автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:О точности метода динамической регуляризации моделирования управления в системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Щ

На правах рукописи

РУБЛЕВА Светлана Сергеевна

—О-ТОЧНОСТИ-МЕТОДА-ДИНАМИЧЕСКОЙ—

РЕГУЛЯРИЗАЦИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

УПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ^ мдй

Екатеринбург

2009

003471256

Работа выполнена в Институте математики и механики Уральского отделения Российской академии наук в отделе дифференциальных уравнений.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук,

доцент Вдовин Андрей Юрьевич.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор Короткий Александр Илларионович

— доктор физико-математических наук, доцент Соловьева Ольга Эдуардовна

Ведущая организация — ГОУ ВПО «Московский

государственный университет», г. Москва.

Защита диссертации состоится " 40 " ш^жя_ 2009 г. в ^3°°

часов на заседании диссертационного совета Д 212.286.10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. A.M. Горького» по адресу: 620000, г.Екатеринбург, пр.Ленина, 51, комн.248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. A.M. Горького»

Автореферат разослан " ? " .мал_2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико - математических наук, профессор у

В.Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Обратные задачи динамики управляемых систем представляют собой бурно развивающуюся область современной математики. Под обратной задачей принято понимать проблему восстановления характеристик динамической системы (далее последние трактуются как управления) по имеющейся информации о функции времени, описывающей движение системы. Иными словами, требуется по результатам наблюдения, доступного измерению выхода системы — движения, восстановить недоступный измерениям вход — управление. Теория обратных задач к настоящему моменту глубоко развита по многим направлениям. Нас будет интересовать ситуация, когда динамическая система описывается конечномерными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Современное состояние проблемы решения обратных задач динамики для таких систем во многом определяется результатами, достигнутыми в области оптимального управления и теории некорректных задач.

Перечислить в автореферате сколько-нибудь полно даже значительные работы в этих областях не представляется возможным, поэтому ограничимся лишь упоминанием научных школ, в рамках которых получены наиболее значительные результаты. Прежде всего отметим школы: J1.C. Понтрягина в области математической теории оптимальных процессов управления; H.H. Красовского — в теории управления в игровых задачах динамики; Р. Беллмана — в развитии теории динамического программирования; Р. Калмана — в теории идентификации систем и оптимальной фильтрации.

В ряде случаев отмечается наличие непрерывной зависимости входного воздействия от выходного сигнала, однако обратные задачи зачастую этим свойством не обладают, то есть являются неустойчивыми относительно ошибок измерения. Именно в этой ситуации, для их решения используется сочетание методов теории оптимального управления и приемов из теории некорректных задач, получивших название методов регуляризации. Существенный вклад в развитие этой теории внесли отечественные школы А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева.

При наличии информации о выходе на всем временном интервале функционирования динамической системы, согласно принципу максимума Понтрягина, восстановление управления сводится к экстремальной задаче в бесконечномерном функциональном пространстве, для приближенного решения которой обычно используется конечномерная аппроксимация. При этом повышение точности метода необходимо влечет увеличение ее размерности.

В теории управления одним из способов избавиться от проблемы высокой размерности экстремальной задачи является переход к синтезу оптимальной системы по принципу управления с обратной связью, осуществляемому в реальном времени. Этот подход особенно актуален в ситуациях, когда неизвестное управление требуется восстановить в динамике, синхронно с функционированием наблюдаемой системы, как принято говорить, в темпе реального времени. Такой метод решения обратных задач динамики, названный методом динамической регуляризации, был разработан Ю.С. Осиповым и А.В.Кряжимским [1,2]. Согласно этому подходу процедура построения приближенного решения представляется в виде процесса построения управления вспомогательной системой моделью, аналогом поводыря, впервые примененным H.H. Красовским в теории позиционных дифференциальных игр [3]. Позднее авторы метода и их ученики А.И. Короткий, В.И. Максимов, A.B. Ким, А.Ю. Вдовин, К.Э. Ловцкий, B.JI. Розенберг и др. использовали его для решения широкого спектра обратных задач (см. источники цитированные выше, а также [4]).

Заострим внимание на одной из первых работ в этом цикле [5]. В ней рассмотрена задача моделирования управления v{-), порождающего движение динамической системы, которая задается дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной, с правой частью аффинной по управлению:

x'(t) = g(t, x{t)) + f{t, x{t))v{t), t 6 [a, b], s(a) = so, (1)

здесь g(-, x(-)), /(•, x(-)) - непрерывные отображения [a, 6] x Rm в if71 с евклидовой нормой | • [ и в R"1*9 со спектральной нормой || • |j соответственно. Допустимыми управлениями назовем измеримые на [а, 6] по

Лебегу функции г;(-) со значениями из некоторого выпуклого компакта Q С R9, при этом |i/(i)| ^ Mv. Множество всех допустимых управлений обозначим U. Движение системы, порожденное допустимым управлением v(-), трактуется как решение задачи (1) в смысле Каратеодори. Совокупность таких движений обозначим Х(и(-)). Предполагая, что Х(и(-)) непусто для любого v(-) б U, фиксируем непустое равномерно ограниченное множество X с [_J Х(и(-)). Таким образом, для некоторого

v(-)eli

компакта X G Rm включение x(t) G X справедливо при всех t £ [a, b], х(-) е X.

Функция £(•) : [а, 6] -> Rm называется измерением движения х(>) с _уровнем_погрешности_/1,_если_при_^€_[а,_Ь]_имеют_место_неравенства_

№-x(t)\<h, (2)

Совокупность всех измерений, удовлетворяющих условию (2), обозначается Е/,(х(-)). Множество U(i(-)) допустимых управлений, порождающих движение х(-), вообще говоря неодноэлементно, следовательно, задача не является корректной по Адамару. Один из приемов регуляризации в этой ситуации состоит в выборе в качестве решения управления

■у»(-), являющегося единственным решением задачи min ИКОНАМ-

f(-)6U («(•))

Пусть V[a, b] некоторое функциональное пространство с метрикой pv(-), Dh — совокупность операторов Б/,(х(-)) —> U.

Семейство операторов Dh принято называть V нормально регуляри-зирующим, если для каждого х(-) G X

lim sup pv(i?a(£(0)-".(О) =0.

Суть обсуждаемого метода состоит в следующем: до момента t = а считаются заданными величина h £ R, функции а(-), Д(-) : (0, оо) -> (0,оо), выпуклый компакт Q С R?. В начальный момент t = а (либо заранее) предполагаются известными вид системы (1), разбиение временного промежутка [а, Ь] : а = to < ij < ... < tn = b ( max (U+\ — tA ^

«eo.n-i

Д(h)), начальное состояние модели ш/,(<о) = и значение vq, равное проекции нуля на Q.

На каждом промежутке разбиения [ij,fi+1) формируются:

а) значение некоторого измерения из Ел(х(-)) в точке it;

б) состояние в точке tM модели, функционирующей на [¿i,it+i] по правилу

Ы*) = Ыь) + (Ф,Ш) + /(*, i(fi))«.-) (« - и), (з)

б) значение Vi — результат проекции на Q вектора

f4um)m-™h{ti)

a{h)

Определенное таким образом семейство D^ ставит в соответствие любому измерению из Sft(®(-)) кусочнопостоянное приближение %(•) {vh{t) = V{ при t 6 [ti, ii+i))- Построение последнего принципиально может быть осуществлено в темпе реального времени, поэтому D^ был назван конечношаговым динамическим алгоритмом (к.д.а).

Свойства к.д.а D^ существенно зависят от дополнительной априорной информации. В частности, в [5] показано, что если отображения

/(-, х(-)),д(-, х(-)) удовлетворяют условию Липшица по совокупности пе-

h + A(h) п г

ременных и lim —^пл— = 0, то семейство D\' — Ь2-нормально регу-

ляризирующее.

Важным с точки зрения потребителя, предполагающего использовать для построения решения тот или иной метод, является вопрос об оценке его точности как сверху, так и снизу. Если порядок этих оценок относительно величины h одинаков, то он называется порядком точности метода. Идеальной является ситуация, когда порядок метода совпадает с порядком оптимального метода решения задачи.

Цель работы состоит в построении модификации Dи исследовании ее порядков точности в равномерной метрике и в пространстве L\[a,b] при дополнительной априорной информации как о свойствах самой динамической системы, так и о ее управлении.

Методы исследования. В основе теоретических результатов диссертации лежат понятия и подходы численного решения некорректных задач с помощью метода динамической регуляризации. Для получения оценок точности результатов таких решений использовались методы теории приближений, в частности, процедура восстановления значений функции с помощью сингулярного интеграла, функционального анализа, теории псевдоинверсии и вычислительной линейной алгебры, теории устойчивости и численных алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений. При моделировании часть расчетов для удобства проводилась в системе Matlab. Для пользователей была разработана программа в среде Microsoft Visual Studio 2005 Student Edition на языке _С±_-Ь_:_

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

¡2)

— предложена модификация DKh метода Ю.С. Осипова и А.В. Кряжим-ского моделирования управления в динамической системе, основанного на динамической регуляризации с помощью сглаживающего функционала А.Н. Тихонова правила экстремального сдвига Н.Н. Красовского;

— разработан подход получения порядка точности D^, основанный на декомпозиции, трансформирующей исходную задачу к получению оценок точности: во-первых, оператора восстановления — многомерного аналога сингулярного интеграла, во-вторых, метода Эйлера для решения линейного дифференциального уравнения с большим параметром;

— описаны множества корректности в задаче моделирования управления;

— на указанных множествах получены верхняя и нижняя оценки точности для равномерной и L\[a, Ъ] метрик, их асимптотический порядок, в первом случае совпадающий с оптимальным;

— на основе проведенных теоретических исследований разработаны программные средства для численного моделирования, которые были применены для построения математической модели вибропроцессов, возникающих в механической системе с двумя степенями свободы.

Теоретическая и практическая ценность. Решение обратных за-

дач возникает в различных ситуациях при изучении явлений в науке и технике. Говоря о целесообразности использования при их решении динамического подхода, уместно вспомнить слова Н.С. Бахвалова [6]: «Если исследования не будут завершены к сроку, то решение все равно будет принято, но на основании более грубого, эмпирического или просто "волевого" подхода — В такой ситуации лучше найти удовлетворительное решение задачи, но в срок, чем полное решение задачи к тому времени, когда оно станет бесполезным». Именно поэтому, построение динамического алгоритима с уменьшением количества операций, выполняемых на его шаге, можно считать практически ценным. С другой стороны, результаты работы свидетельствуют о том, что в ряде случаев асимптотический порядок точности методов динамической регуляризации сопоставим с порядком точности статических методов, которые обладают существенными информационными преимуществами. Этот факт, основанный, по всей вероятности, на том, что основные свойства решаемой задачи обусловлены ее локальными характеристиками, несомненно интересен с точки зрения теории.

Апробация работы. Главные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвященной 50-летию Ижевского математического семинара и 30-летию кафедры "Прикладная математика и информатика" Ижевского государственного технического университета (Ижевск, 31 января - 4 февраля 2006), Международном научном семинаре "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", посвященном 75-летию со дня рождения И.Я.Каца, (Екатеринбург: УрГУПС, 13 - 17 ноября 2006), Воронежской зимней математической школе - 2008, посвященной 90-летию Воронежского государственного университета, 90-летию С. Г. Крейна (Воронеж, 24-30 января 2008), конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева (Ижевск, 4-9 мая 2008), Международной конференции, посвященная 100-летию со Дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 17-22 июня 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова

(Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 года), 3-й Международной конференции "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" (Екатеринбург, УГТУ-УПИ, 20 - 22 ноября 2008), семинаре научно - педагогической школы "Виброакустические процессы в технологиях, оборудовании и сооружениях отраслей ЛПК" (Екатеринбург, 3-4 февраля 2009); ежегодных конференциях молодых ученых в ИММ УрО РАН в 2005 -2008 гг., научных семинарах кафедры вычислительной математики Уральского госуниверситета (руководитель д.ф.-м.н В.Г. Пименов), расширенном семинаре отдела дифференциальных уравнений ИММ УрО РАН (руководитель д.ф.-м.н В.И. Максимов), научно-методическом семинаре кафедры высшей математики УГЛТУ (руководитель доцент Т.И. Шатунова).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, приведенных в конце автореферата, три из них в изданиях, включенных в перечень ВАК. В работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, А.Ю. Вдовиным осуществлялись постановка задач и выбор методов их исследования, а диссертантом - непосредственное доказательство основных теоретических результатов, проведение вычислительных экспериментов и разработка соответствующих программных средств.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы, включающего 118 названий, и приложения. Общий объем работы составляет 132 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается значение метода динамической регуляризации при решении обратных задач динамики управляемых систем, обсуждается его место среди иных методов, разработанных для этих целей. Для семейства операторов Dh в пространстве V[a, 6] подчеркивается важность получения верхней (нижней) оценок его точности. Под нижней (верхней) оценкой точности понимаются функции иОХ^гО) : (0>°°) (0, оо), удовлетворяющих для h 6 (0, h,} и движений х(-) £ X из множе-

ства корректности неравенствам

vi{h) < sup ||v,(-) - 1)л(^(-))||у[0,ь] ^ €(-)е2» (*(•))

их порядком — функции тi(h) : [0, оо) [0,оо), i = 1,2, такие, что Cift^W ^ v^h) ^ u2{h) ^ C2h^h\

и асимптотическим порядком — число г = lim 71(h) = lim72(/i). Рас-

h-tO h-y О

сматриваютя условия, налагаемые на систему (1), ее движения со значениями из компакта X С Rm, и управления ■и(-), при выполнении которых возможно получение оценок точности и асимптотического порядка: условие xl — х(t) 6 intX для всех t € [а, 6];

условие si — отображения /(■), д{-) удовлетворяют условию Липшица на [а, 6] х X с константой L;

условие /1 — матрица /(-,х(-)) обратима на [а, 6]; условие /2 — образ матрицы /(•,£(•)) - i?j (/(•,£(•))) постоянен на [а, Ь];

условие /3 — rank(f(-,x(-))) постоянен на [а, 6];

ь

условие vl — вариация vt(-) на [a, b] (\Jограничена;

а

условие v2 -v,(-) удовлетворяет условию Липшица, и известно v,(a); условие v3 — vt(t) £ intQ для всех t € [а, Ь].

Предлагается модификация , рассмотренного семейства суть которой состоит в отказе от процедуры проектирования на Q при определении значения Очевидно, что это приводит к уменьшению числа арифметических операций, выполняемых на шаге метода, и соответственно улучшает динамические свойства алгоритма. (2)

В первой главе Dh рассматривается при условиях т = q = 1, f{-,x(-)) = 1, ff(-,x(-)) = 0, сводящих задачу (1) к проблеме численного дифференцирования. На ее примере исследуется предлагаемый подход к получению оценок точности. Помимо возникающей на г-м промежутке при реализации D® модели Wh(t) — гид(^) + Vi(t — U) с управлением

Ш - Wh(tj)

v. _- - рассматривается модель

a{h)

Wo{t) - a(h) '

x(t) - tü0(í)

которая, равно, как и управление vo(í) =-ггт—S реально реализо-

a(h)

ваны быть не могут, поэтому названы виртуальными. При этом виртуальное управление определяется формулой

t t

voit) = J e~^)v{T)dr,

a

правая часть которой может трактоваться как сингулярный интеграл [7] 1

с ядром е . С помощью приемов, принятых при его исследовании, доказана

Лемма 1.1 Пусть выполены условия xl, vi, v3; ó (h), стремятся

ö{h)

к нулю вместе с h; 0 € Q; k G N. Тогда найдется /ii(fc) > 0 такое, что для всех h € (0, hi(k)), t € [а, 6] справедлива оценка

v v(-).

Рассмотрение модели в D^ как реализации метода Эйлера для виртуальной модели, описываемой линейным дифференциальным уравнением, позволяет установить тот факт, что справедлива

Лемма 1.4 Пусть выполнены условия леммы 1.1, функции а(-), А(-) и

, . Д(Л)

величина hi > О таковы, что при п 6 (0, /ы , равномерно ограни-

a¿(h)

чена. Тогда найдется положительная константа К\ такая, что для всех t £ [а, 6] имеет место неравенство

МО-*мк +

Подчеркнем, что указанные в диссертационной работе в явном виде постоянные К{, зависят только от коэффициентов Липшица и ограничивающих констант. Номер г соответствует лишь порядковому номеру появления константы в автореферате.

Полученные результаты доказывают справедливость следующего факта

Теорема 1.1 Пусть выполнены условия лемм 1.1, 1.4. Тогда

Во втором разделе изучается вопрос о нижней оценке точности 'в Ь\\а,Ь] для задачи численного дифференцирования. Следуя подходу [8], рассматривается правило формирования ошибки измерения и пример управления, которые гарантируют, что имеет место Теорема 1.2 Пусть х'^) = V», х(а) = х0, где V* ф 0 — внутренняя

точка <3; аШ, —г-г —► 0 вместе с И, Д(/г) = к. Тогда существуют а{к)

постоянные /13, Кг > О такие, что при к € (0,/13) нижняя оценка точности В^1 для задачи численного дифференцирования удовлетворяет неравенству:

На основании этих результатов делается вывод о том, что при выборе

к £+1

параметров метода по правилу А (Л) = к, 5{К) — ак+1(к), а(к) = Л2А+1 асимптотический порядок точности ¿1(0,6] равен -. (2)

В разделе 1.3 реализуется на модельном примере, при этом полностью подтверждаются полученные ранее теоретические выводы.

Завершается первая глава рассмотрением примера использования к.д.а В^ для решения задачи определения скорости изменения электро-

1М0 -«*(■) 1к <

Ш{ь-а)+з{ь-а)

а(к) +

к

вир - 1;Л(-)|и1 ^ К2^к.

е(-)е2„(х(.))

сопротивления монокристалла от температуры, возникающей при изучении явления высокотемпературной сверхпроводимости.

Следующие, вторая и третья главы, посвящены получению оценок точности виртуального управления при различных ограничениях, налагаемых на систему (1) и управление vt(-). При этом виртуальные модель и управление принимают вид:

4W = 9(t, x(t)) + f{t, x(t))vQ(t), wo (a) = xo, (4)

Как и в главе 1, движение виртуальной модели может быть представлено в явном виде____

t

w0{t) = X{t,a-,A(-))x0 + J Х{^т-,А(-))(-щА(т,х{т))х{т)+

а

+ д{т,х(т)))ат,

где А{т,х{т)) = /(т, x(r))/r(r, х(т)), a 0C(t, т; А(-)) — матрица Коши системы (4).

Преобразования полученного решения при выполнении условия /1 приводят к равенству

t

= Щ jx(t,T-,A(.))A(T,x(T)) {ПгЛг))У\{г¥г.

а

С учетом свойств матрицы Коши, интегральный оператор в правой части может быть рассмотрен как обобщение сингулярного интеграла, рассмотренного в первой главе. Будем трактовать его как оператор восстановления значения

функции F(t) = (/T(i,x(f))) v(t) с ядром

Если при t £ [а, Ь], т 6 [o,i] функция 3C(i, т; А(-)) удовлетворяет неравенству j|UC(i,r; Л(-))|| ^ то говорят о выполнении свой-

ства ®(г/,7) [9].

В лемме 2.3 доказано, что при выполнении условий 51, /1, и1, ьЗ,

О 6 <2, матрица Коши •; Л(-)) удовлетворяет свойству Ъ( ■ у/т),

&{п)

где А = пип{Л1(т)}, а М(т) — минимальное собственное число

А(т,х(т)). При этих же условиях, на основании справедливости неравенства [10]

пд-1 л-ч< и-ЧЧв-М

ь

устанавливается, что -Г(-) ограничена. Этот факт, а также свойство

а

Ъ(- , уЯ матрицы Коши, позволяют оценить погрешность оператора восстановления:

Лемма 2.6 Пусть выполнены условия /1, «1, г>3, 0 £ <?; функция

6(-) : (0, оо) (0, оо) такова, что ¿(й), 0 при к 0; при

6{Н)

т € [а - 5(Н),а) А(т,х(т)) = А(а,х{а)), ь{т) = 0 и к € N. Тогда существуют положительные константы и /14(А;) такие, что для всех к € (О./ц^)), t £ [а, Ь] справедлива оценка:

I к %

а ¡-¿(К)

Итогом раздела 1 главы 2 является теорема о точности виртуального управления при условии обратимости матрицы /(-,х(-)) на [а, 6], последнее гарантирует одноэлементность множества 1С(х(-)) : Теорема 2.1 Пусть выполнены условия леммы 2.6. Тогда существуют положительные константы такие, •что

В разделе 2 главы 2 рассматривается случай выполнения условий х1, /2, и1, иЗ. При этом полагаем /(•,£(■)) вырожденной при 4 € [а, 6], так как иной случай рассмотрен ранее. В этой ситуации, действуя по

аналогии с предыдущим разделом, приходим к использованию операции псевдообращения, которая приводит к рассмотрению оператора восстановления вида

х(£) - гоо(г) а{К)

г

= I ^(Хг^ЛО)) (Г(т,Х(Т)))+У(Т)С1Т

здесь т;А(-)) = ЗС(г, т; Л(-))РЬ а Р1 — проектор на постоянное по Ь подпространство

В лемме 2.8, являющейся аналогом леммы 2.3, устанавливается свойство Ъ( ,.г,л/тп) для матрицы г; А(-)), где Л — точная нижняя а{п)

граница минимальных положительных собственных значений А{1,х{1))

при t £ [а, Ъ\.

Ввиду имеющего место обобщения неравенства (5) (см. [11]) на случай псевдообратной матрицы, имеет место ограниченность вариации (/г(-,а;(-)))+г;*(') на [а, 6]. Поэтому оценка точности оператора восстановления с ядром — ^ЭСх^, г; Л(-))^ этой функции принимает вид, аналогичный (6) с заменой обратной матрицы на псевдообратную, а и(£) на

В третьей главе диссертации удается перенести результаты второго раздела предыдущей главы на ситуацию, когда условие /2 заменяется условием /3, то есть на случай, когда подпространство образов матрицы /(•,!(•)), меняясь во времени, сохраняет постоянную размерность.

В лемме 3.4 устанавливается, что функция

Р1(А(Ь, х(г)))ЭС(*,т; Л(-))Р1(Л(т, х(т)))

обладает свойством Ъ[, \.Л^/гпКтт), где Л, как и в лемме 2.8, — точ-4 а[п)

ная нижняя граница минимальных положительных собственных значений х(Ь)) при t £ [а, Ь]. Схема доказательства этого не очевидного, но принципиально важного для нас результата состоит в следующем: в силу свойств ортогональных проекторов Рк(А{Ь,я(<))), к = 0,1 существует ограниченный обратимый оператор поворота и(т,£) [12]

(max||J7 1(т, i)|| ^ Кц), при помощи которого вводится в рассмотрение

t,T

матрица-функция Z(t,r) = %(t, г; A(-))U(T,t), являющаяся решением дифференциального уравнения с большим параметром:

+Z(t,T)U-1(r,t)~{u(r,t)), Z(t,t) = Е (7)

где матрица - коэффициент Ai(T,x(r);t) коммутирует с проекторами.

Рассматривая А2(т, x{r)\t) — Ai(T,x(T);t) — a(h)E, собственные числа которой при малых h отличны от нуля, и, переходя к "медленному"

t — T

времени s = —г, получаем уравнение

о(л)

^Z(t,t - a(h)s)^) = -Z(t,t - a(h)s)A2(t - a(h)s,x(t - a{h)s);t) --a(h)Z(t,t-a(h)s)B(t,t-a{h)s), Z(t,t)=E, (8)

где B(t,t- a(h)s) = u-\r,t)^(u(r,t)) + E.

Отбрасывая второе слагаемое в правой части (8), приходим к "усеченному" уравнению

(z(t, t - a(h)s)) = -Z(t, t - a(h)s)A2(t - a{h)s, x{t - a{h)s); t),

которое будучи рассмотренным для столбцов матрицы Z(t, •)

распадается на систему независимых уравнений:

^(Zi[k\t, t - a(h)aj) = -A2{t - a(h)s, x(t - a(ft)s); i) Д t - a(A)s),

с начальными условиями z}k\t, t) = P-k\A(t, x(t))).

При этом в лемме 3.2 доказывается, что для решений "усеченных" уравнений при малых значениях h имеют место оценки \Zi (t, t — a(h)s)\ ^ \Zoik\t,t-a{h)s)\ > |2oW(i,

Уравнения, обладающие такими свойствами, называются э-дихотомичными [9]. Методы, изложенные в цитированной монографии,

позволяют при малых Н гарантировать наличие условий э-дихотомии и для уравнения (8), рассмотренного для столбцов матрицы Z{t,•), и являющегося возмущенным по отношению к "усеченному." При этом

-А,

Переходя к оценке спектральной нормы матрицы, получаем окончательный результат, который позволяет оценить погрешность оператора восстановления с ядром Фд(£, т) =

^ х{1)))%(1, г; Л(.))Л(Л(г, х(т)))).

Лемма 3.5. Пусть Р+(-) = (/г(-|:£(,)))+г;(*)> выполнены условия

а{К)

т <Е [а - 5{К), а) ь{т) = 0, А(т,х{т)) = Л(а,э:(а)); к е N. Тогда существуют положительные константы Ъ.ь{к),К-! такие, что при

л е (О,Л5(А)), *е[а,б]

t 4 к \Ф^г^+мйг-адк^ V ВД + ^Пж) •

а ¿(Л) 4

Итогом третьей главы является Теорема 3.1. Пусть выполнены условия леммы 3.5. Тогда

1М0 - Ы-)1к < (Ь - а)+ (9)

ь

+6(К)КЭ \/ (/т(-)) + «(■) + а(Л)^ю(Ь - а)

Четвертая глава посвящена получению оценки точности метода Эйлера, примененного к виртуальной системе модели на сетке разбиения [а, 6], задаваемой к.д.а . Рассуждения проводятся по той же схеме, что и в первой главе: в два этапа. На первом, в лемме 4.4 гарантируется существование констант Кц, К 12, Кц, Кц таких, что

МО - ..<01« щщК» + + «»щ +

Из полученной оценки непосредственно следует результат теоремы 4.1: Пусть выполнены условия леммы 4.4. Тогда найдутся положительные константы К^, К\д такие, что

На втором этапе оценка уточняется при условии ограниченности вели-А ДШ

чин ,,,., ,.,., за счет использования свойств линейного уравнения, аг(П) ог(д)

при этом, окончательный результат представим в виде оценки, указанной в теореме 4.2:

»».о

Пятая глава является заключительной. В ней на основании оценок точности виртуального управления и метода Эйлера выводятся итоговые оценки точности к.д. а .

В первом разделе результаты относительно точности к.д.а £>д2'в метрике Ь\\а,Ь] на различных классах корректности, построенных в главах 2, 3, 4, сформулированы в виде теорем 5.1, 5.3, 5.4:

Теорема 5.1 Пусть выполнены условия х1, /1, «1, иЗ, 0 € С?, «^(/г) = Х5{К)\ существует > О такое, что для всех Л € (0, Лв) Л Д(Л) т а -о

„.,., „. ограничены. 1огоа найдутся положительные константы аг(п) аг(П)

К20 такие, что верхняя оценка точности в пространстве Ь\[а,Ь] имеет вид:

< V СмгЧ)+^+

Замечание 1. В рассматриваемом случае при выборе параметров рек А+1

гуляризации ¿¡.(К) = «(/1)^+1, а(/г) = И2к+1, А(Н) — /г, асимптотический г>(2) 1

порядок точности Щ 'равен -.

А

Показывается, что такой же порядок точности имеет место при ограниченности величин , , и выполнении: а) условий х1, Л, /2, аг (Л) сг(/г)

ь1, иЗ (теорема 5.3); б) условий х1, в1, /3, и1, иЗ (теорема 5.4).

Замечание 2. Полученный порядок точности является неулучшае-мым.

В теореме 5.2 в равномерной метрике рассматривается асимптотический порядок точности к.д.а \ примененного к системе (1) при закрепленном левом конце управления (и(а) = уа) и выполнении условий и2, /1, х1, 51, г>1. Показывается, что при выборе параметров регуляризации, рекомендуемом в замечании 1, этот порядок равен -.

Замечание 1. При замене в теореме 5.2 условия /1 на /3, результат остается справедивым, но уже для нового нормального управления у.Н-РхМ-.дС-йМа)._

Замечание 2. Указанный порядок является асимптотически оптимальным.

Замечание 3. Полученные в разделе 5.1 относительно асимптотиче-

г>( 2)

ского порядка точности к.д.а 'результаты остаются справедливыми и для к.д.а в случае выполнения условий а:1, и1, иЗ.

В этом же разделе подводятся итоги моделирования управления с ис-(2)

пользованием к.д.а с помощью разработанного программного комплекса. Они полностью согласуются с результатами, полученными аналитически.

В разделе 5.2 приводится сравнение применения к.д.а других методов. При этом отмечается его преимущество, достигаемое за счет действия на интервалах непрерывности восстанавливаемого управления, на которые он наиболее заострен.

(2)

Раздел 5.3 посвящен использованию к.д.а. 0\ для решения задачи моделирования системы с двумя степенями свободы на примере сосредоточенной массы на упругом основании, совершающем поступательные и поворотные перемещения в одной плоскости. Задачи в такой постановке возникают при решении проблем виброзащиты при проектировании и эксплуатации машин, оборудования и сооружений. В работе с помощью к.д.а определяется характер неизвестных неупругих сил, воздействующих на систему.

В приложении приводятся иллюстрации пользовательского интерфейса и описание программных средств, предназначенных для численного моделирования.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions London Gordon and Breach, 1995.

2. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П, Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации М.: МГУ, 1999.

3. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

4. Короткий А.И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами // Известия вузов. Математика. 1995. №11. С.101-123.

5. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе. // Техн. Кибернетика. Изв. АН СССР, 1983. № 2, с. 51-60

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. I. М. Наука 1973.

7. Натансон И.П. Теория функции вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

8. Вдовин А.Ю., Кряжимский A.B. О нижней оценке точности одного -метода позиционной регуляризации для задачи восстановления возмущения // В сб.: Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991, с.3-13

9. Далецкий Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: Наука, 1970.

10. Воеводин В.В. Линейная алгебра: Учебное пособие. СПб.: Издательство "Лань, "2006.

11. Wedin P.A. Pertubation theory for pseudoinverces. // BIT № 13(2), 1973. c. 217-232.

12. Далецкий Ю.Л., О непрерывном вращении подпространств в

банаховом пространстве. // УМН 1957, 12 3(75) с. 147-154.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих резенцируемых научных журналах:

1. Рублева С.С. О модификации одного динамического алгоритма, гарантирующего восстановление управления в динамической системе с вырожденной матрицей// Вестник Удмуртского университета, Математика. Механика. Компьютерные науки. Вып. 2, 2008, с. 119-121

2. Вдовин А.Ю. Ким A.B. Рублева С.С. Об асимптотической точности в LI одного динамического алгоритма восстановления возмущения.// Труды Института математики и механики. Том 12, №2. Управление, устойчивость и обратные задачи динамики, 2006, с.18-26 5.

2.a Vdovin A. Yu., Kim A.V., Rubleva S.S. On asymptotic accuracy in LI of one dynamical algorithm for reconstructing a disturbance // Proceeding of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 255, Suppl 21, 2006, 216 -224

3. Вдовин А.Ю., Рублева C.C. О точности реконструкции линейного воздействия на динамическую систему по результатам неточных измерений ее состояний// Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. №3(60), 2008, с.189-191.

Другие публикации:

4. Вдовин А.Ю. Рублева С.С. О динамическом алгоритме нахождения производной функции.// Известия высших учебных заведений: Лесной журнал. 2006, № 1,с.128-132

5. Вдовин А.Ю. Рублева С.С. О динамическом алгоритме нахождения производной по кусочнопостоянной информации о ней. // Известия института математики и информатики, Удмуртский государственный университет, выпуск 2 (36), 2006, с.31-34

6. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. Асимптотическая оценка точности восстановления возмущения одного динамического алгоритма // Устойчи-

вость, управление и моделирование динамических систем: Сб. научн. Трудов. Материалы научн. конферении, посвященной 75-летию со дня рождения И.Я.Каца, Екатеринбург: УрГУПС, № 54 (137), 2006, с.34

7. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О гарантированной оценке точности динамического восстановления управления (случай непостоянства ранга матрицы коэффициентов) // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна - 2008, Воронеж: ВорГУ, 2008, с. 54-68

Подписано в печать2?.04.2009 г. Объем 1 п.л. Заказ № 167 Тираж 100 экз. 620100, Екатеринбург, Сибирский тракт, 37. Уральский государственный лесотехнический университет Отдел оперативной полигафии

Основные используемые обозначения

Введение

1 Задача численного дифференцирования

1.1 Верхняя оценка точности к.д.а. в Ьг[а, 6]

1.2 Нижняя оценка точности к.д.а. И 1г в Ь\[а,Ъ\.

1.3 Численное моделирование (пример и прикладная задача)

2 О точности виртуального управления при постоянном образе матрицы коэффициентов при у(-)

2.1 Случай обратимости /(•,х(•))

2.2 Верхняя оценка точности в общем случае.

3 О точности виртуального управления при постоянной размерности образа матрицы /(-,ж(-))

3.1 Погрешность оператора восстановления.

3.2 Оценка точности виртуального управления.

4 ': разность управлений виртуальной модели и поводыря

4.1 Шаг первый: получение оценки по традиционной схеме

4.2 Шаг второй: улучшение оценки.

5 Обобщающие оценки. Результаты моделирования

5.1 Асимптотические порядки точности на множествах корректности

5.1.1 Верхняя оценка точности в случае обратимости вдоль движения.

5.1.2 Верхняя оценка точности в случае постоянства подпространства Ri (/(•, £(•)))

5.1.3 Верхняя оценка точности D^ в случае постоянства размерности подпространства R\ (/(•, х(•))).

5.2 Сравнение с другими методами.

Предметом исследования настоящей работы являются вопросы, возникающие при решении обратных задач, связанных с динамическими системами, описываемыми конечномерными обыкновенными дифференциальными уравнениями х(г) = Ф(Ь,х(Ь),у(Ь)), Ь€[а,Ъ],х{а)=х0. (0.1)

Обратную задачу будем трактовать, как проблему восстановления неизвестного входа у(-) : [а, Ь] —> В? по измерениям результата некоего преобразования фазового вектора системы х(-) : [а, 6] —» Я4. Первоначально такие задачи возникали при определении активных сил, действующих на динамическую систему; входящих в нее параметров и дополнительно наложенных связей, при которых движение с заданными свойствами является одним из ее возможных движений. Первой такой задачей считается проблема Ньютона об определении сил, под действием которых планеты совершают движение согласно законам Кеплера [35].

Среди работ рассматривающих задачи в подобной постановке отметим [35, 36, 42, 51, 52, 76, 77, 97, 105].

Известно, что результаты измерений любого реального процесса как правило не являются точными. Поэтому построение входа динамической системы должно удовлетворять условию сохранения свойств решения, то есть задача может быть рассмотрена как проблема управления, гарантирующего свойства устойчивости к возмущениям различной природы.

В связи с этим современное состояние проблемы решения обратных задач динамики во многом определяется достижениями теории управления и теории некорректных задач.

Среди первых прежде всего следует выделить результаты научных школ:

Л.С. Понтрягина в области математической теории оптимальных процессов управления [2, 78];

H.H. Красовского и A.B. Куржанского по теории гарантированного оценивания [48, 49, 56, 84];

Р. Беллмана в области динамического программирования [11, 13, 14];

Р. Калмана и Р. Быоси по общей теории систем и проблемам оптимальной фильтрации [44, 100].

В работах [72, 99, 105] рассматривались критерии однозначной разрешимости обратной задачи при ограничениях, налагаемых на динамическую систему и гладкость управляющих воздействий. В статье [97] исследованы условия непрерывной зависимости входного воздействия от выходного сигнала. Задача, удовлетворяющая условиям существования, единственности и устойчивости называется корректной по Адамару. Однако в общем случае обратные задачи динамики перечисленными условиями не обладают. В этой ситуации для их решения могут быть привлечены методы, развитые в теории некорректных задач, получившие название методов регуляризации. Значительный вклад в развитие этой теории внесли А.Н.Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.А Морозов, В.В. Васин, Ф.П. Васильев, В.П Танана и др. [21, 43, 59, 69, 86].

В силу сказанного многие методы решения обратных задач динамики построены на сочетании методов оптимального управления и методов регуляризации. При наличии информации о выходе на всем временном интервале функционирования динамической системы соответствующая задача управления сводится к решению некоторой экстремальной задачи в бесконечномерном функциональном пространстве. Такой подход можно считать сформировавшимся под влиянием принципа максимума Понтрягина. В этом случае под управлениями понимаются элементы упомянутого пространства, на которых ищется экстремум выбранного функционала качества.

Однако практическую реализацию оптимизации в бесконечномерном пространстве эффективно провести не удается из-за проклятия размерности. Если для приближенного решения такой задачи использовать ее конечномерную аппроксимацию, то размерность последней для повышения точности алгоритма устремляется к бесконечности, что необходимо потребует увеличение объема используемой памяти. В ряде работ эта проблема решалась за счет рассмотрения серии аналогичных задач на укороченных временных интервалах.

С таких позиций обратные задачи динамики рассматривались в работах

3, 4, 98], построенных на сочетании принципа максимума и метода сглаживающего функционала А.Н. Тихонова. Совместному использованию принципа максимума и методов теории оптимальной фильтрации посвящены работы [67, 82].

С другой стороны, одним из способов избавиться от проблемы высокой размерности экстремальной задачи является переход к синтезу оптимальной системы управления по принципу управления с обратной связью в реальном времени. Такой подход, названный динамической регуляризацией, был разработан Ю.С.Осиповым и А.В.Кряжимским [53, 74, 104], и развивается их последователями.

Согласно этому подходу, в рамках которого выполнена настоящая работа, алгоритм построения приближенного решения представляется в виде процесса управления некоторой вспомогательной системой моделью, аналогом поводыря [50] из теории позиционных дифференциальных игр. Этот процесс осуществляется синхронно с формированием фазового вектора динамической системы. Рассмотрим задачу моделирования входа г;(-) (далее будем его называть управлением), реализующего движение динамической системы, описываемой уравнением (0.1), правая часть которого аффинна по управлению: х'(Ь) = дЦ,х(Ь)) + ¡(Ь,х(Ь))у{Ь), 1Е [а, 6], х{а) = х0. (0.2)

Здесь д(-), /(•) — непрерывные отображения [а,Ь] х Ят в пространство Ят с евклидовой нормой | • | и в Дтох<7 со спектральной нормой || • || соответственно. Значение управления г>(£) 6 К1. Допустимыми управлениями назовем измеримые на [а, Ъ] по Лебегу функции г>(-) со значениями из некоторого выпуклого компакта С] С Яд. Множество всех допустимых управлений обозначим 11. Движение системы, порожденное допустимым управлением г>(-), трактуется как решение задачи (0.2) в смысле Каратеодори. Совокупность таких движений обозначим Х(у(•)). Предполагая, что Х(г>(-)) непусто для любого г>(-) Е IX, фиксируем непустое равномерно ограниченное множество X С Х(г>(-)). Таким образом, для некоторого компакта X е К™ включение х(Ь) е X справедливо при всех £ € [а,Ь], гс(-) е X.

Функция £(•) : [а, Ь] —» ВТ1 называется измерением движения ж(-) с уровнем погрешности И, если при £ 6 [а, Ь] имеют место неравенства км-яеою. (о.з)

Множество всех таких измерений обозначается Н/г(а:(-)). Отметим, что задача моделирования допустимого управления, порождающего движение х(-) в общем случае не будет корректной по Адамару, хотя бы потому, что множество II(ж(-)), допустимых управлений, порождающих движение х(-), вообще говоря неодноэлементно. Одним из стандартных приемов регуляризации, позволяющих добиться устойчивости алгоритма относительно ошибки измерений h, является выбор в качестве искомого решения нормального управления г>*(-), обладающего минимальной нормой в пространстве ./^[а, Щ среди всех допустимых управлений из U(x(-)). Как отмечается в [53], такое управление существует и в силу строгой выпуклости нормы в Ь2[а,Ь] единственно с точностью до эквивалентности по мере Лебега.

Отметим, что многие некорректные задачи сводятся к решению операторных уравнений первого рода Av(-) = х(-), где ?;(•) искомый, а х(-) — задаваемый элементы из линейных сепарабельных нормированных пространств V[a,&] и Х[а, Ь].

Пусть D — совокупность операторов Dh : Н/г(а;(-)) —> U. Согласно [86] семейство операторов Dh из D называется V нормально регуляризирующим, если для каждого аг(-) Е X lim sup - ^(')llvM = 0.

Свойства семейства операторов Dh во многом зависят от априорной информации [88, 25, 92] о решении г>(-), выходе х(-), статистических характеристиках распределения ошибок pi об операторе А. В рассматриваемом нами случае оператор А определяется системой (0.2), а следовательно, свойствами отображений д(-) и /(•).

В дальнейшем нами будут рассматриваться следующие варианты априорной информации. Для наблюдаемого движения ге(-) системы (0.2) существует компакт X С Rm такой что имеют место условие xl — x(t) G int~X. для всех t е [а, &]; условие si — отображения /(•), д(-) удовлетворяют условию Липшица на [а, 6] х X с константой L; условие /1 — матрица /(•,£(•)) обратима на [а, £>]; условие /2 — R\ (/(•,&(•))) постоянен на [ä, &]; условие /3 — rank(f(-,x(-))) постоянен на [а, Ь].

Для нормального управления г>*(-) могут быть использованы ь условие vl — \Jv*{') ограничена; а условие v2 ~ v*(t) G Q для всех t G [а, 6]; условие v3 — v*(t) G intQ для всех t G [а, &], 0 G Q\ условие г>4 — i>*(-) удовлетворяет условию Липшица, и известно г>*(а).

Относительно ошибки измерения не предполагается наличия какой-либо информации кроме неравенства (0.3), как это принято при гарантированном подходе [48].

Замечание 1. Выполнение условий xl,sl,v2 влечет существование положительных констант Mf,Mg, Mv таких, что ¡¡/(ОН ^ ¡<7(01 ^ Мд>

МОКМ,.

Замечание 2. Условие si по сути гарантирует существование и единственность выхода х(-) [22, 93].

Более подробно остановимся на описании одного алгоритма динамической регуляризации построения решения рассмотренной выше задачи. Суть этого метода, предложенного в [53], моделирующего нормальное управление, состоит в следующем. Пусть заданы положительное h G R, функции а(-), Д(0 : (0,оо) —» (0, сю), выпуклый компакт Q С Rq. В начальный момент t = а (либо заранее) считаются известными вид системы (0.2), разбиение временного промежутка [а, 6] : а = to < t\ < . < tn = b ( max (tj+1 — t{) ^ A(^))» начальное состояние модели Wh(to) = £(¿0) и г € 0,n—1 величина uq, равная проекции нуля на Q.

На каждом промежутке разбиения [¿¿, ¿¿+i) формируются: а) значение некоторого измерения из Еь(х(-)) в точке ¿¿; б) значение в точке ¿¿+i системы модели, функционирующей на [¿¿, ¿¿+i] по правилу

Mt) = MU) + (д(и,£(и)) + - и), (0.4) б) значение щ — результат проекции на Q вектора f{u,m)m)-(2[ti) a\h)

Таким образом, рассматривается однопараметрическое семейство которое ставит в соответствие каждому измерению из S/j(a;(-)) кусочнопо-стоянное приближение и^(-) (Uh(t) = щ при t G [iz,ij+i)).

Отметим, что в случае, когда определение иг не использует значений функций времени для t > tz и требует выполнения конечного числа арифметических операции на шаге разбиения, построение щ(-) при достаточном быстродействии измерительного и вычислительного устройств может быть осуществлено в темпе реального времени за конечное число шагов. По этой причине алгоритм Vh относится к классу конечношаговых динамических алгоритмов (к.д.а).

Относительно к.д.а D^ имеет место

Утверждение 0.1. [53] Пусть выполнены условия sl, г^, измерение принадлежит Нд(гс(-)); функции a(h), А(h) согласованы che том смысле, h + A(h) m что lim-—— = 0. Тогда Dh ' — L2 - нормально регуляризирующий.

Другие, построенные в рамках концепции динамической регуляризации, L2 - регуляризирующие алгоритмы рассматривались в работах [17, 18, 19, 28, 60, 64, 96, 103].

Как отмечается в [92], важной с точки зрения выбора метода решения задачи, не удовлетворяющей условиям корректности, является проблема оценки точности полученного с его помощью приближенного решения и вычисления оценок снизу для точности произвольных решений. Построение оценок снизу дает представление о минимально возможном уровне погрешности для оптимального метода решения рассматриваемой некорректной задачи и оптимальных по точности (или по порядку) приближенных решениях таких задач.

Определение. Функция : (0> ~~* (0> называется нижней (верхней) равномерной (по х(-) из X) точностью семейства операторов Dh в пространстве V[a, &], если существует положительное число /г* такое, что для всех h £ (0,/i*], х(-) Е X, £(•) Е S/j(:c(-)) имеют место неравенства щ(К) ^ sup ||v*(-) - (£(•)) llv[ab] ^ v2(h); а 7г(к) :

0, 00) —> [0, 00), i — 1,2 — порядком соответствующей точности, если существуют положительные Ci,i = 1,2 такие, что ^ ь>\(h) ^

Число г называется асимптотическим порядком точности к.д.а Dh в пространстве У[а, 6], если Нш71(Д) = Ит72(Д) = г.

И—>0 Л-+0

Известно [5, 34], что оператор А"1 : х(-) г>*(-) : X —>• 11 в общем случае разрывен. Отсюда следует, что не существует семейства операторов такого, что

1ши/2(/1) = 0. (0.5) л—> о

Если при дополнительных ограничениях на X оператор Астановится непрерывным, то есть семейство Иь, для которого выполняется (0.5) существует, то X называется множеством корректности [43].

Семейства типа использовались в дальнейших исследованиях при моделировании управлений для более сложных случаев:

- измерения части координат вектора фазовых состояний [17, 55, 73, 80];

- систем, не разрешенных относительно производных [61];

- для динамических систем, описываемых уравнениями в частных производных [46, 47, 75, 101, 102];

- систем с запаздыванием [19, 95];

- систем вариационных неравенств [62, 63];

- при восстановлении всего множества допустимых управлений [29].

Впечатляющая простота реализации делает его весьма привлекательным для пользователей. Это, в свою очередь, актуализирует проблему получения верхней и нижней оценок его точности и их асимптотического порядка. Ее рассмотрению и посвящена диссертационная работа. Предметом первоначального изучения является модифицированный к.д. а для которого при построении приближения нормального управления не используется процедура проектирования на компакт, поэтому г>д(£) = при £ £ [¿¿, и+\) определяется правилом ч = (о.б) а(г1)

Этот отказ имеет положительный момент, состоящий в существенном сокращении количества арифметических операций, выполняемых на шаге. С другой стороны, новое правило построение управления в модели требует весьма изощренного доказательства его ограниченности, которая становится неочевидной, но существенно используется при получении оценок точности.

Важным моментом в проводимых исследованиях является введение в рассмотрение системы модели с непрерывным временем

4(0 = 9(t, x(t)) + f(t, x(t))v0(t), wq(a) = xq, и управлением v0(t) = fT(tMt)f{t)-™o(t), (0.7) a\ti) с учетом которого, система модель принимает вид

4(0 = 9(t, x(t)) + A(t, x(t))x{t) two (a) = (0.8) a{n) где

A(t,x(t)) = f(t,x(t))fT(t,x(t)). (0.9)

Далее A(-) =f ж(-)). Ввиду невозможности осуществления их реализации при отсутствии точной информации об х(-) и саму модель, и управление г>о(-) станем называть виртуальными. Оказывается, что при определенных условиях имеет место близость в пространстве Li[a, 6] между виртуальным и нормальным управлениеми в динамической системе. В свою очередь, при тех же условиях, близкими оказываются движения виртуальной модели, с движениями изучаемой динамической системы, и модели - поводыря, рас

2) сматриваемой при реализации Dyh . При этом последняя может рассматриваться как результат применения метода Эйлера к виртуальной модели на разбиении временного промежутка. Имеющая место близость движений виртуальной модели и модели - поводыря гарантирует малое отклонение виртуального управления от управления в модели. В итоге удается оценить норму разности v*(-) и Vh{')- В этом конспективно и состоит идея получения верхней оценки точности D^в Li[a,b].

Коротко рассмотрим содержание диссертации по главам.

В первой главе задача моделирования управления в системе (0.2) рассматривается для случая m = 1, д(-) = 0, /(•) = 0, который можно трактовать как задачу нахождения производной функции х(-) по неточной информации о ней в узлах разбиения промежутка [а, 6]. Отметим, что этой задаче уделялось внимание специалистами теории некорректных задач [24, 40, 41, 43, 68, 85, 88], теории приближений [5, 6, 16, 85] и теории управления [3, 27, 54, 79]. Рассмотрение этой проблемы в нашей работе имеет цель продемонстрировать основные идеи метода получения оценок точности D^ на простом примере. В первом разделе аналитическое решение виртуальной системы модели позволяет представить значение виртуального управления Vq (t) в виде результата применения сингулярного интеграла

Г 1 t-т

45, 90J с ядром е к единственному в рассматриваемой ситуации а(п) управлению и(-), порождающему движение х(-). Теория сингулярных интегралов активно использовалась и развивалась во второй трети двадцатого столетия Ленинградской математической школой [70, 71, 91]. Используя ее подходы, удается оценить |г>о(£) — г>(£)| в случае, если вариация г>(-) ограничена. Имеющаяся в силу этого ограниченность виртуального управления позволяет, см. следствие из леммы 1.2, оценить \ш}г(Ь) — гио(£)|. Отсюда

Д(Ь) при условии ограниченности 0 может быть оценена сверху величина az(h) vo(£) — Vh(t) |. Полученные результаты, при условии согласования участвующих в них параметров, гарантируют равенство | асимптотического порядка верхней оценки точности D^в Li[a,b]. Отмечаются условия, при которых эти оценки справедливы для к.д.a DKh .

В разделе 1.2 рассматривается пример [30], для которого при определен

2) ном формировании ошибки измерения порядок точности DKh не может быть сделан лучше

В разделе 1.3 действие D^ иллюстрируется на модельном примере. Рассматривается решение прикладной задачи ВТСП восстановления скорости изменения электросопротивления монокристалла от температуры.

Вторая и третья главы посвящены получению верхней оценки точности для виртуального управления в системе (0.2). При этом, главное влияние на сложность процедуры получения оценки и величину последней оказывает матрица коэффициентов /(•,#(•)) при управлении.

В разделе 2.1 предполагается выполнение условий ж1, si, /1, г>1, г;3. Из условия /1 следует одноэлементность U(rc(-)), то есть единственность порождающего х(-) управления г>(-). Действия, аналогичные проделанным в первой главе, приводят к введению в рассмотрение оператора восстановлес!б£ 1 ния функции F(-) = (fT{-,x(-))) v(-) со значениями в Rm, обобщающего понятие сингулярного интеграла. При выполнении упомянутых условий ядро оператора восстановления оказывается ограниченным сверху функцией вида Это условие, называемое далее свойством Бойля, и ограниченность вариации функции позволяют получить искомую оценку точности.

В разделе 2.2 рассматривается ситуация, когда образ матрицы постоянен и обладает размерностью, меньшей т. В этом случае предложенная ранее схема приводит к оператору восстановления функции -Р+(-) = (/г(-, ж(-)))+г>(-). При этом ядро оператора восстановления и порождающее &(■) управление г>(-) не являются единственными. Условия единственности удается достичь при помощи использования оператора проектирования на подпространство собственных векторов матрицы А(-) (см. (0.9)). Оказывается, что для проекции ядра выполняется свойство Бойля, и, кроме того, проекция управления переводит ?;(•) в и*(-). При этом F+(•) обладает ограниченной вариацией. При доказательстве этих фактов существенно используются свойства операции псевдообращения матрицы /(•,£(•)). В итоге для случая постоянства образа матрицы /(•, ж(-)) получена верхняя оценка точности для виртуального управления с тем же асимптотическим порядком, что и ранее.

В самой технически сложной третьей главе диссертации полученные ранее результаты удается перенести на случай, когда подпространство образов матрицы /(•,#(•))? меняясь, сохраняет постоянную размерность. Усложняясь, предложенная ранее схема доказательства существенно опирается на свойства оператора поворота подпространств [38] и экспоненциальной дихотомии решений линейных дифференциальных уравнений [39, 66].

Четвертая глава посвящена получению оценок точности численного решения дифференциальных уравнений с большим параметром, возникающих при регуляризации динамических неустойчивых задач с помощью сглаживающего функционала Тихонова. Уравнения такого сорта изучались в работах [23, 87]. Нами рассматривается результат применения для их решения метода Эйлера с неточно вычисляемой правой частью. Используется традиционная [7] схема получения оценки. Однако, в силу специфики решаемого уравнения при выполнении условий, аналогичных налагаемым в главе 3, применить известные результаты не удается. Проводимое доказательство основано на использовании ранее примененных свойств оператора проектирования, которые позволяют получить искомую оценку для ситуаций, рассмотренных в главах 2 и 3.

В заключительной пятой главе сводимые воедино результаты второй, третьей и четвертой глав позволяют сформулировать окончательные теоремы о виде оценок точности и величине асимптотического порядка для

2)

Dh на соответствующих множествах корректности. Заметим, что все приведенные оценки получены конструктивно с использованием констант Липшица pi ограничршающих констант. Завершают главу реализация просчета модельных примеров; сравненрш с результатамР1 применения других методов и рассмотрение возможностей пакета программ для построенрш математической модели вибропроцессов, возникающих в механической системе с двумя степенями свободы. Программные средства, предназначенные для численного моделирования, описаны в. Приложении. Там же приводятся несколько иллюстраций пользовательского интерфейса. '

Относительно методов исследованры можно отметить следующее. В их основе лежат алгоритмы и понятия теории некорректных задач, касающиеся вопросов динамической регуляризации. Для получения оценок точности одного из таких алгоритмов использовались результаты теории приближений, теории сингулярных интегралов, вычислительной линейной алгебры, функционального анализа, численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений,.теории псевдоинверсии и теории устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений. При численном моделировании часть расчетов для удобства проводилась в системе Matlab. Для пользователей была разработана программа в среде Microsoft Visual Studio 2005 Student Edition на языке С++ с использованием библиотек классов' M FC, STL, Boost::Numeric::UBLAS, Boost::Spirit и Codejock Xtreme Toolkit.

Основные результаты работы состоят в следующем

- предложена модификация метода динамической регуляризации Ю.С.Осипова и А.В.Кряжимского для задачи моделирования управления в динамической системе;

- разработан подход к получению оценок ее точности, основанный на декомпозиции, сводящей исходную задачу к оценке точности оператора восстановления — многомерного аналога сингулярного интеграла и метода Эйлера для решения дифференциального уравнения с большим параметром;

- описаны множества корректности в задаче моделирования управления;

- для указанных множеств получены верхняя и нижняя оценки точности и их асимптотический порядок в равномерной метрике и в пространстве

М];

- проведены численные эксперименты, итоги которых подтверждают результаты, полученные теоретически;

- на основе проведенных теоретических исследований разработаны программные средства, которые применяются для построения математической модели вибропроцессов, возникающих в механической системе с двумя степенями свободы.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Работа имеет теоретическую и практическую ценность. С одной стороны в ней предложен подход к получению оценок точности, который, по всей вероятности, может быть эффективно применен для аналогичных целей в более продвинутых задачах. Для конечномерной задачи построены, множества корректности, на некоторых из них верхние оценки точности оптимальны по порядку. Наличие таких гарантированных оценок делает возможным использование рассматриваемых к.д.а для решения прикладных задач, сводящихся к моделированию (реконструкции) неизвестных управлений в динамических системах различной природы.

Главные положения диссертационной работы прошли апробацию на: конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвященной 50-летию Ижевского математического семинара и 30-летию кафедры "Прикладная математика и информатика" Ижевского государственного технического университета (Ижевск, 31 января - 4 февраля 2006), Международном научном семинаре "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", посвященном 75-летию со дня рождения И.Я.Каца (Екатеринбург: УрГУПС, 13 - 17 ноября 2006), Воронежской зимней математической школе - 2008, посвященной 90-летию Воронежского государственного университета, 90-летию С. Г. Крейна (Воронеж, 24-30 января 2008), конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева (Ижевск, 4-9 мая 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 17 - 22 июня 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова

Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 года), 3-й Международной конференции "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" (Екатеринбург, УГТУ-УПИ, 20 - 22 ноября 2008), семинаре научно - педагогической школы "Виброакустические процессы в технологиях, оборудовании и сооружениях отраслей ЛПК" (Екатеринбург, 3-4 февраля 2009); ежегодных конференциях молодых ученых в ИММ УрО РАН в 2005 - 2008 гг., научных семинарах кафедры вычислительной математики Уральского госуниверситета (руководитель д.ф.-м.н В.Г. Пименов), расширенном семинаре отдела дифференциальных уравнений ИММ УрО РАН (руководитель д.ф.-м.н В.И. Максимов), научно-методическом семинаре кафедры высшей математики УГЛТУ (руководитель доцент Т.И. Шатунова).

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, 3 из них опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Рублева С.С. О модификации одного динамического алгоритма, гарантирующего восстановление управления в динамической системе с вырожденной матрицей// Вестник Удмуртского университета, Математика. Механика. Компьютерные науки. Вып. 2, 2008, с. 119-121.

2. Вдовин А.Ю. Ким A.B. Рублева С.С. Об асимптотической точности в LI одного динамического алгоритма восстановления возмущения.// Труды Института математики и механики. Том 12, №2. Управление, устойчивость и обратные задачи динамики, 2006, с. 18-26.

2.a Vdovin A.' Yu., Kim A.V., Rubleva S.S. On asymptotic accuracy in LI of one dynamical algorithm for reconstructing a disturbance // Proceeding of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 255, Suppl 21, 2006, 216 -224.

3. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О точности реконструкции линейного воздействия на динамическую систему по результатам неточных измерений ее состояний// Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. №3(60), 2008, с. 189-191.

4. Вдовин А.Ю. Рублева O.G. О динамическом алгоритме нахождения производной функции.// Известия высших учебных заведений: Лесной журнал. 2006, № 1, с.128-132.

5. Вдовин А.Ю. Рублева С.С. О динамическом алгоритме нахождения производной по кусочнопостоянной информации о ней. // Известия института математики и информатики, Удмуртский государственный университет, выпуск 2 (36), 2006, с.31-34.

6. Вдовин А.Ю., Рублева С. С. Асимптотическая оценка точности восстановления возмущения одного динамического алгоритма // Устойчивость, управление и моделирование динамических систем: Сб. научн. Трудов. Материалы научн. конферении, посвященной 75-летию со дня рождения И.Я.Каца, Екатеринбург: УрГУПС, № 54 (137), 2006, с.34.

7. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О гарантированной оценки точности динамического восстановления управления (случай непостоянства ранга матрицы коэффициентов) // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна - 2008, Воронеж: ВорГУ, 2008 - с. 54-68.

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Аникин С.А. Методы регуляризации в задачах идентификации входов динамических систем. Диссертация . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: Ин-т матем. и мех. УрО РАН, 2002

4. Аникин С.А., Гусев М.И. Оценивание возмущающих сил по измерениям параметров движения // Гарантированное оценивание в задачах управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, с. 19 30.

5. Арестов В.В. О наилучшем приближении оператора дифференцирования// Приближение функции полиномами и сплайнами. Свердловск.: Изд-во УНЦ АН СССР, 1985, с. 13-14.

6. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значения оператора//Матем. заметки, 1977, т 22, № 2, с.231-244.

7. Арушанян О.В., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд во МГУ, 1990.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

9. Беклемишев. Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

11. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

12. Беллман Р., Кук K.J1. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

13. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.

14. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, т 1, 1962.

16. Бердышев B.JI. Наилучшее приближение в Ь0,оо) оператора дифференцирования // Матем. заметки, 1971, т 9, № 5, с.477 481.

17. Близорукова М.С., Кодесс А.М. К проблеме динамического восстановления управления при измерении части коордииат. // Дифференциальные уравнения, 2008, т44, №11, с. 1450-1455.

18. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме реконструкции управлений // Теория и системы управлений. Известия АН., 1998, №2, с.55 -61

19. Близорукова М.С., Максимов В.И., Пандолфи JI. Динамическая реконструкция входа в нелинейной системе с запаздыванием.// Автоматика и телемеханика. №2, 2002, с. 3-14.

20. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

21. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

22. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

23. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущеных уравнений. М.: Наука, 1973.

24. Васин В.В. Методы решения неустойчивых задач.: Учеб. пособие. Свердловск: УрГУ, 1989.

25. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1993.

26. Вдовин А. Ю. Оценки погрешности в задаче восстановления управления. // Задачи позиционного моделирования Свердловск. Изд-во УНЦ АН СССР 1986. с. 3-11.

27. Вдовин А.Ю. О динамическом методе восстановления производной в L/2 повышенной точности// Качественные вопросы теории дифф. уравнений и управляемых систем. Свердлвск. Изд-во УрО АН СССР, 1988, с.4-11.

28. Вдовин А.Ю. К задаче восстановления возмущения в динамической системе. Диссертация . канд. физ.-мат. наук, Свердловск: Институт математики и механики, УрО АН СССР, 1989.

29. Вдовип А.Ю., Кряжимский A.B. О восстановлении множества возмущений по измерениям траекторий // Сб.: Исследования по сист. анализу и приложениям. Свердловск: УрО АН СССР, 1990, с.15-35.

30. Вдовин А.Ю., Кряжимский A.B. О нижней оценке точности одного метода позиционной регуляризации для задачи восстановления возмущения // В сб.: Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991, с.3-13

31. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.:Наука, 1977.

32. Воеводин В.В. Линейная алгебра: Учебное пособие. СПб.: Издательство "Лань, "2006.

33. Воеводин В. В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М. Наука, 1984.

34. Габушин В.Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Vx, если х задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определенных с ошибкой // Тр. Математического ин-та АН СССР, 1980, т. 145, с.63-78.

35. Галиуллин A.C. Аналитическая динамика. М.: Высш. шк., 1989.

36. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986.

37. Гантмахер.Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

38. Далецкий Ю.Л., О непрерывном вращении подпространств в банаховом пространстве. // УМН 1957, 12 3(75) с. 147-154.

39. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: Наука, 1970.

40. Демидович В.Б. Восстановление функции и ее производных по экспериментальной информации // Вычисл. методы и прогрраммирование, т 8, М.: МГУ, 1967, с. 96-102.

41. Долгополова Г.Ф., Иванов В.К. О численном дифференцировании// ЖВМ и МФ, 1961, т 6, № 3, с. 570-576.

42. Жевнин A.A., Колесников К.С., Крищенко А.П., Толокнов В.И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций задач обратной динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1985, № 4, с. 180-188.

43. Иванов В.К, Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

44. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

45. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

46. Короткий А.И. Обратные задачи о восстановлении параметров системы Навье-Стокса // Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 26 (Нелинейная динамика), с. 54-77.

47. Красовский H.H., Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М. Наука, 1985.

48. Красовский H. Н., Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

49. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

50. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987.

51. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

52. Кряжимский A.B., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе. // Техн. Кибернетика. Изв. АН СССР, 1983. № 2, с. 51-60.

53. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в классе неупреждающих операторов// Матем. заметки, 1985, т37, № 2, с. 192-199.

54. Кряжимский A.B. , Осипов Ю.С. Об устойчивом позиционном восстановлении упраления по измерениям части координат. //Некоторые задачи управления и устойчивости. Свердловск 1989, с. 33-47.

55. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

56. Куржанский A.B. Задачи идентификации теория гарантированных оценок. // АиТ, 1991 N4, с. 3-26.

57. Куцубина Н.В., Санников A.A. Виброзащита технологических машин и оборудования лесного комплекса. Екатеринбург: Урал.гос.лесотехн. ун-т, 2008, с. 212.

58. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

59. Ловцкий К. Э. О задаче моделирования движения для управляемого дифференциального включения // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск, 1987, с.69-84.

60. Максимов В.И. О динамической регуляризации в некоторых системах неразрешенных относительно производной// Дифференц. уравнения, т 21, № 2, 1985, с.305 316.

61. Максимов В.И. Конечномерная аппроксимация входов в гиперболических вариационных неравенствах //ЖВМ и МФ, т 35, №11, 1995, с. 1615 1629.

62. Максимов В.И. Конечномерная аппроксимация входов в гиперболических вариационных неравенствах// Труды МИАН им. В.А. Стеклова, т 211, 1995, с.326 337.

63. Максимов В. И., Пандолфи Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах // Прикл. математика и механика, № 3, 65, 2001, с. 385—390.

64. Мартьянов А. С. Оценки скорости сходимости одного алгоритма динамической реконструкции. // Труды ИММ Екатеринбург:УрОРАН, №. 2, 12, 2006. с. 119-128.

65. Массера X., Шеффер.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. Мир, М., 1970.

66. Милыптейн Г.Н., Соловьева О.Э. Рекуррентное оценивание в идентификации параметров в нелинейных детерминированных системах.// ППМ, т 55, вып 1, 1991, с.39-37.

67. Морозов В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации//сб "Вычислительные методы и программирование Изд во МГУ, 1970, вып.XIV, с. 46 - 62.

68. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

69. Натансон И.П. Конструктивная теория функций.М.-Л., ГИТТЛ, 1949.

70. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

71. Никольский М.С. Об идеально наблюдаемых системах// Диф. уравнения, т 7, № 4, 1977, с. 631-638.

72. Осипов Ю. С. Пакеты программ, подход к решению задач позиционного управления с неполной информацией// УМН, т 6, вып 4 (370), 2006, с.25 -76.

73. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П, Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации М.: МГУ, 1999.

74. Осипов Ю. С., Короткий А.И. Динамическое моделирование параметров в параболических системах // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, 1991, №2, с.154-156.

75. Петров Б.Н., Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели.// Известия АН СССР Техн. кибернетика, № 4, 1986, с.147 -156.

76. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Б.П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики// ДАН СССР, т 247, № 5, 1979, с.1078-1081.

77. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1976.

78. Пшеничный Б.Н. Игра с простым движением и выпуклым терминальным множеством // Теория оптимальных решений: Труды семинара. Киев, 1969, вып. 3, с.104.

79. Розенберг В.Л. О динамическом восстановлении управлений при измерении части координат. Диссертация .'. канд. физ.-мат. наук, Екатеринбург: Институт математики и механики, УрО РАН, 1995.

80. Сендов Б., Попов В. Усредненные модули гладкости М.: Мир 1988.

81. Соловьева О.Э. Рекуррентное оценивание в нелинейных детерминированных системах. Диссертация . канд. физ.-мат наук. Екатеринбург, Уральский государственный университет, 1994.

82. Субботин Ю.Н. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве / Матем. заметки, 1968, т 3,№ 2 с.157-164.

83. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

84. Сулицкий В.Н. Вычисление производной на основании дискретной поступающей информации// ЖВМ и МФ, 1969, т 9, № 3, с.500-508.

85. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

86. Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешникова А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

87. Тихонов А.Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А.Г. Регуля-ризирующие алгоритмы и априорная информация, М.: Наука, 1983.

88. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

89. Удинцева С.Н. Сингулярный интеграл и задача устойчивой аппроксимации возмущения в динамической системе // Сборник трудов про-фессорско преподавательского состава и аспирантов лесоинженерно-го факультета. УГЛТА, Екатеринбург, 1997, с. 134-137.

90. Фаддеев Д.К. О представлении суммируемых функций сингулярными интгералами в точках Lebesgue'a // Матем. сборник, т 1 (43), № 3, 1936, с. 351-368.

91. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990.

92. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

93. Шилов. Г.Е. Математический анализ Специальный курс. М.: Наука, 1961.

94. Blizorukova М. Positional modeling in a system with time delay. // Analysis and optimization of differential systems. Edited by V. Barbu et. Kluwer Acad. Publishers. 2003, pp. 49 56.

95. Blizorukova M., Kappel F., Maksimov V. A problem of robust control of a system with time delay.// International journal of applied mathematics and computer science. 2001,Vol.11, №4, pp.821-834.

96. Brockett R.W., Messarovich M.P. The reproducibility of multivariable control systems //J. Math. Analisis к Appl., 1965, Vol 11, № 1-3, p.548-563.

97. Gusev M.I. Optimal inputs in Guaranteed identification Problem// Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2005, suppl 1, p.95 -106.

98. Hirschorn R.M. Invortibility of nonlinear control system, SIAM J. Control and Optimiz., 1981, vl7, p. 289-297.

99. Kalman R. E., Busy R.S. New results in linear filtering and prediction theory // J. Basic Eng., (ASME Trans) Ser. D. 1961, V 83, Nl, P7, p. 95-108

100. Kim A., Korotkii A., Lee K.S. Dynamical modelling of disturbances of a thermal process // Stability Analysis and Control: theory and applications (SACTA). 2004. Vol.6. №1, p.35-48.

101. Korotkii A.I., Tsepelev I.A. On an inverse dynamic problem for Goursat-Darboux system // Journal of Mathematical Systems, Estimation and Control. 1998. V.8. №2, p.181-184.

102. V.I. Maksimov, M.S. Blizorukova. On robust on-line parameter reconstruction technique. //J. Appl. Comput. Math. №2, 2008.

103. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions London Gordon and Breach, 1995.

104. Silverman L. M. Inversion of multivariable linear systems // LEEe Trans. Automat. Control, vol 14, № 3, 1969, p.270 276.

105. Stewart G. W. On the continuity of the generalized inverse // SIAM J. on Appl. Math. 1969, vol 17, №1, p. 33-45.

106. P. A. Wedin Pertubation theory for pseudoinverces. // BIT № 13(2), 1973. c. 217-232.Публикации автора

107. Рублева С.С. О модификации одного динамического алгоритма, гарантирующего восстановление управления в динамической системе с вырожденной матрицей// Вестник Удмуртского университета, Математика. Механика. Компьютерные науки. Вып. 2, 2008, с. 119121.

108. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О точности реконструкции линейного воздействия на динамическую систему по результатам неточных измерений ее состояний// Вестник Московского государственного университета леса Лесной вестник. №3(60), 2008, с.189-191.

109. Вдовин А.Ю. Рублева С.С. О динамическом алгоритме нахождения производной функции.// Известия высших учебных заведений: Лесной журнал. 2006, N°- 1, с.128-132.

110. Вдовин А.Ю. Рублева С.С. О динамическом алгоритме нахождения производной по кусочнопостоянной информации о ней. // Известия института математики и информатики, Удмуртский государственный университет, выпуск 2 (36), 2006, с.31-34.

111. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О гарантированной оценки точности динамического восстановления управления (случай непостоянства ранга матрицы коэффициентов) // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2008, Воронеж: ВорГУ, 2008 - с. 54-68

112. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. Оценка точности одного алгоритма восстановления возмущения, действующего на динамическую систему // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна-2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008, с. 33-34.