автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Оптимальное управление эволюцией распределений параметров плазмы в установках токамак

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СОСТОЯНИЕМ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ.II

1.1. Физические процессы в плазме токамака

1.2. Математические модели процессов в плазме токамака

1.3. Методы решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами

ГЛАВА 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НАГРЕВОМ ПЛАЗМЫ.

2.1. Постановка задачи оптимального управления

2.2. Дискретизация задачи.

2.3. Алгоритм оптимизации.

2.4. Результаты оптимизации управления разрядным током

2.5. Управление охлаждением периферии плазменного шнура

2.6. Краткие выводы.

ГЛАВА 3. СНИЖЕНИЕ МГД-АКТИВНОСТИ ПЛАЗМЫ ПУТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ВЕЛИЧИНОЙ РАЗРЯДНОГО ТОКА.

3.1. Постановка задачи

3.2. Алгоритм решения задачи.

3.3. Результаты вычислений.

3.4. Выводы.ЮЗ

ГЛАВА 4. ЭВОЛЩИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА В РЕГУЛИРУЕМОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

4.1. Вывод уравнений эволюции.

4.2. Результаты численного моделирования

4.3* Возможности регулирования.

4.4. Оптимизация режимов управления.

4.5. Краткие выводы.

ГЛАВА 5. ОПТИМАЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПАРАМЕТ РОВ ПЛАЗМЫ.

5.1. Особенности задач идентификации распределений параметров плазмы.

5.2. Оценка качества диагностики

5.3. Оптимизация по параметру регуляризации.

5.4. Программы обработки диагностических данных

5.5. Выводы.

Предмет исследования и его актуальность. В настоящее время наиболее значительные успехи в практическом осуществлении управляемой термоядерной реакции достигнуты на установках токамак [44,11?], представляющих собой тороидальную камеру,плазменный виток в которой разогревается, в основном, протекающим по нему продольным током. Эксперименты на этих установках способствовали существенному развитию теории процессов, протекающих в высокотемпературной плазме, и позволили вплотную приблизиться к необходимым для зажигания реакции условиям. Последние задаются известным критерием Лоусона, накладывающим ограничения снизу на температуру плазмы и так называемый параметр удержания nV£ /п -плотность плазмы, Те - энергетическое время жизни разряда/. В настоящее время как в СССР, так и за рубежом ведется проектирование и строительство токамаков, ориентированных на достижение зажигания и превосходящих существующие по размерам, параметрам электромагнитной системы, мощности источников дополнительного /неомического/ нагрева и др. параметрам. Эти разработки требуют значительных материальных затрат и решения сложных технических проблем. Ввиду этого строительство установки, предназначенной для демонстрации технологической реализуемости управляемой термоядерной реакции, предполагалось осуществлять кооперативно с участием нескольких стран /проект IN TOR. [121,122]/.

В последнее время на ряде установок были получены экспериментальные результаты [15,42,119,126] показывающие,что распределение параметров плазмы по сечению шнура заметно влияет как на перенос в плазме, так и на взаимодействие плазмы со стенкой камеры. Помимо этого, от профилей различных параметров, в первую очередь, продольного тока и газокинетического давления, зависит

МГД - активность плазмы [5,42,61,62,110,133]. Известно, что МГД-неустойчивости играют заметную роль в протекании разряда в тока-маке, ухудшая удержание энергии и частиц и способствуя проникновению примесей во внутреннюю область шнура. Наиболее неблагоприятной с этой точки зрения является начальная /нестационарная/ стадия разряда, когда профили температуры и плотности тока имеют тенденцию к образованию скин-слоя у поверхности плазмы, а МГД -активность весьма высока. В результате регулирование состояния плазмы на нестационарной стадии может оказывать сильное благоприятное воздействие на основные параметры разряда,такие как достигаемая температура плазмы и параметр удержания п ТЕ .При этом улучшение параметров разряда достигается не только на начальной стадии разряда, но и в конечном, квазистационарном состоянии.Исследования в этом направлении представляются весьма перспективными, так как, возможно, позволят достигнуть и поддержать условия, необходимые для зажигания, при меньших размерах и энергооснащенности установки. Таким образом удастся понизить стоимость и техническую сложность разработки термоядерного реактора.

Во многих проектируемых ныне установках предусматривается возможность регулирования продольного тока, продольного магнитного поля, большого и малого радиусов шнура, концентрации нейтральных атомов в пристеночной области,мощности источников дополнительного нагрева и других параметров, влияющих на протекание разряда. Поэтому проблема выбора режимов управления,оптимизирующих достигаемые параметры плазмы, является в настоящее время крайне актуальной. Эмпирический выбор таких режимов представляется затруднительным как ввиду сложности проце.ссов,протекающих в высокотемпературной плазме, так и ввиду большого количества имеющихся в распоряжении управляющих воздействий.

Диссертация посвящена постановке и исследованию различных

- б задач оптимального управления эволюцией распределений параметров плазмы в токамаке, а также решению этих задач методами, разработанными в теории оптимального управления.

Математическая теория управления к настоящему времени нашла широкое применение в экспериментальных исследованиях на установках токамак. Большое число работ посвящено стабилизации обратными связями различных неустойчивостей, прежде всего магнитогидро-динамических [1,2,3,20,49,53,54,64,116,124,129 и др.] .Автоматическое регулирование применяется также в электромагнитной системе токамака для задания режимов изменения токов и компонент магнитного поля во времени, для поддержания равновесия шнура по большому радиусу, в системе напуска газа для задания режима изменения концентрации плазмы и т.д. [ЮЗ, 115,119 и др.] . Рассматривались также некоторые задачи оптимизации экспериментов на установках токамак, в частности, оптимизация токов, поддерживающих равновесие плазмы [22,80,104,106] , оптимизация распределения тока по сечению шнура с точки зрения устойчивости к определенным видам МГД - возмущений [5,112,118,133 и др.] . Однако задачи оптимального программного управления состоянием плазмы на нестационарной стадии разряда с учетом как временной эволюции параметров плазмы, так и их пространственного распределения до настоящего времени не рассматривались.

В одной из глав работы рассматривается задача оптимальной идентификации пространственных распределений параметров плазмы по данным интегральных измерений. В настоящее время экспериментальные данные, получаемые при диагностике плазмы в термоядерных установках, обычно представляют собой результат объемного или хордового усреднения интересующих параметров плазмы [51] . Восстановление по этим данным пространственных распределений параметров, как известно, является некорректной по Адамару задачей [51,52,73 3 э для решения которой применяются различные методы регуляризации. Достоверность и содержательность полученной таким образом информации существенно зависит от удачного выбора алгоритма регуляризации и правильного назначения входящих в алгоритм параметров, в связи с чем возникает проблема оптимальной регуляризации некорректных задач математической физики [4,18,37,73,88,135] . При диагностике термоядерной плазмы из-за технических сложностей информация, получаемая при измерениях, довольно бедна. Оптимизация регуляризационных алгоритмов в такой ситуации особенно важна,так как, возможно, позволит как повысить достоверность и информативность результатов диагностики, так и снизить стоимость диагностической аппаратуры. Кроме того, разработка алгоритмов идентификации состояния плазмы, сочетающих эффективность с вычислительной экономичностью, необходима для создания систем автоматического регулирования термоядерных установок.

В рамках метода А.Н.Тихонова, принятого за основу в настоящей работе, для выбора параметра регуляризации, от которого существенно зависит качество получаемого решения, чаще всего применяются метод определения по невязке и его обобщения [87,88,89] , методы выбора квазиоптимального значения и выбора по отношению норм [37,88] и некоторые другие. Общим недостатком перечисленных методов является громоздкость вычислений, требуемых для назначения параметра регуляризации, причем для каждого набора экспериментальных данных последний должен вычисляться заново. При массовой обработке однотипных наборов данных, что имеет место как в системах автоматизированной обработки экспериментальных данных, так и системах автоматического регулирования плазменных установок, более естественно осуществлять выбор параметра регуляризации априорно, независимо от конкретного набора данных. Для этого выбор должен производиться исходя из некоторых априорно вычисляемых критерпев качества регуляризации, как это делается, например, в работах [4,18,135 J . в настоящей работе в качестве критериев качества регуляризации принимаются, с одной стороны, чувствительность результата к случайным возмущениям данных, а с другой -разрешающая способность диагностики. Аналогичные критерии применялись в работе [135] , однако их математическая формализация производится в настоящей работе иным способом.

Цель работы. Используя сравнительно простые модели эволюции плазмы, изучить некоторые возможные математические постановки задач оптимального управления, возникающих из проблемы выбора оптимальных режимов разряда в токамаке. Оценить возможности различных управляющих воздействий, величину полезного эффекта, достигаемого при оптимизации, и выделить на качественном уровне основные эффекты, определяющие оптимальные режимы протекания нестационарной стадии разряда. Выбрать методы, пригодные для решения нелинейных задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, возникающими в физике высокотемпературной плазмы. Разработать алгоритмы восстановления пространственных распределений параметров плазмы по данным интегральных измерений, удовлетворяющие требованиям вычислительной экономичности и максимально полного использования полученной в эксперименте информации.

Структура и содержание. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и двух приложений. Объем основного материала составляет 126 страниц машинописного текста и 52 рисунка.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23,100,101,102] .

Прикладное значение. Результаты работы нашли применение при проектировании системы управления экспериментальной термоядерной установки ТОГУС, разрабатываемой совместно Институтом кибернетики им.В.М.Глушкова АН УССР, Специальным конструкторским бюро математических машин и систем Института кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР и Институтом ядерных исследований АН УССР. Внедрение результатов в Харьковском физико-техническом институте АН УССР дало экономический эффект 100 тыс.руб.

Методы решения задач оптимального управления, примененные в диссертации, могут быть использованы для расчета оптимальных режимов в токамаках и других плазменных установках, а также химических реакторах, теплообменниках и т.д. Результаты решения оптимизационных задач могут найти применение при проектировании систем управления установок токамак и планировании экспериментов. Методы восстановления распределений параметров сплошной среды по данным интегральных измерений могут использоваться в автоматизированных системах обработки экспериментальных данных при исследовании процессов в сплошной среде, в медицинской радио- и рентгенологии и в системах автоматического управления состоянием плазмы в термоядерных установках.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Ш Всесоюзной школе-конференции "Современные методы магнитного удержания, нагрева и диагностики плазмы" /Харьков, 1982/, Научной конференции Московского физико-технического института /Долгопрудный, 1980/, Конференциях молодых ученых Института кибернетики АН УССР

Киев, 1980, 1982/ и Института ядерных исследований АН УССР /Киев, 1982/, Республиканском семинаре "Управление физико-химическими процессами в сплошных средах" /Киев, 1980/, на семинарах в Институте проблем управления АН СССР /Москва, 1983/, Физико-техническом институте им.Иоффе АН СССР /Ленинград, 1984/ и неоднократно на Республиканском семинаре "Управление объектами с распределенными параметрами" /Киев, 1979, 1981, 1982/.

- 176 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Арсенин В.В. О возможности подавления тиринг-неустойчи-вости плазмы в токамаке системой обратных связей. - Физика плазмы, 1977, т. 3, Ш 5, с. 956-959.

2. Арсенин В.В., Чуянов В.А. Подавление неустойчивостей плазмы методом обратных связей. Успехи физ.наук, 1977, т. 123, № I, с. 83-129.

3. Артеменков Л.И., Иванов Н.В., Какурин A.M. и др. О влиянии системы обратной связи на параметры плазмы в токамаке ТО-i. -Физика плазмы, 1980, т. 6, № 3, с. 63CL638.

4. Баглай Р.Д. О критерии выбора параметра регуляризации, основанном на вычислении функции чувствительности. Ж.вычисл. матем. и матем.физ., 1975, т. 15, № 2, с. 305-320.

5. Блехер П.М., Зуева Н.М., Юрченко Э.И. Расчеты влияния тока на тиринг-неустойчивость. М.: ИПМ АН СССР, 1982. - 28 с. /Препринт te 149/.

6. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. 448 с.

7. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф. О разностном подходе к решению задач оптимального управления систем с распределенными параметрами. В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1977, т. 8, Ш 3, с. 25-40.

8. Будак Б.М., Беркович Е.М., Соловьева Е.Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления. -Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1969, т. 9, to 3, с. 522-547.

9. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.

10. Ю. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. - 476 с.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1981. 400 с.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 197I. - 512 с.

13. Величенко В.В. Численный метод решения задач оптимального управления. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1966, т. 6, № 4, с. 635-647.

14. Волин Ю.М., Островский Г.М. О методе последовательных приближений расчета оптимальных режимов некоторых систем с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1965,т. ХХУ1, № 7, с. I158—I160.

15. Воробьев Г.М., Голант В.Е., Горностаев С.В. и др. Эксперименты по омическому нагреву и сжатию плазмы на токамаке "Туман-3». Физика плазмы, 1983, т. 9, № I, с. 105-120.

16. Воронцов С.С., Гаранин А.Ф., Пикалов В.В. Исследование осесимметричного водородного факела оптическим методом. В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР,1978, с. 244-251.

17. Воскобойников Ю.Е. Регуляризирующий алгоритм обращения уравнения Абеля. ИФЖ, 1980, т. 39, № 2, с. 270-274.

18. Воскобойников Ю.Е., Томсонс Я.Я. Выбор параметра регуляризации и ошибки восстановления входного сигнала в методе статистической регуляризации. Автометрия, 1975, ft 4, о. 10-18.

19. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. "Неоклассическая" теория диффузии. В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 7. М.: Атомиздат, 1973, с. 205-273.

20. Гвоздков Ю.В., Иванов Н.В. Воздействие обратной связи на нелинейное винтовое возмущение в токамаке. Физика плазмы, 1980, т. 6, й 2, с. 234-239.

21. Горбунов Е.П., Днестровский Ю.П., Костомаров Д.П. Определение пространственного распределения плотности плазмы с помощью фазовых измерений. ЖТФ, 1968, т. 38, Кн 5, с. 812-817.

22. Губарев В.Ф., Рубин И.К. Оптимальное управление в задачах поддержания равновесия в токамаке. Автоматика и телемеханика, 1982, № 8, с. 19-27.

23. Губарев В.Ф., Яковенко Ю.В. Эволюция распределений тока плазменного шнура в регулируемом магнитном поле. УФЖ, 1982, т. 27, ^ 12, с. 1823-1828;

24. Гуленко В.П. Дискретный принцип почти максимума и его использование для решения задач оптимального управления. В кн.: Теория оптимальных решений. К.: ИК АН УССР, 1972, с. 26-33.

25. Данциг Дж.Б. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966. - 600 с.

26. Демирханов Р.А., Киров А.Г., Сидоров В.П. и др. Динамическая стабилизация винтовых мод плазменного шнура высокочастотными полями и системой автоматического управления. Физика плазмы, 1975, т. I, № 5, с. 716-721.

27. Демьянов В.Ф. Решение некоторых экстремальных задач. -Автоматика и телемеханика, 1965, т. ХХУ1, к 7, с. I153-I160.

28. Дмитренко А.Г., Фесенко А.И. Об устойчивости продольного электрического тока в цилиндре вязкой жидкости в продольном магнитном поле. УФ^, 1983, 28, ш 8, с. II85-II9I.

29. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1982. - 320 с.

30. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Модели баланса иэнергии частиц в установках токамак. В кн.: Вычислительные методы в физике плазмы. М.: Мир, 1974, с. 483-506.

31. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Переверзев В.Г., Тарасян К.Н. Перезамыкание магнитных поверхностей и перемешивание тока в начальной стадии разряда в токамаке. Физика плазмы, 1978, т. 4, № 5, с. I00I-I003.

32. Дышин О.А. Градиентный метод решения оптимальной задачи для системы телеграфных уравнений. Ж.вычисл.матем. и матем. физ., 1972, т. 12, № 6, с. 1465-1477.

33. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. - 464 с.

34. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1963, т. 3, № 5, с. 887904.

35. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. К.: Наукова думка, 1978. - 164 с.

36. Заикин П.Н., Меченов А.С. Некоторые вопросы численной реализации регуляризирующего алгоритма для нелинейных интегральных уравнений. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. 21. М.: МГУ, 1973, с. 155-163.

37. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Задачи эволюции равновесия тороидальной плазмы. М.: ИАЭ, 1978. - 48 с. /Препринт ИАЭ-3075/.

38. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с токомв тороидальных системах. В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. II. М.: Энергоиздат, 1982, с. 118-235.

39. Иванов Н.В. Мелкомасштабная тиринг-мода в токамаке. -Физика плазмы, 1983, т. 9, к 4, с. 703-706.

40. Иванов Н.В., Какурин A.M., Чудновский А.Н. Численное моделирование экспериментов по изучению МГД-неустойчивости плазмы в токамаке. Физика плазмы, 1984, т. Ю, N2 I, с. 69-76.

41. Каганский М.Г. Адиабатическое сжатие плазмы в токамаке.- Л.: Наука, 1979. 176 с.

42. Кадомцев Б.Б. Электронная теплопроводность в токамаках.- Физика плазмы, 1983, т. 9, № 5, с. 938-946.

43. Кадомцев Б.Б., Муховатов B.C., Шафранов В.Д. Магнитное удержание плазмы. Физика плазмы, 1983, т. 9, № I, с. 5-17.

44. Кадомцев Б.Б., Погуце О.П. Турбулентные процессы в тороидальных системах. В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 5. М.: Атомиздат, 1967, с. 209-350.

45. Кайльхакер М. Эксперименты с дивертором на токамаке ,ASD£X" . Физика плазмы, 1983, т. 9, № I, с. 90-104.

46. Козлов В.П. Математические вопросы обращения радиационных данных. В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978, с. 68-95.

47. Козлов В.П. О восстановлении высотного профиля температуры по спектру уходящей радиации. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1966, т. 2, № 2, с. 137-148.

48. Крашенинников С.И., Соболева Т.К. О стабилизации желоб-ковой неустойчивости. Физика плазмы, 1977, т. 3, к I, с. 87-96.

49. Крупник Л.И., Терешин В.И. Современные методы корпускулярной диагностики горячей плазмы. В кн.: Современные методы магнитного удержания, нагрева и диагностики плазмы. Т. I. Харьков: ХФТИ АН УССР, 1982, с. 127-138. /Материалы Ш Всесоюз.школы-конф./.

50. Кузнецов Э.И., Щеглов Д.А. Методы диагностики высокотемпературной плазмы. М.: Атомиздат, 1974. - 159 с.

51. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. -288 с.

52. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах.- 184 -М.: Наука, 1978. 432 с,

53. Ладиков Ю.П., Пагута М.Т. Система керування реактором за допомогою 1нжекцН нейтрал1в. УФЖ, 1976, т. 21, № 8,с. 1288-1296.

54. Леончук М.П. О численном решении задач оптимальных процессов с распределенными параметрами. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1964, т. 4, №6, с. III2-III7.

55. Леончук М.П., Трофимов А.С., Курбатов Н.М. О численном решении одной задачи оптимального управления ядерным реактором.-Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1965, т. 5, № 3, с. 558-561.

56. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. -414 с.

57. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 480 с.

58. Мельникова Т.С., Пикалов В.В. Спектральная диагностика нестационарных и асимметричных плазменных объектов. В кн.: Dio-gaosttoa pins глеиt и., Ргада.' ITM, 1979, р. 91-100.

59. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. М.: Наука, 1965. - 540 с.

60. Мирнов С.В. Внутренние возмущения при срыве в токамаке и их стабилизация. Физика плазмы, 1981, т. 7, № 4, с. 795-802.

61. Мирнов С.В., Семенов И.Б. Начальная стадия разряда в установках токамак. Физика плазмы, 1978, т. 4, № I, с. 50-60.

62. Моисеев Н.Н. Численные методы теории оптимальных управлений, использующие вариации в пространстве состояний. Кибернетика, 1966, № з, с. 1-29.

63. Морозов А.И., Соловьев А.С. Кибернетическая стабилизация плазменных неустойчивостей. ЖТФ, 1964, т. 34, N2 9, с. 15661575.

64. Островский Г.М. Об одном методе расчета оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, 1965, т. ХХУ1, № 3, с. 435442.

65. Переверзев Г.В., Юшманов П.Н. Диффузия плазмы и магнитного поля в токамаке, обусловленная аномальной вязкостью электронов. Физика плазмы, 1980, т. 6, № 5, с. 993-1002.

66. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Тамбовцев Б.З. Статистическая регуляризация и некоторые новые методы решения условно-корректных задач. В кн.: Некорректные обратные задачи атомной физики. Новосибирск: ЙТПМ СО АН СССР, 1976, с. 17-33.

67. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений /в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы/. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1968, т. 8, № I, с. 136157.

68. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу. -Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1972, т. 12, te I, с. 61-77.

69. Погуце О.П., Юрченко Э.И. Баллонные эффекты и устойчивость в токамаке. В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. П. М.: Энергоиздат, 1982, с. 56-117.

70. Полак 3. Численные методы оптимизации: Единый подход. -М.: Мир, 1974. 376 с.

71. Преображенский Н.Г. Абелева инверсия в физических задачах. В кн.: Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978, с. 6-24.

72. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. - 240 с.

73. Преображенский Н.Г., Тамбовцев Б.З. Исключение аппаратурных искажений контура спектральной линии методом статистической регуляризации. Опт. и спектр., 1973, т. 35, hi 5, с. 946

74. Пропой А.Я. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. - 256 с.

75. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983. -136 с.

76. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969. - 151 с.

77. Пшеничный Б.Н. Об одном алгоритме для решения нелинейной задачи оптимального управления. Ж.вычисл.матем. и матем. физ., 1965, т. 5, к> 2, с. 236-241.

78. Розенброк X., Стори С. Вычислительные методы для инженер ов-химиков. М.: Мир, 1968. - 444 с.

79. Рубин И.К. Оптимизация обмоток управления поперечными полями в Токамаке с учетом сверхпроводящего кожуха. Кибернетика и вычисл.техника, 1980, вып. 47, с. I08-II4,

80. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

81. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352 с.

82. Самойленко Ю.й. Некоторые задачи управления электромагнитным полем. Кибернетика, 1970, as з, с. 48-53.

83. Самойленко Ю.И. О разрешающей способности пространственно распределенных систем управления. Изв. АН СССР: Техническая кибернетика, 1966, № 4, с. 154-159.

84. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 480 с.

85. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. - 280 с.

86. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. -М.: Наука, 1981. 156 с.

87. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. - 288 с.

88. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. - 200 с.

89. Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач.-Успехи физ.наук, 1970, т. 102, № 3, с. 345-386.

90. Уоткинс М.Л., Хьюджес М.Х., Роберте К.В. и др. ICARUS -одномерная модель диффузии плазмы. В кн.: Управляемый термоядерный синтез. М.: Мир, 1980, с. 178-223.

91. Федоренко Р.П. Об итерационном решении задач линейного программирования. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1972, т. 12,2, с. 298-308.

92. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488 с.

93. Федоренко Р.П. Приближенное решение некоторых задач оптимального управления. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1964, т. 4, № 6, с. 1045-1064.

94. Хоган Дж.Т. Многокомпонентные модели переноса в токамаке. В кн.: Управляемый термоядерный синтез. М.: Мир, 1980, с.142-177.

95. Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. - 238 с.

96. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1962,т. 2, № 3, с. 488-491.98. lop Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. К.: Наукова думка, 1979. - 200 с.

97. Эйкофф П. Основы идентификации систем управления. М.:1. Мир, 1975. 688 с.

98. Яковенко Ю.В. Об одной задаче оптимального по быстродействию управления распределением тока в плазменном шнуре. В кн.: Управление сложными динамическими процессами. К.: ИК АН УССР, 198I, с. 76-84.

99. Яковенко Ю.В. Оптимизация нагрева током плоского проводящего слоя. Кибернетика и вычисл.техника, 1981, вып. 51,с. 97-100.

100. Яковенко Ю.В. Управление распределением тока в плазменном шнуре с целью минимизации потерь. Автоматика, 1980, № б, с. 65-68.

101. Coimack Д./Л. Reconstruction of densities fiom tlneix pxojzctions, uritk application In xcudioio^Lcai physics. — Ph>ys. МЫ. BioL, /973, v.it, Mi 2, p. 195- 20?.

102. HO. £IVA giou-p. Vzty-iow-f disckaicjes on DIVA. -Nucl. Fusion, 1920, v. 20, //I 3, p. 211-221

103. Fa&xy. M., Gusse,not JЛ.} dickaxd M. Mithode de calcui du соeffitieats Remission d'un pla-Sina. cijiiridri^e du. pa.itii du profit experimental de Vintensite.— Opt. Com,гг. 5", Л/! Ч, p. 252-255.

104. Firestone -M.A. Analysis of modern. optimal cvntvoi tkeoty coppiced to plasma position and cuxxent control Cn

105. TFTR. — IEEE TWs. Pla.sm.a Soi., 1322,7г. PS-10,№2, P.105-H5.

106. Fu.ju.saixта. T. Effect of injection -fu.ei energy on fusion-xeactоъ stability and feedback соatxot*— bluet. Fusion, ШЧ, v.H, A/5 2, p. </73-/83.

107. Fu,xtk И.Р. Toka.rt\(tk lescazcA,.— Uu.ci. Fusion, 1375? if. 15, №3, p. Ш-534.

108. ИЯ. Fu/ttk И.Р., Raihtifoid P.M., StiSbtg H. TeatCnj modes in the cylindrical tokavnak. — Phys. Fluids, 197-1^ v. 16, № 7, p. 1054 mz.

109. Havriyiak H.J., Ы K., Btetz H. et at The effect of силг cat profile evoiation on plasma- timitei interaction and the energy confine-merit time.— Naci. Fusion, 1919, v.13, p. 1307-1317.

110. Heiiitz S.I. Method fox computing the emission distriSatCon in cylindrical tight sources.— A^kiv for Fysik,963, v. 23, A/5 НЭ, p. 571- 574.

111. Internationa-i tokamak reactor: Phase, one. — Vierirta: IAEA, ^982.- 260p.

112. Oisen H.N., Maidonado C.D., X>uckvrorth G.D. A tm-mericai method for obtaining integral emission coefficients •(•гоюг &xte,xnaily measured, spectiai intensities of asymmetrical plasmas.- 3QSRT, 196S, v.%, №10, p. Ц49-НЮ.

113. Pierony L. Eacpeiimetttai resaits ftom ptesenf-day

114. Кigk field tofeawLttk— Fiascati: EUR.ATOM/СNEN} 1979. — Ъ1р. (Htporb 73. Ъ5/cc).

115. Wadde.ll B.V., Сахгегas B.At> Nicks H.R. tt al. Леска nism fot majot disxvLptiOrL iti tokantcuks. Phys. Rev.1.tt, /978, v.Hi, №20, р.1ЪЧ6-1г*3.

116. Wess oin A. Hydi.om.ay netCc stability tokamahs.

117. Nucl Fusion, /97?, гг. /Я, A/! p. 27-132.nt White. R.&., Uonticdio D.ARos&ntluth MX SimuioL-tion of l&tcje magnetic islands: a possiHe, mechanism foz a majot disruption* — Phys, Rev> Lett., 19^7> v. 39, №2Sy рь 16ft- {621.

118. Williamson 7.// Evans Com.put&'iC^d tomo-gtap/iy for spitse-data, plasma, physics expeiCments.— IEEE Uans. Plasma Sec., {922, v. PS-Ю, №2, p.82-9£