автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Обработка информационных представлений временных процессов, потоков данных и звуковых сигналов с помощью обобщённого спектрально-аналитического метода

На правах рукописи

Бритенков Александр Константинович

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ВРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ, ПОТОКОВ ДАННЫХ И ЗВУКОВЫХ СИГНАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЁННОГО СПЕКТРАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и промышленности)»

АВТОРЕФЕРАТ ^

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005557185

Нижний Новгород - 2014 г.

005557185

Работа выполнена на кафедре общей физики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Заслуженный деятель науки РФ, Степанов Николай Сергеевич

Официальные оппоненты: Никитина Надежда Евгеньевна,

доктор технических наук, главный научный сотрудник, ФГБУН Институт проблем машиностроения РАН, г. Нижний Новгород

Лисенкова Елена Евгеньевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и системного анализа, Нижегородский институт управления - филиал ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации», г. Нижний Новгород

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт прикладной физики Российской академии наук (ИПФ РАН), г. Нижний Новгород

Защита состоится "12" Февраля 2015 года в Ц часов в ауд. 1258 на заседании диссертационного совета Д212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, д. 24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева и на сайте http://nntu.ru/content/aspirantura-i-doktorantura/dissertacii.

Автореферат разослан декабря 2014 года

Учёный секретарь диссертационного совета

Суркова Анна Сергеевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена системному анализу в задачах обработки информации новейшими спектральными методами, решению проблем, связанных с компьютерной реализацией классических ортогональных функций непрерывного аргумента, системному обобщению и оптимизации ортогональных преобразований с помощью структурно-функционального подхода, а также развитию обобщённого спектрально-аналитического метода в задачах описания и распознавания сигналов и прогнозирования динамики потоков данных.

Актуальность темы исследований

Оптимизация аппроксимации дискретных данных для хранения и обработки информации является важной задачей, так как цифровые приборы, компьютерные интерфейсы используют только такой тип данных. Проблема сжатия информации актуальна для разработчиков программных средств и сигнальных процессоров. Использование новых способов представления информации определяет тенденцию развития стандартов в этой области, поэтому выбор способа представления данных и обработки информации требует применения методологии системного анализа.

На фоне широкого распространения классического Фурье-анализа другие системы ортогональных функций продолжают оставаться малоисследованными, особенно в вычислительных приложениях. При этом тригонометрические ряды Фурье - частный случай ортогональных функций. Так, тригонометрические и гиперболические функции могут быть получены с помощью функций Якоби. Разработка и совершенствование алгоритмов обработки сигналов и потоков данных с помощью ортогональных базисов на основе классических полиномов непрерывного аргумента расширяет возможности обобщённого спектрально-аналитического метода (ОСАМ)1, разработанного во второй половине XX века для описания процессов, распознавания сигналов и прогнозирования потоков данных. Сходство ортогональных базисов ОСАМ с различными реальными радиотехническими и звуковыми сигналами позволяет эффективно использовать ОСАМ для решения задач обработки информации.

Актуальность использования классических функций высокого порядка (функций Лагерра в частности) подтверждается работами, посвященными решению дифференциальных уравнений, исследованию случайных процессов, обработке различных классов сигналов: вибрационных и звуковых [3, 5], ядерного магнитного резонанса2, нелинейной оптики3, модовых световых полей4, лазерной доплеровской флоуметрии5 и других [6, 10, 11, 20].

Актуальность системного подхода для выбора, комбинирования и модификации вычислительных методов вытекает из необходимости целостного решения задач с элементами принятия решений и поиска наилучшей стратегии. Для смешанных (технических, экономических, экологических и аналогичных) систем существенную

1 Analytical description of multidimensional signals for solving problems of pattern recognition and image analysis / A.F. Dedus [et al.] // Pattern Recognition and Image Analysis. - 1993. - Vol. 3. - P. 459^69.

2 Дероум, Э. Современные методы ЯМР для химических исследований / Э. Дероум. - М.: Мир, 1990. -265 с.

3 Шварцбург, А.Б. Оптика нестационарных сред // УФН. - 2005. - Т. 175(8). - С. 833-861.

4 Шевин, А.О. Исследование влияния искажений на свойства лазерных полей / А.О. Шевин, С.Н. Хонина //Вести. Самарского гос. аэрокосмич. ун-та им. С.П. Королёва. - 2008. -№ 2. - С. 101-111.

s Панкратов, А.Н. Обработка сигналов лазерной доплеровской флоуметрии, получаемых при зондировании микроциркуляторного русла кожи / А.Н. Панкратов, Н.К. Быстрова // Тр. Всерос. школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Красновидово, Моск. обл., 2000. - Т. 1. - С. 16.

роль играют субъективные представления, и не всегда возможно описать реальную систему математической моделью. Подобная ситуация может возникать и при жестком ограничении на время решения задачи или используемые вычислительные ресурсы.

Состояние вопроса

Спектральный анализ - метод обработки информации, в котором преобразование Фурье (или разложение в ортогональный ряд) связывает временную или пространственную реализацию сигнала с его представлением (образом) в частотной области. Обработка информации спектральными методами зачастую содержит ряд проблем при численной реализации, таких как нарушение ортогональности и потеря счётной устойчивости при использовании базисных функций высокого порядка. Увеличение производительности компьютеров не решает указанную проблему, а предъявляет специфические требования к алгоритмам построения таких функций для исследования и обработки различных сигналов, что подтверждают работы Дж. Шена6 и других. Стремление к оптимизации обработки информации привело к возникновению и развитию вейвлет-анализа, пересекающегося в некоторых аспектах с ОСАМ. Например, в работе Б.П. Графова и И.Б. Графовой7 рассматривается использование функций Jlareppa в качестве вейвлетов8, а в работах А.Л. Вировлянского, A.A. Стромкова и других авторов9 отражено применение эмпирических ортогональных функций, наиболее подходящих для описания и обработки гидроакустических сигналов.

Компьютерная обработка информации для получения частотного спектра сигналов в подавляющем большинстве случаев использует быстрое преобразование Фурье (БПФ) в сочетании с оконными преобразованиями10. Как показано в работах В.А. Зверева, характер оконного преобразования при некорректном использовании численных методов приводит к искажению информации. До работ Никифорова А.Ф., Уварова В.Б." (60е-70е годы прошлого века) составляющие ядро ОСАМ классические полиномы и функции непрерывного аргумента называли специальными функциями математической физики. В работах А.Н. Панкратова, С.Н. Махортых показано, что ОСАМ - это обобщение проекции функции одного аргумента на любую ортогональную систему функций , а классические полиномы и функции непрерывного аргумента представляют собой отдельный класс функций с общими свойствами. Такие функции используются в радиотехнике, оптике и механике и встроены в общеупотебительные пакеты программ, однако системно данный класс функций при численной реализации остаётся мало исследованным.

6 Shen, J. Stable and Efficient Spectral Methods in Unbounded Domains Using Laguerre Functions // SLAM Journal on Numerical Analysis. - 2000. - Vol. 38(4). - P. 1113-1133.

7 Grafov, B.P. Theory of the wavelet analysis for electrochemical noise by use of Laguerre functions / B.P. Grafov, I.B. Grafova // Electrochemistry communications. - 2000. - Vol. 2. - P. 386-389.

8 Астафьева, H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // УФН -1998.-Т. 166(11).-С. 1145-1170.

9 Эмпирические ортогональные функции в гидроакустических экспериментах / A.JI. Вировлянский [и др.] // Тез. докл. 3-й Всерос. науч.-техн. конф. «Методы и средства измерения физических величин». - Н. Новгород: ИПФ РАН, 1998. - С. 33.

10 Дагман, Э.Е. Быстрые дискретные преобразования / Э.Е. Дагман, Г.А. Кухарев. - Новосибирск: Наука 1983.-232 с.

Никифоров, А.Ф. Специальные функции математической физики / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров - М ■ Наука, 1984.-344 с.

Панкратов, А.Н. О реализации алгебраических операций над рядами ортогональных функций / А.Н. Панкратов // Журнал вычислительной математики и математический физики. - 2004. - Т 44(12) - С 2121-2127.

Цель работы

Основной целью настоящей работы является модернизация и оптимизация обобщённого спектрально-аналитического метода (ОСАМ) на основе структурно-функционального подхода для конкретных задач обработки информации и практическое приложение системного анализа в задачах ОСАМ для синтеза и распознавания акустических сигналов и прогнозирования данных с использованием процедурных экспертных систем.

Задачи исследования

• Исследование особенностей численной реализации классических ортогональных полиномов непрерывного аргумента, таких, как нарушение ортогональности и потеря устойчивости вычислительных процедур ортогональных функций высоких порядков.

• Компьютерная реализация классических ортогональных полиномов непрерывного аргумента, разложение отрезками ортогональных рядов функций дискретного аргумента с использованием квадратурных формул и обработка звуковых сигналов.

• Решение конкретных обратных задач обработки сигналов, в частности, подавление реверберации при распространении звука в слабодиспергирующей среде с помощью восстановления сигнала на фоне реверберационной (мультипликативной) помехи в условиях дискретных отражений на основе полученной методом тестовых импульсов информации о потерях и задержках в канале передачи данных.

• Исследование возможностей ОСАМ для распознавания в задачах обработки информации и прогноза временных рядов, когда прогноз является частным случаем коррекции ошибок представленной информации на некоторых участках аппроксимируемого отрезка.

Методы исследования

В работе использованы методы спектрального, функционального, статистического и регрессионного анализа, теории аппроксимации экспериментальных данных, численные методы решения линейных и нелинейных уравнений, в том числе итерационные алгоритмы, методы оптимизации и решения экстремальных задач, а также методы системного анализа, кибернетический подход и структурно-функциональный (морфологический) метод.

Научная новизна

Основные задачи, поставленные в работе, ранее не исследовались с помощью предложенных алгоритмов, и представленные в работе результаты являются новыми.

• Впервые систематически исследованы классические ортогональные базисы непрерывного аргумента при их компьютерной реализации. Исследованные нарушения ортогональности при численной реализации экспериментальных данных обобщёнными рядами Фурье и дискретизации области определения классических ортогональных многочленов непрерывного аргумента позволяют оценивать точность преобразований аналитических функций непрерывного аргумента в цифровой вид и обратно с использованием квадратурных формул.

• Предложенный алгоритм численного интегрирования для вычисления скалярного произведения на основе метода квадратур Гаусса на специально выбранной сетке сохраняет ортогональность всех функций, построенных на основе степенных полиномов порядка, не превышающего количество узлов этой сетки.

• Предложенный в работе способ на основе морфологического анализа позволяет системно структурировать базисные функции и оптимизировать ОСАМ в задачах обработки информации для анализа и синтеза широкого класса сигналов.

• На примере задачи подавления реверберации (мультипликативных помех) при распространении звука в слабодиспергирующей среде показана возможность использования ОСАМ в качестве дополнительного инструмента для определения параметров трассы распространения сигнала и акустических характеристик среды.

Практическая и методическая значимость работы

• Разработанный эффективный способ вычисления функций Лагерра и Эрмита высокого порядка не имеет ограничений на порядок вычисляемых функций, работает быстрее аналогичных методов, нетребователен к вычислительным ресурсам и может применяться для других ортогональных базисов.

• Приложения структурно-функционального подхода для синтеза новых решений, разработанные в рамках настоящей работы, использованы в учебном процессе студентов радиофизического факультета ННГУ им. Н.И. Лобачевского в курсе лекций и практических занятий по общему курсу «Системный анализ» и специальному курсу «Новые компьютерные технологии синтеза решений».

• Результаты исследований квадратурных формул и нарушения ортогональности при численной реализации использованы при разработке пакета программ адаптивной аппроксимации (АВАР) в Лаборатории обработки данных Института математических проблем биологии РАН, а также в учебном процессе на факультете Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова и в Пущинском государственном университете.

• Результаты исследований в области акустики, подавления шумов, распознавания акустических и подобных сигналов и распространения звука в слабодиспергирующей среде на фоне мультипликативной помехи использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ им. Н.И. Лобачевского в курсовых и дипломных работах студентов, а также в курсе лекций и лабораторном практикуме по предметам «Технологии создания звуковых образов» и «Аудиотехнологии»13.

• Основные положения неформализованного подхода к решению экономических и технических задач сравнения, анализа и поиска наилучшего варианта структуры исследуемой системы с численной оценкой решений, предложенные в диссертации, использованы в работе Нижегородского фонда развития предпринимательства, малого бизнеса и конкуренции (НФ РП и МБ) (составление оптимального инвестиционного портфеля) [25, 30], а также Нижегородского завода нефтеоргсинтеза НОРСИ (разработка системы безопасности производства) [14].

• Разработаны новые, ранее не используемые в ОСАМ, процедуры анализа и оптимизации на основе системного анализа выбора и модификации базисных функций как технологии поиска рациональных решений с помощью структурно-функционального подхода.

13 Бритенков А.К. Программа авторского курса «Аудиотехнологии» для студентов радиофизического факультета ННГУ им. Н.И. Лобачевского // URL: http://grwp.ru/node/206. http://grwp.ru/node/207 (дата обращения: 20.11.2014).

Достоверность результатов исследований определяется использованием методологических принципов системного анализа, корректным применением математического аппарата численного интегрирования и рекуррентных соотношений; использованием дополнительных данных для улучшения точности аппроксимации временных рядов; адекватными моделями распространения звука в тонком слое жидкости, тестированием предложенной методики решения задачи подавления мультипликативных помех и выбором допустимых ограничений применения предлагаемых технологий обработки информации.

Апробация работы

Основные научные результаты и положения по теме диссертации изложены в докладах и сборниках трудов Всероссийских и международных научных конференций и обсуждены на пленарных заседаниях и секциях следующих конференций: Ш-Х Нижегородских сессий молодых учёных «Голубая Ока» (Дзержинск, 1998-2005), конференций по радиофизике в ННГУ им. Н.И. Лобачевского (Н.Новгород, 1997, 19992002, 2009, 2013, 2014), Международных молодежных научных конференций «XXVI-XXXI, XXXVI Гагаринские чтения» МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского (Москва, 2000-2005, 2010), Всероссийской конференции ММРО-Ю «Математические методы распознавания образов", (Москва, ВЦ РАН, 2001), Междисциплинарных конференций ПетрГУ с международным участием "Новые биокибернетические и телемедицинские технологии 21 века для диагностики и лечения заболеваний человека" ("НБИТТ-21"), (Петрозаводск, 2002, 2003), IX Всероссийской школы-семинара МГУ "Волны 2004" (Московская обл., 2004), 5-й Международной научно-технической конференции СПбГТУ «Компьютерное моделирование» и школы-семинара «Виртуальные лаборатории для естественнонаучных дисциплин» (С.Петербург, 2004), International Workshop «Rogue Waves» of Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems (Dresden, Germany, 2011), 8th Open German-Russian Workshop «Pattern Recognition and Image Understanding» OGRW-8-2011 (Nizhny Novgorod, 2011), VIII Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» 24-28 сентября 2012, (Н.Новгород, 2012), XXV Международной научной инновационно-ориентированной конференции МИКМУС-2013 ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова (Москва, 2013).

Основные положения неформализованного подхода к решению экономических и технических задач (составление оптимального инвестиционного портфеля, сравнение вариантов спектральных преобразований, использование экспертных моделей) анализа и поиску наилучшего варианта структуры, использованные в диссертации, опубликованы в монографиях «Информационные технологии и системы» (Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2001; М.: Наука, 2003) [28] и «Информационные технологии и системы: поиск оптимальных, оригинальных и рациональных решений» (Б.С. Воинов, В.Н. Бугров, Б.Б. Воинов, М.: Наука, 2007) [31] и апробированы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ им. Н.И. Лобачевского (курс «Системный анализ» [24]).

Результаты работы были доложены на семинарах лаборатории обработки данных Института Математических проблем биологии РАН, г. Пущино, кафедры общей физики радиофизического факультета ННГУ им. Н.И. Лобачевского и на заседаниях научной школы В.А. Зверева и проф. Н.С. Степанова в отделении гидрофизики и гидроакустики Института прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород, Научно-исследовательского института прикладной математики и кибернетики (НИИ ПМК) ННГУ им. Н.И. Лобачевского, в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е.Алексеева и на 34-х Научно-футурологических чтениях

Нижегородского регионального отделения научно-технического общества радиотехники, электроники и связи (НРО НТОРЭС) им. A.C. Попова.

Поддержка диссертационной работы

Методология оптимизации принятия решений для построения моделей прогноза разработана в ходе выполнения научно-исследовательской работы в проектах, поддержанных НФ РПиМБ (1995-1996), НОРСИ (1996-1997), программой проекта 570 ФЦП «Интеграция» Российского фонда фундаментальных исследований (1997-1999). Работа над развитием обобщённого спектрально-аналитического метода выполнена при поддержке грантов РФФИ 00-15-96741, 04-02-17368, 04-01-00756, фантов Минпромнауки и Президента Российской Федерации «Научные школы» НШ-1641.2003.2 (Научная школа чл.-корр. РАН В.А. Зверева и проф. Н.С. Степанова), гранта Президента РФ "Ведущие научные школы" НШ-10261.2006.2, а также гранта Минобрнауки России 2.1615.2011 НИР "Исследование сложных объектов различной физической природы современными радиофизическими методами".

Автор удостоен гранта Фонда Джоржа Сороса - Open Society Institute (Институт Открытое Общество) Travel Grant OSIТАА89Е (1998) и стипендии Правительства Российской Федерации (2002). Доклады на международных молодёжных научных конференций «XXVI-XXXVI Гагаринские чтения» МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского (Москва, 2000-2010 гг.) неоднократно удостоены дипломов и почётных грамот, доклад по теме настоящей работы на Юбилейной XXV международной научной инновационно-ориентированной конференции МИКМУС-2013 ИМАШ РАН им. А.А.Благонравова в 2013 г. отмечен дипломом как наиболее интересное научное сообщение.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 49 печатных работ, в том числе 5 статей в научных рецензируемых журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК, включённых в системы цитирования (библиографические базы) ВАК, 3 раздела в монографиях, изданных информационно-издательским центром РАН «Наука», методическая разработка проблемно-ориентированной программы подготовки по курсу «Системный анализ» для специальности «Информационные системы», 18 публикаций в сборниках трудов, докладов и материалов научных конференций, а также тезисы докладов научных конференций. Общий объём публикаций с авторским участием составляет 5,6 печатного листа.

Личный вклад автора

Лично автором получены представленные в настоящей работе результаты о нарушении ортогональности и счётной неустойчивости при реализации классических ортогональных функций, а также самостоятельно сформулированы цели и задачи исследования, проведена классификация прикладных задач ОСАМ, выполнены численные эксперименты, предложена технология оптимизации алгоритмов описания сигналов с помощью ОСАМ на основе структурно-функционального подхода. Автором самостоятельно поставлена и решена задача о распространении звука в слабодиспергирующей среде, выделении полезного сигнала на фоне реверберационных помех [3, 5] в приближении мелкой воды [23], проведена апробация пакетов программ АДАП и ПРОЦЕСС, подготовлены доклады на конференциях [8-10, 12, 13, 15-22, 23] и публикации статей в журналах и сборниках [3, 4, 6] и разделов в монографиях [27-30]. Алгоритмы вычисления ортогональных функций высокого порядка [1, 2], предложены

Панкратовым А.Н. при непосредственном участии автора в их апробации, программная реализация итерационного алгоритма подавления реверберационных шумов при распространении звука в тонком слое выполнена совместно с Хизбуллиным Д. А.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объём работы составляет 150 страниц, включая 55 рисунков, 4 таблицы, список литературы из 186 наименований и 3 приложения. Основные результаты изложены во второй, третьей и четвёртой главах.

На защиту выносятся следующие положения

1. Модификация обобщённого спектрально-аналитического метода на основе структурно-функционального (морфологического) и системного подхода, алгоритмов вычисления базисных ортогональных функций высокого порядка и специальных квадратурных формул повышает эффективность обработки различных негармонических (в том числе акустических) сигналов.

2. Способ интегрирования на специальной сетке методом квадратур Гаусса сохраняет ортогональность всех полиномов порядка, не превышающих число узлов этой сетки, и обеспечивает высокую точность аппроксимации при обработке исследуемых сигналов.

3. Предложенный способ вычисления функций Лагерра не имеет ограничений на порядок вычисляемых функций, нетребователен к вычислительным ресурсам и может быть использован для других ортогональных функций.

4. Восстановление исходного сигнала и подавление реверберационного шума в модели распространения гидроакустических сигналов в слабодиспергирующей среде при условии дискретных отражений возможно при определении параметров реверберации с помощью тестирования исследуемой среды ортогональными базисными функциями.

5. Применение ОСАМ в задачах прогноза необходимо комбинировать с другими методами (например, с регрессионным анализом), проводя системный анализ дополнительных данных для выделения характерных периодов сигналов, представляющих собой суперпозицию квазипериодических функций и аддитивного шума.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель и основные задачи исследований с использованием системного подхода для обработки информации, приведена научная новизна работы и практическая ценность полученных результатов. Во введении описаны некоторые особенности ОСАМ14, характерные при аппроксимации, распознавании, выделении на фоне помех одномерных сигналов и рассмотрены наиболее распространённые методы спектральной обработки информации.

Первая глава, являющаяся обзорной, в дополнение к приведённому во введении материалу описывает математический аппарат и структуру ОСАМ. В ней приведены ключевые положения функционального анализа, теории аппроксимации и

14 Обобщённый спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов / Ф.Ф. Дедус [и др.] - М.: Машиностроение, 1999. - 357 с.

Ап = „ ||2 Ддя (2)

ортогональных преобразований, рассмотрены классические ортогональные базисы непрерывного аргумента, удовлетворяющие общим свойствам и разностным уравнениям и оптимизация разложения данных отрезками ортогональных рядов.

В разделе 1.1 проведён обзор абстрактных математических пространств, используемых в практических задачах функционального и численного анализа. Приведены определения изоморфизма пространств и практического обобщения интегральных преобразований на случай евклидова, гильбертова пространства и пространства действительных чисел. Общий вид ортогонального разложения - проекция в гильбертовом пространстве интегрируемой с квадратом непрерывной функции из Ь2 на систему ортогональных с весом р(7) базисных функций {ср„(/)}

N

/(0=2Хф„(0, (1)

и=0

где Ы—хю, затрагивает некоторые фундаментальные вопросы теории ортогональных рядов и интеграла Фурье, например, нормировку базиса {<р„(/)} и вычисление коэффициентов Фурье-Эйлера Ап

(Я0,ф„(0) ф«(0||2

где (/(;), ф„(0) - скалярное произведение или проекция функции/(/) на вектор ср„(0-

В разделе 1.2 рассмотрены этапы развития спектрального анализа и, в частности, обобщённых рядов Фурье, а также приведены сведения о классических ортогональных базисах непрерывного и дискретного аргумента, используемых в ОСАМ.

Классические ортогональные многочлены15, являющиеся решением гипергеометрического уравнения

А{х)у"+ В{х)у'+ Х„у = 0, (3)

где коэффициенты А(х) и В(х) не зависят от п, а Л„ не зависит от х, также как и соответствующие им функции удовлетворяют разностным рекуррентным уравнениям

Ф„+1 (*) = 0„ + Ъпх) ф„ (х) + с„ ф„_! (х), (4)

где ап, Ът с„ - коэффициенты, не зависящие от х. Начальные условия для классических ортогональных многочленов в стандартной форме по формуле (4) имеют вид:

Ф_1« = 0, Ф0(0 = 1. (5)

Классические ортогональные многочлены обладают общими свойствами, что объединяет их в отдельный класс функций. В данном разделе проведено обоснование использования базисов непрерывного аргумента на основе классических полиномов (4) в задачах обработки информации и синтеза сигналов ввиду их отличительных качеств, таких как специфический характер р(/) и форма полинома.

В разделе 1.3 рассмотрены вопросы оптимизации разложения данных отрезками ортогональных рядов с целью сокращения длины ряда при заданной точности и оптимизации обработки информации. Это возможно реализовать при согласовании интервала существования сигнала Д/) и области определения базиса, а также вариации масштабного коэффициента, входящего в структуру большинства классических модифицированных ортогональных функций, например функций Сонина-Лагерра. Любая функция /из I} может быть аппроксимирована с заданной точностью е отрезком

15 Kazuhiko, A. Theory of Hypergeometric Functions / A. Kazuhiko, K. Michitake // Springer Monographs in Mathematics Series. - 2011. - Vol. 305. - 317 p.

ряда (1) при некотором значении Ы=Ма и если ортогональная система {ср,(0} является полной, коэффициенты А„ (2) разложения доставляют" минимум функционалу интегральной ошибки 0^/ и не зависят от N

вы = до- хаф»(о1 =|/(0||2-1л21к12- (6)

я=0 II ¿=0

Решение экстремальной задачи (поиск минимума для (6)), может существенно сократить длину ряда (1). Другим важным аспектом оптимизации является выбор базиса {ф„(?)Ь соответствующего форме аппроксимируемого сигнала. Эти условия являются основным способом оптимального описания исследуемого сигнала ортогональным рядом (1).

В разделе 1.4 описаны структурные компоненты и основные свойства ОСАМ, показаны способы рационального подхода к выбору класса приближающих функций, описания данных отрезками ортогональных рядов и обработки сигналов и потоков данных с использованием этого метода. Жесткость разложения (независимость коэффициентов разложения от длины ряда) обеспечивает универсальность, адаптивность, быстродействие вычислительных процедур, построение аналитического описания и анализ исследуемых сигналов. Основные процедуры метода - выбор ортогонального базиса и подстройка к длительности исследуемого сигнала, вычисление коэффициентов (2) и алгебра преобразований (операции с сигналом в пространстве А„), - отражены на приведённой в данном разделе структурной схеме ОСАМ.

Во второй главе исследованы и проанализированы проблемы аппроксимации данных дискретного аргумента отрезками ортогональных рядов непрерывного аргумента и проведён сравнительный анализ распространенных методов ортогональных преобразований (тригонометрические ряды Фурье, БПФ и вейвлет-анализ) и ОСАМ.

Функции Лагерра Функции Эрмита Григонометрические функции

Рис. 1. Исследование нарушения ортогональности первых функций Лагерра, Лежандра и тригонометрических (и=1+20), вызванного дискретизацией [21]. Интегрирование проведено методом трапеций на отрезке [0, 1], с шагом ¡£=0,1.

В разделе 2.1 приведены некоторые свойства обобщённых рядов Фурье, лежащие в стороне от традиционно применяемых технологий. К таким свойствам можно отнести ортогональность с весом (и специфический характер весовой функции), оконный характер традиционных ортогональных преобразований, ограниченное число отсчётов исследуемого сигнала, а также некоторые другие особенности.

Раздел 2.2 посвящён исследованию классических ортогональных базисов непрерывного аргумента в вычислительных задачах. На примере функций Лагерра, Эрмита, Лежандра исследована потеря ортогональности при дискретизации области определения классических ортогональных полиномов непрерывного аргумента. При

приближенном расчёте численными методами интегралов скалярного произведения для коэффициентов (2) разложения (1) на произвольной сетке ортогональность {ср„(0} нарушается (рис. 1). В таком случае коэффициенты разложения Ап по системе неортогональных функций не могут быть вычислены по классическим формулам [2].

Раздел 2.3 состоит из практического обоснования использования квадратурных формул Гаусса. В данном разделе показано, что применение неравномерной сетки в предлагаемом способе численного интегрирования позволяет повысить точность вычисления матрицы (ф„, ф4) (матрицы Грама) и коэффициентов Фурье-Эйлера (2).

Рис. 2. Порядок ошибки (показан градациями серого) вычисления элементов матрицы Грама для функций Лагерра (0<п<1000) методом Гаусса (слева) и методом прямоугольников (справа) [1]. Шкала ошибок приведена в правых столбцах у соответствующих матриц.

Распространённое описание исследуемых сигналов и функций в виде таблицы А0={/К^ХЖ'г).—является аналогом функции дискретного аргумента. В задачах обработки экспериментальных данных, как правило, необходимо получить численно-аналитическое представление в виде ряда. В связи с этим возникают две проблемы: интерполяция функции дискретного аргумента и дискретизация скалярного произведения базисных функций {ф„(0}. Дискретный аналог скалярного произведения

(х,у) = }х(/)у( *>(/>*,

(7)

в пространстве функций дискретного аргумента/^,) определяет равенство интеграла и суммы только при определенных условиях на подынтегральную функцию и определенном выборе узлов и весов у»1

Ь т

М'МФОМ = . (8)

а /=1

Из решения оптимизационной задачи построения квадратурной формулы для многочлена с количеством узлов не больше т следует, что можно удовлетворить условию, чтобы формула (8) была точна для подынтегральной функции, представляющей собой многочлен степени не выше 2т-\, умноженный на свою весовую функцию р(/)- При специальном выборе узлов и весов (2т параметров) наивысшую алгебраическую точность для подынтегральной функции вида ё~%{) имеют так называемые квадратурные формулы Гаусса-Лагерра16. Узлы квадратурной формулы (8) являются нулями ортогонального многочлена степени т с весовой функцией р(/). При

16 Нудельман, П.Я. Полиномные синтезаторы частотных и временных характеристик / П Я. Нудельман -М.: Связь, 1975.- 136 с.

таком изоморфизме для сеточной функции Д^Ш^ХЖ^),—/т(*т)}, а<1,< Ь, заданной в узлах полинома степени т, единственным образом задаётся полином степени т-1, умноженный на р(0 2- Другими словами, ортогональной системе функций непрерывного аргумента ставится в соответствие ортогональная система функций дискретного аргумента на неравномерной сетке. Точность вычисления матрицы Грама таким способом по сравнению с методом прямоугольников превышает 9 порядков (рис. 2) [2].

В разделе 2.4 приведены результаты проведённых в работе исследований потери счётной устойчивости и накоплению ошибки в рекуррентных формулах классических ортогональных базисов непрерывного аргумента на примере функций Лагерра [2, 22]. Обнаруженные явления возникновения и затухания счётной неустойчивости рассмотрены как динамический хаос и приведена аналогия с экстремальными волнами .

Функции Лагерра18 (рис. 3), определённые на интервале [0, +со],

где т>0 - масштабный коэффициент, изменяющий эффективную длину функции /„(<)> при прямом вычислении по формуле (9) подвержены проблеме потери счётной устойчивости, ощутимой для функций порядка п=30 и выше (рис. 4).

отмечены значения аргумента I. Искажение формы 1„(() из-за потери счётной устойчивости на отрезке ге[35, 75] напоминает самовозбуждение и резонанс нелинейного осциллятора.

Согласно формуле (9) значение функции /„(/) определяется двумя множителями: осциллирующего и неограниченно возрастающего полинома и значением корня экспоненциально убывающей весовой функции. Возможно, при больших значениях аргумента I эти множители приводят к переполнению машинного представления чисел при возведении в степень 30 и более чисел выше 100-160, исчезновению порядка и потере устойчивости вычислений. Однако, как показано в работах [1, 2] их произведение /„(?) является «хорошей» величиной для машинного представления.

17 Шургалина, Е.Г. Проявление аномально больших волн зыби на фоне слабого ветрового волнения / Е.Г. Шургалина, E.H. Пелиновский // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. - 2012. - Т. 5(1). - С. 77-87.

18 Справочник по специальным функциям / под ред. Абрамовица М. и Стиган И. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

На рис. 4 показан характер вычисления функции Лагерра 40 порядка по явной формуле. Исследования показали, что при прямом счёте /„(/) начиная с 33 порядка на отрезке [25, 120] форма /„(/) сильно искажается (рис. 3). Результаты повторяются на разных компьютерных платформах и в общеупотребительных пакетах программ [12]. При этом /„(/) имеет нулей больше, чем п (рис. 4Б). Но после некоторого значения аргумента (для п=35, /=150) вычислительный процесс становится снова устойчивым и, осциллируя, функция /„(/) затухает пропорционально е-' (рис. 3), как это следует из (9). Хотя этот феномен не имеет однозначного объяснения, в данной работе более важно было исключить подобные эффекты. Рекуррентные соотношения вида (4) для /„(/) также приводят к накоплению ошибок. Функции Лагерра /„(/), полученные по рекуррентным формулам (4, 5) и вычисленные напрямую (9), существенно отличаются уже при и>40.

Рис. 4. Слева - функция Лагерра /„(/), вычисленная «в лоб» по формуле (9) при п=40, т= 1. Из-за потери счётной устойчивости искажена форма /„(О- Справа - фрагмент /„(/) этого же порядка на отрезке [40,40+5], где 8=3-10~12. Количество нулей многократно превышает порядок /„(/).

Построение эффективных алгоритмов вычисления функций Лагерра19 и устранение выявленных эффектов остаётся актуальной задачей [12, 14], так как одни ортогональные функции на основе классических полиномов выражаются через другие, и обнаруженные проблемы существуют для всех типов функций, порождаемых уравнением (3) (рис. 5).

Рис. 5. Потеря счётной устойчивости и искажение функции Эрмита /¡„(7), п=70 (сплошная линия). Число нулей вычисленной по явной формуле функции И„({) (пунктир) на малом отрезке (справа) многократно превышает её порядок.

10 Khabibrakhmanov, I.K. The Use of Generalized Laguerre Polinomials in Spectral Methods for Nonlinear Equations / I.K. Khabibrakhmanov, D. Summers // Computers Math. Appl. - 1998. - Vol. 36 (2). - P. 65-70.

Раздел 2.5 посвящен решению основных проблем, возникающих для ортогональных базисов в процессе вычислений и включает в себя описание устойчивых алгоритмов вычисления функций Лагерра высокого порядка.

Для решения описанных в разделе 2.4 проблем в рекуррентный процесс вводится затухание: на каждом шаге итерационного процесса (4) вычисляемые величины полиномов Лагерра <р„-1(0> фя(0> умножаются на где п - порядок функции /„(/). За

п циклов общий множитель составляет величину е-'". Такое усовершенствование процесса (4 и 5) позволяет точно вычислять функции Лагерра для и>1000 [1]. Данный способ вычислений функций высокого порядка реализован в пакете программ АДАГГ".

В разделе 2.6 приведено сравнение распространённых ортогональных преобразований (таких как гармонический Фурье-анализ и вейвлет-анализ) и ОСАМ. В данном разделе показано, что «частотный» спектр ОСАМ исследуемого сигнала у(г) получается с помощью интегрального, а не дискретного преобразования Фурье, что позволяет считать ОСАМ переходным инструментом между классическим Фурье-анализом21 и двумерным вейвлет-анализом. Кратно-масштабная концепция частотно-временного описания (когда спектр преобразования исследуемого сигнала Д/) - функция двух переменных), укрепившаяся с развитием вейвлет-анализа, дополнила классический Фурье-анализ и расширила область его применения. Вейвлет-разложение функции ДО

ЛО = (10)

0-00 а

по системе вейвлетов где

со

\¥(а,Ъ) = \а[°Ъ \(11)

-оо

и ф*(/) - комплексно-сопряжённый вейвлет, является аналогом интегрального преобразования Фурье, когда при А/—»оо ряд (1) переходит в интеграл. Прямое сравнение Фурье- и вейвлет-анализа почти невозможно, в связи с тем, что преобразование Фурье локализует частоты в спектре сигнала, но не даёт их временного разрешения, а вейвлет-окно выявляет частоты сигнала на разных временных масштабах. Вейвлет-анализ и ОСАМ сближает присутствие в большинстве базисных функций рядов (1) /я-параметра [17], порождающего двумерность «спектра» ОСАМ (набора коэффициентов {А„(т)}).

Необходимость сравнения различных классов ортогональных преобразований возникла в ходе развития ОСАМ и его приложений [17], так как некоторые базисные функции сходны с вейвлетами (например, функции Эрмита и вейвлет Морле). Для такого сравнения и анализа в данной работе предложен структурно-функциональный подход на основе технологий решения неформализованных задач [14, 25, 28].

В третьей главе приведен анализ и классификация прикладных задач, решаемых с использованием ОСАМ.

Раздел 3.1 посвящён классификации возможных прикладных задач ОСАМ. Обобщены классы задач, в которых целесообразно применение ОСАМ; рассмотрены конкретные задачи ОСАМ, которые можно условно разделить на два основных направления: задачи анализа и задачи синтеза, или прямые и обратные задачи. Алгоритмы решения обратных задач (задач синтеза) основаны на многократном решении прямой задачи и, таким образом, включают в себя прямые задачи.

20 Программа адаптивной аппроксимации АДАП (ADAP) // URL: http://impb.psn.ru/~pan/ (дата обращения: 21.01. 2012).

21 Харкевич, A.A. Спектры и анализ / A.A. Харкевич. - М.: Либроком, 2009. - 240 с.

В разделе 3.2 приведено определение и постановка задачи распознавания в широком смысле. Под такими задачами распознавания подразумевают распознавание образов, задачи идентификации и восстановление данных.

Задача распознавания в общем виде сводится к компактному описанию данных и сравнению их с тестовыми объектами для выявления принадлежности по совокупности признаков Ь исследуемого объекта 2 к некоторому классу С/ из известного набора IV:

ь

(12)

В ОСАМ для распознавания на этапе обучения (создания алфавита) определяются признаки Ь как набор коэффициентов разложения А,у данных, представляемых в виде

2=2(2,, 22, ... 2„,1); {2,(1), г2(Ч ... 2„(1)\ ,0<1<т, (13)

отрезками ряда (1) по классическим ортогональным базисам с точностью е

(14)

¿=о

Набор базисных функций {(р,(0} из множества ¡V ортогональных базисов определяет класс и распознаваемого объекта 2. Сравнение коэффициентов разложения (14) и выбор базиса {ср,(/)} реализуется с помощью вычисления коэффициента формы, определяющего сходство (13) и форму первых базисных функций {<р,-(0}-

Раздел 3.3 посвящен элементам прогнозирования процессов и потоков данных. В этом разделе проведён краткий обзор методов прогноза и показано, что в частном случае задача интерполяции22 является задачей прогноза, как и задача восстановления данных или фильтрации помех с помощью спектральных методов [4].

Достоверность прогноза одномерных сигналов можно существенно улучшить, комбинируя разные способы и используя корреляцию исследуемого сигнала с другими параметрами, эволюционирующими на той же временной оси. Так, энергопотребление промышленного предприятия зависит от плана производства, температуры окружающей среды и показателей времени. ОСАМ позволяет выделить характерные периоды для построения прогноза, но вычисление коэффициентов (2) требует специальных методик.

В разделе 3.4 рассмотрено применение структурно-функционального (морфологического) подхода для выбора базиса ОСАМ. Показано, как оптимизировать решение задачи выбора базисных функций с помощью морфологической матрицы [29].

X

Исследуемая система

Yb'u.Vi, ...у,,,)

(ФЭ) (ФЭ) (ФЭ) (ФЭ) - (ФЭ) Структура системы

Рис. 6. Кибернетическое описание "чёрный ящик" (А) и структурно-функциональный подход (Б).

Не все задачи принятия рациональных решений или анализа состояния объекта исследования можно формализовать. Для решения таких "неформализованных" задач выбора и модификации базиса ОСАМ в настоящей работе применялся структурно-

22 Wiener, N. Extrapolation, interpolation, and smoothing of stationary time series / N. Wiener. - N.-Y ■ J.Wiley, 1949. - 170 p.

функциональный подход в сочетании с методом экспертных оценок. Результат работы такого сочетания - основанный на некоторых критериях логический вывод или относительная оценка системы, а не количественный расчёт характеристик, (рис. 6).

Согласно концепции структурно-функционального подхода23, исследуемая система представляет собой набор / независимых функций24 /*", (рис. 6). Конкретная реализация каждой функции представлена одним функциональным элементом (ФЭ) из множества возможных вариантов. Совокупность ФЭ, т.е. набор реализаций функций Т7,-, определяет структуру и функционирование системы в целом.

Основные функции системы формируют морфологическую матрицу (ММ), таб. 1. Функциям исследуемой системы соответствуют столбцы Т7, с любым допустимым количеством вариантов ФЭ. Для сравнительного анализа с использованием экспертов каждому набору ФЭ ставится соответствующая числовая оценка Е.ч, обобщающая экспертные заключения и используемая как целевая функция. После ранжирования в столбцах ММ поиск (синтез) наилучшей оценки возможных сочетаний ФЭ определяет структуру (набор ФЭ) с наивысшими показателями из существующих в ММ. Критерии поиска исключают потерю возможных решений и недопустимые сочетания ФЭ [25, 28].

Д8И Совокупность ФЭ (структура системы). /УУУ} Область поиска наилучшей структуры

после ранжирования ММ. Общие оценки для каждого ФЭ из ММ: 1 к

Е„= — Уа'кЕ^ 'J vl ' К У к k=1

где К' - число ненулевых оценок по К критериям, а'к - нормированный коэффициент показателя качества.

Применение структурно-функционального подхода и ММ в настоящей работе является эффективным инструментом сравнения принципиально разных методов описания сигналов, таких как ОСАМ, вейвлет-анализ или БПФ. Такой подход с помощью структурирования исследуемой системы позволяет перейти от задачи без чёткого формального описания к построению целевой функции и численному поиску квазиоптимального решения [14], что имеет большое значение для модификации ОСАМ, когда требуется подобрать наилучший базис для обработки сигнала.

Четвёртая глава посвящена решению некоторых прикладных задач адаптивной аналитической аппроксимации и сжатия цифровых данных, описанию акустических сигналов и выделению сигнала на фоне мультипликативных помех.

В разделе 4,1 затронуты практические аспекты адаптивной аналитической аппроксимации звуковых сигналов и сжатия информации. Для упрощения описания цифровых данных следует избегать описания затухающего сигнала возрастающими ортогональными базисами и наоборот, также как и аппроксимации затухающих или возрастающих сигналов периодическими функциями. Базис {сpfjnt)}, определенный на конечном или бесконечном отрезках, согласуется с длительностью реального сигнала 5(0 с помощью линейной или нелинейной подстановок, а так же с помощью изменения масштабного коэффициента т, изменяющего «эффективный диапазон» по оси абсцисс.

23 Zwicky, F. Discovery, Invention, Research through the Morphological Approach / F. Zwicky. - N.-Y.: McMillan, 1969.-276 p.

24 Джонс, Дж. К. Методы проектирования / Дж. К. Джонс. - М.: Мир, 1986. - 326 с.

Таб. 1. Морфологическая матрица

фу нкции систем ы

Реализации функций - ФЭ 1 //// У/7/ ///

3 X// '/л 777 77

/'

/

В обоих случаях удачно выбранный т обеспечивает М=Мт,п при необходимой точности аппроксимации. Такая оптимизация возможна с помощью минимизации относительной интегральной квадратичной ошибки 0Л{/л) как функции коэффициента т и длины ряда:

M«) = J

(Т V1

р (t)dt

\S2(t)dt Vo

(15)

S(f)~ ^AJmypJmt)

n=0

где p(/) - весовая функция базиса {ф,(/)}. Минимум Q„(m) задаёт оптимальный масштаб m=mop, при заданной длине N ряда (1):

6Л'(«„„,) = min 0jV (/и). (16)

m> О

Так как 0„(/и) монотонно убывает при увеличении N (хотя её зависимость от m является более сложной14), то при mopt и заданной точности е сокращается и длина ряда.

В данной работе квадрат функции рассматривается как плотность распределения, благодаря чему можно определить эффективную длину функции. Так, эффективная длина функций Jlareppa линейно зависит от порядка образующего её полинома [2]

00

\tL2n(t)e~'dt = 2n + \. (17)

о

Можно показать, что плотность распределения (эффективная длительность) для функций Эрмита имеет более сложную зависимость от п, чем для функций Лагерра:

Rn =22"+1„!3 ¿(1^(Г(* + 1,20£). (18)

¿=о к\

В настоящей работе в качестве начального приближения для решения задачи оптимизации (16) предлагается использовать значение m, полученное согласованием длительности сигнала и эффективной длины базисной функции максимального порядка.

Раздел 4.2 посвящён синтезу и распознаванию звуковых сигналов. Проведённое в рамках настоящей работы сравнение спектрального состава (в смысле гармонического Фурье-анализа) базисных функций Эрмита, Лагерра, Лежандра и некоторых других показывает явное сходство различных акустических сигналов и некоторых базисных функций высокого порядка [14]. Применение специальных функций25, совпадающих по форме с собственными функциями исследуемой системы26, позволяет упростить модель системы [20], генерировать или описывать звуки [2, 16], например речевые фонемы.

В разделе 4.3 описана модель акустического канала, где сигнал при распространении в отсутствии дисперсии испытывает зашумление реверберационными помехами (рис. 7). Рассмотрена возможность обобщения применяемой упрощённой модели для дискретных отражений на другие случаи реверберационных искажений.

Предполагается, что система, содержащая N отражательных поверхностей, преобразует исходный сигнал S(t) в £*(/), что в общем случае можно представить суммой дискретных задержанных импульсов и ослабленного исходного сигнала

S*(/)= o0S'(/) + i;aiS(/-Tf) = £а;5(/-т,.), (19)

i=l i=0

где а, - коэффициенты потерь; т, - задержка во времени одного отражения, N - число пришедших в приёмник отражений. (19) допускает обобщение на случай непрерывного

25 Solodovshchikov, A.Y. An Investigation of the Kahrunen-Loeve Method / A.Y. Solodovshchikov // Journal of Computer and Systems Sciences International. - 2007. - Vol. 46(4). - P. 620-627.

26 Горелик, Г.С. Колебания и волны / Г.С. Горелик. - М.: Физматлит, 1959. - 572 с.

распределения задержек в слабодиспергирующей среде (когда сумма (?-т,) переходит в интеграл27) и движущихся границ (поверхностных волн или течений, рис. 7).

Движущаяся отражающая поверхность

Поверхностные волны

V

Исходный сигнал Источник

Результирующий искажённый сигнал

Приёмник

^"(»-розовый шум |

ЭД I

Неподвижная отражающая поверхность

Рис. 7. Лучевое распространение звука в тонком слое слабодиспергирующей среды с малым затуханием и двумя отражающими границами в приближении мелкой воды (А) и искажения сигнала в виде функции Эрмита 11 порядка двумя отражениями и розовым шумом. Соотношение с/ш=18-;-20 дБ, коэффициенты потерь а1=0,9, а2=0,75, задержки 11=1,12 с, тг=1,72 с.

Раздел 4.4 посвящен описанию предложенной в настоящей работе методики тестирования гидроакустического канала базисными функциями ОСАМ, численного моделирования реверберации звука и восстановлению сигнала на фоне помех [3].

Определение параметров реверберации в данной работе проводится методом тестирования среды28 некоторым сигналом ф„(/) в виде базисной функции на основе классических ортогональных полиномов согласно (19) при отсутствии дисперсии:

* N

<рЛ')=2>гФ« (2°)

1=0

Разложение левой части (искажённого тестового импульса) вида (20) в ряд (1)

оо

фД0=1ЛФ*(0- (2!)

к=о

по системе ортогональных базисных функций {ср*(0} и скалярное умножение (20, 21) на позволяет получить уравнение для функции корреляции Лфф(?) при г=Т;:

G4„-l)|kf =(r-i0)XaiÄÜP(Ti).

(22)

i—\

Тестирование среды 2Ы различными базисными функциями ср„(/) приводит к системе 2N нелинейных уравнений (22), решениями которых являются N коэффициентов потерь а,- и N задержек ту. Использование классических ортогональных функций позволяет найти решения правой части (22) аналитически. В модели с одним отражением согласно (22) коэффициенты а, и задержки т,- являются неизвестными двух нелинейных уравнений [3]

, где а„= Цф„|

у1 ~'о>

(23)

[ат =аЛфф(т)

Способ решения уравнений (23) зависит от вида нелинейности, которая определяется "устройством" корреляционной зависимости Использование в

27 Зверев. В.А. Выделение сигналов из помех численными методами / В.А. Зверев, A.A. Стромков. - Н.Новгород: ИПФ РАН, 2001.-188 с.

28 Зверев, В.А. Измерение параметров трассы распространения импульса в среде с помехами, дисперсией и селективным поглощением / В.А. Зверев, Н.Е. Никитина // Акуст. журнал. - 2006. - № 4. - С. 480-484.

качестве тестовых импульсов ортогональных базисных функций из числа классических позволяет найти аналитическое выражение Лфф(т) и упростить решение (23).

В разделе 4.5 четвёртой главы приведены алгоритмы восстановления исходного сигнала на фоне мультипликативной помехи. Для восстановления исходного сигнала после определения коэффициента потерь а и задержки т в рамках модели (19) с одной отражающей поверхностью (N= 1) можно воспользоваться последовательной итерационной методикой [3] с помощью обратного к (19) преобразования

S(t) = Si'(f)-aS(t-T;), (24)

или применить восстановление сигнала на основе обратного преобразования Лапласа или Фурье, описанное в работах [5, 23].

Восстановление исходного сигнала S(t) из искаженного реверберационными шумами сигнала (19) при помощи итерационного алгоритма происходит в несколько этапов. Пришедший в приёмник сигнал S*(t) на отрезке

t0<t<t0+ т, (25)

представляет собой ослабленный сигнал источника S(t), без примеси отраженного ослабленного сигнала, и при условии 0 < t < т можно принять

S(t) = ST(t). (26)

На отрезке [г, /0+2т] справедливо (24) и S(t) определяется с учётом коэффициента потерь а и значения восстановленного сигнала S(t) на предыдущем отрезке (25). Процедура, аналогичная (24) повторяется (T-t0)/z раз на интервале [/0, 7] с шагом г. Далее при t>T+ т S(t)=0, поскольку время существования исходного сигнала ограничено Т.

В аналитическом алгоритме восстановления сигнала на основе преобразования Фурье образ Fw сигнала S(t) выражается через образ F*a искаженного сигнала S*(t). В общем случае для модели (19), согласно свойствам преобразования Фурье для сдвига

К = (')]= F[S(t)}j:ake-^, (27)

ы о

где j - мнимая единица, к - номер отражения, F[S*(?)] - Фурье-образ смещённого на тк сигнала. Тогда для восстановления сигнала путём обратного преобразования Фурье F

S**(t) = F~l f "

(28)

кк=О

при N= 1, согласно формуле с одной отражающей поверхностью и без затухания (а0=О)

(29)

Для корректного восстановления S (/) требуется определение г с точностью порядка нескольких процентов от fmcL~\ или условие, когда i« fmax~l , где fmax -максимальная частота Фурье-спектра S(t). Если ввести функционал относительной интегральной ошибки 9ад восстановления сигнала S(t), то можно показать, что погрешность определения а в пределах 10-15% согласно упрощённой модели (19) с одним отражением обеспечивает точность восстановления сигнала S(t) порядка 10% (рис. 8). Аналитический алгоритм обладает большей точностью восстановления (от 5 до 20%) и не подвержен накоплению ошибок по сравнению с итерационной методикой, в которой существует зависимость точности восстановления от вида сигнала, отражающая влияние высокочастотных компонент на эффективность итерационного алгоритма.

Рис. 8. Среднеквадратичная относительная ошибка восстановления звукового сигнала длиной 0,8 с (речевая фонема) с аддитивным шумом и одним отражением согласно модели (19) с помощью аналитического алгоритма на основе обратного преобразования Фурье в зависимости от точности определения т и а: 5т, 8а 0+10%, т=0,4 с, а=0,8.

В заключении проанализировано достижение поставленной цели работы и приведены основные результаты диссертации.

1. Впервые системно исследован эффект нарушения ортогональности классических ортогональных многочленов непрерывного аргумента при дискретизации.

2. Показано, что точность численного интегрирования для расчёта коэффициентов разложения в ряд на основе квадратурных формул Гаусса для классических степенных полиномов и функций на их основе превосходит точность известных методов, например, квадратурных формул Котеса нулевого и первого порядка.

3. Установлено, что при вычислении большинства классических функций непрерывного аргумента происходит потеря счётной устойчивости. Представленный в работе алгоритм вычисления базисных функций, исключающий такие эффекты, нетребователен к вычислительным ресурсам и не имеет ограничений на порядок вычисляемых функций.

4. Проведён качественный сравнительный анализ распространенных методов ортогональных преобразований и разработаны рекомендации по использованию структурно-функционального подхода для сравнения различных методов представления сигналов и обработки информации.

5. Предложен алгоритм тестирования гидроакустического канала с помощью классических ортогональных функций непрерывного аргумента для поиска параметров реверберации в слабодиспергирующей среде с малым затуханием в условиях дискретных отражений с возможностью обобщения этой модели на другие случаи реверберационных искажений.

6. Разработаны новые, ранее не использовавшиеся в ОСАМ, процедуры анализа и оптимизации для более эффективной обработки информации на основе технологии поиска рациональных решений с помощью структурно-функционального подхода. В соответствии с практическими теоретическим результатами работы открывается

возможность использования ОСАМ как универсального инструмента для обработки данных разнообразной природы в рамках методологии системного подхода.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, включённых в перечень ведущих периодических изданий ВАК и системы цитирования (библиографические базы)

1. Britenkov, A.K. Stable algorithms of adaptive approximation for acoustic signals description by orthohonal polynomials / A.K. Britenkov, A.N. Pankratov // Physics of Wave Phenomena. - 2004. - Vol. 12(3). - P. 168-174.

2. Панкратов, A.H. Обобщённый спектрально-аналитический метод: проблемы описания цифровых данных семействами ортогональных полиномов / А.Н. Панкратов, А.К. Бритенков // Вестн. ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Серия «Радиофизика». - Н.Новгород, 2004. - Вып. № 1(2). - С. 5-14.

3. Бритенков, А.К. Подавление мультипликативных помех с помощью обобщённого спектрально-аналитического метода в условиях дискретных отражений / А.К. Бритенков, А.Н. Панкратов // Вестн. ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Серия «Радиофизика». - Н.Новгород, 2006. - Вып. № 1(4). - С. 50-57.

4. Бритенков, А.К. Прогноз временных последовательностей с использованием обобщённого спектрально-аналитического метода / А.К. Бритенков, Ф.Ф. Дедус // Вестн. ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Серия «Математическое моделирование. Оптимальное управление». - Н.Новгород, 2012. - Вып. № 5(2). - С. 26-30.

5. Бритенков, А.К. Анализ звуковых и вибрационных сигналов с помощью обобщённого спектрально-аналитического метода / А.К. Бритенков, Н.С. Степанов // Машиностроение и инженерное образование. - 2014. - Вып. № 3. - С. 20-31.

Публикации в сборниках статей и трудов научных конференций

6. Бритенков, А.К. Прогнозирование потребления электроэнергии промышленного предприятия с учётом особенностей обобщённого спектрально-аналитического метода / А.К. Бритенков // Прикладная механика и технология машиностроения: сб. науч. тр. / под ред. В.И. Ерофеева и С.И. Смирнова. - Н.Новгород: Интелсервис, 2012.-№1 (20).-С. 152-161.

7. Бритенков, А.К., Смертин A.A. Использование динамических сигнальных процессоров для изменения стереобазы и звуковой перспективы / А.К. Бритенков, A.A. Смертин // Тр. третьей науч. конф. по радиофизике 7 мая 1999 г. - Н.Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 1999. - С. 194.

8. Бритенков, А.К. Улучшение акустических показателей методом адаптивного гашения / А.К. Бритенков // Тр. четвертой науч. конф. по радиофизике 5 мая 2000 г. -Н.Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2000. - С. 223.

9. Бритенков, А.К. Оптимизация обработки цифровых данных в задачах распознавания на основе ортогональных разложений по модифицированным классическим базисам / А.К. Бритенков // Тр. пятой науч. конф. по радиофизике 7 мая 2001 г. - Н.Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2001. - С. 165.

10. Бритенков, А.К. Описание, анализ и прогнозирование котировок ценных бумаг с помощью обобщённого спектрально-аналитического метода для динамического управления портфелем ценных бумаг / А.К. Бритенков, И.В. Артюхин // Докл. X Всерос. конф. ММРО-Ю «Математические методы распознавания образов», 19-23 ноября 2001, ВЦ РАН при поддержке РФФИ. - М.: АЛЁВ-В, 2001. - С. 167.

11. Бритенков, A.K. Динамическое управление портфелем ценных бумаг на основе оптимального прогноза вектора наблюдений / А.К. Бритенков, И.В. Артюхин // Докл. X Всерос. конф. ММРО-10 «Математические методы распознавания образов», 19-23 ноября 2001, ВЦ РАН при поддержке РФФИ. - М.: АЛЁВ-В, 2001. - С. 165.

12. Бритенков А.К. Свойства классических модифицированных ортогональных базисов в задачах аппроксимации цифровых данных / А.К. Бритенков // Тр. шестой науч. конф. по радиофизике 7 мая 2002 г. - Н.Новгород: ННГУ, 2002. - С. 199.

13. Бритенков, А.К. Обобщённый спектрально-аналитический метод в задачах описания, идентификации и диагностики / А.К. Бритенков // Сб. тр. междисциплинарной науч. конф. с международным участием «Новые биокибернетические и теле-медицинские технологии 21 века для диагностики и лечения заболеваний человека» НБИТТ-21. -Петрозаводск: ПетрГУ, 2002. - С. 61.

14. Конверсия оборонных информационных технологий в экономику, биотехнологию, экологию, социологию, сельское хозяйство и образование / Б.С. Воинов [и др.] // Сб. тр. международ, науч. конф. ВолГТУ «Информационные технологии в образовании, технике и медицине» 24-26 сентября 2002 г. - Волгоград: ВолГТУ, 2002. - Часть 2. -С. 265-268.

15. Бритенков, А.К. Описание акустических сигналов семействами ортогональных полиномов и построение устойчивых алгоритмов адаптивной аппроксимации / А.К. Бритенков, А.Н. Панкратов // Тр. Всерос. IX школы-семинара МГУ «Волны 2004» 24-29 мая 2004 г. Моск. обл. - М.: МГУ, 2004. - С. 15-16.

16. Бритенков, А.К. Адаптивная аппроксимация акустических сигналов ортогональными полиномами высокого порядка / А.К. Бритенков, А.Н. Панкратов // Тр. V Международ, науч.-техн. конф. СПбГТУ «Компьютерное моделирование-2004» и «Виртуальные лаборатории для естественнонаучных дисциплин». - С.Петербург, 29 июня - 3 июля 2004 г. - СПб.: Нестор. - Часть 1. - С. 105.

17. Бритенков А.К. Сравнение распространенных ортогональных преобразований и обобщённого спектрально-аналитического метода на примере ортогональных базисов непрерывного аргумента из числа классических / А.К. Бритенков // Тр. XIII науч. конф. по радиофизике 7 мая 2009 г. - Н.Новгород: ННГУ, 2009. - С. 120-121.

18. Бритенков, А.К. Исследование возможностей обобщённого спектрально-аналитического метода в задачах прогноза временных последовательностей электропотребления предприятия / А.К. Бритенков, Д.В. Егоров // Науч. тр. Международ, молодеж. науч. конф. МАТИ-РГТУ «XXXVI Гагаринские чтения» 6-10 апреля 2010 г. (в 8 томах). - М.: МАТИ, 2010. - Т. 1. - С. 150.

19. Britenkov, A. Forecasting of time series by classical orthohonal functions in regression models / A. Britenkov // Proc. of the 8 Open German-Russian Workshop «Pattern Recognition and Image Understanding» OGRW-8-2011, November 21-26, 2011. -N.Novgorod: Lobachevsky State University, 2011. - P. 28-30.

20. Бритенков, A.K., Описание нелинейных колебаний с помощью классических ортогональных функций непрерывного аргумента / А.К. Бритенков, Ф.Ф. Дедус // Науч. тр. VIII Всеросс. конф. «Нелинейные колебания механических систем» 24-28 сентября 2012 г. - Н.Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2012. - С. 155-162.

21. Бритенков, А.К. Некоторые особенности акустических приложений обобщённого спектрально-аналитического метода / А.К. Бритенков, Н.С. Степанов, А.Н.

Панкратов// Тр. XVII науч. конф. по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения B.C. Троицкого 13-17 мая 2013. - Н.Новгород: ННГУ, 2013. - С. 261-263.

22. Бритенков, А.К. Особенности применения обобщённого спектрально-аналитического метода для описания и обработки сигналов в вибро-акустических задачах / А.К. Бритенков // Тр. Юбилейной XXV международ, науч. инновационно-ориентированной конф. молодых учёных и студентов МИКМУС-2013 13-15 ноября 2013 г. - М.: ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова, 2013. - С. 33-37.

23. Бритенков, А.К. Исследование акустических сигналов в условиях мелкой воды обобщённым спектрально-аналитическим методом / А.К. Бритенков, Н.С. Степанов, К.В. Власова // Тр. XVIII науч. конф. по радиофизике, посвященной Дню радио. 13-20 мая 2014 г.- Н.Новгород: ННГУ, 2014. -С. 187-189.

Научно-методические публикации, разделы в монографиях

24. Экосоциум. Разработка проблемно-ориентированной программы подготовки для специальности «Информационные системы (радиофизика, телекоммуникации)» / А.К. Бритенков [и др.] // под ред. Ю.М. Сорокина. - Н.Новгород: ННГУ, 1997. - 64 с.

25. Бугров, В.Н. Экспертная и вычислительно-поисковая системы синтеза новых решений. Общие положения / В.Н. Бугров, А.К. Бритенков // Глава 4.1 в кн. Б.С.Воинова «Информационные технологии и системы». Кн. 1. Методология синтеза новых решений. - Н.Новгород: ННГУ, 2001. - С. 231-241.

26. Бугров, В.Н. Программные средства экспертной системы ИНВЕСТОР выбора инвестиционных проектов в предпринимательстве / В.Н. Бугров, А.К. Бритенков, Б.С. Воинов // Приложение в кн. Воинова Б.С. «Информационные технологии и системы». Кн. 1. Методология синтеза новых решений. - Н.Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2001. - С. 368-370.

27. Бритенков, А.К. Экспертная система ИНВЕСТОР выбора инвестиционных проектов в предпринимательстве и решение задач для их поддержки / А.К. Бритенков // Раздел 7.3 в кн. Воинова Б.С. «Информационные технологии и системы». Кн. 2. Прикладные и системные исследования. - Н.Новгород: ННГУ, 2001. - С. 81-85.

28. Бугров, В.Н. Экспертные и вычислительно-поисковая системы синтеза новых решений / В.Н. Бугров, А.К. Бритенков // Раздел 4.1. в кн. Б.С. Воинова «Информационные технологии и системы: поиск оптимальных, оригинальных и рациональных решений». - М.: Наука, 2003. - С. 231-242.

29. Бугров, В.Н. Экспертные и вычислительно-поисковая системы синтеза новых решений. Общие положения / В.Н. Бугров, А.К. Бритенков // Раздел 4.1. в кн. «Информационные технологии и системы: поиск оптимальных, оригинальных и рациональных решений», Б.С. Воинов, В.Н. Бугров, Б.Б. Воинов. - М.: Наука, 2007. -С. 231-242.

30. Бритенков, А.К. Экспертная система ИНВЕСТОР выбора инвестиционных проектов в предпринимательстве и решение задач для их поддержки / А.К. Бритенков // Раздел 7.3. Там же. - С. 434-439.

31. Бугров, В.Н. Программные средства экспертной системы ИНВЕСТОР выбора инвестиционных проектов в предпринимательстве / В.Н. Бугров, А.К. Бритенков, Б.С. Воинов // Приложение 7. Там же. - С. 603-605.

А также 17 публикаций в сборниках материалов и тезисов докладов

международных и всероссийских научных конференций общим обёмом 1 п.л.

Подписано в печать 2.12.2014 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 722. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ННГУ им. H.H. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37