автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния

На правах рукописи

Козлова Ольга Викторовна

НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА НЬЮТОНА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

иил С4187

Москва 2007

003174187

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов (г Москва)

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Жидков Евгений Петрович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, доцент, Ланеев Евгений Борисович, Российский университет дружбы народов

кандидат физико-математических наук, Стрельцова Оксана Ивановна, Объединенный институт ядерных исследований

Ведущая организация

Московский государственный институт электроники и математики

Защита диссертации состоится «02» ноября 2007 г в 16 час 30 мин на заседании диссертационного совета К 212 203 08 в Российском университете дружбы народов по адресу 117923, г Москва, ул Орджоникидзе, д 3

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу 117198, г Москва, ул Миклухо-Маклая, д 6

Автореферат разослан « 02 » октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

МБ Фомин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования Моделирование квантовых и ядерных взаимодействий на протяжении многих лет является актуальной задачей, связанной как с решением фундаментальных проблем современной физики, так и с прикладными исследованиями структуры квантовых и ядерных рассеевающихся центров. Тема диссертации относится к моделированию процессов рассеяния микрочастиц на квантовых потенциалах, как дальнодействующих, так и короткодействующих, как в случае отсутствия связанных состояний, так и в случаи их присутствия К настоящему времени очень много результатов обратной задачи рассеяния (ОЗР) получено в области квантомеханических потенциалов, а также в области ядерных потенциалов в случае отсутствия связанных состояний Нами предпринята попытка построить и реализовать устойчивый метод решения ОЗР для случаев короткодействующих потенциалов при наличии связанных состояний

Обратной задаче рассеяния, задаче восстановления потенциала в уравнении Щредингера по тем или иным известным асимптотическим свойствам его решений (известна спектральная функция или предельная фаза) посвящено большое количество работ При определенных условиях были доказаны теоремы существования и единственности, разработаны методы, позволяющие фактически строить потенциал по предельной фазе как решение некоторого нелинейного уравнения

Использование этих результатов для решения задачи математической обработки экспериментальных данных по рассеянию связано с опре-

деленными трудностями Математический аппарат, применяемый в этих работах довольно сложен, что затрудняет проведение численных расчетов на основе этих работ Кроме того, обратная задача рассеяния является неустойчивой к погрешности входных данных, то есть некорректно поставленной Это делает необходимым применение методов регуляризации при приближенном решении нелинейных уравнений первого рода и построение регуляризирующих алгоритмов1

Наибольшую эффективность при численном решении задач этого круга показал непрерывный аналог метода Ньютона2, применявшийся в случае отсутствия связанных состояний В практических задачах связанные состояния, как правило присутствуют Поэтому весьма актуальна задача разработки численных методов решения задачи в этом случае

Цель работы: разработка алгоритма и эффективной численной схемы решения обратной задачи рассеяния при наличии собственных функций и собственных значений Достижение цели осуществляется решением следующих задач выбор и обоснование метода решения обратной задачи рассеяния в случае отсутствия связанных состояний, построение и реализация численного решения обратной задачи рассеяния в случае со связанными состояниями, построение решения вспомогательной задачи на собственные значения, применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач.

Научная новизна. В рамках достижения поставленной цели в работе получены следующие новые результаты

' Тихонов А Н, Арсенин В Я Методы решения некорректных задач М, Наука, 1979 " Жидков Е П, Пузынин И В О некоторых новых приложениях метода введения параметра к физическим задачам // В кн Совещания по программированию и мат методам решения физических задач Труды, ОИЯИ Д10-7707, Дубна, 1973

1 В отличии от изестных результатов других авторов в диссертации обосновано изменение порядка процедуры предельного перехода по временному параметру непрерывного аналога метода Ньютона и процедуры дифференцирования «фазовой функции» при построении уравнения Фредгольма I рода для решения

2 Впервые собраны в единый алгоритм процедуры решения частичных задач, на которые распадается процесс решения обратной задачи рассеяния с собственными значениями и собственными функциями, а именно

• построение приведенных параметров в процедуре сведения общей обратной задачи рассеяния к частной обратной задачи рассеяния без собственных значений,

• построение промежуточного потенциала приведенной обратной задачи рассеяния (без собственных значений),

• решение вспомогательной задачи на собственные значения и собственные функции для восстановления искомого потенциала исходной общей обратной задачи рассеяния (с собственными значениями)

3 Вспомогательная задача на собственные значения и собственные функции решается на основе непрерывного аналога метода Ньютона, то есть методом согласованным с методом решения других этапов общей задачи

Практическая ценность работы.

Разработанные в диссертации алгоритмы могут применяться в задачах квантовой механики, мезомолекулярной физики и теории ядра. Использование метода введения непрерывного параметра и метода регуля-

ризации, развитых в диссертации, для решения обратной задачи теории рассеяния позволяет при определении радиальной зависимости потенциала избежать предположений о конкретной аналитической зависимости потенциала от расстояния между взаимодействующими частицами Это дает возможность использовать этот факт при решении задачи упругого рассеяния нуклонов нуклонами (и решать задачу о нахождении потенциала системы двух нуклонов в более общем виде), в теории солитонов

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2002 - 2006), на международной конференции «Тихонов и современная математика» (2006), на научных семинарах под руководством профессора Е П Жидкова, профессора Л А Севастьянова, профессора Е Б Ланеева в РУДН, на семинаре МИЭМ под руководством доктора технических наук, профессора Афанасьева В Н

Публикации По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе три работы опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 108 наименований и трех приложений В ней имеется 23 рисунка и 6 таблиц Общий объем диссертации составляет 102 страницы

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, подчеркивается научная новизна и практическая ценность, конкретизиру-

ется цель исследования, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведено краткое описание содержания диссертации

В первой главе изложена классическая постановка прямой задачи, даны основные понятия и определения, которые использовались в работе Приведены постановки обратной задачи рассеяния, необходимые для изложения наших результатов в диссертации Отмечены трудности на пути восстановления потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости. Дан обзор основных результатов ОЗР

В первом параграфе обсуждается формулировка прямой задачи, дается общий обзор основных понятий терии рассеяния

Приведем основные сведения, которые понадобятся для дальнейшего изложения

В квантовой механике стационарное состояние системы, состоя-

1

щей из двух частиц с массами /я/ и т2 и энергией к" = Е можно описать волновой функцией удовлетворяющей уравнению Шредингера1

- ДЧЧ*) + v(x)Ч'(x) = к2*¥(х), где у(л:) - потенциал взаимодействия, |х| - расстояние между частицами. Разложение Ч'(л-) по сферическим гармоникам приводит к краевой задаче

и"+ [к2-1(1+ \)х'2-у(х)]и = 0, Оосссо, (1)-(2)

мДОД) = О / — значение орбитального момента

1 Ньютон Р Теория рассеяния волн и частиц М , «Мир», 1969

При достаточно быстром убывании у(х) при х —> °о

(ф:) = (ХхА~е), г > о), и вещественных к решение задачи щ(х,к) имеет асимптотику

и,(х,к)« А,(к)$т(кх + {л¡2)1 - 3,(к)), х -» со, (3)

А,(к) называется амплитудой, а 8, (к) - фазой рассеяния

Прямая задача состоит в решении уравнения Шредингера, определяющего движение частиц под действием сил при заданном потенциале В работе рассматривается задача для случая / = о

1" + [к2-у(х)]и= 0, 0 < х < со ^ [и(0Д) = 0

с так называемыми, короткодействующими потенциалами и предполагается, что у(х) вещественная измеримая функция, удовлетворяющая условию

\ хушЛ < со (6)

О 1 '

Это условие называем основным условием, и всюду в дальнейшем в работе считаем выполненым

При выполнении условия (6) спектр оператора (4)-(5) непрерывен на полуоси к?->0 и состоит из конечного числа отрицательных собственных

значений \кг Г , . к = гг , у > 0.

" т )т=1 т л т' Лт и

Во втором параграфе собраны сведения о решениях задачи (4)-(5), введены определения функции рассеяния, данных рассеяния, функции Йоста

При выполнении условия (6) задача (4)-(5) допускает решения /(у,х,к), определяемые условиями

/(у,х,к) Ьш / (у; х, к) ехр(-/Ах) = 1 > 1т£>0, (7)

а также решения

ф,х,к) <р(у,0, к) = 0, (рх (у,О, к) = 1 (8)

Решения /(у.х,к) принято называть решениями Йоста Функциями Йоста называются значения решений Йоста /(у, х, к) при л: = О /(у,ХД) = /(У,0Д), 1тА: > О

Функция

!(у,к) = /(у,-к)//(у,к) = ехр{-2гЗ(к)}, -«<*<«> (9) называется функцией рассеяния, где 5{к) - уже введенная с помощью (3) фаза рассеяния Набор величин

= 0 < А < оо, х», С,„(у), т-\, (Ю)

где

нормирующие множители для собственных функций ср(у,х, 1%т), называется данными рассеяния краевой задачи (4)-(5)

В параграфе приведены результаты Марченко В А1, им были найдены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетво-

1 Марченко В А Спектральная теория Штурма-Лиувилля Киев, 1972

рять величины (10) для того, чтобы служить данными рассеяния краевой задачи (4)-(5)

В третьем параграфе наряду с описанной классической постановкой - рассматривается постановка с использованием фазового уравнения

2

у'(х, к) = -\>{х) вт [кх + у(х, £)]/ к (к- параметр)

(12)

Начальное условие (5) при этом переходит в начальное условие

Я0Д) = 0 (13)

для уравнения (12)

При выполнении условия (6) решение задачи (12)-(13) обладает свойством

\\ту(х,к) = д{к) (14)

X—КО

В четвертом параграфе сформулирована прямая задача рассеяния, как нелинейное операторное уравнение, введены нормы в пространствах потенциалов и данных рассеяния

Соответствие относящее каждому потенциалу V его

данные рассеяния 5 (к) позволяет определить отображение р х -> Г из V

пространства потенциалов X в пространство данных рассеяния У

^(¿) = Л>) (15)

Воспользуемся определениями1

• Х - пространство вещественных функций \(х) с нормой

1 Жидков Е П, Малышев Р В, Христов Е X Решение обратной задачи теории рассеяния методом Ньютона // Сообщения ОИЯИ Р5-9063, Дубна, 1975

о

• £2(А0 с: X, N = 0,1, - множество потенциалов, для которых задача (1)-(2) имеет ровно N собственных чисел На множестве £2(0) отображение Р определяется следующим образом ду(к) = Р(у), V е £2(0), <5уеГ, 0<к«х>

Область его значений содержится в пространстве У0 вещественных функций С (к), представимых в виде

ОО 00

О 0

с нормой =

о

Равенством />(у) = £„(*),

5у(*) = ||<У*) + 2 |^Т"}'0 < к |

отображение Р(у) определено на множестве О(Л'), Л' = 1,2 , где - собственные значения, С„(у) нормирующие множители (11) Область значений рр содержится в пространстве у^ = г0 © ©

Отображение р х-* У с введенными таким образом нормами Ц^ и 1П|у определяет оператор Р(у) В параграфе приведены основные дифференциальные свойства, построенного таким образом, оператора

В пятом параграфе дан обзор результатов по обратной задаче рассеяния Приведены интегральные уравнения Крейна, Марченко, Гельфанда-Левитана Дан обзор литературы по этой теме.

В шестом праграфе в рамках модели (12)-(14) ставится обратная задача рассеяния в териминах фазовых функций по заданной функции 5{к){0<к<оо) найти такую функцию у(х)(0 < х < со), чтобы решение у(х,к) задачи Коши (12)—(13) с потенциалом у(х), давало заданную предельную фазу б (к) в силу соотношения (14)

После чего, в рамках терминов и понятий прямой задачи рассеяния (см соотношение (15)) обратная задача рассеяния сформулирована как нелинейное операторное уравнение

/»00 = 5(*) (16)

В такой постановке обратной задачи рассеяния в дальнейшем в работе будет использован метод введения непрерывного параметра

Во второй главе развита идея применения непрерывного аналога метода Ньютона решения обратной задачи теории рассеяния без собственных значений и собственных функций на случай обратной задачи рассеяния с их наличием Показано, каким образом собственные значения, если они существуют, входят в процедуру вычисления потенциала

В первом параграфе приведен обзор метода введения непрерывного параметра

Во втором параграфе построено устойчивое решение нелинейного операторного уравнения (16) обратной задачи рассеяния, которое в случае отсутствия собственных значений принимает вид

РЬ) = 6{к) О?)

Для ОЗР с собственными значениями приведены расчетные формулы для вычисления вспомогательной фазы рассеяния и вспомогательного потенциала

Далее задача сведена к решению интегрального уравнения Фред-гольма I рода В функции у(х,к) и v(x) введена зависимость от параметра г(0 < t < оо), после чего обе части фазового уравнения (12) и условие (13) продифференцированы по параметру t Решение полученной в результате дифференцирования задачи относительно у'((х,к) при известной функции у(х, к) выражается следующим образом1

y't(x,t) = -—Jv' (s,г)sin2 [ks + >>(•*,/)]expi - ~ J v(<f,f)sm l[kZ + y(£,f )]*f Idr (18)

кО l к s J

На основе последних преобразований в диссертации доказаны следующие леммы, которые лежат в основе построения устойчивого метода решения решения ОЗР

Лемма 1: Пусть функция y(x,k,t), являющаяся решением задачи (12)-(13), а также функция y'f(x,k,t), являющаяся решением соответствующей

задачи (задача (2 2 3)-(2 2 4) в диссертации), непрерывны по совокупности x,t Тогда, предельное значение \\т у' (x,k,t) равно производной предельного значения umy(x,k.t)> т е возможна перестановка операций предельного перехода (по х) и взятие производной (по t) \my',{x,k,t) = — hmy(x,k,t)

Л'- > Х X-> -S-

1 Жидков Е П , Макаренко Г И, Пузынин И В Непрерывный аналог метода Ньютона

нелинейных задачах // ЭЧАД 1973, т 4, вып 1, с 127

Из условий (14) и (17) следуют равенства производных

at at

Следствие Из леммы 1, с учетом условия (14) и равенства (17) вытекает, что

— p[v(.t,?)] = --- [v't(x,t)sm^\kx + >'(jr,0]expJ - — Jv(|,¿)sin + y{4,t)\lÁdx (20)

dt к 0 [ H J

Далее, рассмотрено уравнение непрерывного аналога метода Ньютона, примененного к (17)

d (p[v(.x, /)] - S'(k))/dt = -[P(v) - <?*(*)] (21)

Левая часть уравнения совпадает с выражением (20) В силу этого, (21) может быть представлено в форме интегрального уравнения

00 í J J 00

¡vt (x,t)sin[b + y(x,t)]exp[— ¡V(í,t)sm2[kg + y(Z,t)d4№ = О к x

= k[P{v)-8\k)} (22)

Далее в диссертации с помощью дискретизации

v(í + r)-v(0

V, (х,?)®-—'

г

проведен переход задачи (22) к ее дискретному аналогу

cov , л — Vfi 2 í 1 ® )

í -Sin [кх + у„ (х)] ехр^ — [vn sm 2[кс + у„ (4Ш \dx =

О ги I кх J

= k[P(v„)-S'(k)] (23)

Полученные результаты и конструкции позволяют доказать следующую лемму

Лемма 2 Пусть задана функция 8*{к), удовлетворяющая условиям основной теоремы Марченко В А (существования и единственности ОЗР),

тогда существует у0 е Г2(0), такое что последовательность {ул }л=0, где уп

определяется из (23), сходится по норме пространства X к потенциалу V*, для которого фаза рассеяния равна заданной фазе ¿'(к) С целью упрощения численных алгоритмов, обозначим приращение потенциала

V,

• (24)

У+\ уп

т„

в результате чего приходим к уравнению

J4+1 sm2 [кх + у„ (х)) expj- - Jv„ sm + у„ =

= ф>(у„)-<Г(*)] (25)

Таким образом, обратная задача рассеяния сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода Задача о его решении является некорректной Для ее решения в работе мы применяем метод регуляризации для интегральных уравнений первого рода, разработанный А H Тихоновым. Для нахождения приближенного (регуляризованного) решения уравнения Фредгольма I рода достаточно найти функцию, минимизирующую сглаживающий функционал и параметр регуляризции

ЛГ ЫНК-V,-<ï + (26)

где

Iх il* ]

A"z"+i=1 /z"+i (х) sin 2[кх+у"(JC)] ехрг i Кw sm 2^+Уп '

u>[P{v„)-ôe{k)b (27)

о[гп+1]-стабилизирующий функционал, а > 0-параметр регуляризации

Решение задачи минимизации функционала Тихонова рассмотрено в третьем параграфе

Алгоритм вычисления собственных значений в случае наличия связанных состояний в задаче приведен в четвертом параграфе главы

В третьей главе приведены результаты численных экспериментов, на основе расчетных формул, полученных во второй главе

В первом параграфе для модельных исходных потенциалов1, не допускающих связанных состояний, решена прямая задача вычисления предельной фазы После этого решалась обратная задача рассеяния с несколькими вариантами входных данных и стабилизирующих функционалов в методе тихоновской регуляризации построения сглаживающего функционала (26) Процесс минимизации сглаживающего функционала итеративный функционал минимизируется при заданном параметре регуляризации а Определение а осуществляется по невязке

В качестве стабилизирующего функционала выбирался2 функционал й[у] = ||г'-г',||2 с нормами в пространствах ш] и ж,2 и «затравочными» потенциалами у. = 0 и V, * 0 Численные эксперименты показали, что результат не зависит от того, равен или не равен нулю у. Получены следующие результаты за меньшее время вариант с нормой дает лучшую точность в евклидовой метрике сеточных функций, численно моделирующих исходный потенциал

Жидков Е П, Малышев Р В , Христов Е X О расчете на ЭВМ обратной задачи рассеяния // Сообщения ОИЯИ Р5-9923, Дубна, 1976

" При численных расчетах выбор стабилизирующего функционала определялся с учетом (24)

В качестве входных данных выбирались различные значения начального потенциала в общем алгоритме решения ОЗР и различные начальные значения г0 при минимизации тихоновского функционала. Численные эксперименты показали, что надлежащий выбор г0 приводит к

меньшему числу итераций. Путем численных расчетов проиллюстрирована зависимость степени точности восстановления потенциала от точности задания входных данных. Численные эксперименты показали, что потенциал восстанавливается практически с такой же точностью, с какой заданы данные рассеяния.

На рис.1 приведены результаты решения обратной задачи рассеяния для потенциала у(х) = 0,75(3*-2)(3;е-4) ехр(-(3.х/4)2). Стабилизирующий функционал ||у-уг|2 выбирался с нормой в щ2, V, = 0 ■

Рис.1 Решение ОЗР без собственных значений, п=130\ норма стабилизирующего

функционала из И/22.

а) у0-значение начального потенциала. V'-значение восстанавливаемого потенциала, V,, - значение расчетного потенциала Ь) 8* - значение экспериментальной фазы, д„ -значение расчетной фазы, соответствующее расчетному потенциалу V,,.

Во втором параграфе для потенциалов допускающих связанные состояния' решена прямая задача вычисления предельной фазы. Вычисленная фаза принимается за экспериментальную. Количество собственных значений, соответствующее экспериментальной фазе, проверяется из условия теоремы Марченко для фазы рассеяния. По приведенным в диссертации формулам, строится новая фаза, для которой собственные значения отсутствуют. Для новой фазы решается обратная задача рассеяния (без собственных значений). По построенному таким образом «промежуточному» потенциалу ОЗР (без собственных значений) вычисляется (по приведенным в диссертации формулам) реальный потенциал, соответствующей исходной экспериментальной фазе.

На рис.2 приведены результаты для потенциала с одним собственным значением ф:) = (4-5*)ехр(-*)> ^ = 0,539Ь норма стабилизи-

рующего функционала ||у - у.||~ в этом примере выбиралась в Ж? , у. = 0 •

Рис.2 Решение ОЗР с одним собственным значением, п=153: норма стабилизирующего функционала из И7/', а) у -значение восстанавливаемого потенциала, у„*-значение расчетного потенциала, у„° - значение «промежуточного» потенциала без собственных значений, вос-

1 Визнер Я., Жидков Е.П., Лелек В. и др. Итерационные методы решения обратной задачи теории рассеяния. // ЭЧАЯ, 1978, т.9, вып.З, с.711

становленного по «откорректированной» фазе Ь) <5*°- значение экспериментальной «откорретированной» фазы, 3„° -значение расчетной фазы, соответствующее расчетному потенциалу V,,0

Приведенные численные результаты подтверждают правильность

и эффективность разработанного алгоритма и созданного комплекса

программ

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации

На защиту выносятся следующие результаты

1 Предложен и обоснован метод решения обратной задачи рассеяния в случае связанных состояний на основе непрерывного аналога метода Ньютона

2 Разработан алгоритм полного устойчивого численного решения обратной задачи рассеяния со связанными состояниями

3 Предложен алгоритм решения вспомогательной задачи на собственные значения и собственные функции для построения приведенной фазы в методе сведения обратной задачи рассеяния со связанными состояниями к обратной задаче рассеяния без связанных состояний

4 Эффективность метода предложенных алгоритмов и программная реализация показана на модельных задачах

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Жидков Е П , Козлова О.В Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче рассеяния //Вестник РУДН Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2004, Т 3 №1 2004, с 99-105

2 Жидков Е П, Козлова О.В. Связанные состояния в обратной задаче рассеяния // Вестник РУДН Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2005, Т 4, № 1, с 67-75

3 Жидков Е П, Козлова О.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния при наличии собственных функций и значений Математическое моделирование, 2006, Т 18, № 2, с. 120-128

4 Жидков Е П , Козлова О.В. Некоторые методы решения обратной задачи теории рассеяния XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин Тезисы докладов Физические секции - М Изд-во РУДН, 2002 - с 44

5 Жидков Е П , Козлова О.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин Тезисы докладов Физические секции - М Изд-во РУДН, 2003 - с.7

6 Жидков Е П , Козлова О.В. О методе регуляризации решения интегрального уравнения в обратной задаче рассеяния ХЬ Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин Тезисы докладов Физические секции - М Изд-во РУДН, 2004.-с 159-160

7 Жидков Е П, Козлова О.В. Связанные состояния в обратной задаче рассеяния ХП Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания есте-

ственнонаучных дисциплин Тезисы докладов Физические секции - М Изд-во РУДН, 2005 - с 13-14

8 Жидков Е П, Козлова О.В. Численные методы в обратной задаче рассеяния при наличии собственных функций и значений ХЫ1 Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин Тезисы докладов Физические секции - М Изд-во РУДН, 2006 - с 58.

9 Жидков Е П , Козлова О.В. Численные методы в обратной задаче рассеяния при наличии собственных функций и значений Международная конференция «Тихонов и современная математика» Тезисы докладов секции «Математическое моделирование» М , Июнь 19-25 2006, с 199-200

Козлова Ольга Викторовна

Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния

В диссертационной работе предложен и обоснован численный метод решения обратной задачи рассеяния, задачи восстановления потенциала по фазе рассеяния в уравнении Шредингера, в случае связанных состояний на основе непрерывного аналога метода Ньютона Разработан алгоритм и эффективная численная схема решения обратной задачи рассеяния при наличии собственных функций и собственных значений

Kozlova Olga

The continuous analogue of Newton's method in an inverse scattering problem theory

In this thesis we have presented and proved the numerical solution method for an inverse scattering problem, for the problem of reconstruction of a potential in the Schrodmger equation, in case of presence of bounded states based on contmuous analogue of Newton's method Also, algorithm and effective scheme was found to solve an inverse scattering problem using eigenfunctions and eigenvalues

Подписано в печать 28 09 2007 г Исполнено 01 10 2007 г Печать трафаретная

Заказ № 789 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш , 36 (495)975-78-56 www autoreferat ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ.

1.1. Краевая задача теории рассеяния. Вспомогательные предложения.

1.2. Решения /(х,к) и <р(х, к). Существование, связь.

1.3. Фазовое уравнение.

1.4. Задача рассеяния как нелинейное операторное уравнение N = 0, N> 0.

1.5. Обратная задача рассеяния. Классическая постановка. Обзор основных результатов.

1.6. ОЗР в терминах фазовых функций. ОЗР как нелинейное операторное уравнение.

ГЛАВА 2. НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА НЬЮТОНА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ.

2.1. Описание метода.

2.2. Построение решения обратной задачи рассеяния.

2.3. Решение интегрального уравнения.

2.4. Наличие дискретного спектра. Вычисление собственных значений.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

3.1. Вычисление потенциала без собственных значений.

3.2. Вычисление потенциала с собственными значениями.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы.

В первой главе изложена классическая постановка прямой задачи, даны основные понятия и определения, которые использовались в работе. Приведены постановки обратной задачи рассеяния, необходимые для изложения наших результатов в диссертации. Отмечены трудности на пути восстановления потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости. Дан обзор основных результатов обратной задачи теории рассеяния.

В первом параграфе обсуждается формулировка прямой задачи, дается общий обзор основных понятий терии рассеяния: фаза рассеяния, амплитуда рассеяния. Приведены рассуждения, помогающие понять основные особенности спектра сформулированной задачи.

В квантовой механике стационарное состояние системы, состоящей из двух частиц с массами Щ и т2 и энергией к2 =Е можно описать волновой функцией удовлетворяющей уравнению Шредингера [91]:

- Д¥(х) + = , где v(*) - потенциал взаимодействия, - расстояние между частицами. Разложение Ч^по сферическим гармоникам приводит к краевой задаче: и" + [к2 -1(1 + l)x~2 - v(x)]u = О, 0 < jc < оо, т ir\ п (0.1)-(0.2) u}(v,k) = 0. - значение орбитального момента.

При достаточно быстром убывании v(x) при х->аэ и вещественных к решение задачи и{(х,к) имеет асимптотику: иj {х, к) я At (к) sin(fo: + (л-/2)/ - Sl (к)), х -> оо,

0.3)

Aj(k) называется амплитудой, a St(k) - фазой рассеяния или сдвигом фазы.

Прямая задача состоит в решении уравнения Шредингера, определяющего движение частиц под действием сил при заданном потенциале.

В работе рассматривается задача для случая / = 0. и" + [к2 - v(JC)]M = 0, 0 < j < оо u(0,k) = 0 ' (0.4X0.5) с так называемыми, короткодействующими потенциалами и предполагается, что v(x) вещественная измеримая функция, удовлетворяющая условию

00

Jx|v(x)|^<00> (0.6) о

Это условие называем основным условием, и всюду в дальнейшем в работе считаем выполненым.

Во втором параграфе собраны сведения о решениях задачи (0.4)-(0.5), введены определения функции рассеяния, данных рассеяния, функции Йоста.

Приведены результаты Марченко В.А. [87], который доказал что даные рссеяния определяют однозначно задачу (0.4)-(0.5). Им были найдены необходимые и достаточные условия.

В третьем параграфе наряду с описанной классической постановкой - рассматривается постановка с использованием фазового уравнения у'(х, к) = —v(x) sin2 [кх+у(х, к)]/ к (к- параметр). (0.7)

Начальные условия (0.5) при этом переходят в начальное условие у(0,к) = 0 (0.8) для уравнения (0.7).

При выполнении условия (0.6) решение задачи (0.7)-(0.8) обладает свойством шу{х,к) = 8{к). (0.9) t

В четвертом параграфе сформулирована прямая задача рассеяния, как нелинейное операторное уравнение, введены нормы в пространствах потенциалов и данных рассеяния.

Соответствие v->S (к), относящее каждому потенциалу V его данные рассеяния S^(к) позволяет определить отображение P:X->Y из пространства потенциалов X в пространство данных рассеяния Y.

Sy(k) = P(v). (0.10)

В пространствах X и Y вводятся нормы, показано, что отображение P:X->Y, с введенными нормами, определяет непрерывный оператор. В параграфе приведены основные дифференциальные свойства оператора Р.

В пятом параграфе дан обзор результатов по обратной задаче рассеяния. Приведены интегральные уравнения: Крейна, Марченко, Гельфанда-Левитана. Дан обзор литературы по этой теме.

В шестом праграфе в рамках модели (0.7)-(0.9) ставится обратная задача рассеяния в териминах фазовых функций: по заданной* функции найти такую функцию v(x) (0 < х < оо) ? чтобы решение у{х,к) задачи Коши (0.7)-(0.8) с потенциалом "К*), давало заданную предельную фазу S(k) в силу соотношения (0.9).

После чего, в рамках терминов и понятий прямой задачи рассеяния (см. соотношение (0.10)) обратная задача рассеяния сформулирована как нелинейное операторное уравнение:

P(v) = S(k). (0.11)

В такой постановке обратной задачи рассеяния в дальнейшем в работе будет использован метод введения непрерывного параметра.

Во второй главе развита идея применения непрерывного аналога метода Ньютона решения обратной задачи теории рассеяния без собственных значений и собственных функций на случай обратной задачи рассеяния с их наличием. Показано, каким образом собственные значения, если они существуют, входят в процедуру вычисления потенциала.

В первом параграфе приведен обзор метода введения непрерывного параметра.

Во втором параграфе построено устойчивое решение нелинейного операторного уравнения (0.11) обратной задачи рассеяния , которое в случае отсутствия собственных значений принимает вид

Р(у) = S(k). (0.12)

Для ОЗР с собственными значениями приведены расчетные формулы для вычисления вспомогательной фазы рассеяния и вспомогательного потенциала. Далее задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода с помощью непрерывного аналога метода Ньютона. Обосновано изменение порядка процедуры предельного перехода по временному параметру непрерывного аналога метода Ньютона и I процедуры дифференцирования «фазовой» функции при построении уравнения Фредгольма I рода для решения.

Задача о решении интегрального уравнения Фредгольма I рода является некорректной задачей. Для ее решения в работе мы применяем метод регуляризации для интегральных уравнений первого рода, разработанный А.Н.Тихоновым.

Решение задачи минимизации функционала Тихонова рассмотрено в третьем параграфе.

Алгоритм вычисления собственных значений в случае наличия связанных сотояний в задаче приведен в четвертом параграфе главы.

В третьей главе приведены результаты численных экспериментов, на основе расчетных формул, полученных в третьей главе.

В первом параграфе для модельных исходных потенциалов [46], не допускающих связанных состояний, решена прямая задача вычисления предельной фазы. После этого решалась обратная задача рассеяния с несколькими вариантами входных данных и стабилизирующих функционалов в методе тихоновской регуляризации построения сглаживающего функционала.

Во втором параграфе для потенциалов допускающих связанные состояния [19] решена прямая задача вычисления предельной фазы. Вычисленная фаза принимается за экспериментальную. Количество собственных значений, соответствующее экспериментальной фазе, проверяется из условия теоремы Марченко для фазы рассеяния. По приведенным в диссертации формулам, строится новая фаза, для которой собственные значения отсутствуют. Для новой фазы решается обратная задача рассеяния > (без собственных значений). Построенный таким образом «промежуточный» потенциал обратной задачи рассеяния (без . собственных значений) сравнивается с исходным.

Приведенные численные результаты подтверждают правильность и эффективность разработанного алгоритма и созданного комплекса программ.

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации.

Полученные в диссертации результаты опубликованы в 9 работах [58-66], в том числе в трех работах опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2002,2003,2004,2005,2006); на международной конференции «Тихонов и современная математика» (2006); на научных семинарах под руководством профессора Е.ШКидкова, профессора Л.А.Севастьянова, профессора Е.Б.Ланеева в РУДН, на семинаре МИЭМ под руководством доктора технических наук, профессора Афанасьева В.Н.

1. LevinsonN. «Kgl.danske vid. selskab. Mat.-fys.medd», 1949, Bd 25, №9.

2. Jost R., Kohn W. «Phys.Rev.», 1952, v.88, p.382.

3. Jost R., Kohn W. Kgl.danske vid. selskab. Mat.-fys.medd», 1953, Bd 27, .№9.

4. Swan P., Pearse W.A., Nucl. Phys. 79,77,1966.

5. Ulehlal. e.a. «Phys.Ber.», 1969, Bd 19, s.1570.

6. Ulehla I. e.a.Rutherford Laboratory Preprint, RPP/C/41, March, 1972.

7. Ulehla I, Lehar F.,Bystricky I. Preprint E-2440, Dubna, 1965. 8. O.Bergmann, Acta Phys.Soc. Austdaca 4,62 (1950). 9. G.I.Kynch, Proc. Phys.Soc. A65, 83, 94 (1952). 10. P.O.Olsson, Ark. Fys. 4,217 (1952). 1 l.P.M.Morse a. W.P.Allis, Phys. Rev. 44,269 (1933). 12.M.M.Crum. The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford, 6, 2, 121-128,1955.

8. Агранович 3.C., МарченкоВ.А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков, Изд-во Харьковского университета, 1960. Ы.Ахиезер Н.И. Лекции по теори аппроксимации. М., «Наука», 1965

9. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М., «Наука», 1968.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельников Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 84

11. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. Издательство Московского университета, 1983.

12. Визнер Я., Жидков Е.П., Лелек В. и др. Итерационные методы решения обратной задачи теории рассеяния. ЭЧАЯ, 1978, т.9, вып.З, 711. 2О.Визнер Я., Жидков Е.П., Лелек В. Метод расчета нотенциала нутем введения параметра. Сообщения ОИЯИ Р5-3895, Дубна, 1968. 21.By Т.Ю., Омура Т. Квантовая теория рассеяния. М., «Наука», 1969.

13. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных процессов. Изв. вузов. Серия математика, 1958, №5(6), 18.

14. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М., «Наука», 1971.

15. Гельфанд И.М., Левитан Б.М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, 15, 309,1951.

16. Давыдов А.С. Квантовая механика. М., «Наука», 1973. 26.Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М., «Мир», 1966.

17. Денисов A.M. О численном решении обратной задачи рассеяния. ЖВМ и МФ, 1977, т.17, №3, с.753-756.

18. Денисов A.M. Вестник МГУ (выч.мат.киберн.), №2, с.77,1978.

19. Дирак П. Лекции по квантовой механике. М., «Мир», 1968. ЗО.Друкарев Г.Ф., Об определении фазы волновой функции при рассеянии частиц. //ЖЭТФ, т. 19,247,1949.

20. Дьяконов В.Н. MATLAB 6: учебный курс. СНб.: Нитер, 2001. 85

21. Егикян Р.С, Жидков Е.П. К теории непрерывного аналога метода Ньютона. Сообщения ОИЯИ Р11-84-361, Дубна, 1984. Зб.Егикян Р.С, Жидков Е.П. Квадратурные формулы для интеграла Фурье, основанные на сплайн-интерполяции. Сообщения ОИЯИ Р5-87285, Дубна, 1987.

22. Егикян Р.С, Жидков Е.П. О конечно-разностном подходе в обратной задаче рассеяния. Сообщения ОИЯИ Р5-85-858, Дубна, 1986

23. Егикян Р.С, Жидков Е.П. О решении обратной задачи рассеяния на полуоси. В кн.: 4 международный симпозиум .по избранным проблемам статистической механики. Сборник аннотаций. ОИЯИ, Д1787-477, Дубна, 1987, с. 34.

24. Егикян Р.С, Жидков Е.П. Об одном методе решения обратной задачи рассеяния. Сообщения ОИЯИ Р5-85-366, Дубна, 1985. 4О.Егикян Р.С, Жидков Е.П. Об устойчивом суммировании интегралов Фурье некоторыми регулярными методами. Сообщения ОИЯИ Р11-84-360, Дубна, 1984.

25. Жидков Е.П. Некоторые нелинейные задачи современной физики и математические методы их решения. Докторская диссертация. ОИЯИ, Дубна, 1970. 42.ЖИДКОВ Е.П., Казаринов Ю.М., Макаренко Г.И, Ракитский А.В. Решение обратной задачи рассеяния методом введения непрерывного параметра. Сообщения ОИЯИ Р1-5306,1970. 86

26. Жидков Е.П., Козлова О.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния при наличии собственных функций и значений. Математическое моделирование, 2006, Т. 18, 2, 120-128.

27. Жидков Е.П., Козлова О.В. О методе регуляризации решения интегрального уравнения в обратной задаче рассеяния. XL Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. М.: Изд-во РУДН, 2004. 159-160.

28. Жидков Е.П., Козлова О.В. Связанные состояния в обратной задаче рассеяния. Применение робастной схемы прогнозирования временных рядов для решения задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей.//Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2005, Т. 4, 1, 67-75.

29. Жидков Е.П., Козлова О.В. Связанные состояния в обратной задаче рассеяния. XLI Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. М.: Изд-во РУДН, 2005. 13-14.

30. Жидков Е.П., Козлова О.В. Численные методы в обратной задаче рассеяния при наличии собственных функций и значений. XLII Всероссийская информатики, научная физики, конференция химии и по проблемам методики математики, преподавания 89

31. Дубна, 1978. 68.3ахарьев Б.Н., Мельников В.Н., Рудяк Б.В., Сузько А.А. Обратная задача рассеяния (конечно-разностный нодход). ЭЧАЯ, 1977, Т.8, ВЫН.2, 290.

32. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М., «Наука», 1978. 7О.Калиткин Н.Н. Численные методы. М., «Наука», 1978.

33. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций и теории потенциального рассеяния. М., «Мир», 1972.

34. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., Физматиз, 1959.672-693

35. Короп В.Ф. Сиб.математический журнал, т.П, №5, 672-693, 1961.

36. Крейн М.Г. ДАН СССР, 94, с.987,1953.

37. Крейн М.Г. ДАН СССР, 97, с:21,1954.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т.З. М., «Наука», 1969.

39. Левин Б.Я., ДАН СССР, 106,187-190,1956.

40. Левитан Б.М. Достаточные условия разрешимости обратной задачи теории рассеяния на всей прямой. Мат.сб., 1979, т. 108, №3, с.350-357. 90

41. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение

42. Левитан Б.М. Онераторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. Физматгиз М., 1962.

43. Лундина характеризующих Д.Ш., Марченко В.А. Уточнение неравенств, устойчивость обратной задачи теории рассеяния. //Математический сборник. т.78(120), №4, с.475 484,1969.

44. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., «Наука», 1965.

45. Марченко В.А. Некоторые вонросы теории дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР, т.72, с.457,1950.;

46. Марченко В.А. Устойчивость обратной задачи теории рассеяния.//Мат.сб.,77(119), 139,1968.

47. Марченко В.А. Спектральная теория операторов ШтурмаЛиувилля. Киев. «Наукова думка», 1972.

48. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев. «Наукова думка», 1977.

49. Мельников В.К. О приближенных методах в обратной задаче квантовой теории рассеяния. УМН, 1959,14, вып.4, с.121-131.

50. Мельников В.К. Мат. Сборник, т.1О8, с.378,1979.

51. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М., «Мир», 1969.

52. Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. М.: «Едиториал УРСС», 2003 91

53. Пузынин И.В., Амирханов И.В., Земляная Е.В., Первушин В.Н., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных вантовополевых моделей. ЭЧАЯ, 1999, т.ЗО, вын.1.

54. Соболев Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., «Наука», 1988. 96.ТИХОНОВ А.Н., Арсении В.Я., Методы решения некорректных задач. М., «Наука», 1974. 97.ТИХОНОВА.Н. ДАН СССР, 156,1,1964.

55. Фадеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. В кн. Современные проблемы математики, т.З, М., ВИНИТИ, 1974, с.93.

56. Фадеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. УМН, 1959, Т.14, ВЫП.4 (88), стр.57.

57. Фадеев Л.Д. Свойства s-матрицы одномерного уравнения Шредингера. Мат.инст. им. Стеклова АН СССР, т.73, с.314,1964.

58. Фадеев Л.Д. ДАН СССР, тЛ21, с.63, 1958 (гл.7, §5; предисловие)

59. Фадеев Л.Д. Факторизация s-матрицы многомерного оператора Шредингера. ДАН СССР, т. 167, .№1, с.69,1966.

60. Фадеев Л.Д. Квантовая механика для математиков.

61. Фадеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантово механике для студентов математиков. Издательство ЛГУ, 1980.

62. Задачи по квантовой механике. Т.1-2. М.., «Мир», 1974

63. Христов Е.Х. Препринт ОИЯИ Р5-11251, Дубна, 1978. 92

64. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М., «Мир», 1980. 93