автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:О некоторых методах решения задач теории нелинейных волн

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗШШ!П УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

Ла ирдрпх рукописи

Найзабаева Лязат

О НЕКОТОРЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

05.13.16 - применение пычислительной техники, математического моделирования и матемятичег-их гетодоэ и улутк исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата - 1991

Работа выполнена в Казахском государственном ордена I |^дивого Красного Знамени университете имени Аль-Фараби

Научные руководители: доктор физико-математических.

наук, профессор Ш.ШАОТОВ

кандидат физико-математических наук, доцент В.С.НЕРОНОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ведущий научный .сотрудник А. Ф. В0ЕВ0ДО1 •

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник М.И.ИЗТЕ11ЕУ0В

Ведущая организация: Азербайджанский государственный университет

Защита состоится " " О,Л 1992г. в часов на заседании специализированного совета К 058.01.16 при Казахском государственном университете имени Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алма-Ата,у.и.Масанчи,39/47 в ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Отзывы на автореферат высылать по адресу: 480121, г.Алма-Ата, ул.Тимирязев",46, Казахский государственный университет им. Аль-Фараби. Ученому секретарю.

Автореферат разослан "А) " &( 1991г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор ф'-эико-мптематических --'¿¿С/^ ^ наук, профессор И.Ф.ЖЕРЕВЯТЬЕВ

ОБДАН ХАРАКТЕВ1СТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Метод обратной задачи теории рассеяния, разработанный Лаксом и примененный Крускалом в решении задач для уравнения Кортевепа-де Вриза (КдВ), для многих уравнений типа КдВ пока не применим. В Связи с этим становится актуальным исследование таких уравнений различными другими методами. Изучением распространения нелинейных волн занимались Захаров В.Е.,Новиков С.П.,Марченко В.А..Карпман В.И.,Шабат А.Б.,Итс А.Р., Матвеев В.Б.; Аб-ловиц М..Сигур X.,Лэм Д.,Лейбович С.,Сибасс А., Калодкеро Ф., Дегасперис А. ,Ныоэлл А. и другие. К уравнениям типа КдВ относятся уравнение Бюргерса, Бона-Смитта, Кадомцева-Петвиал'вили, система уравнений Буссинеска. Все они с физической точки зрения описывают уединенные волны или, так называемые, солитоны и встречаются в задачах гидродинамики, нелинейной сейсмологии, нелинейной акустики, теории мелкой воды, физики плазмы. Нелинейные уравнения исследуются также в работах Врагова В.Н., Новикова В.А., Яненко H.H., Антонцева С.Н., Кажихова A.B., Монахова В.Н., Воеводина А.Ф., Смагулова III.С., Отелбаева M.U.. Кальменова Т.Ш., Кузнецова. Б.Г., Амиралиева Г.М., Абклкаиро-ва У. У. и др.

В данной работе исследуются задачй для системы Хироты-Сатсумы или связанных уравнений КдВ, полученных редукцией иерархии Кадомцева-Петриашвили известным методом регуляризации и методом конечных разностей.

Цель работы. Исследование корректности смешанных задач для системы Хироти-Сатсумы, описывающей взаимодействие двух уединенных волн с различными дисперсионными соотношениями, построение приближенного решения краевых зацач системы Хироти-Сатсумы и альтернативной системы, проведение численных, ртсчетов.

* 'ImU S., Sillium я - ^i. Л ccnpPfd KcW M\nA.iiovi. ¡ч ovo. кие. Ur Je't»- - hP^iirtiOK oj KP in'cvür-ciJj . 'J S'-c Упр , IW 'M . f.1 № , »M>0 - Ь>>44

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

-Доказано существование обощенного решения краевой задачи дня системы Хироты-Сатсумы.

Получена однозначная разрешимость в целом по -Ь краевой за-задачи системы Хироты-Сатсумы.

-Доказано существование обобщенного решения периодической задачи системы Хироты-Сатсумы.

-Предложены эффективные пазностные схемы, аппроксимирующие краевую задачу системы Хироты-Сатсумы и альтернативной системы.

-Доказана устойчивость простроенных разностных схем, исследована скорость сходимости, получена равностепенная непрерывность по I .

Теоретическое и практическое значение результатов.

Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многомерных нелинейных волновых процессов, при исследовании упругих волн в нелинейных пластинах, уединенных волн в узком канале, уединенных тектонических волн в литосфере.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре под руководством д.ф;-м.н., профессора Смагулова.Ш.С., к.ф.-м.н., доцента Данаева Н.Т. "Численные методы механики сплошной среды" в Казгосуниверси-тете, на конференциях молодых ученых в Казгосуниверситете ( 1987,1988,1990 ), на 1У Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их применения" ( Уфа, 1989 ), на IX Республиканской меквузовской конфе--ренции по математике и механике ( Алма-Ата, 1989 ), в работе Ш Всесоюзной школы молодых ученых по численным методам механики сплошной среды ВЦ СО АН СССР г.Красноярска, НИШ и ИМ и ВЦ РГУ г.Ростова-на Дону ( Абрау-Дюрсо,1991 ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-|б].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации дан краткий обзор литературы, перечислены основные результаты, полученные в работе. Работа состоит и-1 двух глав со сквозной нумерацией параграфов, использованной литературы и приложения.

Первый параграф является вспомогательным, приведены обозначения функциональных пространств, некоторые известные неравенства, обозначения теории конечных разностей, разностные аналоги некоторых дифференциальных тождеств.

Во втором параграфе работы в области С}-=Л«1оД\, где Л = (о, 1), Т - положительная постоянная, рассматривается система Хироты-Сатсумы

иь - а(и-хТУ. + 61П1Х) -.итл/х ~о, (I)

и* + 5илгх =0, (2)

со следующими начально-краевыми условиями:

Чь-о = ис00; - \Ге(Х), (3)

и

1 х

Для задачи (1)-(4) получены сценки устойчивости:

I " * I ¿^0-,, тЧ М ^ < С < - ,

Обобщенное решение задачи (1)-(4) определено в классе МдСят) > удовлетворяющее интегральному тождеству:

Оил) =

("ьЧО (1Гх,ЧЧх) + За(идгх.1Ч'') = О,

для люймх функций 'СД <=. (Л):

Для задачи (1)-(4) построена регуляризованная по 6 система:

и - а (+ 6 IIе и.'*") - лб и6 и * +1, о,

и6к=о '^.СЮ, ~ и-оСх^

На решение регуляризованной задачи полкчены равномерные по Ь оценки, на основе которых осуществлен предельный переход при & О . Используя лемму о компактности, получаем следующую сходимость обобщенного решения регуляризованной задачи к обобщенному решению исходной задачи:

^ -^»Ц , и* — слабо в

I/ и , и£—2 и сильно в ¿.А(о,т- .

Следовательно доказана

Теорема I. Пусть И<,(х\иг0С*Н/хСА)» тогда существует хотя бы одно обобщенное решение задачи (1)-(4).

В тр .,'ьем параграфе для задачи (1)-(4) сильным решением определены функции Ц., 1Г&/.¿ГСО вместе со всеми производными входящие в систему уравнений и удовлетворяющие в области = уравнениям и граничным условиям поч-

ти всюду в соответствующей мере. Для доказательства существования сильного решения построена следующая регуляризованная задача:

и.&

- и0сх), = и-осх),

хххтс - о ;

I Л — ^

^к-о "^и.^0'

1гь I =0

При оценивании .нелинейных выражений используется вспомогательная лемма, полученная интерполяцией пространств:

где

На основе равномерных по & оценок на решения регуляриэо-ванной задачи,осуществлен предельный переход при 6 — о -Используй лемму о компактности, получили следующую сходимость

IIе (I , и6 —17 слабо в

г С. »0 . ?,-»о , ,

11' —^ и , Лг •—V' сильно в ¿д(о,т, ^(л)).

Теорема 2. Пусть И0 00,1*0 ОС)тогда для задачи (1)-(4) существует и единственно сильное решение:

Единственность доказывается стандартно.

В четвертом параграфе в области = > гДе

л* - (од) , Т - положительная постоянная,рассматривается система Хироты-Сатсумы:

¡,и= \Ц ~0-(иххх ■бИиху-Д.«,1Ги'х=0, (5)

и^ \УЬ + Ц"Хтс->с + ЫШХ = 0, (б)

с начальными условиями

и условиями периодичности по Х-. к-0,1,2.

■'ÖU ~ " 1

_ ' d u. | ъ У I = XiT—|

(8)

Получены следующие априорные оценки:

Обобщенным решением задачи' (5)-(8) определены функции U,|J з классе fo,T)'W^C^'O .в виде интегрального тождества:

(1Ц/0 - а(ИхД„) + äa(ul,Ts)-v

+a(ir*J4,*x>'-4- 5( U,u-Xlif) -о,' .

для любой функции ife'Wl'C^') • такой что: ''

Для доказательства существования обобщенного решения задачи (Ь)-(8) построена следующая регуляризованная задача:

Iii - а (u.lxxv -t 6 U.£ u\. V .HuE - -,

-1г|1=0 - НД*>,. иЧ =

. 'л*,,*- ^ ,

тс-1 ' Ък* |тс = о"" ТУК*

¿=0,1,2.

1олучены равномерные по (, оценки на решение регулярнзонан юй задачи. Осуществлен предельный переход при & — о . Порчена сходимость обобщенного решения регуляризованной зада-т к решению задачи (5)-(8). Следовательно имеет место

Теорема 3. Пусть 1!0(*), 1/оМс * тогда существует сотя бы одно решение задачи (Ь)-(в).

На этом заканчивается первая глава диссертации.Следующая глава работы посвящена применению конечно-разностной теории для системы Хироты-Сатсумы и альтернативной системы.

В пятом параграфе построена разностная схема, аппроксимирующая начально-краевую задачу системы Хироты-Сатсумы:

—- +№<%1

(9)

" I- V и , + < , . + < П+1

---Л- + 4 Ьи . 1Г; ^ = О, Ю

11° = и0(х)-, и\ =--1Г0(*), зс.е^Ц, и - п,1; (II)

., П- ..п. л . . ¡х, к,

и-о = и 1 = Ин =0, 1Г0 - 1/м.( - 1/м - О; а-ол ,« (12,

Получены оценки устойчивости

truix

пятаД-^Т

u."1 Г 4

M = o l-x.

»-ma*

oimfitiT m=o i=< n=<

при 1 1 ¡.¿«О * ' № 00 . .

Доказана следующая

Теорема 4. Пусть решение задачи (1)-(4) гладкое, тогд при Л-Ь , О решение задачи (9)-(12) сходится к р

[гению задачи (1)-(4) со скоростью:

max (IW^+M^lV^ + n-a* +

-^■¿1 rx\2- < aUi-at

тч

При доказательстве теоремы использованы формулы суммирования по частям, разностный аналог теоремы рлоиения, £> -неравенство, а такие элементарные товдеетвя теории разностных схем.

В шестом параграфе работы рассматривается альтерната] ная система Хироты-Сатсумы: •

йххь " = ии. х ^ о и, , (I:

и хх-Ь -У-ь = -1ИГ* , (Г

с начально-краевыми условиями:

и (с,*;) = и(1,0 = 0-, иЧо.Ь) = \Г(Д,-0 ~О, О, (щ,о) = и0Сх ) ; \ГСХ,о) = \Г0С*).

С физической \jukh зрения "эквипялентность

(I (I

" системы

ироты-Сатсумы и альтернативной системы в том смысле, что ни обе применимы для описания одних и тех же физических яв-ений. Для задачи (13)-(16) построена следующая разностная хема: = {туЬ , и.--о,И, Мл^=Т } >

= (17)

С. - иГ

и

1 XX

ь и 1-х

(16;

Но = и'; =0, = (19)

Ли = { ОСс = С^, I«4,2,...4 =1^-, Т„ = 0,

На приближенные решения альтернативной системы гюлуче-ш оценки устойчивости:

5С,-Ь

ЬххЧлСЯО 1 '-ТХ и

Доказана

Теорема 5. Решение разностной схемы (17)-(20) сходится к решению задачи (13)-(15) со скоростью О СлЬ. Н ) в классе i (л о)-

В седьмом параграфе доказана равностепенная непрерывность по -Ь разностного решения начально-краевой яадя> л для альтернативной системы:

^-Z

L=0

Z((ut

i-il+S "

Tt-s

ni , ТА-«

+ U Z I at Z (

L e=0 i «-о "

< CCs/t)*

Построена следуощая итерационная схема

„го „<^0 _

U"4°-VmX_ УГх e _ (»» U>

t t - E

Доказана сходимость итерационной схемы.

В восьмом параграфе описывается применение алгоритм векторной прогонки для трехточечного уравнения в ралнзащ альтернативной системы Хироты-Сагсумы и для пягиточечногс уравнения в численной реализации системы Хироты-Сатсумы. Графики численной реализации включены в приложение ;;nccej тации. Проведены расчеты для системы Хироты-Сатсумы при Q = 0,005, €> = I на -fc= 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3 и< гах по времени с начальным возмущением Альтернативная система - при (1=1, f> - I и при (1 - I,

i, = 0,05 на "t = 0; 0,5; I; 1,5; 2; 2,5; 3 и на -t = = 0; 2,5; 5; 7,5; 10; 12,5; 15 шэгах с начальными возмущ' ниями для различных случаев: ) , l/cPt7 , -ЛСх)

На графиках наблюдается изменение} амплитуды p<i':i: с каждым тагом по времени. При измельчении геггмного шаг по пространственным переменны;! резулг-тэ^ы преды,цу:цих рас тов подтвервдаются.

В заключении излагаются основные результаты работы:

Доказано существование обобщенного решения краевой задачи системы Хироты-Сатсумы.

Получена однозначная разрешимость и целом по -Ь краевой ¿а дачи-системы Хироты-Сатсумы.

- Доказано существование обобщенного решения периодической задачи системы Хироты-Сатсумы.

• Построены разностные схемы, аппроксимирующие краевую задач, системы Хироты-Сатсумы и альтернативной системы Хироты-Са!; сумы.

• Доказана устойчивость построенных разностных схем, исследо вана .скорость сходимости, получена равностепенная непрерывность приближенного решения по -Ь .

- Проведена численная реализация двух нелинейных систем третьего порядка методом векторной прогонки для трехточечного и пятиточечного уравнений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работр~:

[. Найзабаева Л. О сходящихся разностных схемах для краевой задачи системы Хироты-Сатсумы.// Тезисы докладов конференции молодых ученых Каз'ГУ.-Алма-Ата.-1988.-с.263.

2. Мартынов Н.И.,Аманов Г.Ш..Найзабаева Л. О численном решении некоторых краевых задач для нелинейных систем третьего порядка // Тезисы докладов IX республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике.-Алма--Ата.-I989.-с.44.

3. Найзабаева Л..Аманов Г.Ш. Начально-краевая задача для одной нелинейной системы третьего порядка.-М.,1990.-12с.--Деп.в ВИНИТИ 27.03.90, № 3179.

4. Найзабаева Л. О сходимости разностной схемы для одной системы нелинейных уравнений // Тезисы докладов Ш Всесоюзной школы молодых ученых.-Красноярск.-1991.-с.20.

б. Смагулов Ш., Найзабаева Л. Существование и устойчивость сильного решения в целом по -Ь смешанной задачи для системы Хироты-Сатсумы // Тезисы докладор П Международного коллоквиума по ДО.-Пловдив.-Болгария,-1991.-с.£73.

в. Нэйзабаева Л. О существовании обобщенного решения смешанной задачи для системы Хироты-Сатсумы // Математическая кибернетика и управление движением.-Налгу.-Алма-Ата, --(в печати).