автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Интегральные динамические модели непрерывных систем и их компьютерная реализация

/ " : ^ У > *

АКАДЕМИЯ НОТ УКР/ИНЫ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ

АЕДУСАТАРОВ БАХРОМ БОРКЕЗИЧ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ И ИХ КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

На стыке специальностей:

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

05.13.05 - Элементы и устройства вычислительной техники и оистем управления

Диссертация в форме научного доклада на ооиокание ученой отепени доктора технических наук

Киев - 1991

Работа выполнена в Институте проблем моделирования в энергетике АН Украины и Ташкентском государственном техническом университете им. А.Р. Беруни.

Уаучный коноультант: . Доктор технических"наук,

профессор .ВЕРЛАНЬ А.О.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор БЕЛОВ Ю.А.;

Доктор технических наук КАТКОВ А.Ф.;

Доктор технических наук СИЗЯКОВ B.C.

Ведущая организация: Киевокий политехнический институт.

•Защита состоитоя января 1992 г. в 10-00 часов на

заседании специализированного оовета Д 016.61.01 по защите диссертаций при Институте проблем моделирования в энергетике АН Уфаины (252180, г.Киев-180, ул. Генерала Наумова, 15).

С диссертацией можно.ознакомиться в библиотеке Института проблем моделирования в энергетике АН Украины.

Дисоертавдя разослана

декабря 1991 г.

Э.П. СЕМАГИНА

БВЕЛЗШЕ И СЕЦЛЯ ХАРЛЮЗИЮБПСА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Постоянное повтение требова.'лгй к качеству репенля тагах заглых практическое задач как автоматизация технологических процессов, иаучпо-техютесгла расчеты, обработка результатов физических экспериментов, управление слоп-тздя 1грс:.2ИЮ1Япггг объектами в реальном времени л т.д. обусловливает необходимость создания высокопроизводительных систем управления л наблюдения на основе средств вычислительной техники. Основной особенностью слотом данного типа является гтрннадлег.-ность их к классу динамических систем,одним из эффективных путей исследования которых является применение методов математического :г компьютерного моделирования, поззолятацих снизить трудоемкость разработок за счет сокращения натурпых экспериментов, обеспечить повышение достоверности анализа характеристик, повысить oíí'Oit-тивность решения задач проектирования л построения высокопроизводительных специализированных вычислительных устройств, воспро-пзводт.™!х характеристики систем з реальном времени и обеспечивающих автоматизация процессов управления тсшпческлмл объектами.

Наличие адекватней глодали динамической система, оптимально сочетающей в счбо тaicie свойства кат: точность, универсальность структуры (для данного класса систем), доступность для объективной компьютерной реализации, является основой реезния задач синтеза спетом с заданными свойства',л, построения экономичных п производительных вычислительных устройств в качестве составных частей (блоков) систем управления, контроля, индеитифика-ции и диагностики.

.'Математическое моделирование динамических систем представляет собой обширнуп область научных исследований - от абстракт-пых математических теорий до многочисленных технических и программных средств моделирования.

Замечательные достижения исследований з области дифференциальных уравнений послужили практически готовы;.! фундаментом для развития теории динашчеоких систем. По мера услоштения задач дипагаки систем, расширения класса исследуемых динамических объектов становится очевидной необходимость дальнейшего развития и соверпепствования применяемых методов математического моделирования. К числу актуальных проблем в этом направлении оле- ■

дует отнести повышение эффективности аналитических методов качественного 'исследования задач динамики, эффективное отражение в моделях таких приемов исследования как дзкомпязиция и ма1фо-моделирование, получение возмогдоотей применения большой разновидности способов численной реализации моделей.для адаптации алгоритмов под узкий класс задач, повышение универсальности моделей, усовершенствование методов решения некоторых традиционно трудных задач динамики, в частности обратных задач, отличащих-ся свойствами некорректности. .

Положительный вклад в решение каждой из этих проблем может быть ..несен на основе применения интегральных уравнений. Данный подход и соответствует методу интегральных уравнений в математическом моделировании.

В литературе широко известен переход от обыкновенных дифференциальных уравнений к эквивалентным интегральным уравнениям как прием доказательства .существования решения, анализа сходимости и других целей. Следует обратить внимание на более широкие возможности такого перехода, позволяющего получить набор динамических моделей объекта, эквивалентных аналитически, но не эквивалентных в отношении методов и алгоритмов численной (машинной) реализации.

Сложившаяся методология математического моделирования может дать определенные рекомендации по цримененшэ конечных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений или. уравнений в частных производных, ставших уже традиционными математическими моделями для многих физических и ряда других явлений. Так, при описании процесоов и состояний в объектах о распределенными в пространстве параметрами, использовались дифференциальные уравнения в частных производных, для описания процессов в объектах о сосредоточенными параметрами - обыкнЬвенные дифференциальные уравнения и т.д. Значительно меньше общих рекомендаций для применения интегральных уравнений, хотя количество их приложений непрерывно.возрастает. Есть задачи, для описания которых принци шально невозможно применить какие-либо другие вида уравнений. Интегральные уравнения позволяют понижать размернооть некоторых задач исследования сплошных сред более компактно, чем дифференциальные уравнения, формулировать краевые задачи, приводят к устойчивым вычислительный процедурам. Использование интегральны

ypaEi'einiü з качества аппарата лсследовалдя постепенно привод::: :: 5орг.г;ро2а:"пз сагсстоятелшого г'-зтода :.:ате:.:а'глчесг.ого кэделпро-ПГ.Г31Л как совоггуакооть способов ояредалокга соотполокя.! пзгду ::згоо?н:"-1 походлкгл xnir.rt2.zi п характеристикам

ггзз"гаег.:аго язлекгя, а та:-:з пр::емсз эквизадзнтшЕ: преобразовали;! !:олученн::х интегралып'х уравк-ягдЛ к точного и: орт&п^енпого их решения.

Следует учитывать, что ^пюлегсшз алгора?::: рз^йипя иггтэ— гральнпх уравпаизД ОЕООсбразга и чгг^з всего из я:.'за? аналогов среди алгоритмов ре&зния других, эквивалентных по своей "атегд-"гсесг.сй постанови1:, видов уразпзкяй.

Задача чкеденноЛ реализации интегральных :.:сдзле:"1 ввиду ее трудност.: неизбежно трансфер: ~:руется в проблему глглпшой реализации, которая в зависимости от хопкретшгх усдоваЛ и целей исследования комет сводится к ссвохсушюсти вопросов внбор^ к использования зггпгслзтолыпк мзтодоз п средств, а во многих случаи:-: :г к их разработка. Действительно, математическая модлть rozav быть непользована для получогсгя липь численных результатов рзмения - тогда ото задача вычисления; для достаточно i.aioro-стороннего и продолжительного воспроизведения сволстз изучаемого явления или объекта ~ ото задача :.:одел:фозая:!Я; для $ор:ггро-вения управля:о::"Х воздействии в другом объекте или явлении -задача управления. Часто цольо исследовали! является совместное рст"21п!с '¿""".азаншдс задач. Отзпда т.'сляю сделать внвод о многостороннем характере проблемы магдшпой реслпзают математических моделей.

Основсполаглм'лне исследования по теор:я: инте1ралышх уравнен::! были приведены в труда Б. Зольторра, где были изломены вамнейтне результаты по гласснркапнп уравнзннй, исследовании) задачи о собственных значениях л функциях, вопросам судествова-1~:я и единственности редения. Зтл результат посдугилл ссново'1 для создания таких классических приближенных методоз ресещгя интегральных уравнений Kai: метод квадратур л итераций, вырожденных ядер, применение интегральных преобразований.

В настоящее время имеется целый ряд отечественных публикаций прикладного характера, освецадщнх вопроси применения интегральных уравнений к различный практическим задача:,: п прикладным областям. К таким работам следует отнеси труда Ф.Б. Бадало-

ва, И.Л. Бригера, М.С. Брикмана, А.Г. Бутковского, Г.И.. Василенко, С.Я. Виленкпка, A.C. Верланя, А.Н. Голубенцева, В.М. Глуш-кова, U.A. Колтунова, Б.Г. Марченко, И.А. Орурка, Г.Е. Пухова,

A.Р. Ржаницина, ю.Н. Роботнова, В.В. Солодовникова, М.И., Розовского, Ю.П. Яденко к др.

Интегральные уравнения хорошо изучены,^меют сложившуюся теории классических типов уравнений. Тем не менее остается не в полной мере выясненным вопрос об основных чертах и возможностях использования интегральных уравнений и операторов как метода математического моделирования. В этом аспекте мояно указать и такие, еще на полностью исследованные вопросы, как определение классов эффективно решаемых этим методом задач, методы формирования нелинейных интегральных динамических моделей, развитие специальных разделов теории целого ряда уравнений, получающих все большее распространение таких как уравнения Вольтерра I рода, многие проблемы численной и машинной реализации интегральных моделей и т.д.

Во многих областях народного хозяйства, науки и техники, в частности, в области создания систем управления содшшшми объектам, оправдана тенденция к разработке и использованпо специализированных вычислительных устройств. Это объясняется тем, что во многих случаях универсальные ЦВМ оказываются недостаточно быстродействующими для обработки информации в реальном времени, имеют недопустимо большие габариты и массу, большие стоимостные и энергетические затраты.

С другой стороны, появление и непрерывное совершенствование технологии производства интегральных схем и особенно переход к массовому выпуску БИС и СБИС открыли принципиально новые возможности при оинтезе архитектур специализированных вычислителей с малым объемом аппаратурных затрат.

Существенный вклад в проблему создания средств специализированной техники внесли работы отечественных специалистов, в том числе работы Е.П. Балашова, В.П. Боюна, Л.И. Гутенмохера,

B.Ф. Евдокимова, A.B. Каляева, А.Ф. Каткова, М.А. Карцева, А.Г. Козлова, О .В. Майорова, Б.Н. Малияовокого, И.В. Прангиш-вили, Д.В. Пузаккова, Г.Е. Пухова, В.Б. Сыолова, С.Т. Тиханчука, Е.П. Угршова и др.

Эфлективноеть специализированных вычислительных устройств, ориентированных на решение задач динамики, во многом зависит от свойстз реализуемых математических моделей, что 'определяет необходимость дальнейшего развития и совершенствования методов моделирования динамических объектоз. Многие работы последних лет, посвященные развитии теории и применения'методов моделирования динамических объектов привели к методике исследований, базирующихся на основе аппарата интегральных операторов и уравнений. Это объясняется принципиальной возможностью и высокой практической эффективностью использования интегральных операторов и уравнений в задачах, математические модели которых строятся так по экспериментальным данным, так и посредством эквивалентных преобразований других видов моделей. .

Несмотря на существенные достижения в теории и практике • создания специализированных вычислительных устройств для решения интегральных уравнений, вопросы разработка конкретных эффективных численных алгоритмов и способов электронного моделирования, ориентированных на построение специализированных вычислительных устройств, предназначенных для реализации интегральных динамических моделей, остаются еще недостаточно разработанными.

Автор выраяает иендзеннюэ благодарность доктору технических наук, профессору А.О. Верланю за помощь при формировании научного направления работы, ценные советы и консультации.

Представляемая к защите работа выполнялась в соответствии с планами ШР Ташкентского государственного технического университета им. А.Р. Беруни "Разработка и исследование методов и средств автоматизированных систем обработки научно-экспериментальной информации и систем автоматизации, их проектирование на базе персональных ЭВМ", выполняемой на основании Постановления Щ КПСС и СМ СССР от 23.01.1982 г. И Государственной регистрации 01.86.0137067 и Института проблем моделирования в энергетике АН Украины 'Тазработать прикладные методы и машинные алгоритм решения обратных задач теории динамических систем (применительно к моделированию и организации процессов управления, контроля и диагностики при комплексных натурных испытаниях технических объектов/, Постановление 451 от 30.12.86 г. Президиума Академии наук Украины.

Нзльи работы является: создании методов математического моделирования опрокого класса динамических систем на основе аппарата интегральных уравнений, обеспечивавших высокую адекватность процессов моделирования, их алгоритмическая, программная п аппаратурная реализация для повышения качества автоматизации научно-технипзсшх расчетов, {.нзических экспериментов, технологических процессов и процессов управления техниче сшили объектами. Для достижения указанной цеди требуется решение таких задач 1сак сог;:ание практической методики получения интегральных моделей динамических систем по исходным математическим описаниям в вида дифференциальных уравнении, а тахс.е по экспериментальным данным; разработка специальных алгоритмов численного решения интегральных уравнении динамических систем; создание комплексов программ для исследования данаючесдах систем; разработка конкретных структур специализ:фованкых вычислительных устройств, обладгш:цих возможностями работы в реальном времен::.

.Уятоды исследования. При проведении исследований з работе использовались: теория и методы математического моделирования динамических систем, элементы (функционального анализа, методы теории автоматического управления, численные методы математического анализа, теория шаровых и аналоговых вычислительных ма^ш и систем, а такме методы к средства проведения вычислите.".! шх экспериментов на Э3:,1. •

Достоверность научных нолог.енлй, выводов и рекомендации подтверждена результата:.!! ьлеинных экспериментов и псследовани-яш, приведенными в лабораторных условиях.

Научная новизна;

- обоснован подход к решению задачи математического моделирования динамических систем на основе интегрального метода;

- на основе методов аналитического расщепления и ессовой функции разработаны и систематизированы способы получения интегральных моделей динамических систем по заданным исходны:.! дифференциальным уравне!шя; на основе применения аппарата интерполяционных кубических сплайнов формализована процедура построения интегральных модзлей динамических систем по экспериментальным данным;

- предложопц специальные численные алгоритм метода квадратур для решения интегральных уравнений и реализации шгтегральяпх операторов Больтерра, основанное на использовагси свойства раз-доляэмости ядер; предложен способ внутренней регуляризации, позволят;::":;: получить оголенные алгоритма для решения линейных и некоторых нзлтнейных слабосингулярннх интегральных уравнений Зольтерра с использованием метода квадратур;

- разработаны программные средства для решения как интегральных уравнений Зольтерра I I )да, так и уравнений П рода,

а также макетная методика приведения вычислительных экспериментов, позволяющая исследовать днна:.:пческиз системы, описываемые интегральны:.::! уравнениями;

- на основе алгоритмов реализации интегральных дшгаотче-ских моделей цредлокепы структуры высокопараллельных многомодульных квадратурных процессоров; структуры микропроцессорных вычислителей для задач реального времзт:; структура конвейерного микропроцессорного вычислителя; структуры мультимикропгсцзс-сорных вычислительных устройств, а также разработано аналоговое вычислительное устройство для решения уравнений первого рода

со схемной регуляризацией.

Результаты разработок позволили решить следующие практические задачи: коррекция динамических характеристик систем и^мзре-пия потоков теплового излучения; автоматизация работ по исследованию процессов релаксации и ползучести упруговязких материалов; оперативное последовать динамических характеристик электрических 1.23ПН, определение "истинного смзщения" почвы при землетрясениях и др.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математические модели широкого клаоса динамических систем, полученниз в виде интегральных уравнений Вольтерра и результаты их качествешшх исследований по выявлению взаимосвязи сложности и точности модели со спецификой динамических свойств систем.

2. Формализованный подход к получению интегральных моделей динамических систем по заданны?.! исходным дифференциальным уравнения?,I, а также по экспериментальны?,! данным.

3. Высокопроизводительные численные алгоритмы метода квадратур дая реализации интегральных операторов и уравнений Воль-терра; способ внутренней регуляризации, позволяющий получить члеленныо алгоритмы доя решения как линейных, так и нелинейных слабосингулярных интегральных уравнений.

4. Комплгкс программ дал исследования динамических систем, а также различных численных алгоритмов и вычислительных структур при построении специализированных вычислительных устройств.

5. Структуры быстродействующих специализированных вычислительных устройств для численной реализации интегральных I,-.одолей динакичеспгх систем как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрам, в том числе структуры квадратурных процессоров, внеокопараллельних многомодульных процессоров, микропроцессорных вычислителей, конвейерного микропроцессорного вычислителя и культимикропроцессорных вычислительных устройств.

6. Специальные программные средства и вычислительные структуры для коррекцга динамических характеристик систем измерения потоков теплового излучения, автоматизации процессоз исследования релаксации и ползучести уцрутовязких динамических характеристик электрических г,каин, оперативного определения "истинного смещения" почвы при землетрясениях.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Научные положения, изложенные в докл до и работах автора, позволяют обоснозать необходимость применения аппарата интеграл! ных уравнений и их реализующих специализированных средств вычислительной техники для исследования широкого класса динамических систем как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами, цри решении важных научно-технических и народнохозяйственных задач, в частности, задач управления, контроля и наблюдения.

Изложенные в работе методики машинной реализации интегральных моделей динамических систем использовались в Узбекском научно-исследовательском институте энергетики и автоматики при -разработке системы автоматического регулирования процесса совместш раздельного сжигания различных видов топлива е парогенераторах г омшлешшх ТЭЦ, а также в ЦДКТБ научного приборостроения АН Узбекистана.

Разработанное специализированное вычислительное устройство использовано в Институте технической теплофизики АН Украины при

решснии задачи коррекции динамических характеристик систем измерения тепловых потоков.

Апробация работы. Основные полот.ения н результаты работы были долог.егш и обсуддеш в I320-I99I гг. на 8-ми Всесоюзных конференциях-и симпозиумах (Клев, Мооква, Новосибирск, Ташкент) и 4-х республикански совещаниях и конференциях.

Автор з!фаг.ает искреннюю признательность учешлл и специалистам Института проблем моделирования в энергетике АН Украины, совместная работа и творческие дискуссии с которг-;"! способствовал.^ решению поставленных задач.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 61 работы, в том числе одна монография (Изд-во Н^укова думка, г .Киев) и 11 Авторских свидетельств ССОР.

Объем диссертант: и ее структура. Диссертация представлена в форме научного доклада и состоит из 6 разделов.

I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ЭДНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Под математическим моделированием динамических систем целесообразно понимать совокупность последовательно применявшее методов получения уравнений, описывающих систему, методов и приемов преобразования их к виду, удобному для качественного анализа или решения, а тагсг.е аналитически (прибллкешшх или точных), численных и машинных методов решения (реализации) получегшых уравнения. Естественно, в ка:хдом конкретном случав математического моделирования задачи в зависимости от когафетных целей исследования могут быть применены различные метода или этапы моделирования из указанной их совокупности.

При исследоваши (моделировании) могут решаться три основ-in:e задачи: определеш зыходгшх координат но заданно?,у оператору системы и внешним воздействия:.! (это задача анализа или прямая задача); определение внешних воздействий y(t) {m, -мерный входной сигнал) по заданным выходным координатам f (t) ( тг - мерный выходной сигнал) и оператору А ( внутренняя характеристика системы, отобраяающая ее преобразующие свойства и включающая в себя т} -мерный вектор параметров системы cj , постоянных или изменяющихся во времени) - первая, обратная задача, раз-

ковлдностко которой является задача управления, состоящая в синтезе такой функции (fit) , которая обеспечивает определенные требования к функции f(t) , вообще говоря, не заданной; определение оператора системы по заданным входным воздействиям, и выходным координатам, т.е. задача идентификации, представляющая собой вторую обратную задачу, к которой примыкает такие задача синтеза системы, состоящая в поиске и реализации такой внутренней структуры, которая обеспечивает заданный закон цреобразования вход-.пых воздействий в выходные координаты. Соответственно можно указать три основные структуры математической модели системы:

f(t) = A(q,t)i/(t), (1)

D(q, t)f(t) = y(t) , (2)

D(ty,t)f(t)=Dety,t)f(t), (J)

где A , О , В/ , Ds - операторы, связанные между co6oii в рамках моделируемого объекта, однако различные по своему конкретному содержанию и свойствам.

Структура ( { ) представляет собой явную модель прямой задачи так же, как зависимость (2 ) является явной моделью первой обратной задачи. Эти же зависимости ( / ) и ( 2) являются неявными моделями соответственно первой обратной и прямой задач. Структура (3 ) в непреобразованном виде представляет собой неявную модель тсак для прямой, так и для первой обратной задач.

При. решении практических задач моделирования довольно часто приходится искать компромисс между сложностью применяемой математической модели и требуемой точностью. При этом выбор модели может вестись либо в рамках одного вида уравнений, либо, если это допускается постановки задачи, путем сопоставления моделей, принадлежащих различным видам уравнений. Во многих олу-чаях 1фитерии выбора являются очевидными, однако часто при выборе модели требуются специальные исследования.

Возрастание, сложности и расширение крута современных задач . анализа и проектирования динамических систем существенно изменили ситуацию в области математического моделирования. Наряду о классическими задачами анализа в практику исследования динашче-

ских систем вошли многие задачи математической физики, задачи опрсашм объектов без предварительного знания законов их функционирования (задачи биологии, химии, экологии, экономики и др.), задачи, обратные задачам анализа, - идентификация, синтез управлений, диагностика систем и т.д. Ч этих условиях возможности дифференциальных уравнений оказались недостаточными, что пренда всего относится к задачам моделирования нестационарных систем, управления системами о распределенными параметрами, восстановления сигналов и т.д. Трактовка свойотв динамических объектоз на основе понятия последствия, развитие структурного метода исследований привели к практическому использовании интегральных операторов в качестве математических моделей для элементов систем и систем в целом. В итоге к настоящему времени интегральные уразненил стали сироко применяться для решения многих задач моделирования динамических объектов и систем.

Рассмотрение произвольной непрерывной динамической системы как взаимосвязанной совокупности элементов, выходы и входы которых связаны причинными отношениями, приводит к описанию их з общем случае системой нелинейных интегральных уравнений

fiШ / "ч I1' s> П f3)] ds =Д / % iif - 5< УЧ (S)] ds'

где fit) - выходные координаты системы; ya (i) - внешние воздействия; My И' G^j - характеристика преоЬразудаях операторов элементов.

Б jmneiiHHX случаях тлеют место уравнения

где ядра Мц и имеют смысл весовых функций.

Объединение объектов, охваченных обратными связями,в систему, свидетельствует о том, что задачи их анализа описываются интегральным! уравнениями второго рода, причем реакции систем на произвольные действия представляют собой искомые функции уравнений с переменными пределами интегрирования,, а периодические процессы описываатся уравнениями с постоянными пределами иптегриро-

вания, равны,-.!! периоду. Решение уравнений второго рода в принципе представляет собой корректную задачу.

Рассмотренные особенности уравнений Вольтерра П рода позволяют выделить свойства интегральных динамических моделей, которые могут быть сформулированы как по структуре системы, так и путем эквивалентных преобразований исходных дифференциальных уравнений. Удобнее всего цри этом воспользоваться линейной моделью в виде скалярного уравнения

*

м*! = ¡и)+/ м'а, = у>ш,

/а {6

ср Ш= \ 6 и, 6) ¡/(5) С/5 ,

в котором ядро М г/ характеризует "собственную" динамику моделируемого объекта и в совокупности с функцией 0 (¿, б) отображает преобразующую способность объекта по отношению к внешнему возмущению //(¿) . Тогда мокно отметить следующие важные для предложений свойства интегральных динамических-моделей.

Свойство универсальности: интегральное уравнение с произвольны:,! ядром не монет, быть путем эквивалентных преобразований приведено к дифференциальным уравнениям; обратный переход возможен всегда.

Свойства обращения: цри некоторых, не слишком жестких, ограничениях на ядро оператор М* имеет обратный вид

t

(¡>т+ \ на,аз = ¡а), (7) о

т.е. с такой ге структурой.

Свойство взаимности: имеет вид место симметрии преобразующих свойств моделей (б ) и (7 ), вытекающая из соотношений

Я (1, з) + / МП, <Г) Р (Г, з)аз = - м а, з), и t

м а, *)+1 в а, т) м(т, з)с/$ = -я а. а),

данное овойотво прЬдстааляет собой оонову методов эквивалентных преобразований моделей, их синтеза и исследования асимптотических свойств.

Свойстзо сходимости: резольвента уравнения всегда может быть представлена в виде сходящегося ряда итерированных ядер

т.е. имеет место предел Um ¡1.(t,s) = 0 : данное свойство лежит в основе приближенных методов анализа, аппроксимации операторов и характеристик систем.

Задачи восстановления внешних воздействий, определения весовых функций, более общие задачи идентификации,.интерпретация результатов наблюдений и экспериментов и другие задачи приводят к уравнетаям первого рода, обладающим свойствами некорректности. Все эти задачи на практике изесстны под оби;гм названием хаг. обратная задача.

Теоретическое исследование и численные методы решения обратных задач в значительной мере определяются выбранной формой математических моделей, т.е. видом уравнений, в качестве которых применительно к задачам динамики могут быть приняты обшшо-венные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных или интегральные уравнения. Методу интегральных уравнений соответствует приемы описания систем посредством одномерных математических моделей и способы приближенного или численного их решения.

Согласно методу интегральных уравнений, задача восстановления внешних возмущений при заданно!! ее структуре системы сводится в общем случае к решешго системы уравнений Вольтерра первого рода

искомые функции; f¿ Ш - задатше выходные координаты; ^¿^ и Ыц - известные нелинейные зависимости; д - вектор известных параметров.

Задача восстановления параметров д по известной зависимости I'.-д решается путем проведения экспериментов по фор мир о-

где

-/« -

Bajara функций sc¿(t) , измерения реакций ¡/^ (t) и определения искомых значений посредством решения алгебраической системы, аппроксимирующей уравнение (8 ).

Задача восстановления математической модели системы также решается на основе экспериментального задания функций (í) , fq № г однако результатом экспериментов является точное или приближенное определение функций L. В зависимости от метода последующей аппроксимации определяемой функции L¿q можно получить мнокеотво структур идентифицируемой системы,

Метод интегральных уравнений позволяет четко определить качественные свойства обратных задач на основе свойств ядер L¿q и N¿J , а таете разработать ряд эффективных численных алгоритмов, обладающих повышенными помехоустойчивыми показателями.

Широко распространенная разновидность задач восстановления входных зависимостей систем измерения и наблюдения описывается интегральными уравнениями Вольтерра первого рода t

/ К(t-s)y(s)ds - f(i), te[t0, r] , (ff)

ta

где ядро K(t-s) представляет собой аппаратную функцию система; /(i) - ее выходные перемечнке; у (tí - искомая измеряемая величина, поступающая на вход и завг-ящая во многих подобных задачах от пространственной координаты t .

Указанные свойства позволяют отметить следующие особенности црименения интегральных уравнений в задачах моделирования динамических систем (применение рядов Вольтерра позволяет отне-отп многие из этих особенностей и к нелинейным непрерывным системам) .

1. Интегральные уравнения одного и того же вида являются единой формой описания стационарных и нестационарных систем, систем о распределенными параметрами и запаздыванием, различаясь лишь видом ядра.

2. Интегральные уравнения содержат в себе полную математическую постановку описываемой задачи. Примером является эквивалентная интегральная форма задачи Коли:

у(О - ув + // Гл ds <=> ~ f а, , ' y(V = у0 ■

3. Структура математической модели. яря обобщения я обосновании постановок одномершк задач на многомерные задачи сохраняется. Например, многомерным аналогом уравнения ' В ) (в скалярном случае) является уравнение

f(X) + / к[х, s, f(s)]cfs = $(/), a

X" (*„ Хг_____хк) £ SCX).

4. Задачи качественного исследования динамически"" систем реяаатся прямым применением методов функционального анализа.

5. Задаче анализа (решение уравнения (В ) ) соответствуют следующие обратные задачи, репаемые в силу свойств обращения и взаимности на основе единого подхода:

- задача восстановления внешних воздействий и синтеза управлений по зада:шым траекториям движения систем« во временной области ¿сводится к обращению явно:! модели и поэтому формулпру-ется в виде интегральных уравнений Вольтерра I рода iff );

- задача определения характеристик разомкнутой системы (задача идентификации); формулируется в виде уравнений Вольтерра I рода, полученных из зависимостей вида

t

f(t) = f It, te ) у (t0) + f f (t, S) d 1/(5) .

о

Дашке формулировки обратных задач непосредственно указывает на принадлежность их к классу некорректных задач.

6. При решении широкого круга задач численного моделирования динамзчесшх систем удается реализовать следующие достоинства интегральной постанови:!: сглаживающие свойства интегральных'операторов; изучение, обеспечение и ускорение сходимости итерационных методов; высокая устойчивость црямых методов.

При построении специализированных вычислительных средств на основе методов численного решения и электронного моделирова-

1шя интегральных уравнений можно получить ряд новых структур, отличающихся повышенной универсальностью.

Интегральное уравнение Вольтерра I рода {9 ) существенно по своим свойствам.отличается от уравнений Вольтерра П рода (S) прежде всего формулировкой условий существования и единственности решения. Уравнение {3 ) на интервале ( , т ) имеет единственное непрерывное решение, если ядро и правая часть имеют непрерывные производные и , и, кроме того, / (¿„)

01 о I /и

а К и, -) на ( ¿0 , Г ) не обращается в нуль.

Таким образом, область приложения интегральных уравнений исключительно обширна, она включает в себя как задачи исследования полей и сред, так и задачи исследования систем, т.е. те области, которые ранее традиционно распределялись между даффе-оенциальными уравнениями в частных производных и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Мало того, эта область включает в себя задачи, которые не описываются в естественной постановке какими-либо ДРУ1.1МИ видами уравнений. Это, конечно, не означает, что необходимость в других фор:,их математического моделирования отпадает, и лишь указывает на существование определенного круга задач, применение к которым интегральных уравнений может оказаться и оказывается эффективным.

2. 1Ш0Ш ФОРМИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

При решении задачи математического моделирования динамических систем целесообразно исходить из принципиальной возможности получения некоторого множества эквивалентных "близигх" друг к другу математических моделей (одного и того же типа динамических систем) ц выбора такой модели из указанного набора, которая обеспечивает наилучший вариант применяемых решений. Именно такой подход развиваетоя в данной работе, причем в качестве математического описания динамических систем применяются интегральные уравнения и операторы (интегральные динамические модели), аналитически эквивалентные традиционным описаниям в виде дифференциальных уравнений как обыкновенных (свойственные динамическим системам с сосредоточенными параметрами), так и в частных цроиз-водных (свойственные динамическим системам с распределенными параметрами) .

Для формального эквивалентного преобразования уравнения й,(у) = Вг(у) , исключающего непредусмотренные искажения исходных вьраленяи, могут быть попользованы следующие прнег.м (методы):

а) одитивкое преобразование

Ц(у) = D2 (у) =» Л, (у) + D} (у) « D2 (у) + П3 (у);

б) мультипликативное преобразование

Л, (у) = П2(у) D, Г (у) = Ds Dj (у), Ц (У) = (У) => % D'J(y) = Лг D-'(y);

в) ¡дативное расщепление

О, (у) = Пг (у) => D„ (у) + Dis (у) = Do (/у);

г) мультипликативное расщепление '

D, у = П£ у D, у ~ D„ Dts у — Ds У ; М

д) частичное адитивное обращение (явное обращение на основе (fß) )

4 (!/) = (!/)=*</ = К (В, (у) - Dts (у)); (ff)

е) частичное мультипликативное обращение (неявное обращение па основе (//) )

Огг (у) = О,} (Вг (у)) .

Естественно, могут быть применены различные комбинированные методы этого типа.

Получение интегральных уравнений задач динамики по заданным дифференциальным уравнениям

Как било отмечено, млтематические модели динамических систем с сосредоточенными параметрами на практике известны в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому получение их

штематичасклх моделей э виде интегральных уравнений может быть осуществлено одним из известных приемов, например, приемами эквивалентного перехода. Следует обратить внимание на более широкие возможности такого перехода, позволяющего получить набор -динамических моделей объекта, эквивалентных аналитически, но не эквивалентных в отношении методов и алгоритмов численной (малинкой) реализации.

Метод аналитического обращения с расщеплением (для объектов с сосредоточенными параметрами). Пусть известна модель объекта в виде обыкновенного дифференциального уравнения

с/<п)т + г а■ i/n'¿>U) =f (t)~ i а. уСп-°Ш . (л?)

' Urmt

После замены переменных

т=уп'т)а), u'(t)~¡Jn-m")u),и'т>и)=из)

Получаем уравнеше т-то порядка

U(m'U) t Z a¿ Uu-*(t) = c¡>U), С /4)

где

= f(t)~ I a¿ y(n'"lt). (/*)

' ' i-mtt

Переходя от (/4) к эквивалентной системе дифференциальных уравнений и используя фундаментальные решения применительно к канонической системе дифференциальных уравнений, получаем уравнение о ядром экспоненциального вида

U (t) = ешио+ [ eACs> г (а, и, s)ds, i/6)

о

где UU) = \u'(t), ru),и™ti)] ,

ио=[и'(0), и "(О),..., 1/^(0)], F(a, U, t) = [о, О,..., yltj) .

в матрица А порядка т имеет вид

(О / О ... D \ О О / . . . О

-От -Q

т т-

..r^-'Ot / ■

Искомые переменные уравнения {12) и (/з) связать зависимостью

i t

l^r иш*.

О 3

t

(t-s) ~(n-m-t)

n-m-t

(/7)

Переход от одного варианта модели к другому осуществляется путец изменения значения т е .

Получение интегральных динамических моделей динаютеских систем с сосредоточенными параметрам по исходным дифференциальным уравнениям такке^ может быть осуществлено на основе метода последовательного интегрирования.

Метод весовой функции (применительно к системам с распределенными параметрами) состоит в том, что путем преобразования исходного дифференциального уравнения и при необходимости путем ее аналитического решения определяется весовая функция динамической системы в аналитическом виде, которая позволяет получить интегральные модели системы в виде кнтец)алыюго оператора (9 ). Данный метод мояет быть приманен как 1ля динамичаскпх систем с сосредоточенны?®, так и с распределенными параметрами.

Пусть динамика динамической системы с распределенными пара-мэтрами описывается даффере1щнальным уравнением

dt

\дх2 dz¿

где А , В , С - коэффициенты, характеризующие динамические свойства конкретных динашческих систем; у (х, 2, ¿) - иокомая Функция, которая определена и непрерывна з области Л = [/ , (х,2)еЯ] , допускающая разделение переменных; дЯ -граница

области 2 .

Рассмотрим уравнение (18) о ненулевыми начальными условиями:

и граничным условием

//д9 = 0.

Методика получения интегральных динамических моделей в дан-ком случае соотоит из нескольких этапов.

Начальным этапом является нахождение решения уравнения (/<0 в виде

/ (х, г, ¿)=1 г (О х„ (х, г), (/?)

где хп (х, г) - собственные функции следующей задачи:

х„/д2 = 0, (х.г)-О,

а Хп - оуть собственного значения этой задачи; ТП=ТПШ -искомая функция времени.

Подотавляя {19) в (/<?), получим уравнение

ГпМ=Тап . С '

решение которого имеет вид

тп а) - т°па) +1 д а-5) У/7 мз, о

где Т° и) -решение однородного уравнения; {р Ш - решение неоднородного уравнения с условиями:

л?

Топ = уп Ц хп(х.2) да

а

дЯ

Следовательно, решение уравнения (/■?) будет тлеть вид / г, /;= I т°и) х„ (л, г) +

/7-/

+ ! (1 ипи-з)Л„ хп(х, т))с/з.

о п"

На следующем этапе, приравнивая функции ¡/(¿) единице (это соответствует тому, что на вход системы подается единичный сигнал), получим аналитический вид переходной функции (данамя-ческой системы). После этого, дифференцируя полученную переходную функцию, находим импульсную переходную функцию, и, наконец, усредняя по 53 импульсную переходную функцию, получим ядро К а,в) интегральной модели динамической системы.

Оормирование интегральных моделей по экспериментальным данным. Оормирование интегральной модели динамических систем по экспериментальным данншл, как обычно, сводится к предетазлению ядра в аналитическом виде. Поэтому практический путь определения аналитического вида функции К(0 заключается в получении переходной характеристики РФ как реакция исследуемого объекта на единичную функцию, аппроксимации РФ простил аналитическим выражением и его дифференцированием, поскольку К(1) = с/Р(0/сН. Эффективным аппаратом приближения функции на отрезке [О, г]. при помощи простых аналитических выражений - полиномов, являются интерполяционные полиноминалыше сплайны, принадлежащие к классу С[0Г] . В этом случае применение сплайнов при выполнении условий

I) К (О)* О, ] (0)=0.

2) функции К'it) и fit) непрерывны на [О, г] , т.е. Kit), fit) е Cfar] приводит к следующей процедура получения интегральной модели динамической системы:

1. Аппроксимируя экспериментально полученные функции Pit) к / It) интерполяционными сплайнами п -го порядка на равномерной сетке

соответственно имеем Zm„ (.?($), Zm„ (fd)) , где т - количество точек интерполяции.

2. Определив производную Z'mn (,Pit)) и подставляя ее в уравнение (9 ) вмеото К (t, s) \ а вместо f(t) - lmn (fit)) получим

/ (P(t.s))$ls)ds = ¿mJflt)), („.)

о

где y(t) - решение этого уравнения.

3. Дифференцируя уравнение {21) по t , получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода

^ewiw+fz^(p(t s))?(s)£/s -

о

3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ! МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Анализ показывает, что среди многих методов решения интегральных уравнений Вольтерра, метод квадратур занимает оообое место по овоей приспособленности для решения задач моделирования и управления. Для этих целей мохет быть применен аналог метода Рунге-Кутта, однако пооледний реализуетоя в виде гораздо более сложных алгоритмов. Высокая устойчивость и простота реализации метода квадратур при решении уравнений второго рода достаточно очевидны. При решении уравнений первого рода высокая устойчивость обеспечивается за очет регуляризирутацих свойств метода, причем параметром регуляризации - шаг квадратуры. Использование

фсрмулы лепте: и средних прямоугольников,. а таила трапеций для решения интегральных уравнеш:!: Зольтерра, обеспечивает сходимость мзтода благодаря специфическим соотношениям весов указанных квадратур.

Несмотря на указанные достоинства метода кзадратур, его применение в задачах моделирования и управле'-ия представляет достаточно непростую проблему. Зшшнм недостатком традиционных квадратурных алгоритмов в решении интегральных уравнений Зольтерра является то, что с ростом номера узлев дискретизации: возрастает число операций, выполняемых на к&вдом шаге вычислений, что при программной ют аппаратной реализации резко снигсает их производительность. Этот недостаток определяется в значительной мэре наличием ядра как функции двух переменных.

Эффективность квадратурны* алгоритмов монет быть значительно повышена, если ядра интегральных уравнений являются разделяющимися или могут быть сведет к ним, т.е. при

т

К а, з) = Е а, а) 13. (в). {22)

14 и ' с

Используя свойство разделяемости ядра {22) поименительно к уравнению (3 ), получим следующий алгоритм, который может быть назван быстродействующим

1/(0)= г (О),

' -1 -V |Чу3/ ^ АI«№ "¿>.

где А] - коэффициенты квадратурной формулы, (7 =1,2,3...)-

узлы дискретизации; И - шаг квадратуры.

Аналогичным образом быстродействующий алгоритм может бить построен и для решения других типов интегральных уравнений Воль-терра.

Сравнение алгоритмов, вытекающих из методов итераций и квадратурных формул, при решении нелинейных интегральных уравнений позволяет получить данные для выбора необходимой процедуры, что могло рассмотреть на примере уравнения

и а) +1 к а, в) = /а), (гз)

о

где Р - заданная функция.

Прямое црименение к уравнению (23) метода квадратур- приводит к системе нелинейных уравнений относительно искомых значений у а¡) , т.е. к системе, содержащей столько уравнений, сколько значений отыскивается. Это создает затруднения при программной реализации алгоритма и при его аппаратной реализации. В связи с этим большей эффективности можно добиться путем применения комбинированных алгоритмов. Примером мокет служить следующий алгоритм цримэнителыго к уравнению (гз). Интеграл заменяется конечной суммой на основе какой-либо квадратурной формулы, что приво-ррт к выражению

Применяя теперь локальные итерации, получаем окончательную расчетную формулу

У* . ПУ, "¿4,

где 3= / а,) -Д А. К^, ¿у) руад.

Отметим, что численное решение слабосингулярных уравнений также связано о определенными трудностями. Например, црименение метола квадратур для решения слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра второго рода

где 0<а<1 исключается. Это обстоятельство прежде всего объясняется особенностью, которой обладает ядро уравнения, т.е. при ¿-в ядро обращается в беоконечнооть.

Одним из приспособленных к ЭВМ опоообов преодоления указанной трудности являетоя замена исходного уравнения (24) следующим приближенным соотношениям

д«)+ / (25)

о "

где р - малый регуляризирующий параметр (или параметр "внутренней" регуляризации), который могло ввести, походя из некоторых условий согласования неизбежных вычислительных, методических и наследственных погрешностей моделирования. Одним из тагстх условий является ["шималыюе значен"е функционала ji (е) , зависящего от невязки

t

¿ (о\ р) - ?(£) + I Gp (t-s) y(s)ds - fóíi), n

где Gp (t-s) *• К(t-s)/(p-h(t-^a) , fd(i) - правая часть, воз-

музгнная погрешностью с? , Одним из путей практического нахождения параметра р является применение способа модельных примеров. ■

Отметим, что на практике уравнение (24) часто задается з виде

t

у (t) + I K(t-s)ffa(t-s)y(s)ds = ftt), (26)

o

где Pa (t-s) - f / (t-s) a и фушсцгся Pa обычно имеет

экспериментальное происхождение. В этом случае применение способа внутренней регуляризации приводит к следующему эквивалентному уравнении (25)

§(£) + ¡K(t-s)/\t+ (f/p)/ffjt-s)} y (s)dS- — f(t). (27) o

Окончательное расчетное выражение для приближенного ресепия интегрального уравнения (24) тлеет вид:

' у (О =1(0),

Способ внутренней регуляризация успешно может быть применен и для решения других видов слабосингулярных интегральных уравнений, а именно уравнений первого рода и нелинейных интегральных уравнений.

Как бнло отмечено в раздела I, универсальные черти интегральных уравнений Вольтерра сказываются в том, что к ним приводятся различные виды дифференциальных уравнений, тогда как обратный подход возможен не всегда. Чаще всего это делается .для получения качественных результатов исследования, изучения асимптотических свойств задачи, хотя несомненный интерес может представлять данный подход и для получения количественных результатов анализа динашческих систем.

Быстродействующие алгоритмы успешно могут быть построены таете для решения интегрального уравнения (9 ), аналитическое описание ядра которого получено экспериментально и аппроксимировано предварительно интерполяционными сплайнами. Отправляясь от

квадратурных формул вида ? •

I ' Н I Щ- (Ш + , (<?*>

о №

. — # , где ¿ = N ; N = 1,2,... ; Т/Ы ; Ь И^у -веса;

/^[¡¿>] - оотатки этих формул, получаем систему расчетных уравнений

V '

(М)

где у (¿Ь) - решение системы (30),

На вопроо о возможных погрешностях получаемого решения интегрального уравнения (9 ) на оонове реализации вышеизложенной процедуры отвечают следующие теоремы: г

Теорема I. Пусть РСО е и /(Ц)е С[о г1

(имеют г -ю и I -ю соответственно непрерывные производные) £*г<п и /<¿</7 и выполняется неравенство

тах

в котором

¡1 •{[ - тах Ц'Ц

Тогда, каков би шт бил интерполяционный полиномиальный сплайн степени п > 4- с. соткой узлов (20) и квадратурные формулы (23), точ!шо для многочленов степени п такио, что

(P«sMc г//!a'J < /, (J/)

К(О), IV = тал ¡iVl ,

для уклонения решения (i) , получаемого из спотсш (л?), от точного решения у (i) исходного уравнения (9 ) справедлива сценка

\y(Lh)-$ah)\у (ns, Н) il/lle +ai(n,l}HHv(fa>, И)} ;

В, (т, п, г) - B\\cti\\„ , (32)

Где Н определено в (20), Цх-Ц^ - max IxJ, V X; е fi'

J1 (п, Г, н)= елр [Таг (п,г) Нг'*ь>(Р,г)-, Н)/- t,

cofy, н) - модуль непрерывности функции f (t) , определяемый формулой

а) (Ф, Н) » max let (t - ip(t)\; (зз)

\<f\ * и

В" exp [r W6t (m, n, r)/ (f -f)] W)

ivTT Il — 'foW-2-J \dt*

а величины а, (п, £), аг (л. г), Ьх. (т, п, г) , (т, п, г) константы, зависящие только от указанных величин.

Замечание I. Величины Сгг , фигурирующие в - правой части (3£), достаточно хорошо исследованы дал основных квадратурных формул.

Из теоремы I и оцределения класса функций < ()

непосредственно вытекает следующее:-

Следствие. Если РИ)е М\Ч(г1Н а , а /Ш£ НН' где г ¿л и /<"¿¿/7 ! то в условиях теоремы I справедливо неравенство

!1 у(¿М-рО(Н-'П^-О^), ; {35)

А Г • / ^ £ ,

Общая процедура I) - 3) и (зо), основанная на применении интерполяционных кубических сплайнов (¿)) , удовлетво-

ряющих краевым условиям . 2"т (о) = ¿"т} (<р и)) -О п сеткой узлов вида (20), достаточно пр'осто реализуется на ЭВМ.

В качестве квадратурных формул представляется возможным взять квадратурные формулы трапеций. Известно, что формула трапеций точна для многочленов первой отепени, а ее остаточный член на классе НУ/12) удовлетворяют неравенству

; К, -/^.

На вопрос сб ^тслонении приближенного решения от точного в этом случае дает ответ оледующая теорема.

Теорема 2. Пусть функции Ра) , /И) интерполяционный кубический сплайн ¿т3 (<р (Ю) и квадратурные формулы {29) удовлетворяют следующим условиям:

-292) л^г ^ (ра-з)\7(з)}\ /У, К, - ; и-Оп^ЗЪ ¿/г 1

3)

Тогда з процедуре I) - 3) п (Л^ при , п-з , для интерполяционных кубически сплайнов относительно сетки узлов ( "О ) о краевыми условиями (о) = г"^ . (р (¿)) - О л стадратурной формулы трапеций справедлива сценка

цг (Н) + ^{/>)] елр та / ГДЗ ¡1ГМ %ехр [в, ТЬг-га>(Мг>; ц)/\ка\] - /,

и)(<р, М) - модуль непрерывности функции (р (О , определяемый формулой (33).

Следствие. Еоли Р№€ПМ{/Ча(г*2,3; а е [О, /]) , а /в) £ пщ10^ (¿~/,2,з ; ре. [О, /]) , то в условиях теоремы 2 справедливо соотношение

0(гГ*'') + 0(н"/И) + ОМ. (3£)

При практической реализации процедуры I) - 3) и (30) на окончательный результат, кроме исследованных погрешностей метода, влияют еще и вычислительные погрешности, обусловленные погрешностью измерений с помощью приборов (инструментальная погрешность), а также погрешностями округлений чисел на ЭВМ.

Теорема 3. Пуоть выполняются условия следствия из теоремы 2 к погрешности вычисления функций Pit) , fit) и р (¿) в узловых точках, соответствешю равны <?р , cf^ и d .

Тогда имеет место соотношение

РЩ - о + 0(hlffi-f) + о (ь*) + .

+ Jp 0(hz)/4 0(h'f) * Oft?).

Следствие. Оптимальным по порядку (в смысле точности) шагом сетки (20) для интерполяционных кубичеоких сплайнов и квадратурных формул трапеций будет шаг

< г

где

у = min (W а-2, I +J3-I, 2), £= max , , if).

Полученные оценки погрешности реализации данной процедуры свидетельствуют о сходимости вычислительного процеоса и позволяют оптимально (в смысле минимизации ошибки вычислений) выбрать шаг квадратуры.

4. ПРОГРАММНЫЕ МОДЕЛИРШЦИЕ СРЕДСТВА

Одной из основных проблем при компьютерной реализации математических моделей динамических систем является поиск экономичных вычислительных алгоритмов, требующих мишнлального машинного времени для получения приближенного решения о заданной точностью £ >0 . Время счета задачи зависит не только от качества алгоритма, но и от качества программ и типа вычислительной машины. Поскольку последние две характеристики трудно учесть, то основным показателем обычно очитают чиоло арифметических действий NCs) для получения решения о заданной точностью. С этой точки зрения можно считать, что проблема поиска экономических алгоритмов реализации интегральных моделей динамичеоких систем в определенной степени решено. Поскольку предложенные в разделе 3 алгоритмы решения интегральных уравнений Вольтерра

-3i-

являются быстродействующими я позволяющими организовать вычислительный процесс таким образом, что количество операций, необходимее для совершенствования одного шага интегрирования, т.е. для вычисления очередного значения искомой функции не зависит от порядкового номера шага интегрирования, а погрешность, связанная с округлением чисел, не накапливается.

Для решения интегральных уравнений на ЭВМ разработан комл-лекс прикладных программ, основными особенностями которого являются: а) рассматриваются алгоритмы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого и второго родов как с регулярными, так и с сингулярными ядрами; алгоритмы решения интегральных уравнений первого рода, основанные на представление экспериментально заданных ядер в виде интерполяционных кубических сплайнов; б) для численного решения интегральных уравнений в комплексе программ использованы наиболее.эффективные методы, в частности, метод квадратур; в) в качестве алгоритма реализации интегральных уравнений взят как традиционный, так и быстродействующий алгоритм метода кзадратур; г) в случае решения слабосингулярных уравнений предусмотрена реализация способа модельных примеров для определения параметра внутренней регуляризации; д) сетки узлов положены равномерными; е) программы составлены на языке ФОРТРлН.

Для проведения вычислительных экспериментов по исследованию динамических систем как с сосредоточенными, так и с распределен- • ними параметрами, представленными полностью или частично интегральными динамическими моделями, создана специальная машинная методика в виде программного моделирующего комплекса MMDS . В основу функционирования программного комплекса положены алгоритмы решения интегральных уравнений.

• В основу структурно-Функциональной организации комплекса положен модульный принцип, заключающийся в данном случае в следующем.

I. Детальный анализ пространства вариабельности модели (а именно,анализ математического обеспечения задачи, алгоритма ее решения, требований к сервису и др.) и разложение полного понятия задачи на базовые части (каждая из которых овободна или почти свободна от вариабельности) такие, чтобы объединение этих частей совпадало со всем пространством вариабельности задачи.

2. Реализация каждой полученной части в виде подпрмракмно-го модуля, т^е. подпрограммы, пригодной.для испрльзования в контекстах разных программ.

При разработке моделирующего комплекса естественным .образом возникали специфические требования■к структуре функциональных и системных компонентов: необходимость удобных.средств для задания исходных данных-, обработки и наглядного вывода результатов, рационального использования оперативной и внешней памяти ЭВМ о эффективным обменом информационными массивами, обеспечение гибкого управления вычислительным процессом (с возможностью выбора оптимальных алгоритмов); экономичная реализация программных (фрагментов, на которые падает основная вычислительная нагрузка и т.д. Компоненты моделирующего комплекса разбиваются на две основные части: функциональную (вычислительную) и системную. К функциональной части относятся программы, непосредственно реализующие модели, а к сиотемной - специализированные средства, обеспечивающие*управление вычислительным процессом, т.е. организацию выполнения последовательности функциональных программ, обмен информационными массивами между ниш, хранение, редактирование, ввод и вывод данных.

При этом тлеется возможность решать какую-либо задачу, выполнение которой в различных комбинациях обоспечивает решение планируемой исследователем задачи. Модульная структура комплекса позволяет значительно упростить его эксплуатацию и развитие.

Функциональное наполнение комплекса состоит из дзух групп' модулей:

- первая группа модулей предназначена для решения прямых задач динамики непрерывных систем;

- вторая группа модулей позволяет решать обратные задачи динамики непрерывных сиотвм.

Системное выполнение комплекса представляется пятью модулями .

5. СТЕВДАЛИЗИРСВАННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА И МИКРОПРОЦЕССОРНЫЕ СИСТЕМЫ

Построение высокопроизводительных цифровых специализированных вычислительных устройств достигается прежде всего использо-

ванием эффективных численных алгоритмов п оптимальной организации вычислительного процесса. Предложенные виге модификации алгоритмов метода квадратур представляют собой основу (функционирования специализированных устройств, реализующих интегральные динамические модели. Для анализа вычислительных процессов в указанных устройствах целесообразно применить метод моделироватия на ЭВМ. 3 этом случае процедура анализа включает в себя следующие этапы:

1) выбор алгоритма метода квадратурных формул, принимающегося за численную основу функционирования анализируемого вычислительного устройства;

2) выбор конкретной квадратурной формулы, которая будет реализована в анализируемом специализированном вычислительном устройстве;

3) выбор элементной базы, на основе которой предполагается построение специализированного устройства;

4) задание исходного значения изменяемых параметров модели, являющихся характеристиками специализированного устройства, а именно, в нашем случае шаг дискретизации, верхнее значение предела интегрирования и разрядность представления информации; •

5) выбор конкретного интегрального оператора или уравнения, точное решение которого известно;

6) составление программы реализации на ЦВМ выбранного оператора или уравнения с условием, что разработанная программа отражает процесс функционирования анализируемой структуры;

7) получение приближенного значения интегрального оператора или решения интегрального уравнения в узлах дискретизации в результате реализации разработанной программы;

8) сравнение результатов вычислений с точным решением и определение погрешности, допущенной при выбранной квадратурной формуле в анализируемом устройстве;

9) определение в соответствии со структурой анализируемого специализированного вычислительного устройства общего времени Тц , затрачиЕ .емого на получение значений иокомой функции в одном цикле;

105 повторение пунктов 4-10 для последующих значений параметров.

Таким образом, устанавливается оптимальная структура устройства о низкими аппаратурными затратами и высокой точностью вычислений.

На основании изложенной процедуры были построены структуры специализированных вычислительных устройств, предназначенные, для реализации линейных интегральных операторов и решения линейных интегральных уравнений Вольтерра П и I рода. При.разработке данных структур были реализованы быстродействующие.алгоритмы метода квадратур. Применение методики позволило построить и реализовать структуры кзадратурных процессоров, реализующих нелинейные интегральные операторы Вольтерра - Гаммерптейна и Вольтерра - Урысона с ядрами общего вида. При синтезе квадратурных процессоров были использованы структурные способы повышения быстродействия, а именно распараллеливание вычислительного процесса и перекрытие циклов работы устройства. Подход допускает решение задачи синтеза высокопараллельных многомодульных квадратурных процессоров, предназначенных для решения систем интегральных уравнений Вольтерра - Гаммерштейна и Вольтерра - Урысона.

Для реализации интегральных уравнений Вольтерра как с регулярными ядрами общего вида, так и ядрами, обладающими свойства!,« . цредставимости в виде суммы произведений независимых функций, могут быть построзны как одноканальная, так и многоканальная микропроцессорные системы. Задачи разработки микропроцессорные устройств и систем (ШС) требует ооздания специальной метода:га: проектирования, позволяющей учитывать условия эксплуатации, эффективность реализуемых алгоритмов, а также оптимальный выбор элементной базы. 'Анализ существующих на практике методов проектирования специализированных ШС позволяют считать целесообразным выделить следующую последовательность этапов проектирования ШС, предназначенных для численного решения интегральных уравнений:

1. Постановка задачи (условия эксплуатации, требования к проектируемой системе)

2. Выбор метода численного решения интегральных уравнений (о учетом точности ц вычислительных затрат).

3. Составление алгоритмической структуры функционирования

ШС.

4. Определение необходимого минимального состава и разработка структурной схемы МПС.

5» Организация связей устройств системы и разработка рабочей программы.

-JS-

6. Лнализ проектированной Г.ПС по аппаратным затратам, быст-~

рОДвЙСТВШЗ II ТОЧНОСТИ.

Первые два этапа существенно не отличаются от традиционных методов проектирования.

Отличительной особенностью третьего этапа проектирования по сравнению с другими методами, является прежде зсего то, что он составляется на основе выбранного метода численного решения, "после чего осуществляется формализация алгоритма на уровне арифметических и логических операций.

На четвертом этапе проектирования определяется необходимый минимальный состав и разрабатывается структурная схема МПС.

На пятом этапе проектирования разрабатываются цифровые и цкфроаналоговые средства, обеспечивающие связь между модулями ШС, а также разрабатываются рабочие программы на языке ассемблера выбранного макропроцессора. Этап завершается составлением функциональной схемы устройств связи на уровне, позволяющем выбрать элементную базу, оценить объем аппаратурных затрат, а составленная рабочая программа позволяет оценить требуемый объем вычислительных затрат.

На шестом этапе проектирования производится анализ соответствия разработанной ШС на предъявленные требования к ней по быстродействию, аппаратур гнил и вычислительным затратам, а тают по надежности. Это придает рекурсивный характер всему процессу проектирования и завершается тогда, когда, полученный в результата последовательных уточнений вариант системы удовлетворяет всем предъявленным требованиям.

функциональная exet,а однокачальной ШС, построенной на основе выше рассмотренной методики и на базе МПК серий К580 и К589, представлена на рис. I и состоит из следующих модулей:

- Щ - центральный процессор, состоящий из ьшфопроцесоора К580ИК80А, буферов шины адреса и данных, схем обработки прерываний и управляющих сигналов;

- 032 - оперативная память, построенная на 32 микросхемах 5565РУ2А,

- ППЗУ - программируемая постоянная память, построенная на основе интегральных схем серии KI65PE3;

- МБР - многорежиыный буферный регистр;

&

§ i а

- АЩ - аналого-цифровой преобразователь, на основе i'iicpo-схемы 1С572ДП2.

Рассматриваемая ШС кокет бить использована при ресопяп неслогдых задач, и где но предьявлялтся высокие требования к опера тл в но с тн вычнслз ш г Л'.

Оперативность вычисления интегральных уравпеьгн;;-'обеспечивается использованием конвейерного процессора и многоканальной

В состав конвейерного процессора входа? 16-разрядянй учшо-гптель с регистром временного хранения, легальная память, ППЗУ гхпфоксманд (25GxI6), схема обмена информации (ОЛ), дзухканаль-ннй мультиплексор. При построении конвейерного процессорного модуля использованы быстродействующие ИИ БИС серий KIC02, К5В9, П1С памяти K55G, K54I и K53I. Производительность процессора в конвейерном ре.тлме составляет 3,32-I0J опер /с.

При разработка многоканальных специализированных вычислительных устроистз и микропроцессорных систем, реалислрующпх интегральные уравнения и их системы, основным требованием является разделение алгоритмов решения этих уравнений на независимые части или Еетви. Специфической особенностью многоканальных Г,ПС в отличие от одноканалышх является большое количество решающих или процессорных модулей в каждом канале, а также сложности организации физической стругстуры.

3 структуре многоканальной ШС используется квадратная матрица, в которой для каждого столбца и каядой отрогах существует собственная шпа связи, что обеспечивает параллельную передачу информации в пределах одной строки 'или одного столбца. Ввод информации или исходных данных осуществляется с помощью устройства ввода, которое подключено к шинам строки. Вывод осуществляется о помощью устройства вывода, подключенного к выходам всех вычислительных модулей последнего столбца. Выходы крайних вычислительных модулей калдой отроки ( B/i¿n ) подключены к пинам соответствующих столбцов матрицы. Синхронизация и управление рьоотой ММПС осуществляется по пинам управления о помощью ИП.

При решении многих, практических задач, в частности, задач управления и контроля динамических объектов функции отклика ft(t), f1(t),..., fn(i) имеют аналоговую форму. Кроме того, по

-ЗР-

результатам вычисления требуется оперативная выдача управляющих воздействий или сигналов на управляемые объекты. В тагах случаях для вычисления значений искомых функций в матричных ШС в качестве вычислительных модулей целесообразным является использование сигнальных процессоров, в частности, К2813В31.

Аналогичны;.: образом разработаны структуры одноканальных и многоканальных ШС, предназначенных ддя численной реализации интегральных уравнений Вольтерра - Урысона и Вольтерра - Гаммер-ште;&а как с общими, так и с разделяющимися ядрами. Высокая эффективность этих ШС достигнута благодаря оптимальному сочетанию алгоритмических и структурных методов повышения быстродействия. Это обстоятельство способствует 'широко:,у применению тагах ШС для оперативного контроля и управления быстропротекающиш технологическими процессами, моделирования динамических объектов в реальном времени.

Для качественного синтеза структур ШС и специализированных вычислителей необходимо тлеть формализованный подход к синтезу. В качестве такого целесообразным является использование алгебраического метода. При этом алгебраическая модель ШС или специализированного вычислителя состоит из четверга

где к - количество каналов; в(.} - множество входных, внутренних и выходных переменных; V - множество типовых алгорит-' мов (операторов); ф - множестзо правил.

На основании модели (37) производится синтез структуры ШС и правило выбора оптимальной структуры из числа синтезированных. В качестве критерия оценки оптимальности Использована функция

где Ду( - мощность пар , / -го оператора ;

- мощность пар 8всех частных операторов V ;

пу( - количество модулей (элементов), с помощью которых реализуется С -й оператор С - пропускная способность устройства или системы; N - общее количество операторов.

Для оценки показателей производительности разработанных ШС и устройств используется детерминистский подход, позволяющий за-

менить трудоемкий вычислительный процесс оценки производительности Солее проспи, с использованием простых вычислительных операций, что приведет к существенному сокращенно времени получения ' значений показателей производительности.

При аппаратурной аналоговой реализации интегральных моделей динамических систем, в частности интегрального уравнения Вольтерра первого рода свойства некорректности сказываются в неустойчивости соответствующих решающих моделей и'требуют применения методов регуляризации. С целью обеспечения устойчивости электронной модели уравнения (9 ) с наименьшим услогтаенпем ее структуры, применим метод регуляризации Лаврентьева, согласно которому вместо

уравнения (9 ) решается уравнение

г

¿/(¿)-;ЗуЮ + I к а ¡/(в) а). (39)

о

Выражение (39) позволяет построить устойчивую структуру аналогового специализированного вычислительного устройства на основе принципа неявной электронной модели со схемной регуляризацией. Устойчивость процесса моделирования обеспечивается выбором параметров регуляризирующей цепи.

6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ И (ЛШЩЛИЗИРОВАШЫХ ■УСТРОЙСТВ ДНЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Задача исследоватя процесса совместно-раздельного сзкпгания различных видов топлива. Для описания процесса совместно-раздельного оаигашгя различных видов топлива был применен аппарат интегральных уравнений Вольтерра. Методика машинной реализации интегральных моделей динамически систем использовалось при разработке системы автоматического регул;трования процесса совместно-раздельного сжигания различных видов топлива в парогенераторах промышленных ТЭЦ.

Задача коррекции динамических характеристик систем измерения потоков теплового излучения. Инерционность приемников излучения, определяемая их теплоемкостью, ограничивает возможность системы измерения нестационарных потокоз теплового излучения. Непосредственное использование показаний атих приборов для анализа, диагностики или регулирования быстроизмзнязощихся процессов приводит к значительным динамическим погрешностям. Способы динамической кор-

рекции в этом случае могут быть разработаны путем построения корректирующего устройства, предназначенного для решения обратной задачи для уравнений, описывающих процессы з приемнике, т.е. ■в объектах с распределенными параметрами.

В качестве математического обеспечения цифрового корректора, предназначенного для решений основного интегрального уроавнения задач:: восстановления сигналов, использована процедура реализации модифицированного алгоритма численного решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода. Ядро решаемого уравнения при отом имеет вид

а; а) = i* (rz-1)2 / //(t-тгч)г+ м*, z- гТп,

где 2"/ , J* , Mi, Tz - постоянные коэффициенты, т.е. определяется путем дифгферентдфования экспериментально полученной переходной характеристики P(t') 3 аппроксимированной предварительно кубиче с кнмн с плайнами.

IIa основе цифрового моделирования системы измерения потоков теплового излучешш с корректором (в виде цифрового или аналогового устройства) получены данные для проектирования и разработка корректирующих вычислительных устройств.

Аналоговое устройство для решения задачи динамической коррекции на основе интегрального метода восстановления сигналов реализовано и экспериментально исследовано. Зкхочегше устройства в систему измерения потоков теплового излучения позволило повысить' эффективность использования системы за счет повышения динамической точности и снинения затрат на обработку результатов измерений.

Задача автоматизации работ по исследованию процессов релаксации и ползучести упруговязких материалов. Для описания процессов деформирования и р»лаксирующлх напряжений упруговязких материалов в линейной области используются соответственно следующие виды интегральных уравнений Вольтерра второго рода: t

q(t) + / G Ci -s) q(s) ds - £e(t), W

о

sc)*-jra-s)£(s)ds = ,

гдз £ (¿) - деформация;' в (t) , T(í) - функции влиягмя; E - модуль упругости; q(¿) - напряжение; ¿ - время наблюдения;

S - предшествующее моменту наблюдения время.

Таким образом, задача автоматизации процесса исследования релаксации и ползучести упругозязких материалов сзодлтоя к построению специализированных вычислительных устройств, предпазначен-1шх для решения интегральных уравнений (40) и (¿0 с последующим включением их в систему исследова!ия динамических характеристик упругозязких материалов.

Предлагается два варианта структур специалнзотовошкх вычислительных устройств, отличающихся.друг от друга тем, что в первом .варианте реализован традиционный алгоритм численной реализации интегральных уравнений (to) и (4/), а во втором - быстродействующий алгоритм.

Задача оперативного исследования дина:.21ческлх характеристик электрических машин. Посредством цифрового моделирования алгоритмов функционирования СЗУ, цредназначенных для реализации интегральных моделей динамических систем была решена задача исследования динамических характеристик электрических машин, в частности, на основе решения системы интегральных уравнений Вольтерра определены значения приращений токов, электромагнитных моментов и ряд других параметров электрической машины. СЗУ, предназначенное для резенпя системы интегральных уравнений, состоит из дзух-канального блока формирования правой части, блока перемножения млтрицы на вектор и блока синхронизации. Приведена такке структура матричного микропроцессорного вычислителя, состоящая из 4 элементарных вычислительных, модулей, которые соединены меяду собой с помощью двух горизонтальных и двух вертикальных шин. В зависимости от конкретных требований и формы представления исходных данных при исследовании динамических характеристик электрических машин кокет быть использована одна из предложенных структур. В качестве примера приведены результаты расчета динамических характеристик асинхронного двигателя о помощью разработанного матричного микропроцессорного вычислителя.

Задача оперативного определения '"истинного смещения" почвы при землетрясениях сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра первого рода, ядро которого имеет вид

К (t) = (б, cosa, i + b2 sin a, i) eaji+ ^ е°>*,

-4-г-

гдэ сгп...,а^ - постоянные коэффициенты. Для-численного

определения "истинного смещения" почвы предложены структуры СБУ и мшфодроцзссорного вычислителя, построенные на основе специального высокопроизводительного алгоритма численного решения .интегральных уравнений Вольтерра I рода.

Предложенная СБУ имеет гяюгоканальную структуру с высокой степенью перещштия циклов работы. Определение I -го значения смещения почвы в этой структуре СВ7 выполняется за восемь, рабочих тактов.

Использование ^микропроцессорных вычислителей для решения обратных задач сейсмологии позволяет повысить' гибкость и надежность системы обработки. Предложенный-мшфопроцессорный вычислитель для определения "истинного смещения" подан построен на базе микропроцессорных контролеров типа К1-20. Рабочий цикл вычислителя при определешш 1-го значения смещения почвы состоит из семи тактов, из которых четыре такта выполняются параллельно.

Задача'Построения цифровых аналогов инерционных измерительных преобразователей по заданным интегральным динамическим моделям, в том чиоле разработаны устройства, воспроизводящие характеристики измерительных преобразователей температуры, давления, окорестп потока, влажности газа, угла поворота и химотронного измерительного преобразователя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны, обоснованы и исследованы методы и средства математического моделирования широкого класса данами-'ческих систем на основе аппарата интегральных уравнений, обеспечивающие высокую адекватность процессов моделирования, программную и апаратнуп реализацию в задачах автоматизации научно-технических расчетов, физических экспериментов, технологических процессов и процессов управления техническими объектами. В том чиоле получены следующие результаты:

I. Обоснован подход к решению задачи математического моделирования динамических систем на основе интегрального метода, состоящего в получении и машинной реализации математических описаний динамичеоких систем в виде интегральных уравнений и допускающих эффективную аппаратную реализацию путем построения специализиро-

ванных вычислительных устройств [I, 2, 4, 10, 12, 13, 17, 39, 61] .

2. На основа методов аналитического расщепления и зессзо:'; Фтвяапл разработаны и систематизирован;: способы гголучекл.? лиге- ■ грллы-гнх моделей дннатгических систем по задакппл леходпгг.? днр-ферешшалыгкм уравнениям [6, 9, 10, 36, 48] .

3. Предложен способ получешгя интегральных моделей динг.:::-ческих систем по экспериментальным'даты:.! на основе прпмзнепгя аппарата интерполяционных сплайнов [8, 18, 33] .

4. Предложат высокопроизводительные численные алгоритмы метода квадратурных формул для решения интегральных уразнег:пя Вольтерра П и I рода, основанные на использовании свойства раз-деляемости ядер и благодаря этому обеспечивающие высокую скорость получения значешхй искомой функции в узлах дискретизации, а также позволяющие,по сравнению с традиционными алгоритмами метода квадратурных формул, существенно сократить время репепия и затраты памяти при програмглной реализации [I, 2, 5, 6, 9, 10, 15, 25, 29, 36, 48] .

5. Разработан алгоритм решения интегральных уравнений Золъ-терра первого рода, основаншгй на представление экспериментально заданных ядер з виде интерполяцпонньх кубических сплайнов [7, 8, 12, 33] .

6. Предложен способ внутренней регуляризации, позволяющий получить численные алгорптш для ресегая линейных и некоторых нелинейных слабосипгулярных интегральных уравнений Зольтерра с использованием метода квадратур; алгоритмы ориентированы на синтез структур цифровых специализированных вычислительных устройстз, предназначенных для реализации интегральных моделей динамических систем; для определения параметра регуляризации использован способ модельных пригаров, развитый применительно к слабосингуляр-нгед интегральным уравнениям Вольтерра [20-22, 26-28, 32, 34] .

7. Разработан комплеко прикладных программ для решения линейных п нелинейных интегральных уравнений Вольтерра П и I рода как с регулярными, так и о сингулярными ядрами [17, 29, 30] .

8. Создана машинная методика проведения вычислительных экспериментов для исследования сложных динамических систем как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами, и представленными полностью или частично интегральными динамическими моделями [4, 17, 29, 31, 36] .

9. Предложены структуры быстродействующих специалпзирован-ных вычислительных устройств, предназначенные для реализации линейных интегральных операторов и решения линейных интегральных уравнений Вольтерра. Высокая скорость вычислений в разработанных структурах обеспечивается благодаря реализации в них быстродействующа алгоритмов, а такие максимально возможного распаралле-. лква1фя процесса и перекрытия щитов работы вычислителя [3, 23, 24, 51, 53] .

10. На основе рационального, применения структурных способов . повышение быстродействия средств вычислительной техники - рас-паралл. ливания и перекрытия циклов - разработаны структуры квадратурных процессоров для машинкой реализации интегральных операторов Вольтерра - Гаммзрштейна и Вольтерра - Урысона с ядрами общего вида; структуры высокопараллельных шогомодульных квадратурных процессоров, предназначенные дая реализации нелинейных интегральных операторов и устройств для решения интегральных уравнешй Вольтерра - Гаммерштейна и Вольтерра - Урысона второго рода с разделяющимися ядрами с высокими потенциально возможными показателями быстродействия и точности. Модульность структур позволяет"'обеспечить гибкость, адаптацию архитектуры процессоров и устройотв к кошфетным задачам [23, 38, 39, 43, 44, 49, 50, 52, 56] .

11. На основе распараллеливания и перекрытия циклов разработаны модульные структуры микропроцессорных вычислителей, обеспечивающие решение интегральных уравнений Вольтерра в реальном времени; структура конвейерного микропроцессорного вычислителя для численной реализации интегральных уравнений Зольтерра с регулярными ядрами вида, обладающим свойством представимости в виде оуммы произведений независимых фуныюй; структуры мульти-микропроцессорных вычислительных устройств для решения интегральных уравнений Вольтерра - Гаммерштейна второго рода с разделяющимися ядрами в реальном времени [37, 40-42, 45-47, 54, 55, 57].

12. Разработана структура и принципиальная схема аналогового специализированного вычислительного устройства для решения интегральных уравнений первого рода на основе принципа неявной электронной модели со схемной регуляризацией; устойчивость процесса моделирования обеспечивается выбором параметров регуляри-зирущей цепи [7, 11-14, 17, 31]..

13. Результат разработок позволила решить следующие практические задачи: коррекция динамических характеристик систем измерения потоков теплового излучения; автоматизация работ по исследованию процессов релаксации и ползучести упругсвязких материалов; оперативное исследование динамических характеристик электрических машин; определение "истинного смеще::ия" почв:: при землетрясениях; построение цифровых аналогсв инерционных измерительных преобразователен по заданным интегральт-; динамически: моделям, в том числе разработаны устройства, воспроизводящие характеристик: :пмзрителыгых преобразователе" температуры, давле-штя, скорости потока, влажности газа, утла поворота и химотрсн-ного измерительного преобразователя [1-4, II—lo, 17, 22, 29, 31, 43, 58-51] .

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО TEI.3 ДИССЕРТАЦИИ

1. Абдусатаров Б.Б. Об одном алгоритме численного решения интегрального уравнения задачи восстановления сигналов. - Пр-принт / АН УССР, Ин-т электродинамики; И 231. - Киев, I3C0. -С. 29.

2. Верлань A.Ö., Абдусатаров Б.Б. Алгсрит:,и численной реализации интегральных уравнений в задачах теории восстановления. К.: Электронное моделирование. - I9S0. - £ 5. - С. 59-62.

3. Верлань А.О., Абдусатаров Б.Б., Максимович H.A. Принципы построения и структура специализированного ИВУ для решения задач динамической коррекции. - Препринт/АН УССР, Ин-т электродинамики, й 232. - Киев, 1930. - С. 12.

4. Верлань А.О., Геращенко O.A., Абдусатаров Б.Б., Черянь-ко В.Н.' Цифровое моделирование интегрального метода комленсации динамической погрешности системы измерения потоков теплового излучения. - К.: Электронное моделирование. - 1981. - В 4. -

С. 8-13.

5. Абдусатаров Б.Б. Комбинированный алгоритм численного решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода в задачах анализа электричеокях цепей: Тез. докл. Всосоюзн. научн.-техн, конф. "ПНЭ". - Киев: Наукова думка, 1981. - Ч. 3. -С. 59-61.

5. Верлань A.O., Серикова И.А., Абдусатароз 5.Б. Рекомендации по пт.именеша метода вырожденных ядер к решению интегральных уравнений. - Киев: Каукова думка, 1981. - 52 с.

7. Верлань А.О., Абдусатаров Б.Б. Способ нелинейной .аппроксимации в задаче .идентификации объектов с распределенными параметрами. // Сб.: Прикладная электротехника. - К.: Наукова думка, 1931. - С. 55-60.

8. Зерлань А.О., Абдусатароз Б.Б., Бпленко З.И. 0 применении сплайнов при численно;.! решении интегрального уравнения задачи восстановления сигналов // Докл. АН УССР, сер. А, - 1931. -

- 4. - С. 72-75.

9. Зерлапь A.S., Абдусатаров Б.Б. 0 некоторых алгоритмах реализации оператора свертки и их применение // Сб.: Гибридные вычислит, маш. и компл. - Киев: Наукова думка. - 1981. - № 4. -С. 27-134.

10. Верлань A.C., Абдусатаров Б.Б. Сравнение некоторых алгоритмов при•малинной реализации интегральной формы нелинейных динамических задач // Сб.: Машинное моделирование электрических

и электронных цепей. - Киев: Наукова думка, 1981. - С. 2С-30.

11. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Максимович H.A. Специализированные аналоговые вычислительные устройства для динамической коррекции систем измерения потоков теплового излучения:Тез. докл. Всесоазк. научн.-техн. конф. "Развитие и использование 'аналоговой и аналого-цифровой ВТ". - М.: Ш НТОРЭС им. Попова, 1981. -С. 155-156.

12. Абдусатаров Б.Б. Методика решения задачи структурной коррекции динамических характеристик линейных систем. - Киев: Наукова думка, 1981. - 60 с.

13. Верлань А.Ф., Абдусатароз Б.Б., Геращенко O.A., Максимович H.A., Черинько В.Н. Разработка ü моделирование способа и устройств коррекции динамической погрешности процесса измерения теплового потока //.Отчет по теме "Ядро" / ИПМЭ АН УССР, й гос. регистр. 0281.7 0I547I. - 1981.

14. Верлань А.Ф., Геращенко O.A., Максимович H.A., Черинько В.Н., Абдусатаров Б.Б. Устройство для измерения теплового потока. - A.c. 985717 (СССР). Опубл. в Б.И., 1982. - J* 48.

15.. Верлань А.Ф., Абдусатароз Б.Б., Шевченко А.И. Некоторые особенности численного решения интегральных уравнений в задачах

-4 7-

госстановлопня сигналов // Сб. : Методы анатш^л и сиптзси нелинейных цзпей. - Хпез: Паухоза дуга-п, I2B2. - С. 77-83.

16. Верлапь А.З., Лбдусатгров Б.Б., извчс-нко Л.11. Способ пара:;зтрг1чес::ой идентификации я олсктр:пес;:ого модсл::рсза'~.<: передаточной фупкед: приемников .тлптстого теплового потока // Сб.: Вычислительная тех::л1:а :: энергетика - ICiron: Ilnyttcca 1582. - С. 7-1-84.

17. Берлань кЛ., Абдусатарсв Б.В., Еплетпсо 3,1Т., :1гпа?чек-г.о Л.Л., 1,!аксп:.:о1з:;ч К.Л. Создать методику мэдегнрогаппя га cl'.'! яелрерцвшсс £пзпческпх процсссоз, одгс-чрсог^п: ¡зктвх^з.гинг.сг уравнсни/ил ;г знедгнть ее з гэлозше: исслздозатзльс:::::: проемт-;пг: оргагпзакалх олек?роэкерго;кпес:-;ого профиля з системах лдепти&пггета и расчета олог-тротсзипчссюсс устакогоп // Отчет по темз "Ядро", ПП:.;Э АН УССР, 1382, гос. регистр. GI0G0S34, или. 028500I57G4.

13. Верлапь А.'5., 'Абдусатсроз Б.Б., Бпленкэ 3.ÎI. Об оц~:;::з погрегпеота одного численного алгоритма решения лнтегрплттсс урашений задач:: восстановления енгналоз // В кн.: Е!г-:иогитель-иая и прякладн. математика. "s;::, зод. сб. научи. тр. -- Киев: Изд-зо КГГ. - Вия. 51. - 1983. - С. 55-31.

19. Абдусатаров Б.Б. Регуляризация интегрального уразквЕ-я задачи зосстанозлэння сигналов при олектроипем годолирозапп::. -К.: Электронное моделирование. - 1983. - У: 3. - С. 98-ICC.

20. Берлань А.<5., Абд/сатароз Б.Б. Применение методов регуляризации к ремзкнэ слабозингуллр.'шх уравнений Бэлзтерра з задачах идентификации и иоделцрозаняя объектов с распределении:"! параметра:::!: Тез. докл. Всессмзн. школы-семинара. - Самарканд, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - С. G3.

21. Абдусатаров Б.Б. Некоторое вопросы численной реализация сингулярных интегральных уравнений Вольтерра второго рода в задачах определения механических характеристик упруговязктэс материалов: Тез. докл. Респубд. научн,-техн. копф. "Пнтзгральппз уравнения в прикладном моделировании". - Киев: Пн-т олзктроди-. намнки АЛ УССР, IS83. - 4.2. - С. 3.

22. Абдусатаров Б.Б., Мансуров Д.Д. О некоторых особенностях численного решения сингулярных интегральных уравнений Больтэрра второго рода в задачах определения механических характеристик уцругозязккх материалов : Тез. докл. Республ. каучн. техн. конф.

-4-3-

"Интегральные уравнения в прикладном моделировании". --Киев: Ин-т-электродинамики АН УССР, 1983. - Ч. I. - С. 40.

23. Верлань A.C., Абдусатаров Б.Б., Максимович H.A. Устройство для решения интегральных уравнений. - A.c. 1099755 (СССР), 1934.

24. Максимович H.A., Абдусатаров Б.Б., Верлань A.A., Полозков A.A. Устройство для решения интегральных уравнений. -

A.c. 1092530 (СССР). - Опубл. - Б.И., 1984. - 18. .

25. Абдусатаров'Б„Б., Рахматуллаева М.Ф. Методы численной реализации интегральных уравнений в задачах интегрированных АСУ, ■Тез. докл. Всесоюзн. научн.-техн. конф. "Методы к средотва решения задач в интегрированных'АСУ", Ташкент: ТапШ, 1984. - С. 50,

26. Абдусатаров Б.Б., Мансуров Д.Д. О численной реализации нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода в задачах моделирования объектов с распределенными параметрами. -Математическое обеспечение АСУ ТП. Сборник научных трудов. -Ташкент: ТаМШ, 1984. - С. 40-35.

27. Абдусатаров Б.Б.-, Мансуров Д.Д., Архипов A.B. Некоторы! вопросы численной реализации линейных сингулярных интегральных уравнений Вольтерра // Математическое обеспечение АСУ ТП. Сборник научных трудов. - Ташкент: Изд-зо ТаМШ, 1984. - С. 46-50.

28. Абдусатаров Б.Б., Мансуров Д.Д. Аппроксимация ядер Дуфинга цри построении интегральных макромоделей объектов о рас-цределенными параметра!,а // Математическое обеспечение АСУ ТП.-Сборник научных трудов. - Ташкент: Изд-во ТашПИ, 1984. - С.20-2!

29. Разработка быстрых алгоритмов численного моделирования динамики стационарных объектов при интегральном описании / • Б.Б. Абдусатаров,'Р. Батиров, Д.Д. Мансуров, 3. Мирюсупов, Д.П. Мухитдинов, И. Набиходжаев, Ю.Я. Ходааев, А.Ф. Верлань - // Отчет ixo х/д 84/83, № ^ос. регистр. 01530089313, инв. номер 0285.0030284, 1984.

30. Абдусатаров Б.Б. Интегральные модели динамических объе] тов и численные алгоритмы для их машинной реализации // В кн.: Моделирование-85. - Теория, средства, применение: Тез. докл. Всесоюзн. научн-техн. -конф. - Киев, 1985. - Изд-во ИПМЭ АН УССР, С. 64-65.

31. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Максимович H.A. Построе ние вычислительных устройств для динамичеокой коррекции систем

-tff-

измерения тепловых потоков на основе решения задачи идентификации: Тез, докл. 17 Всесоюзн. симпозиума "Методы теории идентификации задачи измерительной техники и метрологии". - Новосибирск, Дзд-во ШИШ, 1985. - С. 100-101.

32. Абдусатаров Б.Б., Мансуров Д.Д. Некоторые вопросы решетя задачи идентификации линейных объектов с распределенными параметрами: Тез. докл. 17 Всесоюзн. симпозиума "Методы теерш адентификации задачи измерительной'техники и метрологии": -Новосибирск: Изд-во ШИШ, 1985. - С. 43-44.

33. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б. Способ быстрого решения гатегральных уравнений Вольтерра второго рода на оонове аппроксимации ядра сплайнами П Сб.: Моделирование сложных процессов

I систем. - Киев: Наукова думка, 1985. - С. 133-139.

34. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Батиров Р.В., Мансуров 1.Д. Оценка точности численного решения слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра в задачах моделирования объектов с распределенными параметрами. - Деп. № 3214-Б, ЦЕЖТЗИП. - Опубл: з БУ ВИНИТИ*"ДНР". - 1986. - И 5. - С. 133.

35. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Батиров Р.Б., Мансуров 1.Д. Решение линейных сингулярных интегральных уравнений Воль-герра первого вода методом регуляризации ядер. - Деп. Ji 3215-Б, ШИИТЭИП. - Опубл. в БУ ВИНИТИ "ДНР", 1986. - № 5. - С. 133.

36. Абдусатаров Б.Б., Сагатов М.В. Некоторые вопросы построения специализированных вычислительных устройств для решения эбыкновенных дифференциальных уравнений интегральным методом: "ез. дота. 2-й Республ. научн.-техн. конф. "Интегральные уравне-шя в прикладном моделировании". - Киев, 1986. - С. 17-18.

37. Абдусатаров Б.Б., Сагатов М.В., Каримов М.М. Микропро-дессорные системы для решения интегральных уравнений Вольтерра гервого рода: Тез. докл. 2-й Ресцубл. научн.-техн. конф.•"Интеграл ышэ уравнения в прикладном моделировании". - Киев, 1986. -:. з-4.

38. Верлань А.О., Абдусатаров Б.Б., Акбаров Ш.А. Вопросы юстроеьля специализированных процессов для численной реализации штегрального оператора Вольтерра - Гаммерштейна. - Деп.if 3534-Б, ЩИИТЗИП. - Опубл. в Б7 ВИНИТИ "ДНР", 1987. - № 2. - С. 150.

39. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Акбаров Ш.А. О некоторых щгоритмах реализации интегрального оператора Вольтерра - Гаммер-

-Sû-

Eiïofuia в задачах моделирования нелинейных дина;.; веских объектов. - Деп. 3535-Б, ЦШГЭШ. - Опубл. в БУДШШ "ДНР. -1987. - В 5. - С. 125. . -

40. Абдусагароз Б.Б., Карлыов МЛ.!. Некоторые вопросы построения микропроцессорных систем для реализации линейных интегральных уравнений Вольтзрра второго рода. - Деп. X 355G-A, ЦН/ШТЭЖ. - Опубл. в БХ ВИНИТИ "ДПР".' - 1987. - Я 2. - С. 152.

41. Абдусатаров Б.Б., Каримов M.LÎ. Оцзнка показателей производительности ылкр о процессорных систем, предназначенных для решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода. - Деп.

352 -Л, ЦНПИТЭИП. - Опубл. в БУ ВИНИТИ "ДНР". - 1987. -.С 2. - С. 152.

42. Абдусатаров Б.Б., Каримов Ы.М. Об одном подходе к разработке микропроцессорных систем для решения лнтйхрального уравнения Вольтерра первого_рсда. - Деп. 'Л 363Э-Л, ЦНИИТЭИП. -Опубл. в БУ ВИНИТИ "ДНР", 1987. - Ji 5. - С. 125.

43. Берлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., ЛкОароз 1П.А. О некоторые структурах гладратурных процессоров для моделирования нелинейных динамических систем. - Дея. К 3635-Б, ЩЖТЗЙП. - Опубл. е БУ ВИ1Е1ТИ "ДНР". - 1937. — J." 5. - С. 127.

44. Верлань А.О., Абдусатаров Б.Б., Акбаров П.А. Алгоритмические, и структурные методы попш'ьшхя быстродействия специализированных процессоров при реализации интегральных модэлой нелинейных динамических объектов. - Киев: Электронное моделирование. - 1987. - J3 6. - С". 42-44.

45. Верлань ААбдусатаров Б.Б., Каримов 1,1.1,!., Максимович H.A. Специализированные вычислители для реализации нелинейных динамических модз^ой в системах управления и контроля. -Препринт/АН УССР Ин-т проблем моделирования в энергетике; 109. -Киев,' 1987. - 43 с.

46. Верлань А.О.', Абдусатаров Б.Б., Каримов I.LM. Примене-

■ ше микропроцессоров для численной реализации систем интегральных уравнений Вольтерра в задачах автоматизации технологических процессов: Тез. докл. УШ Всесоюзн. научн.-техн. конф. "Измерительные информационные системы". - Ч. П. - Ташкент: Изд-во ТашПИ, 1937. - С. 13."

.47. Верлань А.О,, Абдусатаров Б.Б., Каримов М.М., Максимо-'впч H.A. Применение микропроцессоров' для реализации интегральны;

-Sf-

моделей динамических объектов. - Препринт/ АН УССР, Ик-т проблем моделирования в энергетике; 95. - Киев, 1987. - 43 о.

-18. Абдусатаров Б.Б., Сагатов М.В. Об одном подходе к построению специализированных вычислительных устройств для решения обыкновенных дифференциальных уравнений интегральны:.! методом. - Моделирование и разработка технических средств для АСУ ТП: Сборник научных трудов. - Ташкент: Изд-во ТапЛИ, 1987. -С. 30-34.

49. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Акбаров И.А., Шакама-лов Д.Д., Мансуров Д.Д., Кгрлмов U.M. Устройство для вычисления нелинейных операторов. - A.c. I4240I7 (СССР). - Опубл. в Б.И. -1988. - Ге 34.

50. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Акбаров Ш.А., Каримов М.М.', Мансуров Д.Д. Устройство для вычисления нелинейных интегральных операторов о вырожденными ядрами. - A.c. 1*47144 (СССР). - 1988.

51. Абдусатаров Б.Б., Сагатов М.Б: Вопросы построения специализированных вычислительных устройств для реализации интегральных моделей динамических объектов. - Деп. J& 4048-А, ИНФОРМ-ПРИБОР. - Опубл. в БУ ВИНИТИ "ДНР", 1988. - й 24. - С. 179.

52. Абдусатаров Б.Б., Акбаров Ш.А. Быстродействующее вычислительное устройство для решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Гаммерштейна. - Киев: Электронное моделирование. -1988. - № 4. - С. 41-44.

53. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Мансуров Д.Д., Акбаров Ш.А., Шакамалов А.Ш., Каримов М.М. Устройство для решения интегральных уравнений. - A.c. I4466I9 (СССР). - Опубл. в Б.И., 1988. - Л 47.

54. Абдуоатаров Б.Б., Каримов М.М. Структурная организация микропроцессорных систем, предназначенных для решения интегральных уравнений Вольтеррг.. - Деп. J« 4I97-A, КНФОРМПРИБОР. -Опубл. в БУ ВИНИТИ "ДНР". - 1988. - № 10. - С. 155.

55. Абдусатаров Б.5., Каримов М.М. Структура специализированного вычислительного устройства для решения систем интегральных уравнений: Тез. докл. 1У Всесоюзн. научн.-техн. конф. "Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ Ш". -Ташкент: Типография МВТУ, г.Москва, 1988. - С. 122.

-S2-

56. Верлань A.C., Абдусатаров Б.Б., Акбаров Ш.Л., Мансу-роз Д.Д., Каримов U.M. Устройство для решения интегральных уравнений Вольтерра. - A.c. 1505263 (СССР), 1989.

57. Верлань А.О., Абдусатаров Б.Б., Каримов М.М., Акбароз Ü.K., Мансуров Д.Д., Мухамедалиев A.A. Устройство для решения систем интегр"льных уравнений. - A.c. I62I745 (СССР), 1990.

58. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Камилов Р.Н., Акбаров I.A., Каримов М.М., Сагатов A.B., Мансуров Д.Д., Шакакалов A.A. Устройст?о для решения интегрального уравнения измерительного преобразователя влатлости газа. — A.c. I62I744 (СССР), 1990.

59. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Камилов Р.Н., Акбаров El.А., Каримов М.М., Сагатов A.B., Мансуров Д.Д., Шакамалов A.A. Устройство для решения интегрального уравнения измерительного преобразователя скорости потока. - A.c. I65I283 (СССР). - Опубл. в Б.И., 1991. - й 19.

60. Верлань А.Ф., Абдусатаров Б.Б., Сагатов М.В., Каримов U.U., Камилов Р Н., Мансуров Д.Д., Шак&чалов А.Ш. Устройство для решения интегрального-уравнения измерительного преобразователя угла поворота. - A.c. 1655224 (СССР). - 1991.

61. Верлань А.О., Игнатчекко A.A.., Максимович H.A., Абдусатаров Б.Б. Методы к устройства интерпретации экспериментальных зависимостей при исследовании п контроле энергетических процессов. - Киев: Наукова думка, 1992. - 220 с.

Личный вклад.

В монографии 61 автором написаны П-Ш главы. Работы 1,5, 12,19,21,30 написаны самостоятельно. В 22,24-29,32,36,37, 40-42,48,51,52,54,55 автору принадлежит научная постановка задач и методика их решения, в 2-4, 6-11, 13-18, 20, 23, 31, 33-35, 38, 39, 43-49, 53, 56-60 - методика решения.