автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное управление летательным аппаратом с учётом ограничений на управление

СЮ34882Ь^

На правах рукописи

Александров Антон Аскольдович

Оптимальное управление летательным аппаратом с учётом ограничений на управление

Специальность 05.13.01 - "Системный анализ, управление и обработка информации"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2009

003488252

Работа выполнена в Балтийском государственном техническом университете "Военмех" им. Д.Ф. Устинова, г. Санкт-Петербург

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Кабанов Сергей Александрович

доктор технических наук, профессор Толпегин Олег Александрович

Ведущая организация:

кандидат технических наук, старший

научный сотрудник

Цыганкова Ирина Александровна

ОАО "Военно-промышленная корпорация "Научно-производственное объединение машиностроения" Московская область, г. Реутов

Защита состоится <02» 2009 г. в_час.

на заседании диссертационного совет4 Д 212.010.03 Балтийского государственного технического университета "Военмех" им. Д.Ф. Устинова по адресу: 190005, г. Санкт-Петербург, ул. 1-ая Красноармейская, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.010.03

/Уи^Ъч Петров Ю.В.

О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время существует множество технических объектов, математическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка. Создаются новые, более совершенные и сложные системы, управление которыми должно обеспечивать высокое качество их функционирования при экономии ресурсов, повышении быстродействия и наложении различного рода ограничений. Развитие математического аппарата для разработки оптимальных по быстродействию вычислительных алгоритмов при этом строится на основе использования классических критериев оптимальности.

Задачи управления полётом являются важным направлением в области развития беспилотной авиации. Алгоритмы должны быть ориентированы на возможность формирования управления в реальном времени, на повышение точностных характеристик и безопасности полёта.

Применение теории оптимального управления полётом летательного аппарата (ЛА) по классическим критериям оптимальности ограничивается размерностью математических моделей динамики. Как показывает анализ публикаций по исследуемой проблематике, решение задач оптимизации сложных систем, в частности с использованием прогнозирующих моделей, на сегодняшний день не имеет широкого применения. Это объясняется отсутствием чётких методик и рекомендаций к реализации численных методов решения, а также нарастающей сложностью решения при увеличении порядка рассматриваемых систем.

Для формирования оптимального управления ЛА необходимо в реальном масштабе времени получать данные о параметрах движения. Использование прогнозирующей модели для расчёта оптимальной траектории особо актуально, поскольку позволяет формировать траектории полёта с приемлемой точностью, в том числе при сокращении объёма данных о текущем положении ЛА.

Диссертационная работа посвящена разработке вычислительных алгоритмов формирования оптимального управления полётом ЛА как твёрдым телом в пространстве, что определяет её актуальность.

В диссертационной работе рассматривается задача оптимального управления беспилотным летательным аппаратом (БПЛА) с учётом ограничений на управление. В качестве системы, описывающей динамику ЛА как твёрдого тела, приняты уравнения его пространственного движения с использованием уравнений Эйлера и Пуассона. Решение строится по принципу максимума Л.С. Понтрягина на нефиксированном интервале времени. При этом двухточечная краевая задача решается методом Ньютона. Решение многомерной задачи представляет в случае общих начальных и конечных условий существенные вычислительные трудности, связанные с обеспечением сходимости итерационной процедуры. Поэтому решить задачу оптимального управления движением ЛА, описываемого уравнениями Эйлера и Пуассона (15 уравнений), значительно сложнее, чем, например, при описании динамики ЛА как материальной точки в пространстве (6 уравнений). Однако, в рассматриваемую систему включены уравнения для угловых скоростей, что является достоинством рассматриваемой модели и способно облегчить решение задачи стабилизации ЛА на оптимальной траектории.

Данная работа является продолжением и развитием ряда исследований по оптимальному управлению с использованием модели ЛА как твёрдого тела, связанных с оптимизацией по критерию Красовского, с построением управления по

алгоритму последовательной оптимизации с рассмотрением иерархии целевых функционалов.

Объект и предмет исследования. Объект исследования - управляемый полёт, задачи маневрирования БПЛА как твёрдого тела. Предмет исследования -методы оптимального управления применительно к решению поставленной задачи.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка алгоритмов оптимального управления ЛА по классическим критериям оптимальности, позволяющих формировать оптимальные по быстродействию траектории полёта для широкого диапазона задания начальных и конечных условий с учётом ограничений на вектор управления.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- обосновать и выбрать критерии оптимальности с учётом технических требований, предъявляемых к манёвру ЛА в виде ограничений на значения вектора перегрузки и угловых скоростей;

- разработать алгоритмы оптимального управления, найти метод решения краевой задачи для рассматриваемой системы 15-го порядка;

- выработать рекомендации по применению разработанных алгоритмов управления, определить условия сходимости и точность решения задачи оптимизации траектории ЛА.

Все технические решения испытывались и оценивались при помощи имитационного моделирования динамики управляемого полёта.

Результаты диссертационного исследования:

1. Разработаны алгоритмы оптимального управления ЛА как твёрдым телом при минимизации затрат на управление.

2. Разработаны алгоритмы оптимального по быстродействию управления ЛА как твёрдым телом (при ограничениях на управление в виде неравенства).

3. Предложен метод нахождения решения поставленной задачи оптимального управления методом Ньютона, позволяющий сократить число итераций решения.

4. На основе сравнительного анализа алгоритмов оптимизации движения ЛА как твёрдого тела и как материальной точки по различным критериям разработана адаптивная процедура выбора начальных значений метода Ньютона в обеспечение сходимости итерационной процедуры.

Научная новизна:

1. Разработанные алгоритмы оптимального управления ЛА позволяют решить задачи минимизации затрат на управление и максимального быстродействия для модели ЛА как твердого тела, описываемого уравнениями высокого порядка (Эйлера и Пуассона).

2. Разработанные вычислительные алгоритмы решения краевых задач принципа максимума по методу Ньютона с адаптивной процедурой выбора начальных параметров обеспечивают сходимость итерационной процедуры за небольшое число итераций (для приближенной точности - за одну итерацию).

3. Сравнительный анализ алгоритмов оптимизации движения ЛА как твёрдого тела и как материальной точки позволил установить связь задания начальных параметров решения краевых задач при минимизации затрат на управление и при ограничениях на управление в виде неравенства.

4. Получены условия устойчивой сходимости разработанных алгоритмов с обеспечением требуемой точности решения краевой задачи.

Достоверность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается строгим обоснованием основных научных положений, использованием апробированных методов оценки полученных результатов, применением общепринятых допущений и ограничений. Достоверность полученных результатов подтверждается также работоспособностью операций, реализованных в виде программных продуктов, совпадением результатов математического и имитационного моделирования, сопоставимостью полученных результатов с результатами, известными из печатных источников. Практическая ценность результатов диссертации.

Решение задачи управления ЛА по принципу максимума с учётом ограничений на управление позволяет:

1. Учитывать ограничения на вектор управления, существующие в реальных ЛА.

2. Расширить области достижимости ЛА за счёт формирования управления, основанного на "предельных" возможностях.

3. Формировать управление при различных значениях начального и конечного векторов состояния без изменения структуры алгоритма управления, варьируя только начальные значения вектора переменных сопряжённой системы.,

4. При использовании аналитических выражений для прогнозируемых конечных значений вектора состояния ЛА на участках с постоянными значениями управлений (перегрузки и угловой скорости, т.е. на участках "предельного" управления) сократить объём вычислительных затрат до 20 раз на борту при формировании траектории в реальном времени.

Методы исследования. Приводимые в диссертации исследования опираются на приложения динамики полёта, теории автоматического регулирования, теории оптимального управления, методы математического моделирования. При разработке про1раммного обеспечения использовался пакет МайаЪ V. 6.1.

Впедрение результатов. Результаты диссертационного исследования внедрены в ОАО «Концерн «Гранит-Электрон» при разработке алгоритмов бортовой автоматической системы управления на этапе технического проектирования.

Полученные в диссертации результаты были использованы при выполнении гранта РФФИ № 09-08-00829.

Результаты диссертационного исследования, связанные с решением краевой задачи методом Ньютона, управления математическими моделями ЛА использованы в учебном процессе Балтийского государственного технического университета "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.

Апробация работы. Диссертация обсуждена и одобрена на кафедре "Системы обработки информации и управления" Балтийского государственного технического университета "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.

Основные положения диссертационной работы докладывались на международных конференциях и опубликованы.

Основные результаты доложены и обсуждены на:

- международной конференции "Пятые Окуневские чтения", 26-30 июня 2006 г., г. Санкт-Петербург,

- международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ - 2007", 4-8 июня 2007 г., г. Санкт-Петербург,

- международной конференции "Системный анализ, управление и навигация", 29 июня - 6 июля 2008 г., Украина, Крым, г. Евпатория;

- семинарах кафедры "Системы обработки информации и управления" БГТУ "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.

Работа была представлена и обсуждалась на кафедре "Пилотажно-навигационных комплексов (и авиационных тренажёров)" ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, г. Москва, 22 мая 2008 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ, из них - одна статья из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 4 работы -в материалах международных научно-технических конференций, одно учебно-методическое пособие.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка литературы из 113 наименований и трёх приложений. Основная часть работы содержит 122 страницы машинописного текста, 48 рисунков и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи проводимых исследований, отмечены научная новизна, достоверность, обоснованность, практическая и теоретическая значимость полученных результатов, сформулированы защищаемые положения.

Первый раздел посвящен анализу известных результатов применения теории оптимального управления к управлению ЛА. Рассмотрены основные модели динамики ЛА, используемые в диссертации. Это представление ЛА материальной точкой, движущейся в вертикальной плоскости; уравнения пространственного движения ЛА как материальной точки и уравнения Эйлера и Пуассона, описывающие динамику ЛА как твёрдого тела, и уравнения имитационного моделирования полёта ЛА.

Уравнения динамики ЛА как твёрдого тела включают в себя:

- уравнения Эйлера, описывающие движение центра масс в связанной системе координат:

У = П-У + ё-(п-е2), (1)

где V - вектор абсолютной земной скорости, g - ускорение силы тяжести, п -вектор перегрузок с компонентами по осям связанной системы координат,

- уравнения Пуассона, описывающие динамику направляющих косинусов между осями связанной и нормальной систем координат:

¿Т=С1-£Т, (2)

где е - направляющие косинусы для связи двух систем отсчёта (матрица е размером 3x3).

- уравнения для определения географических координат:

1

= d'-s-V, eded'=

R3+h 0

О

{R3 +h)-cos<p

(3)

где д3 = 6 375 км - радиус Земли, <р - широта, h - высота, X - долгота.

Матрица Пуассона (кососимметрическая):

О со, -соу П = -Пт = -со, 0 со, ш, -со, О

где со - вектор угловых скоростей с компонентами по осям связанной системы координат.

Представим вектор состояния в виде X = [xf х[ х^ х\ xlj, x1=el=(sh sh еч], д:2=s2={eh x3=e3^[ch e^ shf, xt=(Vz Vy vj,

xs = (cp h Xf. При этом ys=k> xg = (R3+h)-<p, zg=(R3+h)-cos<p-A, xg -дальность полёта от начала манёвра, h - высота, zg - боковое отклонение. В векторном виде уравнения динамики JIA имеют вид х = fix, и, t).

За управление принимается вектор:

и = [пт ат] =[пх tiy nz ах со} a}J.

Такая форма модели рассматривалась, в частности, при обеспечении автоматизированной посадки возвращаемых космических летательных аппаратов с использованием методов оптимизации по критерию Красовского.

Прогнозировать промах в точке окончания манёвра в системах управления движением, как и в других системах терминального управления, можно по-разному. Обычно промах в точке окончания заданного манёвра рассчитывается по приближенным уравнениям движения, что позволяет существенно уменьшить требования к БЦВМ. В работе предлагается сокращение вычислительных затрат на интегрирование точных уравнений движения путём использования аналитических выражений для уравнений (1) - (2) модели спирального прогноза. Применение даже простейшего из традиционных методов численного интегрирования - метода Эйлера - непосредственно к уравнениям динамики полёта ЛА приведёт к потере быстродействия более чем в 5 раз по сравнению с использованием аналитических выражений (на одном шаге вычислений). Применение более совершенных методов интегрирования повлечёт дальнейшее увеличение необходимого быстродействия. Так, при методе Рунге-Куггы четвёртого порядка необходимая вычислительная производительность возрастёт более чем в 21 раз по сравнению с аналогичным использованием аналитических выражений.

В разделе приведены уравнения вращательного движения ЛА, используемые в задаче стабилизации ЛА на оптимальной траектории. В качестве имитационной модели динамики ЛА, используемой для проверки работоспособности разработанных алгоритмов, использовалась общепринятая модель пространственного движения ЛА с учётом тяги двигателей, аэродинамических сил и моментов. Поставлена задача исследования: разработка оптимального управления ЛА как твёрдым телом при учёте ограничений на управление. Дан обзор алгоритмов оптимального управления и численных методов, показывающий необходимость решения методом Ньютона краевой задачи, возникающей из принципа максимума Понтрягина.

Так как все известные методы решения краевых задач эффективны вблизи минимума гамильтониана или при близких к оптимальным начальных значениях сопряжённых переменных, второй раздел посвящён выбору начальных условий для решения краевой задачи в случае интегральных ограничений на управление. Представлено решение задачи оптимального управления ЛА как твёрдым телом. Для получения данного решения сначала рассматривались модели ЛА как материальной точки. Рассмотрение задачи оптимального управления для случая материальной точки при минимизации затрат на управление и при ограничениях на управление в виде неравенств оказало существенное влияние на направление поиска решения задачи при рассмотрении ЛА как твёрдого тела. Изначально не было известно, в каком диапазоне должны находиться начальные значения сопряжённых переменных; значениями какого порядка являются оптимальные параметры краевой задачи; как сказывается порядок коэффициентов к1 на динамике рассматриваемой модели и характере управления; каков общий вид изменения управляющих величин для данного типа критериев оптимальности; каким образом влияет число параметров управления на сходимость задачи.

Полученный при рассмотрении упрощённой задачи (и последующих усложняющих её решение вариаций) ряд результатов был частично перенесён с выработкой рекомендаций на задачу 15 порядка. В ходе моделирования было установлено, что система для ЛА как твёрдого тела также обладает свойством локальной линейной сходимости при рассмотрении критерия Лагранжа.

Численное моделирование показало, что система 15-го порядка обладает и некоторыми отличительными особенностями по сравнению с материальной точкой. Это связано с появлением коэффициентов к, при угловых скоростях.

1 (/

Требуется минимизировать критерий Лагранжа / = — • ^итк~2и й1,

2 <о

k = diag(kl к2...к6). В соответствии с принципом максимума гамильтониан задачи имеет вид Я = •/Ч-^-ы7'-к'2-и = ^--(п2х + пу +п\ + <огх + &у +0г2)+

Здесь Г - правые части уравнений (1) - (3). Обозначим

4 Л +р*1з Л 'вц ^ -К.

л-ь +1Ч л

и не зависящую от управления часть Ь0 (дЬ0/ди = 0): + Рь ■ ■ К + ■ Уу + г2з • к2)+ Рх • • Гх + *з2 • Уу + гг3з • у)/{{Я, + К) ■ со5<р).

Сопряжённые переменные Р определяются из уравнения:

8Н_ дХ,

\Т

и

со,- ре 2 ~ау р£ Н Р ■V 9 ' X Я3+к

-о, ■РЕ % Л3+й

С0У РЕ РЕ %

-О,-р1 +юх-Р! -Рн.Уу+8-Рг

т -РР

у £->

2

°>,-Ре3 -Оу'Ре, —

31 33

Рх-Уу

(Д3 +А)-со ъср

у

ог-Ру-а>у-Ру

Пу'Ру-^-Ру,,

-со-Р, -

Ъ (Д3 + Л)-соз1р е,. -Р,

Л3+Л (Р3 +Л)-со

%'Р*.

Л3+й

Щ+к (Л3 +И)-со5<р

-е.

Л3+й

о

(4)

„ дН

Управление определяется из условий = 0 в виде л, = ■ Рн, со, = -к2р^ • Ра..

Вектор невязок включал в себя пятнадцать составляющих: Щ{Шг) = [Еи(*/)-£п/ е12(г/)~е12/ е1з('/)~£1э/ ^гС/Ь^/

^('/Ь^!, / ¿"ззО/Ь^З/ КО/)-К/ ГуС/)-^,

К«,)-К, <РИ!)-<?, Щ)-Л,]Т.

Система канонических уравнений (1) - (4) решалась методом Эйлера. Краевая задача решалась методом Ньютона. Для свободного конечного времени

в метод Ньютона была включена функция автоподбора конечного времени выполнения задачи в обеспечение условия оптимальности Н(Х, Р, ^) = 0.

Расчёт проводился при кх=кг=къ = 0.01, к^=къ=кь = 0.00001, шаг численного решения Д/ = 0.02 с, начальные условия для компонент вектора Р(/0): Рр Со) = Ю; Р (/0)=-2000; Р. (<0) = 0.3; р =40; Р (*0) =5; р (*0) =

= 600; P (/0) = 0.007; Р (t0) = -8000; Р (f0) = 90; PVx(t0) = 300; Рф) = -400;

prßо) = 800; PvCo) - 30; PA(f0) = -31; Рл(г0) = -30 и приращениях для

сопряжённых переменных ÄPL = 0.51; APjh = 0.92; АР\Х = 0.51; ДР| = ДР1 =0.5;

sii eI2

API = 0.005; API = AP|. = API = 0.5; API = 0.005; API = AP| =0.5;

bl3 fcl2 ij 5l b33

AP| v = 0.5; AP|V = 0.7; AP| v = 0.1 в процедуре численного определения частных

* х V у Z

производных от вектора невязок в методе Ньютона. Начальные условия для компонент вектора P(t0) были выбраны из соображений близости к нулю производных вектора состояния в процессе движения. Приращения для сопряжённых переменных выбирались так, чтобы, с одной стороны, при их сложении с начальными условиями для компонент вектора Р(г0) результирующее изменение давало ощутимое приращение вектора состояния, и, с другой стороны, это изменение не позволяло системе терять устойчивость.

Итерационная процедура метода Ньютона выполнялась с точностью \z^{t0),tf)\ < 10, где ||Z(^0),i/)| = ^Z12(i(f0),f/) + ... + Zi2(|(i0),i/)+...+Z125(i(/0),i/).

При заданных начальных условиях за 1 итерацию были получены оптимальные начальные значения сопряжённых переменных р^ (t0)onT

= -756008562.63; р (t0)onT = 20090990721.44; р (,0)опт = -111777785.34; sh Eh Р (io)OOT = 20093623619.99; р yfnr = 55349141786.76; р (t0)°nr =

= 13558019004.05; р п)опт = -107787082.64; Р (t0)onT = 13788040466.39; eh sh

p£ (Оояг

130873509883.04; py (t0)°

918.52; Pv(toy

12109.35;

^(^ = 13116.34; Р9(10)опт = 1709297993.77; РМ0ПТ = 3821.34; Рл(^)опт = = 24379314731.74.

На рисунке 1 для данного варианта представлены оптимальные траектории и зависимости п(х) (на примере одной типовой траектории). На рисунке 2 - угловые и линейные скорости.

х, м

400 800" «00 1500 2000

Рисунок 1 - Зависимости n(x), у(х), z(x)

2000

Рисунок 2 - Зависимости У(х), а(х)

В случае задания начальных и конечных условий Х0 и Х{, несколько отличных от рассмотренных при решении задачи, а так же при повышении точности (уменьшении значения величины невязки возможно

увеличение числа итераций метода Ньютона (например, для обеспечения точности \Щ(10/у- )]| < 10 требуется одна итерация, для ||2(£(<о).*/)|| 2 3 - две). При существенном отличии новых условий Х0 и Ху от рассмотренных следует произвести коррекцию параметров краевой задачи для получения успешного решения методом Ньютона. Выбирать начальные значения вектора Р(1й) следует такими, чтобы при движении на небольшом интервале времени изменение вектора состояния системы было невелико относительно начальных значений. При выполнении этого условия будет существовать локальная линейная сходимость метода (за 1 итерацию).

В работе приведены графики, иллюстрирующие значения Р(<0), при которых обеспечивается сходимость последовательных приближений /¡((0) за одну итерацию. Для примера на рисунке 3 показана график сходимости при варьировании при всех прочих прежних значениях величины Рт/ (/0) (с шагом

" у

±100). В работе представлены результаты расчётов при Р,, = -400.

' у

Число

итераций .

Сходимость обеспечивается за одну итерацию ■ ■ * Сходимость не обеспечивается за 1 итерацию

1

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400

Рисунок 3 - Иллюстрация сходимости

Рассмотрение упрощённой модели ЛА позволило получить рекомендации для построения оптимального управления и перенести их на более полную модель

ввиду схожести принципов управления. Исследована возможность учёта ограничений на управление посредством введения соответствующих функций штрафа в подинтегральную часть критерия. Исследована сходимость метода Ньютона в зависимости от выбранного критерия оптимальности, размерности вектора невязок, значений вектора состояния на правом конце. Представлены результаты численного моделирования, а также рекомендации по получению и использованию оптимального управления по критерию Лагранжа. Решение для случая интегральных ограничений на управление будет использовано для перехода к более сложной задаче, рассматриваемой в третьем разделе.

На рисунке 4 приведена блок-схема алгоритма оптимального управления ЛА с интегральными ограничениями на управление.

Рисунок 4 - Блок-схема алгоритма оптимального управления ЛА с интегральными ограничениями на управление

Таким образом можно упорядочить предложенный выше подход нахождения оптимальной траектории для системы 15-го порядка по критерию Лагранжа: 1. Находятся начальные условия Р(/0), при которых X я 0;

2. С шагом (принималось не более 0.3 • .Р, (/0)) для полученных Я(/0) в его окрестности находятся РД<0), обеспечивающие локальную линейную

сходимость, наблюдаемую для данной системы;

3. Полученные уточнённые значения (без последующих изменений) используются для построения траектории за 1 итерацию при варьировании начальной и конечной высот, конечной дальности.

Как показано в данном разделе, существующие области задания параметров краевой задачи носят локальный характер. Предложен метод нахождения этих областей, уменьшающихся при наложении ограничений. Она заключается в том, что производится постепенное движение от решения задачи с малым числом уравнений (например, только вертикальная плоскость в задаче рассмотрения ЛА как материальной точки), простым законом управления, отсутствием ограничений на некоторые параметры движения к задаче более полной, с ограничениями (интегральными, затем жёсткими в виде неравенств). Каждый раз для обеспечения сходимости метода выбирается область, полученная из предыдущего решения, чем и обеспечивается сходимость в более сложных постановках задачи. Решение в самой простой постановке сходится из широкого диапазона начальных значений.

На рисунках 5 и 6 приведено семейство оптимальных траекторий для наглядности сходимости метода Ньютона. Все траектории получены за одну итерацию. Все различия приведённых ¿'-образных траекторий заключаются в том, что были проварьированы при прочих равных условиях координаты на правом конце (рисунок 5). Все траектории выходят из одной точки. На рисунке 6 варьируется значение начальной высоты. Таким образом демонстрируется возможность не только спуска, но и манёвра с помощью данного типа траекторий.

Такой вид траекторий характерен для ЛА, не требующих посадки по глиссаде:

- стыковка БПЛА с малоразмерным судном;

- вывод ЛА на заданную высоту;

- набор высоты (при минимизации расхода топлива (ресурсов), при решении задачи оптимального быстродействия).

Рисунок 5 - Семейство оптимальных траекторий

Рисунок 6 - Семейство оптимальных траекторий

Третий раздел посвящён разработке алгоритма оптимального управления при наличии ограничений на управление в виде неравенства для модели ЛА как материальной точки, для модели ЛА как твёрдого тела. Получены уравнения для вычисления особого управления. Показана возможность комбинирования двух критериев оптимальности. Представлены результаты численного моделирования.

Для случая с ограничениями на управление в виде неравенства на рисунках 7 и 8 представлены оптимальные траектории и зависимости п(х) (постановка задачи соответствует рассмотренной во втором разделе).

nY' у, Z,

"Z м

20 1000"

15 900

10 800 700

Ь 600'

0 500 '

-5 400

-10 300 -200

-15 100

-20 0

х, м

400 800 1200 1600 2000

Рисунок 7 - Зависимости п(х), у(х), z(x)

Vx.Vv

300 200 100 0 -100 -200

--V2

s400 800 1200 1600^

<»z

0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 -0.01 2000 -0.02 -0.03 x, м .0.04

x, м

2000

Рисунок 8 - Зависимости V(x), со(х)

При решении системы с ограничениями на управление в виде неравенства гамильтониан системы: Н - Ртх • Р + Р/ ■ 0 + 8 7/5/ +1 = X, • сох + Ь2 • юу + Ь3 ■ сог + + РУ • ^• + Ру • £ • и2 + £0 +1. Из условия максимума (минимума)

значение управления Особое управление находится из условия

ш'уособ ' особ не зависят от перегрузок и решаются методом последовательных

приближений. Ввиду трудностей решения уравнений для пх0С0Б, пуосо£, пг0С0Б,

зависящих как от перегрузок, так и от угловых скоростей, приемлемый результат достигается при принятии значений этих управлений нулевыми. При этом сходимость итерационной процедуры метода Ньютона достигалась за счёт варьирования точности обеспечения нулевого значения выражения, являющегося множителем перед соответствующим управлением.

Расчёты показали, что в качестве начальных значений компонент вектора P(t0) для данного случая удобно принимать оптимальные начальные значения сопряжённых переменных для случая с интегральными ограничениями на управление. Траектория здесь также обладает центральной симметрией относительно точки переключения. Точность подключения особого управления е = 1700, что является значением, близким к 0 по отношению к начальным значениям сопряжённых переменных, или переключение может осуществляться, например, когда скорость V достигла допустимого значения Vmax- Вообще параметр е выбирается с целью минимизации функционала.

Выбор параметра е происходит методом проб в обеспечение условия min I

</№), Вначале полагаем е, <1% от Pi. Если на какой-то итерации метода Ньютона это условие нарушается, то увеличиваем значение параметра s, пока оно не будет выполнено.

В данном примере отрезок, близкий к 0 на графиках управления (п(х) и со(х)) является участком особого управления. Здесь в качестве значения особого управления принята промежуточная величина между предельными значениями управлений, т.е. иОСОБа0.

В данном случае решение строится с участием прогнозирующей модели на участках постоянных значений компонентов вектора и. Участок с и0С0Б = 0 увеличивает долю участия прогнозирующей модели в построении решения задачи.

На рисунке 9 приведено семейство оптимальных траекторий для наглядности сходимости метода Ньютона.

При решении задачи маневрирования можно комбинировать различные критерии оптимальности - решать задачу, например, с интегральными ограничениями на вектор перегрузок и с ограничениями в виде неравенства на вектор угловых скоростей.

гамильтониана получаем и. =

где иы- предельно возможное

Полученные уравнения для со1

хособ'

Рисунок 9 - Семейство оптимальных траекторий

Также представлены решения задач оптимального управления по иерархии критериев (с применением алгоритма последовательной оптимизации) с использованием спирального прогноза. Это решение использовано для оценки эффективности разработанных алгоритмов. Производится сравнительный анализ решения задач оптимального управления по различным критериям. Найденные с помощью разработанного алгоритма оптимальные траектории для рассмотренных начальных и конечных условий имеют ^-образную форму. Это подтверждает полученные результаты с использованием алгоритма последовательной оптимизации со спиральным прогнозом при рассмотрении иерархии критериев Красовского.

В разделе решается задача стабилизации ЛА на оптимальной траектории. Представлены результаты имитационного моделирования динамики ЛА. Показано, что результаты, полученные с использованием прогнозирующей модели, имеют достаточно высокую точность и хорошо согласуются с результатами имитационного моделирования.

1200 1600 2000

Рисунок 10-Зависимости п(х), у(х), z(x) для случая с ограничениями в виде неравенства

На рисунках 10 и 11 траектории с имитационной модели обозначены пунктиром (правый график), для модели Эйлера и Пуассона - сплошной линией.

В работе приведены блок-схемы алгоритма оптимального управления ЛА с ограничениями на управление в виде неравенства, а также блок-схема имитационного моделирования.

Рисунок 11 - Зависимости п{х), у{х), г(х) для случая с интегральными ограничениями

В заключении представлены основные выводы по диссертационной работе.

1. Разработан алгоритм оптимального управления ЛА как твёрдым телом в пространстве при минимизации затрат на управление.

2. Предложен метод нахождения решения задачи оптимального управления ЛА как твёрдым телом методом Ньютона, позволяющий вычислить функцию управления за одну итерацию.

3. Разработан алгоритм вычисления оптимального управления ЛА при ограничении на управление в виде неравенств. Показаны принципы построения оптимальных траекторий при комбинированном использовании различных критериев для разных составляющих вектора управления.

4. Предложена адаптивная процедура нахождения начальных значений вектора параметров краевой задачи на основе решений, найденных для математической модели ЛА как материальной точки. Вычислительная процедура решения задачи позволяет проводить исследования с учетом различных возмущений и внешних сил. Получены условия сходимости разработанных алгоритмов с обеспечением требуемой точности решения задачи, задаваемой значением невязки, по различным критериям.

5. Даны рекомендации по использованию и применению данного подхода для различного набора начальных и конечных значений вектора состояния БПЛА. Показана вычислительная эффективность полученного алгоритма.

6. Результаты, полученные в работе, представляют интерес для учебного процесса и для предприятий, занимающихся разработкой СУ ЛА, в частности для оценки манёвренных возможностей ЛА. Предложенные алгоритмы могут применяться для управления другими подвижными объектами, в достаточной степени определяемыми уравнениями Эйлера и Пуассона.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Александров A.A., Кабанов С.А. Оптимизация посадки БПЛА с учётом ограничений на управление // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 2. - С. 50-54.

В других изданиях

2. Александров A.A., Ван Х.М. Оптимизация посадки воздушного судна по различным критериям. // Пятые Окуневские чтения: Матер, докл. междунар. конф. - СПб.: БГТУ, 2007. - Том 1. - С. 50-53.

3. Александров A.A., Кабанов С.А. Оптимизация динамики ЛА с использованием модели спирального прогноза. // Нелинейный динамический анализ - 2007: Тез. докл. междунар. конгр. - СПб.: СПбГУ, 2007. - С. 258.

4. Кабанов С.А., Александров A.A. Прикладные задачи оптимального управления: учеб. пособие к практическим занятиям. - СПб.: БГТУ, 2007. -76 с.

5. Кабанов CA., Александров АА Оптимизация траектории пространственного движения ЛА как твёрдого тела с минимизацией затрат на управление. // Системный анализ, управление и навигация: Тез. докл. 13 междунар. конф. -М.: МАИ-Принт, 2008. - С. 80-82.

6. Александров A.A., Кабанов Д.С. Оптимизация траектории пространственного движения ЛА как твёрдого тела с учётом ограничений на управление. // Системный анализ, управление и навигация: Тез. докл. 13 междунар. конф. -М.: МАИ-Принт, 2008. - С. 289-290.

Подписано в печать 24.11.2009. Формат бумаги 60x84/16. Бумага документная Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 204 Балтийский государственный технический университет

Типография БГТУ 190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д. 1

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЛА И КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ

1.1 Принципы формирования траекторий.

1.2 Описание динамики ЛА как твёрдого тела в пространстве.

1.3 Описание динамики ЛА как материальной точки в пространстве

1.4 Описание динамики ЛА с использованием модели материальной точки в вертикальной плоскости.

1.5 Модель, принятая для имитационного моделирования.

1.6 Методы решения задач оптимального управления.

Выводы по разделу.

2. АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛА G ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА УПРАВЛЕНИЕ.

2:1 Построение оптимального управления.

2.3 Получение рекомендаций по формированию управления.

Выводы по разделу.

3. АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА УПРАВЛЕНИЕ В ВИДЕ НЕРАВЕНСТВА И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

3.1: Получение предельного и особого управления;.

3 :2 Получение рекомендаций по формированию управления5.

3:3 Решение задачи стабилизации

3.4 Имитационное моделирование.!!. выводы по разделу.

Актуальность темы. В настоящее время существует множество технических объектов, математическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка. Создаются новые, более совершенные и сложные системы, управление которыми должно обеспечивать высокое качество их функционирования при экономии ресурсов, повышении быстродействия и наложении различного рода ограничений. Развитие математического аппарата для разработки оптимальных по быстродействию вычислительных алгоритмов при этом строится на основе использования классических критериев оптимальности.

Задачи управления полётом являются важным направлением в области развития беспилотной авиации. Алгоритмы должны быть ориентированы на возможность формирования управления в реальном времени, на повышение точностных характеристик и безопасности полёта.

Применение теории оптимального управления полётом летательного аппарата (JIA) по классическим критериям оптимальности ограничивается размерностью математических моделей динамики. Как показывает анализ публикаций по исследуемой проблематике, решение задач оптимизации сложных систем, в частности с использованием прогнозирующих моделей, на сегодняшний день не имеет широкого применения. Это объясняется отсутствием чётких методик и рекомендаций к реализации численных методов решения, а также нарастающей сложностью решения при увеличении порядка рассматриваемых систем.

Для формирования» оптимального управления. JIA необходимо в реальном масштабе времени получать данные о параметрах движения. Использование прогнозирующей модели для расчёта оптимальной траектории особо актуально, поскольку позволяет формировать траектории полёта с приемлемой точностью, в том числе при сокращении объёма данных о текущем положении JIA.

Диссертационная работа посвящена разработке вычислительных алгоритмов формирования оптимального управления полётом JIA как твёрдым телом в пространстве, что определяет её актуальность.

В диссертационной работе рассматривается задача оптимального управления беспилотным летательным аппаратом (БПЛА) с учётом ограничений на управление. В качестве системы, описывающей динамику ДА как твёрдого тела, приняты уравнения его пространственного движения с использованием уравнений Эйлера и Пуассона. Решение строится по принципу максимума Л.С. Понтрягина на нефиксированном интервале времени. При этом двухточечная краевая задача решается методом Ньютона. Решение многомерной задачи представляет в случае общих начальных и конечных условий существенные вычислительные трудности, связанные с обеспечением сходимости итерационной процедуры. Поэтому решить задачу оптимального управления движением ЛА, описываемого уравнениями Эйлера и Пуассона (15 уравнений), значительно сложнее, чем, например, при описании динамики ЛА как материальной точки в пространстве (6 уравнений). Однако, в рассматриваемую систему включены уравнения для угловых скоростей, что является достоинством рассматриваемой модели и способно облегчить решение задачи стабилизации ЛА на оптимальной траектории.

Объект и предмет исследования. Объект исследования — управляемый полёт, задачи маневрирования БПЛА как твёрдого тела. Предмет исследования — методы оптимального управления применительно к решению поставленной задачи.

Степень разработанности проблемы. В современный период проблемы оптимального управления рассматривали в своих работах:

A.Т. Барабанов, В.И. Болдырев, В.Н. Буков, А.И. Наумов, С.А. Кабанов, М.Н. Красильщиков, А.А. Красовский, В.Ф. Кротов, Л.Н. Лысенко,

B.В. Малышев, О.А. Толпегин, Ф.Л. Черноусько, О.С. Шалыгин, А.А. Ярошевский и др.

Развитию теории оптимального управления и разработке вычислительных алгоритмов управления посвящено множество работ. Отдельные аспекты решения задач оптимального управления наиболее полно отразили в работах: В.Г. Болтянский, JI.C. Понтрягин (математическая теория оптимальных процессов), В.И. Болдырев, О.П. Бурдаков, Н.Н. Моисеев, JI.A. Растригин, А.И. Тятюшкин, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько (численные методы решения), Л.Д. Акуленко, А.П. Кошелев, A.M. Шматков (оптимальное быстродействие), А.А. Красовский (оптимальное управление с использованием модели спирального прогноза).

Данная работа является продолжением и развитием ряда исследований по оптимальному управлению с использованием модели ЛА как твёрдого тела, связанных с оптимизацией по критерию Красовского, с построением управления по алгоритму последовательной оптимизации с рассмотрением иерархии целевых функционалов. В рамках данной работы были повторены решения задач оптимального управления динамикой ЛА как материальной точки при минимизации затрат на управление и при ограничениях на управление в виде неравенств. Представлено решение задачи оптимального управления по иерархии критериев с применением алгоритма последовательной оптимизации. Это решение использовано для оценки, эффективности разработанных алгоритмов.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка алгоритмов оптимального управления ЛА по классическим критериям оптимальности, позволяющих формировать оптимальные по быстродействию траектории полёта для широкого диапазона задания начальных и конечных условий с учётом ограничений на вектор управления.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- обосновать и выбрать критерии оптимальности с учётом технических требований, предъявляемых к манёвру JIA в виде ограничений на значения вектора перегрузки и угловых скоростей;

- разработать алгоритмы оптимального управления, найти метод решения краевой задачи для рассматриваемой системы 15-го порядка;

- выработать рекомендации по применению разработанных алгоритмов управления, определить условия сходимости и точность решения задачи оптимизации траектории ЛА.

Все технические решения испытывались и оценивались при помощи имитационного моделирования динамики управляемого полёта.

Результаты диссертационного исследования:

1. Разработаны алгоритмы оптимального управления JIA как твёрдым телом при минимизации затрат на управление.

2. Разработаны алгоритмы оптимального по быстродействию управления JIA как твёрдым телом (при ограничениях на управление в виде неравенства).

3. Предложен метод нахождения решения поставленной задачи оптимального управления методом Ньютона, позволяющий сократить число итераций решения.

4. На основе сравнительного анализа алгоритмов оптимизации движения JIA как твёрдого тела и как материальной точки по различным критериям разработана адаптивная процедура выбора начальных значений метода Ньютона^ в обеспечение сходимости итерационной процедуры.

Научная новизна:

1. Разработанные алгоритмы . оптимального управления JIA позволяют решить задачи минимизации затрат на управление и максимального быстродействия для модели ЛА как твердого тела, описываемого уравнениями высокого порядка (Эйлера и Пуассона).

2. Разработанные вычислительные алгоритмы решения краевых задач принципа максимума по методу Ньютона с адаптивной процедурой выбора начальных параметров обеспечивают сходимость итерационной процедуры за небольшое число итераций (для приближенной точности — за одну итерацию).

3. Сравнительный анализ алгоритмов оптимизации движения JIA как твёрдого тела и как материальной точки позволил установить связь задания начальных параметров решения краевых задач при минимизации затрат на управление и при ограничениях на управление в виде неравенства.

4. Получены условия устойчивой сходимости разработанных алгоритмов с обеспечением требуемой точности решения краевой задачи.

Достоверность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается строгим обоснованием основных научных положений, использованием апробированных методов оценки полученных результатов, применением общепринятых допущений и ограничений. Достоверность полученных результатов подтверждается также работоспособностью операций, реализованных в виде программных продуктов, совпадением результатов математического и имитационного моделирования, сопоставимостью полученных результатов с результатами, известными из печатных источников., Практическая ценность результатов диссертации. Решение задачи управления JIA' по принципу максимума с учётом ограничений на управление позволяет:

1. Учитывать ограничения на вектор управления, существующие в реальных ЛА.

2. Расширить области достижимости ЛА за счёт формирования управления, основанного на "предельных" возможностях.

3. Формировать управление при различных значениях начального и конечного векторов состояния без изменения структуры алгоритма управления, варьируя только начальные значения вектора переменных сопряжённой системы.

4. При использовании аналитических выражений для прогнозируемых конечных значений вектора состояния JIA на участках с постоянными значениями управлений (перегрузки и угловой скорости, т.е. на участках "предельного" управления) сократить объём вычислительных затрат до 20 раз на борту при формировании траектории в реальном времени.

Методы исследования. Приводимые в диссертации исследования опираются на приложения динамики полёта, теории автоматического регулирования, теории оптимального управления, методы математического моделирования. При разработке программного обеспечения использовался пакет Matlab v. 6.1.

Внедрение результатов. Результаты диссертационного исследования внедрены в ОАО «Концерн «Гранит-Электрон» при разработке алгоритмов бортовой автоматической системы управления на этапе технического проектирования.

Результаты диссертационного исследования, связанные с решением краевой задачи методом Ньютона, управления математическими моделями J1A использованы в учебном процессе Балтийского государственного технического университета' "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.

Полученные в диссертации результаты были использованы при выполнении гранта РФФИ № 09-08-00829.

Апробация работы. Диссертация обсуждена и одобрена на кафедре "Системы обработки информации и управления" Балтийского государственного технического университета "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.

Основные положения диссертационной работы докладывались на международных конференциях и опубликованы.

Основные результаты доложены и обсуждены на:

- международной конференции "Пятые Окуневские чтения" 26-30 июня 2006 г., г. Санкт-Петербург,

- международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ — 2007", 4-8 июня 2007 г., г. Санкт-Петербург,

- международной конференции "Системный анализ, управление и навигация", 29 июня - 6 июля 2008 г., Украина, Крым, г. Евпатория;

- семинарах кафедры "Систем обработки информации и управления" БГТУ "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова.

Работа была представлена и обсуждалась на кафедре "Пилотажно-навигационных комплексов (и авиационных тренажёров)" ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, г. Москва, 22 мая 2008 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ, из них - одна статья из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 4 работы - в материалах международных научно-технических конференций, одно учебно-методическое пособие.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка литературы из 113 наименований и трёх приложений. Основная часть работы содержит 122 страницы машинописного текста, 48 рисунков и 4 таблицы.

Основные выводы по диссертационной работе.

1. Разработан алгоритм оптимального управления ЛА как твёрдым телом в пространстве при минимизации затрат на управление.

2. Предложен метод нахождения решения задачи оптимального управления ЛА как твёрдым телом методом Ньютона, позволяющий вычислить функцию управления за одну итерацию.

3. Разработан алгоритм вычисления оптимального управления ЛА при ограничении на управление в виде неравенств. Показаны принципы построения оптимальных траекторий при комбинированном использовании различных критериев для разных составляющих вектора управления.

4. Предложена адаптивная процедура нахождения начальных значений вектора параметров краевой задачи на основе решений, найденных для математической модели ЛА как материальной точки. Вычислительная процедура решения задачи позволяет проводить исследования с учетом различных возмущений и внешних сил. Получены условия сходимости разработанных алгоритмов с обеспечением требуемой точности решения задачи, задаваемой значением невязки, по различным критериям.

5. Даны рекомендации по использованию и применению данного подхода для различного набора начальных и конечных значений вектора состояния БПЛА. Показана вычислительная эффективность полученного алгоритма:

6. Результаты, полученные в работе, представляют интерес для учебного процесса и для предприятий, занимающихся разработкой СУ ЛА, в частности для оценки манёвренных возможностей ЛА. Предложенные алгоритмы могут применяться для управления другими подвижными объектами, в достаточной степени определяемыми уравнениями Эйлера и Пуассона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аввакумов С.Н., Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 1995. Т. 211. С. 3-31.

2. Акуленко Л.Д., Кошелев А.П. Наискорейшее приведение динамического объекта в заданное положение при равенстве начальной и конечной скоростей. // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 6. С. 98-105.

3. Акуленко Л.Д., Кошелев А.П. Наискорейшее приведение динамического объекта в исходное положение с требуемой скоростью. // Изв. РАН. ТиСУ. 2005. № 5. С. 46-52.

4. Акуленко Л.Д., Шматков A.M. Синтез управления в задаче оптимального по быстродействию приведения материальной точки в заданное положение с нулевой скоростью. // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1.С. 129-138.

5. Александров А.А. Оптимизация динамики летательного аппарата по различным критериям // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. № 12. С. 21-25.

6. Александров А.А., Ван Х.М. Оптимизация посадки воздушного судна по различным критериям. // Тезисы докладов, междунар. конф. «Пятые Окуневские чтения». Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2006. С. 145-146.

7. Александров А.А., Кабанов Д.С. Оптимизация траектории пространственного движения ЛА как твёрдого тела с учётом ограничений на управление. // Тезисы докладов междунар. конф. «Системный анализ, управление и навигация». — М.: МАИ-Принт, 2008. С. 289-290.

8. Александров , А.А., Кабанов С.А. Оптимизация динамики ЛА с использованием модели спирального прогноза. // Тезисы докладов междунар. конгр. «Нелинейный динамический анализ 2007». СПб: СПбГУ, 2007. С. 258.

9. Александров А.А., Кабанов С.А. Оптимизация посадки БПЛА с учётом ограничений на управление // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 2. С. 50-54

10. Антоник В.Г., Срочко В.А. Решение задач оптимального управления на основе методов линеаризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т. 32. № 7. С. 979-991.

11. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение вариационных и краевых задач методом локальных вариаций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 947-961.

12. Беллман Р.Э. Динамическое программирование. М.: Иностранная литература, 1960. 400 с.

13. Болдырев В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2004. №1. С. 28-123 (электронный журнал).

14. Бородовский В.Н. Синтез управления конечным состоянием космических аппаратов. // Космические исследования. 1970. Т. 8. № 3. С. 350-360.

15. Брайсон А., Денхем В. Применение наискорейшего спуска к задачам оптимального управления // Ракетная техника и космонавтика. 1964. №2.

16. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

17. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие( системы управления полётом. М.: Наука, 1987. 232 с.

18. Бурдаков О.П. Устойчивые варианты метода секущих для решения систем уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23. № 5. С. 1027-1040.

19. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика пространственного движения самолёта. М.: Машиностроение, 1967. 226 с.

20. Васильев О.В. К вопросу о численном решении задачи терминального управления // Труды Иркутского университета. Иркутск: Изд-во Иркутского гос. университета, 1968.

21. Васильев О.В. Методы оптимизации в функциональных пространствах: Учеб. пособие. Иркутск: Изд-во Иркутского гос. университета, 1979. 118 с.

22. Васильев О.В., Бельтюков Н.Б., Терлецкий В.А. Алгоритмы оптимизации динамических систем, основанные на принципе максимума // Вопросы кибернетики. М.: Наука, 1991. С. 19-38.

23. Васильев О.В., Терлецкий В.А. Оптимальное управление краевой задачей // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 1995. Т. 211. С. 121-130.

24. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления основанного на принципе максимума // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981. Т. 21. №6. С. 1376-1384.

25. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд-во Московского университета, 1974. 374 с.

26. Воробцов С.Н. Система управления самолётом, повышающая безопасность полёта в условиях воздействия ветровых возмущений.// Известия РАН. Теория и системы управления: 2005. № 6. С. 163-176:

27. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М!: Наука, 1971. 507 с.

28. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф:М. Построение последовательных приближений для некоторых задач оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 27. № 2. С. 5-17.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 е.

30. Гиндес В.Б. Один метод последовательных приближений для решения линейных задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т. 10. № 1.С. 216-223.

31. Горбатенко С.А., Макашов Э.М., Полушкин Ю.Ф., Шефтель JI.B. Расчёт и анализ движения летательных аппаратов. Инж. справочник. М.: Машиностроение, 1971. 352 с.

32. ГОСТ-20058-80. Гос. ком. СССР по станд. Москва, 52 с. /J

33. Грачёв Н.И., Евтушенко Е.Г. Библиотека программ для '.решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической1 физики. 1979. Т. 19. №2. СГ367-387. (пересмотренный вариант 20.02.2003).

34. Гуськов Ю.П. Дискретно-непрерывное управление программным выведением самолётов, М.: Машиностроение, 1987. 128 с.

35. Гуськов Ю.П:, Выскребенцев Л.И., Паленов Ю.А. Математическая модель самолёта для исследования влияния атмосферных возмущений.v/

36. М.: Изд-во Моск. авиац. института, 1991. 36 с.

37. Гуськов Ю.П., Загайнов Г.И. Управление полётом самолётов: Учебное пособие для студентов ВТУЗ'ов. М.: Машиностроение, 1991. 272 с.

38. ЕрмольевЮ.М., Гуленко В .И О численных методах решения задач оптимального управления // Кибернетика. 1966. № 1. С. 72-78.

39. Ермольев Ю.М., Гуленко, В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального*управления. Киев:.Наукова.думка, 1978. 164 с.

40. Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек. Н.М. Численные методы, оптимизации управляемых, процессов // Известия АН СССР:. Техническая кибернетика. 1989. № 4. С. 14-31.

41. Зарубежное военное обозрение. Москва, ФГУП "ИТ "Красная Звезда", 2005, №4. 80 с.

42. Зарубежное военное обозрение. Москва, ФГУП "ИТ "Красная Звезда", 2005, №7. 80 с.

43. Зарубежное военное обозрение. Москва, ФГУП "ИТ "Красная Звезда", 2005, №8. 80 с.

44. Исаев В.К., СонинВ.В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. № 6.

45. Кабанов С.А. Алгоритм последовательной оптимизации со спиральным прогнозом для управления спускаемым аппаратом. // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1993. №4. С. 141-147.

46. Кабанов С.А. Алгоритм последовательной оптимизации управления нелинейной системой по критерию обобщённой работы. Автоматика и телемеханика. 1989. №8. С. 41-49.

47. Кабанов С.А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб.: Изд-во СПб Гос. Университета, 1997. 200 с.

48. Кабанов С.А., Александров А.А. Оптимизация траектории пространственного движения летательного аппарата как твёрдого тела. // Автоматика и телемеханика. 2010. — № 1. - (В печати).

49. Кабанов С.А., Александров А.А. Прикладные задачи оптимального управления: учеб. пособие к практическим занятиям. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та., 2007. 76 с.

50. Киселёв Ю.Н. Быстро сходящиеся- алгоритмы для- линейного оптимального быстродействия // Кибернетика. 1990. Т. 62. № 6. С. 4757.

51. Киселёв Ю.Н. Построение точных решений для нелинейной задачи оптимального быстродействия специального вида // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. Вып. 3. С. 847-868.

52. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 520 с.

53. Красовский А.А. Метод быстрого численного интегрирования одного класса динамических систем. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1989. №1. С. 3-14.

54. Красовский А.А. Неклассические целевые функционалы и проблемы теории оптимального управления. // Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1992. № 1.С. 3-41.

55. Красовский А.А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование М.: Наука, 1973. 588 с.

56. Красовский А.А., Вавилов Ю.А., Сучков А.И. Системы автоматического управления летательных аппаратов. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского. 1986.

57. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 446 с.

58. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 6: С. 1132-1139.

59. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления-// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. №Т. С. 14-34.

60. Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970. 244 с.

61. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полёта беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 616 с.

62. Лебедев В.Н. Расчёт движения космического аппарата с малой тягой // Серия "Математ. методы в динамике космических аппаратов", вып. 5, ВЦ АН СССР, 1963.

63. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360 с.

64. Любушин А.А. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. №6. С. 1414-1421.

65. Любушин А.А., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчёта оптимального управления // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 147-159.

66. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В. Оптимальное управление в линейных системах. М.: Наука, 1993. 267 с.

67. Моисеев Н.Н. Численные методы теории оптимальных управлений, использующие вариации в пространстве состояний // Кибернетика. 1966. №3. С. 1-29.

68. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем (Серия "Оптимизация и исследование операций") М.: Наука, 1971. 424 с.

69. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 526 с.

70. Наумов А.И. Применение аналитических прогнозирующих моделей в системах управления летательных аппаратов и в авиационных тренажёрах. //Автоматика и телемеханика. 2001. №7. С. 178-187.

71. Николаи Е.Л. Теоретическая механика, ч. II. Механика. Москва-Ленинград: Гос. изд. техн.-теоретич. лит-ры, 1952. 484 с.

72. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Успехи физических наук. 1957. Т. 63. № 1. С. 36-51.

73. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 378 с.

74. Поляк Б.Т., Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13. № 1. С. 34-46.

75. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1961.392 с.

76. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука. 1973. 255 с.

77. Разыграев А.П. Основы управления полётом космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1990. 480 с.

78. Разыграев А.П., Лапин В.Ю., Леонов Ю.В. Система терминального управления космического летательного аппарата. Управление в пространстве. М.: Наука, 1976. Т.1. С. 63-71.

79. Растригин Л.А. Теоретические основы технической кибернетики. Системы экстремального управления. М.: Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1974. 632 с.

80. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем II // Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 22. № 11. С. 1441-1457.

81. Справочник по теории автоматического управления. Под. ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

82. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1989. 154 с.

83. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000. 160 с.

84. Срочко В.А., Мамонова Н.В. Квазиградиентный метод решения задач оптимального управления // Известия ВУЗ'ов. Математика. 1996. Т. 415. № 12. С. 84-91.

85. Срочко В.А., Хамидулин Р.Г. Метод последовательных приближений в задачах оптимального управления с краевыми условиями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. Т. 26. № 4. С. 508-520.

86. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. 279 с.

87. Тарасов Е.В. Оптимальные режимы полёта летательных аппаратов. М.: Оборонгиз, 1963. 248 с.

88. Тихонов А.Н., Галкин В.Я., Заикин П.Н. О прямых методах решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. № 2. С. 416-423.

89. Тодд М. Дж. Вычисление неподвижных точек и приложения к экономике. М.: Наука, 1983. 111 с.

90. Толпегин О.А. Численные методы решения задач оптимального программного управления. JL: Изд-во Лен. Мех. Института, 1987. 87 с.

91. Тятюшкин А.И. Численное решение задач оптимального управления // Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск: Наука, 1986. С. 208-217.

92. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1992. 193 с.

93. Федоренко Р.П. К обоснованию метода вариаций в фазовом пространстве для численного решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. №6. С. 1396-1402.

94. Федоренко Р.П. Приближённое решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

95. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973. 238 с.

96. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближённые методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1977. Т. 14. С. 101-166.

97. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задачи оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 3. С. 488-490.

98. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах оптимального управления // Космические исследования. 1966. Т. 4. №5. С. 651-669.

99. Qimen Т., Banks S.P. Nonlinear optimal tracking control with application to super-tankers for autopilot design. Automatica, №40, 2004. P. 1845-1863.

100. Balakrishnan A.V. On a new computing technique in optimal control // SIAM J. Control. 1968. V. 6. № 2. P. 149-173.

101. Bulish R., Miele A., Stoer J., Well K.H. Optimal control. Calculus of variations, optimal control theory and numerical methods // International Series of Numerical Mathematics. V. III. Basel: Birkhaueser, 1993.

102. Dennis J.E., More Jr., Jorge J. Quasi-Newton Methods, Motivation and Theory // SIAM Review. 1977. V. 19. № 1. P. 46-89.

103. Edwards C. A practical method for the design of sliding mode controllers using linear matrix inequalities. Automatica, №40, 2004. P. 1761-1769.

104. Gay D.M., Schnabel R.B. Solving Systems of Nonlinear Equations by Broyden's Method with Projected Updates // Nonlinear Prog.' 1978. №3. P. 245-281.

105. Hestenes M.R. Multiplier and gradient methods // J. Optimization Theory Appl. 1969. V. 4. № 5. P. 303-320.

106. Rockafellar R.T. Augmented Lagrange multiplier functions and duality in nonconvex programming // SIAM'J. Control. 1974. V. 12. № 2. P. 268-285.