автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Обобщенные когерентные меры риска и их применение в задачах принятия решений

На правах рукописи

МАРТЫНОВА Татьяна Алексеевна

Обобщенные когерентные меры риска и их применение в задачах принятия решений

05 13 01 — системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям информация, вычислительная техника и управление)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 Ш 2007

Красноярск - 2007

003060098

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН (г Красноярск)

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

Новоселов Аркадий Арсеньевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Смирнова Елена Валентиновна

кандидат физико-математических наук, доцент Слонова Лидия Адольфовна

Ведущая организация- Томский государственный университет (г Томск )

Защита диссертации состоится 25 мая 2007 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212 099 06 ФГОУ ВПО "Сибирский федеральный университет" по адресу ул академика Киренского, 26, Красноярск, 660074, ауд Д 501

Факс (3912) 43-06-92 (СФУ ПИ, для каф САПР)

E-mail sovet@front ru

Телефон (3912) 91-22-95 (СФУ ПИ, каф САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Политехнического института ФГОУ ВПО "Сибирский федеральный университет"

Автореферат разослан апреля 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, доцент

^J^T САБронов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Математическая теория риска имеет многочисленные приложения к различным областям человеческой деятельности, в которых решения принимаются в условиях неопределенности В финансовой области можно выделить такие приложения как банковское дело, страхование, управление рыночными и кредитными рисками, рисками инвестиций Во всех этих областях после подбора, анализа статистической информации и построения прогнозов последнее слово остается за лицом, принимающим решение. И здесь возникает проблема измерения риска таким образом, чтобы это согласовывалось с индивидуальными предпочтениями лица, принимающего решение.

Одним из способов количественного описания предпочтений на множестве вероятностных распределений является построение вещественного функционала, называемого мерой риска

Среди всего многообразия используемых в настоящее время мер риска можно выделить прежде всего классические меры риска - математическое ожидание и дисперсию С настоящее время эти меры риска в основном используются в совокупности, составляя критерий оценки риска "среднее-дисперсия" Впервые данный критерий был применен Г Марковичем для решения задачи выбора оптимального портфеля Разновидности данного критерия активно используются в портфельном и инвестиционном анализе В качестве примера можно привести критерий Шарпа, на основе которого была модель ценообразования САРМ (Capital Asset Pricing Model) К сожалению, в случаях, когда распределение случайных величин далеко от нормального, измерение риска дисперсией уже не является эффективным

Существенным прорывом в решении проблемы количественного измерения риска стала теория ожидаемой полезности, основоположниками которой были Дж фон Нейман и О Моргенштерн Предложенная ими модель является более гибкой относительно индивидуального отношения к риску Эта гибкость связана с наличием в модели функции полезности, которая отражает предпочтения лица, принимающего решения

Именно в рамках теории ожидаемой полезности Дж Праттом и К Эр-роу было введено такое важное понятия как "неприятие риска" и предложены количественные его характеристики Однако мера ожидаемой полезности представляет предпочтения, обладающие линейной структурой, которые на практике встречаются довольно редко, что подтверждается парадоксами М Алле и П Сэмуэльсона

В плане представления нелинейных предпочтений перспективными явля-

ются когерентные меры риска, которые 1999 г предложили Ф Арцнер, Ф Делбаен, Ж -М. Эбер и Д Хиф В качестве примеров когерентных мер риска можно привести функционал возмущенной вероятности Ш Вонга и меру Expected Shortfall К Ачерби

Практически сразу после появления когерентных мер риска стали предлагаться различные их модификации, такие как выпуклые меры риска, введенные Г Фолмером и А Шидом и меры риска Р Джарроу и А Пурнананда-ма, названные авторами обобщенными когерентными мерами риска Однако строго говоря их нельзя считать обобщением когерентных мер в виду того, что они позволяют оценивать лишь неприемлемые для инвестора риски

Обобщение когерентных мер согласно подходу Джарроу и Пурнанандама было продолжено А А Новоселовым Предложенные им меры являются действительным обобщением когерентных мер и в дальнейшем именно их мы будем называть обобщенными когерентными мерами риска Они являются более гибким инструментом для представления индивидуальных предпочтений, так как предпочтения задаются не только с помощью разделения рисков на приемлемые и неприемлемые (как при построении когерентных мер), но и с помощью указания формы единичной сферы в пространстве рисков

Автором указан способ задания функционала по определенному аксиоматически множеству приемлемых для индивидуума рисков и норме в пространстве рисков, и доказана теорема о представлении меры риска

Однако вычисление функционала непосредственно с помощью этой теоремы представляет весьма трудоемкую задачу, что неудобно при решении задач принятия решений В связи с этим встает вопрос об эффективности использования обобщенных когерентных мер риска на практике

Научная проблема данного исследования состоит в необходимости построения математического аппарата, позволяющего за приемлемое время вычислять обобщенные когерентные меры риска для различных предпочтений Объектом исследования является класс обобщенных когерентных мер риска и соответствующие им множества приемлемых рисков, а предметом исследования выступает аксиоматическое описание функционала, методика вычисления значений меры риска для различных отношений предпочтения и возможность применения данного функционала в задачах принятия решений в условиях неопределенности

Целью работы является построение аксиоматического описания обобщенных когерентных мер риска, разработка методов вычисления значений функционала меры риска для предпочтений индивидуума, заданных множествами приемлемых рисков и нормами в пространстве рисков, а также исследование возможности применения данной меры риска в задачах принятия

решений

Исходя из цели работы были определены задачи исследования

1) Создать аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска

2) Получить аналитическое представление для конуса приемлемых рисков и создать алгоритм построения двойственного конуса

3) Применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для создания процедуры вычисления функционала по построенному двойственному конусу и норме, заданной в пространстве рисков

4) На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрировать возможность использования обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений

Основная идея диссертации состоит в применении методов выпуклого анализа для построения взаимосвязей между множеством приемлемых рисков, представляющим предпочтения индивидуума, и двойственным конусом, что позволит применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для непосредственного вычисления значений функционала

Методы исследования основаны на использовании элементов теории вероятностей, линейной алгебры, функционального анализа и методов выпуклого анализа

Основные новые научные результаты, выносимые на защиту.

1) Создано аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска

2) Получено представление множества приемлемых рисков в виде конуса, задаваемого с помощью системы линейных неравенств при сформулированных ограничениях на коэффициенты Создан алгоритм построения двойственного конуса к конусу приемлемых рисков

3) Создан алгоритм решения задачи оптимизации на двойственном конусе, позволяющий вычислять значения соответствующей обобщенной когерентной меры риска

4) На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрирована возможность применения обобщенной когерентной меры риска в задачах принятия решений в условиях неопределенности

Значение для теории заключается в построении целостной аксиоматики обобщенных когерентных мер риска, которые позволяют количественно

оценить риск для различных нелинейных отношений предпочтения, а также в создании метода вычисления указанных мер риска

Значение для практики Благодаря разработанному методу вычисления значений обобщенной когерентной меры риска, эта мера может быть применена при решении прикладных задач, например, таких как задача формирования портфеля ценных бумаг Данная мера риска является гибким инструментом относительно индивидуальных предпочтений Это свойство делает ее особенно востребованным инструментом для решения таких задач, в которых особенно важно учитывать индивидуальное отношение к риску лица принимающего решения.

Достоверность результатов определяется корректным применением указанных методов исследования Все результаты работы подтверждены сформулированными и доказанными теоремами

Использование результатов диссертации Результаты данного исследования могут быть применены в задачах принятия решений в условиях неопределенности

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на Международной научной школе "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (Санкт-Петербург, 2005, 2006), Всероссийской конференции "Финансово-актуарная математика и смежные вопросы" (Красноярск, 2006, 2007), Всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука Технологии Инновации" (Новосибирск, 2006), IX Эвентологиче-ской конференции (Красноярск, 2005), конференции-конкурсе молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2006), межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии" (Красноярск, 2003), на семинарах по финансово-актуарной математике ИВМ СО РАН (Красноярск, 2003-2007)

Публикации По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 7 статей, из которых 1 в периодическом издании по перечню ВАК

Личный вклад автора. Все результаты получены лично автором Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения Текст изложен на 109 страницах и дополнен 14 иллюстрациями и 1 таблицей Список литературы включает 91 наименование

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, излагается современное состояние вопроса, цель и задачи работы,

отмечается научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводятся данные о публикациях и личном вкладе автора

В первой главе излагаются предварительные сведения из теории риска, приводится понятие отношения предпочтения и указывается способ представления индивидуальных предпочтений на множестве рисков с помощью функционала меры риска Рассматриваются примеры наиболее используемых на практике функционалов меры риска и их свойства. Отмечается тот факт, что в плане представления нелинейных отношений предпочтения перспективными являются когерентные меры риска

В параграфе 1 3 излагается аксиоматика когерентных мер риска Когерентные меры риска вводятся на вероятностном пространстве (П,-А, Р), где множество элементарных исходов конечно (|П| = п)

Риском X на (П, Л) называется произвольное измеримое отображение из 1!вЕ, В данном случае множество всех рисков X будет изоморфно К" Перенумеровав элементы некоторым произвольным образом 17 = {ш1, , и>п}, обозначим Х(ш1) = хг, г — 1, , тг, и будем отождествлять случайные величины X € X с векторами X — (ж1, , хп) из И" Считается, что на X задано отношение предпочтения ^

Основополагающим понятием в аксиоматике когерентных мер риска является понятие множества приемлемых рисков Приемлемым называется такой риск, на который инвестор готов пойти при вложении нулевого капитала

Считается, что множество приемлемых рисков А удовлетворяет следующим аксиомам

Аксиома А1 С+ С А, где С+ = {X € X X > 0} , Аксиома А2 А П С_ = 0, где С_ = {X е X X < 0}, Аксиома АЗ А - выпуклый конус

Построив для конкретного инвестора его множество приемлемых рисков, удовлетворяющее указанным аксиомам, можно задать его отношение предпочтения с помощью когерентной меры риска следующим образом

РА(Х) = 8ир{6 £И X -Ы € А}, X £ X

где I = (1,1, , 1) — вектор с единичными компонентами Функционал Ра называется мерой риска, соответствующей множеству А

Этот функционал обладает следующими свойствами 1 ) монотонность

ЧХ,У£Х, Х<У ра(Х)<ра(У)1

(1)

2) супераддитивностъ

ра{х + У) > РА{Х) + рА(У) УХ, У е X, (2)

3) положительная однородность

рА(хх) = лРА{Х), ух>о,хех, (з)

4) инвариантность относительно сдвига■

рА{Х + а1) = рА{Х) +а, аеИ, X е X (4)

Когерентной мерой риска называется любой функционал р(Х) на множестве X, обладающий свойствами (1) - (4)

Множество приемлемых рисков, соответствующее когерентной мере риска р определяется как

Ар = {X е X р{Х) > 0}

Теорема 1.1) Если некоторое множество рисков В удовлетворяет аксиомам А1-АЗ, то соответствующая ему мера риска рв является когерентной Более того, АРв = В, где В - замыкание В

2)Если мера риска р является когерентной, то соответствующее ей множество приемлемых рисков удовлетворяет аксиомам А1-АЗ Более того, р = рАр

Теорема 2. Функционал р на X является когерентной мерой риска в том и только в том случае, когда найдется семейство вероятностных мер V = Тр в 5" такое, что

р(Х) = Ы ЕпХ, Х£Х,

ГУ > V

- стандартный симплекс в Г1п

Одной из модификаций когерентных мер являются меры риска Джарроу и Пурнанандама (кратко ДП-меры), свойства которых рассматриваются в параграфе 1 4

В аксиоматике ДП-мер риска множество приемлемых рисков также удовлетворяет аксиомам А1-АЗ Значение соответствующей этому множеству меры риска вычисляется по формуле

^(Х)=^,|Ц|(Х) = -т£ \\Х-У\\ (5)

Определенная таким образом мера риска обладает свойствами монотонности, супераддитивности и положительной однородности (1)-(3), а вместо

свойства инвариантности относительно сдвига (4) появляется свойство кратчайшего пути

1) для любого X 0 А существует такой риск X' е А, что X'- это элемент из множества А, находящий на наименьшем расстоянии от X,

2) для любого числа —оо < А < —]д(Х) выполняется следующее соотношение.

и(Х + А и) = и(Х) + А, где и = ^ ~ * (б)

ДП-мерой называется любой функционал ](Х) на множестве X, обладающий свойствами (1)-(3), (6)

Ключевое различие между когерентными и ДП-мерами заключается в свойстве (6) Свойство инвариантности относительно сдвига у когерентных мер (4) выражает линейность вдоль фиксированного направления, одинакового для всех векторов X (вдоль вектора I) А свойство кратчайшего пути выражает линейность меры риска вдоль направления, задающего кратчайший путь до множества приемлемых рисков

Норму, заданную в пространстве рисков, можно рассматривать как еще одну характеристику (помимо множества приемлемых рисков), определяющую индивидуальное отношение предпочтения

Однако, ДП-мера является неплохим инструментом только для оценки неприемлемых рисков, но не дает возможности сравнивать между собой приемлемые риски, что существенно ограничивает сферу ее возможного применения

Тем не менее, направление модификации когерентных мер, предложенное Джарроу и Пурнанандамом является перспективным в плане более точного описания индивидуального отношения к риску

Во второй главе рассмотрена модификация когерентных мер риска, предложенная А А Новоселовым и называемая обобщенными когерентными мерами риска Построено аксиоматическое описание данного класса мер риска

В параграфе 2 1 излагается способ построения меры риска по множеству приемлемых рисков и норме в пространстве X, а также теорема о представлении обобщенных когерентных мер риска

Пусть множество приемлемых рисков А удовлетворяет аксиомам А1-АЗ Соответствующая этому множеству обобщенная когерентная мера риска

определяется следующим образом:

ЫХ)=/АМ(Х) = 5Л(Х)ЫА\\Х~У\\, = (7)

здесь ЭА - это граница множества А.

Рис. 1. Пример конуса приемлемых рисков Л в И2. Вектора ХХ[, ХХ'2, ХХ'3 задают направления кратчайшего пути от вектора X до дА в смысле норм |[ ■ |]ь [| ■ ]|2, || -соответственно, а вектора УУ{, УУЦ, У К,' - от вектора У до 3.4.

На рисунке 1 изображен пример конуса приемлемых рисков в В.2. Для данного конуса А и норм || ■ ||ъ || ■ |Ь| II" II«» заданных в пространстве рисков, построены соответствующие меры риска /,4,ь 1а,2, /л,оо- Их значения для рисков X и У равны /л,г(Х) = -ЦХ —.Х^Ць Д2(Х) = -ЦХ-Х^, ^(Х) =

~\\х~х'3\и ¡А,г(У) = Г-П'||ь 1лАУ) = \\y-nII. 1лАУ) = \\y-nWoo-

Как и при определении ДП-меры, при построении обобщенных когерентных мер используется не только множество приемлемых рисков, но и норма, заданная на пространстве рисков Л", также характеризующая представляемое отношение предпочтения.

Приведем пример, демонстрирующий то, что форма единичной сферы (и, соответственно, норма) характеризует индивидуальные предпочтения.

На рисунке 2 изображен некоторый конус приемлемых рисков А в Я2 и два риска - X и У, Также изображены сферы одинакового радиуса с центрами в X и У, соответствующие нормам |[ ■ ¡^ и || • Ц^. Х[ и У{ - ближайшие к

рискам X и У точки дА в случае, если на X задана норма || • ||ь аХ^и У2' -ближайшие к X и У точки дА, если на X задана норма |[ Ц«,

Рис 2 Влияние формы сферы в X на выбор более предпочтительного риска

Из рисунка видно, что Ц-Х"—< ||У—У/Цъ поэтому, если предпочтение инвестора задано нормой || • ||х, то X ■< У \\Х — -Х^Иоо > ||У — У>'||оо, значит, если предпочтение инвестора задано нормой || [|оо, то У -< X

Таким образом, то, что обобщенная когерентная мера риска строится с учетом формы единичной сферы, заданной в пространстве рисков, является ее важным достоинством по сравнению с когерентной мерой риска, так как позволяет в совокупности с множеством приемлемых рисков более точно описать индивидуальное отношение к риску

Для заданной обобщенной когерентной меры /(X) можно можно найти соответствующее множество приемлемых рисков следующим образом

Границу множества приемлемых рисков, соответствующего мере / можно найти как

Пусть X* - пространство непрерывных линейных функционалов на X, ||-||* — норма в этом пространстве Конус А*, двойственный к А, определяется следующим образом

X

А, = {X е X /(X) > 0}

дл/ = {хех /(*■) = о}.

А* — {д е X* д{Х) > 0, X € А}

Выделим в А* подмножество функционалов, лежащих на единичной сфере

А\ = {деА* |Ы|. = 1}.

Теорема 3. Пусть /д — обобщенная когерентная мера риска, соответствующая множеству приемлемых рисков А Тогда справедливо представление

/А(Х) = д(Х), Х&Х (8)

Верно и обратное, если А\ С С+ — некоторое множество функционалов с единичной нормой, то формула (8) задает обобщенную когерентную меру риска

В параграфе 2 3 построено аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска

Пусть множество приемлемых рисков удовлетворяет аксиомам А1-АЗ Тогда соответствующая ему обобщенная когерентная мера риска, заданная формулой (7), обладает свойствами монотонности (1), супераддитивности (2), положительной однородности (3) и свойством кратчайшего пути в следующей формулировке

Для любого X € X существует хотя бы один такой вектор Х'(Х) е дА, что \\Х-Х'(Х)\\=^А\\Х-У\\ и

/А{Х + Аи(Х)) = /А(Х) + А УХ б X, -оо < А < Ат, (9)

где Ат > 0, и(Х) = ЫХ)^1х>(Х)\\

Обобщенной когерентной мерой риска называется любой функционал /(X) на множестве X, удовлетворяющий соотношениям (1)-(3) и (9)

В работе показана эквивалентность двух подходов по формированию аксиоматики обобщенных когерентных мер риска Результат представлен в виде теорем

Теорема 4. Пусть множество В удовлетворяет аксиомам А1-АЗ, тогда соответствующая ему мера риска /в - обобщенная когерентная мера Более того, А/в = В

Теорема 5. Если мера риска / - обобщенная когерентная мера, то соответствующее ей множество приемлемых рисков А/ замкнуто и удовлетворяет аксиомам А1-АЗ Более того, / = /аг

Отмечается, что меры риска, определяемые с помощью (7) является более широким классом функционалов, чем когерентные меры, их можно считать более гибким инструментом для описания индивидуального отношения к риску Классическая когерентная мера получается, если в качестве нормы в пространстве X выбрать || • Ц«,

В третьей главе излагается метод вычисления значений обобщенной когерентной меры риска для отношения предпочтения, заданного с помощью множества приемлемых рисков и нормы в X

В параграфе 3 1 показано, что произвольный конус приемлемых рисков в R" может быть задан системой линейных неравенств с определенными ограничениями на коэффициенты Была доказана теорема

Теорема 6. Произвольный конус приемлемых рисков А в Rn, отражающий неприятие риска, может быть задан следующей системой неравенств

bh{x)> о, hei = {i, ,,ш}, (ю)

где bh — (bl, , b£) G X* (h G. I) и выполняются следующие условия

1 tfh>0helj = l, ,n,

2 ||у, = 1, h e I

3 rank(B = {ЬЛ, hel}) = n

4 Пусть D = {Ylhei ^hbh, Ah > 0} Тогда из того, что \b¡¡ — Aldi + Аг^ di, ¿2 € D, X > 0, Ai, Аг > 0 следует, что d\ = ¿2 = bh, А = Ai + Аг

(П)

В параграфе 3 2 изложены некоторые замечания относительно формы множества приемлемых рисков На простых примерах показано, что форма конуса А зависит от заданного вероятностного пространства и от степени неприятия риска индивидуумом

В параграфе 3 3 излагается метод построения конуса А* по конусу А Для этого требуется провести разбиение конуса А на грани Пусть Н -это некоторое подмножество множества индексов I Каждому Н поставим в соответствие множество Fu точек из А следующим образом

FH = {X/ bh(X) > 0, если h е Н, bh(X) = 0, если h £ Н}

Множество FH есть открытая грань конуса А Грани размерности 1 называются ребрами конуса, грани размерности п — 1 назовем гипергранями

Утверждение 1. Двойственный конус А* равен конусу, натянутому на нормальные вектора гиперграней конуса А (на вектора {И 6 I)), те

1ле/ J

Утверждение 2. То, что конусы А и А* двойственные, означает, в частности, что ребро конуса А* является нормальным вектором к единственной гиперграни конуса А и наоборот

Из утверждений (1) и (2) вытекает теорема о представлении конуса А*.

Теорема 7. Конус А*, двойственный к конусу А, заданному с помощью (10) и (11), можно задать следующей системой неравенств

9{1к)> 0, к = 1, ,р, где

(12)

Ьн{1к) = о, ьенк,\нк\ = п-1, Ън(1к) > о, и е I \ нк

В параграфе 3 4 описан метод решения задачи оптимизации на конусе А* Задача оптимизации, с помощью решения которой вычисляется значение меры риска, формулируется так для заданного конуса А и фиксированного вектора X е X необходимо найти такой функционал д Е А{, чтобы

д(Х)= тШХ)

Были доказаны следующие утверждения, позволяющие упростить решение задачи оптимизации

Утверждение 3. Пусть д А\ §{Х) — — ЦХЦ, ||<?||* = 1 и норма || • ||*

строго выпукла Еслид' 6 А\ д\\* = т£ \\д—тод'(Х) = д(Х)

деА\ деА1

Утверждение 4. Если \\д' — д\\* = Ы \\д -

деА*

и то

1И1

= У1/. 11^ ~ я\\

Множество X разделим на 3 непересекающихся подмножества (А} А , Е) А^{Х д(Х)>0\/деА*}, А~ = {Х-Зд£А1 д{Х) = -||Х||}, Е = Х\(АИ А~)

Теорема 8. Пусть норма, заданная в X, строго выпукла Тогда

1)Если X Е А~, то ¡А{Х) = д(Х).

2)Если X €АиН = {ке1 . Ък{Х) < ЪН{Х) Ук £ /}, то /А(Х) = Ьк(Х) (кеН)

3)Если X е Е то /а(Х) — утур где д' - решение задачи оптимизации

115 II*

«Ы = \\9 ~ 9\\* -> тт, я

9(1}) > 0, 3 = 1, ,р

Вычисление обобщенной когерентной меры риска по этой теореме является менее трудоемкой задачей, чем вычисление по теореме 3, так как задачу условной оптимизации приходится решать только для векторов из Е К тому же эта задача является задачей нелинейного программирования с выпуклой целевой функцией и линейными ограничениями, поэтому вектор д* является ее решением тогда и только тогда, когда найдется вектор ¡1*.

такой, что (д*,ц*) является седловой точкой функции Лагранжа Ь(д,ц) = р

3{д) - £ (¿*9{{,)

Для двух важных примеров норм в К", не являющихся строго выпуклыми (это нормы ¡| Ц1 и || • ||оо) также приведены алгоритмы вычисления соответствующих обобщенных когерентных мер риска

В четвертой главе продемонстрирована возможность применения обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений в условиях вероятностной неопределенности на примере задачи формирования портфеля ценных бумаг

В параграфе 4 1 излагается общая постановка задачи принятия решения Пусть задано вероятностное пространство (П,Д, Р) и П - множество решений, которые может принять некий индивидуум Пусть задано измеримое пространство ('71, В) с сг-алгеброй В Назовем И. множеством результатов Предположим, что каждому состоянию среды и принятому решению соответствует какой-то результат г 6 К, то есть г = ф(с1, и>), где отображение ф Т>х.С1 И будем считать измеримым относительно пары сг-алгебр (Л, В) при любом фиксированном й 6 V При этом отображение фа £1 % образует случайный элемент, имеющий на (7£, В) распределение <3^ по правилу

д„(в) = Р(Ф^т, в&в

Пусть Q = {¿¿а, й £ £>} и на 2 задано отношение предпочтения ^ Тогда задача принятия решения может быть сформулирована так - найти распреде-

ление Q¿ G Q такое, что Q¿ d: Q¿ VQd S Q Если на (Q, ■<) задан некоторый монотонный функционал ц, то задача выбора наилучшего распределения сводится к задаче оптимизации

f¿(Pd) —> max(min) 4 ' dev^dev

Рассмотрим случай, когда (1Z, В) = (R, В), где R - множество действительных чисел, а В - борелевская сг-алгебра Элементы г е R будем трактовать, как величину полученного дохода Тогда отображение X¿ . П -> 1Z - это риск, а задача принятия решений сводится к задаче оптимизации

p{Xd) -> max(mm)

Предположим, мера р является обобщенной когерентной мерой риска Так как обобщенная когерентная мера обладает свойствами супераддитивности и положительной однородности, то она является вогнутым функционалом, и задача оптимизации может быть решена методами выпуклого анализа

В параграфе 4 2 рассмотрена задача формирования портфеля ценных бумаг и приведен пример, демонстрирующий применение обобщенной когерентной меры риска в задачах такого типа и показывающий каким образом норма, введенная в пространстве рисков и характеризующая индивидуальное отношение к риску может повлиять на результат решения задачи

Пусть у участника рынка имеется капитал в 10 уе На рынке имеется 1 акция А по цене 5 у е и 1 акция Б по цене 4 у е Индивидуум может либо купить обе акции, либо одну из них, либо вообще не покупать Соответственно, множество возможных его решений

V = {S1 = (1,1), ¿2 = (1,0), ¿3 = (о, 1), Si = (0,0)}

Вектор ¿i соответствует решению купить обе акции, ¿2 - купить только акцию А, <5з - купить только акцию Б, S4 - ничего не покупать

Предположим, что неиспользованные на покупку акций деньги индивидуум вкладывает в банковский депозит, такой, что чистый доход по нему (то есть доход минус вложенные средства) за период времени Т, дисконтированный на настоящий момент, составит Oye

Предположим также, что для обеих акций существуют прогнозы относительно значений чистого дохода от их продажи через период времени Т (эти значения также дисконтированы на сегодняшний день), а также известны вероятности этих значений дохода Пусть чистый доход от продажи акции А описывается риском Yi, а от продажи акции Б - риском У2, и предположим,

что совместное распределение вектора У — (Уь Уг) выглядит так

рк

(3,1) 0 27

(-15,1) 0 33

(3,-1) 0 18

(-1.5,-1) 0 22

В случае, если участник рынка принимает решение 8г, его чистый доход по портфелю описывается риском Zl = 5}У\ + <5,2>2-

Учитывая то, что возможных решений индивидуума 4, таких рисков также будет 4 Выпишем распределения рисков ^з,

А рк А рк рк рк

4 0 27 3 0 27 1 0 27 0 0 27

-0 5 0 33 -1 5 0 33 1 0 33 0 0 33

2 0 18 3 0 18 -1 0 18 0 0 18

-2 5 0 22 -1 5 0 22 -1 0 22 0 0 22

Предположим, индивидуальное отношение участника рынка к риску описывается нормой || ||з в X и конусом приемлемых рисков А, имеющим вид

Ън{Х)> О, А = 1, ,4, где

61 = (тз' °> ' 62= ,

Ьз = (1Й0' "Йо' ' 64 = Определим с помощью обобщенной когерентной меры риска, какое из решений для данного индивидуума будет оптимальным Для этого нужно найти значения /л,з(£}) и выбрать из них наибольшее

/д,з(^) = 0 303, ДзСЗО = -0 369 Дз(30 = о 247 Дз(^) = О

Таким образом, наибольшее значение мера риска /дз достигает на Получаем, что для данного участника рынка наилучшим решением (то есть соответствующим его отношению к риску) будет купить обе акции

Теперь предположим, что индивидуальное отношение к риску какого-то другого участника рынка описывается тем же самым конусом приемлемых рисков А, но другой нормой в пространстве рисков Покажем, что для него может получиться другое оптимальное решение

Пусть индивидуальное отношение к риску характеризуется тем же самым конусом приемлемых рисков А и нормой Гельдера || ||р в X Для нескольких

Таблица 1 Значения /л^О, и Iа,для различных норм У |!р

р !аА21) /лА^) з) /л,Р(£4)

1 0 275 -0 217 0.5 0

4/3 0 374 -0 281 0 455 0

3/2 0 369 -0 303 0.418 0

2 0.344 -0 344 0 342 0

3 0.303 -0 369 0 247 0

00 0.24 -0 375 02 0

значений р были вычислены соответствующие /л.р(^) Полученные данные представлены в таблице 1 Жирным шрифтом выделены значения функционала /л>р для риска, соответствующего оптимальному решению индивидуума Из таблицы 1 видно, что в случае, если индивидуальное отношение к риску другого участника рынка описывается данным конусом А и нормой Гельде-ра с показателями р — 2,3, оо, то оптимальным решением для него, как и для первого участника рынка станет купить обе акции, если же его предпочтения описываются тем же конусом А и нормой Гельдера с показателями р = 1,4/3,3/2, то оптимальным решением станет покупка акции Б

Если бы для решения этой задачи мы пользовались классической когерентной мерой риска, то для любого участника рынка, предпочтения которого характеризуется данным конусом А, мы бы сделали вывод, что оптимальное решение - купить обе акций (так как когерентная мера риска рл = /л,оо)

Из этого можно сделать вывод, что норма, заданная в пространстве рисков является важной характеристикой индивидуального отношения к риску, так как может существенно повлиять на результат решения задачи Поэтому то, что обобщенная когерентная мера риска строится с учетом этой нормы является ее важным достоинством по сравнению с классической когерентной мерой риска и позволяет считать ее более гибким инструментом для принятия решений согласно индивидуальному отношению к риску

В заключении приведены основные результаты и выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ различных подходов к измерению финансовых рисков позволяет сделать вывод о том, что построение цельной теории измерения рисков находится на этапе перехода от накопленных эмпирических данных и первоначальных теоретических конструкций к этапу аксиоматизации При этом все больше внимания уделяется проблеме гибкости разрабатываемых подходов к

оценке риска Это связано с тем, что риск - категория, которая кроме объективной компоненты, связанной с неопределенностью, включает также субъективную компоненту, отражающую отношение к неопределенности заинтересованного лица

В аксиоматике когерентных мер риска эта субъективная компонента находит свое отражение, и в качестве "параметра", характеризующего отношение к риску конкретного лица, в ней выступает множество приемлемых рисков

А А. Новоселовым были предложены меры риска, представляющие собой более широкий класс функционалов, чем когерентные меры, и являющиеся в следствие этого более гибким инструментом для оценки индивидуальных предпочтений инвестора

В данной диссертационной работе решена проблема создания целостной аксиоматики обобщенных когерентных мер риска

Создан метод, позволяющий вычислять значения функционала меры риска на основе заданного множества приемлемых рисков и нормы в пространстве рисков, которые представляют предпочтения индивидуума

Продемонстрирована возможность применения обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений в условиях неопределенности (на примере задачи формирования портфеля ценных бумаг)

Показано, что норма, заданная в пространстве рисков, может оказать существенное влияние на результат решения задачи принятия решений с помощью соответствующей обобщенной когерентной меры риска Это указывает на важность полноты учета характеристик индивидуального отношения предпочтения при построении меры риска и позволяет считать обобщенные когерентные меры риска перспективным инструментом для применения в практических приложениях теории риска

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 ВОРОБЬЕВ О Ю Модифицированные когерентные меры риска (для евклидовой нормы) / О Ю Воробьев, Т А Мартынова, А А Новоселов // Вестник КрасГУ / под ред. А С Проворова, В А Сапожникова, А М Баранова, A.M. Кытманова - Красноярск КрасГУ - 2005- № 4 - С 183-188

2 ВОРОБЬЕВ О Ю О модифицированных когерентных мерах риска / О Ю Воробьев, ТА Мартынова, А А Новоселов // Экономика, психология, бизнес Красноярск КГТЭИ - 2005 - № 8-9 - С 93-100

3. МАРТЫНОВА Т А Модифицированные когерентные меры риска (для евклидовой нормы) / ТА Мартынова //Тр Международной Научной

Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП" СПб , 2005, С 228-233

4 МАРТЫНОВА Т А Построение обобщенной когерентной меры риска / Т А Мартынова //Тр Международной Научной Школы МА БР-2006 / ГОУ ВПО "СПбГУАП" СПб , 2006 - С 301-304

5 МАРТЫНОВА ТА Обратная задача теории риска для предпочтений, представленных функционалом возмущенной вероятности / ТА Мартынова // Тр III Всеросс ФАМ-конференции, ч 1 - Красноярск ИВМ СО РАН - 2004 - С 187-196

6 МАРТЫНОВА Т А Модифицированные когерентные меры риска (для евклидовой нормы) / ТА Мартынова //Тр IV Всероссийской ФАМ-конференции, ч 1 - Красноярск ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск" - 2005 - С 305-316

7 МАРТЫНОВА Т.А Построение примеров обобщенных когерентных мер риска /ТА Мартынова // Тр V Всеросс ФАМ-конференции - Красноярск ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск" - 2006 - 297-302

8 МАРТЫНОВА Т А Модифицированные когерентные меры риска /ТА Мартынова // тез докл V Всеросс конф молодых ученых по мат моделированию и информационным технологиям - Новосибирск Ин-т вычислительных технологий СО РАН, 2004 - С 61-62

9 МАРТЫНОВА Т А Создание детерминированного эквивалента для модифицированной когерентной меры риска /ТА Мартынова // Тез докл. Всеросс научн конф молодых ученых "Наука Технологии Инновации", ч 1 - Новосибирск НГТУ - 2005 - С 59-60

10 МАРТЫНОВА Т А Вычисление обобщенной когерентной меры риска в Яп // Тез докл. VI Всеросс ФАМ-конференции - Красноярск ИЦ Института естественных и гуманитарных наук СФУ, 2007 - с 41

Мартынова Татьяна Алексеевна Обобщенные когерентные меры риска и их применение в задачах принятия решений Автореферат диссертации Подписано в печать 04 2007 Формат 60x84/16 Уел печ л 1 0 Тираж 100 экз Заказ № б5"<? Отпечатано в ИПЦ ПИ СФУ 660074, г Красноярск, ул Киренского, 26

Введение

1 Обзор основных методов измерения риска

1.1 Основные понятия теории риска.

1.2 Примеры функционалов меры риска и их свойства.

1.2.1 Классические меры риска - математическое ожидание и дисперсия.

1.2.2 Функционал ожидаемой полезности.

1.2.3 Мера возмущенной вероятности

1.2.4 Меры VaR и Shortfall.

1.3 Класс когерентных мер риска.

1.4 Модификация когерентных мер риска Джарроу и Пурнанан-дама.

2 Обобщенные когерентные меры риска

2.1 Построение меры риска по множеству приемлемых рисков и теорема о представлении

2.2 Предварительные сведения из выпуклого анализа.

2.3 Аксиоматика обобщенных когерентных мер риска.

2.3.1 Свойство кратчайшего пути.

2.3.2 Свойство супераддитивности.

2.3.3 Свойство монотонности.

2.3.4 Свойство положительной однородности.

2.3.5 Эквивалентность подходов по формированию аксиоматики обобщенных когерентных мер риска.

2.4 Выводы об основных отличиях между классическими когерентными мерами риска и обобщенными когерентными мерами

3 Построение обобщенной когерентной меры риска

3.1 Построение конуса приемлемых рисков согласно аксиоматике обобщенных когерентных мер риска.

3.2 Некоторые замечания относительно формы множества приемлемых рисков

3.3 Построение двойственного конуса к конусу приемлемых рисков.

3.4 Вычисление обобщенной когерентной меры риска путем решения задачи оптимизации на конусе А*

3.4.1 Постановка задачи оптимизации на А*.

3.4.2 Решение задачи оптимизации для строго выпуклой нормы.

3.4.3 Нахождение значения меры риска в случаях, если в X задана норма || • ||i или || • ||оо

3.5 Пример вычисления обобщенной когерентной меры риска, соответствующей заданному конусу приемлемых рисков и норме в X.

4 Обобщенные когерентные меры риска в задачах принятия решений.

4.1 Постановка задачи принятия решений.

4.2 Задача формирования портфеля ценных бумаг.

4.2.1 Пример решения задачи формирования портфеля ценных бумаг.

4.3 Рекомендации по использованию обобщенных когерентных мер в задачах принятия решений.

Актуальность темы. Математическая теория риска имеет многочисленные приложения к различным областям человеческой деятельности, в которых решения принимаются в условиях неопределенности. В финансовой области можно выделить такие приложения как банковское дело, страхование, управление рыночными и кредитными рисками, рисками инвестиций. Во всех этих областях после подбора, анализа статистической информации и построения прогнозов (то есть после построения вероятностных распределений на множестве состояний изучаемого объекта) последнее слово остается за лицом, принимающим решение. И здесь возникает проблема измерения риска таким образом, чтобы это согласовывалось с индивидуальными предпочтениями лица, принимающего решение.

Одним из способов количественного описания предпочтений на множестве вероятностных распределений является построение вещественного функционала, называемого мерой риска.

Среди всего многообразия используемых в настоящее время мер риска можно выделить прежде всего классические меры риска - математическое ожидание и дисперсию. С настоящее время эти меры риска в основном используются в совокупности, составляя критерий оценки риска "среднее-дисперсия". Впервые данный критерий был применен Г. Марковицем [69] для решения задачи выбора оптимального портфеля. Разновидности данного критерия активно используются в портфельном и инвестиционном анализе. В качестве примера можно привести критерий Шарпа [76], на основе которого была создана модель ценообразования

САРМ (Capital Asset Pricing Model). К сожалению в случаях, когда распределение случайных величин далеко от нормального, измерение риска дисперсией уже не является эффективным.

Существенным прорывом в решении проблемы количественного измерения риска стала теория ожидаемой полезности, основоположниками которой являются Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн [28]. Предложенная ими модель является более гибкой относительно индивидуального отношения к риску. Эта гибкость связана с наличием в модели функции полезности, которая отражает предпочтения лица, принимающего решения.

Именно в рамках теории ожидаемой полезности Дж. Праттом [72] и К. Эрроу [57] было введено такое важное понятия как "неприятие риска" и предложены количественные его характеристики.

Однако мера ожидаемой полезности представляет предпочтения, обладающие линейной структурой, которые на практике встречаются довольно редко, что подтверждается парадоксами М. Алле [56] и П. Сэмуэльсона [74].

В плане представления нелинейных отношений предпочтения перспективными являются когерентные меры риска, которые 1999 г. предложили Ф. Арцнер, Ф. Делбаен, Ж.-М. Эбер и Д. Хиф [58]. В качестве примера когерентной меры риска можно привести функционал возмущенной вероятности Ш. Вонга [80] и меру Expected Shortfall К. Ачерби [54].

Практически сразу после появления когерентных мер риска стали предлагаться различные их модификации, такие как выпуклые меры риска, введенные Г. Фолмером и А. Шидом и меры риска Р. Джарроу и А. Пурна-нандама, названные авторами обобщенными когерентными мерами риска. Однако строго говоря их нельзя считать обобщением когерентных мер в виду того, что они позволяют оценивать лишь неприемлемые для инвестора риски.

Обобщение когерентных мер согласно подходу Джарроу и Пурнананда-ма было продолжено А.А. Новоселовым в работе [70]. Предложенные им меры являются действительным обобщением когерентных мер и в дальнейшем именно их мы будем называть обобщенными когерентными мерами риска. Они могут считаться более гибким инструментом для представления индивидуальных предпочтений в связи с тем, что предпочтения задаются не только с помощью разделения рисков на приемлемые и неприемлемые (как при построении когерентных мер), но и с помощью указания формы единичной сферы в пространстве рисков, что достигается введением нормы в этом пространстве.

Автором указан способ задания функционала по определенному аксиоматически множеству приемлемых для индивидуума рисков и норме в пространстве рисков, и доказана теорема о представлении меры риска в виде инфимума линейных функционалов, отвечающих некоторым требованиям.

Однако вычисление функционала непосредственно с помощью этой теоремы представляет весьма трудоемкую задачу, что неудобно при решении практических задач. В связи с этим встает вопрос об эффективности использования обобщенных когерентных мер риска на практике.

Объектом исследования является класс обобщенных когерентных мер риска и соответствующие им множества приемлемых рисков, а предметом исследования выступает аксиоматическое описание функционала, методика вычисления значений меры риска для различных отношений предпочтения и возможность применения данного функционала в задачах принятия решений в условиях неопределенности.

Целью работы является построение аксиоматического описания обобщенных когерентных мер риска, разработка методов вычисления значений функционала меры риска для предпочтений индивидуума, заданных множествами приемлемых рисков и нормами в пространстве рисков, а также исследование возможности применения данной меры риска в задачах принятия решений.

Исходя из цели работы были определены задачи исследования:

1. Построить аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска.

2. Получить аналитическое представление для конуса приемлемых рисков и создать алгоритм построения двойственного конуса.

3. Применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для создания процедуры вычисления функционала по построенному двойственному конусу и норме, заданной в пространстве рисков.

4. На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрировать возможность использования обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений.

Основная идея диссертации состоит в применении методов выпуклого анализа для построения взаимосвязей между множеством приемлемых рисков, представляющим предпочтения индивидуума, и двойственным конусом, что позволит применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для непосредственного вычисления значений функционала.

Методы исследования основаны на использовании элементов теории вероятностей, линейной алгебры, функционального анализа и методов выпуклого анализа.

Основные новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Построено аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска.

2. Получено представление множества приемлемых рисков в виде конуса, задаваемого с помощью системы линейных неравенств при сформулированных ограничениях на коэффициенты. Создан алгоритм построения двойственного конуса к конусу приемлемых рисков.

3. Создан алгоритм решения задачи оптимизации на двойственном конусе, позволяющий вычислять значения соответствующей обобщенной когерентной меры риска.

4. На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрирована возможность применения обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений в условиях неопределенности.

Значение для теории заключается в построении целостной аксиоматики обобщенных когерентных мер риска, которые позволяют количественно оценить риск для различных нелинейных отношений предпочтения, а также в создании метода вычисления указанных мер риска.

Значение для практики. Благодаря разработанному методу вычисления значений обобщенной когерентной меры риска, эта мера может быть применена при решении прикладных задач, например, таких как задача формирования портфеля ценных бумаг. Данная мера риска является гибким инструментом относительно индивидуальных предпочтений. Это свойство делает ее особенно востребованным инструментом для решения таких задач, в которых особенно важно учитывать индивидуальное отношение к риску лица, принимающего решения.

Достоверность результатов определяется корректным применением указанных методов исследования. Все результаты работы подтверждены сформулированными и доказанными теоремами.

Использование результатов диссертации. Результаты данного исследования могут быть применены в задачах принятия решений в условиях неопределенности.

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на Международной научной школе "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (Санкт-Петербург, 2005, 2006), Всероссийской конференции "Финансово-актуарная математика и смежные вопросы" (Красноярск, 2006, 2007), Всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2006), IX Эвентологической конференции (Красноярск, 2005), конференции-конкурсе молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2006), межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии" (Красноярск, 2003), на семинарах по финансово-актуарной математике ИВМ СО РАН (Красноярск, 2003-2007)

Публикации По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 7 статей, из которых 1 в периодическом издании по перечню ВАК.

Личный вклад автора. Вся работа по созданию аксиоматики обобщенных когерентных мер риска, построению конуса приемлемых рисков и двойственного к нему конуса, а также по созданию метода вычисления функционала меры риска была проделана автором самостоятельно.

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, четырех разделов и заключения. Текст изложен на 109 страницах, дополнен 14 иллюстрациями и 1 таблицей. Список литературы включает 91 наименование.

Заключение

Анализ различных подходов к измерению финансовых рисков, представленных в современной литературе и используемых на практике, позволяет сделать вывод о том, что построение цельной теории измерения финансовых рисков находится на определенном этапе развития. А именно, на этапе перехода от накопленных эмпирических данных и первоначальных теоретических конструкций к этапу аксиоматизации.

При этом все больше внимания уделяется проблеме гибкости разрабатываемых подходов к оценке риска. Это связано с тем, что риск - это категория, которая кроме объективной компоненты, связанной с неопределенностью, включает также и субъективную компоненту, отражающую отношение к неопределенности заинтересованного лица.

В аксиоматике когерентных мер риска эта субъективная компонента находит свое отражение, и в качестве "параметра", характеризующего отношение к риску конкретного лица, в ней выступает множество приемлемых рисков, с помощью которого и задается отношение предпочтения индивидуума на множестве рисков. Появление когерентных мер риска можно считать существенным прорывом в решении задач представления нелинейных отношений предпочтений вещественными функционалами.

Однако то, как индивидуум разделяет риски на приемлемые и неприемлемые, можно считать лишь одной из характеристик его отношения к риску. Не менее важным является то, как именно участник рынка сравнивает между собой различные риски по предпочтительности. Работа по учету данной характеристики при построении меры риска была начала Р. Джарроу и А. Пурнанандамом и продолжена А.А. Новоселовым в обобщенных когерентных мер риска. В обобщенных когерентных мерах эта характеристика учитывается с помощью нормы, заданной в пространстве рисков.

В данной диссертационной работе решена задача создания целостной аксиоматики обобщенных когерентных мер риска.

Создан метод, позволяющий вычислять значения функционала меры риска на основе заданного множества приемлемых рисков и нормы в пространстве рисков, представляющих предпочтения индивидуума.

Продемонстрирована возможность применения обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений в условиях неопределенности (на примере задачи формирования портфеля ценных бумаг).

Показано, что норма, заданная в пространстве рисков, может оказать существенное влияние на результат решения задачи принятия решений с помощью соответствующей обобщенной когерентной меры риска. Это показывает важность полноты учета характеристик индивидуального отношения предпочтения при построении меры риска и позволяет считать обобщенные когерентные меры риска перспективным инструментом для применения в практических приложениях теории риска.

1. акилов Г.П. Упорядоченные векторные пространства / Г.П. Акилов, С.С. Кутателадзе Новосибирск: Наука, 1978. - 368 с.

2. БАРАНОВ В.В. Процессы принятия управляющих решений, мотивированных интересами / В.В. Баранов М.: Физматлит. - 2005. - 295 с.

3. БАРСОВ А.С. Что такое линейное программирование / А.С. Барсов -М: Гос изд-во физ.-мат. литературы, 1959,- 104 с.

4. БЕКЛЕМИШЕВ Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев М.: Высш.шк. 1998. - 320 с.

5. БОРОВКОВ А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1986. - 432 с.

6. Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию риска / В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев М.: МАКС Пресс, 2000. - 190 с.

7. БЕНИНГ В.Е. Введение в математическую теорию актуарных расчетов / В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, С.Ю. Шоргин М.: МАКС Пресс, 2002. -160 с.

8. БЕРТСЕКАС Д.П. Условная оптимизация и методы множителей Jla-гранжа / Д.П. Бертсекас М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.

9. ВАРОЧКИНА Т.С. Стохастическое доминирование I и II рода / Т.С. Варочкина // Тр. II Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2003.- С. 14-22

10. ВИТЛИНСКИЙ В.В. Применение методологии Value-at-risk при отсутствии нормальности распределения / В.В. Витлинский, А.Б. Каминский // Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005.- С. 46-51.

11. И. ВИТЛИНСКИЙ В.В. Учет риска в формировании портфеля реальных инвестиций / В.В. Витлинский, JI.JI. Маханец //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005.-С. 158-164.

12. ВИТЛИНСКИЙ В.В. Измерение финансовых рисков на пути построения цельной теории / В.В. Витлинский, А.Б. Каминский //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2006 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2006.- С. 28-38.

13. ВИТЛИНСКИЙ В.В. Модель выбора инвестиционного проекта / В.В. Витлинский. В.О. Макаренко // Финансы Украины.- 2002. К0- 4. - С. 63-73.

14. ВОЕВОДИН В.В. Матрицы и вычисления /В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.- 320 с.

15. ГЛЕБОВ Н.И. Методы оптимизации. Учеб пособие. / Н.И. Глебов, Ю.А. Кочетов, А.В. Плясунов. Новосибирск: Новосибирский университет, 2000. - 105 с.

16. А. ГОЛДМАН Дж.Многогранные выпуклые конусы. / Дж. Голдман, А.У. Таккер. // Линейные неравенства и смежные вопросы. Сб. стат. под ред. Г.У. Куна и А.У. Таккера. М.: Изд-во иностр. литературы.-1959. - с. 143-161

17. ГРИГОРЬЕВ П.В. Оптимальное управление по квантилыюму критерию портфелем ценных бумаг / П.В. Григорьев, Ю.С. Кан //Автоматика и телемеханика, 2004. № 2. - С 179-197.18. иоффе А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В. М. Тихомиров М., Наука, 1974.

18. КАЛАШНИКОВА JI.B. Мера возмущенной вероятности и отношение предпочтения / JI.B. Калашникова //Тр. I Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2002,- С. 187-193

19. КИБЗУН А.И. Сравнение критериев VaR и CVaR / А.И. Кибзун, Е.А. Кузнецов // Автоматика и телемеханика, 2003. №7. - с. 153-164.

20. КИБЗУН А.И. Позиционная стратегия формирования портфеля ценных бумаг / А.И. Кибзун, Е.А. Кузнецов // Автоматика и телемеханика, 2003. № 1. - С. 151-166.

21. КОСТРИКИН А.И. Введение в алгебру. Часть И. Линейная алгебра. / А.И. Кострикин М.: Физ.-мат. литература, 2000.- 368 с.

22. КУРОШ А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. М.: Наука, 1968. -160 с.

23. КУТАТЕЛАДЗЕ С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кута-теладзе Новосибирск.: Изд-во Ин-та математики, 2000.- 336 с.

24. МОСКВИН В.А. Управление рисками при реализации инвестиционных проектов / В.А. Москвин М.: Финансы и статистика, 2004. - 352 с.28. фон нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. М.: Наука, 1970

25. НОВОСЕЛОВ А.А. Неприятие риска в нелинейных моделях принятия решений / А.А. Новоселов // Труды II Всеросс. ФАМ-конференции. -Красноярск, 2003, т.1. С.211. - 219.

26. НОВОСЕЛОВ А.А. Неприятие риска: качественный подход и количественные оценки / А.А. Новоселов // Автоматика и телемеханика, 2003.- № 7. С 165-177

27. НОВОСЕЛОВ А.А. Представление предпочтений на множестве рисков вещественными функционалами / А.А. Новоселов // Тр. V Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2006

28. НОВОСЕЛОВ А.А. Детерминированный эквивалент в моделях принятия решений в условиях неопределенности / А.А. Новоселов // Тр. V Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2006

29. НОВОСЕЛОВ А.А. Риск модели в оценивании VaR и другими кван-тильными мерами риска / А.А. Новоселов //Управление финансовыми рисками.- 2005. №4.-С. 53-57

30. НОВОСЕЛОВ А.А. Обобщенные когерентные меры риска / А.А. Новоселов //Тр. IV Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2005. - С. 325-339

31. НОВОСЕЛОВ А.А. Портфельный анализ / А.А. Новоселов //Тр. I Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2002. - С. 217/230

32. НОВОСЕЛОВ А. А. О свойствах монотонности и выпуклости некоторых мер риска / А.А. Новоселов //Статистическая метафизика Красноярск.: ИВМ СО РАН, 2000.- С. 66-81

33. НОВОСЕЛОВ А.А. Математическое моделирование финансовых рисков: теория измерения / А.А. Новоселов. Новосибирск: Наука, 2001. -102 с.

34. ПОЛОВИНКИН Е.С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа / Е.С. Половинкин, М.В. Балашов М.: Физматлит, 2004. - 416 с.

35. ПОЛЯК Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк М.: Наука, 1983.- 384 с.40. пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б.Н. Пшеничный М.: Наука, 1980. - 320 с.

36. Риск-анализ инвестиционного проекта: учебник для вузов / Под ред. М.В. Грачевой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 351 с.

37. РОКАФЕЛЛАР Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар М.:Мир. 1973.- 470 с.43. сигал А.В. Основы современной теории портфеля ценных бумаг: Учеб. пособие. Симферополь: КЭИ КНЭУ, 1998. - 60с.

38. СОЛОДОВНИКОВ А.С. Системы линейных неравенств / А.С. Солодовников М: Наука, 1977. - 112 с.45. сорокин Е.А. Параметрическое оценивание фунций полезности / Е.А. Сорокин // Тр. II Всеросс. ФАМ-конференции, т.1 Красноярск, 2003.- с. 242-250

39. СУХАНОВА А.П. Основные методы анализа и снижения риска реальных инвестиций / А.П. Суханова // Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005.- С. 292-297

40. СУХАНОВА А. Управление инвестиционными рисками и методы их снижения / А. Суханова // Тр. Международной Научной Школы МА БР-2006 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2006.- С. 295-300.

41. ТАККЕР А.У. Двойственные системы однородных линейных соотношений / А.У. Таккер // Линейные неравенства и смежные вопросы. Сб. стат. под ред. Г.У. Куна и А.У. Таккера. М.: Изд-во иностр. литературы.-1959. - с. 127-141

42. ШАРП У. Инвестиции / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бэйли М.: ИНФРА, 2001. - 1024 с.

43. Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев М.: Наука, 1980. - 576 с.54. acerbi С. Expected Shortfall: a natural alternative to value at risk / C. Acerbi, D. Tasche // Economic Notes, 2001.- V 31.- pp. 379-388.

44. AGGARWAL R.K. Why do managers diversify their firms. Agency Reconsidered / R.K. Aggarwal, A. A. Samwick // Journal of Finance? 2003. V.58. - pp. 71-118.

45. Allais M. The so-called Allais paradox and rational desicions under uncertainty /М. Allais //Allais and Hagen, 1979

46. ARROW K.J. Essays in the risk-bearing / H.J. Arrow Chicago: Markham, 1971.

47. Artzner. Ph. (1999) Coherent Measures of Risk / Ph. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber, D. Heath // Mathematical Finance, 1999. N 9, pp. 203-228.

48. GlANNOPOULOS К. Var modeling on long run horisons / K. Giannopoulos //Proc. of Int. Scien. School "Modeling and analyof safety and risk in complex systems", 2002. St. Petersburg: Business Press, 2002

49. JARROW R.A. Generalized Coherent Risk Measures: The Firm's perspective / R.A. Jarrow, A.K. Purnanandam // Finance Research Letters, 2005. V.2, pp. 23-29.

50. MACMlNN R.D. A general diversification theorem: A Note / R.D. MacMinn // The journal of finance.- V. 39.- 1984. N. 2.- PP.541-550

51. MARKOWITZ H. Portfolio selection / H. Markowitz // Journal of Finance, 1952.- March, p. 77-91.

52. NOVOSYOLOV A. Generalized coherent risk measures in decision-making under risk. //Тр. Международной Научной Школы MA БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005, С. 145-150

53. NOVOSYOLOV A. Diversification in a portfolio / A. Novosyolov //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2002.- С. 178-181

54. PRATT J.W. Risk aversion in the small and in the large / J.W. Pratt //Econometrica, 1964.- V.32.- P. 122-136

55. ROCKAFELLAR R.T. Conditional value-at-risk for general loss distributions / R.T. Rockafellar, S. Uryasev //Journal of Banking anf Finance. 2002. - N 26, p. 1443-1471.

56. SAMUELSON P.A. Risk and uncertainty: a fallacy of large numbers / P.A. Samuelson // Reprinted in CAS forum, Summer 1994, p. 49-56

57. SZEKEY G.J. Paradoxes in probability theory and mathematical statistics / G.J. Szekey.- Budapest: Acadeniai Kiado, 1986. 250 p.

58. SHARP W. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk / W.Sharp // Journal of finance, 1964. -V.19(3), p. 425442

59. STUTZER M. A simple nonparametric Approach to to derivative security valuation / M Stutzer //Journal of Finance. 1996. - V.51. - pp. 1633-1652.

60. TOBIN J. Liquidity preferance as behavior towads risk / J. Tobin //The Review of Economic Studies.- V. 25.- 1958. N. 2.- PP. 65-68

61. Xu M. Risk measure pricing and hedging in incomplite markets / M. Xu //Annals of Finance. V. 2- 2006.- N. 1.- PP. 51-71

62. WANG S. Premium calculation by transforming the layer premium density / S. Wang // ASTIN Bulletin,1996. v. 26, No 1 pp. 71-92.

63. YOUNG V.R. Discussion of Christofide's Conjecture regarding Wang's Premium Principle / V.R. Young // ASTIN Bulletin, 1999.- V. 29, No 2, pp. 191-195

64. МАРТЫНОВА Т.А.Модифицированные когерентные меры риска (для евклидовой нормы) / Т.А. Мартынова //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2005 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2005, С. 228-233.

65. МАРТЫНОВА Т.А.Построение обобщенной когерентной меры риска / Т.А. Мартынова //Тр. Международной Научной Школы МА БР-2006 / ГОУ ВПО "СПбГУАП". СПб., 2006.- С. 301-304.

66. МАРТЫНОВА Т.А. Обратная задача теории риска для предпочтений, представленных функционалом возмущенной вероятности / Т.А. Мартынова // Тр. III Всеросс. ФАМ-конференции, ч.1 Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2004. - С. 187-196

67. МАРТЫНОВА Т.А. Модифицированные когерентные меры риска (для евклидовой нормы) / Т.А. Мартынова //Тр. IV Всероссийской ФАМ-конференции, ч. 1 Красноярск.: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск". - 2005. - С. 305-316

68. МАРТЫНОВА Т.А. Построение примеров обобщенных когерентных мер риска / Т.А. Мартынова // Тр. V Всеросс. ФАМ-конференции.- Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск". -2006,- 297-302.

69. МАРТЫНОВА Т.А. Модифицированные когерентные меры риска / Т.А. Мартынова // тез. докл. V Всеросс. кон. молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям. Новосибирск: Ин-т вычислительных технологий СО РАН, 2004. - С. 61-62

70. МАРТЫНОВА Т.А. Создание детерминированного эквивалента для модифицированной когерентной меры риска / Т.А. Мартынова // Тез. докл. Всеросс. научн. конф. молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации", ч.1 Новосибирск.: НГТУ. - 2005.- С.59-60

71. МАРТЫНОВА Т.А. Вычисление обобщенной когерентной меры риска в Rn // Тез. докл. VI Всеросс. ФАМ-конференции. Красноярск: ИЦ Института естественных и гуманитарных наук СФУ, 2007. - с. 41