автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейная параметрическая идентификация модели динамического объекта при терминальных измерениях

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭВОЛЮЦИИ

ПРОСТРАНСТВЕННОГО СОСТОЯНИЯ МОБИЛЬНЫХ ПУНКТОВ СВЯЗИ КАК ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Анализ динамических моделей эволюции пространственного состояния подвижных объектов с базированием МПС.

1.1.1. Нелинейная модель Эйлера-Крылова.

1.1.2. Линейная модель движения в параметрах Родрига-Гамильтна.

1.2. Анализ особенностей динамических моделей подвижных объектов с базированием МПС, обусловливающих их параметрическую неопределенность.

1.2.1. Классы погрешностей гироскопических измерений вектора состояния МПС.

1.2.2. Погрешности угловых измерений.

1.2.3. Погрешности эталонирования и нестабильность приборной поправки гироприборов.

1.2.4. Источники инструментальных погрешностей гироскопических навигационных измерений ПО с базированием МПС.

1.2.5. Формализация параметрически неопределенных динамических моделей эволюции пространственного состояния МПС.

1.3. Анализ существующего научно-методического аппарата идентификации динамических моделей

1.3.1. Классификация задач идентификации.

1.3.2. Алгоритмы идентификации, основанные на теории оценивания, адаптивные алгоритмы.

1.3.3. Другие методы параметрической идентификации неопределенных динамических моделей эволюции пространственного состояния МПС.

1.4. Постановка общей научной задачи и частные задачи исследования

Выводы по разделу.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭВОЛЮЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ.

2.1. Разработка метода параметрической идентификации неопределенной динамической модели эволюции пространственного состояния МПС.

2.2. Методика параметрической идентификации коэффициентов нелинейной динамической модели Эйлера-Крылова.

2.3. Методика параметрической идентификации коэффициентов линейной динамической модели Родрига-Гамильтона.

2.4. Методика решения синтезированных двухточечных краевых задач.

Выводы по разделу.

3. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗРАБОТАННОГО АППАРАТА ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭВОЛЮЦИИ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ ТЕРМИНАЛЬНЫХ НАБЛЮДЕНИЯХ.

3.1. Частные алгоритмы вычислительной реализации.

3.1.1. Алгоритмы определения углов Эйлера - Крылова по параметрам Родрига-Гамильтона.

3.1.2. Алгоритмы численного интегрирования динамических моделей Эйлера-Крылова и Родрига-Гамильтона.

3.1.3. Анализ допустимости применения динамических моделей эволюции пространственного состояния МПС.

3.2. Оценка эффективности разработанного аппарата параметрической идентификации динамических моделей на основе численного моделирования.

3.2.1. Алгоритм численного моделирования частной методики параметрической идентификации модели Эйлера-Крылова

3.2.2. Алгоритм численного моделирования частной методики параметрической идентификации модели Родрига-Гамильтона

Выводы по разделу.

Основные современные и перспективные концепции развития средств связи и систем телекоммуникаций в качестве одного из базовых направлений предполагают широкое использование мобильных пунктов связи с широким спектром телекоммуникационных возможностей. При этом очевидно, что особенности использования того или иного мобильного пункта связи (МПС) предъявляют соответствующие требования к характеристикам, динамике изменения и точности определения пространственно-временных параметров состояния подвижных объектов (ПО) с базированием МПС. В подавляющем большинстве случаев организации систем связи с использованием МПС движение управляемых подвижных объектов (корабля, самолета, автомобиля, космического аппарата и т.д.) должно происходить с малыми отклонениями от той или иной заданной программы траектории. Чтобы это осуществить, необходимо надлежащим образом регулировать величину и направление силы, движущей ПО, для чего необходимо знать, какую пространственную ориентацию в данное мгновение времени имеет ПО и где он находится.

При наличии на ПО точных гироскопических приборов (наземных или судовых гирокомпасов (гироориентаторов, гиробуссолей, гиротеодо-литов), навигационных гирокомпасов, работающих в условиях подвижного основания и т.д.) ориентацию и местоположение МПС можно установить, не прибегая к наблюдениям за внешними ориентирами и не получая какие-либо дополнительные сведение извне. Для этого необходимо знать местонахождение и ориентацию МПС в начальное мгновение времени и далее вырабатывать координаты местоположения ПО путем непрерывного решения совокупности соответствующих дифференциальных уравнений [5, 19, 52-55, 62, 66], в общем случае существенно нелинейных (Аналогичные динамические модели описывают также поведение и других функциональных элементов системы, служащей для установления местоположения ПО и называемой инерциальной системой навигации).

Инерциальные навигационные системы, устанавливаемые в настоящее время на движущемся по поверхности или вблизи поверхности Земли МПС, предназначены для автоматического определения местоположения (широты и долготы), скорости относительно Земли и угловой ориентации ПО с базированием МПС и позволяют весьма точно определять его местоположение и пространственную ориентацию [19, 46, 55].

Уступая, например, астрономо-геодезическим методам по достигнутой точности, инерциальные системы обладают рядом преимуществ:

- автономность (практически не зависят от погоды , времени года и суток, геодезической обеспеченности района и его физико-географических особенностей);

- простота их практического использования;

- надежность (практически не подвержены действию радиопомех, магнитных аномалий).

Существует ряд различных систем инерциальной навигации, отличающихся друг от друга составом и расположением используемых чувствительных элементов. При этом различен ход решения навигационной задачи - определения географических координат МПС и его курса по текущим показаниям чувствительных элементов. Но в достаточно общем случае решение навигационной задачи связано с решением некоторой определенной совокупности дифференциальных уравнений - с интегрированием временных динамических моделей пространственного состояния ПО (в форме Эйлера-Крылова, Родрига-Гамильтона, Кели-Клейна и т.д.) [10, 19, 47].

Развитие современной техники и стремление к наиболее эффективному ее использованию предъявляют повышенные требования к точности решения навигационной задачи МПС. При этом известно, что повышение точности информационно-измерительных систем может быть достигнуто как за счет улучшения качества аппаратуры, так и путем совершенствования алгоритмов обработки используемой измерительной информации. Очевидно, что первый путь совершенствования систем навигации и связи связан с резким возрастанием конструкторско-производственных затрат. Это приводит ко все более широкому применению математических методов оптимизации измерений в навигационных системах МПС, проводимых с помощью инерциальных гироскопических приборов и устройств [5, 7-9, 53, 54, 66]. Так как качество решения задачи навигации подвижных объектов с базированием МПС обеспечивается, в первую очередь, точностью выходных данных инерциальной навигационной системы, определяемой, в свою очередь, в основном точностью хранения направлений осей базовой системы координат, формируемых определяется на основе интегрирования упомянутых выше динамических моделей пространственного состояния ПО, то становится очевидной актуальность проблемы адекватной и высокоточной идентификации используемых моделей [7-9, 19, 53, 54, 66].

Все изложенное относится к МПС наземного и морского базирования, но и к разработке космических комплексов связи (точнее, к разработке систем космической навигации, обеспечивающих требуемое качество функционирования систем космической связи). Современные космические аппараты (КА), используемые в системе глобальной навигации и связи, предназначены для решения комплекса задач самого различного характера, при этом многие типы КА совершают во время полета маневры. Контроль параметров движения и определение пространственной ориентации КА при этом выполняется системой навигации, а качество решения навигационной задачи со всей очевидностью определяет эффективность функционирования всего комплекса в целом.

Поэтому, предметом исследований диссертационной работы являются процессы идентификации динамических моделей временной эволюции пространственной ориентации подвижных объектов.

Традиционные методы решения задач идентификации ("прямые" алгоритмы идентификации, алгоритмы с адаптивной моделью, алгоритмы, основанные на теории оценивания [22, 59, 61]), ориентированы на функционирование в реальном масштабе времени и требуют обязательного текущего информационного обеспечения - непрерывного наблюдения в пространстве состояний модели в течение всего интервала идентификации. В то же время на практике возможны такие режимы функционирования МПС, когда в течение продолжительного интервала использование информации от внешних средств затруднено или такая информация принципиально отсутствует, что не позволяет сформировать требуемую функцию наблюдения состояния ПО. Однако при этом часто может быть осуществлено точное (в рамках принятых допущений о границах потенциально возможной (минимальной) ошибки измерения для используемых средств информационного обеспечения) измерение положения ортов ПО в известные (заданные) отдельные моменты времени - т.е. реализовано так называемое терминальное наблюдение. (Например, при эталонировании гироплатфор-мы наземных МПС в местах их топопривязки в моменты начала и окончания маршрута движения, при астрокоррекции инерциальной навигационной системы КА связи и т.д.).

Кроме того, традиционные методы базируются в основном на упрощающем допущении о постоянстве вектора идентифицируемых параметров [59, 61], которое при идентификации динамических моделей эволюции пространственного положения ПО оказывается довольно "грубым" и существенно снижает потенциальную точность оценивания.

Таким образом, качество решения задачи навигации ПО обеспечивается, в первую очередь, точностью выходных данных навигационного комплекса, а используемые при эксплуатации динамические модели пространственного состояния ПО в конкретных практических задачах требуют, как правило, идентификации их параметров. При этом требуемая точность решения навигационной задачи МПС может быть достигнута без наращивания аппаратурного состава или радикального изменения конструк-торско-технологических решений путем использования различных математических методов обработки информации, доступной измерению в конкретной навигационной системе МПС. Для идентификации динамических моделей пространственного состояния ПО традиционные алгоритмы параметрической идентификации неприменимы, в связи с чем необходима разработка метода параметрической идентификации, позволяющего решать задачу оценивания при однократных - терминальных наблюдениях пространственного положения ПО, причем, в условиях априорно неизвестного характера эволюции идентифицируемых параметров модели.

На основе анализа существующего научно-методического аппарата идентификации динамических моделей и возможности его использования в рассмотренных выше условиях следует неизбежный вывод о необходимости решить следующую научную задачу: разработать метод параметрической идентификации нелинейной динамической модели эволюции пространственной ориентации подвижного объекта, доступного наблюдению в терминальные моменты времени.

Целью исследования диссертационной работы является разработка научно-методического аппарата идентификации моделей динамических объектов, позволяющего решить поставленную задачу, причем, без дополнительного использования традиционного приема расширения вектора состояния идентифицируемой модели.

Диссертационная работа содержит введение, три раздела, заключение и приложения. В первом разделе кратко характеризуется предмет исследования; показывается, что определения углов Эйлера-Крылова, задаю

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ

3.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при решении синтезированных методик может быть осуществлено на основе существующих численных методов (Эйлера, Рунге-Кутта 2-го или 4-го порядков) с различным временным шагом А1, выбор которых определяется компромиссом между точностью численного интегрирования и машинными затратами на их реализацию. Для определения требуемых шага и метода интегрирования динамических моделей Эйлера-Крылова и Родрига-Гамильтона разработаны алгоритмы и программы исследования влияния выбора методов и шага интегрирования, выполнено численное моделирование.

3.2. Моделирование показало, что ошибка численного интегрирования динамической модели Эйлера-Крылова за счет выбора шага составила

- на временном интервале 1 е [0,3600]с:

- в методе Эйлера 2-го порядка - шах ( А б 11 = 1.7-10"6 рад при Д^ и тах | А & 11 = 3.1 -Ю-6 рад при Аг2;

- в методе Рунге-Кутта 4-го порядка - max | A s j | = 0.09 • 10"6 рад при шаге интегрирования Atj и max | A s i | = 0.12-10"6 при At2;

- на временном интервале t е [ОД 0 000]с: о

- в методе Эйлера - max | A s ; | = 2.9-10" рад (1=1,2,3; s 1,2,3 = Ф, ty, у) при шаге интегрирования Ati=0,0001с и max | A s j | = 7.7-10" рад при шаге интегрирования At2=0,01c;

- в методе Рунге-Кутта 4-го порядка - max | A s \ | = 0.86 -10" рад о при шаге интегрирования Atj и max j A s j | = 1.7-10" при At2.

Полученные данные позволяют сделать выводы о возможности использования нелинейной модели Эйлера-Крылова:

- на интервале t е [0,10 000]с с погрешностью определения углов Эйлера-Крылова ориентации автономно функционирующего ПО max |Asi| <2.9-10"3 рад;

- на интервале t е [0,3600]с - с погрешностью max |Asj | = 3.1-10'6 рад.

3.3. Моделирование показало, что ошибка численного интегрирования динамической модели Родрига-Гамильтона за счет выбора шага составила

- на временном интервале t е

0,3600]с:

- в методе Эйлера - max |Asi| = 0.08-10"6 рад при Att и max I A s i I = 0.09-10"6 рад при At2;

- в методе Рунге-Кутта 4-го порядка - max | A s i | = 0.06-10"6 рад при шаге интегрирования At] и max | A s j | = 0.06-10"6 рад при At2;

- на временном интервале t е

0,10000]с: о

- в методе Эйлера - max | A s j | =0.17-10" рад при At] и max I A s j I = 0.24-10"3 рад при At2;

- в методе Рунге-Кутта 4-го порядка - max |As;| = 0.02-10" рад при шаге интегрирования At] и max | A s i | = 0.03 -10" рад при At2;

- на временном интервале t е [0,259 200]с при At2:

- в методе Эйлера - шах | .А. з ^ | = 8.84-10" рад;

- в методе Рунге-Кутта 4-го порядка - шах | А в 11 = 7.95-10" рад.

Таким образом значения углов, определяемые в результате интегрирования модели Родрига-Гамильтона, можно считать эталонными в сравнении с их значениями, получаемыми при интегрировании модели Эйлер-Крылова, а вычислительные погрешности интегрирования нелинейной динамической модели Эйлера-Крылова могут быть существенно уменьшены при переходе к параметрам Родрига-Гамильтона, позволяющем представить динамическую модель эволюции пространственного положения МПС в линейном виде.

3.4. Параметры Родрига-Гамильтона выражаются сравнительно просто через углы Эйлера-Крылова X (или \|/), ф и у, но обратный переход, вследствие необходимости получения однозначного решения тригонометрических уравнений, содержащих искомые углы, требует специализированного алгоритма. Разработанные алгоритмы решения обратной задачи позволяют в автоматизированном режиме в реальном масштабе времени определять географические координаты МПС (углы Эйлера-Крылова X (или ф и у) по параметрам 10,1ь Ь, 1з

3.5. Затраты машинного времени при использовании метода Эйлера при интегрировании модели Родрига-Гамильтона оказались более чем в полтора раза выше, чем в методе Рунге-Кутта при практически несущественном выигрыше в точности. Поэтому, при непродолжительных временных интервалах автономного функционирования МПС (в пределах 10 часов) для определения его пространственной ориентации на основе интегрирования модели Родрига-Гамильтона, возможно использование метода Эйлера с шагом А1 = 0,01с, а при продолжительных временных (в пределах нескольких суток) - 4-го порядка с шагом А1 = 0,01с.

3.6. Увеличение временного интервала численного интегрирования динамических моделей (автономного функционирования МПС) или увеличение угловых скоростей вращения ПО снижает вычислительную эффективность алгоритмов из-за роста объема вычислительных затрат и накопления неизбежных ошибок вычислений.

3.7. С целью анализа допустимости синтезированных частных методик параметрической идентификации разработаны алгоритмы и программы параметрической идентификации динамических моделей Эйлера-Крылова и Родрига-Гамильтона при моделировавшихся погрешностях измерений угловой скорости порядка 5% от их реальных значений, выполнено численное моделирование. Моделирование методики параметрической идентификации нелинейной модели Эйлера-Крылова на интервале I е [0,10000]с показало, что погрешности определения вектора а составляли не более 26%, а погрешности идентификации составляющих вектора р -не более 7% от их реальных значений. При этом интегрирование осуществлялось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом 0.01 с. Вычислительные погрешности, определенные для выбранных метода и шага численного интегрирования, в процессе эксперимента были скомпенсированы с целью повышения точности сравнительного анализа разработанной частной методики. Приближенное решение двухточечной краевой задачи было получено на основе метода "пристрелки".

3.8. Моделирование методики параметрической идентификации линейной модели Родрига-Гамильтона на интервале t е [0,10000] с показало, что погрешности определения вектора а составляли не более 18%, а погрешности идентификации составляющих вектора р-не более 5% от их реальных значений. При этом интегрирование уравнений осуществлялось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом 0.01 с. Вычислительные погрешности, определенные для выбранных метода и шага численного ин

92 тегрирования (п.3.1.3), в процессе эксперимента были скомпенсированы с целью повышения точности сравнительного анализа разработанной частной методики. Приближенное решение ДТКЗ было получено на основе метода "пристрелки".

3.9. Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности эффективного использования синтезированного метода параметрической идентификации динамических моделей в условиях однократного точного наблюдения их состояния и априорно неизвестного характера эволюции вектора идентифицируемых параметров, что позволяет использовать его для идентификации динамических моделей эволюции пространственной ориентации ПО с базированием МПС, движущегося по земной сфере (или в околоземном пространстве).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие современной техники связи и стремление к наиболее эффективному ее использованию предъявляют повышенные требования к точности решения навигационной задачи МПС, базирующихся на подвижных объектах, функционирующих длительное время в автономном режиме (надводных и подводных судах, самолетах, автомобилях, космических аппаратах и т.д.). Инерциальные навигационные системы, устанавливаемые на МПС, позволяют определять их местоположение и пространственную ориентацию, не прибегая к информации от внешних ориентиров, при этом решение навигационной задачи в достаточно общем случае связано с интегрированием динамических моделей пространственного состояния ПО (в форме Эйлера-Крылова, Родрига-Гамильтона, Кели-Клейна и т.д.).

Повышение точности информационно-измерительных систем, обеспечивающих функционирование МПС, может быть достигнуто путем совершенствования алгоритмов обработки используемой измерительной информации, получаемой от инерциальных гироскопических приборов и устройств, - на основе оптимальной идентификации используемых моделей. Причем, традиционные методы решения задач идентификации ориентированы на функционирование в реальном масштабе времени и требуют обязательного текущего информационного обеспечения - непрерывного наблюдения в пространстве состояний модели в течение всего интервала идентификации. В то же время на практике возможны такие режимы функционирования МПС, когда в течение продолжительного интервала использование информации от внешних средств затруднено или такая информация принципиально отсутствует, что не позволяет сформировать требуемую функцию наблюдения состояния ПО с базированием МПС. Однако при этом часто может быть осуществлено точное измерение местоположения МПС и его ориентации в терминальные моменты времени. Поэтому, для идентификации динамических моделей пространственного состояния ПО традиционные алгоритмы параметрической идентификации неприменимы, а разработан принципиальной новый метод параметрической идентификации, позволяющий решать задачу оценивания при однократных - терминальных наблюдениях объекта, причем, в условиях априорно неизвестного характера эволюции идентифицируемых параметров.

Проведенные исследования позволили получить ряд следующих новых результатов как теоретического, так и практического характера.

1. Так как определение ориентации и местоположения ПО с базированием МПС в течение длительного интервала его непрерывного автономного движения по земной сфере (или в околоземном пространстве) на основе интегрирования соответствующих динамических моделей сопровождается погрешностями измерений вектора угловой скорости, что определяет параметрическую неопределенность этих моделей с априорно неизвестным характером ее эволюции, то для обеспечения требуемой точности определения пространственной ориентации ПО необходима параметрическая идентификация используемых динамических моделей.

2. Разработанный в работе метод позволяет решать задачи параметрической идентификации динамических моделей в условиях однократного точного наблюдения их состояния и априорно неизвестного характера эволюции вектора идентифицируемых параметров, что позволяет использовать его для идентификации динамических моделей эволюции пространственной ориентации ПО в течение длительного интервала непрерывного автономного движения МПС по земной сфере (или в околоземном пространстве).

3. Использование частных методик идентификации нелинейной (Эйлера-Крылова) и линейной (Родрига-Гамильтона) динамических моделей, разработанных на основе синтезированного обобщенного метода параметрической идентификации, позволит повысить точность решения навигационной задачи движущегося по земной сфере (или в околоземном пространстве) МПС без наращивания аппаратурного состава системы управления или радикальных конструкторско-технологических решений и снизить стоимость затрат на эксплуатацию инерциальных навигационных комплексов различных типов МПС.

Моделирование разработанных частных методик идентификации нелинейной и линейной моделей показало, что идентификация ошибок определения пространственного положения ПО - ошибок углов Эйлера-Крылова, обуславливаемых погрешностями измерений вектора угловой скорости (моделировавшихся «5% от значений угловой скорости), возможно с погрешностями, не превышающими 26%.

Таким образом, проведенные исследования подтвердили теоретические предположения о возможности эффективного применения синтезированного метода параметрической идентификации динамических моделей в условиях однократного точного наблюдения их состояния и априорно неизвестного характера эволюции вектора идентифицируемых параметров, что позволяет использовать его для идентификации динамических моделей эволюции пространственной ориентации ПО с базированием МПС, движущегося по земной сфере (или в околоземном пространстве). Использование разработанных метода и частных методик позволит повысить точность решения навигационной задачи автономно функционирующего МПС, движущегося по земной сфере (или вблизи поверхности Земли) без наращивания аппаратурного состава системы управления или радикальных конструкторско-технологических решений и, соответственно, снизить стоимость затрат на эксплуатацию инерциальных навигационных комплексов различных типов МПС.

В качестве одного из возможных перспективных направлений использования разработанного научно-методического аппарата можно отметить разработку космических комплексов связи (точнее, систем космической навигации МПС). Современные космические аппараты (КА) способны осуществлять решение самых сложных задач различного характера в интересах средств связи, при этом многие типы КА совершают во время полета требуемые для этого маневры. Для выполнения возлагаемых на них функций КА систем связи оборудованы многочисленными соответствующими системами. Контроль параметров движения и определение пространственной ориентации КА выполняется системой навигации, а качество решения навигационной задачи определяет эффективность всего комплекса связи в целом.

Предложенные методики и разработанные на их основе алгоритмы могут быть использованы при идентификации динамических моделей самих гиростабилизаторов навигационных комплексов МПС. Гиростабили-заторы в современной технике используются достаточно широко. Характер возмущений, действующих на ГС во время движения объекта, во многом определяется видом ПО с базированием МПС. Эти возмущения обусловлены главным образом линейными ускорениями, угловыми колебаниями объекта и линейными вибрациями мест крепления трехосного ГС.

Угловые колебания объекта приводят к тому, что относительно осей стабилизации трехосного ГС на платформу действуют постоянные (медленно меняющиеся ) и переменные моменты. Линейные вибрации корпуса объекта приводят к возмущениям, действующим как относительно осей стабилизации трехосного ГС, так и относительно осей прецессии гироскопов. Линейные ускорения объектов приводят к появлению сил инерции, которые действуют на опоры подвеса платформы и гироскопов. Эти силы инерции могут привести к появлению моментов относительно осей стаби

97 лизации и осей прецессии гироскопов. Обусловлены эти моменты статическим дебалансом и неравножесткостью конструкции как подвеса платформы, так и гироскопов. Постоянные или меняющиеся моменты относительно осей стабилизации вызывают постоянные или меняющиеся статические погрешности трехосного ГС и приводят к увеличивающимся со временем погрешностям - уходам ГС и, следовательно, к ошибкам управления ПО с базированием МПС и требует использования аппарата оптимальной параметрической идентификации их моделей.

1. Аникин С. А. Об оценке погрешности метода регуляризации в задачах восстановления входов динамических систем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1997. Т. 37. № 9. С. 1056-1067.

2. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

3. Ащепков Л.Т. и др. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления. Новосибирск: Наука, 1984.

4. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

5. Бар-Ицхак И. И., Рейнер Дж. Рекурсивное определение углового положения объекта по векторным наблюдениям: идентификация матрицы направляющих косинусов // Аэрокосм, техника. 1985. № 3.

6. Бахвалов Н.С., Тихомиров В.Н., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

7. Боднер В. А. Приборы первичной информации. М.: Машиностроение,1981.

8. Бранец В. Н. О точности решения кинематических уравнений. Использование квазикоординат // Космические исследования. 1982. №3.

9. Бранец В. Н. О точности решения кинематических уравнений. Уравнение ошибок // Космические исследования. 1982. №2.

10. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1979.11 .Бунич А.Л. Идентификация дискретных линейных объектов с большим отношением сигнал/шум // Автоматика и телемеханика. 2001. №3. С.53-62.

11. Васильев О.В. Методы оптимизации в функциональных пространствах. Иркутск: Изд-во Иркутского унив-та, 1979.

12. Васин И. А. О нелинейной обратной задаче одновременного восстановления эволюции двух коэффициентов в уравнениях Навье-Стокса // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. №5. С. 795-804.

13. Васин И. А. О нелинейной обратной задаче одновременного восстановления эволюции двух коэффициентов в уравнениях Навье-Стокса. II // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. №8. С. 1095-1100.

14. Гуревич С.С. и др. Определение коэфициентов модели уходов бескарданного электростатического гироскопа по результатам стендовых испытаний // Гироскопия и навигация, №2. 1999.

15. Губарев В. Ф., Аксенов Н. Н. Решение задачи оценивания и идентификации методом регуляризации // Пробл. упр. и информ. 1994. №. 5-6. С. 21-28.

16. Иммоназаров X. X. Обратные задачи определения правых частей дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Препринт №. 957. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1992.

17. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

18. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976.

19. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

20. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

21. Клейман Е. Г., Мочалов И. А. Идентификация нестационарных объектов // АиТ. 1994. №. 2. С. 3-22.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.

23. Коровин С. К., Ильин А. В., Фомичев В. В. Метод управляемой модели в задачах обращения динамических систем // ДАН. 1997. Т. 354. №. 2.

24. Криксин Ю. А., Плющев С. Н., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. Обратная задача восстановления источника для уравнения конвективной диффузии // Мат. моделирование. 1995. Т. 7. № 11.

25. Кузовков Н.Т., Салычев О.С. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация. М.: Машиностроение, 1982.

26. Липтон А. Выставка инерциальных систем на подвижном основании. М.: Наука, 1971.

27. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.

28. Макламор, Макнейл, Барнейч. Влияние геофизических факторов на высокоточные измерения // Вопросы ракетной техники. 1971. № 5.

29. Мамай В.И. и др. Оптимальная по локальному квадратичному критерию идентификация стохастических объектов // Изв.ВУЗов. С.-К. регион. № 2, 2002. С. 19-21.

30. Мамай В.И. и др. Решение частной задачи непараметрической идентификации на основе квадратичного критерия // Автоматика и вычислительная техника. № 6, 2002. С. 36-41.

31. Мамай В.И., Танеев М.Р. Субоптимальная параметрическая идентификация нелинейных стохастических систем // Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника. №12, 2002. С 26-31.

32. Мамай В.И., Цховребов А.З. Многокритериальная субоптимальная нелинейная фильтрация // Автоматика и вычислительная техника. № 6, 2002. С. 12-26.

33. Мамай В.И. и др. Цифровая система коммутации EWSD. Ростов-на-Дону: Северо-Кавказский филиал Моск. техн. унив-та связи и информатики, 2002.

34. Мамай В.И., Сотников A.B., Цховребов А.З. Некалмановская оценка вектора состояния динамической модели (тезисы доклада) / VII Международная конференция по интегрированным навигационным системам, Санкт-Петербург, 2001. С. 44.

35. Мамай В.И., Цховребов А.З. Идентификация динамических объектов на основе использования уравнения Эйлера // сб. деп. рукописей, ВИНИТИ, 2002.

36. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.

37. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

38. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтрона. М.: Атомиздат, 1981.

39. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

40. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

41. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

42. Мудров В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. М.: Сов. радио, 1976.

43. Назаров Б.И. и др. Командно-измерительные приборы. М.: МО, 1987.47.0нищенко С. М. Применение кватернионов в инерциальной навигации / В кн.: Навигация и управление движением механических систем. Киев: Институт математики АН УССР, 1980.

44. Панов А. П. Анализ погрешностей квантования при вычислениях параметров ориентации // Кибернетика и вычислительная техника. 1976. №34.

45. Панов А. П. Асимптотические оценки погрешностей методов вычислений параметров ориентации твердого тела // Кибернетика и вычислительная техника. 1980. №47.

46. Панов А. П. Повышение эффективности алгоритмов вычислений параметров ориентации для бортовых ЦВМ // Кибернетика и вычислительная техника. 1977. №37.

47. Панов А. П. Синтез методов вычислений координат вектора ориентации//Кибернетика и вычислительная техника. 1979. №43.

48. Парусников Н. А. Некоторые задачи определения ориентации приборных трехгранников // Механика твердого тела. 1972. №6.

49. Парусников Н. А., Морозов В. М., Борзов В. И. Задачи коррекции в инерциальной навигации. М.: МГУ, 1982.

50. Плотников П. К. К вопросу построения алгоритма оценивания параметров движения по сигналам датчиков первичной информации // Механика твердого тела. 1990. №1.

51. Рахтенко Е. Р. Гироскопические системы ориентации. М.: Машиностроение, 1989. - 232 с.

52. Ривкин С.С. Стабилизация измерительных устройств на качающемся основании. М.: Наука, 1978.

53. Ригли У., Холлистер У., Денхард У. Теория, проектирование и испытание гироскопов. М.: Мир, 1972.

54. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений . М.: Наука, 1978.

55. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974.

56. Современное состояние и тенденции развития телекоммуникационных технологий в связи. Отчет о НИР "Телеком-01" / Северо-Кавказский филиал Моск. техн. унив-та связи и информатики, 2001.

57. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Красовского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

58. Степанов O.A. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб.: ГНЦРФ ЦНИИ "Электроприбор", 1998.

59. Ткаченко А. И. Возможность компенсации ошибок определения ориентации движущегося объекта, вызванных квантованием информации // Кибернетика и вычислительная техника. 1977. №37.

60. Ткаченко А. И. Повышение точности вычисления кинематических параметров // Кибернетика и вычислительная техника. 1973. №19.

61. Черноусько Ф.Л. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1978.

62. Frankel J. I. Residual minimisation least-squares method for inverse heat conduction // Int. J. Comput. and Math, with Appl. 1996. V. 32. No.4.P. 117-130.

63. Kuprienko A., Kramarov S., Grekov A., Gorish A. Contribution From Thermoelastic and Electroelastic Fields to Effective Properties of Multilayer Piezoelectric Textures of the Piezoceramic/Metal Type// Ferroelec-trics.1990. V. 154,1994.P. 137-142

64. Kramarov S., Gufan Yu., Klimiva E. Theory of the ceramic formation under the pressure// XVIII-th. Int. General Assembly Glasgow, Scotland, UK. 1999, P. 35-36

65. Murio D. A. Numerical identification of interface source functions in heat transfer problems under nonlinear boundary conditions // Int. J. Comput. and Math, with Appl. 1992. V. 24. No. 4. P. 65-76.

66. Raol J. R., Parameswaran V. Recursive estimation of model error for identification of nonlinear continuous time systems // Proc. NAL-DLR Symp. on System Identification. Bangalore, India, 1993. P. 199-217.