автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:О некоторых итерационных методах для уравнения Навье-Стокса в переменных "функция тока, вих рь скорости"

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРШ

На правах рукописи АлиОиев Даулет Будешович

О НЕКОТОРЫХ ИТЕРАЦИОНЬК МЕТОДАХ ДЛН УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА В ПЕРЕМЕННЫХ "ФУНКЦИЯ ТОКА, ВИХРЬ СКОРОСТИ"

05.13.16. - Црименение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЗОЕРА?

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматн, 1994

Работа выполнена в Казахском государственном Национальном университете имени Аль-Фараби.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор, академик Инженерной академии Республики Казахстан Смагулов Ш.С.

кандидат физико-математических наук; доцент Данаев В.Т.

Официальные оппоненты: доктор фшзико-маiематических наук,

профессор, член-корреспондент HAH PK Отелбаев М.О. доктор технических наук, профессор Джаугаштин К.Е.

Ведущая организация: Институт прикладной математики Национальной академии наук Респ. Казахстан.

Защита состоится nji) " i.lld-Л/ 1994г. в U' часов на заседании специализированного совета KI4/A.QI.Q6. при. Казахском государственном Национальном университете им.Аль-Фа-раби по адресу: 480012, Республика Казахстан, г.Алматы, ул. Масанчи, 39/47, КазГУ, ШШ, ауд._.

С диссертацией можно ознокомится в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан " .

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат, физико-математических

наук, доцент /'¿¿¿C^3^ Нысанбаева с.Е.

-э-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Математическое моделирование физических процессов являются одним из основных направлений прикладной математики и имеет важное практическое приложение. Ввиду нелинейности и многомерности моделей многих процессов аналитические методы исследования не позволяют в общем случае получать полное решение задач. Одним из основных, методов,поз-воляющих проводить теоретические исследования самих моделей и решать практически важные задачи являются численные методы.

Многомерность задач ставит в число главных проблему построения и исследования экономичных численных алгоритмов, в особенности использующих метод расщепления дифференциальных операторов. На практике для численного решения уравнения.. Навье-Стокса применяют координаты "функция тока - вихрь скорости" . Для такой постановки исследованию корректности разностной схемы посвящено ограниченное количество работ, почти не рассматривается корректность схем типа дробных шагов. Настоящая работа посвящена исследованиям корректности итерационной разностной схемы для уравнения Навье-Стокса в переменных "функция тока - вихрь скорости" в односвязной и многосвязной областях и схемы Полежаева для бигармонического. уравнения. Кроме того численнсГисследована задачаипротекания

вязкой жидкостиуа незаданным расходом. Все задачи изучены

>

впервые. .

Цель работы,^Основной целью настоящей работы является создание эффективных, численных алгоритмов для- уравнения вяз-

кой несжимаемой жидкости и обоснование сходимости итерационного метода для дробных шагов. Разработан численный алгоритм одной неклассической краевой задачи для уравнения Навье-Стокса с незаданным расходом, которая часто встречается на практике,(течение воздуха в нагретой печи, градирня в солнечной мельнице и др----). На основании предложенных

разностных схем проведенэ численное решение задачи.

Научная новизна. Впервые построена и исследована корректность экономичных разностных схем для уравнения Навье-Стокса в переменных "функция тока и Еихрь скорости" в односвязной и многосвязной областях. Получена сходимость итерационного процесса со скоростью геометрической прогрессии. Доказано устойчивость по граничным данным разностного решения для бигармонического уравнения в уравнении вязкой несжимаемой жидкости. (Схема Полежаева).

Численным методом изучена задача протекания вязкой несжимаемой жидкости незаданным расходом. Решены три задачи. Все результаты получены впервые.

Теоретическое и практическое значение результатов. Устаг новленные свойства решения итерационной схемы для уравнения вязкой несжимаемой жидкости в постановках "функция тока -вихрь скорости" представляет интерес для теории нелинейных дифференциально-разностных уравнений с частными производными. Разработанные численные методы могут быть использованы при разработке алгоритмов для задач гидродинамики в случае пористых сред, фильтрации, и другие задачи. Использованы метода априорных, оценок, разностные теоремы вложения, метод неподвижных точек.

—э-

лпробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" под руководством академика Инженерной академии Республики Казахстан, проф.д.ф.-м.н. Смагулова Ш., доцента Данаева Н.Т..КазГНУ; на семинаре "Функциональный енализ и егс приложения для дифференциальных уравнений и вычислительной математики" под рук. член-корр.НАН РК проф.д.ф.-м.н. Отелбаева М.О. (ИПМ НАН РК г.Караганда); на семинаре "Прикладная гидродинамика" под руков.д.т.н.проф. Дкаугаштина К.Е. (ИТШ НАН РК, г.Алматы); на семинаре "Механика жидкости газа и плазмы" под руков.член-корр.НАН РК цроф.д.т.н. Ершина Ш.А., на конференции молодых учёных КазГНУ им.Аль-Фараби 1ЭЭЗ г.(г.Алматы).

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 101 страницах машинописного текста и состоит из введения, трбх глав, выводов, списка литературы .из 61 наименования, включает 13 рисунков к 2 таблицы.

-6-

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы.

Рассмотрим краткое содержание диссертации. Задача о нестационарном движении вязкой несжимаемой жидкости в ограниченной области Q с твёрдой границей Sil сводится к решению нелинейных неэволюционных систем дифференциальных уравнении в частных производных dv

dt

+ (t> = v&t> - vp + /, (D

13 = О

с начально граничными условиями

= (2)

Ч=о

VI = О. (3)

]ва .

Здесь Ъ = (и,и,ш) - поле скоростей, р - поле давления, / -поле массовой силы, V - коэффициент вязкости. В двухмерном случае задача эквивалентна системе: дю

+ (Ц7)Ш = vAS + rot /,

вг

Дф = ю, и = фу , у = -фх , (4)

в «V - и*!,=0 = ^ - V = »о<**>.

дп Ц

ф - функция тока, ш - вихрь скоростей.

Если отпасть О включает области 7±= <ЭП,, непересекакщие

гранкш Q то система уравнений- (4) решается с условиями B>lt=0 = wQ(x),

бф 9ф __ р ст>

= О, —— = О, О - 31 = 0. (б)

дп ' ее 5т " ап

Где п - нормаль границы 6ÍJ, т - касательный вектор.Задача (4),

(6) эквивалентна (1)-(3) в случае многосвязной области.

В главе л проводится исследование экономичного итерационного метода для одного класса операторных разностных уравнений. С помощью общей теории, в частности проводится анализ сходимости итерационного метода для численного решения стационарной задачи (4),(5) и (4),(6).

В §1. главы 1 рассматривается система операторно-рабйосйшх уравнений вида

К®, ф) + кЫ + Вф = Аф = т.

Где оператбрв А,В и нелинейная форма 1(ю,ф) считаются заданными на всем пространстве Н. Предположим, что система уравнений

(7) определяется при выполнении следующих условии:

а) А - самосопряженный оператор, А:Н—и существуют числа ^>0, р2 такие,что р^ < А г$ р£Е , т.е.

А = А*, р.,}.г|г < {Ах,х) ^.PgJíJ2 для любого х € Н.

5) Оператор В - линейный и неотрицательный, т.е. (Вт,г) > 0, для любого х е Н.

6) нелинейная форма 1(и>,ф) является билинейной, т.е. по каж-

дому аргументу ш,ф является линейным и удовлетворяет тоздеству (I(ш,ф) ,ф)=0, которое справедливо для любых та и ф из Н.

Кроме того, относительно билинейной формы 1(ш,ф), предположим, что справедливо неравенства

< С|ф|А|шЦАиЬ (8)

\(1(ю,<$>)^)\ ^ с0|Аф|«|ш|*|Ау|. Нд - пространство, пороадЭнное оператором А. Для численного решения системы уравнений (7) рассмотрим следующий итерационный процесс: ,^+1/г _

-^—— + 1Гшв.<|)п+1/г; + киР + ЕФ!1+1/2 = /, (9)

Афа+1/2 = (10)

-^-+ КаР - вР) = 0» . (II)

Аф1"1 ж аРГ1 ' (12)

Имеет место слэдущая:

Теореаа I. Пусть выполнены, условия а) - в).

Тогда для решения итерационной схемы (9) -(12) имеет место

оценка

ао°о

1<Р||[ + * + ^ 1/1^-1 <

Следувдая теорема означает скорость сходимости итерационного процесса.

Теорема 2. Пусть выполнены условия а) - в). Тогда имеет место оценка

+ -у- т^!2) при достаточно лшоа {/{. Здесь ап< 1, т.е. итерационный процесс (Э)-(12) сходится к решению задачи (7).

В §2. исследуется сходимость-итерационного метода решения уравнения Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости в односвязной ооласти.

Рассмотрим стационарную систему уравнений Навье-Стокса б переменных функция тока и вихря скорости в односвязной области П. представленную в следующем виде:

с краевыми условиями 5ф

ф =-= О, х е ЗП. (14)

дп

Не - число Рейнольдса, ф - функция тока, а> - вихрь скорости,' А - двумерный оператор Лапласа. При этом, для простоты будем

предпологать, что область О = П и дП - квадрат, т.е.

П = {о $ х,у < 1).

Для численного решения уравнении (13) в рассмотрим разностную с;;зму.

йё((ш,фо)о - (ю.фо)р) = Апф + /

где - разностный оператор Лапласа, обозначения вида фо.фо-соответствуют симметричным разностным формулам для первой производной сеточной функции ф. Для функции тока краевые условия возьмём б кие

АПФ =

(13)

(15)

ф(а?>0, х ё 5П,

(16)

а для вихря скорости выбираем в виде формулы Тома. Например, для левой границы положим

' 1 1

т^ТПС^Т,

д -тот '"2

(17)

Введем.вспомагательную функцию, определенную равенствами г _ _г_

| '"от ~~ IX,

II

Тогда, с учётом краевых условий вида (16),(17) уравнение (15) для ю.ф можно представить в следующей форме йе( С» - (ю <1»>°> = Аьф - Вф +

А ф = V) I ( С

(18)

с однородными краевыми условиями фгш, т.е.

ф = 5 = о, х € ЗП .

Оператор В определяется следующим образом:

(15)

ВФ^ - г[11 (6*4 ск-ы1"1) + (в111'1 ♦ о^-1 ^Ф^ .

к=1,й,-1, т=Т7НГ^Т,

г о, кг® где вз»г 11, Ы

т - символ Кхюнекеиа.

Слеловательно, конечно-разностную задачу (15)-(17) свели к задачам изученным в параграфе 1. Далее, для реализации решений разностной задачи (18)-(19) рассмотрим итерационную схему виде

_ и;п '

-^-+ 1(иР,фп+1/г)= - Вй^+1/£ + ;

'"> А <|Р+1/2 = цР+1/2 в

1 „Я+1/2

ПР+1 _ ВТ

= А (ИР+1 - ВР),

Т п1

гг

фП+1/2 = фп+1=0, X € 9П . (22)

т п

Имеет место еле дутая

Георама 3. Для решения заданы, (20)-(22) справедлива оценка

!уП|п> = , + ^»^»^СЧи) «^«т +

где ае.^ тт^1- , е0 < а:0. Имеет место следующая теорема-сходимости итерационного процесса.

Теорема 4. Пусть Выполняетея условие

о 4

4- - - С,ф|Э1- >0' с(п)=са1п Г •

Тогва существует постоянная. а0 < 1, и шгеезг лесто оценка ¡2*1* = |ф*+1 - ф|2 " + Т2^ -

[Я 1 "" - ' * ' *

т..е. итерация при п—а> сходится к решению задачи (18), (19)

Далее рассматривается вопрос о корректности разностных схем (18),(19). Доказывается, с помощью леммы Брауэра, существование хотя бы одного решения. Исследуется устойчивость по правым частям и доказывается сходимость разностного решения задачи (1В), (19) к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью О).

В §3 рассматривается итерационный метод в методе фиктивных областей для уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скоростей в односвязной области. Решаем задачу (13), (14) методом фиктивных областей:

йе[«|£ юе)ж - щ* шЕ)у]= ДшЕ + Фе + / вй0,

Дф£ = Е)е,

ф61г = о,= о, ^

В работе Бугрова А.[34] исследована сходимость решения линейного варианта уравнения (2.22),к решении линейного варианта уравнения (4),(5) при е—*о.

Для численного решения задач (23) построим итерационную разностную схему: аг1+1/2 - аР

-?-+ Де[«|£+1/2 Ф). - (ф?+1/? иг1).] = А иг1 +

£ (£") _ . < ¡г,

+ __ + и (24)

А (!/1+1/2 = Ьр+иг . гу

-^-= Дп(шя+1- аг1),

Афп+1=шп+1, (25)

Л'

ф°+1/2| =0. • г г

1 II 1 п

В силу теоремы 1 доказывается оценка скорости сходимости итерационного процесса

¡фп+1-фг|2 * «г а(|ф° - фЕ1^ + - ).

п п п п

где о < с^ < 1.

В §3 исследуется сходимость итерационного метода в методе фиктивных областей для уравнения Навье-Стонса в переменннх функции тока и вихря скоростей в многосвязной области. Решаем задачу (4),(6) методом фиктивных областей:

ДеС (ФрЬ*)^ - (ф^»®) 3 = йху^ - (26)

дф® = аг,

ч> —ш-

17

ЗФе Г /, х £ а

-о, { о. i É^VQ,.,

т - . (27)

8ф г a g S т, .

W|7e 4= [эй-®8-— = ° •

^ " l'y

- 'i

- означает приближенное значение внутри и вне* границы

Î-»

Сходимость решения задач (26),(27) к решены) задач (4),(6) при 5—»о доказана в работе Смвгулова а Орунханова [42].

Предлагается итерационная разностная схема для численного

решения задач (26),(27) и доказывается сходимость итеращкн ного процесса, причем скорость сходимости итерационного прс цесса не зависит от обусловленности задачи, т.е.от малого I .раметра б. '

В §4 обсуждается численнаг реализация предложенного итерационного метода в §2,§3. Основная трудность заключается з построении аффективного итерационного метода решения следа щвго разностного уравнения:

= О . (28)

К

А - ( ^ V фп+1/г)= /

п~ л £ п^ * п

фа+1/'г1 = О. (29)

Задачи (28) и (29) можно решать модифицированным треуголънз методом ели методом, предложенным Бугровым. Далее, проводились методические численные расчёты. Расчёты показывают, что теоретические результаты подтверждаются эк( периментамк.

В главе 2 исследуется сходимость разностного решения сх( Полежаева для бигармонического уравнения. Существует два о< признанных подхода аппроксимации граничных условий уравнена Навье-Стокса в переменных функция тока и вихря скоростей. ЛэрвыЕ-с граничными условиями Тома, Вудса, Иенсена-Кусково) т.п.

Второй подход, разработанный в работах Полежаева, Грязнова, лвчается в использовании краевых условии для функции тока, гасредственно аппроксимируя первые производные для ф на иице расчетной области. Математическому обоснованию выше

ванных обоих подходов посвящена ограниченное число работ. *

1 исследуется устойчивость разностного решения по гранич-[ данным в пространстве Я1? (П }.

¡смотрим первую краевую задачу для дифференциального урав-ия четвертого порядка в области:

П = (о < г, г., о ^ х, « г?},

АгФ = /(X),

Ф(я)7 = о, т= ап , (30)

• аф

(о,хг) = а0(х2) , (х,) при о « хг < 1г ,

<3ф - • ^ <31)

(х,0) = б0(х1) , — (х,12) = бн (хг) при о ^ х1 « 1Г дхг 2

дположим, что выполнены необходимые условия согласования.

бласти С1 построим равномерную сетку = {(Ш^.Л^), и рассмотри»

ностную схему, ашроксимирущур задачу (30), (31).

ЛпДп^и = Ал ^.....

'.?2!

дС.^

роксимируем граничное условие (31) следующим образен»

* <ф,а - Фгд Зф, -44

2 (33)

гп* ' -~5L-= Ч'

i=t,il -1.

Доказываются следующие теоремы

Теорема 5. Пусть выполнены условия согласования (30), (31)

f(x) е ¡?^2(Пп), а,е = о. Тогда cxejza (32),(33) устойчива по правой часш и для решения имеет jmaani оценка

1Ф1 р « CJ/J _г

гае |/| _г = тф|(/,ф)|/|ф| _2

w ) w * со ) '

л Hn zi

1ф3 _г ■+■ о.

2хг и

Теорема б. (сходимости). Пусть для решения задач (30),(31) достаточно гладко выполнено необходимое условие согласовании Тогда решение задан (32),(33) сходится к решению задач (30), (31) со скорость»

1Ф -Чи!2* « С^3. vpu-

В главе э рассматривается численное моделирование

ной задачи протекания с негаданным расходом. Такая задача тречается на практике, например, течение воздуха в нагретой чи, градирни в солнечной мельнице и другие технические за-чи.

3 §1 дана постановка задачи и основные .дифференциальные азнения. В двухмерной области О, типа тройник, рассмотрим стему уравнений (1)-(3) в следующей безразмерной форме

Зй 1 Зг д -к (Й7)Й - vi) -- Ли -

■3-е ' Не Р*е~\Ц\

Ич й = О,

36 1

-+ \Тв?)В = - А8,

. 'Ж Рг*Вв

(34)

э 5(0,-д),

ЗРДв!3

От ---— - число Грасгофа.

г¡^

Рг = vЛ - число Прандтля. - характерная разность температур. Для определения зависи-I переменных й,р,8 из уравнения (34) рассмотрим следухеше швые условия:

га верхней и нижней твёрдых стенках u=v=0, а для темпа-

затуры 9=о или зе п „ д .

•'г --- о и 6=1 соответственно

Оп

!вим "мягкие" граничные условия. Постановку граничных ¡ач на входе определим таким образом, чтобы при атом двике-

ние жидкости в большей степени определялось только тепловой конвекцией. Предположим, что

дв

11=0, Vrü0uQ(y), е= eo(y) или = О , (35)

где ü0(y), е0(у) - заданные функции, u.Q=const, которую нужн определить. То есть на входе рассмотренной области задается только форма профиля нормальной компаненты вектора скорости. Для определения константы uQ дополнительно потребуем, задани разности давлений в двух точках:

Р(А) - Р(В) = Ар. (36)

Заметим, что наиболее характерным для данной постановки краевой задачи является невозможность определить значение расхода жидкости. Такая постановка задачи для уравнения вязкой нескимаемой жидкости рассмотрена в настоящей работе впервые.

В §2 дабтся численный алгоритм (34)-(36). Определяется алгоритм по следующей схеме при заданном uQ решением задач (34), (35) но методике приложенной в параграфе 2 главы 2. Следукщ номер итерации для и0 выводит формулу из соотношении (36). В- §3 обсуждаются численные результаты. Результаты даны в вщ таблицы и графиков. Графики объясняют физический смысл.

ВЫВОДУ:"

1) Построены итерационные разностные схемы для одного класс; нелинейного операторно-разностного уравнения. Доказана, сходимость итерационного процесса со скоростью геом9триче< кой прогрессии.

2) Предложен вычислительный алгоритм решения стационарного

уравнения Навье-Стокса в одеосбязной области. Получена теорема сходимости итерационного метода при малых числах Рейнольде а.

3) Разработан вычислительный алгоритм решения стационарного уравнения Навье-Стокса в переменных "функция тока - вихрь скорости" в многосвязной области. Исследована сходимость итерационного метода. Проведены методические численные расчеты. Расчеты показызают, что теоретические результаты подтверждаются экспериментами.

4) Исследована устойчивость разностного решения по граничным данным схема Полежаева для стационарного линейного уравнения Навье-Стокса в пространстве Соболева Доказана теорема сходимости разностного решения.

5) .Рассматривается одна неклассическая краевая задача для уравнения Навье-Стокса в переменных "функция тока - вихрь скорости" с незаданным расходом. Создан численный алгоритм. Проводились численные расчёты на ЭВМ для широкого диапозона параметров. Результаты расчетов представлены в Еиде графиков и таблицы.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю проф. Смагулову 1., доценту Данаеву Е.Т., за постановку задачи и за научные консультации в ходе выполнения работы.

Публикации по теме диссертации: I. Алибиэв Д.Б. Об одном методе приближенного решения уравнения Навье-Стокса. Сб.КазГНУ, 1991г. Математическая кибернети-

-23-

ка и управление движением, -с.36-44Г

2. Алибиев Д.Б., ТемирОеков Н.М. Численный расчёт вязкой кимаемой жидкости через пористые среды методом фиктивных ластей. -М.1£©2.-ес.-Деп.в КазКИИШй. 27.10.92,Л 3885-92.

3. Алибиев Д.Б., Данаев Н.Т., Смагулов Ш. Численное решен задачи тепловой конвекции с незадонным расходом. -М.19ЭЗ. -ЗОс.-Деп.в КазНДОШКИ. 19.05.93, Л 4261-93.

4. Алибиев Д.Б., Данаев Н.Т., Смагулов Ш. Исследование разностного решения схемы Полежаева для бигармонического уравнения.-М. 1993. -30с.-Деп. в КазНШНКИ. 19.06.33,» 4296 Б. Алибиев Д.Б., Данаев Н.Т., Смагулов Ш. Об итерационном тоде решения одного класса операторно-разностных уравнен -М.1993.-30с.-Деп. в КазНШЖИ. 24.05.93, Я 4323-93.

6. Алибиев Д.Б., Темирбеков Н.М. Метод разделения облаете для решения уравнения Навье-Стокса с быстроменяющимися ко фициентами. //Тез.докл.конфер.молодых ученых КазГНУ, Алма -25-26 «арт 1993.-с.З.

Злибиев ¿©улет Болешулы-(*.«}- айнымалылы Назье-Стокс тендеулерж шешудеп кейб1р итераниялык элiстеpi -Бул жуныста Навье-Стокс юнлеулершш бiр салалы жзне кеп са-лалы облыстардагы унемд!-тшкип айырымдылык курыльктары болжанган-Итерациялык процестердш ашдамдыгы геометриялык прогрессиядай жи-чакпьлкгы алынган-

Соболев KeHicTiriHjeri стаиионарлы сызыктык Навье-Стокс так-деулершш Полежаев курылысындагы айрымльшж шешушж орндаталыгы ь-грттэлген, жинактылык теоремасы дзлелденгеч-

Ссы жумыста тагы бip Навье-Стокс тенлеуже арналган шект!к ¿сел караотырылган-Бул есеп Навье-Стокс тендеу'жт (*•«) айньма-лысындагы яылдашшктардын берьтмеу'ше байланыстььсондыктан.ол ал-дагы уакытта улкен манызы бар- Зертгеу барысында ЭВМ машинасынла--г-?ПТ9УЛер ху?г ! 3 ! лд! .

Alibisv Daulet Budeshcvich About some Iteration methods for Navie-Stok's equation In "function of current and. whirlwind of velocity" variables.

In the research work for the first time the correctness of economical different scheme for Navye-stocic's eguation In variable guantlty "current function and speed vortex" in the one-tied and raultitie<l fields was formed and Investigated. The fitness of Interatlve storocess with the geometrical progression speed is achieved.

The stability of different olutlon on bormdary data of Polejhaev scheme for the Navye-Stok's stationary linear eguation in the Sobolyev space w|(Qn) investigated. The theorem of different solutions fitness is proved.