Г. (13)

Условие 26 >0 выполняет неравенство

;,</</2. (14)

Если решение неограниченно сверху, то /2 =со.

Таким образом, оценка решений сводится к решению некорректной линейной сисгемы.

Оценка решения (14) близка к точному решению, когда число свободных параметров задачи (13) невелико.

Па базе факторного анализа можно оценить решение задачи ЛП.

(12)

Пусть нам дана задача ЛП

(С,Г)-> тах, С ей", (15)

АХ = В, Х^.0, /1еП“, т<п. (16)

Предположим, что система (16) совместна, и функционал задачи (15) ограничен на

допустимых решениях системы (16).

Рассмотрим строки матрицы А в качестве векторов

а, = (а,,, аа,..., а,Д / = 1,т. (17)

Вообще говоря, векторы а,, / = 1,т, могут быть линейно зависимы.

Считая теперь векторы а:, ; = 1,..., т, в качестве наблюдаемых величин, мы можем рассматривать матрицу А как матрицу наблюдений в факторном анализе . Для целей нашего анализа вначале достаточно ограничиться методом главных компонент, который дает единственное факторное решение.

В результате применения метода главных компонент факторного анализа к матрице наблюдения А получим следующую зависимость

= СС]Л +а12а2 + — + а1тат>

^1~а2\а\'^0:22а2'^---'^аЬпат>

Рк=акіа1 + аі2а1+..лактат, к<,т.

Здесь ац, і = 1,...,к, у = 1,...,т - коэффициенты факторного решения. Р,, і = 1 ,...,к - факторы (обобщенные переменные).

Заметим, что факторы Р1 некоррелированы между собой и удовлетворяют условию нормировки

(/>/>,) = О, I■*]; = і = ]. (19)

Теперь мы постулируем линейную зависимость вектора С от выделенных факторов. Другими словами, разложим вектор С по базису Р„і = 1

С = М+АР2+...+/?^. (20)

Условие (19) позволяет легко определить коэффициенты разложения по формуле

(20)

д = (£31 = (с.Р\ і = ^...,к. (21)

и, \ , ,ь ч , к ,

где Р1 вычисляется по формулам (18).

В силу единственности факторного решения коэффициенты Д, і = к,

определяются единственным образом.

Умножим теперь скалярно левую и правую части уравнения (20) на вектор X

(С,Х) = /Зх{РиХ) + Р1{Р1,Х) + ..АРк{Рк,Х). (21)

Скалярное произведение (Р:,Х), / = 1.к, можно вычислить из системы(18).

Действительно,

(РІ,Х) = '£аІ1{.аі,Х)=^аІІЬ!, і = \,...,к. (22)

- ( ;=1 М

В результате получаем оценку

(С,А> д£чА+А£«»А+-+А2>»»/ • (23)

м м м

Здесь Ь/ - компоненгы вектора В (16).

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 2. Если в системе (16) матрицу А трактовать как матрицу наблюдений в методе главных компонент факторного анализа, то в результате получаем оценку вида (23). .

Вторая глава «Принцип максимума для линейных систем со смешанными ограничениями» посвящена постановке задачи ОУ со смешанными ограничениями, для которой формулируются необходимые условия оптимальности с использованием принципа максимума Понтрягина и формшшзма Дубовицкого-Мшнотина Рассматриваются линейные задачи ОУ со смешанными ограничениями как частный случай задачи ОУ[8-Ю].В работе [10] принцип максимума был доказан для нерегулярных смешанных ограничений. Это означает,что сопряженные переменные содержат меру сосредоточенную на множестве фазовых точек.Здесь в целях простоты изложения выписал только регулярный принцип максимума[9].

J (dT О W0 + еТ ('МО)* + ХТх(т)-+ min),

0 ’

при условиях

i(/) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + c(t); л(0) = x0; x(T) e S,

S = \xeRa |Пх + р = о};

V{x,t)=\fieRr |G(<W0 + ^(0m(0 + w(0^0}, необходимые условия оптимальности имеют вид:

ЯД/ХС(0*(0 + £('Ж0 + и<0)у =0, ; = 1....и,

WT (0+ (>Ж0+ Ят №(0= 0,

u(e)=arg тах(р0({/т(0х(0 + ет(*М0) + Рт(0(Л(1)х'(0+£((М0 + с(0)).

V6P'(x/)'

где вектор является решением системы уравнений

ц,т =-^dT(t)-w4‘)A(th

с условиями

. уГ{т)-щхт = с'т П.

Далее рассматриваются достаточные условия оптимального управления, основанные на методике сведения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями к задаче ЛП в банаховых пространствах, Эти условия приводятся ниже (теорема 1) в терминах пары задач А и Б [8-10].

Рассматриваются две задачи:

Задача А.

Найти управления и (г) е I” [О, Т], дающие максимум линейному функционалу т

j(u' )= л* (7> + \[х (ф(0+и -> тах (2.5.1)

о

при следующих ограничениях:

х =x'A(t) + u,B(t)+a'(t), (2.5.2)

**(0) = of, x'{T)Q>c , (2-5.3)

-x'C{t)+u'D{t)<b'{t), ы*^0. (2-5.4)

Матрицы ^4(0- B(t), C(t) и D{t) и векторы а 40. ь-(0 имеют ограниченные измеримые компоненты. Соответствующие матрицы и векторы имеют следующие

размеры: л[п х я], в[тхи], С\п у г\ £>[тхт-], (^nxq\ Д*|н]> ^*И> а\п\< С*Ы-

Векторы с символом * являются строками, без — столбцами.

Задача Б.

Найти управления у(г) е £'[О, Г], 77бЛ'г, дающие минимум линейному

функционалу

У(у)=«*л(0)-с*7+|[б*(/)у + а*(г)х}/?-»тц| (2.5.5)

о

при следующих ограничениях:

—х = -|4^)*+С(<)у + а(/), (2.5.6)

х(т) = а + дт1, (2.5.7)

- 2?(/)х + £>(<)у>й(/), у>0. (2.5.8)

Достаточные условия оптимальности задач Л и Б даются следующей теоремой'. Теорема 1. Пусть для некоторых допустимых управлений г7*(/) и у(?), г/ задач А и Б выполнены условия

й' [- В{1)х + О(0у - 6(01 =0,1 = 1^; (2.5.9)

[-Зс*С(0 + й*£>(/)-6*(0|/'7/=0, _/ = 1,г; (2.5.10)

ИГ)й-сЧ%=о.А:=^. с2-5-11)

причем первые два равенства выполняются почти при всех I. Тогда г/*(/), 3с*(0 будете оптимальным решением задачи А, а ?(/), г\, Зс(/) будет оптимальным решением задачи Б.

Необходимые условия оптимальности для задачи А можно сформулировать в терминах принципа максимума Понтрягина с использованием сопряженных переменных !//((). Связь сопряженных переменных у/(<) и перемешай задачи Б дается утверждениями:

Утверждение 1. Если при допустимом управлении задачи А супцествует вектор сопряженных переменных ^(/)> константа ц/0<0 и векторы множителей Лагранжа Я(/), //(/), удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и краевым условиям для 1^(1), условияи Блисса и условиям дополняющей нежесткости для Л((), ц{{), по Л(() и являются допустимыми управлением и фазовым вектором задачи Б.

Утверяздение 2. Если существуют допустимые управления и*(0> у(/), т] задач А и Б, и они удовлетворяют условиям (2.5.9)-(2.5.11), то вектор траектории х({) задачи (2.5.5)-(2.5.8), соответствующей управлению у(/), является вектором сопряженных переменных (^(?) задачи (2.5.1)-(2.5.4) при = -1.

На основании утверждений 1 и 2 теорема 1 имеет следующую формулировку: Теорема 2. Если при данном допустимом управлении и" (/) задачи А существуют число ^о=—1, кусочно-гладкая вектор-функция измеримые, вектор-функции

1(0^0, ,«(0-0 и вектор /7>0 такие, что выполняются условия (2.5.12)-(2.5.15), то и* (0 - оптимальное управление задачи А.

Таким образом, теорема 2 дает возможность использовать сопряженные переменные (//(/) дтя доказательства оптимальности полученного решения в задаче ОУ.

В третьей главе «Дискретная аппроксимация линейных задач оптимального управлении со смешанными ограничениями» описывается построение конечноразностных аппроксимаций для задачи ОУ, приводится двухэтапная схема решения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями и описывается каждый этап схемы. Дискретное решение позволяет сформировать гипотезу о промежутках постоянства по времени множеств активных ограничений. По данной гипотезе строится аналитическое решение прямой и сопряженной задач, находятся времена переключений управлений и проверяются необходимые условия экстремума. Дм оценки погрешности, как по функционалу, так и по фазовым переменным, численного решения для метода дискретной аппроксимации рассматриваются задача ОУ:

У(м(/)) = а*л(7’)->тш, (1)

х - А(1)л + В(1)и + /(/), О <1<Т, (2)

*(«)=/?, в4Фс, (3)

С,(0-х(/)+0,0)1^) <6,(0, (4)

задача ЛП, получаемая из задачи ОУ дискретизацией по схеме Эйлера первого порядка точности:

4и) = а'/->шт, и = и°,...,иы, (1а)

Xм = х! + и{аЩх1 + В{л)и1 + /(Иг)), г = О.ЛГ-1, (2а)

х°=/3, (За)

иеи^ - еЛг(лг+|) | сД/й)*1 + £>,(17г)ы' <Ь,{>Ь), 1 = 0,Л^}, (4а)

и доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Пусть все матрицы и столбцы в условии задачи (1)-(4) кусочно непрерывны па отрезке [0,Г], а функция /(/) удовлетворяет условию Липшица с константой Ьу на М: ||/('1)-/ЫМ/|'1 -гг\. Пусть и(»)е1/, Уге[0 ,Т], где и -ограниченное множество. Пусть существует такое допустимое управление и(г) задачи, что набор управляющих и фазовых переменных й(?), *(?) принадлежит е-сужению допустимого множества с непустой внутренностью при некотором малом £ > 0. Тогда существует решение дискретной задачи ЛП (1а)-(4а) при всех достаточно больших N, и Нт g^w,) = J,■

Для задач, в которых смешанные ограничения присутствуют также в виде равенств:

*’с2(0+«‘£>2(0=*$(0, (5)

данная теорема оказывается справедливой при выполнении условий теоремы:

Теорема 2. Пусть рассматривается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями типа равенства и неравенства (1)-(5). Пусть в любой момент времени можно разрешить все г2 ограничений типа равенства относительно г2 из т управлений

(г2<т) ___

ик^Щ.{х,и,{), ] = \,г2. (9)

Далее, пусть при подстановке выраженных таким образом ик в ограничения типа неравенства (4) получаются неравенства относительно п + т — г2 переменных (п переменных х и т — г2 переменных и), причем на оставшиеся управления накладываются условия неотрицательности

«, > 0, г * к:, V/ = ТУ2 . (10)

. Получившаяся таким образом задача имеет форму задачи А, следовательно для нее можно сформулировать задачу Б. Пусть для некоторых допустимых управлений задач А и Б выполнены условия теоремы 1, то есть получены оптимальные управления и фазовые переменные задачи А. Тогда подстановкой их в выражения (9) получаются оптимальные управления и фазовые переменные исходной задачи.

В четвертой главе «Минимизация долга промышленного предприятия»

дается постановка задачи ОУ долгом предприятия.

Модель описывает двухсекторную экономическую систему, первый сектор которой добывает ресурсы, а второй производит продукцию конечного потребления (фондообразующую). Погашение долга происходит за счет продажи продукции первого сектора. Минимизируемый функционал (долг) 7(х,к) = х3(100),0 2 Г < Т = 100.

Обозначения для количественных характеристик системы

*1 (0> х2 (О ~ суммарный объем инвестиций в секторы 1 и 2 за время [0,г];

*,(/) - долг в момент времени Л

х4(/) х5(/) ~ суммарная амортизация фондов в первом и во втором секторах за

’ время [0,г];

а , 1 = 1, 2 - коэффициент производительности труда в /-том секторе;

г„ г = 1,2

- коэффициент амортизации фондов в г-том секторе при производстве единицы продукции;

ц(() - поток инвестиций в первый сектор;

и1 (О - ПОТОК фондообразующей продукции из второго сектора в первый;

и}(() - поток инвестиций во второй сектор;

/л - поток фондообразующей продукции второго сектора, направленный на

4' собственное развитие;

щ (/) - поток импорта потребительских товаров;

“ДО " °бъем продукции, производимой первым сектором (на экспорт);

/л - объем продукции, производимой вторым сектором (на фондовооруженность

1 секторов и на потребление);

с2 - минимальный объем непроизводственного потребления;

к - коэффициент, служащий для сопоставления внутренних и внешних цен;

рг - коэффициент, учитывающий необходимость обслуживания долга;

Система дифференциачьных уравнений и ограничения задачи

*1 = "1 + “2= и,™ * ", 5 Чт,х. < = V?.

хг=и,+и4, и6 <«,(*, -х4),

*3 = + И, + И3 + Щ - К\1Ч, и, < аг (х2 - х5),

^4=Дг,й. »2+и42и7>

х5=Р1и1, и1+иА+с<и1+и5.

Значения коэффициентов задачи, начальных и конечных условий

а, = 0.03, аг = 0.03, Д =0.18, Pi =0.18, кх = 0.9, fjy = 0.002, Г = 100,

дг, (О) = 25,

х2(о) = 15,

х,(0)=400,

*4(о) = 0, *5(0)=0, х,(т)-х4(т) = 25, *2(г)-х5(г) = 15,

= 0, / = 1,7,

= 0.1,

max «3 max «2т» =0-5, «4 max «5тах ^6[ш «7 тих

с = 0.2.

= 0.3, = 2.0,

При решении этой задачи проводилась дискретизация как с использованием явных и неявных схем первого порядка точности. Получающиеся задачи ЛП решались с помощью программы” FACTOR”

Программа факторного анализа состоит из основной программы, специальной программы ввода DATA и пяги подпрограмм; CORRE, EIGEN, TRACE, LOAD и YARMX. модифицированной автором для работы под платформой Win32 и позволяющей работать с задачами ЛП с большим числом переменных.' Данная программа позволяет удобно описывать и решать дискретные аппроксимации задач ОУ при большом числе точек дискретизации. Решение задачи ЛП показано на рис. 1-4:

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Рис 4. Управления и,„ 117

Рис 3. Управления и риз

Аналитическое решение для данной модели построено на основе принципа максимума Понтрягина. Высказана гипотеза о том, что траектория системы состоит из пяти промежутков постоянства индексов активных ограничений. На каждом промежутке из активных ограничений выражались управления и аналитически решалась задача Коши, при этом момент времени переключения полагался параметром. Сопряженная система интегрировалась справа налево, с параметрами, являющимися моментами времен переключений. Значения времен переключений определялись из решения трансцендентных уравнений, связывающих фазовые переменные и сопряженные

переменные задачи. Вычисления проводились в пакете Мар1е 9. Полное решение задачи приведено в диссертации. Сопряженные переменные задачи и функция Понтрягина

Рис 6. Функция Понтрягина Н(Ч)

В приложении приведены примеры обработки матрицы наблюдений по методу факторного анализа

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты проведенного диссертационного исследования следующие:

Разработана методика решения линейных задач оптимального управления с нерегулярными смешанными ограничениями. Данная методика позволяет получить численное решение с применением методов факторного анализа, и, при необходимости, проверить его аналитически.

На основе предложенного подхода:

1. На базе схемы Дубовицкого-Мипютина и методов факторного анализа создана методика численного решения линейных параметрических задач ОУ со смешанными ограничениями.

2. Разработана система формирования и решения семейства несобственных задач ЛП с различными значениями коэффициентов, позволяющая отслеживать парамегры получающихся решений и характеристики процессов решений.

3. Построена линейная модель опгимачьного управления долгом промышленного предприятия, в которой выполнено расширение посредством введения параметров, и на ее основе решена параметрическая задача ОУ.

4. Предложен модифицированный метод Якоби для вычисления собственных чисел матрицы наблюдений.

5. Проведено исследование устойчивости задач аппроксимации в зависимости от коэффициентов исходной задачи оптимального управления.

Список литературы:

1. Дубовицкий А.Я.,Милютин А.А. Необходимые условия экстремума в некоторых линейных задачах со смешанными ограничениями.!? сб. “Вероятностные процессы и управление”. М.: Наука,1978. Сгр

2.Хачай М.Ю. Комитетные решения несовместных систем ограничений и методы обучения распознаванию. Автореферат докторской дисс. М.: ВЦ РАН, 2004.

3.Горелик В.А., Ерохин В.И., Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений и несобственных задач линейного программирования // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 2004. - С. 35-63.

4.Харман Г. Современный факторный анализ М.: Статистика, 1972.

5.Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Моллаверди Н. Применение метода Ньютона к решению задач линейного программирования большой размерности. ЖВМиМФ, 2004, том 44, № 9. С. 1564-1573.

6. Умнов А.Е., Умпов Е.А., Чекарев Д.А. Параметрический двухуровневый метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Моделирование процессов управления: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. - М., 2004.

7. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование, М.: Факториал, 1998.

8.В.В. Дикусар, Д.А.Чекарев. Числепно-аналитичсский метод решения задач оптимального управления. Препринт. ВЦ РАН, 2004.

9. Тер-Крикоров А.М. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

Ю.Дубовицкий А.Я.,Милютин А.А.Необходимые условия экстремума в некоторых линейных задачах со смешанными ограничениями.В сборнике “Вероятностные процессы и управление”. М.,Наука,1978.-С.42-74.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1 Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Один итерационный метод решения задачи Коши с большим параметром для систем ОДУ. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVII1 научной конференции МФТИ. Секция педагогики и информационных технологий - Москва-Долгопрудный, 2005.- С. 2526.

2 Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Некоторые явные схемы численного решения систем ОДУ в задачах с большим параметром. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVIII научной конференции МФТИ. Секция педагогики и информационных технологий - Москва-Долгопрудный, 2005.- С. 27-30.

3 Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Некоторые явные схемы решения систем ОДУ с большим параметром. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(2).-М.: КомКнига, 2005.-С. Мб-150.

4 Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Свойства одной функции штрафа // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 49 научной конференции МФТИ. Ч. VII.- Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 12.

5 Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Сведение задачи линейного программирования к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006,- С. 152.

6 Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. О монотонности и коэрцитивное™ одного отображения // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006.-С. 153.

7 Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Сведение систем линейных уравнений к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006,- С. 154.

8 Трушин Ю.В., Шомполова О.И. О решении невырожденных сисгем линейных уравнений методом монотонного штрафа // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 50 научной конференции МФТИ. Ч. VII. Управление и прикладная математика. Т. 1 - М.: МФТИ, 2007- С. 35 - 38.

9 Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Доказательство свойств монотонности, строгой и сильной монотонности одного оператора в R-n элементарными методами математического анализа и линейной алгебры, доступными первокурснику// Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 50 научной конференции МФТИ. Ч. X. - М.: МФТИ, 2007- С. 63 - 64.

10 Trushin J.V., Dikusar V.V., Trushin V.B., ShompolovaO.I. Solving of Linear Equations with Large Number of Conditions by Means of the Penalty Monotonous Operator // Computer Algebra Systems in Teaching and Research / 4 International Workshop,

CASTR 2007. Siedlce, Poland, January 31 - February 3,2007, Proceedings/

Wydawnictwo Akademii Podlaskiej. Siedlce 2007. P. 79 - 86.

11 Дикусар В В., Шомполова О.И. Применение факторного анализа для решения задач линейного программирования // Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53(3). Вып. 14. Стр. 142 -153.

12 ВуйтовичМ., Шомполова О.И. Факторный анализ// Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53(3). Вып. 14. Стр. 126 -141.

13 Шомполова О.И. Минимизация долга промышленного предприятия// Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53(3). Вып. 14. Стр. 200 - 208.

Подписано в печать: 27.01.2012

Заказ № 6578 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 \vwvv. autoreferat.ru

61 12-1/559

Шомполова Ольга Игоревна

Оптимальное управление линейными системами с нерегулярными смешанными ограничениями и определение геометрии оптимальной траектории

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор В.В. Дикусар

Москва-2012

Содержание

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Глава 1. Применение факторного анализа для решения

задач линейного программирования.

.1 Модель факторного анализа................................12

.2. Неопределённость факторных решений.................15

.3 Метод интерполяции.........................................17

.4 Метод Якоби...................................................18

.5. Продолжение решений по параметру....................19

.6 Итеративная декомпозиция матрицы Якоби............20

.7 Снижение размерности матрицы Я при дискретизации

дифференциального уравнения.................................21

. 8 Программы факторного анализа...........................21

.9 Различные формы задач линейного программирования...........................................................................................22

.10 Двойственность в задачах ЛП.............................24

.11 Обобщенная задача ЛП.....................................28

.12 Метод оценки решения задачи ЛП......................29

Глава 2. Принцип максимума для линейных систем со смешанными ограничениями

2.1 .Постановка задачи оптимального управления.........34

2.2. Необходимые условия оптимальнсти для общей задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтряги-на и формализм Дубовицкого-Милютина....................39

2.3. Линейные параметрические модели с ограничениями смешанного типа....................................................44

2.4. Условия оптимальности для линейных задач...........45

2.5. Задачи оптимального управления А и Б..................47

Глава 3. Дискретная аппроксимация линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями

3.1. Построение конечно-разностной аппроксимации модели......................................................................53

3.2. Схема решения параметрических задач оптимального управления...........................................................57

3.2.1.Получение аппроксимации решения прямой задачи......................................................................63

3.2.2.Построение аппроксимации решения сопряженной задачи.................................................................64

3.3. Сходимость дискретных аппроксимаций................67

3.4. Общая схема решения линейных задач ОУ.............81

3.4.1 .Случай исключения ограничений типа равенства. ...81 3.4.2. Схема решения линейной задачи ОУ...................83

3.5. Применение схем дискретизации различных порядков точности..............................................................84

3.6. Применение схем дискретизации с переменным шагом.....................................................................86

3.7. Анализ устойчивости дискретной аппроксимации на

основе критерия оптимальности................................86

Глава 4 МИНИМИЗАЦИЯ ДОЛГА ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ.

4.1. Содержательное описание особенностей моделируемой системы.........................................................90

4.2. Математическая формулировка модели.................92

4.2.1. Обозначения для количественных характеристик системы..............................................................92

4.2.2. Динамические соотношения системы................94

4.2.3. Ограничения на фазовые переменные и управления системы..............................................................95

4.2.4.Целевая функция............................................96

4.3. Общая формулировка задачи..............................96

4.4. Решение задачи...............................................98

4.4.1 .Решение дискретной аппроксимации с помощью факторного анализа...................................................101

4.5. Применение различных схем дискретизации..........111

4.5.1. Применение схем дискретизации разных порядков

точности............................................................101

4.6. Каноническая задача Дубовицкого-Милютина......102

4.7. Нерегулярные точки........................................108

4.8.Формулировка и решение параметрической задачи

ОУ....................................................................109

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ..............111

Список литературы:..............................................113

Работы автора, опубликованные по теме диссертации...................................................................118

Приложение 1......................................................121

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предложен двухэтапный метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. На первом этапе решается дискретная задача (системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и несобственные задачи линейного программирования (ЛП)), на основе методов факторного анализа. Далее формулируется гипотеза о геометрии оптимальной траектории, то есть выделяются промежутки времени постоянства множества номеров активных ограничений. На втором этапе сформулированная гипотеза проверяется аналитически с использованием принципа максимума Понтрягина и формализма Дубовицкого-Милютина. Приведен пример использования данной схемы для решения модельной задачи оптимального управления долгом промышленного предприятия. Показана процедура формирования и проверки гипотезы о геометрии оптимальной траектории. Приведены оценки погрешностей численного решения, полученного на первом этапе.

Актуальность темы

Исследуемые в диссертации СЛАУ являются несовместными, а задачи ЛП - несобственными. Хорошо известно, что совместность или несовместность линейных моделей, заданных системами уравнений, неравенств или смешанными системами уравнений и неравенств представляют собой фундаментальные свойства, связанные так называемыми теоремами об альтернативах - классической основой теорем существования решений задач оптимизации и возможным инструментом их эффективного численного решения, развитым в работах Бирюкова А.Г., А.И. Голикова, Дикусара В.В., Ю.Г.Евтушенко, Жадана В.Г., Капорина И.Е., Посыпкина М.А., Чекарева Д.А., Умнова Е.А., Умнова Е.Е. и др. Метод штрафных функций и функций Лагранжа является универсальным средством решения экстремальных задач различной природы.

Актуальность исследования несобственных математических объектов была хорошо обозначена И. И. Ереминым, в частности, он указал, что в теории математических моделей и классов задач прослеживается эволюция в сторону ослабления требований, накладываемых на исследуемый математический объект. Возникает последовательность постановок задач: единственность решения и устойчивость; единственность, неустойчивость (некорректность); неединственность и неустойчивость; несобственность; несобственность и плохая формализуемость; гибкое моделирование и т.д.

Несовместная (несобственная) модель не позволяет получить содержательную информацию об исследуемом процессе или явлении непосредственно. Для этой цели требуется исправление модели и ее коррекция. Виды и способы коррекции могут быть различными. Наиболее

общая форма коррекции заключается в изменении коэффициентов левых и правых частей соответствующих уравнений и неравенств. Соответствующую коррекцию называют матричной. Систематическое исследование несобственных задач линейного и выпуклого программирования было начато в 70-х гг. прошлого столетия И. И. Ереминым и его учениками. В работах H.H. Астафьева, A.A. Ватоли-на, В.Д. Мазурова, JI. Д. Попова, В.Д. Скарина, С.П. Трофимова, В.Н. Фролова и др. рассматривались несобственные задачи линейного и выпуклого программирования, проводилась классификация, строилась и исследовалась теория двойственности. При этом вводились и исследовались дискретные аппроксимации решений, т.н. комитетные конструкции. Отметим, что в большинстве исследований рассматривалась коррекция по вектору правой части ограничений и коэффициентом вектора целевой функции.

Матричная коррекция впервые была рассмотрена в работах A.A. Ватолина. Исследования A.A. Ватолина были продолжены в ВЦ им. A.A. Дородницына РАН и МПГУ В.А. Гореликом и его учениками: В. А. Кондратьевым, О.В. Муравьевым, P.P. Ибатулиным, Р.В. Печенкиным, В.И. Ерохиным и др. Указанными авторами были уточнены результаты A.A. Ватолина. В методах матричной коррекции остались нерешенными очень многие важные проблемы. Первая проблема связана с неединственностью решения задачи матричной коррекции. Естественно, что в прикладных задачах важна единственность и устойчивость решения скорректированной линейной модели. Следует признать, что систематизированное исследование указанной проблемы и методов их решения в настоящее время не существует. Другой аспект связан с выбором показателя качества матричной коррекции, который диктуется прикладной задачей. Он, например, связан с некоторой статистической гипотезой (Евклидова норма - нормальное рас-

пределение ошибок, чебышевская норма — равномерное распределение, октаэдрическое - наличие случайных выбросов). Указанные обстоятельства влияют на методы исследования и решения задач матричной коррекции .

Цель и задачи исследования

Основная цель исследования состоит в разработке и обосновании методики решения линейных (параметрических) задач оптимального управления со смешанными ограничениями, в получении достаточных условий оптимальности, а также в получении условий устойчивости и сходимости численного решения задач, полученных с помощью метода дискретной аппроксимации в исходной задаче. Алгоритм состоит в сведении линейных задач ОУ к задачам ЛП в конечномерных пространствах. Одной из причин, нарушающих получение решения, может являться недостаточная точность компьютерных вычислений, так как размерность получаемой задачи ЛП исчисляется тысячами переменных, и алгоритм решаемой задачи может быть неустойчивым. Кроме того, в работе преследуется цель показать эффективность в вычислительном плане предложенной методики решения. Для исследования свойств задач ОУ наряду с исходной задачей рассматривается также и связанная с ней специальная задача ОУ. Эта пара задач ОУ сводится к двойственным задачам ЛП в банаховых пространствах.

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи:

1. разработка численно-аналитических схем решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, основанных на совместном решении пары задач ОУ, сводимых к двойственным задачам ЛП в банаховых пространствах;

2. анализ и приведение к виду, удобному для использования, достаточных условий экстремума в рассматриваемых задачах;

3. обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной линейной (параметрической) задачи оптимального управления, на первом уровне которого строится гипотеза о геометрии оптимальных траекторий, а на втором гипотеза проверяется с использованием принципа максимума;

4. компьютерная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении задач оптимального управления;

5. исследование способов повышения точности приближенных численных решений задачи ОУ, анализ сходимости и устойчивости дискретной аппроксимации исходной задачи;

Объект исследования

Объектом исследования является линейная математическая модель обслуживания долга промышленного предприятия в условиях двухсекторной экономики.

Теоретические и методологические основы исследования

Теоретическую и методологическую основу диссертации составляют труды российских ученых-математиков по методам решения задач ОУ, задач ЛП, методам оптимизации, теории и методов факторного анализа.

Научная новизна исследования

Модифицированы достаточные условия оптимальности линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями типа равенства и неравенства в случае исключения ограничений типа равенства уменьшением размерности вектора управлений. Разработана методика на базе факторного анализа, позволяющая решать линейные задачи ОУ со смешанными нерегулярными ограничениями. Основа данной методики заключается в использовании дискретной аппроксимации пары задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями, после которой получается и решается пара конечномерных задач ЛП с использованием методов факторного анализа. Кроме того, на основе разработанной схемы предложено расширить линейную задачу ОУ со смешанными ограничениями введением в коэффициенты задачи параметров. Дано обоснование сходимости численного решения задачи ОУ со смешанными ограничениями к оптимальному.

Практическая значимость

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в исследовании, применялись для решения практических задач оптимального управления в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН.

Публикации

Основные результаты исследования отражены в 14 публикациях автора общим объемом 5.3 п.л. и 5-и статьях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, объемом 2.9 п.л. Результаты в совместных работах принадлежат авторам в равных долях.

Апробация работ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проекта 10-08-00624,11-07-00201)

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на научных конференциях МФТИ., на международной конференции Computer Algebra Systems in Teaching and Research, 4 International Workshop, CASTR 2007. Siedlce(nOJIbIIIA),Ha научных семинарах в ИСА РАНДЭМИ РАН, ИЛУ РАН,ИПМ РАН,ВЦ РАН

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения четырех глав, приложения и заключения. Основное содержание диссертации изложено на 110 страницах печатного текста. Список использованной литературы составляет 60 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во «Введении» изложены обоснование предмета и цели исследования, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны, практической значимости и апробации полученных результатов, дается краткое описание моделируемой системы оптимального управления долгом предприятия.

В первой главе «Применение факторного анализа для решения задач линейного программирования» излагаются методы решения некорректных линейных алгебраических систем и несобственных задач линейного программирования с применением факторного анализа.

Вторая глава «Принцип максимума для линейных систем со смешанными ограничениями» посвящена поста-

новке задачи ОУ со смешанными ограничениями, для которой формулируются необходимые условия оптимальности с использованием принципа максимума Понтрягина и формализма Дубовицкого-Милютина. Рассматриваются линейные задачи ОУ со смешанными ограничениями как частный случай задачи ОУ[8-Ю].В работе [10] принцип максимума был доказан для нерегулярных смешанных ограничений. Это означает,что сопряженные переменные содержат меру сосредоточенную на множестве фазовых точек.Здесь в целях простоты изложения выписан только регулярный принцип максимума[9].

В третьей главе «Дискретная аппроксимация линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями» описывается построение конечно-разностных аппроксимаций для задачи ОУ, приводится двухэтапная схема решения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями и описывается каждый этап схемы. Дискретное решение позволяет сформировать гипотезу о промежутках постоянства по времени множеств активных ограничений. По данной гипотезе строится аналитическое решение прямой и сопряженной задач, находятся времена переключений управлений и проверяются необходимые условия экстремума.

В четвертой главе «Минимизация долга промышленного предприятия» дается постановка задачи ОУ долгом предприятия.

Модель описывает двухсекторную экономическую систему, первый сектор которой добывает ресурсы, а второй производит продукцию конечного потребления (фондообразующую). Погашение долга происходит за счет продажи продукции первого сектора. Минимизируемый функционал- долг.

Глава 1. Применение факторного анализа для решения задач линейного программирования.

1.1 Модель факторного анализа

Основоположником факторного анализа (Ф.А.) считают Чарльза Спириена, который в 1904 году в статье о природе интеллекта выдвинул предположение о существовании фактора общего для всех интеллектуальных тестов и кроме того - ряда специфических факторов, каждый из которых связан с конкретным тестом и не коррелирует с другими [1-2].

Хотя факторный анализ и развивается в связи с решением задач технологии, область его применения гораздо шире и охватывает в принципе все случаи многомерного статистического анализа.

История развития Ф.А. вплоть до 1960 г. достаточно подробно изложена в монографии Хармана [1], а также в работах Небылицына В.Д. и Зациорского В.М. [2]. Дальнейшее развитие и применение факторного анализа можно проследить в работах [3-8].

В Ф.А. рассматривается группа объектов (экономические показатели, социально-экономические показатели и т.д.). Измерения признаков объектов будем называть значениями их параметров.

Значение параметра X • для объекта / обозначим

Частное значение х„ называется вторичным J^ У1

значением и соответствует измерению при произвольном

начале координат и произвольных единицах измерения.

Среднее значение для

N выборочных значений параметра • опре�