автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Нестационарные модели в теории гидравлических цепей

, .-5 |-Г/'| --.Г'1 • С - "

Российская Академия наук. Сибирское отделение Институт систем энергетики им. акад. Л.А.Мелентьева

На правах рукописи

УДК 536.7 + 519.9 + 518.5 532.54

Балышев Олег Анатольевич

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ГИДРАВИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

(на примере трубопроводных систем энергетики и коммунального хозяйства)

Специальность 05.13.16. -применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (энергетика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Иркутск 1998

Работа выполнена в Институте систем энергетики им. акад. Л. А.Мелентьева СО РАН

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор М.Г. Сухарев,

доктор технических наук, профессор А.З. Гамм,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Е. Бояренцев.

Ведущая организация - Иркутский Государственный технический университет.

Защита диссертации состоится 2 декабря 1998 г., в 9 - 00 час. На заседании специализированного Совета Д 002.30.01 при Институте систем энергетики СО РАН по адресу: 664033,г. Иркутск, ул.Лермонтова, 130, ИСЭМ СО РАН.

Отзывы и замечания в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по указанному адресу на имя ученого секретаря Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института систем энергетики им. акад. Л А.Мелентьева СО РАН.

Автореферат разослан «_»_1998 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета Д 002.30.01 ,

доктор технических наук _A.M. Клер

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современные трубопроводные системы централизованного снабжения, в частности, водо- и теплоснабжения являются уникальными физико-техническими объектами и неотъемлемыми частями энергетики и народного хозяйства страны, регионов, городов и промышленных центров. Они характеризуются иерархичностью, крупномасштабностью, сложностью, многокритериальностыо задач управления и длительностью периодов функционирования и развития, что приводит к появлению у них целого ряда качественно новых свойств, сравнительно с локальными системами аналогичного назначения и переводит их в класс сложных структур.

Все это повышает требования к качеству проектирования систем, усложняет задачи управления их развитием и функционированием, ставит вопросы выбора рационального регулирования процессов производства, транспорта и потребления энергоносителей в нормальных и экстремальных ситуациях.

Решение этих проблем, направленных на обеспечение устойчивости процессов развития и эксплуатации трубопроводных систем централизованного снабжения, требует рассмотрения не только стационарных, но и происходящих в системах динамических процессов.

Все более интенсивные процессы старения систем, с одной стороны, и современные тенденции их, реконструкции на базе новых технологий, оборудования, измерительной и регулирующей аппаратуры, ставшие доступными в новых экономических условиях, с другой, - еще более увеличивают необходимость решения динамических задач, связанных с регулированием систем и их управлением в ходе развития и эксплуатации.

Некоторые из этих задач требуется решать в реальном масштабе времени, чтобы оперативно воздействовать на режимы работы системы, обеспечивая либо эффективность, либо допустимость этих режимов.

Возникновение нестационарных (переходных) процессов в трубопроводных системах связано: с изменением режимов работы насосных агрегатов у источников и в сети, вызванных: возмущающими воздействиями со ' стороны потребителей; аварийными и плановыми отключениями и пусками насосов; изменением степени открытия или аварийным закрытием запорной и запорно-регулируюшей аппаратуры.

Нестационарные процессы могут сопровождаться существенными отклонениями параметров систем от некоторых стационарных значений, соответствующих нормальным рабочим режимам. Это особенно важно в случае изменения давлений в трубопроводах и насосах, поскольку оно может привести к разрушению оборудования и серьезным авариям.

Таким образом, необходима постановка и решение задач, связанных с анализом в динамике реакции систем трубопроводного транспорта на различные внутренние и внешние возмущения.

Некоторые подходы к разработке динамических моделей трубопроводных систем и протекающих в них процессов уже получили определенное развитие в работах отечественных научных школ и организаций. В рамках теории гидравлических цепей (ТГЦ), основы которой были сформулированы В.Я.Хасилевым и А.П.Меренковым (Сибирский энергетический институт СО РАН) в начале 60-х годов, это работы Б.Н.Громова и В.Г.Сидлера. Велись и ведутся сейчас исследования в Институте гидродинамики СО РАН (Новосибирск) - школа О.Ф.Васильева, А.Ф.Воеводина. Переходными процессами в трубопроводных системах разного типа занимались Б.Ф.Лямаев, И.А.Чарный, К.П.Вишневский, В.В.Грачев и другие исследователи.

Однако эти работы не исчерпывают всех теоретических и практических аспектов рассматриваемой проблемы. Необходимо дальнейшее развитие имеющихся и разработка новых подходов к постановке, описанию и решению динамических задач, связанных с управлением развитием и функционированием трубопроводных систем, их регулированием, оцениванием состояния и т.п.

Целью работы является создание на основе теории гидравлических цепей новых сетевых моделей нестационарного потокораспределения в сложных трубопроводных системах. Строгий математический анализ возможностей моделей нестационарного потокораспределения и разработка вычислительных методов реализующих эти модели.

Основными задачами работы являются:

1. Постановка и формализация задачи нестационарного потокораспределения для многоконтурных трубопроводных систем с сосредоточенными параметрами в терминах теории гидравлических цепей.

2. Вывод различных (динамических, стационарных) замыкающих соотношений для участка гидравлической цепи на базе

общей системы уравнений движения сплошной среды при различных ограничениях. '

3. Трансформации '' системы алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений к системе нелинейных дифференциальных уравнений типа Риккатис использованием преобразований теории гидравлических цепей. '

4. Обобщение экстремального подхода к решению задач стационарного потокораспределения в гидравлических цепях на постановки вариационных задач нестационарного потокораспределения.

5. Доказательство существования и единственности решения задачи Коши для векторно-матричного уравнения типа Риккати.

6. Развитие методов решения обратных задач потокораспределения и задач идентификации гидравлических цепей с учетом нестационарных процессов в трубопроводных системах.

7. Постановки и решение задач анализа чувствительности и устойчивости гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами.

Результаты решения этих задач и выносятся на защиту.

Методы исследования. Работа базируется на подходах и математическом аппарате механики сплошной среды и теории гидравлических цепей. Широко используются также теория графов, алгебра матриц, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория инвариантов и линейных преобразований, методы линеаризации, методы исследования устойчивости и чувствительности систем и др.

Применение математического арсенала демонстрируется на разнообразных примерах гидравлических цепей. Результаты для обозримых пространств переменных • , представлены геометрическими интерпретациями.

Полученные теоретические результаты ( подкреплены численными исследованиями и экспериментальными данными.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

1. Предложен . новый сетевой подход к построению математических моделей нестационарных процессов в трубопроводных сетях.

2. На основе общих уравнений гидродинамики и переменных параметров теории гидравлических цепей разработана методика вывода замыкающих. соотношений, и получены конкретные зависимости.

3. На базе экстремальных моделей стационарного потокораспределения поставлены прямые и обратные вариационные задачи.

4. Применительно к задачам нестационарного потокораспределения в трубопроводных системах обосновано преобразование системы алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений к системам нелинейных дифференциальных уравнений типа Риккати.

5. Получено конструктивное (с помощью степенных рядов) доказательство существования и единственности решения задачи Коши для векторно-матричного уравнения Риккати, позволяющее строить эффективные вычислительные алгоритмы.

6. Методы решения обратных задач потокораспределения и задач идентификации трубопроводных систем обобщены на нестационарные процессы, что позволяет более эффективно использовать данные измерений при решении эксплуатационных задач.

7. Разработаны подходы к решению задач чувствительности (реакции системы на изменение внутренних параметров) и устойчивости (реакции системы на изменения внешних параметров) гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами.

Практическая значимость. Методы, изложенные в работе, могут быть использованы: для изучения нестационарных режимов и . трубопроводных систем, анализа стационарных точек (установившихся режимов) в трубопроводных системах; при принятии решений в процессе управления системами тепло-, водо- и газоснабжения для обеспечения устойчивой траектории их развития; для расчета регулирующих устройств.

Разработанные постановки и методы решения прямых и обратных задач нестационарного потокораспределения являются чувствительным инструментом анализа реакции систем на динамично изменяющиеся внешние воздействия, как определенного, так и вероятностного характера.

Созданные модели и методы позволяют анализировать трубопроводные системы с учетом характерных для них свойств: нелинейности и динамичности при детерминированных параметрах, а в дальнейшем могут служить базой для анализа и стохастических возмущающих воздействий.

Использование результатов. Защищаемые результаты использовались в научных исследованиях, проводимых отделом

Института систем энергетики СО РАН по совершенствованию структуры, методов и вычислительных процедур для управления системами централизованного снабжения в новых хозяйственных условиях, а также по термодинамическому моделированию пространственных структур; при разработке учебных курсов «Математические задачи энергетики», «Оптимизация режимов» и «Надежность и эффективность систем электроснабжения» в Иркутском техническом университете; в работах по грантам РФФИ: 1994-1995 гг. «Термодинамические интерпретации теории гидравлических цепей» и 1997-1998 гг. «Развитие методов теории гидравлических цепей для управления развитием и функционированием трубопроводных систем энергетики в новых экономических условиях». Отдельные защищаемые результаты могут быть использованы при разработки подсистем оперативного оптимального управления режимами систем централизованного снабжения. Программы экспресс-расчетов нестационарного и стационарного потокораспределения содержат адаптивные приемы ускорения вычислительных процессов.

Апробация результатов. Положения работы докладывались и обсуждались на семинарах, конференциях и симпозиумах разного уровня:

Сим.80. Системы энергетики - тенденции развития и методы управления, г.Иркутск, 1980;

Всесоюзная научная конференция, г.Баку, 1982;

Международная конференция "Кризисные ситуации в энергетике: технико-экономическая оценка и моделирование решений по их нейтрализации", г.Киев,1994;

Конференция "Математическое программирование и приложения", г.Екатеринбург, 1995;

Международная конференция "Проблемы управления в чрезвычайных ситуациях", г.Москва, 1995 и 1997;

Международная конференция "Математические модели и методы механики сплошных сред", г.Новосибирск, 1996;

Международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», г.Иркутск, 1998.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 научных работ, в том числе: статьи в центральных журналах - 10; монографии (в соавторстве) - 5 и препринты - 4. Публикации отражают основные результаты разделов диссертации.

Структура и объем работы. Работа содержит 404 страниц основного текста с 72 иллюстрациями и 5 таблицами. Текст состоит из введения, восьми глав и заключения. Основной текст сопровожден списком литературы из 268 наименований.

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1. Общие положения и описание объекта исследования.

Проблема взаимодействия деформируемых трубопроводных систем с протекающими в них жидкими или газообразными средами привлекала внимание исследователей в течение длительного времени. Первые высказывания о необходимости связать процессы движения сплошной среды с процессами изменения упругости трубопровода были сделаны И.Ньютоном более 300 лет назад. В пятом отделе «Начал» «О плотности и сжатии жидкости в гидростатике» И.Ньютон замечает: "... если эта жидкость заключена в сосуд не твердый и не везде испытывает одно и то же давление то она по определению уступает более сильному давлению..." и "... движение частей жидкости друг относительно друга не может быть изменено приложением давления к внешней ее поверхности, если только сама эта поверхность где-либо не изменится...".

Впоследствии эта тема интересовала многих исследователей (Томас, Вебер, Резал, Кортевег, Громеко, Ламб), а в 1899г. Н.Е.Жуковский опубликовал работу «О гидравлическом ударе в водопроводных трубах», в которой сформулировал модель нестационарного процесса в отдельном длинном трубопроводе с позиций волновых процессов и с волновыми функциями.

В дальнейшем, трубопроводные системы централизованного снабжения развивались, превращаясь в сложные многокольцевые технические системы, насыщенные разнообразной аппаратурой измерения и регулирования, что естественно усложнило задачи моделирования динамических процессов. Значительный вклад в исследования переходных процессов в системах водоснабжения внесли отечественные (М.А.Мостков, А.А.Сурин, И.А.Чарный, Л.Ф.Мошнин, А.Ф.Мостовский, Г.И.Кравченко,

Н.А.Картвелишвили, Б.Ф.Лямаев, О.В.Васильев, К.П.Вишневский) и зарубежные (Л.Алиеви, В.Ангус, Л.Бержерон, В.Стритер, Д.Фокс, Х.Христов и др.) исследователи. Первые работы по переходным процессам в системах централизованного теплоснабжения принадлежат Б.Н.Громову и В.Г.Сидлеру. Известны также работы в

области пневмогидравлических (Б.Ф.Гликман) и газоснабжающих (В.В.Грачев, С.Г.Щербаков, Е.ИЯковлев и др.) системы.

Основной теоретической базой большинства работ являлась модель Н.Е.Жуковского с некоторыми уточнениями и расширениями. Сетевая специфика задач учитывалась недостаточно и при реализации математических моделей возникали'трудности согласования в каждом участке сети для уравнений в частных производных.

В данной работе предлагается новый сетевой подход к постановке и решению задач нестационарного погокораспределения. Объектом изучения здесь являются трубопроводные системы транспорта массы и энергии (системы водо- и теплоснабжения). По этим системам осуществляется транспорт воды, которую можно рассматривать как несжимаемую капельную жидкость. Процессы движения такой жидкости в теории гидравлических цепей моделируются цепями с сосредоточенными параметрами. Изменение параметров в системах рассматривается, как динамический процесс, рассматривается также эволюция самих систем. Равновесные состояния исследуются как возможные стационарные точки динамических процессов.

Основным инструментом анализа динамических процессов в работе приняты алгебраический и экстремальный методы математического моделирования потокораспределения в системах.

2.2. Вывод замыкающих соотношений.

При описании стационарных процессов движения жидкости в трубопроводных сетях В.Я.Хасилевым был сформулирован ряд фундаментальных понятий. В частности - обобщенные параметры участков: объемный (в случае несжимаемой жидкости) или массовый (в случае сжимаемой жидкости) расход (л или G) и потеря давления или удельная потеря давления (линейная аппроксимация функции изменения давлений по длине участка) (А). Они оценивают состояние участка, а при обобщении - и состояние изучаемой трубопроводной системы в целом. В стационарных задачах эти параметры постоянны или зависимы от режимных параметров (.г, = const, h, - const или х, = Да,,/г,), й,- = g{xbh,)) в зависимости от классификации гидравлических цепей. В настоящей же работе они рассматриваются как функции времени (х, = x,{t), hi =

т-

Следующее фундаментальное понятие, введенное ВЛ.Хасилевым, - это определение уравнения связи параметров

участка, известное сейчас как замыкающее соотношение. В случае изучения установившихся или стационарных процессов оно выражается нелинейным алгебраическим уравнением, выведенным на основании известного закона Дарси (И который хотя и является следствием законов сохранения, но практически не поддается формализованному выводу.

Учет зависимости параметров участков от времени в динамических задачах потребует некоторого отступления от формулы Дарси. Основываясь на фундаментальных законах сохранения в процессе движения сплошной среды, на прининмаемых вариантно предположениях о виде формулы Дарси, а также на гипотезе двухчленного описания движения вязкой жидкости Ньютона, в работе сформулирован общий подход к выводу замыкающих соотношений.

На основе законов сохранения массы, движения и энергии, учитывая несоизмеримость геометрических характеристик участка (О « Ь диаметр много меньше протяженности), можно записать следующую систему уравнений:

■ неразрывности потока

др , др , ди> .

+ № — + р--=0 ,

дС дх дх

■ импульса движения

дм 5м> ^ д , _ , йн1 „ ...

(-Д + А— +2^—), (1)

сХ дх дх дх дх

■ энергии движения

,ди ди. „дм д „ дТ. да , от дх дх дх дх дх

которая является одномерным следствием известной в гидродинамике системы уравнений Навье-Стокса,. использующей гипотезу Ньютона о распределении напряжений при движении вязкой жидкости.

Здесь: х, / - соответственно, координаты пространства и времени; р, V, Р„ Т, и - соответственно, плотность, скорость, давление, температура и внутренняя энергия, - распределенные по протяженности участка параметры движущейся среды;

- некоторые параметры, характеризующие гравитационные силы, поверхностные и массовые источники энергии и вязкостные свойства среды.

Из системы уравнений (1) при различных предположениях: изотермичности (Т = const) или адиабатичности (q = const) процессов; несжимаемости (р= const) или сжимаемости {р =f[P,T))

жидкости; установившемся (— = 0) или неустановившемся (— * 0)

dt д t

течении; вязком по Ньютону (А— + 2ц — = var) или

дх дх

и / д г,, , ~ Ч дм дн> Хр 2ч

квадратичном по Дарси (—[(Я + 2¡л)—1 - рм — = —Чг-м)

дх дх дх 20

режиме движения, и введением обобщенных параметров для участков сети, получены разнообразные замыкающие соотношения для идеализации гидравлических цепей: как с сосредоточенными, так и распределенными параметрами; как при установившихся, так и неустановившихся режимах течения жидкости на участке трубопроводной системы. Так, в частности, для несжимаемой жидкости, при изотермическом процессе, с учетом закона Дарси получены следующие замыкающие соотношения:

для стационарных для нестационарных

режимов: режимов:

:=+я h{i)=4цdx + л

nlD5 * kD1 dt n2D5

Следовательно, из общей системы уравнений гидродинамики Навье-Стокса для описания связей обобщенных параметров участков трубопроводной системы, как следствия при различных принимаемых предположениях, можно получить как уравнения в частных производных типа уравнений Н.Е.Жуковского, И.А.Чарного, К.П.Вишневского, Б.Н.Громова-В.Г.Сидлера, для распределенных параметров (скорости движения и давлений) без преобразований к обобщенным параметрам, так и замыкающие соотношения в виде алгебраических или обыкновенных дифференциальных форм вида (2) относительно введенных обобщенных параметров участков гидравлической цепи.

Таким образом, следуя принципу "от общего - к частному", предоставляется возможность формирования механизма получения замыкающих соотношений, как следствий из общих законов

И

сохранения и фундаментальных уравнений, на базе определенных и правомочных для рассматриваемой стадии идеализации предположений и преобразований при введении обобщенных параметров состояния. ;

Математическое описание относительно переменных, мржет иметь различный вид, а следовательно, и в дальнейшем различаться по вычислительной работе, но все эти модели эквивалентны по физической сути и при сведении в пространство тождественных параметров.

Дополнительный эффект такого подхода, выражается в строгой классификации цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами. Так, в частности, для несжимаемой жидкости:

R = R(D,L), S = S(D,IL) и Hg = Hg(L) ■ - сосредоточенные параметры;

(3)

L L L

R = J0(P,w)dl , S = ¡p{P,w)dl и Hg — \w{P)dl о о 0

- распределенные параметры.

Если в известные при описании нестационарных режимов в трубопроводных системах уравнения в частных производных ввести обобщенные параметры, то после преобразований получим следующие следствия для установившихся режимов:

уравнения Н.Е.Жуковского h - const;

уравнения И.А.Чарного h=Sx\ (4)

уравнения К.ПВишневского и Громова-Сидлера /г = Sx2.

23. Алгебраический подход к формированию динамических моделей гидравлических цепей.

Развитие подхода, описанного при выводе замыкающих соотношений, при некотором смещении ракурса преобразований общей системы уравнений гидродинамики в сторону аппроксимации непрерывных уравнений в частных производных на выбранном дискретном пространстве позволяет доказать, что именно законы Кирхгофа, являются следствиями аппроксимации при преобразовании сплошного пространства в граф. Поэтому они применимы и для сетевых постановок. Этот прием использовался

Кирхгофом при выводе законов сохранения для электрической цепи по данным экспериментов на непрерывных электропроводящих пленках.

В.Я.Хасилевым и А.П.Меренковым была применена векторно-матричная запись законов Кирхгофа для обобщенных параметров многоконтурных, активных и открытых, цепей при математическом описании установившихся или стационарных режимов в цепях с сосредоточенными параметрами.

Применение законов Кирхгофа относительно обобщенных параметров для изучения стационарных режимов потокораспределения в гидравлической цепи не вызывает возражений. И при переходе к описанию и изучению нестационарных режимов их применение оказывается не только правомочным, но и дает определенные преимущества по сравнению с моделями Н.Е.Жуковского, И.А.Чарного, К.П.Вишневского и Громова-Сидлера.

В предположении, что законы Кирхгофа действуют в любой момент времени, справедлива запись следующей системы уравнений:

где А и В - матрицы-инварианты, описывающие геометрическую структуру заданной и изменяемой во времени трубопроводной системы. Матрица А описывает связи между участками и линейно-независимыми узлами гидравлической цепи, размерностью (д-1 )-р. Матрица В описывает связи между участками и линейно-независимыми контурами, размерностью с-р. Здесь сохранены традиционные обозначения инвариантов графа гидравлической цепи: д - количество узлов графа, р - количество участков, с -количество линейно-независимых контуров гидравлической цепи.

Совместив описания (5) и (6) сетевых законов сохранения относительно обобщенных параметров с полученным ранее описанием замыкающих соотношений на каждом участке гидравлической цепи, получим математическую модель нестационарных режимов вида:

(5)

2-ой закон Кирхгофа В й(0 - О ;

(6)

A(t)x(t)=Q(t) ,

B(t)f,(t) = 0 , (7)

hi0 = R,(t) + x,2(t) + Hgl(t) - Щ1), г = 1,2,.., p.

at

Эта система алгебро-дифференциальных уравнений, является обобщением известной в теории гидравлических цепей системы нелинейных алгебраических уравнений стационарного или установившегося потокораспределения, которую легко получить из системы (7) в предположениях, что гидравлическая цепь не изменяется во времени, т.е. A(t) -А и B(t) =В, и скорость изменения

dxXt) п

расходов на участках цепи мала, т.е. —- 0, после чего имеем:

at

Ах = Q ,

Bh = 0 , (8) •

h^Sixf + Hgi-Hi ,/ = 1,2,..., р

следствие из системы (7). Здесь и далее: Q - мощность источников или нагрузка потребителей; Hgi - гравитационный напор ¿-го участка; Я, - известный действующий (активный) напор на г'-м участке.

Система уравнений (7) может быть трансформирована в систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка путем подстановок и линейных преобразований, называемых В.Я.Хасилевым преобразованиями к хордовым расходам. Они позволяют получить систему уравнений с минимальным количеством нелинейных уравнений с искомыми в пространстве контуров (с-пространстве). Последовательно применим эти преобразования к системе уравнений (7): первоначально подставив замыкающие соотношения в уравнения 2-го закона Кирхгофа, тем самым получим смешанную систему алгебро-дифференциальных уравнений относительно искомых функций (расходов на участках гидравлической цепи) в р-пространстве, а затем воспользовавшись линейностью уравнений 1-го закона Кирхгофа, выразим (q-1) неизвестных расходов через оставшиеся с-расходов и подставим в полученные уравнения 2-го закона Кирхгофа. После преобразований последней системы получим ¿-уравнений с с-искомыми функциями, которая в с-пространстве запишется:

RcO) + S'c(t) xc\t) + S"c(0 xM + at

4-Я(ОВД-Ф(Я,а^г) = 0, (9)

at

где Яс(0, Я'с^), 5"с(0 - обобщенные квадратные положительно

определенные матрицы гидравлических свойств цепи, Ф(Н,0, —) -

Л

обобщенная вектор-функция внешних возмущений (изменение активных напоров, производительности источников и нагрузок потребителей).

Таким образом, можно констатировать факт, что математическое описание нестационарных, неустановившихся, переходных режимов гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами укладывается в рамки систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, известных в теории дифференциальных уравнений, как уравнения Риккати.

2.4. Математические особенности матричного уравнения Риккати.

В результате линейных преобразований и подстановок удается представить динамическую модель гидравлической цепи с сосредоточенными параметрами в виде векторно-матричного уравнения типа Риккати:

^^ + P(t) Y(t) + Q{t) Y\t) + R(t) = 0 . (10)

Теоретически доказано, что уравнение Риккати при произвольных коэффициентах неразрешимо в квадратурах. Это утверждение распространяется и на векторно-матричное уравнение (10), а следовательно, невозможно получить аналитическое решение этого уравнения для многомерных систем. Тем не менее, определенную пользу может оказать анализ простейших одноконтурных цепей, где в качестве математического описания нестационарных режимов имеем уравнение Риккати в естественном виде, а для него, при известном частном решении, можно получить тождественный аналог в виде линейного дифференциального

уравнения второго порядка. В свою очередь эти решения связаны между собой нелинейным дифференциальным уравнением.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка позволяет провести анализ поведения искомой функции в зависимости от коэффициентов уравнения на основе определения и анализа собственных чисел. Для уравнения второго порядка

адЛ^-ад^ в-0

аг ш

характеристическое уравнение запишется в виде: Щ{) А2 - к + Ф(г) = 0.

Теоретически возможны три случая вида корней характеристического уравнения: действительные разные, действительные равные и комплексные сопряженные в зависимости от значения дискриминанта. Это соответствует трем видам решений: экспоненциальное возрастание или убывание; равномерное или постоянное и тригонометрическое или колебательное.

Необходимо заметить, что аппарат собственных чисел необходим для построения и анализа решений системы дифференциальных уравнений, но в дальнейшем может быть очень полезен при изучении задач чувствительности и устойчивости траекторий динамических систем.

При переходе к многомерным системам, метод анализа решений на базе собственных чисел становится чрезвычайно трудоемким, поэтому возникает необходимость анализа численных решений. Численные решения, в основном, используют разнообразные степенные ряды, что позволяет строить различные рациональные и конструктивные алгоритмы.

Конструктивный метод, основанный на степенных рядах и их свойствах, использован для доказательства существования и единственности решения векторно-матричного уравнения (9), дополненного определенными начальными условиями. Понятно, что алгебраический подход к описанию нестационарных режимов гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами, использующий 1-ый и 2-ой законы Кирхгофа и замыкающие соотношения в виде дифференциальных форм, в с-пространствс приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений,

которые при определенных начальных условиях имеют

единственное решение.

»

2.5. Экстремальный подход к моделированию нестационарных режимов гидравлических цепей.

Идея экстремального подхода применительно к описанию установившегося потокораспределения в гидравлических цепях была сформулирована В.Я.Хасилевым. Ее различные математические оформления нашли свое отражение в работах А.П.Меренкова, С.В.Сумарокова, Б.М.Кагановича и др. В работах Б.М.Кагановича были даны строгие физические интерпретации на основании второго закона термодинамики и принципа виртуальных перемещений.

Основываясь на этом подходе, можно сформулировать задачу анализа нестационарных режимов в гидравлических цепях с сосредоточенными параметрами в виде некоторой вариационной задачи.

Запишем уравнение виртуальных перемещений для участка гидравлической цепи:

h{t) dx, = [Я,(Г) + S,(t) xr(t) + Hgi - Hit)] dxj = 0,

dt

тогда функцию Лагранжа можно выразить как интеграл по расходу: Ax (t\

Wit) = j [R,{t) + Sit) x,\t) +■ Hgl - Hit)]dx, = о dt

= m x.it) + 1 S,(t) xXt) + Hei xit) - Hit) xiO. at 3

Для всей гидравлической цепи она определяется:

W = £ [ОД x,{t) ^jp- + {5,(0x!(t) + Hgixit) -H,(t) xit)}. /=i at *

у

Теперь можно записать следующую экстремальную задачу: на заданной гидравлической цепи с р-участками определить компоненты вектор-функции .t(f), удовлетворяющие условиям материального баланса в узлах цепи (1-му закону Кирхгофа):

Ах( 0 = 6(0. • (И)

и обращающие в минимум функцию Лагранжа гидравлической цепи:

н^ОхЛО-ЩОх,«)

-мшп. (12)

^ - dx.it)

Очевидно, что в предельной постановке при —!--» 0, т.е. в

ей

случае стационарного или установившегося режимов, задачу можно

переформулировать: найти вектор* — [.X].....Хр] , удовлетворяющий

линейным ограничениям:

Ах = <2

и обращающий в минимум функционал

.3

Отсюда очевиден и непротиворечив экстремальный подход при математическом моделировании нестационарных режимов гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами. В р-пространстве он приводит к задачам на условный экстремум (11)-(12) с линейными ограничениями в форме равенств и нелинейным (кубичным) функционалом.

Задачу (11)-(12) компактней можно оформить в векторно-матричном виде, если записать функционал в векторной форме. Это дает определенные удобства при трансформации задачи на условный экстремум в /¡-пространстве в задачу на безусловный экстремум в с-пространстве.

Ясно, что прямой подстановкой вектор-функции Щ) в функционал, получаем задачу в ^-пространстве, но воспользуемся принятым и известным разбиением векторов /г и х на вектора, описывающие участки дерева и участки-хорды. После чего из линейных ограничений следует справедливое равенство:

хчСО = Л/'(0 2(0 - ЛДО АЛ0 хс(0 , (13)

т.е. если вектор-функция хс(г) определена, го х^) определяются в результате алгебраических операций с матрицами.

Для разбитых на блоки векторов и матриц, соответственно, после подстановок в описание, функционал принимает вид:

кМ ИДО е(Г)-ЛЛ0ЛЛ0А(0*с(0Г+ Ае(')*Д0->п»п,

где

АХО = ИЛО ~ -а;Х»Ас(0 —+

ш си

+ вйСОИ/СО 6(0-М'Мс(0*с«]2 + Д^-Вд, (14)

Ас(/) = Яс(') ^ + 5^0 хД?) + Щс - Яс(0 . м

При подстановке замыкающих соотношений в функционал, получим задачу на безусловный экстремум в с-пространстве.

Таким образом, экстремальный подход также правомочно применять при построении динамических моделей гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами, которые в результате преобразований, основанных на необходимых и достаточных условиях существования экстремума, трансформируются в тождественные модели, получаемые при алгебраическом подходе в пространстве с-переменных. Эти постановки являются стимулом для новых описаний вариационных задач и могут повлиять на развитие методов глобальной оптимизации.

2.6. Графические интерпретации стационарных точек динамических гидравлических цепей.

Геометрические построения, как способ визуализации пространственных изменений искомых функций, увеличивают наглядность используемых моделей.

В общем случае гидравлические цепи являются многомерным объектом, а геометрическая интерпретация многомерных поверхностей затруднительна, поэтому сделана попытка, в иллюстративных целях, исследовать поверхности в трехмерном пространстве, соответственно. Можно изучать только простейшие гипотетические гидравлические цепи состоящие не более чем из трех участков и двух линейно-независимых контуров. Необходимо

отметить, что модели двухконтурных гидравлических цепей в настоящей работе по многим аспектам оказались весьма полезными в теоретическом и экспериментальном планах исследования.

Следующее упрощение связано с идеализацией: так как нестационарные режимы привносят еще одну независимую переменную — время, то в графическом изображении ограничимся рассмотрением поверхностей, на которых располагается множество стационарных точек динамических систем, соответствующих

сЬс

решениям системы дифференциальных уравнений при-->0. Как

правило, в системах с устойчивыми траекториями реакций системы на внешние (Я,0 и внутренние(Д,5 и Не) возмущения решения сходятся к ближайшей стационарной точке. Поэтому их существование и расположение в многомерном пространстве участков или хорд желательно проанализировать.

При математическом описании стационарного потокораспределения одним из важнейших вопросов является ориентация потоков на участках цепи: в (<7-1 ^-пространстве при алгебраическом подходе или - независимо от количества неизвестных (р- или с-пространствах) при экстремальном подходе. При алгебраическом подходе в р-пространсгве требуется решение вопроса об ориентации линейно-независимых контуров. Таким образом, решение системы стационарных точек непосредственно связано с ориентацией потоков и может выражаться как конечным множеством точек, так и бесконечным.

Рис.1. Возможные схемы потоков в двухконтурной, открытой и активной гидравлической цепи.

При изучении нестационарных режимов ориентация потоков и их величины на участках цепи, как реакции на внешние и внутренние возмущения, подчас непредсказуемы, поэтому возникает необходимость проанализировать хотя бы простейшие возможные случаи.

Рассмотрим гипотетическую гидравлическую цепь, содержащую: два узла (<? = 2, <7-1 = 1 линейно-независимый узел), три участка (р = 3) и два линейно-независимых контура (с = р - (д -1) = 2). Предполагается, что цепь активная (Я3(?) * 0) и открытая (01 * 0). Для этой цепи рассмотрим две возможных ориентации потоков на участках цепи, и для этих ориентации (рис.1) составим описание стационарных точек и построим поверхности, на которых они располагаются.

Динамические системы для этих схем течения в с-пространстве имеют вид:

для схемы "а":

№ + Я,) ^ + я3 Щг + (5, - Х12 + 253 х, -т ш

- $ х22 + + х2) + Я,(2ьЯз,0 = 0 ,

~ -ь № + Лз> ^ - $ *,2 + 25з х2 + Л сЛ

+ № - + + *г) + ншд3.0 = о;

для схемы "б":

(Я, + Л3) + Дз ~2- + № - £3) X!2 + 253 XI х2 -аХ М

- Вг х2г + ЗДб^*, + хг) - Я,(б, Дз,0 = 0 ,

Я3 ^ + № + Лз) _ Х12 + + Л <#

+ № - 5з) х22 + + *г) - НШ ,Я3,0 = 0 ;

Рис.2. Стационарная точка для схемы движения "а" при алгебраическом подходе.

Рис.3. Множество стационарных точек для схемы движения "б" при алгебраическом подходе.

Рис.4. Стационарные точки для схемы движения "а" при экстремальном подходе.

Рис.5. Множество стационарных точек для схемы движения "б" при экстремальном подходе.

Динамическим системам соответствуют описания стационарных точек:

для схемы "а":

(5, -53) х,2 + S3 X! :с2 -5} х22 + 2S3ß,(x1 + х2) + HX(QX Дз) = 0, S3 х,2 + 25з х, х2 + (S2 - S3) х22 + 2SiQi(xt + х2) + H2{QXJH3) = 0;

эта система в пространстве (хь х2, х3) отображается двумя пересекающимися гиперболическими цилиндрами (рис.2), которые в пересечении с плоскостью — х2 — х3- -Q\, дают единственную стационарную точку;

для схемы "б":

(S, - Sj) х,2 + 25з х, х2 - Sj х22 + 2S}Qi(xi + х2) - #,(& Дз) = 0 , S3xt2 + 2S3 xi х2 + (S2 + S3) х22 + 2S3Ö.(*i + х2) + Я2(<3, Дз) = 0;

эта система имеет бесчисленное множество стационарных точек, находящихся на пересечении гиперболического цилиндра и плоскости -х\ + х2 - х3 = -Q\ (рис.3).

С аналогичной ситуацией сталкиваемся и при экстремальном подходе, при котором стационарная точка должна соответствовать точке глобального минимума энергетической поверхности цепи: для схемы "а":

Fix ,Л) = | (У, - S3) х,3 - S3 х,2 х2 - 53 х, х22 + | № - S3) х23 +

+ Sjßifo + х2)2 + (Я3 - S3Q0 (ж, + х2) + Я,(01 Дз) -> min .

Имеем поверхность третьего порядка, содержащую четыре экстремальных точки, одна из которых - точка глобального минимума соответствует стационарной (рис.4.); для схемы "б":

F(x 1Ä) = |(Si + S3)x,3 - S3 X!2x2 + S3 x, x22 + |(S2 - S3) x23 -

-üßiC*," x2f + (Я3 - S3Q0 (x, - x2) + Я,(0,Дз) min ,

также имеем поверхность третьего порядка, но она не имеет экстремальных точек (рис.5), что соответствует физически невозможному течению потоков (рис.1 "б").

Таким образом, при исследовании нестационарных режимов в гидравлических цепях с сосредоточенными параметрами в зависимости от возмущений, вносимых в систему активными напорами, мощностью источников, нагрузкой потребителей или различным сочетанием и совокупностью этих параметров, могут возникать кратковременные ситуации, для которых множество стационарных точек оказывается не конечным и представимо гиперповерхностями третьего порядка. Следовательно, могут возникать ситуации, приводящие к неустойчивости движения, требующие специальных исследований.

2.7. Обратные задачи потокораспределения.

Наряду с задачами анализа гидравлических режимов в трубопроводных системах, которые в различных постановках описываются на базе стационарных и нестационарных моделей гидравлических цепей с известными и определенными гидравлическими характеристиками, возникают не менее важные задачи исследования изменений и оперативного определения фактических параметров трубопроводной системы в процессе эксплуатации. Практически, в процессе управления системами централизованного снабжения обе эти задачи желательно периодически (в информационном плане) увязывать в единый комплекс задач наблюдаемости и управляемости объекта.

Теоретическая база, положенная в решение обратных задач для гидравлической цепи, берет свое начало с известной работы А.П.Меренкова, К.С.Светлова, В.Г.Сидлера и В.Я.Хасилева «Математический расходомер», опубликованной в 1971 году. Дальнейшее развитие задач идентификации гидравлических цепей обязано многоплановым работам А.П.Меренкова, ВГ.Сидлера и Н.Н.Новицкого. В настоящей работе делается попытка осмысления возможностей анализа нестационарных режимов при решении обратных задач, задач идентификации и задач оценивания.

При рассмотрении обратных задач в настоящей работе основное внимание уделялось решению следующих вопросов: определение необходимого количества нестационарных режимов при различных неизвестных вектор-функциях; оценка наблюдаемости гидравлической цепи (обзорность трубопроводной системы); оценка чувствительности изменений измеряемых параметров; связь обратной задачи с непрерывной задачей Штурма-Лиувилля.

. В наиболее общей постановке обратная задача для гидравлической цепи может быть сформулирована следующим образом: ,

при любом режиме, подразумевающем скачкообразное изменение активного напора до стабилизации измеряемых параметров во времени, наблюдаются следующие параметры гидравлической цепи:

■ давление во всех узлах гидравлической цепи

' КО = [Л(0, Р2(0,..Л«]г;

■ расходы в источниках и потребителях в некоторых узлах цепи

есо = ш\ 'ош....омт.<?«<?;

■ действующие напоры на некоторых активных участках цепи

Я(0 = [Я, (г), н2((),...,нРМт ,рп<р.

Используя эту информацию, необходимо определить:

■ гидравлические характеристики всех участков цепи:

т = [т, т).....Кр{()]Т, ад=р,«. 52(Г),...,5до]г

■ расходы на всех участках цепи

■ расходы в открытых узлах <7 -<?„,:

■, ■ действующие напоры на участках р—р„

Я'(0 = [Яр„+1(0, Нрп+2(1),...,НртТ..

На. первой стадии идеализации можно, предположить, что неизвестные гидравлические характеристики участков, производительность источников и нагрузка потребителей, а так же действующие напоры не изменяются во времени в пределах рассматриваемого режима, т.е. являются неизвестными

константами. Следовательно, имеем Ър + д - дт - р„ неизвестных констант и р неизвестных функций времени.

Эти неизвестные связаны между собой смешанной системой алгебро-дифференциальных уравнений:

Ах( 0-2-6(0.

Я[Я +Бх2{1)-Н0)]-ВН'= О, (15)

л

и л

содержащей 2р уравнений для одного определенного режима.

При принятых предположениях о постоянстве гидравлических характеристик и неизвестных активных напоров и потребителей, каждый новый режим добавляет 2р уравнений и только р новых неизвестных расходов. Поэтому можно набрать определенное количество режимов, при котором система уравнений становится переопределенной. Для отыскания решения переопределенной системы, можно применить, например, метод наименьших квадратов, хорошо зарекомендовавший себя при решении обратных задач в стационарной постановке.

Одним из измеряемых параметров в гидравлической цепи является давление в узлах. Минимальное количество узлов, в которых нужно установить измерительную аппаратуру - это узлы ограничивающие хорды, хотя для полной наблюдаемости трубопроводной системы необходимо делать измерения во всех узлах. Следовательно, наблюдаемость гидравлической цепи зависит, в частности, от выбора системы линейно-независимых контуров. Эта зависимость может быть выражена, например, коэффициентом обзора гидравлической цепи:

где дс - количество контролируемых узлов, ограничивающих хорды; <7 - общее количество узлов гидравлической цепи. Величина К ограничена

-пь

/

II

. .2- ЗУ1.. Г-..-..4.

■ /ф ' / 7 су \ Ф Р(&' 1 1 ж:® 1 (& .'Л

7-~ ГйУ - 8-ф • 7- @ б й

2 3/ 4

гв-

©

8 (9) 7

®

б

6 © 5

2

(I) ¡6 © 15

Рис.6. Схемы при определении коэффициента обзора цепи:

а) заданная многоконтурная цепь;

б) последовательная система контуров Х=5/8;

в) вложенная система контуров К=718.

о - контролируемые узлы цепи.

дЬ,

дХ1 0.6 0.5 0.40.30.20.1-

К =5/8

- М

N

123456789 10 11 УЬамицепи

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1-

-м

К =7/8

I I I

N

123456789 10 11

Участки цепи

Рис.7. Чувствительность участков гидравлической цепи:

а) для цепи с коэффициентом обзора К= 5/8;

б) для цепи с коэффициентом обзора К =7/8.

и на рис.6 показаны две схемы с разными коэффициентами обзора, соответствующие двум системам линейно-независимых контуров.

Для вложенной системы линейно-независимых контуров коэффициент обзора больше, чем для последовательной системы. Ясно, что чем больше коэффициент обзора, тем больше измерительной аппаратуры требуется для постановки в узлах трубопроводной системы, однако это не всегда представляется возможным. Если количество узлов, оснащенных измерительной аппаратурой, не соответствует максимальному значению коэффициента обзора, то изучаемая система имеет отличие от реальной трубопроводной сети и эти различия тем больше, чем меньше коэффициент обзора.

Сформулированный коэффициент обзора гидравлической цепи отображает только топологические свойства, не учитывая гидравлические характеристики и параметры движения среды, в то же время гидравлические сопротивления и расходы на участках системы оказывают влияние на изменения давлений в начальных и конечных узлах, т.е. непосредственно сказываются на чувствительности измерений.

Это наводит на мысль дополнительно для определения хорд ввести критерий чувствительности, который, в частности, можно записать:

ах1 |_ Ц \ р ы (1х{(г)

то хорды, иначе -участки дерева.

На рис.7 показана оценка чувствительности для двух схем с разными коэффициентами обзора гидравлической цепи.

Так в настоящей работе решаются вопросы измерений, обзора и переопределенности системы уравнений при определении фактических параметров гидравлической цепи с сосредоточенными параметрами.

Понятно, что в реальной трубопроводной системе отслеживание текущего состояния можно осуществлять по наблюдениям за изменениями расходов и давлений, в случае если система максимально насыщена измерительной аппаратурой (манометрами и расходомерами), и обрабатывая данные измерений, например, статистическими методами. На основе такого подхода рождаются и развиваются конструктивные методы наблюдения за

сколь угодно сложными системами, укладывающимися в рамки обобщенной проблемы управления.

Вместе с тем теоретические исследования обратных задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений не только не теряют своей привлекательности, но дают возможность обобщения на многомерные пространства результатов, полученных на элементарных объектах.

В настоящей работе от рассмотрения простейших примеров одноконтурных и двухконтурных закрытых гидравлических цепей при постановке обратных задач для систем дифференциальных уравнений типа Риккати, где они известны как проблема Штурма-Лиувилля, делается обобщение на многоконтурные цепи, для которых имеет место векторно-матричное уравнение вида:

1.1х

(В^в/+ВсЯс)^ +£Лхс2 + В^В/хс)2-ВЩ() = 0. ш

Которое при введении обозначения матриц и вектора:

я=в ¿я¿в/+всис; я = в^в/)2+-вл; Н = -ВНЦ), приобретет более компактный вид:

сЪс.

/г^+5"д*+н=о. (1б)

от

Это есть векторно-матричное' уравнение типа Риккати с отсутствующими линейными членами в силу закрытости гидравлической цепи, стационарные точки которого описываются квадратичными формами. Предполагается, что существует линейное преобразование (поворот системы координат), позволяющее избавиться от членов, содержащих попарные произведения компонент вектор-функции Тогда при многократной замене переменной можно уравнение (16) привести к линейному дифференциальному уравнению второго порядка:

$+{/1-*0)}И» = 0, (17)

йг

d2V

где —jY и V(t) - вектор-функции размерностью (с'1), А - матрица

размерностью (с-с), компоненты которой являются функциями гидравлических характеристик (S„ Л() и действующих напоров (H,{t)) участков гидравлической цепи; g(t) - матрица размерностью (с-с), компоненты которой суть функции только гидравлических характеристик участков.

Для данного типа уравнений Амбарцумяном в одномерном пространстве искомых функций была сформулирована следующая задача, которую .для векторно-матричного уравнения можно интерпретировать следующим образом:

пусть известна матрица спектральных функций р(Л), в частности, ее можно формировать, варьируя действующими напорами;

необходимо определить: существует ли линейное дифференциальное уравнение второго порядка (17), имеющее данную спектральную функцию, и определить непрерывную матричную функцию g(t), если она существует, а по ней и гидравлические характеристики участков цепи.

Для решения этой задачи можно использовать, например, метод предложенный Гельфандом и Левитаном [1951].

На основании известной спектральной матричной функции р(А) построим функцию

а(А) =

р{А),_Л<0

р(А)~ 2.1—1 Л>0

' ! к

После чего, решая систему линейных интегральных уравнений, определим 1

Щу) + ¡K(t,y)

jcos(- yl,i)cos(- A,y)da{Ä)

dy +

+

Jcos(-, A,t)cos(- A,y)d<r(A) = 0.

По определенному K(t,t) строится решение векторно-матричного уравнения Рикати (16)

t _

V{t) = cos(-;/l,0+ JjT(f,>)«»(-. A,y)dy

n dV( 0) ,

при начальных условиях к(0) = 0 и —г— = я = const, и матричная

at

функция

,dK(t,t)

g(') f 2'

Л

которая с другой стороны является функцией гидравлических параметров участков цепи:

5(0 =

2.8. Устойчивость гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами.

Ранее описанный анализ свойств гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами акцентировался на свойстве нелинейности, которое исследовалось В.Я.Хасилевым с зарождения теории гидравлических цепей.

Это свойство может усиливаться в зависимости от выбора формул гидравлического сопротивления участка, как функции шероховатости, диаметра, вязкости и скорости течения сплошной среды. Следующее свойство - динамичность гидравлических цепей можно рассматривать как с точки зрения изменения их характеристик во времени (увеличение числа источников и потребителей, насыщение сетей разнообразной аппаратурой, реконструкция и развитие трубопроводных систем и т.п.), так и с точки зрения изменения режимных параметров при внешних возмущениях (неравномерность потребления, изменение активных напоров, регулирование и т.п.). В непрерывной постановке, когда замыкающие соотношения представлены в форме нелинейных дифференциальных уравнений, динамичность впервые рассматривается в настоящей работе.

Как следствие нелинейности и динамичности гидравлических цепей, проявляется свойство устойчивости, являющееся для технических систем необходимым условием их существования.

Показано, что на принятой стадии идеализации динамических процессов в гидравлических цепях математические модели укладываются в рамки систем нелинейных дифференциальных уравнений вида (9), что соответствует канонической системе, записанной в векторно-матричной форме уравнения Риккати (10).

Для систем дифференциальных уравнений существенным является не только вопрос существования и нахождения решения при заданных начальных условиях, но и качественной оценки его поведения. Это приводит к анализу воздействия на систему разного рода возмущений и ее реакции на эти возмущения.

Принято такого рода анализ проводить относительно некоторой эталонной системы, описывающей по определению невозмущенное движение. Например, невозмущенное движение можно описать системой линейных дифференциальных уравнений:

^^0 + Д = 0; г(0) = 0 . (18)

А

Относительно этой задачи (невозмущенное движение) можно классифицировать следующие возможные возмущенные движения:

■ возмущения за счет нелинейности процесса движения

^ +лк о+еЛо+д=о. (19)

ш

и возмущения за счет изменения внутренних параметров системы

р=Р(о, <2=ем

(задача чувствительности: реакция системы на внутренние

возмущения),

■ возмущения за счет изменения внешних параметров системы

Д=Д(0

(задача устойчивости: реакция системы на внешние

возмущения),

■ возмущения за счет изменения начальных условий

2(0 = го

(традиционная задача устойчивости Ляпунова).

Перечисленные постановки, вероятно, можно уместить в рамках проблемы устойчивости движения, а следовательно, при изучении ее рационально использовать аппарат разработанный А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым по теории качественного анализа систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Положение равновесия системы устойчиво, если при малых возмущениях координаты системы во все последующие моменты времени мало отличаются от координат положения равновесия, в противном случае имеем неустойчивое равновесие. Более строго устойчивое равновесие определяется и исследуется с позиций устойчивости движения.

В работе А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», изданной в прошлом столетии, кроме изящных методов исследования устойчивости движения, описываемого системами обыкновенных дифференциальных уравнений, заложена логика изучения возмущенных движений очень важная в методологическом плане. Следуя этой логике и конкретизируя определения и методы, применительно к гидравлическим цепям, в настоящей работе была принята следующая схема решения основных задач, вытекающих из проблемы устойчивости.

Траектории изменения обобщенных параметров гидравлической цепи, описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Математический аппарат анализа устойчивости достаточно хорошо разработан для систем линейных уравнений, но А.М.Ляпунов доказал переходную теорему: если линейная система уравнений асимптотически устойчива, то породившая ее система нелинейных уравнений устойчива. Отсюда возникает важность решения задачи линеаризации для гидравлической цепи с сосредоточенными параметрами, правильное решение которой, позволяет получить систему уравнений с единственной стационарной точкой в пространстве состояний.

Следовательно, первейшей задачей является задача линеаризации: найги преобразования переменных, позволяющие заменить задачу

dyP + Py(t) + Qy2(t) + Д = 0 , at

X 0) = 0,

задачей:

^- +P'z(t) + R'= 0, dt

г« = 0,

которая согласно некоторому условию, была бы тождественна исходной, При успешном решении этой задачи, получим матрицу системы Р' с постоянными коэффициентами.

При анализе устойчивости по коэффициентам матрицы Р' возможны два пути: качественный анализ, отвечающий на вопрос устойчива или неустойчива полученная линейная система (положительная определенность всех главных определителей матрицы Р' - критерий Гурвица или знакопостоянство элементов первого столбца матрицы Рауса - критерий Рауса и др.) и количественный анализ, например, основанный на анализе собственных (характеристических) чисел характеристического уравнения линейной системы:

\Я1-Р'\=0.

С помощью собственных чисел системы линейных дифференциальных уравнений не только можно ответить на вопрос: устойчива или неустойчива система, но и записать аналитическое решение.

Если воспользоваться анализом устойчивости по собственным числам, го по известной матрице линейной системы необходимо построить характеристическое уравнение, что для систем большого порядка представляет некоторые алгоритмические затруднения. Таким образом, следующая задача связана с построением характеристического уравнения высоких степеней по известной матрице Р'.

С помощью метода Данилевского, удается трансформировать исходную матрицу к специальному виду матрицы Фробениуса:

с,, - Я С12 С13 ' • Си С\с

1 -1 0 • • 0 0

0 1 -я • 0 0

0 0 0 • • -Л 0

О

О о

1

Матрица Фробениуса легко преобразуется в полином с-ой степени при разложении по элементам первой строки:

\и-Р'\ = (с\\-Х)(~Х)с~х + си(-ЛГ2 - сп(-лг3 + ...+(-0^,,,

что эквивалентно уравнению с-ой степени:

Лс + сцЛ*-1 + С, + спл^ + ... + С1с = 0.

Определение всех с корней этого уравнения, является следующей задачей на пути анализа устойчивости. Среди корней уравнения с-ой степени могут быть: действительные разные, действительные равные, комплексные и комплексные сопряженные. Все они должны быть определены. Понятно, что наиболее общим видом корней уравнения является комплексный вид, поэтому алгоритм определения решений необходимо строить в поле комплексных чисел.

При удачно и рационально построенном алгоритме определения корней характеристического уравнения, находятся собственные числа системы линейных дифференциальных уравнений и их можно анализировать с точки зрения устойчивости траекторий движения. Если действительные части собственных чисел строго меньше куля, то траектории движения асимптотически устойчивы, и на этом процесс анализа устойчивости можно закончить, если не строить количественных решений. В случае неустойчивости системы необходимо корректировать описание гидравлической цепи.

2.9. Теоретические и экспериментальные исследования гипотетической двухконтурной гидравлической цепи.

Полученные автором замыкающие соотношения имеют универсальный характер. Однако ясно, что при изучении конкретных объектов (в зависимости от особенностей сетей и режимов работы) могут потребоваться определенные уточнения. Но в любом случае, найденные простые взаимосвязи должны облегчать понимание особенностей нестационарных процессов, например, дать представление о переворачивании потоков, недопустимом снижении расходов в узлах потребителя или недопустимых повышениях давления и т. д.

Логическая непротиворечивость полученной модели была проверена вычислительными экспериментами, и было установлено ее соответствие ряду примеров из литературных источников.

о,

в, С

1 Оо и21

А

3

Ш Ш Ш3 {Ж}

Рис.8. Экспериментальные исследования гидравлической цепи.

а) Двухконтурная гидравлическая система, собранная

на высокотемпературном контуре. (021, й2 и £)3 - расходомеры; В„ В2шВ3 - регулировочные вентили; Р„ Рг - датчики давлений; АР2 - датчик перепада давлений)

б) Идеализированная схема двухконтурной гидравлической цепи с сосредоточенными параметрами. (1 - узлы; 2 - участки; 3 - линейно независимые контура; 4 - расходы на участках; 5 - давления в узлах; 6 - действующий напор; 7 - бак-аккумулятор с фиксированным давлением)

в) Гипотетическая двухконтурная активная и открытая гидравлическая цепь с демпфирующей емкостью.

В диссертации приведены результаты проверки модели физическим экспериментом. На имеющейся экспериментальной базе (высокотемпературном контуре), была собрана двухконтурная гидравлическая трубопроводная система, оснащенная насосными установками, аккумулирующими баками, устройствами, изменяющими гидравлические характеристики ; участков и разнообразной измерительной аппаратурой (рис. 8). Теоретические модели для этой системы представлены на рис. 1а без учета аккумулирующих емкостей на участках сети. '

При проведении экспериментов ставились следующие первоочередные цели: ~

- уточнить характер течения среды на участке гидравлической цепи, а именно, достаточно ли двухчленного замыкающего соотношения или необходимо в него ввести третье слагаемое:

h{f) = R(t) х + S(t) x\t) h(t) = R(t) x + S(t) x\t) + C{t) x(ty,

- выяснить качественный характер динамических процессов в многоконтурных гидравлических цепях (экспоненциальный или колебательный);

- определить: как влияет и в чем заключается системный эффект в многоконтурной гидравлической цепи при нестационарных процессах течения сплошной среды.

Цель полной адекватности теоретической модели и экспериментальных исследований на первой стадии не ставилась, хотя ее необходимость и важность ни в коей мере не отрицается, однако реальные собранные на высокотемпературном контуре цепи не позволяют развить турбулентное течение в силу малых диаметров системы труб и ограниченных нерегулируемых возможностей насосных установок, являющихся единственным возмущающим воздействием.

В первой серии экспериментов использовалась система с баком аккумулятором, во второй - без бака аккумулятора. Основные возмущения в систему вносились за счет мгновенной остановки насоса или его включения. Во всех проведенных экспериментах система имитировалась как закрытая без источников и потребителей.

Насыщенность схемы измерительной аппаратурой позволяла измерять расходы на 2 и 3 участках, давления в 1 и 2 узлах и перепад давлений на участке 2. Эти замеры являлись основой для анализа динамических процессов.

5,/82=2.564 5^=4.545

Рис.9. Реакция изменения расходов и удельной потери давления при уменьшении активного напора и различном соотношении гидравлических сопротивлений (ЗУ^). а) расход на втором участке; б) расход на третьем участке; в) удельная потеря давления на втором участке.

Гидравлические характеристики участков изменялись до проведения опытов, а в процессе опыта оставались неизменными.

Результаты измерений в динамическом процессе течения воды по трубопроводной системе (рис.9) наглядно показали нелинейный.г колебательный характер изменения расходов и удельных потерь давлений на участках. При этом амплитуда колебаний находится в прямой зависимости от соотношений гидравлических характеристик участков, особенно - пассивных. Она тем больше, чем больше отношение гидравлических характеристик. Это, в частности, соответствует теоретическим решениям при комплексных значениях некоторых из собственных чисел системы дифференциальных уравнений, а также подтверждается численным решением потокораспределения в двухконтурной гидравлической цепи.

Следующий вывод, который следует из измерений динамических параметров, касается записи замыкающих соотношений относительно введения в них линейного слагаемого, отображающего емкостные свойства участка, т.е. в общем виде оно может быть записано:

Kit) = R, х, 4 St? + Cpr, + Н1гр - Hif), (20)

где С, - емкостная характеристика участка гидравлической цепи, пока формально неопределенная, но может быть определена по результатам наблюдений и измерений в процессе решения задачи оценивания; Н1гр - гравитационный напор на участке (для водяных сетей - разность геодезических отметок начала и конца участка в направлении течения).

Таким образом, проводимые эксперименты стимулируют создание двойственной информационной системы для изучения динамики процессов в гидравлических цепях: по данным наблюдений за обобщенными параметрами решается задача оценивания гидравлических характеристик участков цепи; по определенным характеристикам на заданном отрезке времени решаются задачи регулирования и управления с позиций рационального обеспечения потребителей. Решение последних может вызвать качественные и количественные изменения трубопроводной системы, что, в свою очередь, повлияет на изменение объема измеряемых обобщенных параметров. Следовательно, после некоторого промежутка времени эксплуатации системы вновь возникает необходимость решения задачи оценивания гидравлических характеристик. Так увязываются

в единый комплекс обе проблемы наблюдаемости и управляемости трубопроводной системы.

Дополнительнр экспериментальные результаты показали, что принципиально на динамические процессы в гидравлических цепях может повлиять бесконечное множество факторов, которые невозможно уложить в рамки детерминированного анализа. Поэтому выбирается конечное множество измеряемых параметров, (в данных моделях - обобщенные) дающих информацию о реакциях системы на внутренние и внешние возмущения, что приводит к созданию, в первую очередь, математической модели для детерминированных параметров. В то же время, эксперимент подводит к созданию двойственных моделей, учитывающих влияние на систему и неизмеряемых, а подчас и случайных факторов, т. е. введение в модель обобщенных параметров стохастического слагаемого.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. На основании общих положений и терминологии теории гидравлических цепей сформулировано математическое описание нестационарного потокораспределения в гидравлических цепях с сосредоточенными параметрами, выражающееся в общем виде системой алгебро-дифференциальных уравнений.

2. На базе общей системы уравнений гидродинамики разработана методика вывода и получены замыкающие соотношения, как для цепей с сосредоточенными, так и для цепей с распределенными параметрами в виде алгебраических или дифференциальных форм.

3. Алгебро-дифференциальная система уравнений, описывающая нестационарные процессы в трубопроводных системах, трансформирована в систему нелинейных дифференциальных уравнений типа Риккати.

4. Для векторно-матричного уравнения Риккати при известных начальных условиях (задача Коши) доказана теорема существования и единственности решения. При доказательстве использован конструктивный метод, позволяющий строить эффективные вычислительные алгоритмы.

5. На основе экстремальных подходов к описанию задач стационарного потокораспределения, сформулирована вариационная задача нестационарного потокораспределения в гидравлических цепях с сосредоточенными параметрами.

6. Предложены методы линеаризации для векторно-матричного уравнения Риккати, использующие, как разложения в степенные ряды, так и функциональные преобразования, что может оказаться эффективным при решении обратных задач и задач анализа устойчивости.

7. По аналогии с обратными задачами и задачами идентификации теории гидравлических цепей сформулированы обратные задачи для нестационарных режимов: в непрерывной (решение систем интегральных уравнений) и дискретной (анализ временных рядов) постановке, позволяющие расширить спектр наблюдений.

8. Так как следствием из математического описания нестационарных процессов являются задачи стационарного потокораспределения, проведен обстоятельный анализ стационарных точек для определения физически возможных схем течения в многоконтурных гидравлических цепях.

9. Согласно подходам А.МЛяпунова к исследованию устойчивости движения сформулированы постановки задач чувствительности и устойчивости для гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами и выявлено, что:

чувствительность системы определяется реакцией параметров гидравлической цепи на изменение гидравлических характеристик во времени в результате старения и износа, установки регулирующей и запорной аппаратуры, перекладки труб на больший диаметр и пр.;

устойчивость системы определяется реакцией ее параметров на изменение внешних характеристик во времени: напоров насосных станций, производительности источников и мощности потребителей.

10. Разработан алгоритм определения устойчивости гидравлической цепи на базе определения и анализа характеристических ' чисел системы дифференциальных уравнений.

11. Развитый в работе подход к построению устойчивых динамических моделей гидравлических цепей позволяет сформулировать принципы проектирования трубопроводных систем с учетом изменяемых во времени режимных параметров.

12. Проведенные эксперименты позволяют использовать разработанные математические модели нестационарных процессов в гидравлических цепях с сосредоточенными параметрами в виде систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для постановки, анализа и

решения задач регулирования, наблюдаемости и управляемости трубопроводных систем.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

. 1. Кошелев A.A., Балышев O.A. Исследование нестационарных . тепловых процессов в системах теплоснабжения с применением .ЭЦВМ // Гл.5 монографии "Методы математического моделирования в энергетике". Иркутск: Восточно-Сибирское книжное издательство, 1966. С. 47-64.

, 2. Кочергин В.Н., Балышев O.A. Формирование полей влажности и температур в процессах тепло- и массообмена гидротермальных растворов с породами. И.Ф.Ж, 1968. T.XV, № 2. С. 231-248.

3. Кошелев A.A., Балышев O.A. Моделирование нестационарных процессов в системах теплоснабжения.// Расчеты физических полей методами моделирования-М.: 1968. С. 53-79.

4. Кошелев A.A., Кривошеин Б.Л., Балышев O.A. Тепловое взаимодейстрвие подземного трубопровода с окружающей средой Газовая промышленность, 1969. № 10. С. 145-156.

5. Кривошеин Б.Л., Балышев O.A. Исследование теплового режима газопроводов большого диаметра, проложенного в районах вечной мерзлоты// Транспорт и хранение газа: ВНИИЭ Газпром. №5, 1969. С. 115-134.

6. Кошелев A.A., Кривошеин Б.Л., Балышев O.A. Влияние различных факторов на теплообмен подземного трубопровода с окружающей средой Изв. ВУЗов, сер. Нефть и газ, 1970. № 6. С. 3345.

7. Кошелев A.A., Балышев O.A. Динамика тепловых полей вокруг подземных трубопроводов// Тепловые режимы магистральных газопроводов. М.: Недра, 1971. 257 с.

8. Кочергин В.Н., Пампура В.Д., Балышев O.A. Принципы физико-математического моделирования природных процессов переноса энергии и вещества// Труды V-ro Всесоюзного совещания по тепло- и массообмену. Минск, 1972. С. 27-28.

9. Пампура В.Д., Кочергин В.Н., Войталюк В.Н., Балышев O.A. Процессы переноса энергии и вещества с учетом давлений и эффектов химических превращений в природных гидротермальных системах.// И.Ф.Ж., 1972. t.XXIII, № 1 С. 112-126.

10. Пампура В.Д., Кочергин В.Н., Балышев O.A. Физико-математические модели природных, гидротермальных систем. М.: Наука, 1973,124 с.

11. Балышев O.A. Влияние влагопереноса на деформацию фунтов.// Проектирование и строительство трубопроводов, 1974. №3. С. 45-56.

12. Коротаев Ю.П., Кривошеин Б. Л., Балышев O.A. Прогнозирование теплового режима газовых скважин.// Разработка газовых и газоконденсатных месторождений. Вып. 116. М.: Недра, 1976. С.112-120.

13. Коротаев Ю.П., Кривошеин Б.Л., Балышев O.A. О взаимном тепловом влиянии скважин при их кустовом расположении// Разработка газовых и газоконденсатных месторождений. Вып. 116. М.: Недра, 1976. С.120-126.

14. Балышев O.A., Коновалов Ю.С., Бондаренко С.И., Ефимова И.С. Задача оптимального синтеза систем электроснабжения промышленных предприятий, городов и сельскохозяйственных потребителей. // Системы энергетики - тенденции развития и методы управления. Сим. 80. Иркутск: СЭИ, 1981. т. 5. С.80-81.

15. Балышев O.A., Коновалов Ю.С. Об оптимальном синтезе систем электроснабжения. // Тезисы док. Всесоюзной научной конф., г.Баку, 1982. т. 11. С. 27-28.

16. Балышев O.A., Баринова С.Ю., Коркина Н.И. Прогнозирование развития транспорта в условиях минимальной информации об исследуемом объекте // Проблемы повышения эффективности обслуживания районов Сибири и Севера автомобильным транспортом. М., 1982. С. 56-58.

17. Балышев O.A., Коновалов Ю.С., Даниленко Ю.Я. Теоретические основы оптимального синтеза систем электроснабжения. // Применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск: ИЛИ, 1982. С. 91-93.

18. Балышев OIA., Коновалов Ю.С., Беляевская И.А. Оценка матрицы взаимосвязей для динамических моделей методом наименьших квадратов// Применение математических методов при управлении режимами и развитием электроэнергетических систем. Иркутск: ИЛИ, 1984. С. 84-88.

19. Балышев O.A., Клименко С.М., Храмов A.B. Моделирование критических ситуаций в энергетике// Кризисные ситуации в энергетике: технико-экономическая оценка и моделирование решений по их нейтрализации. Тезисы док. Киев, 1994. С. 45-48.

20. Балышев O.A., Баранова С.Ю. Нестационарные модели гидравлических систем с сосредоточенными параметрами. Иркутск: СЭИ, Препринт № 1, 1995. 84 с.

21. Балышев O.A., Каганович Б.М., Меренков А.П,, Сеннова Е.В. Математическое программирование, термодинамика и теория цепей.. // Математическое программирование и приложения. Тезисы док. Информационный бюллетень № 5. Екатеринбург, 1995. С. 34-35.'

22. Балышев O.A., Меренков А.П. и др. Модели термодинамических цепей // Разделы 6.1-6.4 в кн. Б.М.Кагановича, С.П.Филипова. Равновесная термодинамика и математическое программирование. Новосибирск: Наука, 1995. С. 95-130.

23. Балышев O.A., Каганович Б.М., Меренков А.П. Трубопроводные системы тепло- и водоснабжения как динамические модели гидравлических цепей // Изв. АН. Энергетика,

1996. №2. С. 96-104.

24. Балышев O.A., Каганович Б.М., Меренков А.П. и др. Развитие теории гидравлических цепей как сетевой гидромеханики// Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Тезисы док. Международной конфер. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. С. 144-145.

25. Балышев O.A., Воропай Н.И., Сендеров С.М., Храмов A.B. Средства исследования иррегулярного поведения диссипативных структур при изучении свойств живучести (технические системы). Иркутск: СЭИ СО РАН. Препринт № 1,1996. 61 с.

26. Балышев O.A., Сендеров С.М., Храмов A.B. Об одном из подходов изучения безопасности систем энергетики с учетом динамики// Проблемы управления в чрезвычайных ситуациях. Четвертая международная конференция. Тезисы докл. М., 1997. С. 109-110.

27. Каганович Б.М., Меренков А.П., Балышев O.A. Элементы теории гетерогенных гидравлических цепей. Новосибирск: Наука,

1997. 118 с.

28. Балышев O.A., Таиров Э.А. Дискретное оценивание параметров модели гидравлических цепей. // Методы оптимизации и их приложение. Труды XI международной Байкальской школы-семинара. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. С. 38-41.

29. Балышев O.A., Таиров Э.А., Соколов П.А. Альтернативные описания динамики систем централизованного, снабжения. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, Препринт № 7, 1998.22 с.

30. Балышев O.A. Математические модели динамических процессов в гидравлических цепях с сосредоточенными



г г

//,03.99 - 057-9/о^

(У .

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ СИБИРСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

?г-езидиум ВАК Росс

М (решение от

| присудил ученую степень ДОК'1 ОРА |

; Г " Мжилл^С_на^гк

______—--—--Гта правах рукописи

I Начальник уп^ления ВАК России ^

____„__УДК1|36.7 + 519.9 + 518.5 532.54

БАЛЫШЕВ ОЛЕГ АНАТОЛЬЕВИЧ

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (на примере трубопроводных систем энергетики и коммунального хозяйства)

Специальность 05.13.16. Применение вычислительной

техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (энергетика)

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических:

Иркутск -

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................................4

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО И УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

1.1. Основные уравнения движения сплошной среды.....................................................20

1.2. Замыкающие соотношения для изотермического процесса

движения сплошной среды..........................................................................................29

1.3. Замыкающие соотношения при адиабатическом процессе

движения сплошной среды..........................................................................................37

ГЛАВА 2. АЛГЕБРА И ТОПОЛОГИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

2.1. Уравнения нестационарных процессов в гидравлических

цепях с сосредоточенными параметрами и формы их представления....................41

2.2. Матрицы гидравлических цепей и их линейные преобразования

в задачах изучения нестационарных режимов...........................................................56

2.3. Циклические схемы гидравлических цепей...............................................................68

2.4. Связи между векторами и матрицами гидравлических цепей.................................73

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ВОЗМОЖНЫХ РЕШЕНИЙ

3.1. Анализ возможных решений уравнения Риккати......................................................78

3.2. Интегрирование уравнения Риккати с помощью степенных рядов.........................95

3.3. Существование и единственность решения систем нелинейных дифференциальных уравнений...................................................................................99

ГЛАВА 4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ДИНАМИЧЕСКИХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

4.1. Термодинамический анализ гидравлических цепей

с сосредоточенными параметрами.............................................................................108

4.2. Эквивалентность алгебраического и экстремального подходов при формировании математических моделей гидравлических цепей

с сосредоточенными параметрами.............................................................................117

4.3. Обобщение экстремального подхода на многоконтурные

гидравлические цепи...................................................................................................133

4.4. Понятия теории глобальной оптимизации в контексте теории гидравлических цепей.................................................................................................145

ГЛАВА 5. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

5.1. Исходные положения и классификация задач..........................................................162

5.2. Квадратичные и кубичные формы гидравлических цепей

и методы анализа.........................................................................................................167

5.3. Линеаризация уравнений нестационарных режимов

гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами......................................198

ГЛАВА 6. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ТЕПЛОВЫХ СЕТЯХ

6.1. Постановка и формализация обратной задачи для тепловой сети..........................208

6.2. Преобразование обратной задачи...............................................................................223

6.3. Задача определения фактических параметров и ее связь

с проблемой Штурма-Лиувиля.................................................................................229

6.4. Метод выбора контролирующих узлов сети.............................................................239

ГЛАВА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

7.1. Общие понятия и определения...................................................................................247

7.2. Динамические системы и их геометрическая интерпретация.................................256

7.3. Понятия и определения устойчивости динамических систем.................................279

7.4. Лемма и теорема Ляпунова.........................................................................................287

7.4. Задачи анализа устойчивости......................................................................................294

ГЛАВА 8. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ГИПОТЕТИЧЕСКОЙ ДВУХКОНТУРНОЙ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

8.1. Содержательная постановка задачи и ее математическое описание......................304

8.2. Описание экспериментальной трубопроводной системы

и проведение наблюдений...........................................................................................332

8.3. Математические аспекты оценивания параметров динамической модели............353

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................................................................386

ЛИТЕРАТУРА

396

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена одному из аспектов теории гидравлических цепей, именно рассмотрению нестационарных режимов в различного рода трубопроводных системах (коммунального водоснабжения и теплоснабжения). В ее основание положена известная и глубоко проработанная "Теория гидравлических цепей".

Теория гидравлических цепей была создана в Сибирском энергетическом институте под руководством и при непосредственном участии профессора В. Я. Хасилева [1-11]. Более чем за тридцатилетнюю историю развития эта теория углублялась и расширялась, как в постановке новых задач: проектирования и эксплуатации трубопроводного транспорта, так и в области исследования разнообразных объектов: системы теплоснабжения [12-21], коммунального водоснабжения [22-26], нефте- нефтепродуктопроводов [27,28], газопроводов [29,30] и др.

Современные системы централизованного снабжения, в частности, водо- и теплоснабжения являются уникальными физико-техническими объектами и неотъемлемыми подсистемами энергетики и народного хозяйства страны, районов, городов и промышленных центров. Они характеризуются иерархичностью, крупномасштабностью, сложностью, многокритериальностью задач управления и длительностью периодов функционирования и развития, что приводит к появлению у них целого ряда качественно новых свойств по сравнению с локальными системами аналогичного назначения и переводит их в класс сложных структур.

Существующая отраслевая и математическая литература в этой области знаний, включая и публикации по теории гидравлических цепей, шла по пути рассмотрения и накопления комплексов математических моделей, методов и вычислительных программ для решения отдельных задач, связанных с насущными проблемами проектирования: оптимизацией структуры, схем и параметров расчетов стационарных режимов и их оптимизации и в меньшей мере - изучения нестационарных режимов функционирования различного рода систем.

Таким образом, некоторое расширение теории гидравлических цепей в контексте изучения нестационарных режимов позволяет расширить круг решаемых задач. Применительно к новым задачам исследования систем централизованного снабжения

- _Г"—

развитие моделей и методов теории гидравлических цепей может пойти в следующих направлениях:

1. Создание, развитие и реализация методов обобщенной многоконтурной оптимизации, сочетающих дискретное программирование с методами расчета нестационарного потокораспределения на основе алгебраических и экстремальных подходов при проектировании систем централизованного снабжения.

2. Развитие потоковых алгоритмов при дискретных подходах решения оптимизационных задач в квазидинамике и динамике.

3. Разработка и алгоритмизация вариационных методов решения задач регулирования и управления режимами при эксплуатации систем централизованного снабжения.

4. Разработка методов, связанных с построением последовательностей мажорируемых и минорируемых планов, которые могут быть наиболее эффективными при решении задач синтеза систем централизованного снабжения верхнего уровня, когда решаются вопросы установления основных пропорций развития подсистем и структуры межсистемных потоков.

5. Разработка эффективных и точных методов и алгоритмов расчета нестационарного потокораспределения для многовариантного анализа синтезируемых решений.

6. Развитие качественных методов анализа траекторий развития систем централизованного снабжения и синтез устойчивых моделей.

7. Проведение обще энергетических исследований систем централизованного снабжения на современном этапе развития, с учетом свойств живучести и чувствительности к внутренним и внешним возмущениям.

Поднятые вопросы требуют постановки и решения задач, связанных с проблемой анализа реакций систем централизованного снабжения на различные внутренние и внешние возмущения, особенно, в экстраординарных (экстремальных) условиях на базе развития теории гидравлических цепей и ее методов и идей применительно к современному состоянию трубопроводных систем различного типа и назначения как больших и сложных систем, определяет основные цели и содержание настоящей работы. Они включают:

теоретическое обобщение вопросов математического моделирования многоконтурных систем с учетом основных их свойств с учетом динамики процессов;

- обоснование необходимости многоуровневого и многоаспектного моделирования систем централизованного снабжения;

- создание на этой базе математических моделей для решения проблем оптимального управления режимами многоконтурных систем централизованного снабжения;

- разработка новых и модификация имеющихся методов, реализующих создание моделей и являющихся основой математического обеспечения новых технологий проектирования и эксплуатации сложных систем;

- внедрение и практическое применение методических разработок в виде конкретных алгоритмов, отдельных программ, пакетов прикладных программ и диалого-вычислительных систем.

Изложение материала диссертации подчинено принципам "от общего к частному" и "от простого к сложному" и включает: введение, семь глав, заключение, а также список используемой и цитируемой литературы. Нумерация формул и рисунков - индивидуальная для каждой главы.

Во введении раскрывается роль систем централизованного снабжения в решении народнохозяйственных и социальных задач, обосновывается необходимость их исследования на межотраслевом уровне с учетом взаимосвязей, взаимозависимостей, изменчивостью, формулируются цели работы.

В первой главе на основе последовательного рассмотрения теорем механики, гипотез сплошной среды определяется теоретическая база для вывода уравнений, отражающих физику процессов на отдельном участке трубопроводной системы. Для двух термодинамических процессов: изотермического и адиабатического, из общих уравнений гидродинамики выводятся замыкающие соотношения, как для сжимаемой, так и несжимаемой сплошной среды, что приводит к необходимости рассмотрения гидравлических цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами, даже в случаях постоянной температуры транспортируемой сплошной среды или отсутствия теплообмена с окружающей средой. Стационарные и нестационарные течения, что приводит к разным математическим описаниям: алгебраическим или дифференциальным уравнениям. Использованием гипотезы Ньютона или Дарси, что вносит линейность или нелинейность в конечные уравнения. Таким образом, эта глава описывает общую методику вывода замыкающих уравнений для участка гидравлической цепи с сосредоточенными или распределенными параметрами. .Эти параметры: искомые потери давления и расход связаны с гидравлическим сопротивлением, гидравлической емкостью и гравитационным напором. В зависимости от целей постановки

задачи, искомыми параметрами могут быть, как пара - потери давления и расход (прямые задачи), так и гидравлические характеристики участка (обратные задачи).

Во второй главе дается описание сетевой физики, на той же фундаментальной основе законов сохранения. Традиционные подходы к созданию математических моделей трубопроводных систем, так же исходят из законов сохранения, но в зависимости от принятой системы допущений, могут приводить к разным математическим описаниям: широкое распространение получили модель Н.Е.Жуковского (система уравнений в частных производных для пары волновых функций) [191-202] и система уравнений в частных производных Навье-Стокса [168, 169]. Оба этих непротиворечивых подхода активно развивались на протяжении столетия, но некоторые сложности и затруднения в численной реализации остались не разрешенными. В данном случае показывается эквивалентность аппроксимации уравнений Навье-Стокса на регулярной сетке с дискретными законами сохранения (законами Кирхгофа) [231], и как следствие, распространение их на нерегулярные сетки, что представляют собой разнообразные трубопроводные системы, но относительно новых переменных. Таким образом, если традиционные неизвестные параметры движения сплошной среды: плотность, скорость, давление заменить на расход и потери давления, то и сетевая физика символически укладывается в рамки принятых ранее описаний для участков сети. Такой подход позволяет получить общее описание движения сплошной среды по сложной трубопроводной системе в виде смешанной системы алгебраических и дифференциальных уравнений. Можно, применяя различные преобразования, используя свойство линейности алгебраических уравнений, получить меньшие по количеству уравнений системы обыкновенных дифференциальных уравнений нелинейных первого порядка, а такие математические модели систем централизованного снабжения в динамике ранее не рассматривались. Полученные в этой главе математические модели нестационарных режимов в трубопроводных системах, являются тождественным аналогом математических моделей переходных режимов в электрических цепях, при использовании алгебраического подхода к их описанию. Единственным различием описаний этих двух систем является нелинейность гидравлических цепей, связанная с учетом трения сплошной среды о стенки трубопровода.

В третьей главе проводится анализ нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка типа Риккати и доказывается существование и единственность решения для систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. На основе

этого доказательства можно строить разнообразные методы численной реализации и создавать программные средства моделирования нестационарных режимов гидравлических цепей с сосредоточенными параметрами.

В четвертой главе показаны возможности альтернативных подходов к моделированию трубопроводных сетей, как с точки зрения законов сохранения, так и базируясь на экстремальных свойствах движения массы; показана связь и расширение формальных возможностей термодинамических принципов и законов; подчеркивается эквивалентность алгебраических и экстремальных подходов при математическом моделировании многоконтурных трубопроводных систем.

В пятой главе дается анализ геометрических форм математических моделей и стационарных точек для простейших гипотетических двухконтурных гидравлических цепей. Рассматриваются методы линеаризации уравнений нестационарных процессов и качественные методы исследования.

В шестой главе рассматриваются вопросы постановки обратных задач гидравлических цепей на базе изучения нестационарных режимов, эти задачи являются аналогом известных задач идентификации или определения фактических параметров трубопроводных систем по результатам замеров давлений в узлах сети; формируется метод достаточного количества режимов в разнообразных постановках и разных возможностей измерения параметров движения.

В седьмой главе проводится качественный анализ траекторий с точки зрения устойчивости движения массы по трубопроводной системе; рассматриваются разнообразные критерии оценки устойчивости для линейных и линеаризованных систем дифференциальных уравнений; приводятся алгоритмы получения устойчивых матриц перехода для линеаризованных моделей гидравлических цепей на основе принципа обратной связи.

В заключении формулируются наиболее важные выводы и результаты по работе.

Диссертация отражает, в основном, результаты индивидуальной работы автора. Вместе с тем, в интересах целостности, связности и общности изложения в ней использованы также опубликованные результаты работ сотрудников лаборатории трубопроводных и гидравлических систем Сибирского энергетического института СО РАН. Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность коллегам по работе. Особую благодарность автор выражает чл.-корр. РАН А.П.Меренкову за ценные советы по содержанию и структуре диссертации, д.т.н. Б.М.Кагановичу за постоянный интерес, помощь

и советы, д.т.н. Е.В.