автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:О некоторых верхних вероятностных оценках в теории надежности вычислительных систем

Введение

1 Предварительные сведения и известные результаты

1 Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для вещественных и векторозначных случайных величин

2 Вероятностные распределения в банаховых пространствах

3 Известные оценки скорости сходимости в пространстве непрерывных функций С (К).'.

4 О времени безотказной работы вычислительной системы

2 Верхняя оценка Тп[т) для случая времени безотказной работы вычислительной системы с условием Гёльдера

1 Приближение нормы пространства С (К) гладким функционалом

2 Производные Фреше функционала Р(Х)

3 Неравенство сглаживания.

4 Гаусовская мера е-слоя.

5 Оценка моментов Е\Х\ЪС) Е\У\%.

6 Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для непрерывных случайных полей, удовлетворяющих условию Гёльдера

7 Верхняя оценка для Рп{г).

3 Верхняя оценка -Рп(г) для случая времени безотказной работы вычислительной системы с условием непрерывности

1 Суммы Фейера.

2 О коэффициентах суммы Фейера.

3 Оценка погрешности приближения непрерывной функции суммой Фейера.

4 Оценка Дп(г) вероятностями некоторых событий.

5 Оценка моментов случайных величин \Х — п — 1,2,

6 Оценка вероятности Р(|5'Г1 — > е), е > 0.

7 Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм Фейера.

8 Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для непрерывных случайных полей

9 Верхняя оценка для -Рп(г).

4 Численные верхние оценки распределений гауссовского

1 Гауссовское распределение в гильбертовом пространстве

2 Вероятность попадания в шар гауссовского случайного вектора из гильбертого пространства.

3 Верхние оценки вероятностей попадания гауссовского поля в шар

4 Верхние численные оценки в случае гауссовского времени безотказной работы вычислительной системы.

Актуальность работы

Деятельность человечества во многом связана с информацией: ее сбором, передачей, хранением, обработкой. Помогают ему в этом специальные технические устройства. Важным этапом любого научного знания является обработка информации. Этот информационный процесс можно представить схематически (рис. 1).

У \

N ' V

Вычислительная система

Рис. 1

Под вычислением системой будем понимать любое устройство (независимо от его структуры), которое осуществляет обработку информации. Надежность вычислительной системы является важнейшим элементом ее качества. Известны аналитические и статистические методы оценки надежности ([1], [2], [3], [23], [37]).

Пусть время безотказной работы системы есть случайная величина £ с функцией распределения Р(г) — < г), г > 0. Далее будем предполагать, что Р(г) — дифференцируемая функция, т.е. существует плотность г распределения /(г) = Р'(г) и г) = / о

Дополнительную вероятность Р(г) = 1 — Р(г) = Р(£ > г) называют функцией надежности.

Пусть вычислительная система начинает работать в момент времени г — 0 и впервые отказывает в момент времени г\ = £1. Если система является дорогим и сложным устройством, то ее восстанавливают. При этом обычно предполагают, что время восстановления мало по сравнению с временем безотказной работы. Тогда временем восстановления можно пренебречь и в дальнейшем считать, что восстановление мгновенное. После восстановления система начинает работать, через время £2 снова отказывает, и в момент второго отказа системы Г2 = £1 + £2 происходит второе восстановление. Затем система безотказно работает время £3 и т.д. При изучении этого процесса многие исследователи, как правило, предполагали, и это существенно, что времена безотказной работы £i,£2> ••• — независимы и одинаково распределены: P(£n < г) = F{r), математическое ожидание Е£п = Т, дисперсия .D£n = сг2, плотность распределения /(г) = F'(r), n = 1, 2,. ([1]).

Последовательность случайных точек 0 < < г2 < . < гп < ., + £2 + ••• + 71 — 2,. — называется процессом восстановления.

Пусть Fn(r) = P(rn <r) = Р {Y,k=1 ^ < г)> Т0ГДа Функция Fn(r) определяется рекуррентно г ib(r) = J Fni{r — x)dF(x). о

Пусть v(r) -— число отказов вычислительной системы до момента времени г. Тогда процесс восстановления можно представить с помощью следующей простой схемы (рис. 2).

6 £2 £i/(r)

-if--f-1|-^ i

О п Г2 ■ ■ ■ 7*i/(r)-l Ги(г)

Рис. 2

Надежность вычислительной системы можно описывать вероятностями вида P(v{r) > n), п = 1,2,. С другой стороны, P(v(r) > п) = = P(rn < г) = Fn(r), откуда P(v(r) = n) = Fn(r) - Fn+1(r).

Пусть H(r) = Ev(r) — среднее число отказов вычислительной системы до момента времени г. Нетрудно видеть, что оо оо

Я (г) = ]Г n(Fn(r) - Fn+1(r)) = ]Г Fn(r). п= 1 71=1

Функция Я (г) называется функцией восстановления. Она играет важную роль в исследовании надежности системы, т.к. зная ее значение, можно прогнозировать материальные затраты на восстановление вычислительной системы. Поэтому исследование поведения функций ^7?(г), порождающих функцию Я (г), является одним из важных и актуальных вопросов в теории надежности вычислительных систем.

В данной работе время безотказной работы вычислительной системы рассматривается как случайная функция многих переменных. Случайную функцию многих переменных принято называть случайным полем. При некоторых условиях на случайные поля находятся верхние оценки для вероятностей Гп(г), которые могут быть использованы для нахождения верхних оценок функции Я (г).

Цель работы

Целью работы является: показать, что сформулированная задача оценки функций .Рп(г) может быть сведена к задаче оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме в теории вероятностей; изучить зависимость скорости сходимости распределений сумм случайных полей к распределению гауссовского поля; определить условия на характеристики случайных полей; численно оценить сверху распределение гауссовского поля; оценить сверху распределение случайного числа отказов вычислительных систем.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. Теоремы 2.1, 3.1 и их следствия определяют оценку распределений сверху гауссовским распределением с указанием погрешности. Теорема 4.2 и ее следствие позволяют оценивать сверху гауссовское распределение.

Практическая значимость

Результаты данной работы могут быть использованы для прогнозирования надежности вычислительных систем и возможных затрат на их восстановление. Полученные результаты представляют также самостоятельный интерес и могут быть использованы для дальнейших теоретических разработок.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XV

Межрегиональной научно-технической конференции в г. Красноярске в 1997 г., на Первом Всероссийском конгрессе женщин - математиков в г. Красноярске в 2000 г., на V ежегодной ФАМ конференции в г. Красноярске в 2001 г., на семинаре по дискретной математике в г. Иркутске в

2001 г., на Втором Всероссийском конгрессе женщин - математиков в г. Красноярске в 2002 г., на семинаре по теории вероятносте/у; математической статистики Института Математики СО РАН в г. Новосибирске в

2002 г.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы из 58 наименований, содержит 3 рисунка и 1 таблицу. Общий объем диссертации составляет 86 страниц.

Заключение

Данная работа посвящена изучению надежности вычислительной системы. Одной из характеристик надежности системы является случайное число ее отказов г>(г). Распределение ь(г) есть распределение суммы случайных времен Х^) безотказной работы вычислительной системы, г = 1 ,.,п. Записать распределение у(г) в явном виде невозможно. Поэтому приходится искать оценку этих распределений сверху. В предположении, что время безотказной работы Х^) вычислительной системы есть функция многих переменных, в данной работе получены следующие результаты: показано, что задачу оценки распределений случайного числа отказов системы можно рассматривать как задачу оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме в банаховых пространствах; при наличии определенных ограничений на время безотказной работы вычислительной системы найдены верхние оценки для распределений ^„(г) случайного числа отказов системы (теоремы 2.1, 3.1). Эти оценки могут быть записаны в виде где /У(г) — нормальное распределение, постоянные а, с определены ранее, показатели степени /3, 7 определены условиями на Х^); для нормального распределения М(г) найдены численные верхние оценки вида (теорема 4.2) Л^(г) < 7(Л,г), где

Полученные оценки могут быть использованы для дальнейших исследований в теории надежности вычислительных систем. Среднее число отказов системы Н(г) = Поэтому зная верхние оценки для

Рп(г) можно получить верхние оценки для Н(г) и прогнозировать уровень средних затрат на восстановление вычислительных систем. о

1. Барзилевич Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В.А., Коваленко И.И., Соловьев А.Д., Ушаков И.А. Вопросы математической теории надежности. М.: Радио и связь, 1983.

2. Беляев Ю.К., Дулина Т.Н., Чепурин Е.В. Вычисление нижней доверительной границы для вероятности безотказной работы сложных систем,*!.I// Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1967, № 2 , с. 52-69.

3. Беляев Ю.К., Дулина Т.Н., Чепурин Е.В. Вычисление нижней доверительной границы для вероятности безотказной работы сложных систем Ч 11II Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1967, .\оЗ, с. 63-78.

4. Бенткус В.Ю., Рачкаускас А.Ю. Оценки скорости сближения суммнезависимых случайных величин в банаховом пространстве/ / Литовский мат. сб., 1982, т. ХХП, № 4, с. 8-20.

5. Бенткус В.Ю., Рачкаускас А.Ю. Оценки скорости сближения суммнезависимых случайных величин в банаховом пространстве/ / Литовский мат. сб., 1982, т. XXI I , № 3, с. 12-18.

6. Бенткус В.Ю. Оценки снизу скорости сходимости в центральнойпредельной теореме в банаховых пространствах/ / Литовский мат. сб., 1985, т. X X V , № 4, с. 10-21.

7. Билингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.'8. Боровков A . A . Теория вероятностей. М.: Наука, 1976.

8. Боровских Ю.В. Асимптотика в ЦПТ в банаховых пространствах/ /Доклады Академии Наук УССР, 1983, А, № 1, с. 3-7.

9. Бхаттагария Р.Н., Ранго Pao P. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982. И. Бахания H.H., Тарелладзе В.И., Чобанян А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1985.

10. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т. 1. М.:Наука, 1971.

11. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения длясумм независимых случайных величин. М.-Л., 1943.

12. Гренандр У. Вероятности на алгебраических структурах. М.: Мир,1965.

13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965.

14. Золатарев В.Н. Аппроксимация распределений сумм независимыхслучайных величин со значениями из бесконечных пространств / / Теор. вер. и её прим., 1976, т. X X I , в. 4, с. 741-758.

15. Золатарев В.Т. Метрические расстояния в пространствах случайных величин и их распределений// Мат. сб., 1976, т. 101, № 3, с. 416-454. И

16. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые^'етационарно связанныевеличины. М.: Наука, 1965.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С В . Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

18. Круглов В.М. Дополнительные главы теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1984.

19. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962.

20. Никольский СМ. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

21. Павлов И.В. Статистические методы оценки характеристик надежности и эффективности сложных систем по результатам испытаний. М.: Советское радио, 1982.

22. Паулаускас В.И. О скорости сходимости в центральной предельнойтеореме в некоторых пространствах/ / Теор. вер. и ее прим. 1976, т. X X X I , в. 4, с. 775-791.

24. Паулаускас В.И., Рачкаускас А.Ю. Точность аппроксимации в центральной предельной теореме в банаховых пространствах. Вильнюс: Масклас, 1987.

25. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука,1972.

26. Пинелис И.Ф. О распределении сумм независимых случайных величин со значениями в банаховом пространстве/ / Теор. вер. и ее прим., 1978, ХХП1, № 3, с. 630-637.

27. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.

28. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей// Теор. вер. и её прим. 1965, т. I, в. 2, с. 177-238.

29. Сазонов В.В. О скорости сходимости в многомерной центральнойпредельной теореме / / Теор. вер. и её прим. 1968, I, с. 191-194.

30. Сенатов В.В. Одна оценка метрики пространства Прохорова// Теор.вер. и ее прим. 1984, X X I V , № 1, с. 108-113.

31. Сытая Г.Н„ Случайные процессы, теория и практика. Киев: Просвещение, 1985.

32. Треногий В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

33. Феллер В.В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.П. М.: Мир, 1984.

34. Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ,1962.

35. Церувадзе П.H. Стохастические автоматы и задача построения надежных автоматов из надежных элементов/ / Автоматика и телемеханика, 1964, Ko2,C.16-ZS.

36. Цирельсон Б.С. Плотность распределения максимума гауссовскогослучайного процесса// Теор. вер. и ее прим. 1975, X X , N4, с. 865-873.

37. Юринский В.В. О выборочной непрерывности случайных полей/ /Теор. вер. и ее прим., 1973, XVII I , Ш 3, с. 663-693.

38. Юринский В.В. Экспоненциальные границы гладких полей/ / Теор.вер. и ее прим., 1974, X I X , № 1, с. 230-233.

39. Araujo de А., Gine Е. Central Limit theorem for the Real and BanachValued Random Varicelles. New York: Yoth Willey and Sons., 1980.

40. Dudley R . M . , Stassen V . The central limit theorem and endropy// LeetNotes Math., 1969, v. 89, p. 224-231.

41. Forter R., Mourier E . Les fonctions aléatoires dans les espaces deDanach// Studia Math., 1955, № 15, p. 62-73.

42. Gine E . On the central limit theorem for sample continu-,.ous processes//Annales of Probability, 1974, v. 2, p. 619-641.

44. Gotze F. On the rate of convergence in the central limit theorem inBanach spaces// Annales of probability, 1986, v. X I V , № 3,f.î^Z^:sS.

45. Hoffman-Yorgensen Y . , Pisier G. The law of large members and thecentral limit theorem in Banach spaces// Annales of probability, 1976, V . 4, p. 587-599.

46. Le Cam L. Remargues sur le théorème limite central dans les espanceslocaliment convenes// Probab. sm- les Studia Algebr. C N K S . Paris, 1990, p. 233-245.

47. Levy P. Processus stochastiques et mouvement Brownian. Paris:Gauthier-Villars, 1948.

48. Mourier E . Propriétés des caracteristic|;ues d'urfelement aléatoire dansun espace de Banach// Aked Sn Paris, 1950, t. 231, p. 28-25.

49. Mourier E . Elements aleatories dans un espace de Banach// Ann . Inst.H . Poincare, 1953, p. 161-244. Работы автора по теме диссертации

50. Ширяева Т.А. О скорости сходимости в центральной предельнойтеореме для непрерывных случайных полей/ / Сб.: Математический анализ и дискретная математика. Новосибирск: изд-во НГУ, 1988, с. 126-136. сходимости

51. Ширяева Т.А. Одна оценка скоростй^в центральной предельной теореме в пространстве С р / / Сб. Вопросы математического анализа. Красноярск: изд-во КГТУ, 1997, с. 137-145.

52. Ширяева Т.А. Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для случайных полей, удовлетворяющих условию Гёльдера / / Тезисы докладов X V Межрегиональной научно-технической конференции. Красноярск: изд-во КРАСА, 1997, с. 15.

53. Ширяева Т.А. О точности аппроксимации в центральной предельнойтеореме для непрерывных случайных полей// Тезисы докладов I Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск: изд-во КГУ, 2000, с. 266.

54. Ширяева Т.А. Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для непрерывных случайных полей// Сб. Математические системы. Красноярск: изд-во КГАУ, 2000, с. 43-47.

55. Ширяева Т.А., Ваганова Л.П. Оценка вероятности попадания гауссовского вектора в гильбертов ш а р / / Сб. Статистическая метафизика. Труды V ежегодной ФАМ конференции. Красноярск: изд-во ИВМ СО РАН, 2001, с. 179-181.

56. Ширяева Т.А. О точности аппроксимации распределений сумм независимых случайных полей распределением гауссовского п о л я / / Сб. II Всероссийский конгресс женщин - математиков. Красноярск: Изд-во КГУ, 2002, с. 167-171.