автореферат диссертации по технологии, машинам и оборудованию лесозаготовок, лесного хозяйства, деревопереработки и химической переработки биомассы дерева, 05.21.01, диссертация на тему:Обоснование оптимальных траекторий при работе гидроманипуляторов лесотранспортных машин с пропорциональным управлением



V»4

* На правах рукописи

Теппоев Алексей Викторович

ОБОСНОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ПРИ РАБОТЕ ГИДРОМАНИПУЛЯТОРОВ ЛЕСОТРАНСПОРТНЫХ МАШИН С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

05.21.01. - Технология и машины лесного хозяйства и лесозаготовок

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург -1999

Работа выполнена на кафедре проектирования специальных лесных машин и на кафедре технологии лесозаготовительных производств Санкт-Петербургской лесотехнической академии

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Андреев В.Н.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Балихин В.В. кандидат технических наук, доцент Фаст В. И.

Ведущая организация - Государственный Карельский

научно-исследовательский институт лесной промышленности (КарНИИЛП)

Защита диссертации состоится « 8 » февраля 2000 г. в

_на заседании диссертационного Совета Д.063.50.01 в

Санкт-Петербургской лесотехнической академии /194018, Санкт-Петербург, Институтский пер. 5, главное здание, зал заседаний/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат разослан « »_1999 г.

Ученый сефетарь .

диссертационного Совета, /"Ч.

доктор технических наук, профессор^/}*^ уГ.М. Анисимов

^ О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы,

В настоящее время основной целью научно-технического прогресса лесного хозяйства и лесной промышленности является разработка и внедрение прогрессивных технических и технологических решений, обеспечивающих максимальное повышение производительности труда и создание условий для рационального использования всей биомассы дерева при минимальном воздействии машин на лесную среду и оператора.

Осуществляемый повсеместно переход на сорти-ментную технологию лесозаготовок обуславливает увеличение роли лесотранспортных машин (форвардеры, авто-мобили-сортиментовозы) в общем числе техники, работающей в лесу.

В настоящее время проблема надежности лесозаготовительных машин все чаще выходит на первый план в области развития современной техники, созданной для работы в лесу. Это связано с интенсификацией рабочих процессов, повышением нагрузок, скоростей, давлений в гидроприводе, уменьшением веса и габаритов конструкций. Кроме того, высокие цены на новую закупаемую технику и темпы инфляции делают естественным стремление обеспечить максимальный срок службы эксплуатируемой техники.

Возникшая в последнее время устойчивая тенденция к удорожанию энергоносителей заставляет руководителей предприятий и владельцев лесозаготовительной техники серьезнее подходить к вопросу экономии топлива.

В последние годы не только зарубежные, но и отечественные производители технологического оборудования лесозаготовительной техники стали оснащать манипуляторы пропорциональной системой управления. Однако, осо-

бенности функционирования манипуляторов с пропорциональной системой управления изучены сравнительно мало.

Цель работы. Повышение эффективности функционирования манипуляторного погрузочно-разгрузочного технологического оборудования лесных машин путем снижения энергоемкости рабочего цикла и увеличения среднего ресурса за счет улучшения характеристик траектории движения гидроманипулятора.

Объекты и методы исследования. Объектом экспериментальных исследований являлся гидроманипулятор Loglift 70S, оснащенный пропорциональной системой управления и установленный на лесотранспортной машине. Теоретически исследовались полученные в результате эксперимента параметры траектории движения, энергозатрат и нагруженности манипулятора.

Научная новизна работы. Научная новизна работы заключается:

- в полученных результатах экспериментально-статистического анализа характеристик траектории гидроманипулятора лесотранспортной машины с пропорциональным управлением в реальных условиях эксплуатации;

- в построении математической модели, описывающей функционирование технологического оборудования, основанной на представлении процесса в виде дискретной марковской цепи;

- в разработке экспериментально-теоретическая методики определения энергозатрат и нагруженности гидроманипулятора с пропорциональной системой управления;

- в выявлении влияния различных факторов на оптимальные характеристики траектории с помощью методов теории чувствительности.

Значимость для теории и практики. Для теории имеет значение:

- методика определения оптимальных характеристик траекторий движения манипулятора на основе математической модели управляемой дискретной марковской цепи и определение матриц переходных вероятностей и расходов;

Для практики имеют значение:

- закономерности и уровень динамической нагруженное™ гидроманипулятора лесотранспортной машины в реальных условиях эксплуатации;

- рекомендации по оптимальному управлению циклами погрузки и разгрузки для последующей автоматизации рабочего процесса.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались: на научно-технических конференциях КарНИИЛПа (г. Петрозаводск) и ЛТА (Санкт-Петербург).

Публикации. По материалам диссертации имеется три печатные работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, основных выводов и рекомендаций, списка литературы и приложений. Общий объем работы - 110 е., из них: 105 страниц машинописного текста, 40 рис., 10 табл., список литературы - 86 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы и основные научные положения, выносимые на защиту.

1. Общее состояние вопроса и задачи исследования.

В разделе изложены общие вопросы механизации лесозаготовок, рассмотрено влияние системы управления гидроманипулятором на показатели функционирования лесных машин и проведен анализ публикаций.

Наиболее известные исследования в области определения динамической нагруженности лесосечных машин с гидроманипуляторами в процессе его взаимодействия с предметом труда проведены Александровым В.А,, Артамоновым Ю.В., Бариновым К.Н., Виногоровым Г.К., Жуковым А.В., Кочегаровым В.Г., Орловым С.Ф и др. В проведённых этими авторами исследованиях доказано, что движения элементов гидроманипулятора при разгоне, торможении, резкой смене направления движения рабочего органа являются наиболее опасными и напряженными периодами рабочего цикла с точки зрения динамической нагруженности конструкции. Влияние системы управления гидроманипулятором ЛЗМ на его работу изучено сравнительно мало. Не решена задача определения оптимальной траектории движения манипулятора

На основании проведённого анализа опубликованных работ можно сделать следующие выводы: 1. Проведенные в последние годы исследования ряда авторов показали, что применение систем пропорционального управления позволяет существенно повысить эффективность работы как гидроманипулятора, так и машины в целом.

2. Технологические операции погрузки и разгрузки гидроманипулятором бункера сортиментовоза обладают специфическими особенностями, обусловленными характером взаимодействия манипулятора и предмета труда, и отличающими их от технологических циклов гидроманипуляторов других ЛЗМ.

3. В настоящее время наиболее полно исследована динамическая нагруженность гидроманипуляторов ЛЗМ при выполнении таких технологических операций как валка дерева, сбор пачки, пакетирование. Технологический цикл операций погрузки и разгрузки автомобиля-сор-тиментовоза изучен сравнительно мало. Отсутствуют исследования нагруженное™ гидроманипулятора ЛТМ с пропорциональным управлением в реальных условиях эксплуатации.

4. Учитывая неконкурентоспособность отечественных машин с зарубежными аналогами задача определения оптимальной траектории движения манипулятора представляется весьма актуальной.

Задачи исследования. В соответствии с поставленной целью работы определены следующие основные задачи исследования:

1. провести экспериментальные исследования нагру-женности гидроманипулятора ЛТМ с пропорциональным управлением в реальных условиях эксплуатации.

2. разработать методику определения оптимальной траектории движения гидроманипулятора ЛТМ по критериям минимальной потребляемой мощности и максимального среднего ресурса.

3. на основании теоретического и экспериментального анализа нагруженности и энергозатрат гидроманипулятора сортиментовоза разработать техноло-

гические рекомендации, направленные на повышение эффективности функционирования ЛТМ.

4. проанализировать влияние различных факторов на полученное оптимальное решение.

2. Экспериментальное исследование гидроманипулятора сортиментовоза с пропорциональным управлением.

В разделе изложены цель, задачи и методика экспериментальных исследований, характеристики условий и объекта испытаний, подготовка и порядок проведения эксперимента, контрольно-измерительные приборы и обработка полученных данных.

Целью экспериментальных исследований являлось определение уровня динамической нагруженности гидроманипулятора лесотранспортной машины с пропорциональной системой управления. Исследования проводились на территории лесного порта г. Санкт-Петербурга в весенне-летний период. Условия испытаний достаточно полно соответствовали природе функционирования манипулятора сортиментовоза в реальных условиях эксплуатации. В процессе исследований производилась запись следующих параметров: давлений в гидроцилиндрах стрелы и рукояти манипулятора, углов наклона стрелы и поворота рукояти, напряжений в опасных сечениях металлоконструкции. Во время основного этапа экспериментальных исследований машина работала в обычном технологическом режиме погрузки и разгрузки сортиментов. Угол поворота манипулятора в горизонтальной плоскости в ходе всего эксперимента не изменялся и был равен я/2. Для упрощения дальнейшей обработки данных телескопический удлинитель рукояти был зафиксирован в полностью втянутом положении. Захват пачки сортиментов при погрузке и укладка пачки при

разгрузке производилась на максимально возможном вылете (стрела и рукоять в линию).

Для обеспечения автоматизированной обработки полученных результатов эксперимента необходимо записанные на осциллограмме изменения углов поворота и процессов напряжения представить в цифровой форме. Это было осуществлено путем квантования записи осциллограммы с постоянным шагом с последующим считыванием значений и последующей записью в цифровой форме. При таком подходе функции изменяемых параметров имеют кусочно-линейный характер. Дальнейшая машинная обработка результатов осуществлялась с использованием программных средств Microsoft Excel, STATISTICA и Statgraphics V.2.1.

На основании анализа результатов эксперимента было установлено, что давления в гидроцилиндрах и максимальные напряжения в металлоконструкции и значения углов в сечениях случайных процессов a(t) и ß(t) подчиняются нормальному законому распределения.

3. Экспериментально-теоретический анализ характеристик функционирования гидроманипулятора с ПСУ

В разделе проводится анализ полученных экспериментальных данных - анализ траектории движения манипулятора, определение энергозатрат и оценка среднего ресурса металлоконструкции.

Обработка зависимостей углов поворота звеньев манипулятора от времени показала, что они представляют собой совокупность реализаций двух случайных процессов (по углу а и углу ß). Предварительный анализ экспериментальных зависимостей показал, что в данном случае мы имеем дело со СП с непрерывными состояниями и временем и вероятностной связью только между предыдущим и последующим моментами времени (отсутствием последей-

ствия). Подобная особенность СП называется марковским свойством. Для проведения оптимизации и составления целевых функций было бы целесообразным приведение непрерывных СП а(1:) и Р(1) к дискретным, называемым случайными последовательностями. Для этого необходимо рассматривать вероятностные характеристики СП лишь в выбранные дискретные интервалы времени. При этом случайная последовательность, обладающая марковским свойством, образует дискретную марковскую цепь (ДМЦ). Как известно, ДМЦ является заданной, если заданы: вектор начальных вероятностей:

= (Р01,Р02*-Р0я)

и матрица переходных вероятностей:

Pu Pu — Pin

(1)

Щп] =

Pli Pli

Pn\ Pnl

Pin

Ptm

(2)

В данном случае, как указывалось выше, диапазоны изменения углов аи|3 разбивались на 5 интервалов. Таким образом, каждый случайный процесс (т. е. и по а и по Р) представляет собой ДМЦ с пятью состояниями (/7=5). Соответственно, и вектор начальных вероятностей и переходная матрица имеют размерность п=5.

Для построения целевых функций удобнее иметь переходные матрицы, моделирующие сразу два события: изменение угла а и угла р одновременно. Такая матрица может быть образована путем расширения состояний. Для случая, когда между a(t) и P(t) имеется вероятностная связь для построения матрицы необходимо иметь значе-

ния условных вероятностей Р(а/р) или Р(р/а). Тогда значе-

ния расширенных вероятностей ДМЦ определятся по формуле:

Р{а13)=Р(а1 Р)-Р{а) (3>

Соответственно, матрица переходных вероятностей определится как:

<4>

В качестве показателя эффективности; была выбрана мощность, потребляемая гидроманипулятором в процессе работы.

Общую мощность, потребляемую гидроприводом, разложим на мощность, затрачиваемую на изменение вылета (работа гидроцилиндров стрелы и рукояти) и мощность, затрачиваемую на поворот манипулятора.

Для определения мощности, затрачиваемой гидроприводом манипулятора на изменение вылета в каждом из. состояний воспользуемся формулой

(5)

Рс Рр - давление в гидроцилиндрах стрелы и рукояти соответственно; Ус, Ур - скорости движения штоков гидроцилин-

2

ров; Рр - площадь действия давления _ л-Р при!

4

работе поршневой полостью, Р _ ^{р2 -¿2) При работе

4

штоковой полостью); . Значения давлений, действующих в гидроцилиндрах, и скоростей штоков определялись по осциллограммам, полученным в результате эксперимента.

Мощность, затрачиваемую гидроприводом на поворот манипулятора определим через момент поворота. Момент поворота гидроманипулятора определим по формуле:

м ,0.0^+0.016^0 (6)

«И 7\ ■ Кип

где Мцзг - изгибающий момент; (?пр - приведенная вертикальная нагрузка от поворотной части колонны, манипулятора, рабочего органа и предмета труда на опорно-гловоротное устройство; В0 - диаметр опорной части; у! -угол наклона контактной линии к горизонту; гмп - передаточное отношение механизма поворота.

Усилие на штоке гидроцилиндра поворота определим по формуле:

м„ (7)

К =

с1/ 2

где б - диаметр шестерни механизма поворота.

Скорость штока гидроцилиндра механизма поворота будем считать постоянной:

V =г-а/2 (8)

X

где 7 - угол поворота манипулятора. Как указывалось во второй главе угол поворота во время эксперимента был равен 71/2.

* - время поворота манипулятора. Мощность, затрачиваемая на поворот:

О)

Общая мощность, потребляемая гидроприводом, определится как сумма:

# = + (10) В результате расчетов получен взвешенный граф состояний гидроманипулятора ЛТМ для циклов погрузки и разфузки. На нем показаны цены возможных в процессе работы переходов гидроманипулятора из состояния в состояние. Под ценой в данном случае понимается мощность, потребляемая при переходе Л/*.

В качестве показателя долговечности гидроманипулятора рассматривается его средний ресурс. Для его определения используются экспериментальные данные о нагружен-

нюсти металлоконструкции в процессе эксплуатации и данные о параметров кривой усталости, полученные для аналогичных конструкций. Достижение предельного состояния определяется на основе гипотезы суммирования усталостных повреждений:

где V - мера повреждения; щ - число блоков с характеристикой О/, N(0) - числа блоков, соответствующих исчерпанию ресурса при постоянном - характеристика блока (уровень нагруженное™ и спектральные свойства блока нагружения). В качестве блоков нагружения использовались данные о нагруженности гидроманипулятора в состояниях, характеризуемых углами аир, полученными при проведении экспериментальных исследований. Средний ожидаемый ресурс для каждого состояния пидромани-пулятора и возможных переходов из состояния в состояние рассчитывался в соответствии с параметрами кривой усталости, принятом методе схематизации процесса нагружения и законе распределения действующих нагрузок. Для нормального распределения действующих напряжений и схематизации процесса нагружения по методу максимумов значение среднего ресурса определяется ¡по формуле:

где 1Г - средний ресурс гидроманипулятора при нахождении его в состоянии 5/, ч; 'о-а - дисперсия процесса нагружения в состоянии Д, МПа;; ап - предел выносливости конструкции при нахождении пидроманипулятора в со-

к

(11)

I

(12)

стоянии Si и заданном коэффициенте асимметрии, МПа; ©- средний период процесса нагружения по нулям, ч; щ -коэффициент вариации процесса нагружения в состоянии! Я.

В результате расчетов получен взвешенный граф состояний гидроманипулятора Л71М для циклов погрузки И! разфузки. Под ценой в данном случае понимается средний ресурс металлоконструкции при действии на нее нагрузок, возникающих при переходе Ы\

4. Определение оптимальных траекторий работы гидроманипулятора с ПСУ

Раздел посвящен определению оптимальной стратепии! движения щдроманипулятора лесотранспортной машины! по критериям потребляемой мощности и долговечности! конструкции.

Оптимизация траектории движения гидроманипулятора ЛТМ производилась методами детерминированного и стохастического динамического программирования. Существует набор стратегий,, которыми можно воспользоваться в том! или ином состоянии. В совокупности они составляют вектор управления для операции в целом.

где п - число этапов до завершения операции.

Эффективность операции будет складываться из выигрыша на отдельных этапах Щ.

т^-Ы <14>

«¿=1

В результате оптимизации траектории движения манипулятора были получены два оптимальных решения: по потребляемой мощности и по среднему ресурсу. При этом1 средняя потребляемая мощность для цикла погрузки составляет 18,4 кВт, для цикла разгрузки - 18,8 кВт, а сред-

ний ресурс для цикла погрузки - 7158 моточасов, для цикла разгрузки - 6942 моточаса. Компромиссное решение находится методом условного центра масс. В каждом из состояний манипулятора производится расчет условных масс пошаговых стратегий, определяющихся как сумма условных масс обоих показателей эффективности. В общем виде выражение для определения условной массы / -той стратегии выглядит так:

_ 1__, / + 1_

~ ■ (15)

1

7 = 1

ту<Г{8)

где ¡"¿-(з) - условная масса/'-той стратегии; Г -выигрыш по среднему ресурсу при применении управления

N Л - выигрыш по потребляемой мощности при применении управления ¿1* (5); п - количество возможных

оптимальных стратегий по потребляемой мощности и среднему ресурсу для данного состояния.

Компромиссные траектории движения манипулятора, полученные методом УЦМ, представлены на рис. 1. (а, б). Недостатком метода ДП является то, что он не позволяет учитывать все многообразие ситуаций, встречающихся при работе манипулятора. Необходимо принять в расчет вероятностную природу функционирования гидроманипулятора ЛТМ, т. е. вероятности попадания его в те или иные состояния, а также вероятности перехода из состояния в состояние. В данном случае оптимизация производится с использованием итерационного метода СДП. Этот метод позволяет найти оптимальное решение за конечное число шагов, каждый из которых состоит из двух частей: определения

весов и улучшения полученного решения. Под весом v(n) здесь понимается полная мощность, потребная на выполнение л переходов из состояния в состояние, образующих полный цикл погрузки (разгрузки) пачки сортиментов в бункер автопоезда, если начальным является состояние а).

а \ шиш 152-112* 1244В sa-а 35-40 ОНИ Я6-Ш 124-132 193-11)0

130-118 «

115-102 • * • • /Ч • ■ <Ф •

102-88 1 « / • \ <• •

08-74 • • * Л ч •

74-00 / \

б).

'V а > 40-ва 684» яв-ш 1»132 '! 52.150 152*124 124-1» BMU

12W10 « • • Ш 1 « « II •

11И0С \ у

10040 Л \ • « 9 1 / 9

ВМС » • \ * У i» »

B07Q • • щ ■ Щ - •

Рис. 1. Компромиссные траектории движения манипулятора, а), для цикла погрузки; б), для цикла разгрузки.

Величины должны удовлетворять рекуррентным соотношениям:

где g - угловой коэффициент прямой У((л) , т.е. потребляемая мощность для всего цикла; р^ - вероятности переходов; - непосредственно ожидаемый на /" -том шаге доход при применении стратегии к.

Составив уравнения типа (16) для каждого состояния и решив полученную систему, получим вектор управления (¡(п), который содержит набор стратегий для каждого состояния. Затем, с использованием оптимальных весов предыдущего решения производится улучшение вектора й(п). Первый этап позволяет определить веса как функцию решения, а второй дает возможность найти новое решение, как функцию весов. Итерационный цикл начинается с любого этапа и прекращается, если решения для двух соседних итераций совпадут.

В результате оптимизации по методу СДП получены оптимальные траектории движения манипулятора для циклов погрузки и разгрузки, представленные на рис. 2 (а, б). Средняя потребляемая мощность при применении данного оптимального управления составит для цикла погрузки 18,4 кВт, для цикла разгрузки - 19,1 кВт.

Проведенный анализ чувствительности оптимального решения к варьированию исходных параметров показал, что наибольшее влияние на потребляемую мощность и средний ресурс оказывают вероятности переходов в начальных и конечных состояниях циклов.

Основные выводы и рекомендации.

1. На основании проведенного анализа состояния вопроса и общих тенденций развития гидроманипуляторного технологического оборудования ЛЗМ установлено, что

применение систем пропорционального управления позволяет существенно повысить эффективность работы.

2, В ходе проведенного экспериментального исследования выявлено, что наиболее неблагоприятным режимом функционирования гидроманипулятора ЛТМ с пропорциональным управлением в реальных условиях эксплуатации является разгрузка бункера сортиментовоза.

а).

а\ 180-182 102-124 1244И вма аачо бма 88-124 124-162 152-180

130-118

116-102 ф • « « • • »

102« • • • / \ ■ • •

86-74 • • « • N • •

74-00 У \

б).

а\ «о-ва ВМ8 85-124 124-152 132-110 152-124 124-И вв-ва М-40

129-110 I '

110-1 оо

юмо • • • » • / •

• • • • • •

80-70 • « • т * «

Рис. 2. Оптимальные траектории движения манипулятора, полученные методом СДП. а), для цикла погрузки; б), для цикла разгрузки.

3. Сравнительный анализ динамической нагруженности гидроманипулятора ЛТМ с пропорциональной системой управления и его аналогов с релейной системой управления показал, что максимальные напряжения в металлоконструкции во время работы снижаются на 10-12%, что благоприятно сказывается на долговечности.

4. Экспериментально-теоретический метод позволяет получить исходные данные для определения оптимальных характеристик траектории в виде переходных матриц динамических марковских цепей, что в сочетании с матрицами энергоемкости и напряжений позволило использовать метод стохастического динамического программирования.

5. В результате оптимизации траектории движения гидроманипулятора методом динамического программирования были получены два оптимальных решения: по потребляемой мощности и по среднему ресурсу. Для получения компромиссного решения использовался метод условного центра масс. С его помощью определялась оптимальная стратегия управления для каждого состояния манипулятора. При этом для цикла погрузки ожидаемый средний ресурс составил 7248 моточасов, средняя потребляемая мощность 19,1 кВт за цикл, для цикла разгрузки ожидаемый средний ресурс составил 6953 моточасов, средняя потребляемая мощности 9,6 кВт за цикл.

6. Для повышения адекватности модели функционирования гидроманипулятора при оптимизации стратегии управления целесообразно применять метод стохастического динамического программирования. Сравнение результатов применения динамического и стохастического динамического программирования показывает, что учет случайных факторов позволяет получить уточненные данные по параметрам оптимальных траекторий,

при этом средний ресурс возрастает на 10-11%, а потребляемая мощность снижается на 8-9%.

7. В результате анализа чувствительности оптимальной стратегии управления к вариации исходных данных установлено, что наибольшее влияние на потребляемую мощность и средний ресурс оказывают вероятности переходов в начальных и конечных состояниях циклов.

8. Результаты оптимизации траектории движения гидроманипулятора могут служить основой для автоматизации управления технологическим оборудованием ЛТМ.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

Теппоев A.B. Методика и аппаратура для исследования гидроманипулятора с пропорциональным управлением. Межвуз. сб. науч. тр., С-Пб., ЛТА, 1999. с. 97-100. Теппоев A.B. Оценка влияния типа и параметров гидрораспределителя на эффективность работы оператора лесозаготовительных машин. // Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции. Петрозаводск, 1998. с.26-27.

Теппоев A.B. Экспериментальное исследование гидроманипуляторов с пропорциональным управлением. // Тезисы докладов молодых ученых на научной конференции, посвященной 200-летию лесного департамента России. С-Пб., ЛТА, 1998.с. 57-58

Просим принять участие в работе диссертационного Совета Д.063.50.01 или прислать Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах с заверенными подписями по адресу: 194018, Санкт-Петербург, Институтский пер., 5, Лесотехническая академия, Ученый Совет.

Лицензия ЛР № 020578 от 04.07.97.

Подписано в печать с оригинал-макета 12.11.99, Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Уч.-изд.л. 1,0. Печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 246. С28а.

Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия Издательско-полиграфический отдел СП6ЛТА 194021, Санкт-Петербург, Институтский пер., 3