Нелинейные стохастические колебания

Ряшко, Лев Борисович

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Нелинейные стохастические колебания

доктора физико-математических наук: Ряшко, Лев Борисович
город: Екатеринбург
год: 2006
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Нелинейные стохастические колебания»

Автореферат диссертации по теме "Нелинейные стохастические колебания"

На правах рукописи

РЯШКО Лев Борисович

НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ: УСТОЙЧИВОСТЬ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ, УПРАВЛЕНИЕ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2006

Работа выполнена на кафедре математической физики Уральского государственного университета им. А.М.Горького

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Б.И. Ананьев

доктор физико-математических наук профессор В.В. Дикусар

доктор физико-математических наук профессор A.B. Назин

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита состоится 30 мая 2006 г. в часов на заседании диссертационно-

го совета Д 212.133.01 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б.Трехсвятительский пер., д.3/12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан апреля 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

С.Е. Вузников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предыстория и актуальность темы. Диссертация посвящена анализу устойчивости, чувствительности и возможностей управления в стохастически возмущенных нелинейных динамических системах. Объектом исследования являются компактные инвариантные многообразия, связанные с точками покоя, периодическими и квазипериодическими решениями стохастических дифференциальных уравнений.

Исследования последних лет показали, что разнообразие, наблюдаемое в поведении нелинейных динамических систем, можно свести к анализу относительно простых инвариантных многообразий и их качественных преобразований (бифуркаций). Так, например, одним из стандартных сценариев перехода от порядка к хаосу служит цепь последовательных бифуркаций: положение равновесия (точка покоя) - периодические колебания (цикл) - квазипериодические колебания (тор) - хаотические колебания (странный аттрактор). Каждый такой переход сопровождается потерей устойчивости простого многообразия и рождением нового, более сложного устойчивого многообразия. Присутствие случайных возмущений, связанных как с внешними неконтролируемыми воздействиями, так и внутренними параметрическими флуктуациями, может существенно повлиять на тонкий механизм бифуркаций и вызвать неожиданные качественные изменения в поведении системы. Анализ стохастической устойчивости соответствующих колебательных режимов является здесь ключевым моментом в понимании механизма сложных явлений нелинейной динамики. Разработка методов управления даст возможность, придавая аттракторам те или иные желаемые вероятностные свойства, решать важные прикладные задачи синтеза систем с требуемыми наперед заданными характеристиками.

В современной теории случайных процессов имеется большое количество различных динамических моделей, отражающих те или иные вероятностные особенности исследуемых реальных систем. В данной работе рассматривается классическая модель - система стохастических дифференциальных уравнений Ито. Первым примером стохастического дифференциального уравнения в физике было уравнение Ланжевена, которое оказалось идейно связано с предложенной Эйнштейном и Смолуховским конструкцией броуновского движения. Развитие математической теории броуновского движения, начатое в работах Винера, привело к разработке его формальных моделей - винеровского процесса и мартингала.

Построение теории стохастических дифференциальных уравнений с использованием соответствующих разностных уравнений дано в работах С.Н. Берн-штейна и И.И. Гихмана. Другой подход, опирающийся на конструкцию стохастического интеграла по винеровскому процессу, использовал Ито. Его простая

и удобная конструкция решения стохастического уравнения и соответствующее стохастическое исчисление (формула Ито) являются общепринятыми и хорошо представлены в научно-методической литературе. Система стохастических уравнений Ито служит базовой моделью в современной теории стохастической устойчивости и управления. Дальнейшая разработка стохастического анализа привела к появлению новых конструкций и более общих схем (интеграл Стра-тоновича, интегралы по мартингалам и точечным процессам), позволяющих существенно расширить класс стохастических дифференциальных уравнений. В настоящее время стохастические дифференциальные уравнения имеют хорошо разработанную формальную математическую теорию и разнообразные приложения.

Современная математическая теория устойчивости и управления стохастическими системами охватывает широкий круг актуальных задач, включает большое число разнообразных методов, имеет прочные связи с другими разделами математики и многочисленные приложения. Ее становление относится к шестидесятым годам ХХ-го столетия и связано с именами H.H. Красовсхого, Р.З. Хасьминского, Г.Дж. Кушнера (Y.J. Kushner), У.Флеминга (W.H. Fleming). Существенный вклад в ее дальнейшее развитие внесли В.Н. Афанасьев, И.И. Гяхман, Л.Г. Евланов, И.Я. Кац, В.Б. Колмановский, В.М. Константинов, Д.Г. Кореневский, Н.В. Крылов, A.B. Куржанский, М.Б. Левит, Э.А. Лидский, Г-Н. Милынтейн, М.Б. Невельсон, П.В. Пакшин, A.B. Скороход, Е.Ф. Царьков, Ф.Л. Черноусько, Л.Е. Шайхет, М. Aoki, L. Arnold, K.J. Astrom, J.E. Bertram, R.S. Bucy, M.H.A. Davis, U.J. Haussman, D.L. Kleinman, P. Kozin, X. Mao, P.J. McLane, J.S. Meditch, T. Morozan, P.E. Sarachik, T. Sasagava, E. Tse, J.L. Willems, W.M. Wonham и многие другие ученые.

Теория стохастической устойчивости отличается большим разнообразием задач и методов их решения. Это связано с двумя обстоятельствами: существованием большого количества типов вероятностных динамических моделей и наличием нескольких различных видов стохастической устойчивости. Тематика диссертации примыкает к той части этой теории, в которой для инвариантных многообразий стохастических дифференциальных уравнений Ито исследуется экспоненциальная устойчивость в среднем квадратичном методом стохастических функций Ляпунова,

Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающей работы 1 И.Я. Каца и H.H. Красовского 1960г., является теоретическим фундаментом анализа устойчивости стохастических систем. Этот метод позволил не только распространить на стохастические уравнения базовые конструкции классической теории детерминированной устойчивости, но и получить новые

'Кац И.Я., Красовскай H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Лрикл. математика и механика. I960. Т. 21. Вып. S. С. 809-823.

интересные результаты, отражающие особенности, присущие только вероятностным системам. Теоретические основы, связанные с применением метода функций Ляпунова к решению задач стабилизации стохастических систем, были заложены в работе 2 H.H. Красовского и Э.А. Лидского.

Случай, когда инвариантное многообразие есть точка покоя, рассматривав ется давно, достаточно хорошо исследован и имеющиеся здесь результаты уже составляют глубоко разработанную часть общей теории стохастической устойчивости и стабилизации нелинейных динамических систем.

Следующим за точкой покоя в цепи бифуркаций инвариантных многообразий является предельный цикл. Предельный цикл является математической моделью автоколебаний, наблюдаемых в системах самой различной природы - электронных генераторах, механических конструкциях, химических реакциях, сообществах живых организмов. Исследование детерминированной устойчивости периодических решений на плоскости качалось с работ Ляпунова и Пуанкаре. Для предельных циклов многомерных систем основные результаты детерминированного варианта теории устойчивости (теорема Андронова-Витта и ее аналоги) были получены с помощью теории Флоке в русде первого метода Ляпунова еще в 30-х годах. Соответствующие конструкции функций Ляпунова, необходимые для анализа устойчивости стохастически возмущенных предельных циклов, долгое время отсутствовали.

Исследование воздействий случайных возмущений на поведение автоколебаний нелинейных систем было начато в классической работе 3 Л.С. Понтрягина,

A.A. Андронова, A.A. Витта 1933г. В дальнейшем эти исследования были продолжены в большом числе работ и отражены в монографиях B.C. Анищенко,

B.В. Болотина, М.Ф. Диментберга, А.Н. Малахова, С.М» Рытова, Р.Л. Стра-тоновича, М. Grigoriu, R.A. Ibrahim, Т.Т. Soong, посвященных флуктуациям в радиофизических и механических системах.

Под воздействием стохастических возмущений случайные траектории системы покидают замкнутую ррбиту детерминированного предельного цикла и формируют вокруг него некоторый пучок. Благодаря устойчивости цикла плоту ность распределения вероятности случайных состояний в этом пучке стабилизируется. Установившееся вокруг цикла стационарное вероятностное распределение определяет стохастический аттрактор (стохастический предельный цикл). Для теории случайных нелинейных колебаний несомненный интерес представляют исследования стохастических предельных циклов как вблизи точки бифуркации Андронова-Хонфа (квазигармонические колебания), так и в зоне параметров, удаленной от этой точки (релаксационные колебания). Стохастиче-

3Красогский H.H., Лудслий Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными

свойствами. 1-Щ // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22. №9-11. С. 1145-1150, 1273-1278,1425-1431.

51Ховтряган Л.С., Андрояоа Л-Л., Вкгг A.A. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. 1933. Т. 3- Вып. 3. С. 165-180.

ски возмущенные предельные циклы изучали П.С. Ланда, Г.Н. Мильштейн, P.JI. Стратонович, F. Baras, M.V. Day, M.I. Dykman, R. Graham, M.M. Klosek,

D. Ludvig, R.S. Maler, B.J. Matkowsky, T. Naeh, T. Ohta, Z. Schuss, T. Tel, К. Tbmita, H. Tomita.

Связанные с шумами качественные эффекты, наблюдаемые в зоне рождения цикла, рассматривались в работах L. Arnold, Р.Н. Baxendale, G. Bleckert, H. Crauel, F. Flandoli, R. Lefever, H.K. Leung, P.V.E. McClintok, F. Moss, N.Sri. Namachchivaya, H.F. Schenk-Hoppe, J. Turner. Существенная неравномерность стохастических пучков вдали от точки бифуркации исследовалась F. Ali, R.J. Deissler, J.D. Farmer, G. Haubs, С. Kurrer, M. Menziriger, G. Meyer-Kress, J.S. Nicolás, К. Schulten.

Развитие теории нелинейных систем, вызванное открытием хаотических ос-цилляций, и разработка общих сценариев разрушения регулярных колебаний, связанных с последовательными бифуркациями удвоения периода, поставили новые актуальные задачи исследования стохастических возмущений сложных пространственных многооборотных предельных циклов.

Сложности аналитического описания вероятностных характеристик стохастических аттракторов размерности три и выше заставили исследователей обратиться к методам прямого численного моделирования случайных траекторий. Это стимулировало разработку численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. Полученные в этом направлении теоретические результаты представлены в монографиях Г.Н. Милыптейна, P.E. Kloeden,

E. Platen. Численному исследованию классических моделей Ресслера и Лоренца в присутствии случайных возмущений посвящены работы B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой, A.C. Копейкина, Г.А. Окрокверцхова, Г.И. Стрелкова, А. Zippelius, M. Lücke, J. Keizer, R.F. Fox, J. Wagner.

Следующее по сложности за циклом инвариантное многообразие - тор. Этот объект, ставший классическим после работ Пуанкаре, Данжуа и Арнольда, достаточно подробно исследовался с точки зрения его структурной устойчивости (КАМ-теория). Анализу детерминированной устойчивости тороидальных движений к возмущению начальных данных посвящены работы A.C. Гуртовника, А.Ю. Колесова, Е.Ф. Мищенко, Ю.И. Неймарка, A.M. Самойлеико.

Бифуркации тороидальных многообразий исследовались H.A. Магницким, C.B. Сидоровым, А. Arneodo, Р.Н. Coullet, К. Kaneko, Е.А. Spigel.

Поведение стохастически возмущенной системы исчерпывающим образом (в терминах переходной плотности распределения) описывается уравнением Фоккера^Планка-Колмогорова. Непосредственное использование этого уравнения даже в простейших ситуациях (например, когда рассматривается стационарно-распределенное состояние автоколебательной системы с одной степенью свободы) весьма затруднительно. Важный для практики случай — воздействия

малых помех — приводит к известным проблемам анализа уравнений с малыми коэффициентами при старших производных. В настоящее время известны различные подходы, позволяющие для искомых вероятностных характеристик найти соответствующие приближения. Разработан метод, основанный на замене исследуемого процесса на эквивалентный гауссовский. Аналитически этот метод сводится к обрыву бесконечномерной последовательности уравнений для моментов высших порядков, когда ограничиваются лишь первыми двумя моментами. Для случая квазигармонических колебаний данный прием использовали M. Grigoriu, Т.Т. Soong. Подход, связанный со стохастическим усреднением в русле метода малого параметра теории возмущений, рассмотрен в работах Р.Л. Стратоновича и М.Ф. Диментберга.

Для систем с малыми случайными возмущениями в работе А.Д. Вентцеля и М.И. Фрейдлина 4 предложен подход, использующий некоторую специально конструируемую функцию Ляпунова - квазипотенциал, с помощью которой можно находить асимптотики ряда важных вероятностных характеристик выхода случайных траекторий из области (задача о выбросах), содержащей устойчивое предельное множество исходной детерминированной: системы. Применительно к точке покоя данный подход в рамках теории больших уклонений развивался в работах J.A. Bucklew, M. Dembo, О. Zeitouni. Метод квазипотенциала для предельного цикла рассматривался в работах Г.Н. Милылтейна, M.V. Day, M.I. Dykman, R. Graham, M.M. Klosek, D. Ludvig, R.S. Maier, B.J. Matkowsky, T. Naeh, V.N. Smelyanskiy, Z. Schuss, T. Tel. Теория больших уклонений в анализе стохастических дифференциальных уравнений на торе получила развитие в работах А.Ю. Веретенникова.

Разнообразие форм аттракторов, наблюдаемых в нелинейных динамических системах, заставляет искать общие подходы, которые позволили бы охватить единой теорией как уже исследованные, так и потенциально возможные случаи. Таким направлением является качественная теория динамических систем с произвольными инвариантными многообразиями. В детерминированном случае теория устойчивости общих инвариантных многообразий развивалась в работах И.У. Бронштейна^ Г.С. Осипенко, A.A. Рейнфельда, А.Ю. Копанского, N. Fenichel, M.W. Hirsch, U. Kirchgaber, К. Palmer, C.C. Pugh, R.C. Robinson, M. Shub, S. Wiggins. Общие вопросы, касающиеся многообразий и аттракторов стохастических систем, рассматривали М.Л. Бланк, L. Arnold, M. Arnaudon, P. Baxendale, P. Boxler, M. Emery, S.-E.A. Mohammed, M. Schcutzow, B. Schmalfuss, A. Thalmaier.

Одним из актуальных разделов естествознания, где находит применение современная теория устойчивости вероятностных нелинейных процессов, являет-

4 Воитель А .Д., фрейдлин М.И. флуктуации в динамических системах под действием малых случайных

возмущений. М.: Наука, 1979.

ся стохастический анализ перехода от ламинарного течения к турбулентному. В последние годы и особенно после оригинальной работы L. N. TVefethen, А. Е. Trefethen, S. С. Eeddy, Т.А. Driscol 1993г. 5 активно развивается теория такого перехода, основанная на свойстве ненормальности оператора динамической системы. Ненормальность линеаризованного уравнения Навье-Стокса вызывав ет всплеск возмущений даже в случае устойчивости равновесного состояния. Нелинейность системы приводит к дальнейшему усилению малых начальных возмущений. В результате переход к турбулентности происходит не вследствие линейной неустойчивости стационарного ламинарного потока, а в результате сочетания ненормальности, порождающей высокую чувствительность к возмущениям, и нелинейности, переводящей систему в бассейн притяжения турбулентного режима. Обзоры исследований этого явления имеются в работах J. S. Baggett, S. J. Chapman, S. Grossmann, D. S. Henningson, P. J. Schmid. Некоторые теоретические исследования, посвященные стохастически возмущенным динамическим системам с ненормальным оператором, представлены работами В. Bassam, М. Dahieh, В. F. Farrell, P. J. Ioannou.

Свойство ненормальности играет важную роль и в понимании природы генерации больших магнитных полей в астрофизических объектах. Традиционно явление генерации магнитного поля связывают с переходом системы из зоны устойчивости (субкритический случай) в зону неустойчивости (суперкритический случай). С точки зрения классической теории детерминированной устойчивости генерация магнитного поля должна наблюдаться лишь в суперкритическом случай. Однако в работах В. F. Farrell и P. J. Ioannou было показано, что вследствие ненормальности возможна генерация поля и в зоне параметров, относящихся к субкритическому случаю. Такой субкритический переход из нулевого равновесия в области, где действуют уже значительные та величине магнитные поля, невозможно удовлетворительно объяснить, оставаясь в рамках чисто детерминированной теории. Важность влияния шума в проблеме генерации магнитного поля сейчас общепризнанна. Стохастическая динаг-мика магнитных полей рассматривалась в работах В. F. Farrell, P. Hoyng, Р. J. Ioannou, D. Schmitt, L. J. W. Teuben. Таким образом, понимание природы генерации магнитного поля предполагает учет трех факторов: нелинейности, стохастической устойчивости и ненормальности.

Задачи управления колебаниями в нелинейных динамических системах исследуются достаточно давно. Необходимость в стабилизации неустойчивых периодических решений (орбит) возникает при устранении вибраций механических конструкций, подавлении шумов и нежелательных гармоник в системах связи и электронных устройствах, локализации возможных отклонений от тре-

6TVefethen L, N., Trefethen А. Е., Reddy S. С., Driscol Т.А. Ilydrodynamic stability without eigenvalues // Science. 1993. V. 261. P. 578.

буемых характеристик в формируемых периодических режимах. Наряду с задачей стабилизации, связанной с подавлением нежелательных колебаний, рассматривается задача возбуждения заданного колебательного режима.' Подобная задача встречается при разработке вибрационных механизмов, акустических и электронных генераторов. Необходимость согласования во времени состояний взаимодействующих колебательных систем привела к задачам управления синхронизацией. В настоящее время результаты исследований по управлению колебаниями составляют глубоко разработанную теорию, основное содержание которой представлено работами Л.Д. Акуленко, И.И. Влехмана, В.И. Зубова, A.C. Ковалевой, П.Д. Крутько, Г.А. Леонова, А.Ю. Погромского, Б.Н.Соколова, А.Л. Фрадкова, Ф.Л.Черноусько, В.А. Якубовича, A. Baeciotti, Z. Galias, L. Mazzi, P.Parmananda, S. Zang, X. Yang.

В последнее время в теории управления нелинейными колебательными системами появилось и активно разрабатывается новое научное направление - управление хаосом. Всплеск интереса к задачам управления хаотическими аттракторами связывают с выходом в 1990г. работы Т. Ott, С. Grebogi, G. Jorke8. Здесь наряду с традиционными задачами подавления хаоса, когда целью управления является преобразование хаотического аттрактора в регулярный (предельный цикл или точку покоя), рассматриваются задачи возбуждения в управляемой системе хаотических колебаний, построения генераторов хаоса. Генераторы хаоса активно используются в области защиты информации. Соответствующее научное направление (controlling chaos) представлено работами В.В. Алексеева, А.Ю. Лоскутов а, H.A. Магницкого, C.B. Сидорова, А.Л. Фрадкова, F.T. Arecchi, S. Boccaletti, J. Brindley, L.O. Chua , G. Chen , W.L. Ditto, X. Dong, R.J. Evans, J.Q. Fang, C. Grebogi, T. Kapitaniak, Y.C. Lai, H. Mancini, D. Maza, K. Pyragas, T. Shinbrot, X. Yu и др.

Вопросы управления колебаниями в системах со случайными возмущениями рассматривались в работах A.C. Ковалевой, Г.Н. Мильштейна.

Цель работы - построение теории экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости и чувствительности стохастических колебаний нелинейных динамических систем и ее приложение к задачам стабилизации и управления, включая задачи генерации и подавления хаоса.

Методы исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на подходы и методы стохастического анализа случайных процессов, теорию устойчивости и управления стохастическими дифференциальными уравнениями. Используются конструкции метода функций Ляпунова и квазипотенциала, теория положительных операторов.

"Ott В., Grebodi С., Ybrte J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 1196-1199.

Научная новизна.

1. Разработан общий вариант метода функций Ляпунова для анализа экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости компактных инвариантных многообразий нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Введена конструкция системы стохастического линейного расширения и понятие Р-устойчивости, доказана теорема о стохастической устойчивости по первому приближению. Получен общий критерий, сводящий исследование стохастической устойчивости к оценкам спектрального радиуса некоторого положительного оператора.

2. Как следствие этих общих результатов, получены конструктивные параметрические критерии стохастической устойчивости как для точки покоя, так и для основных колебательных режимов - предельного цикла и тороидального инвариантного многообразия; решена задача об устойчивости линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами.

3. Для случая малых шумов, не вырождающихся на многообразии, разработан общий подход, направленный на анализ стохастической чувствительности исследуемого аттрактора. Основной конструкцией предлагаемого подхода является задаваемая на многообразии функция стохастической чувствительности. Введение данной функции позволило в достаточно сжатой форме описать основные пространственные вероятностные характеристики пучка случайных траекторий системы, локализованного в окрестности исследуемого инвариантного множества. Разработаны численные методы, позволяющие находить функцию стохастической чувствительности для сложных пространственных многооборотных предельных циклов и двумерных тороидальных многообразий. ■

4. Новые возможности разработанной теории стохастической чувствительности нашли свое применение в ряде приложений: проведен анализ вероятностных механизмов субкритического перехода ламинарного потока в турбулентный и генерации магнитного поля галактик; исследована стохастическая чувствительность предельных циклов в классических моделях Ван-дер-Поля, брюсселятора, Ресслера и Лоренца; для брюсселятора обнаружена зона параметров, в которой наблюдается сверхвысокая чувствительность и генерация хаоса; для циклов моделей Ресслера и Лоренца выявлены закономерности в изменении чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу.

5. На основе построенной теории стохастической устойчивости исследована задача стабилизации. Получены необходимые и достаточные условия етабили-зируемости и предложены конструкции стабилизирующих регуляторов как для общих инвариантных многообразий, так и для их наиболее важных случаев -точек покоя, циклов, торов.

6. Конструктивные возможности разработанной теории стохастической чувствительности демонстрируются в решении новой задачи управления вероят-

постными характеристиками стохастических аттракторов. Для рассматриваемой задачи управления введены понятия и получены критерии достижимости и полной управляемости. Детально исследована задача управления стохастической чувствительностью точки покоя и цикла. Возможности предложенной теории продемонстрированы в задаче управления хаосом. Разработана конструкция регулятора, позволяющего подавить хаос, ранее обнаруженный в модели брюсселятора.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Развитый в ней математический аппарат и полученные результаты открывают перспективы эффективного стохастического анализа устойчивости нелинейных динамических систем и дальнейшего развития теорий управления сложными колебательными режимами в том числе и в зонах, непосредственно примыкающих к хаотическим. Эти результаты могут также быть положены в основу анализа конкретных прикладных задач устойчивости и управления механическими конструкциями, электронными устройствами и технологическими процессами.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались па семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН; расширенных семинарах кафедр математического анализа, теоретической механики, вычислительной математики, математической физики УрГУ; городском семинаре по теории управления (Санкт-Петербург); семинаре кафедры кибернетики Московского государственного института электроники и математики; представлялись в доклад дах на всероссийских и международных конференциях по теории стохастических дифференциальных уравнений, устойчивости и колебаниям нелинейных систем, теории управления, математическому моделированию, математической физике, статистической физике, в том числе - на на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), Крымских Международных математических школах "Метод функций Ляпунова и его приложения"(Алушта, 1993, 1998, 2000), международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, 1998, 2000, 2002, 2004), международном семинаре "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби"(Екатеринбург, 2005), "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" (Kyiv, 1999, 2001, 2003, 2005), международном Конгрессе "Нелинейный динамический анализ"(Москва,2002), международном Симпозиуме по проблемам управления (Москва, 2003), международных конференциях по статистической физике StatPhys20 (Paris,1998), StatPhys22 (Bangalore, 2004), Third International Conference on Dynamic Systems and Applications (Atlanta, 1999), Nonlinear Dynamics and Chaos (Bristol, UK, 2001), International Conference on

Theoretical Physics (Paris, 2002), Europhysics Conference on Computational Physics (Aachen, Germany, 2001), School on Statistical Physics and Probabilistic Methods (Trieste, Italy, 1999), School and Conference on Spatiotemporal Chaos (Trieste, Italy, 2002), Symposium on Synchronization of Chaotic Systems (Trieste, Italy, 2000), School and Conference on Probability Theory (Trieste, Italy, 2002), EURO-MECH Nonlinear Oscillations Conference (Eindhoven, Netherlands, 2005), International Congress on Mathematical Physics (London, 2000), 3 European Congress of Mathematics (Barcelona, Spain, 2000), 4 European Congress of Mathematics (Stockholm, Sweden, 2004), International Congress of Mathematicians (Berlin, Germany, 1998, Beijing, China, 2002), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике"(Пермь, 1986), на Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988), на Седьмой Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990), на школах-семинарах "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (Киев, 1990,1991), на конференциях "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1992-1997), на Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, 1998), на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(Екатеринбург, 2001). Публикации. По теме диссертации опубликовано более 50 тезисов докладов, 40 статей. Основные результаты, вынесенные на защиту, опубликованы в 23 работах [1-23].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 271 страницу, библиографический список включает 291 наименование, иллюстративный материал насчитывает 50 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор предыстории вопроса, обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели работы, приведена аннотация основных результатов, выносимых на защиту.

Глава 1 «Среднеквадратичная устойчивость» состоит из десяти разделов. В разделах 1.1-1.6 излагаются общие результаты по анализу экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости компактных инвариантных многообразий нелинейных стохастических дифференциальных уравнений.

В разделе 1.1 рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

dx = f(x) dt (1)

и соответствующая ей система стохастических уравнений Ито

dx = /О) dt + ^T,crr{x)dwT(t). (2)

r=l

Здесь wr(t) (г = 1,тп) - независимые стандартные винеровские процессы, заданные на вероятностном пространстве (f2,3", Р), f(x) и <гт(х) - достаточно гладкие вектор-функции: x,f,ar € Rn. Предполагается, что системы (1), (2) имеют гладкое компактное инвариантное многообразие Mci", при этом ,

°г|м = о.

Рассмотрим в окрестности U многообразия М функции

7(я?) = argmin^ ¡|ж - у||, д(х) = х- у(х),

где || • ¡1 - евклидова норма, 7(2) - ближайшая к х точка многообразия Ж, а л(ж) - вектор отклонения х от 3Vt. Предполагается, что для систем (1), (2) окрестность U - инвариантна.

Определение 1. Инвариантное многообразие Ж называется экспоненциально устойчивым в среднем квадратическом (ЭСК-устойчивым) для системы (2) в U, если при некоторых К > О, I > 0 для всех i > 0 выполняется условие Е||д(х{*))(]2 ^ Ке'н Е||д(а;о)||2, где x(t) - решение системы (2) с начальным условием i(0) = Х0 е U.

В разделе 1.2 дается определение М-квадратичных функций Ляпунова и доказывается теорема 1.

Определение 2. Функция называется Ж-квадратичной, если при некоторых ki > 0, > 0 для всех iGU выполняется неравенство

Для системы (2) рассмотрим производящий дифференциальный оператор

Lv{x) = (/(х), +ifj (ar(x), ^(x)ar(x)j .

Теорема 1. Для ЭСК-устойчивости компактного инвариантного многообразия М системы (2) в окрестности U необходимо, чтобы для любой и достаточно, чтобы для некоторой М-квадратичной функции Ляпунова w(x) существовала Ж-квадратичная функция Ляпунова и (я) такая, что в U справедливо равенство Lv(x) = —w(x).

В разделах 1.3-1.4 вводится конструкция стохастических линейных расширений и исследуется их Р-устойчивость.

С каждым ieM связано Тх - касательное подпространство к М в точке х, Nx - ортогональное дополнение к Тх в R™, Рх - оператор ортогонального проектирования векторов из К™ на подпространство Nx.

Рассмотрим пространство 2, состоящее из всех симметрических пхп-матри-чных функций У(х), определенных и достаточно гладких на многообразии М и удовлетворяющих условию: Ух 6 Ж Уг 6 Тх У(х)г = 0. Определение 3. Функция У(х) 6 I! называется Р-положительно определенной (V > 0), если выполняется условие

УхбМ УгеГ Рхя ^ 0 (г, У(х)г) > 0. В пространстве Е рассматривается конус X, состоящий из неотрицательно определенных матриц и множество его внутренних элементов

ХР = {У € В | V > 0}. Поставим в соответствие детерминированной системе (1) линейное расширение

сЬ = /(х) ей, х € Ж, . .

= Р(х)гЛЬ, г€Г, ' '

а стохастической системе (2) - стохастическое линейное расширение йх — /(х) йЬ, х еМ,

йх = х)гйи>г{1), Р{х) = §£(*), ^(х) = (4)

Г=1 ах ох

Систему (4) можно рассматривать как семейство всех линеаризаций стохастической системы (2) на решениях детерминированной системы (1), лежащих в М.

Определение 4. Система (4) называется Р-устойчивой, если при некоторых К > 0, / > 0 для всех í > 0 выполняется неравенство ЕЦР^^ЙЦ2 ^ Ке~и Е||Р10го||2, где (х(£), -г(£)) - решение системы (4) с начальным условием (г(0),г(0)) = (хо, -го), Ю £ М, 6 Г,

В анализе Р-устойчивости системы (4) используются функции Ляпунова вида и(г, г) — (г, У(х)г), У £ Хр, и оператор £ = Л + 5 , где

А[У] = (7, + Fт^/ + V* 5[У] = £ 5ГТУ5Г.

Теорема 2. Пусть система (4) является Р-устойчивой. Тогда

а) при любой матрице Ж € X уравнение -С. [V] = —IV имеет в X единственное решение - матрицу У 6 X,

б) если IV 6 ХР, то У 6 ХР.

Пусть для некоторой матрицы \¥ € Хр уравнение С [У] = —IV имеет решение У 6 Хр. Тогда система (4) является Р-устойчивой.

Рассмотрим решение х(£) = Х(г, х) (Х(0,х) = х£ М) системы (1). При этом пространству Е, конусу X и множеству Хр соответствуют я* = {У(г) I у(г) = У(х(ф, У(х) ещеш1} 00е = {У(г) I У(0 = У(х(4)), У(х) € X, Ь 6 Ж1} (5)

ЭС?. = {Уф I У{€) = У(г^)), У(г) е ХР, I е К1}.

В разделе 1.5 доказана теорема о стохастической устойчивости по первому приближению.

Теорема 3. Для ЭСК-устпойчивости компактного инвариантного многообразия Ж системы (2) в окрестности и необходимо и достаточно, чтобы система соответствующего стохастического линейного расширения (4) являлась Р-устойчив ой.

В разделе 1.6 получен общий критерий, сводящий исследование Р-устой-чивости к оценкам спектрального радиуса р(У) положительного оператора У = -Л-18.

Теорема 4. Для того, чтобы стохастическая система (4) была Р-устойчива, необходимо и достаточно, чтобы детерминированная система (3) била Р-устойчива и выполнялось неравенство р(У) < 1.

Результаты, представленные теоремами 1-4, являются целостным и сжатым изложением базовых теоретических материалов, содержащихся в публикациях автора [3],[4],[8],[18],[22], посвященных исследованию детерминированной и стохастической устойчивости разных объектов (точки покоя, циклы, торы, инвариантные многообразия).

Для стохастической системы

с£г = f(x) ей, _ х € М, . .

йг = F(x);г<й + у/гТд(х)г(1т!, гёГ, V

где т}(1) - п-мерный винеровский процесс с параметрами Ес1т) — О, Е<1т)(ск})т = 0(х)сИ (ф, С? 6 ЭС), спектральный радиус оператора 7 совпадает со спектральным радиусом более простого оператора Ъ: Ъ[ф\ — —^((-А-1[уг<3])(7), действующего на пространстве скалярных функций.

Шумы в системе (6) (шумы второго типа) были введены в [1]. Во многих важных случаях форма шумов второго типа более естественна. Как показано в диссертации, для уравнения п-го порядка и в системах с многообразием единичной коразмерности сосИтМ = 1 все действующие шумы можно заменить одним шумом второго типа; в общем случае один шум второго типа может быть использован в качестве мажоранты для нескольких шумов, действующих в системе [12].

Как следствие этих результатов, получены конструктивные параметрические критерии стохастической устойчивости как для точки покоя (раздел 1.7), так и основных колебательных режимов - предельного цикла (раздел 1.8) и тороидального инвариантного многообразия (раздел 1.9).

Раздел 1.7 посвящен случаю, когда инвариантным многообразием М систем (1), (2) является точка покоя х : Ж ~ {г}.

Рассмотрим соответствующую систему первого приближения с мультипли

кативными шумами второго типа

dz = Fzdt + \/zTQzdr}, z eRn

и систему с аддитивными шумами

dz - Fzdt + drj, (8)

л л

где F = —(¿г), rj(t) - n-мерный винеровский процесс с параметрами Edrj = О,

"Г

Edr)(drj) = Gdt, Q, G 6 X, a конус DC составляют постоянные симметрические неотрицательно определенные п х п-матрицы.

Теорема 5.[3] Для того, чтобы решение z = 0 системы (7) было ЭСК-устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы матрица F была устойчива и для стационарно распределенного состояния z, системы с аддитивными шумами (8) выполнялось неравенство Е(zjQzs) < 1.

Раздел 1.8 посвящен случаю, когда инвариантным многообразием M систем (1), (2) является предельный цикл, задаваемый Т-периодическим решением х — C(t). Рассмотрим соответствующую систему первого приближения

dz = F{t)zdt + ^JzTQ(t)zdT], z 6 R", (9)

и систему с аддитивными шумами

dz = F(t)zdt + dr)(t), (10)

где F(t) = ^(f(t)), 7](t) - n-мерный винеровский процесс с параметрами ох

Edrj = 0, Edrj(drj)T — G{t)dt, Q{t), G{t) € X. Здесь конус X составляют неотрицательно определенные матрицы из пространства S всех симметрических п х n-матриц, определенных и достаточно гладких на К1, с условиями периодичности и вырожденности

VieR1 v(t+T) = v(t), v(i)/fê(t)) = о.

Матрица вторых моментов D(t) = Е(z(t)zT(t)) системы (10) удовлетворяет уравнению

W = F(t)W + WFr(t) + G(t). (И)

Пусть m, = min[o,r] tr(Q(i)D(i)) и M = max[0iT] ti{Q(t)D(t)).

Теорема 6.[4] Пусть детерминированная система dz - F(t)zdt является Р-устойчивой и матрица D(t) € X есть решение уравнения (11). Тогда неравенство M < 1 является достаточным, а неравенство m < 1 является необходимым условием Р-устойчивости стохастической системы (9).

В случае цикла на плоскости (п = 2, codimM = 1) имеем

р(3>) = р{Ъ) = , < « > = У а(*)Л,

где a(i) —pT{t)(FT(t) + F(t))p(t), 0{t) = PT(t)G(t)p(t), p{t) - ортогональный

f(Ç(t)) и нормированный вектор, G{t) = J2 ST(t)p(t)pT(t)Sj(t).

Г=1

Необходимое и достаточное условие Р-устойчивости стохастической системы (9), а, значит, и ЭСК-усгойчивости цикла, имеет вид

/т

tr(2F(t) + ST(t)Sj(t))dt < 0. (12)

о r=l

Данный критерий [4] является естественным обобщением классического критерия Пуанкаре на случай стохастических систем.

Раздел 1.9 посвящен случаю, когда инвариантным многообразием M систем (1), (2) является лежащая в R" двумерная тороидальная поверхность (Ж - 2-тор). Для JVC рассматривается следующая параметризация. Пусть на M лежит некоторая замкнутая достаточно гладкая кривая г) (экватор), задаваемая функцией i?(s) на интервале 0 < s ^ 1 с условием т?(0) = i?(l). Из каждой точки t?(s) кривой г?, как начальной, выходит решение x{t, s) системы (1) с условием х(0, s) = i?(s). Предполагается, что фазовые траектории семейства решений x(t, s) системы (1) полностью покрывают тор М.

Следуя общему подходу разделов 1.1-1.6 и выбранной параметризации, для (2) строится система первого приближения. Анализ ее Р-устойчивости по теореме 1.4 сводится к оценке спектрального радиуса р соответствующего оператора ¡Р. В работе представлен общий метод получения для р оценок снизу и сверху, позволяющих достаточно конструктивно находить достаточные условия устойчивости, близкие к необходимым.

В трехмерном случае (п = 3), когда codimJYt = 1, система первого приближения, связанная с решением x(t, s), имеет вид

dz = F(t, sjzdt + y/zTP{t, s)zdr), (13)

Bf Brr m

где F(i, s) = ST(t,s) = ф) = ^wT(t)ST(t,s)p(t,S),

p(£, 5) - нормированный вектор, ортогональный тороидальной поверхности в

точкex(i,s), P(t,s) = p(t,S)pT(its), G(t) = Edr](t)(d'n(t))T = £ Sr(t,s)Sj(t,s).

r=l

Спектральный радиус оператора У равен

р(7) — шах < — < ^ > I) < а > = lim ^ [ adt, а = pT[FT + F}p, ß = tiG. s I ^ Q ^ J Г-оо J J

Необходимое и достаточное условие Р-устойчивости стохастической системы (13), а значит, и ЭСК-устойчивости 2-тора М имеет вид [22]

1 Г m

max <a + ß>= max lim - / tr[2F(i, s) + У ST(t, s)Sj(t, s)]di < 0. (14)

s а T-+oo l J

0 r=1

Возможности представленной теории демонстрируются на примере. Для некоторой трехмерной системы с двумерным инвариантным многообразием решений проводится детальный параметрический анализ ЭСК-устойчивости с особенностями в случаях резонансов.

Общая теория спектрального анализа стохастической устойчивости из раздела 1.6 распространяются в разделе 1.10 на важный случай линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами. Рассмотрим линейную стохастическую систему

dx = A(t)x dt + ^^ ar(t) x dwr, (15)

r=l

где x - n-мерный вектор, wr (r = 1,..., m) - некоррелированные стандартные винеровские процессы, A(t),ar(t) - Г-периодические nхn-матричные функции. Пусть x(t) = x(t, s, х) - решение системы (15) с начальным условием x(s) = х. Определение 5. Решение х = 0 системы (15) называется экспоненциально устойчивым в среднем квадратичном (коротко - устойчивым), если существуют а > О, L > 0 такие, что для всех х и всех t > s выполняется E||i(i,s,a:)||2 ij ¿е-а('-*>Е||х||2.

Рассмотрим детерминированную систему

dx = A{t)xdt (16)

и операторы

A[V} = У(3) + Лт(3)Г(5)+У(вМ(5), S[V] = ^tr7(s)y(sVr(s), ?=-A~1S.

г=1

Теорема 7.[14] Для того, чтобы система (15) была устойчива, необходгшо и достаточно, чтобы система (16) была устойчива и выполнялось неравенство р(7) < 1, где р(У) есть спектральный радиус оператора У.

Рассмотрим стохастическую систему с одним шумом второго типа

dx = A(t) х dt + \JxTQ(t)x dt], (17)

где Tj(t) - n-мерный винеровский процесс с Edrj(t) = 0 , Edrj(t)dTjT(t) = G(t)dt, Q € 3C71 , G € 3C™, %n - конус неотрицательно определенных симметрических Г-периодических п х n-матричных функций.

Для (17) имеем р{У) = р{Ъ), где Ъ{<р] = -tr^-^QJG).

£[v?](s) ,

Пусть J[ip, 5] = —^r^y-, где <р € а 0С{ - множество Т-периодических

скалярных функций <р > 0.

Теорема 8. [14] Для р ~ р[Ъ) при любом <р еХ\ справедливы, соотношения min JVp.s] < р sS max J[p, sl, p — min max J[<p, s] = max min Jfco, s|.

Io,T] 1 ¡o,T] tr J [0,T] 1 [0.Г] J

Теорема 7 сводит анализ устойчивости к оценке спектрального радиуса р. В свою очередь теорема 8 связывает построение таких оценок с решением экстремальных задач для функции J[<-p, s]. Отыскание значений J[<p, s] предполагает вычисление значений оператора Л-1, что требует решения соответствующего периодического уравнения Ляпунова. В работе излагаются алгоритмы [14} решения подобных уравнений. Полученные теоретические результаты иллюстрируются на примере.

Глава 2 «Стохастическая чувствительность» состоит из четырех разделов. В разделе 2.1 рассматривается стохастическая система

dx = f(x)dt + ecr(a:)<iiü(i), x,feW. (18)

Здесь w(t) - n-мерный винеровский процесс, <г(х) ~ достаточно гладкая п х п-матричная функция, г - параметр интенсивности возмущений.

Предполагается, что детерминированная система (1) имеет инвариантное и экспоненциально устойчивое многообразие М. В результате действия невырожденных возмущений (сг(х)|м ф 0) случайные траектории системы (18) покидают многообразие М и формируют вокруг него некоторый пучок.

В случае малых шумов асимптотика стационарной плотности распределения случайных траекторий в этом пучке имеет вид р(х, е) « К • ехр(—где v(x) - некоторая функция Ляпунова — квазипотенциал. Вблизи многообразия Ж для квазипотенциала строится М-квадратичная аппроксимация

t/(x) = <р(я) + 0(||д(х)||3), <р(х) = ф(7(х))д(х)), Ф(х) =

позволяющая представить асимптотику стационарной плотности в форме нормального распределения

с ковариационной матрицей £2Ф(г) (Ф(ж) = Ф+(х), + означает псевдообращение). Определенная на Ж функция Ф(х) — функция стохастической чувствительности (ФСЧ) - позволяет описать основные вероятностные характеристики стохастически возмущенного многообразия. Конструктивное построение этой функции и исследование с ее помощью свойств стохастических аттракторов составляет основное содержание второй главы.

Решение x(t) — X(t,x) (Л'(0, х) = х е М) системы (1) позволяет получить для функции Ф(аг) параметрическое представление W(t) = Ф(ж(2)) и уравнение

W = F(t)W + WFr(t) + P(t)S(t)P(t), (19)

, Si

Рассмотрим системы

где F(t) = g(z(i)), S(t) = G(t)GT(t) , G(t) = a(x(t)), P(t) = Px(t).

du = F(t)udt + G(t)dw(t), (20)

dy = F(t)ydt + P(t)G(t)dw(t). (21)

и £*, Xх, XXP из (5).

Теорема 9.[7],[19] Пусть детерминированное линейное расширение (3) является Р-устойчивым. Тогда для любого 1бМ справедливы утверждения:

(а) Матричное уравнение (19) имеет в пространстве £г единственное решение W(t) е Xх. Если S{t) е Х%, то W(t) £ ХХР.

(б) Система (21) имеет решение y(t) с ковариационной матрицей со v(y(t),m) = W(t).

(в) Для всякого решения y{t) системы (21) проекция P(t)V(t)P(t) ковариационной матрицы V(t) — cov(y(t),y(t)) сходится к матрице W{t) :

lim(P(t)V(t)P(t)-W(t)) = 0.

t—*+оо

(г) Для всякого решения y(t) системы (21) проекция P(t)y(t) сходится в среднем квадратичном к y(t) :

lim ~E\\P(t)y[t) — y(t)\\2 = 0.

t—»-Юо

(д) Для всякого решения u(t) системы (20) проекция P(t)U(t)P(t) ковариационной матрицы U{t) — соv(u(t),u(t)) сходится к матрице W(t) :

KmJP(t)U(t)P(t) - W(i)) = 0.

(е) Для всякого решения u(t) системы (20) проекция P{t)u{t) сходится в среднем квадратичном к y(t) :

lim E||P(iMi)-y(f)|j2 = 0.

t—*+оо

Раздел 2.2 посвящен случаю, когда инвариантным многообразием системы (1) является точка покоя х : ЗУС = {5}.

Стохастическая чувствительность х в системе (18) характеризуется постоянной матрицей W - решением алгебраического уравнения

FW + WFT = -S, F = y^{x), S = GGr, G = a(x).

Для стохастически возмущенного уравнения Ван-дер-Поля получена зависимость стохастической чувствительности точки покоя от параметра нелинейности.

В двумерном случае исследована связь стохастической чувствительности с особенностями матрицы динамической системы. Показано, что для систем с ненормальной матрицей традиционных характеристик устойчивости - собственных значений - недостаточно для анализа реакции системы на случайные возмущения. Ненормальность может быть причиной чрезвычайно высокой стохастической чувствительности и приводить к неожиданным (с точки зрения классической теории детерминированной устойчивости) качественным эффектам. В работе проведен анализ стохастической чувствительности некоторых нелинейных динамических моделей. Полученные результаты позволяют прояснить вероятностный механизм субкритического перехода ламинарного потока в турбулентный и вызванную шумами генерацию магнитного поля галактик [17],[20].

Раздел 2.3 посвящен анализу стохастической чувствительности циклов. Рассмотрим случай, когда инвариантным многообразием М системы (1) является предельный цикл, заданный Т-периодическим решением х = £(t).

Решение £(i) на интервале [О, Т) задает параметризацию точек цикла: = {£№ | 0 < i < Т}. Предполагается, что цикл М является экспоненциально устойчивым. В системе (18) вокруг цикла формируется стационарно распределенный пучок случайных траекторий. Функция стохастической чувствительности этого пучка W(t) является решением матричного уравнения

V = F(t)V + VFT(t) + P(t)S(t)P(t) (22)

с условиями периодичности

Vi ем1 v(t + T) = v(t) (23)

и вырожденности

VteR1 y(t)r(t) = 0, r(t) = /(£<«)). (24)

Здесь F(t) = §£(£(*)), S(t) = G(i)GT(t), G(t) = a(£(i)), P(t) = Pm -Г-периодические коэффициенты.

В работе получен численный итерационный метод решения задачи (22), (23), (24) в общем n-мерном случае [7].

В случае цикла на плоскости (п = 2), когда codirnM = 1, задача (22), (23), (24) решается аналитически [5]. Здесь матрица W(i) представима в виде W(t) = ¡j.(t)p(t)pT (t), где p(t) - нормированный вектор, ортогональный касательному вектору f{i{t)), fJt{t) > 0 - Т-периодическая скалярная функция, задающая дисперсию пучка по нормали p(t). Для /¿(£) получена краевая задача

¿=a(% + i(f), = /2(Т), a = pr(Fr + F)p, b = pTSp, имеющая, в случае экспоненциально устойчивого цикла, единственное решение

4 * 9(Т)ЦТ)

■д(т)

№ = № (С 4- h(t)), g(t) = exp [ j a{s)ds J , h(t) = J ^ds, с - ^

Для построения функции стохастической чувствительности в трехмерном случае разработан метод, использующий сингулярное разложение

V{t) = Mt)vi{t)vJ(t) + X2(t)v2(t)vJ(t) . (25)

по собственным значениям А1(£), Л2(0 и соответствующим собственным векторам vi(t),v2(t) матрицы V(i).

В случае невырожденных шумов функции Ai(i),A2(i) строго положительны и определяют при любом t дисперсию случайных траекторий цикла вдоль векторов vi{t),vi{t). Значения Ai(i)> A2(i) задают размер, а i>i(i),V2(i) задают направление осей эллипса рассеивания точек пересечения случайных траекторий с нормальной плоскостью Ilt. Пусть ui(t), ~ ортонормированный базис плоскости П*. Векторы v\ (i), ua(i) могут быть получены вращением базиса ui(t), us(t) на некоторый угол tp(t) :

vi(t) = ui(i) cos<^(i)+«2(i) sin уз(i), v2{t) - —iii(i) siny(£)+ti2(f)cosy(i). (26)

Теорема 10.[19] Матрица V(t) является решением системы (22),(24) тогда и только тогда, когда скалярные функции Aj(t), Аг(<), <p(t) разложения (25),(26) удовлетворяют системе

Аг = AjU^fF + FTjui + vJSv\

Д2 = X2vJ[F + Ft]v2 + v]Sv2 (27)

(At — А2)ф = MvjFV2 + AiViFTV2 + vJSv2 - (Ai — \2)üju2.

Искомая матрица стохастической чувствительности W(t) может быть найдена методом установления.

Теорема 11.[19] Пусть матрица W(t) является решением системы (22)-(24). Пусть Ai(t), Аг(<), у?(*) есть произвольное решение системы (27) на интервале [0,+оо), a V(t) = \x(t) - Px{t) + A2(f) • P2(t), где Pi(t) = v{(t)vT(t) с векторными функциями v{(t) из (26). Тогда матрица V(f) сходится к матрице W{t) при t —* +оо

l™JV(t) - W(i)) = 0.

Теория стохастической чувствительности предельных циклов иллюстрируется на примерах. В работе представлены результаты анализа чувствительности предельных циклов в классических моделях Ван-дер-Поля, брюсселятора, Рес-слера и Лоренца [6],[9],[15],[16]. Для брюсселятора обнаружена зона параметров, в которой наблюдается сверхвысокая чувствительность и генерация хаоса. Для стохастических циклов моделей Ресслера и Лоренца выявлены закономерности в изменении чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу.

Традиционное направление теории нелинейных колебаний, связанное с разложением по малому параметру, представлено в разделе 2.3.8. Здесь получены рекуррентные формулы разложения функции стохастической чувствительности по степеням малого параметра нелинейности. Результаты иллюстрируются на примере анализа стохастически возмущенных автоколебаний в модели Ван-дер-Поля [6].

Раздел 2.4 посвящен исследованию стохастической чувствительности тороидальных многообразий.

Пусть инвариантным многообразием M детерминированной системы (1) является двумерная тороидальная поверхность ( M - 2-тор).

Предполагается, что 2-тор M является экспоненциально устойчивым и допускает параметризацию (см. раздел 1.9), задаваемую решениями x(t,s) системы (1). С семейством решений x(t, s) связаны функции T(s) и т(з). Здесь T(s) = min{ t > 0 I x(t, s) ç i? } - момент первого возвращения траектории x(t,s) на кривую â, при этом x(T(s), s) есть точка возвращения; r(s) -функция последования сечений Пуанкаре кривой ■д фазовыми траекториями системы (1) (d(r(s)) = x(T(s),s)).

Рассмотрим пространство состоящее из симметрических п х п-матричных функций V(t, s), определенных и достаточно гладких на К2 с условиями согласования

V(î,s)€R2 ^(f,s +1) = K(î,s), V(r(s) + i,s) = V(i,r(s)) и вырожденности

V (i, s) e R2 V г e TxM V(t, s)z = 0.

В пространстве £ рассматривается конус неотрицательно определенных матриц ЗС и множество ЗСр = {V" е Е | V > 0}.

Функция стохастической чувствительности Ф(х) для 2-тора Jvt для системы (18) имеет параметризацию W(t, s) — Ф(x{t, s)), где W(t, s) - единственное в £ решение матричного уравнения

dWgt'S) = F(tt 3)W(t, s) + W(t, s)FT(t, s) + P(t, a)S(t, s)P(t, a). Здесь

F(t, s) = -f(X¿S)\ S(t, s) = G(t, s)GT(t, s), G(t, s) - a(x(i, s)), P(t, s) =

В случае n = 3, когда codimM = 1, матрица W (t, s) стохастической чувствительности тора имеет вид W{t, s) = p(t, s)p(t, s)pT(t, s), где p(t,s) - нормированный вектор, ортогональный тороидальной поверхности в точке x(t, s), а скалярная функция s) > 0 является решением краевой задачи

^(í,s) = o(í,S)Mf,s) + b(f,s), (28)

fi(t,s + l) =fz{t,s), ft(T{s)+t,a) = /*(t,r(s)). Здесь а — pT(FT + F)p, Ь = prSp. Решение задачи (28) имеет вид

fi(t,s) =g(t,s)[c(s)+h(t,s)], g(t, s) = exp í Ja(r,s)dr J , h(t,s) =-J ^'^¿r.

\o / o

Здесь функция c(s) удовлетворяет системе

c(r(«)) = a(s)c(s)+/?(«), ф + 1)=ф), (29)

где a(«) = g(T{s), s), ß{s) = a{s)h{T{s), s).

Решение c(s) системы (29) может быть найдено методом установления. Рассмотрим последовательности so = s> «i» •■•, s¡t,... , где sjt+i — r(sfc), и со, clt..., et,..., где Cfc = c(si). Значения et, благодаря (29), связаны уравнением

cjfc-ц = акск + ßk, ак = a(sk) , ßk = /?(sfc)-

Для элементов c¿ рассмотрим приближения c¡t, задаваемые рекуррентной формулой Cfc+1 = OfcCfc 4- ßk, где со - некоторое приближение для cq. Теорема 12. Пусть тор Ж системы (1) является экспоненциально устойчивым. Тогда lim (ck — Sk) — 0 независимо от выбора начального прибли-i—»00

о/сения со-

Конструктивность полученных теоретических результатов иллюстрируется примером.

Глава 3 «Стабилизация» состоит из пяти разделов. Здесь на основе теории устойчивости из главы 1 исследуется стабилизируемость и решается задача синтеза стабилизирующих управлений.

В разделе 3.1 представлены общие теоретические конструкции, связанные со стабилизацией инвариантных многообразий.

Рассматривается управляемая детерминированая система обыкновенных дифференциальных уравнений

dx = f(x, и) dt, i,/gK", и £ Rl (30)

и соответствующая ей стохастически возмущенная система

dx = f(x,u)dt + ^2<rr(x,u)dwr(t), x,f,cту € Rn, u€R'. (31)

r=l

Здесь f(x,«), <jt(x, и) - достаточно гладкие вектор-функции, wr(t) (г — 1,..., m) - независимые стандартные шнеровские процессы, и - управляющий параметр.

Предполагается, что при и = 0 система (30) имеет компактное инвариантное многообразие М С М", которое остается инвариантным и для системы (31), если стг(х, 0)|м = 0. Рассматривается задача выбора управления и, при котором многообразие М, сохраняя инвариантность, становится для (31) ЭСК-устойчивым. Стабилизирующий регулятор выбирается из класса достаточно гладких функций и(х), удовлетворяющих условию м(х)|м = 0.

По теореме 3 вопрос о стабилизации многообразия М нелинейной системы сводится к задаче стабилизации системы соответствующего линейного расширения. Такими линейными расширениями для (30),(31) являются системы

dx — fo(x) dt, х € М,

dz = (A(x)z + B{x)v)dt, z € 1С,

dx = fo(x) dt, x € M,

ТП

dz = (A(x)z + B{x)v)dt + £ (Cr{x)z + HT(x)v)dwT(t), z € M",

(32)

(33)

к(х) = /(х,0), А(х) = ^(гп.О), В(х) = |£(*,0), Сг(х) = ^(*,0),

IIг (х) = 0). Здесь управление и формируется регулятором

ои

V = К {х)г (34)

ди

с матрицей ЛГ(ж) =—(г), удовлетворяющей вследствие и(х)|м = 0 условию

Уат <= М К(х)Рх = К(х). (35)

В задаче стабилизации нелинейной системы (31), не теряя общности, можно ограничиться классом управлений вида

u(s) = К(ф))&{х). (36)

В случае codim Ж — 1 возможна факторизация матрицы обратной связи: К{х) — к(х)рт(х). Здесь к(х) - i-вектор-функция, р(х) - п-вектор-функция, нормированная и ортогональная Ж в точке х € М, При этом регуляторы (36),(34) будет иметь вид

■и= й(7(х))рт(7(х))д(х), V = k(x)pr(x)z (37)

Рассмотрим множество К, состоящее из I х гс-матричных функций К(х), определенных и удовлетворяющих на Н условию (35), для которых замкнутая система (32), (34) является Р-устойчивой. Множество К задает класс регуляторов (34), стабилизирующих детерминированную систему (32).

Для исследования возможностей стабилизации стохастической системы (33) регулятором (34) используется спектральный критерий Р-устойчивости теоремы 1.4. Рассмотрим операторы AK\V] — ~J+(A+BK)TV+V(A+BK),

Sji[У] = E(Cr+ HTK)TV{Cr + HrK), 3>K = -A-K4K.

r=1

Теорема 13. Для стабилизируемости стохастической системы (33) управлениями вида (34) необходимо « достаточно, чтобы детерминированная система (32) была стабилизируема некоторым управлением (34) (К Ф §) и выполнялось неравенство inf pföi-r) < 1. При этом стабилизировать систему (33) будет любое управление (34) с матрицей К € Ж., для которой р(Ук) < 1-

Данная теорема сводит исследование стабилизируемости стохастической системы (33) к задаче оптимального управления детерминированной системой (32) с критерием р(Ук)- Представленный критерий является общим вариантом результатов, опубликованных в [1],[2],[3].

На основе этих общих результатов получены конструктивные решения задач стабилизации как для точки покоя (раздел 3,2), так и основных колебательных режимов - предельного цикла (раздел 3,3) и тороидального инвариантного многообразия (раздел 3.4).

В разделе 3.2 рассматривается случай, когда инвариантное многообразие М управляемых систем (30), (31) состоит из единственной точки покоя х : Ж = {х}.

Соответствующая система первого приближения имеет вид

dz = (Az + Bv)dt + у/zxQz + v^Rvdrj, z 6 W, (38)

v = Kz, (39)

где А = -£(х, 0), В = ~(х, 0), Edrj = 0, Edrj(dn)T = Gdt.

Рассмотрим множество К, состоящее из I х n-матриц К, при которых матрица А + В К является устойчивой. Пусть пара {А, В) - стабилизируема, тогда К 7^0.

Для системы (38) спектральный радиус оператора CP к имеет представление

р[?к) = Е (zjQzs + vTRv), (40)

где zs - стационарно распределенное решение системы

dz = (Az + Bv)dt + dq (41)

с матрицей Л!" € К в регуляторе (39).

Как видим, исследование стабилизируемости стохастической системы (38) с мультипликативным шумом, зависящим от состояния и управления, сводится здесь по теореме 13 к классической задаче минимизации квадратичного критерия (40) для системы с аддитивным шумом (41). Для случая, когда матрицы Q и R положительно определенные, задача оптимизации штд-€к р{Ук) имеет единственное решение Ко — —R~1BTV, где матрица V является решением уравнения Риккати

ATV + VA-VBBT1BrV = -Q. (42)

При этом р{Ука) = niin^rSK pÇPk) — tr(VG). Таким образом, здесь, в случае точки покоя, критерий теоремы 13 приобретает следующий конструктивный вид.

Теорема 14. [3] Для стабилизируемости системы (38) регулятором (39) необходимо и достаточно, чтобы пара (А,-В) была стабилизируема и выполнялось неравенство tr(VG) < 1, где матрица V - решение уравнения (42). При этом стабилизировать систему (38) будет регулятор (39) с матрицей К0 = -R-lBTV.

Раздел 3.3 посвящен стабилизации циклов.

Рассматривается инвариантное многообразие M системы (31),(36), задаваемое Т-периодическим решением х = £(t).

Соответствующая система первого приближения имеет вид

dz = (A(t)z + B{t)v)dt + zTQ(t)z + vyR{t)vdrç, (43)

v = K(t)z, (44)

где A(t) = |^(i),0), B(t) = 0), Edr,(t) = 0, Edrj(t)(dr](t))r = G(t)dt,

Q(t), R(t), G(t), K(t) — Т-периодические матрицы,

K(t)P(t) s K(t), P(t) = Pm. (45)

Рассмотрим детерминированную систему

dz = (A(t)z + B{t)v)dt (46)

и множество К всех Т-периодических матриц K(t) с условием (45), при которых система (46) с регулятором (44) является Р-устойчивой. Для системы (43) спектральный радиус рк — рС^к) оператора У к удовлетворяет неравенствам

min Jxit) ^ Рк ^maxJWi)- (47)

Здесь JK(t) = E{zT(t)Q(t)z{t)+vT(t)R(t)v(t)) = tr ((Q(t)+KT(t)R(t)K(t))D(t)), z(t) - решение системы

dz = (A(t)z + B(t)v)dt + drj (48)

с регулятором (44). Это решение соответствует некоторому существующему у (48) при К € К периодическому режиму с матрицей вторых моментов D(t) = E(z(t)zT(t)).

Оценки (47) позволяют, решая соответствующие задачи оптимизации для системы с аддитивными шумами (48) и квадратичного критерия Jk, получать как достаточные, так и необходимые условия стабилизируемое™.

В двумерном случае (п — 2), когда коразмерность цикла равна единице и регуляторы в системах (31), (33) имеют форму (37), соответствующая замкнутая система первого приближения имеет вид

dz - Fk{t)zdt + \jzTP{t)zdrj-K, (49)

где Fk(t) = A(t) + B(t)k(t)pr(t), A(t) = (i), 0), B(t) = g(£(t), 0), P(t) = p(t)pT(t), k{t) - Т-периодическая ¿-вектор-функция, p(t) - норми-

рованная вектор-функция, ортогональная /(£(t),0), Vk(t) — £ wT(t)grk(t),

Г—1

9rk(t) = CT(t)p(t) + HT(t)k(t), Gk(t) = E<%(f)(d77*(i))T =

Cr[t) = 0)> Hr{t) = f?m'0)-

Критерий Р-устойчивости (12) для системы (49) с коэффициентом k(t) в обратной связи v = k(t)pT(t)z имеет вид J* = < «*(£) + Pk{t) > < 0. Здесь а* = рт (Ffr + Fk) р, Рк — PTGbp. Для Jk справедливо явное представление

Jk = <а + /3 + 2(Ъ + с)тк + ктНк >,

m m . m _

а — рт (Лт + А) р, Ь = Втр, 13=524, c^JZcrK, Я =

г=1 г=1 г—1

Ст = (ртСгр)2 , hr = Hjp. 28

В работе имеется пример, иллюстрирующий возможность конструктивного анализа стабилизируемости и построения для системы (49) стабилизирующего регулятора.

Раздел 3.4 посвящен стабилизации тороидальных многообразий [8]. Рассматривается случай, когда инвариантным многообразием Ж системы (31) с регулятором (36) является лежащая в К.3 двумерная тороидальная поверхность с параметризацией, задаваемой семейством решений x(t,s).

В трехмерном случае, когда codimM = 1 и регуляторы в системах (31), (33) имеют форму (37), соответствующая замкнутая система первого приближения имеет вид

dz = Fk(t, s)zât + \JzTP{t, s)zdrjk, (50)

где Fk(t,s) = A(t,s) +B(t,s)k(t,s)pT{t,s), P{t,s) = p{t,s)pT(t,s), k(t,s)-¿-вектор-функция, p(t, s) - нормированная вектор-функция, ортогональная тороидальной поверхности в точке x{t, s), Edrjk(t, s)(dr]k(t, s))T — Gk{t,s). Здесь коэффициенты A, В и Gk выражаются через параметры системы (31).

Критерий (14) Р-устойчивости замкнутой системы (50) с фиксированным коэффициентом к имеет вид

maxJfc(s) < 0. «

Для функционала Jk получена явная связь

Jk(s) = < a(t, s) + ¡3(t, s) + 2(b(t, s) + c(t, s))Tk(t, s) + kT(t, s)H{t, s)k(t, s) >

с коэффициентом регулятора k(t, s), что позволяет проводить конструктивный анализ задачи стабилизации системы (50).

Раздел 3.5 посвящен стабилизации линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами.

Рассматривается линейная стохастическая система с мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления

dx = (A(t)x + B{t)u) dt + £>r(i)x + -фт(t)u) dwr, (51)

r=l

где x - гс-мерный вектор состояния, и - ¿-мерный вектор управления, wr (г = 1, ...,т) - некоррелированные стандартные винеровские процессы, A{t),aT{t) -Г-лериодические п х n-матрицы, B(t), ipr(t) - !Г-периодические n х ¿-матрицы. Пусть управление в (51) формируется обратной связью

и = K(t)x, (52)

где K(t) - Т-периодическая I х n-матричная функция.

Рассмотрим множество матриц К = {Х(£) | система (51), (52) устойчива}, при которых регулятор (52) является стабилизирующим. В случае К ф 0 система (51) называется стабилизируемой.

Рассмотрим для системы (51),(52) задачу оптимальной стабилизации с квадратичным критерием

со

J]lu, з, х] = Е I (хТ(2х + итРи)сИ —> тш .

ц КЦ)еК

Здесь я € ОС™, Р £ ЗСр х(1) = х(£, в, х) - решение системы (51) с начальным-условием г(з) = х, при управлении, формируемой обратной связью (52), где КЦ) € К.

В предположении стабилизируемости решением этой задачи является оптимальный регулятор

т тп

щ = ад = -{Р+^ЯФ^^я+1] Ф7ПГг).

Г=1 Г=1

Здесь Я е ОС? - единственная матрица, удовлетворяющая уравнению

Я + ЯАТ + ЯА + ]Г °"г Кстг-

г—1

т тга т

+ + = -О-

Г-1 Г=1 Г=1

Для исследования стабилизируемости используется спектральная теория устойчивости (см. теоремы 7, 8).

Систему (51) с управлением (52) перепишем в виде

дх = А(К,г)х<и + ^Г <*Т(к,¿)хс2гиг, А{К,£) = А(Ь) + В(£)К(£),

Г=1

Рассмотрим операторы Лк, Зк, заданные соотношениями

АК{У] = V + АТ(К, *)У + УА(К, ЗДУ] = ¿)Уаг(К,

Г=1

Пусть детерминированная система

¿х = А{К,г)х (53)

является стабилизируемой: Ко = {А'(£) | система (53) устойчива} ф 0. Для каждого Л* € Ко существуют операторы А^1 и 7к =

Из теоремы 7 вытекает следующий критерий. Теорема 15.(14] Система (51) стабилизируема тогда и только тогда, когда система (53) стабилизируема (Ко Ф &) и выполняется неравенство

Рассмотрим стохастическую систему с мультипликативным шумом второго типа _

йх - {А{Ь)х + В(Ь)и) + Ц)х + игРЦ)и ей?, (54)

и обратной связью и — К(Ь)х. Здесь 1](Ь) - п-мерный винеровский процесс с параметрами Е<1ф) = 0 , Е(1т)&)(1г)т= С{1)сИ, <5 6 ОС? , С? е ЗС?, Р € ЗС',,.

Будем считать, что соответствующая детерминированная система (53) стабилизируема (Ко ф 0). Рассмотрим множество

При каждом Об© уравнение Риккаги

л+(л(0 + -д{г)1)тк + н(А{ь) + - явг(г)р-1(1)в{ь)к = -(?(*)

имеет решение Л(г?, ¿). Пусть Цд, в] = т'т^е^ ЦК, г?, г] = <х(Д(!?, £)£?($)). Теорема 16. [14] Система (54) стабилизируема тогда и только тогда, когда система (53) стабилизируема и выполняется неравенство

шттах Ц-д, з! < 1. ¿£в [о,г)

Если при некотором 'д 6 © выполняется неравенство тахУ[1?, в] < 1, то

регулятор и{Ь) = —Р~г^)ВТ(Ь)Н('д, ¿)аг(4) будет стабилизировать систему (54).

Полученные теоретические результаты иллюстрируются на примере. Глава 4 «Управление стохастической чувствительностью» состоит из трех разделов. Здесь на основе общего подхода и методов, разработанных в главе 2, решается задача синтеза управлений, формирующих стохастические аттракторы с заданными вероятностными характеристиками.

В разделе 4.1 представлен теоретический материал, связанный с управлением чувствительностью общих инвариантных многообразий. Рассматривается управляемая детерминированная система

йх = Дх,и) сЙ, 1,/еК",ие (55)

и соответствующая ей стохастическая система

сЬ — /(х,и) ей + еа{х,и)йп}{Ь), 1,/бГ, и& Е1. (56)

Здесь u>(i) - n-мерный виверовский процесс, е — скалярный параметр интенсивности возмущений. Предполагается, что при и = 0 система (55) имеет компактное инвариантное многообразие M с К".

Рассматривается задача выбора управления и, гарантирующего экспоненциальную устойчивость многообразия H для детерминированной системы (55) и формирующего для M в системе (56) желаемую функцию стохастической чувствительности. Регулятор выбирается из класса достаточно гладких функций и(х), удовлетворяющих условию = 0.

Для описания динамики отклонений траекторий систем (55), (56) от многообразия M используются системы линейного расширения

dx - /о (г) dt,

dz = (A(x) + B(x)K(x))zdt, { 4

dx — /о(х) dt,

dz = {A{x) +B(x)K(x))zdt + eG(x)dw,

где

fo(x) = f(x,Q), Л(х) = |£(х,0), S(x) = |£(x,0), G(x)=a(x,0).

Для К(х) — -7г-(х) выполняется условие ох

Vx € M К(х)Рх = К(х). (58)

Здесь, как и в главе 3, можно, не теряя общности, ограничиться классом управлений вида

и{х) = К{ 7(х))д(х). (59)

Рассмотрим множество К, состоящее из I х n-матричных функций К(х) с условием (58), для которых система (57) является Р-устойчивой. Предполагается, что множество К непусто.

Возьмем произвольную фиксированную точку х 6 M и решение x(t) = X{t, х) уравнения dx — /о(х) dt с начальным условием -Л"(0, х) — х. Перейдем к параметрическому описанию: A{t) = A(x(i)), B(t) ~ B(x(t)), G(t) = G(x{t)), S{t) - G(t)GT(t), P(t) = Pl(t), K{t) = K(x(t)).

Рассмотрим множество К* = (A'(i) | K(i] = A'(x(i)), K(x) e К}. Для всех K(t) 6 Кг вследствие (58) выполняется условие

Vi € M1 K(t)P(t) = K(t). (60)

Для системы (56) функция стохастической чувствительности в точках траектории x(t) задается матрицей W(t), являющейся единственным в Xх решением уравнения

W = (A(t) + B(t)K(t))W + W(A(t) + B(t)K(t))r + P(t)S(t)P(t). (61)

Матрица W(t) связана соотношением lim (P(t)V(t)P(t) — H^(t)) = 0 с ко-

i—*+оо

вариационной матрицей V(t) — соv(y(t),y(t)) произвольного решения y(t) линейной стохастической системы

dy = (A{t)y + B{t)v)dt + P(t)G(i)dw (62)

с регулятором

v = K{t)y. (63)

Матрица W(t) определяется выбором матрицы K(t) обратной связи (63). Здесь представляет интерес следующая задача управления. Рассмотрим множество М1 = {W(i) S %ХР | W(t) — непрерывно дифференцируема на Е1} допустимых ФСЧ.

Задача 1. Для наперед заданной матрицы W(t) 6 MF требуется подобрать такую матрицу К 6 чтобы матрица Wrc{t) - решение уравнения (61) - при всех t GR1 удовлетворяла равенству Wic(t) = W(t).

Пусть W(t) - желаемая ФСЧ (W е Мг). Решение задачи 1 сводится к отысканию подходящей матрицы K(t), удовлетворяющей уравнению

В KW + WK~iBT + PSP - ~ + АIV + IV Ат = 0. (64)

Если при всех t е R1 матрица B(t) является квадратной (п = I) и невырожденной (ranks = п), то система (64) имеет решение

K^B-1(~[W}W+ + \W^[W+}~1-PSW+-А).

\ Qit £t Ut £ J

Если rankß < n, то система (64) разрешима не всегда.

Определение б- Если элемент W € Мх при некотором К € К1 для всех t удовлетворяет равенству Wic(i) = W{t), то W называется достижимым в системе (56). Множество всех достижимых элементов

W1 = {W е М* | 3K(t) е кх WK(t) s W(t)} называется множеством достижимости системы (56).

Определение 7. Многообразие М будем называть полностью стохастически управляемым в системе (56), если

VxeM VWeM1 ЗКеК* WK(t)==W(t).

Для того, чтобы М было полностью стохастически управляемым, необходимо и достаточно, чтобы равенство W1 = М1 выполнялось при всех х е 3Vt.

О Г

Условие rank-^— (х, 0) = п = I является достаточным д ля полной стохасги-ди

ческой управляемости системы (56).

Раздел 4.2 посвящен управлению чувствительностью точки покоя. В случае, когда инвариантное многообразие Ж состоит из единственной точки покоя £ : М = {ж}, система (56), (59) имеет систему первого приближения вида

йг ~ (А + ВК)гвА + еСУт).

Здесь А = — (х, 0), В — ~{х, 0), О — а(х, 0), К - постоянные матрицы. ох ои

Предполагается, что пара (А, В) - стабилизируема:

К = {А' 1А + ВК - устойчива} ф 0.

Множество М допустимых ФСЧ составляют положительно определенные

п х п-матрицы. Решение задачи 1 синтеза желаемой функции стохастической

чувствительности ТУ е М сводится здесь к решению уравнения

ВК\У + ТУКТВТ + Я (ТУ) = 0, Я(ТУ) = 5 + АТУ + ТУЛт, Б = <?СТ.

Рассмагрим в К" линейное подпространство В1 =< 61,..., 6^ >, натянутое на вектор-столбцы &1, Ь( матрицы В, и его ортогональное дополнение Вг. Обозначим через Рг и Рг проекторы на и Вг.

Теорема 17. Для того, чтобы матрица ТУ 6 М была достижимой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие РгЯ(ТУ)Рг = 0 и матрица А + ВК для К = В+Н^ф.ЬРх-^й'-1 была устойчивой.

Если ТУ достижима, то матрица К решает поставленную задачу синтеза регулятора, формирующего желаемую матрицу стохастической чувствительности ТУ.

Теорема 18. Если гапкВ = п, то система (56) является полностью стохастически управляемой. Если система (56) является полностью стохастически управляемой при невырожденных шумах (гапкС? = п), то гапкВ = п.

Теоретические результаты данного раздела иллюстрируются на примере решения задачи управления разбросом случайных траекторий вокруг точки покоя стохастически возмущенного уравнения Ван-дер-Поля.

Раздел 4.3 посвящен управлению чувствительностью циклов. Рассматривается случай, когда инвариантным многообразием Ж системы (56) с регулятором (59) является предельный цикл, задаваемый Т-периодичес-ким решением х = £(£).

Исследование возможностей управления нелинейной стохастической системой (56), (59) сводится к анализу линейной системы (62), (63), имеющей для цикла следующий вид

лу = (Л(0 + в{г)К{ь))у<и + Р(г)о{г)<1и1,

где = !£(£(*), 0), ¿?(*) = |£то), С(*) = <7(£(*),0), Р(*) = Ред.

Здесь матрица обратной связи K(t) выбирается из множества К, состоящего из всех Т-периодических матриц, для которых выполняется условие (60), а замкнутая детерминированная система dz = (A(t) + B(t)K(t))zdt является Р-устойчивой. Предполагается, что множество К непусто.

Рассмотрим М = {IV(t) £ ОСр \ W(£)—непрерывно дифференцируема на К.1} - множество допустимых функций стохастической чувствительности.

Решение задачи 1 синтеза желаемой матрицы стохастической чувствительности W(t) 6 М сводится здесь к отысканию матрицы K(t), удовлетворяющей на отрезке [0, Т] уравнению

B(t)K(t)W(t) + W(t)KT(t)BT(t) + H(W(t)) = 0, (65)

где

H{W{t)) = P{i)S{t)P{t)-jt [W(i)] +A(t)W(t)+W(t)AT(t), S(t) = G(i)GT(t).

В случае, когда при всех t € [0,Т] матрица B(t) является квадратной и невырожденной (rankS(t) — п = 1), система (65) имеет единственное решение

K(t) - B-\t) (jt [W(i)] W+(t) + [1iv+(t)] - ip(i)S(t)W+(i) - A(t)) .

В случае цикла на плоскости (п — 2) матрица W(t), задающая стохастическую чувствительность цикла М, представима в виде W(t) = ß(t)p(t)pT (t). Здесь p(t) - нормированная вектор-функция, ортогональная вектору /(£(i)> 0), а скалярная фуикция' ß(t) > 0, задающая дисперсию пучка по нормали p(t) к циклу, является решением краевой задачи

ß = ak(t)ß + b(t), =

с Т-периодическими коэффициентами = ao(t) + 2ßr(t)k(t), b(t) = PT(t)S(t)P(t), где a0(t) = 2gT(t)p(t), q[t) = Ar(t)p(t), ß{t) = BT(t)p(t), k(t) = K(t)p{t). При этом регулятор исходной нелинейной стохастической системы будет иметь вид

и = k(t(x))pT(t(x))A{x). (66)

Рассмотрим множество допустимых ФСЧ

М - {м € Cj,iT] | ß(t) > 0, 0) = МП А(0) = ß(T)},

Пусть функция Д(£) 6 М является желаемой ФСЧ. Функция /2(f) € М является достижимой, если найдется k(t), при котором ßk(t) = ß(t). Цикл М будет полностью стохастически управляемым, если любая функция Д(i) е М является достижимой.

Теорема 19.(23] Для полной стохастической управляемости цикла М условие P(t) ф 0 при всех t € [О, Г] является достаточным, а в случае, когда Og(i) + b2(t) ф 0 при всех t G [О, Т], и необходимым.

Пусть p,(t) 6 М является желаемой ФСЧ. Для того, чтобы регулятор (66) обеспечивал для цикла выбранную fi(t), функция k(t) должна удовлетворять уравнению

-«(«). = (67)

В случае скалярного управления (I — 1), когда Bit) является п-вектор-столбцом, a P(t), k(t) являются скалярными функциями, уравнение (67) имеет Т.ГЛ

единственное решение k{t) = -^ттг-

Р\Ч

В случае векторного управления (I > 2) уравнение (67) имеет бесконечное множество решений (желаемая ФСЧ может быть получена различными управлениями). Здесь естественно рассмотреть дополнительный критерий оптимальности

||A(i)||2 -»nun/ (68)

Задача конструирования оптимального регулятора (67), (68) имеет единственное решение

Егл - - ш-"<>№№)-b[t)aM

wwm?

Полученная формула задает явную связь желаемой функции стохастической чувствительности p[t) и коэффициента k(t) регулятора (66), обеспечивающего эту чувствительность.

-Возможности представленных теоретических результатов иллюстрируются на примере управления чувствительностью и подавления хаоса для модели возмущенного брюсселятора [10],[23].

Завершая обзор содержания и основных результатов диссертации, заметим, что среди возможных направлений дальнейших исследований в русле данной работы можно отметить вопросы, связанные с анализом индуцированных шумом переходов как между отдельными аттракторами (точка покоя - точка покоя, точка покоя - цикл, цикл - цикл, цикл - тор, ...), так и внутри одногс аттрактора между его отдельными частями (соседними участками и петлям* многооборотных циклов). Продвижение в этом направлении позволит понят! вероятностный механизм стохастических бифуркаций разрушения и рождеши аттракторов при изменении параметров случайных возмущений. Весьма ивте ресным представляется исследование воздействия шума на хаотические аттрак торы. Разработка соответствующих конструктивных процедур и численных ме •годов стохастического анализа позволит перейти к решению задачи синтез

- построению регуляторов, управляющих вероятностными характеристиками

стохастических бифуркаций и переходов между аттракторами.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов Минобразования (97-01.9-111) и РФФИ (00-01-00076, 00-01-10643, 02-01-96418урал, 04-01-9609Вурал).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Ряшко Л.Б. Стабилизация линейных стохастических систем с возмущениями, зависящими от состояния и управления // Прика. математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 4. С. 612-620.

[2] Ряшко Л.Б. Линейный фильтр в задаче стабилизации линейных стохастических систем при неполной информации // Автоматика и телемеханика. 1979. №7. С. 80-89.

[3] Ряшко Л.Б. Стабилизация линейных систем с мультипликативными шумами при неполной информации // Прикл. математика и механика. 1981. Т. 45. Вып. 5. С. 778-786.

[4] Ряшко Л.Б. Об устойчивости стохастически возмущенных орбитальных движений I¡Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 4. С. 582.

[5] Бшикирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в анализе чувствительности автоколебаний к стохастическим возмущениям // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 1998. Т. 6. № 5. С. 19-27.

[6] Башкирцева И.А., Исакова М.Г., Ряшко Л.Б. Асимптотическое разложение квазипотенциала для стохастически возмущенного нелинейного осциллятора // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 10. С. 1319-1324.

[7] Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в исследовании локальной устойчивости предельных, циклов к случайным возмущениям // Язе. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2001. Т. 9. № 6. С. 104-114.

[S] Ряшко Л.Б. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости и стабилизации двумерного инвариантного тора // Изв. вузов■ Прикл. нелинейная динамика. 2001. Т. 9. X" 4,5. С. 140-153.

[9] Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Стихии П.В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2003. №-6. С. 32-47.

[10] Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Управление стохастически возмущенными автоколебаниями // Автоматика и телемеханика. 2005. №6. С. 104-113.

[11] Васин В.В., Ряшко Л.Б. Элементы нелинейной динамики: от порядка к хаосу. Москва^ Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006,164 с.

[12] Ryashko L.B., Schurz Н. Меад square stability analysis of some linear stochastic systems // Dynamic Systems and Applications. 1997. V.6. P. 165-189.

[13] Bashkirtseva I.A., Isakova M.G., Ryashko L.B. Quasipotential in stochastic stability analysis of the nonlinear oscillator orbits // J. Neural, ParcUlel Sc Scientific Computations. 1999. V. 7. № 3. P. 299-310.

[14] Ryashko L.B. Stability and stabilization of SDEs with periodic coefficients // Dynamic Systems and Applications. 1999. V. 8. P. 21-34.

[15] Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Bnisselator // Phys. A. 2000. V. 278. P. 126-139.

[16] Bashkirtseva LA., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of stochastically forced Lorenz model cycles under period-doubling bifurcations // Dynamic Systems and Applications.' 2002. V. 11. P. 293-309.

[17] Fedotov S., Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic analysis of a non-normal dynamical system mimicking a laminar-to-turbulent subcritical transition // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 066310.

[18] Ryashko L.B., Shnol B.E. On exponentially attracting invariant manifolds of ODEs // NoTdinearity. 2003. V. 16. P. 147-160.

[19] Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Mathematics and Computers in Simulation. 2004. V. 66. P. 55-67.

[20] Fedotov S., Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic analysis of subcritical amplification of magnetic energy in a turbulent dynamo // Phys. A. 2004. V. 342. P. 491-506.

[21] Ryagin M.Yu, Ryashko L.B. The analysis of the stochastically forced periodic attractors for Chua's circuit // Int. J. of-Bifurcations and Chaos. 2004. V. 14(11). P. 39S1-3987.

[22] Ryashko L.B. Exponential mean square stability of stochastically forced 2-torus // Nonlinearity. 2004. V. 17. P. 729-742.

[23[ Bashkirtseva I., Ryashko L. Sensitivity and chaos control for the forced nonlinear oscillations // Chaos, Solitons and Fractals. 2005. V.26. P. 1437-1451.

ИД Лв 06117 от 23.10.2001 Подписано в печать 19.04.2006.

Формат 60x84/16. Бумага типографская №2. Печать - ризография. Усл. печ. л. 2,4 Уч..-изд. л. 2,2 Тираж 100 экз. Заказ 852.

Московский государственный институт электровики и математики 10902В, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3/12

Центр оперативной полиграфии (495) 916 8804,916 8925

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Ряшко, Лев Борисович

Введение

1 Среднеквадратичная устойчивость

1.1 Инвариантные многообразия. Стохастическая устойчивость.

1.2 Квадратичные функции Ляпунова. Критерий ЭСК-устойчивости

1.3 Стохастические линейные расширения. Р-устойчивость.

1.4 Функции Ляпунова для стохастических линейных расширений. Критерий Р-устойчивости.

1.5 Теорема о стохастической устойчивости по первому приближению

1.6 Спектральный критерий

1.6.1 Системы с шумами второго типа. Оценки спектрального радиуса оператора У.

1.7 Устойчивость точки покоя.

1.8 Устойчивость цикла.

1.8.1 Случай цикла на плоскости

1.9 Устойчивость 2-тора.

1.9.1 Случай 2-тора в трехмерном пространстве.

1.10 Устойчивость линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами

2 Стохастическая чувствительность

2.1 Функция стохастической чувствительности

2.1.1 Квазипотепциал и его аппроксимация

2.1.2 Параметризация функции стохастической чувствительности

2.1.3 Связь с системами первого приближения.

2.2 Стохастическая чувствительность точки покоя

2.2.1 Системы с ненормальными матрицами.

2.2.2 Индуцированный шумами переход к турбулентности.

2.2.3 Стохастическая генерация магнитного ноля галактик.

2.3 Стохастическая чувствительность циклов

2.3.1 Итерационный метод.

2.3.2 Чувствительность 2£>-циклов

2.3.3 Стохастический осциллятор Ван-дер-Поля.

2.3.4 Брюсселятор с возмущениями: неравномерная чувствительность и хаос.

2.3.5 Чувствительность ЗЛ-циклов

2.3.6 Стохастическая модель Ресслера

2.3.7 Стохастическая модель Лоренца.

2.3.8 Разложение функции стохастической чувствительности по малому параметру.

2.4 Стохастическая чувствительность 2-торов.

2.4.1 Чувствительность 2-тора в трехмерном пространстве.

3 Стабилизация

3.1 Стабилизация инвариантных многообразий

3.2 Стабилизация точки покоя.

3.3 Стабилизация цикла.

3.3.1 Случай цикла на плоскости

3.4 Стабилизация 2-тора

3.5 Стабилизация линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами

4 Управление стохастической чувствительностью

4.1 Управление чувствительностью инвариантных многообразий.

4.2 Управление чувствительностью точки покоя.

4.3 Управление чувствительностью циклов.

4.3.1 Случай цикла на плоскости

4.3.2 Брюсселятор с возмущениями: управление чувствительностью и подавление хаоса

Введение 2006 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Ряшко, Лев Борисович

Диссертация посвящена анализу устойчивости, чувствительности и возможностей управления в стохастически возмущенных нелинейных динамических системах. Объектом исследования являются компактные инвариантные многообразия, связанные с точками покоя, периодическими и квазииериодическими решениями стохастических дифференциальных уравнений.

Исследования последних лет показали, что разнообразие, наблюдаемое в поведении нелинейных динамических систем, можно свести к анализу относительно простых инвариантных многообразий и их качественных преобразований (бифуркаций). Так, например, одним из стандартных сценариев перехода от порядка к хаосу [19], [101] служит цепь последовательных бифуркаций: положение равновесия (точка покоя) -периодические колебания (цикл) - квазипериодические колебания (тор) -хаотические колебания (странный аттрактор). Каждый такой переход сопровождается потерей устойчивости простого многообразия и рождением нового, более сложного устойчивого многообразия. Присутствие случайных возмущений, связанных как с внешними неконтролируемыми воздействиями, так и внутренними параметрическими флуктуаци-ями, может существенно повлиять на тонкий механизм бифуркаций и вызвать неожиданные качественные изменения в поведении системы. Анализ стохастической устойчивости соответствующих колебательных режимов является здесь ключевым моментом в понимании механизма сложных явлений нелинейной динамики. Разработка методов управления даст возможность, придавая аттракторам те или иные желаемые вероятностные свойства, решать важные прикладные задачи синтеза систем с требуемыми наперед заданными характеристиками.

В современной теории случайных процессов имеется большое количество различных динамических моделей, отражающих те или иные вероятностные особенности исследуемых реальных систем. В данной работе рассматривается классическая модель - система стохастических дифференциальных уравнений Ито. Первым примером стохастического дифференциального уравнения в физике было уравнение Ланжевена [67],[230], которое оказалось идейно связано с предложенной Эйнштейном и Смо-луховским [131] конструкцией броуновского движения. Развитие математической теории броуновского движения, начатое в работах Винера [279] и Леви [68], привело к разработке его формальных моделей - випе-ровского процесса и мартингала.

Построение теории стохастических дифференциальных уравнений с использованием соответствующих разностных уравнений даио в работах С.Н. Бернштейна [20] и И.И. Гихмана [31]. Другой подход, опирающийся на конструкцию стохастического интеграла но винеровскому процессу, использовал Ито [45],[213]. Его простое и удобное построение решения стохастического уравнения и соответствующее стохастическое исчисление (формула Ито) является общепринятым и хорошо представлено в научно-методической литературе (см. [33],[41],[78],[79],[107],[140]). Система стохастических уравнений Ито служит базовой моделью в современной теории стохастической устойчивости и управления [13],[28],[61],[65], [124],[127],[129],[141],[286]. Дальнейшая разработка стохастического анализа привела к появлению новых конструкций и более общих схем (интеграл Стратоновича [120], интегралы по мартингалам и точечным процессам [27]), позволяющих существенно расширить класс стохастических дифференциальных уравнений. В настоящее время стохастические дифференциальные уравнения имеют хорошо разработанную формальную математическую теорию и разнообразные приложения.

Y.J. Kushner), У.Флеминга (W.H. Fleming). Существенный вклад в ее дальнейшее развитие внесли В.Н. Афанасьев, И.И. Гихман, Л.Г. Евла-пов, И.Я. Кац, В.Б. Колмаповский, В.М. Константинов, Д.Г. Корепев-ский, Н.В. Крылов, А.Б. Куржанский, М.Б. Левит, Э.А. Лидский, Г.Н. Мильштейн, М.Б. Невельсон, П.В. Пакшин, А.В. Скороход, Е.Ф. Царьков, Ф.Л. Черпоусько, Л.Е. Шайхет, М. Aoki, L. Arnold, K.J. Astrom, J.E. Bertram, R.S. Bucy, M.H.A. Davis, U.J. Hanssman, D.L. Kleinman, F. Kozin, X. Mao, P.J. McLane, J.S. Meditch, T. Morozan, P.E. Sarachik, T. Sasagava, E. Tse, J.L. Willerris, W.M. Woiiham и многие другие ученые.

Теория стохастической устойчивости отличается разнообразием задач и методов их решения. Это связано с двумя обстоятельствами: существованием большого количества типов вероятностных динамических моделей и наличием нескольких различных видов стохастической устойчивости. Тематика диссертации примыкает к той части этой теории, в которой для инвариантных многообразий стохастических дифференциальных уравнений Ито исследуется экспоненциальная устойчивость в среднем квадратичном методом стохастических функций Ляпунова.

Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающих работ [48],[59], является теоретическим фундаментом анализа устойчивости и стабилизации стохастических систем. Этот метод позволил не только распространить на стохастические уравнения базовые конструкции классической теории детерминированной устойчивости, но и получить новые интересные результаты, отражающие особенности, присущие только вероятностным системам.

Случай, когда инвариантное многообразие есть точка покоя, рассматривается давно, достаточно хорошо исследован и имеющиеся здесь результаты уже составляют глубоко разработанную часть общей теории стохастической устойчивости нелинейных динамических систем.

Следующим за точкой покоя в цепи бифуркаций инвариантных многообразий является предельный цикл. Предельный цикл является математической моделью автоколебаний, наблюдаемых в системах самой различной природы - электронных генераторах, механических конструкциях, химических реакциях, сообществах живых организмов. Исследование детерминированной устойчивости периодических решений на плоскости началось с работ Ляпунова и Пуанкаре. Для предельных циклов многомерных систем основные результаты детерминированного варианта теории устойчивости (теорема Андронова-Витта и ее аналоги [7],[38],[50],[126]) были получены с помощью теории Флоке в русле первого метода Ляпунова еще в 30-х годах. Соответствующие конструкции функций Ляпунова необходимые для анализа устойчивости стохастически возмущенных предельных циклов долгое время отсутствовали.

Исследование воздействий случайных возмущений па поведение автоколебаний нелинейных систем было начато в классической работе Л.С. Понтрягипа, А.А. Андронова, А.А. Витта [109]. В дальнейшем эти исследования были продолжены в большом числе работ и отражены в монографиях [8],[10],[23],[40],[90],[111],[119],[212],[269], посвященных флуктуа-циям в радиофизических и механических системах.

Под воздействием стохастических возмущений случайные траектории системы покидают замкнутую орбиту детерминированного предельного цикла и формируют вокруг него некоторый пучок. Благодаря устойчивости цикла плотность распределения вероятности случайных состояний в этом пучке стабилизируется. Установившееся вокруг цикла стационарное вероятностное распределение определяет соответствующий стохастический аттрактор - стохастический предельный цикл. Для теории случайных нелинейных колебаний несомненный интерес представляют исследования стохастических предельных циклов как вблизи точки бифуркации Андронова-Хопфа (квазигармонические колебания), так и в зоне параметров, удаленной от этой точки (релаксационные колебания). Стохастически возмущенные предельные циклы изучались в [66],[95],[96],[150],[177], [182],[198],[199],[225],[237],[248],[268],[274].

Связанные с шумами качественные эффекты, наблюдаемые в зоне рождения цикла, исследовались в работах [99],[142],[160],[173],[194],[232], [233],[234],[245],[247]. Существенная неравномерность стохастических пучков вдали от точки бифуркации исследовалась в [134],[179],[228],[249].

Развитие теории нелинейных систем, вызванное открытием хаотических осцилляций, разработка общих сценариев разрушения регулярных колебаний, связанных с последовательными бифуркациями удвоения периода, поставили новые актуальные задачи исследования стохастических возмущений сложных пространственных многооборотных предельных циклов.

Численному исследованию классических моделей Ресслера и Лоренца в присутствии случайных возмущений посвящены работы [9],[10],[53],[135], [218],[290].

Следующее по сложности за циклом инвариантное многообразие -тор. Этот объект, ставший классическим после работ Пуанкаре, Данжуа и Арнольда [12], достаточно подробно исследовался с точки зрения его структурной устойчивости (КАМ-теория). Анализу детерминированной устойчивости тороидальных движений к возмущению начальных данных посвящены работы [37],[51],[52],[100],[118].

Бифуркации тороидальных многообразий исследовались в [89],[139], [215],[219].

Поведение стохастически возмущенной системы исчерпывающим образом (в терминах переходной плотности распределения) описывается уравнением Фоккера-Плапка-Колмогорова. Непосредственное использование этого уравнения даже в простейших ситуациях (например, когда рассматривается стационарно-распределенное состояние автоколебательной системы с одной степенью свободы) весьма затруднительно. Важный для практики случай - воздействия малых помех - приводит к известным проблемам анализа уравнений с малыми коэффициентами при старших производных.

В настоящее время известны различные подходы, позволяющие для искомых вероятностных характеристик найти соответствующие приближения. Разработан метод, основанный на замене исследуемого процесса на эквивалентный гауссовский. Аналитически этот метод сводится к обрыву бесконечномерной последовательности уравнений для моментов высших порядков, когда ограничиваются лишь первыми двумя моментами. Для случая квазигармонических колебаний данный прием использовался в [269]. Подход, связанный со стохастическим усреднением в русле метода малого параметра теории возмущений, рассмотрен в работах [40] и [119].

Для систем с малыми случайными возмущениями в работе А.Д. Вент-целя и М.И. Фрейдлина [28] предложен подход, использующий некоторую специально конструируемую функцию Ляпунова - квазипотенциал, с помощью которой можно находить асимптотики ряда важных вероятностных характеристик выхода случайных траекторий из области (задача о выбросах), содержащей устойчивое предельное множество исходной детерминированной системы. Применительно к точке покоя данный подход в рамках теории больших уклонений развивался в работах [166],[180]. Метод квазипотенциала для предельного цикла рассматривался в работах [96],[176],[177],[178],[198],[199],[237],[248],[268], а для более сложных фрактальных аттракторов в [181],[200]. Теории больших уклонений в анализе стохастических дифференциальных уравнений на торе посвящена работа [29].

Общие вопросы, касающиеся многообразий и аттракторов стохастических систем, рассматривались в [21],[138],[141],[159],[164],[183],[244],[262], [263],[264].

Одним из актуальных разделов естествознания, где находит применение современная теория устойчивости вероятностных нелинейных процессов, является стохастический анализ динамических систем при переходе от ламинарного режима к турбулентному. В последние годы и особенно после оригинальной работы L. N. TVefethen, А. Е. TYefethen, S. С.

Reddy, T.A. Driscol [275] активно развивается теория такого перехода, основанная на свойстве ненормальности оператора динамической системы. Ненормальность лииеаризоваииого уравнения Навье-Стокса приводит к всплеску возмущений даже в случае устойчивости равновесного состояния. Нелинейность системы приводит к дальнейшему усилению малых начальных возмущений. В результате переход к турбулентности происходит не вследствие линейной неустойчивости стационарного ламинарного потока, а в результате сочетания ненормальности, порождающей высокую чувствительность к возмущениям, и нелинейности, переводящей систему в бассейн притяжения турбулентного режима. Обзоры исследований этого явления имеются в работах [148],[167],[201],[265].

Некоторые теоретические исследования, посвященные стохастически возмущенным динамическим системам с ненормальным оператором, представлены работами [156],[184],[185].

Свойство ненормальности играет важную роль и в понимании природы генерации больших магнитных полей в астрофизических объектах. Хорошо известно, что магнитное поле генерируется турбулентным потоком электропроводящей жидкости. Результаты исследования целого ряда моделей, описывающих динамику возникающих магнитных полей, представлены в обзоре [278].

Традиционно явление генерации магнитного поля связывают с переходом системы из зоны устойчивости (субкритический случай) в зону неустойчивости (суперкритический случай). С точки зрения классической теории детерминированной устойчивости генерация магнитного поля должна наблюдаться лишь в суперкритическом случае. Однако в работах [186],[187] было показано, что вследствие ненормальности возможна генерация поля и в зоне параметров, относящихся к субкритическому случаю. Такой субкритический переход из нулевого равновесия в области, где действуют уже значительные по величине магнитные ноля, невозможно удовлетворительно объяснить, оставаясь в рамках чисто детерминированной теории. Важность влияния шума в проблеме генерации магнитного ноля сейчас общепризнанна. Стохастическая динамика магнитных полей рассматривалась в работах [187],[209],[210].

Таким образом, понимание природы генерации магнитного поля предполагает учет трех факторов: нелинейности, стохастичности и ненормальности.

Задачи управления колебаниями в нелинейных дииамических системах исследуются достаточно давно. Необходимость в стабилизации неустойчивых периодических решений (орбит) возникает при устранении вибраций механических конструкций, подавлении шумов и нежелательных гармоник в системах связи и электронных устройствах, локализации возможных отклонений от требуемых характеристик в формируемых периодических режимах. Наряду с задачей стабилизации, связанной с подавлением нежелательных колебаний, рассматривается задача возбуждения заданного колебательного режима. Подобная задача встречается при разработке вибрационных механизмов, акустических и электронных генераторов. Необходимость согласования во времени состояний взаимодействующих колебательных систем привела к задачам управления синхронизацией.

В настоящее время результаты исследований по управлению колебаниями составляют глубоко разработанную теорию, основное содержание которой представлено работами [1),[2],[4],[36],[43],149],[60],|72],[73],[74],[93], [122],[123],[125],[130],[133],[147],[157],[162],[192],[193],[195],[251],[276],[287].

В последнее время в теории управления нелинейными колебательными системами появилось и активно разрабатывается повое научное направление - управление хаосом. Всплеск интереса к задачам управления хаотическими аттракторами связывают с выходом в 1990г. работы Т. Ott, С. Grebogi, G. Jorke [250]. Здесь наряду с традиционными задачами подавления хаоса, когда целью управления является преобразование хаотического аттрактора в регулярный (предельный цикл или точку покоя), рассматриваются задачи возбуждения в управляемой системе хаотических колебаний, построения генераторов хаоса. Генераторы хаоса активно используются в области защиты информации. Соответствующее научное направление (controlling chaos) представлено работами [3],[5],[6],[80],[81],[85],[86],[87],[88],[137],[163],[168],[169],[170],[171],[172], [204],[211],[217],[236],[252],[267],[288].

Вопросы управления колебаниями в системах со случайными возмущениями рассматривались в работах [49],[95].

Диссертационная работа состоит из четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертация на тему "Нелинейные стохастические колебания"

Заключение

В диссертации представлены результаты широкого круга исследований, связанных с анализом устойчивости, чувствительности и управления для стохастически возмущенных нелинейных динамических систем. Ниже приводится перечень основных положений, выносимых на защиту.

1. Разработан общий вариант метода функций Ляпунова для анализа экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости компактных инвариантных многообразий нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Для исследования поведения случайных траекторий вблизи инвариантного многообразия введена конструкция системы стохастического линейного расширения и понятие Р-устойчивости, что позволило доказать соответствующую теорему о стохастической устойчивости по первому приближению. На основе теории положительных операторов получен общий критерий, сводящий исследование стохастической устойчивости к оценкам спектрального радиуса некоторого положительного оператора.

2. Как следствие этих результатов, получены конструктивные параметрические критерии стохастической устойчивости как для точки покоя, так и для основных колебательных режимов - предельного цикла и тороидального инвариантного многообразия; решена задача об устойчивости линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами.

3. Для случая малых шумов, не вырождающихся на многообразии, разработан общий подход, направленный на анализ стохастической чувствительности исследуемого аттрактора. Основной конструкцией предлагаемого подхода является задаваемая на многообразии функция стохастической чувствительности. Данная функция в достаточно сжатой форме позволяет описать основные пространственные вероятностные характеристики пучка случайных траекторий системы локализованного в окрестности исследуемого инвариантного множества. Выведены необходимые уравнения и разработаны численные методы, позволяющие находить данную функцию для сложных пространственных многооборотных стохастических предельных циклов и двумерных тороидальных многообразий. Получены рекуррентные формулы разложения функции стохастической чувствительности по степеням малого параметра нелинейности.

4. Новые возможности разработанной теории стохастической чувствительности нашли свое применение в ряде приложений. В работе представлены результаты анализа чувствительности нелинейных динамических моделей, позволяющего прояснить вероятностный механизм субкритического перехода ламинарного потока в турбулентный и генерации магнитного поля галактик; исследована стохастическая чувствительность предельных циклов в классических моделях Ван-дер-Поля, брюсселятора, Ресслера и Лоренца; для брюсселятора обнаружена зона параметров, в которой наблюдается сверхвысокая чувствительность и генерация хаоса; для циклов моделей Ресслера и Лоренца выявлены закономерности в изменении чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу.

5. На основе построенной теории стохастической устойчивости исследована задача стабилизации. Получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости и предложены конструкции стабилизирующих регуляторов как для общих инвариантных многообразий, так и для их наиболее важных случаев - точек покоя, циклов, торов.

6. Конструктивные возможности разработанной теории стохастической чувствительности демонстрируются в решении задачи управления вероятностными характеристиками стохастических аттракторов. Для рассматриваемой задачи управления введены понятия и получены критерии достижимости и полной управляемости. Детально исследована задача управления стохастической чувствительностью точки покоя и цикла. Возможности предложенной теории продемонстрированы в задаче управления хаосом. Разработана конструкция регулятора, позволяющего подавить хаос, ранее обнаруженный в модели брюсселятора.

Библиография Ряшко, Лев Борисович, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы онтималыюго управления. М.: Наука, 1987.

2. Акуленко Л.Д. Гашение колебаний системы, содержащей неуравновешенный ротор // Изв.РАН. Механика твердого тела. 1993. №3. С. 110-118.

3. Алексеев В.В., Лоскутов А.Ю. Управление системой со странным аттрактором посредством периодического параметрического воздействия // ДАН СССР. 1987. Т. 293. №6. С. 1346-1348.

4. Анализ и управление нелинейными колебательными системами / Под. ред. Г.А. Леонова, А.Л. Фрадкова. СПб: Наука, 1998.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: Методы и приложения. I. Методы // Автоматика и телемеханика. 2003. №5. С. 3-45.

6. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: Методы и приложения. II. Приложения // Автоматика и телемеханика. 2004. №4. С. 3-40.

7. Андронов А.А., Витт А.А. Об устойчивости но Ляпунову // ЖЭТФ. 1933. Т. 2. Вып. 5. С. 373.

8. Аиищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Ч. 1,2. Изд-во Саратовского университета, 1985.

9. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Окрокверцхов Г.А., Стрелкова Г.И. Статистические свойства динамического хаоса // Успехи Физических Наук. 2005. Т. 175. Вып. 2. С. 163-179.

10. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Нейман А.В., Стрелкова Г.И., Шнманскнй-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

11. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М: Мир, 1971.

12. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

13. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

14. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в анализе чувствительности автоколебаний к стохастическим возмущениям // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 1998. Т. 6. К2 5. С. 19-27.

15. Башкирцева И.А., Исакова М.Г., Ряшко JI.B. Асимптотическое разложение квазинотенциала для стохастически возмущенного нелинейного осциллятора // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 10. С. 1319-1324.

16. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в исследовании локальной устойчивости предельных циклов к случайным возмущениям // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2001. Т. 9. К2 6. С. 104-114.

17. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Стихии П.В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2003. №6. С. 32-47.

18. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Управление стохастически возмущенными автоколебаниями // Автоматика и телемеханика. 2005. №6. С. 104-113.

19. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

20. Бернштейн С.Н. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений // Тр.физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 95-124.

21. Бланк M.JI. Малые возмущения хаотических динамических систем // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44. Вып. 6(270). С. 3-28.

22. Боголюбов Н.Н., Митроиольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

23. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.

24. Бронштейн И.У. Неавтономные динамические системы. Кишинев: Штиинца, 1984.

25. Бронштейн И.У., Чериий В.Ф. Линейные расширения динамических систем. В кн.: Топологические структуры и алгебраические системы // Мат. исследования. Вып. 44. С. 42-48. Кишинев: Штиинца, 1984.

26. Васин В.В., Ряшко Л.Б. Элементы нелинейной динамики: от порядка к хаосу. Екатеринбург. Издательство Уральского университета, 2003.

27. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986.

28. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

29. Веретенников А.Ю. О больших уклонениях в принципе усреднения для стохастических дифференциальных уравнений на торе // Тр. Мат. Инст. Стеклова. 1993. Т. 202. С. 33-41.

30. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: Теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

31. Гихман И.И. Об одной схеме образования случайных процессов // Докл. АН СССР. 1947. Т. 58. №6. С. 961-964.

32. Гихман И.И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений. Сб. Предельные теоремы и статистические выводы, изд. "ФАН"Узб.ССР, Ташкент, 1966, С. 14-45.

33. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев; Наукова думка, 1967.

34. Гихман И.И., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы. Киев; Наукова думка, 1967.

35. Губкин А.А., Ряшко JI.B. Итерационный метод анализа стохастической устойчивости линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2005. №2. С. 105-121.

36. Гузенко П.Ю. Дискретное управление непрерывными хаотическими системами // Анализ и управление нелинейными колебательными системами / Под. ред. Г.А.Леонова, А.Л.Фрадкова. СПб: Наука, 1998. С. 53-84.

37. Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. К вопросу об устойчивости квазипериодических движений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 5. С. 824-832.

38. Демидович Б.П. Лекции но математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

39. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.

40. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980.

41. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

42. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.

43. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962.

44. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

45. Ито К. Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциалов // Математика. Сб. пер. 1959. Т. 3. №5. С. 131-141.

46. Казарипов Ю.Ф. О стабилизации линейной стохастической системы, испытывающей параметрическое воздействие типа белый шум // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41. Вып. 2. С. 245-250.

47. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд-во УрГАПС, 1998.

48. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24. Вып. 5. С. 809-823.

49. Ковалева А.С. Оптимальное управление колебаниями виброударных систем. М.: Наука, 1990.

50. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во ИЛ, 1958.

51. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф. Существование и устойчивость релаксационного тора // Успехи математических наук. 1989. Т. 44. Вып. 3(365). С. 161-162.

52. Колесов А.Ю. О существовании и устойчивости двумерного релаксационного тора // Математические заметки. 1994. Т. 56. Вып. 6. С. 40-47.

53. Копейкин А.С., Вадивасова Т.Е., Анищенко B.C. Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в системах Лоренца и Ресслера с учетом флуктуаций // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 6. С. 65.

54. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. М.: Наука, 1985.

55. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

56. Красовский Н.Н. О стабилизации систем, в которых помеха зависит от величины управляющего воздействия // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1965. №2. С. 102-107.

57. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений. Дополнение к книге Малкина И.Г. "Теория устойчивости движения". М.: Наука, 1966.

58. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

59. Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами. I—III // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22. №9-11. С. 1145-1150, 1273-1278,1425-1431.

60. Крутько П.Д. Управление колебаниями. Синтез алгоритмов на основе обращения прямого метода Ляпунова // Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. №2. С. 24-41.

61. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.

62. Кузнецов А.П., Капустина Ю.В. Свойства скейлинга при переходе к хаосу в модельных отображениях с шумом // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2000. Т. 8. №6. С. 78.

63. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. СПб: Наука, 1999.

64. Куржанский А.Б. Об аналитическом конструировании регулятора в системе с помехой зависящей от управления // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1. Вып.2. С. 204-213.

65. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.

66. Ланда П.С., Стратонович Р.Л. Воздействие шумов на генератор с жестким возбуждением // Радиофизика. 1959. Т. 2. №1. С. 37-44.

67. Ланжевен П. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

68. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972.

69. Левит М.В., Якубович В.А. Алгебраический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическим воздействием типа белый шум // Прикл. математика и механика. 1972. Т. 36. Вып. 1. С. 142-148.

70. Левит М.В. Алгебраический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическим воздействием коррелированных белых шумов // Прикл. математика и механика. 1972. Т. 36. Вып. 3. С. 546-551.

71. Левит М.В. Устойчивость линейных многомерных стохастических систем с белым шумом // Автоматика и телемеханика. 1977. №10. С. 38-50.

72. Леонов Г.А. Введение в теорию управления. СПб.: Изд-во СПБГу, 2004.

73. Леонов Г.А. О локализации аттракторов уравнения Льенара // Прикл. математика и механика. 2002. Т. 66. Вып. 3. С. 396-401.

74. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000.

75. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21. №10. С. 436-441. №5. С. 561-568. №. С. 661-665.

76. Лидский Э.А. О стабилизации стохастических систем // Прикл. математика и механика. 1961. Т. 25. №5. С. 824-835.

77. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Нелинейная фильтрация диффузионных марковских процессов // Труды матем. института им.Стеклова АН СССР. 1968. Т. 104. С. 135-180.

78. Линцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

79. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

80. Лоскутов А.Ю., Рыбалко С.Д., Акиншин Л.Г. Управление динамическими системами и подавление хаоса // Дифференциальные уравнения. 1998. №8. С. 1143-1144.

81. Лоскутов А.Ю. Проблемы нелинейной динамики. II. Подавление хаоса и управление динамическими системами // Вестн. МГУ 2001. №2. С. 3-21.

82. Ляшенко Е.А., Ряшко Л.Б. Об оценивании при помощи фильтра, содержащего случайные помехи // Автоматика и телемеханика. 1992. №2. С. 75-82.

83. Ляшенко Е.А., Ряшко Л.Б. О регуляторах с помехой в динамическом звене // Автоматика и телемеханика. 1995. №10. С. 59-70.

84. Ляшенко Е.А., Ряшко Л.Б. Оптимальные регуляторы, не удовлетворяющие теореме разделения // Кибернетика и системный анализ. 2000. №3. С. 134-145.

85. Магницкий Н.А. О стабилизации неподвижных точек хаотических отображений // Доклады РАН. 1996. Т. 351. №2. С. 175-177.

86. Магницкий Н.А. О стабилизации неподвижных точек хаотических динамических систем // Доклады РАН. 1997. Т. 352. №5. С. 610-612.

87. Магницкий Н.А. О стабилизации неустойчивых циклов хаотических отображений // Доклады РАН. 1997. Т. 355. №6. С. 747-749.

88. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. №11. С. 1501-1509

89. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. №12. С. 1606-1610.

90. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.

91. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956.

92. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

93. Милынтейн Г.Н. Устойчивость и стабилизация периодических движений автономных систем // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41. Вып. 4. С. 744-749.

94. Милынтейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та. 1988.

95. Милыптейн Г.Н., Ряшко JI.B. Устойчивость и стабилизация орбит автономных систем при случайных возмущениях // Прикл. математика и механика. 1992. Т. 56. № 6. С. 951-958.

96. Милыптейн Г.Н., Ряшко J1.B. Первое приближение квазипотенциала в задачах об устойчивости систем со случайными невырожденными возмущениями // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 1. С. 51.

97. Невельсон М.Б. Критерий существования линейного оптимального управления для одного класса линейных стохастическх систем // Прикл. математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 3. С. 573-577.

98. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Об устойчивости линейной системы при случайных возмущениях ее параметров // Прикл. математика и механика. 1966. Т. 30. Вып. 2. С. 404-409.

99. Нейман А.Б. Применение кумулянтного анализа для исследования бифуркаций динамических систем, возмущаемых внешним шумом // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 1995. Т. 3. № 3. С. 8.

100. Неймарк Ю.И. Интегральные многообразия дифференциальных уравнений// Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10. № 3. С. 321-334.

101. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

102. Немыцкий В.В. О некоторых методах качественного исследования "в большом" многомерных автономных систем // Труды московского математического общества. 1956. Т. 5. С. 455-482.

103. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1977.

104. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

105. Осипенко Г.С. Поведение решений дифференциальных уравнений вблизи инвариантных многообразий // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. №2. С. 262-271.

106. Осипенко Г.С. Возмущение динамических систем вблизи инвариантных многообразий // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. Ш. С. 620-628.

107. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. М.: Мир, 2003.

108. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М.: Наука, 1994.

109. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. 1933. Т. 3. Вып. 3. С. 165180.

110. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

111. Рытов С.М. Введение в стохастическую радиофизику. М.: Наука, 1976.

112. Ряшко Л.Б. Стабилизация линейных стохастических систем с возмущениями, зависящими от состояния и управления // Прикл. математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 4. С. 612-620.

113. ИЗ. Ряшко Jl.Б. Линейный фильтр в задаче стабилизации линейных стохастических систем при неполной информации // Автоматика и телемеханика. 1979. №7. С. 80-89.

114. Ряшко Л.Б. Стабилизация линейных систем с мультипликативными шумами при неполной информации // Прикл. математика и механика. 1981. Т. 45. Вып. 5. С. 778-786.

115. Ряшко Л.Б. Об устойчивости стохастически возмущенных орбитальных движений // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 4. С. 582.

116. Ряшко Л.Б. Модели динамики популяции: от порядка к хаосу // Соросовский образовательный журнал. 2001. Т. 7. №10. С. 122-127.

117. Ряшко Л.Б. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости и стабилизации двумерного инвариантного тора // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2001. Т. 9. № 4,5. С. 140-153.

118. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987.

119. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

120. Стратонович Р.Л. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник МГУ. 1964. Сер. 1. №1. С. 3-12.

121. Уонэм У.М. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980.

122. Управление мехатронными вибрационными установками / Под. ред. И.И. Блехмана, А.Л. Фрадкова. СПб: Наука, 2001.

123. Управление в физико-технических системах / Под. ред. А.Л. Фрадкова. СПб: Наука, 2004.

124. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

125. Фрадков A.JI. Кибернетическая физика. СПб: Наука, 2003.

126. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

127. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

128. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения функционально-дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне, 1989.

129. Черпоусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

130. Черноусько Ф.Л., Акулепко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

131. Эйнштейн А., Смолуховский М. Брауновское движение. М.-Л.: ОН-ТИ, 1936.

132. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

133. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем // Сибирский математический журнал. 1986. Т. 27. М. С. 181-200.

134. АН F., Menzinger М. On the local stability of limit cycles // Chaos. 1999. V. 9. P. 348-356.

135. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Okrokvertskhov G.A., Strelkova G.I. Correlation analysis of dynamical chaos // Physica A. 2003. V. 325. P. 199-212.

136. Anosov D.V., Aranson S.Kh., Bronshtein I.U., Grinez V.Z. Smooth dynamical systems. Dynamical Systems I, Encycl. Math. Sci. V. 1. Berlin: Springer, 1988. P. 149-233.

137. Arecchi F.T., Boccaletti S., Ciofini M., Meucci R., Grebogi C. The control of chaos: Theoretical schemes and experimental realizations // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1998. V. 8. P. 1643-1655.

138. Arnaudon M., Thalmaier A. Stability of stochastic differential equations in manifolds. Seminaire de Probabilites, XXXII, 188-214, Lecture Notes in Math., 1686, Springer, Berlin, 1998.

139. Arneodo A., Coullet P. H., Spiegel E. A. Cascade of period doublings of tori // Physics Letters A. 1983. V. 94. No. 1. P. 1-6.

140. Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. New York: Wiley, 1974.

141. Arnold L. Random Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1998.

142. Arnold L., Bleckert G., Schenk-Hoppe K. The stochastic Brusselator: parametric noise destroys Hopf bifurcation. In Stochastic dynamics 1997, Bremen, P. 71-92. New-York: Springer, 1999.

143. Arnold L., Crauel H., Eckmann J.-P. (eds.). Lyapunovexponents. Proc., Oberwolfach, 1990. Lecture Notes in Math., V. 1486. Berlin: Springer, 1991.

144. Arnold L., Khasminskii R.Z. Stability index for nonlinear stochastic differential equations // Proc. of Symposia in Pure Math. 1995. V. 57. P. 543-551.

145. Arnold L., Oeljeklaus E., Pardoux E. Almost sure and moment stability for linear Ito equations. Lyapunov exponents (L. Arnold and V. Wihstutz, eds.), Lecture Notes in Math. V. 1186. Springer, Berlin, 1986. P. 129-159.

146. Arnold L., Wihstutz V. (eds.). Lyapunov exponents. Proc., Bremen, 1984. Lecture Notes in Math. V. 1186, Springer, Berlin, 1986.

147. Bacciotti A., Mazzi L. Stabilizability of closed orbits // Systems Control Letters. 1995. V. 24. P. 97-101.

148. Baggett J. S., Driscoll T. A., Trefethen L. N. A mostly linear model of transition to turbulence // Phys. Fluids. 1995. V. 7. P. 833.

149. Baggett J. S., Trefethen L. N. Low-dimensional models of subcritical transition to turbulence // Phys. Fluids. 1997. V. 9. P. 1043.

150. Baras F. Stochastic analysis of limit cycle behavior. Stochastic dynamics. Lecture notes in physics, V. 484. Springer-Verlag, 1997. P. 167178.

151. Bashkirtseva I.A., Isakova M.G., Ryashko L.B. Quasipotential in stochastic stability analysis of the nonlinear oscillator orbits //J. Neural, Parallel к Scientific Computations. 1999. V. 7. № 3. P. 299-310.

152. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Brusselator // Phys. A. 2000. V. 278. P. 126-139.

153. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of stochastically forced Lorenz model cycles under period-doubling bifurcations // Dynamic Systems and Applications. 2002. V. 11. P. 293-309.

154. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Mathematics and Computers in Simulation. 2004. V. 66. P. 55-67.

155. Bashkirtseva I., Ryashko L. Sensitivity and chaos control for the forced nonlinear oscillations // Chaos, Solitons к Fractals. 2005. V.26. P. 14371451.

156. Bassam В., Dahleh M. Energy amplification in channel flows with stochastic exitation // Phys. Fluids. 2001. V. 13. P. 3258.

157. Basso M., Genesio R., Tesi A. Stabilizing periodic orbits of forced systems via generalized Piragas controllers // IEEE Trans. Circ. Syst. -I. 1997. V. 44. P. 1023-1027.

158. Baxendale P. Moment stability and large deviations for linear stochastic differential equations. Proc. Taniguchi Symp. on Probab. Meth. in Math. Physics, Katata and Kyoto. 1985. (N. Ikeda, ed.), Kinokuniya, Tokyo. 1987, P. 31-54.

159. Baxendale P.H. Stability and equilibrium properties of stochastic flows of diffeoinorphisms. In Diffusion Processes and Related Problems in Analysis 2 / Eds. M. Pinsky and V. Wihstutz. P. 3-35. Boston: Birkhauser, 1992.

160. Baxendale P.H. A stochastic Hopf bifurcation // Prob. Th. Rel. Fields. 1994. V. 99. P. 581.

161. Belinskiy В., Caithamer P. Stability of dynamical systems with a multiplicative white noise // Stochastics and Dynamics. 2003. V. 3. No. 2. P. 187-212.

162. Blekhman I.I., Fradkov A.L., Toinchina O.P., Bogdanov D.E. Self-synchronization and controlled synchronization: general definition and example design // Mathematics and Computers in Simulation. 2002. V. 58. No. 4-6. P. 367-384-305.

163. Boccaletti S., Grebodi C., Lay Y.-C., Manciiii H., Maza D. The control of chaos: theory and applications // Phys. Rep. 2002. V. 366. P. 1-101.

164. Boxler P. A stochastic version of center manifold theory // Prob. Th. Rel. Fields. 1989. (1989). V. 83. P. 509-545.

165. Bronstein I.U., Kopanskii A.Ya. Smooth Invariant Manifolds and Normal Forms. Singapore: World Scientific, 1994.

166. Bucklew J.A. Large deviation techniques in decision, simulation, and estimation, New York: Wiley, 1990.

167. Chapman S. J. Subcritical transition in channel flows //J. Fluid Mech. 2002. V. 451. P. 35.

168. Chen G., Dong H. On feedback control of chaotic nonlinear dynamic system // Int. J. of Bifurcations and Chaos. 1992. V. 2. № 2. P. 407-411.

169. Chen G., Dong H. From chaos to order: Perspectives, Methodologies and Applications. Singapore: World Scientific, 1998.

170. Chen G. On some controllability conditions for chaotic dynamics control // Chaos, Solitons к Fractals. 1997. V. 8. № 9. P. 1461-1470.

171. Chen G., Yu X. Chaos control: theory and applications. New York: Springer-Verlag, 2003.

172. Controlling chaos and bifurcations in engineering systems / Ed. G.Chen. Boca Raton, USA : CRC Press, 1999.

173. Crauel H., Flandoli F. Additive noise destroys pitchfork bifurcation // J. Dynam. Differential Equations. 1998. V. 10. P. 259-274.

174. Crutchfield J., Nauenberg M., Rudnick J. Scaling for external noise at the onset of chaos // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. P. 933.

175. Dauchot 0., Vioujard N. Phase space analysis of a dynamical model for the subcritical transition to turbulence in plane Couette flow // Eur. Phys. J. 2000. V. 14. P. 377.

176. Day M.V. Regularity of boundary quasi-potentials for planar systems// Appl. Mathematics and Optimization. 1994. V. 30. P. 79.

177. Day M.V. Exit cycling for van der Pol oscillator and quasipotential calculations //J. Dynam. Differential Equations. 1996. V. 8. P. 573-601.

178. Day M.V. Mathematical approaches to the problem of noise-induced exit. Stochastic Analysis, Control, Optimization and Applications. Boston: Birkhauser, 1999.

179. Deissler R.J., Farmer J.D. Deterministic noise amplifiers // Physica D. 1992. V. 55. P. 155-165.

180. Dembo M., Zeitouni O. Large deviations techniques and applications. Boston: Jones and Bartlett Publishers, 1995.

181. Dorfie M., Graham R. Probability density of the Lorenz model // Phys. Rev. A. 1983. V. 27. P. 1096-1105.

182. Dykman M., Chu X., Ross J. Stationary probability distribution near stable limit cycles far from Hopf bifurcation points // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. No. 3. P. 1646-1654.

183. Emery M. Stochastic Calculus in Manifolds. Berlin:Springer, 1989.

184. Farrell В. F., Ioannou P. J. Stochastic forcing of the linearized Navier-Stokes equations 11 Phys. Fluids. 1993. V. 5. P. 2600.

185. Farrell B. F., Ioannou P. J. Variance maintained by stochastic forcing of nonnormal dynamical systems associated with linearly stable shear flows // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1188.

186. Farrell B. F., Ioannou P. J. Generalized stability theory. Part I: Autonomous operators //J. Atmos. Sci. 1996. V. 53. P. 2025.

187. Farrell B. F., Ioannou P. J. Stochastic dynamics of field generation in conducting fluids // Astrophysical J. 1999. V. 522. P. 1088.

188. Fedotov S. Non-normal and stochastic amplification of magnetic energy in the turbulent dynamo: Subcritical case // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P.067301.

189. Fedotov S., Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic analysis of a non-normal dynamical system mimicking a laminar-to-turbulent subcritical transition // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 066310.

190. Fedotov S., Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic analysis of subcritical amplification of magnetic energy in a turbulent dynamo // Phys. A. 2004. V. 342. P. 491-506.

191. Fenichel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows // Indiana University Mathematics Journal. 1971. V. 2. No. 3. P. 193-226.

192. Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu. Introduction to control of oscillations and chaos. World Scientific Series of Nonlinear Science, 1998.

193. Fradkov A.L., Miroshnik I.V., Nikiforov V.O. Nonlinear and adaptive control of complex systems. Dodrecht: Kluwer Academic Publ., 1999.

194. Fronzoni L., Mannella R., McClintock P.V.E., Moss F. Postponement of Hopf bifurcations by multiplicative colored noise // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P. 834-841.

195. Galias Z. New method for stabilization of unstable periodic orbits in chaotic systems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. V. 5(1). P. 281-295.

196. Gardiner С. W. Handbook of Stochastic Methods. New York: Springer, 1996.

197. Gebhardt Т., Grossmann S. Chaos transition despite linear stability // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. P. 3705.

198. Graham R., Tel T. Nonequilibrium potential for coexisting attractors // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1322-1337.

199. Graham R., Tel T. Steady state ensemble for the complex Ginzburg -Landau equation with weak noise // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 46614677.

200. Graham R., Hamm A., Tel T. Nonequilibrium potentials for dynamical systems with fractal attractors or repellers // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 3089-3092.

201. Grossmann S. The onset of shear flow turbulence // Rev. Mod. Physics. 2000. V. 72. P. 603.

202. Gubkin A.A., Ryashko L.B. Stochastic cycles for a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction under transition to chaos // Neural, Parallel к Scientific Computations. 2005. V. 13. P. 131-146.

203. Haenggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction-rate theory: fifty years after Kramers // Rev. Mod. Physics. 1990. V. 62. P. 251.

204. Handbook of Chaos Control / Ed. H.G.Schuster. Wiley к Sons, 1999.

205. Haussmann U.G. Optimal stationary control with state and control dependent noise // SIAM J. on Control. 1971. V. 9. No. 2. P. 184-198.

206. Haussmann U.G. Stability of linear systems with control dependent noise // SIAM J. on Control. 1973. V. 11. No. 2. P. 382-394.

207. Hirsch M.W., Pugh C.C., Shub M. Invariant Manifolds, Springer-Verlag, 1977.

208. Horsthemke W., Lefever R. Noise-Induced TVansitions. Berlin: Springer, 1984.

209. Hoyng P., Schmitt D., Teuben L. J. W. The effect of random alpha-fluctuations and the global properties of the solar magnetic fields // Astron. Astrophys. 1994. V. 289. P. 265.

210. Hoyng P., Schutgens N.A.J. Dynamo spectroscopy // Astron. Astrophys. 1995. V. 293. P. 777.

211. Hwang C., Chow H., Wang Y. A new feedback control of a modified Chua's circuit system // Phys. D. 1996. V. 92. P. 95-100.

212. Ibrahim R.A. Parametric Random Vibration. New York: John Wiley and Sons, 1985.

213. Ito K. On stochastic differential equations // Memoirs Amer. Math. Soc. 1951. V. 4. P. 1-51.

214. Ito H.M. Ergodicity of randomly perturbed Lorenz Model // J. of Statistical Physics. 1984. V. 35. P. 151-158.

215. Kaneko K. Doubling of Torus // Prog. Theor. Phys. 1983. V. 69. P. 1806-1810.

216. Капо H., Nishimura T. Periodic solutions of matrix Riccati equations with detectability and stabilizability // Iiit.J.Control. 1979. V. 29. P. 471487.

217. Kapitanyak T. Controlling Chaos. New York: Academic Press, 1996.

218. Keizer J., Fox R.F., Wagner J. On the amplification of molecular fluctuations nonstationary systems: hydrodynamic fluctuations for the Lorenz model // Physics Letters A. 1993. V. 175. P. 17-22.

219. Kim J.-I., Park H.-K., Moon H.-T. Period doubling of torus: Chaotic breathing of localized wave // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. No. 4. P. 39483951.

220. Kirchgaber U., Palmer K.J. Geometry in the Neighborhood of Invariant Manifolds of Maps and Flows and Linearization. New York: Longman, 1990.

221. Kleinman D.L. Optimal stationary control of linear systems with control dependent noise // IEEE Trans. Automat. Control. 1969. AC-4. No. 6. P. 673-677.

222. Kleinman D.L. Numerical solution of the state dependent noise problem // IEEE Trans. Automat. Control. 1976. AC-21. No. 3. P. 419-420.

223. Kloeden P.E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equaions. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

224. Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin: Springer-Verlag, 1994.

225. Klosek-Dygas M.M., Matkowsky B.J., Schuss Z. Stochastic stability of nonlinear oscillators // SIAM J. Appl. Math. 1988. V. 48. No. 5. P. 11151127.

226. Kraichnan R. Diffusion of weak magnetic fields by isotropic turbulence // J. Fluid Mech. 1976. V. 75. P. 657.

227. Krause F., Radler K.-H. Mean-Field Magnetohydrodynamics and Dynamo Theory. Berlin: Academic-Verlag, 1980.

228. Kurrer C., Schulten K. Effect of noise and perturbations on limit cycle systems // Phys. D. 1991. V. 50. P. 311-320.

229. Kwakernaak H., Sivan R. The maximally achievable accuracy of linear optimal regulator and optimal filters // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. AC-17. No. 1. P. 79-86.

230. Langevin P. Sur la theorie du mouvement brownien. C.R.Acade. Sci. Paris. 1908. V. 146. P. 530-533.

231. Landa P.S., McClintock P.V.E. Changes in the dynamical behavior of nonlinear systems induced by noise // Physics Reports. 2000. V. 323, P. 1-80.

232. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to external multiplicative noise. In Horsthemke W. and D.K.Kondepudi, editors,

233. Fluctuations and sensitivity in equilibrium systems, p. 143-149. Berlin: Springer-Verlag, 1984.

234. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to multiplicative colored noise // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 1631-1634.

235. Leung H.K. Stochastic Hopf bifurcations // Chinese J. of Physics. 1997. V. 35. No. 1. P. 47-55.

236. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flows // J.Atmos.Sci. 1963. V. 12(20). P. 139-163.

237. Luchinsky D.G., Beri S., Mannella R., McClintock P.V.E. Optimal fluctuations and the control of chaos // Int.J. of Bifurcations and Chaos. 2002. V. 12. P. 583-604.

238. Ludvig D. Persistence of dynamical systems under random perturbations // SIAM Rev. 1975. V. 17. Ш. P. 605-640.

239. Lyashenko E.A., Ryashko L.B. Discrete-time observers with random noises in dynamic block // IEEE Tr. on Automatic Control. 1995. V. 1. P. 165-169.

240. McLane P.J. The optimal regulator problem for a stationary linear system with state-dependent noise // Trans. ASME. J. Basic Eng. 1970. V. 92. P. 363-368.

241. McLane P.J. Optimal stochastic control of linear systems with state-and control-dependent disturbances // IEEE Tr. on Automatic Control. 1971. AC-16. No. 6. P. 793-798.

242. Мао X. Exponential stability of stochastic differential equations. Marcel Dekker, 1994.

243. Milstein G.N., Tretyakov M.V. Stochastic numerics for mathematical physics. Series: Scientific Computation. Berlin: Springer-Verlag, 2004.

244. Moffatt H.K. Magnetic Field Generation in Electrically Conducting Fluids. New York: Cambridge University Press, 1978.

245. Mohammed S.-E.A, Scheutzow M. The stable manifold theorem for stochastic differential equations // The Annals of Probability. 1999. V. 27. No. 2. P.1999, Vol. 27, No. 2, 615-652.

246. Moss F., McClintock P.V.E. Noise in nonlinear dynamical systems. Cambridge University Press, 1989.

247. Nakamiso Т., Ohshiro M. Output feedback control of linear stochastic systems // Syst. and Control. 1973. V. 17. No. 7. P. 451-454.

248. Namachchivaya N.Sri. Hopf bifurcation in the presence of both parametric and external stochastic excitations //J. Appl. Mech. 1988.V. 110. P. 923.

249. Naeh Т., Klosek M.M., Matkowsky B.J., Schuss Z. A direct approach to the exit problem // SIAM Journal Appl. Math. 1990. V. 50, № 2, P. 595.

250. Nicolis J.S, Meyer-Kress G., Haubs G. Non-uniform chaotic dynamics with implications to information processing // Z.Naturforsch. 1983. V. 38(a). P. 1157-1169.

251. Ott E., Grebodi C., Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 1196-1199.

252. Parmananda P. Stabilization of unstable steady states and periodic orbits in an electrochemical system using delaycd-fccdback control // Phys.Rev.E. 1999. V. 59. P. 5266-5571.

253. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. V. 170. P. 421-428.

254. Roesslcr О. E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. 1976. V. 57. P. 397-398.

255. Roy R.V. Asymptotic analysis of first passage problem // Int. J. NonLinear Mechanics. 1997. V. 32. P. 173-186.

256. Ruzmaikin A. A., Shukurov A. M., Sokoloff D. D. Magnetic Fields in Galaxies. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1988.

257. Ryagin M.Yu, Ryashko L.B. The analysis of the stochastically forced periodic attractors for Chua's circuit // Int. J. of Bifurcations and Chaos. 2004. V. 14(11). P. 3981-3987.

258. Ryashko L.B. Stability and stabilization of SDEs with periodic coefficients // Dynamic Systems and Applications. 1999. V. 8. P. 21-34.

259. Ryashko L.B. Exponential mean square stability of stochastically forced 2-torus // Nonlinearity. 2004. V. 17. P. 729-742.

260. Ryashko L.B., Shnol E.E. On exponentially attracting invariant manifolds of ODEs // Nonlinearity. 2003. V. 16. P. 147-160.

261. Ryashko L.B., Schurz H. Mean square stability analysis of some linear stochastic systems // Dynamic Systems and Applications. 1997. V.6. P. 165-189.

262. Sacker R.J., Sell G.R. The spectrum of an invariant subinanifold //J. Diff. Equat. 1980. V. 38. P. 135-160.

263. Scheutzow M. Comparison of various concepts of a random attractor: A case study // Arch. Math. 2002. V. 78. P. 233-240.

264. Schmalfuss B. The random attractor of the stochastic Lorenz system // ZAMP. 1997. V. 48. P. 951-975.

265. Schmalfuss B. A random fixed point theorem and the random graph transformation// Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1998. V. 225. P. 91-113.

266. Schmid P. J., Henningson D. S. Stability and Transition in Shear Flows. Berlin: Springer, 2001.

267. Selgrade J.F. Isolated invariant sets for flows on vector bundles // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V. 203. P. 359-390.

268. Shinbrot T. Progress in the control of chaos // Adv.Phys. 1995. V. 44(2). P. 73-111.

269. Smelyanskiy V.N., Dykinan M.I., Maier R.S. Topological features of large fluctuations to the interior of a limit cycles // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. No. 3. P. 2369.

270. Soong T.T., Grigoriu M. Random vibration of mechanical and structural systems. RTR Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.

271. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Springer Series in Applied Mathematics 41; Berlin: Springer, 1982.

272. Stratonovich R. L. Topics in the Theory of Random Noise. New York: Gordon and Breach, 1963.

273. Toinita K., Kai T. Stroboscopic phase portrait and strange attractors // Phys. Lett. 1978. V. 66(a). P. 91-93.

274. Tornita K., Kai T. Chaotic response of a limit cycle //J. Stat. Phys. 1979. V. 21. P. 65-86.

275. Tomita K., Ohta Т., Toinita H. Irreversible circulation and orbital revolution // Progress of Theoretical Physics. 1974. V. 52. No. 6. P. 17441765.

276. Trefethen L. N., Trefethen A. E., Reddy S. C., Driscol T.A. Hydrodynamic stability without eigenvalues // Science. 1993. V. 261. P. 578.

277. Van de Vorst E.L.B., Kant A.R., Van de Molengraft M.J.G, Kok J.J., Van Campen D.H. Stabilization of periodic solutions of nonlinear mechanical systems: Controllability and stability // J. of Vibration and Control. 1998. V. 4. P. 277-296.

278. Wanner T. Linearization random dynamical systems // In C. Jones, U. Kirchgraber and H. 0. Walther, editors, Dynamics Reported. New York: Springer-Verlag. 1995. V. 4. P. 203-269.

279. Widrow L. Origin of galactic and extragalactic magnetic fields // Rew. Mod. Phys. 2002. V. 74. P. 775.

280. Wiener N. Differential space // J. Math.Phys. 1923. V.2. P. 131-174.

281. Wiggins S. Normally Hyperbolic Invariant Manifolds in Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1994.

282. Willems J.C. Mean square stability criteria for linear white noise stochastic systems // Prob. Contr. Inf. Theory. 1972. V. 2. P. 199-217.

283. Willems J.C. Minimum energy and maximum accuracy optimal control of linear stochastic systems // Int. J. Control. 1975. V. 22. No. 1. P. 103112.

284. Willems J.L., Willems J.C. Feedback stabilizability for stochastic systems with state and control dependent noise // Automatica J. IFAC. 1976. V. 12. No. 3. P. 277-283.

285. Wonhain W.M. Optimal stationary control of a linear system with state-dependent noise // SIAM J. on Control. 1967. V. 5. No. 3. P. 486-500.

286. Wonhain W.M. On a matrix Riccaty equation of stochastic control // SIAM J. on Control. 1968. V. 6. No. 4. P. 681-697.

287. Wonhain W.M. Random differential equations in control theory. New York: Academic Press, 1970.

288. Yang X., Zhang S. On the possibility of creating new asymptotically stable periodic orbits in continuous time dynamical systems by small feedback control // Nonlinearity. 2003. V. 16. P. 1853-1859.

289. Yassen M.T. Chaos control of Chen chaotic dynamical system // Chaos, Solitons к Fractals. 2003. V. 15. P. 271-283.

290. Zakai M. A Lyapunov criterion for the existence of stationary probability distributions for systems perurbed by noise // SIAM J. on Control. 1969. V. 7. No. 3. P. 390-397.

291. Zippelius A., Lucke M. The effect of external noise in the Lorenz model of the Bernard problem. // J. of Statistical Physics. 1981. V. 24. P. 345-358.

292. Zeldovich Ya. В., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D. D. Magnetic Fields in Astrophysics. New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1983.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00