автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод интегральных уравнений моделирования динамических измерений

На правах рукописи

Харитонова Елена Владимировна

МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Челябинск — 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет», г. Челябинск.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Заляпин Владимир Ильич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Крымский Валерий Вадимович доктор физико-математических наук, профессор Павленко Вячеслав Николаевич

Ведущая организация:

Государственный ракетный центр «КБ им. акад. В:П.Макеева»

Защита состоится ¿а // 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.296.02 в ГОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу: 454021, Челябинск, ул. Бр. Кашириных 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан _2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор \ " УхоботовВ.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Требования, предъявляемые к качеству стендовых испытаний и эффективности производства, привели к изменению требований к результатам измерений. Отсутствие данных о точности измерений или недостаточно достоверные ее оценки полностью или в значительной степени обесценивают информацию о свойствах объектов и процессов, получаемую в результате измерений. Некорректная оценка погрешности измерений чревата большими экономическими потерями и техническими последствиями.

Для современного этапа развития измерительной техники характерен переход от наблюдения постоянных величин (характеристик свойств и состояний объектов) к наблюдениям переменных величин в их динамике (характеристик процессов, т.е. закономерных изменений свойств и состояний объектов). Этот переход обусловлен двумя основными тенденциями развития измерений. Первая тенденция - это развитие «вширь», или расширение областей применения точных измерений (измерение с оцениваемой точностью). Вторая тенденция - развитие «вглубь», т.е. повышение точности измерений, обусловленное стремлением исследовать все более тонкие явления природы и создать все более совершенные технические устройства. При этом величины, ранее рассматривавшиеся как постоянные, оказываются переменными.

Под обратной задачей теории измерений понимают задачу восстановления входного сигнала по реакции на него измерительного прибора. Существенный вклад в решение проблемы в различных ее аспектах внесли Акдриянов A.B., Гик Л.Д., Крылов В.В., Карандеев К.Б., Харченко P.P., Василенко Г.И., Шестаков А.Л., Воскобойников Ю.Е., Rhoads R.L., Ekstrom М.Р., Silverman Н., Pearson А.Е. и др.

Имеющиеся на сегодняшний день методы решения обратной задачи теории динамических измерений и оценивания точности получаемых решений не всегда отвечают потребностям инженеров и исследователей и нуждаются в совершенствовании. В частности, совершенно неудовлетворительны

постановки и методы решения задач, описываемых уравнениями с переменными коэффициентами. Все это обуславливает актуальность рассмотрения новых постановок и методов решения обратной задачи теории динамических измерений.

Основной целью диссертационной работы является синтез модели динамических измерений на базе обратной многоточечной задачи Балле — Пуссена1 для обыкновенного дифференциального уравнения; последующий анализ этой модели и создание алгоритмов, реализующих процедуры повышения динамической точности измерительных систем.

Задачи исследования:

• Анализ существующих методов восстановления сигналов б теории динамических измерений.

• Моделирование процессов восстановления сигналов с помощью обратной многоточечной краевой задачи.

• Построение интегральных уравнений, реализующих обращение дифференциальных операторов Валле-Пуссена.

• Построение регуляризующих алгоритмов численного анализа интегральных уравнений основной задачи теории измерений; оценивание точности полученных решений.

• Проведение численного эксперимента на реальных данных и анализ полученных результатов.

Методы исследования. Основными методами исследования в работе являются метод функции Грина решения простых многоточечных краевых задач; метод регуляризации Тихонова решения интегральных уравнений I рода; метод невязки оценивания параметра регуляризации и точности получаемых решений; метод численного исследования краевых задач.

1 В разное время этой задаче уделили внимание Г.Пойа, Г.Маммана, Ш.Валле-Пуссен, С.АЛаплыгин, С.Н.Бернштейн, М.Г.Крейн и его ученики, Ф.Хартман, Н.В.Азбелеа и его ученики, В.А.Кондратьев, Р.Беллман, М.А.Красносельский, Левин АЛО. и его ученики, Покорный Ю.В. и его ученики и многие другие.

Научная новизна работы:

• Впервые разработан и реализован новый подход к моделированию обратной задачи теории динамических измерений.

• Реализована процедура численного восстановления функции

Грина для обратной задачи Валле-Пуссена на основе решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.

• Разработаны алгоритмы и создан программный комплекс, реализующие основные этапы анализа и синтеза параметров модели процедур динамических измерений.

Практическая значимость работы. Разработанные модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов позволяют в практической ситуации существенно уменьшить динамическую погрешность измерений.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Модель процессов восстановления сигналов на основе обратной многоточечной краевой задачи.

• Построение интегральных уравнений, реализующих обращение дифференциальных операторов Валле-Пуссена.

• Построение регуляризующих алгоритмов численного анализа интегральных уравнений основной задачи теории измерений; оценивание точности полученных решений.

Апробация работы. Основные положения и результаты

диссертационной работы докладывались и обсуждались на VI (Москва, МГУ,

1999 г.) и VIII конференциях «Обратные и некорректно поставленные задачи»

(Москва, МГУ, 2003 г.), Международной научной конференции

«Дифференциальные и интегральные уравнения» (Челябинск, 1999), Всероссийской

конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург,

2004 г.), XII Международной научной конференции «Математика. Компьютер.

Образование» (Пущино, 2005 г.), XIII Международной научной конференции

«Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2006 г.), Международной

конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006 г.),

5

Всероссийской конференции «Математика. Механика. Информатика» (Челябинск, ЧелГУ, 2006 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 8 тезисов докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена на 101 странице машинописного текста и содержит 30 рисунков.

Список цитированной литературы содержит 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Одной из проблем теории и практики динамических измерений является проблема оперативного.,, оценивания детектируемого сигнала в условиях, когда входной сигнал трудно поддается прямому измерению, а выходной содержит значительную часть динамической погрешности (например, при измерении импульсных или других, быстро меняющихся во времени, сигналов).

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена обзору различных методов определения измеряемого сигнала, динамически искаженного средствами измерений, по известной информации об отклике физического прибора на входной сигнал, обсуждены их достоинства и недостатки и предложен новый подход к решению обратной задачи теории измерений. Этот подход основан на постановке обратной задачи теории измерений как обратной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.

Предлагается экспериментально наблюдаемый сигнал *(/) рассматривать как решение краевой задачи

Ц х) = х("> (0 + а„_, (О^Сеу+... + *, (ОАО-+ а0 (г)дг(О = «(/);

£/;(*) = и,о, У = (1)

где и) (*) - линейные в С"а.ь\ функционалы. Тогда для определения правой

части рассматриваемого уравнения достаточно обратить оператор (1) и решить операторное (в рассматриваемой ситуации — интегральное) уравнение первого рода. Отмечается, что так поставленная задача является некорректной по Тихонову А.Н. и необходимым элементом ее решения должна являться процедура регуляризации.

Во второй главе приведены основные сведения о линейных краевых задачах для обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается модель измерений, построенная на основе обратной многоточечной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения - в качестве функционалов С/Дх) взяты значения функции х(/) в точках

а < /, < /2 <...< ^ 6 отрезка [а,Ь]: С/Дх) = х(/Д у = 1,2,...,л. Эта задача известна

в литературе как простая задача Валле-Пуссена.

Известно, что однозначная разрешимость задачи Валле-Пуссена связана с наличием или отсутствием свойства осцилляционности дифференциального выражения Цдс] на помежутке [а,Ь]. Отрезок [а,Ь] называется промежутком неосцилляции дифференциального выражения £[дг], если каждое решение однородного уравнения ¿[дг] = 0 имеет на [а,Ь] не более л-1 нуля. В противном случае промежуток [а,Ь] называется промежутком осцилляции.

Очевидно, что если промежуток [а,Ь] является промежутком неосцилляции, то однородная многоточечная задача Валле-Пуссена имеет только тривиальное решение и, как следствие, задача (1) однозначно разрешима для любой правой части и любых граничных значениях

и,(дг) = х({,) = и,0, у = 1,2,...,л. Удобное достаточное условие того, что

промежуток [а,Ь] не является: промежутком осцилляции доставляет теорема ': Бессмертных-Левина, обобщающая известную теорему Валле-Пуссена:

Теорема Бессмертных-Левина. Пусть М, = тах|аД/)|, /е[я,£>], / = 0,1,2,...,/7-1. Тогда, если выполнено условие . ) ; .

п\п п\ 2\п 1!и

то промежуток [а,Ъ] является промежутком неосцилляции и задача (1) однозначно разрешима для любых узлов а</, </2 <...</„ <6, любых краевых условий и любых правых частей и(/).

Однозначная разрешимость задачи (1) гарантирует существование и единственность функции Грина и, тем самым, обратимость оператора (1).

Отмечено, что эта теорема не запрещает существования и единственности решения задачи (1) в случае, когда фундаментальная система решений однородного уравнения не является чебышёвской. Однозначная разрешимость задачи (1) может достигаться за счет специального расположения узлов интерполяции a<t^<t■¡< ...<tn<b на промежутке [а,Ь].

Здесь же исследована ситуация, когда линейная краевая задача (в том числе и простая задача Валле-Пуссена) условно разрешима - установлены условия разрешимости, построена модифицированная функция Грина, доказана теорема о единственности последней и определены условия идентификации наблюдаемого в эксперименте решения.

Установлена

Теорема (О существовании узлов интерполяции, обеспечивающих однозначную разрешимость простой задачи Валле-Пуссена.) Пусть однородная задача (1) обладает нетривиальным решением. Тогда существует такой набор узлов интерполяции а <> < ¡1 < ...< 1'п <, Ь, близких к рассматриваемым, что задача Валле-Пуссена Ь[х\ = 0, .*(/]) = 0 имеет только тривиальное решение.

Точнее, Уо</, <*2 <...</„ <Ь, У#>.0, |<<У,- что задача

= х(ф ~ 0 однозначно разрешима. :,

Отсюда следует, что всегда можно так выбрать узлы интерполяции a<t^ <t2<...<tп<b, что рассматриваемая задача (1) будет однозначно

разрешима и, следовательно, будет обладать обычной функцией Грина. Т.е. и в случае осцилляции дифференциальный оператор можно обратить.

Третья глава посвящена явному построению функций Грина для задачи (1) в случае уравнений с постоянными и переменными коэффициентами и выводу основных интегральных соотношений, обеспечивающих эффективное решение обратной задачи теории динамических измерений. Здесь же предложены алгоритмы численного решения полученных интегральных уравнений, обсуждены проблемы регуляризации, выбора параметра регуляризации и оценки точности получаемых решения.

Пусть Ьх (х) - линейное дифференциальное выражение

X, (X) = *(я) (о + (/)*<"-'> (0+... + Д, (0*40 + см»

с непрерывными на промежутке [а,Ь] коэффициентами, £2(х) = л:{л) + сгл_, (/) • х(л_1) - его главная часть. Пусть, далее, <7( (/, г), / = 1,2 однозначно определяемые функции Грина краевых задач £,(. х) = и(0

[£/,(*) = 0, 7 = 1,2(3)

и,(х) = 0, у = 1,2,...,«

соответственно.

Центральное место в этой главе занимает

Теорема* Функция Грина задачи (3) удовлетворяет интегральному уравнению

<7, (/, г) - Ог (Г, г) = )Ох (/, з)ак (*). (5)

*=о

а

Поскольку функция (72(/,г) легко определяется стандартными методами (фундаментальная система решений уравнения Ь2[х\ = 0 известна), то соотношение (5) представляет собой интегральное уравнение, которое может быть использовано для построения функции Грина С7, ,г).

Здесь же доказана теорема об однозначной разрешимости уравнения (5).

В важном для приложений случае п — 2, несложные выкладки дают

-, а^Г<г

С2(/,г) =

/о(г)</г »*

Ж

1<

ж

и уравнение (5) принимает вид

ь

(Г, г) - вг (/, г) = - (/, (5) • О, (5, т)Л.

а

При каждом фиксированном значении / е это уравнение Фредгольма II рода относительно функции Ф(г) = С/, (•, г)

Ф(г) - С2 (., г) = - \сг (я, г)в, (*)Ф( .

а

Как уже отмечалось выше, однозначно определяемая функция Грина, позволяет обратить оператор (1) так, что в полуоднородном случае (.1/ -0 = = 0) справедливо соотношение

ь

*(/)=/в(/,г)и(г)«/г (6)

а

Численная реализация предлагаемого метода исследования обратной задачи теории измерений состоит из двух этапов - построения функции Грина

для задачи (1) на основе соотношения (5) и решения интегрального уравнения (6) относительно неизвестной функции м(/).

Последняя задача относится к классу задач, которые неустойчивы относительно малых изменений исходных данных. Для ее решения применялся метод регуляризации А.Н.Тихонова.

Регуляризованное решение задачи с соответствующим образом подобранным параметром регуляризации и принималось за приближенное решение уравнения (6).

Точность (т.е. ¡| Аха ||=|| ха — х ||) полученного таким образом решения оценивалась как

А а

!К1 *

2 +

V и/

где ха решение уравнения (6), х - точное решение (в качестве такового взято нормальное решение дг0), - псевдообратный оператор.

Здесь же приведены основные расчетные соотношения для решения уравнений (5) и (6), полученные на

Рис. 1. Структура программного комплекса основе кусочно-линейной дискретизации рассматриваемых интегральных уравнений.

На основании рассмотрений третьей главы был построен программный комплекс (рис.1), реализующий все этапы решения задач (5) и (6), описанию и верификации которого посвящена четвертая глава.

Комплекс оформлен в виде загружаемого файла «GraphTest.exe». При его загрузке открывается окно «Параметры» (рис. 2), а также окно с графиком функции Грина (рис. 3).

В последнем доступен целый ряд опций, предназначенных для модификации графика - как интерактивно (с помощью «мыши»), так и с использованием контекстного меню.

I I

ш. р-:: * (г

* • « -ч. N

м 1а—ш .... 1

М а«)

М «И

_! : - .....■

1 «ТОЛ <-И0> ,

Рис. 2. Параметры функции Грина

Рис. 3. Преобразование графика функции Грина

Программный комплёкс имеет удобный интерфейс (рис. 4 - 5), позволяющий пользователе в диалоге с программой задавать и изменять параметры решаемых задач - как прямой многоточечной краевой задачи (1), так и обратной (2).

Ки зфф.*циент уравнения

];; Введите юеьАкооФФицкенг уравнения

и соогветств^ощийншъ решения

Отмена Л

Кнели г е функцию

ИежмнайФдация: |2 + 2ТС0$М ♦ *г(0Т» - и

--м

» ч N - ' ———'

Вмаюе првополвгаемов значение резальтот*

¡пТ

»У^г-« -ч

С

ок

]

Отмен» |

Рис. 4. Окно ввода коэффициентов

Рис. 5. Окно ввода параметров задачи

В качестве примера рассматривалась модельная задача 1

JCK (О - lxlv (/) - 4x'(t) + 7Sx'(t) = и(/) *(0) = 0; jc(0,3) = 0; jc(0,4) = 0; x(0,7) = 0; *(l) = 0,

функция Грина которой известна. На основе решения уравнения (5) была

построена функция Грина, решена прямая задача с ы(/) = sin 5/ и обратная с

t

x{t) = t{t - 0,ЗХ* - 0,4)sin(/ - 0,7)cosy (рис.6).

Для уравнения с переменными коэффициентами (модельная задача 2) x"(t) + cos(/) + sin (f )*(í) = и (/)

х(-1) = 0; х(1) = 0.

восстановлена функция Грина (рис.7), решена прямая задача с и(()= 2 + 2/cosí + sin*(/2 -1) (рис. 8) и обратная с x(t) = t2 -1 (рис. 9).

KJU ■• ......i..... ..... ■■;.....i / ......i.....

;-1М.Л............ ......

■Bill...... • ■■ ■ ■ • ■ "<* «1 12 « М 'S 1! I.r t.t 11

Рис. 6. Решение обратной модельной задачи 1

Рис. 7. Функция Грина модельной задачи 2

. В заключение проанализированы задачи, основанные на реальных данных

Рис. &. Решение пр*мой модельной задачи 2

Рис. 9. Решение обратной модельной задачи 2

- датчик «Метран 251 -01 » и датчик Вт20.

Основные результаты диссертационной работы

• На основе анализа обратной многоточечной краевой задачи построена модель динамических измерений, позволяющая реализовать процедуру восстановления измеряемых сигналов.

• Построены интегральные уравнения, реализующие обращение дифференциальных операторов Валле-Пуссена и построение их ядер.

• Установлена однозначная разрешимость основного интегрального уравнения в случае неосцилляции дифференциального оператора.

• Построены регуляризующие алгоритмы численного анализа интегральных уравнений основной задачи теории измерений.

• Создан программный комплекс, реализующий все этапы процедуры динамических измерений.

Основные публикации по теме диссертации

1. Менихес, Л.Д. О регуляризации уравнений в банаховых пространствах / Л.Д.Менихес, Е.В. Харитонова ИВ кн. Обратные и некорректные задачи: Тезисы докладов конференции, 8-9 июня 1999 г., Москва, Изд. «Диалог-МГУ», С.З 5

2. Менихес, Л.Д. О регуляризации спектральных операторов / Л-Д.Менихес, Е.В.; Харитонова ИВ кн. Дифференциальные и интегральные уравнения: Тезисы докладов международной научной конференции, 22-26 июня 1999 г., Челябинск, Изд. ЧелГУ

3. Харитонова, Е.В.. Численный анализ обратной задачи теории измерений / Е.В. Харитонова И Вестник Южно-Уральского государственного университета, серия Математика, физика, химия — 2005, вып. 5, № 2(42), с.42-48

4. Харитонова, Е.В. Численное построение функции Грина многоточечной краевой задачи / Е.В. Харитонова, C.B. Ермаков И Вестник ЮжноУральского государственного университета, серия Математика, физика, химия — 2005, вып.6, №6(46), ,с.36-39.

14

5. Харитонова, Е.В. Метод интегральных уравнений в обратной задаче теории измерений / Е.В. Харитонова, C.B. Ермаков // В кн. Математика, компьютер, образование. Сборник научных трудов. Вып. 13, часть I/ Под ред. Г.Ю. Ризличепко. — Москва-Ижевск, Научно-издательский центр РХД, 2006 .

6. Харитонова,/Е.В. Численный анализ обратной задачи теории измерений / Е.В. Харитонова // VIII конференция «Обратные и некорректно поставленные задачи». Тез. докл. — Москва, 2003. С. 66.

7. Харитонова, Е.В. Восстановление входного сигнала измерительного датчика по экспериментальным наблюдениям / Е.В. Харитонова // Всероссийская конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». Тез. докл. - Екатеринбург, 2004. С. 370.

8. Заляпин, В.И. Построение функции Грина для обратной задачи теории измерений / В.И. Заляпин, Е.В. Харитонова H Математика. Компьютер. Образование. Тез. докладов XII междун. конф. — М.-Ижевск: МГУ, — 2005. С. 114.

9. Харитонова, Е.В. Функция Грина многоточечной краевой задачи для уравнения с переменными коэффициентами / Е.В. Харитонова // Математика. Компьютер. Образование. Тез. докладов XIII междун. конф. - М.-Ижевск: МГУ, - 2006. С. 34.

10. Харитонова, Е.В. Интегральные уравнения обратной задачи теории измерений / Е.В. Харитонова // Тихонов и современная математика: «Обратные и некорректно поставленные задачи»: Международная научная конференция. — Москва, МГУ, 2006. Тезисы докладов секции №4, М.: Изд. Отдел факультета ВМиК МГУ, 2006, С. 91-92.

11. Харитонова, Е.В. Метод интегральных уравнений в обратной задаче теории измерений / Е.В. Харитонова // Математика. Механика. Информатика. Тез. докладов Всероссийской конференции, посвященной 30-летию ЧелГУ. — Челябинск, 2006.

Подписано в печать 2"Ь, 09.06 Формат 60 х 90/16. Объем 1,0, уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ № 205 Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе в типографии ГОУ ВПО ЧГПУ 454080, г. Челябинск, пр.Ленина, 69.

Введение.

Глава I. Динамические измерения. Обзор постановок задач и методов решения

1.1. Современное состояние теории динамических измерений.

1.2. Обратная задача теории динамических измерений. щ 1.3. Постановка задачи.

1.4. Выводы.

Глава II. Линейная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения

2.1. Линейные задачи. Общие сведения.

2.2. Линейные задачи. Функция Грина.

2.3. Задача Валле-Пуссена.

2.4. Однозначная разрешимость простой линейной задачи Валле

Пуссена

2.5. Осцилляционный случай в простой линейной задаче Валле-Пуссена.

2.6. Линейные задачи. Сопряженный оператор.

2.7. Выводы.

Глава III. Интегральные уравнения обратной задачи теории динамических измерений

3.1. Функция Грина.

3.2. Функция Грина задачи Валле-Пуссена в случае известной фундаментальной системы решений уравнения L[x] = 0.

3.3. Интегральное уравнение для функции Грина.

3.4. Некоторые свойства функции Грина многоточечной краевой задачи.

3.5. Функция Грина вспомогательной задачи.

3.6. Регуляризация.

3.6.1. Оценка точности регуляризованного решения.

3.6.2. Основные расчетные соотношения.

3.7. Выводы.

Глава IV. Программный комплекс. Численный эксперимент

4.1. Структура модели.

4.2. Уравнения с постоянными коэффициентами.

4.3. Уравнения с переменными коэффициентами.

4.4. Численный эксперимент. Динамическое измерение температур.

4.5. Численный эксперимент. Динамическое измерение линейных вертикальных ускорений.

Актуальность проблемы. Динамические измерения получают все большее распространение в технике и научных исследованиях. Эти измерения связаны в первую очередь с изучением закономерностей протекания физических процессов в исследуемых объектах. Поэтому роль динамических измерений особенно велика, во-первых, в областях науки, связанных с исследованием структуры материи, анализом и синтезом новых веществ и материалов, изучением объектов в экстремальных условиях, и, во-вторых, в отраслях техники и производства, для которых характерно создание новых технологических процессов и испытание новых машин, приборов и автоматов.

Требования, предъявляемые к качеству стендовых испытаний и эффективности производства, привели к изменению требований к результатам измерений. Отсутствие данных о точности измерений или недостаточно достоверные ее оценки полностью или в значительной степени обесценивают информацию о свойствах объектов и процессов, получаемых в результате измерений. Некорректная оценка погрешности измерений чревата большими экономическими потерями и техническими последствиями.

Для современного этапа развития измерительной техники характерен переход от наблюдения постоянных величин (характеристик свойств и состояний объектов) к наблюдениям переменных величин (характеристик процессов, т.е. закономерных изменений свойств и состояний объектов). Этот переход обусловлен двумя основными тенденциями развития измерений. Первая тенденция - это развитие «вширь», или расширение областей применения точных измерений (измерение с оцениваемой точностью), в частности, для технологического контроля параметров изделий в процессе изготовления, для эксплуатационного контроля технических устройств в процессе их работы, для испытания образцов новой техники, в том числе в нестационарных режимах, для исследования новых физических объектов и явлений, для изучения поведения объектов в экстремальных условиях. Вторая тенденция - развитие «вглубь», т.е. повышение точности измерений, обусловленное стремлением исследовать все более тонкие явления природы и создать все более совершенные технические устройства. При этом ранее постоянные величины оказываются переменными.

Имеющиеся на сегодняшний день методы решения обратной задачи теории динамических измерений и оценивания точности получаемых решений не всегда отвечают потребностям инженеров и исследователей и нуждаются в совершенствовании. Все это обуславливает актуальность рассмотрения новых постановок и методов решения обратной задачи теории динамических измерений.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является синтез модели динамических измерений на базе обратной многоточечной задачи Балле - Пуссена; последующий анализ модели и создание алгоритмов, реализующих процедуры повышения динамической точности измерительных систем.

Задачи исследования. Анализ существующих методов восстановления сигналов в теории динамических измерений.

Установление возможности моделирования процессов восстановления сигналов с помощью обратной многоточечной краевой задачи.

Построение интегральных уравнений, реализующих обращение дифференциальных операторов Валле-Пуссена.

Построение регуляризующих алгоритмов численного анализа интегральных уравнений обратной задачи теории измерений.

Оценивание точности полученных решений.

Проведение вычислительного эксперимента на реальных данных и анализ полученных результатов. г 5

Научная новизна работы. Впервые разработан и реализован новый подход к моделированию основной задачи теории динамических измерений.

Реализована процедура численного восстановления функции Грина для обратной задачи Валле-Пуссена на основе решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.

Разработаны алгоритмы и создан программный комплекс, реализующие основные этапы анализа и синтеза параметров модели процедур динамических измерений.

Практическая значимость работы. Разработанные модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов позволяют в практической ситуации существенно уменьшить динамическую погрешность измерений.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Установление возможности моделирования процессов восстановления сигналов с помощью обратной многоточечной краевой задачи.

• Построение интегральных уравнений, реализующих обращение дифференциальных операторов Валле-Пуссена.

• Построение регуляризующих алгоритмов численного анализа интегральных уравнений основной задачи теории измерений; оценивание точности полученных решений.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VI (Москва, МГУ, 1999 г.) и VIII конференциях «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, МГУ, 2003 г.), Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Челябинск, 1999), Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004 г.), XII Международной научной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2005 г.), XIII Международной научной конференции f 6

Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2006 г.), Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006 г.) Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК , 8 тезисов докладов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 101 странице машинописного текста и содержит 35 рисунков. Список цитированной литературы содержит 96 ссылок.

1. Андриянов, А.В. Способ коррекции выходного сигнала измерительных приборов / А.В. Андриянов, В.В. Крылов // Измерительная техника.— 1975.—№4.—С.59-61.

2. Аранов, П.М. Метод оптимального линейного оценивания для определения динамических характеристик средств измерения / П.М.Аранов, Е.А. Ляшенко, Л.Б. Ряшко // Измерительная техника.— 1991.—№11— С.10-13.

3. Березин, И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П.Жидков. М., Наука, 1966, т. 1,632 с.

4. Бессмертных, Г.А. О некоторых оценках дифференцируемых функций одной переменной / Г.А. Бессмертных, А.Ю. Левин // ДАН СССР, 144, №3, 1962 С.471-474

5. Бизяев, М.Н Измерительный преобразователь с моделью датчика в виде последовательных динамических звеньев / М.Н. Бизяев, А.Л. Шестаков // Информационные, измерительные и управляющие системы и устройства: Тем. сб. науч. тр. —Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2001.

6. Василенко, Г.И. Теория восстановления сигналов. О редукции к идеальному прибору в физике и технике / Г.И. Василенко. — М.: Сов. радио, 1979,—269 с.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П.Васильев. М.:Наука, 1980. - 520 с.

8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.:Наука, 1981.-400 с.

9. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков. Киев: Наукова думка, 1986. - 225 с.

10. Винокуров, В.А. Общие свойства погрешности приближенного решения линейных функциональных уравнений / В.А. Винокуров // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. - 11. -№1. - С.22-28. '

11. Винокуров, В.А. Свойства функционала погрешности Д(/,Д,<5,х) при фиксированном 8 как функции х. I / В.А. Винокуров // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. - 15. - № 4. -С.815-829.

12. Винокуров, В.А. Асимптотические оценки погрешности. II / В.А.Винокуров // Журнал вычислительной математики и математической физики.-№ 6.-С. 1369-1380.

13. Винокуров, В.А. Асимптотические оценки погрешности. III / В.А.Винокуров // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1976.- 16. -№ 1.-С.З-19.

14. Винокуров, В.А. Интегральные оценки погрешности. IV / В.А.Винокуров // Журнал вычислительной математики и математической физики. № 3. - С.549-566.

15. Воскобойников, Ю.Е. Восстановление реализаций входных сигналов измерительной системы / Ю.Е. Воскобойников, Я.Я. Томсон // В кн. «Электродиффузионная диагностика турбулентных потоков».— Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1973.—С. 66-96.

16. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. -М.:Наука, 1967.-376 с.

17. Гик, Л.Д. Электрическая коррекция виброизмерительной аппаратуры / Л.Д.Гик., К.Б. Карандеев. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962,— 130 с.

18. Гласко, В.Б. О программе регуляризируюгцего алгоритма для уравнения Фредгольма первого рода / В.Б. Гласко, П.Н. Заикин // Вычислительные методы и программирование. 1966. - вып. 5. - С.61-73.

19. Гончарский, А.В. .Численные методы решения обратных задач астрофизики / А.В. Гончарский, A.M. Черепашук, А.Г. Ягола. М.: Паука, 1978.-336 с.

20. Гроссман, К.К. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации / К.К. Гроссман, А.А. Каплан. Новосибирск: Наука, 1981. -183 с.

21. Гулинский, О.В. О численном решении некоторых некорректных задач теории управления / О.В. Гулинский // Автоматика и телемеханика.— 1976.—№8.—С.66-80.

22. Дегтярев, Ю.И. Методы оптимизации / Ю.И. Дегтярев. М.: Сов. радио, 1980.-272 с.

23. Доценко, С.В. Метод оптимальной коррекции сигналов дистанционных приборов с учетом флуктуационных шумов / С.В. Доценко, Б.А. Нелепо, Г.Н. Поплавская // Автометрия.—1978.—№2.—С.63-68.

24. Ермаков, В.В. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона / В.В.Ермаков, Н.Н. Калиткин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981. - 21. - №2. - С.491-497.

25. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения /B.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. -М.: Наука, 1978.-208 с.

26. Иориш, Ю.И. Виброметрия. Измерение вибрации и ударов. Общая теория, методы и приборы / Ю.И. Иориш. — М.: Машгиз, 1963.—178 с.

27. Канторович, JI.B. О новых подходах к вычислительным методам обработки наблюдений / JI.B. Канторович // Сибирский математический журнал. 1962. - 3. - №5. - С.701-709.

28. Карандеев, К.Б. / К.Б. Карандеев // Вестник АН СССР.—1961,—№10.—C.24.

29. Карманов, В.Г. Математическое программирование / В.Г. Карманов. -М.: Наука.- 1980.-256 с.

30. Коддингтон, Э. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.Коддингтон, Н. Левинсон. М., ИЛ, 1958.-475 с.

31. Коркина, Л.Ф. О решении операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах / Л.Ф. Коркина // Известия вузов. Математика. 1967. - №7. - С.65-69.

32. Коркина, Л.Ф. О регуляризации операторных уравнений первого рода / Л.Ф. Коркина // Известия вузов. Математика. 1969. - №8. - С.26-29.

33. Коркина, Л.Ф. Об оценке погрешности при решении некорректно поставленных задач / Л.Ф. Коркина // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. - 14. - №3. - С. 584-597.

34. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Наука. - 1976. - 216 с.

35. Краус, М. Измерительные информационные системы / М.Краус, Э. Вошни. — М.: Мир, 1975.—310 с

36. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. — М.: Наука, 1980,—285 с.

37. Левин, А.Ю. Неосцилляция решений уравнения Х(".+ ап,(1)хм+.+ai{t)x'+a,{t)x = Q / А.Ю. Левин // УМН, T.XXIV, вып. 2(146), 1969.-С.43-96.

38. Леонов, В.В. Об определении погрешностей коэффициентов передаточной функции линейной системы / В.В. Леонов // Радиотехника,—т.ЗО.—1975.—№4,—С.90-92.

39. Лихт, М.К. О вычислении функционалов на решениях линейных уравнений I рода / М.К. Лихт // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. - 7. - №3. - С.667-672.

40. Марчук, Г.И. Некоторые вопросы линейной теории измерений / Г.И. Марчук, Ю.П. Дробышев // Автометрия.—1977.—№3.—С.24-30.

41. Метод граничных интегральных уравнений / под ред. А.Ю.Ишлинского, Г.Г.Черного. -М.: Мир, 1978. -212 с.

42. Методика расчета метрологических характеристик измерительных каналов информационно-измерительных систем по метрологическим характеристикам компонентов. МИ 222-80.—М.: Изд-во стандартов, 1981.—23 с.

43. Методический материал по применению ГОСТ 8.009-84 «ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений».— М.: Изд-во стандартов, 1988.—152 с.

44. Морозов, В.А. О псевдорешениях / В.А. Морозов // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1969. - 9. - №6. - С.1387-1391.

45. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Неймарк. -М.:Наука, 1969.-528 с.

46. Новицкий, П.В. Динамика погрешностей средств измерений / П.В.Новицкий, И.А. Зограф, B.C. Лабунец.—Л.: Энергоатомиздат, 1990.—263 с.

47. Основные термины в области метрологии: Словарь-справочник / М.Ф.Юдин, М.Н. Селиванов.-—М.: Изд-во стандартов, 1989.—147 с.

48. Петров, А.П. Оценки линейных функционалов для решения некоторых обратных задач / А.П.Петров // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. - 7. - №3. - С.648-654.

49. Петров, А.П. Оценка снизу погрешности, возникающей при решении операторных уравнений I рода на компактах / А.П. Петров, А.В. Хованский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. - 9. - №1. - С. 194-201.

50. Петров, А.П. Оценка погрешности решения линейных задач при наличии ошибок в операторах и в правых частях уравнений / А.П. Петров, А.В. Хованский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. - 14. - №2. - С.292-298.

51. Пинчевский, А.Д. Метрологическое обеспечение информационных измерительных систем. Методологические и организационные основы / А.Д. Пинчевский.—М.: ВИСМ, 1990.—С.44-50.

52. Покорный, Ю.В. О некоторых оценках функции Грина многоточечной краевой задачи / Ю.В. Покорный // Математические заметки, т.4, №5, 1968.-С.533-540.

53. Полак, Э. Численные методы оптимизации / Э. Полак. М.: Мир, 1974. -376 с.

54. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н.Пшеничный, Ю.М. Данилин. -М.: Наука, 1975. 320 с.

55. Пытьев, Ю.П. Подавление ложных сигналов в задаче повышения разрешения / Ю.П. Пытьев // ДАН СССР. 1980. - 255. - №3. - С.540-544.

56. Савелова, Т.П. Об оптимальной регуляризации уравнений типа свертки с приближенными правыми частями и ядром / Т.Н. Савелова // Журнал вычислительной математики и математической физики.—1978.—№1.— С.218-222.s »

57. Серегина, Н.И. Простой регуляризуюгций метод компенсации влияния аппаратной функции на результат измерения / Н.И.Серегина, Г.Н. Солопченко // Техническая кибернетика.—1984.—№2.—С. 166-172.

58. Сизиков, B.C. О моделировании некоторых некорректных задач с использованием принципа подобия / B.C. Сизиков // Электронное моделирование. 1981. - №6. - С.3-8.

59. Симонов, М.М. Метод оптимизации регуляризуюгцих. алгоритмов динамической коррекции / М.М. Симонов, А.И. Бутко // Измерительная техника,—1990.—№2.—С. 13-15.

60. Симонов, М.М. Цифровой алгоритм восстановления входного сигнала / М.М. Симонов, Е.А. Васильев // Измерительная техника.—1979.—№5.— С.29-32.

61. Системы информационно-измерительные. Метрологическое обеспечение. Основные положения: ГОСТ 8.437-81. ГСИ.—М.: 1982.— 24 с.

62. Соболев, С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. -М.,Наука,1966- 444 с

63. Солдаткина, Е.В. Алгоритмы адаптации параметров измерительной системы к минимуму оценки динамической погрешности: Спец. 05.13.14-Системы обработки информации и управления :Дис. канд. техн. наук / Е.В. Солдаткина. Челябинск, 2000.-161 с

64. Солопченко, Г.Н. Обратные задачи в измерительных процедурах / Г.Н.Солопченко // Измерения, контроль, автоматизация.—1983.—№2.— С.32-46.

65. Солопченко, Г.Н. Компенсация динамических погрешностей при неполных сведениях о свойствах приборов и измеряемых сигналов / Г.Н.Солопченко, И.Б. Челпанов // Метрология.—1979.—№6.—С. 3-13.

66. Страхов, В.Н. О выборе константы в правиле А.Н.Тихонова задания параметра регуляризации при решении линейных условно-корректных задач / В.Н. Страхов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981.-21, - №5. - С.1315-1318.

67. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач в методе регуляризации / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. 1963. - 151. - №3. - С.501-504.

68. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач /A.Н.Тихонов // ДАН СССР. 1963. - 153. - №1. - С.49-52.

69. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов,B.Я.Арсенин. -М.: Наука, 1979. 288 с.

70. Тихонов, А.Н. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах / А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. - 5. - №3. - С.463-473.

71. Турчин, В.Ф. Выбор ансамбля гладких функций при решении обратной задачи / В.Ф. Турчин // Журнал вычислительной математики и математической физики.—1968.—№1.—С. 24-30

72. Уайлд, Д.Дж. Методы поиска экстремума / Д.Дж. Уайлд. М.: Наука, 1967.-268 с.

73. Фиакко, А. Нелинейное программирование. Методы безусловной последовательной минимизации / А. Фиакко, Г. Мак-Кормик. М.: Мир, 1972.-240 с.

74. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.,Мир, 1970.-720 с.

75. Харченко, P.P. Коррекция динамических характеристик электроизмерительных приборов и преобразователей / P.P. Харченко // Приборостроение.—1956 /—№2.—С .21-26.

76. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование / Д.Химмельблау. -М.: Мир, 1975. 536 с.

77. Цапенко, М.П. Измерительные информационные системы / М.П.Цапенко. — М,: Энергоатомиздат, 1985.—220 с.

78. Шестаков, A.JI. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика / A.JI. Шестаков // Метрология.—1987,—№2.—С.26-34.

79. Шестаков, A.JI. Синтез оптимального по среднеквадратической погрешности корректирующего устройства измерительного преобразователя / A.JI. Шестаков // Метрология.—1989.—№8.—С.3-8.

80. Шестаков, A.JI. Коррекция динамической погрешности измерительного преобразователя линейным фильтром на основе модели датчика / A.JI.Шестаков // Изв. вузов, Приборостроение.—1991.—№4/—С.8-13.

81. Шестаков, A.JI. Анализ динамической погрешности и выбор параметров Измерительного преобразователя на ступенчатом, линейном и параболическом сигналах / A.JI. Шестаков // Измерительная техника.— 1992.—№6.—С. 13-14.

82. Шестаков, A.JI. Измерительный преобразователь динамических параметров с итерационным принципом восстановления сигнала / A.JI.Шестаков // Приборы и системы управления.—1992.—№10.—С.23-24.

83. Шестаков, A.JI. Оценка достоверности результатов динамических измерений / A.JI. Шестаков // Информационные устройства и системы управления: Тем. сб. научн. тр.—Челябинск: ЧГТУ, 1994.—С.63-68.

84. Barwicz, A. An integrated structure for Kalman-filter-based measurand reconstruction / A. Barwicz, D. Massicotte, Y. Savire, M.-A. Santerre, Z.Morawski // IEEE Transaction on Instrumentation and Measurement, 1994, Vol. 43, No. 3,403-409.

85. Rhoads, R.L. Removal of interfering system distortion by deconvolution / R.L.Rhoads, M.P. Ekstrom // IEEE Trans. Instrum. and Measur., 1969.— vol.17.—№4.—p. 333-337.

86. Silverman, H.F. On deconvolution using the discrete Fourier transform / H.F.Silverman, A.E. Pearson // IEEE Trans. Audi Electroacoust., 1973.— AU—21,—p. 112—118.

87. Shestakov, A.L. Dynamic Error Correction Method / A.L. Shestakov // IEEE Transactions on instrumentation and measurement. Vol. 45, No. 1, Febr. 1996, p. 250-255.

88. Tanana, V.P. Convergence criterion for approximations in the residual method in Banach Spaces / V.P. Tanana, L.D. Menikhes // J. Inv. And Ill-Posed Problems. 1997.-V. 5. № 3.

89. Utkin, V. Sliding Mode Control in Electromechanical Systems / V. Utkin, . J.Guldner, J.Shi // USA Taylor&Francis, Philadelphia, 1999.