автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Об исследовании некоторых задач моделирования и оптимизации с помощью позиционно-управляемых систем

На правах рукописи

ДИГАС Борис Вадимович

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПОЗИЦИОННО-УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЭ1587ЭЭ

Екатеринбург — 2007

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Института математики и механики Уральского отделения РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Максимов Вячеслав Иванович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Ишмухаметов Альберт Зайнутдинович (Вычислительный центр РАН),

доктор физико-математических наук, доцент

Хачай Михаил Юрьевич

(Институт математики и механики УрО РАН)

Ведущая организация Факультет вычислительной математики и

кибернетики Московского государственного университета им М В Ломоносова

Защита состоится 24 октября 2007 года в 15— час на заседании диссертационного совета К 212 286 01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им А. М Горького по адресу 620083, г Екатеринбург, пр Ленина, 51

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Уральского государственного университета им А М Горького

Автореферат разослан 21 сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ -мат наук, профессор / г^Т—•—— В Г Пименов

М7—

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена приложениям одного из основополагающих принципов теории гарантированного управления — принципа экстремального сдвига Н Н Красовского1-3 — к задачам моделирования неизвестных входов в динамических системах и задачам невыпуклой оптимизации Для решения поставленных задач конструируются регуляризирующие итерационные алгоритмы, основанные на методах позиционного управления

Задачи моделирования неизвестных характеристик изучаемых объектов по доступной информации возникают в исследованиях различных динамически х процессов и явлений Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем, состоящих в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода Уравнение, задающее динамику системы, как правило, предполагается известным Входом являются факторы, однозначно определяющие движение системы, например, управление, подаваемое на систему Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, некоторый сигнал о текущей траектории системы

Исследования в области обратных задач динамики берут свое начало в 1960-х годах и активно продолжаются по настоящее время Существенное влияние на развитие теории обратных задач оказали достижения в области некорректных задач Известно, что обратные задачи динамики, как правило, являются некорректно поставленными В таких случаях проблема построения их приближенных решений сводится к построению соответствующих регуляризирующих алгоритмов Основы теории некорректных задач заложены в работах А Н Тихонова, В К Иванова, М М Лаврентьева,

1Красовский Н Н Теория управления движением М Наука, 1968

2Красовский Н Н , Субботин А И Позиционные дифференциальные игры М Наука, 1974

3Красовский Н Н Управление динамической системой М Наука, 1985

В Г Романова, В В Васина4"^ Значительную роль в развитии методов решения обратных и некорректных задач сыграли также Ф А Черноусько, А Б. Куржанский, В И Агошков, Ф П Васильев, В Я Арсенин и другие ученые Исследования этих авторов касаются, как правило, программной постановки задачи регуляризирующие алгоритмы обрабатывают всю историю измерений выхода (имеют апостериорный характер). В работах Ю С Осипова и А В Кряжимского7,8 был развит подход к построении позиционных алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем Алгоритмы, изложенные в этих работах, основаны на сочетании некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитых Н Н. Красовским и его школой1-3, и методов теории некорректных задач4"6. С расчетом на возможность практической реализации эти алгоритмы строятся в классе конечно-шаговых алгоритмов, т е учитывают поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами Данный подход успешно применялся при решении обратных задач для систем с распределенными параметрами В И Максимовым, А. И Коротким, А В Кимом, А И Цепелевым, В Л. Розенбергом, Е В Васильевой и другими авторами Отметим, что первые две главы настоящей диссертации продолжают указанные выше исследования

В третьей главе рассматривается задача нахождения оптимального параметра совместности для системы невыпуклых неравенств Подобного рода постановки находят применение в различных разделах экономики, страхования и тд Стандартные методы оптимизации, такие как гради-

4Тихонов А Н , Арсенин В Я Методы решения некорректных задач М Наука, 1978

5Иванов В К , Васин В В , Танана В П Теория линейных некорректных задач и ее приложения М Наука, 1978

6Лаврентьев М М , Романов В Г , Шишатский С П Некорректные задачи математической физики и анализа Новосибирск Наука, СО, 1980

7Кряжимский А В , Осипов Ю С О моделировании управления в динамической системе // Изв АН СССР Техн кибернетика 1983 № 2 С 29-41

^Osipov Yu S , Kryazhimskn A V Inverse Problems for Ordinary Differential Equations Dynamical Solutions Gordon and Breach London 1995

ентные методы, методы штрафных и барьерных функций, гомотопические методы, методы стохастической оптимизации либо неприменимы для решения невыпуклых задач, либо вызывают специфические трудности при конструктивной реализации В связи с этим развиваются специализированные подходы, ориентированные на решение конкретных типов задач невыпуклой оптимизации. Предлагаются подходы к итерационному решению оптимизационных задач, невыпуклость которых определяется присутствием в них разностей выпуклых функций Развиваются методы оптимизации, основанные на игровых моделях Для некоторых классов задач, в определенном смысле близким к выпуклым, известны итерационные алгоритмы решения, использующие операции с функцией Лагранжа В частности, широко применяются алгоритмы оптимизации, основанные на привлечении так называемых расширенных лагранжианов, позволяющих распространить на невыпуклые задачи теорию двойственности

Как и задачи из первой и второй глав, изучаемая в третьей главе оптимизационная задача также является некорректной, поскольку предусматривает неточность информации о входных данных Построение методов регуляризации оптимизационных задач — нахождения их устойчивых приближенных решений на основании возмущенных данных — составляет обширный раздел теории некорректных задач4 Материал третьей главы идейно примыкает к работам9-14, развивающим методы решения обратных задач динамики и задач оптимизации В частности, в 10 разработана техника выпуклой оптимизации, в основе которой лежит модификация так

9Кряжимекий А В , Осипов Ю С К регуляризации выпуклой экстремальной задачи с неточно заданными ограничениями Приложение к задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями // Сб науч тр «Некоторые методы позиционного и программного управления» Свердловск 1987 С 34-54

10Ermoliev Yu М , Kryazhimskn А V , Ruszczynski A Constraint aggregation principle m convex optimization // Mathematical Programming 1997 Series B, 76 P 353-372

^Kryazhimskn A V Convex optimization via feedbacks // SIAM J Control Optimization, 1999 Vol 37 P 278-302

12Kryazhimskn A V , Paschenko S V On the problem of optimal compatibility J Inv Ill-Posed Problems 2001 Vol 9 No 3 pp 283-300

называемого метода «агрегирования ограничений», предложенного в работе 9, и развитого в других исследованиях11'14'15. В 12 рассматривалась задача об оптимальной совместности однопараметрических семейств линейных уравнений. Был построен основанный на принципе экстремального сдвига итерационный метод решения указанной задачи Вышеупомянутые исследования касались задач выпуклой оптимизации при ограничениях в форме линейных равенств и неравенств, а также невыпуклой оптимизации при ограничениях в форме равенств. В третьей главе настоящей диссертации рассмотрена задача невыпуклой оптимизации при ограничениях в форме неравенств.

Цель работы. Исследование задач моделирования неизвестных управляющих параметрор в распределенных системах по неточным замерам фазовых траекторий Исследование задачи нахождения оптимального параметра совместности для системы невыпуклых неравенств Разработка и апробация устойчивых к информационным помехам и погрешностям вычислений итерационных алгоритмов решения указанных задач

Методы исследования. В работе используются элементы функционального анализа, выпуклого анализа, теории некорректных задач, теории позиционного управления

Научная новизна. В диссертации исследован ряд некорректных задач моделирования неизвестных входов распределенных систем и оптимизации Предложены регуляризирующие алгоритмы решения рассматриваемых задач с использованием техники позиционного управления по принципу обратной связи Результаты диссертационной работы являются новыми

13Кряжимский А В , Осипов Ю С Экстремальные задачи с отделимыми графиками // Кибернетика и систем анализ 2002 N0 2 0 32-55

14Ровенская БАК решению задачи об оптимальном параметре совместности для одного класса уравнений в банаховом пространстве // Журн вычисл математики и мат физики 2004 т 44 № 12 С 2150-2166

15Кряжимский А В , Максимов В И , Осипов Ю С О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журн вычисл математики и мат физики 1997 Т 37 № 3 С 119-125

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы дополняют теорию обратных задач динамики управляемых систем, описываемых уравнениями в частных производных, а также теорию невыпуклой оптимизации Разработанные в диссертации итерационные алгоритмы ориентированы на компьютерную реализацию, предназначены для работы в условиях неточности данных и могут быть использованы для решения конкретных прикладных задач

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Диссертация подготовлена в системе Об-

щий объем диссертации составляет 108 страниц Библиографический список включает 122 наименования, в том числе И публикаций автора по теме диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором и обсуждались на Третьем Международном симпозиуме по методам и моделям в автоматизации и робототехнике (ММА11-96), Мед-зыздрое, Польша, 1996, на Школе молодых ученых Международного института прикладного системного анализа (ПАЗА), Лаксенбург, Австрия, 1998, на Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения», Челябинск, 1999, на XXXIII Молодежной школе-

конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Ека-

♦

теринбург, 2002, на Международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби» (ССБ'2005), Екатеринбург, 2005, на Второй Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (ММЭЕО-2007), Москва, 2007, на семинарах в ВЦ РАН, в Институте математики и механики УрО РАН

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются цели и задачи работы, ее актуальность, а также кратко излагаются основные результаты, полученные в работе

В главе 1 исследуется задача моделирования управлений в параболических уравнениях по результатам неточных измерений фаровых состояний В параграфе 1 1 приводятся формулировка задачи и вспомогательные утверждения

В гильбертовом пространстве Н рассматривается уравнение вида x(t) = B{x(t))u{t) + Bi(x(t)) + f(t),

(1)

x(to) = Xo € V, teT=[to,tf,

в котором управление и = и() € Ut0j предполагается неизвестным Здесь (Я, | • \]{) — действительное гильбертово пространство, отождествляемое со своим сопряженным Н = Н*, (У, || ||) — сепарабельное и рефлексивное банахово пространство, V вложено в Н плотно и непрерывно, ([/, || Цу) — равномерно выпуклое сепарабельное банахово пространство,

«() € Uto,* = {«()€ L2(T, U). u(t) е Pi при п в t е Г},

Pi с U — выпуклое ограниченное множество, В{х) — семейство операторов, удовлетворяющих условию

Условие 1. 0) Отображение В(х) U —> V* линейно Ух <е V,

1) || {В(х) - В{у)}и \\у < Ц\х - 2/|| ||u||v Vx,yeV, и 6 Р,

2) II B(x(t))u\\v- < v»«()(t)Mi/ пРип 6 t еТ Vue Р, х()е L2{T,V) (<PZU()€L2(T, R)),

3) D(B{x)) = D<zU \/x € V, PCD,

4) если iit() —> u() слабо e L2(T,U), иг( ),u() e Utoj, mo Bx^ut{ ) —► Bx{)u{) *-слабо e L2(T,V*) \/x(-)&L2(T,V)

Здесь Р — замыкание в метрике пространства U множества Р\ Р = Р\, /( ) — заданное возмущение, т е функция со свойствами /(),/t() € ¿2(Т,Я), оператор Вх{]и(-) : L2(T,U) -> L2{T,V*), Wx( ) е L2(T,V), задается по правилу

)«()) (í) = B(x(t))u(t) при п в t е Т

Семейство операторов Bi() V —> V* обладает свойством

ЦВД - ¿ШИу. <Li||®-»||v Vaу € V, В1(0) = О

Решением (1), порожденным управлением и() 6 Ut0t-e, называется функция х() = х( М )) е W(T,V*) = {«;()€ L2(T;V) .«%()€ L2{T,V*)}, удовлетворяющая (1). При этом истинное управление нам не известно В дискретные, достаточно частые, моменты моменты времени

тгеД = {тг}™0, г € [0 rn-1] (т, = тг_1+<5, т0 = t0, тт = 0),

замеряется (с ошибкой /г) реализация x(t), t € (гг_1,гг] траектории х( ) Требуется построить алгоритм, который по текущим измерениям а;( ) «в реальном времени» восстанавливает некоторое управление и*(), порождающее траекторию х{) Так как точное восстановление истинного управления невозможно, с одной стороны, в силу неточности измерений, а с другой — в силу возможной неединственности управления и( ) € Ut0¡d, порождающего х{), то потребуем, чтобы алгоритм формировал некоторое приближение Uh{) одного из управлений и*(), порождающих выход а;() = х(, и*( )) Это приближение Uh{) должно быть таким, что отклонение Uh() от ut() «мало» в метрике пространства L2{T,U) при достаточной малости измерительной погрешности h и диаметра S разбиения отрезка Т

В § 1 2 указывается устойчивый к погрешностям вычислений алгоритм решения этой задачи, который основан на сочетании принципа управления с моделью и метода сглаживающего функционала

Пусть тройки {V£)p£, г£} и {Ue, qe, se} (г € 'Но — некоторая окрестность

нуля в К9) образуют внутренние аппроксимации16-18 пространств V и U, т е

1°. V£, U£ — конечномерные пространства с нормами || ||£ и || ||ut, индуцированными нормами j] ]j и |) • Цу

llvlle = \Ш Vy е К, IMk = IMk V« е U£,

2° р£ Ve —» V и q£ : U£ —> U — линейные взаимно-однозначные непрерывные операторы, т£ : V —>■ V£ и s£ : U —► U£ — линейные операторы,

3° psrey —> у в V при г —> О, V у € Vi , V\ — плотное в V подпространство,

4°. ||(/ - q£s£)u\\b < ß(s) 0 при е —> 0 VuePi

В пространстве V£ вводятся также норма | • \£ и скалярное произведение ( ,-)£, индуцированные нормой | • |я и скалярным произведением (, )я

Ые = \РеУ\н, (У, = (РеУ,р£г)н У У, Z €

а в пространстве V* — а-норма || ||а и отвечающее ей скалярное произведение (,-)а

оо 00

3=1 J=1

где (•, ) — двойственность между К и V*, {w,}^ — совокупность элементов со свойствами £ Vi, = 1, линейные комбинации образуют

00

всюду плотное в V множество, 0 < а3 < 1, — < оо

3=1

Введем семейства операторов Ве(£) U£ —> V£ и

функций € К

€ V^ по правилу

(Be(Z)Ue, y)e = (B(pe€)qeUe,Pey) У У € Ue € £/s,

16Сьярле Ф , Метод конечных элементов для эллиптических задач М Мир, 1980

17Темам Р

Уравнения Навье — Стокса Теория и численный анализ М Мир, 1981

18Arnäutu V , Approximation of optimal distributed control problems governed by variational inequalities // Numerische Mathematik 1982 Vol 38 P 393-416

У)е = (ВШ),РсУ) Vy €

Предположим, что заданы выпуклые, ограниченные и замкнутые множества Q£ с С/£, такие, что

5° x(Qe, s£Pi) = -f(e) —> 0 при е —► 0, где х — хаусдорфово расстояние между множествами, т е

= inf{7 Qs С (s£Pi)(7), s.fi С Qeb)},

символ Qe(j) означает замкнутую 7-окрестность множества Q£,

6° "\\B(x)q£u£\\v. < *||z|| \\q£u£\\u Ve e Ho, Vz € V, u£ € Qe(7(e))

В моменты т, € T, rt+1 = rt + ¿(/1), ¿(/г) > 0, г е [1 m], т0 = i0, тт = ■& замеряется с ошибкой «проекция» траектории x(t), t € (тг_1,т,| системы (1) на пространство V£, т е вычисляется £Ti_bTi(),

№£ve, i€(r,_i,t,]

Символ £в1ь() означает функцию £(£), i € (а, /?], рассматриваемую как единое целое Точность замеров определяется соотношением

llfti(*)-«(*)II <Ь, t 6 (тг_ьтг] Возьмем отображения a(/i) е (0,1) и s(h) € Но, такие что

a(h) 0, <S>{h,ö(h),£(h))/a{h) -» 0 при /г —» 0, e(/i) —> О,

где

Ф(Л, 5, е) = Л + 5 + ^(е) + 7(е) + /^(е), ßx(е) = ||(реге - /)z0||2 Введем конечномерную управляемую систему (модель)

we{t) = BMt - 6))vhe{t) + Bi'Hat - ¿)) + feit) при п в t € [ri,t?], w£(t) 6 V£ 11

с начальным состоянием w£(ti) = £0 = ^г^о Ее решением является функция

w£() € W1,2(T; Vs) = м ) € Ьг{Т, V£) wt{ ) € L2(T; Ve)},

которую в дальнейшем обозначим символом we{ ) = we( ,£( ),v£(-)) Здесь w£(t) = при t € [r0,n], //(t) = fs{r,-l), t € [r.jT^i], фуНКЦИЯ /е() € Wl'2{T-,Ve) задается по правилу (fe{t),y)e = (Я*),РеУ)н Vy € п в t G T Управлять моделью будем по принципу обратной связи, разбив весь процесс на m — 2 однотипных шага В течение г-го шага, осуществляемого на отрезке времени [rt,r,+i], выполняются следующие операции Сначала, в момент т„ г > 1, вычисляется управление v£(t) EUs,t& [т„тг+1)

Ve(t) = arg mm - S))v,Sh^i]w£(rt)))s + a(h)\\v\\lA,

»6Qe(7(e)) l J

«

где

ЛГ(А)

Sft,s(6_i,we(r,)) = 2^ а?(и>г(тг) -j=i

oo

£t-i = £(t»_i), N(/i) таково, что < /г2 Затем пересчитывается

фазовое положение модели, те определяется состояние ws(t1+ i) Процесс заканчивается к моменту ~д

Обозначим через и*( ) минимальный по Ь2{Т, £/)-норме элемент множества

U(x( )) = {«()€ Ut(P) x(t) = x(t;v()) Vi € T}

Здесь Ut(P) = ) e L2(T, U) v{t) € P при п в t € T} Множество U(a;()) выпукло, ограничено и замкнуто в Ь2{Т, U) Поэтому элемент ) = и( ,х()) определяется однозначно (по ))

Теорема 1. Имеет место сходимость

IM ) - "*( )\\ыт,и) 0 при h 0,

zdeuh{t) = qsVg(t) при п в t € [т„т,-|-5), г € [1 • m —1], е = <5 = 5{h), v£(t) = Vo при п в Ъ G [io.Ti) (г>о — произвольный фиксированный элемент из ЯеЫе)))

В параграфе 1 3 рассматривается пример задачи, исследованной в параграфе 1 2, а также приводится схема численного решения этой задачи с использованием аппроксимации по методу конечных элементов

В главе 2 исследуется задача моделирования интенсивности точечных источников в гиперболических системах

В параграфе 2.1 приводится формулировка изучаемой задачи

Рассматривается ( дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве (Я, I |я)

x(t) — Ax{t) = Bu(t) + /(í), í€T=M, (2)

ж(0) = x*0 € Я, ж(0) = ario € Я.

Здесь A D(A) с Я —► Я — замкнутый линейный оператор с областью определения D(A), плотной в Я, являющийся инфинитезимальным генератором сильно непрерывного «оператора косинуса»19-21 S(t), i el, управление u(t) = {ui(t), ,un(t)} является при каждом t € Т элементом конечномерного евклидова пространства U — Е™, В U —» Я и S(t) Н —> Н ~ линейные непрерывные операторы f(t) — заданная функция Полагается выполненным

Условие 2. Bu = ¿ и3и„ и>} е D(A), j € [1 п], /( ), Af( ) € С(Т, Я) (Ш( ))(*) = ¿№, te Т), х*0, xl0 € D(A)

Решением (слабым) дифференциального уравнения (2) называется функция х{) = х( ,хо,и( )), задаваемая формулой19-"21

í

x{t) = S{t)x*0 + Q{t)x 10 + J Q{t - т)(Ви(т) + /(r)) dr, i € T,

о

19Fattorini Н О Ordinary differential equations m linear topological spaces // Differential equations I 1969 T 5 P 72-105, II 1969 T 6 P 50-70

20Lasiecka I, Thggiani R A cosme operator approach to modeling i2(0,71,L2(Г))-boundary input hyperbolic equation // Appl Math and Optim 1981 Vol 8, P 35-93

21Lasiecka I, Triggiaxu R Regularity of hyperbolic equations under L2(fl,T, L2{T))-Dmchlet boundary terms // Appl Math and Optim 1983 Vol 10, P 275-286

где xo = (4,1м), Q(t) — «оператор синуса» Q(t)x = f S(t)xcIt

o

В дальнейшем, как и в главе 1, считаем начальное состояние заданным, т е величины и хю фиксированы

Рассматриваемая задача состоит в следующем Слабое решение х(-) = х( ,Хо,«(•)) системы (2), зависящее от управления

u{)GUT = {v(-) € L-2.iT, U). |í;(í)|r» < а для п в. t € Т}

(а е (0, +оо)), определяется на промежутке времени Т = [0,1?] Отрезок Т разбит на полуинтервалы [r„r,+i), тг+1 = тг+8, S > 0, г е [0 та—1], го = 0, Тт — '&.В моменты г, бА = {тг}^1 приближенно замеряется некоторая характеристика фазового состояния системы (2), т. е находятся вектора $ & U со свойствами

|&Л-*(т,)|в.<А г € [0 : m — 1], (3)

где z{t) = Cxt[t), С . Н —> U — линейный непрерывный оператор Задача состоит в построении алгоритма приближенного вычисления некоторого управления ) из Ut, порождающего z(-)

В параграфе 2 2 указывается устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения описанной выше задачи, основанный на методе позиционного управления с моделью Пусть выполнено

Условие 3. Ранг матрицы Е{и) — {Си>i, , C'ojn} равен п

Заметим, что при выполнении условий 2 и 3, как доказано в работе, множество U(z()) (множество всех управлений из Ut, совместимых с выходом z(t) = Cx(t), т е

U(z()) = {г;() € UT z(t) = Cx(t,x0,v()) V t е Т})

одноэлементно U(z()) = {u«(; z())} и состоит из истинного управления, действующего на систему

Введем следующие обозначения

<Р(т) = С{у{т) + /(г)}; у() = х(; Ах*0, Ах10, Af()),

Дь, к е (0,1), — разбиение отрезка Т с узлами с диаметрами

6 - 5(1г), ти = т{5(Ь)), 5(И) = 7^,+х - тн,„ ткр = 0, тКшн = 0, Н(г( ),Л) — множество кусочно-постоянных функций ) • Т —► Еп, ^ = £,к(тг), тг — т^г, удовлетворяющих условию (3), — множество всех выходов, отвечающих управлениям г;() е 1/т

I \п — евклидова норма п х п-мерной матрицы.

Опишем алгоритм приближенного вычисления управления «*() = и*( ) ))> основанный на методе позиционного управления с моделью Пусть выбраны {Дь} — семейство разбиений интервала Т с диаметрами ¿(Л) такими, что

и вспомогательная система М (модель), функционирующая синхронно с системой (2)

w3(t) - Awj(t) = v^(t)Acjj, w/0) = iu,(0) = гу]1}(0) = 0,

wf\t) = wj(t), je[l:n], iST Здесь vh = {vf, , vh{t) = 0 при t 6 [0,5]

До начального момента времени фиксируются величина Л и разбиение Д = Дд Работа алгоритма разбивается на тд — 1 однотипных шагов На г-м шаге, продолжающемся в течение интервала времени = [т„тг+1), тг = гд,„ вычисляется элемент

= {z(). z(t) = )), v() € t/r},

¿(/i) —0, h6~^2(h) —*• 0 при Л-»0,

П

№(i) = v*(t)Cu}j, t € T, го(0) = 0,

^-ч^гче-ег)-

n

°>

в противном случае,

У

s. = е.1 / Ф)dr - w(rt) - £Cw?\tx), 5 = 6(h)

{ 3=1

и полагается

At) = K(i)};=i = = *>"(*;&(), И^оД )), * 6 <5, (5)

Здесь W(t) — (w(t), — фазовое состояние модели в мо-

мент t, v == const е [1,оо). Запись vh(t,^t(), Wo,t(-)) означает, что функция vh(t) зависит от предыстории измерений ), те от т е [0,i), и реализации траектории модели М — И^(т), г S [0,i) Затем состояние модели W(rt) трансформируется в состояние W(rJ+i) Процедура завершается в момент времени Введем множество

= {*( ) € L2(T, U) \х( )\ыт,ц) < К},

где

К = 6i(l + 1?Ь2ехр(1?62)),

б! = + ^ + 62 = ^(I^HUea)2,

а0 = sup{|2:(i)|Rn t е Т, z( ) €

ei = eup{|Cv(i)|R- i е Т}, а.2 — sup{|iVo(i,t)|n 0 < т < t < 1?},

N0(t, т) = {C(Q(t - г)Ад), , C(Q(t - т)Ашп)}

Заметим, что К является верхней гранью для ¿2(Г; !7)-норм всех управлений vh( ) вида (4), (5) Согласно теореме Бишопа на U^ можно определить слабую норму | |та Соответствующая сходимость в Ut = Uj будет эквивалентна слабой сходимости в L,2{T, U)

Теорема 2. Пусть выполнены условия 2 и 3, тогда

limsup{H Xh(-),W())-«.(,«( ))|„ •

д—»0

z()GZT, th()es(z(-),h), W()}*=0

В параграфе 2 3 эффективность предложенного алгоритма иллюстрируется на просчитанном на ПЭВМ модельном примере

Глава 3 посвящена задаче нахождения оптимального значения скалярного параметра, при котором зависящая от этого параметра система невыпуклых неравенств имеет решение в пределах заданного множества Само это решение также подлежит нахождению

В параграфе 3 1 изложена постановка задачи и предложен итерационный алгоритм решения для случая, когда имеется точная информация о системе неравенств и о множестве допустимых решений

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу

р —► min, (6)

hs(p,x)< 0 (s = 1, ,m), (7)

р > 0, х е Z (8)

Здесь Z — выпуклый компакт в Rn, функции hs (р, х) ь-+ hs(p,х) [0, оо) х Z I—> R1 (s = 1,. . , то) непрерывны, выпуклы по х Ограничения (7)-(8) предполагаются совместными, что обеспечивает существование решения задачи (6)-(8).

Обозначим через W* = {pt} xZ, с [0, оо) х Z множество всех решений задачи (6)-(8), а также введем следующее обозначение

dist(p,a;,W*) = inf{|p-p»| + |ж-а;*|к» . (р»,ж„) е W*} {р> 0,х е R")

*

Далее, обозначим через (, скалярное произведение в Km, h(p, х)+ = (hi(p,x)+, . ,hm(p,x)+), hs(p,x)+ = тах{0,hs(p,x)}, h(p,u) = (hx(p,u), ..,hm(p,u))

Алгоритм.

На 0-м шаге алгоритма полагаем p1 = 0 и фиксируем произвольное х1 € Z

На к-м шаге (к = 1, ) преобразуем пару (рк,хк) в пару (рк+1,хк+1) При этом pk+l определяется как первая компонента решения

(рк+1,им) (9)

следующей вспомогательной задачи

Р > Рк, (Ь(рк,хк)+,к(р,и)}ит < О, и&г

р -> Ш1П,

ч

(10)

(П) (12) (13)

Далее, вычисляем хк+1 по формулам

(14)

где

= aгgmm о<г<1

^Ъ(рк>хк + д(ик+1 -х

(15)

Теорема 3. Пусть р1 = 0, х1 € 2, и {рк, хк) (к = 2, ) определены по алгоритму (9)-(13), (Ц), (15) Тогда (рк, хк) сходится к множеству решений задачи (6)-(8)

Ьт ^(/.аДИ^) =0.

к—*оо

В параграфе 3 2 аналогичная задача решается при р € [0, Р], Р > 0, в условиях, когда доступна лишь неточная информация о множестве % и функциях кц На последние наложено дополнительное ограничение лип-шицевости по х Для этого случая построен регуляризирующий алгоритм решения.

В параграфе 3 3 рассматриваемая задача конкретизируется в приложении к оптимальному гарантированному страхованию катастрофических рисков сетью страховых компаний Приводится конструктивный алгоритм нахождения оптимального распределения страховых портфелей

В параграфе 3 4 эффективность предлагаемого алгоритма иллюстрируется на численном примере

Основные результаты, выносимые на защиту

Для задачи моделирования управлений в параболических уравнениях по результатам неточных измерений фазовых состояний указан регуляризиру-ющий алгоритм решения, основанный на методе позиционного управления по принципу обратной связи с использованием аппарата конечномерной внутренней аппроксимации

Для задачи динамического моделирования интенсивности точечных источников в гиперболических системах по результатам сенсорных наблюдений сконструирован регуляризирующий алгоритм решения, основанный на методе позиционного управления по принципу обратной связи со вспомогательной системой

Построен регуляризирующий итерационный алгоритм нахождения оптимального параметра совместности для системы нелинейных невыпуклых неравенств в условиях неточных данных Предложен конструктивный алгоритм решения задачи оптимального гарантированного страхования

Публикации по теме диссертации

[1] Букчин Б Г , Дигас Б В , Максимов В И К проблеме реконструкции интенсивности точечных источников по результатам сенсорных наблюдений // Тр Ин-та математики и механики УрО РАН 1996 Т 4 С 201-216

[2] Digas В V , Maksimov V I Dynamical Identification of Coefficients of Parabolic Equations // Proceedings of the 3rd International Symposium on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR-96) September 10-13, 1996,vMiçdzyzdroje, Poland P 171-176

[3] Дигас Б В , Максимов В И О динамической реконструкции управлений в параболических системах // Журн вычисл математики и мат физики 1998. Т. 38, вып 3. С 398-412

[4] Digas, В V, Ermoliev, Yu M., Kryazhimskn, A.V, Guaranteed Optimization in Insurance of Catastrophic Risks IIASA Interim Report IR-98-082, Laxenburg, Austria, 1998 12 pp

[5] Дигас Б В , Об одной экстремальной задаче в гильбертовом пространстве // Тез междунар науч. конф «Дифференциальные и интегральные уравнения», Челябинск, 22-26 июня 1999 г. С. 40.

[6] Кряжимский А В , Дигас Б В. Оптимизация страхования катастрофических рисков гарантированный подход // Сб. «Информационные технологии в экономике теория, модели и методы» Екатеринбург Изд-во УрГЭУ, 2000 С 98-105

[7] Дигас Б В Об одной модификации алгоритма оптимального страхования катастрофических рисков // Тр. XXXIII Молодежной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 28 января — 1 февраля 2002 г С 229-233

[8] Baranov S , В Digas, Т Ermolieva, V Rozenberg, Earthquake risk management a scenario generator. IIASA Interim Report IR-02-025, Laxenburg, Austria, April 2002 22 pp

[9] Дигас Б В Об одном алгоритме решения обратной задачи для системы гиперболического типа // Тез докл Междунар семинара «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби» (CGS'05) Екатеринбург 2005 С 55-56

[10] Дигас Б В Об одной задаче невыпуклой оптимизации в условиях неточности данных Тез докл 13-й Всероссийской конф «Математическое программирование и приложения» г Екатеринбург, 26 февраля — 2 марта 2007 г С 237

[11] Digas В V , On an algorithm of non-convex optimization under inaccurate information//Tp Второй Междунар конф «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007), 2022 июня 2007 г, Москва С 60-63

Дигас Борис Вадимович

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПОЗИЦИОННО-УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Автореферат

Подписано в печать 12 09 2007 Формат 60 х 84-^ Объем 1 5 п л Тираж 100 экз

Введение

Глава 1. Моделирование переменных входов в параболических уравнениях.

§ 1.1. Постановка задачи. Метод решения.

§ 1.2. Регуляризирующий алгоритм моделирования.

§ 1.3. Пример.

Глава 2. Моделирование интенсивности точечных источников в гиперболических уравнениях.

§ 2.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения.

§ 2.2. Алгоритм моделирования интенсивности источников

§ 2.3. Результаты вычислительного эксперимента.

Глава 3. Об одном алгоритме невыпуклой оптимизации

§ 3.1. Постановка задачи и алгоритм решения.

§ 3.2. Возмущенная задача и регуляризирующий алгоритм

В диссертации рассматриваются некоторые приложения одного из основополагающих принципов теории оптимального управления — принципа экстремального сдвига Н. Н. Красовского [26-28] — к задачам реконструкции и оптимизации. Для решения поставленных задач конструируются ре-гуляризирующие итерационные алгоритмы, основанные на методах позиционного управления.

Первая глава диссертации посвящена задаче моделирования неизвестных входных воздействий в динамических системах, описываемых параболическими уравнениями. Во второй главе рассматривается задача моделирования интенсивности точечных источников в гиперболических системах. В исследованиях различных динамических процессов и явлений, возникают задачи восстановления неизвестных характеристик изучаемых объектов по доступной, зачастую неполной информации. Подобные задачи вкладываются в класс обратных задач динамики управляемых систем, состоящих в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода. Система может описываться тем или иным уравнением. Это уравнение, задающее динамику системы, как правило, предполагается известным. Входом являются факторы, однозначно определяющие движение системы, например, управление, подаваемое на систему. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, часто такой информацией является некоторый сигнал о текущей траектории системы.

Первые публикации об исследованиях в области обратных задач динамики относятся к середине 1960-х годов. Так, в работах Р. Брокетта, М. Меса-ровича [81], Л. Силвермана [107] и других авторов [106,109] были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости управлений. Вопросам динамического восстановления входных воздействий посвящены монографии [48,56,61,84,103], вышедшие в 1990-е годы.

Если доступная информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики, как правило, становятся некорректными. В таких случаях проблема построения их приближенных решений заключается в построении соответствующих регуляризирующих алгоритмов. Существенный вклад в развитие теории некорректных и обратных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агошков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсении и др. [1-3,5,7,9,12,16,16,18,19,21,29,39-42,50,51,53,54,68,73,74,77,91]. Исследования этих авторов касаются, как правило, программной постановки задачи: регуляризирующие алгоритмы обрабатывают всю историю измерений выхода (имеют апостериорный характер). В работах Ю. С. Оси-пова и А. В. Кряжимского [34,36,57,103] был развит подход к построении позиционных алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем. В этих работах, в частности, исследовалась задача устойчивого восстановления минимального по норме управления при неточном измерении полного вектора состояния аффинной по управлению системы. Алгоритмы, изложенные в [34,36,57,103], основаны на сочетании некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитых Н. Н. Красовским и его школой [26-28], и методов теории некорректных задач [12,19, 75]. Процесс динамического восстановления входа трактовался как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. Разрешающий алгоритм, ориентированный на практическую реализацию, строился в классе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывал поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Метод, предложенный в [34,36,57,103], получил развитие в работах [6,13, 22-25,30,31,35,38,45-49,56,58-62,66,67,85-87,89,95-97,99-102] -для уравнений математической физики.

Опишем общие для всех алгоритмов принципы выбора вспомогательной управляемой модели. Во-первых, конструируется некоторый оценочный функционал, из малости значений которого на движении модели следует близость модельного управления к искомому входу в смысле подходящей метрики. Во-вторых, управление в модели выбирается так, чтобы стабилизировать упомянутый функционал. Отметим, что первые две главы настоящей работы выполнены в рамках указанного подхода к постановке и решению обратных задач динамики.

В третьей главе диссертации рассматривается задача нахождения оптимального параметра совместности для системы нелинейных неравенств. Постановки такого рода возникают в различных прикладных задачах, таких как оптимизация сети страховых компаний, оптимизация портфелей инновационных проектов и др. Как известно, методы оптимизации находят широкое применение в задачах экономики [17]. (Подобно алгоритмам, предложенным в первых двух главах, алгоритмы из третьей главы опираются на идеологию принципа экстремального прицеливания.) При рассматриваемых в диссертации ограничениях данная оптимизационная задача, является, вообще говоря, невыпуклой. Стандартные методы, например, градиентного типа [10,20], не всегда употребимы для решения невыпуклых задач оптимизации. Имеется также ряд общих подходов, применимых для решения широкого класса оптимизационных задач: методы штрафных и барьерных функций [76,88], гомотопические методы [110], методы стохастической оптимизации [55]. Подходы этого класса, обладая значительной общностью, сопряжены, однако, с проблемой их конструктивной реализации при решении конкретных задач. Невыпуклость задачи обычно создает специфические трудности на пути обоснования конструктивных алгоритмов решения. В связи с этим развиваются специализированные подходы, ориентированные на решение конкретных типов задач невыпуклой оптимизации. Предлагаются подходы к итерационному решению оптимизационных задач, невыпуклость которых определяется присутствием в них разностей выпуклых функций [70]. Развиваются методы оптимизации, основанные на игровых моделях [4]. Для некоторых классов задач, в определенном смысле близким к выпуклым, известны итерационные алгоритмы решения, использующие операции с функцией Лагранжа [78]. В частности, широко применяются алгоритмы оптимизации, основанные на привлечении так называемых расширенных лагранжианов, позволяющих распространить на невыпуклые задачи теорию двойственности [52]. Исследование обобщенных лагранжианов позволяет существенно расширить класс задач, которые допускают седловую точку и, следовательно, могут быть разрешены с привлечением алгоритмов, действующих с помощью решения дуальной задачи. Начиная с работы Рокафеллара [105], относящейся к распространению понятий субградиента и субдифференциала на функции, не обладающие свойством выпуклости или вогнутости, эти понятия активно привлекаются для решения некоторых специальных классов задач невыпуклой оптимизации.

Как и задачи из первой и второй глав, изучаемая в третьей главе оптимизационная задача также является некорректной, поскольку предусматривает неточность информации о входных данных. Построение методов регуляризации оптимизационных задач — нахождения их устойчивых приближенных решений на основании возмущенных данных — составляет обширный раздел теории некорректных задач [75]. Материал третьей главы идейно примыкает к работам [32,33,37,64,65,82,87,88,90], развивающим методы решения обратных задач динамики и задач оптимизации. В частности, в [82] разработана техника выпуклой оптимизации, в основе которой лежит модификация так называемого метода «агрегирования ограничений», предложенного в работе [37], и развитого в исследованиях [31,85,87,89]. В [90] рассматривалась задача об оптимальной совместности однопараметрических семейств линейных уравнений. Был построен основанный на принципе экстремального сдвига итерационный метод решения указанной задачи. В работе [33] этот метод апробирован на задаче оптимального быстродействия линейной управляемой системы с выпуклыми фазовыми ограничениями, приведен соответствующий регуляризирую-щий алгоритм. Задачи оптимизации скалярного параметра совместности для класса уравнений в нормированном пространстве изучались в работах [64,65]. Таким образом, вышеупомянутые исследования касались задач выпуклой оптимизации при ограничениях в форме линейных равенств и неравенств, а также невыпуклой оптимизации при ограничениях в форме равенств.

В третьей главе настоящей диссертации рассмотрена задача невыпуклой оптимизации при ограничениях в форме неравенств. Ее суть заключается в нахождении наименьшего значения скалярного параметра, при котором зависящая от этого параметра система невыпуклых неравенств имеет решение в пределах заданного множества. Само это решение также подлежит нахождению. В случае, когда оно не единственно, достаточно найти любое из решений. Сконструирован итерационный алгоритм, решающий рассматриваемую задачу, а также регуляризирующий вариант алгоритма для случая неточной информации о системе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Система нумерации параграфов, утверждений,

1. Агошков В. И. Обощенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

2. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

3. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978.

4. Антипин A.C., Васильев Ф.П. Методы регуляризации для решения задач равновесного программирования с сдвоенными ограничениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. т. 45. № 1. С. 2337.

5. Арсенин В. Я., Гончарский А. В. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестню. МГУ. Сер. Вычисл. математика и кибернетика. 1981. № 3. С. 13-17.

6. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2, с. 56-61.

7. Бухгейм А. JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977.

9. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1981.

10. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

11. Васильева Е.В. Нижние оценки скорости сходимости алгоритмов динамической реконструкции для систем с распределенными параметрами // Мат. заметки. 2004. Т. 76. вып. 5. С. 675-678.

12. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

13. Вдовин А.Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. Сб. науч. тр. «Задачи позиционного моделирования». Свердловск. 1986. С. 3-11.

14. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

16. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. В кн.: Механика и научно-техн. прогресс. Т. 1. Общ. и прикл. механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

17. Еремин И. И., Мазуров Вл. Д., Скарин В. Д., Хачай М. Ю. Математические методы в экономике. Екатеринбург: Изд-во "У-Фактория", 2000. 280 с.

18. Жевнин А. А., Колесников К. С., Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. № 4. С. 29-35.

19. Иванов В. К., Васин В. В., Танаиа В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

20. Ишмухаметов А.З. Методы решения задач оптимизации. М.: Изд-во МЭИ, 1998.

21. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука,1988.

22. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.1989. № 6. С. 35-41.

23. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. высш. учеб. заведений. 1998. № И (438). С. 109-120.

24. Короткий А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. МП. С. 21-24.

25. Короткий А.И., Цепелев И.А. Верхняя и нижняя оценки точности в задаче динамического определения операторов // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. Т. 4. С. 227-238.

26. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

27. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

28. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

29. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

30. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. № 6. С. 815-825.

31. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1997. Т. 37. № 3. С. 119-125.

32. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Экстремальные задачи с отделимыми графиками // Кибернетика и систем, анализ. 2002. No. 2. С. 32-55.

33. Кряжимский A.B., Пащенко C.B. К решению линейной задачи быстродействия со смешанными ограничениями // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер. Соврем, математика и ее прил. 2002. Т. 90. С. 232260.

34. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 29-41.

35. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196-211.

36. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Об устойчивом позиционном восстановлении управления по измерениям части координат. // Сб. науч. тр. Свердловск: УрО АН СССР, 1989. С. 33-47.

37. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивое решение обратных задач динамики управляемых систем. Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. Москва, 1988. Т. 185. С. 126-146.

38. Куржаиский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

39. Куржанский А. В., Сивергина И. Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем // ДАН. 1998. Т. 1. № 2. С. 31-36.

40. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

41. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, СО, 1980.

42. Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

43. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

44. Максимов В.И., Динамическое оценивание параметров в нелинейных распределенных системах // Тр. 4-й Междунар. научно-техн. конф. «Проблемы комплексной автоматизации», секция 1. Киев. 1990. С. 5458.

45. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2059-2067,

46. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. II // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 4. С. 597-603.

47. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН. 2000.

48. Максимов В. И. Реконструкция входных воздействий при измерении части координат //В кн. «Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения». М.: ВИНИТИ, 2002. С. 137-171.

49. Марчук Г. И. Методы вычисл. математики. Новосибирск: Наука, 1973.

50. Марчук Г. И., Агошков В.И., Шутяев В.П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

51. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990.

52. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

53. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 7. № 4. С. 631-638.

54. Нурминский Е.А. Численные методы решения стохастических и минимаксных задач. Киев: Наукова думка, 1979.

55. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

56. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннот. докл. 5-го Всесоюзн. съезда по теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР. 1981. С. 214.

57. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

58. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О моделировании параметров динамической системы // Задачи управления и моделирования в динамических системах. Свердловск, 1984. С. 47-68.

59. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск, 1989. С. 53-56.

60. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препр. МММ УрО АН СССР. 1991. 104 С.

61. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Динамические обратные задачи для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 5. С. 579-597.

62. Осипов Ю. С., Охезин С. П., К теории дифференциальных игр в параболических системах // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226. № 6. С. 12671270.

63. Ровенская Е.А. К решению задачи об оптимальном параметре совместности для одного класса уравнений в банаховом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. т. 44. № 12. С. 21502166.

64. Розенберг В. JI. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991.

65. Розенберг В. JI. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183-202.

66. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

67. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

68. Стрекаловский A.C. Элементы задач невыпуклой оптимизации. Новосибирск: Наука, 2003.

69. Сьярле Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

70. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

71. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики. // Бюл. МГУ. Секция А. Сер. математика и механика. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 125.

72. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

73. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

74. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной оптимизации. М.: Мир, 1972.

75. Черноусько Ф. JL Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

76. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979.

77. Arnautu V., Approximation of optimal distributed control problems governed by variational inequalities // Numerische Mathematik. 1982. Vol. 38. P. 393-416.

78. Banks H. Т., Wade J. G. Weak Tau approximations for distributed parameter systems in inverse problems // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1991. Vol. 12. No.l&2. P. 1-31

79. Brockett Ft. W., Mesarovich M. P. The reproducivility of multivariable control systems // J. Math. Anal, and Appl. 1965. Vol. 11. No. 1-3. P. 548-563.

80. Ermoliev Yu. M., Kryazhimskii A. V., Ruszczyriski A. Constraint aggregation principle in convex optimization / / Mathematical Programming. 1997. Series B, 76. P. 353-372.

81. Fattorini H.O. Ordinary differential equations in linear topological spaces // Differential equations. I. 1969. T. 5. P. 72-105, II. 1969. T. 6. P. 50-70.

82. Isakov V. Inverse source problems. Providence, R.I.: AMS, 1990.

83. Kryazhimskii A. V. Optimization of the ensured result for the dynamical systems // Proceedings of the Internat. Congress of Mathematics. Berkley. 1986. P. 1171-1179.

84. Kryazhimskii A. V. Convex optimization via feedbacks // SI AM J. Control Optimization, 1999. Vol. 37. P. 278-302.

85. Kryazhimsky A.V. Optimization problems with convex epigraphs. Application to optimal control. // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2001. Vol. 11. No. 4. pp. 101-129.

86. Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I., Osipov Yu. S. Reconstruction of boundary-sources through sensor observations. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-96-97. 1996.

87. Kryazhimskii A.V., Paschenko S.V. On the problem of optimal compatibility. J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. Vol. 9. No. 3. pp. 283300.

88. Kurzhanskii A. B., Khapalov A. Yu. On the state estimation problem for distributed systems. Analysis and Optimization of systems // Lecture Notes in Control and Informational Sci. Springer-Verlag. 1986. Vol. 83.

89. Lasiecka I., Triggiani R. A cosine operator approach to modeling ¿2(0, T; ¿2(r))-boundary input hyperbolic equation // Appl. Math, and Optim. 1981. Vol. 8, P. 35-93.

90. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity of hyperbolic equations under L2(0,T;L2(r))-Dirichlet boundary terms // Appl. Math, and Optim. 1983. Vol. 10, P. 275-286.

91. Lasiecka I., Triggiani R. Riccati equations for hyperbolic partial differential equations with £2(0, T; L2(r))-Dirichlet boundary terms // SIAM J. Control Optim. 1986. Vol. 24, P. 884-925.

92. Maksimov V.I., Approximation of an inverse problem for variational inequalities // Differential and Integral Equations. 1995. V. 8. No. 8. P. 1264-1273.

93. Maksimov V. I. On the reconstruction of a control through results of observations // Proceedings of the Third European Control Conference. Rome, Italy. 1995. P. 3766-3771.

94. Osipov Yu. S. Control problems under insufficient information // Proceeding of 13th IFIP Conference "System modelling and Optimization", Tokyo, Japan, 1987. Springer, 1988.

95. Osipov Yu. S. On reconstruction of a parameter of dynamical system // Proceeding of the International Symposium on Functional Differential Equations, Kyoto, Japan, 30 August-2 September 1990. P. 309-317.

96. Osipov Yu. S. On the reconstruction of a parameter for hyperbolic system. IIASA Working Paper. Laxenburg, Austria. WP-91-54. 1991. 32 P.

97. Osipov Yu. S.,. Korotkii A. I. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems. Ill-posed Problems in Natural Sciences. VSP—TVP. Tokyo, Japan-Moscow, Russia. 1992. P. 108-117.

98. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

99. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters //J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. Vol. 4. No. 4. P. 267-282.

100. Rockafellar R. T. The theory of subgradients and its applications to problems of optimization: Convex and nonconvex functions. HeldermannVerlag, Berlin, 1981.

101. Sain M. K., Massey J. L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems//IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 141-149.

102. Silverman L. M. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 270-276.

103. Swartz B.K., Varga R.S., Error bounds for spline and L-spline interpolation // J. Approx. Theory. 1972. No. 6. P. 6-49.

104. Willsky A. S. On the invertibility of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. AC-19. P. 272-274.

105. Zangwill W.I., Garcia C.B. Pathways to Solutions, Fixed Points and Equilibria. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1981.

106. Букчин Б.Г., Дигас Б.В., Максимов В.И. К проблеме реконструкции интенсивности точечных источников по результатам сенсорных наблюдений // Тр. ИММ УрО РАН. 1996. Т. 4. С. 201-216.

107. Дигас Б.В., Максимов В.И. О динамической реконструкции управлений в параболических системах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1998. Т. 38, вып. 3. С. 398-412.

108. Digas, B.V., Ermoliev, Yu.M., Kryazhimskii, A.V., Guaranteed Optimization in Insurance of Catastrophic Risks. IIASA Interim Report IR-98-082, Laxenburg, Austria, 1998. 12 pp.

109. Дигас Б.В., Об одной экстремальной задаче в гильбертовом пространстве // Тез. междунар. науч. конф. «Дифференциальные и интегральные уравнения», Челябинск, 22-26 июня 1999 г. С. 40.

110. Кряжимский А.В., Дигас Б.В. Оптимизация страхования катастрофических рисков: гарантированный подход // Сб. «Информационные технологии в экономике: теория, модели и методы». Екатеринбург: Изд-во УрГЭУ, 2000. С. 98-105.

111. Дигас Б.В. Об одной модификации алгоритма оптимального страхования катастрофических рисков // Тр. XXXIII Молодежной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 28 января — 1 февраля 2002 г. С. 229-233.

112. Baranov S., В. Digas, Т. Ermolieva, V. Rozenberg, Earthquake risk management: a scenario generator. IIASA Interim Report IR-02-025, Laxenburg, Austria, April 2002. 22 pp.

113. Дигас Б.В. Об одном алгоритме решения обратной задачи для системы гиперболического типа // Тез. докл. Междунар. семинара «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона Якоби» (CGS'05). Екатеринбург. 2005. С. 55-56.

114. Дигас Б.В. Об одной задаче невыпуклой оптимизации в условиях неточности данных. Тез. докл. 13-й Всероссийской конф. «Математическое программирование и приложения», г. Екатеринбург, 26 февраля — 2 марта 2007 г. С. 237.

115. Digas B.V., On an algorithm of non-convex optimization under inaccurate information // Тр. Второй Междунар. конф. «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007), 20-22 июня 2007 г., Москва. С. 60-63.