автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные поверхностные волны в намагничивающейся жидкости

РГо ОД

2 ''о

На правах рукописи

КУЛЯШОВА Наталья Михайловна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В НАМАГНИЧИВАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Специальность 05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАНСК 1997

Работа выполнена на кафедре механики и математического моделированш Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Я. Г. Тактаров

Официальные оппоненты: — доктор физико-математических наук,

профессор Ю. 3. Алешков

— кандидат физико-математических наук, И. П. Никитин

Ведущая организация — НИИ математики и механики

имени Н. Г. Чеботарева при Казанском государственном университете

Защита состоится йЗ/И&дР^ 1997 г. в Час. мин. в

аудитории / на заседании диссертационного совета К 063.72.04 при Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева (430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета К063.72.04 кандидат физико-математи наук, доцент

Мурюмин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Наиболее важными для практических приложений текучими средами, обладающими магнитными свойствами, являются так называемые намагничивающиеся жидкости (НЖ). НЖ в природе не существуют. Они получены искусственным путем и представляют собой смесь мельчайших частиц твердого ферромагнетика и обычной немагнитной жидкости, например, воды, керосина и т. п.

НЖ, благодаря своим специфическим свойствам, находят в настоящее время самое разнообразное практическое применение, что стимулирует большое число исследований по изучению свойств полученных магнитных жидкостей. Это привело к тому, что к настоящему времени наука о НЖ стала самостоятельной, чрезвычайно интересной и практически полезной областью исследований. Почти половина публикаций посвящена вопросам построения моделей изотермических течений НЖ, анализу механизмов и эффектов трения и теплообмена, конвективной устойчивости, исследованию распространения и генерации звука. Именно в этих на-травлениях получены обширные научные и практические результаты. Однако не меньший теоретический и практический интерес тредставляет исследование распространения поверхностных волн з НЖ.

Действительно, магнитные жидкости используют для разделе-1ия веществ, имеющих различную плотность в устройстве, назы-заемом магнитножидкостным сепаратором. Очевидно, что на процесс разделения веществ оказывают влияние волны на поверхности хлоя жидкости, поскольку они создают внутреннее движение в кидкости. Для исследования работы подшипников на магнитной кидкости необходимо исследовать возникающие при этом магнит-ю-гидродинамические поверхностные волны. Для перекачки все-зозможных жидкостей в космических аппаратах в состоянии не-зесомости также используются магнитные жидкости. Изучение поверхностных волн в контейнерах с жидкостью представляет интерес и в этом случае. В последние годы широко рекламируются разработки фирмы IBM, использующие НЖ в качестве чернила, зытекающего в виде струи. На поверхности струи могут распро-:траняться волны, влияющие на устойчивость и распад этой струи и капли. При помощи приложенного магнитного поля удается шиять на поверхностные волны и стабилизировать струю, что улучшает режим работы печатающего устройства.

НЖ является столь многофункциональной средой, что возмож-ш самые разнообразные ее применения, даже не связанные с магнитными свойствами. Многообразие применений магнитных кидкостей далеко не исчерпано и непрерывно расширяется в ходе ^следований, ведущихся сегодня во всем мире. В связи с этим

исследование нелинейных поверхностных волн в НЖ является актуальным.

Отметим, что такого рода теоретические исследования в полном объеме до настоящего времени не были проведены. В общем виде проблема заключается в исследовании волн, распространяющихся по поверхности намагничивающейся жидкости. С точки зрения математики эта проблема представляет собой сложную нелинейную краевую задачу для определения скорости волнового движения жидкости, возмущения магнитного поля, профиля свободной поверхности и давления в случае распросранения волн конечной амплитуды по свободной поверхности слоя жидкости.

В связи с этим в работе поставлены следующие цели:

1) построить математическую модель распространения нелинейных поверхностных волн в НЖ в приложенном магнитном поле для случая отсутствия основного течения жидкости в объеме, а также для волн на течении;

2) исследовать влияние магнитного поля на характеристики волнового течения;

3) найти траектории частиц жидкости в зависимости от глубины, напряженности магнитного поля и других параметров.

Научная НОВИЗНа. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

а) в нелинейной постановке с помощью метода малого параметра исследовано распространение волн по свободной поверхности слоя намагничивающейся жидкости конечной и бесконечной глубины при наличии однородного магнитного поля параллельного направлению распространения волны. С точностью до третьего приближения включительно найдены: поле скоростей движенш жидкости, возмущение магнитного поля, профиль волны и давление;

б) с точностью до членов третьего порядка по малому параметр} определена траектория частицы НЖ как конечной, так и бесконечной глубины. Получено выражение для стоксова течения, обусловливающего разомкнутость траекторий жидких частиц, а также несовпадение периода колебаний частицы и периода волны;

в) исследовано влияние магнитного поля на амплитуду волны Установлено, что высота волны с увеличением приложенного магнитного поля, параллельного направлению распространения нелинейной волны, растет;

г) методом малого параметра решена задача о распространение нелинейных поверхностных волн на слое НЖ конечной глубины С точностью до третьего приближения найдены: поле скоростей движения жидкости, возмущение магнитного поля, профиль волнь и давление;

д) в случае нелинейных поверхностных волн на течении Н)К

точностью до членов второго порядка по малому параметру 1ределена траектория жидкой частицы. Установлено наличие пе-гносной скорости частицы, возникающей за счет волнового терния и найдено ее выражение (стоксова скорость);

е) на основе анализа линейной задачи о поверхностных волнах з течении НЖ сделан вывод о потенциальности движения для осматриваемого линейного профиля течения. На защиту выносятся:

— решение задачи о распространении нелинейных поверх-эстных волн в НЖ методом малого параметра, предназ-зченное для расчета величин, характеризующих поверхностные элны при различных значениях параметров, характеризующих »дачу;

— выражения, характеризующие поля скоростей, давлений и зпряженности магнитного поля;

— выражения для фазовой скорости и дисперсионное соотно-ение для нелинейных волн в НЖ как при отсутствии основного ;чения, так и при его наличии;

— конфигурация траекторий частиц жидкости в зависимости г глубины;

— выражение для переносной скорости Стокса в НЖ.

Практическая значимость. Результаты исследований, пройденных в диссертации, могут быть использованы для расчета азличных технических устройств и технологических процессов, которых используются магнитные жидкости, имеющие свободную оверхность. Например, в аппаратах химической технологии, в идкостных уплотнителях, в устройствах перекачки жидкости в эстоянии невесомости, в медицине и биологии для транспорти-эвки лекарственных веществ и т. д.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на

— Первой конференции молодых ученых Мордовского государ-гвенного университета им. Н. П. Огарева (Саранск, 1996);

— II Международной конференции „Дифференциальные урав-ения и их приложения" (Саранск, 1996);

— Второй конференции молодых ученых Мордовского государ-гвенного университета им. Н. П. Огарева (Саранск, 1997); ,

— научном семинаре профессора Е. В. Воскресенского по прик-адной математике при Мордовском госуниверситете им. Н. П. Ога-гва (Саранск, 1997).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура И объем работы. Диссертационная работа эстоит из введения и 3 глав, содержит 130 страниц машинопис-ого текста, включая 11 рисунков и библиографию из 81 на-зания.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертаци онной работы, определяется задача, указываются цели исследова ний и научная новизна полученных результатов, формулируютс основные положения и выводы, выносимые на защиту, рассмат ривается практическое значение работы, приведен обзор имек щихся работ, непосредственно примыкающих к теме диссертаци и краткий обзор диссертации.

Первая глава диссертации посвящена изучению плоског волнового движения невязкой несжимаемой НЖ с постоянной Mai нитной проницаемостью. Жидкость находится на плоском, незлей тропроводном дне. Свободная поверхность граничит с атмосферо{ плотность которой пренебрежимо мала. Атмосфера ограничен сверху плоской поверхностью.

Система координат выбрана так, чтобы ось х^ совпадала невозмущенным уровнем свободной поверхности z =0, ось 2 направлена вертикально вверх.

Однородное магнитное поле между поверхностями может быт создано при помощи прямолинейных проводников с током, распс ложенных на этих поверхностях. Нижняя и верхняя поверхност

+ ilk ifc i ak

совпадают с плоскостями z = - lj и z = 12 соответственно, гл 1 1 — толщина слоя жидкости. Звездочкой обозначены размерны величины, индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиес к областям, занятым соответственно НЖ и атмосферой.

Движение неэлектропроводной НЖ описывается уравнениями

а"* *

— + (v V )v = - V ^ + g,

at р

rot*!?* = 0; div*fl*= 0; div*^ = 0.

Здесь p — плотность, v* — скорость, p* — давление, g* — ускс рение свободного падения, Й* — напряженность магнитного пол;

Граничные условия на свободной поверхности жидкости имек вид

{<р*} = 0; WV>*} = 0; {Piknink} = + ^

vn = 0

Здесь <р* — потенциал магнитного поля; п — единичный вектс нормали, направленный из области 1 в область 2; [л — магнитна проницаемость; а — поверхностное натяжение; — нормальна скорость среды в системе координат, в которой поверхност покоится; И2 — главные радиусы кривизны поверхност! {а} = ~ — скачок величины на поверхности; Р;(. — тензс напряжений.

Граничные условия на дне заключаются в равенстве нулю □рмальной скорости и в постоянстве потенциала магнитного поля, словие на верхней поверхности заключается в том, что возму-(ение потенциала магнитного поля должно быть равно нулю.

Невозмущенное приложенное магнитное поле направлено па-аллельно оси х*, причем Й^ = Йо2> как это следует из граничного словия для магнитного поля.

Сформулированная краевая задача значительно сложнее крае-ых задач обычной гидродинамики, т. к. область, в которой ищется ешение задачи, не ограничивается областью, занятой жидкостью, связи с тем, что надо находить распределение магнитного поля поля скоростей не только в области, занятой жидкостью, но и окружающем пространстве. Уравнения движения НЖ нелинейны их точные аналитические решения в общем случае найти нельзя, [ля их решения воспользуемся методом малого параметра, идея оторого заключается в том, что вводится малый параметр такой, то решение при нулевом значении параметра находится сравни-ельно легко. Тогда решение при его ненулевом значении ищется виде ряда по степеням малого параметра, причем нулевой член того ряда соответствует решению линейной краевой задачи.

При распространении по свободной поверхности жидкости ус-ановившейся волны магнитное поле записывается в виде I* = Йд) + Й* , где Й*, — векторы напряженности невозмущенного днородного магнитного поля, Й,* — возмущения магнитного поля; = 1,2. В качестве малого параметра выбирается величина

е = к£гш1х>

де £тах — максимальное значение отклонения свободной поверх-юсти, к = 2тг/Д — волновое число, X — длина волны.

С помощью малого параметра и других параметров задачи юуществляется переход к безразмерным переменным и величинам. Граничные условия на свободной поверхности посредством разло-кения в ряд Тейлора величин, входящих в эти условия, перено-:ятся на поверхность ъ = 0.

Найдены нормированные собственные функции линейной зада-га, отвечающей параметру е = 0. Нормировка собственных фук-щий линейной задачи заключается в равенстве единице амплитуды функции £(х).

Решение нелинейной задачи ищется в виде рядов по малому тараметру

00 ОО X 00

£ = й, = р =

8=0 в = 0 5 = 0 Б = 0

V 5 1 1

8=0 У

1 + 2*1* в=1

;1 = 1,2,

где уп — найденные собственные числа линейной задачи.

Выписываются системы уравнений и граничных условий дл определения первого, второго и третьего приближений.

Решение каждого последовательного приближения ищется виде рядов по нормированным собственным функциям линейно задачи

= ~ (АШехр^х) - А®ехр(- ¡бх)) ,

Нц = " ^Ь/хсМ^.Ш^!!^!')2 (В^СХР(^Х) + ^ехР(" <

j = О, 1, 2.

Переход от тригонометрических к показательным функция! был осуществлен для удобства вычислений.

С точностью до членов порядка е3 приводятся выражения дл профиля волны, скорости волнового движения, возмущений маг нитного поля, давления и фазовой скорости. При отсутствии маг нитного поля и поверхностного натяжения полученное выражени для фазовой скорости переходит в выражение для фазовой скорост] нелинейной гравитационной волны в обычной гидродинамике.

Получено дисперсионное уравнение, выражающее зависимост: частоты колебания волны от волнового числа к, из которого еле дует, что частота возрастает с увеличением напряженности при ложенного магнитного поля, причем тем быстрее, чем болын' значение малого параметра и меньше длина волны (больше вол новое число). Этот рост замедляется при уменьшении магнитно) проницаемости жидкости. При больших значениях длины волш (больше 20 см) частота колебания волны практически остаетс: неизменной при возрастании напряженности магнитного поля. Сле дует отметить, что частота колебания волны также увеличиваете; с ростом коэффициента поверхностного натяжения. При фиксиро ванном волйовом числе частота растет тем быстрее, чем болыш напряженность магнитного поля, значение малого параметра I величина магнитной проницаемости жидкости.

Дисперсионное уравнение исследовано в случаях бесконечнс глубокого слоя жидкости; в случае когда длина волны значительш

превышает толщину слоя жидкости; при отсутствии магнитного поля.

Определено выражение для групповой скорости волны, которое при отсутствии поверхностного натяжения переходит в выражение для групповой скорости гравитационной волны.

Во второй главе рассматривается задача о распространении нелинейных волн по свободной поверхности бесконечно глубокого слоя НЖ в приложенном магнитном поле, параллельном оси х .

К системе уравнений движения НЖ и граничным условиям первой главы добавляются условия на бесконечности.

С точностью до членов третьего порядка получены выражения для профиля волны, скорости волнового движения, возмущений магнитного поля, давления и фазовой скорости.

Проведен анализ дисперсионного уравнения. Исследована зависимость частоты колебания волны от величины магнитного поля для = 1,1 и,«! = 1,5 для различных длин волн (от 1 до

30 см), при 15?о11 = 'Йог' = 1Й*1; е = 0 и е = 0,01 для следующих значений параметров: а = 50 дин/см; р = 0,9 г/см3; g = = 980 см/с2; ¡г2 = 1.

О 100 200 300 400 530 600 700 £00 900 1000

Н1

Рис. 1. Зависимость частоты колебания волны от величины магнитного поля при /х\ = 1,5(е = 0)

При заданной длине волны частота с увеличением напряженности магнитного поля растет как в линейном (рис. 1), так и в нелинейном приближениях (рис. 2). В нелинейной волне (рис. 2) значение частоты несколько превышает ее значение в линейном случае при одинаковых значениях длины волны и напряженности магнитного поля. При значениях X > 30 см частота практически перестает зависеть от напряженности магнитного поля и в линейном (рис. 1), и в нелинейном (рис. 2) случаях,.

0 100 200 300 400 500 500 700 800 900 1000

Н1

Р и с. 2. Зависимость частоты колебания волны от величины магнитного поля при = 1,5(е = 0,01)

С уменьшением длины волны крутизна графика увеличивается. Частота колебания волны увеличивается с увеличением магнитной проницаемости жидкости. С увеличением волнового числа (умень-

шением длины волны) частота колебания волны возрастает при фиксированной напряженности магнитного поля. При уменьшении коэффициента магнитной проницаемости жидкости при фиксированных значениях напряженности магнитного поля и волнового числа происходит уменьшение частоты колебания волны.

Рассмотрен вопрос о нахождении траектории частицы жидкости при распространении прогрессивной волны. Решение безразмерных уравнений движения

<1х ск, , , . йг ск "тг = —С- 1 + £УХ); -тг = е—V, сИ «рч х/ сИ сор 2

ищется в виде радов

ОО 00 00

я=0 Й=0 Р s=í

где X = а>р1*, <Мр — частота колебаний частицы жидкости.

т * *

С точностью до е найдены размерные выражения х (О, г (О определяющие траекторию частицы жидкости. Найдено выражение для переносной скорости Стокса, обусловливающей разомкнутость траектории частицы жидкости.

Получено выражение для высоты (амплитуды) волны. Исследовано влияние магнитного поля и поверхностного натяжения на высоту магнитно-капиллярной, магнитно-гравитационной и магнитной волны. Установлено, что с увеличением магнитного поля, параллельного направлению распространения волны^ высота волны растет.

В третьей главе исследуется распространение нелинейных волн по свободной поверхности слоя горизонтально текущей жидкости со скоростью и4 = ,и*(г*) — линейная функция.

В случае распространения установившейся волны по свободной поверхности жидкости искомые величины представляются в виде

^ = + а? = Й*1 + Й?'; Р* = Р* + р*'; Р* = {^1 -ррГ,

где V — скорость волнового движения жидкости, р и Н} — соответственно возмущения давления и магнитного поля, вызванные волновым движением жидкости.

Осуществлен переход к безразмерным переменным и величинам; граничные условия со свободной поверхности т. = е£(х) тейлоровским разложением перенесены на поверхность ъ - 0.

Решение полученной нелинейной задачи ищется в виде рядов по малому параметру

с = 1 +

•1=1

Остальные ряды имеют такой же вид, как и в первой главе.

Полученные системы уравнений и граничных условий для определения решения задачи с точностью до третьего приближения решаются по схеме первой главы.

Определены, с точностью до третьего приближения, профиль волны, скорость волнового движения, возмущение магнитного поля, давление и фазовая скорость.

С точностью до второго приближения найдено решение уравнений движения жидкой' частицы

ёх кс0 (1ъ екс0

17 =-(и ~ с + сух); 17 = —

СИ сорч ш сор ъ

Тем самым с точностью до членов порядка е2 определена траектория жидкой частицы. Найдено также выражение для стоксовой переносной скорости в случае поверхностных волн на течении НЖ.

На основе анализа линейной задачи о поверхностных волнах на течении, установлено, что волновое движение жидкости в рассматриваемом случае линейного профиля скорости будет потен-, циальным.

выводы

1. Построена математическая модель распространения нелинейных поверхностных волн в намагничивающихся средах как при этсутствии течения, так и при его наличии.

2. Исследовано влияние магнитного поля на характер распространения нелинейных поверхностных волн в намагничивающейся жидкости.

3. Найдены поля скоростей, давлений и напряженностей магнитного поля, позволяющие найти характеристики течения жидкости в объеме.

4. Получены выражения для фазовой и групповой скорости нелинейной поверхностной волны, а также дисперсионное выражение, связывающее между собой частоту и длину волны. Показано, что при увеличении магнитного поля частота волны возрастает. Исследованы различные частные случаи, в том числе тонкий слой жидкости и бесконечно глубокий слой жидкости.

5. Найдены траектории частиц жидкости в объеме при распространении нелинейной поверхностной волны. Исследовано влияние магнитного поля на траектории частиц жидкости.

6. Найдено выражение для переносной скорости Стокса для нелинейных волн в намагничивающейся жидкости, обусловливающей разомкнутость траекторий жидких частиц, а также несовпадение периода колебаний частицы и периода волны.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Куляшова Н. М. Распространение нелинейных поверх ностных волн в слое намагничивающейся жидкости конечной тол щины. — Саранск. 1996. Деп. в ВИНИТИ № 3481-В96. — 18 с

2. Куляшова Н. М. Нелинейные поверхностные волны н; потоке намагничивающейся жидкости // Тез. докл. Второй конференции молодых ученых Мордовского госуниверситета. — Саранск, 1997. — С. 6.

3. Куляшова Н. М. Нелинейные поверхностные волны I намагничивающейся жидкости бесконечной глубины. — Саранск 1997. Деп. в ВИНИТИ № 1523-В97. — 17 с. ' •

4. Тактаров Н. Г., Куляшова Н. М. Нелинейные поверхностные волны в намагничивающихся средах//Тез. докл, II Международной конференции „Дифференциальные уравнения и их приложения". — Саранск, 1996. — С. 33.

5. Тактаров Н. Г., Куляшова Н. М. Поверхностные волны на течении намагничивающейся жидкости. — Саранск, 1997. — Деп. в ВИНИТИ № 2864-В97. — 17 с.