автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ эффективности метода параметрической линеаризации для решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями

Московский физико-технический институт (Государственный университет)

УДК 519 8

На правахрукописи

УМНОВ Егор Александрович

Анализ эффективности метода параметрической линеаризации для решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и информатизации)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Г.Н. Яковлев

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Дикусар

кандидат физико-математических наук, доцент Ю.Н. Волков

Ведущая организация - Институт Системного Анализа Российской

Академии Наук

Защита диссертации состоится "_"_2005г. в "_" час.

на заседании Диссертационного Совета Д 002.226.02

при Институте Проблем Управления им. В. А.Трапезникова РАН

по адресу: 117997 Москва, ул. Профсоюзная, 65, ИПУ РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН

Автореферат разослан «_»_2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.226.02 к.т.н.

Лебедев В.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Данная работа посвящена исследованию эффективности и границ применимости схем решения нелинейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями путем их параметрического редуцирования к линейным задачам. Указанный подход, основанный на схеме линеаризации исходной задачи путем превращения части переменных в параметры с последующим поиском их значений, оказывается достаточно эффективным при решении различных классов задач. Характерным примером его использования может служить задача поиска собственных векторов линейных преобразований в конечномерных линейных пространствах.

Как указывалось рядом авторов, например, А.А.Милютиным, проблема нахождения решений для оптимизационных задач с ограничениями, в которые входят, вообще говоря, одновременно как фазовые, так и управляющие переменные, представляет значительный практический интерес, поскольку развитые к настоящему времени методы решения задач оптимального управления, либо основаны на использовании специфики их условий (например, отсутствии ограничений по фазовым переменным), либо требуют для своей реализации чрезмерно больших затрат вычислительных ресурсов. Так, например, разнообразные варианты методов прогонки в случае задач со смешанными ограничениями оказываются практически малоэффективными из-за сложности выполнения полного перебора вариантов изменения активности фазовых ограничений на континуальном временном множестве, необходимого для построения оптимальных фазовых траекторий.

Поэтому разработка альтернативных методик и алгоритмов, позволяющих избегать проблем данной природы, являются актуальными, практически значимыми и полезными.

Цель и задачи исследования

Основная цель работы состоит в анализе условий и границ применимости, а также оценке практической эффективности схем решения нелинейных задач оптимального управления с ограничениями общего вида, допускающих линеаризацию путем превращения некоторого подмножества управлений в параметры, с последующим поиском их оптимальных значений.

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи:

выделение класса нелинейных задач, допускающих линеаризацию методом параметризации подмножества управляющих переменных, и исследование применимости условий оптимальности согласно принципу максимума Понтрягина и формализма Дубовицкого-Милютина;

формулирование условий линеаризации и условий оптимальности для линеаризованных задач;

построение двухуровневого алгоритма решения исходной нелинейной задачи оптимального управления и выявление области его эффективного применения;

оценка эффективности метода решения линеаризованной задачи, не требующего выполнения полного перебора в процессе анализа геометрии оптимальной траектории;

сравнение и оценка эффективности методов уменьшения погрешности схемы дискретизации линейных задач со смешанными ограничениями;

разработка программного комплекса для ПЭВМ класса IBM PC, обеспечивающую практическую реализацию предлагаемой методики;

оценка работоспособности и эффективности двухуровневой схемы решения параметрически линеаризуемых задач оптимального управления на примере нелинейных динамических моделей рынка ценных бумаг.

Предмет исследования

Предметом исследования является практическая эффективность методов и алгоритмов решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями.

Теоретическая и методологическая основа диссертации

Теоретическую и методологическую основу диссертации составляют труды российских и зарубежных специалистов по методам оптимального управления, теории исследования операций и методам экономико-математического моделирования.

Научная новизна исследования

Предложена методика количественного анализа нелинейных динамических задач оптимального управления со смешанными ограничениями, допускающих линеаризацию методом превращения в параметры некоторого подмножества управляющих переменных, основанная на двухуровневой оптимизационной схеме, сводящейся к последовательному решению линейных задач оптимального управления.

Для используемых итеративных методов приведено обоснование сходимости, получены оценки применимости и эффективности, выполнена программная реализация и проведена практическая апробация.

Практическая ценность диссертации

Практическая ценность работы состоит в создании эффективной методики, позволяющей находить решения достаточно широкого класса задач оптимального управления с ограничениями общего вида. Диссертационная работа была выполнена в соответствии планом научных исследований кафедры высшей математики Московского физико-технического института по теме "Математическое моделирование систем и процессов".

Апробация результатов исследования

Практическое тестирование разработанной методики и ее программной реализации были выполнены для комплекса динамических моделей рынка ценных бумаг

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на научных семинарах ИСА РАН, ВЦ РАН, ИММ РАН, кафедры высшей математики Московского физико-технического института, состоявшемся 25 сентября 2ООЗг, на "ХЬШ научной конференции МФТИ" (г Долгопрудный МО,23-24 ноября 2000г) заседании кафедры высшей математики 27 августа 2004г, на заседании расширенного научного семинара лабораторий Института проблем управления им В А Трапезникова РАН 17 января 2005г

Публикации

Основные результаты исследования отражены в девяти публикациях автора общим объемом 3 1 п л

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения Основное содержание диссертации изложено на 117 страницах печатного текста Список использованной литературы составляет 76 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложены обоснование предмета и цели исследования, основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны, практической значимости и апробации полученных результатов

Первая глава «Математическое моделирование динамических систем, допускающих параметрическую линеаризацию» посвящена теоретическому обоснованию схемы решения задач оптимального управления с ограничениями общего вида, допускающих параметрическую линеаризацию

Рассматривается следующая задача оптимального управления со смешанными ограничениями (здесь и далее нумерация формул идет по тексту диссертации) т

\F(x,u,t)dt-> min (1-1.1)

J неК(уг)

О

Приусловиях X, =fl(x,U,t),Xl(O) = Xl0 ,X,(T) = XlT , l=[l,n] (1.1.2)

и gj(x,u,t)>0, J=[\,m] , (113)

где функции F(x,u,t), f (x,u,t) и g,(x,M,f) непрерывно дифференцируемы по I, фазовым переменным x(t)&E" и управлениям и (/) е Е1, а V(x,l) - множество управлений, удовлетворяющих ограничениям (113) Предполагается также, что ограничения (113) регулярны

В общем случае решение задачи (1 1 1)-(1 1 3) основано на использовании функций Понтрягина и Лагранжа Ь(х,и, 1,1//, Л)

П(х,и,ичг) = щ + £ у/ (/)/ (х, и, 0,

(1 1 4)

Цх,и,!,{//,Л) = П(х,и,1,1//) -

(115)

где - вектор сопряженных переменных задачи (1 1 1)-(1 1 3), а Д(^) вектор неотрица-

тельных обобщенных множителей Лагранжа При этом введенные сопряженные переменные и множители Лагранжа должны удовлетворять как сопряженной системе уравнений

дх

так и условиям дополняющей нежесткости Л g (х,и,= 0, ]= [\,т]

(1 16)

(117)

В этом случае для исходной задачи оптимального управления (111)-(113) будет справедлив, дополненный формализмом Дубовицкого-Милютина, принцип максимума Пон-трягина, который заключается в следующем

Пусть (е'(') и Л*(') - решение системы (1 1 6)-(1 1 7) Тогда для того, чтобы функции {*'(')>м'(')}> доставляли минимум функционалу (111) при условиях (11 2) и

(113) необходимо, чтобы набор функций {х*(0> и'(!),!//'Л'(1)}, У/е[0,Г] являлся решением задачи

найти максимум П(х,и,(,у/,Л) ПО и(/) (118)

при наличии ограничений (1 1 1)-(1 17) где множители Лагранжа определяются из условия Блисса с учетом условий дополняющей нежесткости (117)

Заметим, что для задачи со свободным правым концом граничное условие имеет вид

Таким образом, принцип максимума редуцирует исходную задачу оптимального управления (1 1 1)-(1 1 3) к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений В свою очередь, краевая задача требует решения следующих основных проблем

1 Решение задач Коши (1 1 2)-(1 1 6),

2 Решение в каждой расчетной точке задач нелинейного программирования (1 1 8),

3 Поиск нулей трансцендентных функций, обеспечивающих выполнение краевых условий (1 1 2) в момент В принципе, этого можно добиться за счет подбора произвольных постоянных

При наличии смешанных ограничений (113) основная проблема связана с определением геометрии оптимальной траектории для ограничений типа неравенств Последнее означает необходимость выделения множества индексов активных ограничений в каждый момент Другими словами, использование принципа максимума требует выполнения полного пере-

бора различных возможных вариантов продолжения траектории Например, в случае единственного ограничения типа неравенства нам априори неизвестен момент схода с ограничения, то есть превращение его в неактивное А в случае системы таких ограничений вычислительные сложности возрастают многократно

Основная цель работы заключается в исследовании возможности и целесообразности использования таких схем параметрической линеаризации для решения задач вида (1 1 1)-(113), при которых оказывается возможным избежать вычислительных затруднений, связанных с непосредственным использованием принципа максимума (1 1 4)-(1 1 9) и при помощи которых удается находить решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями с практически приемлемыми затратами вычислительных ресурсов

Ограничим дальнейшее рассмотрение проблемы анализом специального, но, в то же время, достаточно широкого класса нелинейных задач оптимального управления, допускающих линеаризацию исходной задачи путем параметризации некоторого подмножества управлений, которое обозначим как сохранив за остальными управлениями обозначение

"(f) Иначе говоря, параметрически сводимой к линейной будет являться задача оптимального управления со смешанными ограничениями представимая в следующем виде

наити такие, что

т

¡(dT(t,p(t))x(t) + eJ(t,p(t))u(t))dt-

mm

I» pWUI)

(1 3 7)-(1 3 9)

при условиях

m = A(t, p(t))x{t) + B(t, p(t))u(t) + s(t, p{ 0), x,(0) = x0 , x(T) = xT и G(t, p(t))x(t) + K(f, p{t))u{t) + w(t, p(t)) > 0, где V(x,t) - допустимое множество векторов управлений, a A(t,p(t)),B(t,p(t)),s(t,p(t)), G(t, p(t), K(t, pit)), w{t, pit)) -матрицы соответствующих размерностей

Будем предполагать, что X (?), и (/) и решение задачи (1 3 7)-(1 3 9) существует и удовлетворяет условиям оптимальности Понтрягина-Дубовицкого-Милютина

Основой исследуемой схемы параметрической линеаризации является линейность условий задачи (1 3 7)-(1 3 9) по X(t) и «(/) при фиксирован$(ЫХ,что позволяет использовать следующую двухуровневую схему ее решения

- на нижнем уровне решаются при фиксированном pit) линейные задачи оптимального управления со смешанными ограничениями вида найти такие, что

*(/) = A(t, p(t))x{t) + B(t, p{t))u{t) + s(t, p(t)) ;

= Xq , ^(T1)= Xj

p(t))x(t) + K(t, p{t))u{t) + w(t, p(t)) > 0,

x,(0)

G(t,

(1.4.10)-(1.4.12)

где V(x,t,p) - множество непараметризованной части управлений u(t), и p(t) - некоторый допустимый фиксированный вектор параметризованной части управлений задачи (1.3.7)-(1.3.9).

- на верхнем уровне решается оптимизационная задача:

найти p(f) такое, что

где П - множество параметризованных управлений pif), а X (t,p(ty) и U*(t,p(t)) - решение задачи (1.3.7)-(1.3.9). Имеет место

Теорема 1.4.1: задача (1.4.14) имеет локальное единственное решение.

Алгоритм решения задачи (1.4.14) зависит от вида функций и

и должен учитывать тот факт, что явный вид зависимостей решений задачи (1.4.10)-(1.4.12) от параметров не известен. Наиболее подходящей для этого случая представляется итерационная схема поиска решения задачи (1.4.14)-(1.4.15), на каждом шаге которой решается линейная задача (1.4.10)-(1.4.12) при фиксированном векторе

Задача верхнего уровня (1.4.14) в общем случае является вариационной задачей на условный экстремум, необходимым условием которого будет стационарность соответствующей функции Лагранжа. В том случае, когда параметризация задачи (1.3.7)-(1.3.9) допускает представление вида - некоторая заданная функция от

переменной, а компоненты вектора - подлежащие выбору параметры, то задача

(1.4.14) редуцируется к г —мерной задаче нелинейного программирования с неявно заданными условиями

наити минимум по С в Ег функции при условиях

G(t,r(t,Cr))x'(t,r(t,С))) + K(t, Г(1,C))u'(t,r(t,С)) + w{t.r(t,C)) > 0,

необходимые и достаточные условия разрешимости которой достаточно хорошо изучены. Основной же проблемой предлагаемого подхода является обеспечение эффективного решения задач вида (1.4.10)-(1.4.12), поскольку

- любая процедура решения задачи (1.4.14) верхнего уровня с неявно заданными условиями требует многократного решения задач нижнего уровня (1.4.10)-(1.4.12);

- кроме того, задача (1 4 10)-(1 4 12) - задача оптимального управления, содержит дифференциальные связи, и с этой точки зрения является более сложной, чем (1 4 14) Если же оптимальное решение задачи (1 4 10)-(1 4 12) получено, то на множестве П оцениваются как ш(?) - направление изменения текущего p(t), так и с - величина шага по данному направлению, обеспечивающие сходимость итерационного процесса

к решению задачи (14 14)

Во второй главе «Решение линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями общего вида» рассматривается схема решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями Анализируется ее эффективность и оцениваются границы применимости

Для решения задач нижнего уровня предлагается использование схемы состоящей из следующих процедур

1 ° Выполняется выделение множества активных ограничений (как функции времени) для задачи (1 4 10)-(1 4 12) при конкретном фиксированном p{t) Для чего производится дискретизация задачи по времени и сведение задачи нижнего уровня (1 4 10)-(1 4 12) к вспомогательной задаче линейного программирования (LP") с конечным числом переменных Дифференциальные уравнения при этом заменяются конечно-разностными по методу Эйлера первого порядка с шагом дискретизации h-T!N, где N - число периодов дискретизации 2° Решение данной вспомогательной задачи рассматривается как некоторое приближение к решению задачи (1 4 10)-(1 4 12), и на его основании производится выделение подмножества активных ограничений для каждого момента времени то есть формируется гипотеза о геометрии оптимальной фазовой траектории Затем путем эффективных методов прогонки строится решение задачи (1 4 10)-(1 4 12) отвечающее сформированной гипотезе 3° Наконец, выполняется (например, на основе формализма Понтрягина-Дубовицкого-Милютина, или прямой проверкой на множестве допустимых вариаций) контроль оптимальности решения задачи (1 4 10)-(1 4 12) В случаях, когда оптимальность сформулированной гипотезы не получает подтверждения (например, из-за потери точности), производится пересчет по схеме 10-2°-3° с увеличенным числом шагов дискретизации или же с использованием алгоритмов класса «локального сгущения сетки»

График 1 График 2

Используемая схема построения решения задачи (1.4 10)-(1 4.12) по решению вспомогательной задачи (¿Р"), хотя и позволяет избегать комбинаторных переборов на континуальном множестве, она, в силу возможных ошибок численной аппроксимации, принципиально не гарантирует построения на первой же итерации схемы 1°-2°-3° верной гипотезы об оптимальной геометрии фазовых траекторий. При возникновении подобной ситуации оказывается необходимым решение задачи (¿Я") с бо'льшим значением числа периодов N а для выбора этого значения, в свою очередь, оказывается существенным использование оценки зависимости величины погрешности решения задачи (ЬРЫ) от N. Проведенный анализ постановок задач, а также использование полученных ранее в этой области результатов, показали, что для среднеквадратичных отклонений решений задачи от решений

задачи (1.4.10)-( 1.4.12) справедлива

Теорема 2.2.1 для функций <7, (А), ст1 (А) и <7В (А) имеют место следующие предельные соотношения: <гЛ (А) = 0(А); с, (А) = О(А); а, (А) = О(А).

То есть, погрешность дискретизации по функционалу оказывается порядка А, равно как и поточечная погрешность для фазовых и управляющих переменных. Данные результаты позволяют в большом числе практически важных случаев оценить значение N при котором не возникает существенных трудностей при построении гипотезы об оптимальной геометрии фазовых траекторий

Вместе с тем очевидно, что увеличение N приводит к росту размерности задач (¿Р") и как следствие к значительному увеличению затрат вычислительных ресурсов на их решение Аналитическая оценка данного роста весьма затруднительна, однако, о его характере можно делать заключения на основании многочисленных экспериментов выполненных в рамках данной работы На графиках 1 и 2 приведены типичные зависимости затрат оперативной памяти и процессорного времени от N на решение задачи (ЬР")

Поскольку задачи в предлагаемой схеме решаются многократно, то затраты вы-

числительных ресурсов с ростом N могут оказаться неприемлемо высокими, даже для сравнительно простых задач (1.4.10)-(1.4.12).

На практике, достаточно часто оказывается, что трудности построения гипотезы об оптимальной геометрии сильно локализованы, то есть неоднозначность выделения множества активных ограничений для задачи (1.4.10)-(1.4.12) по решению задачи (ЬР") имеет место лишь для некоторых ограниченных участков на промежутке времени Поэтому альтер-

нативой увеличения числа периодов в процедуре построения гипотезы об оптимальной геометрии может служить схема типа "алгоритма локального сгущения сетки" широко используемой в различных вычислительных задачах Применительно к проблеме построения гипотезы данный подход выглядит так при неизменном числе периодов N выполняется сужение

"временного горизонта" от - соответственно начало и конец

промежутка времени, для которого не удается однозначно выделить множество активных ограничений задачи (1 4 10)-(1 4 12) Из очевидных неравенств 0 < ^ <12 ^Т следует, что этот способ дискретизации позволяет достичь меньшей "мелкости разбиения" И при неизменном значении N

Применение схем "локального сгущения сетки дискретизации" требует некоторой модификации постановки задач (1 4 10)-(1 4 12) и (ЬР"), сводящейся к переносу краевых условий на моменты времени 1\ и ¿2 Данная процедура оказывается корректной, поскольку справедливы в силу принципа оптимальности Беллмана

Теорема 2 Л.1. если задача (1 4 10)-(1 4 12) имеет решение {х (?),и (?); / е [О, Т]} , то эта же задача с краевыми условиями

*(/,)=*• с, ),*с2) = *'('2);

будет иметь решение {х (О, и (?) ; / 6 , ?2 ] }

и

Теорема 2.3.2. если задача (ЬР") имеет решение

{МО,МО; 'е[0,7-]},

то эта же задача с краевыми условиями будет иметь решение

(МО.МО; 'е[/„/2]}

-0(4

ад!

11 ¡. 11.1

График 3 График 4

Возникающие при этом вычислительные трудности, связанные с переносом граничных условий, могут быть, как показано в работе, преодолены путем применения, например, метода штрафных функций

Графики 3 и 4 демонстрируют эффект практического применения схемы "локального сгущения сетки дискретизации"

Основной технической проблемой, решение которой оказалось необходимым в рамках данного исследования, явилась разработка эффективных средств решения задач (LP"), поскольку основные затраты вычислительных ресурсов (практически до 95%) приходились именно на эту часть вычислений За основу «решателя» - пакета программ обеспечивающих многократное формирование условий, нахождения решения и формирования необходимых для анализа выходных файлов - использована реализация для ОС Windows 2K-XP базовой версии алгоритма анализа неполных математических моделей (разработанная в 1985 году в IIASA, в рамках проекта Regional Development, на языке "Fortran-IV" для ПЭВМ Altus-2, авторы Ким К В и Умнов А Е), адаптированная для языка C++ на кафедре высшей математики МФТИ в рамках совместных исследований с ЗАО «Оптимизационные системы и технологии»

Кроме того, тогда же для повышения эффективности процедур ввода-вывода и анализа данных был разработан интерпретатор языка "L", являющегося подмножеством языка "C++"

Наконец, в комплекс программных средств решения задач были включены моду-

ли диагностики и анализа качества (получаемых на основе найденных решений) гипотез об оптимальной геометрии фазовых траекторий Специальные программные средства были разработаны для решения сопряженных задач, проверки формализма Понтрягина-Дубовицкого-Милютина и прямой проверки оптимальности решения на множестве допустимых вариаций

Для представления и анализа данных, получаемых в процедурах решения задач (1 4 10)-(1 4 12) и (1 3 7)-(1 3 9) использовались стандартные средства пакетов MS Office XP и MathCAD Pro

Третья глава «Применение параметрической линеаризации и дискретной аппроксимации для динамической модели рынка ценных бумаг» содержит описание применения исследуемой схемы для динамической модели рынка ценных бумаг

Проверка предложенной схемы была выполнена для модели инвестиционных операций на рынках ценных бумаг, сформулированной в терминах следующих количественных характеристик

- остаток средств на счете операции в момент времени

Q(t) - скорость изменения объема средств, использованных по кредитной линии ( то есть, за время изменение этого объема равно

- скорость изменения объема портфеля ценных бумаг, ( то есть, за время изменение этого объема равно

- скорость уплаты процентов по кредиту (то есть, за время выплата процентов составляет

- скорость поступления дивидендов на счет фирмы (то есть, за время это поступление равно

- величина задолженности фирмы банку по кредиту на момент времени

t е[0,Г]

Кроме того, введем вспомогательные переменные

- суммарная величина выплаченных процентов по кредиту на момент времени t е[0, Т],

D(t) - суммарная величина полученных дивидендов на момент времени ie[0,f],

F(t) - объем портфеля ценных бумаг на момент времени t е [О, Г],

P(t) = D(t)-W(t) - оценка эффективности операции на момент времени

/€[0,71,

Эти характеристики будут связаны следующими динамическими соотношениями

1 °

2° 3°

(32 1) (322)

Динамика счета операции

S = Ç>-R + r-q Динамика процентных выплат по кредиту

q=p<y+p<>Q

Динамика получения дивидендов (купонных выплат)

r = p(t)F + p(t)R (3 23)

Полная система дифференциальных уравнений, связывающая фазовые переменные S(t),q(t),r(t),V(t),F(t) с управлениями Q(t) и R(t) будет иметь вид

S =

Я = V = г = F =

Р/

+ Q -R

+ p0Q в

pF + pR

R

(324)

Фазовые переменные и ограничения должны удовлетворять следующим ограничениям

S(t)> 0, V/ е [0, Т] , то есть в ходе операции овердрафт не допускается, q(t)>0, V? е[0,Г] и r(t)>0, V/ е[0, Т] - очевидны, управления Q(t) и R(t) произвольны по знаку и ограниченны по модулю некоторыми, большими по модулю константами

Q < Q(t) < Q.Vt е [0 ,T],R< R(t) < R.Vte [0, T],

начальные условия 5(0) = V(Q) = F(0) = 0, равно как и конечные условия

т т

V(T) = F(T) = 0 ( или же в интегральном виде

о о

следуют из условий проведения операции Наконец, целевая функция модели, состоящая в максимизации величины Р(Т), может быть записана в интегральном виде

Р(Т)= max \(r(z)-q(r))dï

S q г Q R {

что в дифференциальной форме равносильно Р(1) = г(/)-^(() Включив дифференциальную запись функционала Р(Т) в систему динамических уравнений модели (12 4), получим

' Р = г(1)-д(1) 5 = -?(0+г(0+2(0-л(0

у = №

гМО^О+рСЖ о ?=АСЖ(о+АС)е(о

(32 5 )

Для рассматриваемой модели справедливы

Теорема 3.2.1. Для системы (3 2 5 ) в случае нулевых начальных условий справедливо следующее функциональное соотношение S(t) = P(t) — F(t) + V(t)

Теорема 3.2.2. При нулевых граничных условиях F(T) = V(T) = Q задача на максимум прибыли (Р(Т)—> шах) эквивалентна задаче максимизации остатка средств на счете операции (S(T)—t шах)

что позволяет исключить из системы дифференциальных уравнений (124) фазовые переменные и получить более простую задача оптимального управления, для которой, уравнения динамики которой имеют вид

Корректность использования предлагаемого подхода для модели (3 2 1)-(3 2 5) следует из справедливости следующих утверждений

Теорема 3.3.1. Если ограничения задачи (1 4 10)-(1 4 12) выпуклы матричные функции

А(0,5(0,"(О и измеримы по / для I .удовлетворя-

ют условию Филиппова А Фи существует хотя бы одна допустимая

пара [х(0 , м(?)} то существует и единственно {х (/) , и (?)} оптимальное решение задачи (1 4 10)-(1 4 12)

и

Теорема 3.4.1. Для задачи оптимального управления (3 2 1)-(3 2 5) принцип максимума выполняется только тривиально

Поскольку задача (3 2 1)-(3 2 5) удовлетворяет всем условиям теоремы 3 3 1 , то для рассматриваемой модели решение существует и единственно Кроме того, поскольку принцип максимума Понтрягина для данной модели выполняется лишь тривиально, то при проверке правильности гипотезы об оптимальной геометрии фазовых траекторий использовался метод анализа допустимых вариаций

На графиках 5 и 6 приведены характерные решения для фиксированных параметров

иА>„(/),р(0 1е[0,Т]

График 5

Проверка правильности построения гипотезы о геометрии оптимальной траектории для рассматриваемых задач выполнялась, либо по принципу максимума Понтрягина, либо путем контроля интеграла движения S(l) = P(t)~ F(t) + К(()

К параметрам модели, нелинейно входящим в динамические соотношения и подлежащим оптимизации на верхнем уровне, относятся

ставка кредитной линии

ставка купонного дохода Pit) Для рассматриваемой модели требовалось найти оптимальные p'{t) и р'(1) в классе функций вида

Ро( 0 =

о >

О '

/€[0,Г0)

/е[г0,г0 +Д) p(t):

te[T0+A,T]

a, ie[0,r)

b, /е[г,г + Д) a, te[r + A,T]

(3 5 10)

причем в качестве варьируемых параметров С, и С2 были выбраны моменты времени г0 и

т

A *

t *

«« f .. ^ V f - Ubfr-J.*?^ Щ" »фг'- ^tffi&Qi Ц

** 3й v., *

'wr § 4 w

о 7~ * • ^ > ft

График 6

Выбор схемы решения задачи верхнего уровня в первую очередь определяется тем фактом, что явный вид зависимостей X (t,p{t)) и U (t,p(t)) - решений задачи (3 2 1)-(3 2 5) от параметров неизвестен

Наиболее подходящим для этого случая представляется итерационная схема

где рк (/) - текущее приближение к решен юЮ<) - направление движения в пространстве

параметров, а - величина шага по выбранному направлению на шаге данного итерационного процесса

Поскольку для решения задачи верхнего уровня требуется не явный вид зависимостей X (i,p(t)) и U (t, p(t)) , а лишь некоторые количественные оценки, позволяющие выбирать

гарантирующие сходимость то для каждого шага процесса оказывается необ-

ходимым решать линейную задачу (3 2 1)-(3 2 5) с фиксированным вектором /(О Конкретные значения определялись методом Ньютона - локальной квадратичной аппроксимации

На графиках 7 и 8 приведены представления зависимостей Ф(т0,т) = S{T, Г0,Г) при следующих фиксированных характеристиках искомых функций для модели,

описанной в

а = 0 04,6 = 0 05

График 7

Содержательный анализ полученных результатов показывает, что в случае нестабильного поведения рынка ценных бумаг, проявляющегося в скачке купонного дохода вида (3.5.10) в момент времени г, существует и притом единственная реакция рынка кредитных линий, заключающаяся в скачке стоимости кредита в момент времени при которой достигается максимальная эффективность операции. Иначе говоря, оптимальное значение г(| оказывается некоторой поддающейся оценке функцией от что, может быть использовано регулирующими органами для улучшения условий функционирования финансовых рынков в целом или, например, в целях оптимизации налогообложения.

Заключение содержит полученные результаты и возможные направления дальнейших исследований.

В приложении приведены решение прямой линеаризованной задачи, решение сопряженной линеаризованной задачи, анализ условий оптимальности решения линеаризованной задачи и его содержательная интерпретация, а также листинги входных и выходных файлов дискретной линеаризованной задачи и иллюстрационные графические материалы.

График 8

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты проведенного диссертационного исследования следующие:

1. В рамках выполненного анализа предложена и обоснована двухуровневая схема решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями, допускающих сведение к линейной методом параметризации некоторого подмножества управляющих переменных. Определен класс задач, для которых использование данной схемы может быть эффективным.

2. Сформулирована и обоснована схема решения линеаризованных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, основанная на комбинации метода дискретизации времени и аналитической проверки оптимальности как на основе формализма Понтрягина и Дубовицкого-Милютина, так и прямых методов.

3. Для предлагаемой схемы выполнена, практически эффективная с точки зрения затрат вычислительных ресурсов, программная реализация для ПЭВМ класса IBM-PC.

4. Предложенная схема использована для анализа нелинейной динамической модели рынка ценных бумаг. Для возникающих в процессе этого анализа задач оптимального управления получены условия существования, единственности и оптимальности решений. Для найденных решений приведена содержательная интерпретация.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Умнов Е А Тезисы XLШ научной конференции МФТИ Свойства оптимальных управлений в задачах оценки эффективности инвестиционной деятельности М Изд МФТИ, 2000 С 38-39

2 Умнов Е А Свойства оптимальных траекторий в задачах оценки эффективности инвестиционной деятельности Межведомственный сб "Управление и обработка информации модели процессов" М , Изд МФТИ, 2001 С 159-168

3 Умнов Е А Построение оптимальных управлений в задачах оценки эффективности инвестиционной деятельности на нестабильных рынках ценных бумаг Межведомственный сб "Обработка информации и моделирование" М , Изд МФТИ, 2002 С 223-229

4 Умнов Е А Использование дискретной аппроксимации в задачах оптимального управления с параметрами, зависящими от времени Сб "Моделирование и обработка информации" М,Изд МФТИ, 2003 С 53-60

5 Умнов А Е , Умнов Е А , Чекарев Д А Анализ эффективности схем дискретной аппроксимации в задачах оптимального управления Сб "Моделирование и обработка информации" М , Изд МФТИ, 2003 С 44-52

6 Умнов А Е , Умнов Е А , Чекарев Д А Параметрический двухуровневый метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями Сб "Моделирование процессов управления" М , Изд МФТИ, 2004 С 132-140

7 Умнов А Е , Умнов Е А , Чекарев Д А Использование метода параметризации в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями Сб "Моделирование процессов управления" М , Изд МФТИ, 2004 С 124-131

8 Умнов А Е, Умнов Е А, Чекарев Д А Оценки погрешности дискретной аппроксимации решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями Сб "Моделирование процессов управления" М, Изд МФТИ, 2004 С 141-148

9 Абрамов А П , Умнов Е А Обоснование и исследование практической эффективности метода параметрической линеаризации для решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями Сообщения по прикладной математике М , Изд ВЦ РАН, 2005

Личный вклад диссертанта в публикациях, выполненных в соавторстве в [5]-[8] теоретическое обоснование сходимости используемой схемы, построение математических моделей

и содержательная интерпретация результатов, в [9] все результаты, кроме постановок основных задач

Егор Александрович Умнов

Анализ эффективности метода параметрической линеаризации для решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 08.02.2005. Формат бумаги 60x84 1/16. Тираж 100 экз. '

Отпечатано ЗАО БИАМ ?? £ ° -

+7 (095) 776-3897 ' 1 • ■

* 938

Введение

0.1. Общее описание проблемы

0.2. Формулировка темы работы. Актуальность

0.3. Цель работы и предлагаемый подход к решению

0.4. Методы исследования

0.5. Объем и структура диссертации

0.6. Основное содержание работы

0.7. Научная новизна работы

0.8. Апробация работы

0.9. Публикации

0.10. Личный вклад диссертанта

Глава 1 Математическое моделирование управляемых динамических систем, допускающих параметрическую линеаризацию

1.1. Постановка общей задачи оптимального управления. Условия оптимальности, использующие принцип максимума Понтрягина и формализм Дубовицкого-Милютина

1.2. Линейная задача оптимального управления со смешанными ограничениями, зависящими от времени. Условия оптимальности для линейных моделей с ограничениями смешанного типа, зависящими от времени

1.3. Постановка параметрической задачи оптимального управления. Сведение общей задачи оптимального управления к линейной параметрической задаче. Условия сводимости

1.4. Двухуровневая схема решения задачи оптимального управления, сводимой к линейной методом параметризации. Условия оптимальности для двухуровневой схемы

1.5. Использование принципа максимума в задачах оптимального управления, зависящих от параметров

Глава 2 Решение линейных задач оптимального управления с зависящими от времени смешанными ограничениями

2.1. Общая схема решения линейных задач оптимального управления

2.1.1. Получение дискретной аппроксимации решения прямой задачи

2.1.2. Построение гипотезы о геометрии оптимальных траекторий и ее верификация

2.2. Оценка погрешности метода дискретной аппроксимации линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями

2.3. Обоснование схемы "локального сгущения сетки дискретизации"

2.4. Оценка затрат вычислительных ресурсов необходимых на реализацию метода дискретной аппроксимации линейных задач

Глава 3 Применение методов параметрической линеаризации и дискретной аппроксимации для динамических моделей рынка ценных бумаг

3.1. Содержательное описание моделируемой системы

3.2. Математическая формулировка модели

3.3. Условия существования, единственности и оптимальности

3.4. Проблема тривиальности решения сопряженной задачи

3.5. Параметрическая линеаризация модели. Описание двухуровневой схемы поиска решения задач оптимального управления для рассматриваемой модели

§0.1. Общее описание проблемы

Данная работа посвящена исследованию эффективности и границ применимости схем решения нелинейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями путем их параметрического редуцирования к линейным задачам. Данный подход, основанный на схеме линеаризации исходной задачи путем превращения части переменных в параметры с последующим поиском их значений, оказывается достаточно эффективным при решении различных классов задач. Характерным примером его использования может служить задача поиска собственных векторов линейных преобразований в конечномерных линейных пространствах.

С другой стороны, проблема нахождения решений для оптимизационных задач нелинейных моделей с ограничениями, в которые входят, вообще говоря, одновременно как фазовые, так и управляющие переменные, представляет значительный практический интерес, поскольку развитые к настоящему времени методы решения задач оптимального управления, либо основаны на использовании специфики их условий (например, отсутствии ограничений по фазовым переменным), либо требуют для своей реализации чрезмерно больших затрат вычислительных ресурсов. Так, например, разнообразные варианты методов прогонки в случае задач со смешанными ограничениями оказываются практически малоэффективными из-за сложности выполнения полного перебора вариантов схода с фазовых ограничений на континуальном временном множестве, необходимого для построения оптимальной фазовых траекторий.

Поэтому разработка альтернативных методик и алгоритмов, позволяющих избегать затруднений данной природы, являются актуальными, практически значимыми и полезными.

§0.2. Формулировка темы работы. Актуальность

Основная цель работы состоит в анализе условий и границ применимости, равно как и оценке практической эффективности схем решения нелинейных задач оптимального управления с ограничениями общего вида, допускающих линеаризацию путем превращения некоторого подмножества управлений в параметры, с последующим поиском их оптимальных значений.

Как известно [7,8,14,22,35,37,50,66] основным методам решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений), метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; метод приращения функционала; принцип максимума.

В настоящее время теоретически наиболее точным и эффективным методом решения задач указанного класса является принцип максимума. Однако его практическое применение требует разрешения ряда проблем и преодоления затруднений, что требует накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления.

Последнее обстоятельство обусловлено, с одной стороны сложностью математического аппарата и формулировки принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. С другой стороны, хотя принцип максимума и редуцирует исходную задачу к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, наличие в таких задачах специфических связей типа равенств и неравенств резко усложняет использование этого подхода на практике.

Как правило, возникающая в этом случае краевая задача требует решения трех основных проблем:

- задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;

- задачи нелинейного программирования (для каждой расчетной точки t);

- поиск нулей трансцендентных функций.

Совокупность информации, получаемой при решении указанных выше задач, определяет для всего временного горизонта геометрию оптимальной траектории, основой которой является зависящее от t множество активных индексов для ограничений типа неравенств.

Важно отметить, что практическое использование принципа максимума также осложняется неединственностью множителей Лагранжа, возможным вырождением принципа максимума, а также проблемой выбора момента схода оптимальной траектории с ограничения типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению обобщенных функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений.

Из вышеизложенного следует, что разработка и обоснование комплекса вычислительных процедур и методик решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе принципа максимума, является актуальной и важной для практики.

Как известно, принцип максимума для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован Понтрягиным J1.C. и обоснован Болтянским В.Г. [54,55]. С тех пор появилось значительное число работ, посвященных использованию принципа максимума в различных задачах оптимального управления [58,49,68]. Приведем краткое изложение основных, полученных в них результатов.

Наиболее глубокие и серьезные теоретические исследования проблемы были проведены в работах Милютина А.А. и Дубовицкого А.Я. [5,25,29,30,48]. В этих работах теория принципа максимума была распространена на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу, теоретическая проблема получения необходимых условий первого порядка для указанных задач в этих работах полностью решена. Однако с практической точки зрения при решении задач Коши в схемах основанных на этих условиях возникают дополнительные проблемы, которые требуют применения специальных методов. Прежде всего это, так называемая, жесткость задачи Коши, являющаяся отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. Выделение жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый для временных интервалов с большими по модулю производными, не может быть увеличен для других интервалов, хотя производные там становятся существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы [9,31,40,45,20,46,33,49], однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов.

Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др.[59,63,68,61]). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.[65,43,41,26,27]) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системы, описывающих траекторию наискорейшего спуска могут существенно осложнить применение принципа максимума [56,64,33].)

Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории используют метод приращения функционала, а также дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП). Возможностям использования нелинейного и линейного программирования для решения задач оптимального управления посвящено значительное количество исследований, в числе которых [4,13,14,16,17,21,23,34,38,42,51,53,57], содержащие полезные для практики результаты.

Евтушенко Ю.Г. и Жадан Ю.Д. [34,36] распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи нелинейного программирования. Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛП [3] следует из работ Евтушенко Ю.Г. и Жадана Ю.Д. как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискретизации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (Бакушинский А.Б., Гончарский Л.В., Васильев Ф.П. и др.). В работах Мангасарьяна и его сотрудников [2] основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП. Левиков А.А., Умнов А.Е. сводили задачу ЛП к задачам нелинейной параметрической [44,63]. Для задач квадратичного и линейного программирования применяются конечные и итеративные методы (Поляк Б.Т., Афанасьев А.П., Дикусар В.В., и др. [10,6]). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.

Отметим, что при решении ряда задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается, т.е. становится тривиальным. Последнее означает, что для исследования задачи необходимо применять методы высших порядков [1,18,19,28,67]. Многие авторы рассматривали этот вопрос в плане расширения границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах. Их результаты в основном связаны с теоремами существования принципа максимума для вырожденного случая. В их числе следует указать работу Дикусара В.В.[24], который применил методы регуляризации структуры ограничений, что позволило распространить принцип максимума на вырожденные задачи.

Наконец, представляется необходимым отметить наиболее интересные результаты использования принципа максимума для решения прикладных задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями [15,32,39,52,60,62].

§0.3. Цель работы и предлагаемый подход к решению

Настоящая диссертация является частью направления современных исследований в области развития эффективных методов численного решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. При этом основное внимание уделено анализу условий и границ применимости, оценке практической эффективности схем решения нелинейных задач оптимального управления с ограничениями общего вида, допускающих линеаризацию путем превращения некоторого подмножества управлений в параметры, с последующим поиском их оптимальных значений.

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи: выделение класса нелинейных задач, допускающих линеаризацию методом параметризации подмножества управляющих переменных, и исследование применимости условий оптимальности согласно принципу максимума Понтрягина и формализма Дубовицкого-Милютина; формулирование условий линеаризации и условий оптимальности для линеаризованных задач; построение двухуровневого алгоритма решения исходной нелинейной задачи оптимального управления и выявление области его эффективного применения; оценка эффективности метода решения линеаризованной задачи, не требующего выполнения полного перебора в процессе анализа геометрии оптимальной траектории; сравнение и оценка эффективности методов уменьшения погрешности схемы дискретизации линейных задач со смешанными ограничениями; разработка программного комплекса для ПЭВМ класса IBM PC, обеспечивающую практическую реализацию предлагаемой методики; оценка работоспособности и эффективности двухуровневой схемы решения параметрически линеаризуемых задач оптимального управления на примере нелинейных динамических моделей рынка ценных бумаг.

Идея исследуемого подхода заключается в сведении нелинейной, но линеаризуемой параметрически, задачи оптимального управления к линейной параметрической задаче. При этом решение исходной задачи выполняется по двухуровневой схеме, на верхнем уровне которой решается неявно формулируемая задача на множестве функций-параметров, а на нижнем уровне решаются линейные задачи оптимального управления со смешанными ограничениями для последовательно изменяемых, но фиксированных функций-параметров.

Основные полученные результаты состоят в следующем.

1. Предложена и обоснована двухуровневая схема решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями, допускающих сведение к линейной методом параметризации некоторого подмножества управляющих переменных. Определен класс задач, для которых использование данной схемы может быть эффективным.

2. Сформулирована и обоснована схема решения линеаризованных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, основанная на комбинации метода дискретизации времени и аналитической проверки оптимальности как на основе формализма Понтрягина и Дубовицкого-Милютина, так и прямых методов.

3. Для предлагаемой схемы реализована, экономичная с точки зрения затрат вычислительных ресурсов, программная реализация для ПЭВМ класса IBM-PC.

4. Исследуемая методика использована для анализа нелинейной динамической модели рынка ценных бумаг. Для возникающих в процессе этого анализа задач оптимального управления получены условия существования, единственности и оптимальности решений. Для найденных решений приведена содержательная интерпретация.

§0.4. Методы исследования

Принцип максимума Понтрягина, схема Дубовицкого-Милютина-Лагранжа, методы решения некорректных задач линейного программирования, методы продолжения решений1 по параметру, итеративные методы решения задач нелинейного и линейного программирования.

§0.5. Объем и структура диссертации

Диссертация содержит 104 страницы текста, включая рисунки. Текст разделен на введение, 3 главы, заключение, приложение и список литературы из 76 наименований.

Основные результаты проведенного диссертационного исследования следующие:

1. В рамках выполненного анализа предложена и обоснована двухуровневая схема решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями, допускающих сведение к линейной методом параметризации некоторого подмножества управляющих переменных. Определен класс задач, для которых использование данной схемы может быть эффективным.

2. Сформулирована и обоснована схема решения линеаризованных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, основанная на комбинации метода дискретизации времени и аналитической проверки оптимальности как на основе формализма Понтрягина и Дубовицкого-Милютина, так и прямых методов.

3. Для предлагаемой схемы выполнена, экономичная с точки зрения затрат вычислительных ресурсов, программная реализация для ПЭВМ класса IBM-PC.

4. Предложенная схема использована для анализа нелинейной динамической модели рынка ценных бумаг. Для возникающих в процессе этого анализа задач оптимального управления получены условия существования, единственности и оптимальности решений. Для найденных решений приведена содержательная интерпретация.

1. K.J. Arrow. Applications of control theory to economic growth. Mathematics of the decision sciences, part 2, 1968, American mathematical Society, Providence, Rhode 1.land.

2. O.L. Mangasarian. Sufficient conditions for the optimal control of nonlinear systems. SI AM. J. Control 4 (1966), P. 139-151.

3. Fiacco Anthony V., McCormick Garth P. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1968.

4. Ho J.K. Nested decomposition and multistate linear programs. Management Science, 1973. Vol. 20. № 3. pp. 282-292.

5. Milyutin A.A., Osmolovskii N.P., Calculus of Variations and Optimal Control. AMS, Providencs, Rhode Island, 1998.

6. StoerJ, Bulirsch P., Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag, 1990.

7. Алифанов O.M., Артюхин E.A., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

8. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во "Факториал", 1997.

9. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М., Наука, 1990.

10. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.В. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.

11. Афанасьев А.П. Линейные по управляющим воздействиям задачи оптимального управления. Препринт. М.: ВНИИСИ.

12. Белухин В.П. Параметрический метод решения задач линейного программирования Автоматика и телемеханика, 1975. № 3. С. 95-103.13,1415,16,17,18.21,22,23,24,25

13. Биргер Е.С., Пестряков А.К. О численном отыскании допустимого плана развития экономики. Автоматика и телемеханика, 1976. № 14. С. 102-108.

14. Бирюков С.И., Шибанов А.В. Алгоритм поиска сбалансированного плана в динамической модели экономики. В сб. "Моделирование и управление в развивающихся системах". М.: Наука, 1978. С. 76-81.

15. Будак Б.М., Бертович Е.М. Разностные аппроксимации для задач оптимального управления с подвижными концами при наличии фазовых ограничений. I. П. III "Вестник МГУ. Матем. механика", 1969, №6. Стр. 59-68; 1970, №1, Стр. 39-47; 1970, №2. Стр 23 32.

16. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. М., Просвещение. 1979.

17. M.JI. Вайцман, А.Г. Шмидт. Принцип максимума для дискретных экономических процессов на бесконечном интервале времени. Кибернетика. 1971. № 5.

18. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М, Факториал, 2002.

19. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

20. Гилязов С.Ф. Приближенное решение некорректных задач. М.: МГУ, 1995.

21. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. М.: Прогресс, 1966.

22. Дикусар В.В. Методика численного решения краевых вариационных задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автореферат дисс. д.ф.-м.н., Дубна, ОИЯИ, 1982.

23. Дикусар В.В., Милютин А.А, Качественные и численные методы в принципе максимума. М., Наука, 1989.

24. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М., МФТИ, 2001.

25. Дикусар В.В., Гживачевский М., Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М., МФТИ, 2001.27.